Kartu nama untuk vektor bera linier. Dasar sistem vektor

Dari saat yang sama, pengembangan sistem dan vektor canggih pada garis penipisan dibawa ke tugas menentukan peringkat matriks, dilipat dari vektor sistem.

Geser menghormati bahwa untuk p> n sistem vektor akan bera linier.

menghormati: Ketika matriks A dilipat, vektor sistem tidak dapat diambil pada baris, tetapi pada baris.

Algoritma untuk kemajuan sistem dan vektor di garis deplesi.

Hancurkan algoritma di pantat.

Terapkan sistem dan vektor canggih pada garis bera.

Pantat.

Sebuah sistem vektor diberikan. Tindak lanjuti garis kejatuhan.

Keputusan.

Karena vektor c adalah nol, maka sistem luar dari vektor-vektor tersebut secara linear basi berdasarkan pangkat tiga.

sebagai berikut:

Sistem vektor habis secara linier.

Pantat.

Tindak lanjuti sistem vektor pada garis deplesi.

Keputusan.

Chi tidak mudah diingat, tetapi koordinat vektor c sama dengan koordinat vektor, kalikan dengan 3, sehingga. Artinya, sistem vektor virus secara linear basi.

nilai 1... Kombinasi linier vektor diterapkan pada jumlah makhluk dari vektor-vektor ini pada skalar
:

nilai 2... sistem vektor
disebut sistem line-fallow, karena kombinasi garis-ke-garis (2.8) berubah menjadi nol:

dan di tengah angka
Saya ingin menjadi satu, lihat dari nol.

nilai 3... vektor
disebut garis-independen, sebagai kombinasi garis (2.8) berubah menjadi nol di kali, jika semua angka.

Tiga kali nilainya dapat dihitung dari permulaan hari berikutnya.

suksesi 1... Dalam sistem vektor bera linier, satu vektor dapat digunakan sebagai kombinasi linier dari vektor.

Dovedennya... Hei viconano (2.9) dan hei untuk nilai, efisiensi
... Mamo to:
... Sayang, tepat, dan sangat sulit.

Slidestvo 2. Sistem vektor Yaksho
jika vektor nol dibalaskan, maka sistem (obov'yazkovo) basi linier - jelas.

suksesi 3... yaksho tengah n vektor
be-yaki k(
) Vektorіv lіnіyno bera, lalu semua n vektor di garis bera (derogable untuk membuktikan).

2 0 ... Kombinasi garis dua, tiga dan beberapa vektor... Nutrisi garis keturunan dan kemandirian vektor pada garis lurus, bidang dan di ruang terbuka mudah dilihat. Dipandu oleh teorema.

Teorema 1... Untuk melakukan ini, dua vektor akan dilapisi dengan bera, itu perlu dan cukup, tetapi baunya akan collinear.

kebutuhan... halo vektor і bera linier. Tse artinya, scho kombinasi garis
= 0 i (karena nilainya)
... Zvidsy viplivay
, I (berdasarkan perkalian vektor dengan angka) vektor і kolinear.

kelimpahan... halo vektor і kolinear ( ║) (Kelonggarannya adalah bau busuk terlihat dari vektor nol; garis keturunannya jelas).

Berdasarkan Teorema (2.7) (Div. 2.1, butir 2 0), Todi
ambil, sekolah
, di atas
- kombinasi garis ke nol, apalagi, efisiensinya adalah pintu 1 - vektor і bera linier.

Dengan teorema distilasi, langkah selanjutnya akan datang.

suksesi... vektor yaksho і TIDAK collinear, maka baunya persegi linier.

Teorema 2... Untuk itu, tiga vektor akan berlama-lama bera, perlu dan cukup, tetapi baunya akan menjadi coplanarity.

kebutuhan... halo vektor ,і bera linier. Hal ini menunjukkan bahwa bau coplanarity.

Penentuan garis keturunan vektor pada langkah angka selanjutnya
і seperti kombinasi garis
, Pertama dan terpenting (untuk nilai)
... Todi z tsієї ravnostі Anda dapat mengubah vektor :=
, vektor tobto jalur diagonal jajaran genjang, yang diminta pada vektor, untuk berdiri di bagian kanan rantai kesetaraan (Gambar 2.6). Tse artinya, vektor scho ,і berbaring di area yang sama.

kelimpahan... halo vektor ,і Kepatuhan. Hal ini menunjukkan bahwa bau busuk line-jatuh.

Kecuali untuk kolinearitas taruhan vektor apa pun (selain itu, pasangannya turun secara linier, dan setelah 3 (lihat klausa 10), ketiga vektor itu bera linier). Hebatnya, itu juga pengaturan tombol, sama dengan pengaturan vektor nol di tengah-tengah tiga nilai.

