Verifikasi bahwa itu adalah fungsi dari diferensial baru. Persamaan diferensial dari diferensial lainnya

30.07.2020

Bagaimana tampilan standar $P \ kiri (x, y \ kanan) \ cdot dx + Q \ kiri (x, y \ kanan) \ cdot dy = 0 $, dalam hal ini bagian kiri adalah diferensial terakhir dari fungsi aktual $ F \ kiri ( x,y\kanan)$, disebut sama dengan diferensial lainnya.

Persamaan dalam diferensial terbaru dapat ditulis ulang sebagai $dF \ kiri (x, y \ kanan) = 0 $, de $ F \ kiri (x, y \ kanan) $ - sedemikian rupa sehingga $ dF \ kiri (x, y \kanan)=P\kiri(x,y\kanan)\cdot dx+Q\kiri(x,y\kanan)\cdot dy$.

$dF\kiri(x, y\kanan) = 0$: $\int dF\kiri(x, y\kanan) = F\kiri(x, y\kanan)$; integral di bagian kanan nol dari $C$ yang lebih mahal cukup konstan. Jadi, solusi akhir persamaan ini dalam bentuk implisit dapat terlihat seperti $ F \ kiri (x, y \ kanan) = C $.

Agar persamaan diferensial ini menjadi sama dalam diferensial lain, perlu dan cukup bahwa Umov $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $. Jika vikonan cerdas ditetapkan, maka ada fungsi $F\left(x,y\right)$, yang dapat Anda tulis: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+ \frac(\partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$ parsial F)(\partial x) = P\kiri(x,y\kanan)$ i $\frac(\sebagian F)(\sebagian y) = Q\kiri(x,y\kanan)$.

Dapat diintegralkan sebelum $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ di atas $x$ dan $F\left(x,y\right)=\int P\ left( x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, di mana $U\left(y\right)$ adalah fungsi cukup dari $y$.

Mari kita ambil cara ini, sehingga putaran lain $\frac(\partial F)(\partial y) = Q\left(x, y\right)$ terpenuhi. Untuk itu kita dapat membedakan $F\left(x,y\right)$ terhadap $y$ dan menyamakan hasilnya dengan $Q\left(x,y\right)$. Opsional: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left( x,y\kanan)$.

Solusi lebih lanjut adalah:

untuk persamaan lainnya kita tahu $U"\left(y\right)$;
terintegrasi $U"\left(y\right)$ dan diketahui $U\left(y\right)$;
substitusikan $U\left(y\right)$ sama dengan $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ dan fungsi $F\left(x,y\right)$ diambil secara residual.

Kita tahu perbedaannya:

$U"\left(y\right)$ dapat diintegralkan terhadap $y$ dan $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$ dikenal.

Hasil yang diketahui: $F\left(x, y\right) = V\left(x, y\right) + U\left(y\right) = 5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Kita dapat menuliskan solusinya sebagai berikut: $F \ left (x, y \ right) = C $, dan dirinya sendiri:

Solusi pribadi yang diketahui $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, di mana $y_(0) =3$, $x_(0) =2 $:

Solusi pribadi mungkin terlihat seperti: $5 cdot x cdot y ^ (2) +3 cdot x cdot y-2 cdot y = $102.

Pernyataan masalah dalam sikap dua dunia

Penemuan kembali fungsi jumlah perubahan di belakang diferensial baru

9.1. Pernyataan masalah dalam pandangan dua dunia. 72

9.2. Deskripsi solusi. 72

Ini adalah salah satu tambahan pada integral lengkung jenis kedua.

Diberikan diferensial lengkap fungsi dari dua perubahan:

Tahu fungsinya.

1. Jadi, karena tidak setiap pikiran dapat dilihat sebagai diferensial baru dari fungsi bernyanyi kamu(x,kamu), maka perlu untuk membalikkan kebenaran pengaturan tugas, untuk membalikkannya, perlu untuk mempertimbangkan kembali perlunya pikiran yang cukup dari diferensial baru, karena untuk fungsi perubahan 2-x mungkin terlihat . Pernyataan kesetaraan Tsya umova vyplivaet z (2) dan (3) dalam teorema paragraf sebelumnya. Begitu umova vikonan diangkat, maka tugasnya adalah mengambil keputusan, sehingga fungsinya kamu(x,kamu) dapat diperbarui; jika pikiran tidak terbunuh, maka tidak ada solusi, sehingga fungsinya tidak dapat dipulihkan.

