Teoksen teksti on sijoitettu ilman kaavojen kuvaa.
Uusi versio roboti on saatavilla välilehdellä "Files roboti" PDF-muodossa

"Tezh me, Newtonin binomiaali!»

romaanista "Mestari ja Margarita"

”Pascalin tricutnik on niin yksinkertainen, että voit kirjoittaa desimaalilapsin. Juuri sillä hetkellä joudut piiloutumaan omiin näkymättömiin aarteihisi ja ostat lisää matematiikan eri puolia, sillä sinulla ei ehkä ensisilmäyksellä voi nukkua itsesi kanssa. Sellaiset jakamattomat auktoriteetit antavat mahdollisuuden käyttää Pascalin tricutnikiä yhdellä matematiikan hienovaraisimmista skeemoista.

Martin Gardner.

Meta robotit: zagalnite kaavat nopean kertolasku, näytä heille zastosuvannya ratkaista ongelmia.

Johtaja:

1) oppia ja systematisoi tietoa ensimmäisestä tarjonnasta;

2) ratkaista Newtonin binomiaalin ja portaiden summan ja eron kaavat.

Seurattavat kohteet: Newtonin binomi-, summa- ja erotuskaavat.

seurantamenetelmät:

Työskentele perus- ja populaaritieteellisen kirjallisuuden, Internet-resurssien kanssa.

Rozrakhunki, povnyannya, analyysi, analogia.

Merkityksellisyys. Ihmiset tuodaan usein äitien luo oikealle tehtävistä, joissa on syytä tehostaa paljon mahdollisia tapoja roztashuvannya deyakikh objektіv chi kіlkіst vsіh mozhlivih svodіv zdіysnennya deykoї ї ї. Monipuolisimpiin yhdistelmiin lisätään erilaisia ​​chi-vaihtoehtoja, jotka tuodaan valitsemaan ihmisiä. І tsiliy jakoi matematiikan, kombinatoriikan otsikot, eri ravintoaineiden etsiminen: esimerkkejä kaikista yhdistelmistä tälle chi іnshoy -tyypille.

Kombinatorisilla arvoilla oikealle äidille tuodaan eri erikoisalojen edustajat: tiedekemisti, biologi, suunnittelija, lähettäjä myös. Lisääntynyt kiinnostus kombinatoriikkaan Lepo tunti kybernetiikan ja laskennallisen tekniikan kiihkoileva kehitys vaikuttaa.

Sisäänpääsy

Jos haluat vahvistaa, että puhuja on selvinnyt päivän monimutkaisuudesta muutamalla vialla, näyttää siltä: minä olen Newtonin kielto! Movlyav, Newtonin akseli, se on taitettava, mutta sinussa on ongelmia! Newtonin binomiaalista chuli navitt niitä ihmisiä, joiden kiinnostuksen kohteet eivät liity matematiikkaan.

Sana "binom" tarkoittaa binääriä, tobto. kahden lahjoituksen summa. W koulun hinta seuraavat ovat lyhyen monikon kaavojen nimet:

( a+ b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 .

Seuraavat kaavat ovat kaava, kuten sitä kutsutaan Newtonin binomikaaliseksi. Kouluissa voittajat ovat ne kaavat, joilla levitetään eri neliöiden, summan ja eri kuutioiden kerrannaisiksi. Mikä on hajun haju seuraaville vaiheille? Joten tällaisissa kaavoissa haju voittaa usein virishenni zavdanissa: todistaa väärennös, murto-osien nopeus, laskennan läheisyys.

Loogisten kaavojen kehittäminen kehittää deduktiivis-matemaattisia ajatuksia ja syvää retoriikkaa.

OSA 1. NEWTONIN BINOM-KAAVA

Pojdnannya että їх valtaa

Olkoon X kerroin, joka koostuu n elementistä. Olipa kyseessä Y:n alikertoja, x:n kertojaa, joka korvaa k alkiota, kutsutaan yksitellen k alkiota n:stä k ≤ n.

Eri kohteiden lukumäärälle k alkiota n:stä annetaan n k . Yksi kombinatoriikan tärkeimmistä kaavoista on seuraava kaava luvulle n k:

Її voidaan kirjoittaa ylös ilmeisen pian tulevan arvon jälkeen:

Zokrema,

Timille on hyödyllistä koko juttu, että kertoimessa X on enemmän kuin yksi 0-alkioiden osa-osa - tyhjä osa-osa.

Numerot C n k luovat sarjan ihmeellisiä voimia.

Kaava on voimassa n k = n - k n , (3)

Kaavan (3) merkitys perustuu siihen tosiasiaan, että se on yksi yhteen johdonmukaisuus X:n kaikkien k-termien osakertojen puuttumisen ja X:n kaikkien (n - k) -jäsenisten osakertojen puuttumisen välillä: to määritä Y:n ihon k-termin alikerroin riittävä vahvuus, laita yksi summa kertojaan X.

Kaava on voimassa З 0 n + З 1 n + З 2 n + ... + З n n = 2 n (4)

Vasemmassa osassa oleva summa heijastaa X:n kaikkien osakertojen lukumäärää (C 0 n on 0-termisten osakertojen lukumäärä, C 1 n on yksitermisten osakertojen lukumäärä jne.).