Ditransfer tiga vektor coplanar dalam satu area dan diarahkan ke telinga telinga. Melalui ujung vektor dilakukan lurus, sejajar dengan vektor і ; otrimaєmo dengan vektor tsyu і (Gbr.2.7) - ання tidak dirawat oleh tim, vektor scho і TIDAK collinear untuk vektor popping. Zvidsy viplyaє, vektor scho =+... Menulis ulang harga viglyad (-1) ++= 0, robimo visnovok, vektor scho ,і bera linier.

Ada dua efek samping dari teorema.

suksesi 1... Hai і BUKAN vektor collinear, vektor - cukup baik untuk berbaring di area, yaitu mulai dengan vektor і , Vektor. Lari ke nomor yang sama і taki

=+. (2.10)

suksesi 2... vektor yaksho ,і BUKAN koplanaritas, baunya persegi linier.

Teorema 3... Vektor be-like chotiri secara linear bera.

Bukti dihilangkan; Pembuktian teorema 2 serupa dengan pembuktian teorema di atas.

suksesi... Untuk setiap vektor non-coplanar ,,dan baik itu vektor
і taki

. (2.11)

menghormati... Untuk vektor dalam kelapangan (sepele), pemahaman tentang garis keturunan dan kemandirian mungkin, sebagaimana adanya, dengan panduan Teorema 1-3, pengertian geometris sederhana.

Nekhai dua garis vektor bera і ... Sedemikian rupa, salah satunya adalah kombinasi linier dari yang lain, sehingga yang satu hanya muncul sebagai pengali numerik (misalnya,
). Secara geometris, itu berarti bahwa pelanggaran vektor terletak di punggung lurus; bau induknya sama atau lebih gamblang (gbr.2.8 xx).

Jika ada dua vektor yang telah diputar dari satu potong ke satu (Gbr. 2.9 xx), maka tidak mungkin untuk membalikkan salah satunya menjadi kelipatan dari angka yang sama - vektor tersebut berbentuk persegi linier. Otzhe, independensi garis dua vektor і berarti bahwa vektor tidak dapat ditempatkan pada satu garis lurus.

Ada pengertian geometris dari kejatuhan linier dan kemandirian dari tiga vektor.

halo vektor ,і linear bera dan rendah (untuk nilai) vektor kombinasi linier vektor і , Tobto retouching di area tersebut, untuk membalas dendam vektor і ... Tse artinya, vektor scho ,і berbaring di area yang sama. Cukup zolotne tverdzhennya: vektor yaksho ,і berbaring di area yang sama, maka baunya linier.

Dalam peringkat seperti itu, vektor ,і itu linier dalam hal itu dan hanya dalam kasus itu, karena bau busuk tidak terletak di area yang sama.

3 0 ... memahami dasar... Salah satu yang ingin memahami aljabar linier dan vektor memahami dasarnya. Masukkan nilai.

nilai 1... Sepasang vektor dipanggil secara berurutan, seperti yang ditunjukkan, vektor mana dari proses taruhan yang pertama, dan yang lainnya.

Nilai 2. pasangan yang dipesan ,vektor non-linier disebut basis pada area, karena diberikan vektor.

Teorema 1... vektor apa saja pada area tersebut dapat terdapat representasi seperti kombinasi linear dari sistem dasar dan vektor ,:

(2.12)

dan pada saat pengumuman Edino.

Dovedennya... halo vektor і mengatur dasar. Vektor mirip Todi dapat disajikan di viglyadі
.

Untuk membuktikan identitas boleh, tapi lebih dari satu kali lipat
... Mamo todі = 0, dan saya ingin satu perbedaan dari nol. Ostannє artinyaє, vektor scho і bera linier, tobto collinear; tse superpeertverdzhennyam, bagaimana bau busuk menjadi dasar.

Ale todi - distribusi ke Odine.

nilai 3... Tiga vektor disebut teratur, seperti yang dinyatakan, vektor mana yang pertama menjadi penting, mana yang lain, dan mana yang ketiga.

nilai 4... Memerintahkan tiga vektor non-coplanar yang disebut basis dalam ruang.

Di sini, teorema penyingkapan dan singularitas juga valid.

Teorema 2... menjadi-vektor dapat berupa representasi seperti kombinasi linier dari sistem dasar dan vektor ,,:

(2.13)

і і

Di toko ritel (2.12) dan (2.13) nilainya disebut koordinat vektor dalam basis tertentu (lebih tepatnya, dengan koordinat affinny).

