Razkladannya u nizu fur'ê dečki i neuparene funkcije neučinkovitost bezsel parseval. Riadi Fur'ê: Povijest i infuzija matematičkog mehanizma na razvoj znanosti

Riadi Fur'ê - cijena prilično zauzete funkcije s određenim razdobljem od viglyadi reda. Kod gledatelja okrenutog prema van, rješenje se naziva raspored elementa na ortogonalnoj osnovi. Implementacija funkcija za brojne Fur'ê upotpuniti s naprezanjem alata pri razvoju razvojnih radnika na vlasti ove ponovne provedbe s integracijom, diferencijacijom, kao i korištenjem argumenata i argumenata.

Lyudin, koji ne zna ništa o matematici, ali i o korijenima francuskog skuvanog Fur'êa, koji je bolji za sve, ne za zvuk, nego za "red" i kome je smrad potreban. A u međuvremenu je proces rekonstrukcije do kraja prošao u našem životu. Ne zamjeraju bez matematike, već fizike, kemije, liječnika, astronoma, seizmologa, oceanografije i mnogih drugih. Upoznajmo se pobliže s precima velikog francuskog vinara, kao tračak vapaja, kako je čas pred nama.

Lyudina ta reinkarnacija Fur'ê

Niz Fur'ê ê u jednoj od metoda (red analize i ínshim) Proces je generiran zvukom, ako osoba ima zvuk. Naše vuho, u automatskom načinu rada, je rekreacija elementarnih čestica u centru opruge, koji je položen u red (izvan spektra) posljednje dnevne vrijednosti čistoće za tonove rasta. Daleki um ponovno stvara počast zvukovima koje smo primili. Svi zadaci moraju biti okruženi našim znanjem o dokazima, sami po sebi, a da bismo razumjeli proces, potrebno je znati kako se to radi u matematici.

Izvještaj o transformaciji Fur'ê

Reinkarnacija Fur'êa može se provesti analitičkim, numeričkim i ínshim metodama. Određeni broj Fur'ê se odnosi na numeričku metodu polaganja bilo kakvih kolivalnih procesa - od oceanskih plime i zimice do ciklusa pospanih (ti astronomski objekti) aktivnosti. Moguće je odabrati funkcije koje predstavljaju niz sinusnih skladišnih procesa poput niza sinusnih skladišta, koji se kreću od minimuma do maksimuma i unatrag. Ponovna implementacija funkcije Fur'ê, koja opisuje fazu i amplitudu sinusoida, koje pokazuju frekvencije pjevanja. Cijeli proces može biti pobjednički za razvoj još više sklopivih rivnjana, koji opisuju dinamičke procese koji proizlaze iz topline, svjetlosti i električne energije. Isto tako, brojni Fur'ê omogućuju vizualizaciju neprekidnih skladišta na preklopnim kolizijskim signalima, zbog čega je postalo moguće ispravno interpretirati eksperimentalne mjere opreza u medicini, kemiji i astronomiji.

Povijesna izjava

Otac-otac teorije je francuski matematičar Jean Bathist Joseph Fur'ê. Yogo im'yam zgod i bulo naziva se ponovno stvaranje. U ovoj metodi pronađena je zbirka ideja za implantaciju i objašnjenje mehanizama provođenja topline – širenja topline u čvrstim tijelima. Fur'ê, puštajući ga, s prskanjem nepravilnih izraslina, moguće je raširiti na najjednostavniji sinusoid, temperaturu kože minimum i maksimum, kao i vlastitu fazu. Sa širokim rasponom kože, takva komponenta se gubi od minimuma do maksimuma unatrag. Matematička funkcija, koja opisuje gornji i donji vrh krivulje, kao i fazu harmonika kože, nazvana je ponovno stvaranje Fur'êa u obliku porasta temperature. Autor teorije vanredne funkcije, budući da je važno pridržavati se matematičkog opisa, još više priručnika u nizu kosinusa i sinusa, ali u zbroju, dati izvan- izlaz kutije.

Princip ponovnog dovođenja i pogled na zabavu

Sudionici povijesti matematike – najraniji matematičari 19. stoljeća – nisu prihvatili teoriju. Glavne tvrdnje Fur'a dao je o onima koji imaju funkciju, kako opisati ravnu liniju ili krivulju, kako otvoriti, moguće je platiti porez na zbroj sinusnih valova, koji su bez prekida. Na stražnjici jaka možete vidjeti "skupljenje" Heavisidea. Kvaliteta funkcije posljedica je nakupljanja električnog strujanja iz doba dana kada je lantsyug zbunjen. Sudionici teorije u to vrijeme nisu se držali takve situacije, iako je viraz opisan kombinacijom neponovljivih, izvanrednih funkcija, kao što su eksponent, sinusoida, linija je abokvadratična.

Zašto su francuski matematičari imali koristi od teorije Fura?

Čak i ako matematičara zanima njegova čvrstoća, onda, ako postoji beskonačan trigonometrijski niz Fur'ê, moguće je točnije zaključiti očitovanje čestog okreta u takvoj vrsti pada, kao da toga nema . Na uhu 19. stoljeća, čvrstina se činila apsurdnom. Iako nevažni u svim znanjima, mnogi matematičari proširili su sferu uvođenja fenomena, oživjeli ga u posljednjih nekoliko godina toplinske vodljivosti. Većinom se većina učenika borila za hranu: "Kako se zbroj sinusoidnog niza može konvergirati točnoj vrijednosti funkcije raspodjele?"

Sličnost redova Fur'ê: stražnjica

Prehrana o potrebi za dodatnim brojevima. Za ugodniji fenomen vidljiva je klasična zadnjica. Biste li uspjeli, ako nema načina da dođete do točke, kako će mršavi ofenzivni krokoš biti najmanji za sljedećeg? Pretpostavimo da ste dva metra udaljeni od ceste, šafranica je blizu polovice, ofenziva je do oznake tri četvrtine, a nakon sljedeće dolazite do 97. ceste. Međutim, riječi b i v nisu bile krive, namjeravanu oznaku koju nećete postići u strogom matematičkom smislu. Vikoristovuchi numerički rosrahunka, moguće je donijeti, da je uz dopuštenje moguće doći blizu najmanjeg skupa podataka. Danska dokazuje da je to ekvivalentno demonstraciji činjenice da će ukupna vrijednost jednog drugog, jedne četvrtine, biti pragmatična samo za jednoga.

Prehrana poslovanja: prijatelj koji dolazi, za Prilad Lorda Kelvina

Cijena hrane se ponovila krajem devetnaestog stoljeća, budući da su brojni Fur'ê pokušali zasosuvati predvidjeti intenzitet pojačane i visoke plime. Na kraju sata priložen je Lord Kelvin buv vinaydeny, što je analogni brojčani prilog, koji je mornarima ruske i trgovačke flote omogućio da prikažu prirodni fenomen. Danski mehanizam pokretanjem regrutiranja faza i amplituda prema tablicama učestalosti ispiranja i trenutnih vremenskih trenutaka, koji su privremeno zamrznuti u ovoj luci, protežući se do stijene. Parametar kože ima sinusnu komponentu viraz protoka i jedno od redovnih skladišta. Rezultati vimiryuvana uvedeni su u proračun Lorda Kelvina, koji je sintetizirao krivulju, koja je visinu vodstva prenijela na funkciju momčadi ofenzivne sudbine. Nenametljive obline boćanja presavijene su u svim lukama svijeta.

A kako će proces biti uništen od strane maloprodajne funkcije?

U tom času postalo je očito da je to u redu, da se prenosi na bolest izlijevanja, zbog velikog broja elemenata u rakhunka, možete izbrojati veliki broj faza i amplituda i tako spriječiti točniji prijenos. Prosvjed se pojavio, da ne naiđe na pravilnost kod tihih ljudi, ako plimni viraz, koji je tobogan sintetiziranja, otkriva jak stribok, tako da će biti ružičast. Istodobno, ako je potrebno unijeti podatke iz tablica vremenskih trenutaka, tada je nemoguće izračunati broj decilkoh stopa Fur'ê. Specifična funkcija ažurira se na sinusne komponente (prema poznatoj izvedbi). Robusnost između odlaznog i obnovljivog viraza moguća je u bilo kojem trenutku. Prilikom preračunavanja tog naloga vidi se da se vrijednost najviše oprosta ne mijenja. Međutim, smrad je lokaliziran u području, gdje će pokazati točku rezanja, a ako je to točka, promašit će nulu. Godine 1899. potvrđen je rezultat teorijske potvrde Joshue Willarda Gibbsa sa Sveučilišta Ulsky.

Sličnost serije Fur'ê i razvoj matematike općenito

Analiz Fur'ê ne stagnira do pauza, već da podnese beskrajan broj prskanja na intervalu pjevanja. U cijelom nizu Fur'ê, funkcija klipa je predstavljena rezultatom stvarnog fizičkog vimira, koji uvijek konvergira. Ishrana zadanog procesa za određene klase funkcija dovedena je do pojave novih grana matematike, na primjer, teorije društvenih funkcija. Vona je vezana uz imena kao što su L. Schwartz, J. Mikusinsky i J. Temple. U okviru teorije Bule postavlja se čitanje i točna teorijska osnova za takav virazi, poput Diracove delta funkcije (opisat ću područje jednog područja, koncentrirano u beskonačno malom predgrađu točka) i "korak" Hevíraza. Režiseri robotske serije Fur'ê skriveni su za emitiranje ruralnih i industrijskih zgrada, u kojima je lik intuitivnog: točkasti naboj, točkasta masa, magnetski dipoli, kao i sustav za postavljanje na balti.

Krzna metodaê

Niz Fur'ê, prema principima interferencije, može se popraviti od presavijanja sklopivih oblika veće jednostavnosti. Na primjer, promjena toka topline objašnjava se prijelazom iz toplinskog izolacijskog materijala u pogrešan oblik, bilo opakom površinom zemlje - zemljom, zmijolikom nebeskom orbitom - priljev planeta. U pravilu, malo ryvnyannya, kako opisati jednostavan klasični sustav, za elementarno otkrivanje stanja kože. Fur'ê pokazuje da se jednostavno rješenje može koristiti i za uskraćivanje više sklopivih zgrada. Vislovlyuyuchis moja matematika, niz Fur'ê - cijela metoda podnošenja rotirajući zbroj harmonika - kosinusoida i sinusoida. U tu je svrhu i analiza vidomija u svrhu "harmonične analize".

Brojni Fur'ê - idealna tehnika za "računalo dobi"

Prije uspostave računalne tehnologije, Fur'ê Bull metodologija je bila najljepši dodatak arsenalu svih robota s prirodom našeg svjetla. Broj Fur'ê u složenom obliku omogućuje virishuvati da ne bude lišen jednostavnosti poduzeća, budući da je moguće izravno ometati zakone Newtonove mehanike, već temeljna načela. Većina uvida u Newtonovu znanost devetnaestog stoljeća postala je više nego dovoljna za poznavanje metodologije Fura.

Riadi Fur'ê seogodní

S razvojem računala, ponovnim razvojem Fur'êa, došlo je do jasno nove rivn. Ova metodologija je razvijena praktički u svim sferama znanosti i tehnologije. Jakovom stražnjicom možete usmjeriti digitalni audio i video signal. Implementacija Yogo-a postala je užasna lišavanje teorije, slomio je francuski matematičar na klipu 19. stoljeća. Dakle, broj Fur'ê u složenom obliku, dopuštajući rast rupe u vivchenna kozmičkom prostoru. Uz to, cijena je vezana za razvoj fizike vodljivih materijala i plazme, mikročipova akustike, oceanografije, radio lociranja, seizmologije.

Trigonometrijski niz Fur'ê

U matematici, niz Fur'ê ê je na način definiranja dovoljnih funkcija preklapanja zbrojem jednostavnih. U udaljenim vipadama, broj takvih viraza može biti beskonačan. Ako je to više od količine štete tijekom procesa, točnije je dobiti konačni rezultat. Najčešće je to najjednostavnija vikoristička trigonometrijska funkcija kosinusa ili sinusa. U takvom nizu Fur'ê se nazivaju trigonometrijskim, a prikaz takvih varijacija naziva se harmonijska distribucija. Cijela metoda vizualizacije u matematici. Sprijeda je za sliku predviđen trigonometrijski niz, kao i uvođenje funkcija, glavnog aparata teorije. Osim toga, vino dopušta nepoznavanje matematičke fizike. Nareshty, cijela teorija je prošla razvoj do dna još važnijih grana matematičke znanosti (teorija integrala, teorija periodičnih funkcija). Osim toga, poslužila je kao prava točka za razvoj ofenzivnih funkcija dinamičke promjene, kao i za hvatanje harmonične analize.

