Dengan kata lain, linearitas suatu kelompok vektor berarti ada vektor tengah yang dapat diwakili oleh kombinasi linier dari vektor-vektor lain dalam suatu kelompok.

Dapat diterima. Todi

Vektor Otze x linear bera vektor v grup.

Vektor x, kamu, ..., z disebut linier vektor independen, untuk keseimbangan batin (0) Anda dapat melihat bahwa

α=β= ...= γ=0.

Jadi kelompok-kelompok vektor adalah bebas linier, sehingga vektor tersebut dapat direpresentasikan oleh kombinasi linier dari vektor-vektor lain dalam kelompok yang sama.

Penunjukan kemunculan linear dari vektor

Biarkan m vektor dalam baris dalam urutan n diberikan:

Setelah menambahkan vinyatok Gaussian, kami membawa matriks (2) ke tampilan triko atas. Elemen-elemen dari sisa kolom hanya berubah sekali, jika baris-barisnya diatur ulang. Setelah m belokan pendek, kami mengambil:

de saya 1 , saya 2 , ..., saya m - indeks baris, dihapus jika ada kemungkinan penataan ulang baris. Melihat baris terpotong dari indeks baris, termasuk t, yak itu ditunjukkan oleh vektor nol baris. Baris yang ditinggalkan membuat vektor bebas linier. Secara signifikan, karena matriks lipat (2) mengubah urutan vektor berturut-turut, Anda dapat memilih kelompok vektor bebas linier lainnya. Ale pіdprostіr, apa jenis penghinaan adalah kelompok vektor utvoryuyuyut zbіgayutsya.

Independensi Linier dan Independensi Linier Vektor.
Basis vektor. Sistem koordinat Athena

Di auditorium ada banyak cokelat, dan beberapa licorice akan dapat lolos dari kulit hari ini - geometri analitik dengan aljabar linier. Artikel ini akan dipecah menjadi dua bagian matematika tingkat lanjut, dan kami bertanya-tanya bagaimana bau itu terbiasa dengan satu bukit kecil. Istirahatlah, s'zh "Tviks"! ... sayang, yah, gadis super kecil. Jika saya mau, saya tidak akan mencetak gol, saya minta maaf, saya dapat memiliki suasana hati yang positif untuk latihan.

bera linier dari vektor, independensi linier dari vektor, dasar vektor istilah itu mungkin bukan hanya interpretasi geometris, tetapi, pertama-tama, ahli bahasa aljabar. Konsep "vektor" dari sudut pandang aljabar linier jauh dari sama dengan vektor "superior", yang dapat kita wakili pada bidang ruang. Tidak perlu jauh-jauh untuk pembuktian, cobalah melukis vektor ruang lima dimensi. . Abo tunggu saja, untuk beberapa saya pergi ke Gіsmeteo: - suhu dan tekanan atmosfernya bagus. Butt, jelas, tidak benar dari sudut pandang otoritas ruang vektor, tetapi tidak ada yang mencegah formalisasi data oleh parameter dan vektor. Nafas musim gugur.

Hai, saya tidak akan mencoba menggoda Anda dengan teori, ruang vektor linier, masalahnya adalah memahami definisi teorema tersebut. Istilah baru (deposit linier, independensi, kombinasi linier, basis, dll.) adalah kata sifat untuk semua vektor dari sudut pandang aljabar, tetapi penerapannya akan diberikan secara geometris. Di peringkat ini, semuanya sederhana, dapat diakses pada pandangan pertama. Krіm zavdan geometri analitik dianggap sebagai tugas khas aljabar. Untuk menguasai materi, perlu mempelajari pelajaran Vektor untuk tekoі Bagaimana cara menghitung?

Linear bera dan independensi vektor di pesawat.
Basis area dan sistem koordinat afinitas

Mari kita lihat area Anda meja komputer(hanya meja, meja samping tempat tidur, balok tempat tidur, prasasti, siapa pun yang membutuhkannya). Pemimpin lapangan dalam beberapa hari mendatang:

1) Pilih area dasar. Kira-kira kazhuchi, stіlnitsa maє dovzhina lebar, secara intuitif menyadari bahwa dua vektor diperlukan untuk merangsang basis. Satu vektor jelas tidak cukup, tiga vektor adalah zayva.

2) Atas dasar dasar terbalik mengatur sistem koordinat(grid koordinat) untuk menetapkan koordinat ke semua objek yang ada di atas meja.

Jangan kaget, penjelasannya akan ada di jari. Dan pada Anda. Bersikap baik, maafkan jari ekspresif tangan kiri ke tepi gaya sehingga saya kagum pada monitor. Tse akan menjadi vektor. Sekarang tempat jari kelingking tangan kanan di tepi meja begitu saja - schob buv meluruskan di layar monitor. Tse akan menjadi vektor. Tersenyumlah, kamu terlihat luar biasa! Apa yang dapat Anda katakan tentang vektor? Vektor Data kolinear, yang berarti secara linier putar satu per satu:
, nah, chi navpaki: , nomor de - deake, vіdmіnne vіd nol.

Gambar tindakan mana yang dapat dilihat dalam pelajaran Vektor untuk teko De I menjelaskan aturan perkalian vektor dengan angka.

Chi akankah jari-jari Anda meletakkan dasar di atas meja komputer? Jelas, tidak. Kolіnearnі vektor dan kenaikan harga di sana-sini sendiri lurus ke depan, dan areanya mungkin lebih panjang dan lebih luas.

Vektor semacam itu disebut bera linier.

