Sisäänpääsy

Sylinterimäisiä funktioita kutsutaan eri kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaisuksi

de - monimutkaiset muutokset,

Parametri, jota voidaan käyttää puhe- tai kompleksiarvoille.

Termi "sylinterimäiset toiminnot" viljelykasvien neulonta heidän matkojaan tällaiseen sisustukseen, joka (1) on kehitetty tarkasteltaessa alueellisia laitoksia, teoria sylinterimäisen alueen potentiaalista.

Besselin funktioiden nimelle on kirjallisuudessa annettu sylinterifunktioiden erityisluokkia, ja joissain tapauksissa ne on liitetty koko sylinterifunktioiden luokkaan.

Toimintojen teoria on hyvin hajautettu, luentotaulukoiden ulkonäkö ja laaja stasosuvan-alue toimivat riittävänä keinona tuoda sylinterimäiset funktiot tärkeimpiin erikoistoimintoihin.

Rivnyannya Besselin nalle pіd tunti rіvnyannya rіvnyannya Laplace ja rіvnyannya Helmholtz sylinterimäisissä ja pallomaisissa koordinaateissa. Tämä Besselin toiminto pysähtyy, jos virustavarat leviävät hwilin laajenemisesta, staattinen potentiaali on liian pieni, esimerkiksi:

1) sähkömagneettinen hvily sylinterimäisessä hvilevodі;

2) lämmönjohtavuus lieriömäisissä kappaleissa;

3) ohuen pyöreän kalvon muodostuminen;

4) sylinterissä olevien hiukkasten likviditeetti, joka varastoituu linjaan ja kiertyy akselinsa ympäri.

Besselin funktiot juuttuvat listan kärkeen esimerkiksi ennen signaalinkäsittelytuntia.

Besselin sylinterimäiset toiminnot ovat yleisimpiä kaikista erikoistoiminnoista. Kaikkien luonnon- ja teknisten tieteiden (erityisesti tähtitiede, mekaniikka ja fysiikka) numeeristen lisäaineiden tuoksu. Matemaattisen fysiikan alapäässä kehitetään sylinterifunktioita, joiden argumentti on indeksi (yksi ja vain yksi), ne lisäävät monimutkaisia ​​arvoja. Tällaisten projektien numeerista määritystä varten on tarpeen kehittää algoritmeja, jotka mahdollistavat Besselin funktion tarkan laskemisen.

Kurssin robotin tarkoitus: vivchennya funkts_ Bessel ja zasosuvannya їkh viranomaiset virіshennі differentiaali іvnyans.

1) Vivchit Rivnyannya Bessel ja muokattu Rivnyannya Bessel.

2) Määritä Besselin funktioiden perusvoimat, asymptoottiset manifestaatiot.

3) Besselin lisätoiminnon tasauspyörästön näkyvyys.

Bessel toimii positiivisella kuvakkeella

Lieriömäisten funktioiden ongelmiin liittyvien ongelmien ratkaisemiseksi riittää, että huomioidaan tiettynä päivänä esitetyt funktioiden erityisluokat, jos positiivista lukua (1) vastaava parametri on yhtä suuri kuin nolla.

Ennen kuin tälle luokalle annetaan alkeellisempi luonne, alempi teoria, sitä voidaan pitää merkittävimpänä arvona ja voimme olla ystävällisiä esiteltyä teoriaa kohtaan.

Näytetään, että yksi vastauksista on

0, 1, 2, …, (1.1)

є Besselin toiminto on ensimmäinen, joka tilaa, jakki missä tahansa merkityksessä, aloita jakkisumma peräkkäin

D'Alembertin lisämerkkejä varten on helppo kääntää, mutta rivi, katsoa ulos, yhtyä koko monimutkaisen muutoksen alueelle, joka edustaa myös kaiken kokonaisuutta.

Yaksho merkitsee ryvnyannyan vasenta osaa (1.1) sen kautta syöttääksesi esityksen tallennusnopeuden sarjaan (1.2),

sitten vaihtamisen seurauksena voimme

Vyraz viraz -tähdet temppeleissä on himmennetty nollaan. Otzhe, funktio on tyydyttävä standardiin (1.1), eli lieriömäiseen funktioon.