Mitä tahansa k:lle, 1≤ k≤ n , yhtäläisyys on oikeudenmukainen

C k n \u003d C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

Qiu mustasukkaisuus ei ole kovin tärkeää saada apua kaavan (1). Totta,

1.2. Visnovok Newtonin binomiaalikaavasta

Katsotaanpa binomiaalin vaiheita +b .

n = 0, (a +b ) 0 = 1

n = 1, (a +b ) 1 = 1a+1b

n = 2(+b ) 2 = 1a 2 + 2ab +1 b 2

n = 3(+b ) 3 = 1 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +1 b 3

n = 4(+b ) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 +1 b 4

n = 5(+b ) 5 = 1a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + 1 b 5

Kunnioitamme seuraavia lakeja:

Hallitun rikkaan jäsenen jäsenten lukumäärä on yksi enemmän binomiaalin asteen osoittamiseksi;

Ensimmäisen täydennyksen askeleen osoitin muuttuu n:stä 0:ksi, toisen lisäosan askeleen osoitin kasvaa 0:sta n:ään;

Kaikkien mononomien askeleet ovat yhtä suuret kuin mielen binomiaalin askeleet;

Kozhen-monomiaali - ensimmäisen ja toisen viraasin lisäys eri tasoilla ja viimeinen numero - binomiaalinen kerroin;

Binomikertoimet, rіvnovіddalеnі vіd kіntsa rozkladannya, іvnі.

Näiden kaavojen selventämiseksi tällaista kaavaa kutsutaan Newtonin binomiaalikaavaksi:

(a + b ) n = C 0 n a n b 0 + C 1 n a n -1 b + C 2 n a n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n a 0 b n . (6)

Tälle kaavalle n voi olla luonnollinen luku.

Johdetaan kaava (6). Nasampered, kirjoitetaan:

(a + b ) n = (a + b )(a + b ) ... (a + b ), (7)

de määrä kaaria, jotka kertovat, dorivnyuє n. Poikkeuksellisesta säännöstä kertoa summa summalla, se turpoaa, mikä viraz (7) kaikkien suurten luomusten rikas summa, koska se voidaan koota hyökkäävällä arvolla: ole jonkinlainen dodanok ensin summasta a + b kerro millä tahansa dodanokilla toisella sumilla a+b kolmannen summan lisärahoista ja niin edelleen.

Siitä, mitä on sanottu, on selvää, että dodankom varten (a + b ) n anna (yksi yhteen) rivit, joiden pituus on n ja jotka on taitettu kirjaimista ja että b. Keskellä dodankіv zustrichatimutsya tällaisia ​​jäseniä; on selvää, että sellaisille jäsenille annetaan rivejä, että heidän pitäisi kostaa sama määrä kirjaimia a. Ale, rivien lukumäärä, jonka tulee olla yhtä suuri kuin k kertaa kirjain a, Joten itse З n k . Otzhe, kaikkien jäsenten summa, korvaamaan kirjain a kertoimella, joka on yhtä suuri kuin k kertaa, dorіvnyuє C n k a n - k b k . Asteikko k voi ottaa arvot 0, 1, 2, ..., n-1, n, jolloin kaava (6) käy ilmi skaalaustamme. Kunnioittavasti (6) voidaan kirjoittaa lyhyemmin: (8)

Haluttaessa kutsua kaavaa (6) Newtonin mukaan, sitä kutsuttiin itse asiassa jo ennen Newtonia (esimerkiksi Pascalin tunteessa). Newtonin ansio on, että hän tietää tarkat kaavat useille eri indikaatioille. Sama minä. Newton s. 1664-1665. vivіv kaava, scho vrazhaє stupіn binomiaali dovіlny haulikko ja negatiivinen pokaznіv.

Kaavaan (6) sisältyviä lukuja 0 n , C 1 n , ..., C n n kutsutaan tavallisesti binomiaalikertoimiksi, jotka määritellään seuraavasti:

Kaavasta (6) voimme ottaa koko rivi näiden kertoimien teho. Esimerkiksi kunnioittavasti a=1, b = 1, otamme:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n ,

tobto. kaava (4). Laita Yakshcho a= 1, b = -1, sitten matematiikka:

0 = Z 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

tai C 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ....

Tse tarkoittaa, että asettelun parillisten jäsenten kertoimien summa on suurempi kuin asettelun parittomien jäsenten kertoimien summa; ihonhoito 2 n -1 .

Jäsenten kertoimet, rіvnovіddalеnі in іd kіncіv rozkladannya, іvnі. Sähkön hinta on vyplyvaє іz spіvvіdnoshennia: З n k = З n n - k

Tsіkaviy okremy vipadok

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

tai lyhyempi (x +1) n = ∑C n k x n - k.

1.3. Polynomilause

Lause.

Tuominen.

