Između mojih jednostavnih funkcija. Između

Auto i moto
30.07.2020

Gradonačelnik "minus nedosljednost" već duže vrijeme lebdi oko ovog statuta. Pogledajmo polinome, yakih. Načela te metode bit će ista kao ona iz prvog dijela lekcije, s malim nijansama.

Pogledajmo 4 čipsa, koji će biti potrebni za trešnju praktični zadaci:

1) Izračunati između

Značenje granice je manje od depozita, krhotine neba mogu rasti na najsređeniji način. Yakscho nešto beskonačno velika po modulu Vidim broj CRNE stepenice, ponekad - u četvrtom, i "plus nedosljednosti": . Konstantno ("dva") pozitivan za to:

2) Izračunati između

Evo opet seniorske stepenice parna, Tom: . Ale prije rotashuvavsya "minus" ( negativan konstanta -1), tada:

3) Izračunati između

Vrijednost među-pologa je manja od víd. Kako se sjećate ovih škola, beskonačno velika po modulu negativan broj u nesparenom stupnju i "minus nedosljednost", u vremenima: .
Konstantno ("četiri") pozitivan, značiti:

4) Izračunajte između

Prvi momak u zemlji opet svibanj nespareni korak, štoviše, u njedra negativan konstanta i srednja vrijednost: U ovom rangu:
.

guza 5

Znati između

Vykoristovuyuchi vykladení više bodova, dolazimo do vysnovka, scho ovdje beznačajnost. Čiselnik i zastava istog reda rasta, također, između kraja zadnjeg broja. Znamo dokaze, nakon što smo vidjeli svu mladicu:

Rješenje je trivijalno:

guza 6

Znati između

Tse guza za neovisna odluka. Vanjsko rješenje takav podsjetnik na lekciju.

A sada, možda, najtanji od vipadkiva:

guza 7

Znati između

Gledajući starije dodanke, dolazimo do visnovke, kakva je tu nevinost. Brojka višeg reda raste, niže je zastava, na to se odmah može reći da postoje neke stare nedosljednosti. Ale, kakva nedosljednost, "plus" ili "minus"? Dočekom istog - kod broja i bannera, probudit ćemo dribnicu:

Mi vidimo:



Podijelili smo broj i transparent

Analizirano beskrajno mali dodanki banner:

Yakscho, zatim dodanki s dječaci korake do neoprostivo malen pozitivni brojevi (označeni s ), i dodanki s nespareni korake do neoprostivo malen negativni brojevi (označeni kroz).

Sada stavimo hranu, kao z tsikh chotiriokh dodankív će biti pragnet na nulu (nije važno ni s jednim znakom) najbolji? Pogodimo prvi trik: redoslijed "ix" -10, zatim -100, pa -1000 i tako dalje. Naypovílníshe na nulu će se približavati dodanok. Slikovito naizgled, tse "masna" nula, neka vrsta "blijedih" svih ostalih nula. Z tsíêí̈ uzrokuje u završnoj fazi i z'pojavljivanja zapisa.

Zatim navedite koji su znakovi nevjerojatno malen nemoj nam cvrkutati, tamo su se naslikale krhotine, dobroćudna samoća. Zato sam u knjigu brojeva stavio "samo nule". Prije govora znakovi za nulu nemaju značenje u svim kundacima, gdje zadnji broj izlazi na granici (Prilog br. 5,6).

Bez zrada, onda pobjeda i matematička analiza, za analizu =)

Vtim, o beskonačno male funkcije pízníshe, inače ćete stisnuti mali križ dešnjakom u planinama \u003d)

guza 8

Znati između

Ovo je primjer neovisnog rješenja.

Imenovanje konačne i nedosljednosti između funkcija o nedosljednosti prema Cauchyju. Oznaka obostranog i jednostranog između (ljut i dešnjak). Primijeniti rješenje na probleme, za koje je, vikoristovuyuchi, oznaka Kosh, potrebno pokazati da je granica na nedosljednosti bliža zadanoj vrijednosti, .