Luokan yksinkertaisimmat funktiot, miltä näyttää, ovat Besselin funktiot nollan ja yhden järjestyksessä:

Näytetään, että alempien kertalukujen Bessel-funktioita voidaan kiertää näiden funktioiden kautta. Todistuksessa on sallittua, että a on positiivisempi luku, sarja (1.2) kerrotaan ja erotetaan. Mi otrimaєmo todі

Analoginen arvo, joka kertoo sarjan tunnetulla

Tehtyään erottelun yhtäläisyydessä (1.4 - 1.1) ja kertomalla, tulemme kaavoihin:

tähdet ilman etulinjaa:

Otrimani-kaavat, joille on annettu Besselin funktioiden toistuvien relaatioiden nimi.

Ensinnäkin on mahdollista visualisoida toiminto järjestyksen mukaan nollan ja ykkösten funktioiden kautta, jotta robotti siirtyy nopeasti Besselin funktioiden taittotaulukoista.

Muut spіvdnoshennya sallii verot kadonneet Besselin toiminnoista Besselin toimintojen kautta. Koko spіvvіdnoshennya maє buti korvataan kaavalla

ilman näiden toimintojen esiasetusta.

Ensimmäisen suvun Besselin toiminnot on yksinkertaisesti sidottu Laurentin rivin toimintoihin):

Jakauman kertoimet voidaan laskea kertomalla valtion omistamat rivit:

että jäsenten jakaminen, kuinka kostaa samoilla askelilla. Viconavshi tse, otrimaєmo:

viglyad tähdet

Funktiota kutsutaan funktioksi scho viroblyaє, kun Bessel-funktiot sisältävät koko kuvakkeen; Viestinnän tuntemus (1.12) on annettu näiden funktioiden teoriassa.

Yhdellä kuvakkeella laajan valikoiman sylinterimäisiä toimintoja antavan ryvnyannyan (1.1) kotiintegroinnin estämiseksi on käytettävä muita yhtä tärkeitä ratkaisuja. Tällaisen ratkaisun ominaisuudessa voidaan ottaa eri suvun Besselin funktio, vaikka ei ole tärkeää ottaa huomioon analogista viraasia useiden näkökohtien kannalta.

(- Post-Eiler) і, toisinaan pershu і jos summa menee nollaan.

Toiminta on säännöllistä kasvualueella. Kentän välähdyspäätöksen erikoisuus piilee siinä, että se voidaan muuttaa hölynpölyksi, jos on. Sylinterimäisen funktion zagalny viraz on lineaarinen yhdistelmä kehotusratkaisuja

de і - hyvä postіynі,

Jotta voisimme siirtyä pyöreän kalvon muodostumiseen liittyvien ongelmien ratkaisuun, olemme syyllistyneet siihen, että olemme ensin oppineet Besselin toiminnoista. Besselin funktiot є lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaisut eri järjestyksessä muuttuvasta suorituskyvystä johtuen

Hintaa kutsutaan Besselin perheeksi. Ensimmäinen asia ja toinen ratkaisu ei ole vain pyöreän kalvon tehtävissä, vaan muissa suuressa määrässä rakennuksia.

Parametri k, joka tulisi syöttää tasolla (10.1), saattaa vaikuttaa zagalilta, mutta siinä on joitain positiivisia arvoja. Tietyn k:n ratkaisuja kutsutaan k-kertaluokan siemenettöiksi funktioiksi (niitä kutsutaan myös lieriömäisiksi funktioiksi). On helppo nähdä yksityiskohtaisesti, jos meillä ei ole yksinkertaisia ​​pudotuksia, jos yritämme päästä eroon ensimmäisen kertaluvun nollan nonselevy-funktiosta, jos muissa voitoissa on pisteet.

Jotta zalny vivchennya siemenettömiä toimintoja lukijasta erikoiskirjoihin (div., Esimerkiksi / n, (4.5)

de 1, 2, ..., n - vypadkovі abortti;

n - vimirivien lukumäärä.

