Razkladannya rivissä turkis'є kaverit ja parittomia toimintoja tehottomuutta bezsel parseval. Suorituskyvyn arvo rivissä turkisten kaavoille

Kaide Fur'є funktiota f (x) välillä (-π; π) kutsutaan trigonometriseksi sarjaksi muodossa:
, de

Kahvan Fur'є-funktiota f (x) välissä (-l; l) kutsutaan trigonometriseksi sarjaksi, jonka muoto on:
, de

Tunteva. Online-laskin arvojen f (x) -funktion laajentamiseksi Row Fur'є:lle.

Valitse moduulitoimintoja varten (esimerkiksi | x |). kosinijakauma.

Säännöt toimintojen käyttöönotolle:

Valitse moduulin funktioille kosinijakauma. Esimerkiksi | x | on tarpeen varmuuskopioida toiminto ilman moduulia, joten. x.

Rivi Fur'є shmatkovo-keskeytyksettä, shmatkovo-monotoninen ja kietoutunut väliin (- l;l) -funktio konvergoimaan kokonaislukuakselia pitkin.

Suma rivi Fur'є S (x):

• є jaksollinen funktio jaksolla 2 l... Funktiota u (x) kutsutaan jaksolliseksi jaksolla T (tai T-jaksolliseksi), kaikille x-alueille R, u (x + T) = u (x).
• väliajalla (- l;l) aloita toiminnon käyttö f(x), leikkauspisteiden vinjetin takana
• leikkauspisteissä (ensimmäinen laji, eli toiminto on ympäröity) toimii f(x) ja välin lopussa keskiarvot ovat:

.
Sanoa, että funktio taittaa riviksi Fur'є välissä (- l;l): .

Yaksho f(x) Onko parillinen funktio, niin її leviää ottamaan parillisen funktion kohtalon, tobto b n=0.
Yaksho f(x) - pariton toiminto, sitten її leviää kohtalokseen riistää parittomia toimintoja, tobto a n=0

Kaide Fur'є toimintoja f(x) välissä (0; l) useiden kaarien kosineissa kutsutaan riviksi:
, de
.
Kaide Fur'є toimintoja f(x) välissä (0; l) useiden kaarien sinin takana kutsutaan riviksi:
, de .
Summa sarjaan Fur'є useiden kaarien kosinien takana є paritettu jaksollinen funktio jakson 2 kanssa l, scho zbіgaєatsya s f(x) välissä (0; l) keskeytyspisteissä.
Summa riviin Fur'є useiden kaarien sinien takana є pariton jaksollinen funktio jakson 2 kanssa l, scho zbіgaєatsya s f(x) välissä (0; l) keskeytyspisteissä.
Tietylle funktiolle tietyllä aikavälillä useille Fur'є:ille voidaan antaa yksittäisyyden voima, jotta se voidaan käsitellä samalla tavalla kaavojen rekisteröinnin alapuolella, esimerkiksi suorituskyvyn lisävalintaa varten, muodossa

Peppu numero 1. Välilyönnit funktiolla f (x) = 1:
a) välin Fur'є:n ylärivillä(-π ;π);
b) rivi intervallin useiden kaarien sinin takana(0;π); herätä kuvaaja siitä, joka oli leikattu pois useista Fur'є
Päätös:
a) Laajentuen Fur'є-riville välissä (-π; π) ma viglyad:
,
ja kaikki ominaisuudet b n= 0, koska funktio on annettu - pari; sellainen arvo,

Ilmeisesti Viconanin pariteetti on
a 0 =2, a 1 =a 2 =a 3 =…=0
Tarkastelen yhtenäisyyden ja shukany-toiminnallisuuden voimaa. Tällaisella arvolla shukane-jakauma: chi on vain 1 = 1.
Tällaisessa tapauksessa, koska lukua voidaan käyttää sen funktiona, kaaviota useille Fur'єlle voidaan käyttää useille funktioille kaikilla numerorivilla.
b) Laajentuen ma viglyadin useiden kaarien sinin taakse intervalliin (0; π):
Tehokkuuden hyväksyminen on tietysti liian huono asia. Skoristaєmosya kaava suorituskyvyn laskemiseksi:


Sellaisessa arvossa, miehille n (n=2k) maєmo b n= 0, parittomille ( n=2k-1) -
Noh, .
Herätä useiden Fur'єn otrimannyn kaavio, joka nopeuttaa hänen voimaaan (jumalallinen vishche).
Nyt on keskusfunktion kaavio tietyllä aikavälillä. Dal, ylinopeus parittoman summan numeroon, prodovzhumo-kaavio on symmetrinen koordinaattien tähkän kanssa:

Prodovzhumo määräajoin kaikilla numeerisilla akseleilla:


I nareshti, leikkauskohdissa, keskimmäiset (valitsemme ja elämme rajalla) merkitykset:

Peppu numero 2. Toiminnallisuus aikavälillä (0; 6) useiden kaarien sinien takana.
Päätös: Jakelu, pilkata, maє viglyad:

Värähtelyt ja elämiset sekä tasa-arvon osan oikeus vahvistaa synnin toiminta muista argumenteista, sitten pohtia uudelleen, mikä menetetään, kun joissakin oikeissa osissa on n:n (luonnollinen!) Argumenttien merkitys:
tähdille n = 18. Se tarkoittaa, että tällainen omaisuus on kostaa oikealla puolella ja toiminto on syyllinen kokouksen uudessa osassa vasemman osan toiminnolla: b 18 =1;
tähdille n = 4. Tarkoittaa, b 4 =-5.
Tällaisella arvolla voit korjata esitysten asettelun etäisyyden avuksi.

Jakki jo ystävällisesti nabridli. Näen, että hetki on ohjeistettu, sillä teorian strategiset reservit ovat opettaneet uuden säilykkeen tunnin. Miksi funktiota ei voi järjestää riviin kuten inaxe? Onko mahdollista esimerkiksi piirtää suora viiva sinin ja kosinin läpi? Tunnetuksi, ala taki, nachebto, kaukana annetaan yhdenlainen yksi toiminto
"vozz'єdnannya". Monet tutuista vaiheista teoriassa ja käytännössä menevät funktioon peräkkäin.

Päivän päätteeksi voimme tutustua Fur'єn trigonometriseen sarjaan, valuttaa sen talouden ja sumin ravintoa sekä yllättäen valita tölkkien lukumäärä Fur'є-rivin toimintojakaumaa varten. . Suurimman osan ajasta halusin nimetä artikkelin "Turkisrivi teekannuille", ale tse bulo ovelasti, jotkut viimeiselle sukupolvelle tietämään matemaattisen analyysin ja käytännön tiedon jakamista. Tuohon johdanto-osaan nagaduvatime koulutus kosmonautteja =)

Ensinnäkin, kunnes materiaalit nostetaan, sivujen on mentävä uuteen muotoon. Nukuimme, näimme sen ja se oli vaikeaa. Ilman vahvoja tunteita hamsterin pahan tassun ajamisesta ja häiritseviä ajatuksia akvarelliribokien tyagar-elämästä. Useat Fur'єt eivät ole taitettavia yhdellä silmäyksellä, vaan pikemminkin käytännöllinen lähestymistapa kunnioituksen keskittymisen lisäämiseen - ihannetapauksessa suosituimpien kehitys lisääntyy entisestään. Tilannetta kiihtyy aika, mutta ei helppo tapa pohtia ratkaisua ja ulkonäköä. Tällaisella arvolla, jos itsetuntosi on keskimääräistä alhaisempi, annamme sinulle anteeksi kauniimmin. Shypravda.

Toisin sanoen, ennen avaruuteen lentämistä on tartuttava avaruusaluksen kiinnityspaneeliin. Useimmiten koneen napsautukseen syyllistyneiden toimintojen merkityksen vuoksi:

Millä tahansa luonnollisella merkityksellä:

1). Ensinnäkin sinusoidi "ompelee" abskiksen ihon läpi "pi":
... Jos myöntäisit väitteelle negatiiviset merkitykset, tulos olisi ilmeisesti sama:.

2). Mutta he eivät tienneet kaikkea. Kosini "pi en" є vastaa sanaa "flasher":

Kielteinen argumentti ei vain välitä: .

Mabut, se riittää.

Minä, kolmas, olen shanovny zagіn kosmonautit, on tarpeen mennä ... integraruvati.
Zokrem, lauloi anna funktio differentiaalimerkille, integroida osia i bootie frets z Newton-Leibnitzin kaavan mukaan... Se on erittäin tärkeä oikean puolen edessä. En kategorisesti suosittele sen väliin jättämistä, koska se ei litistynyt puuttuessa:

Peppu 1

Laske integraalit

de nabuwaє luonnonarvo.

Päätös: Integrointi suoritetaan muutokselle "x" ja tietyssä vaiheessa diskreetti muutos "en" käytetään vakiona. Kaikissa integraaleissa varustettu erotusmerkin toiminnolla:

Lyhyt versio ratkaisusta, kunnes olet tarpeeksi hyvä tähtäämään, näyttää tältä:

Zvikaєmo:

Chotiri on välimerkki, spontaanisti. Yritä ottaa kaikki irti saadaksesi integroinnin päätökseen lyhyellä matkalla. Oppiratkaisuja oppitunnille.

Pislya yakisnogo vikonannya oikea nadyagaєmo avaruuspuvut
ja valmis aloittamaan!

Toimintojen jakautuminen riviltä Fur'є

Deyaku-toiminto, yaka nimetty lainattu ennakkoon (ja ehkä isompaan ennakkoon). Koska toiminto on integroitu rivi Fur'є:
de - ns kofіtsієnti Fur'є.

Kun numeroon soitetaan jakeluaika, ja numero - napіvperіodom jakelu.

On selvää, että zagalny vipadissa rivi Fur'є taittuu sivuonteloiksi ja kosinuksiksi:

Dіysno, kirjoitti luennon:

Nollatermi on alhainen jakki.

Kertoimet Fur'є maksetaan seuraavista kaavoista:

On ihanaa ajatella sitä, joten on hyvä kuunnella aihetta. jakeluaika, napivperiod, kofіtsієnti Fur'є että ін Ilman paniikkia, se ei ole kysymys hvilyuvannyam ennen sisäänkäyntiä ulkoavaruuteen. Kaikki tallennetaan lähimpään peppuun, vierailijoiden edessä on loogista järjestää päivittäiset käytännön ateriat:

Mitä alempien tilausten tarkistamista vaaditaan?

Laajenna funktio riviksi Fur'є. Ei ole helppoa laatia funktion kuvaajaa, peräkkäisen summan kuvaajaa, yksityistä summaa, ja edistyneiden ammatillisten fantasioiden kehittämisessä on enemmän kehitystä.

Kuinka laajentaa toimintoa useisiin Fur'є?

Päivän aikana sinun on tiedettävä kofіtsієnti Fur'є tobto taittaa ja laskea kolme lauluintegraalit.

Ole lumikko, kirjoita zagalny viglyad uudelleen Fur'є-riville, jotka kolme toimivaa kaavaa itsellesi. Olen pieni radium, joten kavereissa, jotka avasivat sivuston suoraan silmiini, maailman lapsesta tulee astronautti.

Peppu 2

Jaa funktio riville Fur'є-riville. Pobuduvati-graafi, kuvaaja sumi tuon yksityisen sumin vieressä.

Päätös: laitoksen ensimmäinen osa sijaitsee jakelufunktiossa Fur'є-rivillä.

Korva on vakio, obov'yazkovo kirjoitus, scho:

Samalla jakelujakso on mm.

Laitamme funktion riville Fur'є riville:

Vikoristovuchi perustuu kaavoihin, tiedämme kofіtsієnti Fur'є... Nyt sinun on laskettava se alas ja laskettava kolme lauluintegraalit... Mukavuuden vuoksi numeroitan kohdat:

1) Ensimmäinen integraali on kuitenkin yksinkertaisin, ja se on jo vimag silmästä:

2) Vikoristovumo ystävä kaava:

Tsey integraral dobre znayomiy i palasiksi otettuna:

Vicoristanon tietämyksellä menetelmä tuoda funktio erotusmerkkiin.

Johtajalla tervehtii heti vikoristovuvati lauluintegraalin osien yhdistämisen kaava :

Pari teknikkoa. Perche, kirjoittaa kaavaa koko säe on asetettava suureen jouseen, jätteet ennen lähtöintegraalia є vakio. Ei välttämätöntä! Rusetit voidaan avata mihin tahansa tekohaaroihin, yritän murtaa sen muuhun. Pershulla on "shmatku" Vyavlyaemo äärimmäinen tarkkuus asemalla, yak bachite, vakio ei ole oikealla, mutta välillä integrointi esitetään televisiossa. Qia diya näkyy neliökaarissa. No, ja kaavan toisen "shmatkan" integraali sopii sinulle trenuvalin takia ;-)

I naygolovnishe - raja keskittyminen kunnioitusta!

3) Shukaymo kolmas konferenssi Fur'є:

Otriman etuintegraalin suhteesta, joka on sama integroida osiin:

Trochan koko kopio on taitettu, kommentoin yksityiskohtia alla:

(1) Viraz nousee tyyliin suuressa keulassa... Koska en halua olla tylsä, käytän usein vakiota.