Kesimpulan: Kata-kata "linier", "linier" berarti hal-hal yang memiliki persamaan matematis, tidak ada kuadrat, kubus, langkah lain, logaritma, sinus. tіlki linіynі (tahap pertama) melawan bera.

Dua bidang vektor deposito linier kemudian dan hanya kemudian, jika baunya collinear.

Silangkan jari Anda di atas meja, sehingga di antara mereka Anda akan seperti potongan Krimea 0 atau 180 derajat. Dua bidang vektorsecara linier bukan basi dalam hal itu dan kurang begitu, karena baunya tidak segaris. Otzhe, dasarnya diambil. Anda tidak perlu khawatir tentang fakta bahwa dasar tampilan "dipotong" dengan vektor tidak tegak lurus dengan panjang yang berbeda. Bukan hal yang aneh bagi saya bahwa untuk yoga, embel-embelnya tidak hanya 90 derajat, dan tidak hanya tunggal, sama dengan vektor lama.

Be-yaky vektor datar satu peringkat diperluas berdasarkan:
, nomor de - dіysn. Nomor panggilan koordinat vektor di dasar mana.

Jadi sepertinya vektorpertunjukan di depan mata kombinasi linear vektor dasar. Tobto viraz disebut tata letak vektordasar atau kombinasi linear vektor dasar.

Misalnya, dapat dikatakan bahwa vektor tata letak berada di belakang basis ortonormal bidang, atau dapat dikatakan bahwa representasi kombinasi linier vektor salah.

Merumuskan penugasan ke dasar secara resmi: Dasar daerah sepasang vektor bebas linier (non-kolinier) disebut, , di mana Jadilah seperti Vektor bidang adalah kombinasi linier dari vektor-vektor dasar.

Saat pengangkatan adalah fakta bahwa vektor diambil dalam urutan lagu. dasar - ada dua basis yang sama sekali berbeda! Sepertinya, jari kelingking tangan kiri tidak bisa dipindahkan ke jari kelingking tangan kanan.

Kami telah mengerjakan dasarnya, tetapi masih belum cukup untuk mengatur kisi koordinat dan menetapkan koordinat ke objek kulit tabel komputer Anda. Kenapa kamu ketinggalan? Vektor vіlnimi dan kabur di seluruh pesawat. Lalu bagaimana cara menarik koordinat titik-titik kecil mengembara di atas meja ini, yaі hilang setelah riuh akhir pekan? Pedoman yang diperlukan. tengara seperti itu adalah titik yang diketahui semua orang - tongkol koordinat. Itu dipilih dari sistem koordinat:

Saya akan mulai dengan organisasi "sekolah". Sudah di pelajaran pengantar Vektor untuk teko Saya melihat tindakan pengenalan antara sistem koordinat persegi panjang dan basis ortonormal. Gambar standar sumbu:

Ketika berbicara tentang sistem koordinat persegi panjang, maka paling umum untuk menggunakan tongkol koordinat, sumbu koordinat dan skala di sepanjang sumbu. Coba ketik "sistem koordinat persegi panjang" di sistem pencarian, dan Anda akan memberi tahu saya bahwa ada baiknya memberi tahu Anda tentang pengetahuan sumbu koordinat kelas 5-6 dan tentang cara menempatkan titik di pesawat.

Di sisi lain, ada efek bahwa sistem koordinat persegi panjang dapat ditentukan secara keseluruhan melalui basis ortonormal. tse mayzhe begitu. Rumusnya terdengar seperti ini:

satuan koordinat, і ortonormalisasi tentukan dasarnya Sistem koordinat persegi panjang Cartesian dari pesawat . Itu adalah sistem koordinat persegi panjang tentu saja diwakili oleh satu titik dan dua vektor ortogonal tunggal. Untuk alasan itu, Anda membutuhkan kursi, karena saya telah menanamkan vishche - in masalah geometris sering (walaupun tidak zavzhd) melukis vektor , sumbu koordinat .

Saya pikir semua orang mengerti bahwa untuk titik tambahan (tongkol koordinat) yang ortonormal terhadap basis POIN BE-YAKIY dari area tersebut dan BE-YAKIYA VECTOR dari area tersebut Anda dapat menetapkan koordinat. Secara kiasan, tampaknya, "semuanya dapat diberi nomor pada kotak."

Bisakah vektor koordinat menjadi tunggal? Tidak, bau bisa ibu dovіlnu non-nol dovzhina. Mari kita lihat titik dan dua vektor ortogonal dan nilai yang cukup bukan nol:

Dasar seperti itu disebut ortogonal. Tongkol koordinat dengan vektor mengatur kisi koordinat, dan baik itu titik bidang, baik itu vektor untuk menulis koordinatnya di dasar ini. Misalnya, atau. Ketidakcakapan yang jelas terletak pada kenyataan bahwa vektor koordinat di puncak bukit meratapi kehidupan yang berbeda, vіdminnі vіd odinitsі. Untuk meningkatkan kesepian, ada dasar ortonormal primer.

! Catatan : dalam basis ortogonal, dan juga lebih rendah di basis Athena, bidang dan ruang satu di sepanjang sumbu diperhitungkan UMOVIMI. Misalnya, dalam satu satuan sepanjang sumbu absis terdapat 4 cm, dalam satu satuan sepanjang sumbu ordinatnya 2 cm.

Dan makanan lain, pada yak, itu benar-benar diberikan bukti - apa obov'yazykovo kut antara vektor dasar yang bisa mencapai 90 derajat? Hai! Cara mengkonfirmasi janji temu, vektor dasar dan iuran kurang dari non-kolinier. Vіdpovidno kut mozhe buti be-yakim, krіm 0 dan 180 derajat.