Dengan dasar tetap
і
kamu bisa menulis
.

Misalnya, di mana tugas adalah dasarnya
saya berikan, yah
, Itu artinya, shho maє misce uyavlennya (distribusi)
.

4 0 ... Operasi linier pada vektor dalam bentuk koordinat... Diperkenalkan ke dasar memungkinkan operasi linier pada vektor untuk menggantikan operasi linier yang luar biasa pada angka - koordinat vektor.

Dapatkan pekerjaan secara deyakiy
... Jelas, himpunan koordinat vektor di seluruh basis akan meningkat dari awal vektor itu sendiri. Ada proposisi berikut:

a) dua vektor
і
Rivni Todi dan Tylki Todi, jika koordinatnya sama adalah:

b) dengan banyak vektor
dengan nomor koordinat yogo dikalikan dengan angka:

; (2.15)

c) ketika vektor diberikan, koordinat berikut disimpan:

Buktikan bahwa tsikh kekuasaan dapat dihancurkan; tidak mungkin untuk membawa kekuatan ke pantat b). maєmo

==

menghormati... Di ruang terbuka (di area) Anda dapat menggetarkan basis kaya tanpa batas.

Dipandu oleh pantat ke transisi dari satu basis ke basis pertama, dimungkinkan untuk mengatur perbedaan antara koordinat vektor di basis yang berbeda.

pantat 1... Sistem dasar
diberikan tiga vektor:
,
і
... Di dasar ,,vektor distribusi. Mengetahui koordinat vektor pada dasarnya
.

Keputusan... Distribusi mamo:
,
,
; sudah,
=
+2
+
= =
, totto
pada dasarnya
.

pantat 2... Ayo secara deyakom
vektor chotiri diberikan oleh koordinat mereka:
,
,
і
.

Z'yasuwati, chi mengatur vektor
dasar; dalam kasus respons positif untuk mengetahui distribusi vektor secara keseluruhan.

Keputusan... 1) vektor mengatur dasar, seperti bau yang independen secara linier. Gudang kombinasi garis vektor
(
) I z'yasuєmo, untuk yak
і tidak akan berubah menjadi nol:
= 0.mmo:

=
+
+
=

Untuk nilai persamaan vektor dalam bentuk koordinat, sistem rivnyan (aljabar satu sisi linier) akan dapat dimajukan:
;
;
, Viznachnik yakoi
=1
, Tobto sistem ini maє (lishe) solusi sepele
... Tse berarti independensi garis vektor
, sudah, bau busuk menjadi dasar.

2) vektor yang dapat diperluas secara keseluruhan. mamo: =
abo dalam bentuk koordinat.

Mengubah ke vektor yang sama dalam bentuk koordinat, kita dapat mengenali sistem persamaan aljabar linier tidak seragam:
;
;
... Virishuchi (misalnya, menurut aturan Kramer), otrimaєmo:
,
,
і (
)
... vektor penyebaran mahmo pada dasarnya
:=.

5 0 ... Proyeksi vektor di udara. Kekuatan proyeksi. Nekhai deyaka hang aku, Tobto lurus z kami akan menunjukkan pada semua lurus dan tidak ada tugas dan vektor .Mari kita definisikan konsep proyeksi vektor gratis aku.

nilai... proyeksi vektor gratis aku disebut putaran modulus vektor th ke kosinus kuta mіzh vissyu aku i vektor (Gambar 2.10):

. (2.17)

Nilai bit terakhir adalah pernyataan tentang mereka yang sama dengan vektor proyeksi yang sama (untuk satu dan sama).

Secara signifikan kekuatan proyeksi.

1) proyeksi vektor sumi ke aksi aku jalan ke jumlah proyeksi vektor tambahan pada rel yang sama:

2) proyeksi skalar ke vektor jalan dengan penambahan skalar ke proyeksi vektor ke sumbu yang sama:

=
. (2.19)

suksesi... Proyeksi kombinasi garis vektor pada semua garis jalan kombinasi proyeksi berikut:

Buktikan otoritas tidak diizinkan.

6 0 ... Sistem koordinat Cartesian persegi panjang di ruang angkasa.Tata letak vektor di sepanjang rentang sumbu. Ambil tiga koordinat yang saling tegak lurus di garis dasar; sebutan khusus diperkenalkan untuk mereka
... Menempatkan telinga ke titik HAI, Disutradarai oleh mereka (menurut orts
) sumbu koordinat Sapi,Oy iO z(Kami akan menangkap mereka dengan cara langsung yang positif, dengan tongkol di depannya, dan dalam satu unit, kami akan menyebutnya tampilan koordinat).

nilai... Sistem terurut dari tiga sumbu koordinat yang saling tegak lurus dengan telinga tulang punggung dan satu unit tulang punggung disebut sistem koordinat kartesius persegi panjang di ruang angkasa.

sumbu Sapi disebut visyu absis, Oy- ordinat vіssu O z – aplikasi vissyu.

