Razkladannya rivissä turkis'є kaverit ja parittomia toimintoja tehottomuutta bezsel parseval. Riadi Fur'є: Matemaattisen mekanismin historia ja infuusio tieteen kehitykseen

Riadi Fur'є - melko käytetyn toiminnon hinta tietyllä ajanjaksolla viglyadi-riviltä. Ulospäin suuntautuvassa katsojassa ratkaisua kutsutaan elementin asetteluksi ortogonaalisesti. Toteutus funktiot useille Fur'є täydentää jännitystyökaluja kehitettäessä kehitystyöntekijöitä viranomaisille tämän uudelleentoteutuksen integroinnilla, eriyttämisellä sekä argumenttien ja argumenttien avulla.

Lyudin, joka ei tiedä matematiikasta mitään, mutta myös ranskalaisen Fur'єn juurista, joka on parempi kaikkeen, ei ääneen, vaan "riviin" ja jolle hajua tarvitaan. Ja sillä välin uudelleenesitysprosessi loppuun asti on kadonnut elämäämme. He moittivat ilman matematiikkaa, vaan fysiikkaa, kemiaa, lääkäreitä, tähtitieteilijöitä, seismologeja, merentutkimusta ja monia muita. Kerro meille lähemmin suuren ranskalaisen viininvalmistajan esi-isien kanssa, ikään kuin huuto, koska tunti oli edessä.

Lyudina tuo Fur'єn reinkarnaatio

Sarja Fur'є є yhdessä menetelmistä (analyysin järjestys ja іnshim) Prosessi syntyy äänestä, jos henkilöllä on ääni. Automaattisessa tilassa oleva vuhomme on alkuainehiukkasten uudelleenluominen jousikeskuksessa, joka on asetettu riville (spektrin ulkopuolelle) viimeisen päivän puhtausarvon kasvun sävyjä varten. Kaukainen mieli luomassa uudelleen kunnianosoituksen vastaanottamillemme äänille. Kaikki tehtävät tulee ympäröidä todisteiden tuntemuksemme, sinänsä, ja prosessin ymmärtämiseksi on välttämätöntä tietää, miten se tehdään matematiikassa.

Raportti Fur'єn muutoksesta

Fur'єn reinkarnaatio voidaan suorittaa analyyttisillä, numeerisilla ja inshim-menetelmillä. Fur'є-riveillä tarkoitetaan numeerista menetelmää kaikkien koliaaliprosessien esittämiseksi - valtameren vuorovedestä ja kevyistä vilunväreistä uneliaisiin jaksoihin (tähtitieteellisimmät prosessit). On mahdollista valita toimintoja, jotka edustavat useita sinimuotoisia varastointiprosesseja, kuten sarja sinimuotoisia varastoja, jotka liikkuvat minimistä maksimiin ja taaksepäin. Fur'є-funktion uudelleentoteutus, joka kuvaa siniaaltojen vaihetta ja amplitudia, jotka näyttävät laulutaajuudet. Koko prosessi voi olla voitollinen kehitettäessä vielä enemmän taittuvia rivnyaneja, jotka kuvaavat dynaamisia prosesseja, jotka syntyvät lämmöstä, valosta ja sähköenergiasta. Samoin useat Fur'єt mahdollistavat jatkuvien varastojen visualisoinnin taittuvien törmäyssignaalien kohdalla, minkä vuoksi kokeelliset varotoimet lääketieteen, kemian ja tähtitieteen alalla tulivat mahdolliseksi tulkita oikein.

Historiallinen lausunto

Teorian isä-isä on ranskalainen matemaatikko Jean Bathist Joseph Fur'є. Yogo im'yam zgod i buloa kutsutaan uudelleenluomiseksi. Tästä menetelmästä on löydetty kokoelma ideoita implantaatiosta ja lämmönjohtavuuden mekanismien selittämisestä - lämmön laajenemisesta kiinteissä kappaleissa. Fur'є, päästäen sen irti, ripottelemalla epäsäännöllisiä kasvaimia, on mahdollista levittää yksinkertaisimmalle sinusoidille, ihon lämpötilan minimi ja maksimi sekä oma vaihe. Laajalla ihoalueella tällainen komponentti häviää minimistä maksimiin taaksepäin. Matemaattista funktiota, joka kuvaa käyrän ylä- ja alahuippuja sekä ihon harmonisten vaiheita, kutsuttiin Fur'єn uudelleenluomiseksi lämpötilan nousun muodossa. Out-of-the-box-funktion teorian kirjoittaja, koska on tärkeää pitää kiinni matemaattisesta kuvauksesta, vieläkin manuaalisemmasta kosinin ja sinin sarjassa, mutta yhteenvetona antaa out-of-the- laatikon pistorasia.

Periaate uudelleen esittäminen ja katsoa puolue

Matematiikan historiaan osallistuneet - 1800-luvun varhaisimmat matemaatikot - eivät hyväksyneet teoriaa. Tärkeimmät lausunnot Fur' teki niistä, joilla on funktio, kuinka kuvata suoraa tai käyrää, kuinka avata, on mahdollista maksaa veroja siniaaltojen summalla, jotka ovat keskeytyksettä. Jakin perse näet Heavisiden "kokoontumisen". Toiminnan laatu johtuu sähköiskun kertymisestä vuorokaudenajasta, jolloin lantsyug on hämmentynyt. Tuolloin teorian osallistujat eivät pitäneet kiinni tällaisesta tilanteesta, vaikka viraasia kuvattiin toistamattomien, poikkeuksellisten funktioiden yhdistelmällä, kuten eksponentti, sinimuoto, suora on abo-quadratic.

Miksi ranskalaiset matemaatikot hyötyivät turkisteoriasta?

Vaikka matemaatikko olisi kiinnostunut hänen lujuudestaan, niin jos on loputon trigonometrinen Fur'є-sarja, on mahdollista päätellä tarkemmin toistuvan käännöksen ilmentymä sellaisessa putoamisessa, ikään kuin sellaista ei olisi olemassakaan. . 1800-luvun korvassa vankkaus vaikutti absurdilta. Vaikka se onkin kaikessa tiedossa merkityksetöntä, monet matemaatikot ovat laajentaneet ilmiön esittelyä ja eläneet sitä muutaman viime vuoden lämmönjohtavuuden aikana. Suurin osa oppilaista kamppaili ruoan kanssa: "Kuinka sinimuotoisten sarjan summa voi konvergoida jakaumafunktion tarkkaan arvoon?"

Rivien samankaltaisuus Fur'є: takapuoli

Ravitsemus lisänumeroiden tarpeesta. Mukavampaa ilmiötä varten klassinen peppu on näkyvissä. Pystyisitkö, jos pisteeseen ei pääse, miten laiha hyökkäävä krokka on seuraavaa varten pienin? Oletetaan, että olet kahden metrin päässä tiestä, krokka on lähellä puoliväliä, hyökkäys on kolmen neljänneksen merkkiin asti ja seuraavan jälkeen tulet tielle 97. Sanat b ja v eivät kuitenkaan tehneet kieroa, tarkoitettua merkkiä et saavuta tiukassa matemaattisessa mielessä. Vikoristovuchi numeerinen rosrahunka, on mahdollista tuoda, että luvalla on mahdollista päästä lähelle pienintä datajoukkoa. Tanska todistaa, että se vastaa sen tosiasian osoittamista, että yhden toisen kokonaisarvo, neljäsosa, on pragmaattinen vain yhdelle.

Liiketoiminnan ravinto: ystävä tulossa Lord Kelvinin Priladille

Ruoan hinta toistui 1800-luvun lopulla, koska monet Fur'єt yrittivät zasosuvatilla ennustaa lisääntyneiden ja nousuveden voimakkuutta. Tunnin päätteeksi liitettiin Lord Kelvin buv vinaydeny, joka on analoginen numeerinen liite, jonka avulla Venäjän ja kauppalaivaston merimiehet pystyivät näyttämään luonnonilmiön. Tanskalainen mekanismi aloittamalla vaiheiden ja amplitudien kerääminen huuhtelutiheystaulukoiden ja tämänhetkisten aikahetkien taulukoiden mukaan, jotka ovat väliaikaisesti jäässä tässä satamassa, ojentuen kalliolle. Skin parametrilla on virtausnopeuden sinimuotoinen komponentti viraz ja yksi tavallisista varastoista. Vimiryuvanin tulokset sisällytettiin Lord Kelvinin laskelmaan, joka syntetisoi käyrän, joka siirsi johdon korkeuden joukkueen hyökkäävän kohtalon tehtävään. Petankkien huomaamattomat käyrät on taitettu kaikissa maailman satamissa.

Ja kuinka vähittäismyyntitoiminto tuhoaa prosessin?

Siinä tunnissa kävi selväksi, että ei hätää, että se on siirtymässä kaatosairauteen, koska rakhunkassa on paljon elementtejä, joten voit laskea suuren määrän vaiheita ja amplitudeja ja siten estää tarkemman lähetyksen. Protesti ilmestyi, jotta säännöllisyys ei kohdata hiljaisia ​​ihmisiä, jos vuorovesiviraz, joka on liukumäki syntetisoi, paljastaa vahvan stribokin, niin että siitä tulee ruusuinen. Samanaikaisesti, jos on tarpeen syöttää tietoja aikahetkitaulukoista, on mahdotonta laskea Fur'єn decilkoh-nopeuksien määrää. Tietty toiminto päivitetään sinimuotoisiin komponentteihin (tunnetun suorituskyvyn mukaan). Kestävyys lähtevän ja uusiutuvan virazin välillä on mahdollista milloin tahansa. Tuon järjestyksen uudelleenlaskentaa suoritettaessa voidaan nähdä, että suurimman anteeksiannon arvo ei muutu. Haju on kuitenkin paikallistettu alueelle, jossa se näyttää leikkauskohdan, ja jos se on piste, se puuttuu nollasta. Vuonna 1899 Ulskyn yliopiston Joshua Willard Gibbsin teoreettisen vahvistuksen tulos vahvistettiin.

Fur'є-sarjan samankaltaisuus ja matematiikan kehitys yleensä

Analiz Fur'є ei pysähdy tauoihin, vaan kestää loputtoman määrän roiskeita lauluvälillä. Kokonaisessa sarjassa Fur'є-tähkän toimintoa edustaa todellisen fyysisen vimirin tulos, joka aina lähentyy. Annetun prosessin ravitsemus tietyille funktioluokille nostettiin uusien matematiikan haarojen, esimerkiksi julkisten funktioiden teorian, ilmaantumiseen. Vona on sidottu sellaisiin nimiin kuin L. Schwartz, J. Mikusinsky ja J. Temple. Bulan teorian puitteissa perustetaan luku ja tarkka teoreettinen perusta sellaiselle virazille, kuten Diracin deltafunktiolle (kuvaan yhden alueen aluetta, joka on keskittynyt äärettömän pienelle laitamille kohta) ja Hevіrazin "askel". Fur'єn robottisarjan johtajat ovat piilossa maaseutu- ja teollisuusrakennusten lähetyksiä varten, joissa intuitiivisen hahmona on: pistevaraus, pistemassa, magneettiset dipolit sekä järjestelmä käyttöönottamiseksi baltialaiset.

Turkisten menetelmä

Sarja Fur'є, häiriöiden periaatteiden mukaisesti, voidaan korjata yksinkertaisempien taittomuotojen taittamisesta. Esimerkiksi lämpövirtauksen muutos selittyy siirtymällä lämmöneristysmateriaalista väärään muotoon, joko maan pahalla pinnalla - maapallolla, taivaan kiemurtelevalla kiertoradalla - planeettojen sisäänvirtaus. Yleensä hieman ryvnyannya, kuinka kuvailla yksinkertaista klassista järjestelmää, ihosairauksien havaitsemiseksi. Fur'є osoittaa, että yksinkertaisella ratkaisulla voidaan myös estää useampien taittuvien rakennusten rakentaminen. Vislovlyuyuchis minun matematiikka, sarja Fur'є - koko menetelmä esittää pyörivä summa harmonisten - kosinusoidi ja sinimuotoinen. Tätä tarkoitusta varten vidomien analyysi on myös "harmonisen analyysin" tarkoitus.

Useita Fur'є - ihanteellinen tekniikka "tietokone dobi"

Ennen tietotekniikan perustamista Fur'є Bula -metodologia on kaunein lisäys koko robottitunnin arsenaaliin valomme Khvilovy-luonteella. Lukuisat Fur'єt monimutkaisessa muodossa sallivat sen, että virishuvatia ei riistää yrityksen yksinkertaisuudesta, koska on mahdollista suoraan estää Newtonin mekaniikan lakeja, vaan perusperiaatteita. Suurin osa oivalluksista Newtonin tieteeseen 1800-luvulla on tullut enemmän kuin tarpeeksi tuntemaan Fur-metodologian.

Riadi Fur'є seogodnі

Tietokoneiden kehityksen, Fur'єn uudelleenkehityksen myötä syntyi selkeästi uusi alue. Tätä menetelmää on kehitetty käytännössä kaikilla tieteen ja teknologian aloilla. Yak Butt voit ohjata digitaalista ääni- ja videosignaalia. Yogo-toteutuksesta on tullut teoriatiedon riistäminen, jonka ranskalainen matemaatikko 1800-luvun tähkäpäällä hajoitti. Joten, useita Fur'є monimutkaisessa muodossa, joka mahdollistaa kasvun reikä vivchenna kosmiseen tilaan. Lisäksi hinta on sidottu johtavien materiaalien ja plasman fysiikan, mikrokromakustiikan, okeanografian, radiopaikannuksen ja seismologian kehitykseen.