Titik pesawat, seperti yang disebut satuan koordinat, і non-kolinier vektori , , mengatur sistem koordinat affine pesawat :

Dengan kata lain, sistem koordinat seperti itu disebut dikepang sistem. Cara mengaplikasikan titik dan vektor pada gambar kursi berlengan:

Seperti yang Anda ketahui, sistem koordinat Athena kurang mudah, mereka tidak menggunakan rumus untuk vektor dan vdrіzkiv, seperti yang kita lihat di bagian lain pelajaran Vektor untuk teko, formula kaya rasa gurih, pov'yazanі z pembuatan vektor skalar. Lalu ada aturan yang adil untuk melipat vektor dan mengalikan vektor dengan angka, rumus untuk membagi ke dalam ekspresi yang diberikan, dan juga untuk jenis tugas deaking, yang dapat kita lihat dengan mudah.

Dan visnovok seperti itu sistem afinitas koordinat adalah sistem persegi panjang Cartesian. Untuk itu , saya lebih suka, paling sering dan dibawa ke bachiti. ... Sementara itu, segala sesuatu dalam hidup ini jelas - ada beberapa situasi di mana sungai itu sendiri miring (jika tidak, misalnya, kutub) sistem koordinasi. Humanoids itu dapat menikmati sistem seperti itu =)

Mari kita beralih ke bagian praktis. Kami zavdannya pelajaran ini hanya sebagai sistem koordinat siku-siku, jadi zagalnogo vpadku Athena. Tidak ada yang bisa dilipat di sini, semua materi dapat diakses oleh anak sekolah.

Bagaimana cara menentukan kolinearitas suatu vektor pada suatu bidang?

Sungai yang khas. Untuk memiliki dua vektor dan luas menjadi collinear, perlu dan cukup, sehingga koordinat yang sesuai adalah proporsional. Sebenarnya, ini adalah detail koordinat dari spivvіdnoshenya yang jelas.

pantat 1

a) Terbalik, vektor chi collinear .
b) Chi tentukan basis dari vektor ?

Larutan:
a) Mengapa, apa yang valid untuk vektor koefisien proporsionalitas, sehingga persamaan menang:

Obov'yazkovo rozpovіm tentang varian "pіzhonskiy" dari aturan zastosuvannya tsgogo, yang beredar dalam praktik. Idenya terletak pada kenyataan bahwa Anda akan segera menambahkan proporsi dan bertanya-tanya apakah Anda akan benar:

Mari kita tambahkan proporsi koordinat vektor yang diberikan:

segera:
, dalam urutan ini, koordinat yang sesuai adalah proporsional,

Pengaturan dapat dilipat dan dilipat, pilihan yang berharga:

Untuk verifikasi diri, Anda dapat men-quick vektor-vektor collinear dan menekuk secara linear satu per satu. Pada sudut pandang ini, ada tempat kesetaraan . Keadilan Anda dengan mudah perveryaetsya melalui divisi dasar dengan vektor:

b) Dua vektor dan bidang membentuk sebuah basis, seolah-olah keduanya segaris (bebas linier). Doslіdzhuєmo di kolіnearnіst vektori . Mari kita membangun sistem:

Dari persamaan pertama, Anda berteriak, scho, dari persamaan lainnya, Anda berteriak, oh, sistemnya gila(Tidak ada solusi). Dengan cara ini, koordinat yang sesuai dari vektor tidak proporsional.

Visnovok: vektor bebas linier dan membentuk basis.

Versi solusi yang disederhanakan terlihat seperti ini:

Kami menambahkan proporsi koordinat yang diberikan dari vektor :
, Otzhe, vektor qi dan independen linier dan membangun basis.

Panggil opsi ini untuk menolak pengulas, tetapi salahkan masalah atas kegagalannya, jika koordinatnya sama dengan nol. sumbu seperti ini: . Abi seperti ini: . Abi seperti ini: . Bagaimana saya bisa bekerja di sini melalui proporsi? (Sungguh, Anda tidak dapat membagi dengan nol). Untuk alasan yang sama, saya menyebut solusi yang lebih sederhana "pizhonsky".

Saran: a), b) menyetujui.

Pantat kreatif kecil untuk solusi mandiri:

pantat 2

Untuk setiap nilai parameter vektor akan kolinear?

Untuk solusi, parameter ditemukan melalui proporsi.

Kami menggunakan metode aljabar verifikasi ulang vektor untuk collinearness.

Untuk dua vektor di bidang kekerasan yang setara:

2) vektor dan membangun basis;
3) vektor tidak kolinear;

+ 5) osilator, lipatan dari koordinat vektor-vektor ini, vіdminny vіd nol.

Vidpovidno, kekerasan protractile kaki setara:
1) endapan vektor dan linier;
2) vektor tidak memenuhi basis;
3) vektor dan collinear;
4) vektor dapat dibalik secara linier satu per satu;
+ 5) vektor, lipat dari koordinat vektor-vektor ini, yang mengarah ke nol.

Saya sudah yakin bahwa momen yang diberikan Anda telah memahami semua istilah yang telah dipelajari dan dikonfirmasi.