Niz Fur'ê periodičnih funkcija iz razdoblja 2π.

Brojni Fur'ê omogućuju periodične funkcije koje se mogu presavijati na komponente. Promjena struna i opruga, zamjena, brzina i brzina koljenastih mehanizama i akustičkih hvili - sve vrste praktičnih kundaka pohranjivanja periodičnih funkcija u inženjerskim rosterima.

Polaganjem u nizu Fur'ê teče na skupu, ali sve funkcije, ali praktički smislene u intervalu -π ≤x≤ π, moguće je kretati se u pogledu sličnih trigonometrijskih redova (broj sličnih članova, nakon

Standardna (= zvychany) notacija kroz zbroj sinx i cosx

f (x) = a o + a 1 cosx + a 2 cos2x + a 3 cos3x + ... + b 1 sinx + b 2 sin2x + b 3 sin3x + ...,

de a o, a 1, a 2, ..., b 1, b 2, .. - Referentne konstante, tobto.

De za raspon od -π do π do izvedbe broja Fur'ê koji se plaća po formulama:

Značajke a o, a n í b n tzv kofítsíêntami Fur'ê, a ako je moguće znati, tada se naziva niz (1). naručiti krzno, po funkciji f (x). Za niz (1) pojam (a 1 cosx + b 1 sinx) naziva se prvi ili glavni harmonik,

Najbolji način da se zapiše red je viktorijanski sp_vvidnoshennya acosx + bsinx = csin (x + α)

f (x) = a o + c 1 sin (x + α 1) + c 2 sin (2x + α 2) + ... + c n sin (nx + α n)

De ao je konstanta, s 1 = (a 1 2 + b 1 2) 1/2, sn = (an 2 + bn 2) 1/2 je amplituda ostalih komponenti, a za cestu an = arctan an / b n.

Za niz (1), izraz (a 1 cosx + b 1 sinx) ili c 1 sin (x + α 1) naziva se prvim ili glavni harmonik,(a 2 cos2x + b 2 sin2x) ili c 2 sin (2x + α 2) nazvati drugi harmonik i do sada.

Za točnu detekciju preklopnog signala potreban je neograničen broj članova. Međutim, praktično osoblje bagatyokha ima dovoljno prskanja prvih članova.

Niz Fur'ê neperiodičnih funkcija iz razdoblja 2π.

Distribucija funkcija koje se ne ponavljaju.

Budući da funkcija f (x) nije periodična, to znači da se ne može postaviti u red Fur'ê za sve vrijednosti x. Međutim, moguće je napraviti broj Fur'ê, koji predstavlja funkciju u bilo kojem rasponu širine 2?

Ako je postavljena neperiodična funkcija, moguće je dodati novu funkciju, vrijednost f (x) u rasponu pjevanja vibrira i pozicija se ponavlja s rasponom s intervalom od 2π. Oscilacije su nova funkcija ê periodična s periodom od 2π, njen se može proširiti na red Fur'ê za sve vrijednosti. Na primjer, funkcija f (x) = x nije periodična. Međutim, ako je potrebno proširiti í̈ u redu Fur'ê na intervalu od do 2π, tada će položaj intervala biti periodična funkcija s periodom od 2π (kao što je prikazano na donjoj slici).

Za neperiodične funkcije, kao što je f (x) = x, zbroj broja Fur'ê unaprijed dodijeljene vrijednosti f (x) u svim točkama danog raspona, ali ne i f (x) za točke u post- rasponu. Za poznavanje niza Fur'ê neperiodičnih funkcija u rasponu od 2π, koristi se ista formula koeficijenata Fur'ê.

Uparene i nesparene funkcije.

Recimo, funkcija y = f (x) parna gdje je f (-x) = f (x) za sve vrijednosti x. Grafovi uparenih funkcija temelje se na simetričnim funkcijama (prikazuju se na zrcalni način). Dvije uparene funkcije kundaka: y = x 2 í y = cosx.

Recimo da je funkcija y = f (x) nespareni gdje je f (-x) = - f (x) sve vrijednosti x. Grafovi nesparenih funkcija ovise o simetričnim koordinatama.

Bagato funkcije nisu dečki, nisu upareni.

Širenje u nizu Fur'ê u kosinusu.

Niz Fur'ê uparenih periodičnih funkcija f (x) s periodom od 2π može ukloniti članove iz kosinusa (kako ne bi uklonio članove iz sinusa), a možete uključiti i stalni član. otzhe,

de kofizinti niz Fur'ê,

Niz Furove nesparene periodične funkcije f (x) s periodom od 2π je zamijeniti članove sinusima (kako se članove ne bi osvetili kosinusima).

otzhe,

de kofizinti niz Fur'ê,

Red Fur'ê na pivperiodi.

Kako je funkcija namijenjena rasponu, recimo od 0 do π, a ne samo od 0 do 2π, može se postaviti u red samo sa sinusima ili samo kosinusima. Otrimaniy broj Fur'ê biti pozvan naručiti Fur'ê na napívperíodí.

Potrebno je ispraviti raspodjelu Fur'ê na napivperiodi na kosinusima funkciju f (x) u rasponu od 0 do π, potrebno je dodati par periodičnih funkcija. Na sl. Funkcija f (x) = x prikazana je dolje, zatražena na intervalu od x = 0 do x = π. Oscilacije uparene funkcije su simetrične, ali os f (x) vodi AB linija, što je prikazano na sl. niži. Samo ga pustite, ali položaj promatranog intervala se periodično obrezuje u trokutasti oblik s periodom od 2π, a zatim se prikazuje okvirna grafika. na sl. niži. Oscilacije trebaju odbaciti raspored Fur'ê po kosinusima, kao i ranije, izračunata učinkovitost Fur'ê a o í a n

Potrebno je ispraviti raspodjela Fur'ê na napívperíodí iza sinusa funkcija f (x) u rasponu od 0 do π, potrebno je imati nesparenu periodičnu funkciju. Na sl. Funkcija f (x) = x prikazana je dolje, zatražena na intervalu od x = 0 do x = π. Oscilacije su nesparene, funkcija je simetrična prema klipu koordinata, bit će CD linija, kao što je prikazano na sl. Samo ga pustite, ali položaj signala poput datoteke s periodom od 2π, položaj signala nalik na datoteku s periodom od 2π, zatim očitanja na sl. Oscilacije je potrebno odbaciti za raspored Furina na temelju sinusa, kako ranije tako i ranije, izračunato prema vrijednosti Fur. b

Broj Fur'ê za pre-interval.

Proširivanje periodičnih funkcija iz razdoblja L.

Periodična funkcija f (x) se ponavlja s prirasta x L, dakle. f (x + L) = f (x). Prelazeći s funkcija koje su prethodno bile prikazane iz razdoblja 2π na funkcije iz razdoblja L kako bismo dovršili jednostavno, nešto od toga se može učiniti za dodatnu promjenu promjene.

Kako saznati niz Fun'ê funkcije f (x) u rasponu -L / 2≤x≤L / 2, uvodimo novu promjenu u u takvom rangu da je funkcija f (x) mali period 2π i onda u. Ako je u = 2πx / L, tada je x = -L / 2 za u = -π i x = L / 2 za u = π. Također, nemojte dopustiti da je f (x) = f (Lu / 2π) = F (u). Niz Fur'ê F (u) maê viglyad

(Između integracije može se zamijeniti bilo koji interval do L, na primjer, od 0 do L)

Niz Fur'ê za napívperiod za funkcije postavljene u intervalu L ≠ 2π.

Za instalaciju u = πh / L, interval od x = 0 do x = L je od intervala od u = 0 do u = π. Otzhe, funkcija se može proširiti u nizu samo kosinusom ili samo sinusom, tobto. v red Fur'ê na pivperiodi.

Proširivanje kosinusa u rasponu od 0 do L ma viglyad

Riadi Fur'ê- način predstavljanja funkcije preklapanja zbrojem jednostavnih i dobrih.
Sinus i kosinus - periodične funkcije. Čak i smrad ortogonalne osnove. Snaga Qiua može se objasniti analogijom sa sjekirama X X xі Y Y Y na koordinatnoj površini. Dakle, kao što možemo opisati koordinate točke duž osi, možemo opisati je li funkcija i sinusa i kosinusa. Trigonometrijske funkcije lako je naučiti iz matematike.

Pojava sinusa i kosinusa moguć je za gledatelja takvog hwila:

Sinus - tse kosinus, chervoní - sinus. Zovu ih i harmonici. Kosinusi su dečki, sinusi su nespareni. Pojam harmonika dolazi iz antike i odijevanja i upozorenja na međusobnu povezanost zvukova iz glazbe.

Sho također veslati Fur'ê

Takav niz, kako je najjednostavnije opisati funkciju sinusa i kosinusa, naziva se trigonometrijski. Nazvan u čast svog ljubitelja vina Jean Batist Joseph Fur'ê, na primjer XVIII - uho iz XIX stoljeća. nekako dokazavši da, može li se funkcija predstaviti u viglyadi, kombinacija takvih harmonika. I što više uzimaš, što više uzimaš, to više uzimaš. Na primjer, slika je niža: moguće je bockati, s velikim brojem harmonika, odnosno članovi su niski Fur'ê, crveni graf je dovoljno star da bude bliži plavom - opaka funkcija.

Praktično skladištenje na gorkom svití

A što je s potrošnjom više puta? Kako možete zapeti na praktičan i praktičan način? Vyavlyayetsya, Fur'ê tome i vidomy za cijeli svijet, ali praktičan cimet yogo ljubavi doslovno je neklasificiran. Oh, tamo je to lako popraviti, de be-yaki chi khvili: akustika, astronomija, radiotehnika također. pupoljak. Najjednostavnija guza yogo victoriannya: mehanizam robota i kamere i video kamere. Objasnit ću vam u kraćem vremenu da se ne mogu dodati samo slike, već izvedba Fur’s serije. Í pratsyuê tse skríz - sat vremena gledanja slika na Internetu, filma ili slušanja glazbe. Članak možete pročitati s mobitela ako ste ljubitelj Fur'ê vi rangova. Bez ponovnog izuma Fur'êa, nismo dobili najbolju internetsku širinu, ali samo pogledajte video na YouTubeu i pogledajte standardnu ​​kvalitetu.

Na cijeloj shemi dvosvjetske transformacije Fur'ê, kao vikoristovuyutsya za distribuciju slike na harmonici, tako da su osnovna skladišta. Na dijagramu je vrijednost -1, bilim kodirana crnom bojom. Desno i dolje iza grafikona frekvencija raste.

Lansiranje u nizu Fur'ê

Pjevajući, vzhe vzhe vtomilsya čitati, isto vrijedi i za formule.
Za takav matematički pristup, poput raspodjele funkcija u redu Fur'ê, braća su integrirana. Bagato Integral Na viglyadu izvan kutije napišem red Fur'ê na viglyadu beskrajnog sumija:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (an cos ⁡ (nx) + bn sin ⁡ (nx)) f (x) = A + \ displaystyle \ sum_ (n = 1) ^ (\ infty) (a_n \ cos (nx) + b_n \ sin (nx))f (x) =A +n = 1∑ ∞ ​ (a n​ cos (n x) +b n​ grijeh (n x))
de
A = 1 2 π ∫ - π π f (x) d x A = \ frac (1) (2 \ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) dxA =2 π1 ​ − π ∫ π ​ f (x) d x
an = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (nx) dx a_n = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ cos (nx) dxa n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (n x) d x
bn = 1 π ∫ - π π f (x) sin ⁡ (nx) dx b_n = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ sin (nx) dxb n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (n x) d x

Moguće je imati beskonačan broj puta. a n a_n a n​ і b n b_n b n​ (Miriše i zovu se konferencije za distribuciju Fur'ê, A A A- tse samo nakon distribucije), tada će broj pogrešaka u rezultatu biti 100% spremljen iz izlazne funkcije f (x) f (x) f (x) temeljem - π - \ pi − π prije π \ pi π ... Ovo je primjer artikulacije moći integracije sinusa i kosinusa. Čim više n n n Za bilo koji dizajn funkcija, raspodjela funkcija u nizu bit će točnija.