Trigonometrinen sarja Fur'є

Matematiikassa sarja Fur'є on tapa määrittää riittävät taittofunktiot yksinkertaisten funktioiden summalla. Syrjäisillä vipadoilla tällaisten virazien määrä voi olla loputon. Jos juurrutuksen aikana on enemmän kuin palkkojen määrä, on tarkempaa saada lopputulos. Useimmiten se on kosinin tai sinin yksinkertaisin vikoristinen trigonometrinen funktio. Tällaisessa sarjassa Fur'єa kutsutaan trigonometriseksi, ja tällaisten virazien esiintymistä kutsutaan harmoniseksi jakautumiseksi. Koko visualisointimenetelmä matematiikassa. Edessä on trigonometrinen sarja kuvalle, samoin kuin funktioiden esittely, teorian päälaitteisto. Lisäksi viini sallii matemaattisen fysiikan tietämyksen puutteen. Nareshty, koko teoria on mennyt vieläkin tärkeämpien matemaattisten tieteenalojen kehityksen pohjalle (integraalien teoria, jaksollisten funktioiden teoria). Lisäksi se toimi oikeana pisteenä dynaamisen muutoksen hyökkäävien toimintojen kehittämiselle sekä harmonisen analyysin vangitsemiselle.

Sarja Fur'є jaksollisia funktioita jaksolta 2π.

Useat Fur'єt mahdollistavat säännölliset toiminnot, jotka voidaan taittaa komponenttien päälle. Pussien ja jousien vaihto, kampimekanismien vaihtaminen, nopeus ja nopeus sekä akustiset hvilit - kaikenlaiset käytännölliset pätkät jaksollisten toimintojen tallentamiseen suunnitteluluetteloihin.

Asettamalla riviin joukossa juoksevia karvaisia, mutta kaikki funktiot, mutta käytännössä merkityksellisiä välillä -π ≤x≤ π, on mahdollista liikkua samankaltaisten trigonometristen rivien näkymässä (joukko samanlaisia ​​jäseniä, jälkeen

Vakio (= zvychany) merkintä summan sinx ja cosx kautta

f (x) = a o + a 1 cosx + a 2 cos2x + a 3 cos3x + ... + b 1 sinx + b 2 sin2x + b 3 sin3x + ...,

de a o, a 1, a 2, ..., b 1, b 2, .. - Viitevakiot, tobto.

De vaihteluvälille -π - π joidenkin Fur'є:n suorituskykyyn, joka maksetaan kaavoilla:

Ominaisuudet a o, a n і b n kutsutaan kofіtsієntami Fur'є, ja jos se on mahdollista tietää, niin sarjaa (1) kutsutaan tilaa Fur'є, funktiolla f (x). Sarjassa (1) termiä (a 1 cosx + b 1 sinx) kutsutaan ensimmäiseksi tai pääharmoninen,

Paras tapa kirjoittaa rivi ylös on viktoriaaninen sp_vvidnoshennya acosx + bsinx = csin (x + α)

f (x) = a o + c 1 sin (x + α 1) + c 2 sin (2x + α 2) + ... + c n sin (nx + α n)

De ao on vakio, s 1 = (a 1 2 + b 1 2) 1/2, sn = (an 2 + bn 2) 1/2 on muiden komponenttien amplitudi, ja tielle an = arctan an / b n.

Sarjassa (1) termiä (a 1 cosx + b 1 sinx) tai c 1 sin (x + α 1) kutsutaan ensimmäiseksi tai pääharmoninen,(a 2 cos2x + b 2 sin2x) tai c 2 sin (2x + α 2) kutsutaan muu harmoninen ja toistaiseksi.

Taittosignaalin tarkkaan havaitsemiseen tarvitaan rajoittamaton määrä jäseniä. Bagatyokhin käytännön henkilökunnalla on kuitenkin tarpeeksi ripaus ensimmäisiä jäseniä.

Sarja Fur'є ei-jaksollisia funktioita ajanjaksolta 2π.

Kertaluonteisten toimintojen jakelu.

Koska funktio f (x) ei ole jaksollinen, se tarkoittaa, että sitä ei voida asettaa Fur'є-riville kaikille x:n arvoille. On kuitenkin mahdollista tehdä useita Fur'є, joka edustaa funktiota millä tahansa alueella, jonka leveys on 2?

Jos ei-jaksollinen funktio on asetettu, on mahdollista lisätä uusi funktio, f (x)-arvoa laulualueella väristetään ja asema toistetaan 2π-välillä. Värähtelyt ovat uusi funktio є jaksollinen jaksolla 2π, її voidaan laajentaa riviksi Fur'є kaikille arvoille. Esimerkiksi funktio f (x) = x ei ole jaksollinen. Kuitenkin, jos on tarpeen laajentaa її turkkirivillä välillä 2π asti, intervallin sijainti on jaksollinen funktio, jonka jakso on 2π (kuten alla olevasta kuvasta näkyy).

Ei-jaksollisille funktioille, kuten f (x) = x, Fur'є:n ennalta määrätyn arvon f (x) lukumäärän summa tietyn alueen kaikissa pisteissä, mutta ei f (x) jälki- alue. Useiden Fur'in ei-jaksollisten funktioiden tuntemiseksi alueella 2π käytetään kaikkia Furin kertoimien kaavaa.

Laiteparit ja parittomat toiminnot.

Sano, funktio y = f (x) parna missä f (-x) = f (x) kaikille x:n arvoille. Parillisten funktioiden kaaviot perustuvat symmetrisiin funktioihin (näytettävä peilimäisesti). Kaksi peräkkäistä parifunktiota: y = x 2 і y = cosx.

Sano, että funktio y = f (x) pariton missä f (-x) = - f (x) x:n kaikki arvot. Parittomien funktioiden kuvaajat riippuvat symmetrisistä koordinaateista.

Bagato-toiminnot eivät ole miehiä, ne eivät ole parittomia.

Laajentuva rivissä Fur'є kosinus.

Furin parillisten jaksollisten funktioiden sarja f (x), jonka jakso on 2π, voi poistaa jäsenet kosineista (jotta ei poista jäseniä sinistä), ja voit myös sisällyttää pysyvän jäsenen. Otzhe,

de kofizinti useita Fur'є,

Furin parittoman jaksollisen funktion f (x) sarja jaksolla 2π on korvata jäsenet sinillä (jotta ei kosta jäseniä kosineilla).

Otzhe,

de kofizinti useita Fur'є,

Row Fur'є on pivperiodi.

Koska funktio on tarkoitettu alueelle, esimerkiksi 0 - π, eikä vain 0 - 2π, se voidaan sijoittaa riviin vain sinien tai vain kosinien kanssa. Otrimaniy useita Fur'є kutsutaan tilaa Fur'є on napіvperіodі.

Jakauma on korjattava Fur'є on napivperiodi on kosinukset funktio f (x) alueella 0 - π, on tarpeen lisätä jaksollisten funktioiden pari. Kuvassa Funktio f (x) = x on esitetty alla, pyydettynä väliltä x = 0 - x = π. Parifunktion värähtelyt ovat symmetrisiä, mutta f(x)-akselia johtaa viiva AB, joka on esitetty kuvassa. alempi. Anna vain mennä, mutta katselun aikavälin asento leikataan kolmiomaiseen muotoon є ajoittain jaksolla 2π, sitten näytetään kehysgrafiikka. kuvassa alempi. Värähtelyjen on hylättävä Fur'єn asettelu kosinien mukaan, kuten ja aikaisemmin, laskettu tehokkuus Fur'є a o і a n

On tarpeen korjata Fur'є jakautuminen napіvperіodі takana sinit funktio f (x) alueella 0 - π, tarvitaan pariton jaksollinen funktio. Kuvassa Funktio f (x) = x on esitetty alla, pyydettynä väliltä x = 0 - x = π. Värähtelyt ovat parittomia, funktio on symmetrinen koordinaattien tähkän kanssa, se on CD-viiva, kuten kuvassa 10 näkyy. Anna sen vain mennä, mutta tiedostomaisen signaalin sijainti jaksoittaisesti jaksolla 2π, tiedostomaisen signaalin asento jaksolla 2π, sitten lukemat kuvassa. Värähtelyt on hylättävä Furinin asettelussa poskionteloiden perusteella, sekä aikaisemmin että aikaisemmin, laskettuna Furin arvolla. b

Joukko Fur'є pre-intervallia varten.

Jaksottaisten funktioiden laajentaminen jaksosta L.

Jaksofunktio f (x) toistetaan askelista x L, joten. f (x + L) = f (x). Siirtymällä aiemmin näytetyistä funktioista jaksolta 2π jakson L funktioihin yksinkertaisen loppuun saattamiseksi, osa tästä voidaan tehdä lisämuutokseksi.

Kuinka tietää Fun'є-funktion f (x) sarja välillä -L / 2≤x≤L / 2, teemme uuden muutoksen u sellaiseen järjestykseen, että funktio f (x) on pieni jakso 2π ja sitten u. Jos u = 2πx / L, niin x = -L / 2, kun u = -π ja x = L / 2, kun u = π. Älä myöskään anna f (x) = f (Lu / 2π) = F (u). Sarja Fur'є F (u) maє viglyad

(Välillä integrointi voidaan korvata millä tahansa aikavälillä L:iin asti, esimerkiksi 0 - L)

Sarja Fur'є nukkumisjaksolle funktioille, jotka on asetettu väliin L ≠ 2π.

Asennuksessa u = πх / L väli x = 0 - x = L on väliltä u = 0 - u = π. Otzhe, funktiota voidaan laajentaa peräkkäin vain kosinilla tai vain sinillä, tobto. v rivi Fur'є on pivperiodi.

Laajentuminen kosineihin välillä 0 - L ma viglyad

Riadi Fur'є- tapa esittää taittofunktio yksinkertaisten, hyvien summalla.
Sini ja kosini - jaksolliset funktiot. Jopa ortogonaalisen perustan haju. Qiu-voima voidaan selittää analogisesti akseleiden kanssa X X Xі Y Y Y koordinaattialueella. Joten itse, kun voimme kuvata pisteen koordinaatit akseleita pitkin, voimme kuvata, onko sekä sinisten että kosinien funktio. Trigonometriset funktiot on helppo oppia matematiikasta.

Sinin ja kosinin esiintyminen on mahdollista tällaisen hwilin katsojalle:

Sine - tse kosinukset, chervonі - sini. He kutsuvat niitä myös harmonisiksi. Kosinit ovat poikia, sinit ovat parittomia. Termi harmoninen tulee antiikista ja sidoksista ja varoituksista musiikin äänien yhteenliittämisestä.

Sho myös souta Fur'є

Tällaista sarjaa, koska on yksinkertaisinta kuvata sinin ja kosinin funktiota, kutsutaan trigonometriseksi. Nimetty hänen viiniystävänsä Jean Batist Joseph Fur'єn kunniaksi, esimerkiksi XVIII - XIX vuosisadan korva. jollain tavalla osoittanut, että voidaanko funktio esittää viglyadissa, tällaisten harmonisten yhdistelmä. Ja mitä enemmän otat sitä, mitä enemmän otat sitä, sitä enemmän otat sitä. Esimerkiksi kuva on alempi: on mahdollista pistää, suurella määrällä harmonisia, eli jäsenet ovat matalat Fur'є, punainen graafi on tarpeeksi vanha ollakseen lähempänä sinistä - pahaa funktiota.

Käytännössä säilytys katkerassa svitі

Entä useiden kertojen kulutus? Kuinka voit juuttua käytännöllisesti ja käytännöllisesti? Vyavlyayetsya, Fur'є siihen ja vidomy koko maailmalle, mutta joogorakkauden käytännöllinen kaneli on kirjaimellisesti luokittelematon. Oh, se on helppo korjata siellä, de be-yaki chi khvili: akustiikka, tähtitiede, radiotekniikka myös. alkuun. Yogo victoriannyan yksinkertaisin takapuoli: robotin ja kameran mekanismi ja videokamera. Selitän lyhyemmässä ajassa, että ei vain kuvia voi lisätä, vaan Fur’s-sarjan suorituskykyä. І pratsyuє tse skrіz - tunnin ajan katsella kuvia Internetistä, elokuvaa tai kuunnella musiikkia. Voit lukea artikkelin matkapuhelimellasi, jos olet Fur'є vi -sarjan fani. Emme saaneet parasta Internetin kaistanleveyttä ilman Fur'єn uudelleenkeksitystä, vaan katsot vain videota YouTubessa ja katsot vakiolaatua.

Koko järjestelmässä kahden maailman muutoksen Fur'є, kuten vikoristovuyutsya jakamiseen kuvan huuliharppu, jotta perusvarastot. Kaaviossa arvo -1, bilim on koodattu mustalla, oikealla ja alas kaavion takana taajuus kasvaa.