Mari kita lihat laporan baru, paragraf kelima: dua vektor dan flat kolіnearn thodі tіlki tіlki tоdі, jika vyznachnik, lipat dari koordinat vector_v ini, do_vnyuє nol:. Untuk tanda ts zastosuvannya, tentu saja, perlu diingat mengenal para visioner.

virishima Contoh 1 dengan cara yang berbeda:

a) Menghitung jumlah vektor, menambahkan koordinat vektor :
, Otzhe, vektor ts dan kolіnearnі.

b) Dua vektor dan bidang membentuk sebuah basis, seolah-olah keduanya segaris (bebas linier). Menghitung jumlah vektor, melipat koordinat vektor :
, Otzhe, vektor bebas linier dan membentuk basis.

Saran: a), b) menyetujui.

Terlihat secara signifikan lebih kompak dan lebih cantik, solusi yang lebih rendah dengan proporsi.

Dengan bantuan bahan yang diperiksa, dimungkinkan untuk menetapkan kolinearitas vektor, dan juga untuk membawa paralelisme vdrіzkіv, garis lurus. Mari kita lihat beberapa tugas dari bentuk geometris tertentu.

pantat 3

Mengingat bagian atas chotirikutnik. Bawalah bahwa chotirikutnik adalah jajaran genjang.

Membawa: Kursi berlengan dalam tugas tidak akan diperlukan, pecahan solusi akan murni analitis
genjang disebut sebuah chotirikutnik, yang memiliki sisi-sisi yang berhadapan berpasangan sejajar.

Dalam urutan ini, perlu untuk membawa:
1) paralelisme dari sisi yang berlawanan;
2) paralelisme sisi yang berlawanan.

Kami membawa:

1) Kita tahu vektornya:

2) Kita tahu vektor:

Viyshov adalah vektor yang sama ("menurut sekolah" - vektor yang sama). Kolіnearnіst sudah jelas, tetapi lebih baik untuk mengatur solusinya dengan benar, dengan pengaturan. Mari kita hitung jumlah vektor, lipat koordinat vektor:
, Otzhe, qі vektor dan collinearnі, i .

Visnovok: Protilezhnі sisi chotirikutnik berpasangan sejajar, otzhe, vіn genjang untuk janji. Apa yang dibutuhkan untuk dibawa?.

Lebih banyak angka yang bagus:

pantat 4

Mengingat bagian atas chotirikutnik. Untuk membawa, scho chotirikutnik trapezyu.

Untuk formula suvorish, buktikan dengan lebih indah, apik, gambarkan penunjukan trapesium, dan lengkapi saja dan tebak saja, seolah-olah melihat keluar.

Tse zavdannya solusi independen. Solusi luar seperti pelajaran.

Dan sekarang saatnya telah tiba untuk bergerak perlahan dari flat ke tempat terbuka:

Bagaimana cara menentukan kolinearitas vektor dalam ruang?

Aturannya mirip. Agar dua vektor ke ruang menjadi kolinear, perlu dan cukup, sehingga koordinat masing-masing proporsional.

pantat 5

Z'yasuvati, chi kolіnearn akan memajukan vektor dan ruang:

sebuah);
b)
di)

Larutan:
a) Secara reversibel, chi adalah koefisien proporsionalitas untuk berbagai koordinat vektor:

Sistem tidak dapat diselesaikan, oleh karena itu vektor-vektornya tidak kolinear.

"Sproschenka" dibuat dengan proporsi ulang. Dalam tampilan ini:
– koordinat relatif tidak proporsional, sehingga vektor tidak collinear.

Saran: vektor tidak kolinear.

b-c) Ini adalah poin dari keputusan independen. Cobalah menghias yoga dengan dua cara.

Gunakan metode verifikasi ulang vektor ruang untuk kolinearitas melalui variabel orde ketiga, metode ini ditampilkan dalam artikel vektor tv vektor.

Mirip dengan pandangan datar dari pandangan alat, itu bisa mandek dengan metode mempertahankan paralelisme ruang terbuka dan garis lurus.

Kami dengan hormat meminta Anda untuk divisi lain:

Staleness linier dan independensi adalah vektor dalam ruang trivimer.
Basis yang luas dan sistem koordinat afinitas

Banyak hukum, seperti yang telah kita lihat di lapangan, akan adil dan luas. Saya mencoba meminimalkan sinopsis teori, potongan-potongan bagian kiri informasi telah diuraikan. Tim tidak kurang, saya sarankan Anda membaca bagian pengantar dengan hormat, pecahan adalah istilah baru dan mengerti.

Kini penggantian luas meja komputer diperluas menjadi ruang tiga dimensi. Mari kita ciptakan dasar yoga. Siapa yang tahu pada suatu waktu di rumah, siapa yang ada di jalanan, tetapi bagaimanapun juga, kita tidak bisa pergi ke mana pun di tiga dunia: lebar, panjang, dan tinggi. Oleh karena itu, untuk menginduksi basis, diperlukan tiga vektor ruang. Satu atau dua vektor tidak cukup, perempat adalah zayvi.

Saya lagi rozminaєmos di jari. Bersikap baik, angkat tangan Anda ke atas dan angkat jerawat di sisi yang berbeda hebat, mengesankan jari tengah . Tse akan menjadi vektor, bau busuk akan mengagumi sisi yang berbeda, meratapi dozhina yang berbeda dan meratapi kuti yang berbeda di antara mereka sendiri. Vіtayu, dasar dari bentangan trivimir sudah siap! Sebelum berbicara, tidak perlu mendemonstrasikan vikladach seperti itu, seperti jangan memutar jari, tetapi Anda tidak bisa pergi ke mana pun =)

Mari kita taruh makanan penting, menjadi seperti tiga vektor dan memenuhi dasar ruang trivi-duniawi? Bersikap baik, tekan tiga jari dengan kuat ke meja komputer. Apa yang terjadi? Tiga vektor berkeliaran di bidang yang sama, dan, tampaknya, kita memiliki satu tanda vimiriv - tinggi. Vektor tersebut sebidang Dan sangat jelas bahwa dasar dari ruang trivimer tidak dapat diciptakan.