2 Erityisesti kunnioitan tule ensimmäiseen "shmatiin": vakio, joka polttaa reunaa ja huolehtii integraation (i) ja tvirin välisen siirtymän kohtalosta. Zakharaschen_st:n kautta kirjoitan muistiin qiu dіyu -taidon nähdäkseni sen neliökaareilla. Toisella "shmatilla" kaikki on yksinkertaisempaa: täällä muut ilmestyvät suurten kaarien avaamiseen, ja vakio johtuu tunnetun integraalin integroinnista ;-)

(3) Neliökaareissa suoritetaan uudelleenjärjestely ja oikea integraali - asennus integroinnin väliin.

(4) Vinosimo "vilkkuva valo" neliömäisistä jousista: jos sisäjouset ovat auki:.

(5) Kaarien 1 ja 1 välillä tehdään jäännösliitäntä.

Kaikki kolme Fur'єn ominaisuutta tunnetaan:

Kaava on :

Samalla ei unohdeta navpilin jakelua. Toisaalta lava on vakio ("miinus kaksi"), koska "enin" takana ei voi makaa, viini on sumin takana.

Tällaisessa arvossa tunnistimme funktioiden jakautumisen Fur'є-rivillä aikavälille:

Vivchimo ravintoa zbіzhnostі matala Fur'є. Selitän teorian, zokrem Dirichlen lause, kirjaimellisesti "sormilla", joten jos tarvitset hyvää muotoilua, ole lumikko, raahaudu matemaattisen analyysin käsiin (Esimerkiksi Bokhanin 2. osa; tai Fikhtengoltsjan 3. osa, ale uudessa merkityksessä).

Yrityksen toisessa osassa on piirrettävä kaavio, sumin graafi peräkkäin ja kaavio yksityisestä summasta.

Funktiokaavio є suoraan aukiolle, jakki on piirretty mustalla katkoviivalla:

Poimittu laukusta peräkkäin. Kuten tiedät, funktionaaliset rivit konvergoivat funktioiksi. Meidän vypadnu motiivit useita Fur'є mille tahansa arvolle "x" Siirry toimintoon, koska se on kuvattu madon värillä. Qia-toiminto kestää piristää 1. lajia kohdissa, vaikka niissä on merkitty (punaiset pisteet tuolissa)

Tässä järjestyksessä: ... Se on helppo bachitia, joten se on helppo nähdä tietueesta itsestään "Tilde"-kuvake laitetaan, ja chi ei ole tasa-arvon merkki.

Vivchimo algoritmi, yakim manuaalisesti buuvati useita.

Keskivälillä rivi Fur'є suppenee funktioksi (keskihervonia päätyy viivafunktion mustaan ​​katkoviivaan).

Nyt on muutama sana trigonometrisen asettelun luonteesta katsottavaksi. On useita Fur'є syöttääksesi vain jaksollisia funktioita (vakio, sini ja kosini), sama määrä myös jaksollinen funktio.

Mitä se tarkoittaa erityisessä sovelluksessamme? Ja tse tarkoittaa niitä, jotka ovat luvun summa –epätasaisesti määräajoin ja väliin jaettu punainen syyllistyy loputtomiin toistamaan kättä ja oikeaa kättä.

Luulen, että heti ilmaisun "jakeluaika" merkitys tuli tarpeeksi selväksi. Ilmeisesti anteeksi, läpi ihon tilanne tietää ja toistaa uudelleen.

Sen vuoksi muista viimeistellä kuva kolme kertaa, koska se on rikki nojatuolissa. No, jopa "kannot" ja susidnіkh kaudet - niin paljon bulo zrozulylo, joten kaavio jatkuu.

Erityisen kiinnostava esittely 1. lajin leikkauspisteet... Tällaisissa kohdissa osa Fur'єsta laskee eristettyyn arvoon, koska se paahtaa tasaisesti keskeltä "putkea" (punaiset täplät nojatuolissa). Yak tietää pistemäärän ordinaatin? On olemassa kokoelma "top päällä" tunnettuja ordinaatteja: kun funktion arvo lasketaan jakauman keskijakson äärioikeissa kohdissa:. "Alhaalla ylhäällä" olevan ordinaatin laskemiseksi on yksinkertaisempaa ottaa jakson ääriarvo: ... Keskiarvon ordinaatti - keskiarvo on "ylä- ja alaosan" summa:. Hyväksytään se tosiasia, että tuolia kehottaessa osut heti keskelle, jos keskikohta on laskettu väärin.

Jos hyväntekeväisyyssumma on pieni, sanan "zbizhnist" merkitys on toistettavissa kerralla. Oppitunnin motiivi aiheesta lukusarjan summa... Rikkautemme on kirjattu raporttiin:

Schob lopussa chateau summa, on tarpeen kirjoittaa ylös nolla + enemmän kaksi segmenttiä peräkkäin. Tobto,

Vihreän väristen kuvien funktion nojatuolikaaviossa і, kuten bachiitin, "käärin" laukkuni. Jos katsot rahapalaa viideltä jäseneltä peräkkäin, niin koko funktion kaavio on tarkempi kuin punainen viiva, jos jäseniä on sata, niin "vihreät käärmeet" itse asiassa kasvavat sairaiksi madot toisessa. Tässä luokassa Fur'є-sarja supistuu sumiinsa.

Tsіkavo vіdnostviti, joka be-yaka chastkova summa - tse keskeytymätön toiminta, luvun protestimäärä on edelleen razrivna.

Itse asiassa on aivan välttämätöntä käydä yksityisen sumin kaaviossa. Jak tse zrobiti? Jos sinun on katsottava funktiota, laske numeroiden arvot välipisteissä (jos näet enemmän pisteitä, kaavio on tarkempi). Seuraa sitten tuolin pisteen merkitystä ja piirrä huolellisesti kaavio ajanjaksosta, jos haluat "roztirazhuvati" sen sivussa. Ja jaki inakshe? Ja läheisyys on jaksollisten toimintojen ketju ... ... lääkinnällisen laitteen näytössä on kaavio sydämen rytmistä.

Viconuvati indusoi ilkeästi, ei edes käsin, jotta on mahdollista saavuttaa ylivoimainen tarkkuus, lasimainen tarkkuus on vähintään puoli millimetriä. Lukeessani en ole sopusoinnussa tuolien kanssa, miellytän - "oikea" työntekijä ei tarvitse tuolia, täällä 50% vastaajista tarvitsee laajentaa toimintoa useisiin turkkiin ja kaikkeen.

Pislya vikonannya nojatuoli täydennetään:

Näytä:

Bagato zavdan toiminto kestää 1. lajin leikkaaminen suoraan jakeluajankohdasta:

Peppu 3

Aseta riville linkille määritetty Fur'є-toiminto. Muodosta funktion kuvaaja ja yhteenvetojen määrä.

Ehdotettu funktio annetaan kertaluokilla (Lisäksi kunnioita minua, vain vidrizkassa) ja kestää 1. lajin leikkaaminen kohdassa. Kuinka paljon voit saada Fur'єn toimintoja? Ei ongelmaa. Ensinnäkin funktion osan oikeus integroida omien lupaustensa mukaan, siihen kahden integraalin summan tapauksessa skinin ja seuraavan veron kolmen kaavan integrointi. Yllättäen esimerkiksi kuinka voimme olla nollakorossa:

Toinen integraatio on lisätty nollaan, mutta robotit ovat muuttuneet, mutta se ei ole niin.

Samalla tavalla nämä kaksi funktiota kirjoitetaan ulos.

Jakki piirtää pussin peräkkäin? Lіvіnі іntervalіі nojatuoli menee suoraan eteenpäin ja välissä іdrizok suoraan (lihavoitu ja lihavoitu katso akseli). Tobto, leviämisen etenemisestä summa, useita zbіgaєtsya s toiminto skrіz, lisäksi kolme "ilkeä" pistettä. Funktiota leikattaessa monet Fur'єt laskevat eristettyyn arvoon, kun se kasvaa leikkaamani "nauhan" keskellä. Ei ole väliä kuinka hyvin se on ja uninen: vasemmanpuoleinen raja: ja ilmeisesti tien keskipisteen ordinaatit ovat 0,5.

Katson sumin jaksollisuutta, kuva on "kerrotettava" keskijaksolle, siemen piirrettävä intervalleihin. Samaan aikaan, pisteissä, Fur'є rivi ziydetsya keskiarvoihin.

Tässä ei muuten ole mitään uutta.

Yritä itse sopeutua työntekijöihisi. Zrazok hieno sisustus ja nojatuoli oppitunnille.

Laajentaa useiden Fur'є-toimintoa esijaksolla

Niille, jotka todennäköisemmin levittävät sanaa, de "kuusi" - olipa kyseessä positiivinen luku, kaavat useille Fur'єlle ja Fur'є kertoimille annetaan kolme kiihdyttämällä sinin ja kosinin argumenttia:

Heti kun kaavat sammuvat, ne on korjattu.

Algoritmi ja tehtävien ratkaisemisen periaate todennäköisemmin tallennetaan, lasketaan hieman enemmän teknistä monimutkaisuutta:

Peppu 4

Laajenna funktiota Fur'є-rivillä, joka luo sumin kuvaajan.

Päätös: itse asiassa Appliance No. 3 s:n analogi 1. laji kohdassa. Samalla jakelujakso on mm. Toiminto nimetään vain välin perusteella, mutta älä muuta oikeutta - on tärkeää, että shmatin rikos toimii integroitua.

Laajennettavissa useisiin turkisiin:

Funktion värähtelyt näytetään koordinaattien tähkällä, jolloin ihofunktio Fur'є on ilmeisesti kirjoitettu viglyadi sumi kahteen integraaliin:

1) Ensimmäinen integraali kirjoittaa maksimiraportin:

2) Todella vaikuttunut Misyatsin pinnasta:

Toinen integraali palasiksi otettuna:

Seuraavassa vaiheessa kunnioitan sitä tosiasiaa, että näen ratkaisun selkeän edistyksen?

Ahven, ei epäselvästi perchintegral de heti vikonuєmo toimitusmerkki erotuspyörään... Toisella tavalla, älä unohda pahaa vakiota suurten kumareiden edessä älä eksy merkkeihin viktoriaanisilla kaavoilla ... Suuret jouset kuitenkin avaavat virkkauksen heti hyökkäävässä reunassa.

Oikealla ovat teknologiat, jotka voidaan kääntää pois integroinnista puuttuvan riittävän tiedon puutteesta.

Joten se ei ollut ranskalaisen matemaatikon Fur'єn kuuluisien kollegoiden lahja, että he kompastuivat - kuinka he nauroivat trigonometrisen sarjan funktioiden jakautumiselle ?! =) Ennen puhetta, melodisesti, kaikki tsіkaviy käytännön zmіst zmіst zmіst zvdannya. Fur'є itse työskenteli lämmönjohtavuuden matemaattisen mallin parissa, ja sitten niille jäi useita nimiä jaksollisten prosessien kehittämiseksi, jotka ovat näkymättömiä uuden valon tapauksessa. Infektoitunut ennen puhetta, vienyt sen duumaan, mutta ei epämääräisesti säätämällä toisen pepun kaaviota sydämen jaksoittaisella rytmillä. Voit oppia käytännön imemismenetelmistä Fur'єn reinkarnaatio kolmannen osapuolen dzherelakhista. ... Jos haluat kauniimmin, et tarvitse sitä - sinusta tulee zgaduvatisya, jakki Perche Kohannya =)

3) Vrahoyuchi-heikot lankalaiset, jotka on arvattu useita kertoja, selvittäen kolmannella kertoimella:

Kiinteät osat:

Muuten tiedämme kaavan tehokkuuden , älä unohda lisätä nollatehoa:

Pidetään kaaviot matalina. Toista lyhyesti toimintojen järjestys: intervallilla olen suora, mutta välissä olen suora. Nolla-arvolla "x" täplä asetetaan "liuskan" keskelle ja "kierretty" kaavio pisteen puolelle:


Summajakson "tikkuilla" se sopii myös "putken" keskelle repimään.

Valmis. Luulen, että juuri mielen takana oleva toiminto on tarkoitettu riistämään nap_interval ja ilmeisesti poistumaan rivistä väliajoin

Näytä:

Inodi shmatkovo-set -toiminto asetetaan keskeytyksettä jakelujaksolle. Yksinkertaisin oppilas: ... Päätös (Bohanin 2. osa) sama, kuten ja kaksi etupeppua: ei vaikuta toiminnan jatkuvuus kohdassa, nahka kofіtsієnt Fur'є käännä pussi kaksi integraalia.

Jakelua varten 1. lajin leikkauspisteet että / abo osoittaa "tick"-kaavioon voi olla tai enemmän (kaksi, kolme ja be-yake kintseve määrä). Vaikka toiminto on integroitu ihoosaan, se on myös taitettu matalaan Fourier-arvoon. En voi ajatella sellaista kovuutta, jos en ole käytännöllinen. Tim ei ole vähiten, ei vähemmän tärkeä, näet projektin tärkeyden, näet sen erittäin hyvin, ja esimerkiksi tilastot kaikille tärkeille є tee se Furin edistyneiden rivissä taitettava.

Ja jätä levottomuus, nähdä kiteitä ja katsoa ulos avaruuden loputtomaan aamuun:

Peppu 5

Laajentaminen funktio useita Fur'є reunalla linja ja produvaty graphyk sumi numero.