2. Dimungkinkan untuk mengetahui fungsi di balik diferensial atas , misalnya, untuk integral lengkung tambahan jenis II, setelah menghitung yogo pada garis, yang merupakan titik tetap ( x 0 ,kamu 0) titik perubahan itu ( x;y) (mal. delapan belas):

Dalam peringkat ini, diambil bahwa integral lengkung jenis ke-2 seperti diferensial lengkap dU(x,kamu) nilai fungsi yang baik kamu(x,kamu) di ujung dan titik jagung dari garis integrasi.

Mengetahui sekarang hasilnya, perlu untuk memberikan pengganti dU ke dalam integral lengkung virase dan melakukan perhitungan integral di belakang laman ( ACB), vrakhovuyuchi yogo kemerdekaan dalam bentuk garis integrasi:

pada ( AC): pada ( SW) :

(1)

Dalam peringkat ini, rumus telah dihilangkan, untuk bantuan yang menggunakan fungsi penggantian ke-2 untuk diferensial atas .

3. Dimungkinkan untuk meningkatkan fungsi di balik diferensial atas d(kamu+ konstan) = dU. Oleh karena itu, sebagai hasil dari penyelesaian tugas, fungsi-fungsi impersonal diperhitungkan, yang satu jenis dikerjakan dengan tambahan permanen.

Terapkan (inovasi fungsi dua pengganti diferensial ketiga)

1. Tahu kamu(x,kamu), sebagai dU = (x 2 – kamu 2)dx – 2xydy.

Kami memverifikasi ulang total diferensial pikiran dari fungsi dua perubahan:

Untuk pikiran diferensial baru, vikonano, juga, fungsinya kamu(x,kamu) dapat diperbarui.

Perevіrka: - Benar.

Saran: kamu(x,kamu) = x 3 /3 – xy 2 + C.

2. Mengetahui fungsi seperti

Kami meninjau pengetahuan yang diperlukan dan memadai tentang diferensial total fungsi dari tiga perubahan: , , seperti yang diberikan oleh viraz.

Pada tugas rozvyazuvanіy

semua pikiran dari diferensial baru viconan, oleh karena itu, fungsinya dapat dipulihkan (tugas diatur dengan benar).

Kami menambahkan fungsi untuk bantuan integral lengkung jenis kedua, setelah menghitungnya di sepanjang garis, yang merupakan titik tetap dan titik perubahan, jadi

(Tsya rivnіst vyvoditsya begitu sendiri, seperti dalam suasana hati dua dunia).

Di sisi lain, integral lengkung jenis kedua dalam hal diferensial total tidak dapat terletak dalam bentuk garis integral, lebih mudah untuk meletakkannya di belakang laman, yang dibentuk dari angin, sejajar dengan garis. sumbu koordinat. Jika suatu titik tetap, untuk menyederhanakan, ambillah sebuah titik dengan koordinat numerik tertentu, sehingga titik-titik dan pada seluruh garis integrasi memiliki dasar mental integral lengkung (sehingga fungsi, i, tidak terputus). Untuk meningkatkan rasa hormat ini untuk tugas ini, Anda dapat mengambil titik tetap, misalnya, titik M 0. Todi pada kulit dari kaki lamanoi matimemo

10.2. Perhitungan integral permukaan jenis pertama. 79

10.3. Program Deyaki integral permukaan jenis pertama. 81

Mungkin bagian terakhir dari persamaan diferensial

fungsi akting diferensial povny:

dan kemudian, sama dengan (7) terlihat seperti .

Jika fungsinya sama dengan solusi (7), maka , i, juga,

de - postina, dan navpaki, seolah-olah fungsi deak diterjemahkan ke dalam kesamaan persamaan akhir (8), kemudian, membedakan dari kesamaan, itu diambil, kemudian, de - cukup telah menjadi, zagalnym integrand dari kesetaraan eksternal.

Jika diberi nilai awal, maka ditentukan secara permanen dari (8) dan

integral pribadi. Sebagai titik, maka pemerataan (9) dimaknai sebagai fungsi implisit vіd .

Agar bagian kiri persamaan (7) menjadi diferensial atas dari fungsi saat ini, perlu dan cukup bahwa

Seolah-olah pikiran, yang ditunjukkan oleh Euler, adalah vikonan, maka persamaan (7) mudah diintegrasikan. Benar, . Dari sisi lain, . Otzhe,

Saat menghitung integral, nilainya diterima sebagaimana adanya, sehingga merupakan fungsi yang cukup dalam bentuk. Untuk tujuan fungsi, fungsi diferensial diketahui:

Atas dasar yang sama ditentukan, itu dapat diintegrasikan, diketahui.