Joten viyshov-monomiaalin kaaren avaamisen jälkeen on tarpeen valita ne kaaret, joista ottaa, nämä kaaret, joista ottaa jne. ja tі jouset, joista ne on otettu. Kerroin, jolla monomiaali annetaan samanlaisten termien vähentämisen jälkeen useammilla tavoilla, joilla tällainen valinta voidaan tehdä. Valintasarjan ensimmäinen virkkaus voidaan tehdä apuvälineillä, toinen virkkaus - , kolmas - jne., kolmas virkkaus - asianajajien toimesta. Kerroin, scho shokaetsya, dorivnyu creat

ROZDIL 2. Pokhіdnі korkeammat tilaukset.

Pokhіdnih Vishchih -järjestelmien ymmärtäminen.

Anna funktion erottua lauluvälillä. Todi її pokhіdna, vzagalі näyttää, makaa sisään X, se on tehtävä X. Otzhe, sata kertaa uudelleen, voit rikkoa ruokaa pokhidnoyn syystä.

Nimittäminen . Pokhіdna kuin ensimmäinen pokhіdnoї kutsutaan samanlainen kuin toinen tilaus tai muu vastaava on merkitty symbolilla muuten tobto

Nimittäminen . Pokhіdnaa, kuten toista pokhіdnoїa, kutsutaan kolmannen asteen pokhіdnoyksi tai kolmanneksi pokhіdnoyksi ja se on merkitty symboliksi.

Nimittäminen . Pokhidnyn tilaus toimintoja nimeltä persha pokhіdna vid pokhіdnoї (n -1)-kerta, funktiot i on merkitty symbolilla abo:

Nimittäminen . Pokhіdnі korkeampi kuin ensimmäinen kutsutaan löytää pahin.

Kunnioittaminen. Vastaavasti voit ottaa kaavan n-seuraava toiminto:

Toinen samanlainen parametrisesti määritelty funktio

Koska funktio annetaan parametrisesti yhtälöillä, niin samanlaisen arvo eri järjestyksessä on erotettava eri tavalla taittotoiminto itsenäinen muutos.

Jotta

se on urahuvannyam that, scho,

Otetaan se pois.

Samoin voit tietää kolmannen tavan.

Differentiaalinen sumi, luo se yksityinen.

Koska differentiaali tulee samanlaisista kertolaskuista riippumattoman muuttujan differentiaaliin, niin pääalkufunktioiden yhtäläisyydet sekä viimeksi mainittujen havainnointisäännöt tuntemalla voidaan kehittää samanlaisia ​​sääntöjä differentiaalien tarkasteluun.

1 0 . Differentiaalivakio nollaan.

2 0 . Äärillisen määrän funktioiden johdannaisten algebran differentiaalisumma .

3 0 . Differentiaali kahden funktion luomiseen, jotka erottelevat, laskemalla yhteen ensimmäisen funktion luomien summan toisen ja toisen funktion luomien summan ensimmäisen differentiaaliin .

Seuraus. Vakiokerroin voidaan syyttää differentiaalin etumerkistä.

2.3. Funktiot, tehtävät parametrisesti, їхнє eriyttäminen.

Nimittäminen . Funktiota kutsutaan parametrisesti annetuksi loukkaavien muutosten seurauksena X і ihofunktiot määritellään yksiselitteisiksi funktioiksi yhden ja saman ja lisämuutosparametrin muodossat :

det muuttaa rajoilla.

Kunnioittaminen . Ohjataan panoksen ja ellipsin parametrinen kohdistus.

a) Sarake, jonka keskipiste on koordinaattien ja säteen päällä r maє parametrinen kohdistus:

b) Kirjataan ylös ellipsien parametrinen kohdistus:

Kytke vaihtoehto pois päältä t Analyysilinjojen parametrisistä juovista on mahdollista kehittää niiden kanonisia viivoja.

Lause . Mikä on toiminto y-tyypin argumentti x on parametrisesti annettu yhtäläisillä, de i differentiaatio byt toimii siis.

2.4. Leibnizin kaava

Znakhodzhennyalle n-:nnen kertaluvun eron kahden funktion välillä, käytännöllisin arvo on Leibnizin kaava

Älä viitsi uі v- Aktiiviset toiminnot muutosten muodossa X, mikä voi olla pahempaa, olipa se jossain järjestyksessä y = UV. Vislovimo n-th menetys menetetyt toiminnot uі v .

Ehkä peräkkäin

On helppo huomata analogia toisen ja kolmannen samankaltaisten virusten ja Newtonin binomiaalin asettelun välillä, se on samanlainen kuin toinen ja kolmas vaihe, mutta askeleiden näyttämisen sijaan pitäisi olla numeroita, jotka osoittavat päinvastoin, ja itse funktioita voidaan pitää "nollajärjestyksenä". Vrakhovuychi tse, otamme Leibnizin kaavan:

Qiu-kaava voidaan täydentää matemaattisen induktion menetelmällä.

OSA 3. LEIBNIZ-KAAVAN LAUSUNTO.

Samankaltaisen laskennan laskemiseksi, olipa sitten missä tahansa järjestyksessä, kahdesta funktiosta riippuen, sen jälkeen ohittaen, laskentakaavat toisaalta, riippuen kahden funktion rikkomisesta, ovat Leibnizin kaava.

Lisäkaavoja varten voimme tarkastella samanlaisen n:nnen kertaluvun laskemista kahdessa funktiossa.

esimerkki 1.

