Tekst rada je postavljen bez slike formula.
Nova verzija roboti je dostupan na kartici "Datoteke roboti" u PDF formatu

"Tezh me, Newtonov binom!»

iz romana "Majstor i Margarita"

“Pascalov tricutnik je toliko jednostavan da možete zapisati decimalno dijete. U tom času morat ćete se sakriti u svoje vlastito neviđeno blago i kupit ćete još raznih aspekata matematike, kao da na prvi pogled možda nemate s čime spavati. Takvi nepodijeljeni autoriteti omogućuju korištenje Pascalovog tricutnika s jednom od najsuptilnijih shema u cijeloj matematici"

Martin Gardner.

Meta roboti: zagalnite formule brzog množenja, pokažite im zastosuvannya za rješavanje problema.

Menadžer:

1) naučiti i sistematizirati informacije iz prve ponude;

2) riješiti zadatak rješavanja Newtonovog binoma i formule za zbroj i razliku koraka.

Objekti koje treba slijediti: Newtonov binom, formula zbroja i razlike.

metode praćenja:

Rad s osnovnom i znanstveno-popularnom literaturom, internetskim izvorima.

Rozrakhunki, povnyannya, analiza, analogija.

Relevantnost. Ljudi su često dovedeni svojim majkama s desne strane od zadataka, u kojima je potrebno potaknuti puno moguće načine roztashuvannya deyakikh objektív chi kílkíst vsíh mozhlivih svodív zdíysnennya deykoí̈ í̈ í̈. Različiti načini chi opcija, koje su donesene da biraju ljudi, dodaju se najsvestranijim kombinacijama. Í tsiliy podijeljena matematika, naslovi kombinatorike, okupirani potragom za različitom prehranom: primjeri svih kombinacija za taj tip chi ínshoy.

Kombinatornim vrijednostima desnu majku s desne strane dovode predstavnici raznih specijalnosti: znanstvenik-kemičar, biolog, dizajner, dispečer, također. Jači interes za kombinatoriku Sat odmora biti pod utjecajem bijesnog razvoja kibernetike i računalne tehnologije.

Ulazak

Ako želite pojačati, da je govornik prevladao složenost dana, uz neke greške, čini se: Ja sam Newtonov ban! Movlyav, Newtonova os, sklopiva je, ali u tebi su problemi! O Newtonovom binomu chuli navitt oni ljudi čiji interesi nisu povezani s matematikom.

Riječ "binom" znači binarni, tobto. zbroj dviju donacija. W školska stopa slijede nazivi formula kratke množine:

( a+ b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 .

Sljedeće formule su formula, kako se naziva Newtonova binomna formula. U školama pobjeđuju one formule za širenje u višekratnike različitih kvadrata, zbroja i različitih kubova. Što je smrad od smrada za sljedeće korake? Dakle, u takvim formulama smrad često pobjeđuje na virišenni zavdan: dokazati lažnost, brzinu razlomaka, blizinu izračuna.

Razvoj logičkih formula razvija deduktivno-matematičke ideje i duboku retoriku.

1. DIO. NEWTONOVA BINOM FORMULA

Pojdnannya da je njihova moć

Neka je X množitelj koji se sastoji od n elemenata. Bilo da je submultiplikator od Y, množitelj od X, koji zamjenjuje k elemenata, naziva se jedan po jedan k elemenata od n s k ≤ n.

Broj različitih stavki k elemenata od n dodijeljen je n k . Jedna od najvažnijih formula kombinatorike je sljedeća formula za broj n k:

Njezina se može zapisati nakon očitog brzog ranga:

Zokrema,

Cijela stvar je korisna za tim, da množitelj X ima više od jednog višekratnika od 0 elemenata - prazan višekratnik.

Brojevi C n k stvaraju niz čudesnih moći.

Vrijedi formula n k = n - k n , (3)

Smisao formule (3) temelji se na činjenici da je dosljednost jedan na jedan između odsutnosti svih višekratnika s k-članovima od X i odsutnosti svih višekratnika s (n - k)-članima od X: do utvrdite snagu dovoljnu za višekratnik k-člana kože od Y, stavite jedan dodatak u množitelj X.

Vrijedi formula Z 0 n + Z 1 n + Z 2 n + ... + Z n n = 2 n (4)

Zbroj, koji stoji u lijevom dijelu, odražava broj svih podumnožaka od X (C 0 n je broj 0-članih podumnožaka, C 1 n je broj jednočlanih podumnožaka, itd.).