guzicom

Jednostavan za korištenje y = 5 x y = 5x y =5 x
A = 1 2 π ∫ - π π f (x) dx = 1 2 π ∫ - π π 5 xdx = 0 A = \ frac (1) (2 \ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) dx = \ frac (1) (2 \ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) 5xdx = 0A =2 π1 ​ − π ∫ π ​ f (x) d x =2 π1 ​ − π ∫ π ​ 5 x d x =0
a 1 = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x cos ⁡ (x) dx = 0 a_1 = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ cos (x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi ) 5x \ cos (x) dx = 0a 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (x) d x =0
b 1 = 1 π ∫ - π π f (x) sin ⁡ (x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x sin ⁡ (x) dx = 10 b_1 = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ sin (x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi ) 5x \ sin (x) dx = 10b 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x sin (x) d x =1 0
a 2 = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (2 x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x cos ⁡ (2 x) dx = 0 a_2 = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ cos (2x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ ( \ pi ) 5x \ cos (2x) dx = 0a 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (2 x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x) d x =0
b 2 = 1 π ∫ - π π f (x) sin ⁡ (2 x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x sin ⁡ (2 x) dx = - 5 b_2 = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ sin (2x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) 5x \ sin (2x) dx = -5b 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x) grijeh(2 x) dx= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 xgrijeh(2 x) dx= − 5

tako sam daleko. S takvom funkcijom odmah možemo reći da sve a n = 0 a_n = 0an​ = 0 , kofítsíênti b n b_nbn​ slučajno brojiti. Yakshho mi vizmemo pershi chotiri članovi su raspoređeni u nizu Fur'ê za funkciju y = 5 x y = 5xy= 5 x, Otrimaêmo:

$5x\approx 10\cdot \mathrm{grijeh}(x)-5\cdot \mathrm{grijeh}(2\cdot x)+310\cdot \mathrm{grijeh}(3\cdot x)-25\cdot \mathrm{grijeh}(4\cdot x)$

Graf funkcije koja je ušla gledat će napadački rang:

Lansiranje, scho je otišao, u nizu Fur'ê približiti se našoj funkciji izvan kutije. Kako ima više članova u nizu, na primjer, 15, vjerojatnije je sljedeći korak:

Više članova u nizu, točnije.
Međutim, skala grafa je promjenjiva, moguće je primijetiti još jednu značajku ponovne implementacije: nizak Fur'ê - periodična funkcija s točkom 2 π 2 \ pi2 π .

U takvom rangu, možete zamisliti je li to funkcija, poput ê bez prekidanja [- π; π] [- \ pi; \ pi][ − π ; π ] ... Sva cijena je nužna kako bi se moglo analizirati kako se izgled analizira i opisati funkcijama preklapanja. Ne želim biti analitički (tobto za formulu), izgubit ću je, ali nemam problema sa setom sinusa i problema. Većinu vremena moguće ga je prikazati do većeg broja Fur'ê, ali najčešće ga je moguće analitički prikazati na jednostavnim modelima, jednom iz primjene nekih i nizom Fur'ê.

Prijepis

1 MINISTARSTVO PROCJENE ZNANOSTI FIZIČKOG FAKULTETA RF NOVOSIBIRSKI DERŽAVNI SVEUČILIŠTE R.K. BELKHEVA OPIS KRZNA U PRIMJENAMA I PROBLEMA Navchalny Posibnik1

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkhêêva R.K. držanje un-t. Novosibirsk, s. ISBN Na početku posjeta pobjeđuje glavni gledatelj serije Fur'ê; Detaljni dizajn kundaka za metodu Fur'ê prije rješavanja problema oko poprečne strune. Dostavljen ilustrativni materijal. Ê zavdannya neovisno rješenje. Zadaci za studente i pobjede na Fizičkom fakultetu NSU. Postanite prijatelj u Virishenna metodičkom odboru Fizičkog fakulteta NSU-a. Recenzent dr. fiz. znanosti. V. A. Aleksandrov Zbirka priprema u okviru provedbe Programa razvoja NDU-NSU na str. ISBN s Novosibirsko državno sveučilište, 211 s Belkhova R.K., 211

3 1. Proširivanje 2π-periodičnih funkcija na niz Fur'ê Viznachennya. Dodjela za funkciju f (x) naziva se funkcionalni niz a 2 + (an cosnx + bn sin nx), (1) funkcije an, bn se izračunavaju prema formulama: an = 1 π bn = 1 π f (x) cosnxdx, n =, 1, ..., (2) f (x) sin nxdx, n = 1, 2, .... (3) Formule (2) (3) nazivaju se Euler Fur'ê formule. Činjenica da funkcija f (x) podsjeća na niz Fur'ê (1) zapisana je u obliku f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) (4) i čini se da je desni dio formula (4) ê formalnim nizom Fur'ê funkcije f (x). Drugim riječima, čini se da formula (4) znači da učinkovitost a n, b n nije poznata za formule (2), (3). 3

4 Viznachennya. 2π-periodična funkcija f (x) naziva se šmatkovo-glatka, čak i ako u intervalu [, π] postoji Kintsev broj točaka = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Mala. 1. Grafikon funkcije f (x) Izračunljiva učinkovitost Fur'ê a = 1 π f (x) dx = 1 π x 2 2 π = π, an = 1 π f (x) cosnxdx = 2 π = 2 () x sin nx cos nx + π nn 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = bn = 1 π π = 2 π f (x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, za n nesparenih, za n upareno, f (x) sin nxdx =, pa je funkcija f (x) uparena. Možemo zapisati formalni Fur'ê niz za funkciju f (x): f (x) π 2 4 π k = 5 cos (2k + 1) x (2k + 1) 2.

6 Jasno je da je funkcija f (x) komadno glatka. Dakle, kako je bez prekida, računa se samo između (6) na krajnjim točkama između x = ± π i na točki zla x =: í f (π h) f (π) π h π f (+ h ) f (+) + h () lim = lim h + hh + hf (+ h) f (+) + h lim = lim = 1, h + hh + h = 1, f (h) f () h ( ) lim = lim = 1. h + hh + h Između ísnyu i íntseví, iako je funkcija glatka. Prema teoremu o krapkovu, vrijednost Fuhrovog niza konvergira na f (x) u točkama kože, tako da je f (x) = π 2 4 π k = cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) Na sl. 2, 3 ukazuje na prirodu pristupa parcijalnih zbroja nizu Fur'ê S n (x), de S n (x) = an 2 + (ak coskx + bk sin kx), k = 1 funkciji f (x) u intervalu [, π]. 6

7 Mala. 2. Graf funkcije f (x) s nametanjem parcijalnih zbroja na grafove S (x) = a 2 i S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x Sl. 3. Graf funkcije f (x) nadovezuje se na novi graf zbroja dijagrama S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 Podnošenjem u (7) x = otrimaêmo: = π 2 4 π k = 1 (2k + 1) 2, zvijezde znaju zbroj brojevnog niza: = π2 8. Poznavajući zbroj retka, lako je znati sljedeći zbroj Maêmo: S = ( ) S = () = π S, pa i S = π2 6, dakle 1 n = π Zbroj poznatog niza prvog poznatog Leonarda Eilera. Vona često studira matematičku analizu i dodatke. DODATAK 2. Na malom grafu poznajemo niz funkcija zadan formulom f (x) = x za x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Mala. 4. Grafikon funkcije f (x) Funkcija f (x) kontinuirano se diferencira intervalom (, π). U točkama x = ± π, postoji nekoliko točaka između (5): f () =, f (π) = π. Osim toga, postoji razlika između (6): f (+ h) f (+) lim = 1 í h + hf (π h) f (π +) lim = 1. h + h glatka funkcija. Ako je funkcija f (x) nesparena, tada je a n =. Poznato je da je učinak bn integriran po dijelovima: bn = 1 π f (x) sin πnxdx = 1 [x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1) n π + (1) n π] = 2 ( 1) n + 1. n Vrlo formalan niz Fur'ê funkcija 2 (1) n + 1 f (x) sin nx. n 9 cosnxdx] =

10 Prema teoremima o protoku, vrijednosti 2π-periodične funkcije glatke skupljanja, serija Fur funkcije f (x) svodi se na zbroj: 2 (1) n + 1 sin nx = nf (x) = x, kao π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Mala. 6. Graf funkcije f (x) bit će preklopljen na graf zbroja grafikona S2 (x) Sl. 7. Graf funkcije f (x) prekriven na novom grafu zbroja dijagrama S 3 (x) 11

12 Mala. 8. Graf funkcije f (x) bit će superponiran na novi graf zbroja S 99 (x). Pouzdan (8) x = π / 2. Todi 2 () + ... = π 2, ili = n = (1) n 2n + 1 = π 4. Lako smo znali zbroj Leibnizove obitelji. Poklavl u (8) x = π / 3, znamo () + ... = π 2 3, ili (1+ 1) () (k) 3π + ... = 3k

13 DODATAK 3. Mali graf, poznajemo niz Fur'ê funkcija f (x) = sin x, uz priznavanje da je period 2π, í 1 izračunava se kao zbroj niza brojeva 4n 2 1. Rješenje. Grafikon funkcije f (x) prikazan je na sl. 9. Očito, f (x) = sin x je neprekinuta uparena funkcija iz razdoblja π. Ale 2π je također period funkcije f (x). Mali. 9. Grafikon funkcije f (x) Izračunljiva učinkovitost Fur'ê. Usi b n = na činjenicu da je funkcija uparena. Okrunjen trigonometrijskim formulama, numeriran je an na n 1: an = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin (1 + n) x sin (1 n) x) dx = = 1 ( ) π cos (1 + n) x cos (1 n) x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 (4 1, kada je n = 2k, = π n 2 1, kada je n = 2k

14 Izračun nam ne dopušta da znamo koeficijent a 1, pa će se za n = 1 nazivnik vratiti na nulu. Za to se izračunava koeficijent a 1 bez sredine: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Dakle, kako se f (x) kontinuirano diferencira na (,) í (, π) í u točkama kπ, (k je broj), ako postoji broj između (5) i (6), tada je niz Fur' ê funkcije konvergiraju u točku kože: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x Sl. 1. Graf funkcije f (x) je superponiran na graf zbroja presjeka S (x) 14

15 Mala. 11. Graf funkcije f (x) preklopljen na novi graf zbroja presjeka S1 (x) Sl. 12. Graf funkcije f (x) bit će superponiran na novi graf zbroja grafikona S2 (x) Sl. 13. Graf funkcije f (x) prekriven na novom grafu zbroja dijagrama S 99 (x) 15

16 1 Izračunljiv zbroj brojevnog retka. Za cijeli 4n 2 1 zadovoljavajuće je (9) x =. Todi cosnx = 1 za sve n = 1, 2, ... i Otzhe, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. PRIMJENA 4. Vjerojatno da je funkcija f (x) glatka i glatka bez prekida, zadovoljan sam s f (x π) = f (x) za sve x (pa je π -periodično), a 2n 1 = b 2n 1 = za sve n 1, i navpaki, ako je a 2n 1 = b 2n 1 = za sve n 1, tada je f (x) π-periodičan. Odluka. Neka je funkcija f (x) π-periodična. Izračunljiva njena učinkovitost Fur'ê a 2n 1 í b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f (x) cos (2n 1) xdx + f (x) cos (2n 1) xdx =) f (x ) cos (2n 1) xdx. Kod prvog integrala lako mogu zamijeniti promjenu x = t π: f (x) cos (2n 1) xdx = f (t π) cos (2n 1) (t + π) dt. šesnaest

17 Klovn, cos (2n 1) (t + π) = cos (2n 1) t í f (t π) = f (t), možemo vidjeti: a 2n 1 = 1 π (f (x) cos (2n 1) x dx +) f (x) cos (2n 1) x dx =. Slično, treba učiniti, b 2n 1 =. Nawpaki, neka je a 2n 1 = b 2n 1 =. Budući da je funkcija f (x) bez prekida, onda je, prema teoremu, manifestacija funkcije u točkama njenog niza F (x π) = f (x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n (x π) + b 2n sin 2n (x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f (x), što znači da je f (x) π-periodična funkcija. DODATAK 5. Možemo reći da je funkcija f (x) glatka i glatka, f (x) = f (x) za sve x, zatim a = í a 2n = b 2n = za sve n 1, a navpaki, kao a = a 2n = b 2n =, tada je f (x π) = f (x) sve x. Odluka. Neka je funkcija f (x) zadovoljna s f (xπ) = f (x). Brojni í̈ksí kofítsíênti Fur'ê: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f (x) cos nxdx + f (x) cosnxdx =) f (x) cosnxdx. Kod prve integracije lako ću zamijeniti promjenu x = t π. Todi f (x) cosnxdx = f (t π) cosn (t π) dt. Grimizni tim, cos n (t π) = (1) n cosnt i f (t π) = f (t), možemo prihvatiti: an = 1 π ((1) n) f (t) cosnt dt =, ako n uparen = 2 π f (t) cos nt dt, kada je n nesparen. π Slično se radi, b 2n =. Nawpaki, neka je a = a 2n = b 2n =, za sve n 1. Budući da je funkcija f (x) bez prekida, tada teorem o eksplicitnosti funkcije u točkama njenog niza Fur'ê vrijedi da je f (x ) = (a 2n 1 cos (2n 1) x + b 2n 1 sin (2n 1) x). osamnaest