Keskimääräinen neliöllinen korjaus perustuu edellä mainittuun vimirivin tarkkuuden arviointikriteeriin. Vilkaise pientä rahasummaa tyylin täydentämiseksi ja kuvittele hyvin suurenmoisen armahduksen ilmentymä, joka muuten alkaa itse asiassa.

Kaava (4.5) on kiinteä keskimääräisen toisen asteen poikkeaman laskemiseen, jos suurelle on olemassa viitearvo. Harjoittelun hinnat ovat vielä huonommat. Pääsääntöisesti tietyn arvon viitearvo ei ole saatavilla, mutta on mahdollista vähentää tärkein tulos - aritmeettinen keskiarvo. Voimme hyväksyä kaavan keskimääräisen neliöllisen väärinkäytöksen laskemiseksi tulosten lisäkiinnittämiseksi aritmeettiseen keskiarvoon niin sanotulle ymovy-virheelle V.

Nekhai l 1, l 2, ..., l n - täsmällisten samankokoisten arvojen tulokset, joiden merkitys on X ja aritmeettinen keskiarvo on L. Todi voidaan laskea n tyyppistä virhettä

Δ i = l i - X (4,6)

ja menestyneimmät virheet

V i = l i - L. (4.7)

Rahasumma (4,7)

[V] = [l] - nL. (4.8)

Ale, vastaavuuden (4.4) mukaan nL = [l], että

niin, että viimeisimpien väärinkäytösten summa ei aiheuta kustannuksia.

Vastaavuus (4.6) Ekvivalenssi (4.7), tunnistettavissa

Δ i - V i = L - X. (4.10)

Ryvnostin (4.10) oikealla puolella on aritmeettisen keskiarvon temppu. Anna її ε:n kautta. Todi

Δi = V i + ε. (4.11)

Laitetaan yhtälön neliöön (4.11), otetaan summa ja annetaan se n:lle:

[Δ 2] / n = / n + nε 2 / n + 2ε [V] / n. (4.12)

Liva on osa rahan hintaa є ei niin іnshe yak m2. Oikean osan loppuosa yhtälön (4.9) kautta on yhtä suuri kuin nolla.

m 2 = / n + ε 2. (4.13)

Vipadkovin virhekäyttäytyminen ε korvataan keskiarvoilla, eli keskineliöllä, aritmeettinen keskiarvo. Pohja tuodaan, oh aritmeettisen keskiarvon keskimääräinen neliöllinen ero

M2 = e2 = m2/n. (4.14)

m 2 - m 2 / n = / n tai m 2 (n - 1) / n = / n,

tähdet ___________

m2 = / (n - 1) tai m = √ / (n - 1). (4.15)

Kaavaa (4.15) kutsutaan Besselin kaavan mukaan iso on käytännöllisempi. Vaughnin avulla voit laskea keskimääräisen neliöllisen säädön tulosten herkullisille parannuksille aritmeettisen keskiarvon muodossa.

Keskimääräisen neliöllisen huonon käytöksen osalta keskimääräinen voi kasvaa, voin olla varma huonosta käytöksestä.

Keskimääräistä huonoa käyttäytymistä (Θ) kutsutaan väärinkäyttäytymisen absoluuttisten arvojen aritmeettiseksi keskiarvoksi, tobto.

Θ = (| Δ 1 | + | Δ 2 | +… + | Δ n |) / n = [| Δ |] / n. (4.16)

Teoreettisesti virhe voidaan tehdä, n → ∞ = 0,8 m, mutta m = 1,25 ?.

Sovelletun ruoan tapauksessa he valittavat olen nälkäinen r. Samaa merkitystä kutsutaan pahaksi petokseksi samassa rivissä, mutta se on juuri niin paljon kuin se on mahdollista kieltää, joten se on pienempi arvo absoluuttiselle arvolle. Sillä znakhozhennya r usi tottumukset annettu numero voivat omalla arvollaan absoluuttisen arvon kasvun järjestyksessä ja valita ne arvot, kuten lainaamalla keskimmäistä asemaa, niin että se on vähemmän kuin tuo tyyli, mutta enemmän ja enemmän. Ymovіrna abortti on sidottu, jos keskimmäisen neliön alemmuus r = 2/3 m = 0,67 m m = 1,5 r.