Zmist

Div. također: Predgrađe točke
Univerzalna oznaka međufunkcija prema Heinyju i Cauchyju

Kíntseva između funkcija na nedosljednosti

Između funkcija o nedosljednosti:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Odredište između Koša
Broj a naziva se granica funkcije f (x) na x, što je neshvatljivo (),
1) ísnuê taka | >
2) za bilo koji, koliko god mali, pozitivan broj ε > 0 ovo je broj N ε > K, što položiti víd ε , što svim x, |x| > N ε, vrijednost funkcije leži ε - oko točke a:
|f (x) - a |< ε .
Granica funkcija nedosljednosti je naznačena na sljedeći način:
.
Brod .

Također je često pobjedonosno da je takvo značenje:
.

Zapišimo svrhu, vikoristovuyuuchi logičke simbole osnove te zagalnosti:
.
Ovdje je na rubu, što je važno da leži u području dodijeljene funkcije.

Jednostrane granice

Linija između funkcija o nedosljednosti:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Često postoje fluktuacije, ako je funkcija dodijeljena samo iz pozitivnih razloga. negativne vrijednosti promijeniti x (točnije, na rubu točke abo). Također, granice nedosljednosti za pozitivne i negativne vrijednosti x mogu biti različite vrijednosti. Todí vikoristovuyut jednostrani interí.

Liva granica u nejasno udaljenim točkama inače, granica na x je pragne minus nedosljednost () definirana je na sljedeći način:
.
Granična prava u beskonačno udaljenim točkama ili je granica na x točno do plus nedosljednost ():
.
Jednostrane granice nedosljednosti često znače sljedeće:
; .

Neskíchenna između funkcija na neskíchennosti

Neskíchenna između funkcija na neskíchennosti:
|f(x)| > M za |x| > N

Označavanje neusječene granice preko Kosha
Između funkcija f (x) na x, Kao
1) ísnuíê taka okolitsya neskíchenno víddalenoí̈ točka | > K , de funkcija je dodijeljena (ovdje je K pozitivan broj);
2) za bilo koji, koliko god veliki broj M > 0 , ovo je broj N M > K, depozit víd M , dakle svi x, |x| > N M , vrijednost funkcije leži oko granice beskonačno udaljene točke:
|f (x) | >M.
Neskíchennu mezhu na x, scho pragne do neskíchennosti, znači kako slijedi:
.
Brod .

Uz pomoć logičkih simbola, razlog te zagalnosti, oznaka neiscrpne međufunkcije može se zapisati na sljedeći način:
.

Slično, označavanje nedosljednih međupjevačkih znakova, jednako i i:
.
.

Označavanje jednostranih granica graniči s nedosljednošću.
Živite između.
.
.
.
Točno između.
.
.
.

Imenovanje međufunkcija za Gein

Broj a (konačno ili beskonačno udaljen) naziva se granica funkcije f (x) u točki x 0 :
,
yakscho
1) postoji takvo susjedstvo beskonačno udaljene točke x 0 , kojoj je funkcija dodijeljena (ovdje abo );
2) radi dosljednosti ( x n ), što ići na x 0 : ,
elementi koji leže oko periferije, sukcesija (f(xn)) konvergirati u:
.

Kao u susjedstvu, uzmite susjedstvo beskonačno udaljenih točaka bez znaka: Kako uzeti lijevu ili desnu stranu granice na neodređeno vrijeme u udaljenosti točke x 0 : inače, tada oduzimamo oznaku granice na x, što je pragne minus nedosljednost i plus nedosljednost, očito.

Oznaka granice prema Heineu i Koshu je ekvivalentna.

Prijavite se

guza 1

Vikoristovuyuchi vyznachennya Koshí pokazati što
.

Uvedemo oznaku:
.
Znamo opseg dodijeljene funkcije. Oskilki broj i znamennik frakcija ê polinomi, tada se funkcija dodjeljuje svim x krím točaka, za koje se znamennik pretvara u nulu. Znamo qi točke. Virishuemo kvadrat jednak. ;
.
korijenska linija:
; .
Oskílki, zatim th.
Stoga je funkcija dodijeljena za. Tse ćemo pobjednički nadali.