Za bilo koji k, 1≤ k≤ n, jednakost je pravedna

C k n \u003d C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

Qiu ljubomora nije jako važno dobiti za pomoć formule (1). Pravi,

1.2. Visnovok Newtonove binomne formule

Pogledajmo korake binoma a +b .

n = 0, (a +b ) 0 = 1

n = 1, (a +b ) 1 = 1a+1b

n = 2(a +b ) 2 = 1a 2 + 2ab +1 b 2

n = 3(a +b ) 3 = 1 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +1 b 3

n = 4(a +b ) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 +1 b 4

n=5(a +b ) 5 = 1a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + 1 b 5

Poštujemo sljedeće zakone:

Broj članova posjedovanog bogatog člana je još jedan za indikaciju stupnja binoma;

Indikator koraka prvog dodatka mijenja se s n na 0, indikator koraka drugog dodatka povećava se s 0 na n;

Koraci svih mononoma jednaki su koracima binoma za um;

Kozhen monomial - dodatak prve i druge virase u različitim razinama i posljednji broj - binomni koeficijent;

Binomni koeficijenti, rívnovíddalení víd kíntsa rozkladannya, ívní.

Da bismo pojasnili ove formule, takva se formula naziva Newtonova binomna formula:

(a + b ) n = C 0 n a n b 0 + C 1 n a n -1 b + C 2 n a n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n a 0 b n . (6)

Za ovu formulu n može biti prirodan broj.

Izvedimo formulu (6). Nasampered, napišimo:

(a + b ) n = (a + b )(a + b ) ... (a + b ), (7)

de broj lukova koji se množe, dorivnyuê n. Iz izvanrednog pravila množenja zbroja sa zbrojem, nadima se, koji viraz (7) bogati zbroj svih velikih tvorevina, kako se može sastaviti s napadnim činom: budi kakav dodanok prvi iz zbroja. a + b pomnoži bilo dodanok drugi sumi a+b za neki dodatni novac od treće sume i tako dalje.

Iz rečenog je jasno da dodatkom za (a + b ) n dati (jedan na jedan) redove duljine n, presavijene od slova i da b. Usred dodankív zustrichatimutsya takvih članova; očito je da se takvim članovima daju redovi, da im treba osvetiti isti broj slova a. Ale, broj redaka, koji bi trebao biti jednak k puta slovo a, Tako se Z n k . Otzhe, zbroj svih članova, za zamjenu slova a s množiteljem jednakim k puta, dorívnyuê C n k a n - k b k . Skale k mogu poprimiti vrijednosti 0, 1, 2, ..., n-1, n, tada je formula (6) vidljiva iz našeg skaliranja. S poštovanjem, (6) se može napisati kraće: (8)

Želeći formulu (6) nazvati po Newtonu, zapravo se zvala i prije Newtona (npr. poznavajući Pascala). Newtonova je zasluga što zna točne formule za nekoliko različitih indikacija. Isti ja. Newton na 1664-1665 pp. vivív formula, scho vrazhaê stupín binom za dovílny sačmaricu i negativne pokaznív.

Brojevi 0 n , C 1 n , ..., C n n koji su uključeni u formulu (6), obično se nazivaju binomni koeficijenti, koji se definiraju na sljedeći način:

Iz formule (6) možemo uzeti cijeli red snaga ovih koeficijenata. Na primjer, s poštovanjem a=1, b = 1, uzimamo:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n,

tobto. formula (4). Stavite Yakshcho a= 1, b = -1, zatim matematika:

0 = Z 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

ili C 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .

Tse znači da je zbroj koeficijenata uparenih članova rasporeda veći od zbroja koeficijenata nesparenih članova rasporeda; njega kože 2 n -1 .

Koeficijenti članova, rívnovíddalení u íd kíncív rozkladannya, ívní. Cijena struje je vyplyvaê íz spívvídnoshennia: Z n k = Z n n - k

Tsíkaviy okremy vipadok

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

ili kraće (x +1) n = ∑C n k x n - k .

1.3. Teorem polinoma

Teorema.

Dovođenje.