Yak bachimo, m> Θ і m> r, kuinka päätellä, että keskimääräinen neliöllinen väärinkäytös kuvaa paremmin vimirіv, nіzh middle і imovirna deny tarkkuutta.

Tällaisten muuttujien arvojen, kuten viivojen, alueiden ja alueiden, tarkkuuden arviointia kierretään usein avuksi. hyväksyttävää petosta... Absoluuttisen väärinkäytöksen nimi vimri-arvon arvoon asti on todellinen väärinkäytös. On yleinen virhe kirjoittaa murtolukuna, jonka lukumäärä on yksi, ja standardiin - luku, joka näyttää sinulle osan koon arvosta, virheen tekeminen on sallittua. Esimerkiksi vimirian puolella D = 150 m, jonka absoluuttinen kallistus m d = 0,05 m. Myös ero wimirin tulokseen tulee m d / D = 0,05 m / 150 m = 1/3000.

Arvo 1/3000 tarkoittaa, että 3000 metrin etäisyydellä seisomapaikasta sieppaus 1 metrin etäisyydellä on sallittu. Kaikkien geodesian lineaarimittausten tarkkuus on varmistettava, koska sitä tulee ohjata tämän tyyppisten geodeettisten robottien yleisten ohjeiden ja toteutusohjeiden mukaan.

LIITTOVALTION PERUSTETTAMISVIRASTO

STERLITAMATSKA FILIA

KOTIMAINEN KIRJA

VISCHOЇ PROFESSIONO EVOLVE

"BASHKIRSKIY DERZHAVNIY YLIOPISTO"

Taloustieteen tiedekunta

Matematiikan ja informatiikan laitos

Kurssin robotti

aiheesta:

Besselin toiminnot

Vikonav opiskelija 2 kurssi

ryhmä PMII-08

Alexandrova A.Yu._______

"___" ____________ 2010r.

Naukovy Kerivnik

Ph.D., Art. ін.

Sidorenko O. G. _______

"___" ____________ 2010r.

Sterlitamak 2010

Sisäänpääsy

1 Bessel-funktiot positiivisella etumerkillä

2 Bessel-funktiot yhdellä merkillä

3 Ilmoituksen koti Sylinterimäiset toiminnot. Toisen suvun Bessel-funktiot

4 Laajenna useita toisen suvun Bessel-toimintoja koko kuvakkeella

5 Kolmannen tyyppiset Besselin funktiot

6 Eksplisiittisen argumentin Bessel-funktiot

7 Lieriömäistä funktiota indeksillä, jotka maksavat puolet parittomasta kokonaisluvusta

8 Sylinterimäisten funktioiden asymptoottinen määritys suurille argumenttiarvoille

9 Sylinterin nollatoimintoja

Visnovok

Lista kirjallisuudesta

Sisäänpääsy

Sylinterimäisiä funktioita kutsutaan eri kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaisuksi

, (1) - monimutkainen muutos, - parametri, jota voidaan käyttää puheen tai kompleksisen merkityksen yhteydessä.

Termi "sylinterimäiset toiminnot" viljelykasvien neulonta heidän matkojaan tällaiseen sisustukseen, joka (1) on kehitetty tarkasteltaessa alueellisia laitoksia, teoria sylinterimäisen alueen potentiaalista.

Besselin funktioiden nimelle on kirjallisuudessa annettu sylinterifunktioiden erityisluokkia, ja joissain tapauksissa ne on liitetty koko sylinterifunktioiden luokkaan.

Toimintojen teoria on hyvin hajautettu, luentotaulukoiden ulkonäkö ja laaja stasosuvan-alue toimivat riittävänä keinona tuoda sylinterimäiset funktiot tärkeimpiin erikoistoimintoihin.

Rivnyannya Besselin nalle pіd tunti rіvnyannya rіvnyannya Laplace ja rіvnyannya Helmholtz sylinterimäisissä ja pallomaisissa koordinaateissa. Tämä Besselin toiminto pysähtyy, jos virustavarat leviävät hwilin laajenemisesta, staattinen potentiaali on liian pieni, esimerkiksi:

1) sähkömagneettinen hvily sylinterimäisessä hvilevodі;

2) lämmönjohtavuus lieriömäisissä kappaleissa;

3) ohuen pyöreän kalvon muodostuminen;

4) sylinterissä olevien hiukkasten likviditeetti, joka varastoituu linjaan ja kiertyy akselinsa ympäri.