Käynnistetään rivissä Fur'є

Yksin, vzhe vzhe vtomilsya lukea, sama pätee kaavoihin.
Tällaista matemaattista lähestymistapaa, kuten funktioiden jakautumista varten Fur'є-rivillä, varten veljekset integroidaan. Bagato Integral Valmisvalmiin viglyadiin kirjoitan rivin Fur'є loputtoman sumin viglyadiin:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (an cos ⁡ (nx) + bn sin ⁡ (nx)) f (x) = A + \ näyttötyyli \ summa_ (n = 1) ^ (\ infty) (a_n \ cos (nx) + b_n \ sin (nx))f (x) =A +n = 1∑ ∞ ​ (a n​ cos (n x) +b n​ synti (n x))
de
A = 1 2 π ∫ - π π f (x) d x A = \ frac (1) (2 \ pi) \ näyttötyyli \ int \ rajat _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) dxA =2 π1 ​ − π ∫ π ​ f (x) d x
an = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (nx) dx a_n = \ frac (1) (\ pi) \ näyttötyyli \ int \ rajat _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ cos (nx) dxa n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (n x) d x
bn = 1 π ∫ - π π f (x) sin ⁡ (nx) dx b_n = \ frac (1) (\ pi) \ näyttötyyli \ int \ rajat _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ sin (nx) dxb n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (n x) d x

On mahdollista saada loputon määrä kertoja. a n a_n a n​ і b n b_n b n​ (Haisee ja niitä kutsutaan konferensseiksi Fur'єn jakelua varten, A A A- tse vain jakelun jälkeinen), niin useita tuloksen virheitä tallennetaan 100% tulostoiminnosta f (x) f (x) f (x) perusteella - π - \ pi − π ennen π \ pi π ... Tämä on esimerkki sinin ja kosinin integraation voimien artikulaatiosta. Chimppaa lisää n n n Kaikissa funktioiden suunnittelussa funktioiden jakautuminen peräkkäin on tarkempi.

peppu

Helppokäyttöinen y = 5 x y = 5x y =5 x
A = 1 2 π ∫ - π π f (x) dx = 1 2 π ∫ - π π 5 xdx = 0 A = \ frac (1) (2 \ pi) \ näyttötyyli \ int \ rajat _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) dx = \ frac (1) (2 \ pi) \ näyttötyyli \ int \ rajat _ (- \ pi) ^ (\ pi) 5xdx = 0A =2 π1 ​ − π ∫ π ​ f (x) d x =2 π1 ​ − π ∫ π ​ 5 x d x =0
a 1 = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x cos ⁡ (x) dx = 0 a_1 = \ frac (1) (\ pi) \ näyttötyyli \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ cos (x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ näyttötyyli \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi ) 5x \ cos (x) dx = 0a 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (x) d x =0
b 1 = 1 π ∫ - π π f (x) sin ⁡ (x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x sin ⁡ (x) dx = 10 b_1 = \ frac (1) (\ pi) \ näyttötyyli \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ sin (x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi ) 5x \ sin (x) dx = 10b 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x sin (x) d x =1 0
a 2 = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (2 x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x cos ⁡ (2 x) dx = 0 a_2 = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ cos (2x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ ( \ pi ) 5x \ cos (2x) dx = 0a 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (2 x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x) d x =0
b 2 = 1 π ∫ - π π f (x) sin ⁡ (2 x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x sin ⁡ (2 x) dx = - 5 b_2 = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ sin (2x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) 5x \ sin (2x) dx = -5b 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x) synti(2 x) dx= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 xsynti(2 x) dx= − 5

Olen niin kaukana. Tällaisella toiminnolla voimme heti sanoa, että kaikki a n = 0 a_n = 0an​ = 0 , kofіtsієнti b n b_nbn​ sattuvat laskemaan. Yakshho mi vizmemo pershi chotiri jäsenet on asetettu riviin Fur'є toimintoa varten y = 5 x y = 5xy= 5 x, Otrimaєmo:

$5x\approx 10\cdot \mathrm{synti}(x)-5\cdot \mathrm{synti}(2\cdot x)+310\cdot \mathrm{synti}(3\cdot x)-25\cdot \mathrm{synti}(4\cdot x)$

Syötetyn funktion kaaviota tarkkailee hyökkäävä arvo:

Käynnistys, scho on mennyt, rivissä Fur'є tullut lähelle meidän out-of-the-box-toimintoa. Koska peräkkäin on enemmän jäseniä, esimerkiksi 15, seuraava vaihe on todennäköisempää:

Enemmän jäseniä peräkkäin, tarkemmin.
Kaavion mittakaava on kuitenkin vaihteleva, on mahdollista huomata vielä yksi uudelleentoteutuksen ominaisuus: matala Fur'є - jaksollinen funktio jaksolla 2 π 2 \ pi2 π .

Tällaisessa arvossa voit kuvitella, onko se funktio, kuten є ilman keskeytyksiä [- π; π] [- \ pi; \ pi][ − π ; π ] ... Kaikki hinta on välttämätön, jotta voidaan analysoida, miten esiintymisiä analysoidaan, ja kuvata taittofunktioilla. En halua olla analyyttinen (kaavan tobto), menetän sen, mutta minulla ei ole ongelmia poskionteloiden ja ongelmien kanssa. Useimmiten se on mahdollista näyttää riville Fur'є, mutta useimmiten se on mahdollista näyttää analyyttisesti yksinkertaisissa malleissa, yksi joidenkin sovelluksesta ja rivi Fur'є.

Transkriptio

1 RF TIETEEN ARVIOINTIMINISTERIÖ NOVOSIBIRSKY DERŽAVNY-YLIOPISTO FYYSIIKAN TIEDEKUNNAN R.K.BELKHEVA TURKISVALIKKO SOVELLUKSESSA JA ONGELMISSA Navchalny Posibnik1

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkhєєva R.K. pitämällä un-t. Novosibirsk, s. ISBN Vierailun alussa Fur'є-sarjan pääkatsoja on voitokas; Fur'є-menetelmän peppuvarren yksityiskohtainen suunnittelu ennen poikittaista merkkijonoa koskevien ongelmien ratkaisemista. Kuvamateriaali tarjotaan. Є zavdannya itsenäinen ratkaisu. Opiskelijatehtäviä ja voittoja NSU:n fysiikan tiedekunnassa. Tule ystäväksi NSU:n fysiikan tiedekunnan Virishenna-metodiseen komiteaan. Arvostelija Dr. fiz. tieteet. V. A. Aleksandrov Kokoelma valmisteluja NDU-NSU:n kehittämisohjelman täytäntöönpanon puitteissa, s. ISBN:n Novosibirskin valtionyliopisto, 211 s Belkhova R.K., 211

3 1. 2π-jaksollisten funktioiden laajentaminen sarjaan Fur'є Viznachennya. Funktion f (x) osoitusta kutsutaan funktionaaliseksi sarjaksi a 2 + (an cosnx + bn sin nx), (1) funktiot an, bn lasketaan kaavojen mukaan: an = 1 π bn = 1 π f (x) cosnxdx, n =, 1, ..., (2) f (x) sin nxdx, n = 1, 2, .... (3) Kaavoja (2) (3) kutsutaan Euler Fur'є kaavat. Se, että funktio f (x) muistuttaa sarjaa Fur'є (1), kirjoitetaan muodossa f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) (4) ja näyttää siltä, ​​että funktion oikea osa kaava (4) є funktion f (x) muodollisella sarjalla Fur'є. Toisin sanoen näyttää siltä, ​​että kaava (4) tarkoittaa, että tehokkuutta a n, b n ei tunneta kaavoille (2), (3). 3

4 Viznachennya. 2π-jaksollista funktiota f (x) kutsutaan shmatkovo-sileäksi, vaikka välissä [, π] olisi Kintsevin määrä pisteitä = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Pieni. 1. Funktion f (x) kuvaaja Laskennallinen tehokkuus Fur'є a = 1 π f (x) dx = 1 π x 2 2 π = π, an = 1 π f (x) cosnxdx = 2 π = 2 () x sin nx cos nx + π nn 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = bn = 1 π π = 2 π f (x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, n:lle pariton, n:lle pari f (x) sin nxdx =, joten funktio f (x) on paritettu. Voidaan kirjoittaa funktiolle f (x) muodollinen Fur'є-sarja: f (x) π 2 4 π k = 5 cos (2k + 1) x (2k + 1) 2.

6 On selvää, että funktio f (x) on paloittain sileä. Joten koska se on keskeytyksettä, se lasketaan vain välillä (6) päätepisteissä välillä x = ± π ja pahan pisteessä x =: і f (π h) f (π) π h π f (+ h) ) f (+) + h () lim = lim h + hh + hf (+ h) f (+) + h lim = lim = 1, h + hh + h = 1, f (h) f () h ( ) lim = lim = 1. h + hh + h Välillä іsnyu ja іntsevі, vaikka funktio on slicker-smooth. Krapkovia koskevan lauseen mukaan Fuhr-sarjan arvo konvergoi f (x):iin ihopisteissä, joten f (x) = π 2 4 π k = cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) Kuvassa. 2, 3 osoittaa osittaissummien lähestymisen luonteen sarjaan Fur'є S n (x), de S n (x) = an 2 + (ak coskx + bk sin kx), k = 1 funktioon f (x) välissä [, π]. 6

7 Pieni. 2. Funktion f (x) kuvaaja, jossa osittaissummat asetetaan kaavioihin S (x) = a 2 ja S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x Kuva. 3. Funktion f (x) kuvaaja on päällekkäin uuden kaavion summan S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7 graafin päälle.

8 Ilmoittamalla (7) x = otrimaєmo: = π 2 4 π k = 1 (2k + 1) 2, tähdet tietävät numeeristen sarjojen summan: = π2 8. Kun tiedät rivin summan, on helppo tiedä seuraava Maєmon summa: S = ( ) S = () = π S, jopa S = π2 6, joten 1 n = π Ensimmäisen tunnetun Leonard Eilerin kuuluisan sarjan summa. Vona opiskelee usein matemaattista analyysia ja täydennyksiä. LIITE 2. Pienellä kuvaajalla tunnemme funktiosarjan, joka on annettu kaavalla f (x) = x x:lle< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Pieni. 4. Funktion f (x) kuvaaja Funktio f (x) erotetaan jatkuvasti intervallin (, π) avulla. Pisteiden x = ± π välillä (5) on useita pisteitä: f () =, f (π) = π. Lisäksi (6) on ero: f (+ h) f (+) lim = 1 і h + hf (π h) f (π +) lim = 1. h + h sileäfunktio. Jos funktio f (x) on pariton, niin a n =. Suorituskyvyn bn tiedetään olevan integroitu osilla: bn = 1 π f (x) sin πnxdx = 1 [x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1) n π + (1) n π] = 2 ( 1) n + 1. n Hyvin muodollinen sarja Fur'є-funktioita 2 (1) n + 1 f (x) sin nx. n 9 cosnxdx] =

10 Virtausta koskevien lauseiden mukaan kutistuvan tasaisen 2π-jaksollisen funktion arvo, funktion f (x) Fur-sarja laskee summaan: 2 (1) n + 1 sin nx = nf (x) = x, kuten π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Pieni. 6. Funktion f (x) kuvaaja asetetaan kaavion summan S2 (x) päälle. 7. Funktion f (x) kaavio päällekkäin uuden kaavion summan S 3 (x) 11 päälle

12 Pieni. 8. Funktion f (x) kuvaaja asetetaan S 99 (x) summan uudelle kuvaajalle. Luotettava (8) x = π / 2. Todi 2 () + ... = π 2 tai = n = (1) n 2n + 1 = π 4. Tiesimme helposti Leibnizin perheen summan. Kun poklavl on kohdassa (8) x = π / 3, tiedämme () + ... = π 2 3 tai (1+ 1) () (k) 3π + ... = 3k

13 LIITE 3. Pieni graafi, tunnemme Fur'є-funktioiden sarjan f (x) = sin x, myöntäen, että jakso on 2π, і 1 lasketaan lukusarjan 4n 2 1 summana. Ratkaisu. Funktion f (x) kaavio on esitetty kuvassa. 9. Ilmeisesti f (x) = sin x on katkeamaton parifunktio jaksosta π. Ale 2π on myös funktion f (x) jakso. Pieni. 9. Funktion f (x) kuvaaja Laskennallinen hyötysuhde Fur'є. Usi b n = siihen, että funktio on paritettu. Trigonometristen kaavojen kruunattu se on numeroitu an kohdassa n 1: an = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin (1 + n) x sin (1 n) x) dx = = 1 ( ) π cos (1 + n) x cos (1 n) x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 (4 1, kun n = 2k, = π n 2 1, kun n = 2k

14 Laskennassa kerrointa a 1 ei tiedetä, joten arvolla n = 1 nimittäjä muuttuu nollaan. Siihen lasketaan kerroin a 1 ilman keskimmäistä: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Joten koska f (x) on jatkuvasti eriytetty (,) і (, π) і pisteissä kπ, (k on luku), jos (5) ja (6) välillä on piste, niin sarja Fur' є-funktiot konvergoivat ilman ihopistettä: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x Kuva. 1. Funktion f (x) kuvaaja on päällekkäin leikkaussumman S (x) 14 kuvaajalla

15 Pieni. 11. Funktion f (x) kuvaaja päällekkäin uuden leikkaussumman S1 (x) graafin päälle Kuva. 12. Funktion f (x) kuvaaja asetetaan uuden kaaviosumman S2 (x) graafin päälle. 13. Funktion f (x) kaavio päällekkäin uuden kaavion S 99 (x) 15 graafin päälle

16 1 Numerorivin lukuinen summa. Koko 4n 2 1:lle se on tyydyttävä (9) x =. Todi cosnx = 1 kaikille n = 1, 2, ... i Otzhe, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. SOVELLUS 4. Todennäköisesti, että funktio f (x) on tasainen ja tasainen ilman keskeytyksiä, olen tyytyväinen f (x π) = f (x) kaikille x:ille (siis se on π -jaksollinen), a 2n 1 = b 2n 1 = kaikille n 1 ja navpaki, jos a 2n 1 = b 2n 1 = kaikille n 1, niin f (x) on π-jaksollinen. Päätös. Olkoon funktio f (x) π-jaksollinen. Laskennallinen її hyötysuhde Fur'є a 2n 1 і b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f (x) cos (2n 1) xdx + f (x) cos (2n 1) xdx =) f (x) ) cos (2n 1) xdx. Ensimmäisellä integraalilla voin helposti korvata muutoksen x = t π: f (x) cos (2n 1) xdx = f (t π) cos (2n 1) (t + π) dt. 16