Siinä on laaja valikoima toimintoja keskeytyksettä jakauman nap_v_interval_:lla scho esittää ratkaisun. Kaikki on vieläkin samankaltaista kuin Butt nro 2. Avaruusaluksesta ei pääse ulos millään - siitä tulee viraali =) Oppituntikaavion sovellettu visualisointi on valmis.

Sijoitus riviin Fur'є-tyyppejä ja parittomia toimintoja

Kavereiden ja parittomien toimintojen kanssa uusimisprosessi on kuin hyvästit. Ensimmäinen akseli chomulle. Kääntyen funktion avaukseen Fur'є-riville jaksolla "kaksi pi" että aika hyvään aikaan "kaksi kuusi" .

Tosin funktiomme on pari. Zagalniy jäsen rivin, kuten sinä bachite, kostaa parilliset kosinit ja parittomien poskionteloiden. Ja jos on TAPA-toiminto, entä parittomat poskiontelot? Nollataan käyttämätön tehokkuus:.

Sellaisessa arvossa, parillinen toiminto, jolla voit taittaa Fur'є-rivin vain kosinin mukaan:

Oskilki parillisten toimintojen integrointi symmetrisen nollatason mukaan voit aloittaa integroinnin ja sitten sanoa hyvästit sille іnshі suorituskyvylle Fur'є.

Promіzhkulle:

Edistyneempi vaihe:

Oppikirjoihin asti, kuten missä tahansa matanalyysin käsittelijässä on käytännöllistä, asettaa parilliset funktiot ... Lisäksi haju toistui toistuvasti erikoisharjoituksessani:

Peppu 6

Toiminto on annettu. Vaaditaan:

1) funktion laajentaminen matalaan Fur'є:ään pisteellä, de - positiivisempi luku;

2) kirjoittaa muistiin intervallin jakauma antamalla funktio ja kuvaaja useaan otteeseen.

Päätös: ensimmäisessä pisteessä innokkaan viglyadin näkyvyys tuntuu, ja vielä paremmin! Jos tarvitset sitä - ilmoita vain arvosi.

1) Esimerkiksi tsіy tehtävätі jakelun aikana. Kauempana päivien vaihteessa tunnin jälki on integraatio, "kuusi" käytetään vakiona

Toiminto on paritettu, mikä tarkoittaa, että se voidaan järjestää Fur'є-riville vain kosineihin: .

Kerroin Fur'є shukaєmo kaavojen takana ... Raakaa kunnioitusta hullunkurista äijälle. Ensinnäkin integrointi suoritetaan positiivisen jakauman saamiseksi, mikä tarkoittaa, että vapautamme moduulin turvallisesti , katselee ulos kahdesta shmatkiv liche "ix". Toisella tavalla se on kuin jättäisi hyvästit integraatiolle.

Kaksi:

Kiinteät osat:

Tässä järjestyksessä:
, omalla vakiolla, yak to lay down kanssa "en", winosimo mezhi sumi.

Näytä:

2) Tallennettava jakauma ajanjaksolle, jonka kaava annetaan kotisivulle seuraavalle esimerkille:

Transkriptio

1 RF TIETEEN ARVIOINTIMINISTERIÖ NOVOSIBIRSKY DERZHAVNY-YLIOPISTO FYSIKAALIN TIEDEKUNNAN R.K.BELKHEVA TURKISVALIKKO SOVELLUKSESSA JA ONGELMISSA Navchalny Posibnik1

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkhєєva R.K. pitämällä un-t. Novosibirsk, s. ISBN Vierailun alussa Fur'є-sarjan pääkatsoja on voitokas; Fur'є-menetelmän peppuvarren yksityiskohtainen suunnittelu ennen poikittaista merkkijonoa koskevien ongelmien ratkaisemista. Kuvamateriaali tarjotaan. Є zavdannya itsenäinen ratkaisu. Opiskelijatehtäviä ja voittoja NSU:n fysiikan tiedekunnassa. Tule ystäväksi NSU:n fysiikan tiedekunnan Virishenna-metodiseen komiteaan. Arvostelija Dr. fiz. tieteet. V. A. Aleksandrov Kokoelma valmisteluja NDU-NSU:n kehittämisohjelman täytäntöönpanon puitteissa, s. ISBN:n Novosibirskin valtionyliopisto, 211 s Belkhova R.K., 211

3 1. 2π-jaksollisten funktioiden laajentaminen sarjaan Fur'є Viznachennya. Funktion f (x) osoitusta kutsutaan funktionaaliseksi sarjaksi a 2 + (an cosnx + bn sin nx), (1) de-suorituskyky an, bn voidaan laskea kaavojen mukaan: an = 1 π bn = 1 π f (x) cosnxdx, n =, 1, ..., (2) f (x) sin nxdx, n = 1, 2, .... (3) Kaavoja (2) (3) kutsutaan Euler Furiksi 'є kaavoja. Se, että funktio f (x) muistuttaa sarjaa Fur'є (1), kirjoitetaan muodossa f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) (4) ja näyttää siltä, ​​että funktion oikea osa kaava (4) є funktion f (x) muodollisella sarjalla Fur'є. Toisin sanoen näyttää siltä, ​​että kaava (4) tarkoittaa, että tehokkuutta a n, b n ei tunneta kaavoille (2), (3). 3

4 Viznachennya. 2π-jaksollista funktiota f (x) kutsutaan shmatkovo-sileäksi, vaikka välissä [, π] olisi Kintsevin määrä pisteitä = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Pieni. 1. Funktion f (x) kuvaaja Laskennallinen tehokkuus Fur'є a = 1 π f (x) dx = 1 π x 2 2 π = π, an = 1 π f (x) cosnxdx = 2 π = 2 () x sin nx cos nx + π nn 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = bn = 1 π π = 2 π f (x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, n:lle pariton, n:lle pari f (x) sin nxdx =, joten funktio f (x) on paritettu. Voidaan kirjoittaa funktiolle f (x) muodollinen Fur'є-sarja: f (x) π 2 4 π k = 5 cos (2k + 1) x (2k + 1) 2.

6 On selvää, että funktio f (x) on paloittain sileä. Joten koska se on keskeytyksettä, se lasketaan vain välillä (6) päätepisteissä välillä x = ± π ja pahan pisteessä x =: і f (π h) f (π) π h π f (+ h) ) f (+) + h () lim = lim h + hh + hf (+ h) f (+) + h lim = lim = 1, h + hh + h = 1, f (h) f () h ( ) lim = lim = 1. h + hh + h Välillä іsnyu ja іntsevі, vaikka funktio on slicker-smooth. Krapkovia koskevan lauseen mukaan Fuhr-sarjan arvo konvergoi f (x):iin ihopisteissä, joten f (x) = π 2 4 π k = cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) Kuvassa. 2, 3 osoittaa osittaissummien lähestymisen luonteen sarjaan Fur'є S n (x), de S n (x) = an 2 + (ak coskx + bk sin kx), k = 1 funktioon f (x) välissä [, π]. 6

7 Pieni. 2. Funktion f (x) kuvaaja, jossa osittaissummat asetetaan kaavioihin S (x) = a 2 ja S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x Kuva. 3. Funktion f (x) kuvaaja on päällekkäin uuden kaavion summan S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7 graafin päälle.

8 Ilmoittamalla (7) x = otrimaєmo: = π 2 4 π k = 1 (2k + 1) 2, tähdet tietävät numeeristen sarjojen summan: = π2 8. Kun tiedät rivin summan, on helppo tiedä seuraava Maєmon summa: S = ( ) S = () = π S, jopa S = π2 6, joten 1 n = π Ensimmäisen tunnetun Leonard Eilerin kuuluisan sarjan summa. Vona opiskelee usein matemaattista analyysia ja täydennyksiä. LIITE 2. Pienellä kuvaajalla tunnemme funktiosarjan, joka on annettu kaavalla f (x) = x x:lle< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Pieni. 4. Funktion f (x) kuvaaja Funktio f (x) erotetaan jatkuvasti intervallin (, π) avulla. Pisteiden x = ± π välillä (5) on useita pisteitä: f () =, f (π) = π. Lisäksi (6) on ero: f (+ h) f (+) lim = 1 і h + hf (π h) f (π +) lim = 1. h + h sileäfunktio. Jos funktio f (x) on pariton, niin a n =. Suorituskyvyn bn tiedetään integroituvan osilla: bn = 1 π f (x) sin πnxdx = 1 [x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1) n π + (1) n π] = 2 ( 1) n + 1. n Hyvin muodollinen sarja Fur'є-funktioita 2 (1) n + 1 f (x) sin nx. n 9 cosnxdx] =

10 Virtausta koskevien lauseiden mukaan kutistuvan tasaisen 2π-jaksollisen funktion arvo, funktion f (x) Fur-sarja laskee summaan: 2 (1) n + 1 sin nx = nf (x) = x, kuten π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Pieni. 6. Funktion f (x) kuvaaja asetetaan kaavion summan S2 (x) päälle. 7. Funktion f (x) kaavio päällekkäin uuden kaavion summan S 3 (x) 11 päälle

12 Pieni. 8. Funktion f (x) kuvaaja asetetaan S 99 (x) summan uudelle kuvaajalle. Luotettava (8) x = π / 2. Todi 2 () + ... = π 2 tai = n = (1) n 2n + 1 = π 4. Tiesimme helposti Leibnizin perheen summan. Kun poklavl on kohdassa (8) x = π / 3, tiedämme () + ... = π 2 3 tai (1+ 1) () (k) 3π + ... = 3k

13 LIITE 3. Pieni graafi, tunnemme Fur'є-funktioiden sarjan f (x) = sin x, myöntäen, että jakso on 2π, і 1 lasketaan lukusarjan 4n 2 1 summana. Ratkaisu. Funktion f (x) kaavio on esitetty kuvassa. 9. Ilmeisesti f (x) = sin x on katkeamaton parifunktio jaksosta π. Ale 2π on myös funktion f (x) jakso. Pieni. 9. Funktion f (x) kuvaaja Laskennallinen hyötysuhde Fur'є. Usi b n = siihen, että funktio on paritettu. Trigonometristen kaavojen kruunattu se on numeroitu an kohdassa n 1: an = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin (1 + n) x sin (1 n) x) dx = = 1 ( ) π cos (1 + n) x cos (1 n) x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 (4 1, kun n = 2k, = π n 2 1, kun n = 2k

14 Laskenta ei anna meille mahdollisuutta tietää kerrointa a 1, joten n = 1:lle nimittäjä nollataan. Siihen lasketaan kerroin a 1 ilman keskimmäistä: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Joten koska f (x) on jatkuvasti eriytetty (,) і (, π) і pisteissä kπ, (k on luku), jos numero on välillä (5) ja (6), niin sarja Fur' є-funktiot konvergoivat ilman ihopistettä: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x Kuva. 1. Funktion f (x) kuvaaja on päällekkäin leikkaussumman S (x) 14 kuvaajalla

15 Pieni. 11. Funktion f (x) kuvaaja päällekkäin uuden leikkaussumman S1 (x) graafin päälle Kuva. 12. Funktion f (x) kuvaaja asetetaan uuden kaaviosumman S2 (x) graafin päälle. 13. Funktion f (x) kaavio päällekkäin uuden kaavion S 99 (x) 15 graafin päälle

16 1 Numerorivin lukuinen summa. Koko 4n 2 1:lle se on tyydyttävä (9) x =. Todi cosnx = 1 kaikille n = 1, 2, ... i Otzhe, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. SOVELLUS 4. Todennäköisesti, että funktio f (x) on tasainen ja tasainen ilman keskeytyksiä, olen tyytyväinen f (x π) = f (x) kaikille x:ille (siis se on π -jaksollinen), a 2n 1 = b 2n 1 = kaikille n 1 ja navpaki, jos a 2n 1 = b 2n 1 = kaikille n 1, niin f (x) on π-jaksollinen. Päätös. Olkoon funktio f (x) π-jaksollinen. Laskennallinen її hyötysuhde Fur'є a 2n 1 і b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f (x) cos (2n 1) xdx + f (x) cos (2n 1) xdx =) f (x) ) cos (2n 1) xdx. Ensimmäisellä integraalilla voin helposti korvata muutoksen x = t π: f (x) cos (2n 1) xdx = f (t π) cos (2n 1) (t + π) dt. 16

17 Klovni se, cos (2n 1) (t + π) = cos (2n 1) t і f (t π) = f (t), voimme nähdä sen: a 2n 1 = 1 π (f (x) cos (2n 1) x dx +) f (x) cos (2n 1) x dx =. Samoin pitäisi tehdä, b 2n 1 =. Nawpaki, olkoon a 2n 1 = b 2n 1 =. Koska funktio f (x) on keskeytyksetön, niin lauseen mukaan funktion ilmentymä sen sarjan pisteissä on F (x π) = f (x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n (x π) + b 2n sin 2n (x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f (x), mikä tarkoittaa, että f (x) on π-jaksollinen funktio. LIITE 5. Voidaan sanoa, että funktio f (x) on sileä ja sileä, f (x) = f (x) kaikille x, sitten a = і a 2n = b 2n = kaikille n 1, ja navpaki, esim. a = a 2n = b 2n =, sitten f (x π) = f (x) kaikki x. Päätös. Olkoon funktio f (x) tyytyväinen f (xπ) = f (x). Lukuisia її kofіtsієnti Fur'є: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f (x) cos nxdx + f (x) cosnxdx =) f (x) cosnxdx. Ensimmäisellä integroinnilla korvaan helposti muutoksen x = t π. Todi f (x) cosnxdx = f (t π) cosn (t π) dt. Crimson tim, cos n (t π) = (1) n cosnt ja f (t π) = f (t), voimme hyväksyä: an = 1 π ((1) n) f (t) kustannus dt =, jos n paritettu = 2 π f (t) cos nt dt, kun n on pariton. π Se tehdään samalla tavalla, b 2n =. Nawpaki, olkoon a = a 2n = b 2n =, kaikille n 1. Koska funktio f (x) on keskeytyksetön, niin lause funktion eksplisiittisyydestä sen sarjan Fur'є pisteissä pätee, että f (x) ) = (a 2n 1 cos (2n 1) x + b 2n 1 sin (2n 1) x). kahdeksantoista

19 Todi = f (x π) = = = f (x). LIITE 6. Vivchimo yak seuraavaksi integroidaan edelleen rakoon [, π / 2] funktiolla f (x) rakossa [, π], joten Fur'є mav viglyadin rivi: a 2n 1 cos ( 2n 1) x. (1) Päätös. Olkoon ma viglyadin funktion kaavio, joka leijuu kuvassa. 14. Värähtelyt rivillä (1) a = a 2n = b 2n = kaikille n:lle, silloin pusku on 5 vyplyaє, mutta funktio f (x) syyllistyy tasapariteettiin f (xπ) = f (x) kaikille x. On olemassa tapa parantaa funktiota f (x) välillä [, / 2]: f (x) = f (x + π), kuva. 15.Lisäksi rivi (1) kostaa vain kosineja, se on järjestetty, mutta funktiota f (x) jatketaan parina (eli kuvaaja on symmetrinen akselille Oy), riisi

20 Pieni. 14. Funktion f (x) kuvaaja Pieni. 15. Jatketun funktion f (x) kuvaaja eteenpäin [, / 2] 2

21 Otzhe, ma viglyadin toiminta, opastus kuvassa. 16. Pieni. 16. Kuvaaja funktion f (x) jatkeesta edistykselle [, π] [π / 2, π], funktion f (x) käyrä on keskisymmetrinen pisteeseen (π / 2,), ja väliin [, π] kuvaaja on symmetrinen akselille Oy. 21

22 VIITESOVELLUKSET 3 6 Nekhai l>. Selvästi kaksi mieltä: a) f (l x) = f (x); b) f (l + x) = f (x), x [, l / 2]. Geometrialta katsottuna piste (a) tarkoittaa, että funktion f (x) kuvaaja on symmetrinen pystysuoraa x = l / 2 pitkin, ja kuvaaja (b), jossa kuvaaja f (x) on keskellä symmetrinen pisteen (l / 2;) suhteen abskis-akselilla. Seuraava on totta: 1) jos funktio f (x) on paritettu Viconan Umovin (a) kanssa, niin b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... =; 2) jos funktio f (x) on paritettu Viconan Umovin (b) kanssa, niin b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a = a 2 = a 4 = ... =; 3) jos funktio f (x) on pariton ja Viconan Umov (a), niin a = a 1 = a 2 = ... =, b 2 = b 4 = b 6 = ... =; 4) jos funktio f (x) on pariton ja Viconan Umov (b), niin a = a 1 = a 2 = ... =, b 1 = b 3 = b 5 = ... =. ZAVDANNA Tehtävissä 1 7 maalaa kaaviot ja tunne Fur'є-sarja funktioille,< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 (1, yaksho / 2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Välissä [, π] annetun funktion laajentaminen vain sinien jälkeen tai vain kosinien jälkeen Funktio f määritetään välissä [, π]. Laajennamme tilaa koko alueella Fur'є-riville asti, voimme jatkaa f:tä korostuksella [, π] korkeammalla arvolla, ja samalla se on nopeampi Eiler Fur'n kaavoilla. є. Svavilja on lisäfunktio tuottaa ennen, yhden tyyppiselle funktiolle f: [, π] R voimme poistaa useita Fur'є. Vaihtoehtoisesti voit vikoristovuvat tse svavillya niin, leikkaa vain leviämistä vain sinien takaa tai vain kosinuksilla: ensimmäisellä vipadilla riittää ylentämään f parittomalla arvolla, ja miehille eri tavalla. Ratkaisualgoritmi 1. Jatka funktiota parittomalla (kaveri) arvolla (,) ja jatka sitten jaksoittain, joka 2π, koko funktiota. 2. Laske Fur'є:n suorituskyky. 3. Taita funktion f (x) Fur-sarja. 4. Revisiomieli on alhainen. 5. Esittele funktio, jolle on olemassa kokonainen rivi. LIITE 7. Sovelletaan funktioon f (x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Pieni. 17. Jatketun funktion kuvaaja On selvää, että funktio f (x) on ujo-sileä. Lukuisat funktionaaliset Fur'є: a n = kaikki n siinä määrin kuin funktio f (x) on pariton. Jos n 1, niin bn = 2 π f (x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = 1 = 1 (1 ) n (1) n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, missä n = 2 k + 1, (1) n + 1 (n 1) + (n + 1) = π (n + 1) ( n 1) 2 2n, missä n = 2k. π n 2 1 Kun n = 1, nimittäjä muuttuu nollaksi laskimien edessä, joten kerroin b 1 lasketaan ilman edeltävää 25

26 uni: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Fur'є-funktioiden sarja f (x) on taitettava: f (x) 8 π k = 1 k 4k 2 1 sin 2kx. Jos funktio f (x) on ujo-sileä, niin krapkov-lauseen jälkeen funktion f (x) Fur-sarjan arvo menee sumi: cosx, missä π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Pieni. Kuva 18. Funktion f (x) kuvaaja päällekkäin uuden kappalesumman S1 (x) graafin päälle Kuva. 19. Funktion f (x) kaavio päällekkäin uuden kaavion summan S 2 (x) 27 päälle

28 Pieni. 2. Funktion f (x) kuvaaja asetetaan leikkaussumman S3 (x) kuvaajalle. 21 näytetään funktion f (x) graafit ja osasummat S 99 (x). Pieni. 21. Funktion f (x) kaavio päällekkäin uuden kaavion summan S 99 (x) 28 päälle

29 LIITE 8. Laajennettavissa funktiolla f (x) = e ax, a>, x [, π], Fur'є-sarjaan asti vain kosineissa. Päätös. Jatkuvasti kaverin arvon (,) funktiolla (jotta pariteetti f (x) = f (x) näytetään kaikille x:ille (, π)), joka buv ajoittain jaksolla 2π venyttäen yong-lukua ylöspäin . Voimme hyväksyä funktion f (x), tällaisten esitysten kaavion kuvassa. 22. Funktio f (x) Mal:n pisteissä. 22. Jatkuvan funktion kuvaaja f (x) x = kπ, k on kokonaisluku, kuten öljyt. Lukuisat kofіtsієnti Fur'є: b n =, oskіlki f (x) pariksi. Integroi osiin Mo 29

30 an = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd (e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f (x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa π1s ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π a sin nx π a 2eax a (eaπ cos n π 1) n2 aa n. 2 Otzhe, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Värähtelyt f (x) ovat keskeytyksettömiä, jolloin virtausta koskevan lauseen mukaan Fur-sarja konvergoi f (x). Myös kaikki x [, π] maєmo f (x) = 1 π a (eaπ 1) + 2a π k = 1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Riisi osoittaa toiminnan lähestymisen osittaisten summien lukumäärään Fur'є tiettyyn leikkaustoimintoon. 3

31 Pieni. 23. Kuvaajat funktioista f (x) ja S (x) Mal. 24. Kuvaajat funktioista f (x) ja S1 (x) Pieni. 25. Kuvaajat funktioista f (x) ja S2 (x) Pieni. 26. Funktioiden f (x) ja S 3 (x) kuvaajat 31

32 Pieni. 27. Kuvaajat funktioista f (x) ja S4 (x) Mal. 28. Kuvaajat funktioista f (x) ja S 99 (x) ESITETTY 9. Sijoita funktio f (x) = cos x, x π riville Fur'є vain kosineihin. 1. Laajenna funktio f (x) = e ax, a>, x π riville Fur'є vain sinien taakse. 11. Sijoita funktio f (x) = x 2, x π Fur'є-riville vain sinien taakse. 12. Määritä funktio f (x) = sin ax, x π, y sarja Fur'є vain kosineissa. 13. Sijoita funktio f (x) = x sin x, x π Fur'є-riville vain sinien taakse. Vidpovidi 9.cosx = cosx. 1. e ax = 2 [1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k = 1 11. x 2 2 [π 2 (1) n 1 π n + 2] n 3 ((1) n 1) sin nx. 32

33 12. Jos a ei ole kokonaisluku, sin ax = 1 cosaπ (1 + + 2a cos 2nx) + π a 2 (2n) 2 + 2a 1 + cosaπ cos (2n 1) x π a 2 (2n 1) 2; jos a = 2m pari on luku, niin sin 2mx = 8m cos (2n 1) x π (2m) 2 (2n 1) 2; jos a = 2m 1 on positiivisesti pariton luku, niin sin (2m 1) x = 2 (cos 2nx) 1 + 2 (2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Tietyn jakson funktion sarja Fury Oletetaan, että funktio f (x) asetetaan väliin [l, l], l>. Tehtyään substituution x = ly, y π voimme päätellä funktion g (y) = f (ly / π), mikä tarkoittaa välissä π [, π]. Kolmas funktio g (y) muodostaa (muodollisen) sarjan Fur'є () ly f = g (y) a π 2 + (an cosny + bn sin ny), jonka tehokkuus on Euler Fur'є -kaavojen takana. : an = 1 π g (y) cosny dy = 1 π f (ly π) cosny dy, n =, 1, 2, ..., 33

34 bn = 1 π g (y) sinny dy = 1 π f () ly sinny dy, n = 1, 2, .... π Funktiolle f (x) trigonometrinen sarja voidaan helposti muuttaa näyttämään kuten: de f (x) a 2 + an = 1 lbn = 1 lllll sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2, ..., (12) dx, n = 1, 2, . .. LIITE 9. Tunnemme sarjan Fur'є-funktioita, jotka välissä (l, l) antaa viraz (A, missä l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 llf (x) dx = 1 l A dx + 1 ll B dx = A + B, llan = 1 lllf (x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 ll A cos πnx l = A + B π nlbn = 1 l dx + 1 ll B cos πnx l sin πn =, missä n, ll A sin πnx lf (x) sin πnx l dx + 1 ll dx = B sin πnx l = BA (1 cosπn). πn Funktion f (x) Fur-sarja on taitettava: f (x) A + B π (B A Asteikko cosπn = (1) n, sitten n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l arvolle n = 2k on ajateltavissa b n = b 2k =, n = 2k1 b n = b 2k1 = 35 2 (BA) π (2k 1).

36 tähteä f (x) A + B (BA)? yaksho l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Pieni. 29. Funktion f (x) graafinen esitys uusien harmonisten S (x) = a 2 ja S 1 (x) = b 1 sinx graafien päälle. Kolmen muun harmonisen kaavion spesifisuudelle S 3 (x) = b 3 sin 3πx, S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l ja S 7 (x) = b 7 sin 7πx työntövoima pystysuoraan ylämäkeen l 37

38 Pieni. 3. Funktion f (x) kuvaaja on päällekkäin uuden kappalesumman S 99 (x) graafin päälle. 31. Fragmentti kuviosta. 3 asteikolla 38

39 EHDOTTOMASTI Fur'є-sarjan avaruusongelmissa funktiot on osoitettu annetulle välituotteelle. 14.f (x) = x 1, (1, 1). 15.f (x) = ch2x, (2, 2] f (x) = x (1 x), (1, 1]. 17.f (x) = cos π x, [1, 1] f (x) ) = sin π x, (1, 1). (2 1, missä 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18.f (x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. а) f (x) = α 2) l b) f (x) = 4al (1) n 1 (2n) ) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23.a) f (x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x ... b) f ( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π) + 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Monimutkainen muoto sarjalle Fur'є Jakauma f (x) = cne inx, de cn = 1 2π f (x) e inx dx, n = ± 1, ± 2, ..., kutsutaan Fur'є-sarjan kompleksimuodoksi. Toiminto taittaa monimutkaiseksi Fur'є-riviksi hiljaisten mielien visionilla, jota varten ne voidaan sijoittaa Fur'єn puheriville. 4