Zapišimo oznaku konačne međufunkcije o nekonzistentnosti prema Cauchyju:
.
Prepravljamo razliku:
.
Podijelite broj i natpis s onim pomnoženim s -1 :
.

Dođi.
Todi
;
;
;
.

Otzhe, znali smo što ćemo s,
.
.
Pogledajte što slijedi
za , ja .

Krhotine se uvijek mogu povećati, naravno. Todi za koga,
na .
Tse što znači.

guza 2

Dođi.
Vikoristovuyuchi vyznachennya mezhí prema Koshí pokazuju da:
1) ;
2) .

1) Odluka na x

Oskílki, tada je funkcija dodijeljena svim x .
Zapisujemo oznaku međufunkcija s, što je skuplje minus nedosljednost:
.

Dođi. Todi
;
.

Otzhe, znali smo što ćemo s,
.
Unesite pozitivne brojeve ta:
.
Vidimo da za bilo koji pozitivan broj M ê broj , pa kada ,
.

Tse što znači.

2) Rješenje za x pragne do plus nedosljednost

Preinačimo izlaznu funkciju. Pomnožimo broj i zastavu razlomka i pronađemo formulu za razliku kvadrata:
.
Maemo:

.
Zapisujemo zadaću prave međufunkcije kada:
.

Uvedemo oznaku: .
Prepravljamo razliku:
.
Pomnožite broj i banner sa:
.

dođi
.
Todi
;
.

Otzhe, znali smo što ćemo s,
.
Unesite pozitivne brojeve ta:
.
Pogledajte što slijedi
na i.

Krhotine se tada broje za bilo koji pozitivan broj
.

Wikoristan literatura:
CM. Mikilsky. Tečaj matematičke analize. Svezak 1. Moskva, 1983.

Div. također:

Prva čudesna granica zove se takva ekvivalencija:

\begin(jednadžba)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(jednadžba)

Dakle, ako $ \ alpha \ to (0) $ može biti $ \ sin \ alpha \ to (0) $, onda se čini da je prvo čudo granice između krivulja nejasno u obliku $ \ frac (0) (0) $. Naizgled, u formuli (1) zamjena promjenjivog $ \ alpha $ pod znakom sinusa í u zastavu može se nabrkati, bio to izraz, - dva su uma bila bezdana:

  1. Vyslovlyuvannya pod znakom sinusa i u znaku standardnog jednog sata za skok na nulu, tobto. ê beznačajnost oblika $\frac(0)(0)$.
  2. Virazi pod znakom sinusa i standardnog znaka trče.

Često postoje i tragovi s prve čudesne granice:

\begin(jednadžba) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(jednadžba) \begin(jednadžba) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(jednadžba) \begin(jednadžba) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end (jednadžba)

Na trećoj strani ispisano je jedanaest kundaka. Zadaci kundaka br. 1 na dokazu formula (2) - (4). Podnesite zahtjeve br. 2, br. 3, br. 4 i br. 5 za odgovor na odluku s komentarima izvješća. Primijeniti br. 6-10 na odluku praktički bez komentara, ali je izvještaj obrazloženja dat na prednjim kundacima. Kada pobijedite, postoje neke trigonometrijske formule koje možete znati.

Poštujem tu prisutnost trigonometrijske funkcije u isto vrijeme iz beznačajnosti $\frac (0) (0)$ također znači o ob'yazkovy zastosuvannya prve čudesne granice. Ponekad možete dovršiti jednostavne trigonometrijske transformacije, na primjer, dive.

Guzica #1

Donesite ono što $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Budući da je $\tg\alpha = \frac (\sin\alpha)(\cos\alpha)$, tada:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Skílki $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ i $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , zatim:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Zamijenit ću $ \ alpha = \ sin (y) $. Ako je $\sin(0)=0$, onda razmislite o $\alpha\to(0)$ možda $y\to(0)$. Osim toga, ísnuê oko nule, u istom $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, na to:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ završeno.

c) Dopusti mi da promijenim $ alpha = tg (y) $. Ako je $\tg(0)=0$, onda mislite da su $\alpha\to(0)$ i $y\to(0)$ ekvivalentni. Osim toga, ako bazirate oko nule, na takav način $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, tada, oslanjajući se na rezultate točke a), možemo:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ završeno.