17 Klovni se, cos (2n 1) (t + π) = cos (2n 1) t і f (t π) = f (t), voimme nähdä sen: a 2n 1 = 1 π (f (x) cos (2n 1) x dx +) f (x) cos (2n 1) x dx =. Samoin pitäisi tehdä, b 2n 1 =. Nawpaki, olkoon a 2n 1 = b 2n 1 =. Koska funktio f (x) on keskeytyksetön, niin lauseen mukaan funktion ilmentymä sen sarjan pisteissä on F (x π) = f (x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n (x π) + b 2n sin 2n (x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f (x), mikä tarkoittaa, että f (x) on π-jaksollinen funktio. LIITE 5. Voidaan sanoa, että funktio f (x) on sileä ja sileä, f (x) = f (x) kaikille x, sitten a = і a 2n = b 2n = kaikille n 1, ja navpaki, esim. a = a 2n = b 2n =, sitten f (x π) = f (x) kaikki x. Päätös. Olkoon funktio f (x) tyytyväinen f (xπ) = f (x). Lukuisia її kofіtsієnti Fur'є: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f (x) cos nxdx + f (x) cosnxdx =) f (x) cosnxdx. Ensimmäisellä integroinnilla korvaan helposti muutoksen x = t π. Todi f (x) cosnxdx = f (t π) cosn (t π) dt. Crimson tim, cos n (t π) = (1) n cosnt ja f (t π) = f (t), voimme hyväksyä: an = 1 π ((1) n) f (t) kustannus dt =, jos n paritettu = 2 π f (t) cos nt dt, kun n on pariton. π Se tehdään samalla tavalla, b 2n =. Nawpaki, olkoon a = a 2n = b 2n =, kaikille n 1. Koska funktio f (x) on keskeytyksetön, niin lause funktion eksplisiittisyydestä sen sarjan Fur'є pisteissä pätee, että f (x) ) = (a 2n 1 cos (2n 1) x + b 2n 1 sin (2n 1) x). kahdeksantoista

19 Todi = f (x π) = = = f (x). LIITE 6. Vivchimo yak seuraavaksi integroidaan edelleen rakoon [, π / 2] funktiolla f (x) rakossa [, π], joten Fur'є mav viglyadin rivi: a 2n 1 cos ( 2n 1) x. (1) Päätös. Olkoon ma viglyadin funktion kaavio, joka leijuu kuvassa. 14. Värähtelyt rivillä (1) a = a 2n = b 2n = kaikille n:lle, silloin perä on 5 vyplyaє, mutta funktio f (x) syyllistyy pariteettiin f (xπ) = f (x) kaikki x. On olemassa tapa parantaa funktiota f (x) välillä [, / 2]: f (x) = f (x + π), kuva. 15.Lisäksi rivi (1) kostaa vain kosineja, se on järjestetty, joten funktiota f (x) jatketaan parina (niin että kuvaaja on symmetrinen akselille Oy), riisi

20 Pieni. 14. Funktion f (x) kuvaaja Pieni. 15. Jatketun funktion f (x) kuvaaja eteenpäin [, / 2] 2

21 Otzhe, ma viglyadin toiminta, opastus kuvassa. 16. Pieni. 16. Kuvaaja funktion f (x) jatkeesta edistykselle [, π] [π / 2, π], funktion f (x) käyrä on keskisymmetrinen pisteeseen (π / 2,), ja väliin [, π] kuvaaja on symmetrinen akselille Oy. 21

22 VIITESOVELLUKSET 3 6 Nekhai l>. Selvästi kaksi mieltä: a) f (l x) = f (x); b) f (l + x) = f (x), x [, l / 2]. Geometrialta katsottuna piste (a) tarkoittaa, että funktion f (x) kuvaaja on symmetrinen pystysuoraa x = l / 2 pitkin, ja kuvaaja (b), että kuvaaja f (x) on keskellä symmetrinen pisteen (l / 2;) suhteen abskis-akselilla. Seuraava on totta: 1) jos funktio f (x) on paritettu Viconan Umovin (a) kanssa, niin b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... =; 2) jos funktio f (x) on paritettu Viconan Umovin (b) kanssa, niin b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a = a 2 = a 4 = ... =; 3) jos funktio f (x) on pariton ja Viconan Umov (a), niin a = a 1 = a 2 = ... =, b 2 = b 4 = b 6 = ... =; 4) jos funktio f (x) on pariton ja Viconan Umov (b), niin a = a 1 = a 2 = ... =, b 1 = b 3 = b 5 = ... =. ZAVDANNA Tehtävissä 1 7 maalaa kaaviot ja tunne Fur'є-sarja funktioille,< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 (1, yaksho / 2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Välissä [, π] annetun funktion laajentaminen vain sinien jälkeen tai vain kosinien jälkeen Funktio f määritetään välissä [, π]. Laajennamme tilaa koko alueella Fur'є-riville asti, voimme jatkaa f:tä korostuksella [, π] korkeammalla arvolla, ja samalla se on nopeampi Eiler Fur'n kaavoilla. є. Svavilja on lisäfunktio tuottaa ennen, yhden tyyppiselle funktiolle f: [, π] R voimme poistaa useita Fur'є. Vaihtoehtoisesti voit vikoristovuvat tse svavillya niin, leikkaa vain leviäminen vain sinien takaa tai vain kosinuksilla: ensimmäisellä vipadilla riittää ylentämään f parittomalla arvolla, ja miehille eri tavalla. Ratkaisualgoritmi 1. Jatka funktiota parittomalla (guy) arvolla (,) ja jatka sitten jaksoittain, joka 2π, koko funktiota. 2. Laske Fur'є:n suorituskyky. 3. Taita funktion f (x) Fur-sarja. 4. Revisiomieli on alhainen. 5. Esittele funktio, jolle on olemassa kokonainen rivi. LIITE 7. Sovelletaan funktioon f (x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Pieni. 17. Jatketun funktion kuvaaja On selvää, että funktio f (x) on ujo-sileä. Lukuisat funktionaaliset Fur'є: a n = kaikki n siinä määrin kuin funktio f (x) on pariton. Jos n 1, niin bn = 2 π f (x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = 1 = 1 (1 ) n (1) n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, missä n = 2 k + 1, (1) n + 1 (n 1) + (n + 1) = π (n + 1) ( n 1) 2 2n, missä n = 2k. π n 2 1 Kun n = 1, nimittäjä muuttuu nollaksi laskimien edessä, joten kerroin b 1 lasketaan ilman edeltävää 25

26 uni: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Fur'є-funktioiden sarja f (x) on taitettava: f (x) 8 π k = 1 k 4k 2 1 sin 2kx. Jos funktio f (x) on ujo-sileä, niin krapkov-lauseen jälkeen funktion f (x) Fur-sarjan arvo menee sumi: cosx, missä π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Pieni. Kuva 18. Funktion f (x) kuvaaja päällekkäin uuden kappalesumman S1 (x) graafin päälle Kuva. 19. Funktion f (x) kaavio päällekkäin uuden kaavion summan S 2 (x) 27 päälle

28 Pieni. 2. Funktion f (x) kuvaaja asetetaan leikkaussumman S3 (x) kuvaajalle. 21 näytetään funktion f (x) graafit ja osasummat S 99 (x). Pieni. 21. Funktion f (x) kaavio päällekkäin uuden kaavion summan S 99 (x) 28 päälle

29 LIITE 8. Laajennettavissa funktiolla f (x) = e ax, a>, x [, π], Fur'є-sarjaan asti vain kosineissa. Päätös. Jatkuvasti kaverin arvon (,) funktiolla (jotta pariteetti f (x) = f (x) näytetään kaikille x:ille (, π)), joka buv ajoittain jaksolla 2π venyttäen yong-lukua ylöspäin . Voimme hyväksyä funktion f (x), tällaisten esitysten kaavion kuvassa. 22. Funktio f (x) Mal:n pisteissä. 22. Jatkuvan funktion kuvaaja f (x) x = kπ, k on kokonaisluku, kuten öljyt. Lukuisat kofіtsієnti Fur'є: b n =, oskіlki f (x) pariksi. Integroi osiin Mo 29

30 an = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd (e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f (x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa π1s ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π a sin nx π a 2eax a (eaπ cos n π 1) n2 aa n. 2 Otzhe, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Värähtelyt f (x) ovat keskeytyksettömiä, jolloin virtausta koskevan lauseen mukaan Fur-sarja konvergoi f (x). Myös kaikki x [, π] maєmo f (x) = 1 π a (eaπ 1) + 2a π k = 1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Riisi osoittaa toiminnan lähestymisen osittaisten summien lukumäärään Fur'є tiettyyn leikkaustoimintoon. 3

31 Pieni. 23. Kuvaajat funktioista f (x) ja S (x) Mal. 24. Kuvaajat funktioista f (x) ja S1 (x) Pieni. 25. Kuvaajat funktioista f (x) ja S2 (x) Pieni. 26. Funktioiden f (x) ja S 3 (x) kuvaajat 31

32 Pieni. 27. Kuvaajat funktioista f (x) ja S4 (x) Mal. 28. Kuvaajat funktioista f (x) ja S 99 (x) ESITETTY 9. Sijoita funktio f (x) = cos x, x π riville Fur'є vain kosineihin. 1. Laajenna funktio f (x) = e ax, a>, x π riville Fur'є vain sinien taakse. 11. Sijoita funktio f (x) = x 2, x π Fur'є-riville vain sinien taakse. 12. Määritä funktio f (x) = sin ax, x π, y sarja Fur'є vain kosineissa. 13. Sijoita funktio f (x) = x sin x, x π Fur'є-riville vain sinien taakse. Vidpovidi 9.cosx = cosx. 1. e ax = 2 [1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k = 1 11. x 2 2 [π 2 (1) n 1 π n + 2] n 3 ((1) n 1) sin nx. 32

33 12. Jos a ei ole kokonaisluku, sin ax = 1 cosaπ (1 + + 2a cos 2nx) + π a 2 (2n) 2 + 2a 1 + cosaπ cos (2n 1) x π a 2 (2n 1) 2; jos a = 2m pari on luku, niin sin 2mx = 8m cos (2n 1) x π (2m) 2 (2n 1) 2; jos a = 2m 1 on positiivisesti pariton luku, niin sin (2m 1) x = 2 (cos 2nx) 1 + 2 (2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Tietyn jakson funktion sarja Fury Oletetaan, että funktio f (x) asetetaan väliin [l, l], l>. Tehtyään substituution x = ly, y π voimme päätellä funktion g (y) = f (ly / π), mikä tarkoittaa välissä π [, π]. Kolmas funktio g (y) muodostaa (muodollisen) sarjan Fur'є () ly f = g (y) a π 2 + (an cosny + bn sin ny), jonka tehokkuus on Euler Fur'є -kaavojen takana. : an = 1 π g (y) cosny dy = 1 π f (ly π) cosny dy, n =, 1, 2, ..., 33

34 bn = 1 π g (y) sinny dy = 1 π f () ly sinny dy, n = 1, 2, .... π Funktiolle f (x) trigonometrinen sarja voidaan helposti muuttaa a. näkymä: de f (x) a 2 + an = 1 lbn = 1 llllll sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2, ..., (12) dx, n = 1, 2, . .. LIITE 9. Tunnemme sarjan Fur'є-funktioita, jotka välissä (l, l) antaa viraz (A, missä l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 llf (x) dx = 1 l A dx + 1 ll B dx = A + B, llan = 1 lllf (x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 ll A cos πnx l = A + B π nlbn = 1 l dx + 1 ll B cos πnx l sin πn =, missä n, ll A sin πnx lf (x) sin πnx l dx + 1 ll dx = B sin πnx l = BA (1 cosπn). πn Funktion f (x) Fur-sarja on taitettava: f (x) A + B π (B A Asteikko cosπn = (1) n, sitten n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l arvolle n = 2k on ajateltavissa b n = b 2k =, n = 2k1 b n = b 2k1 = 35 2 (BA) π (2k 1).

36 tähteä f (x) A + B (BA)? yaksho l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Pieni. 29. Funktion f (x) graafinen esitys uusien harmonisten S (x) = a 2 ja S 1 (x) = b 1 sinx graafien päälle. Kolmen muun harmonisen kaavion spesifisuudelle S 3 (x) = b 3 sin 3πx, S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l ja S 7 (x) = b 7 sin 7πx työntövoima pystysuoraan ylämäkeen l 37

38 Pieni. 3. Funktion f (x) kuvaaja on päällekkäin uuden kappalesumman S 99 (x) graafin päälle. 31. Fragmentti kuviosta. 3 asteikolla 38

39 EHDOTTOMASTI Fur'є-sarjan avaruusongelmissa funktiot on osoitettu annetulle välituotteelle. 14.f (x) = x 1, (1, 1). 15.f (x) = ch2x, (2, 2] f (x) = x (1 x), (1, 1]. 17.f (x) = cos π x, [1, 1] f (x) ) = sin π x, (1, 1). (2 1, missä 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18.f (x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. а) f (x) = α 2) l b) f (x) = 4al (1) n 1 (2n) ) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23.a) f (x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x ... b) f ( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π) + 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Monimutkainen muoto sarjalle Fur'є Jakauma f (x) = cne inx, de cn = 1 2π f (x) e inx dx, n = ± 1, ± 2, ..., kutsutaan Fur'є-sarjan kompleksimuodoksi. Toiminto taittaa monimutkaiseksi Fur'є-riviksi hiljaisten mielien visionilla, jota varten ne voidaan sijoittaa Fur'єn puheriville. 4