Besselin funktiot juuttuvat listan kärkeen esimerkiksi ennen signaalinkäsittelytuntia.

Besselin sylinterimäiset toiminnot ovat yleisimpiä kaikista erikoistoiminnoista. Kaikkien luonnon- ja teknisten tieteiden (erityisesti tähtitiede, mekaniikka ja fysiikka) numeeristen lisäaineiden tuoksu. Matemaattisen fysiikan alapäässä kehitetään sylinterifunktioita, joiden argumentti on indeksi (yksi ja vain yksi), ne lisäävät monimutkaisia ​​arvoja. Tällaisten projektien numeerista määritystä varten on tarpeen kehittää algoritmeja, jotka mahdollistavat Besselin funktion tarkan laskemisen.

Kurssin robotin tarkoitus: vivchennya funkts_ Bessel ja zasosuvannya їkh viranomaiset virіshennі differentiaali іvnyans.

Zavdannya:

1) Vivchit Rivnyannya Bessel ja muokattu Rivnyannya Bessel.

2) Määritä Besselin funktioiden perusvoimat, asymptoottiset manifestaatiot.

3) Besselin lisätoiminnon tasauspyörästön näkyvyys.

1 Bessel-funktiot positiivisella etumerkillä

Sylinterifunktioiden toimintoihin liittyvien ongelmien läpikäymiseen riittää, että huomioidaan parametrin perusteella esitetty funktioiden erikoisluokka.

perheessä (1) on nolla ja positiivinen kokonaisluku.

Tuntien loppuun asti käyttää alkeellisempaa luonnetta, alempaa teoriaa, jota pidetään vallitsevana arvona

, і voi olla hyvä johdatus teoriaan.

Näytetään, että yksi vastauksista on

0, 1, 2, …, (1.1)

є Ensimmäisen tyyppinen Bessel-funktio

yak for be-yak value eli aloita jakki summa rivissä (1.2)

D'Alembertin lisämerkkejä varten se on helppo kääntää, mutta rivi, katsoa ulos, yhtyy koko monimutkaisen muutoksen alueelle, joka myös edustaa koko toimintoa.

.

Kuinka merkitä yhtälön (1.1) vasenta osaa

ja syötä suorituksen nopeusennätys riville (1.2) mennessä

sitten vaihtamisen seurauksena voimme

seuraavat tähdet

Lisäksi temppelien käyrät on himmennetty nollaan. Otzhe, funktio on tyydyttävä standardiin (1.1), eli lieriömäiseen funktioon.

Luokan yksinkertaisimmat funktiot, miltä näyttää, ovat Besselin funktiot nollan ja yhden järjestyksessä:

(1.3)

Näytetään, että alempien kertalukujen Bessel-funktioita voidaan kiertää näiden funktioiden kautta. Vahvistusta varten oletetaan, että a on positiivinen luku, sarja (1.2) kerrotaan

і neuvonut. Mi otrimaєmo todi (1.4)

Analoginen järjestys, kerrottuna rivin määrällä

tiedossa (1.5)

Erottaminen tasa-arvossa (1,4 - 1,1) ja kertoimessa

, Tulemme kaavoihin: (1.6)

tähdet ilman etulinjaa:

(1.7) (1.8)

Otrimani-kaavat, joille on annettu Besselin funktioiden toistuvien relaatioiden nimi.

Tilaus.

Haluan (- α) (\ näyttötyyli (- \ alfa)) kasvattaa samaa rivnyannyaa, soita kotiin eri toimintoja nähneille (kokeile esim. jotta Besselin toiminta sujuu α (\ näyttötyyli \ alfa)).

Besselin funktiot nimesi ensimmäisenä sveitsiläinen matemaatikko Daniel Bernoulli ja nimesi Fridrikh Beselin mukaan.