19 Todi = f (x π) = = = f (x). DODATAK 6. Vivchimo yak pored nastavlja biti integriran na jaz [, π / 2] pomoću funkcije f (x) na procjepu [, π], tako da je red Fur'ê mav viglyad: a 2n 1 cos ( 2n 1) x. (1) Odluka. Neka graf funkcije ma viglyada, koji lebdi na sl. 14. Oscilacije u redu (1) a = a 2n = b 2n = za sve n, tada je stražnjica 5 vyplyaê, ali funkcija f (x) je kriva za jednaki paritet f (xπ) = f (x) za sve x. Postoji način da se poboljša funkcija f (x) između [, / 2]: f (x) = f (x + π), sl. 15. Osim toga, red (1) služi samo za osvetu kosinusa, raspoređen je, ali funkcija f (x) se nastavlja kao par (to jest, graf je simetričan osi Oy), riža

20 Mala. 14. Grafikon funkcije f (x) Mala. 15. Grafikon nastavljene funkcije f (x) za unaprijed [, / 2] 2

21 Otzhe, funkcija ma viglyada, vodstvo na sl. 16. Mali. 16. Graf nastavka funkcije f (x) za napredovanje [, π] [π / 2, π], graf funkcije f (x) je centralno simetričan točki (π / 2,), a intervalu [, π] graf je simetričan osi Oy. 21

22 REFERENTNE APLIKACIJE 3 6 Nekhai l>. Jasno dva uma: a) f (l x) = f (x); b) f (l + x) = f (x), x [, l / 2]. S geometrijskog gledišta točka (a) znači da je graf funkcije f (x) simetričan duž okomite ravne linije x = l / 2, a graf (b) gdje je graf f (x) središnji simetrično u odnosu na točku (l / 2;) na osi apscisa. Istina je sljedeće: 1) ako je funkcija f (x) uparena s Viconan Umov (a), tada je b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... =; 2) ako je funkcija f (x) uparena s Viconan Umov (b), tada je b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a = a 2 = a 4 = ... =; 3) ako je funkcija f (x) nesparena i Viconan Umov (a), tada je a = a 1 = a 2 = ... =, b 2 = b 4 = b 6 = ... =; 4) ako je funkcija f (x) nesparena i Viconan Umov (b), tada je a = a 1 = a 2 = ... =, b 1 = b 3 = b 5 = ... =. ZAVDANNA Za zadatke 1 7 obojite grafikone i upoznajte seriju Fur'ê za funkcije,< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 (1, jakšo / 2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Proširivanje funkcije, zadane u intervalu [, π], samo iza sinusa ili samo iza kosinusa Funkcija f je navedena u intervalu [, π]. Proširit ćemo prostor u cijelom rasponu do Fur'ê reda, možemo nastaviti na f na istaknutosti [, π] s višim rangom, a ujedno će biti brže s formulama Eiler Fur' ê. Svavilja kod napredne funkcije za proizvodnju prije, za jednu vrstu funkcije f: [, π] R možemo ukloniti broj Fur'ê. Alternativno, možete vikoristovuvat tse svavillya tako, samo obrežite širenje samo iza sinusa ili samo po kosinusima: prvi vipad ima dovoljno za promicanje f s neuparenim rangom, i to na drugačiji način za dečke. Algoritam rješenja 1. Nastavite funkciju s nesparenim (tip) rangom (,), a zatim periodično, svakih 2π, nastavite funkciju za cjelinu. 2. Izračunajte izvedbu Fur'ê. 3. Presavijte Fur niz funkcije f (x). 4. Revizijski umovi su niski. 5. Uvedite funkciju kojoj postoji cijeli red. DODATAK 7. Primijenjeno na funkciju f (x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Mala. 17. Grafikon nastavljene funkcije Očito je da je funkcija f (x) sramežljivo glatka. Brojno funkcionalan Fur'ê: a n = sve n u onoj mjeri u kojoj je funkcija f (x) nesparena. Ako je n 1, tada je bn = 2 π f (x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = 1 = 1 (1 ) n (1) n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, gdje je n = 2 k + 1, (1) n + 1 (n 1) + (n + 1) = π (n + 1) ( n 1) 2 2n, gdje je n = 2k. π n 2 1 Kada je n = 1, nazivnik se pretvara u nulu na prednjoj strani kalkulatora, pa se koeficijent b 1 izračunava bez prethodnih 25

26 spavanje: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Niz Fur'ê funkcija f (x) je sklopiv: f (x) 8 π k = 1 k 4k 2 1 sin 2kx. Ako je funkcija f (x) sramežljivo glatka, tada nakon teorema o krapkovu vrijednost Fur serije funkcije f (x) ide na sumi: cosx, gdje je π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Mala. Slika 18. Graf funkcije f (x) preklopljen na novi graf zbroja komada S1 (x) Sl. 19. Graf funkcije f (x) prekriven na novom grafu zbroja dijagrama S 2 (x) 27

28 Mala. 2. Graf funkcije f (x) bit će superponiran na graf presječnog zbroja S3 (x). 21 prikazani su grafovi funkcije f (x) i parcijalni zbroji S 99 (x). Mali. 21. Graf funkcije f (x) prekriven na novom grafu zbroja dijagrama S 99 (x) 28

29 DODATAK 8. Proširivo funkcijom f (x) = e ax, a>, x [, π], do niza Fur'ê samo u kosinusima. Odluka. Kontinuirano s funkcijom tipskog ranga (,) (tako da je paritet f (x) = f (x) prikazan svim x (, π)), to se povremeno ponavlja s periodom od 2π, protežući Yong broj prema gore . Možemo prihvatiti funkciju f (x), graf takvih prikaza na Sl. 22. Funkcija f (x) u točkama Mal. 22. Graf nastavljene funkcije f (x) x = kπ, k je cijeli broj, kao i ulja. Brojno kofítsíênti Fur'ê: b n =, oskílki f (x) u paru. Integriraj u dijelove Mo 29

30 an = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd (e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f (x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e ax ax 2n2 e ax a (eaπ cos n π 1) n2 aa n. 2 Otzhe, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Oscilacije f (x) su bez prekida, tada, prema teoremu o strujanju, niz Fur konvergira u f (x). Također, svi x [, π] maêmo f (x) = 1 π a (eaπ 1) + 2a π k = 1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Riža pokazuje djelovanje približavanja parcijalnih zbroja broju Fur'ê danoj funkciji rezanja. 3

31 Mala. 23. Grafovi funkcija f (x) i S (x) Mal. 24. Grafovi funkcija f (x) i S1 (x) Mala. 25. Grafovi funkcija f (x) i S2 (x) Mala. 26. Grafovi funkcija f (x) i S 3 (x) 31

32 Mala. 27. Grafovi funkcija f (x) i S4 (x) Mal. 28. PREDSTAVLJENI grafovi funkcija f (x) i S 99 (x) 9. Funkciju f (x) = cos x, x π stavite u red Fur'ê samo u kosinusima. 1. Proširiti funkciju f (x) = e ax, a>, x π, na red Fur'ê samo iza sinusa. 11. Stavite funkciju f (x) = x 2, x π u red Fur'ê samo iza sinusa. 12. Odrediti funkciju f (x) = sin ax, x π, y niz Fur'ê samo u kosinusima. 13. Stavite funkciju f (x) = x sin x, x π u red Fur'ê samo iza sinusa. Vidpovidi 9.cosx = cosx. 1. e ax = 2 [1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k = 1 11. x 2 2 [π 2 (1) n 1 π n + 2] n 3 ((1) n 1) sin nx. 32

33 12. Ako a nije cijeli broj, sin ax = 1 cosaπ (1 + + 2a cos 2nx) + π a 2 (2n) 2 + 2a 1 + cosaπ cos (2n 1) x π a 2 (2n 1) 2 ; ako je a = 2m par broj, tada sin 2mx = 8m cos (2n 1) x π (2m) 2 (2n 1) 2; ako je a = 2m 1 pozitivno nespareni broj, tada je sin (2m 1) x = 2 (cos 2nx) 1 + 2 (2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Serija Fury funkcije s određenim periodom Pretpostavimo da je funkcija f (x) postavljena u intervalu [l, l], l>. Nakon što smo izvršili zamjenu x = ly, y π, možemo izvesti funkciju g (y) = f (ly / π), što znači na intervalu π [, π]. Treća funkcija g (y) tvori (formalni) niz Fur'ê () ly f = g (y) a π 2 + (an cosny + bn sin ny), čija učinkovitost leži iza Euler Fur'ê formula : an = 1 π g (y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2, ..., 33

34 bn = 1 π g (y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2, .... π Za funkciju f (x), trigonometrijski niz može se lako promijeniti kako bi izgledao kao: de f (x) a 2 + an = 1 lbn = 1 lllll sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2, ..., ( 12) dx, n = 1, 2, . .. DODATAK 9. Poznat nam je niz Fur'ê funkcija, danih u intervalu (l, l) virazom (A, gdje je l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 llf (x) dx = 1 l A dx + 1 ll B dx = A + B, llan = 1 lllf (x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 ll A cos πnx l = A + B π nlbn = 1 l dx + 1 ll B cos πnx l sin πn =, gdje je n, ll A sin πnx lf (x) sin πnx l dx + 1 ll dx = B sin πnx l = BA (1 cosπn). πn Serija Fur funkcije f (x) je sklopiva: f (x) A + B π (B A Skala cosπn = (1) n, zatim n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l za n = 2k je zamislivo b n = b 2k =, za n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2 (BA) π (2k 1).

36 zvjezdica f (x) A + B (BA)? jakšo l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Mala. 29. Grafikon funkcije f (x) sa superponiranim na novim grafovima harmonika S (x) = a 2 i S 1 (x) = b 1 sinx. Za specifičnost grafa tri druga harmonika S 3 (x) = b 3 sin 3πx, S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l i S 7 (x) = b 7 sin 7πx potisak okomito uzbrdo l 37

38 Mala. 3. Grafikon funkcije f (x) je superponiran na novi graf zbroja komada S 99 (x) Sl. 31. Ulomak sl. 3 na skali 38

39 DEFINITIVNO U problemima prostora u nizu Fur'ê, funkcije su dodijeljene zadanom međuproduktu. 14.f (x) = x 1, (1, 1). 15.f (x) = ch2x, (2, 2] f (x) = x (1 x), (1, 1). 17.f (x) = cos π x, [1, 1] f (x ) = sin π x, (1, 1). (2 1, gdje je 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18.f (x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f (x) = α 2) l b) f (x) = 4al (1) n 1 (2n 1 ) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23.a) f (x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x ... b) f ( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π) + 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Kompleksni oblik na niz Fur'ê Distribucija f (x) = cne inx, de cn = 1 2π f (x) e inx dx, n = ± 1, ± 2, ..., nazvat ćemo složeni oblik Fur'ê serije. Funkcija presavijanja u složeni red Fur'ê s vizijom tihih umova, zbog čega se mogu smjestiti u govorni red Fur'ê. 4