41 LIITE 1. Tunnemme kaavan f (x) = e ax, y välissä [, π), de puheluvun antaman funktion kompleksisen muodon Fur-sarjan. Päätös. Mitattavissa oleva suorituskyky: = c n = 1 2π f (x) e inx dx = 1 2π e (a in) x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1) n sh aπ. 2π (a in) π (a in) Koneen funktion f kompleksi Fur sarja f (x) sh aπ n = (1) n a in einx. Uudelleentarkastelu, joten funktio f (x) on möykkypehmeä: välissä (, π) se on äärettömästi differentioitunut ja pisteissä x = ± π on pisteitä välillä (5), (6) lim h + ea (+ h) = e aπ, lim h + ea (π h) = e aπ, ea (+ h) ea (+) lim h + h = ae aπ ea (π h) ea (π), lim h + h = ae aπ. Myös funktio f (x) esitetään järjestyksessä Fur'є sh aπ π n = (1) n a in einx, jonka on määrä mennä sumiin: (e S (x) = ax, missä π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 LIITE 11. Tunnemme Fur-sarjan funktion kompleksille ja puhemuodolle kaavalla f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, de a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Nagadaєmo, loputonta geometrista edistystä sisältävä pussi vakio-q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Nyt tunnemme joukon turkisia puhemuodoissa. Suurelle joukolle täydennyksiä numeroilla n ja n n:lle: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Oskilki c = 1, sitten 2 = 2a n cos nx. f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Fur'є-sarja funktion f (x) puhemuodossa. Tämä arvo, lukuun ottamatta taloudellista integraalia, tiesimme matalan Fur'є-funktion. Kun virahuvali, on tärkeä integraali, joka löytyy parametrista cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a (zz 1) f (x) = 2i (1 a (zz 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1) z 2 2 (za) (za 1) = = i 2 + i () a 2 za + a 1. za 1 Dermaaliset iz yksinkertaiset jakeet voidaan hajottaa geometrisen etenemisen kaavan mukaan: + aza = a 1 z 1 a = aanzzn, n = za 1 za = az = anz n. n = Täysin, fragmentit az = a / z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, abo, lyhyempi, c n = 1 2i a n sgnn. Tim itse, useita Fur'є monimutkaisessa muodossa tunnetaan. Kun on ryhmitelty lisäyksiä numeroilla n ja n, voimme päätellä Fur'є-funktioiden sarjan puhemuodossa: = f (x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 = an sin nx. Tiedän etäisyyden virahuvati loukkaavan taittointegraalin: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 ZAVDANNYA 24. Vikoristovuchi (15), laske integraali cos nxdx 1 2a cosx + a 2 puheille a, a> Vikoristovuchi (16), laske integraali sin x sin nxdx puheille a, a> a cosx + a2 Tehtävissä Fur'є monimutkaisissa muodoissa toimintoja varten. 26.f (x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Ljapunov-yhtälölause (Ljapunov-yhtälö). Olkoon funktio f: [, π] R sellainen, että f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f (x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Siksi Ljapunov-ekvivalenssi funktiolle f (x) turpoaa silmälle: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Jäljelle jäävä π:n ekvivalentti tunnetaan sin 2 na n 2 = a (π a) 2 Vazayuchi a = π 2, voimme ottaa sin2 na = 1 arvolle n = 2k 1 ja sin 2 na = kun n = 2k. Otzhe, k = 1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. LIITE 14. Kirjoitetaan Ljapunov-yhtälö funktiolle f (x) = x cosx, x [, π], jos tiedämme funktion lisäsumman. numerosarja (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4.1 π Ratkaisu. Suora laskelma antaa = ππ f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Oskilki f (x) on parifunktio, jolloin kaikille n maєmo bn =, an = 2 π = 1 π 1 = π (n + 1) = f (x) cosnxdx = 2 π 1 cos (n + 1) x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos (n + 1) x + cos (n 1) x) dx = 1 π sin (n + 1) xdx sin (n 1) xdx = π (n 1) ) π π 1 + cos (n 1) x = π (n 1) 2 1 (= (1) (n + 1) 1) 1 (+ (1) (n + 1) 1) = π (n + 1) ) 2 π (n 1) 2 () = (1) (n + 1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1) (n + 1) 1 nk π ( n 2 1) = π (4k 2 1) 2 jos n = 2k, 2, jos n = 2k + 1. Arvo a 1 on laskettava okremo, kaukokaavan fragmentit n = 1, nimittäjä murto-osa muuttuu nollaan. = 1 π a 1 = 2 π f (x) cosxdx = 2 π x (1 + cos 2x) dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Näin ollen Ljapunov-pariteetti funktiolle f (x) ma viglyad: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π ESITTELY 32. Kirjoita Ljapunov-ekvivalentti funktiolle funktio (xf (x) = 2 πx, missä x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Відповіді + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2.1 π 35. f (x) g (x) dx = cndn, de cn funktio f (x) ja dn Funktionaalinen funktio g (x) . 6. Sarjan Fur'є Nekhai f: R R jatkuvasti differentioitunut 2π-jaksollinen funktio. Fur'є ma viglyadin Її sarja: f (x) = a 2 + (n cos nx + b n sin nx). Funktio f (x) on samanlainen kuin 2π-jaksollinen funktio, jolle voidaan kirjoittaa muodollinen sarja Fur'є: f (x) a 2 + (an cos nx + bn sin nx), de a, an, bn , n = 1, 2, ... toiminnallisuus Fur'є funktio f (x). 51

52 Lause (turkissarjan laajennettu termidifferentiointi). Murenemisen tapauksessa on totta, että a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. SOVELLUS 15. Älä ole ujo-sileä funktio f (x) ilman keskeytystä välissä [, π]. Ilmeisesti meillä on f (x) dx = alhainen kurjuus 2 dx 2 dx, johtuen Steklovin kyvyttömyydestä ja uudelleenyhteydestä, joten uudet funktiot menettävät funktionsa muodossa f (x) Toisin sanoen Steklovin sopimattomuus, sanotaan, että kun näet, että yksinkertaisia ​​funktioita on kolme (keskineliössä), funktioita on kolme (keskineliössä). Päätös. Tuetaan funktiolla f (x) väliin [,] kaverin arvolla. Itse funktio laajentaa sitä merkittävästi symbolilla f (x). Toiminto jatkuu keskeytyksettä ja on tasainen ja tasainen matkalla [, π]. Joten koska funktio f (x) on keskeytyksetön, niin f 2 (x) on keskeytyksetön koko ajan ja 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Oskіlki parin funktiota jatketaan, sitten b n =, a = altaan takana. Otzhe, Lyapunov nabuvє pariteetti silmään 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Uudelleenarviointi, f (x) noudattaa lauseita sarjan Fur'є differentiaatiosta siten, että a =, an = nb n, bn = na n, n 1. En halua f (x) olla huono pisteissä x 1, x 2, ..., x N välillä [, π]. Olkoon x = x N + 1 = π. Integraation [, π] kasvu N +1 -välillä (x, x 1), ..., (x N, x N + 1), ihon tila f (x) on täysin erilainen. Todi, integraalin ja sitten integroivien osien additiivisuuden ilkeä voima on tunnistettavissa: bn = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1π j = xj + 1 xjx j + 1 xjnn π N j = xj + 1 xjx j + 1 xjf (x) sin nxdx = f (x) cosnxdx = f (x) cosnxdx = = 1 π [(f (x (x) 1) sin nx 1 f (x) sin nx) + + (f ( x 2) sinnx 2 f (x 1) sin nx 1)

54 + (f (x N + 1) sin nx N + 1 f (x N) sin nx N)] n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j + 1 a = 1 f (x) dx = 1 N f (x) dx = π π j = xj = 1 N x j + 1 f (x) π = 1 (f (π) f ()) = .. . x j π j = Pysyvät samanarvoisina niiden kautta, joissa funktio f (x) on edennyt kaverin arvolla, ja siten f (π) = f (). Samalla tavalla voimme tunnistaa = nbn. Olemme osoittaneet, että Fur'є-sarjan laajennetun differentioinnin lause keskeytymättömälle shmatkovo-sileälle 2π-jaksolliselle funktiolle, joka on samanlainen kuin väli [, π], on ylpeä ensimmäisestä lajista, vyrna. Samasta f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) = (na n) sin nx, oskilki a =, an = nb n =, bn = na n, n = 1, 2, ... Oskilki 2 dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Eli dermaalisena terminä rivissä (18) se on enemmän tai vähemmän rivin (17) lisäjäsen, sitten 2 dx 2 dx. Arvaamalla, scho f (x) є lisätoimintojen pojille, maєmo 2 dx 2 dx. Tuodakseen Steklovin pariteetin. Nykyään Steklovin epäsäännöllisyydessä on monia toimintoja. Jos haluat yhden n 2 tehokkuuden a n nollan tuloksena, niin a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 VAHVISTUS 37. Älä ole ujo-sileä funktio f (x) on katkeamaton välissä [, π]. Ilmoita, että kun olet voittaja, sinun täytyy f () = f (π) = on vähän virhettä 2 dx 2 dx, kuten sitä kutsutaan myös Steklovin sopimattomuudeksi, ja ristiin, mutta se ei vain haittaa f (x) . .. 38. Olkoon funktio f keskeytyksetön välissä [, π] ja uudessa (lopettoman pistemäärän vinjetin takana) menen f (x), niin että integroidaan neliöön. Tiedoksi, jos tietyllä visionilla ajattelet f () = f (π) і f (x) dx =, silloin tehottomuudesta 2 dx 2 dx puuttuu vain vähän, kuten sitä kutsutaan Wirtingerin päättämättömyydeksi, ja funktio on ei kovin yksinkertainen x) = A cosx + B sin x. 56

57 7. Fur'єn joukon pysähtyminen erotettujen rotujen ilmaantuessa yksityisten kuolleiden keskuudessa Kun todellisen esineen elävöittäminen (luonnon ilmentymä, virusprosessi, valvontajärjestelmä on liian ohut.) astuu askeleen kohti kehitystä. matemaattinen laite. Tieteellisten tutkimusten vaiheessa tällaista lanssia on heilutettu: fysikaalinen malli on matemaattinen malli. Hyökkäävän kentän fyysinen muotoilu (malli) on: se ilmestyy ja kehittää sen päätekijän prosessia, joka kaadetaan uuteen. Alan matemaattinen muotoilu (malli) tekijöiden ja mielien fysikaalisen muotoilun inventaariossa järjestelmien ja yhtäläisten (algebrallinen, differentiaali, integraali jne.) näkökulmasta. Valtionpäätä kutsutaan oikeaksi asetukseksi, kuten laulavassa toiminnallisessa tilassa ajattelun tehtävien ratkaiseminen, yksi ja ainoa ja keskeytyksettä makaamaan tähkä- ja rajamielten päällä. Matemaattinen malli ei ole vain sama kohde, jota tarkastellaan, vaan lähestymme sitä kuvauksella. Viznovok pivnyannya vilnykh malikh poikittaiset kielet. Anna narujen olla kiinni, ja itse naru on kireällä. Jos asetat merkkijonon suoran kohdasta (esimerkiksi vedä se ulos tai vedä sitä pitkin), merkkijono on todennäköisemmin 57

58 vagatisya. Samanaikaisesti kaikki merkkijonon pisteet romahtavat kohtisuoraan ravnovan asemaan nähden (poikittainen yhteys), lisäksi ihohetkellä merkkijono on yhdellä ja samalla alueella. On suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä xou. Todi, jos tähkähetkellä tunnilla t = merkkijono on kasvanut härän akseliin, niin u tarkoittaa langan irtoamista suoran paikasta, niin että merkkijonon pisteen paikka alkaen abskissa x funktion tunnin t viimeisellä hetkellä, tіє arvo Skin kiinteällä arvolla t funktion u (x, t) kuvaaja edustaa merkkijonon muotoa, joka voidaan pyörittää hetkellä t (kuva 32). Vakiolla x:n arvolla funktio u (x, t) antaa lain abskissan x pisteeseen, viiva on suora, yhdensuuntainen akselin Ou kanssa, t häviää ja toinen häviää 2 ut 2 kiihdytetään . Pieni. 32. Voima, jota käytetään äärettömän pieneen määrään merkkijonoja Varasto, joka riittää täyttämään funktion u (x, t). Koko joukko raakoja sprinklejä, anna heidän antaa anteeksi. Naru on ehdottoman tiukka - 58

59 Coy, niin vvazhatimo, miksei viginu saisi kierrettyä lankaa; tse tarkoittaa, scho-jouset, scho-silmäilyt naruille, aina suoristettuna täsmälleen saman її lapasen profiiliin. Jousi välittää merkkijonon ja Hooken lain; tse tarkoittaa, että suuruusmuutos vedettiin sisään suhteessa langan käärmeeseen. Hyväksyttävä yksisäikeinen merkkijono; tse tarkoittaa, її її linea gustina ρ postіyna. Heräämisvoimat ovat epäterveellisiä. Tse ilmaisee, kuinka voimme nähdä sen. Mi vivchatimo vuokra jouset ovat pieniä. Jos merkitsemme ϕ (x, t) leikkausta abskissan ja katkoviivan välillä pisteessä abskissasta x hetkellä t, niin lapsen kentän mieli on siinä, arvolla ϕ 2 (x) , t) on mahdollista ei helposti (joskus x, t), niin että ϕ 2. Koska kut ϕ on malium, niin cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tan ϕ і myös arvo (uxx,) 2 voi olla myös jätetty pois. Kuulostaa heti viplivayltä, mutta laulamisen aikana voit zehtuvati käärmeen toimesta vaikka olisitkin jousien irrottaja. Oikeastaan ​​hieman merkkijonoa M 1 M 2 pitäisi suunnitella abskis-akselille, de x 2 = x 1 + x, tie l = x 2 x () 2 u dx x. x Näytetään, että sallimissamme jännitysvoiman T arvo on merkkijonon vakiojännitys. Samanaikaisesti haluan ensimmäistä kertaa dilyanka kielet M 1 M 2 (kuva 32) kellonaikana t ja osallistumisen sijaan - 59

60 kv vetovoimilla T 1 ja T 2. Värähtelyt langan kaikkien pisteiden nielulle akselin Ou suuntaisesti ja ulospäin suuntautuvat voimat, jolloin akselille Ox kohdistuvien vetovoimien projektion summa vastaa nollasta : T 1 cosϕ (2 x 1, t) + (x 2, t) =. Alkaa pienestä määrästä kutiv ϕ 1 = ϕ (x 1, t) і ϕ 2 = ϕ (x 2, t) -rakennetta, mutta T 1 = T 2. Merkittävää on, että alkuarvo T 1 = T 2 - T. Nyt akseliin Ou kohdistuvien voimien projektioiden F u qix summa: F u = T sin ϕ (x 2, t) T sin ϕ (x 1, t). (2) Oskіlki pienille kutіv sin ϕ (x, t) tg? T (tan ϕ (x 2, t) tan ϕ (x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) xx T 2 ux 2 (x 1, t) x ... Jos piste x 1 on käänteinen, niin F u T 2 u x2 (x, t) x. Lisäksi, koska kaikkien voimien tiedetään menevän M 1 M 2:een, on olemassa vielä toinen Newtonin laki, mikä tarkoittaa, että on tarpeen saada aikaan kaikkien päivän voimien nopea syöttö. Jousen massa on M 1 M 2 tiellä m = ρ l ρ x ja kiihdytetyllä tiellä on 2 u (x, t). Vastaa Newtonin t 2:ta näkökulmalle: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2 (x, t) x, de α 2 = T ρ on pysyvästi positiivinen luku. 6

