Ulazak

Cilindrične funkcije nazivaju se rješenjem linearne diferencijalne jednadžbe različitog reda

de - složene promjene,

Parametar koji se može koristiti za govorne ili složene vrijednosti.

Pojam "cilindrične funkcije" pletenja usjeva na svoje izlete u ovu vrstu namještaja, koji (1) se razvija kada se promatraju regionalne ustanove, teorija potencijala cilindričnog područja.

Za naziv Besselovih funkcija u literaturi se navode posebne klase cilindričnih funkcija, a u nekim slučajevima se pripisuju cijeloj klasi cilindričnih funkcija.

Teorija funkcija je dobro razrađena, izgled nastavnih tablica i široka površina stasosuvana služe kao dovoljno sredstvo da se cilindrične funkcije dovedu do najvažnijih posebnih funkcija.

Rivnyannya Besselov winnie píd sat rívnyannya rívnyannya Laplace i rívnyannya Helmholtz u cilindričnim i sfernim koordinatama. Ova funkcija Bessela će stagnirati u slučaju viralne prtljage o širenju hwila, statički potencijal je premali, na primjer:

1) elektromagnetski hvily u cilindričnom hvilevodí;

2) vodljivost topline na cilindričnim objektima;

3) stvaranje tanke okrugle membrane;

4) likvidnost čestica u cilindru, koju vod pohranjuje i omotava oko svoje osi.

Besselove funkcije su zaglavljene na vrhu popisa, na primjer, prije sata obrade signala.

Besselove cilindrične funkcije su najraširenije od svih specijalnih funkcija. Miris brojčanih dodataka u svim prirodnim i tehničkim znanostima (osobito u astronomiji, mehanici i fizici). Na nižem kraju matematičke fizike razvijaju se cilindrične funkcije, za koje je argument indeks (jedan i jedini), one zbrajaju kompleksne vrijednosti. Za numeričko određivanje takvih projekata potrebno je razviti algoritme koji omogućuju precizno izračunavanje Besselove funkcije.

Svrha robota tečaja: vivchennya funkts_ Bessel i zasosuvannya í̈kh vlasti u viríshenní diferencijalu ívnyans.

1) Vivchit Rivnyannya Bessel i modificirani Rivnyannya Bessel.

2) Odrediti osnovnu snagu Besselovih funkcija, asimptotske manifestacije.

3) Vidljivost diferencijala za dodatnu funkciju Bessela.

Bessel funkcionira s pozitivnom ikonom

Za rješavanje problema povezanih s problemima cilindričnih funkcija dovoljno je prihvatiti posebne klase funkcija, koje su prikazane na određeni dan, ako je parametar jednak pozitivnom broju (1) jednak nuli.

Prije nego što ova klasa dobije elementarniji karakter, nižu teoriju, može se smatrati najznačajnijom vrijednošću, a možemo biti ljubazni prema uvedenoj teoriji.

Pokazat će se da je jedan od odgovora

0, 1, 2, …, (1.1)

ê Besselova funkcija je prva koja naručuje, jak za bilo koje značenje, započni zbroj jaka u nizu

Za dodatne znakove D'Alemberta, lako je preokrenuti, ali red, paziti, konvergirati na cijelom području složene promjene, također, predstavljajući cijelu funkciju svega.

Yaksho označavamo lijevi dio ryvnyannya (1.1) kroz to za unos brzine snimanja izvedbe u seriji (1.2), sa

onda, kao rezultat zamjene, možemo

Vyraz viraz zvijezde na sljepoočnicama su zatamnjene na nulu. Otzhe, funkcija je zadovoljavajuća za standard (1.1), odnosno cilindričnu funkciju.

Najjednostavnije funkcije za klasu, kako izgledati, su Besselove funkcije reda nula i jedan:

Pokazat će se da se Besselove funkcije nižih redova mogu rotirati kroz te funkcije. Za dokaz je dopušteno da je a pozitivniji broj, red (1.2) se množi i diferencira s. Mi otrimaêmo todí

Analogni rang, množenje serije s poznatim

Nakon što smo napravili diferencijaciju u jednakosti (1,4 - 1,1) i pomnožili, dolazimo do formula:

zvijezde bez prednje linijeê:

Otrimanijeve formule dobile su naziv rekurentnih odnosa za Besselove funkcije.

Prije svega, postoji mogućnost vizualizacije funkcije prema redoslijedu kroz funkcije reda nula i jedan, tako da će se robot brzo pomaknuti iz sklopivih stolova Besselovih funkcija.

Drugi spívdnoshennya dopušta poreze izgubljenih iz Besselovih funkcija kroz Besselove funkcije. Za cijeli spívvídnoshennya maê buti zamjenjuje se formulom

bez prethodnog podešavanja ovih funkcija.

Funkcije Bessela iz prvog roda jednostavno su povezane s funkcijama Laurentovog reda):

Koeficijenti distribucije mogu se izračunati množenjem redovi u državnom vlasništvu:

to dijeljenje članova, kako se osvetiti istim koracima. Viconavshi tse, otrimaêmo:

viglyad zvijezde

Funkcija se zove funkcija, scho viroblyaê, za Besselove funkcije s cijelom ikonom; Znanje o komunikaciji (1.12) dano je u teoriji ovih funkcija.

Kako bi se poricala domaća integracija ryvnyannya (1.1), koja daje širok raspon cilindričnih funkcija s jednom ikonom, potrebno je koristiti druga rješenja jednake važnosti. U svojstvu takvog rješenja može se uzeti funkcija Bessela drugog roda, iako nije važno uzeti u obzir analogni viraz s obzirom na broj

(- Post-Eiler) í, s vremena na vrijeme, pershu í ako zbroj ide na nulu.

Funkcija je redovita u području s rastom. Sama posebnost nazirane odluke terena leži u činjenici da se može pretvoriti u besmislicu, ako jest. Zagalni viraz cilindrične funkcije je linearna kombinacija poticajnih rješenja

de í - dobar postíyní,

Kako bismo prešli na rješavanje problema o formiranju kružne membrane, krivi smo prvo učiti o funkcijama Bessela. Besselove funkcije su rješenja linearne diferencijalne jednadžbe različitog reda zbog promjene izvedbe

Cijena se zove Besselova obitelj. Prva stvar, a i drugo rješenje, nije samo u zadaćama okrugle membrane, već u drugom velikom broju zgrada.

Parametar k, koji treba unijeti na razini (10.1), može se činiti zagalan, ali postoje neke pozitivne vrijednosti. Za dano k, rješenja se nazivaju funkcije bez sjemena reda k (nazivaju se i cilindrične funkcije). Lako je vidjeti u detalje ako nemamo jednostavnih padova, ako se pokušamo riješiti neselevske funkcije nule prvog reda ako ostale pobjede imaju neke ocjene.

Za zalny vivchennya funkcija bez sjemena od čitatelja do posebnih knjiga (razd., na primjer, / n, (4.5)

de 1, 2, ..., n - vypadkoví pobačaj;

n - broj vimiriv.

Srednja kvadratna korekcija temelji se na gore navedenom kriteriju za procjenu točnosti vimiriva. Pogledajte mali iznos novca da upotpunite stil i dobro zamislite manifestaciju velike vrste pomilovanja, koja, usput rečeno, zapravo i počinje.

Formula (4.5) je fiksna za izračun srednje kvadratne devijacije, ako postoji referentna vrijednost za veličinu. Cijene prakse su još gore. Referentna vrijednost određene vrijednosti u pravilu je nedostupna, ali je moguće odbiti najvažniji rezultat - aritmetičku sredinu. Možemo prihvatiti formulu za izračunavanje srednjeg kvadratnog lošeg ponašanja za dodatno fiksiranje rezultata u aritmetičkoj sredini za tzv. ymovy misbehavior V.

Nekhai l 1, l 2, ..., l n - rezultati točnih vrijednosti iste veličine, čije je značenje X, a aritmetička sredina je L. Todi se može izračunati n vrsta pogrešaka

Δ i = l i - X (4.6)

i najuspješnije pogreške

V i = l i - L. (4.7)

Novčani iznos (4.7)

[V] = [l] - nL. (4.8)

Ale, prema ekvivalenciji (4.4) nL = [l], da

tako da je zbroj najnovijih zloporaba kriv za nula troškova.

Ekvivalencija (4.6) Ekvivalencija (4.7), prepoznatljiva

Δ i - V i = L - X. (4.10)

U desnom dijelu ryvnosti (4.10) nalazi se trik aritmetičke sredine. Neka je í̈ kroz ε. Todi

Δi = V i + ε. (4.11)

Stavimo u kvadrat jednakosti (4.11), uzmemo zbroj i damo ga n:

[Δ 2] / n = / n + nε 2 / n + 2ε [V] / n. (4.12)

Liva je dio cijene novca ê nije tako ínshe yak m2. Ostatak desnog dijela kroz jednakost (4.9) jednak je nuli.

m 2 = / n + ε 2. (4.13)

Vipadkovo pogrešno ponašanje ε zamjenjuje se srednjim vrijednostima, odnosno srednja kvadratna, srednja aritmetička sredina. Donijet će se dno, oh srednja kvadratna razlika aritmetičke sredine

M 2 = ε 2 = m 2 / n. (4.14)

m 2 - m 2 / n = / n ili m 2 (n - 1) / n = / n,

zvijezde ___________

m 2 = / (n - 1), ili m = √ / (n - 1). (4.15)

Formula (4.15) se zove po Besselovoj formuli taj veliki je praktičniji. Vaughn vam omogućuje da izračunate prosječno kvadratno podešavanje za ukusna poboljšanja rezultata u obliku aritmetičke sredine.

Za prosječno kvadratno loše ponašanje, prosječno može rasti, mogu biti siguran u loše ponašanje.

Srednja vrijednost lošeg ponašanja (Θ) naziva se aritmetička sredina apsolutnih vrijednosti lošeg ponašanja, tobto.

Θ = (| Δ 1 | + | Δ 2 | +… + | Δ n |) / n = [| Δ |] / n. (4.16)

Teoretski, greška se može napraviti, n → ∞ = 0,8 m, ali za m = 1,25 ?.

U slučaju primijenjene hrane, žale se gladan sam r. Isto značenje naziva se opaka prijevara u jednom redu jednakog vimiriva, ali je onoliko koliko je moguće poreći, pa je to manja vrijednost, za apsolutnu vrijednost. Za znakhozhennya r usi navike zadan broj mogu na vlastitom rangu u redoslijedu rasta apsolutne vrijednosti i odabrati te vrijednosti, poput posuđivanja srednje pozicije, tako da je manje od tog stila, ali sve više. Ymovírna pobačaj je vezan ako je srednji kvadrat inferiornosti r = 2/3 m = 0,67 m za m = 1,5 r.

Yak bachimo, m> Θ í m> r, kako zaključiti da srednje kvadratno loše ponašanje bolje karakterizira točnost vimirív, nízh srednji í imovirna deny.

Procjena točnosti takvih varijabilnih vrijednosti, kao što su linije, područja i područja, često se rotira za pomoć dopustiva obmana... Naziv apsolutnog lošeg ponašanja do vrijednosti vimrijanske vrijednosti je pravo loše ponašanje. Uobičajena je pogreška zapisati kao razlomak, u čijem je broju jedan, a standardno - broj, pokazujući vam dio vrijednosti veličine, postaje dopušteno pogriješiti. Na primjer, na strani D = 150 m vimira s apsolutnim nagibom m d = 0,05 m. Također, razlika u odnosu na rezultat wimira postaje m d / D = 0,05 m / 150 m = 1/3000.

Vrijednost 1/3000 znači da je na 3000 m od tribine dopuštena otmica na 1 m. Točnost svih linearnih izmjera u geodeziji mora se osigurati da bi bila točna, jer se treba voditi općim uputama i uputama za implementaciju ove vrste geodetskih robota.

FEDERALNA AGENCIJA ZA OSNIVANJE

STERLITAMATSKA FILIA

DOMAĆA KNJIGA

VISCHOÍ̈ PROFESSIONO EVOLVE

"SVEUČILIŠTE BAŠKIRSKI DERŽAVNIJ"

Ekonomski fakultet

Odjel za matematiku i informatiku

Tečajni robot

na temu:

Besselove funkcije

Vikonav student 2 tečaj

grupa PMII-08

Alexandrova A.Yu._______

"___" ____________ 2010.r.

Naukovy Kerivnik

dr., čl. ín.

Sidorenko O. G. _______

"___" ____________ 2010.r.

Sterlitamak 2010

Ulazak

1 Bessel funkcionira s pozitivnim predznakom

2 Besselove funkcije s jednim znakom

3 Dom manifestacije Cilindrične funkcije. Besselove funkcije drugog roda

4 Proširivanje niza Besselovih funkcija drugog roda cijelom ikonom

5 Besselove funkcije treće vrste

6 Besselove funkcije eksplicitnog argumenta

7 Cilindrične funkcije s indeksom, koji koštaju pola nesparenog cijelog broja

8 Asimptotičko određivanje cilindričnih funkcija za velike vrijednosti argumenata

9 Nulte funkcije cilindra

Visnovok

Popis literature

Ulazak

Cilindrične funkcije nazivaju se rješenjem linearne diferencijalne jednadžbe različitog reda

, (1) - složena promjena, - parametar, koji se može koristiti za govor ili složeno značenje.

Pojam "cilindrične funkcije" pletenja usjeva na svoje izlete u ovu vrstu namještaja, koji (1) se razvija kada se promatraju regionalne ustanove, teorija potencijala cilindričnog područja.

Za naziv Besselovih funkcija u literaturi se navode posebne klase cilindričnih funkcija, a u nekim slučajevima se pripisuju cijeloj klasi cilindričnih funkcija.

Teorija funkcija je dobro razrađena, izgled nastavnih tablica i široka površina stasosuvana služe kao dovoljno sredstvo da se cilindrične funkcije dovedu do najvažnijih posebnih funkcija.

Rivnyannya Besselov winnie píd sat rívnyannya rívnyannya Laplace i rívnyannya Helmholtz u cilindričnim i sfernim koordinatama. Ova funkcija Bessela će stagnirati u slučaju viralne prtljage o širenju hwila, statički potencijal je premali, na primjer:

1) elektromagnetski hvily u cilindričnom hvilevodí;

2) vodljivost topline na cilindričnim objektima;

3) stvaranje tanke okrugle membrane;

4) likvidnost čestica u cilindru, koju vod pohranjuje i omotava oko svoje osi.

Besselove funkcije su zaglavljene na vrhu popisa, na primjer, prije sata obrade signala.

Besselove cilindrične funkcije su najraširenije od svih specijalnih funkcija. Miris brojčanih dodataka u svim prirodnim i tehničkim znanostima (osobito u astronomiji, mehanici i fizici). Na nižem kraju matematičke fizike razvijaju se cilindrične funkcije, za koje je argument indeks (jedan i jedini), one zbrajaju kompleksne vrijednosti. Za numeričko određivanje takvih projekata potrebno je razviti algoritme koji omogućuju precizno izračunavanje Besselove funkcije.

Svrha robota tečaja: vivchennya funkts_ Bessel i zasosuvannya í̈kh vlasti u viríshenní diferencijalu ívnyans.

Zavdannya:

1) Vivchit Rivnyannya Bessel i modificirani Rivnyannya Bessel.

2) Odrediti osnovnu snagu Besselovih funkcija, asimptotske manifestacije.

3) Vidljivost diferencijala za dodatnu funkciju Bessela.

1 Bessel funkcionira s pozitivnim predznakom

Za sagledavanje problema povezanih s funkcijama cilindričnih funkcija, dovoljno je prihvatiti posebnu klasu funkcija, koje su prikazane na temelju parametra

u obitelji (1) postoji nula i cijeli pozitivan broj.

Do kraja sata nositi elementarniji karakter, nižu teoriju, smatrati se dominantnom vrijednošću

, í može biti dobar uvod u teoriju.

Pokazat će se da je jedan od odgovora

0, 1, 2, …, (1.1)

ê Besselova funkcija prve vrste

yak za be-yak vrijednost tj. početni zbroj jaka u nizu (1.2)

Za dodatne znakove d'Alemberta, lako je preokrenuti, ali red, da se pazi, konvergira na cijelom području složene promjene, također, predstavljajući cijelu funkciju

.

Kako označiti lijevi dio jednadžbe (1.1) kroz

i unesite brzinski rekord izvedbe u red (1.2), po

onda, kao rezultat zamjene, možemo

sljedeće zvijezde

Osim toga, krivulje na sljepoočnicama su zatamnjene na nulu. Otzhe, funkcija je zadovoljavajuća za standard (1.1), odnosno cilindričnu funkciju.

Najjednostavnije funkcije za klasu, kako izgledati, su Besselove funkcije reda nula i jedan:

(1.3)

Pokazat će se da se Besselove funkcije nižih redova mogu rotirati kroz te funkcije. Za potvrdu, pretpostavlja se da je a pozitivan broj, niz (1.2) se množi s

í savjetuje. Mi otrimaêmo todi (1.4)

Analogni rang, množenje reda s

poznato (1.5)

Diferenciranje u jednakosti (1,4 - 1,1) i množitelju

, Dolazimo do formula: (1.6)

zvijezde bez prednje linijeê:

(1.7) (1.8)

Otrimanijeve formule dobile su naziv rekurentnih odnosa za Besselove funkcije.

Narudžba.

Želim (- α) (\ displaystyle (- \ alpha)) uzgajajte istu rivnyannya, nazovite kući o onima koji su vidjeli različite funkcije (pokušajte, na primjer, kako bi Besselova funkcija bila glatka α (\ displaystyle \ alpha)).

Besselove funkcije prvi je nazvao švicarski matematičar Daniel Bernoulli, a ime je dobio po Fridrikhu Beselu.

Enciklopedijski YouTube

1 / 5

✪ Zmíshane zavdannya kolí. Besselove funkcije

✪ Diferencijalna Rivnyannya | Rivnyannya Bessel i pidhid na yogo reviziju

✪ Metode matematičke fizike. Profesor Tikhonov Mykola Andriyovich (predavanje 1)

✪ Diferencijalna Rivnyannya | Integralna detekcija Besselovih funkcija 1

✪ 13. Poticaji Walshovih funkcija

Titl

Začepljenje

Rivnyannya Besselov winnyaê píd sat rívnyannya rívnyannya Laplace i rívnyannya Helmholtz u cilindričnim i sfernim koordinatama. Ova funkcija Bessela će stagnirati u slučaju viralne prtljage o širenju hwila, statički potencijal je premali, na primjer:

• elektromagnetski hvily u cilindričnom hvilevodí;
• vodljivost topline na cilindričnim objektima;
• stvaranje kolonije tanke okrugle membrane;
• intenzitet svjetla ruža, difrakcija na okruglom otvoru;
• sitnost čestica u cilindričnoj, zapamćena linijom i omotana oko svoje osi;
• Hvilyovi funkcionira na sferno simetričnim potencijalnim zaslonima.

Besselove funkcije su zaglavljene na vrhu popisa, na primjer, prije sata obrade signala.

Viznachennya

Oskílki nominiran ívnyannya ê liníynim diferencijal jednak drugim redom, novi maê ima dva rješenja neovisna o liniji. Međutim, duboko iz okoline vibrira porast broja odluka. Deyaki od njih je uperen ispod.

Besselove funkcije prvog roda

Funkcije Bessela prvog roda, što znači, ê rješenje, kintsev u točkama x = 0 (\ displaystyle x = 0) sa svim ljudima koji to nisu α (\ displaystyle \ alpha)... Vibir specifičnih funkcija i normalizaciju pokreću vlasti. Moguće je koristiti funkciju za dodatno postavljanje u Taylor red nule (ili u veći red stanja s α (\ displaystyle \ alpha)):

J α (x) = ∑ m = 0 ∞ (−1) m m! Γ (m + α + 1) (x 2) 2 m + α (\ displaystyle J _ (\ alpha) (x) = \ zbroj _ (m = 0) ^ (\ infty) (\ frac ((-1) ^ (m)) (m! \, \ Gamma (m + \ alfa +1))) (\ lijevo ((\ frac (x) (2)) \ desno)) ^ (2m + \ alpha))

Ovdje Γ (z) (\ displaystyle \ gama (z))- Eulerova gama funkcija, pripisivanje faktora vrijednostima koje nisu cilja. Graf Besselovih funkcija sličan je sinusoidi, čiji broj proporcionalno nestaje 1 x (\ displaystyle (\ frac (1) (\ sqrt (x)))), želio bih da se radi nulte funkcije ne povećava periodično.

Grafovi se lebde ispod J α (x) (\ displaystyle J _ (\ alpha) (x)) za, 1 i 2:

Neumannove funkcije nazivaju se i Besselovim funkcijama druge vrste. Linija kombinacija funkcija Bessela prve i druge strane ê izvan odluke Rivnyannya Bessel:

y (x) = C 1 J α (x) + C 2 Y α (x). (\ displaystyle y (x) = C_ (1) J _ (\ alpha) (x) + C_ (2) Y _ (\ alpha) (x).)

Grafikon je prikazan ispod Y α (x) (\ displaystyle Y _ (\ alpha) (x)) za α = 0 (\ displaystyle \ alpha = 0), 1 i 2:

∫ 0 1 x J α (μ 1 x) J α (μ 2 x) dx = (0; μ 1 ≠ μ 2 1 2 (J α '(μ 1)) 2; \ int _ (0) ^ (1 ) (xJ _ (\ alpha) (\ mu _ (1) x) J _ (\ alpha) (\ mu _ (2) x) dx) = \ lijevo \ ((\ početak (matrica) 0 & (\ mbox (;) ) \ quad \ mu _ (1) \ neq \ mu _ (2) \\\\ (\ frac (1) (2)) (J "_ (\ alpha) (\ mu _ (1)) ) ^ ( 2) & (\ mbox (;)) \ quad \ mu _ (1) = \ mu _ (2) \ end (matrica)) \ desno ..)

Asimptotika

Za Besselove funkcije, prva i druga vrsta zadane su asimptotičkim formulama. Uz malo argumenata (0 < x ≪ α + 1) {\displaystyle (0 to nije α (\ displaystyle \ alpha) smrad izgleda ovako:

J α (x) → 1 Γ (α + 1) (x 2) α, (\ displaystyle J _ (\ alpha) (x) \ strelica desno (\ frac (1) (\ Gamma (\ alpha +1))) \ lijevo ((\ frac (x) (2)) \ desno) ^ (\ alpha),) Y α (x) → (2 π [ln ⁡ (x / 2) + γ]; α = 0 - Γ (α) π (2 x) α; α> 0,) \ strelica desno \ lijevo \ ((\ početak (matrica) (\ frac (2) (\ pi)) \ lijevo [\ ln (x / 2) + \ gamma \ desno] & (\ mbox (;)) \ quad \ alpha = 0 \\\ - (\ frac (\ Gamma (\ alpha)) (\ pi)) \ lijevo ((\ frac (2) (x)) \ desno) ^ (\ alpha) & (\ mbox (;)) \ quad \ alpha> 0 \ kraj (matrica)) \ desno.,)

de γ (\ stil prikaza \ gama)- Postyna Eyler-Maskeroni (0,5772 ...), i Γ (\ displaystyle \ gama)- Eulerova gama funkcija. Za velike argumente ( x ≫ | α 2 - 1/4 | (\ displaystyle x \ gg | \ alpha ^ (2) -1/4 |)) formule izgledaju ovako:

J α (x) → 2 π x cos ⁡ (x - α π 2 - π 4), (\ displaystyle J _ (\ alpha) (x) \ strelica udesno (\ sqrt (\ frac (2) (\ pi x) ) ) \ cos \ lijevo (x - (\ frac (\ alpha \ pi) (2)) - (\ frac (\ pi) (4)) \ desno),) Y α (x) → 2 π x sin ⁡ (x - α π 2 - π 4). (\ displaystyle Y _ (\ alpha) (x) \ strelica udesno (\ sqrt (\ frac (2) (\ pi x))) \ sin \ lijevo (x - (\ frac (\ alpha \ pi) (2)) - (\ frac (\ pi) (4)) \ desno).)

Hipergeometrijski niz

Besselove funkcije mogu se rotirati kroz hipergeometrijsku funkciju:

J α (z) = (z / 2) α Γ (α + 1) 0 F 1 (α + 1; - z 2/4). (\ displaystyle J _ (\ alpha) (z) = (\ frac ((z / 2) ^ (\ alpha)) (\ gama (\ alpha +1))) () _ (0) F_ (1) ( \ alfa +1; -z ^ (2) / 4).)

U takvom rangu, za cjelinu α (\ displaystyle \ alpha) Besselova funkcija jednoznačna analitička, a za ne-tsílich - smisleno analitičko.

Virobnycha funkcija

Postoji jasna izjava za Besselove funkcije prve vrste i u cijelom redu kroz Laurentove funkcije, funkciju oblika jednine i samog sebe:

e z 2 (w - 1 w) = ∑ n = - ∞ + ∞ J n (z) w n. (\ displaystyle e ^ ((\ frac (z) (2)) \ lijevo (w - (\ frac (1) (w)) \ desno)) = \ zbroj _ (n = - \ infty) ^ (+ \ infty) J_ (n) (z) w ^ (n).)