Kami akan mengambil distribusi vektor yang paling signifikan atas dasar
... Dari teorema (lihat 2.2, butir 3 0, (2.13)) jelas bahwa
bisa sama dengan jumlah spread pada basis
(Di sini, ganti koordinat
hidup
):

. (2.21)

Dalam (2.21)
esensi (persegi panjang kartesius) koordinat vektor ... Arti dari koordinat Cartesian akan ditetapkan oleh teorema.

dalil... Koordinat persegi panjang kartesius
vektor proyeksi vektor th terlihat pada sumbu Sapi,Oy iO z.

Terkirim. selain vektor Sistem Koordinat - Titik HAI... Kinet Todi yogo akan diambil dari titik deyako
.

Menggambar melalui titik
tiga daerah sejajar dengan daerah koordinat Oyz,Oxzі oxy(Gbr. 2.11 xx). Otrimaєmo todі:

. (2.22)

Dalam (2.22) vektor
і
disebut vektor gudang
sepanjang sumbu Sapi,Oy iO z.

Hei melalui
і ditunjuk oleh kuti, disetujui oleh vector dengan ort
... Todi untuk gudang kami mengenal rumus sebagai berikut :

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

(2.21), (2.22) (2.23) kita tahu:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

- koordinat
vektor proyeksi vektor pada sumbu koordinat Sapi,Oy iO z tentunya.

menghormati... angka-angka
disebut kosinus langsung dari vektor .

modul vektor (Paralelepiped persegi panjang diagonal) dihitung dengan rumus:

. (2.24)

Tiga rumus (2.23) dan (2.24) digunakan, tetapi kosinus langsung dapat dihitung menurut rumus:

=
;
=
;
=
. (2.25)

Infeksi pada bagian kulit dengan nosti di (2.25) kekar dengan istilah vі dan bagian kanan rіvnosti vnosti, kami sampai pada formula:

- jangan seperti tiga kutis, lakukan deyakiy langsung di ruang terbuka, ale, yang kosinusnya terikat pada pasangan (2,26).

7 0 ... Vektor radius dan koordinat titik.Nilai vektor untuk telinga yogo dan kіntsya... Masukkan nilai.

nilai... Vektor radius (dilambangkan ) Sebuah vektor disebut tongkol koordinat HAI dengan titik (Gambar 2.12 xx):

. (2.27)

Jadilah-seperti menunjuk ke ruang terbuka, vektor radius bernyanyi (dan kembali). Dalam peringkat seperti itu, poin direpresentasikan ke luasnya dalam vektor aljabar dan vektor radius.

Jelas, koordinat
poin M proyeksi dari vektor radius
pada sumbu koordinat:

(2.28’)

dalam peringkat seperti itu,

(2.28)

- jari-jari-vektor titik vektor, proyeksi yang pada sumbu koordinat menuju ke koordinat seluruh titik. Kedengarannya seperti dua catatan:
і
.

Rumus Otrimaєmo untuk menghitung proyeksi vektor
di belakang koordinat tongkol - dot
- poin
.

Vektor radius yang dilakukan
saya vektor
(Gambar 2.13). Otrimaєmo, scho

=
=(2.29)

- proyeksi vektor pada koordinat orti sama dengan perbedaan koordinat vektor.

8 0 ... Deyakі zavdannya pada koordinat kartesius.

1) perhatikan kolinearitas vektor ... Dari teorema (lihat 2.1, butir 20, rumus (2.7)), jelas bahwa untuk kolinearitas vektor і itu perlu dan cukup, untuk kinerja yang baik: =... Tiga persamaan vektor dapat dikenali dalam bentuk persamaan koordinat:

(2.30)

- untuk kolinearitas vektor і perlu dan cukup, bahwa koordinat yang diberikan proporsional.

2) terlihat di antara titik ... Deklarasi (2.29)
titik-titik mіzh
і
mulai dengan rumus

=
=. (2.31)

3) untuk tanggal tertentu ... Beri aku poin
і
dan penutupnya
... perlu diketahui
- titik koordinat M (Gambar 2.14).