61 Nopeasti x:llä voimme määritellä mo 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2 (x, t). (21) Tämän seurauksena olemme tehneet lineaarisia eroja yksityisten välillä, eri suuruusluokkia, vanhentuneella suorituskyvyllä. Joogo kutsuu chi-kieliä samanlaiseksi kuin samoja. Rivnyannya (21) є muotoilee uudelleen Newtonin lain ja kuvailee merkkijonon romahtamista. Ale boule vimogin fyysisessä lavastuksessa niistä nauhoista, jotka kiinnitetään ja langat laitetaan seuraavan tunnin aikana. Vastaavasti meidän pitäisi kirjoittaa se muistiin näin: a) on tärkeää, että merkkijonojen loppu on kiinnitetty pisteisiin x = і x = l, joten se on tärkeää kaikille t vikonan suorituksille u (, t) =, u (l, t) =, u (l, t); (22) b) tietoisesti tällä hetkellä t = merkkijonon paikka sijoitetaan funktion f (x) graafin alle siten, että kaikille x [, l]:lle ekvivalenssi on u (x,) = f (x); (23) c) No, ajanhetkellä t = merkkijonon piste abskissasta x, annetaan g (x) nopeus, joten myös u (x,) = g (x). (24) t Spіvdnoshennyaa (22) kutsutaan rajamieleksi ja spіvіdnoshennyaa (23) ja (24) tähkämieleksi. Vilnyh malikhin poikkisuuntainen matemaattinen malli 61

62 merkkijonoa siinä tosiasiassa, että on tarpeen tehdä merkkijono (21) rajatynnyreineen (22) ja tähkinänieluineen (23) ja (24) Vilnyn pienen poikittaisen merkkijonon päätös Fur' menetelmällä. "Alueen kiertäminen (21) xl,< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >... Ellei (25) (21), voimme tunnistaa: X T = α 2 X T, (26) tai T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x). (27) Näyttää siltä, ​​että pahoista on tullut. Eli jos x і t ei ole yksi tapa, niin vasen osa (27) ei ole x:n kohdalla, vaan oikea t:n kohdalla ja cich:n taaksepäin arvo on noin 62

63 voi olla jälkivaiheinen, mikä on merkityksellistä λ:n kautta: T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x) = λ. Tunnistamme kaksi erityistä differentiaaliekvivalenttia: X (x) λx (x) =, (28) T (t) α 2 λt (t) =. (29) Jos kyseessä on suuri raja, ajattele (22) nähdäksesi X () T (t) = і X (l) T (t) =. Oskіlka haju voidaan nähdä kaikki t, t>, sitten X () = X (l) =. (3) Tiedämme rivnyannyan päätöksen (28), koska se miellyttäisi rajamieliä (3). Näkyvissä on kolme näkymää. Vipadoc 1:>. Olkoon λ = β 2. Vastaa (28) X (x) β 2 X (x) = ulkoasua. Joogo-ominaisuus yhtä suuri k 2 β 2 = juuri k = ± β. Otzhe, ratkaisun pää (28) ma viglyad X (x) = C e βx + De βx. Jos olet syyllistynyt virheeseen, niin C ja D niin, että rajadiini (3) jäi kiinni, niin että X () = C + D =, X (l) = C e βl + De βl =. Оskіlki β, tsya järjestelmä rіvnyan maє єdine ratkaisu C = D =. Otzhe, X (x) ta 63

64 u (x, t). Tim itse ensinnäkin piti triviaalina ratkaisuna, sikäli kuin ne eivät olleet näkyvissä. Tyyppi 2: λ =. Todi rіvnyannya (28) nabuvaє näkymässä X (x) = і th ratkaisu on ilmeisesti annettu kaavalla: X (x) = C x + d. Tarjoamme ratkaisun rajanielussa (3), voimme hyväksyä X () = D = і X (l) = Cl =, myös C = D =. Samasta ajasta X (x) ja u (x, t), ja olemme jo hylänneet triviaalin ratkaisun. Vipadoc 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 Nadal nadavatimo n vain positiiviset arvot n = 1, 2, ..., fragmentit, joissa n on negatiivinen, on päätös siitä (kuten nπ). πnx differentiaaliyhtälön (28) tehokkaimmilla funktioilla alueelliset mielet (3). Nyt se on liitetty löyhästi (29). Ma viglyadin uudelle ominaisuudelle k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Oskіlki vische mi z'yuvali, mutta ei-triviaali ratkaisu X (x) іvnyannya (28) є jos negatiiviselle λ on yhtä suuri λ = n2 π 2, niin sama λ mi ja näkyy kaukaa. Suoran (32) є k = ± iα λ juuri ja suoran (29) ratkaisu voivat näyttää tältä: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) ll de A n і B n pysyvin. Esitämme kaavat (31) ja (33) kohdassa (25), tiedämme rivnyannyan (21) yksityisen ratkaisun, mutta olemme tyytyväisiä alueellisiin mielipiteisiin (22): πnx. lll Lisää kerroin C n keulaan і lisää arvo C n A n = bn ja B n C n = an, kirjoita un (X, T) katsojaan (un (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt ) sin πnx. (34) l l l 65

66 Stringjibejä, jotka näyttävät ratkaisut u n (x, t), kutsutaan vlastny strings jibeiksi. Oskilki rіvnyannya (21) ja rajavoitot (22) lіnіynі ja yksisuuntainen, sitten lіnіyna combinatiya rіshen (34) (u (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt) synti tulee 2 πn nx (35π1) päivää ), joka tyydyttää rajamielten (22) erityisellä suoritusvärähtelyllä an ja bn, joka ei tarjoa yhtä suurta määrää esityksiä. Nykyään ratkaisun an ja bn (35) hyötysuhde on niin hyvä, että funktio (24), de f (x), g (x) sai funktion (jossa f () = f (l) = g () = g (l) =). Vaikuttavalla tavalla funktiot f (x) ja g (x) tyydyttävät mielet jakaessaan matalan Fur'єn. Kun (35) on arvo t =, voimme ottaa u (x,) = a n sin πnx l = f (x). Sarjan (35) erottaminen t і:ssä on käytettävissä t =, voidaan tunnistaa ut (x,) = πnα bn sin πnx ll = g (x), ja kokonaisuus on funktioiden f (x) ja g (x) hajautus. ) Fur'є-laavoille. Myös a n = 2 l f (x) sin πnx l dx, b n = 2 l g (x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 Voimme tarjota erilaisia ​​vaihtoehtoja toiminnallisuuksille an ja bn numeroon (35) asti, hyväksymme ratkaisun rivnyannya (21) sekä rajamielille (22) ja tähkämielelle (23) ja ( 24). Tim itse on sitoutunut pieniin ristikkokieliin. Merkkijonoa koskevien ongelmien potenssifunktioissa u n (x, t) tapahtuu fyysinen muutos kaavan (34) mukaisesti. Uudelleenkirjoitettava її viglyadі de n (x, t) = n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctan b n. l a n Kaavasta (37) voidaan nähdä, että kaikki merkkijonon pisteet kulkevat harmonisesti yhdellä ja samalla taajuudella ω n = πnα ja vaiheella πnα δ n. Merkkijonon amplitudi makuulle l l abscissi x pisteen merkkijonosta і tie α n sin πnx. Tällaisella numerolla kaikki merkkijonon pisteet saavuttavat välittömästi maksiminäkyvyytensä siihen suuntaan ja tunti ohittaa linjan sijainnin. Näitä kolyvannyja kutsutaan pysyviksi ylistyksiksi. Seiso mate n + 1 tuhoamaton piste, kuinka kysyä rivnyannya sin πnx = juuret välillä [, l]. Hallitsemattomia pisteitä kutsutaan seisovien khvilien vuzaiksi. Solmujen keskellä pisteet kasvavat, missä näkymissä ne saavuttavat maksiminsa; tällaisia ​​pisteitä kutsutaan antisolmuiksi. Dermaalista merkkijonoa voidaan käyttää tiukasti taajuuksien n = πnα, n = 1, 2, .... laulamiseen ja taajuuksia kutsutaan merkkijonon tehotaajuuksiksi. Alin l-ääni, joka voidaan nähdä merkkijonona, alkaa 67:stä

68 pienitehoinen taajuus 1 = π T і kutsutaan merkkijonon perusääneksi. Інші ääniä, jotka vastaavat l ρ taajuuksia n, n = 2, 3, ..., kutsutaan yliääniksi tai harmonisiksi. Jousityypin spesifisyyden vuoksi päääänen tyyppi (kuva 33), ensimmäinen ylisävel (kuva 34) ja toinen ylisävel (kuva 35). Pieni. 33. Merkkijonon profiili, joka näyttää pääsäveleltä Mal. 34. Merkkijonon profiili, joka näyttää ensimmäiseltä ylisäveleltä. 35. Merkkijonon profiili, joka näyttää erilaiselta ylisävyltä. Kun merkkijono etenee, se alkaa tähkämieleillä, funktio u (x, t) ilmestyy, kuten kaavoista (35) voidaan nähdä, Sumyn silmissä on joitain harmonisia. Tällainen sijoitus riittää siirtokunnalle 68

69 lankaa є seisovien koukkujen päällekkäisyys. Samaan aikaan kielen soundin luonne (ääni, äänen voimakkuus, sointi) on harmonisten amplitudien välissä olevan sp_vdnoshennya-muodossa. Äänen voimakkuus, korkeus ja sointi. Äänen voimaa luonnehtii äänen energia. Äänen ääni alkaa chi-jakson taajuudella: jos taajuus on korkeampi, ääni on korkeampi. Äänen sointi alkaa näkyä ylisävyinä, energia nousee harmonisten taakse niin, että sävy soitetaan. Ylisävelten amplitudit ovat ilmeisesti pienempiä kuin päääänen amplitudi, ja ylisävelten vaiheet voivat olla varsin merkittäviä. Meidän Vuhomme ei ole herkkä Phasie Kolivanille. Vertaa esimerkiksi kahta kuvan 1 käyrää. 36, epäilee z. Tse tallentaa äänen aivan perussävelellä, joka on kierretty klarinetista (a) ja flyygelista (b). Loukkaavat äänet eivät ole yksinkertaisia ​​sinimuotoisia ääniä. Äänen perustaajuus molemmissa tyypeissä on sama ja sama on sävy. Hieman käyriä siihen, että pääsävyyn sovelletaan ylisävyjä. Esitä samaa sointia vauvan laulavassa mielessä. 69

Vastaa hyperbolista tyyppiä. Pylväs estostamattomia ja keskeneräisiä jousia. Fur's method Fur's method Seisova chvili 4 Luentoja 4.1. Vastaa hyperbolista tyyppiä. Kokoelma ei ole loputon ja niin edelleen.

MOSKOVAN VALTION TEKNINEN YLIOPISTO CIVIL AVIATSIN V.M. Lyubimov, Є.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov M A T E M A T І K A R A D I POSIBNIK

VENÄJÄN LIITTOVALTION MINISTERIÖ Valtionbudjettikoulutus Ammatillisen koulutuksen perustaminen MATI Venäjän valtion teknillinen yliopisto nimeltä K.E. Tsiolkovsky

Biloruksen tasavallan opetusministeriö EE "Vitebskin valtion teknillinen yliopisto" Aihe. "Rivit" Teoreettisen ja soveltavan matematiikan laitos. hajottaa Assoc. Є.B. Duninoyu. Main

Liittovaltion koulutusvirasto Ammatillisen koulutuksen liittovaltion virasto PIVDENNY FEDERAL UNIVERSITY R. M. Gavrilova, G. S. Kostetska Metodical

Riadi Furin aihe Riadi Furin käytännön käyttö ortogonaalisten funktiojärjestelmien takana

ALUETEORIA Sarjojen teoria on tärkein varaston matemaattinen analyysi ja osata sekä teoreettisia että numeerisia käytännön raportteja. Razr_znyayut useita numeroita ja toimintoja.

ЗМІСТ ROW FUR'Є 4 Periodisen funktion ymmärtäminen 4 Trigonometrinen kenttä 6 3 Ortogonaaliset funktiojärjestelmät 4 Trigonometriset sarjat Fur'є 3 5 Rivi Fur'є pojille ja parittomille funktioille 6 6 Asettelu

Liittovaltion koulutusvirasto Moskovan osavaltion geodesian ja kartografian yliopisto (MІIGAIK)

Luento 4. Harmoniaanalyysi. Sarja Fur'є jaksollisia toimintoja. Harmony-analyysi

TEEMA V RIV FUUR'Є LUENTON 6 Periodisten funktioiden asettaminen sarjaan Fur'є Bagato -prosesseja, joita esiintyy luonnossa ja tekniikassa, voidaan toistaa laulukehotteiden kautta tunnin ajan.

METODOLOGISET VKAZIVKI ENNEN ROZRAKHUNKOVIKH ZAVDANIA VISCHOMATEMATICIN KURSSILLA "ZVICHAYNI DIFERENCY RIVNYANNYA RANGE Podviyni INTEGRALI" OSA SH TEEMARIVI

6 riviä Fur'є 6 Ortogonaaliset funktiojärjestelmät Fur'n sarjaa ortogonaalisissa funktiojärjestelmissä Funktiot ϕ () ja ψ (), arvot ja integraatio ylhäällä [,], kutsutaan yleisesti ortogonaaliseksi

VARIAATIOT INTEGRAALI. Integraalisummille yksikköintegraalille Nehai annetaan funktio y = f (), joka on annettu muotoon [, b], de< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 askelrivit 5 askelrivit: arvo, eroalue Muodon toiminnallinen rivi (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) de, a, a, K , a, k deyaki-numeroita, soita osavaltiosarjaksi Numbers

BILORUSKIY DERZHAVNIY YLIOPISTO SOVELLETTAVAN MATEMATIIKAN JA INFORMATIIKAN TIEDEkunta

Laita deyaki sen päälle. peppu. Tiedämme loputtoman geometrisen kehityksen summan, innokkuustermin kaava on a + aq + ... + aq n + ... (a). a n = aq n. Lukuisia sumia osia. Jos q =, niin

Zavdannya 1.1. Tietäen määritellyltä alueelta päätös samasta nollasta on differentiaaliyhtälön päätös y = y (x), joka on tyytyväinen aluemielten (Sturm-Livilyn johtaja) tehtävään.