41 DODATAK 1. Poznajemo Fur niz složenog oblika funkcije zadan formulom f (x) = e ax, y između [, π), de govorni broj. Odluka. Izvedba koja se može mjeriti: = c n = 1 2π f (x) e inx dx = 1 2π e (a in) x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1) n sh aπ. 2π (a in) π (a in) Složeni Fur niz funkcije f stroja f (x) sh aπ n = (1) n a in einx. Ponovno razmatranje, pa je funkcija f (x) kvrgavo glatka: u intervalu (, π) je beskonačno diferencirana, au točkama x = ± π nalaze se točke između (5), (6) lim h + ea (+ h) = e aπ, lim h + ea (π h) = e aπ, ea (+ h) ea (+) lim h + h = ae aπ ea (π h) ea (π), lim h + h = ae aπ. Također, funkcija f (x) je predstavljena redoslijedom Fur'ê sh aπ π n = (1) n a u einx, što treba ići na sumi: (e S (x) = ax, gdje je π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 DODATAK 11. Poznajemo niz Fur za složeni i govorni oblik funkcije zadanu formulom f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, de a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Nagadaêmo, vrećica beskrajnog geometrijskog napretka sa standardnim q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Sada poznajemo brojne Fur'ê u govornim oblicima. Za veliku grupu dopuna s brojevima n i n za n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Oskilki c = 1, tada je 2 = 2a n cos nx. f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Niz Fur'ê u govornom obliku funkcije f (x). Ovaj rang, ne računajući ekonomski integral, poznavali smo nisku funkciju Fur'ê. Kada smo virahuvali, postoji važan integral, koji se može naći u parametru cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a (zz 1) f (x) = 2i (1 a (zz 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1) z 2 2 (za) (za 1) = = i 2 + i () a 2 za + a 1. za 1 Dermal iz jednostavnih razlomaka možemo staviti pod formulu geometrijskog napretka: + aza = a 1 z 1 a = aanzzn, n = za 1 za = az = anz n. n = Potpuno, fragmenti az = a / z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, abo, kraće, c n = 1 2i a n sgnn. Tim sam, poznat je broj Fur'ê u složenom obliku. Nakon što smo grupirali dodatke s brojevima n i n, možemo izvesti niz Fur'ê funkcija u govornom obliku: = f (x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 = an sin nx. Znam u daljini virahuvati napadni sklopivi integral: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 ZAVDANNYA 24. Vikoristovuchi (15), izračunaj integral cos nxdx 1 2a cosx + a 2 za govore a, a> Vikoristovuchi (16), izračunaj integral sin x sin nxdx za govore a, a> a cosx + a2 U problemima Fur'ê u složenim oblicima za funkcije. 26.f (x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Teorem o jednakosti Ljapunova (jednakost Ljapunova). Neka je funkcija f: [, π] R takva da je f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f (x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Prema tome, Ljapunovljeva ekvivalentnost za funkciju f (x) nabubri za oko: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Preostala ekvivalencija za a π je poznata sin 2 na n 2 = a (π a) 2 Vazayuchi a = π 2, možemo uzeti sin2 na = 1 za n = 2k 1 i sin 2 na = za n = 2k. Otzhe, k = 1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. DODATAK 14. Napišimo Ljapunovljevu jednakost za funkciju f (x) = x cosx, x [, π], ako znamo dodatni zbroj brojevni niz (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4.1 π Rješenje. Izravni izračun daje = ππ f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Oskilki f (x) je uparena funkcija, tada za sve n maêmo bn =, an = 2 π = 1 π 1 = π (n + 1) = f (x) cosnxdx = 2 π 1 cos (n + 1) x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos (n + 1) x + cos (n 1) x) dx = 1 π sin (n + 1) xdx sin (n 1) xdx = π (n 1 ) π π 1 + cos (n 1) x = π (n 1) 2 1 (= (1) (n + 1) 1) 1 (+ (1) (n + 1) 1) = π (n + 1 ) 2 π (n 1) 2 () = (1) (n + 1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1) (n + 1) 1 nk π ( n 2 1) = π (4k 2 1) 2 ako je n = 2k, 2, ako je n = 2k + 1. Vrijednost a 1 treba brojati okremo, fragmenti u dalekoj formuli za n = 1, nazivnik razlomak se pretvara u nulu. = 1 π a 1 = 2 π f (x) cosxdx = 2 π x (1 + cos 2x) dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Dakle, Ljapunovljev paritet za funkciju f (x) ma viglyad: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π PREZENTACIJA 32. Napišite Ljapunovljevu ekvivalentnost za funkcija (xf (x) = 2 πx, gdje je x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Odgovori + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2.1 π 35. f (x) g (x) dx = cndn, de cn funkcija f (x) i dn Funkcionalna funkcija g (x) . 6. Diferencijacija serije Fur'ê Nekhai f: R R kontinuirano diferencirana 2π-periodična funkcija. Njegov niz Fur'ê ma viglyad: f (x) = a 2 + (n cos nx + b n sin nx). Funkcija f (x) slična je 2π-periodičnoj funkciji, za koju se može napisati formalni niz Fur'ê: f (x) a 2 + (an cos nx + bn sin nx), de a, an, bn , n = 1, 2, ... funkcionalnost Fur'ê funkcija f (x). 51

52 Teorem (proširena diferencijacija serije Fur). U slučaju raspadanja, istina je da je a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. PRIMJENA 15. Nemojte biti sramežljivo-glatka funkcija f (x) bez prekida u intervalu [, π]. Očigledno imamo f (x) dx = niska mizernost 2 dx 2 dx, zbog Steklove nesposobnosti i ponovnog povezivanja, tako da će nove funkcije izgubiti funkciju oblika f (x) Drugim riječima, Steklova nesposobnost, recimo, kada vidite da postoje tri jednostavne funkcije (u srednjem kvadratu), postoje tri funkcije (u srednjem kvadratu). Odluka. Podržano funkcijom f (x) do intervala [,] od strane tipskog ranga. Značajno prošireno samom funkcijom simbolom f (x). Funkcija će se nastaviti bez prekida i bit će glatka i glatka na putu [, π]. Dakle, kako je funkcija f (x) bez prekida, tada je f 2 (x) bez prekida za vrijeme trajanja i 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Oskílki funkcija para se nastavlja, zatim b n =, a = iza sudopera. Otzhe, paritet Lyapunov nabuvê na oko 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Ponovno razmatranje, da se f (x) pridržava teorema o diferencijaciji niza Fur'ê, tako da je a =, an = nb n, bn = na n, n 1. Ne želim f (x) biti loš u točkama x 1, x 2, ..., x N u intervalu [, π]. Neka je x = x N + 1 = π. Rastom integracije [, π] na intervalu N +1 (x, x 1), ..., (x N, x N + 1), stanje kože f (x) je savršeno diferencirano. Todi se prepoznaje opaka moć aditivnosti integrala, a zatim i integrirajućih dijelova: bn = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1π j = xj + 1 xjx j + 1 xjnn π N j = xj + 1 xjx j + 1 xjf (x) sin nxdx = f (x) cosnxdx = f (x) cosnxdx = = 1 π [(f (x (x) 1) sin nx 1 f (x) sin nx) + + (f ( x 2) sinnx 2 f (x 1) sin nx 1)

54 + (f (x N + 1) sin nx N + 1 f (x N) sin nx N)] n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j + 1 a = 1 f (x) dx = 1 N f (x) dx = π π j = xj = 1 N x j + 1 f (x) π = 1 (f (π) f ()) = .. . x j π j = Ostaju jednaki jedni drugima kroz one u kojima je funkcija f (x) promaknuta muškim rangom, te stoga f (π) = f (). Slično, možemo prepoznati an = nbn. Pokazali smo da se teorem proširene diferencijacije serije Fur'ê za neprekinutu šmatkovo-glatku 2π-periodičnu funkciju, koja je slična onoj u međuproduktu [, π], ponosi prvom vrstom, vyrna. Iz istog f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) = (na n) sin nx, oskilki a =, an = nb n =, bn = na n, n = 1, 2, ... Oskilki 2 dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Dakle, kao kožni pojam u redu (18), on je manje-više dodatni član reda (17), zatim 2 dx 2 dx. Nagađanje, scho f (x) ê dečkima u naprednim funkcijama, maêmo 2 dx 2 dx. Da donesem Steklovu paritetu. Danas postoji mnogo funkcija u Steklovovim nepravilnostima. Ako želite za jedan n 2 učinkovitost a n kao rezultat nula, tada je 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 PONUDA 37. Ne budi sramežljiva funkcija f (x) je neprekidna u intervalu [, π]. Obavijestite da, kada pobijedite, morate f () = f (π) = postoji mala pogreška 2 dx 2 dx, kako se to još naziva i Steklovom nesposobnošću, i prijeći preko, ali to jednostavno ne smeta f (x) . .. 38. Neka funkcija f bude bez prekida u intervalu [, π] i u novom (iza vinjete beskonačnog broja točaka) idem f (x), tako da integriramo s kvadratom. Da informiramo, ako u određenoj viziji mislite da je f () = f (π) í f (x) dx =, tada postoji mali nedostatak neučinkovitosti 2 dx 2 dx, kako se to naziva Wirtingerova neodlučnost, a funkcija je nije baš jednostavno za x) = A cosx + B sin x. 56

57 7. Stagnacija redova Fur'ê na pojavu diferencijalnih rasa među privatnim pokojnicima Kada oživljavanje stvarnog objekta (manifestacija prirode, virusni proces, kontrolni sustav je pretanak.) korak do razvoja. matematički aparat. U fazi znanstvenih studija takvo se koplje ljuljalo: fizički model je matematički model. Fizička formulacija (model) polja u ofenzivi je: pojavljuje se i razvija proces tog faktora glave, koji se prelijeva na novi. Matematička formulacija (model) polja u inventaru fizičke formulacije čimbenika i umova u pogledu sustava i jednakih (algebarski, diferencijalni, integralni itd.). Šef države se zove ispravna postavka, kao u pjevačkom funkcionalnom prostoru rješavanja zadaća mišljenja, jedno i jedino i bez prekida polagati na klip i granične umove. Matematički model nije samo isti objekt za promatranje, već ćemo mu pristupiti opisom. Viznok pivnyannya vilnykh malikh poprečne žice. Žice neka budu pričvršćene, a sama struna zategnuta. Ako umetnete žicu s položaja ravne linije (na primjer, izvucite je ili povucite uzduž), vjerojatnije je da će struna biti 57

58 vagatisya. Pritom se sve točke strune srušavaju okomito na položaj ravnove (poprečne veze), štoviše, u momentu kože, struna leži u jednom te istom području. Postoji pravokutni koordinatni sustav xou. Todi, ako je u trenutku kob u satu t = struna urasla u os Oxa, tada u znači otpuštanje strune iz položaja ravne, tako da položaj točke strune iz apscisa x u završnom trenutku sata t funkcije, tíê vrijednost Uz fiksnu vrijednost t, graf funkcije u (x, t) predstavlja oblik niza koji se može vrtjeti u trenutku t (slika 32). Uz konstantnu vrijednost x, funkcija u (x, t) daje zakon točki apscise x, pravac je ravna, paralelna s osi Ou, t se gubi, a druga se gubi 2 u 2 se ubrzava . Mali. 32. Sila, primijenjena na neograničeno mali broj nizova Skladište dovoljna da zadovolji funkciju u (x, t). Za cijelu hrpu brutalnih posipanja neka oproste. Žica je apsolutno čvrsta - 58

59 Coy, pa vvazhatimo, zasto ne bi strunu zavila viginu; tse znači, scho opruge, scho namiguje na žice, uvijek ispravljene u skladu s točno istim profilom njezinih rukavica. Žica se prenosi oprugom i Hookeovim zakonom; tse znači da je promjena veličine uvučena proporcionalno zmiji žice. Prihvatljivo, jednostruki niz; tse znači, íí̈íí̈ linea gustina ρ postíyna. Snage buđenja su nezdrave. Tse označava kako ga možemo vidjeti. Mi vivchatimo najam žice su male. Označimo li sa ϕ (x, t) rez između apscise i isprekidane linije u točki od apscise x u trenutku t, tada je um djetetovog polja u tome, s vrijednošću ϕ 2 (x , t) moguće je ne lako (povremeno x, t), tako da je ϕ 2. Budući da je kut ϕ malij, onda cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tan ϕ í također može biti vrijednost (uxx,) 2 izostavljeno. Zvuči odjednom viplivay, ali u procesu pjevanja, možete zehtuvati zmijom čak i ako ste delinker od žica. Zapravo, malo niza M 1 M 2 treba dizajnirati u apscisnoj osi, de x 2 = x 1 + x, cesta l = x 2 x () 2 u dx x. x Pokazat će se da će za naše dodatke vrijednost sile zatezanja T biti stalna napetost strune. U isto vrijeme, po prvi put želim dilyanka žice M 1 M 2 (Sl. 32) u vrijeme sata t i umjesto sudjelovanja - 59

60 kv vučnim silama T 1 i T 2. Oscilacije za odvod svih točaka strune kolapsiraju paralelno s osi Ou i vanjske sile, tada je zbroj projekcije vučnih sila na osovinu Ox odgovoran za nulu : T 1 cosϕ (2 x 1, t) + (x 2, t) =. Počinje kroz mali broj kutiv ϕ 1 = ϕ (x 1, t) í ϕ 2 = ϕ (x 2, t) strukture, ali T 1 = T 2. Značajno je da je početna vrijednost T 1 = T 2 kroz T. Sada zbroj projekcija F u qix sila na osovinu Ou: F u = T sin ϕ (x 2, t) T sin ϕ (x 1, t). (2) Oskílki za mali kutív sin ϕ (x, t) tg? T (tan ϕ (x 2, t) tan ϕ (x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) xx T 2 ux 2 (x 1, t) x ... Ako je točka x 1 obrnuta, tada je F u T 2 u x2 (x, t) x. Osim toga, budući da je poznato da sve sile idu na M 1 M 2, postoji još jedan Newtonov zakon, što znači da postoji potreba za brzim opskrbom svih sila dana. Masa strune je M 1 M 2 za cestu m = ρ l ρ x, a za ubrzanu cestu je 2 u (x, t). Ekvivalentno Newtonovom t 2 s gledišta: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2 (x, t) x, de α 2 = T ρ je trajno pozitivan broj. 6