Perlu dicatat bahwa vektor coplanar dan tidak ada yang salah terletak pada bidang yang sama, mereka dapat berada di bidang paralel (hanya mencoba bekerja dengan jari Anda, sehingga Salvador Dali akan menghasilkan lebih sedikit =)).

Janji temu: vektor diberi nama sebidang seperti flat nyata, seperti bau paralel. Di sini logis untuk menambahkan bahwa jika tidak ada area seperti itu, maka vektor tidak akan koplanar.

Tiga vektor koplanar dan endapan linier tobto linear vrazhayutsya satu per satu. Untuk kesederhanaan, sekali lagi dapat diterima bahwa bau busuk terletak di satu flat. Pertama, vektor, dan tidak hanya itu, mereka adalah coplanar, mereka dapat lebih collinear, bahkan jika vektor dapat dilihat melalui vektor. Dengan cara lain, misalnya, vektor-vektornya tidak kolinear, maka vektor ketiga melewatinya dalam satu urutan: (dan kenapa mudah ditebak untuk materi dari divisi sebelumnya).

Adil adalah kembalinya pernyataan: tiga vektor non-coplanar dan vektor bebas linier, tobto sudah n_yak tidak vrazhayutsya satu per satu. Saya, jelas, lebih kecil dari vektor-vektor tersebut dan dapat memenuhi dasar dari suatu bentangan sepele.

Janji temu: Dasar trivimirnogo hamparan disebut trio vektor bebas linier (non-coplanar), diambil dari urutan bernyanyi kapan saja, baik itu vektor ruang terbuka satu peringkat tersebar pada basis tertentu , de koordinat vektor dalam basis tertentu

Menebak, Anda juga dapat mengatakan bahwa vektor representasi kombinasi linear vektor dasar.

Konsep sistem koordinat diperkenalkan dengan cara yang sama, seperti untuk lereng datar, satu titik dan tiga vektor bebas linier sudah cukup:

satuan koordinat, і non-koplanar vektori , diambil dari urutan bernyanyi, mengatur sistem koordinat afinnu ruang trivi-world :

Jelas, kisi koordinat "jalinan" tidak terlalu efisien, tetapi sistem koordinat yang diminta memungkinkan kita untuk tentu saja tentukan koordinat vektor apa pun, yang koordinat titik mana pun di ruang angkasa. Sama halnya dengan bidang, dalam sistem koordinat Athena, ruang tidak menggunakan rumus yang sama, yang sudah saya duga.

Istilah yang paling utama dan paling nyaman untuk sistem koordinat afinitas sistem koordinat persegi panjang:

Arahkan ke ruang, seperti yang disebut satuan koordinat, і ortonormalisasi tentukan dasarnya Sistem koordinat persegi panjang kartesius . Tahu gambar:

Sebelum itu, bagaimana beralih ke tugas-tugas praktis, saya akan mensistematisasi ulang informasinya:

Untuk tiga vektor dalam ruang yang ekivalen dengan kekakuan yang sama:
1) vektor bebas linier;
2) vektor dan membangun basis;
3) vektor tidak koplanar;
4) vektor tidak dapat dibalik secara linier satu per satu;
5) vyznachnik, melipat koordinat vektor-vektor ini, vіdminny vіd nol.

Protilezhnі vyslovlyuvannya, tebak, zrozumіlі.

Kejatuhan linier/independensi vektor dalam ruang secara tradisional ditinjau untuk bantuan yang ditunjuk (paragraf 5). T, scho hilang tugas praktek membawa ekspresi yang jelas dari karakter aljabar. Saatnya untuk menggantung kunci geometris pada bunga dan menggunakan tongkat bisbol aljabar linier:

Tiga ruang vektor complanarnі thodі tіlki tіlki tіlі, jika vyznachnik, koordinat terlipat danih vektor_v, do_vnyuє nol : .

Saya menghormati sedikit nuansa teknis: koordinat vektor dapat direkam tidak hanya di kolom, tetapi di baris (nilai vektor tidak berubah - kekuatan vektor luar biasa). Ale kaya lebih indah di stovptsі, oskіlki tse vigіdnіshe untuk pemenuhan beberapa tugas praktis.

Tim untuk pembaca, yang telah melupakan metode rozrahunka vyznachniki, atau mungkin mereka berorientasi lemah di dalamnya, saya merekomendasikan salah satu pelajaran tertua saya: Bagaimana cara menghitung?

pantat 6

Verifikasi bahwa vektor-vektor berikut membentuk dasar dari bentangan trivial:

Larutan: Sebenarnya semua keputusan dibuat sampai perhitungan debitur

a) Hitung variabel, lipat dari koordinat vector_v (variabel ekspansi sepanjang baris pertama):

, Otzhe, vektor-vektor bebas linier (bukan coplanar) dan membentuk basis dari ruang trivial.

Vidpovid: diberikan vektor dan memenuhi dasar

b) Ini adalah titik keputusan independen. Secara lahiriah, solusinya mirip dengan pelajaran.

Perayapan dan pekerja kreatif:

pantat 7

Untuk nilai parameter berapa vektor akan menjadi coplanar?