41 LIITE 1. Tunnemme kaavan f (x) = e ax, y välissä [, π), de puheluvun antaman funktion kompleksisen muodon Fur-sarjan. Päätös. Mitattavissa oleva suorituskyky: = c n = 1 2π f (x) e inx dx = 1 2π e (a in) x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1) n sh aπ. 2π (a in) π (a in) Koneen funktion f kompleksi Fur sarja f (x) sh aπ n = (1) n a in einx. Uudelleentarkastelu, joten funktio f (x) on möykkypehmeä: välissä (, π) se on äärettömästi differentioitunut ja pisteissä x = ± π on pisteitä välillä (5), (6) lim h + ea ( + h) = e aπ, lim h + ea (π h) = e aπ, ea (+ h) ea (+) lim h + h = ae aπ ea (π h) ea (π), lim h + h = ae aπ. Myös funktio f (x) esitetään järjestyksessä Fur'є sh aπ π n = (1) n a in einx, jonka on määrä mennä sumiin: (e S (x) = ax, missä π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 LIITE 11. Tunnemme Fur-sarjan funktion kompleksille ja puhemuodolle kaavalla f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, de a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Nagadaєmo, loputonta geometrista edistystä sisältävä pussi vakio-q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Nyt tunnemme joukon turkisia puhemuodoissa. Suurelle joukolle täydennyksiä numeroilla n ja n n:lle: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Oskilki c = 1, sitten 2 = 2a n cos nx. f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Fur'є-sarja funktion f (x) puhemuodossa. Tämä arvo, lukuun ottamatta taloudellista integraalia, tiesimme matalan Fur'є-funktion. Kun virahuvali, on tärkeä integraali, joka löytyy parametrista cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a (zz 1) f (x) = 2i (1 a (zz 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1) z 2 2 (za) (za 1) = = i 2 + i () a 2 za + a 1. za 1 Dermaaliset iz yksinkertaiset murtoluvut voidaan laittaa geometrisen etenemisen kaavan alle: + aza = a 1 z 1 a = aanzzn, n = za 1 za = az = anz n. n = Täysin, fragmentit az = a / z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, abo, lyhyempi, c n = 1 2i a n sgnn. Tim itse, useita Fur'є monimutkaisessa muodossa tunnetaan. Kun on ryhmitelty lisäyksiä numeroilla n ja n, voimme päätellä Fur'є-funktioiden sarjan puhemuodossa: = f (x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 = an sin nx. Tiedän etäisyyden virahuvati loukkaavan taittointegraalin: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 ZAVDANNYA 24. Vikoristovuchi (15), laske integraali cos nxdx 1 2a cosx + a 2 puheille a, a> Vikoristovuchi (16), laske integraali sin x sin nxdx puheille a, a> a cosx + a2 Tehtävissä Fur'є monimutkaisissa muodoissa toimintoja varten. 26.f (x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Ljapunov-yhtälölause (Ljapunov-yhtälö). Olkoon funktio f: [, π] R sellainen, että f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f (x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Siksi Ljapunov-ekvivalenssi funktiolle f (x) turpoaa silmälle: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Jäljelle jäävä π:n ekvivalentti tunnetaan sin 2 na n 2 = a (π a) 2 Vazayuchi a = π 2, voimme ottaa sin2 na = 1 arvolle n = 2k 1 ja sin 2 na = kun n = 2k. Otzhe, k = 1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. LIITE 14. Kirjoitetaan Ljapunov-yhtälö funktiolle f (x) = x cosx, x [, π], jos tiedämme funktion lisäsumman. numerosarja (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4.1 π Ratkaisu. Suora laskelma antaa = ππ f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Oskilki f (x) on parifunktio, jolloin kaikille n maєmo bn =, an = 2 π = 1 π 1 = π (n + 1) = f (x) cosnxdx = 2 π 1 cos (n + 1) x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos (n + 1) x + cos (n 1) x) dx = 1 π sin (n + 1) xdx sin (n 1) xdx = π (n 1) ) π π 1 + cos (n 1) x = π (n 1) 2 1 (= (1) (n + 1) 1) 1 (+ (1) (n + 1) 1) = π (n + 1) ) 2 π (n 1) 2 () = (1) (n + 1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1) (n + 1) 1 nk π ( n 2 1) = π (4k 2 1) 2 jos n = 2k, 2, jos n = 2k + 1. Arvo a 1 on laskettava okremo, n:n valmiissa kaavan fragmentit = 1, murto-osan nimittäjä muuttuu nollaan. = 1 π a 1 = 2 π f (x) cosxdx = 2 π x (1 + cos 2x) dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Näin ollen funktion f (x) maviglyad Ljapunov-pariteetti: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π, 2 1) = π π ESITTELY 32. Kirjoita Ljapunov-ekvivalenssi funktiolle funktio (xf (x) = 2 πx, missä x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Відповіді + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2.1 π 35. f (x) g (x) dx = cndn, de cn funktio f (x) ja dn Funktionaalinen funktio g (x) . 6. Sarjan Fur'є Nekhai f: R R jatkuvasti differentioitunut 2π-jaksollinen funktio. Fur'є ma viglyadin Її sarja: f (x) = a 2 + (n cos nx + b n sin nx). Samoin kuin f (x), keskusfunktio tulee olemaan jaksoittainen 2π-jaksollinen funktio, jolle voidaan kirjoittaa muodollinen sarja Fur'є: f (x) a 2 + (an cos nx + bn sin nx), de a , an, bn, n = 1, 2, ... toiminnallisuus Fur'є funktio f (x). 51

52 Lause (turkissarjan laajennettu termidifferentiointi). Murenevan pripushennyan tapauksessa on totta, että a =, an = nb n, bn = na n, n 1. SOVELLUS 15. Älä ole ujo-sileä funktio f (x) ilman keskeytystä välissä [, π] . Ilmeisesti voidaan sanoa, että f (x) dx = vähän 2 dx 2 dx:n huonoa käytöstä johtuen Steklovin kyvyttömyydestä ja uudelleenyhteydestä, jolloin uudet funktiot menettävät f (x) tyypin f (x) funktion. Toisin sanoen Steklovin sopimattomuus, sanotaan, että kun näet, että yksinkertaisia ​​funktioita on kolme (keskineliössä), funktioita on kolme (keskineliössä). Päätös. Tuetaan funktiolla f (x) väliin [,] kaverin arvolla. Itse funktio laajentaa sitä merkittävästi symbolilla f (x). Toimintoa jatketaan keskeytyksettä ja se on tasainen ja tasainen matkalla [, π]. Joten koska funktio f (x) on keskeytymätön, niin f 2 (x) on keskeytyksetön koko ajan ja 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Oskіlki parin funktiota jatketaan, sitten b n =, a = altaan takana. Otzhe, Lyapunov nabuvє pariteetti silmään 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Uudelleenarviointi, f (x) noudattaa lauseita sarjan Fur'є differentiaatiosta siten, että a =, an = nb n, bn = na n, n 1. En halua f (x) olla huono pisteissä x 1, x 2, ..., x N välillä [, π]. Olkoon x = x N + 1 = π. Integraation [, π] kasvu N +1 -välillä (x, x 1), ..., (x N, x N + 1), ihon tila f (x) on täysin erilainen. Todi, integraalin ja sitten integroivien osien additiivisuuden ilkeä voima on tunnistettavissa: bn = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1π j = xj + 1 xjx j + 1 xjnn π N j = xj + 1 xjx j + 1 xjf (x) sin nxdx = f (x) cosnxdx = f (x) cosnxdx = = 1 π [(f (x (x) 1) sin nx 1 f (x) sin nx) + + (f ( x 2) sinnx 2 f (x 1) sin nx 1)

54 + (f (x N + 1) sin nx N + 1 f (x N) sin nx N)] n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j + 1 a = 1 f (x) dx = 1 N f (x) dx = π π j = xj = 1 N x j + 1 f (x) π = 1 (f (π) f ()) = .. . x j π j = Pysyvät samanarvoisina niiden kautta, joissa funktio f (x) on edennyt kaverin arvolla, ja siten f (π) = f (). Samalla tavalla voimme tunnistaa = nbn. Olemme osoittaneet, että Fur'є-sarjan laajennetun differentioinnin lause keskeytymättömälle shmatkovo-sileälle 2π-jaksoiselle funktiolle, joka on samanlainen kuin väli [, π], on ylpeä ensimmäisestä lajista, vyrna. Samasta f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) = (na n) sin nx, oskilki a =, an = nb n =, bn = na n, n = 1, 2, ... Oskilki 2 dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Eli dermaalisena terminä rivissä (18) se on enemmän tai vähemmän rivin (17) lisäjäsen, sitten 2 dx 2 dx. Arvaamalla, scho f (x) є lisätoimintojen pojille, maєmo 2 dx 2 dx. Tuodakseen Steklovin pariteetin. Nykyään Steklovin epäsäännöllisyydessä on monia toimintoja. Jos haluat yhden n 2 tehokkuuden a n nollan tuloksena, niin a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 VAHVISTUS 37. Älä ole ujo-sileä funktio f (x) on katkeamaton välissä [, π]. Ilmoita, että kun olet voittaja, sinun täytyy f () = f (π) = on vähän virhettä 2 dx 2 dx, kuten sitä kutsutaan myös Steklovin sopimattomuudeksi, ja ristiin, mutta se ei vain haittaa f (x) . .. 38. Olkoon funktio f keskeytyksetön välissä [, π] ja uudessa (lopettoman pistemäärän vinjetin takana) menen f (x), niin että integroidaan neliöön. Tiedoksi, jos tietyllä visionilla ajattelet f () = f (π) і f (x) dx =, silloin tehottomuudesta 2 dx 2 dx puuttuu vain vähän, kuten sitä kutsutaan Wirtingerin päättämättömyydeksi, ja funktio on ei kovin yksinkertainen x) = A cosx + B sin x. 56

57 7. Fur'єn joukon pysähtyminen erotettujen rotujen ilmaantuessa yksityisten kuolleiden keskuudessa Kun todellisen esineen elävöittäminen (luonnon ilmentymä, virusprosessi, valvontajärjestelmä on liian ohut.) astuu askeleen kohti kehitystä. matemaattinen laite. Tieteellisten tutkimusten vaiheessa tällaista lanssia on heilutettu: fysikaalinen malli on matemaattinen malli. Hyökkäävän kentän fyysinen muotoilu (malli) on: se ilmestyy ja kehittää sen päätekijän prosessia, joka kaadetaan uuteen. Alan matemaattinen muotoilu (malli) tekijöiden ja mielien fysikaalisen muotoilun inventaariossa järjestelmien ja yhtäläisten (algebrallinen, differentiaali, integraali jne.) näkökulmasta. Valtionpäätä kutsutaan oikeaksi asetukseksi, kuten laulavassa toiminnallisessa tilassa ajattelun tehtävien ratkaiseminen, yksi ja ainoa ja keskeytyksettä makaamaan tähkä- ja rajamielten päällä. Matemaattinen malli ei ole vain sama kohde, jota tarkastellaan, vaan lähestymme sitä kuvauksella. Viznovok pivnyannya vilnykh malikh poikittaiset kielet. Anna narujen olla kiinni, ja itse naru on kireällä. Jos asetat merkkijonon suoran kohdasta (esimerkiksi vedä se ulos tai vedä sitä pitkin), merkkijono on todennäköisemmin 57

58 vagatisya. Samanaikaisesti kaikki merkkijonon pisteet romahtavat kohtisuoraan ravnovan asemaan nähden (poikittainen yhteys), lisäksi ihohetkellä merkkijono on yhdellä ja samalla alueella. On suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä xou. Todi, jos tähkähetkellä tunnilla t = merkkijono on kasvanut härän akseliin, niin u tarkoittaa langan irtoamista suoran paikasta, niin että merkkijonon pisteen paikka alkaen abskissa x funktion tunnin t viimeisellä hetkellä, tіє arvo Skin kiinteällä arvolla t funktion u (x, t) kuvaaja edustaa merkkijonon muotoa, joka voidaan pyörittää hetkellä t (kuva 32). Vakiolla x:n arvolla funktio u (x, t) antaa lain abskissan x pisteeseen, viiva on suora, yhdensuuntainen akselin Ou kanssa, t häviää ja toinen häviää 2 ut 2 kiihdytetään . Pieni. 32. Voima, jota käytetään äärettömän pieneen määrään merkkijonoja Varasto, joka riittää täyttämään funktion u (x, t). Koko joukko raakoja sprinklejä, anna heidän antaa anteeksi. Naru on ehdottoman tiukka - 58

59 Coy, niin vvazhatimo, miksei viginu saisi kierrettyä lankaa; tse tarkoittaa, scho-jouset, scho-silmäilyt naruille, aina suoristettuna täsmälleen saman її lapasen profiiliin. Jousi välittää merkkijonon ja Hooken lain; tse tarkoittaa, että suuruusmuutos vedettiin sisään suhteessa langan käärmeeseen. Hyväksyttävä yksisäikeinen merkkijono; tse tarkoittaa, її її linea gustina ρ postіyna. Heräämisvoimat ovat epäterveellisiä. Tse ilmaisee, kuinka voimme nähdä sen. Mi vivchatimo vuokra jouset ovat pieniä. Jos merkitsemme ϕ (x, t) leikkausta abskissan ja katkoviivan välillä pisteessä abskissasta x hetkellä t, niin lapsen kentän mieli on siinä, arvolla ϕ 2 (x) , t) on mahdollista ei helposti (joskus x, t), niin että ϕ 2. Koska kut ϕ on malium, niin cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tan ϕ і myös arvo (uxx,) 2 voi olla myös jätetty pois. Kuulostaa heti viplivayltä, mutta laulamisen aikana voit zehtuvati käärmeen toimesta vaikka olisitkin jousien irrottaja. Oikeastaan ​​hieman merkkijonoa M 1 M 2 pitäisi suunnitella abskis-akselille, de x 2 = x 1 + x, tie l = x 2 x () 2 u dx x. x Näytetään, että sallimissamme jännitysvoiman T arvo on merkkijonon vakiojännitys. Samanaikaisesti haluan ensimmäistä kertaa dilyanka kielet M 1 M 2 (kuva 32) kellonaikana t ja osallistumisen sijaan - 59