61 Speedy na x, možemo definirati mo 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2 (x, t). (21) Kao rezultat toga, prikazali smo linearne razlike između privatnih, različitih reda veličine, sa zastarjelim performansama. Yogo poziva chi žice na istu vrstu kao iste. Rivnyannya (21) preformulira Newtonov zakon i opisuje kolaps strune. Ale na fizičkom uprizorenju boule vimogi o onim žicama koje se pričvršćuju i žice se stavljaju u idućih sat vremena. Ekvivalentno, trebali bismo to zapisati ovako: a) važno je da su krajevi žica fiksirani u točkama x = í x = l, tako da je važno, za sve t vikonaní performanse u (, t) =, u (l, t) =, u (l, t); (22) b) svjesno, u trenutku t = pozicija niza postavljena je ispod grafa funkcije f (x), tako da je, za sve x [, l], ekvivalentnost u (x,) = f (x); (23) c) Pa, u vrijeme sata t = točka niza od apscise x, zadana je brzina g (x), pa također, u (x,) = g (x). (24) t Spívdnoshennya (22) se nazivaju granični umovi, a spívídnoshennya (23) i (24) se nazivaju umovima klipa. Matematički model poprečnog vilnyh malikh 61

62 nizanje struna u činjenici da je potrebno napraviti niz struna (21) s rubnim umivaonicima (22) i umivaonicima (23) i (24) Odluka vilny malog poprečnog nizanja struna metodom Fur' 'Roving po regiji (21) xl,< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >... U skladu s (25) (21), možemo prepoznati: X T = α 2 X T, (26) ili T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x). (27) Čini se da su zli postali. Dakle, ako x í t ne leži na jedan način od jedan, tada lijevi dio (27) ne leži oko x, ali desni oko t i vrijednost cich unatrag je oko 62

63 može biti naknadno postavljeno, što ima značenje kroz λ: T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x) = λ. Prepoznat ćemo dva specifična diferencijalna ekvivalenta: X (x) λx (x) =, (28) T (t) α 2 λt (t) =. (29) Za veliku granicu, zamislite (22) da vidite X () T (t) = í X (l) T (t) =. Oskílka smrad se može vidjeti sve t, t>, zatim X () = X (l) =. (3) Znamo odluku rivnyannya (28), jer bi se svidjela graničnim umovima (3). Vidljiva su tri pogleda. Vipadoc 1:>. Neka je λ = β 2. Ekvivalentno (28) izgledu X (x) β 2 X (x) =. Yogo karakteristika jednaka k 2 β 2 = korijen k = ± β. Otzhe, glava rješenja (28) ma viglyad X (x) = C e βx + De βx. Ako ste krivi što ste pogriješili, onda C i D tako da je granični odvod (3) zahvaćen, tako da je X () = C + D =, X (l) = C e βl + De βl =. Oskílki β, tsya sustav rívnyan maê êdine otopine C = D =. Otzhe, X (x) ta 63

64 u (x, t). Sam Tim, na vipadku 1 mi, donio je trivijalnu odluku, koliko se to nije moglo razaznati. Tip 2: λ =. Todi rívnyannya (28) nabuvaê u pogledu X (x) = í-to rješenje, očito, dano je formulom: X (x) = C x + d. Dajemo rješenje na graničnom sudoperu (3), možemo ga očitati X () = D = í X (l) = Cl =, također, C = D =. Iz istog vremena, X (x) i u (x, t), a mi smo već odbacili trivijalno rješenje. Vipadoc 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 Nadal navatimo n samo pozitivne vrijednosti n = 1, 2, ..., fragmenti s negativnim n bit će odluka o tome (nπ) Vrijednosti λ n = nazivaju se apsolutni brojevi, a funkcije X n (x) = C n sin πnx s najmoćnijim funkcijama diferencijalne jednadžbe (28) s regionalnim umovima (3). Sada je slabo povezan (29). Za novu karakteristiku ma viglyad k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Oskílki vishche mi s'yasuvali, ali netrivijalna rješenja X (x) ívnyannya (28) ê ako je za negativan λ, jednak λ = n2 π 2, tada isti λ mi i vidljiv daleko. Korijen pravca (32) ê k = ± iα λ, a rješenje pravca (29) može izgledati ovako: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) ll de A n í B n su dosljedniji. Predstavljamo formule (31) i (33) u (25), znamo privatnu odluku rivnyannya (21), ali zadovoljni smo regionalnim umovima (22): πnx. lll Umetni množitelj C n na pramcu í umetni vrijednost C n A n = bn i B n C n = an, napiši un (X, T) na gledatelju (un (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt ) sin πnx. (34) l l l 65

66 Strune jigs, koje pokazuju rješenja u n (x, t), nazivamo power string jigs. Oskilki rívnyannya (21) i granična pobjeda (22) líníyní i jednosmjerna, zatim líníyna kombinacija rješenja (34) (u (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt) sin πnx (35) lll dana ), što je zadovoljavajuće za granične umove (22) s posebnom vibracijom izvedbe an i bn, koja će osigurati jednaku sigurnost broja. Danas je učinkovitost rješenja an i bn (35) toliko dobra da nije bila samo granična linija, već i klip (23) da su (24), de f (x), g (x) dobili funkciju (gdje f () = f (l) = g () = g (l) =). Impresivno, funkcije f (x) i g (x) će zadovoljiti umove distribucije na nisku Fur'ê. S obzirom na (35) vrijednost t =, možemo uzeti u (x,) = a n sin πnx l = f (x). Razlikujući niz (35) u t i predstavljajući t =, možemo ga učiniti ut (x,) = πnα bn sin πnx ll = g (x), a funkcije širenja f (x) i g (x) na Fur' ê lave. Također, a n = 2 l f (x) sin πnx l dx, b n = 2 l g (x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 Možemo ponuditi razne opcije za funkcionalnosti an i bn do broja (35), prihvaćamo rješenje rivnyannya (21), kao i za granične umove (22) i cob umove (23) i ( 24). Tim smo se i sami obvezali na male križne žice. Postoji fizička promjena u funkcijama snage u n (x, t) problema s nizanjem nizova, kao što je dano formulom (34). Prepisivo njeno na viglyadí de n (x, t) = n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctan b n. l a n Iz formule (37) se vidi da sve točke niza idu skladno s jednom te istom frekvencijom ω n = πnα i fazom πnα δ n. Amplituda strune koja leži od l l apscis x točke niza í ceste α n sin πnx. S takvim brojem sve točke niza odmah postižu maksimalnu vidljivost u tom smjeru i jedan sat prolaze položaj linije. Ove kolyvannya se nazivaju stajaćim pohvalama. Stojeći za mate n + 1 nedestruktivnu točku, kako pitati korijene rivnyannya sin πnx = u intervalu [, l]. Nepokorne točke zovu se vuze stajaćih khvilija. U sredini čvorova rastu točke, u kojima pogledi dostižu maksimum; takve se točke nazivaju antičvorovi. Kožna žica se može koristiti za striktno pjevanje frekvencija n = πnα, n = 1, 2, .... a frekvencije se nazivaju frekvencijama snage žice. Najniži l ton, koji se može vidjeti kao žica, počinje od 67

68 frekvencija niske snage 1 = π T í naziva se osnovnim tonom žice. Drugi tonovi, koji odgovaraju l ρ frekvencijama n, n = 2, 3, ..., nazivaju se prizvuci ili harmonici. Za specifičnost vrste žica, vrstu glavnog tona (slika 33), prvog prizvuka (sl. 34) i drugog prizvuka (slika 35). Mali. 33. Profil žice, koji izgleda kao glavni ton Mal. 34. Profil žice, koji izgleda kao prvi prizvuk. 35. Profil žice, koji izgleda kao drugačiji prizvuk.Kako struna ide, počinje s umovima klipa, pojavljuje se funkcija u (x, t), kao što se može vidjeti iz formula (35), u oči sumy ima neke harmonike. Takav čin dovoljan je za koloniju 68

69 žica je superpozicija stajaćih udica. Istodobno, karakter zvuka žice (ton, jačina zvuka, timbar) leži u obliku sp_vdnoshennya između amplituda harmonika. Jačina, visina i tembar zvuka. Snagu zvuka karakterizira energija zvuka. Zvuk zvuka počinje s frekvencijom chi perioda: ako je frekvencija viša, onda je zvuk viši. Timbar zvuka počinje se očitovati u prizvucima, energija se diže iza harmonika, tako da na način zvučanja tona. Amplitude prizvuka su, očito, manje od amplitude glavnog tona, a faze prizvuka mogu biti prilično značajne. Naš Vuho nije osjetljiv na Phasie Kolivan. Usporedite, na primjer, dvije krivulje na sl. 36, osumnjičenog od strane z. Tse snimaju zvuk s vrlo osnovnim tonom, upletenim od klarineta (a) i klavira (b). Uvredljivi zvukovi nisu jednostavni sinusoidni zvukovi. Osnovna frekvencija zvuka u obje vrste je ista, a isti je i ton. Malo krivulja na činjenicu da se prizvuci primjenjuju na glavni ton. U pjevačkom smislu bebe, pokažite isti tembar. 69

Ekvivalentno hiperboličkom tipu. Kolona nesputanih i nedovršenih žica. Krzna metoda Krzna metoda Stojeći čvili 4 Predavanja 4.1. Ekvivalentno hiperboličkom tipu. Kolekcija nije beskonačna i tako dalje.

MOSKVSKO DRŽAVNO TEHNIČKO SVEUČILIŠTE CIVILNOG AVIATSIN V.M. Lyubimov, Ê.A. Žukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Šurinov M A T E M A T Í K A R A D I POSIBNIK

MINISTARSTVO RUSKOG FEDERALNOG Državnog proračuna za obrazovanje Ustanova za stručno obrazovanje MATI Rusko državno tehnološko sveučilište nazvano K.E. Tsiolkovsky

Ministarstvo obrazovanja Republike Bilorus EE "Vitebsko državno tehnološko sveučilište" Tema. "Redovi" Zavod za teorijsku i primijenjenu matematiku. razbio izv. prof. Ê.B. Duninoyu. Glavni

Federalna agencija za obrazovanje Federalna državna agencija za uspostavu stručnog obrazovanja FEDERALNO SVEUČILIŠTE PIVDENNY R. M. Gavrilova, G. S. Kostetska Metodički

Tema Riadi Fur'ê Praktično korištenje Riadi Fur'ê iza ortogonalnih sustava funkcija

TEORIJA DOMETA Teorija serija je najvažnija skladišna matematička analiza i poznavanje teoretskih i numeričkih praktičnih izvještaja. Razr_znyayut niz brojeva i funkcija.

ZMIST RED FUR'Ê 4 Razumijevanje periodične funkcije 4 Trigonometrijsko polje 6 3 Ortogonalni sustavi funkcija 4 Trigonometrijski niz Fur'ê 3 5 Red Fur'ê za dječake i nesparene funkcije 6 6 Izgled

Federalna agencija za obrazovanje Moskovsko državno sveučilište za geodeziju i kartografiju (MÍIGAIK)

Predavanje 4. Analiza harmonije. Niz Fur'ê periodičnih funkcija. Analiza harmonije

TEMA V RED FUR'Ê PREDAVANJE 6 Postavljanje periodičnih funkcija u nizu Fur'ê Bagato procesa koji se događaju u prirodi i tehnologiji, može se ponavljati kroz pjevanje sat vremena Takvi procesi

METODOLOŠKI VKAZIVKI PRIJE ROZRAKHUNKOVIKH ZAVDAN NA TEČAJU VISCHO MATEMATIKE "ZVICHAYNI RIVNYANNYA RIVE RANGE Podviyni INTEGRALI" DIO SH TEMA RED

6 redova Fur'ê 6 Ortogonalni sustavi funkcija Niz Fur'ê u ortogonalnim sustavima funkcija Funkcije ϕ () i ψ (), vrijednosti i integracija na vrhu [,], nazivaju se u cjelini ortogonalnim

INTEGRAL VRIJEDNOSTI. Integral sumi singularnog integrala Nehai dobiva funkciju y = f (), dodijeljenu obliku [, b], de< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Redovi 5 koraka Redovi 5 koraka: vrijednost, područje razlike Funkcionalni red oblika (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) de, a, a, K , a, k deyaki brojevi, nazovite državnu seriju Brojevi

SVEUČILIŠTE BILORUSKIY DERŽAVNIY FAKULTET PRIMIJENJENE MATEMATIKE I INFORMATIKE

Stavite deyaki na to. guzicom. Znamo zbroj beskrajnog geometrijskog napretka.Formula izraza žara je a + aq + ... + aq n + ... (a). a n = aq n. Brojni dijelovi sumija. Ako je q =, onda

Zavdannya 1.1. Da bi se saznalo iz navedenog područja odluka iz iste nule je odluka y = y (x) diferencijalne jednadžbe, koja je zadovoljna zadatkom regionalnih umova (upravitelj Sturm-Livilya).