Matemaattinen analyysi Aihe: Lauluintegraali Nevlasny Integraalit Lehtori Pakhomova Є.G. 2017 s. ROZDIL II. Tuon joogo-lisäosan lauluintegraali 1. Tuon joogovoiman lauluintegraali 1. Pää,

Luento 8 4 Sturm-Livilyn päällikkö Pientä poikittaista merkkijonoa kuvattaessa on mahdollista ymmärtää erottelutasa-arvon tähkäreunaongelma yksityisissä vanhemmissa eri järjestyksessä.

Selitetty tekstiin: merkki luetaan jakiksi "tasapuolisesti" ja tarkoittaa, että rivnyanilla oikeakätinen on merkistä ja paha on merkistä bezlich vastaus, merkki IR tarkoittaa bezlich puheen numeroita, merkki IN

82 4. Rozdil 4. Toiminnallinen ja tilarivi 4.2. Varattu 3 4.2. Varattu 3 4.2 .. Laitetaan funktio Taylor-sarjaan ARVO 4.2 .. En tiedä funktio y = f (x) on äärettömästi differentioitunut laitamilla

MINOBRNAUKI ROSIN FEDERALNA DERZHAVNA BUDGETNA OSVITALNAYA INSTANOVA VISCHOЇ PROFESSIONO ARVIO "SAMARSKY DERZHAVNIY TECHNICAL

Liittovaltion rautatieliikennevirasto Ural State University of Nobles ja sovelletun matematiikan laitos

Luento 3 Taylor ja Maclaurin Rows Stagnaation of State Rows Toimintojen järjestely Taylor and Maclaurin Rows State Rowsissa

Lavrenchenkon kanssa wwwwrckoru -luento Furin tarkistaminen Integraalin rekonstruoinnin ymmärtäminen Integraalitarkistuksen menetelmä on yksi matemaattisen fysiikan työlästä menetelmistä - voimakkaalla revisiolla

Funktion integrointi (Rimanille) sama integraali Käytä tehtävien ratkaisua 1. Funktio f (x) = C on integroitu, niin kuin minkä tahansa pisteiden muutoksen tai värähtelyn ξ i integraali

1. vuoden kurssi. Tuo Rimanin funktio 0, m m R (), m, m 0 ja muu ei-lyhyt, 0, irrationaalinen, kuten ihon rationaalipisteessä ja keskeytyksettä ihossa Päätös.

1 2 Zm_st 1 riviä Fur'є 5 1.1 Trigonometric series Fur'є ............ 5 1.2 Tilki sin & cos ................. .... 7 1.3 Fur-sarja kompleksimuodossa 11 1,4 f (x) = ck? .......................

РІВНЯННЯ MATEMATICHNO FYSIIKKA 1. Erilaiset suhteet yksityislapsiin.

Luento 4. Hvilyovi rivnyannya 1. Vivedennya pivnyannya kielet 2. Rivnyannya myöhemmin kolivanin leikkaaminen 3. Kuulokkeet, vanteet 4. Ongelmaselostus 1. Rivnyannya-kielten voitto

1. Sähköstaattinen 1 1. Sähköstaattinen oppitunti 6 Karteesisten koordinaattien muutosten kehitys 1.1. (Tehdasasetus 1.49) Alue z = varautunut voimakkuudesta σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), de σ, α, β post_yni.

Moduuli Aihe Toiminnalliset päätteet ja sarjat Yhtä tärkeät voimat ja sarjat

Vastaa parabolista tyyppiä. Menetelmä saman alueen muuttamiseen Yksi tehtaan alue Laitteen toiminnot Ei yhtä samalle lämmönjohtavuustyypille 7 Luentoja 7.1 Vastaa parabolista tyyppiä. Podil-menetelmä

Lukusarjan luento Arvonmerkit Numerosarjat Arvonmerkit Numerosarjat Arvomerkit Numerosarjat Arvomerkit Numerosarjat Arvomerkit Numerosarjat

35 7 Trigonometrinen sarja Fur'є Rows Fur'є jaksollisille funktioille jaksolla T.

Metallurgian tiedekunta Ruokamatematiikan laitos ALUE Menetelmäohjeet Novokuznetsk 5 Liittovaltion koulutusvirasto

Matematiikan ja informatiikan laitos Koko matematiikan elementti Alkumetodinen kompleksi toisen asteen ammatillisen koulutuksen opiskelijoille, jotka alkavat oppia etätekniikoista.

9. Ensinnäkin ei-arvointegraali 9 .. Asetetaan funktio f () väliin I R. Funktiota F () kutsutaan ensisijaiseksi funktioksi f () välille I, kun F () = f () mille tahansa I:lle, joka on ensisijainen

DIFFERENTIAALITOIMINNAT YKSI TALVI Yksinkertaisen, geometrisen ja fyysisen Zavdannya-aistin ymmärtäminen, luoda ennen kuin ymmärrät Stosovo S:n primitiivisen nimeämisen linjalle y f (x) pisteessä A x; f (

Vastaa hyperbolista tyyppiä. Pylväs estostamattomia ja keskeneräisiä jousia. D'Alembertin menetelmä Hajusteeton merkkijono. D'Alembertin kaava Epälineaarinen merkkijono 3 Luento 3.1. Vastaa hyperbolista tyyppiä.

Зміст Vstup. Perusymmärrys .... 4 1. Volterrien integraaliperhe ... 5 Kotitalouden muunnelmat ... 8 2. Volterrien integraaliperheen resoluutio. 10 Kotitalousvaihtoehdot ... 11

ALUE. Numerorivit. Nehain pääarvo annetaan rajoittamattomalle määrälle Viraz-lukuja (rajaton summa) a, a 2, ..., an, ... ai = a + a 2 + + an + ... () i = be kutsutaan numeeriseksi sarjaksi. Numerot

8. Askelrivit 8 .. Funktionaaliset sarjat muotoa cn (z) n, (8.) n = de cn on numeerinen sekvenssi, R on kiinteä luku ja z R:tä kutsutaan tilariviksi parametrein c n . Vicone korvaa voittajat

~ ~ Ei-tärkeät ja merkityksettömät integraalit Alkuperäisen ja määrittämättömän integraalin ymmärtäminen. Nimitys: Funktiota F kutsutaan ensimmäiseksi riviksi suhteessa funktioon f, samoin kuin kiinnitysfunktioon

3724 RIVIÄ CRATNI І KRIVOLINIINI INTEGRALS 1 ROBOCH OHJELMA ROSDILIV "RIVI CRATNI І CRYVOLINI INTEGRALS" 11 riviä numeroita Ymmärrä numerosarja Numeroiden teho

SYÖDÄ. RUDIUMMATHEMATICHNY ANALIZ. NUMEROT JA TOIMINNALLISET RIVIT NOVOSIBIRSK 200 2 MINOBRNAUKI ROSIN GOU VPO "NOVOSIBIRSKY DERZHAVNIY PEDAGOGICHNY UNIVERSITY" О.М. Rudiy MATEMATICHNY ANALIZ.

LUETTO N 7. Taylor's Rows ja Taylor's Rows ... Taylor's Rows ... Taylor's Row ...

NELIÖ RIVNIANNYA Zmist NELIÖ RIVNIANNYA ... 4.se viimeinen neliö rivnyan ... 4 ..

ROZDIL ZAVDANNIA PARAMETREILLÄ Kommentit Parametrien hallinta on perinteisesti є taitettavat tilat EDI:n rakenteissa, jotta voit käyttää kaikkia lasten ratkaisemisen menetelmiä ja menetelmiä.

Differentiaalilaskenta Otettu osaksi matemaattista analyysiä Leikkausfunktiot. Ei-arvojen Rozkritta rajoilla. Toiminnot ovat samanlaisia. Erottamisen säännöt. Zasosuvannya obhіdnoї

Sarja Furin ortogonaalisia funktiojärjestelmiä Algebran näkökulmasta tietyn luokan a funktioiden ekvivalenssi - suorituskyky R:stä mutta C:stä tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että vektori on vektorien lineaarinen yhdistelmä

1. Lauluintegraali 1.1. Olkoon f:n ympäröimä funktiolla, joka on asetettu muotoon [, b] R. Rozbittyam vidrizka [, b] kutsu tätä pistejoukkoa τ = (x, x 1, ..., xn 1, xn) [, b] , uh = x< x 1 < < x n 1

Head Stair Rows a a a Row view a a a a a () kutsutaan staattisiksi, de, a, postoperatiivisiksi, joita kutsutaan funktionaareiksi rivissä.

Aseteltu riviin FUR-tyyppejä ja parittomia toimintoja.