Tietosanakirja YouTube

1 / 5

✪ Zmіshane zavdannya kolі. Besselin toiminnot

✪ Differentiaali Rivnyannya | Rivnyannya Bessel ja pidhid yogo-versioon

✪ Matemaattisen fysiikan menetelmät. Professori Tihonov Mykola Andrijovitš (Luento 1)

✪ Differentiaali Rivnyannya | Integroitu Besselin toimintojen tunnistus 1

✪ 13. Kannustimet Walsh-toimintoihin

Tekstitys

Vaimentaminen

Rivnyannya Besselin winnyaє pіd tunti rіvnyannya rіvnyannya Laplace ja rіvnyannya Helmholtz sylinterimäisissä ja pallomaisissa koordinaateissa. Tämä Besselin toiminto pysähtyy, jos virustavarat leviävät hwilin laajenemisesta, staattinen potentiaali on liian pieni, esimerkiksi:

• sähkömagneettinen hvily sylinterimäisessä hvilevodі;
• lämmönjohtavuus sylinterimäisissä esineissä;
• ohuen pyöreän kalvon pesäkkeen muodostuminen;
• valon voimakkuus ruusu, taittuu pyöreästä aukosta;
• lieriömäisten hiukkasten pienuus, viiva muistiin ja akselinsa ympärille kierrettynä;
• Hvilyovi toimii pallosymmetrisillä potentiaalinäytöillä.

Besselin funktiot juuttuvat listan kärkeen esimerkiksi ennen signaalinkäsittelytuntia.

Viznachennya

Oskіlki ehdolla іvnyannya є linіynim ero sama toisessa järjestyksessä uudessa massassa on kaksi riviriippumatonta ratkaisua. Kuitenkin syvällä ympäristöstä värähtelee päätösten määrän nousu. Niiden deyaki on osoitettu alla.

Ensimmäisen suvun Bessel-funktiot

Ensimmäisen suvun Besselin funktiot, jotka tarkoittavat, є ratkaisu, kintsev pisteissä x = 0 (\ näyttötyyli x = 0) kaikkien niiden ihmisten kanssa, jotka eivät ole α (\ näyttötyyli \ alfa)... Tiettyjen toimintojen virittely ja normalisointi ovat viranomaisten aloitteita. On mahdollista käyttää toimintoa lisäsijoittamiseen Taylorin nollariville (tai suuremmalle tilariville α (\ näyttötyyli \ alfa)):

J α (x) = ∑ m = 0 ∞ (−1) m m! Γ (m + α + 1) (x 2) 2 m + α (\ näyttötyyli J _ (\ alfa) (x) = \ summa _ (m = 0) ^ (\ infty) (\ frac ((-1)) ^ (m)) (m! \, \ Gamma (m + \ alfa +1))) (\ vasen ((\ frac (x) (2)) \ oikea)) ^ (2m + \ alfa))

Tässä Γ (z) (\ näyttötyyli \ Gamma (z))- Eulerin gammafunktio, joka antaa tekijän ei-tavoitteen arvoille. Besselin funktioiden kuvaaja on samanlainen kuin siniaalto, jonka lukumäärä häipyy suhteellisesti 1 x (\ displaystyle (\ frac (1) (\ sqrt (x)))), Toivon nollafunktion ruusutuksen vuoksi, en säännöllisin väliajoin.

Kaaviot ovat alla J α (x) (\ näyttötyyli J _ (\ alfa) (x)) varten, 1 ja 2:

Neumannin funktioita kutsutaan myös toisenlaisiksi Besselin funktioiksi. Besselin ensimmäisen ja toisen puolen funktioiden riviyhdistelmä є päätöksen ulkopuolella Rivnyannya Bessel:

y(x) = C1Ja(x) + C2Ya(x). (\ näyttötyyli y (x) = C_ (1) J _ (\ alfa) (x) + C_ (2) Y _ (\ alfa) (x).)