Larutan: Vektor dan coplanar todі tіlki tіlki dі, jika vyznachnik, lipatan koordinat vektor-vektor ini menjadi nol:

Bahkan, perlu untuk menjadi sama dengan vyznachnik tersebut. Itu dituangkan pada nol seperti shuliks pada jerboas - penanda navigator untuk mencari tahu di baris yang berbeda dan berturut-turut, saya akan mencari minus:

Mari kita lakukan ekstensi lebih lanjut dan putar dari kanan ke perataan linier paling sederhana:

Vidpovid: pada

Di sini mudah untuk berdamai, yang perlu untuk membuktikan nilai mantan juru tulis dan untuk mempertimbangkan kembali , membuka yoga lagi.

Pada akhirnya kita akan melihat satu lagi tugas khas, yang lebih aljabar di alam dan secara tradisional termasuk dalam program aljabar linier. Lantai diperlebar, yang cocok untuk atasan besar:

Untuk membawa 3 vektor itu membangun dasar ruang dunia-trivi
dan ketahui koordinat vektor ke-4 dalam basis yang diberikan

pantat 8

Diberikan sebuah vektor. Tunjukkan bahwa vektor-vektor memenuhi basis ruang trivimer dan ketahui koordinat vektor basisnya.

Larutan: Di bagian belakang kepala, kami mengambil pikiran Untuk pikiran, itu diberikan vektor chotiri, dan, seperti Bachite, bau busuk sudah mayut koordinat di dasar yang sama. Apa dasarnya - jangan menggoda kami. Dan untuk mengatakan hal seperti itu: tiga vektor secara keseluruhan dapat membangun basis baru. Tahap pertama sekali lagi didasarkan pada solusi Lampiran 6, perlu untuk memeriksa apakah vektor-vektor tersebut benar-benar bebas linier:

Mari kita hitung jumlah vektor, lipat koordinat vektor:

, Otzhe, vektor-vektornya bebas linier dan membentuk dasar ruang trivi-duniawi.

! penting : koordinat vektor obov'azkovo dapat di rekam di stasiun vyznachnika, tidak dalam baris. Jika tidak, akan ada penipuan dalam algoritma lebih jauh dari rozvyazannya.

Konsep linearitas dan kemandirian sistem vektor bahkan lebih penting daripada aljabar vektor, pecahannya didasarkan pada pemahaman keanekaragaman dan dasar ruang. Dalam statistik ini, kami memiliki perbedaan, kami dapat melihat kekuatan linear bera dan independensi, kami mengambil algoritma untuk penskalaan sistem vektor ke linear bera, dan kami akan menganalisis secara rinci solusi aplikasi.

Navigasi di samping.

Penunjukan bera linier dan independensi linier dari sistem vektor.

Mari kita lihat koleksi p n-vektor virtual, secara signifikan urutan kedatangannya. Menyimpan kombinasi linier dari vektor-vektor ini dan bilangan real (kompleks dіysnih chi): . Bergantung pada penunjukan operasi pada vektor n-dunia, serta kekuatan operasi melipat vektor menjadi dan mengalikan vektor dengan angka, dimungkinkan untuk mengkonfirmasi bahwa kombinasi linier ditulis sebagai vektor dunia-n nyata , toto.

Jadi kami pergi ke tujuan bera linier dari sistem vektor.

Janji temu.

Kombinasi linier seperti itu dapat menjadi vektor nol jika angka-angkanya berada di tengah Jika Anda menginginkannya, jika Anda melihat nol, maka sistem vektor disebut bera linier.

Janji temu.

Sebagai kombinasi linier dengan vektor nol hanya sekali, jika semua bilangan sama dengan nol, maka sistem vektor disebut bebas linier.

Kekuatan bera linier dan kemandirian.

Berdasarkan data, penunjukan, kami merumuskan bahwa kami dapat membawa dominasi kesalahan linier dan independensi linier dari sistem vektor.

Segera setelah sistem vektor bera linier ditambahkan, sistem akan bera linier.

Membawa.

Karena sistem vektor dapat didepositkan secara linier, maka kecemburuan dimungkinkan untuk kehadiran satu bilangan pun yang bukan nol . Ayo.

Dodamo ke sistem luar vektor dan s vektor , ambil sistem Anda sendiri. Jadi seperti saya , maka kombinasi linier vektor dalam pikiran sistem

adalah vektor nol, dan . Juga, sistem vektor dan bera linier telah dimenangkan.

Jika Anda mematikan sejumlah kecil vektor dari sistem vektor bebas linier, maka sistem akan bebas linier.

Membawa.

Mari kita asumsikan bahwa sistem bera linier. Setelah menambahkan semua vektor input ke sistem vektor, kami akan menghapus sistem vektor. Di belakang pikiran, ia independen secara linier, dan karena kekuatan sebelumnya dari bera linier, ia dapat bera linier. Mi dіyshli protirіchchya, otzhe, pengakuan kami salah.

Jika suatu sistem vektor menginginkan satu vektor nol, maka sistem tersebut bera linier.

Membawa.

Biarkan vektor dari sistem vektor ini menjadi nol. Mari kita asumsikan bahwa sistem vektor bebas linier. Maka keseimbangan vektor hanya mungkin jika . Namun, jika Anda menerimanya, baiklah, jika Anda melihat nol, maka keseimbangan akan tetap adil, pecahan. Otzhe, tunjangan kami adalah nevirnim, dan sistem vektor diendapkan secara linier.

Jika sistem vektor bera linier, maka jika hanya salah satu vektor yang dinyatakan secara linier melalui yang lain. Karena sistem vektor bebas linier, maka vektor tidak dapat dinyatakan melalui orang lain.

Membawa.