Dakle, nakon otvaranja luka Viyshov monoma, potrebno je odabrati one lukove iz kojih uzeti, ove lukove iz kojih uzeti itd. i tí lukovi, iz kojih su uzeti. Koeficijent pri kojem je monom dan nakon redukcije sličnih članova na više načina na koje se takav izbor može napraviti. Prvo heklanje niza izbora može se izvesti pomoću sredstava, drugo heklanje - , treće - itd., treće heklanje - odvjetnici. Koeficijent, scho shokaetsya, dorivnyu creat

ROZDIL 2. Pokhídní viših redova.

Razumijevanje Pokhídnih Vishchih sustava.

Neka funkcija diferencira na intervalu pjevanja. Todi ji pokhídna, vzagalí prividno, ležati x, to je funkcija x. Otzhe, sto puta opet, možete razbiti hranu o razlogu za pokhidnoy.

Ugovoreni sastanak . Pokhídna kako se zove prva pokhídnoí̈ sličan drugom nalogu ili drugi sličan označen je simbolom inače, tobto

Ugovoreni sastanak . Pokhídna kao i druga pokhídnoí̈ naziva se pokhídnoy trećeg reda ili treći pokhídnoy i označava se kao simbol.

Ugovoreni sastanak . Pokhídnyn redoslijed funkcije zove se persha pokhídna u vid pokhídnoí̈ (n -1)-og reda, funkcije i označene su simbolom abo:

Ugovoreni sastanak . Pokhídní red viši od prvog nazivaju se pronalaženje najgoreg.

Poštovanje. Slično tome, možete uzeti formulu n-ta sljedeća funkcija:

Još jedna slična parametarski definirana funkcija

Budući da je funkcija parametarski dana jednakostima, tada se vrijednost slične u drugom redoslijedu treba diferencirati na drugačiji način funkcija preklapanja neovisna promjena.

Tako da

to je urahuvannyam to, scho,

Odnesimo ga.

Slično tome, možete znati treći način.

Diferencijalni sumi, stvori taj privatni.

Budući da diferencijal dolazi od sličnog množenja od nje na diferencijal nezavisne varijable, tada se, znajući sličnosti glavnih elementarnih funkcija, kao i pravila za ispitivanje potonjih, mogu razviti slična pravila za ispitivanje diferencijali.

1 0 . Diferencijalna konstanta na nulu.

2 0 . Diferencijalni zbroj algebre konačnog broja derivacija funkcija .

3 0 . Diferencijal za stvaranje dviju funkcija koje razlikuju, kreativniji zbroj prve funkcije prema diferencijalu druge i druge funkcije prema diferencijalu prve .

Posljedica. Konstantan množitelj može se pripisati predznaku diferencijala.

2.3. Funkcije, parametarski zadaci, njihovo diferenciranje.

Ugovoreni sastanak . Funkcija se naziva danom parametarski, kao rezultat uvredljivih promjena x і funkcije kože definiraju se kao jednoznačne funkcije u obliku jedne te iste i dodatne promjene – parametrat :

det promjena na granicama.

Poštovanje . Usmjerimo parametarsko poravnanje udjela i elipse.

a) Stupac sa središtem na klipu koordinata i radijusa r ima parametarsko poravnanje:

b) Zapišimo parametarsko poravnanje za elips:

Isključite opciju t Iz parametarskih linija analitičkih linija moguće je razviti njihove kanoničke linije.

Teorema . Koja je funkcija y tip argument x je zadan parametarski pomoću jednakosti, de i diferencijacija pomoćut funkcije ta, dakle.

2.4. Leibnizova formula

Za znakhodzhennya n-tog reda razlike između dviju funkcija, najpraktičniju vrijednost ima Leibnizova formula

dođi uі v- Aktivne funkcije u obliku promjena x, što može biti gore, bilo nekim redom g = UV. Vislovimo n-th gubitak kroz izgubljene funkcije uі v .

Možda sekvencijalno

Lako je uočiti analogiju između vira za drugi i treći sličan i raspored Newtonovog binoma, sličan je drugom i trećem koraku, ali umjesto prikazivanja koraka, trebali bi postojati brojevi koji označavaju redoslijed obrnuto, a same funkcije se mogu smatrati "nultim poretkom". Vrakhovuychi tse, uzimamo Leibnizovu formulu:

Qiu formula se može dovršiti metodom matematičke indukcije.

DIO 3. IZJAVA LEIBNIZOVE FORMULE.

Za izračun sličnog izračuna, bilo kojim redoslijedom, ovisno o dvije funkcije, preskačući nakon toga, formule za izračun, s druge strane, ovisno o kršenju dviju funkcija, su Leibnizova formula.