Tiedä toisen funktion järjestys

Vіdpovidno tapaamiseen asti, ystävä on hyvä - ensimmäinen on hyvä ensimmäiselle, joten

Tiedämme ensimmäisen järjestyksen, joka on samanlainen kuin annettu funktio erottelusäännöt ja Vicorist viimeinen taulukko:

Nyt tiedämme pokhіdnu vіd pokhіdnoї ensimmäisen tilauksen. Tse on shukana eri järjestyksessä:

Ehdotus:

peppu 2.

Tunne seuraava funktioiden järjestys

Ratkaisu.

Tiedämme peräkkäin seuraavan, toisen, kolmannen ja niin edelleen, annetun funktion järjestykset, jotta voimme määrittää säännöllisyyden, jotta voit kertoa seuraavan.

Mennään ensimmäisellä tilauksella, tiedämme kuinka mennä yksityiselle:

Tässä virazia kutsutaan luvun faktoriaaliksi. tekijällinen

Pokhіdna eri järjestyksessä, ensimmäinen, ensimmäinen, ensimmäinen, se

Pokhіdna kolmas kertaluokka:

Neljäs on hyvä:

Kunnioitamme säännönmukaisuutta: osoittajassa on luvun tekijä, joka on enemmän kuin huonomman järjestys, ja znamennikissä askel on yksi askel enemmän, mitä pienempi järjestys on parempi, joten

Vidpovid.

esimerkki 3.

Tiedä kolmannen samanlaisen funktion arvo pisteessä.

Ratkaisu.

Zgidno vastaavien korkeampien tilausten taulukoita, voi olla:

Kenen takapuoli, tobto otrimuemo

Kunnioittavasti, että tällainen tulos voitaisiin ottaa pois jälkimmäisen peräkkäisen arvon vuoksi.

Tehtävässä kolmas kohta on kalliimpi:

Ehdotus:

peppu 4.

Tunne ystäväsi suosikkiominaisuudet

Ratkaisu. Tähkän osalta tiedämme pershu pokhіdnu:

Toisen samanlaisen tapauksen tuntemiseksi se erottaa viraasin ensimmäisen samanlaisen toisen kerran:

Ehdotus:

Esimerkki 5.

Tiedä, yakscho

Jos funktio annetaan kahden funktion komplementtina, neljännen kertaluvun analoginen arvo summautuu Leibnizin kaavaan:

Tiedämme kaikki hyvät asiat ja pelkäämme lisäyksiä sisältäviä kertoimia.

1) Porahuєmo coefіtsієnti dodankin kanssa:

2) Tiedämme samanlaiset toiminnot:

3) Tiedämme samanlaiset toiminnot:

Ehdotus:

Esimerkki 6.

Kun funktio y=x 2 cos3x. Tunne kolmannen järjestyksen temppu.

Olkoon u = cos3x, v = x 2 . Sama tunnetulle Leibnitzin kaavalle:

Pokhіdnі jota voit katsoa:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

Otzhe, kolmas pokhіdna annettu toiminto on kalliimpi

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

Esimerkki 7.

Tunne pokhidnu n -th order toiminnot y = x 2 cosx.

Nopeuttaminen Leibnitzin kaavalla, ottaen huomioonu = cosx, v=x 2 . Todi

Muut sarjan jäsenet ovat yhtä kuin nolla, sirpaleita(x2)(i)=0, kun i>2.

Pokhidna n - kertaluvun kosinifunktio:

Otzhe, pokhіdna meidän toiminnot ovat hyviä

WISNOVOK

Koulussa seuraavat lyhyen kertolaskukaavat kierretään ja voittaa: neliöt ja summat ja kahden summan summat sekä kahden summan summat ja kahden summan summat ja kahden summan summat. Seuraavat kaavat ovat kaava, jota kutsutaan Newtonin binomikaaliseksi kaavaksi, ja kaava, jolla laajennetaan vaiheiden summan ja eron kerrannaisiksi. Lukuisat kaavat ovat usein voittajia virishennі rіznih zavdanissa: todistamaan väärennös, nopeat jakeet, laskennan läheisyys. Pascalin temppu-tai-käsittelyvoimaa tarkastellaan, joka on tiiviisti sidottu Newtonin binomiaaliin.

Robotti on systematisoinut aiheeseen liittyvää tietoa, soveltanut tehtävää Newtonin binomiaalin asettamiseen sekä summan ja askelten erotuksen kaavoja. Robotti voi olla vikoristan robottimatemaattisessa ryhmässä sekä itsenäiselle timisille, jotka harrastavat matematiikkaa.

LUETTELO JERELIN VOITTOISTA

1. Vilenkin N. Ya. Kombinatoriikka.- näkymä. "Tiede". - M., 1969.

2. Mikilsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.M., Shevkin A.V. Algebra ja matemaattisen analyysin tähkä. Luokka 10: Navch. varten zagalnosvіt. jokien perus- ja hautausjärjestelyt - M.: Prosvitnitstvo, 2014. - 431 s.