Kami akan membawanya kembali ke kekerasan.

Biarkan sistem vektor bera linier, bahkan jika Anda ingin melihat angka nol i pada saat yang sama, jika persamaannya benar. Kecemburuan Qiu bisa menjadi rozvyazat shodo, pecahan dengan maєmo . apa pun

Juga, vektor diputar secara linier melalui vektor lain dari sistem, yang perlu dibawa.

Sekarang mari kita membawa ketegasan lain.

Jika sistem vektor bebas linier, maka kecemburuan hanya berlaku untuk .

Asumsikan bahwa vektor sistem dinyatakan secara linier melalui . Biarkan menjadi vektor todi. Keseimbangan qi dapat ditulis ulang sebagai , di bagian kiri ada kombinasi linier dari sistem vektor, dan koefisien di depan vektor sama dengan nol, yang menunjukkan kemunculan linier dari sistem vektor. Jadi mi deyshli protirichcha, otzhe, kekuatan dibawa.

Dari dua otoritas yang tersisa, sebuah pernyataan penting menonjol:
sebagai sistem vektor untuk menggantikan vektor i , de - lebih dari angka, itu bera linier.

Pengembangan sistem vektor untuk bera linier.

Mari kita tetapkan tujuan: kita perlu membuat deposit linier atau kemerdekaan linier sistem vektor.

Makanan logis: "bagaimana Anda melakukan virisuvate?"

Dari sudut pandang praktis, orang dapat menyalahkan aib untuk melihat lebih pada pentingnya kekuatan kesalahan linier dan independensi sistem vektor. Signifikansi otoritas ini memungkinkan kita untuk menetapkan validitas linier dari sistem vektor dalam situasi seperti ini:

Bagaimana Anda bisa berada dalam suasana hati lain, mana yang lebih besar?

Mari kita lihat cym.

Mari kita tebak rumusan teorema tentang pangkat suatu matriks, seperti yang kami sarankan dalam artikel.

Dalil.

Ayo r - peringkat matriks A untuk memesan p oleh n, . Misalkan M adalah minor basis dari matriks A . Baris (semua kolom) dari matriks A, yak mengambil bagian dalam pengembangan minor dasar M, menekuk secara linier melalui baris (stopt) matriks, yak menghasilkan minor dasar M.

Dan sekarang mari kita jelaskan hubungan teorema tentang pangkat suatu matriks dengan suksesi sistem vektor ke deposit linier.

Kami menambahkan matriks A, baris yang akan menjadi vektor dari sistem berikut:

Apa pentingnya independensi linier sistem vektor?

Dari tingkat keempat independensi linier sistem vektor, kita tahu apa yang mungkin dari sistem vektor tidak dapat diekspresikan melalui orang lain. Dengan kata lain, setiap baris matriks A tidak akan dibalik secara linier melalui baris lainnya, independensi linier dari sistem vektor akan sama dengan satu mental Rank(A)=p.

Apa arti dari kesalahan linier sistem vektor?

Semuanya lebih sederhana: jika Anda ingin satu baris matriks A diekspresikan secara linier melalui yang lain, maka, stok linier dari sistem vektor akan sama dengan Peringkat intelektual (A)

.

p align="justify"> Untuk selanjutnya, pembebanan sistem vektor ke kejadian linier disesuaikan dengan penetapan pangkat matriks, dilipat dari vektor-vektor sistem.

Slide menunjukkan bahwa dengan p>n sistem vektor akan bera linier.

Menghormati: ketika matriks A dilipat, vektor sistem tidak dapat diambil sebagai baris, tetapi sebagai kolom.

Algoritma untuk mencapai sistem vektor ke deposit linier.

Mari kita menganalisis algoritma pada puntung.

Contoh perluasan sistem vektor ke bera linier.

pantat.

Diberikan sistem vektor. Dol_dzhuyte pada bera linier.

Larutan.

Karena vektornya nol, maka sistem vektor harus terletak secara linier di pangkat tiga.

Saran:

Deposit linier vektor_v sistem.

pantat.

Alihkan sistem vektor ke bera linier.

Larutan.

Tidak sulit untuk mengingat bahwa koordinat vektor c sama dengan koordinat vektor yang sesuai , kalikan dengan 3 , lalu . Oleh karena itu, sistem vektor bera linier.

pikiran viraz ditelepon kombinasi linear dari vektor A 1 , A 2 ,...,A n dengan koefisien 1, 2 ,..., n.

Penunjukan deposit linier dari sistem vektor

Sistem vektor A 1 , A 2 ,...,A n ditelepon bera linier, Cara menggunakan kumpulan angka bukan nol 1, 2 ,..., n, yang kombinasi linear dari vektor 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n mendekati nol vektor, Sistem Tobto sama dengan: mungkin merupakan solusi bukan nol.
Panggilan nomor 1, 2 ,..., n bukan nol, jika hanya salah satu dari angka 1, 2 ,..., n pada vіdminu vіd nol.

Penunjukan independensi linier dari sistem vektor

Sistem vektor A 1 , A 2 ,...,A n ditelepon bebas linier, sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor ini 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n berikan vektor nol lebih kecil dari kumpulan angka nol 1, 2 ,..., n , Sistem Tobto sama dengan: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ hanya ada satu solusi nol.

Stok 29,1

Terbalik, chi linier sistem bera vektor_v

Larutan:

1. Kami membangun sistem pemerataan:

2. Virishuemo metode Gaus. Transformasi sistem Jordan ditunjukkan pada Tabel 29.1. Saat membangun kembali bagian kanan sistem, pecahan bau sama dengan nol dan tidak berubah untuk transformasi Jordan.