Za dodatne formule možemo pogledati izračun sličnog n-tog reda u dvije funkcije.

primjer 1.

Znati redoslijed druge funkcije

Vídpovídno do imenovanja, prijatelj je dobar - prvi je dobar za prvog, tako da

Znamo prvi red sličan zadanoj funkciji pravila razlikovanja i vikorist stol posljednjeg:

Sada znamo pokhídnu víd pokhídnoí̈ prvi red. Tse će biti šukana drugačijim redoslijedom:

Prijedlog:

guza 2.

Znati sljedeći redoslijed funkcija

Riješenje.

Sekvencijalno ćemo znati sljedeći, drugi, treći i tako dalje redoslijed dane funkcije kako bismo uspostavili pravilnost, tako da možete reći sljedeću.

Idemo prvi red, znamo kako idi privatno:

Ovdje se viraz naziva faktorijelom broja. faktorijel

Pokhídna drugog reda, prvi, prvi, prvi, onaj

Pokhídna treći red:

Četvrto je dobro:

Poštujemo pravilnost: brojnik ima faktorijel broja, koji više liči na redoslijed goreg, a u znamenniku je korak više, što je niži redoslijed, to je bolje, tj.

Vidpovid.

primjer 3.

Znati vrijednost treće slične funkcije u točki.

Riješenje.

Zgidno tablice sličnih viših redova, može biti:

Čija zadnjica, tobto otrimuemo

S poštovanjem, da bi se takav rezultat mogao oduzeti za sukcesivnu vrijednost potonjeg.

Na zadatku je treća točka skuplja:

Prijedlog:

guza 4.

Upoznajte prijateljeve omiljene karakteristike

Riješenje. Za klip znamo pershu pokhídnu:

U svrhu poznavanja još jednog sličnog slučaja, još jednom razlikujemo virase za prvi sličan:

Prijedlog:

Primjer 5.

Znaj, jako

Ako je funkcija dana kao komplement dviju funkcija, tada će analogna vrijednost četvrtog reda dati Leibnizovoj formuli:

Znamo sve dobre stvari i bojimo se koeficijenata s dodacima.

1) Porahuêmo coefítsíênti s dodacima:

2) Znamo slične funkcije:

3) Znamo slične funkcije:

Prijedlog:

Primjer 6.

Zadana je funkcija y=x 2 cos3x. Znajte trik trećeg reda.

Neka je u = cos3x, v = x 2 . Isto za Leibnitzovu formulu koju poznajemo:

Pokhídní na koga možete pogledati:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

Otzhe, treća pokhídna data funkcija je skuplja

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

Primjer 7.

Znaj pokhidnu n funkcije -tog reda y=x 2 cosx.

Ubrzavanje s Leibnitz formulom, s obziromu=cosx, v=x 2 . Todi

Ostali članovi niza jednaki nuli, krhotine(x2)(i)=0 za i>2.

Pokhidna n kosinusna funkcija -tog reda:

Otzhe, pokhídna naše funkcije su dobre

WISNOVOK

U školi se izvrću i pobjeđuju sljedeće formule brzog množenja: kvadrati i zbrojevi i zbrojevi dvaju zbrojeva te zbrojevi i zbrojevi zbrojeva dvaju zbrojeva i zbrojevi zbrojeva dvaju zbrojeva. Sljedeće formule su formula, koja se naziva Newtonova binomna formula, i formula za proširivanje u višekratnike zbroja i razlike koraka. Brojevi formula često se osvajaju na vrhuncu dana: da se dokaže lažnost, kratkoća razlomaka, blizina izračuna. Promatra se snaga Pascalovog trika ili poslastice, usko povezana s Newtonovim binomom.

Robot je sistematizirao informacije o temi, primijenio zadatak zadavanja Newtonovog binoma te formule zbroja i razlike koraka. Robot se može koristiti na robotskoj matematičkoj grupi, kao i za samostalno učenje timova koji se bave matematikom.

POPIS POBJEDA JEREL

1. Vilenkin N. Ya. Kombinatorika.- pogled. "Znanost". - M., 1969.

2. Mikilsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.M., Shevkin A.V. Algebra i početak matematičke analize. 10. razred: Navč. za zagalnosvít. organizacija temeljnih i ukopa rijeka - M.: Prosvitnitstvo, 2014. - 431 str.