Rivnosti a), b), c) često pobjeđuju redom od prve čudesne granice.

Guzica #2

Izračunajte između $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Ljestvice $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ i $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\desno)=\sin(0)=0$, dakle. Ako brojnik i zastava razlomka odmah idu na nulu, onda može biti ispravno s ne-značajnošću oblika $\frac(0)(0)$. viconano. Osim toga, jasno je da virazi pod znakom sinusa i u banneru trče (tobto vikonana i):

Otzhe, uvrijeđeni um, prebačen na klip sa strane, vikonan. Na tsimu vyplivaê, scho zastosovna formula, tobto. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\desno))(\frac(x^2-4)(x+ 7 )) = 1 USD.

Vidpovid: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\desno))(\frac(x^2-4)(x +7)) = 1 USD.

Guzica #3

Znati $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Ljestvice $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ í $\lim_(x\to(0))x=0$, ali možemo koristiti $\frac(0 ) ( 0) $, dakle. viconano. Prote virazi pod znakom sinusa i standarda ne bježe. Ovdje je potrebno dati viraz bannermanu u potrebnom obliku. Za nas je neophodno, ako zastavnik ima roztashuvavsya $9x$ - tada ćete postati istiniti. Zapravo, ne dobivamo množitelj od 9$ od bannermana, što nije tako lako uvesti - samo pomnožite viraz iz bannermana sa 9$. Naravno, da biste nadoknadili množenje $9$, trebate pomnožiti s $9$ i podijeliti:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

Sada, kod zastave, da su pod znakom sinusa, žurili. Operite um za inter $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ vikonaní. Također, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. A tse znači da:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9cdot(1)=9. $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Guzica #4

Znati $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ í $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, onda s pravom možemo vidjeti da je $ \frac( 0)(0)$. Međutim, oblik prve čudesne granice je prekinut. Dlijesnik, koji osveti $\sin(5x)$, znači prisutnost zastave $5x$. U ovoj situaciji, najlakše je broj podijeliti s 5x$, - i pomnožiti sa 5x$. Osim toga, vjerojatno je da je operacija slična onoj sa standardom, množenjem i dijeljenjem $\tg(8x)$ s $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Ako je konstanta $\frac(5)(8)$ brza na $x$ i, onda uzimamo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Poštujte da je $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ više nego sretan zbog prve zemlje čuda. Za $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$, stagnirajuća formula je:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Guzica br. 5

Znati $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Skílki $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (pogodi da je $\cos(0)=1$) i $ \ lim_(x\to(0))x^2=0$; Međutim, da biste zastosuvali prvu čudesnu granicu, gurnite kosinus u knjigu brojeva, pomičući se na sinuse (tako da ćemo zastosuvat formulu) ili tangente (pa ćemo zastosuvat formulu). Zrobiti tse mogu biti takve transformacije:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\desno)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Okrenimo se granici:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\desno) $$

Razlomak $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ već je blizu tom obliku, koji je neophodan za prvu čudesnu granicu. Trohovi se ispravljaju razlomkom $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, pídganyayuchi íí̈ píd pershu čudesna granica (jebiga, scho vrazi u knjizi brojeva i píd sinus zbog zbígtisya):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\desno)^2$$

Okrenimo se granici:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\desno) =\lim_(x\to(0) ) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\=25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\desno)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) = 25.$$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Guzica #6

Pronađite između $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Ljestvice $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ í $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, mi možda upravo iz beznačajnosti $\frac(0)(0)$. Rozkriëmo í̈í̈ za pomoć prve čudesne granice. Za koje prelazimo s kosinusa na sinuse. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, tada:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Prolazeći zadatak između sinusa, matimemo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ ) frac(\sin(3x))(3x)\desno)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x ^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_( x \to(0))\lijevo(\frac(\sin(x))(x)\desno)^2) =9cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Guzica #7

Izračunajte između $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ za $\alpha\neq\ beta $.