3. Tilastojen ongelman ratkaisu, kombinatoriikka ja imovirnosti-teoria. 7-9 solua. / Tekijä - tyyli V.M. Studenetska. - Näytä. 2., Vipr. - Volgograd: Vchitel, 2009

4. Savushkina I.A., Khugaev K.D., Tishkin S.B. Algebrallinen tasaus korkeammat portaat /menetelmällistä apua yliopistojen välisen koulutusosaston kuuleville opiskelijoille - Pietari, 2001.

5. Sharigin I.F. Valinnainen matematiikan kurssi: Ongelmanratkaisu. Pääapu 10 solulle. keskikoulu. - M: Prosvitnitstvo, 1989.

6.Tiede ja elämä, Newtonin binomiaali ja Pascalin trikoo[Sähköinen resurssi]. - Pääsytila: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Pokhіdnі korkeammat tilaukset

Tässä iässä opimme tuntemaan alemmat asteet ja myös kirjoittamaan alemman asteen yleisen kaavan. Lisäksi Leibnizin kaavaa tarkastellaan sellaisena samanlaisena ja numeerisesti prohannyana - samanlaisena kuin suurempia suuruusluokkia implisiittisesti määriteltyjä toimintoja. Minulla on houkutus tehdä minitesti:

Akselitoiminto: i-akseli її persha pokhіdna:

Siinä tuulessa, kuten olet syyttänyt joistakin vaikeuksista / käsittämättömistä asioista, ole ystävällinen, lue kurssin kahdesta perusartikkelista: Mistä tiedän, lähdenkö?і Taittotoiminto. Kun olet oppinut alkeet pokhіdnyh, suosittelen, että otat oppitunnilta Yksinkertaisin tehtävä hautajaisiin, johon nousimme, zokrema z toinen pokhіdny.

Ei ole väliä arvata, että ystävä on huono - se on huono kuin ensimmäinen paha:

Periaatteessa jätän ystävän, mutta vzhe vvazhayut samalla tavalla.

Vastaavasti: kolmas on huonompi - sama on huonompi kuin toinen on huonompi:

Neljäs pokhіdna - є pokhіdna vіd 3-ї pokhіdnoї:

P'yata on hyvä: , ja on selvää, että kaikki korkeamman asteen yhtäläisyydet voivat olla nolla:

Krimin roomalaisella numeraatiolla on käytännössä usein seuraavat nimitykset:
, Merkitään "energeettistä" järjestystä läpi. Tämän avulla supermerkkijonoindeksi on asetettava kahleeseen.- herättää henkiin maailman "painovoiman" kuolema.

Joskus on tällainen ennätys: - Kolmas, neljäs, p'yata, ..., "Enna" on samanlainen.

Eteenpäin ilman pelkoa ja sumnіvіv:

peppu 1

Annettu funktio. Tietää.

Ratkaisu: Mitäs tässä voi tehdä... - neljäs hyvä juttu :)

Chotiri laittoi vedot, joita ei jo hyväksytty, joten siirrytään numeerisiin indekseihin:

Vidpovid:

Hyvä, mutta ajatelkaamme nyt sellaista ruokaa: miksi tehdä työtä, jos on välttämätöntä, että mieli tietää, ei 4., vaan esimerkiksi 20. kuolen? Yakshcho maaliskuulle 3-4-5 (korkeintaan 6-7) Päätösjärjestys tehdään nopeasti loppuun, niin emme "pääse" seuraavaan korkeampaan järjestykseen, oi, jakki, ei pian. Älä kirjoita totuutta 20 riviä! Samanlaisessa tilanteessa on tarpeen analysoida näyte tunnetuista, parantaa säännönmukaisuutta ja muotoilla jälkimmäisen kaava. Joten sovelluksessa nro 1 on helppo ymmärtää, että jos ihoa loukkaavaa erottelua eksponentin "viskositeetti" eteen lisätään ylimääräinen "kolme" ja lisäksi "kolmen" lyhimmällä askeleella on enemmän kuin huonompien lukumäärä, myös:

De on melko luonnollinen luku.

Yakshcho, mene sitten ulos täsmälleen ensimmäinen huono: yakscho - sitten 2-a: i jne. Tällaisessa asemassa kaksikymmentä pokhіdna vyznaєtsya mittevo: - Ja seuraava "kilometrin venytys"!

Pelaa itsenäisesti:

peppu 2

Tunne toiminnot. Kirjoita järjestelmä muistiin

Ratkaisu on seurata oppitunnin esimerkkiä.

Alkulämmittelyn jälkeen, mitä parannettavaa, voidaan katsoa enemmän taitettavaa peppua, jollain käytännön tavalla ratkaisualgoritmia. Tim, joka on oppinut läksyn Sarjojen välissä, ole troch helpompaa:

peppu 3

Tunne toiminnot.

Ratkaisu: tilanteen selventämiseksi tiedämme muutaman seuraavista:

Numeroiden kertominen ei ole nopeaa! ;-)


Mabut, vuosi. ... Navit trohi ylikypsää.

Hyökkäävään krotsiin on parasta lisätä kaava "enї" pokhіdnoї. (jos et välitä mielestä, voit tulla toimeen mustan miehen kanssa). Joille ihmettelemme tulosten hylkäämistä, näemme säännöllisyyden, jolla ihoa hyökätään.