3. Rješenje problema statistike, kombinatorike i teorije imovirnosti. 7-9 stanica. / Autor - styling V.M. Studenetska. - Pogled. 2., Vipr. - Volgograd: Včitel, 2009

4. Savushkina I.A., Khugaev K.D., Tishkin S.B. Algebarsko poravnanje više stepenice /metodička pomoć za slušne studente međusveučilišnog odjela za obuku - St. Petersburg, 2001.

5. Sharigin I.F. Izborni kolegij iz matematike: Rješavanje zadataka. Glavna pomoć za 10 ćelija. Srednja škola. - M: Prosvitnitstvo, 1989.

6.Znanost i život, Newtonov binom i Pascalov triko[Elektronički izvor]. - Način pristupa: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Pokhídní viših naloga

U ovoj dobi učimo poznavati bolje redove, a također zapisujemo zajedničku formulu boljeg. Osim toga, Leibnizova formula će se promatrati kao takva slična i numerički prohannya - slična višim redovima veličine implicitno definirane funkcije. U iskušenju sam napraviti mini-test:

Funkcija osi: i os ji persha pokhídna:

U tom raspoloženju, budući da ste krivi za neke poteškoće / nerazumljivost dobre guzice, budite ljubazni, pročitajte iz dva osnovna članka mog tečaja: Kako znati hoću li ići?і Funkcija preklapanja. Nakon svladavanja elementarnih pokhídnyh, preporučujem da učite iz lekcije Najjednostavniji zadatak za sprovod, na kojoj smo ustali, zokrema z drugi pokhídny.

Nije važno pogoditi da je prijatelj loš - loš je kao prvi loš:

U principu, ostavit ću prijatelja, ali vzhe vvazhayut na sličan način.

Slično: treći je gori - isti je gori nego 2. je gori:

Četvrta pokhídna - ê pokhídna víd 3-í̈ pokhídnoí̈:

P'yata je dobar: , a očito je da sve sličnosti viših redova mogu biti jednake nuli:

Krimska rimska numeracija u praksi često ima sljedeće oznake:
, Označimo "energetski" poredak kroz. S tim, indeks superniza treba položiti na okove.- uskrsnuti smrt “gravitacije” svijeta.

Ponekad postoji takav zapis: - Treći, četvrti, p'yata, ..., "Enna" je slična.

Naprijed bez straha i sumnívív:

guza 1

S obzirom na funkciju. Znati.

Riješenje: Što se tu može... - samo naprijed za četvrto dobro :)

Chotiri stavlja udarce koji već nisu prihvaćeni, pa prijeđimo na numeričke indekse:

Vidpovid:

Dobro, ali sada razmislimo o takvoj hrani: zašto raditi, ako je potrebno da um ne zna 4., nego, na primjer, 20. ću umrijeti? Yakshcho za marš 3-4-5 (maksimalno 6-7.) Redoslijed odluke je napravljen da se brzo završi, onda nećemo "doći" do sljedećeg višeg reda, o, jak, ne uskoro. Ne zapisujte istinu 20 redaka! U sličnoj situaciji potrebno je analizirati uzorak poznatih, poboljšati pravilnost i formulirati formulu potonjih. Dakle, u Primjeni br. 1 lako je razumjeti da se u slučaju diferencijacije kožnih ofenziva ispred eksponenta “viskoznost” dodaje dodatna “trojka”, štoviše, na najkraćem koraku od “trojke” to je više kao broj gorih, također:

De je prilično prirodan broj.

Yakshcho, onda izađi točno 1. loše: yakscho - zatim 2-a: i itd. U takvom rangu, dvadeset pokhídna vyznaêtsya mittevo: - I sljedeći "kilometarski dio"!

Samostalno sviranje:

guza 2

Znati funkcije. Zapišite sustav

Rješenje je slijediti primjer lekcije.

Nakon zagrijavanja, što poboljšati, možemo pogledati više sklopivih kundaka, na neke praktične načine, algoritam rješenja. Tim, koji je naučio lekciju Između sekvenci, budi malo lakši:

guza 3

Znati funkcije.

Riješenje: da razjasnimo situaciju, znamo nekoliko od sljedećeg:

Množenje brojeva nije brzo! ;-)


Mabut, godina. ... Navit trohi pretjeran.

Na ofenzivu krotsí, najbolje je dodati formulu "ení̈" pokhídnoí̈. (ako ti ne smeta pamet, onda se možeš slagati s crncem). Za koga se čudimo odbijanju rezultata, vidimo pravilnost, kojom je koža napadnuta.