3. Tiga sisa tiga baris dalam tabel sistem yang diizinkan tulis, sama kuatnya sistem:

4. Solusi zagalne Otrimuemo dari sistem:

5. Setelah memberikan nilai uang receh x 3 =1 kepada pengadilan yang berkuasa, hanya keputusan pribadi bukan nol X = (-3,2,1).

Catatan: Dengan cara ini, dengan himpunan bilangan bukan nol (-3,2,1), kombinasi linier dari vektor dalam vektor nol adalah -3A1+2A2+1A3=Θ. Otzhe, sistem vektor bera linear.

Kekuatan sistem vektor

Kekuatan (1)
Jika sistem vektor bera linier, maka jika salah satu vektor diletakkan di belakang yang lain, maka, jika hanya salah satu vektor dalam sistem yang diletakkan di belakang yang lain, sistem vektor bera linier.

Kekuatan (2)
Sama seperti subsistem vektor bera linier, maka seluruh sistem bera linier.

Kekuatan (3)
Sama seperti sistem vektor bebas linier, apakah subsistem bebas linier.

Kekuatan (4)
Apakah itu sistem vektor, untuk membalas vektor nol, itu adalah bera linier.

Kekuatan (5)
Sistem vektor m-dunia selalu bera linier, karena jumlah vektor n lebih besar dari jumlah vektor (n>m)

Dasar sistem vektor

Dasar dari sistem vektor A 1 , A 2 ,..., A n subsistem tersebut B 1 , B 2 ,...,B r(kulit dari vektor B 1 ,B 2 ,...,B r salah satu vektor A 1 , A 2 ,..., A n) , untuk menyenangkan pikiran yang datang:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r sistem vektor linear-independen;
2. vektor apapun Ajo sistem A 1 , A 2 ,..., A n dinyatakan secara linier melalui vektor-vektor B 1 ,B 2 ,...,B r

r- Jumlah vektor yang termasuk dalam basis.

Teorema 29.1 Tentang basis tunggal dari sistem vektor.

Sebagai sistem vektor m-dunia untuk menggantikan m vektor tunggal yang berbeda E 1 E 2 ,..., E m , semua bau membentuk dasar sistem.

Algoritma untuk mencari basis sistem vektor

Untuk mengetahui basis sistem vektor A 1 ,A 2 ,...,A n diperlukan :

• Lipat sistem vektor dua dimensi menjadi sistem homogen yang sama A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Arahkan sistem Anda

sebuah 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, sebuah 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, sebuah 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Larutan. Shukaєmo zagalne rіshennya rіvnyan system

sebuah 1 x 1 + sebuah 2 x 2 + sebuah 3 x 3 = Θ

metode Gauss. Untuk itu kami menuliskan sistem homogen untuk koordinat:

Matriks Sistem

Sistem diizinkan untuk melihat: (r A = 2, n= 3). Sistem ini spіlna dan tidak terlihat. keputusan zagalne ( x 2 - perubahan gratis): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Kehadiran solusi pribadi bukan nol, misalnya, untuk berbicara tentang vektor-vektor itu sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 deposito linier.

pantat 2.

Z'yasuwati, chi sistem yang diberikan vector_v bera linier atau bebas linier:

1. sebuah 1 = { -20, -15, - 4 }, sebuah 2 = { –7, -2, -4 }, sebuah 3 = { 3, –1, –2 }.

Larutan. Mari kita lihat sistem pemerataan homogen sebuah 1 x 1 + sebuah 2 x 2 + sebuah 3 x 3 = Θ

tetapi pada yang terbakar terlihat (di belakang koordinat)

Sistemnya seragam. Jika dia bukan virogene, hanya ada satu solusi. Bagaimana menangani sistem homogen adalah solusi nol (sepele). Juga, kadang-kadang sistem vektor adalah independen. Nah, sistem Virogen, mungkin ada keputusan yang tidak nol dan, oleh karena itu, itu kosong.

Kami meninjau sistem untuk virogenitas:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sistem nevirogen i, otzhe, vectori sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 bebas linier.

Pengelola. Z'yasuvati, chi diberikan sistem vektor bera linier atau bebas linier:

1. sebuah 1 = { -4, 2, 8 }, sebuah 2 = { 14, -7, -28 }.

2. sebuah 1 = { 2, -1, 3, 5 }, sebuah 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. sebuah 1 = { -7, 5, 19 }, sebuah 2 = { -5, 7 , -7 }, sebuah 3 = { -8, 7, 14 }.

4. sebuah 1 = { 1, 2, -2 }, sebuah 2 = { 0, -1, 4 }, sebuah 3 = { 2, -3, 3 }.

5. sebuah 1 = { 1, 8 , -1 }, sebuah 2 = { -2, 3, 3 }, sebuah 3 = { 4, -11, 9 }.

6. sebuah 1 = { 1, 2 , 3 }, sebuah 2 = { 2, -1 , 1 }, sebuah 3 = { 1, 3, 4 }.

7. sebuah 1 = {0, 1, 1 , 0}, sebuah 2 = {1, 1 , 3, 1}, sebuah 3 = {1, 3, 5, 1}, sebuah 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. sebuah 1 = {-1, 7, 1 , -2}, sebuah 2 = {2, 3 , 2, 1}, sebuah 3 = {4, 4, 4, -3}, sebuah 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Untuk menginformasikan bahwa sistem vektor akan bera linier, sehingga tidak membalas:

a) dua vektor yang sama;

b) dua vektor proporsional.