Ensinnäkin haju tuntee paholaiset. Jonomerkki on turvallinen "vilkku", ja 1.:n sirpaleet ovat positiivisia, niin käytän kaavaa nähdäkseni loukkaavan kertoimen: . Pіdіyde th vastaava variantti, mutta erityisesti minä, kuten optimisti, rakastan plusmerkkiä \u003d)

Toisella tavalla osoittaja "tuulee" tekijällinen, lisäksi VIN "vіdstaє" vіd pokhіdnі numerot yhtä yksikköä kohti:

І kolmannella tavalla "kahden" askeleet kasvavat numeralistin kohdalla, ikään kuin luku olisi samanlainen. Samaa voidaan sanoa bannerman askeleista. Jäännös:

Uudelleenvahvistusmenetelmästä voimme korvata pari arvoa "en", esimerkiksi i:

Ihme kyllä, nyt armahdukset alkavat - vain synti:

Vidpovid:

Yksinkertainen toiminto itsenäinen ratkaisu:

peppu 4

Tunne toiminnot.

І zavdannya tsikavіshe:

peppu 5

Tunne toiminnot.

Toistetaan järjestys vielä kerran:

1) Tiedämme muutaman kuolleen kilohailin. Saadaksesi kiinni lait, soita triokh-chotiriokh.

2) Sitten suosittelen vahvasti taittamista (haluaisin käyttää mustaa)"Ennu" on poissa - se on taatusti rannikolla armahduksen edessä. Ale voidaan peruuttaa ja ilman, tobto. ajattele sitä ja kirjoita se ylös, esimerkiksi minä kuolen 28-vuotiaana. Enemmän kuin, deakі ihmiset vzagalі zdatnі vіrіshiti tsі zavdannya usno. Seuraava asia on kuitenkin muistettava, että "Shvidki" voi uhata ja olla turvassa.

3) Viimeisessä vaiheessa on tarpeen tarkistaa "en" pokhidnoy uudelleen - otamme pari "en"-arvoa (lyhyemmin tuomioistuimille) ja perustelemme korvauksen. Ja mikä vielä parempi, on harkita uudelleen kaikkea, mikä oli tiedossa aiemmin. Jos jotain esitetään esimerkiksi merkityksen tarpeessa ja tulos lasketaan tarkasti.

Lyhyt ratkaisu 4 ja 5 esimerkkiä oppitunnille.

Joissakin tehtävissä ongelmien ratkaisemiseksi on tarpeen korjata hieman toimintoa:

peppu 6

Ratkaisu: En halua erottaa ehdotettua toimintoa, en halua, "likaisen" dribin sirpaleita, jotka pahentavat suuresti tulevan pokhіdnyhin torjuntaa.

Kenelle dotsilno vikonati muodonmuutoksen edessä: vikoristovuemo neliöerokaavaі logaritmin teho :

Zovsіm іnsha oikealla:

Minä vanhat ystävät:

Mielestäni kaikki on näkyvissä. Anna kunnioitus, että toinen huono merkki on piirretty, ja ensimmäinen - ei. Rakennamme samanlaisen järjestelmän:

Kontrolli:

No, kauneuden vuoksi käsivarsien tekijä:

Vidpovid:

Tsіkave zavdannya itsenäiselle vyrіshennyalle:

peppu 7

Kirjoita funktiolle kaava samassa järjestyksessä

Ja nyt loukkaamattomasta keskinäisestä vastuusta, joka on onnitella italialaista mafiaa:

peppu 8

Annettu funktio. Tietää

Vіsіmnadtsyata pokhіdna pisteessä. Usyogo.

Ratkaisu: selkä vastakkain, tietenkin, on välttämätöntä tietää. Mennään:

He korjasivat poskiontelon, he tulivat poskionteloon. Oli selvää, että pitemmälle erottelulle tämä sykli on triviaali ja syyttää samaa voimaa: kuinka "etäisyyttä" 1700-luvulle nopeammin?

"Amatööri"-menetelmä: on helppo kirjoittaa ylös tulevien kuolleiden oikeakätinen numero tiskille:

Tällä tavalla:

Ale tse pratsyuє, ikään kuin pokhіdnoin järjestys ei olisi niin suuri. No, minun on tiedettävä, sanotaanpa, että lähden sellistä, nopeuttan podilnistyua neljällä. Sata jakaa chotiri ilman ylimäärää, ja se on helppo bachiti, koska sellaiset numerot rullataan alimmalla rivillä, että:.

Ennen puhetta 18 pokhіdnu tezh voidaan erottaa samanlaisista mirkuvanista:
toisella rivillä on numeroita, jotka on jaettu 4:llä ylijäämästä 2.

Toinen, akateemisempi perustamismenetelmä jaksollisuus sinukseenі ohjekaavat. Koristuyemosya valmis kaava "enoi" samanlainen kuin sini , jakissa vaadittu numero näytetään yksinkertaisesti. Esimerkiksi:
(pelkistyskaava ) ;
(pelkistyskaava )

Meidän näkökulmastamme:

(1) Koska sini on jaksollinen funktio, jossa on piste, niin argumentti voidaan "kääntää" kivuttomasti 4. jaksoon (tobto.).