Prije svega, smrad poznaje vrage. Znak čekanja je siguran "bljeskalica", a krhotine 1. su pozitivne, tada ću upotrijebiti formulu da vidim napadački množitelj: . Pídíyde th ekvivalentna varijanta, ali posebno ja, kao optimist, volim znak plus \u003d)

Drugačije se brojnik "mota" faktorijel, štoviše, VIN "vídstaê" víd pokhídní brojeva po jednoj jedinici:

Í na treći način, koraci “dvojke” rastu kod brojčanika, kao da je broj sličan. Isto se može reći i za korake barjaktara. Ostatak:

Iz metode ponovne provjere možemo zamijeniti nekoliko vrijednosti \u200b\u200b"en", na primjer, i:

Za divno čudo, sad će krenuti oprosti - samo grijeh:

Vidpovid:

Jednostavna funkcija za neovisna odluka:

guza 4

Znati funkcije.

Í zavdannya tsikavíshe:

guza 5

Znati funkcije.

Ponovimo red još jednom:

1) Znamo nekoliko papalina mrtvih. Kako biste uhvatili zakone, zazvonite triokh-chotiriokh.

2) Onda toplo preporučam preklapanje (želio bih koristiti crnu boju)"Ennu" će nestati - zagarantirano će biti na obali uoči pomilovanja. Ale se može poništiti i bez, tobto. razmisli o tome i zapiši, na primjer, umrijet ću u dvadeset osam. Više od toga, deakí ljudi vzagalí zdatní víríshiti tsí zavdannya usno. Međutim, sljedeća stvar koju treba zapamtiti je da "Shvidki" može prijetiti, odnosno biti siguran.

3) U završnoj fazi potrebno je ponovno provjeriti "en" pokhidnoy - uzimamo nekoliko "en" vrijednosti (kraće za sudove) i potkrijepimo zamjenu. A što je još bolje, preispitati sve što se ranije znalo. Ako se nešto prezentira u potrebi za smislom, na primjer, a rezultat je točno izračunat.

Kratko rješenje 4 i 5 primjera za lekciju.

U nekim zadacima, za rješavanje problema, potrebno je malo popraviti funkciju:

guza 6

Riješenje: Ne želim razlikovati predloženu funkciju, ne želim, krhotine "prljavog" driba, što uvelike pogoršava ukor nadolazećih pokhídnyh.

Za koga dotsilno vikonati ispred transformacije: vikoristovuemo formula kvadratne razlikeі snaga logaritma :

Zovsím ínsha s desne strane:

Ja stari prijatelji:

Mislim da se sve vidi. Dajte poštovanje, da je nacrtan još jedan loš znak, a prvi - ne. Konstruiramo sličan sustav:

Kontrolirati:

Pa, za ljepotu, faktorijel za ruke:

Vidpovid:

Tsíkave zavdannya za neovisno vyríshennya:

guza 7

Napišite formulu istim redoslijedom za funkciju

A sad o nepovredivoj obostranoj odgovornosti, a to je čestitati talijanskoj mafiji:

guzica 8

S obzirom na funkciju. Znati

Vísímnadtsyata pokhídna u točki. Usyogo.

Riješenje: leđa uz leđa, očito, potrebno je znati Idemo:

Sanirali su sinus, došli do sinusa. Bilo je jasno da je za daljnju diferencijaciju ovaj ciklus trivijalan, a krivi istu snagu: kako se brže “distancirati” do osamnaestog stoljeća?

“Amaterska” metoda: lako je zapisati desni broj nadolazećih mrtvih na šalteru:

Na ovaj način:

Ale tse pratsyuê, kao da poredak pokhídnoi nije tako velik. Pa, moram znati, recimo, izaći ću iz ćelije, ubrzat ću podilnistyu za 4. Stotinu razdijeliti na čotiri bez suviška, a lako je bačiti, jer se takovi brojevi valjaju u donjem redu, na to:.

Prije govora, 18 pokhídnu tezh se može razlikovati od sličnih mirkuvan:
drugi red ima brojeve, koji su podijeljeni sa 4 od viška 2.

Drugi, više akademski način osnivanja periodičnost do sinusaі formule za navođenje. Koristuyemosya gotove formule "enoi" sličan sinus , u jaku, traženi broj se jednostavno prikazuje. Na primjer:
(redukcijska formula ) ;
(redukcijska formula )

Za naše stajalište:

(1) Budući da je sinus periodična funkcija s periodom, tada se argument može bezbolno "preokrenuti" na 4. periodu (tobto.).