Matematička analiza Tema: Pjevanje integrala Nevlasny Integrali Predavač Pakhomova Ê.G. 2017. str. ROZDIL II. Pjevački integral te jogo dodatke 1. Pjevački integral te jogo snage 1. Glava,

Predavanje 8 4 Glava Sturm-Livilya Moguće je razumjeti problem kob-ruba za diferencijalnu jednakost kod privatnih starijih različitog reda, kada se opisuje mali poprečni niz struna.

Objašnjeno tekstu: znak se čita yak "pravedno" i znači, da je kod rivljana dešnjak iz znaka a zlo je od znaka bezlich odgovor, znak IR znači bezlich govorne brojeve, znak IN

82 4. Rozdil 4. Funkcionalni i državni red 4.2. Zauzet 3 4.2. Zauzet 3 4.2 .. Stavljanje funkcije u Taylorov niz VRIJEDNOST 4.2 .. Ne znam da je funkcija y = f (x) neograničeno diferencirana na periferiji

MINOBRNAUKI ROSIN FEDERALNA DERZHAVNA BUDGETNA OSVITALNAYA INSTANOVA VISCHOÍ̈ PROCJENA PROFESSIONO "SAMARSKY DERZHAVNIY TECHNICAL

Federalna agencija za željeznički promet Ural State University of Nobles s Odjelom za primijenjenu matematiku

Predavanje 3 Taylor i Maclaurin redovi Stagnacija državnih redova Raspored funkcija u državnim redovima redova Taylor i Maclaurin

S A Lavrenchenko wwwwrckoru Predavanje Revizija Fur'ê Razumijevanje integralne rekonstrukcije Metoda Integralne revizije je jedna od napornih metoda u matematičkoj fizici ê nasilnom revizijom

Integracija funkcije (za Rimana) isti integral Primijeniti rješenje zadataka 1. Funkcija f (x) = C je integrirana na, kao i za bilo koju vrstu promjene ili vibracije točaka ξ i integral

Tečaj 1. godine. Dovedite, da je Rimanova funkcija, kao 0, m m R (), kao m, m 0 i druge nekratke, 0, kao iracionalne, kao u koži racionalne točke i bez prekida u koži Odluka.

1 2 Zm_st 1 Redovi Fur'ê 5 1.1 Trigonometrijski niz Fur'ê ............ 5 1.2 Tilki sin & cos ................. .... 7 1.3 Serija krzna u složenom obliku 11 1.4 f (x) = ck? .......................

RÍVNÂNNÂ MATEMATIČKA FIZIKA 1. Diferencijalni odnosi s privatnom djecom.

Predavanje 4. Hvilyovi rivnyannya 1. Vivedennya pivnyannya žice 2. Rivnyannya kasnije šišanje kolivana 3. Slušalice, naplatci 4. Prikaz problema 1. Dobitne žice za rivnyannya

1. Elektrostatika 1 1. Elektrostatika Lekcija 6 Razvoj promjena kartezijanskih koordinata 1.1. (Tvornička postavka 1.49) Područje z = nabijeno od jačine σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), de σ, α, β post_yni.

Tema modula Funkcionalni završeci i nizovi Snaga jednake važnosti i nizovi

Ekvivalentno paraboličnom tipu. Metoda za promjenu iste regije Jedno područje tvornice Funkcije uređaja Nije jedno za isti tip provođenja topline 7 Predavanja 7.1 Ekvivalent za parabolički tip. Podil metoda

Predavanje Brojevnih nizova Znakovi vrijednosti Brojevni nizovi Znakovi vrijednosti Brojevni nizovi Znakovi vrijednosti Brojevni nizovi Znakovi vrijednosti Brojevni nizovi Znakovi vrijednosti Brojevi nizovi

35 7 Trigonometrijski niz Fur'ê Redovi Fur'ê za periodične funkcije s točkom T.

Metalurški fakultet Zavod za prehrambenu matematiku RANGE Metodičke upute Novokuznetsk 5 Federalna agencija za obrazovanje

Odjel za matematiku i informatiku Element sve matematike Početno-metodički kompleks za učenike srednjeg strukovnog obrazovanja koji počinju učiti iz daljinskih tehnologija.

9. Prije svega integral bez vrijednosti 9 .. Neka funkcija f () bude postavljena na interval I R. Funkcija F () naziva se primarnom funkcijom f () za interval I, jer je F () = f () za bilo koje I, to je primarna

DIFERENCIJALNE FUNKCIJE JEDNE ZIMA Razumijevanje jednostavnog, geometrijskog i fizičkog smisla Zavdannya, stvoriti prije razumijevanja primitivnog Oznaka Stosovo S na liniji y f (x) u točki A x; f (

Ekvivalentno hiperboličkom tipu. Kolona nesputanih i nedovršenih žica. D'Alembertova metoda Žica bez mirisa. D'Alembertova formula Nelinearni niz 3 Predavanje 3.1. Ekvivalentno hiperboličkom tipu.

Zmíst Vstup. Osnovno razumijevanje .... 4 1. Volterri Integral Rivne ... 5 Mogućnosti za kućanstvo .... 8 2. Volterri Integral Rivnyannya Rezolucija. 10 Mogućnosti za kućanstvo ... 11

DOMET. Redovi brojeva. Glavna vrijednost Nehaija dana je neograničenom broju Virazovih brojeva (neograničen zbroj) a, a 2, ..., an, ... ai = a + a 2 + + an + ... () i = to nazvati brojevnim nizom. Brojevi

8. Koračni redovi 8 .. Funkcionalni red oblika cn (z) n, (8.) n = de cn je numerički niz, R je fiksni broj, a z R se zove red stanja s parametrima c n . Vicone zamjenjuje pobjednike

~ ~ Nevažni i nevažni integrali Razumijevanje primordijalnog i nedodijeljenog integrala. Oznaka: Funkcija F se zove prvi red u odnosu na funkciju f, kao i funkcija pričvršćivanja

3724 REDOVI CRATNI Í KRIVOLINIINI INTEGRALA 1 ROBOCH PROGRAM ROSDILIVA "REDOVI CRATNI Í CRYVOLINIINI INTEGRALA" 11 Brojevi serije Razumjeti niz brojeva Moć brojeva

JESTI. RUDIJ MATEMATIČKA ANALIZA. BROJEVI I FUNKCIONALNI REDOVI NOVOSIBIRSK 200 2 MINOBRNAUKI ROSIN GOU VPO "NOVOSIBIRSKY DERZHAVNIY PEDAGOGICHNY UNIVERSITY" O.M. Rudij MATEMATIČKA ANALIZA.

PREDAVANJE N 7. Taylorov red i Taylorov red ... Taylorov red ... Taylorov red ...

TRG RIVNIANNYA Zmist TRG RIVNIANNYA ... 4.taj zadnji trg rivnyan ... 4 ..

ROZDIL ZAVDANNIA S PARAMETRIMA Komentari Uprava s parametrima tradicionalno je sklopivi objekti na strukturama EDI-a, tako da možete koristiti sve metode i metode rješavanja djece.

Diferencijalni proračun Uvedeno u matematičku analizu Intersekcijske funkcije. Rozkritta nevrijednosti na granicama. Funkcije su slične. Pravila diferencijacije. Zasosuvannya obhídnoí̈

Niz Fur'ê ortogonalnih sustava funkcija Sa stajališta algebre, ekvivalencija de-funkcija dane klase a - performanse iz R ali C jednostavno znači da je vektor linearna kombinacija vektora

1. Pjevački integral 1.1. Neka je f okružen funkcijom postavljenom u obliku [, b] R. Rosbittyam vidrizka [, b] nazovite takav skup točaka τ = (x, x 1, ..., xn 1, xn) [, b ], uh = x< x 1 < < x n 1

Glavne stepenice Redovi a a a Prikaz reda a a a a a () nazivaju se statičkim, de, a, postoperativnim, nazivaju se funkcioneri u nizu.

Postavljanje u niz FUR' tipova i nesparenih funkcija. Postavljanje funkcije u red iza sinusa ili po kosinusima. Red Fur'ê za funkciju s dugim periodom Parseval. Zatvoreni sustavi i Rotacija i zatvorenost sustava