Pokhіdnu järjestelmä vіd vykonannya dvoh funktsіy voidaan tuntea kaavasta:

Zokrema:

Sinun ei tarvitse erikseen muistaa mitään, koska mitä enemmän tiedät kaavat, sitä vähemmän ymmärrät. Lue lisää tarinasta Newtonin binomi oskіlki Leibnizin kaava on yhä enemmän samanlainen kuin uusi. No, olet onnekas, kuinka pääset eroon 7. tai korkeammasta järjestyksessä (joka on kuitenkin pieni), tulet nolostumaan. Vtіm, jos cherga teki kombinatoriikka- se on kaikki sama tuoda =)

Tiedämme kolmannen samanlaisen toiminnon. Vikoristovuemo Leibnitzin kaava:

Tässä näkymässä: . Pokhіdnі helposti käännetty suullisesti:

Nyt huolellisesti ja kunnioittavasti korvaaminen ja yksinkertainen tulos:

Vidpovid:

Samanlainen tehtävä itsenäiselle visiolle:

peppu 11

Tunne toiminnot

Jos etummaisessa ratkaisu "otsassa" kilpailisi edelleen Leibnizin kaavan kanssa, niin tässä se olisi oikeutetusti mahdotonta hyväksyä. Ja vielä mahdotonta hyväksyä - eri järjestyksessä, se on huonompi:

peppu 12

Tiedä tarkka järjestys

Ratkaisu: ennen kaikkea kunnioitus - käännä akselia näin, yksittäin, ei välttämätöntä =) =)

Kirjataan funktiot muistiin ja tiedetään niiden yhtäläisyydet 5. asteeseen asti. Myönnän, että oikean puolen askeleet ovat tulleet sinulle uneliaaksi:

"Live" -kohdan vasemmalla puolella pahat asiat "päätyivät", ja se on vielä parempi - Leibnizin kaavassa kolme lisäystä nollataan:

Rukoilen dilemmassa, tajusin sen artikkelissa taitettava pokhіdnyh: chi kysyä tulosta? Periaatteessa voit jättää sen pois ja niin - se on helpompi kääntää. Ale vin voi auttaa saamaan päätöksen tielle. Toiselta puolelta, saatuaan anteeksi aloitteen voimasta, uhkaan algebraa anteeksiannolla. Meillä on kuitenkin є vіdpovіd, otrimana "ensisijainen" tapa =) (Div. lähetetty tähkälle), ja olen samaa mieltä, vin on oikeassa:

Hyvä, kaikki on hyvin.

Vidpovid:

Iloinen tehtävä itsenäiselle näkemykselle:

peppu 13

Toimintoja varten:
a) merkitsee suoraa erilaistumista;
b) tietää Leibnizin kaavan takana;
c) laskea.

Ei, en ole sadisti - kohta "a" tässä on anteeksi annettu =)

Ja vielä vakavammin, "suoralla" ratkaisulla viimeisiin eroihin voi olla myös "oikeus elämään" - monin tavoin taitto voi olla yhtä suuri kuin Leibnizin kaavan taitto. Vykoristovyte, kuin jos kunnioitat dotsіlne - on epätodennäköistä, että olet perustana pieni tehtävä.

Lyhyesti sanottuna ratkaisu on havainnollistaa oppitunti.

Viimeisen kappaleen nostamiseksi on tarpeen muistaa erottaa implisiittiset funktiot:

Muutokset korkeammissa toimintojen järjestyksissä, työpaikoissa implisiittisesti

Rikas joku meistä vitrativ dovgі vuotta, päivää ja tizhnі elämää vvchennyalla tappaa, paraabeli, hyperbolia- ja joskus se annettiin rangaistukseksi. Otetaan siis kosto ja erotetaan ne kuin jäljet!

Pochnemo zі "shkіlnoї" paraabeli hänelle kanoninen leiri:

peppu 14

Rivnyanya annetaan. Tietää.

Ratkaisu: ensimmäinen krok hyvä tieto:

Ne, joiden її funktio on samankaltainen kuin ilmaisu, eivät implisiittisesti muuta olemusta, toinen on pokhіdna - tse pokhіdna vіd 1-ї pokhіdnoї:

On kuitenkin tarpeen luoda omat säännöt: vain "iks" ja "iplayer" kautta. Kuvitellaanpa siihen otrimanin 2. pokhіdnussa:

Kolmas pokhіdna - є pokhіdna vіd 2-ї pokhіdnoї:

Kuvittele samalla tavalla:

Vidpovid:

"Shkilna" hyperboli sisään kanoninen leiri- varten itsenäinen työ:

peppu 15

Rivnyanya annetaan. Tietää.

Toistan, häviän 2. ja tulos tulee selittää vain "iks" / "iplayer" kautta!

Lyhyesti sanottuna ratkaisu on havainnollistaa oppitunti.

Lapsellisten kierteiden jälkeen, ihmetellen saksalaista pornografiaa @ fiyu, näytämme kypsemmiltä pepuilta, joista tiedämme vielä yhden tärkeän päätöksen:

peppu 16

Elips dominoiva henkilö.