Pokhídnu sustav víd vykonannya dvoh funktsíy može biti poznat po formuli:

Zokrema:

Ne morate ništa posebno pamtiti, jer što više znate formule, to manje razumijete. Saznajte više o priči Newtonov binom oskílki Leibnizova formula sve je sličnija novoj. Pa, imate sreće, kako pobjeći od 7. ili višeg reda (što je, međutim, malo), bit će vam neugodno. Vtím, ako cherga didde to kombinatorika- to je svejedno donijeti =)

Poznata nam je treća slična funkcija. Koristimo Leibnitzovu formulu:

U ovom pogledu: . Pokhídní se lako prevodi usmeno:

Sada pažljivo i s poštovanjem zamjena i jednostavan rezultat:

Vidpovid:

Sličan zadatak za neovisnu viziju:

guza 11

Znati funkcije

Ako se u prednjem dijelu stražnjice rješenje "na čelu" još uvijek natječe s Leibnizovom formulom, onda bi to ovdje bilo s pravom neprihvatljivo. I još neprihvatljivije - drugačijim redoslijedom, gore je:

guza 12

Znati točan redoslijed

Riješenje: prije svega poštovanje - okrećite osovinu ovako, pojedinačno, nije potrebno =) =)

Zapišimo funkcije i upoznajmo njihove sličnosti do 5. reda uključivo. Priznajem da su vam koraci desne strane postali pospani:

S lijeve strane "uživo", loše stvari su "završile" i još je bolje - u Leibnizovoj formuli tri dodavanja se vraćaju na nulu:

Muči me dilema, skužio sam to u članku o sklopivi pokhídnyh: chi pitaj rezultat? U principu, možete ga izostaviti i tako - lakše ga je preokrenuti. Ale vin može pomoći da se odluka donese. S druge strane, oprošten na snazi ​​inicijative, prijetim algebri oprostom. Međutim, imamo ê vídpovíd, otrimana "primarni" način =) (Div. poslano u početak), i slažem se, vin je točan:

Dobro, sve je u redu.

Vidpovid:

Sretan zadatak za samostalan vid:

guza 13

Za funkciju:
a) označavaju izravnu diferencijaciju;
b) poznavati Leibnizovu formulu;
c) izračunati.

Ne, nisam sadist - točka "a" ovdje je oproštena =)

I još ozbiljnije, tada “izravno” rješenje posljednjih diferencijacija također može imati “pravo na život” - na više načina, presavijanje može biti jednako presavijanju Leibnizove formule. Vykoristovyte, kao da poštujete dotsílne - malo je vjerojatno da ćete biti temelj malog zadatka.

Ukratko, rješenje je ilustrirati lekciju.

Za podizanje posljednjeg paragrafa, potrebno je zapamtiti razlikovati implicitne funkcije:

Promjene u višim redovima funkcija, poslova implicitno

Bogati netko od nas vitrativ dovgí godina, dana i tizhní život na vvchennya kíl, parabola, hiperbola- a ponekad se davalo na kaznu. Zato se osvetimo i razlučimo ih kao trag!

Pochnemo zí "shkílnoí̈" parabolu za nju kanonički tabor:

guza 14

Rivnyanya je dana. Znati.

Riješenje: prvi krok dobro znanje:

Oni koji funkcioniraju da ji pokhídna vírazhení implicitno ne mijenjaju suštinu, drugi je pokhídna - tse pokhídna víd 1. í̈ pokhídnoí̈:

Međutim, potrebno je uspostaviti vlastita pravila: samo preko "iks" i "iplayer". Na to u otrimanu 2. pokhídnu zamislimo:

Treća pokhídna - ê pokhídna víd 2-í̈ pokhídnoí̈:

Slično tome, zamislite:

Vidpovid:

"Škilna" hiperbola u kanonički tabor- za samostalan rad:

guza 15

Rivnyanya je dana. Znati.

Ponavljam, izgubit ću 2. i rezultat treba objasniti samo kroz "iks" / "iplayer"!

Ukratko, rješenje je ilustrirati lekciju.

Nakon djetinjastih kolutova, čudeći se njemačkoj pornografiji @fiyu, izgledamo zrelije guzice, iz kojih znamo još jednu važnu odluku:

guza 16

Elips dominantna osoba.