Sesuai dengan analisis matematis, lebih mudah untuk menetapkan fungsi di belakang diferensial atas dengan mengambil integral lengkung antara titik tetap dan titik dengan koordinat yang berubah di sepanjang jalur:

Cara paling umum untuk mengintegrasikan adalah dengan mengambil laman secara manual, dilipat dari dua kaki sejajar dengan sumbu koordinat; ke arah mana

pantat. .

Bagian kiri sama dengan diferensial atas dari fungsi saat ini, pecahan

Otzhe, integral dalam mungkin terlihat

Anda dapat menambahkan metode lain untuk menetapkan fungsi:

Untuk titik tongkol, kami memilih, misalnya, tongkol koordinat, seperti cara untuk mengintegrasikan - laman. Todi

integral yang dalam itu mungkin terlihat

Apa zbіgaєtsya dengan hasil sebelumnya, scho untuk membawa spanduk tidur.

Dalam beberapa kasus, jika bagian kiri dari persamaan (7) bukan diferensial yang sama, mudah untuk mengubah fungsi setelah mengalikan dengan bagian kiri dari persamaan (7) diubah menjadi diferensial baru. Fungsi seperti ini disebut pengganda integrasi. Dengan hormat, perkalian apa dengan pengali pengintegrasian yang dapat dihasilkan sebelum munculnya beberapa solusi lain yang membungkus pengali ini menjadi nol.

pantat. .

Jelas, setelah mengalikan dengan pengali, bagian kiri diubah menjadi diferensial baru. Benar, setelah dikalikan dengan otrimaemo

jika tidak, mengintegrasikan, . Mengalikan dengan 2 dan mempotensiasi, matimemo.

Jelas, faktor pengintegrasian jauh dari mudah diambil. Untuk menemukan nilai pengganda pengintegrasian, orang biadab harus memilih satu yang tidak sama dengan nol yang sama, solusi penyetaraan pribadi dalam persamaan pribadi yang serupa, tetapi dalam tampilan menderu

seolah-olah setelah itu saya pergi ke transfer beberapa dodankiv ke bagian lain dari keseimbangan untuk diarahkan untuk melihat

Dengan cara liar mengintegrasikan tsgogo rivnyanya di antara kerabat pribadi, kita tidak dapat memaafkan lebih banyak lagi, integrasi yang lebih rendah dari vyhіdny rivnyannya, namun, dalam beberapa kasus, integrasi divergensi pribadi (11) tidak menjadi sulit.

Selain itu, penting bahwa pengganda integrasi adalah fungsi dari hanya satu argumen (misalnya, fungsi hanya atau hanya, atau fungsi hanya, atau hanya, dll.), Anda juga dapat dengan mudah mengintegrasikan sama (11) pengganda jenis ini digunakan. Tim sendiri dapat melihat class dari equals, yang merupakan pengganda integral dapat dengan mudah diketahui.

Misalnya, Anda tahu, ingatlah bahwa beberapa persamaan dapat memiliki pengganda terintegrasi, untuk meletakkan hanya beberapa, tobto. . Pada saat yang sama (11) bertanya dan melihat pemandangan itu, bintang-bintang, vvazhuyuchi fungsi tampilan yang tidak terganggu, ambil

Meskipun hanya berfungsi sebagai vіd, maka pengganda pengintegrasian, yang lebih kecil kemungkinannya untuk disimpan vіd, snuє i dоrivnyuє (12), jika tidak, tidak ada pengganda pengintegrasian.

Umov snuvannya ntegryuchy multiplier, scho deposit only vіd, vykonano, misalnya, untuk linear vnyannya abo. Benar, otze. Benar-benar serupa, seseorang dapat menemukan alasan untuk mengintegrasikan faktor-faktor dalam bentuk dan seterusnya.

pantat. Chi maє sama mengintegrasikan multiplier pikiran?

Secara signifikan. Rivnyannya (11) ketika melihat mata, bintang-bintang itu baik

Untuk basis pengganda integrasi dari tipe tertentu, perlu dan penyisihan untuk kontinuitas cukup, hanya untuk berfungsi. Pada saat yang sama, faktor pengintegrasiannya adalah th dorіvnyuє (13). Ketika diambil. Mengalikan vihіdne sama dengan

Mengintegrasikan, mengurangi, dan kemudian mempotensiasi matimemo, atau dalam koordinat kutub - keluarga spiral logaritmik.

pantat. Ketahui bentuk cermin, yang mencerminkan secara paralel dengan garis lurus ini semua perubahan yang keluar dari titik yang diberikan.