Useiden Furin parillisten ja parittomien funktioiden asettelu Funktiot f (x), jotka on määritetty vidrizka \ -1, de I> 0, kutsutaan pariksi, koska parillisten funktioiden kuvaaja on symmetrinen ja ordinaattien akseli. Funktiota f (x), joka on annettu muotoon J), de I> 0, kutsutaan parittomaksi, koska parittomien funktioiden kuvaaja on symmetrinen koordinaattien tähkän kanssa. peppu. a) Funktiot є pariksi yhdistetyt vaihtoehdot | -jt, jt), eli kaikille x e b) Funktiot ovat parittomia, eli listaus riviin Fur'є tyyppejä ja parittomia funktioita; Fur'є funktioille, joissa on pitkä aika Monimutkainen merkintä joukolle Fur'є Riadi Fur'є useille ortogonaalisille funktiojärjestelmille Luku Fur'є ortogonaaliselle järjestelmälle Järjestelmän funktion minimiteho Järjestelmän löysyys (x) de ni kavereille, ni parittomille funktioille, oskilki Nekhai-funktio f (x), joka on tyytyväinen lauseisiin 1, є paritettu x |:n perusteella. Todi all tobto. / (x) cos nx on parillinen funktio ja f (x) sinnx on pariton. Tällöin parifunktion funktio / (f) täydentää funktion Otzhe, ma viglyadin parifunktion numero 00 Yaksho f (x) on pariton funktio lähdössä [-tg, ir |, sitten funktiota ei ole yhdistetty pariksi ja yhteenlasku f (x) sin nx on parifunktio. Sellaisessa arvojärjestyksessä voidaan nähdä sarja Fuhrin parittomia funktioita. Liite 1. Välilyönnit sarjassa Fur'є kaltaisessa -x ^ x ^ n funktiossa 4 Joten parin funktiona ja jos tyydymme Lauseilla 1, niin tiedämme kofіtsієnti Fur'є. Mamo Dvіchі integrointi osissa, otrimamo, niin että tämän viglyadєn funktion Fur'є lukumäärä on seuraava: joka tapauksessa avoimessa näkymässä arvo on reilu millä tahansa x €:lla, niin kuin kohdissa x = ± ir f (x) = x2, fragmentteja F (x) = x ja annetun rivin summan kaaviot on esitetty kuvassa. Kunnioittaminen. Fur'є:n koko sarja antaa sinun tietää yhden numeerisen sarjan summan, joka suppenee, ja itsensä summan, kun x = 0, se on tunnistettavissa, mutta Sovellus 2. Laajenee Fur'є-sarjassa välillä funktio / (x) = x. Funktio / (x) tyydyttää Lauseen 1, ja se on myös mahdollista laajentaa Fur-riville, joka funktion parittoman funktion kautta integroituu yhteen, tunnemme funktion funktion funktion. annettuna, Fur-rivi kaikki x pisteet x - ± tg summautuvat joukkoon Fur'є eivät pääse eroon funktion arvoista / (x) = x, osa tärkeimmistä asennoista on samankaltaisessa [- *, i-] summa useisiin є jaksollisiin lisätoimintoihin / (x) = x; її kaavio näkyy kuvassa. 6. § 6. Käyttölaitteelle annetun toiminnon järjestely riviin sinien takana tai kosinien kautta. Keskeisen toiminnon merkitys toimitukselle 0 | on mahdollista olla eri luokkaa. Voit esimerkiksi käyttää toimintoa / ajoneuvossa], joten schob /. Minulla on paljon vipadkua sanoa, että) "ylennetty vidrizok 0:ksi] nuorella arvolla"; її useita Fur'є kosto lishe kosinusi. Koska funktio / (f) on tärkeä muotoon [-l-, mc], niin jos funktio on pariton, jos näyttää siltä, ​​että / "ylennetään muotoon [- *, 0] parittomalla arvolla"; Kaikki rivi Fur'є sekoitetaan vain poskionteloihin.. Myös ihoa ympäröi möykky-monotoninen toiminto / (f), se on määritetty vaihtoehtoiseksi, on mahdollista laajentaa rivissä Fur'є і sinejä pitkin, і kosinuksia pitkin Sovellus 1. Funktiot ruusurivissä 'є: a) kosinin mukaan; b) poskionteloiden takana. M Toiminto annetaan parillisten ja parittomien promootioiden tapauksessa vidrizoksissa | -x, 0) kietoutuvat yhteen, että shmatkovo-monotoninen. a) Jatkuvasti / (z) lähdössä 0) a) Jatkuvasti j \ x) lähdössä (-tg, 0 | male rank (kuva 7), joka on rivi Fur'є i matime viglyad P = 1 de tehokkuus Fur ' є, b) Jatka / (z) muodossa [-x, 0] pariton (kuva 8). Todi її useita Fur'є §7. Sarja Fur'є funktiolle, jolla on tietty ajanjakso Nehai-funktion korjaus) є kausijulkaisu, jonka jakso on 21,1 ^ 0. Tämä funktio F (t) = / ^ tj on periodin argumentin t jaksollinen funktio ja se voidaan laajentaa Fur'є-riville asti. , Pysyä vallassa ja säännöllisissä toiminnoissa tietyn ajan 21. Zokrem, saatuaan vahvuutensa ja riittävän merkitsemään funktioiden jakautumisen Fur'є-rivillä. Sovellus 1. Fur'є-sarjan laajentaminen on jaksollinen funktio jaksolla 21, joka annetaan muotoon [- /, /] kaavalla (kuva 9). Joten kun parin funktio on annettu, niin useille Fur'є maє viglyadille annetaan joukko Fur'є tuntee Fur'є funktioiden arvot, otamme huomioon yhden tärkeän tehon merkityksen. jaksollisista funktioista. Lause 5. Jos jakson T funktio on integroitu, niin olkoon se luku ja m:n yhtälö näytetään. Toisin sanoen integrointi ei perustu tiejakson T eroon, vaan sama merkitys on suoraan ajon asennosta numeerisella akselilla. Tosin Robimo korvaa muutoksen toisesta Integralista, vvazhayuchista. Tse daє ja і myös geometrisesti teho tarkoittaa, että kuvassa 2 varjostetut alueet. 10 toisiaan vastaavaa aluetta. Zokrem, funktiolle f (x) pisteellä, se on hyväksyttävää, kun rivi FUR'-tyyppejä ja parittomia funktioita on sijoitettu riviin sinien taakse tai kosinien mukaan. Fur'є-funktio Fur'-sarja ortogonaalisten järjestelmien mukaan Parsevalin parseval-yhteensopivuuden minimaalinen hyötysuhde. Järjestelmien pyöriminen ja suljettavuus Sovellus 2. Funktio x є jaksollinen jaksosta Tämän funktion parittoman luonteen vuoksi integraaleja laskematta on mahdollista käyttää, mutta jos jollekin on annettu teho, jousi, joka on jaksollisten funktioiden f (x) numeron funktio. (merkittävästi funktio on cos - ja sin voi olla jakso 2 /). Sovellus 3. Fur'є-luvun avaaminen välissä annetaan funktiolla, jonka jakso on 2x (kuva 11). 4 Tiedämme toiminnon toiminnallisuuden. Otzhe, sarja Fur'є nähdään näin: Pisteessä x = jt (ensimmäisen suvun leikkauspiste) maєmo §8. Kattava merkintä useille Fur'є Koko kappaleessa vikoristovuyutsya deyaki elementtejä monimutkaisen analyysin (div. Razdil XXX, de all diy, joka suoritetaan täällä monimutkaisten viraasien, suvoro rimmed). Olkoon funktion f (x) tyydyttävä tarpeeksi tilaa Fur'є-rivillä. Esimerkiksi Vikoristin Eulerin kaavojen tyyppi voidaan esittää kompleksisessa muodossa (3). Virazi kofіtsієntіv tuntee sen integraarien kautta. Vastaavasti с „, с_п і с” jäännöskaava voidaan kirjoittaa seuraavasti:. ... Ominaisuuksia kutsutaan monimutkaisiksi funktioiksi Fur'є funktioiksi Jaksottaisille funktioille jaksosta), monimutkaista muotoa käytetään useissa Fur'є ihmiset näkevät de kofitsinti Cn laskettu kaavojen mukaisesti arvo, sekä sovellusten välillä. Tilat monimutkaisessa sarjassa Fur'є funktio jakson. Toiminto annetaan jakauman riittävälle mielelle rivissä Fur'є. Nekhai Osaaminen monimutkaiset toiminnot Fur'n keskeinen toiminto. Mahmo parittomille pojille n tai lyhyemmille. Predstavlyayuchi merkitys), tunnistettava jäännös Suuri, mutta luku voidaan kirjoittaa näin: Rivi Fur'є ortogonaalisten funktiojärjestelmien takana 9.1. Ortogonaaliset funktiojärjestelmät Tarkoituksenmukaisesti kaikkien (toiminta)funktioiden kautta, jotka ovat merkityksellisiä ja integroituvat neliöön [a, 6], niin että sellainen, jollekin yksinkertaiselle integraalille. Zokrema, kaikki funktiot f (x), ilman keskeytystä muotoon [a, 6], olevan 6], ja Lebesguen integraalien merkitys sisältyvät Rimanin integraalien merkitykseen. Viznachennya. Funktiojärjestelmää de kutsutaan ortogonaaliksi muotoon [a, b \, kuten Umov (1) siirtävä, zokrem, mutta funktiot eivät sovi samalle nollalle. Olennainen puhua Sensei Lebesguen kanssa. Jos arvoa kutsutaan funktion normiksi ortogonaalisessa järjestelmässä mille tahansa koneelle, niin funktiojärjestelmää kutsutaan ortonormaaliksi. Jos järjestelmä (y> „(g)) on ortogonaalinen, niin järjestelmä Sovellus 1. Trigonometrinen järjestelmä on suunnaltaan ortogonaalinen. Toimintojärjestelmä є ortonormaali funktiojärjestelmä, liite 2. Kosinijärjestelmä і sinijärjestelmä on ortonormaali. Esitetty, arvot є ovat ortogonaalisia suuntaan (0, f |, mutta eivät ortonormaalia (I F-2). Joten kuten їх normit COS Liite 3. Pussitusta, kun se alkaa ravnistyu, voidaan kutsua bagatole () polynomi) Legendre. tuoda funktion muodostamaan ortonormaali funktiojärjestelmä matkalla. Näyttää esim. Legendren polynomien ortogonaalisuudesta. luokkaan m - I mukaan lukien, se muunnetaan nollaksi funktion lopussa muotoa [-1,1). Viznachennya. Funktiojärjestelmää (pn (x)) kutsutaan ortogonaaliksi välillä (a, b) funktion p (x) kanssa, missä: 1) kaikille n = 1,2, ... Se on merkitty i:llä positiivisesti kaikkialla välissä (a, b) loppupisteiden mahdollisen vinjetin takana, jossa p (x) voi kääntyä nollaan. Tehtyään erotuksen kaavassa (3), se tunnetaan. Voidaan osoittaa, että Chebishev-Ermitin kääntyminen on ortogonaalinen intervallin suhteen Sovellus 4. Besselin funktiojärjestelmä (jL (pix) ^ on ortogonaalinen Besselin funktion nollan väliin. ortogonaalinen funktiojärjestelmä väli (a, 6) ja rivi (cj = const) suppenevat koko välissä funktioon f (x): järjestelmä on otrimaєmo, scho tsya operatsіya maє, ilmeisesti se on muodollinen luonne. Tim ei ole vähäisin, joillekin ihmisille esimerkiksi jos sarjat (4) konvergoivat tasaisesti, kaikki funktiot ovat keskeytyksettömiä ja väli (a, 6) on tylsä ​​ja operaatio on laillinen. Meille hyvin muodollinen tulkinta on meille yhtä aikaa tärkeämpää. Otzhe, anna funktion asettaa. Numerot, joissa on *, ovat voimassa kaavassa (5) ja voimme kirjoittaa Oikealla olevaa sarjaa kutsutaan Fur'є-funktion f (x) ja järjestelmän (^ n (i) sarjaksi. ) - Lukuja Cn kutsutaan Fur'є-funktion f (x ) funktioiksi koko järjestelmälle. ~-merkki kaavassa (6) tarkoittaa, että luvut Cn on sidottu funktioon / (g) kaavalla (5) (jos sitä ei siirretä, mutta oikealla oleva rivi konvergoi, mutta enemmän konvergoi funktioon f (x)). Siihen on luonnollista syödä ruokaa: mitä voimaa siinä on? Mikä arvo "edustaa" funktiota f (x)? 9.3. Keskiarvon arvo. Viimeinen, suppenee elementtiin] keskellä, kuten normi laajuudessa Lause 6. Samoin viimeinen) konvergoi tasaisesti, se ei konvergoi keskellä. M Älä anna viimeisen () mennä suoraan suuntaan [a, b] funktioon / (x). Tse tarkoittaa, että jotta iho ylipäänsä saavuttaisi suuren mamo Otzhen, voimamme äänet ovat voimakkaita. Selkäranka on väärä: viimeinen () voi supistua keskellä / (x), mutta ei täsmälleen samanlainen. peppu. Viimeinen asia on helppo nähdä.Helppo varmuuskopioida, mutta Ale tsya ei toimi takana: se on esimerkiksi, se on esimerkiksi, etten tule olemaan hieno, mutta suurimmaksi osaksi Aloitan rivin neljästä tyypistä ja vertaansa vailla olevista funktioista.. kosinit Row Fur'є funktioille, joilla on esijaksojakso. ortogonaalinen järjestelmä Funktioiden minimiteho Fury-ommeltavat järjestelmät Löysät järjestelmät Ortonormalisoitu järjestelmä Lineaarinen yhdistelmä de n ^ 1 - kiinnitti kokonaisluvun, ja tiedämme viimeisten arvon, joille integraali on minimiarvo. Kirjallinen raportti on termi kerrallaan mielenkiintoinen, järjestelmän ortonormaalisuudesta johtuen on mahdollista tunnistaa tasapainon oikean osan kaksi ensimmäistä täydennystä (7) eivät valehtele, ja kolmatta ei voi olla löytyi. Tähän integraali (*) lisää minimiarvon kohdassa ak = ck, integraalia kutsutaan funktion / (x) lineaariyhdistelmän Tn (x) keskimääräisiksi neliöllisiksi approksimaatioiksi. Tällaisessa arvojärjestyksessä funktion / hyväksy keskineliön approksimaatio on pienin arvo, jos. jos Tn (x) є 71-osa järjestelmän takana olevien funktioiden lukumäärän / (x) summasta (. Vazhayuchi ak = ck, s (7) voimme hyväksyä Ekvivalenssia (9) kutsutaan samaksi Besseliksi. , sitten, koska Besselin inertti Oskilka, olen melko paljon täällä, niin Besselin epäjohdonmukaisuus on mahdollista vahvemmassa muodossa, eli mille tahansa funktiolle / useille funktioiden neliöille. Joten koska järjestelmä on ortonormalisoitu [-x, tg] perusteella, ristiriita (10) poikkipalkissa trigonometrisen sarjan Fur'є perusmerkinnällä kyllä Jos f2 (x) on integroitu, niin läpi välttämättömän mielen useita epämääräisiä hermojen vasemmassa osassa (11) tunnistetaan hyvin. Parsevalin pariteetti Joissakin järjestelmissä (^ „(x)) kaavan (10) siveettömyyden merkki voidaan korvata (kaikille funktioille / (x) 6 vuotta) pariteetin merkiksi. Otrimanin pariteettia kutsutaan parseval-Steklovin pariteetiksi (mieleksi). Besselin identiteetti (9) antaa meille mahdollisuuden kirjoittaa umov (12) vastaavassa muodossa Tim itse, mielen nimi tarkoittaa, että sumin osat Sn (x) ovat alhaisia, jotta funktio / (x) lähentyisi funktio / (x) keskellä, niin että. yli normin 6]. Viznachennya. Järjestelmä on ortonormalisoitu (kutsutaan enemmän b2:ssa [ay b], ikään kuin funktio voisi olla mahdollisimman tarkka keskirivin yhdistelmässä, se voitaisiin toimittaa suurella määrällä lähetyksiä, jotta se voisi olla funktio , B \ i millä tahansa e> 0:lla on luonnollinen luku nq і numerot a \, a2y ... koko järjestelmälle, siirry f (x) keskelle, jotta normille Voit osoittaa, että trigonometrinen järjestelmä on harva, tähdet ovat elävästi kiinteitä. Lause 8. Jos trigonometrisen Fur-sarjan funktio konvergoi siihen keskiarvossa. 9.5 Suljetut järjestelmät. Visnachennya-järjestelmien potentiaali ja sulkeutuminen. Funktiojärjestelmä \ on ortonormaali, jota kutsutaan suljetuksi, kuten Li \ a-avaruudessa, b) se ei ole normaali nollafunktioista, ortogonaalinen kaikille funktioille. Oikea 1. Aseta rivi Fur'є intervallifunktioon (-ya-, z) 2. Aseta rivi Fur'є intervallifunktioon (-tg, tg) 3. Aseta rivi Fur'є intervallifunktio (-tg, tg) 4. Sijoita Fur'є-sarja väliin (-jt, tg) funktiolle 5. Sijoita Fur'n-sarja väliin (-tg, tg) funktiolla f (x) = x + x. 6. Sijoita Fur'є riviin asti intervallin (-jt, tg) funktiossa n 7. Sijoita Fur'є riviin asti intervallin (-tg, z) funktiossa / (x) = sin2 x. 8. Sijoita Fur'є riviin asti intervallin (-tg, jt) funktiossa f (x) = y 9. Sijoita Fur'є riviin asti intervallin (-tt, -k) funktiossa / (x) ) = | synti x |. 10. Aseta sarja Fur'є väliin (-ya-, mr) funktio / (x) = §. 11. Sijoita funktio f (x) = sin § riville Fur'є väliin (-tg, tg). 12. Laajenna Fur'є-riviä välissä (0, x) annetulla funktiolla f (x) = n -2x työntämällä se väliin (-x, 0): a) kaverina; b) pariton sijoitus. 13. Sijoita Fur'є-luku funktion f (x) = x2 sinien taakse välissä (0, x). 14. Pura sarja Fur'є-funktioita / (x) = 3, joka on annettu välillä (-2.2). 15. Laajenna funktio f (x) = |x | riville Fur'є, joka on annettu välissä (-1,1). 16. Sijoita Fur-rivi sinien taakse funktiolla f (x) = 2x, joka on annettu välissä (0,1).