Kaavio on osoitettu alla Y α (x) (\ näyttötyyli Y _ (\ alfa) (x)) varten α = 0 (\ näyttötyyli \ alfa = 0), 1 ja 2:

∫ 0 1 x J α (μ 1 x) J α (μ 2 x) dx = (0; μ 1 ≠ μ 2 1 2 (J α '(μ 1)) 2; \ int _ (0) ^ (1 ) (xJ _ (\ alfa) (\ mu _ (1) x) J _ (\ alfa) (\ mu _ (2) x) dx) = \ vasen \ ((\ alkaa (matriisi) 0 & (\ mbox) (;) ) \ quad \ mu _ (1) \ neq \ mu _ (2) \\\\ (\ frac (1) (2)) (J "_ (\ alpha) (\ mu _ (1)) ) ^ ( 2) & (\ mbox (;)) \ quad \ mu _ (1) = \ mu _ (2) \ end (matriisi)) \ oikea ..)

Asymptotiikka

Besselin funktioille ensimmäinen ja toinen laji on annettu asymptoottisilla kaavoilla. Pienillä argumenteilla (0 < x ≪ α + 1) {\displaystyle (0 se ei ole α (\ näyttötyyli \ alfa) haju näyttää tältä:

J α (x) → 1 Γ (α + 1) (x 2) α, (\ näyttötyyli J _ (\ alfa) (x) \ oikea nuoli (\ frac (1) (\ Gamma (\ alfa +1))) \ vasen ((\ frac (x) (2)) \ oikea) ^ (\ alfa),) Y α (x) → (2 π [ln ⁡ (x / 2) + γ]; α = 0 - Γ (α) π (2 x) α; α> 0,) \ oikeanuoli \ vasen \ ((\ aloita (matriisi) (\ frac (2) (\ pi)) \ vasen [\ ln (x / 2) + \ gamma \ oikea] & (\ mbox (;)) \ quad \ alpha = 0 \\\ - (\ frac (\ Gamma (\ alfa)) (\ pi)) \ vasen ((\ frac (2) (x)) \ oikea) ^ (\ alpha) & (\ mbox (;)) \ quad \ alpha> 0 \ loppu (matriisi)) \ oikea.,)

de γ (\ näyttötyyli \ gamma)- Postyna Eyler-Maskeroni (0,5772 ...) ja Γ (\ displaystyle \ Gamma)- Eulerin gammafunktio. Suurista väitteistä ( x ≫ | α 2 - 1/4 | (\ displaystyle x \ gg | \ alfa ^ (2) -1/4 |)) kaavat näyttävät tältä:

J α (x) → 2 π x cos ⁡ (x - α π 2 - π 4), (\ näyttötyyli J _ (\ alpha) (x) \ oikea nuoli (\ sqrt (\ frac (2) (\ pi x)) ) ) \ cos \ vasen (x - (\ frac (\ alfa \ pi) (2)) - (\ frac (\ pi) (4)) \ oikea),) Y α (x) → 2 π x sin ⁡ (x - α π 2 - π 4). (\ displaystyle Y _ (\ alpha) (x) \ oikea nuoli (\ sqrt (\ frac (2) (\ pi x))) \ sin \ left (x - (\ frac (\ alpha \ pi) (2)) - (\ frac (\ pi) (4)) \ oikea).)

Hypergeometrinen sarja

Bessel-funktioita voidaan kiertää hypergeometrisen funktion avulla:

J a (z) = (z/2) a Γ (a + 1) 0F1 (a + 1; - z 2/4). (\ displaystyle J _ (\ alpha) (z) = (\ frac ((z / 2) ^ (\ alfa)) (\ Gamma (\ alfa +1))) () _ (0) F_ (1) ( \ alfa +1; -z ^ (2) / 4).)

Sellaisessa arvosanassa kokonaisuutena α (\ näyttötyyli \ alfa) Besselin toiminto yksiselitteinen analyytikko, ja ei-tsіlich - merkityksellistä analyyttistä.

Virobnycha-toiminto

Ensimmäisen tyypin Besselin toiminnoille ja koko järjestyksessä on selkeä lausunto Laurentin funktioiden, yksikkömuodon ja itsensä kautta:

e z 2 (w - 1 w) = ∑ n = - ∞ + ∞ J n (z) w n. (\ displaystyle e ^ ((\ frac (z) (2)) \ vasen (w - (\ frac (1) (w)) \ oikea)) = \ summa _ (n = - \ infty) ^ (+ \ infty) J_ (n) (z) w ^ (n).)