60 kv vetovoimilla T 1 ja T 2. Värähtelyt langan kaikkien pisteiden nielulle akselin Ou suuntaisesti ja ulospäin suuntautuvat voimat, jolloin akselille Ox kohdistuvien vetovoimien projektion summa vastaa nollasta : T 1 cosϕ (2 x 1, t) + (x 2, t) =. Alkaa pienestä määrästä kutiv ϕ 1 = ϕ (x 1, t) і ϕ 2 = ϕ (x 2, t) -rakennetta, mutta T 1 = T 2. Merkittävää on, että alkuarvo T 1 = T 2 - T. Nyt akseliin Ou kohdistuvien voimien projektioiden F u qix summa: F u = T sin ϕ (x 2, t) T sin ϕ (x 1, t). (2) Oskіlki pienille kutіv sin ϕ (x, t) tg? T (tan ϕ (x 2, t) tan ϕ (x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) xx T 2 ux 2 (x 1, t) x ... Jos piste x 1 on käänteinen, niin F u T 2 u x2 (x, t) x. Lisäksi, koska kaikkien voimien tiedetään menevän M 1 M 2:een, on olemassa vielä toinen Newtonin laki, mikä tarkoittaa, että on tarpeen saada aikaan kaikkien päivän voimien nopea syöttö. Jousen massa on M 1 M 2 tiellä m = ρ l ρ x ja kiihdytetyllä tiellä on 2 u (x, t). Vastaa Newtonin t 2:ta näkökulmalle: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2 (x, t) x, de α 2 = T ρ on pysyvästi positiivinen luku. 6

61 Nopeasti x:llä voimme määritellä mo 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2 (x, t). (21) Tämän seurauksena olemme tehneet lineaarisia eroja yksityisten välillä, eri suuruusluokkia, vanhentuneella suorituskyvyllä. Joogo kutsuu chi-kieliä samanlaiseksi kuin samoja. Rivnyannya (21) є muotoilee uudelleen Newtonin lain ja kuvailee merkkijonon romahtamista. Ale boule vimogin fyysisessä lavastuksessa niistä nauhoista, jotka kiinnitetään ja langat laitetaan seuraavan tunnin aikana. Vastaavasti meidän pitäisi kirjoittaa se muistiin näin: a) on tärkeää, että merkkijonojen loppu on kiinnitetty pisteisiin x = і x = l, joten se on tärkeää kaikille t vikonan suorituksille u (, t) =, u (l, t) =, u (l, t); (22) b) tietoisesti tällä hetkellä t = merkkijonon paikka sijoitetaan funktion f (x) graafin alle siten, että kaikille x [, l]:lle ekvivalenssi on u (x,) = f (x); (23) c) No, ajanhetkellä t = merkkijonon piste abskissasta x, annetaan g (x) nopeus, joten myös u (x,) = g (x). (24) t Spіvdnoshennyaa (22) kutsutaan rajamieleksi ja spіvіdnoshennyaa (23) ja (24) tähkämieleksi. Vilnyh malikhin poikkisuuntainen matemaattinen malli 61

62 merkkijonoa siinä tosiasiassa, että on tarpeen tehdä merkkijono (21) rajatynnyreineen (22) ja tähkinänieluineen (23) ja (24) Vilnyn pienen poikittaisen merkkijonon päätös Fur' menetelmällä. "Alueen kiertäminen (21) xl,< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >... Ellei (25) (21), voimme tunnistaa: X T = α 2 X T, (26) tai T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x). (27) Näyttää siltä, ​​että pahoista on tullut. Eli jos x і t ei ole yksi tapa, niin vasen osa (27) ei ole x:n kohdalla, vaan oikea t:n kohdalla ja cich:n taaksepäin arvo on noin 62

63 voi olla jälkivaiheinen, mikä on merkityksellistä λ:n kautta: T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x) = λ. Tunnistamme kaksi erityistä differentiaaliekvivalenttia: X (x) λx (x) =, (28) T (t) α 2 λt (t) =. (29) Jos kyseessä on suuri raja, ajattele (22) nähdäksesi X () T (t) = і X (l) T (t) =. Oskіlka haju voidaan nähdä kaikki t, t>, sitten X () = X (l) =. (3) Tiedämme rivnyannyan päätöksen (28), koska se miellyttäisi rajamieliä (3). Näkyvissä on kolme näkymää. Vipadoc 1:>. Olkoon λ = β 2. Vastaa (28) X (x) β 2 X (x) = ulkoasua. Joogo-ominaisuus yhtä suuri k 2 β 2 = juuri k = ± β. Otzhe, ratkaisun pää (28) ma viglyad X (x) = C e βx + De βx. Jos olet syyllistynyt virheeseen, niin C ja D niin, että rajadiini (3) jäi kiinni, niin että X () = C + D =, X (l) = C e βl + De βl =. Оskіlki β, tsya järjestelmä rіvnyan maє єdine ratkaisu C = D =. Otzhe, X (x) ta 63

64 u (x, t). Tim itse, vipadku 1 mi, teki triviaalin päätöksen, sikäli kuin se ei ollut havaittavissa. Tyyppi 2: λ =. Todi rіvnyannya (28) nabuvaє näkymässä X (x) = і th ratkaisu on ilmeisesti annettu kaavalla: X (x) = C x + d. Tarjoamme ratkaisun rajanielussa (3), voimme lukea sen X () = D = і X (l) = Cl =, myös C = D =. Samasta ajasta X (x) ja u (x, t), ja olemme jo hylänneet triviaalin ratkaisun. Vipadoc 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 Nadal navatimo n vain positiiviset arvot n = 1, 2, ..., fragmentit negatiivisella n:llä on päätös siitä (nπ) Arvoja λ n = kutsutaan absoluuttisiksi luvuiksi ja funktioita X n (x) = C n sin πnx differentiaaliyhtälön (28) tehokkaimmilla funktioilla aluemielten (3) kanssa. Nyt se on liitetty löyhästi (29). Ma viglyadin uudelle ominaisuudelle k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Oskіlki vishche mi s'yasuvali, mutta ei-triviaalit ratkaisut X (x) іvnyannya (28) є jos negatiiviselle λ:lle yhtä suuri λ = n2 π 2, niin sama λ mi ja näkyy kaukaa. Suoran (32) є k = ± iα λ juuri ja suoran (29) ratkaisu voivat näyttää tältä: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) ll de A n і B n ovat johdonmukaisempia. Esitämme kaavat (31) ja (33) kohdassa (25), tiedämme rivnyannyan yksityisen päätöksen (21), mutta olemme tyytyväisiä alueellisiin mielipiteisiin (22): πnx. lll Lisää kerroin C n keulaan і lisää arvo C n A n = bn ja B n C n = an, kirjoita un (X, T) katsojaanі (un (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt ) sin πnx. (34) l l l 65

66 String-jigejä, jotka näyttävät ratkaisut u n (x, t), kutsutaan potenssijiggeiksi. Oskilki rіvnyannya (21) ja rajavoitot (22) lіnіynі ja yksisuuntainen, sitten lіnіyna ratkaisujen yhdistelmä (34) (u (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt) sin πlll päivää (35) joka tyydyttää rajamieliä (22) suorituskyvyn an i bn erityisvärähtelyllä, joka varmistaa luvun yhtäläisen turvallisuuden. Nykyään ratkaisun an ja bn (35) hyötysuhde on niin hyvä, että funktio (24), de f (x), g (x) sai funktion (jossa f () = f (l) = g () = g (l) =). Vaikuttavalla tavalla funktiot f (x) ja g (x) tyydyttävät mielet jakaessaan matalan Fur'єn. Kun (35) on arvo t =, voimme ottaa u (x,) = a n sin πnx l = f (x). Erottamalla sarja (35) t:ssä ja esittämällä t =, saadaan se ut (x,) = πnα bn sin πnx ll = g (x), ja hajautusfunktiot f (x) ja g (x) Fur'iksi. ja laavaa. Myös a n = 2 l f (x) sin πnx l dx, b n = 2 l g (x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 Voimme tarjota erilaisia ​​vaihtoehtoja toiminnallisuuksille an ja bn numeroon (35) asti, hyväksymme ratkaisun rivnyannya (21) sekä rajamielille (22) ja tähkämielelle (23) ja ( 24). Tim itse on sitoutunut pieniin ristikkokieliin. Merkkijonoa koskevien ongelmien potenssifunktioissa u n (x, t) tapahtuu fyysinen muutos kaavan (34) mukaisesti. Uudelleenkirjoitettava її viglyadі de n (x, t) = n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctan b n. l a n Kaavasta (37) voidaan nähdä, että kaikki merkkijonon pisteet kulkevat harmonisesti yhdellä ja samalla taajuudella ω n = πnα ja vaiheella πnα δ n. Merkkijonon amplitudi makuulle l l abscissi x pisteen merkkijonosta і tie α n sin πnx. Tällaisella numerolla kaikki merkkijonon pisteet saavuttavat välittömästi maksiminäkyvyytensä siihen suuntaan ja tunti ohittaa linjan sijainnin. Näitä kolyvannyja kutsutaan pysyviksi ylistyksiksi. Seiso mate n + 1 tuhoamaton piste, kuinka kysyä rivnyannya sin πnx = juuret välillä [, l]. Hallitsemattomia pisteitä kutsutaan seisovien khvilien vuzaiksi. Solmujen keskellä pisteet kasvavat, missä näkymissä ne saavuttavat maksiminsa; tällaisia ​​pisteitä kutsutaan antisolmuiksi. Dermaalista merkkijonoa voidaan käyttää tiukasti taajuuksien n = πnα, n = 1, 2, .... laulamiseen ja taajuuksia kutsutaan merkkijonon tehotaajuuksiksi. Alin l-ääni, joka voidaan nähdä merkkijonona, alkaa 67:stä

68 pienitehoinen taajuus 1 = π T і kutsutaan merkkijonon perusääneksi. Інші ääniä, jotka vastaavat l ρ taajuuksia n, n = 2, 3, ..., kutsutaan yliääniksi tai harmonisiksi. Jousityypin spesifisyyden vuoksi päääänen tyyppi (kuva 33), ensimmäinen ylisävel (kuva 34) ja toinen ylisävel (kuva 35). Pieni. 33. Merkkijonon profiili, joka näyttää pääsäveleltä Mal. 34. Merkkijonon profiili, joka näyttää ensimmäiseltä ylisäveleltä. 35. Merkkijonon profiili, joka näyttää erilaiselta ylisävyltä. Kun merkkijono etenee, se alkaa tähkämieleillä, funktio u (x, t) ilmestyy, kuten kaavoista (35) voidaan nähdä, Sumyn silmissä on joitain harmonisia. Tällainen sijoitus riittää siirtokunnalle 68

69 lankaa є seisovien koukkujen päällekkäisyys. Samaan aikaan kielen soundin luonne (ääni, äänen voimakkuus, sointi) on harmonisten amplitudien välissä olevan sp_vdnoshennya-muodossa. Äänen voimakkuus, korkeus ja sointi. Äänen voimaa luonnehtii äänen energia. Äänen ääni alkaa chi-jakson taajuudella: jos taajuus on korkeampi, ääni on korkeampi. Äänen sointi alkaa näkyä ylisävyinä, energia nousee harmonisten taakse niin, että sävy soitetaan. Ylisävelten amplitudit ovat ilmeisesti pienempiä kuin päääänen amplitudi, ja ylisävelten vaiheet voivat olla varsin merkittäviä. Meidän Vuhomme ei ole herkkä Phasie Kolivanille. Vertaa esimerkiksi kahta kuvan 1 käyrää. 36, epäilee z. Tse tallentaa äänen aivan perussävelellä, joka on kierretty klarinetista (a) ja flyygelista (b). Loukkaavat äänet eivät ole yksinkertaisia ​​sinimuotoisia ääniä. Äänen perustaajuus molemmissa tyypeissä on sama ja sama on sävy. Hieman käyriä siihen, että pääsävyyn sovelletaan ylisävyjä. Esitä samaa sointia vauvan laulavassa mielessä. 69

Vastaa hyperbolista tyyppiä. Pylväs estostamattomia ja keskeneräisiä jousia. Fur's method Fur's method Seisova chvili 4 Luentoja 4.1. Vastaa hyperbolista tyyppiä. Kokoelma ei ole loputon ja niin edelleen.

MOSKOVAN VALTION TEKNINEN YLIOPISTO CIVIL AVIATSIN V.M. Lyubimov, Є.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov M A T E M A T І K A R A D I POSIBNIK

VENÄJÄN LIITTOVALTION MINISTERIÖ Valtionbudjettikoulutus Ammatillisen koulutuksen perustaminen MATI Venäjän valtion teknillinen yliopisto nimeltä K.E. Tsiolkovsky

Biloruksen tasavallan opetusministeriö EE "Vitebskin valtion teknillinen yliopisto" Aihe. "Rivit" Teoreettisen ja soveltavan matematiikan laitos. hajottaa Assoc. Є.B. Duninoyu. Main

Liittovaltion koulutusvirasto Ammatillisen koulutuksen liittovaltion virasto PIVDENNY FEDERAL UNIVERSITY R. M. Gavrilova, G. S. Kostetska Metodical

Riadi Furin aihe Riadi Furin käytännön käyttö ortogonaalisten funktiojärjestelmien takana

ALUETEORIA Sarjojen teoria on tärkein varaston matemaattinen analyysi ja osata sekä teoreettisia että numeerisia käytännön raportteja. Razr_znyayut useita numeroita ja toimintoja.