Izlaganje niza Fur'ê uparene i nesparene funkcije Funkcije f (x), dodijeljene vidrizka \ -1, de I> 0, nazvane uparene, jer je graf uparenih funkcija simetričan i os ordinata. Funkcija f (x), koja je dodijeljena obliku J), de I> 0, naziva se nesparenom, jer je graf nesparenih funkcija simetričan s kobom koordinata. guzicom. a) Funkcije ê uparene na alternativama | -jt, jt), to jest za sve x e b) Funkcije su nesparene, to jest, Navođenje u nizu Fur'ê momaka i nesparenih funkcija; Fur'ê za funkcije s a dugo razdoblje Složena notacija za broj Fur'ê Riadi Fur'ê za brojne ortogonalne sustave funkcija Broj Fur'ê za ortogonalni sustav Minimalna snaga funkcije sustava Labavost sustava. (x) de ni na dečke, ni na nesparene funkcije, oskilki Nekhai funkcija f (x), koja je zadovoljna teoremima 1, ê je uparena na temelju x |. Todi sve tobto. / (x) cos nx je uparena funkcija, a f (x) sinnx je nesparena. Na to, funkcija para funkcija / (f) dovršava funkciju Otzhe, broj funkcije para ma viglyad 00 Yaksho f (x) je nesparena funkcija na izlazu [-tg, ir |, zatim funkcija nije uparena s , a zbrajanje f (x) sin nx je funkcija para. U takvom rangu, niz Fuhr'ê nesparenih funkcija može se vidjeti Dodatak 1. Prostori u nizu Fur'ê na sličnoj funkciji -x ^ x ^ n 4 Dakle, kao funkcija para i ako smo zadovoljni uz teoreme 1, tada znamo kofítsíênti Fur'ê. Mamo Dvíchi íntegruvannya u dijelovima, to znači, broj Fur'ê ove funkcije gledatelja je sljedeći: u svakom slučaju, u otvorenom pogledu, vrijednost je poštena za bilo koji x €, tako kao u točkama x = ± ir postoji broj f (x) = x2, fragmenata. Grafovi funkcije f (x) = x i zbroj zadanog retka dani su na Sl. Poštovanje. Cijeli niz Fur'ê omogućuje vam da znate zbroj jednog od brojčanih nizova koji konvergira, a sam po sebi, na x = 0, on je prepoznatljiv, ali Primjena 2. Proširuje se u Fur'ê seriju na intervalu od funkcija / (x) = x. Funkcija / (x) zadovoljava teorem 1, a također je moguće proširiti u niz Fur, koji se kroz nesparenu funkciju funkcije integrira zajedno, znamo funkciju funkcije funkcije s obzirom, red Fur svih x točaka x - ± tg zbroj na broj Fur'ê se ne riješi vrijednosti funkcije / (x) = x, neki od najvažnijih stavova su u sličnom [- *, i-] zbroj niza ê periodičnih naprednih funkcija / (x) = x; njen graf je prikazan na sl. 6. § 6. Raspored funkcije, zadane pogonu, u nizu iza sinusa ili po kosinusima. Značaj središnje funkcije za dostavu 0 | moguće je biti i drugačijeg ranga. Na primjer, moguće je koristiti funkciju / na vozilu] tako, schob /. Imam puno vipadku da to kažem) "unaprijeđen u vidrizok 0] od mladog čina"; í̈ broj Fur'ê osvete lishe kosinusi. Kako je funkcija / (f) važna za oblik [-l-, mc], tako, ako je funkcija nesparena, ako se čini da / "je unaprijeđen u oblik [- *, 0] nesparenim rangom"; Sav red Fur'ê bit će zbunjen samo sa sinusima.Također, koža je okružena kvrgavo-monotonom funkcijom / (f), dodijeljena je alternativnoj, moguće je proširiti u nizu Fur'ê í duž sinusa, í duž kosinusa Primjena 1. Funkcije u nizu ruža 'ê: a) po kosinusima; b) iza sinusa. M Funkcija se daje u slučaju uparenih i nesparenih promocija u vidrizoks | -x, 0) bit će isprepleteni da shmatkovo-monotono. a) Kontinuirano / (z) u verzijama 0) a) Kontinuirano j \ x) u verzijama (-tg, 0 | mladi čin (slika 7), todi íí̈ red Fur'ê i matime viglyad P = 1 de kofítsíênti Fur ' ê, b) Nastavite / (z) u obliku [-x, 0] nespareni (slika 8). Todi í̈í niz Fur'ê §7. Niz Fur'ê za funkciju s određenim periodom Nehai funkcija fix) ê je časopis s periodom od 21,1 ^ 0. Ta funkcija F (t) = / ^ tj bit će periodična funkcija argumenta t iz razdoblja i može se proširiti do reda Fur'ê. , Za ostanak na vlasti i za periodične funkcije s određenim razdobljem 21. Rast, nakon što je dobio svoju snagu i dovoljan da označi distribuciju funkcija u nizu Fur'ê. Primjena 1. Proširivanje niza Fur'ê je periodična funkcija s periodom 21, data u obliku [- /, /] formulom (slika 9). Dakle, kako je zadana funkcija para, tada se broj Fur'ê maê viglyad daje određeni broj Fur'ê znaju vrijednosti funkcija Fur'ê, jasno je prepoznato da postoji jedna važna moć periodičnih funkcija. Teorem 5. Ako je funkcija razdoblja T i integrirana, onda je to broj i jednakost m. Odnosno, integracija se ne temelji na razlici između razdoblja puta T, već je isto značenje upravo s položaja pogona na brojčanoj osi. Pošteno, Robimo će zamijeniti promjenu s drugog Integrala, vvazhayuchi. Tse daê i í također, geometrijski moćnost znači da su područja zasjenjena na Sl. 10 regija jednakih jedna drugoj. Zokrem, za funkciju f (x) s točkom, prihvatljivo je kada se niz FUR' tipova i nesparenih funkcija postavlja u red iza sinusa, ili po kosinusima. Fur'ê funkcije Fur'ê serije prema ortogonalnom sustavi Minimalna snaga učinkovitosti Besselove jednakosti Parseval zatvorenih sustava Rotacija i zatvorenost sustava Primjena 2. Funkcija x ê periodična iz perioda Zbog nesparene prirode ove funkcije, bez brojanja integrala, moguće ju je koristiti, ali ako je ikome data snaga, opruga, koja je funkcija periodičnih funkcija f (x) broj (znači, funkcija je cos - a sin može biti period 2 /). Primjena 3. Otvaranje broja Fur'ê zadano je na intervalu funkcijom s periodom 2x (slika 11). 4 Znamo funkcionalnost funkcije. Otzhe, niz Fur'ê će se vidjeti ovako: U točki x = jt (točka rezanja prvog roda) maêmo §8. Sveobuhvatni zapis za niz Fur'ê U cijelom paragrafu vikoristovuyutsya deyaki elemente složene analize (div. Razdil XXX, de all diy, koji se ovdje provodi sa složenim virazama, suvoro obrubljenim). Neka se funkcija f (x) zadovolji s dovoljno mjesta u redu Fur'ê. Na primjer, moguće je prikazati smjer Vikoristove formule Eilera u složenom obliku (3). Poznato je da virazi kofítsíêntív putem integrarala. Slično, formula ostatka za s „, s_p í s može se napisati na sljedeći način:. ... Značajke se nazivaju složene funkcije Fur'ê funkcije Za periodične funkcije iz razdoblja), složeni oblik je broj Fur'ê vidjet će se u očima dekofitsinti Sp koji se izračunava prema formulama vrijednosti w, kao i između aplikacija. Prostori u složenom nizu Fur'ê funkcije razdoblja. Funkcija se daje dovoljnim umovima distribucije u nizu Fur'ê. Nekhai Know-how složena funkcionalnost Fur'ê središnja funkcija. Mahmo za nesparene za dečke n, ili kraće. Predstavlyayuchi značenje), prepoznatljiv rezidualno Velika, ali broj se može napisati ovako: Red Fur'ê iza ortogonalnih sustava funkcija 9.1. Ortogonalni sustavi funkcija Besmisleno kroz sve (akcione) funkcije, koje su smislene i integrirane u kvadrat [a, 6], tako da je takav, za neki jednostavan integral. Zokrema, sve funkcije f (x), bez prekida do oblika [a, 6], biti 6], te značenje Lebesgueovih integrala uključeni su u značenje Rimanovih integrala. Viznachennya. Sustav funkcija, de, naziva se ortogonalnim na oblik [a, b \, kao Umov (1) koji prenosi, zokrem, ali funkcije nisu prikladne za istu nulu. Integralno razgovarati sa Senseiem Lebesgueom. Ako se vrijednost naziva normom funkcije u ortogonalnom sustavu za bilo koji stroj, tada se sustav funkcija naziva ortonormalnim. Ako je sustav (y> „(g)) ortogonalan, tada je sustav Primjena 1. Trigonometrijski sustav je ortogonan u smjeru. Sustav funkcija je ortonormalni sustav funkcija, Dodatak 2. Kosinusni sustav í sinusni sustav je ortonormalan. Uvedene, vrijednosti ê su ortogonalne na smjer (0, f |, ali nisu ortonormalne (na I F-2). Tako da ih normira COS. da bi funkcija uspostavila ortonormalni sustav funkcija na putu Čini se, na primjer, ortogonalnost Legendreovih polinoma. do reda m - I uključujući, pretvara se u nulu na kraju oblika [-1,1). Viznachennya. Sustav funkcija (pn (x)) naziva se ortogonalnim na intervalu (a, b) s funkcijom p (x), gdje je: 1) za sve n = 1,2, ... Posvuda je označen i pozitivno na intervalu (a, b) iza moguće vinjete krajnjeg broja točaka, de p (x) se može okrenuti na nulu. Nakon što smo napravili diferencijaciju u formuli (3), poznato je. Može se pokazati da je skretanje Chebishev-Ermita ortogonalno na intervalu. Primjena 4. Sustav Besselovih funkcija (jL (pix) ^ je ortogonan na intervalu nule Besselove funkcije. ortogonalni sustav funkcija u interval (a, 6) i niz (cj = const) konvergiraju na cijelom intervalu funkciji f (x): sustav je otrimaêmo, scho tsya operatsíya maê, očigledno je formalne prirode. Tim nije najmanje važno, za neke ljude, na primjer, ako se nizovi (4) jednako konvergiraju, sve funkcije su neprekinute i interval (a, 6) je dosadan, a operacija je legalna. Za nas je samo formalno tumačenje ujedno važnije. Otzhe, neka funkcija bude postavljena. Brojevi sa * vrijede za formulu (5) i možemo napisati Niz, koji stoji na desnom dijelu, zvati ćemo niz Fur'ê funkcije f (x) i sustava (^ n (i) ) - Brojevi Cn nazivaju se funkcijama Fur'ê funkcije f (x ) za cijeli sustav. Znak ~ u formuli (6) znači da su brojevi Cn vezani za funkciju / (g) formulom (5) (ako se ne prenosi, ali red s desne strane konvergira, ali više konvergira funkciji f (x)). Za to je prirodno jesti hranu: kakva je to moć? Koja vrijednost "predstavlja" funkciju f (x)? 9.3. Vrijednost prosječne vrijednosti. Posljednji, konvergiraju elementu] u sredini, kao norma u prostranstvu Teorem 6. Posljednji) konvergiraju ekvidistantno, ne konvergiraju u sredini. M Ne dopustite da zadnji () ide ravno u smjer [a, b] do funkcije / (x). Tse znači da bi koža uopće došla do velikog mamo Otzhea, zvuci naše snage su snažni. Zvorotna čvrstoća je pogrešna: posljednji () se može konvergirati u sredini prema / (x), ali ne baš slično. guzicom. Lako je vidjeti zadnju stvar. Lako je napraviti sigurnosnu kopiju, ali Ale tsya ne radi pozadi: to je, na primjer, to je, na primjer, ja neću biti sjajan, ali, uglavnom, Započinjem red od četiri tipa i neusporedivih funkcija kosinusi Red Fur'ê za funkcije s razdobljem prije razdoblja Kompleksna notacija za niz Fur'ê Riadi Fur'ê za vanjske ortogonalne sustave funkcija Red Fur'ê iza ortogonalni sustav. Minimalna snaga funkcija. Pisani izvještaj je zanimljiv pojam po član, zbog orto-normalnosti sustava moguće je prepoznati da prva dva dovršenja u desnom dijelu ravnoteže (7) ne leže, a treća se ne može pronađeno. Tome integral (*) dodaje minimalnu vrijednost pri ak = ck, integral se zove srednje kvadratne aproksimacije funkcije / (x) linearna kombinacija Tn (x). U takvom rangu, srednja kvadratna aproksimacija funkcije / accept je najniža vrijednost, ako. ako je Tn (x) ê 71-dio zbroja broja funkcija / (x) iza sustava (. Vazhayuchi ak = ck, s (7) možemo prihvatiti da se jednadžba (9) nazove istom Besselovom .. dakle, zbog Besselove inertnosti Oskilka, tu sam poprilično, onda je Besselova inertnost moguća u jačem obliku, odnosno za bilo koju funkciju / niz kvadrata funkcija. Dakle, kako je sustav ortonormaliziran na temelju [-x, tg], onda je nedosljednost (10) u transpoziciji na elementarni zapis trigonometrijskog niza Fur'ê da Ako je f2 (x) integriran, onda ćemo kroz nužni um niza neizbježnosti u lijevom dijelu živaca (11) to prihvatiti. Parsevalov paritet Za neke sustave (^ „(x)), znak nepristojnosti u formuli (10) može se zamijeniti (za sve funkcije / (x) 6 godina) kao znak parnosti. Otrimanov paritet naziva se parseval-Steklov paritet (um). Besselov identitet (9) omogućuje nam da sam zapišemo umov (12) u ekvivalentnom obliku Tim, naziv uma znači da su dijelovi sumi Sn (x) niski da bi funkcija / (x) konvergirala na funkcija / (x) u sredini, tobto. iznad norme 6]. Viznachennya. Sustav je ortonormaliziran (nazvan više u b2 [ay b], kao da bi funkcija mogla biti što točnija u kombinaciji srednje linije, mogla bi se isporučiti s velikim brojem predaja, tako da može biti funkcija za , B \ i za bilo koji e> 0 postoji prirodni broj nq í brojevi a \, a2y ... za cijeli sustav, idite na f (x) u sredini, tako da za normu možete pokazati da je trigonometrijski sustav je rijedak, Zvijezde su živo čvrste. Teorem 8. Ako joj funkcija trigonometrijskog Furovog niza konvergira u sredini. 9.5. Zatvoreni sustavi. Potencijal i zatvorenost sustava Visnachennya. Sustav funkcija \ je ortonormalan, zove se zatvoren, kao da je u prostoru Li \ a, b) nije funkcija koja je ortogonalna na sve funkcije. Desno 1. Postavite red Fur'ê u funkciju intervala (-ya-, z) 2. Postavite red Fur'ê u funkciju intervala (-tg, tg) 3. Postavite red Fur'ê u funkcija intervala (-tg, tg) 4. Postavite Fur'ê niz u interval (-jt, tg) na funkciju 5. Postavite Fur'n niz u interval (-tg, tg) s funkcijom f (x) = x + x. 6. Stavite do retka Fur'ê u funkciji intervala (-jt, tg) n 7. Postavite do reda Fur'ê u funkciji intervala (-tg, z) / (x) = sin2 x. 8. Stavite do retka Fur'ê u funkciji intervala (-tg, jt) f (x) = y 9. Postavite do reda Fur'ê u funkciji intervala (-tt, -k) / (x ) = | grijeh x |. 10. Stavite niz Fur'ê u interval (-ya-, mr) funkciju / (x) = §. 11. Stavite funkciju f (x) = sin § do reda Fur'ê u interval (-tg, tg). 12. Proširiti red Fur'ê s funkcijom f (x) = n -2x, danom u intervalu (0, x), gurajući ga u interval (-x, 0): a) kao tip; b) nespareni rang. 13. Stavite Fur red iza sinusa funkcije f (x) = x2, zadanih u intervalu (0, x). 14. Rastaviti niz Fur'ê funkcija / (x) = 3, danih u intervalu (-2.2). 15. Proširite funkciju f (x) = | x | na red Fur'ê, zadan u intervalu (-1,1). 16. Postavite Fur red iza sinusa s funkcijom f (x) = 2x, zadanom u intervalu (0,1).