Ranije su data detaljna objašnjenja, ovdje je jednostavno značajno da je $\frac(0)(0)$ opet beznačajan. Prijeđimo s kosinusa na sinus, pobjednička formula

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Prikazana je vikoristička formula, potrebno je:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0) \desno| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\=-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) ) )(2)\desno)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac ) (\alpha-\beta)(2)\desno))(x)\desno)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left( x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot \frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\ alpha- \beta)(2)\right)=\\=-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac (\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0) )) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac (\alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2) (2) $.

Guzica #8

Pronađite između $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

$\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (pogodi $\sin(0)=\tg(0)=0$) i $ \lim_( x\to(0))x^3=0$, onda možemo desno s ne-beznačajnošću oblika $\frac(0)(0)$. Rozkriemo í̈í̈ ovako:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\desno)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) = frac(1)(2). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Guzica #9

Pronađite između $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Ljestvice $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ í $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3) (2) = 0 $, tada $ \ frac (0) (0) $ ne postoji. Prije toga, dok idete na otvaranje í̈, ručno promijenite promjenu u takvom rangu, tako da se nova promjena izravna na nulu (otkrijte da se formule mijenjaju $\alpha\u 0$). Lakše je unijeti promjenu $t=x-3$. Međutim, radi pogodnosti udaljenih transformacija (u nastavku se uvijek možete sjetiti sata odluke), možete promijeniti ovu promjenu: $t=\frac(x-3)(2)$. Naznačit ću da sam te uvrijedio zamjenom zastosovní u ovoj konkretnoj situaciji, samo da dopustim prijatelju da ga manje zamijeni razlomcima. $x\to(3)$, zatim $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\desno| =\lijevo|\početak(poravnano)&t=\frac(x-3)(2);\&t\to(0)\end(poravnano)\desno| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\desno) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Guzica br. 10

Pronađite između $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2 ) $.

Možda mogu obnoviti s desne strane $\frac(0)(0)$. Prije toga, dok idete na í̈ otvaranje, ručno promijenite promjenu u takvom rangu, tako da se nova promjena izravna na nulu (poštujte da se formule mijenjaju $\alpha\to(0)$). Najlakši način je unijeti promjenu $t=\frac(\pi)(2)-x$. $x\to\frac(\pi)(2)$, zatim $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lijevo|\početak(poravnano)&t=\frac(\pi)(2)-x;\&t\to(0)\end(poravnano)\desno| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2)) ( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0)) \frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to ( 0))\lijevo(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\desno)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^ 2 ) = frac(1)(2). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) = frac(1)(2)$.

Dionički broj 11

Pronađite između $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) )pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Nećemo moći pobijediti prvu čudesnu granicu na ovom vipadku. Za poštovanje: kao u prvoj, tako i u drugoj granici postoje samo trigonometrijske funkcije tog broja. Najčešće se u takvim guzicima može reći da prostit viraz, roztashovane pod znakom granice. Uz pomoć naslućenog oprosta, ta brzina deaky spívmulníníníníníníníníníê znikaê. Ovu stražnjicu imam samo jednom metodom: pokazati da prisutnost trigonometrijskih funkcija pod znakom granice ne znači nužno da je prva čudesna granica zaglavljena.

Skílki $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (pogodi $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) i $ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (pogodite da je $\cos\frac(\pi)(2)=0$), onda možemo iz beznačajnosti $ frac (0) (0) $. Međutim, tse zovsím ne znači da nam je potrebno osvojiti prvu čudesnu granicu. Da biste otkrili beznačajnost, recite istinu o $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) = frac(1)(1+1) = frac(1)(2). $$

Slična metoda rješenja je ista za Grati Demidoviča (br. 475). Što se tiče druge granice, onih na prednjim stražnjicama koje sam podijelio, možda nećemo vidjeti $\frac(0)(0)$. Zašto ona krivi? To je zato što $ \ tg \ frac (2 \ pi) (3) = - \ sqrt (3) $ i $ 2 \ cos \ frac (2 \ pi) (3) = -1 $. Vikoristovuêmo tsí značenje s metodom transformacije virazív na brojku i na bannerman. Meta naših radnji: upišite zbroj u knjigu brojeva i transparent ispred kreacije. Prije govora, često u granicama slične vrste, zahihotala se zamjena promjene, takvom ružom, tako da se nova promjena izravnala na nulu (razd. npr. zadnjica br. 9 ili br. 10 na drugoj strani). Međutim, ovu guzu nema smisla zamijeniti, ako želite promijeniti $t=x-\frac(2\pi)(3)$ za bajan, nespretno je to napraviti.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ na\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\desno )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ ) cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\ sin) \levo(x-\frac(2\pi)(3)\desno))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+ \frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi) )(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\ =\lim_(x\to \frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-frac(2\pi)( 3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))( 2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac) (2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot \lijevo(- \frac(1)(2)\desno)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

Yak bachite, nismo imali priliku zastosovuvat Persh čudesnu granicu. Zvichayno, za bazhannya tse možete opljačkati (div. bilješka ispod), ali ga ne možete konzumirati.

Što će biti rješenje za prvo čudo čudesne granice? Pokaži sakrij

Uz pobjedu prve čudesne granice potrebno je:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi ) (3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-frac(2\pi)(3)\) desno ))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-frac(2\pi)(3))(2)) (\ frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\desno) =1cdot(1)cdotfrac(1)(-2cdotfrac(sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\ frac(1)(2)\desno)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) $.

Lekcija i prezentacija na temu: "Između funkcija o nedosljednosti"

Dodatni materijali
Shanovní koristuvachí, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, komentare, usluge! Svi materijali su pročitani antivirusnim programom.

Pomagači i simulatori u internetskoj trgovini "Integral" za klasu 10 tipa 1C
Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni zadaci za boravak za 7-10 razrede
Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni zadaci za boravak na otvorenom za 10. i 11. razrede

Ono što je važno:

1. Što je nedosljednost?

5. Snaga. 6. Prijavite se.

Djeco, zapitajmo se, koja je granica između funkcija na nedosljednost?
A što je nedosljednost?
Nedosljednost- vykoristovuetsya za karakterizaciju negraničnih, negraničnih, neograničavajućih objekata i pojava, u isto vrijeme karakteristika brojeva.

Nedosljednost- skílki zavgodno veliki (mali), bezgranični broj.
Ako pogledate u koordinatnu ravninu, onda cijela apscisa (ordinata) ide u nedosljednost, tako da možete nastaviti bez ograničenja lijevo ili desno (niz ili uzbrdo).

Sada prijeđimo na međufunkciju o nedosljednosti:
Neka nam je funkcija y=f(x), opseg naše funkcije je pometanje, a pravac y=b neka bude horizontalna asimptota grafa funkcije y=f(x), napišimo je matematički rečeno:

Također, do naše spívvídnoshennia se može doći u isto vrijeme:

Prihvaćeno je zapisati kao:

Između funkcija y=f(x) na x pragne do beskonačno skuplje b

Prijavite se

Inducirajte graf funkcije y=f(x), kao što je:
1) Područje odredišta – neosobni realni brojevi.
2) f(x) - kontinuirana funkcija
3) 4)Rješenje: Moramo inducirati neprekinutu funkciju (-∞; +∞). Pokažimo nekoliko primjera naših funkcija.

Glavne moći

Za izračun granica na nedosljednosti, kílkom su valoviti

1) Za bilo koji prirodni broj m, pravedno je sljedeće:

2) Što su to:
a) Između skupljih iznosa između:

B) Između stvaranja i stvaranja između:

c) Između privatnih i privatnih granica:


d) Za granični znak može se okriviti konstantni množitelj:

primjer 1.

Znati: Rješenje: Podijelite broj i natpis razlomka s x. Ubrzavanje moći između privatne granice i privatne granice:

Djeco, pogodite između brojčanog niza.

Uzimamo:

guza 2.

Pronađite između funkcija y=f(x), koja je, uz x, prava do beskonačnosti.
Riješenje.

  • IZMEĐU, -a, m.