ЗМІСТ ROW FUR'Є 4 Periodisen funktion ymmärtäminen 4 Trigonometrinen kenttä 6 3 Ortogonaaliset funktiojärjestelmät 4 Trigonometriset sarjat Fur'є 3 5 Rivi Fur'є pojille ja parittomille funktioille 6 6 Asettelu

Liittovaltion koulutusvirasto Moskovan osavaltion geodesian ja kartografian yliopisto (MІIGAIK)

Luento 4. Harmoniaanalyysi. Sarja Fur'є jaksollisia toimintoja. Harmony-analyysi

TEEMA V RIV FUUR'Є LUENTON 6 Periodisten funktioiden asettaminen sarjaan Fur'є Bagato -prosesseja, joita esiintyy luonnossa ja tekniikassa, voidaan toistaa laulukehotteiden kautta tunnin ajan.

METODOLOGISET VKAZIVKI ENNEN ROZRAKHUNKOVIKH ZAVDANIA VISCHOMATEMATICIN KURSSILLA "ZVICHAYNI DIFERENCY RIVNYANNYA RANGE Podviyni INTEGRALI" OSA SH TEEMARIVI

6 riviä Fur'є 6 Ortogonaaliset funktiojärjestelmät Fur'n sarjaa ortogonaalisissa funktiojärjestelmissä Funktiot ϕ () ja ψ (), arvot ja integraatio ylhäällä [,], kutsutaan yleisesti ortogonaaliseksi

ARVO INTEGRAALI. Integraalisummille yksikköintegraalille Nehai annetaan funktio y = f (), joka on annettu muotoon [, b], de< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 askelrivit 5 askelrivit: arvo, eroalue Muodon toiminnallinen rivi (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) de, a, a, K , a, k deyaki-numeroita, soita osavaltiosarjaksi Numbers

BILORUSKIY DERZHAVNIY YLIOPISTO SOVELLETTAVAN MATEMATIIKAN JA INFORMATIIKAN TIEDEkunta

Laita deyaki sen päälle. peppu. Tiedämme loputtoman geometrisen kehityksen summan, innokkuustermin kaava on a + aq + ... + aq n + ... (a). a n = aq n. Lukuisia sumia osia. Jos q =, niin

Zavdannya 1.1. Tietäen määritellyltä alueelta päätös samasta nollasta on differentiaaliyhtälön päätös y = y (x), joka on tyytyväinen aluemielten (Sturm-Livilyn johtaja) tehtävään.

Matemaattinen analyysi Aihe: Lauluintegraali Nevlasny Integraalit Lehtori Pakhomova Є.G. 2017 s. ROZDIL II. Tuon joogo-lisäosan lauluintegraali 1. Tuon joogovoiman lauluintegraali 1. Pää,

Luento 8 4 Sturm-Livilyn päällikkö Pientä poikittaista merkkijonoa kuvattaessa on mahdollista ymmärtää erottelutasa-arvon tähkäreunaongelma yksityisissä vanhemmissa eri järjestyksessä.

Selitetty tekstiin: merkki luetaan jakiksi "tasapuolisesti" ja tarkoittaa, että rivnyanilla oikeakätinen on merkistä ja paha on merkistä bezlich vastaus, merkki IR tarkoittaa bezlich puheen numeroita, merkki IN

82 4. Rozdil 4. Toiminnallinen ja tilarivi 4.2. Varattu 3 4.2. Varattu 3 4.2 .. Laitetaan funktio Taylor-sarjaan ARVO 4.2 .. En tiedä funktio y = f (x) on äärettömästi differentioitunut laitamilla

MINOBRNAUKI ROSIN FEDERALNA DERZHAVNA BUDGETNA OSVITALNAYA INSTANOVA VISCHOЇ PROFESSIONO ARVIO "SAMARSKY DERZHAVNIY TECHNICAL

Liittovaltion rautatieliikennevirasto Ural State University of Nobles ja sovelletun matematiikan laitos

Luento 3 Taylor ja Maclaurin Rows Stagnaation of State Rows Toimintojen järjestely Taylor and Maclaurin Rows State Rowsissa

Lavrenchenkon kanssa wwwwrckoru -luento Furin tarkistaminen Integraalin rekonstruoinnin ymmärtäminen Integraalitarkistuksen menetelmä on yksi matemaattisen fysiikan työlästä menetelmistä - voimakkaalla revisiolla

Funktion integrointi (Rimanille) sama integraali Käytä tehtävien ratkaisua 1. Funktio f (x) = C on integroitu, niin kuin minkä tahansa pisteiden muutoksen tai värähtelyn ξ i integraali

1. vuoden kurssi. Suorita Riman-funktio, joka on 0, m m R (), joka on m, m 0 ja muita ei-lyhyitä, 0, joka on irrationaalinen, razrivna ihossa rationaalinen piste ja keskeytyksettä ihoärsytyksessä. Päätös.

1 2 Zm_st 1 riviä Fur'є 5 1.1 Trigonometric series Fur'є ............ 5 1.2 Tilki sin & cos ................. .... 7 1.3 Fur-sarja kompleksimuodossa 11 1,4 f (x) = ck? .......................

RIVNYANNYA MATEMATICHNO FYSIIKKA 1. Differentiaalinen rivnyannya yksityisten lasten kanssa.

Luento 4. Hvilyovi rivnyannya 1. Vivedennya pivnyannya kielet 2. Rivnyannya myöhemmin kolivanin leikkaaminen 3. Kuulokkeet, vanteet 4. Ongelmaselostus 1. Rivnyannya-kielten voitto

1. Sähköstaattinen 1 1. Sähköstaattinen oppitunti 6 Karteesisten koordinaattien muutosten kehitys 1.1. (Tehdasasetus 1.49) Alue z = varautunut voimakkuudesta σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), de σ, α, β post_yni.

Moduuli Aihe Toiminnalliset päätteet ja sarjat Yhtä tärkeät voimat ja sarjat

Vastaa parabolista tyyppiä. Menetelmä saman alueen muuttamiseen Yksi tehtaan alue Laitteen toiminnot Ei yhtä samalle lämmönjohtavuustyypille 7 Luentoja 7.1 Vastaa parabolista tyyppiä. Podil-menetelmä

Lukusarjan luento Arvonmerkit Numerosarjat Arvonmerkit Numerosarjat Arvomerkit Numerosarjat Arvomerkit Numerosarjat Arvomerkit Numerosarjat

35 7 Trigonometrinen sarja Fur'є Rows Fur'є jaksollisille funktioille jaksolla T.

Metallurgian tiedekunta Ruokamatematiikan laitos ALUE Menetelmäohjeet Novokuznetsk 5 Liittovaltion koulutusvirasto

Matematiikan ja informatiikan laitos Koko matematiikan elementti Alkumetodinen kompleksi toisen asteen ammatillisen koulutuksen opiskelijoille, jotka alkavat oppia etätekniikoista.

9. Ensinnäkin ei-arvointegraali 9 .. Asetetaan funktio f () väliin I R. Funktiota F () kutsutaan ensisijaiseksi funktioksi f () välille I, kun F () = f () mille tahansa I:lle, joka on ensisijainen

DIFFERENTIAALIFUNKTIOT YKSI ZMINNOI Ymmärtäminen yksinkertaisesta, geometrisesta ja fyysisestä Zavdannyasta, luoda ennen kuin ymmärrät Stosovo S:n epämääräisen nimeämisen linjalle y f (x) pisteessä A x; f (

Vastaa hyperbolista tyyppiä. Pylväs estostamattomia ja keskeneräisiä jousia. D'Alembertin menetelmä Hajusteeton merkkijono. D'Alembertin kaava Epälineaarinen merkkijono 3 Luento 3.1. Vastaa hyperbolista tyyppiä.

Зміст Vstup. Perustiedot .... 4 1. Volterri Integral Rivne ... 5 Kotitalousvaihtoehdot .... 8 2. Volterri Integral Rivnyannya Resoluutio. 10 Kotitalousvaihtoehdot ... 11

ALUE. Numerorivit. Nehain pääarvo annetaan rajoittamattomalle määrälle Viraz-lukuja (rajaton summa) a, a 2, ..., an, ... ai = a + a 2 + + an + ... () i = to kutsutaan numerosarjaksi. Numerot

8. Askelivit 8 .. Toiminnallinen rivi, jonka muoto on cn (z) n, (8.) n = de cn on numeerinen sarja, R on kiinteä luku ja z R on tilarivi, jonka parametrit ovat c n . Vicone korvaa voittajat

~ ~ Ei-tärkeät ja merkityksettömät integraalit Alkuperäisen ja määrittämättömän integraalin ymmärtäminen. Nimitys: Funktiota F kutsutaan ensimmäiseksi riviksi suhteessa funktioon f, samoin kuin kiinnitysfunktioon

3724 CRATNI І KRIVOLINIINI INTEGRALSIN RIVIÄ 1 ROSDILIVIN ROBOCH-OHJELMA "CRATNI І CRYVOLINIINI INTEGRALSIN RIVIT" 11 Numerosarja Ymmärrä numerosarja Numeroiden teho

SYÖDÄ. RUDIUMMATHEMATICHNY ANALIZ. NUMEROT JA TOIMINNALLISET RIVIT NOVOSIBIRSK 200 2 MINOBRNAUKI ROSIN GOU VPO "NOVOSIBIRSKY DERZHAVNIY PEDAGOGICHNY UNIVERSITY" О.М. Rudiy MATEMATICHNY ANALIZ.

LUETTO N 7. Taylor's Rows ja Taylor's Rows ... Taylor's Rows ... Taylor's Row ...

NELIÖ RIVNIANNYA Zmist NELIÖ RIVNIANNYA ... 4.se viimeinen neliö rivnyan ... 4 ..

ROZDIL ZAVDANNIA PARAMETREILLÄ Kommentit Parametrien hallinta on perinteisesti є taitettavat tilat EDI:n rakenteissa, jotta voit käyttää kaikkia lasten ratkaisemisen menetelmiä ja menetelmiä.

Differentiaalilaskenta Otettu osaksi matemaattista analyysiä Leikkausfunktiot. Ei-arvojen Rozkritta rajoilla. Toiminnot ovat samanlaisia. Erottamisen säännöt. Zasosuvannya obhіdnoї

Sarja Furin ortogonaalisia funktiojärjestelmiä Algebran näkökulmasta tietyn luokan a funktioiden ekvivalenssi - suorituskyky R:stä mutta C:stä tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että vektori on vektorien lineaarinen yhdistelmä

1. Lauluintegraali 1.1. Olkoon f:n ympäröimä funktiolla, joka on asetettu muotoon [, b] R. Rozbittyam vidrizka [, b] kutsu tätä pistejoukkoa τ = (x, x 1, ..., xn 1, xn) [, b] , uh = x< x 1 < < x n 1

Head Stair Rows a a a Row view a a a a a () kutsutaan staattisiksi, de, a, postoperatiivisiksi, joita kutsutaan funktionaareiksi rivissä.

2. Suorituskyvyn arvo on alhainen Fur'є-kaavoille.

Älä käytä jaksollista funktiota ƒ (x), jonka jakso on 2π siten, että se näyttää trigonometriseltä sarjalta, vaan siirry koko funktioon välissä (-π, π), jolloin se on sarjan summa:

Oletettavasti se on integroitu toimintoon, joka on samassa tasa-arvoketjun osassa, koko sarjan integraation tärkeimmässä osassa. Tse bude vikonuvatisya, heti kun numerosarja taittuu annetun trigonometrisen sarjan kertoimilla, absoluuttisesti konvergoi, niin että positiivinen lukusarja konvergoi

Rivi (1) majorєmo і voidaan integroida termi kerrallaan välissä (-π, π). Rikoksen prointegruemo osaan ryvnostia (2):

Se on numeroitu okremo kozenintegral, joka näkyy oikealla puolella:

,

,

Sellaisessa arvossa, , tähdet

. (4)

Arvio suorituskyvystä Fur'є. (Bugrіv)

Lause 1. Jos funktio ƒ (x) periodille 2π ei keskeydy, se kestää keskeytyksettä ƒ (s) (x) kertaluvulle s, koska se on onnellinen kaikilla epäsäännöllisyyksien akselilla:

│ f (s) (x) │≤ M s; (5)

Todi kofіtsієnti Fur'є toimii epäsäännöllisyyksien tyydyttämiseksi

Toimitettu. Integroidut osat ja vrahoyuchi,

ƒ (-π) = ƒ (π), maєmo

Integroidaanko oikea osa (7) viimeisenä, mutta ei vähäisimpänä? 6).

Toinen arvio (6) on seuraava.

Lause 2. Fur'є ƒ (x) suorituskyvystä ei ole puutetta

(8)

Toimitettu. Maєmo

(9)

Esittele muutoksen ja toimituksen muutoksen yhteydessä, scho ƒ (x) - jaksollinen toiminto, voidaan tehdä

Varastointi (9) ja (10), teemme

B k voidaan todistaa samalla tavalla.

Slidstvo. Koska funktio ƒ (x) on keskeytymätön, funktio (x) on nolla: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Toimintojen tila skalaarikermasta.