Ratkaisu: tiedämme 1. pokhіdnu:

Ja nyt muistetaan ja analysoidaan tuleva hetki: kerralla voimme erottaa, joten meidän ei tarvitse olla hiljaa. Tässä mielentilassa se on äärimmäisen yksinkertaista, mutta todellisuudessa tällaisten lahjojen tilaukset annetaan kahdesti ja kerran vallassa. Mikä on paras tapa päästä eroon isosta pokhidnoysta? Ісnuє! Otamme tasapuoliset ja voittajat samalla tempolla, että kun ensimmäinen tiedossa, ripustimme vedot loukkaaviin osiin:

Toinen pokhіdna on syyllinen, mutta vain ilmaistuna tämän ja sen kautta samaan aikaan (heti) pokhidnoy. Kenelle otrimanissa yhtäläinen on ajateltavissa:

Päästäksesi eroon teknisimmistä ongelmista kertomalla rikkovat osat:

І vähemmän viimeisessä vaiheessa, laadimme drіb:

Nyt ihmettelemme viikonloppua ja panemme merkille, että negatiivinen tulos on tarkoitus antaa anteeksi:

Vidpovid:

Kuinka tietää 2. pokhіdnoї merkityksen missä tahansa kohdassa (yaka, zrozumіlo, makaa elіpsulla) esimerkiksi pisteessä ? Liian helppo! Tsej motiivi jo zustrіchavsya oppitunnilla noin yhtäläiset normaalit: viraasi 2:ssa on esitettävä :

Mielettömästi kaikilla kolmella tavalla voit ottaa pois eksplisiittisesti annetut toiminnot ja erottaa ne, mutta myös moraalisesti säätää käytäntöä kahdella funktiolla, ikään kuin kostaakseen juuria. Mielestäni olisi parempi tehdä päätös "implisiittisellä polulla".

Viimeinen esimerkki itsenäisestä visiosta:

peppu 17

Etsi implisiittisesti määritelty funktio

Leibnizin kaava n:nnen lukumäärä kahden toiminnon samanlainen työ. Nadano її todistaa kahdella tavalla. Katsoin n:nnen kertaluvun laskennan takaosaa.

Zmist

Div. myös: Pokhіdna robotti kaksi toimintoa

Leibnizin kaava

Leibnitzin kaavan avulla voit laskea n:nnen kertaluvun häviön kahdessa funktiossa. Vaughn voi näyttää tältä:
(1) ,
de
- Binomiaaliset kertoimet.

Binomikertoimet vaiheiden i binomijakauman kertoimilla:
.
Luku on siis saman päivän numero s n k .

Todiste Leibnizin kaavasta

Etsitään kaava kahden toiminnon parantamiseksi:
(2) .
Kirjoitamme kaavan (2) uudelleen seuraavasti:
.
Siksi olemme tietoisia, että yksi funktio talletetaan muutoksen x muodossa ja toinen - muutoksen y muodossa. Kunnioitamme esimerkiksi rozrahunkaa. Edellinen kaava voidaan kirjoittaa seuraavasti:
(3) .
Oscallit ovat samankaltaisia ​​kuin termien summa, ja ihotermi on kahden funktion summa, jolloin alempien kertalukujen laskemista varten voit asettaa säännön (3) peräkkäin.

Sama samanlaiselle n:nnelle järjestykselle ehkä:

.
Vrahovyuchi, scho ja mi otrimuemo Leibnizin kaava:
(1) .

Todistus induktiolla

Todistetaan Leibnizin kaava matemaattisella induktiolla.

Jälleen kerran kirjoitamme Leibnizin kaavan:
(4) .
Arvolle n = 1 on mahdollista:
.
Tämä kaava on samanlainen kuin kahden funktion käytäntö. Vaughn on oikeassa.

Oletetaan, että kaava (4) pätee samanlaiselle n:nnelle kertaluvulle. Voidaan osoittaa, että se pätee samanlaiselle n+:lle 1 tilaus.

Differentiaali (4):
;



.
Isä, me tiesimme:
(5) .

Laitetaan se kohtaan (5) ja voimme sanoa, että:

.
Voidaan nähdä, että kaava (4) voi näyttää samalta samanlaiselle n +:lle 1 tilaus.

Myöhemmin kaava (4) pätee arvolle n = 1 . Huoli, mitä voitetaan desimaaliluvulla n \u003d m 1 .
Leibnizin kaava on valmis.

peppu

Luettele n:s satunnaisfunktio
.

Ratkaistaan ​​Leibnizin kaava
(2) .
Meidän makuun
;
.

Äitien pöydän takana:
.
Trigonometristen funktioiden Zastosovuєmo teho:
.
Todi
.
Voidaan nähdä, että funktiosinin differentiaatio tuodaan zsuv:iin asti. Todi
.

Tiedämme samanlaiset toiminnot.
;
;
;
, .

Oskіlki osoitteessa , niin Leibnizin kaavassa on enemmän kuin kolme ensimmäistä termiä nollan muodossa. Tiedämme bіnomnі koefіtsієnti.
;
.

Leibnizin kaavan takana voi olla:

.

Div. myös: