Razkladannya u nizu fur'ê dečki i neuparene funkcije neučinkovitost bezsel parseval. Vrijednost izvedbe u nizu za formule fur'ê

Rukohvat Fur'ê funkcija f (x) na intervalu (-π; π) naziva se trigonometrijskim nizom u obliku:
, de

Funkcija ručke Fur'ê f (x) na intervalu (-l; l) naziva se trigonometrijskim nizom oblika:
, de

Primjetan. Online kalkulator vrijednosti za proširenje funkcije f (x) za red Fur'ê.

Za funkcije modula (na primjer, | x |), odaberite kosinusna raspodjela.

Pravila za uvođenje funkcija:

Za funkcije modula odaberite kosinusnu distribuciju. Na primjer, za | x | potrebno je sigurnosno kopirati funkciju bez modula, dakle. x.

Red Fur'ê shmatkovo-bez prekida, shmatkovo-monoton i isprepleten na intervalu (- l;l) funkcija za konvergiranje duž cijele brojevne osi.

Suma red Fur'ê S (x):

• ê periodična funkcija s periodom 2 l... Funkcija u (x) naziva se periodičnom s periodom T (ili T-periodičnom), za sve x domene R, u (x + T) = u (x).
• na intervalu (- l;l) započnite s funkcijom f(x), iza vinjete točaka rezanja
• na mjestima rezanja (prva vrsta, tj. funkcija je okružena) funkcije f(x) i na kraju intervala srednje vrijednosti su:

.
Reći da je funkcija presavijanja u red Fur'ê na intervalu (- l;l): .

Yaksho f(x) Je li uparena funkcija, tada se njezina širi zauzmi sudbinu uparene funkcije, tobto b n=0.
Yaksho f(x) - nesparena funkcija, a zatim se njezina rasprostranjenost preuzima sudbinu lišavanja nesparenih funkcija, tobto a n=0

Rukohvat Fur'ê funkcije f(x) na intervalu (0; l) u kosinusima više lukova nazvati redom:
, de
.
Rukohvat Fur'ê funkcije f(x) na intervalu (0; l) iza sinusa višestrukih lukova nazvati redom:
, de .
Zbroj niza Fur'ê iza kosinusa višestrukih lukova je uparena periodična funkcija s periodom 2 l, scho zbígaêatsya s f(x) na intervalu (0; l) na mjestima prekida.
Zbroj retka Fur'ê iza sinusa višestrukih lukova je nesparena periodična funkcija s periodom 2 l, scho zbígaêatsya s f(x) na intervalu (0; l) na mjestima prekida.
Broju Fur'ê za danu funkciju u danom intervalu može se dati snaga pojedinačnosti, tako da se može obraditi na isti način, ispod registracije formula, na primjer, za dodatni odabir izvedbe, oblik

Kundak broj 1. Prostori s funkcijom f (x) = 1:
a) u gornjem redu Fur'ê na intervalu(-π ;π);
b) red iza sinusa višestrukih lukova na intervalu(0;π); probudi graf onoga koji je bio odsječen na broj Fur'ê
Odluka:
a) Proširivanje na red Fur'ê na intervalu (-π; π) ma viglyad:
,
i sve značajke b n= 0, jer funkcija je zadana - par; takav čin,

Očito će paritet Viconana biti
a 0 =2, a 1 =a 2 =a 3 =…=0
Pogledat ću snagu jedinstva i shukany funkcionalnost. S takvim rangom, distribucija šukane: chi je samo 1 = 1.
U takvom slučaju, budući da se broj može koristiti za njegovu funkciju, graf za broj Fur'ê se može koristiti za brojne funkcije na svim brojevnim pravcima.
b) Proširivanje na interval (0; π) iza sinusa višestrukih lukova ma viglyada:
Usvajanje učinkovitosti je očito previše loše, očito. Skoristaêmosya formula za izračun učinka:


U takvom rangu, za dečke n (n=2k) maêmo b n= 0, za nesparene ( n=2k-1) -
Oh, dobro, .
Probudite graf otrimannyja brojnih Fur'ê, ubrzavajući njegovu moć (božanski vishche).
Sada će postojati graf središnje funkcije u zadanom intervalu. Dal, ubrzavajući nespareni sumi na broj, prodovzhumo graf je simetričan na klip koordinata:

Povremeno proizvodimo na svim brojčanim osi:


I nareshti, na točkama rezanja, srednja (mi vladamo i živimo granice) značenja:

Kundak broj 2. Funkcionalnost na intervalu (0; 6) iza sinusa višestrukih lukova.
Odluka: Distribucija, treba se rugati, maê viglyad:

Oscilacije i lavovi, i pravo dijela jednakosti da opravda funkcije grijeha iz drugih argumenata, pa da preispita, što se gubi kada postoje značenja n (prirodnih!) argumenata sinusa u nekim od pravih dijelova:
za zvijezde n = 18. To znači da se takva zadužbina treba osvetiti na desnom dijelu, a funkcija je kriva u novom dijelu sastanka s funkcijom u lijevom dijelu: b 18 =1;
za zvijezde n = 4. Značiti, b 4 =-5.
S takvim rangom, uz pomoć odabira predstava, možete ispraviti raspored u daljini.

Jak već ljubazno nabridli. Vidim da je trenutak naređen, budući da su strateške rezerve teorije naučile sat nove konzervirane hrane. Zašto nije moguće rasporediti funkciju u nizu kao inaxe? Na primjer, je li moguće povući ravnu liniju kroz sinus i kosinus? Da se na glasu, ala taki, nachebto, daleko jedna vrsta jedne funkcije daje
"vozz'êdnannya". Mnogi poznati koraci u teoriji i praksi idu na funkciju u nizu.

Na kraju dana, možemo naučiti o trigonometrijskom nizu Fur'ê, procijediti prehranu njegove ekonomije i sumi, i, iznenađujuće, odabrati broj stražnjica za raspodjelu funkcija u redu Fur'ê . Većinu vremena želio sam imenovati članak "Red Fur'ê za čajnike", ale tse bulo s lukavstvom, neki za posljednju generaciju da zna znanje o raspodjeli matematičke analize i praktičnih informacija. U tu preambulu nagaduvatime obuku kozmonauta =)

Na prvom mjestu, dok se materijali ne podignu, stranice moraju ići u novi oblik. Spavali smo, vidjeli smo i bilo je teško. Bez jakih emocija od pogona opake šape hrčka i nametljivih misli o tyagarskom životu akvarela riboka. Brojni Fur'ê nisu sklopivi na prvi pogled, već praktičan pristup jednostavnom povećanju koncentracije poštovanja - u idealnom slučaju postoji daljnji porast u razvoju onih najpopularnijih. Situacija se vremenom ubrzava, ali nije lak način da se preispita rješenje i izgled. S takvim rangom, ako vam je samopoštovanje niže od prosjeka, onda ćemo vam ljepše oprostiti. Shypravda.

Drugim riječima, prije letenja u svemir potrebno je zgrabiti ploču s priključcima svemirskog broda. Uglavnom, zbog značenja funkcija koje su krive za klikanje na stroj:

S bilo kojim prirodnim značenjem:

1). Prvo, sinusoida "prošiva" apscis kroz kožu "pi":
... Scho da argumentu prizna negativna značenja, rezultat bi, očito, bio isti:.

2). Ali nisu sve znali. Kosinus "pi en" je ekvivalentan "bljeskaču":

Negativan argument jednostavno ne smeta: .

Mabut, dosta je.

Ja, u trećem, je kozmonaut shanovny zagín, potrebno je ići ... integraruvati.
Zokrem, opjevana dati funkciju diferencijalnom predznaku, integrirati dijelove ja čizma u pragovima z po Newton-Leibnitzovoj formuli... Vrlo je važno ispred desne strane. Kategorično ne preporučam da ga preskočite, jer se nije spljoštio na nedostupnom:

zadnjica 1

Izbrojite integrale

de nabuwaê prirodna vrijednost.

Odluka: Integracija se provodi za promjenu "x" i na danom stupnju se kao konstanta koristi diskretna promjena "en". U svim integralima snabdjeven funkcijom diferencijalnog predznaka:

Kratka verzija rješenja, dok ne budete dovoljno dobri za ciljanje, izgleda ovako:

Zvikaêmo:

Chotiri je punktirano, spontano. Pokušajte maksimalno iskoristiti vrijeme da dovršite integraciju na kratak način. Učenje rješenja za lekciju.

Pislya yakisnogo vikonannya desno nadyagaêmo svemirska odijela
i spremni za početak!

Raspodjela funkcija od retka Fur'ê do

Deyaku funkcija, yaka određen posuđen za predujam (i, možda, za veći predujam). Budući da je funkcija integrirana u red Fur'ê:
de - tzv kofítsíênti Fur'ê.

Kad se pozove broj razdoblje distribucije, I broj - napívperíodom distribucija.

Očito, u zagalnom vipadu, red Fur'ê se savija u sinuse i kosinuse:

Díysno, napisao je predavanje:

Za zapisivanje jaka uzima se nizak pojam nule.

Koeficijenti Fur'ê se plaćaju za sljedeće formule:

Divno je razmišljati o tome, pa je u redu slušati temu. razdoblje distribucije, napivperiod, kofítsíênti Fur'ê da í Bez panike, nije stvar hvilyuvannyam prije ulaza u svemir. Sve se sprema u najbližu guzu, pred posjetiteljima je logično postaviti dnevne praktične obroke:

Što je potrebno revidirati u lebdeći nižim redoslijedom?

Proširite funkciju na red Fur'ê. Nije lako sastaviti graf funkcije, graf zbroja u nizu, privatni zbroj, a razvoj naprednih profesionalnih fantazija ima više razvoja.

Kako proširiti funkciju na broj Fur'ê?

Po danu, morate znati kofítsíênti Fur'ê tobto fold i broj tri pjevanje integrala.

Budite lasica, prepišite zagalny viglyad na red Fur'ê da tri radne formule za sebe. Ja sam mali radij, pa momcima koji su otvorili stranicu pravo pred mojim očima dijete svijeta postaje astronaut.

zadnjica 2

Distribuirajte funkciju u redu Fur'ê na liniji. Pobuduvati graf, graf sumi uz taj privatni sumi.

Odluka: prvi dio biljke nalazi se na funkciji distribucije u redu Fur'ê.

Uho je standardno, obov'yazkovo pisanje, scho:

Istodobno, razdoblje distribucije je npr.

Stavljamo funkciju u red Fur'ê na liniju:

Vikoristovuchi na temelju formule, znamo kofítsíênti Fur'ê... Sada ga trebate spustiti i izbrojati tri pjevanje integrala... Radi praktičnosti nabrojat ću točke:

1) Prvi integral je, međutim, najjednostavniji i već je vimag oka koje oko:

2) Koristimo prijatelju formulu:

Tsey integraral dobre znayomiy i uzeti u komadima:

Uz znanje vicoristana metoda dovođenja funkcije u diferencijalni predznak.

Na pozdravljen menadžer, odmah vikoristovuvati formula za integraciju dijelova po integralu pjevanja :

Par tehničara. Perche, piše formulu cijeli stih treba staviti na veliki luk, bilješke prije izlaznog integrala ê konstanta. Nije nužno! Mašne se mogu otvoriti na bilo kojem lažnom međunožju, pokušavam ga razbiti na ostalo. Pershu ima "shmatku" Vyavlyaemo ekstremnu točnost na stanici, jak bachite, konstanta nije na desnoj strani, ali između integracije je prikazana na TV-u. Qia diya se vidi po četvrtastim lukovima. Pa dobro ti je i integral još jedne "šmatke" formule zbog trenuvala ;-)

Ja naygolovnishe - granica koncentracije poštovanja!

3) Shukaymo treća konferencija Fur'ê:

Otriman relativnog prednjeg integrala, koji je isti integrirati s dijelovima:

Cijeli primjerak trohe je presavijen, komentirat ću detalje u nastavku:

(1) Viraz će se dići u stilu na velikom luku... Ne želim biti dosadan, često koristim konstantu.

2 posebno poštujem doći do prvog "shmata": konstanta za spržiti rub i pobrinuti se za sudbinu prijelaza između integracije (i) u tvir. Kroz zakharaschen_st ću zapisati qiu díyu know-how da ga vidim s četvrtastim lukovima. S još jednim "šmatom" sve je jednostavnije: ovdje se drugi pojavljuju za otvaranje velikih lukova, a konstanta je zbog integracije poznatog integrala ;-)

(3) Na četvrtastim lukovima vrši se preuređenje, a desni integral - ugradnja između integracije.

(4) Vinosimo "bljeskajuće svjetlo" iz četvrtastih lukova: ako su unutarnji lukovi otvoreni:.

(5) Između 1 i 1 na lukovima izvodi se zaostali spoj.

Poznate su sve tri karakteristike Fur'êa:

Formula je :

Pritom se ne zaboravlja na distribuciju navpila. S druge strane, pozornica je konstanta ("minus dva"), kako se ne može ležati iza "en", vino je iza sumija.

U takvom rangu prepoznali smo distribuciju funkcija u nizu Fur'ê za interval:

Vivchimo prehrana zbízhností niska Fur'ê. Objasnit ću teoriju, zokrem Dirichleov teorem, doslovno "na prste", pa ako trebate dobru formulaciju, budite lasica, budite brutalizirani do ruke iz matematičke analize (Na primjer, 2. svezak Bokhana; ili 3. svezak Fikhtengoltsya, ale nove važnosti).

Na drugom dijelu poduzeća potrebno je nacrtati graf, graf suma u nizu i graf privatnog zbroja.

Funkcijski graf ê ravno na trgu, jak je nacrtan crnom isprekidanom linijom:

Pokupljeno iz torbe u nizu. Kao što znate, funkcionalni redovi konvergiraju funkcijama. Naši vypadnu motivi broj Fur'ê za bilo koju vrijednost "x" idite na funkciju, kao što je prikazano bojom crva. Qia funkcija izdržati razveseliti 1. vrsta na točkama, iako su u njima naznačene (crvene točke na stolici)

U ovom rangu: ... Lako je bachiti, pa se to lako vidi iz same konkretne funkcije u zapisu stavlja se ikona "tilde", a chi nije znak jednakosti.

Vivchimo algoritam, yakim ručno buuvati nekoliko.

Na središnjem intervalu, red Fur'ê konvergira funkciji (središnja chervonia završava crnom isprekidanom linijom funkcije linije).

Sada treba pogledati nekoliko riječi o prirodi trigonometrijskog izgleda. Imati broj Fur'ê za unos samo periodičnih funkcija (konstanta, sinus i kosinus), isti iznos također periodična funkcija.

Što to znači za našu specifičnu primjenu? I tse meanê oni, koji su zbroj broja –neujednačeno periodično a crvenoruki intervalu kriv je za beskonačno ponavljanje ruke i desne ruke.

Mislim da je značenje izraza "razdoblje distribucije" odmah postalo dovoljno jasno. Očigledno oprošteno, kroz kožu situaciju znati i ponoviti opet.

Radi toga, svakako tri puta dovršite sliku, jer je polomljena na fotelji. Pa, čak i "panjevi" susidníkh razdoblja - toliko bulo zrozulylo, tako da graf ide dalje.

Od posebnog interesa za prezentiranje točke rezanja 1. vrste... U takvim se točkama određeni broj Fur'ê spušta na izoliranu vrijednost, jer se ravnomjerno peče u sredini “trake” (crvene mrlje na fotelji). Yak znate ordinatu broja točaka? Postoji zbirka poznatih ordinata "vrh na vrhu": kada se vrijednost funkcije izračuna na krajnjim desnim točkama središnjeg razdoblja distribucije:. Za izračunavanje ordinate "dno na vrhu" jednostavnije je uzeti ekstremnu vrijednost razdoblja: ... Ordinata srednje vrijednosti - srednja vrijednost je zbroj "vrh i dna":. Prihvatimo činjenicu da ćete prilikom pozivanja stolice odmah pogoditi sredinu, ako je sredina pogrešno izračunata.

Ako je svota za dobrotvorne svrhe mala, smisao izraza "zbižnist" je odmah ponovljiv. Motiv lekcije o zbroj niza brojeva... Naše bogatstvo zapisano je u izvještaju:

Schob na kraju šato zbroja, potrebno je upisati nula + još dva segmenta za redom. Tobto,

Na grafu fotelje funkcije slika u zelenoj boji, í, poput bachita, završit ću "zamotati" svoju torbu. Ako pogledate novčić od pet članova zaredom, onda je graf cijele funkcije točniji od crvene linije, ako ima stotinu članova, onda će "zelene zmije" zapravo narasti i oboljeti od crvi u drugom. U ovom rangu, serije Fur'ê konvergiraju svojim sumi.

Tsíkavo vídnostviti, koji be-yaka chastkova sum - tse neprekidna funkcija, iznos protesta broja je još uvijek razrivan.

Zapravo, vrlo je potrebno posjetiti graf privatnog sumija. Yak tse zrobiti? Ako trebate pogledati funkciju, izračunajte vrijednosti brojeva u međutočkama (ako vidite više točaka, tada će grafikon biti točniji). Zatim slijedite značenje točke na stolici i pažljivo nacrtajte graf na razdoblju, ako ga želite "roztirazhuvati" sa strane. I yak inakshe? A blizina je lanac periodičnih funkcija... ...na displeju medicinskog uređaja je graf ritma srca.

Viconuvati će inducirati, zlobno, čak ni ručno, tako da će se moći postići vrhunska preciznost, preciznost staklastog tijela nije manja od pola milimetra. Dok, čitajući, nisam u skladu sa stolicama, molim - "pravom" djelatniku nije potrebna fotelja, ovdje 50% ispitanika treba proširiti funkciju na brojne Fur's i sve ostalo.

Fotelja Pislya vikonannya će biti upotpunjena:

Pogled:

Bagato zavdan funkciju izdržati rezanje 1. vrste izravno na razdoblje distribucije:

zadnjica 3

Stavite u red funkciju Fur'ê, dodijeljenu vezi. Kultivirajte graf funkcije i broj sažetaka.

Predložena funkcija zadana je paušalnim rangom (Štoviše, poštuj me, samo na vidrizki) i izdržati rezanje 1. vrste u točki. Koliko možete dobiti funkcionalnost Fur'ê? Nema problema. Prije svega, i pravo dijela funkcije da se integrira na vlastitu istaknutost, zbog tri formule oporezivanja iz tri formule integriran je zbroj dvaju integrala. Iznenađujuće, na primjer, kako možemo biti na nulti stopi:

Još jedna integracija je dodana na nulu, ali roboti su se promijenili, ali nije tako.

Slično su navedene dvije funkcije.

Jak crtati torbu u nizu? Na lívínírívílí, fotelja ide ravno naprijed, a u intervalu ídrizok ravno (podebljano i podebljano vidimo os osi). Tobto, na progresiju širenja zbroja, broj zbígaêtsya s funkcija skríz, osim tri "gadne" točke. Na mjestu rezanja funkcije, broj Fur'ê se spušta na izoliranu vrijednost, kako raste u sredini "trake" koju sam izrezao. Nije važno koliko je dobro i pospano: lijeva granica: i očito, ordinata srednje točke ceste je 0,5.

Pogledat ću periodičnost sumi, sliku treba "umnožiti" na srednji period, sjeme treba nacrtati na intervalima. U isto vrijeme, na točkama, Fur'ê red ziydetsya na srednje vrijednosti.

Inače, tu nema ništa novo.

Pokušajte se i sami uklopiti sa svojim zaposlenicima. Zrazok fini ukras i fotelja za nastavu.

Proširivanje funkcije brojnih Fur'ê na prethodno razdoblje

Za one za koje je vjerojatnije da će širiti riječ, de "smreka" - bio to pozitivan broj, formule za broj Fur'ê i koeficijente Fur'ê daju se tri ubrzavanjem argumenta sinusa i kosinusa:

Čim formule izađu, popravljene su.

Vjerojatnije je da će se algoritam i princip rješavanja zadataka spasiti, izračunava se malo više tehničke složenosti:

zadnjica 4

Proširite funkciju u retku Fur'ê koji će stvoriti graf sumi.

Odluka: zapravo analog Aparata br. 3 s 1. vrsta u točki. Istodobno, razdoblje distribucije je npr. Funkcija je označena samo na temelju intervala, ali ne mijenjajte desno - važno je da je prekršaj shmat u funkciji integracije.

Proširiva funkcija na brojne Fur'ê:

Oscilacije funkcije prikazane su na kos koordinata, tada je skin funkcija Fur'ê očito zapisana u viglyadi sumi dva integrala:

1) Prvi integral će napisati maksimalno izvješće:

2) Stvarno impresioniran na površini Misyatsa:

Još jedan integralni uzeti u komadima:

U sljedećem koraku ću imati poštovanje prema činjenici da ću vidjeti jasan napredak u rješenju?

Smuđ, ne nejasno perchintegral de odmah vikonuêmo znak isporuke na diferencijal... Na drugačiji način, ne zaboravite zlu konstantu ispred velikih lukova koji nemojte se izgubiti u znakovima s viktorijanskim formulama ... Veliki lukovi, ipak, otvaraju heklanje odmah na ofenzivnom rubu.

S desne strane su tehnologije koje se mogu preklopiti zbog nedostatka dovoljno informacija o integraciji integracije.

Dakle, nisu naletjeli na dar slavnih kolega francuskog matematičara Fur'êa - kako su se smijali raspodjeli funkcija trigonometrijskog niza ?! =) Prije govora, milozvučno, sve tsíkaviy praktične zmíst zmíst zmíst zvdannya. Fur'ê je sam radio na matematičkom modelu toplinske vodljivosti, a zatim su se brojni nazivi za njih sakrili za razvoj periodičnih procesa, koji su nevidljivi u slučaju novog svjetla. Zaražen, prije govora, odnijevši ga u Dumu, ali ne nejasnim podešavanjem grafa druge stražnjice s periodičnim ritmom srca. Možete učiti iz praktičnih metoda sisanja reinkarnacija Fur'ê od džerelakha treće strane. ... Ako želiš ljepše, neće ti trebati - bit ćeš zgaduvatisya, jak Perche Kohannya =)

3) Vrahoyuchi slabi Lanki, koji su nekoliko puta nagađani, razvrstavajući s trećim koeficijentom:

Sastavni dijelovi:

Usput, znamo učinkovitost formule , ne zaboravite dodati nultu učinkovitost:

Neka grafovi sumi budu niski. Ukratko ponovite redoslijed radnji: u intervalu ću biti ravan, ali u intervalu ću biti ravan. S nultom vrijednošću "x", točka se stavlja u sredinu "trake", a "kružni" graf na strani točke:


Na "štapovima" perioda zbroja pogodno je i da se sredina "streka" ripa.

Spreman. Pretpostavljam da je sama funkcija iza uma namijenjena da bude lišena intervala_dremanja i, očito, da se gubi iz reda u intervalima

Pogled:

Inodi shmatkovo-set funkcija se postavlja bez prekida za vrijeme distribucije. Najjednostavniji učenik: ... Odluka (Div. 2. svezak Bohana) isto, kao i dva prednja kundaka: bez utjecaja kontinuitet funkcije u točki, koža kofítsíênt Fur'ê pretvoriti torbu od dva integrala.

Za distribuciju točke rezanja 1. vrste da / abo ukazuje na graf "štapa" može biti ili više (dva, tri i be-yake kintseve broj). Iako je funkcija integrirana u dio kože, također je presavijena na niski Fourier. Ne mogu zamisliti takvu tvrdoću ako nisam praktičan. Tim nije najmanje, nije manje važno, vidjet ćete veću važnost projekta, dobro ćete ga pogledati, a npr. statistika za sve one koji su bitni ê to rade u nizu Fur's advanced preklapanje.

I ostavi nemir, gledajući kristale i gledajući u beskrajnu zoru svemira:

zadnjica 5

Proširivanje funkcije broj Fur'ê na rubu linije i produvaty graphyk sumi broj.

Imaju širok raspon funkcija neprekinuto na nap_v_interval_ distribucije, scho postavlja rješenje. Sve je još sličnije kundaku br. 2. Ne postoji način da se izađe iz svemirskog broda - bit će virashuvati =) Primijenjeni dizajn za lekciju je završen.

Položaj u nizu Fur'ê dečki i neuparene funkcije

S dečkima i nesparenim funkcijama, proces obnove je kao da se kaže zbogom. Prva os do chomu. Prelazak na otvaranje funkcije na red Fur'ê u razdoblju "dva pi" da u dosta dobro razdoblje "dvije smreke" .

Doduše, naša je funkcija par. Zagalniy član reda, poput vas bachite, osvetiti se uparenim kosinusima i nesparenim sinusima. A ako postoji EVEN funkcija, što je onda s nesparenim sinusima? Poništimo neiskorištenu učinkovitost:.

U takvom rangu, uparena funkcija za preklapanje u nizu Fur'ê samo po kosinusima:

Oskilki integracija uparenih funkcija prema simetričnoj razini od nule, integracija se može obaviti, a zatim reći zbogom toj ínshí izvedbi Fur'ê.

Za promízhku:

Za napredniju fazu:

Do udžbenika, kako je to praktično u svakom rukovatelju za mataanalizu, izložiti distribuciju uparenih funkcija ... Osim toga, smrad je više puta uveden u moju specijaliziranu praksu:

zadnjica 6

Funkcija je dana. Potreban:

1) proširenje funkcije na nisko Fur'ê s točkom, de - pozitivniji broj;

2) zapisati distribuciju na intervalu, dajući funkciju i graf u više navrata.

Odluka: u prvoj točki osjetit će se vidljivost revne viglyade, pa čak i bolje! Ako vam je potrebna - samo pošaljite svoju vrijednost.

1) U tsíy tasksí razdoblju distribucije, na primjer. Na prijelazu daljih dana, budnica je integracija, "smreka" se koristi kao konstanta

Funkcija je uparena, što znači da se može poredati u red Fur'ê samo u kosinusima: .

Koeficijent Fur'ê shukaêmo iza formula ... Brutalno poštovanje prema ludom mamojebu. Prije svega, integracija se provodi za pozitivnu distribuciju, a to znači da sigurno otpuštamo modul , gledajući iz dva shmatkiv liche "ix". Na drugačiji način, to je kao da se oprostite od integracije.

Dva:

Sastavni dijelovi:

U ovom rangu:
, na vlastitu konstantu, jak za polaganje s "en", winosimo mezhi sumi.

Pogled:

2) Distribucija koja se može zabilježiti za interval, za koji je formula data na početnoj stranici za sljedeći primjer:

Prijepis

1 MINISTARSTVO PROCJENE NAUKE FIZIČKOG FAKULTETA RF NOVOSIBIRSKY DERŽAVNIJ SVEUČILIŠTE R.K.BELKHEVA OPIS KRZNA U PRIMJENAMA I PROBLEMA Navchalnyi posibnik1

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkhêêva R.K. držanje un-t. Novosibirsk, s. ISBN Na početku posjeta pobjeđuje glavni gledatelj serije Fur'ê; Detaljni dizajn kundaka za metodu Fur'ê prije rješavanja problema oko poprečne strune. Dostavljen ilustrativni materijal. Ê zavdannya neovisno rješenje. Zadaci za studente i pobjede na Fizičkom fakultetu NSU. Postanite prijatelj u Virishenna metodičkom odboru Fizičkog fakulteta NSU-a. Recenzent dr. fiz. znanosti. V. A. Aleksandrov Zbirka priprema u okviru provedbe Programa razvoja NDU-NSU na pp. ISBN s Novosibirsko državno sveučilište, 211 s Belkhova R.K., 211

3 1. Proširivanje 2π-periodičnih funkcija na niz Fur'ê Viznachennya. Dodjela za funkciju f (x) naziva se funkcionalni niz a 2 + (an cosnx + bn sin nx), (1) de-performans an, bn se može izračunati prema formulama: an = 1 π bn = 1 π f (x) cosnxdx, n =, 1, ..., (2) f (x) sin nxdx, n = 1, 2, .... (3) Formule (2) (3) nazivaju se Euler Fur 'ê formule. Činjenica da funkcija f (x) podsjeća na niz Fur'ê (1) zapisana je u obliku f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) (4) i čini se da je desni dio formula (4) ê formalnim nizom Fur'ê funkcije f (x). Drugim riječima, čini se da formula (4) znači da učinkovitost a n, b n nije poznata za formule (2), (3). 3

4 Viznachennya. 2π-periodična funkcija f (x) naziva se šmatkovo-glatka, čak i ako u intervalu [, π] postoji Kintsev broj točaka = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Mala. 1. Grafikon funkcije f (x) Izračunljiva učinkovitost Fur'ê a = 1 π f (x) dx = 1 π x 2 2 π = π, an = 1 π f (x) cosnxdx = 2 π = 2 () x sin nx cos nx + π nn 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = bn = 1 π π = 2 π f (x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, za n nesparenih, za n upareno, f (x) sin nxdx =, pa je funkcija f (x) uparena. Možemo zapisati formalni Fur'ê niz za funkciju f (x): f (x) π 2 4 π k = 5 cos (2k + 1) x (2k + 1) 2.

6 Jasno je da je funkcija f (x) komadno glatka. Dakle, kako je bez prekida, računa se samo između (6) na krajnjim točkama između x = ± π i na točki zla x =: í f (π h) f (π) π h π f (+ h ) f (+) + h () lim = lim h + hh + hf (+ h) f (+) + h lim = lim = 1, h + hh + h = 1, f (h) f () h ( ) lim = lim = 1. h + hh + h Između ísnyu i íntseví, iako je funkcija glatka. Prema teoremu o krapkovu, vrijednost Fuhrovog niza konvergira na f (x) u točkama kože, tako da je f (x) = π 2 4 π k = cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) Na sl. 2, 3 ukazuje na prirodu pristupa parcijalnih zbroja nizu Fur'ê S n (x), de S n (x) = an 2 + (ak coskx + bk sin kx), k = 1 funkciji f (x) u intervalu [, π]. 6

7 Mala. 2. Graf funkcije f (x) s nametanjem parcijalnih zbroja na grafove S (x) = a 2 i S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x Sl. 3. Grafikon funkcije f (x) je superponiran na novi graf zbroja dijagrama S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 Podnošenjem u (7) x = otrimaêmo: = π 2 4 π k = 1 (2k + 1) 2, zvijezde znaju zbroj brojevnog niza: = π2 8. Poznavajući zbroj retka, lako je znati sljedeći zbroj Maêmo: S = ( ) S = () = π S, čak S = π2 6, dakle 1 n = π Zbroj poznatog niza prvog poznatog Leonarda Eilera. Vona često studira matematičku analizu i dodatke. DODATAK 2. Na malom grafu znamo niz Funkcija zadan formulom f (x) = x za x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Mala. 4. Grafikon funkcije f (x) Funkcija f (x) kontinuirano se diferencira intervalom (, π). U točkama x = ± π, postoji nekoliko točaka između (5): f () =, f (π) = π. Osim toga, postoji razlika između (6): f (+ h) f (+) lim = 1 í h + hf (π h) f (π +) lim = 1. h + h glatka funkcija. Ako je funkcija f (x) nesparena, tada je a n =. Poznato je da je učinak bn integriran po dijelovima: bn = 1 π f (x) sin πnxdx = 1 [x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1) n π + (1) n π] = 2 ( 1) n + 1. n Vrlo formalan niz Fur'ê funkcija 2 (1) n + 1 f (x) sin nx. n 9 cosnxdx] =

10 Prema teoremima o protoku, vrijednosti 2π-periodične funkcije glatke skupljanja, serija Fur funkcije f (x) spušta se na zbroj: 2 (1) n + 1 sin nx = nf (x) = x, kao π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Mala. 6. Graf funkcije f (x) bit će preklopljen na graf zbroja grafikona S2 (x) Sl. 7. Graf funkcije f (x) prekriven na novom grafu zbroja S 3 (x) 11

12 Mala. 8. Graf funkcije f (x) bit će superponiran na novi graf zbroja S 99 (x). Sigurno (8) x = π / 2. Todi 2 () + ... = π 2, ili = n = (1) n 2n + 1 = π 4. Lako smo znali zbroj Leibnizove obitelji. Poklavl u (8) x = π / 3, znamo () + ... = π 2 3, ili (1+ 1) () (k) 3π + ... = 3k

13 DODATAK 3. Mali graf, znamo niz Fur'ê funkcija f (x) = sin x, uz priznavanje da je period 2π, í 1 se izračunava kao zbroj niza brojeva 4n 2 1. Rješenje. Grafikon funkcije f (x) prikazan je na sl. 9. Očito, f (x) = sin x je neprekinuta uparena funkcija iz razdoblja π. Ale 2π je također period funkcije f (x). Mali. 9. Grafikon funkcije f (x) Izračunljiva učinkovitost Fur'ê. Usi b n = na činjenicu da je funkcija uparena. Okrunjen trigonometrijskim formulama, numeriran je an na n 1: an = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin (1 + n) x sin (1 n) x) dx = = 1 ( ) π cos (1 + n) x cos (1 n) x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 (4 1, kada je n = 2k, = π n 2 1, kada je n = 2k

14 Izračun nam ne dopušta da znamo koeficijent a 1, pa će se za n = 1 nazivnik vratiti na nulu. Za to se izračunava koeficijent a 1 bez sredine: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Dakle, kako se f (x) kontinuirano diferencira na (,) í (, π) í u točkama kπ, (k je broj), ako postoji točka između (5) i (6), tada je niz Fur' ê funkcije konvergiraju u točku kože: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x Sl. 1. Graf funkcije f (x) je superponiran na graf zbroja presjeka S (x) 14

15 Mala. 11. Graf funkcije f (x) preklopljen na novi graf zbroja presjeka S1 (x) Sl. 12. Grafikon funkcije f (x) bit će superponiran na novi graf zbroja grafikona S2 (x) Sl. 13. Graf funkcije f (x) prekriven na novom grafu zbroja dijagrama S 99 (x) 15

16 1 Izračunljiv zbroj brojevnog retka. Za cijeli 4n 2 1 zadovoljavajuće je (9) x =. Todi cosnx = 1 za sve n = 1, 2, ... i Otzhe, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. PRIMJENA 4. Vjerojatno, da je funkcija f (x) glatka i glatka bez prekida, zadovoljan sam s f (x π) = f (x) za sve x (pa je π -periodično), a 2n 1 = b 2n 1 = za sve n 1, i navpaki, ako je a 2n 1 = b 2n 1 = za sve n 1, tada je f (x) π-periodičan. Odluka. Neka je funkcija f (x) π-periodična. Izračunljiva njena učinkovitost Fur'ê a 2n 1 í b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f (x) cos (2n 1) xdx + f (x) cos (2n 1) xdx =) f (x ) cos (2n 1) xdx. Kod prvog integrala lako mogu zamijeniti promjenu x = t π: f (x) cos (2n 1) xdx = f (t π) cos (2n 1) (t + π) dt. 16

17 Klovn, cos (2n 1) (t + π) = cos (2n 1) t í f (t π) = f (t), možemo to vidjeti: a 2n 1 = 1 π (f (x) cos (2n 1) x dx +) f (x) cos (2n 1) x dx =. Slično, treba učiniti, b 2n 1 =. Nawpaki, neka je a 2n 1 = b 2n 1 =. Budući da je funkcija f (x) bez prekida, onda je, prema teoremu, manifestacija funkcije u točkama njenog niza F (x π) = f (x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n (x π) + b 2n sin 2n (x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f (x), što znači da je f (x) π-periodična funkcija. DODATAK 5. Možemo reći da je funkcija f (x) glatka i glatka, f (x) = f (x) za sve x, zatim a = í a 2n = b 2n = za sve n 1, í navpaki, kao a = a 2n = b 2n =, tada je f (x π) = f (x) sve x. Odluka. Neka je funkcija f (x) zadovoljna s f (xπ) = f (x). Brojni í̈ksí kofítsíênti Fur'ê: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f (x) cos nxdx + f (x) cosnxdx =) f (x) cosnxdx. Pri prvoj integraciji lako ću zamijeniti promjenu x = t π. Todi f (x) cosnxdx = f (t π) cosn (t π) dt. Grimizni tim, cos n (t π) = (1) n cosnt i f (t π) = f (t), možemo prihvatiti: an = 1 π ((1) n) f (t) cosnt dt =, ako n uparen = 2 π f (t) cos nt dt, kada je n nesparen. π Slično se radi, b 2n =. Nawpaki, neka je a = a 2n = b 2n =, za sve n 1 cos (2n 1) x + b 2n 1 sin (2n 1) x). osamnaest

19 Todi = f (x π) = = = f (x). DODATAK 6. Vivchimo yak pored i dalje biti integriran na jaz [, π / 2] pomoću funkcije f (x) na procjepu [, π], tako da je red Fur'ê mav viglyad: a 2n 1 cos ( 2n 1) x. (1) Odluka. Neka graf funkcije ma viglyada, koji lebdi na sl. 14. Oscilacije u redu (1) a = a 2n = b 2n = za sve n, tada je stražnjica 5 vyplyaê, ali funkcija f (x) je kriva za jednak paritet f (xπ) = f (x) za sve x. Postoji način da se poboljša funkcija f (x) između [, / 2]: f (x) = f (x + π), sl. 15. Osim toga, red (1) služi samo za osvetu kosinusa, raspoređen je, ali funkcija f (x) se nastavlja kao par (to jest, graf je simetričan osi Oy), riža

20 Mala. 14. Grafikon funkcije f (x) Mala. 15. Grafikon nastavljene funkcije f (x) za unaprijed [, / 2] 2

21 Otzhe, funkcija ma viglyada, vodstvo na sl. 16. Mala. 16. Graf nastavka funkcije f (x) za napredovanje [, π] [π / 2, π], graf funkcije f (x) je centralno simetričan točki (π / 2,), a intervalu [, π] graf je simetričan osi Oy. 21

22 REFERENTNE APLIKACIJE 3 6 Nekhai l>. Jasno dva uma: a) f (l x) = f (x); b) f (l + x) = f (x), x [, l / 2]. S geometrijskog stajališta točka (a) znači da je graf funkcije f (x) simetričan duž okomite ravne linije x = l / 2, a graf (b) da je graf f (x) centralno simetrično u odnosu na točku (l / 2;) na osi apscisa. Točno je sljedeće: 1) ako je funkcija f (x) uparena s Viconan Umov (a), tada je b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... =; 2) ako je funkcija f (x) u paru s Viconan Umov (b), tada je b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a = a 2 = a 4 = ... =; 3) ako je funkcija f (x) nesparena i Viconan Umov (a), tada je a = a 1 = a 2 = ... =, b 2 = b 4 = b 6 = ... =; 4) ako je funkcija f (x) nesparena i Viconan Umov (b), tada je a = a 1 = a 2 = ... =, b 1 = b 3 = b 5 = ... =. ZAVDANNA Za zadatke 1 7 obojite grafikone i upoznajte seriju Fur'ê za funkcije,< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 (1, jakšo / 2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Proširivanje funkcije zadane u intervalu [, π] samo iza sinusa ili samo iza kosinusa Funkcija f je navedena u intervalu [, π]. Proširit ćemo prostor u cijelom rasponu do Fur'ê reda, možemo nastaviti na f na istaknutosti [, π] s višim rangom, a istovremeno će biti brže s formulama Eiler Fur' ê. Svavilja kod napredne funkcije za proizvodnju prije, za jednu vrstu funkcije f: [, π] R možemo ukloniti broj Fur'ê. Alternativno, možete vikoristovuvat tse svavillya tako, samo obrežite širenje samo iza sinusa ili samo po kosinusima: prvi vipad ima dovoljno za promicanje f s nesparenim rangom, i to na drugačiji način za dečke. Algoritam rješenja 1. Nastavite funkciju s nesparenim (tip) rangom (,), a zatim periodično, svakih 2π, nastavite funkciju za cjelinu. 2. Izračunajte izvedbu Fur'ê. 3. Presavijte Fur niz funkcije f (x). 4. Revizijski umovi su niski. 5. Uvedite funkciju kojoj postoji cijeli red. DODATAK 7. Primijenjeno na funkciju f (x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Mala. 17. Grafikon nastavljene funkcije Očito je da je funkcija f (x) sramežljivo glatka. Brojno funkcionalan Fur'ê: a n = sve n u onoj mjeri u kojoj je funkcija f (x) nesparena. Ako je n 1, tada je bn = 2 π f (x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = 1 = 1 (1 ) n (1) n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, gdje je n = 2 k + 1, (1) n + 1 (n 1) + (n + 1) = π (n + 1) ( n 1) 2 2n, gdje je n = 2k. π n 2 1 Kada je n = 1, nazivnik se pretvara u nulu na prednjoj strani kalkulatora, pa se koeficijent b 1 izračunava bez prethodnih 25

26 spavanje: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Niz Fur'ê funkcija f (x) je sklopiv: f (x) 8 π k = 1 k 4k 2 1 sin 2kx. Ako je funkcija f (x) sramežljivo glatka, tada nakon teorema o krapkovu vrijednost Fur serije funkcije f (x) ide na sumi: cosx, gdje je π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Mala. Slika 18. Graf funkcije f (x) preklopljen na novi graf zbroja komada S1 (x) Sl. 19. Graf funkcije f (x) prekriven novim grafom zbroja S 2 (x) 27

28 Mala. 2. Graf funkcije f (x) bit će superponiran na graf presječnog zbroja S3 (x). 21 prikazani su grafovi funkcije f (x) i parcijalni zbrojevi S 99 (x). Mali. 21. Graf funkcije f (x) prekriven na novom grafu zbroja dijagrama S 99 (x) 28

29 DODATAK 8. Proširivo funkcijom f (x) = e ax, a>, x [, π], do niza Fur'ê samo u kosinusima. Odluka. Kontinuirano s funkcijom tipskog ranga (,) (tako da je paritet f (x) = f (x) prikazan svim x (, π)), to se periodično ponavlja s periodom od 2π, protežući Yong broj prema gore . Možemo prihvatiti funkciju f (x), graf takvih prikaza na Sl. 22. Funkcija f (x) u točkama Mal. 22. Graf nastavljene funkcije f (x) x = kπ, k je cijeli broj, kao i ulja. Brojno kofítsíênti Fur'ê: b n =, oskílki f (x) u paru. Integrirajte s dijelovima Mo 29

30 an = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd (e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f (x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e adx ax a (eaπ cos n π 1) n2 aa n. 2 Otzhe, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Oscilacije f (x) su bez prekida, tada, prema teoremu o strujanju, niz Fur konvergira u f (x). Također, svi x [, π] maêmo f (x) = 1 π a (eaπ 1) + 2a π k = 1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Riža pokazuje djelovanje približavanja parcijalnih zbroja broju Fur'ê danoj funkciji rezanja. 3

31 Mala. 23. Grafovi funkcija f (x) i S (x) Mal. 24. Grafovi funkcija f (x) i S1 (x) Mala. 25. Grafovi funkcija f (x) i S2 (x) Mala. 26. Grafovi funkcija f (x) i S 3 (x) 31

32 Mala. 27. Grafovi funkcija f (x) i S4 (x) Mal. 28. PREDSTAVLJENI grafovi funkcija f (x) i S 99 (x) 9. Funkciju f (x) = cos x, x π stavite u red Fur'ê samo u kosinusima. 1. Proširiti funkciju f (x) = e ax, a>, x π, na red Fur'ê samo iza sinusa. 11. Stavite funkciju f (x) = x 2, x π u red Fur'ê samo iza sinusa. 12. Odrediti funkciju f (x) = sin ax, x π, y niz Fur'ê samo u kosinusima. 13. Stavite funkciju f (x) = x sin x, x π u red Fur'ê samo iza sinusa. Vidpovidi 9.cosx = cosx. 1. e ax = 2 [1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k = 1 11. x 2 2 [π 2 (1) n 1 π n + 2] n 3 ((1) n 1) sin nx. 32

33 12. Ako a nije cijeli broj, sin ax = 1 cosaπ (1 + + 2a cos 2nx) + π a 2 (2n) 2 + 2a 1 + cosaπ cos (2n 1) x π a 2 (2n 1) 2 ; ako je a = 2m par broj, tada je sin 2mx = 8m cos (2n 1) x π (2m) 2 (2n 1) 2; ako je a = 2m 1 pozitivno nespareni broj, tada je sin (2m 1) x = 2 (cos 2nx) 1 + 2 (2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Serija Fury funkcije s određenim periodom Pretpostavimo da je funkcija f (x) postavljena u intervalu [l, l], l>. Nakon što smo izvršili zamjenu x = ly, y π, možemo izvesti funkciju g (y) = f (ly / π), što znači na intervalu π [, π]. Treća funkcija g (y) tvori (formalni) niz Fur'ê () ly f = g (y) a π 2 + (an cosny + bn sin ny), čija učinkovitost leži iza Euler Fur'ê formula : an = 1 π g (y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2, ..., 33

34 bn = 1 π g (y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2, .... π Za funkciju f (x), trigonometrijski niz može se lako promijeniti kako bi izgledao kao: de f (x) a 2 + an = 1 lbn = 1 lllll sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2, ..., ( 12) dx, n = 1, 2, . .. DODATAK 9. Poznat nam je niz Fur'ê funkcija, danih u intervalu (l, l) virazom (A, gdje je l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 llf (x) dx = 1 l A dx + 1 ll B dx = A + B, llan = 1 lllf (x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 ll A cos πnx l = A + B π nlbn = 1 l dx + 1 ll B cos πnx l sin πn =, gdje je n, ll A sin πnx lf (x) sin πnx l dx + 1 ll dx = B sin πnx l = BA (1 cosπn). πn Serija Fur funkcije f (x) je sklopiva: f (x) A + B π (B A Skala cosπn = (1) n, zatim n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l za n = 2k je zamislivo b n = b 2k =, za n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2 (BA) π (2k 1).

36 Zvijezda f (x) A + B (BA)? jakšo l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Mala. 29. Grafikon funkcije f (x) sa superponiranim na novim grafovima harmonika S (x) = a 2 i S 1 (x) = b 1 sinx. Za specifičnost grafa tri druga harmonika S 3 (x) = b 3 sin 3πx, S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l i S 7 (x) = b 7 sin 7πx potisak okomito uzbrdo l 37

38 Mala. 3. Grafikon funkcije f (x) je superponiran na novi graf zbroja komada S 99 (x) Sl. 31. Ulomak sl. 3 na skali 38

39 DEFINITIVNO U problemima prostora u nizu Fur'ê, funkcije su dodijeljene zadanom međuproduktu. 14.f (x) = x 1, (1, 1). 15.f (x) = ch2x, (2, 2] f (x) = x (1 x), (1, 1). 17.f (x) = cos π x, [1, 1] f (x ) = sin π x, (1, 1). (2 1, gdje je 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18.f (x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f (x) = α 2) l b) f (x) = 4al (1) n 1 (2n 1 ) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23.a) f (x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x ... b) f ( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π) + 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Kompleksni oblik na niz Fur'ê Distribucija f (x) = cne inx, de cn = 1 2π f (x) e inx dx, n = ± 1, ± 2, ..., nazvat ćemo složeni oblik Fur'ê serije. Funkcija presavijanja u složeni red Fur'ê s vizijom tihih umova, zbog čega se mogu smjestiti u govorni red Fur'ê. 4

41 DODATAK 1. Poznat nam je Fur niz složenog oblika funkcije zadan formulom f (x) = e ax, y između [, π), de govorni broj. Odluka. Izvedba koja se može mjeriti: = c n = 1 2π f (x) e inx dx = 1 2π e (a in) x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1) n sh aπ. 2π (a in) π (a in) Složeni Fur niz funkcije f stroja f (x) sh aπ n = (1) n a in einx. Ponovno razmatranje, pa je funkcija f (x) kvrgavo glatka: u intervalu (, π) je beskonačno diferencirana, au točkama x = ± π nalaze se točke između (5), (6) lim h + ea (+ h) = e aπ, lim h + ea (π h) = e aπ, ea (+ h) ea (+) lim h + h = ae aπ ea (π h) ea (π), lim h + h = ae aπ. Također, funkcija f (x) je predstavljena redoslijedom Fur'ê sh aπ π n = (1) n a u einx, što treba ići na sumi: (e S (x) = ax, gdje je π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 DODATAK 11. Poznajemo niz Fur za složeni i govorni oblik funkcije zadanu formulom f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, de a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Nagadaêmo, vrećica beskrajnog geometrijskog napretka sa standardnim q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Sada poznajemo brojne Fur'ê u govornim oblicima. Za veliku grupu dopuna s brojevima n i n za n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Oskilki c = 1, tada je 2 = 2a n cos nx. f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Niz Fur'ê kod govornog oblika funkcije f (x). Ovaj rang, ne računajući ekonomski integral, poznavali smo nisku funkciju Fur'ê. Kada smo virahuvali, postoji važan integral, koji se može naći u parametru cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a (zz 1) f (x) = 2i (1 a (zz 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1) z 2 2 (za) (za 1) = = i 2 + i () a 2 za + a 1. za 1 Dermalni iz jednostavni razlomci mogu se rastaviti prema formuli geometrijskog progresa: + aza = a 1 z 1 a = aanzzn, n = za 1 za = az = anz n. n = Potpuno, fragmenti az = a / z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, abo, kraće, c n = 1 2i a n sgnn. Tim sam, poznat je broj Fur'ê u složenom obliku. Grupirajući dodatke s brojevima n i n, možemo izvesti niz Fur'ê funkcija u govornom obliku: = f (x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 = sin nx. Znam u daljini virahuvati napadni sklopivi integral: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 ZAVDANNYA 24. Vikoristovuchi (15), izračunaj integral cos nxdx 1 2a cosx + a 2 za govore a, a> Vikoristovuchi (16), izračunaj integral sin x sin nxdx za govore a, a> a cosx + a2 U problemima Fur'ê u složenim oblicima za funkcije. 26.f (x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Teorem o jednakosti Ljapunova (jednakost Ljapunova). Neka je funkcija f: [, π] R takva da je f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f (x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Prema tome, Ljapunovljeva ekvivalentnost za funkciju f (x) nabubri za oko: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Preostala ekvivalencija za a π je poznata sin 2 na n 2 = a (π a) 2 Vazayuchi a = π 2, možemo uzeti sin2 na = 1 za n = 2k 1 i sin 2 na = za n = 2k. Otzhe, k = 1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. DODATAK 14. Napišimo Ljapunovljevu jednakost za funkciju f (x) = x cosx, x [, π], í znamo dodatni zbroj brojevni niz (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4.1 π Rješenje. Izravni izračun daje = ππ f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Oskilki f (x) je uparena funkcija, tada je za sve n maêmo bn =, an = 2 π = 1 π 1 = π (n + 1) = f (x) cosnxdx = 2 π 1 cos (n + 1) x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos (n + 1) x + cos (n 1) x) dx = 1 π sin (n + 1) xdx sin (n 1) xdx = π (n 1 ) π π 1 + cos (n 1) x = π (n 1) 2 1 (= (1) (n + 1) 1) 1 (+ (1) (n + 1) 1) = π (n + 1 ) 2 π (n 1) 2 () = (1) (n + 1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1) (n + 1) 1 nk π ( n 2 1) = π (4k 2 1) 2 ako je n = 2k, 2, ako je n = 2k + 1. Vrijednost a 1 treba brojati okremo, fragmenti u formuli izvan kutije za n = 1, nazivnik razlomka se pretvara u nulu. = 1 π a 1 = 2 π f (x) cosxdx = 2 π x (1 + cos 2x) dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Dakle, Ljapunovljev paritet za funkciju f (x) ma viglyad: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π PREZENTACIJA 32. Napišite Ljapunovljevu ekvivalentnost za funkcija (xf (x) = 2 πx, gdje je x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Odgovori + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2.1 π 35. f (x) g (x) dx = cndn, de cn funkcija f (x) i dn Funkcionalna funkcija g (x) . 6. Diferencijacija serije Fur'ê Nekhai f: R R kontinuirano diferencirana 2π-periodična funkcija. Njegov niz Fur'ê ma viglyad: f (x) = a 2 + (n cos nx + b n sin nx). Slično f (x), središnja funkcija bit će isprekidana 2π-periodična funkcija, za koju se može napisati formalni niz Fur'ê: f (x) a 2 + (an cos nx + bn sin nx), de a , an, bn, n = 1, 2, ... funkcionalnost Fur'ê funkcija f (x). 51

52 Teorem (proširena diferencijacija serije Fur). U slučaju raspadanja, istina je da je a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. PRIMJENA 15. Nemojte biti sramežljivo-glatka funkcija f (x) bez prekida u intervalu [, π]. Očigledno, možemo reći da je f (x) dx = malo loše ponašanje 2 dx 2 dx, zbog Steklovove nesposobnosti i ponovnog povezivanja, tako da će nove funkcije izgubiti funkciju f (x) tipa f (x) Drugim riječima, Steklova nesposobnost, recimo, kada vidite da postoje tri jednostavne funkcije (u srednjem kvadratu), postoje tri funkcije (u srednjem kvadratu). Odluka. Podržano funkcijom f (x) do intervala [,] od strane tipskog ranga. Značajno prošireno samom funkcijom simbolom f (x). Funkcija će se nastaviti bez prekida i bit će glatka i glatka na putu [, π]. Dakle, kako je funkcija f (x) bez prekida, tada je f 2 (x) bez prekida za vrijeme trajanja i 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Oskílki funkcija para se nastavlja, zatim b n =, a = iza sudopera. Otzhe, paritet Lyapunov nabuvê na oko 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Ponovno razmatranje, da se f (x) pridržava teorema o diferencijaciji niza Fur'ê, tako da je a =, an = nb n, bn = na n, n 1. Ne želim f (x) biti loš u točkama x 1, x 2, ..., x N u intervalu [, π]. Neka je x = x N + 1 = π. Razvojem integracije [, π] na intervalu N + 1 (x, x 1), ..., (x N, x N + 1), stanje kože f (x) je savršeno diferencirano. Todi, opasna moć aditivnosti integrala, ali i integrirajućih dijelova, je prepoznatljiva: bn = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1π j = xj + 1 xjx j + 1 xjnn π N j = xj + 1 xjx j + 1 xjf (x) sin nxdx = f (x) cosnxdx = f (x) cosnxdx = = 1 π [(f (x (x) 1) sin nx 1 f (x) sin nx) + + (f ( x 2) sinnx 2 f (x 1) sin nx 1)

54 + (f (x N + 1) sin nx N + 1 f (x N) sin nx N)] n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j + 1 a = 1 f (x) dx = 1 N f (x) dx = π π j = xj = 1 N x j + 1 f (x) π = 1 (f (π) f ()) = .. . x j π j = Ostaju jednaki jedni drugima kroz one u kojima je funkcija f (x) promaknuta muškim rangom, te stoga f (π) = f (). Slično, možemo prepoznati an = nbn. Pokazali smo da je teorem proširene diferencijacije serije Fur'ê za neprekinutu glatku 2π-periodičnu funkciju, sličnu onoj za intermedijer [, π], arogantan u prvoj vrsti, vyrna. Iz istog f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) = (na n) sin nx, fragmenti a =, an = nb n =, bn = na n, n = 1, 2, ... 2 dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Dakle, kao dermalni pojam u nizu (18), više-manje je sličan pojam nizu (17), zatim 2 dx 2 dx. Nagađanje, scho f (x) ê dečkima u naprednim funkcijama, maêmo 2 dx 2 dx. Da donesem Steklovu paritetu. Danas postoji mnogo funkcija u Steklovovim nepravilnostima. Ako želite za jedan n 2 učinkovitost a n kao rezultat nula, onda je 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 POTPUNOST 37. Ne budi sramežljiva funkcija f (x) je neprekidna u intervalu [, π]. Obavijestite da, kada ste pobjednici, morate f () = f (π) = postoji mala greška 2 dx 2 dx, kako se to još naziva i Steklovom nesposobnošću, i prijeći preko, ali to jednostavno ne smeta f (x) . .. 38. Neka je funkcija f bez prekida u intervalu [, π] i u novom (za vinjetu beskonačnog broja točaka) ići ću f (x), tako da se integrira s kvadratom. Da informiramo, ako u određenoj viziji mislite da je f () = f (π) í f (x) dx =, tada postoji mala inertnost 2 dx 2 dx, kako se naziva Wirtingerova nesposobnost, a funkcija je u određeni oblik f x) = A cosx + B sin x. 56

57 7. Stagnacija redova Fur'ê na pojavu diferencijalnih rasa među privatnim pokojnicima Kada oživljavanje stvarnog objekta (manifestacija prirode, virusni proces, kontrolni sustav je pretanak.) korak do razvoja. matematički aparat. U fazi znanstvenih studija takvo se koplje ljuljalo: fizički model je matematički model. Fizička formulacija (model) polja u ofenzivi je: pojavljuje se i razvija proces tog faktora glave, koji se prelijeva na novi. Matematička formulacija (model) polja u inventaru fizičke formulacije čimbenika i umova u pogledu sustava i jednakih (algebarski, diferencijalni, integralni itd.). Šef države naziva se ispravna postavka, kao u pjevačkom funkcionalnom prostoru rješavanja zadaća mišljenja, jedno i jedino i bez prekida ležati na klipu i graničnoj pameti. Matematički model nije samo isti objekt za promatranje, već ćemo mu pristupiti opisom. Viznok pivnyannya vilnykh malikh poprečne žice. Žice neka budu učvršćene, a sama struna zategnuta. Ako umetnete žicu s položaja ravne linije (na primjer, izvucite je ili povucite uzduž), vjerojatnije je da će struna biti 57

58 vagatisya. Istodobno, sve točke strune kolabiraju okomito na položaj ravnove (poprečne veze), štoviše, u trenutku kože, struna leži u jednom te istom području. Postoji pravokutni koordinatni sustav xou. Todi, ako je u trenutku kob u satu t = struna urasla u os Oxa, tada u znači otpuštanje strune iz položaja ravne, tako da položaj točke strune iz apscisa x u završnom trenutku sata t funkcije, tíê vrijednost Uz fiksnu vrijednost t, graf funkcije u (x, t) predstavlja oblik niza koji se može vrtjeti u trenutku t (slika 32). Uz konstantnu vrijednost x, funkcija u (x, t) daje zakon do točke apscise x, pravac je ravna, paralelna s osi Ou, t se gubi, a druga se gubi 2 u 2 se ubrzava . Mali. 32. Sila, primijenjena na neograničeno mali broj nizova Skladište dovoljna da zadovolji funkciju u (x, t). Za cijelu hrpu brutalnih posipanja neka oproste. Žica je apsolutno čvrsta - 58

59 Coy, pa vvazhatimo, zasto ne bi strunu zavila viginu; tse znači, scho opruge, scho namiguje na žice, uvijek ispravljene u skladu s točno istim profilom njezinih rukavica. Žica se prenosi oprugom i Hookeovim zakonom; tse znači da je promjena veličine uvučena proporcionalno zmiji strune. Prihvatljivo, jednostruki niz; tse znači, íí̈íí̈ linea gustina ρ postíyna. Snage buđenja su nezdrave. Tse označava kako ga možemo vidjeti. Mi vivchatimo najam žice su male. Označimo li s ϕ (x, t) rez između apscise i isprekidane linije u točki apscise x u trenutku t, tada je um djetetovog polja u tome, s vrijednošću ϕ 2 (x , t) moguće je ne lako (povremeno x, t), tako da je ϕ 2. Budući da je kut ϕ malij, onda cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tan ϕ í također može biti vrijednost (uxx,) 2 izostavljeno. Zvuči odjednom viplivay, ali u procesu pjevanja, možete zehtuvati zmijom čak i ako ste delinker od žica. Zapravo, malo niza M 1 M 2 treba dizajnirati u apscisnoj osi, de x 2 = x 1 + x, cesta l = x 2 x () 2 u dx x. x Pokazat će se da će za naše dodatke vrijednost sile zatezanja T biti stalna napetost strune. U isto vrijeme, po prvi put želim dilyanka žice M 1 M 2 (Sl. 32) u vrijeme sata t i umjesto sudjelovanja - 59

60 kv vučnim silama T 1 i T 2. Oscilacije za odvod svih točaka strune kolapsiraju paralelno s osi Ou i vanjske sile, tada je zbroj projekcije vučnih sila na osovinu Ox odgovoran za nulu: T 1 cosϕ (2 x 1, t) + (x 2, t) =. Počinje kroz mali broj kutiv ϕ 1 = ϕ (x 1, t) í ϕ 2 = ϕ (x 2, t) strukture, ali T 1 = T 2. Značajno je da je početna vrijednost T 1 = T 2 kroz T. Sada zbroj projekcija F u qix sila na osovinu Ou: F u = T sin ϕ (x 2, t) T sin ϕ (x 1, t). (2) Oskílki za mali kutív sin ϕ (x, t) tg? T (tan ϕ (x 2, t) tan ϕ (x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) xx T 2 ux 2 (x 1, t) x ... Ako je točka x 1 obrnuta, tada je F u T 2 u x2 (x, t) x. Osim toga, budući da je poznato da sve sile idu na M 1 M 2, postoji još jedan Newtonov zakon, što znači da postoji potreba za brzim opskrbom svih sila dana. Masa strune je M 1 M 2 za cestu m = ρ l ρ x, a za ubrzanu je 2 u (x, t). Ekvivalentno Newtonovom t 2 s gledišta: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2 (x, t) x, de α 2 = T ρ je trajno pozitivan broj. 6

61 Speedy na x, možemo definirati mo 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2 (x, t). (21) Kao rezultat toga, prikazali smo linearne razlike između privatnih, različitih reda veličine, sa zastarjelim performansama. Yogo poziva chi žice na istu vrstu kao iste. Rivnyannya (21) preformulira Newtonov zakon i opisuje kolaps strune. Ale na fizičkom uprizorenju boule vimogi o onim žicama koje se pričvršćuju i žice se stavljaju u sljedećih sat vremena. Ekvivalentno, zapišite to ovako: a) važno je da su krajevi žica fiksirani u točkama x = í x = l, tako da je važno, za sve t visonana izvedbe u (, t) =, u (l, t) =, u (l, (22) b) svjesno, u trenutku t = pozicija niza postavljena je ispod grafa funkcije f (x), tako da je, za sve x [, l], ekvivalentnost u (x,) = f (x); (23) c) Pa, u vrijeme sata t = točka niza od apscise x, zadana je brzina g (x), pa je također, u (x,) = g (x). (24) t Spívdnoshennya (22) se nazivaju granični umovi, a spívídnoshennya (23) i (24) se nazivaju umovima klipa. Matematički model poprečnog vilnyh malikh 61

62 nizanje struna u činjenici da je potrebno napraviti niz struna (21) s rubnim umivaonicima (22) i umivaonicima klipa (23) i (24) Odluka vilnog malog poprečnog nizanja struna metodom Fur' 'Roving po regiji (21) xl,< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >... U skladu s (25) (21), možemo prepoznati: X T = α 2 X T, (26) ili T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x). (27) Čini se da su zli postali. Dakle, ako x í t ne leži na jedan način od jedan, tada lijevi dio (27) ne leži oko x, ali desni oko t i povratna vrijednost cich je oko 62

63 može biti naknadno postavljeno, što ima značenje kroz λ: T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x) = λ. Prepoznat ćemo dva specifična diferencijalna ekvivalenta: X (x) λx (x) =, (28) T (t) α 2 λt (t) =. (29) Za veliku granicu razmislite (22) da vidite X () T (t) = í X (l) T (t) =. Oskílka smrad se može vidjeti sve t, t>, zatim X () = X (l) =. (3) Znamo odluku rivnyannya (28), jer bi se svidjela graničnim umovima (3). Vidljiva su tri pogleda. Vipadoc 1:>. Neka je λ = β 2. Ekvivalentno (28) izgledu X (x) β 2 X (x) =. Yogo karakteristika jednaka k 2 β 2 = korijen k = ± β. Otzhe, glava rješenja (28) ma viglyad X (x) = C e βx + De βx. Ako ste krivi što ste pogriješili, onda C i D tako da je granični odvod (3) uhvaćen, tako da je X () = C + D =, X (l) = C e βl + De βl =. Oskílki β, tsya sustav rívnyan maê êdine otopine C = D =. Otzhe, X (x) ta 63

64 u (x, t). Sam Tim, na vipadku 1 mi, donio je trivijalnu odluku, koliko se to nije moglo razaznati. Tip 2: λ =. Todi rívnyannya (28) nabuvaê u pogledu X (x) = í-to rješenje, očito, dano je formulom: X (x) = C x + d. Dajemo rješenje na graničnom sudoperu (3), možemo ga očitati X () = D = í X (l) = Cl =, također, C = D =. Iz istog vremena, X (x) i u (x, t), a mi smo već odbacili trivijalno rješenje. Vipadoc 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 Nadal navatimo n samo pozitivne vrijednosti n = 1, 2, ..., fragmenti s negativnim n bit će odluka o tome (nπ) Vrijednosti λ n = nazivaju se apsolutni brojevi, a funkcije X n (x) = C n sin πnx s najmoćnijim funkcijama diferencijalne jednadžbe (28) s regionalnim umovima (3). Sada je slabo povezan (29). Za novu karakteristiku ma viglyad k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Oskílki vishche mi s'yasuvali, ali netrivijalna rješenja X (x) ívnyannya (28) ê ako je za negativan λ, jednak λ = n2 π 2, tada isti λ mi i vidljiv daleko. Korijen pravca (32) ê k = ± iα λ, a rješenje pravca (29) može izgledati ovako: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) ll de A n í B n su dosljedniji. Predstavljamo formule (31) i (33) u (25), znamo privatnu odluku rivnyannya (21), ali zadovoljni smo regionalnim umovima (22): πnx. lll Umetni množitelj C n na pramcu í umetni vrijednost C n A n = bn i B n C n = an, napiši un (X, T) na gledatelju (un (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt ) sin πnx. (34) l l l 65

66 Strune jigs, koje pokazuju rješenja u n (x, t), nazivamo power string jigs. Oskilki rívnyannya (21) i granična pobjeda (22) líníyní i jednosmjerna, zatim líníyna kombinacija rješenja (34) (u (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt) sin πnx (35) lll dana ), što je zadovoljavajuće za granične umove (22) s posebnom vibracijom izvedbe an i bn, koja će osigurati jednaku sigurnost broja. Danas je učinkovitost rješenja an i bn (35) toliko dobra da nije samo granična linija, već i klip (23) da (24), de f (x), g (x) dobiva funkciju (gdje f () = f (l) = g () = g (l) =). Impresivno, funkcije f (x) i g (x) će zadovoljiti umove distribucije na nisku Fur'ê. S obzirom na (35) vrijednost t =, možemo uzeti u (x,) = a n sin πnx l = f (x). Razlikujući niz (35) u t i predstavljajući t =, možemo ga učiniti ut (x,) = πnα bn sin πnx ll = g (x), a funkcije širenja f (x) i g (x) na Fur' ê lave. Također, a n = 2 l f (x) sin πnx l dx, b n = 2 l g (x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 Možemo ponuditi razne opcije za funkcionalnosti an i bn do broja (35), prihvaćamo rješenje rivnyannya (21), kao i za granične umove (22) i cob umove (23) i ( 24). Tim smo se i sami obvezali na male križne žice. Postoji fizička promjena u funkcijama snage u n (x, t) problema s nizanjem nizova, kao što je dano formulom (34). Prepisivo njeno na viglyadí de n (x, t) = n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctan b n. l a n Iz formule (37) se vidi da sve točke niza idu skladno s jednom te istom frekvencijom ω n = πnα i fazom πnα δ n. Amplituda strune koja leži od l l apscisa x točke niza í ceste α n sin πnx. S takvim brojem sve točke niza odmah postižu maksimalnu vidljivost u tom smjeru i jedan sat prolaze položaj linije. Ove kolyvannya se nazivaju stajaćim pohvalama. Stojeći za mate n + 1 nedestruktivnu točku, kako pitati korijene rivnyannya sin πnx = u intervalu [, l]. Nepokorne točke zovu se vuze stajaćih khvilija. U sredini čvorova rastu točke, u kojima pogledi dostižu maksimum; takve točke nazivaju se antičvorovi. Kožna žica se može koristiti za striktno pjevanje frekvencija n = πnα, n = 1, 2, .... a frekvencije se nazivaju frekvencijama snage žice. Najniži l ton, koji se može vidjeti kao žica, počinje od 67

68 frekvencija niske snage 1 = π T í naziva se osnovnim tonom žice. Drugi tonovi, koji odgovaraju l ρ frekvencijama n, n = 2, 3, ..., nazivaju se prizvuci ili harmonici. Za specifičnost vrste žica, vrstu glavnog tona (slika 33), prvog prizvuka (sl. 34) i drugog prizvuka (slika 35). Mali. 33. Profil žice, koji izgleda kao glavni ton Mal. 34. Profil žice, koji izgleda kao prvi prizvuk. 35. Profil žice, koji izgleda kao drugačiji prizvuk.Kako struna ide, počinje s umovima klipa, pojavljuje se funkcija u (x, t), kao što se može vidjeti iz formula (35), u oči sumy ima neke harmonike. Takav čin dovoljan je za koloniju 68

69 žica je superpozicija stajaćih udica. Istodobno, karakter zvuka žice (ton, jačina zvuka, timbar) leži u obliku sp_vdnoshennya između amplituda harmonika. Jačina, visina i tembar zvuka. Snagu zvuka karakterizira energija zvuka. Zvuk zvuka počinje s frekvencijom chi perioda: ako je frekvencija viša, onda je zvuk viši. Timbar zvuka počinje se očitovati u prizvucima, energija se diže iza harmonika, tako da na način zvučanja tona. Amplitude prizvuka su, očito, manje od amplitude glavnog tona, a faze prizvuka mogu biti prilično značajne. Naš Vuho nije osjetljiv na Phasie Kolivan. Usporedite, na primjer, dvije krivulje na sl. 36, osumnjičenog od strane z. Tse snimaju zvuk s vrlo osnovnim tonom, upletenim iz klarineta (a) i klavira (b). Uvredljivi zvukovi nisu jednostavni sinusoidni zvukovi. Osnovna frekvencija zvuka u obje vrste je ista, a isti je i ton. Malo krivulja na činjenicu da se prizvuci primjenjuju na glavni ton. U pjevačkom smislu bebe, pokažite isti tembar. 69

Ekvivalentno hiperboličkom tipu. Kolona nesputanih i nedovršenih žica. Krzna metoda Krzna metoda Stojeći čvili 4 Predavanja 4.1. Ekvivalentno hiperboličkom tipu. Kolekcija nije beskonačna i tako dalje.

MOSKVSKO DRŽAVNO TEHNIČKO SVEUČILIŠTE CIVILNOG AVIATSIN V.M. Lyubimov, Ê.A. Žukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Šurinov M A T E M A T Í K A R A D I POSIBNIK

MINISTARSTVO RUSKOG FEDERALNOG Državnog proračuna Obrazovanje Ustanova za stručno obrazovanje MATI Rusko državno tehnološko sveučilište nazvano K.E. Tsiolkovsky

Ministarstvo obrazovanja Republike Bilorus EE "Vitebsko državno tehnološko sveučilište" Tema. "Redovi" Zavod za teorijsku i primijenjenu matematiku. razbio izv. prof. Ê.B. Duninoyu. Glavni

Federalna agencija za obrazovanje Federalna državna agencija za uspostavu stručnog obrazovanja FEDERALNO SVEUČILIŠTE PIVDENNY R. M. Gavrilova, G. S. Kostetska Metodički

Tema Riadi Fur'ê Praktično korištenje Riadi Fur'ê iza ortogonalnih sustava funkcija

TEORIJA DOMETA Teorija serija je najvažnija skladišna matematička analiza i poznavanje teoretskih i numeričkih praktičnih izvještaja. Razr_znyayut niz brojeva i funkcija.

ZMIST RED FUR'Ê 4 Razumijevanje periodične funkcije 4 Trigonometrijsko polje 6 3 Ortogonalni sustavi funkcija 4 Trigonometrijski niz Fur'ê 3 5 Red Fur'ê za dječake i nesparene funkcije 6 6 Izgled

Federalna agencija za obrazovanje Moskovsko državno sveučilište za geodeziju i kartografiju (MÍIGAIK)

Predavanje 4. Analiza harmonije. Niz Fur'ê periodičnih funkcija. Analiza harmonije

TEMA V RED FUR'Ê PREDAVANJE 6 Postavljanje periodičnih funkcija u nizu Fur'ê Bagato procesa koji se događaju u prirodi i tehnologiji, može se ponavljati kroz pjevanje sat vremena Takvi procesi

METODOLOŠKI VKAZIVKI PRIJE ROZRAKHUNKOVIKH ZAVDANA NA TEČAJU VISCHO MATEMATIKE "ZVICHAYNI RIVNYANNYA RIVNYANNYA RANGE Podviyni INTEGRALI" DIO SH TEMA RED

6 redova Fur'ê 6 Ortogonalni sustavi funkcija Niz Fur'ê u ortogonalnim sustavima funkcija Funkcije ϕ () i ψ (), vrijednosti i integracija na vrhu [,], nazivaju se u cjelini ortogonalnim

INTEGRAL VRIJEDNOSTI. Integral sumi singularnog integrala Nehai dobiva funkciju y = f (), dodijeljenu obliku [, b], de< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Redovi 5 koraka Redovi 5 koraka: vrijednost, područje razlike Funkcionalni red oblika (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) de, a, a, K , a, k deyaki brojevima, nazovite državnu seriju Brojevi

SVEUČILIŠTE BILORUSKIY DERŽAVNIY FAKULTET PRIMIJENJENE MATEMATIKE I INFORMATIKE

Stavite deyaki na to. guzicom. Znamo zbroj beskrajnog geometrijskog napretka.Formula izraza žara je a + aq + ... + aq n + ... (a). a n = aq n. Brojni dijelovi sumija. Ako je q =, onda

Zavdannya 1.1. Da bi se saznalo iz navedenog područja odluka iz iste nule je odluka y = y (x) diferencijalne jednadžbe, koja je zadovoljna zadatkom regionalnih umova (upravitelj Sturm-Livilya).

Matematička analiza Tema: Pjevanje integrala Nevlasny Integrali Predavač Pakhomova Ê.G. 2017. str. ROZDIL II. Pjevački integral te jogo dodatke 1. Pjevački integral te jogo snage 1. Glava,

Predavanje 8 4 Glava Sturm-Livilya Moguće je razumjeti problem kob-ruba za diferencijalnu jednakost kod privatnih starijih različitog reda, kada se opisuje mali poprečni niz struna.

Objašnjeno u tekstu: znak se čita yak "pravedno" i znači, da je kod rivljana dešnjak iz znaka a zlo je od znaka bezlich odgovor, znak IR znači bezlich govorni brojevi, znak IN

82 4. Rozdil 4. Funkcionalni i državni red 4.2. Zauzet 3 4.2. Zauzet 3 4.2 .. Stavljanje funkcije u Taylorov niz VRIJEDNOST 4.2 .. Ne znam da je funkcija y = f (x) neograničeno diferencirana na periferiji

MINOBRNAUKI ROSIN FEDERALNA DERZHAVNA BUDGETNA OSVITALNAYA INSTANOVA VISCHOÍ̈ PROCJENA PROFESSIONO "SAMARSKY DERZHAVNIY TECHNICAL

Federalna agencija za željeznički promet Ural State University of Nobles s Odjelom za primijenjenu matematiku

Predavanje 3. Taylor i Maclaurin redovi Stagnacija državnih redova Raspored funkcija u državnim redovima redova Taylor i Maclaurin

S A Lavrenchenko wwwwrckoru Predavanje Revizija Fur'ê Razumijevanje integralne rekonstrukcije Metoda Integralne revizije jedna je od napornih metoda u matematičkoj fizici ê nasilnom revizijom

Integracija funkcije (za Rimana) isti integral Primijeniti rješenje zadataka 1. Funkcija f (x) = C je integrirana na, kao i za bilo koju vrstu promjene ili vibracije točaka ξ i integral

Tečaj 1. godine. Izvršiti Riman funkciju, koja je 0, m m R (), što je m, m 0 i ostale nekratke, 0, što je iracionalno, razrivno u koži racionalne točke i bez prekida u koži iritacije. Odluka.

1 2 Zm_st 1 Redovi Fur'ê 5 1.1 Trigonometrijski niz Fur'ê ............ 5 1.2 Tilki sin & cos ................. .... 7 1.3 Serija krzna u složenom obliku 11 1.4 f (x) = ck? .......................

RÍVNÂNNÂ MATEMATIČKA FIZIKA 1. Diferencijalni odnosi s privatnom djecom.

Predavanje 4. Hvilyovi rivnyannya 1. Vivedennya pivnyannya žice 2. Rivnyannya kasnije šišanje kolivana 3. Slušalice, naplatci 4. Izjava o problemima 1. Dobitne žice za rivnyannya

1. Elektrostatika 1 1. Elektrostatika Lekcija 6 Razvoj promjena kartezijanskih koordinata 1.1. (Tvornička postavka 1.49) Područje z = nabijeno od jačine σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), de σ, α, β post_yni.

Tema modula Funkcionalni završeci i nizovi Snaga jednake važnosti i nizovi

Ekvivalentno paraboličnom tipu. Metoda za promjenu istog teritorija Jedna regija zemlje Funkcije uređaja Ne jedna za isti tip provođenja topline 7 Predavanja 7.1 Ekvivalent za parabolički tip. Podil metoda

Predavanje Brojevi nizovi Znakovi vrijednosti Brojevi nizovi Znakovi vrijednosti Brojni nizovi Znakovi vrijednosti Numerički niz + + + +, dodaci od neograničenih članova, koji se nazivaju nizovi brojeva Brojevi,

35 7 Trigonometrijski niz Fur'ê Redovi Fur'ê za periodične funkcije s periodom T.

Metalurški fakultet Katedra za visoku matematiku RANGE Metodičke upute Novokuznetsk 5 Federalna agencija za obrazovanje

Odjel za matematiku i informatiku Element sve matematike Početno-metodički kompleks za učenike srednjeg strukovnog obrazovanja koji počinju učiti iz daljinskih tehnologija.

9. Prije svega integral bez vrijednosti 9 .. Neka funkcija f () bude postavljena na interval I R. Funkcija F () naziva se primarnom funkcijom f () za interval I, kao F () = f () za bilo koje I, to je primarna

DIFERENCIJALNE FUNKCIJE JEDNE ZIMA Razumijevanje jednostavnog, geometrijskog i fizičkog smisla Zavdannya, stvoriti prije razumijevanja primitivnog Oznaka Stosovo S na liniji y f (x) u točki A x; f (

Ekvivalentno hiperboličkom tipu. Kolona nesputanih i nedovršenih žica. D'Alembertova metoda Žica bez mirisa. D'Alembertova formula Nelinearni niz 3 Predavanje 3.1. Ekvivalentno hiperboličkom tipu.

Zmíst Vstup. Osnovno razumijevanje .... 4 1. Integralna obitelj Volterri ... 5 Varijante kućanstva ... 8 2. Rezolucija Integralne obitelji Volterri. 10 Mogućnosti za kućanstvo ... 11

DOPSEK. Redovi brojeva. Glavna vrijednost Nehai je dana neograničenom broju Virazovih brojeva (neograničen zbroj) a, a 2, ..., an, ... ai = a + a 2 + + an + ... () i = be naziva se brojevnim nizom. Brojevi

8. Redovi koraka 8 .. Funkcionalni niz oblika cn (z) n, (8.) n = de cn je numerički niz, R je fiksni broj, a z R se zove red stanja s parametrima c n . Viconavi mijenja pobjednike

~ ~ Nevažni i nevažni integrali Razumijevanje primordijalnog i nedodijeljenog integrala. Oznaka: Funkcija F se zove prvi red u odnosu na funkciju f, kao i funkciju pričvršćivanja

3724 REDOVI CRATNI Í KRIVOLINIINI INTEGRALA 1 ROBOCH PROGRAM ROSDILIVA "REDOVI CRATNI Í CRYVOLINIINI INTEGRALA" 11 Redovi brojeva Razumjeti niz brojeva Moć brojeva

JESTI. RUDIJ MATEMATIČKA ANALIZA. BROJEVI I FUNKCIONALNI REDOVI NOVOSIBIRSK 200 2 MINOBRNAUKI ROSIN GOU VPO "NOVOSIBIRSKY DERZHAVNIY PEDAGOGICHNY UNIVERSITY" O.M. Rudiy MATEMATIČKA ANALIZA.

PREDAVANJE N 7. Taylorov red i Taylorov red ... Taylorov red ... Taylorov red ...

TRG RIVNIANNYA Zmist TRG RIVNIANNYA ... 4. taj zadnji trg rivnyan ... 4 ..

ROSDIL ZAVDANNA S PARAMETRIMA Komentari Uprava s parametrima tradicionalno je sklopivi objekti na strukturama EDI-a, tako da možete koristiti sve metode i metode rješavanja djece.

Diferencijalni proračun Uvedeno u matematičku analizu Intersekcijske funkcije. Rozkritta nevrijednosti na granicama. Funkcije su slične. Pravila diferencijacije. Zasosuvannya obhídnoí̈

Niz Fur'ê ortogonalnih sustava funkcija Sa stajališta algebre, ekvivalencija de-funkcija dane klase a - performansi R ali C jednostavno znači da je vektor linearna kombinacija vektora

1. Pjevački integral 1.1. Neka je f okružen funkcijom postavljenom u obliku [, b] R. Rosbittyam vidrizka [, b] nazovite takav skup točaka τ = (x, x 1, ..., xn 1, xn) [, b ], uh = x< x 1 < < x n 1

Glavne stepenice Redovi a a a Prikaz reda a a a a a () nazivaju se statičkim, de, a, postoperativnim, nazivaju se funkcioneri u nizu.

2. Vrijednost izvedbe je niska za formule Fur'ê.

Nemojte imati periodičnu funkciju ƒ (x) s periodom od 2π tako da izgleda kao trigonometrijski niz, nego idite na cijelu funkciju u intervalu (-π, π), tako da je zbroj niza:

Navodno je integriran u funkciju, koja stoji na istom dijelu lanca jednakosti, u najvažnijem dijelu integracije u cijelom nizu. Tse bude vikonuvatisya, čim se brojevni niz preklopi s koeficijentima zadanog trigonometrijskog niza, apsolutno konvergira, tako da se pozitivni brojčani niz konvergira

Redak (1) majorêmo í se može integrirati pojam po član u intervalu (-π, π). Prointegruemo prekršaja na dio ryvnosti (2):

Numeriran je okremo kozenintegral, što se vidi na desnoj strani:

,

,

U takvom rangu, , zvijezde

. (4)

Procjena izvedbe Fur'ê. (Bugrív)

Teorem 1. Ako funkcija ƒ (x) za period 2π nije prekinuta, ona će bez prekida uzeti ƒ (s) (x) za red s, jer je sretna na svim osi nepravilnosti:

│ ƒ (s) (x) │≤ M s; (5)

Todi kofítsíênti Fur'ê funkcionira da zadovolji nepravilnosti

Isporučeno. Integrirani dijelovi i vrahoyuchi,

ƒ (-π) = ƒ (π), maêmo

Integriranje desnog dijela (7) zadnje, posljednje, ali ne i najmanje važno? 6).

Druga procjena (6) je sljedeća.

Teorem 2. Za izvedbu Fur'ê ƒ (x) nema manjka

(8)

Isporučeno. Maêmo

(9)

Uvesti u vrijeme promjene promjene i isporuke, scho ƒ (x) - periodična funkcija, može se učiniti

Skladištenje (9) i (10), hoćemo

B k se može dokazati na sličan način.

Slidstvo. Budući da je funkcija ƒ (x) neprekinuta, funkcija (x) je nula: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Prostor funkcija iz skalarnog vrhnja.

Funkcija ƒ (x) naziva se komadično-kontinuirana na bazi po dužini, sve dok je bez prekida, moguće, od konačnog broja točaka, de maê prvom rodu. Takve točke se mogu dodati množenju na temelju broja i smanjiti rezultat da se zna shmatkovo-bez prekida u funkciji.

Skalarna skuta od dva shmatkovo-bezperervnyh na (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Očito je za one koji su shmatkovo-bez prekida na funkcijama ƒ, φ ψ potvrditi autoritet:

1) (ƒ, φ) = (φ, ƒ);

2) (ƒ, ƒ) í s jednakošću (ƒ, ƒ) = 0 vapingê, ali (x) = 0 na, uključujući, eventualno, krajnji broj točaka x;

3) (α ƒ + β φ, ψ) = α (ƒ, ψ) + β (φ, ψ),

de α, β - su dobri brojevi.

Bez svih funkcija shmatkovo-bez prekida, za koje je skalarni tvir uveden za formulu (11), značit ćemo, i prostor

Poštovanje 1.

U matematici se to naziva prostor = (a, b) broj funkcija ƒ (x) integriranih u Lebesgueovom smislu odjednom s vlastitim kvadratima, što se skalarno koristi za takvu formulu (11). Pogled na prostor ê djelomično. Ogromnost prostranstva moći je golema, ali ne sve.

3 autoriteta 1), 2), 3) Važna je inercija Bunyakovskog | (ƒ, φ) | ≤ (,) ½ (φ, φ) ½, kao moji integrali gledatelja kako slijedi:

Veličina

nazvati normom funkcije f.

Norma takve snage:

1) | f || ≥ 0, ako jednakost može biti samo za nultu funkciju f = 0, tada je funkcija, koja se može koristiti za nulu, možda konačni broj točaka;

2) | ƒ + φ || ≤ || ƒ (x) || || φ ||;

3) | α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

de α - broj dizajna.

Druga moć moje integracije je ovakva:

i zvati se živci Minkovskog.

Reći da je posljednja funkcija (f n), pratiti do, spuštati se do funkcije, pratiti smisao kvadratne srednje vrijednosti do (u svakom slučaju izvan norme), ako

Značajno je da ako se trajanje funkcija n (x) jednako konvergira funkciji ƒ (x) s druge strane, tada je za postizanje velike n razlike ƒ (x) - n (x) u apsolutnoj vrijednosti krivnja mala za sva tri puta.

Ako je n (x) pragmatičan prema ƒ (x) u smislu srednjeg kvadrata, tada razlika vjerojatno nije mala za veliki n posvuda. U okruženju mjeseca rast je možda velik, što je još važnije, ali integriran u trg duž duljine bulevara za veliki n.

guzicom. Neka se slika malenom daje bez prekida u šmatkovo-linijskoj funkciji n (x) (n = 1, 2, ...), štoviše

(Bugrov, strana 281, sl. 120)

Ako ste prirodni n

í, također, posljednju od funkcija, želim ići na nulu pri n → ∞, iako nepravilno. Mízh tim

tj. posljednja od funkcija (f n (x)) na nulu u smislu srednjeg kvadrata na.

Postojat će niz funkcija 1, 2, 3, ...

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Zbroj prvih yogo n članova

σ n = 1 + 2 + + n

ê funkcija, scho polagati do. Kako zarobiti, pa, funkcija je takva,

|| ƒ- σ n || → 0 (n → ∞),

onda se čini da niz (12) konvergira funkciji u smislu srednjeg kvadrata i zapiši

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

Napomena 2.

Možete vidjeti prostor = (a, b) funkcije kompleksne vrijednosti ƒ (x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), de ƒ 1 (x) i ƒ 2 (x) - akcija shmatkovo - bez prekida na funkciji. U širokom rasponu funkcija, množenje kompleksnim brojevima i skalarno zbrajanje funkcija ƒ (x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) i φ (x) = φ 1 (x) + i φ 2 (x ), ali počnite s ofenzivnim rangom:

a norma počinje kao vrijednost

Niz Fur'ê periodičnih funkcija iz razdoblja 2π.

Brojni Fur'ê omogućavaju povremene funkcije koje se mogu presavijati na komponente. Promjena struna i opruga, zamjena, brzina i brzina pogonskih mehanizama i akustičkih hvila - sve vrste praktičnih kundaka pohranjivanja periodičnih funkcija u inženjerskim rosterima.

Polažući u nizu Fur'ê koji teče na skupu, ali sve funkcije, ali praktički smislene u intervalu -π ≤x≤ π, moguće je kretati se u pogledu sličnih trigonometrijskih redova (broj sličnih članova, nakon

Standardna (= zvychany) notacija kroz zbroj sinx i cosx

f (x) = a o + a 1 cosx + a 2 cos2x + a 3 cos3x + ... + b 1 sinx + b 2 sin2x + b 3 sin3x + ...,

de a o, a 1, a 2, ..., b 1, b 2, .. - Referentne konstante, tobto.

De za raspon od -π do π do izvedbe broja Fur'ê koji se plaća po formulama:

Značajke a o, a n í b n tzv kofítsíêntami Fur'ê, a ako je moguće znati, tada se naziva niz (1). naručiti krzno, po funkciji f (x). Za niz (1) pojam (a 1 cosx + b 1 sinx) naziva se prvim ili glavni harmonik,

Najbolji način da se zapiše red je viktorijanski sp_vvidnoshennya acosx + bsinx = csin (x + α)

f (x) = a o + c 1 sin (x + α 1) + c 2 sin (2x + α 2) + ... + c n sin (nx + α n)

De ao je konstanta, s 1 = (a 1 2 + b 1 2) 1/2, sn = (an 2 + bn 2) 1/2 je amplituda ostalih komponenti, a za cestu an = arctan an / b n.

Za niz (1), izraz (a 1 cosx + b 1 sinx) ili c 1 sin (x + α 1) naziva se prvim ili glavni harmonik,(a 2 cos2x + b 2 sin2x) ili c 2 sin (2x + α 2) nazvati drugi harmonik i do sada.

Za točnu detekciju preklopnog signala potreban je neograničen broj članova. Međutim, praktično osoblje bagatyokha ima dovoljno prskanja prvih članova.

Niz Fur'ê neperiodičnih funkcija iz razdoblja 2π.

Distribucija neponovljivih funkcija na broj Fur'ê.

Budući da funkcija f (x) nije periodična, to znači da se ne može postaviti u red Fur'ê za sve vrijednosti x. Međutim, moguće je napraviti broj Fur'ê, koji predstavlja funkciju u bilo kojem rasponu širine 2?

Ako je postavljena neperiodična funkcija, moguće je dodati novu funkciju, vrijednost f (x) u rasponu pjevanja vibrira i pozicija se ponavlja s rasponom s intervalom od 2π. Oscilacije su nova funkcija ê periodična s periodom od 2π, njen se može proširiti na red Fur'ê za sve vrijednosti. Na primjer, funkcija f (x) = x nije periodična. Međutim, ako je potrebno proširiti í̈ u redu Fur'ê na intervalu od do 2π, tada će položaj intervala biti periodična funkcija s periodom od 2π (kao što je prikazano na donjoj slici).

Za neperiodične funkcije, kao što je f (x) = x, zbroj broja Fur'ê je odgovarajuća vrijednost f (x) u svim točkama danog raspona, ali ne i f (x) za točke na položaju raspona. Za poznavanje niza Fur'ê neperiodičnih funkcija u rasponu od 2π, koristi se ista formula koeficijenata Fur'ê.

Uparene i nesparene funkcije.

Recimo, funkcija y = f (x) parna gdje je f (-x) = f (x) za sve vrijednosti x. Grafovi uparenih funkcija temelje se na simetričnim funkcijama (prikazuju se na zrcalni način). Dvije uparene funkcije: y = x 2 í y = cosx.

Recimo da je funkcija y = f (x) nespareni gdje je f (-x) = - f (x) sve vrijednosti x. Grafovi nesparenih funkcija ovise o simetričnim koordinatama.

Bagato funkcije nisu dečki, nisu upareni.

Širenje u nizu Fur'ê u kosinusu.

Niz Fur'ê uparenih periodičnih funkcija f (x) s periodom od 2π može ukloniti članove iz kosinusa (kako ne bi uklonio članove iz sinusa), a možete uključiti i stalni član. otzhe,

de kofizinti niz Fur'ê,

Fur niz nesparene periodične funkcije f (x) s periodom od 2π je zamijeniti članove sinusima (kako se ne bi osvetili kosinusima).

otzhe,

de kofizinti niz Fur'ê,

Red Fur'ê na pivperiodi.

Kako je funkcija namijenjena rasponu, recimo od 0 do π, a ne samo od 0 do 2π, može se postaviti u red samo sa sinusima ili samo kosinusima. Otrimaniy broj Fur'ê biti pozvan naručiti Fur'ê na napívperíodí.

Potrebno je ispraviti raspodjelu Fur'ê na napivperiodi na kosinusima funkciju f (x) u rasponu od 0 do π, potrebno je dodati par periodičnih funkcija. Na sl. Funkcija f (x) = x prikazana je dolje, zatražena na intervalu od x = 0 do x = π. Oscilacije uparene funkcije su simetrične, ali os f (x) vodi AB linija, što je prikazano na sl. niži. Samo ga pustite, ali položaj promatranog intervala se periodično obrezuje u trokutasti oblik s periodom od 2π, a zatim se prikazuje okvirna grafika. na sl. niži. Oscilacije trebaju odbiti raspored Fur'ê po kosinusima, kao i ranije, izračunati učinkovitost Fur'ê a o í a n

Ako je potrebno korigirati funkciju f (x) u rasponu od 0 do π, potrebno je koristiti nesparenu periodičnu funkciju. Na sl. Funkcija f (x) = x prikazana je dolje, zatražena na intervalu od x = 0 do x = π. Oscilacije su nesparene, funkcija je simetrična prema klipu koordinata, bit će CD linija, kao što je prikazano na sl. Samo ga pustite, ali položaj signala u obliku datoteke periodično s periodom od 2π, položaj signala poput datoteke s periodom od 2π, zatim očitanja na sl. Oscilacije je potrebno odbaciti za raspored Furina na temelju sinusa, kako ranije tako i ranije, računato po vrijednosti Fur. b

Broj Fur'ê za pre-interval.

Proširivanje periodičnih funkcija iz razdoblja L.

Periodična funkcija f (x) se ponavlja iz prirasta x L, dakle. f (x + L) = f (x). Prelazak s funkcija koje su prethodno bile prikazane iz razdoblja 2π na funkcije iz razdoblja L kako bi se dovršilo jednostavno, nešto od toga se može učiniti za dodatnu promjenu promjene.

Kako saznati niz Fun'ê funkcije f (x) u rasponu -L / 2≤x≤L / 2, uvodimo novu promjenu u u takvom rangu da je funkcija f (x) mali period 2π i onda u. Ako je u = 2πx / L, tada je x = -L / 2 za u = -π i x = L / 2 za u = π. Također, nemojte dopustiti da je f (x) = f (Lu / 2π) = F (u). Niz Fur'ê F (u) maê viglyad

De kofizinti niz Fur'ê,

Međutim, najčešća formula je proizvodnja formule sve dok listovi ne ostanu. Oscilacije u = 2πh / L, čak i du = (2π / L) dx, a između integracije - od -L / 2 do L / 2, promjena - π u π. Otzhe, broj Fur'ê za ugar od x maê viglyad

de u rasponu od -L / 2 do L / 2 izvedbe do broja Fur'ê,

(Između integracije može se zamijeniti bilo koji interval do L, na primjer, od 0 do L)

Niz Fur'ê za napívperiod za funkcije postavljene u intervalu L ≠ 2π.

Za instalaciju u = πh / L, interval od x = 0 do x = L je od intervala od u = 0 do u = π. Otzhe, funkcija se može proširiti u nizu samo kosinusom ili samo sinusom, tobto. v red Fur'ê na pivperiodi.

Širenje kosinusa u rasponu od 0 do L ma viglyad