Mari kita letakkan tongkol koordinat pada titik tertentu dan arahkan semua absis sejajar dengan yang diberikan di benak tugas secara langsung. Jangan ragu untuk jatuh di cermin pada titik. Kita bisa melihat cermin dengan permukaan datar, yang dapat melewati seluruh absis dan titik. Mari kita lakukan sampai reseksi permukaan cermin di titik. Jadi, karena kut adalah jatuh, saya menukar dorіvnyuє kutu dengan vidbittya, lalu tricoutnik menjadi rіvnobradrenny. Otzhe,

Otrimane juga sama-sama mudah diintegrasikan dengan mengganti perubahan-perubahan, dan lebih sederhananya lagi, setelah diubah dalam bentuk irasionalitas pada panji-panji, menulis ulang yoga yak. Ada pengali integrasi yang jelas , , , (tempat lahir parabola).

Lebih mudah untuk bergerak di koordinat i , jadi ketika Anda memotong shuffle di permukaan, Anda melihatnya.

Dimungkinkan untuk membawa basis dari pengganda integrasi, jika tidak, sama saja, basis dari solusi persamaan non-nol secara pribadi (11) di area aktif, karena fungsi dapat hilang tanpa henti dan menerima salah satu fungsi ini tidak berubah menjadi nol. Juga, metode pengganda pengintegrasian dapat dianggap sebagai metode integrasi mendalam yang setara dengan pikiran, namun, karena sulitnya mengetahui pengganda pengintegrasian, metode ini kemungkinan besar akan terjebak dalam situasi sunyi, jika pengganda pengintegrasian jelas. .

Ditunjukkan bagaimana mengenali persamaan diferensial dalam diferensial terbaru. Metode yang diinduksi yoga virishennya. Pantat rozv'yazuvannya ditujukan pada diferensial luar dengan dua cara.

Zmist

Masuk

Penyelarasan diferensial urutan pertama dalam diferensial terbaru - penyelarasan pikiran:
(1) ,
de bagian kiri persamaan dengan diferensial atas dari fungsi akting U (x, y) untuk mengubah x, y:
.
Dengan siapa.

Pernah menemukan fungsi seperti itu U (x, y), maka saya terlihat seperti
dU (x, y) = 0.
Integral global yoga:
kamu (x, y) = C,
de C - cepat.

Sebagai persamaan diferensial dari orde pertama, ditulis melalui kebalikannya:
,
maka yoga mudah diwujudkan (1) . Untuk siapa kita kalikan sama dengan dx. Todi. Akibatnya, kita secara obsesif sama, diekspresikan melalui perbedaan:
(1) .

Kekuatan persamaan diferensial dari diferensial lainnya

Agar setara (1) itu sama dengan perbedaan terbaru, itu perlu dan cukup, sehingga spіvvіdnoshennia menang:
(2) .

membawa

Kami selanjutnya mencatat bahwa semua fungsi yang menang dalam pembuktian, ditentukan dan dapat bervariasi di area yang sama, nilai x dan y yang diubah. Krapka x 0, y0 jadi berbaringlah tsіy galuzі.

Kami memperhatikan kebutuhan (2).
Ayo pergi ke bagian kiri sungai (1) diferensial fungsi kerja U (x, y):
.
Todi
;
.
Pecahan teman baik untuk diletakkan dalam urutan pembedaan, lalu
;
.
Lihat apa yang berikut. Kebutuhan pikiran (2) telah membawa.

Kami membawa perhatian (2).
Ayo menggila (2) :
(2) .
Mari kita tunjukkan bahwa adalah mungkin untuk mengetahui fungsi seperti itu U (x, y), berapa diferensial:
.
Tse berarti bahwa fungsi seperti itu U (x, y), senang dengan persamaan:
(3) ;
(4) .
Kita tahu fungsi seperti itu. Setara integral (3) oleh x jenis x 0 hingga x, terlepas dari apa yang diposting y:
;
;
(5) .
Diferensiasi dengan y penting, apa x konstan dan stabil? (2) :

.
Rivnyannia (4) bude vikonano, yakscho
.
Terintegrasi sehubungan dengan y vіd y 0 ke y:
;
;
.
Disajikan dalam (5) :
(6) .
Ayah, kami tahu fungsinya, perbedaannya adalah
.
Kecukupan dibawa.

Rumus (6) , U (x0, y0) konstan - nilai fungsi U (x, y) di titik x 0, y0. y dapat diberikan apakah signifikan.