    1. Rub, kíntseva chastina chogos l. Ovdje je krajnja granica Permske pokrajine. Mamin-Sibiryak, Druzhki. Činilo se da između njih nema i neće biti ništa. Belov, Kanuni. || sklopka Kínets, zakínchennya, završen chogos l. [Ill] ne razmišljajući o svom bliskom kraju, - o toj granici, na koju je vina jurio s zbunjujućim swidkistyu. Gladkov, Energia. Vaughn je za njih bio stara osoba, koja je ostala iza ostatka ženine sobe - romba njezine majke. Lavrenov, Stara. Mikitu je između njega i njega mogla staviti samo katastrofa. Fedin, braćo.

    2. pl. godina. (između, -iv). Prirodna chi umovna riža, je neka vrsta granice. teritorije; rubízh. Na spustu vina [Svyatoslav] prešavši granice ruske zemlje na tihe kordone, kao pet stotina godina imao je priliku ponovno krstiti Ivana Groznog. A. N. Tolstoj, Došle su zvijezde ruske zemlje. Naslonjen na pozu granica domovine, Šaljapin je umro u nostalgiji - tijesan za domovinom. Gribachov, Berizka i ocean. || zašto ili jaki. Místsevíst, prostír, spremljen u yakís l. Mezhí. Ashaginove lisice prihvatile su myslivtsiv na njihove zapovijedi. Tikhonov, Podviyna Veselka. Tsíêí̈ proljetne noći su bijeli slavuji koji veličaju žamorne glasove šumskih granica. Pasternak, nije bilo ništa. Korak po korak, komorna se glazba kretala izvan dvoraca bogatih i plemenitih ljudi i počela vibrirati po koncertnim dvoranama koje se čuju i u današnje vrijeme. Kabalevsky, O tri kita i puno drugih. || Trad.-pjeva. Rub, zemlja. I knez nasitiv nasitiv Njegove uši sluha, a s njima i smrt rozíslava To sudídív na tuđoj granici. Puškin, Ančar. Sjećam se kako je sunce peklo, bio sam visoko do neba za zimski ziyshov, ako je let letio iz dalekih mjesta u Moskvu. Smilakiv, U spomen Dimitrova. || Prom_zhok sat, obmezheniya yakimi l. Pojmovi između). Čini se da mogu ići u Orenburg s čavunkom, i, možda, idem, ali sve je u roku od 14 dana. L. Tolstoj, Liszt Z. A. Tolstoj, 4. ruj. 1876. godine.

    3. poziv pl. godina. (između, -iv) sklopka mir, između nečega; okvir. Na granicama pristojnosti. □ Nareshti, za svako strpljenje 365 ê između. Pisarev, Posmrtni Virsh Heine. - Sve dok se ne odričem prava zapovijedanja flotom za sada koje mi je dano zakonom. Stepanov, Port Arthur. Poznavanje Fjodora Andrijeviča o prošlosti svoje domovine bilo je još skromnije, što je još važnije, na granicama "kratkog kursa".Ê. Nosov, Ne svibanj deset rubalja. || Vishcha koraci nečega. Između svijeta. □ Snage ljudi, fizičke i moralne, dovedene su na rub stupora. V. Koževnikov, padobranac. Zemljo moja, tvoj lijepi udarac Na dosegu ostatka granice! Vinokurov, Internacional.

    4. Mat. Konstantna vrijednost, kojoj se promjenjiva vrijednost približava, kao da se taloži u veću promjenjivu vrijednost, za posljednju promjenu preostale. Između numeričkog niza.

    Na granici- 1) u ekstremnom stupnju napetosti. Živci na granici; 2) vkray razdratuvannya. [Galya:] I sama se danas bojim joge. Vino na granici. Pogodin, Kviti uživo.

Džerelo (ručno izrađena verzija): Ruski pojmovnik: U 4 sveska / RAS, Institut za lingvistiku. Datum dospijeća; Za crveno. A. P. Evgenevoj. - 4. vrsta., Ster. - M: Rus. jezik; Poligrafski izvori, 1999.; (elektronska verzija):