Pastikan vektor-vektornya kolinear:
, bintang
і

. (2.32)

(2.32) dapat dikenali dalam bentuk koordinat:

Dari rumus (2,32 ') dimungkinkan untuk menolak rumus untuk menghitung koordinat tengah
, vvazayuchi
:

menghormati... Kami akan memanfaatkan
і
positif, atau negatif, karena fakta bahwa itu benar-benar jauh dari telinga
pengiriman sampai akhir
, agar tidak hilang. Menurut rumus (2.32) - (2.32 "), seseorang dapat mengetahui koordinat suatu titik,
peringkat zovnіshnіm, jadi, jadi, poin dlіt M berada di kunjungan diperpanjang
, Tidak semua tengah. Dengan tsom itu kejam,
.

4) permukaan bulat . Permukaan bulat gudang - susunan titik-titik geometris
, Rivnoviddalenikh ke vidstan dari pusat tetap deyakoy - poin
... Jelas, dengan cara tertentu
dan dari rumus (2.31)

Rivnyannya (2.33) Rivnyannya shukanoy permukaan bulat.

Zavdannya 1. Z'yasuvati, chi sistem vektor adalah persegi linier. Sistem vektor akan ditetapkan sebagai matriks sistem, 100% yang disimpan dari koordinat vektor.

.

Keputusan. Mulai kombinasi garis jalan menuju nol. Setelah menuliskan harga di koordinat, saya akan memulai sistem rivnyans:

.

Sistem rivnyan seperti itu disebut tricut. Vona maє udine rіshennya ... Otzhe, vektor Persegi Linier

Zavdannya 2. Z'yasuvati, chi adalah sistem vektor bebas linier.

.

Keputusan. vektor Linear Square (Div. Soal 1). Dibawa ke Anda, vektor adalah kombinasi linier dari vektor ... Distribusi fitur berdasarkan vektor viznachayutsya dari sistem

.

Sistem Qia, yak trikutna, maє edine rіshennya.

Otzhe, sistem vektor bera linier.

menghormati... Matriks semacam ini, seperti pada tanaman 1, disebut trikutnimi , Dan di pabrik 2 - sulit ... Makanan tentang garis keturunan sistem vektor mudah dilihat, karena matriksnya terdiri dari koordinat jumlah vektor, yang seringkali berbentuk segitiga. Jika matriksnya bukan jenis khusus, maka untuk bantuan transformasi dasar baris , Sehingga Anda dapat mengambil rasio garis-ke-sisi antara 100%, dan Anda dapat membawanya ke viglade yang rumit.

Transformasi dasar baris matriks (EPC) disebut operasi seperti itu pada matriks:

1) penataan ulang baris;

2) Beberapa baris pada nomor dari nol;

3) penambahan baris baris nshy, dikalikan dengan angka tertentu.

Zavdannya 3. Ketahui subsistem bebas linier maksimum dan hitung pangkat sistem dan vektornya

.

Keputusan. Dipandu oleh matriks sistem di balik bantuan EPC ke tampilan yang sering dipersempit. Jelaskan orde d_y, baris dengan bilangan ditransformasikan ke dalam matriks secara bermakna dengan simbol. Pada perseratus baris panah, matriks ditransformasikan di atas baris, karena viconati diperlukan untuk menolak baris matriks baru.

.

Jelas, dua ratus pertama dari rim-of-matriks bebas linier, seperseratus ketiga adalah kombinasi linier, dan perempat tidak tercakup oleh dua yang pertama. vektor disebut dasar. Bau mengatur subsistem sistem independen linier maksimum , Dan peringkat sistem adalah tiga.

Dasar, koordinat

Zavdannya 4. Ketahui dasar dan koordinat vektor secara keseluruhan berdasarkan vektor geometris tak terbatas, koordinat yang dipikirkan .

Keputusan... Bezlich area untuk melewati tongkol koordinat. Dasar yang baik pada daerah didasarkan pada dua vektor non-linear. Koordinat vektor dalam basis yang dipilih didasarkan pada keputusan sistem umum dan garis keturunan.

Ini adalah cara paling dasar untuk menampilkan data, jika Anda dapat mengetahui dasar koordinatnya.

koordinat ruang tidak koordinat pada area, sehingga bau busuk mengikat anak-anak , Tobto bukan persegi. Nezalezhnі vіnnі (bau disebut vіlny) jelas vektor viznachayut pada area , juga, bau dapat ditentukan dengan koordinat di. Dasar Todi untuk disimpan dalam vektor, tetapi untuk berbaring di semua jenis set musim dingin yang besar і , toto.

Zavdannya 5. Untuk mengetahui dasar dan koordinat vektor secara keseluruhan berdasarkan semua vektor di ruang angkasa, di mana koordinat yang tidak berpasangan sama dengan diri sendiri.

Keputusan... Viberemo, seperti di tugas latar depan, berkoordinasi dalam ruang.

Jadi ya , Itu adalah perubahan besar jelas mulai vektor dengan , juga, koordinat. Dasar umum disimpan dalam vektor.

Zavdannya 6. Ketahui basis dan koordinat vektor secara keseluruhan berdasarkan semua matriks dalam bentuk , de - angka penting.

Keputusan... Matriks kulit s jelas terwakili di penampil:

Harga untuk distribusi vektor z atas dasar
dengan koordinat .

Zavdannya 7. Ketahui ukuran dan basis kulit linear sistem dan vektor

.

Keputusan. Itu dapat direkonstruksi dengan bantuan matriks EPC dari koordinat vektor sistem ke vigle yang sering kali dipersempit.

.

100% sisa matriks adalah independen linier, tetapi seratus memutar secara linier melalui mereka. Otzhe, vektor membangun dasar , і .

menghormati... dasar di bergetar secara ambigu. Misalnya, vektor juga menetapkan dasar .

Hai L - ruang garis di atas bidang R ... Hai A1, A2, ..., dan (*) Sistem vektor Kintsev L ... vektor V = A1 × A1 + A2 × A2 + ... + sebuah × NS (16) disebut Kombinasi linier vektor ( *), hai bicara, hai vektor V berputar secara linier melalui sistem vektor (*).

Nilai bisnis 14. Sistem vektor (*) disebut garis-bera , Todi dan hanya todi, jika ada himpunan bukan nol dari koefisien a1, a2, ..., an, a1 × A1 + A2 × A2 + ... + sebuah × NS = 0. Yaksho f a1 × A1 + A2 × A2 + ... + sebuah × NS = 0 a1 = a2 = ... = an = 0, maka sistem (*) disebut Persegi Linier.

Kekuatan garis keturunan dan kemerdekaan.

10. Jika sistem vektor adalah vektor nol, maka sistem tersebut turun secara linier.

Sebenarnya, jika dalam sistem (*) vektor A1 = 0, Itu 1 × 0 + 0× A2 + ... + 0 × n = 0 .

20. Jika sistem vektor memiliki dua vektor proporsional, maka sistem tersebut turun secara linier.

Hai A1 = L× A2. Todi 1 × A1 -l × A2 + 0× A3 + … + 0× A N = 0.

30. Sistem Kintsev dari vektor (*) pada n 2 turun secara linear ke keduanya dan hanya todi, jika Anda ingin salah satu dari vektor ini dalam kombinasi linier dari vektor terbesar dari keseluruhan sistem.

Nekhai (*) lyn_yno bera. Artinya, ada himpunan bukan nol dari koefisien a1, a2, ..., an, dimana a1 × A1 + A2 × A2 + ... + sebuah × NS = 0 . Jangan melanggar spiritualitas, Anda dapat menggunakannya, tetapi a1 0. Todi isnu i A1 = × a2 × A2 + ... + × sebuah × A N. Otzhe, vektor A1 Kombinasi linier dari vektor lain.

Tinggalkan satu vektor z (*) kombinasi linier dari vektor-vektor tersebut. Anda dapat memainkan, yah, vektor yang sama, yaitu E. A1 = B2 A2 + ... + bn A N, Zvidsi (-1) × A1 + b2 A2 + ... + bn A N = 0 , T.E. (*) Linier bera.

Menghormati. Vikoristovuyu kekuatan yang tersisa, adalah mungkin untuk tanggal nilai linear bera dan kemandirian sistem non-tak terbatas dan vektor.

Nilai bisnis 15. sistem vektor A1, A2, ..., dan , ... (**) disebut bera linier, Saya ingin memiliki satu vektor dalam kombinasi linier dengan jumlah vektor yang sama. Secara umum, sistem (**) disebut Persegi Linier.

40. Sistem vektor Kintsev bebas linier dari keduanya dan hanya todi, karena vektor linier dapat digunakan melalui vektor lainnya.

50. Jika sistem vektor bebas linier, maka apakah sistem vektor bebas linier.

60. Jika subsistem dari suatu sistem dan vektor-vektor tertentu dikosongkan secara linier, maka seluruh sistem juga dikosongkan.

Misalkan ada dua sistem vektor A1, A2, ..., dan , ... (16) i 1, 2, ..., S, ... (17). Jika vektor kulit sistem (16) dapat direpresentasikan dalam tampilan kombinasi linier dari jumlah vektor Kintz dalam sistem (17), maka kita dapat mengatakan bahwa sistem (17) berputar secara linier melalui sistem (16 ).

Nilai bisnis 16. Dua sistem dan vektor disebut setara , Kulit Yaksho dari mereka dipelintir secara linier melalui insha.

Teorema 9 (Teorema utama adalah tentang garis bera).

Halo aku - dua sistem kintsev dan vektor z L ... Jika sistem persha berbentuk persegi linier dan berputar secara linier melalui seorang teman, maka n£ s.

Terkirim. Dapat diterima, sekolah n> S. Di balik teorema pikiran

gila. Jadi, karena jumlah orang lebih besar daripada jumlah orang non-pribumi, maka sistem ini kaya akan solusi. Otzhe, dia bukan nol X10, x20, ..., xN0... Dengan nilai yang sama, paritas (18) akan benar untuk mengatakan bahwa sistem vektor bebas linier. Otzhe, pripuschennya kami tidak benar. sudah, n£ s.

Slidestvo. Begitu ada dua sistem dan vektor yang sama di bagian terakhir dan di baris, maka baunya untuk membalas dendam pada jumlah vektor yang sama.

Nilai bisnis 17. Sistem vektor disebut Sistem kuadrat linier maksimum dari vektor ruang garis L , Yaksho menang adalah persegi linier, bir, ketika ditambahkan padanya, vektor apa pun z L Anda tidak boleh menjadi bagian dari sistem, Anda tidak akan sejalan dengan tanah bera.

Teorema 10. Jadilah seperti dua titik dari sistem dan vektor bebas linier maksimum L Balas dendam dengan jumlah vektor yang sama.

Dovedennya selain fakta bahwa apakah ada dua sistem bebas linier maksimal dan vektor-vektor yang sama .

Sangat mudah untuk membawa sistem vektor ke luar angkasa L adalah mungkin untuk menambahkan sistem dan vektor bebas-linier maksimum dalam luasnya.

pakai:

1. Untuk semua vektor geometri collinear, baik itu sistem yang akan menjumlahkan hingga satu vektor bukan nol, kuadrat linier maksimum.

2. Dalam kasus semua vektor geometris koplanar, apakah dua vektor nonlinier menjadi sistem bebas linier maksimum.

3. Dalam ketidakmungkinan semua vektor geometris yang mungkin dari ruang Euclidean trivial, baik itu sistem tiga vektor non-coplanar kuadrat linier maksimum.

4. Semua polinomial langkah tidak memiliki a n Sistem polinomial dengan kinerja (kompleks) yang efektif 1, x, x2, ..., xn kuadrat linier maksimum.

5. Untuk semua polinomial tanpa fungsi efektif (kompleks), puntung dari sistem bebas-linier maksimum

A) 1, x, x2, ..., xn, ...;

B) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N, ...

6. Matriks ruang bebas M´ n ruang garis (putar tse). Dengan penerapan sistem kuadrat linier maksimal di seluruh ruang sistem matriks E11= , E12 =, ..., EM N = .

Biarkan sistem vektor diberikan C1, c2, ..., lih. (*). Subsistem dari vektor s (*) disebut Persegi linier maksimum sistem pid sistem ( *) Itu tidak datar, tetapi ketika vektor lain ditambahkan ke dalamnya, sistem won menjadi bera linier. Jika sistem (*) adalah kintsev, maka apakah itu bebas linier maksimum, subsistem akan memiliki satu dan jumlah vektor yang sama. (Bukti untuk dilakukan secara mandiri). Banyaknya vektor dalam subsistem bebas linier maksimum dari sistem (*) disebut pangkat sistem Tso. Jelas, sistem dan vektor yang setara mungkin memiliki peringkat yang sama.

Linear fallowness dan independensi vektor

Nilai sistem vektor linier bera dan tidak bera

nilai 22

Mulai sistem dengan n-vektor dan satu set angka
, todі

(11)

disebut kombinasi linier dari sistem dan vektor tertentu dengan himpunan fungsi tertentu.

nilai 23

sistem vektor
disebut bera silsilah, karena ada seperangkat fungsi seperti itu
Saya ingin satu tidak pergi ke nol, tetapi kombinasi garis dari sistem dan vektor yang diberikan dengan satu set fungsi menuju ke vektor nol:

Hai
, todі

Nilai bisnis 24 ( melalui manifestasi satu vektor sistem dalam pandangan kombinasi garis)

sistem vektor
Ini bisa disebut garis keturunan bera, jika Anda menginginkan salah satu vektor dari keseluruhan sistem dan dapat direpresentasikan dalam tampilan kombinasi linier dari vektor lain dari keseluruhan sistem.

mengeras 3

Nilai 23 dan 24 setara.

nilai 25(Melalui kombinasi garis nol)

sistem vektor
disebut garis-independen, karena ada kombinasi garis nol dari seluruh sistem dan dapat dicabut dari semua
sama dengan nol.

nilai 26(Melalui keengganan memberikan satu vektor sistem kepada pemirsa kombinasi linier dari mereka)

sistem vektor
Tidak mungkin disebut bujur sangkar linier, karena lebih dari satu vektor dari keseluruhan sistem tidak dapat direpresentasikan dalam pandangan kombinasi linier dari vektor lain dari keseluruhan sistem.

Kekuatan sistem vektor bera linier dan independen

dalil 2 (Vektor nol dalam sistem vektor)

Jika dalam suatu sistem vektor adalah vektor nol, maka sistem tersebut basi linier.

Ayo
, Todi.

otrimaєmo
Juga, berdasarkan nilai sistem garis bera dan vektor melalui kombinasi garis nol (12) sistem ini linear basi. 

dalil 3 (Subsistem yang hilang dalam sistem vektor)

Jika subsistem ini sejalan dengan sistem vektor, maka seluruh sistem akan habis garis.

Ayo
- Subsistem yang habis linier
, Di antara mereka yang ingin menjadi salah satu yang tidak akan terlalu mahal:

Ini berarti bahwa setelah nilai 23, sistem basi linier. 

Teorema 4

Apakah subsistem tersebut adalah sistem yang tidak bergantung pada jalur dan tidak bergantung pada jalur.

Berlawanan. Jangan khawatir, sistem ini independen secara linier dan subsistem tidak terletak dalam garis. Segera setelah Teorema 3 diikuti, seluruh sistem juga akan jatuh datar. Protir_chchya. Otzhe, subsistem dari sistem garis-independen tidak bisa garis-garis bera. 

Rasa geometris garis keturunan dan kemandirian sistem dan vektor

Teorema 5

dua vektor і tanah bera linier dan hanya mainan, jika
.

 Kebutuhan.

і - bera linier
, Scho vikonutsya umova
... Todi
, Tobto
.

Kecukupan.

Deposit linier. 

suksesi 5.1

Sebuah vektor nol adalah collinear ke vektor apapun

suksesi 5.2

Untuk itu, dua vektor akan bebas linier, perlu dan cukup, tetapi bukan bula collinear .

Teorema 6

Untuk tujuan ini, sistem tiga vektor akan jatuh secara linier, perlu dan cukup, jika vektor akan coplanar .

 Kebutuhan.

- Linear bera, juga, satu vektor dapat direpresentasikan dalam tampilan kombinasi garis dari dua.

, (13)

de
і
... Di balik aturan jajaran genjang jajaran genjang diagonal dengan sisi
, Jajaran genjang Ale - sosok datar
kesejajaran
- juga koplanaritas.

kelimpahan.

- Kepatuhan. Tiga vektor dapat dilaporkan hingga titik B:

C

B`

- Deposit linier

suksesi 6.1

Vektor nol adalah coplanar untuk setiap pasangan vektor.

suksesi 6.2

Untuk vektor ini
Bully, itu perlu untuk menyelesaikannya, tetapi itu tidak coplanar.

suksesi 6.3

Apakah suatu vektor suatu daerah dapat direpresentasikan dalam pandangan kombinasi linier dari dua vektor nonlinier di daerah yang sama.

Teorema 7

Jadilah-seperti vektor chotiri di ruang terbuka .

4 jenis pilihan tersedia:

Gambarlah luas yang melalui vektor, kemudian luas yang melalui vektor dan luas yang melalui vektor. Kemudian kita menggambar area, melewati titik D, sejajar dengan pasangan vektor; ; tentunya. Sepanjang garis, akan ada garis sejajar tanah OB 1 D 1 C 1 ABDC.

Jernih OB 1 D 1 C 1 - jajaran genjang z mendorong aturan jajaran genjang
.

Ditampilkan OADD 1 - jajaran genjang (dari kekuatan paralelepiped)
, todі

Persamaan EMBED 3.

Dengan Teorema 1
taki, scho. Todi
, untuk nilai 24 sistem vektor sejajar. 

suksesi 7.1

Saya akan meringkas tiga vektor non-coplanar di ruang vektor, sehingga seseorang dapat keluar dari diagonal dari paralelepiped, diminta pada tiga vektor yang sama, diterapkan ke bagian belakang tongkol, apalagi, tongkol dari vektor dijumlahkan dari bagian belakang tongkol tiga vektor.

lulus 7.2

Jika Anda mengambil 3 vektor non-coplanar di ruang terbuka, maka apakah suatu vektor dapat diperluas menjadi kombinasi linier dari ketiga vektor ini.