Bagaimana mengenali keselarasan diferensial dari diferensial terbaru

Mari kita lihat keselarasan diferensial:
(1) .
Untuk menentukan apa yang sama dalam diferensial terbaru, perlu untuk membalikkan (2) :
(2) .
Ternyata, itu sepadan dengan perbedaan terbaru. Yakshcho nі - tse tidak sama di diferensial lainnya.

pantat

Verifikasi, chi sama dengan diferensial terbaru:
.

Di Sini
, .
Diferensiasi terhadap y, dengan mempertimbangkan konstanta x:

.
Diferensial

.
Oskilki:
,
maka tugasnya sama - untuk perbedaan lainnya.

Metode diferensial rozvyazannya sama dengan diferensial terbaru

Metode pengamatan diferensial selanjutnya

terbesar metode sederhana Kesempurnaan penjajaran pada diferensial terbaru adalah metode pengamatan diferensial selanjutnya. Untuk yang mi zastosovuєmo formula diferensiasi, ditulis dalam bentuk diferensial:
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
Dalam rumus ini, u dan v sangat berbeda, dilipat dari kombinasi perubahan apa pun.

pantat 1

Rozvyazati rivnyannya:
.

Kami tahu sebelumnya bahwa harga sama dengan perbedaan terbaru. Mari kita membuat ulang yoga:
(P1) .
Virishuemo sama, berturut-turut melihat perbedaan.
;
;
;
;

.
Disajikan dalam (P1):
;
.

Metode integrasi berurutan

Metode mana yang digunakan untuk memeriksa fungsi U (x, y), apa yang menyenangkan rivnyan:
(3) ;
(4) .

Setara integral (3) oleh x , dengan menghormati konstanta y:
.
di sini (y)- Fungsi yang cukup dalam bentuk y, karena perlu untuk ditunjuk. Vaughn adalah integrasi permanen. Dikirim setara (4) :
.
Zvіdsi:
.
Mengintegrasikan, kita tahu (y) saya, waktu yang sama, U (x, y).

pantat 2

Kejantanan sama dengan perbedaan terbaru:
.

Kami tahu sebelumnya bahwa harga sama dengan perbedaan terbaru. Mari kita perkenalkan notasi:
, .
Fungsi Shukaemo U (x, y), diferensial adalah bagian kiri yang sama:
.
Todi:
(3) ;
(4) .
Setara integral (3) oleh x , dengan menghormati konstanta y:
(P2)
.
Diferensiasi terhadap y:

.
Mari kita bayangkan di (4) :
;
.
Terintegrasi:
.
Mari kita bayangkan di (P2):

.
pemerataan integral global:
kamu (x, y) = konstanta.
Menggabungkan dua posting menjadi satu.

Metode pengintegrasian kurva baji

Fungsi U , yang ditetapkan sebagai berikut:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
Anda dapat mengetahui bagaimana mengintegrasikan perataan kurva lengkung yang menghubungkan titik-titik (x0, y0)і (x, y):
(7) .
Oskilki
(8) ,
maka integral tersebut harus didepositokan hanya dalam bentuk koordinat cob (x0, y0) dan kіntseva (x, y) titik i terletak dalam bentuk kurva. W (7) і (8) kita tahu:
(9) .
Disini x 0 dan kamu 0 - Tinggal. Tom U (x0, y0)- sangat cepat.

Puntung pengangkatan tersebut U surat pemotongan untuk bukti:
(6) .
Di sini, integrasi dilakukan mundur sepanjang baji, sejajar dengan sumbu y dari titik (x 0 , y 0 ) ke titik (x0, y). Kemudian integrasi dilakukan sepanjang rel, sejajar dengan sumbu x dari titik (x0, y) ke titik (x, y) .

Untuk putaran yang lebih besar, perlu untuk menunjukkan keselarasan kurva, yang merupakan titik penghubung (x 0 , y 0 )і (x, y) tampilan parametrik:
x 1 = s(t1); kamu 1 = r(t1);
x 0 = s(t0); kamu 0 = r(t0);
x = s (t); y=r (t);
dan mengintegrasikan lebih dari t 1 ketik t 0 untuk t.

Paling sederhana vykonuetsya ntegruvannya vіdrіzkom scho z'ednuє poin (x 0 , y 0 )і (x, y). Ke arah mana:
x 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; kamu 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Setelah substitusi, masukkan integral t di 0 sebelum 1 .
Tsei sposіb, bagaimanapun, untuk membawa ke dosit kalkulus besar.