Funktiota ƒ (x) kutsutaan paloittain jatkuvaksi pituussuunnassa, kunhan se on keskeytyksettä, mahdollisesti äärellisessä määrässä pisteitä, de maє ensimmäiseen sukuun. Tällaisia ​​pisteitä voidaan lisätä kertolaskuun luvun perusteella ja leikata tulos tietää shmatkovo-ilman funktion keskeytyksiä.

Kahden shmatkovo-bezperervnyh skalaarijuustomassa (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Niille, jotka ovat shmatkovo-ilman keskeytyksiä funktioissa ƒ, φ ψ, on selvää puolustaa auktoriteettia:

1) (ƒ, φ) = (φ, ƒ);

2) (ƒ, ƒ) і yhtäläisyydellä (ƒ, ƒ) = 0 vapingє, mutta (x) = 0, mukaan lukien mahdollisesti pisteiden loppumäärä x;

3) (α ƒ + β φ, ψ) = α (ƒ, ψ) + β (φ, ψ),

de α, β - ovat hyviä lukuja.

Ilman kaikkia shmatkovo-ilman keskeytyksiä -toimintoja, joita varten kaavalle (11) otetaan käyttöön skalaari-tvir, tarkoitamme, ja tilaa

kunnioitus 1.

Matematiikassa sitä kutsutaan avaruus = (a, b) Lebesguen merkityksessä kerralla integroitujen funktioiden ƒ (x) lukumäärä omilla neliöillään, jota käytetään skalaarisesti tällaiselle kaavalle (11). Näkymä tilaan є osittain. Vallan laajuus on valtava, mutta ei kaikki.

3 viranomaisista 1), 2), 3) Bunyakovskyn inertia on tärkeä | (ƒ, φ) | ≤ (,) ½ (φ, φ) ½, kuten katseluohjelmani integraalit seuraavasti:

Suuruus

kutsutaan funktion f normiksi.

Tällaisen tehon normi:

1) | f || ≥ 0, jos yhtäläisyys voi olla vain nollafunktiolle f = 0, niin funktio, jota voidaan käyttää nollalle, on kenties lopullinen pistemäärä;

2) | ƒ + φ || ≤ || ƒ (x) || || φ ||;

3) | α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

de α - suunnittelunumero.

Toinen integraationi voima on tällainen:

ja sitä kutsutaan Minkovskyn hermoiksi.

Sanoa, että viimeinen funktio (f n), jäljittää funktioon, laskea funktioon, jäljittää keskiarvon neliöarvo (joka tapauksessa normin ulkopuolella), jos

Merkittävää on, että jos funktioiden n (x) kestävyys konvergoi yhtä paljon toisella puolella olevan funktion ƒ (x) kanssa, niin suuren n eron ƒ (x) - n (x) saavuttamiseksi absoluuttisissa arvoissa syyllisyys on pieni. kaikkiin kolmeen kertaan.

Jos n (x) on pragmaattinen ƒ (x):n suhteen keskineliön merkityksessä, ero ei todennäköisesti ole pieni suurelle n:lle kaikkialla. Kuukauden ympäristössä kasvu voi olla suurta, mikä vielä tärkeämpää, mutta integroituneena aukioon pitkin bulevardia suurelle n.

peppu. Anna kuva pikkuiselle keskeytyksettä shmatkovo-rivifunktiossa n (x) (n = 1, 2, ...), lisäksi

(Bugrov, sivu 281, kuva 120)

Jos olet luonnollinen n

і, myös viimeinen funktioista, haluan mennä nollaan kohtaan n → ∞, vaikkakin epäsäännöllisesti. Mіzh joukkue

eli viimeinen funktioista (f n (x)) nollaan keskimääräisen neliön merkityksessä.

Siellä on useita toimintoja 1, 2, 3, ...

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Ensimmäisen yogon n jäsenen summa

σ n = 1 + 2 + + n

є toiminto, scho asettaa jopa. Kuinka saada ansa, toiminto on sellainen,

|| ƒ- σ n || → 0 (n → ∞),

silloin näyttää siltä, ​​että sarja (12) konvergoi funktioon keskineliön ja kirjoitustavan merkityksessä

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

Muistio 2.

Näet tila = (a, b) kompleksiarvoiset funktiot ƒ (x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), de ƒ 1 (x) ja ƒ 2 (x) - toiminta shmatkovo - ilman keskeytyksiä funktiossa. Monilla funktioilla kerrotaan kompleksiluvuilla ja funktioiden ƒ (x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) ja φ (x) = φ 1 (x) + i φ 2 (x) skalaarisummalla ), mutta aloita hyökkäävällä arvolla:

ja normi alkaa arvona

Sarja Fur'є jaksollisia funktioita jaksolta 2π.

Useat Fur'єt mahdollistavat säännölliset toiminnot, jotka voidaan taittaa komponenttien päälle. Pussien ja jousien vaihto, kampimekanismien vaihtaminen, nopeus ja nopeus sekä akustiset hvilit - kaikenlaiset käytännölliset pätkät jaksollisten toimintojen tallentamiseen suunnitteluluetteloihin.

Asettamalla riviin joukossa juoksevia karvaisia, mutta kaikki funktiot, mutta käytännössä merkityksellisiä välillä -π ≤x≤ π, on mahdollista liikkua samankaltaisten trigonometristen rivien näkymässä (joukko samanlaisia ​​jäseniä, jälkeen

Vakio (= zvychany) merkintä summan sinx ja cosx kautta

f (x) = a o + a 1 cosx + a 2 cos2x + a 3 cos3x + ... + b 1 sinx + b 2 sin2x + b 3 sin3x + ...,

de a o, a 1, a 2, ..., b 1, b 2, .. - Viitevakiot, tobto.

De vaihteluvälille -π - π joidenkin Fur'є:n suorituskykyyn, joka maksetaan kaavoilla:

Ominaisuudet a o, a n і b n kutsutaan kofіtsієntami Fur'є, ja jos se on mahdollista tietää, niin sarjaa (1) kutsutaan tilaa Fur'є, funktiolla f (x). Sarjassa (1) termiä (a 1 cosx + b 1 sinx) kutsutaan ensimmäiseksi tai pääharmoninen,

Paras tapa kirjoittaa rivi ylös on viktoriaaninen sp_vvidnoshennya acosx + bsinx = csin (x + α)

f (x) = a o + c 1 sin (x + α 1) + c 2 sin (2x + α 2) + ... + c n sin (nx + α n)

De ao on vakio, s 1 = (a 1 2 + b 1 2) 1/2, sn = (an 2 + bn 2) 1/2 on muiden komponenttien amplitudi, ja tielle an = arctan an / b n.

Sarjassa (1) termiä (a 1 cosx + b 1 sinx) tai c 1 sin (x + α 1) kutsutaan ensimmäiseksi tai pääharmoninen,(a 2 cos2x + b 2 sin2x) tai c 2 sin (2x + α 2) kutsutaan muu harmoninen ja toistaiseksi.

Taittosignaalin tarkkaan havaitsemiseen tarvitaan rajoittamaton määrä jäseniä. Bagatyokhin käytännön henkilökunnalla on kuitenkin tarpeeksi ripaus ensimmäisiä jäseniä.

Sarja Fur'є ei-jaksollisia funktioita ajanjaksolta 2π.

Kertaluonteisten toimintojen jakelu useille Fur'є.

Koska funktio f (x) ei ole jaksollinen, se tarkoittaa, että sitä ei voida asettaa Fur'є-riville kaikille x:n arvoille. On kuitenkin mahdollista tehdä useita Fur'є, joka edustaa funktiota millä tahansa alueella, jonka leveys on 2?

Jos annetaan ei-jaksollinen funktio, on mahdollista lisätä uusi funktio, laulualueen f (x)-arvoa väristetään ja asema toistetaan 2π-välillä. Värähtelyt ovat uusi funktio є jaksollinen jaksolla 2π, її voidaan laajentaa riviksi Fur'є kaikille arvoille. Esimerkiksi funktio f (x) = x ei ole jaksollinen. Kuitenkin, jos on tarpeen laajentaa її rivissä Fur'є intervalliin asti 2π, välin sijainti on jaksollinen funktio, jonka jakso on 2π (kuten alla olevasta kuvasta näkyy).

Ei-jaksollisille funktioille, kuten f (x) = x, Fur'є-luvun summa on f (x):n asianmukainen arvo tietyn alueen kaikissa pisteissä, mutta ei f (x) sijainnin pisteille. valikoimasta. Useiden Fur'in ei-jaksollisten funktioiden tuntemiseksi alueella 2π käytetään kaikkia Furin kertoimien kaavaa.

Laiteparit ja parittomat toiminnot.

Sano, funktio y = f (x) parna missä f (-x) = f (x) kaikille x:n arvoille. Parillisten funktioiden kaaviot perustuvat symmetrisiin funktioihin (näytettävä peilimäisesti). Kaksi peräkkäistä parifunktiota: y = x 2 і y = cosx.

Sano, että funktio y = f (x) pariton missä f (-x) = - f (x) x:n kaikki arvot. Parittomien funktioiden kuvaajat riippuvat symmetrisistä koordinaateista.

Bagato-toiminnot eivät ole miehiä, ne eivät ole parittomia.

Laajentuva rivissä Fur'є kosinus.

Furin parillisten jaksollisten funktioiden sarja f (x), jonka jakso on 2π, voi poistaa jäsenet kosineista (jotta ei poista jäseniä sinistä), ja voit sisällyttää pysyvän jäsenen. Otzhe,

de kofizinti useita Fur'є,

Furin parittoman jaksollisen funktion f (x) sarja jaksolla 2π on korvata jäsenet sinillä (jotta ei kosta jäseniä kosineilla).

Otzhe,

de kofizinti useita Fur'є,

Row Fur'є on pivperiodi.

Koska funktio on tarkoitettu alueelle, esimerkiksi 0 - π, eikä vain 0 - 2π, se voidaan sijoittaa riviin vain sinien tai vain kosinien kanssa. Otrimaniy useita Fur'є kutsutaan tilaa Fur'є on napіvperіodі.

Jakauma on korjattava Fur'є on napivperiodi on kosinukset funktio f (x) alueella 0 - π, on tarpeen lisätä jaksollisten funktioiden pari. Kuvassa Funktio f (x) = x on esitetty alla, pyydettynä väliltä x = 0 - x = π. Parifunktion värähtelyt ovat symmetrisiä, mutta f(x)-akselia johtaa viiva AB, joka on esitetty kuvassa. alempi. Anna vain mennä, mutta katselun aikavälin asento leikataan kolmiomaiseen muotoon є ajoittain jaksolla 2π, sitten näytetään kehysgrafiikka. kuvassa alempi. Värähtelyjen on hylättävä Fur'єn asettelu kosinien mukaan, kuten ja aikaisemmin, laskettu tehokkuus Fur'є a o і a n

Jos funktiota f (x) on tarpeen korjata alueella 0 - π, on käytettävä paritonta jaksollista funktiota. Kuvassa Funktio f (x) = x on esitetty alla, pyydettynä väliltä x = 0 - x = π. Värähtelyt ovat parittomia, funktio on symmetrinen koordinaattien tähkän kanssa, se on CD-viiva, kuten kuvassa 10 näkyy. Anna sen vain mennä, mutta tiedostomaisen signaalin sijainti jaksoittaisesti jaksolla 2π, tiedostomaisen signaalin asento jaksolla 2π, sitten lukemat kuvassa. Värähtelyt on hylättävä Furinin asettelussa poskionteloiden perusteella, sekä aikaisemmin että aikaisemmin, laskettuna Furin arvolla. b

Joukko Fur'є pre-intervallia varten.

Jaksottaisten funktioiden laajentaminen jaksosta L.

Jaksofunktio f (x) toistetaan askelista x L, joten. f (x + L) = f (x). Siirtymällä aiemmin näytetyistä funktioista jaksolta 2π jakson L funktioihin yksinkertaisen loppuun saattamiseksi, osa tästä voidaan tehdä lisämuutokseksi.

Kuinka tietää Fun'є-funktion f (x) sarja välillä -L / 2≤x≤L / 2, teemme uuden muutoksen u sellaiseen järjestykseen, että funktio f (x) on pieni jakso 2π ja sitten u. Jos u = 2πx / L, niin x = -L / 2, kun u = -π ja x = L / 2, kun u = π. Älä myöskään anna f (x) = f (Lu / 2π) = F (u). Sarja Fur'є F (u) maє viglyad

De kofizinti useita Fur'є,

Yleisin kaava on kuitenkin valmistaa kaavaa, kunnes lehdet ovat jäljellä. Värähtelyt u = 2πх / L, jopa du = (2π / L) dx, ja integroinnin välillä - -L / 2 - L / 2, vaihda - π arvoksi π. Otzhe, useita Fur'є kesantoa varten x maє viglyad

de välillä -L / 2 - L / 2 suorituskykyä useisiin Fur'є,

(Välillä integrointi voidaan korvata millä tahansa aikavälillä L:iin asti, esimerkiksi 0 - L)

Sarja Fur'є nukkumisjaksolle funktioille, jotka on asetettu väliin L ≠ 2π.

Asennuksessa u = πх / L väli x = 0 - x = L on väliltä u = 0 - u = π. Otzhe, funktiota voidaan laajentaa peräkkäin vain kosinilla tai vain sinillä, tobto. v rivi Fur'є on pivperiodi.

Laajentuminen kosineihin välillä 0 - L ma viglyad