Riješenje: znamo 1. pokhídnu:

A sada se sjetimo i analizirajmo nadolazeći trenutak: odmah možemo razlikovati, tako da ne moramo šutjeti. U ovom stanju uma, to je krajnje jednostavno, ali u stvarnosti, naredbe za takve darove daju se dva puta i jednom u moći. Koji je najbolji način da se riješite glomaznog pokhidnoja? ísnuê! Izjednačavamo se i pobjeđujemo s istim trikom da, kada je 1. poznato, vješamo udarce na uvredljive dijelove:

Još jedna pokhídna je kriva, ali samo izražena kroz ovo i ono u isto vrijeme (odjednom) pokhidnoy. Za koga je u otrimanu jednako zamislivo:

Da biste se riješili većine tehničkih poteškoća, pomnožite uvredljive dijelove s:

Í manje u završnoj fazi, izrađujemo dríb:

Sada se čudimo vikendu, a napominjemo da bi negativan rezultat trebao biti oprošten:

Vidpovid:

Kako znati značenje 2. pokhídnoí̈ u bilo kojoj točki (yaka, zrozumílo, ležati na elípsu), na primjer, u točki ? Prelako! Tsej motiv već zustríchavsya na lekciji o jednake normale: u virase 2, potrebno je predstaviti :

Suludo, na sva tri načina možete oduzeti eksplicitno zadane funkcije i razlikovati ih, ali i moralno uskladiti praksu s dvije funkcije, kao da se osvetite korijenu. Po mom mišljenju, bolje bi bilo odlučiti se “implicitnim putem”.

Konačni primjer za neovisnu viziju:

guza 17

Pronađite implicitno definiranu funkciju

Leibnizova formula za broj n-tog sličan rad dviju funkcija. Nadano je dokaz na dva načina. Pogledao zadnjicu izračuna n-tog reda.

Zmist

div. također: Pokhídna robot dvije funkcije

Leibnizova formula

Uz pomoć Leibnitzove formule, možete izračunati gubitak n-tog reda u dvije funkcije. Vaughn može izgledati ovako:
(1) ,
de
- Binomni koeficijenti.

Binomni koeficijenti s koeficijentima raspodjele binoma za korake i:
.
Dakle, broj je broj istog dana s n k .

Dokaz Leibnizove formule

Pronađimo formulu za poboljšanje dviju funkcija:
(2) .
Formulu (2) prepisujemo na sljedeći način:
.
Dakle, svjesni smo da je jedna funkcija deponirana u obliku promjene x, a druga - u obliku promjene y. Recimo, poštujemo rozrahunku. Prethodna formula može se napisati na sljedeći način:
(3) .
Oscalls su slični zbroju članova, a izraz kože je zbrajanje dviju funkcija, tada za izračun nižih redova možete sukcesivno postaviti pravilo (3).

Isto za sličan n-ti poredak možda:

.
Vrahovyuchi, scho i mi otrimuemo Leibnizovu formulu:
(1) .

Dokaz indukcijom

Dokažimo Leibnizovu formulu matematičkom indukcijom.

Još jednom pišemo Leibnizovu formulu:
(4) .
Za n = 1 moguće je:
.
Ova je formula slična praksi dviju funkcija. Vaughn je u pravu.

Pretpostavimo da formula (4) vrijedi za sličan n-ti red. Može se pokazati da vrijedi za sličan n+ 1 redoslijed.

Diferencijal (4):
;



.
Oče, znali smo:
(5) .

Stavimo to u (5) i možemo reći da:

.
Može se vidjeti da formula (4) može izgledati isto za sličan n + 1 redoslijed.

Kasnije, formula (4) vrijedi za n = 1 . Brinite, što je dobiveno za decimalni broj n \u003d m 1 .
Leibnizova formula je dovršena.

kundak

Nabroji n-tu slučajnu funkciju
.

Riješimo Leibnizovu formulu
(2) .
Po našem ukusu
;
.

Za stolom nedavnih majki:
.
Zastosovuêmo snagu trigonometrijskih funkcija:
.
Todi
.
Vidi se da je diferenciranje funkcije sinus dovedeno do zsuv na . Todi
.

Poznajemo slične funkcije.
;
;
;
, .

Oskílki na , tada Leibnizova formula ima više od tri prva člana u obliku nule. Znamo bínomní koefítsíênti.
;
.

Iza Leibnizove formule može stajati:

.

div. također: