පරාමිතිකව ලබා දී ඇති රේඛා වලින් වට වූ රූපයේ වර්ගඵලය ගණනය කිරීම. රූපයේ ප්‍රදේශය සහ ශරීර එතීමේ පරිමාව ගණනය කරන්නේ කෙසේද, රේඛාව පරාමිතිකව සකසා ඇත්තේ කෙසේද? මගේ vipadka හි ප්රදේශය දැන ගන්නේ කෙසේද

දේශන 8. ගායන අනුකලනයේ වැඩසටහන්.

භෞතික ගැටළු සඳහා අනුකලනයේ අතිරේකය පදනම් වන්නේ පුද්ගල නොවන සඳහා අනුකලයේ ආකලන බලය මතය. එබැවින්, අනුකලයේ උපකාරය සඳහා, එවැනි ප්රමාණ ගණනය කළ හැකිය, ඒවාම ගුණයකින් ආකලන වේ. නිදසුනක් ලෙස, රූපයේ ප්රදේශය Dovzhin චාපයේ ප්රදේශ වල එකතුවට සමාන වේ, පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය, ශරීරයේ පරිමාව, ශරීරයේ ස්කන්ධය සමාන බලයක් තිබිය හැකිය. එම ප්‍රමාණ සංඛ්‍යාව සරල අනුකලයක ආධාරයෙන් ගණනය කළ හැක.

ඔබට ක්රම දෙකක් විකෘති කර ගැටළු විසඳා ගත හැකිය: අනුකලිත එකතු කිරීමේ ක්‍රමය සහ අවකලනය කිරීමේ ක්‍රමය.

අනුකලිත එකතු කිරීමේ ක්‍රමය තනි අනුකලයක් ගොඩනැගීම පුනරාවර්තනය කරයි: බෙදීම් ඇත, ලකුණු ගණනය කරනු ලැබේ, ඒ සඳහා ශ්‍රිතය ගණනය කරනු ලැබේ, අනුකලිත එකතුව ගණනය කරනු ලැබේ, මායිම් සංක්‍රාන්තිය භ්‍රමණය වේ. කවුරුන් සඳහාද, සියලු ක්‍රම මූලික නැමීම වේ - ඔබ අතර ඇති දේ සහ කාර්යය සඳහා අවශ්‍ය ඒවාම ගෙන ඒම.

අනුකලයේ සහ නිව්ටන්-ලයිබ්නිට්ස් සූත්‍රයේ Vicorist නොවන අගයන්හි අවකලනය කිරීමේ ක්‍රමය. විශාලත්වයේ අවකලනය ගණනය කරන්න, අවශ්‍ය පරිදි, එම buv, අවකලනය අනුකලනය කරමින්, Newton-Leibnitz සූත්‍රය සඳහා, අවශ්‍ය විශාලත්වය ගන්න. මූලික අනුකූලතාවයේ සම්පූර්ණ ක්‍රමය ඇත්තේ කාටද - අවශ්‍ය අගයේ අවකලනය ගණනය කර ඇති දේ ගෙන ඒමට මිස අන් කිසිවක් නැත.

පැතලි රූපවල ප්රදේශය ගණනය කිරීම.

1. රූපය කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් ලබා දී ඇති ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරයකින් වට වී ඇත.

Curvilinear trapezoid (ඇත්ත වශයෙන්ම, සමෝධානික එකතු කිරීමේ ක්‍රමය) ප්‍රදේශය අනුව අපි ගායනා අනුකලනය තේරුම් ගෙන ඇත්තෙමු. මෙම කාර්යය පමණක් පිළිගනී තේරුම බලන්නඑවිට vіdrіzka මත ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය යටතේ ඇති ප්‍රදේශය sing integral හි උපකාරය සඳහා ගණනය කළ හැක. අපි ඒකට ගරු කරනවා මේ නිසා මෙහි අවකල ක්‍රමය භාවිතා කළ හැක.

නමුත් ශ්‍රිතයට අනෙක් පැත්තෙන් සෘණ අගයන් ද ගත හැකිය, නමුත් අනෙක් පැත්තේ අනුකලනයට සෘණ ප්‍රදේශයක් ලබා දී ඇති අතර එමඟින් නම් කරන ලද ප්‍රදේශය අධිස්ථාපනය කරයි.

ඔබට සූත්රය භාවිතා කර ප්රදේශය ගණනය කළ හැකියඑස්=. නිශ්ශබ්ද ප්රදේශ වල කාර්යයේ සලකුණ වෙනස් කිරීම අත්යවශ්ය වේ, එහි සෘණ අගයන් ඇත.

ඔබට රූපයේ ප්‍රදේශය ගණනය කිරීමට අවශ්‍ය නම්, මෘගයාට ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයෙන් සහ පහත ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයෙන් වට කර ඇත, එවිට ඔබට සූත්රය භාවිතා කළ හැකියඑස්= , ඉතින් යක්.

බට්. x=0, x=2 රේඛා සහ y=x 2, y=x 3 ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර වලින් වට වූ රූපයේ වර්ගඵලය ගණනය කරන්න.

පරතරය (0,1) හි අසමානතාවයක් x 2 > x 3 , සහ x >1 සඳහා අසමානතාවයක් x 3 > x 2 ඇති බව සඳහන් කිරීම වටී. ටොම්

2. රූපය ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ දක්වා ඇති ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයකින් වට වී ඇත.

ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය සඳහා කාර්ය ශ්‍රිත ප්‍රස්ථාරයට ඉඩ දෙන්න සහ ඔබට හුවමාරු දෙකකින් සහ ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය සඳහා ක්‍රියාකාරී ප්‍රස්ථාරයකින් වට වූ වක්‍ර රේඛීය අංශයේ ප්‍රදේශය ගණනය කිරීමට අවශ්‍ය වේ.

මෙහිදී ඔබට අනුකලිත එකතු කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතා කළ හැකිය, ප්‍රාථමික අංශවල ප්‍රදේශ වල එකතුව අතර වක්‍ර රේඛීය අංශයේ ප්‍රදේශය ගණනය කිරීම, ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය කොටස්වල චාපයකින් ප්‍රතිස්ථාපනය වේ. .

ඔබට අවකල ක්රමය විකෘති කළ හැකිය: .

ඔබට මේ ආකාරයට මිර්කුවටි කළ හැකිය. ප්‍රාථමික curvilinear අංශය ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීම, මධ්‍යම kut හට වෘත්තාකාර අංශයක් ලබා දෙයි, සමහර විට සමානුපාතික වේ. Zvіdsi . නිව්ටන්ගේ Vicorist සූත්‍රය ඒකාබද්ධ කිරීම - Leibnitz, ඇත්තෙන්ම .

බට්. කොටස්වල ප්රදේශය ගණනය කරන්න (perevirim සූත්රය). හිතවත්. කොටස්වල ප්රදේශය වඩා මිල අධිකය .

බට්. මම ප්රදේශය ගණනය කරමි, මම හෘද රෝගවලින් වට වී සිටිමි .

3 රූපය පරාමිති මගින් නිශ්චිතව දක්වා ඇති ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරයකින් වට වී ඇත.

ශ්‍රිතය පරාමිතික ලෙස සැකසිය හැක. Vikoristovuemo සූත්රය එස්= , නව වෙනසක් සඳහා ඇයගේ අන්තර් ඒකාබද්ධතාවය වෙනුවට ආදේශ කිරීම. . ඔබ අනුකලනය ගණනය කරන විට, ඔබට එම ප්‍රදේශ පෙනෙනු ඇත, de-integral ශ්‍රිතයට පළමු ලකුණ තිබිය හැකි අතර මෙම අනෙක් ලකුණෙන් මුළු ප්‍රදේශයම ආරක්ෂා කරයි.

බට්. ප්රදේශය ගණනය කරන්න, එය elіps සමග වට කරන්න.

ඉලිප්සයේ Vikoristovuemo සමමිතිය, පළමු චතුරස්රයේ ඇති ඉලිප්සයේ කාර්තුවේ ප්රදේශය ගණනය කිරීම. කාගේ චතුරශ්‍රයද? ටොම්

දුරකථන සම්බන්ධතා ගණනය කිරීම.

1. සමාන්තර reperіziv ප්රදේශ සඳහා obsyagіv tіl ගණනය කිරීම.

OX සරල රේඛාවේ x ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන OX සරළ රේඛාවට ලම්බකව තලයන් සහිත ශරීරයේ හරස්කඩේ ලබා දී ඇති ප්‍රදේශ සඳහා සත්‍ය ශරීරයේ V හි පරිමාව ගණනය කිරීම අවශ්‍ය වේ.

අපට අවකලනය කිරීමේ ක්‍රමය අවශ්‍යයි. වැදගත් වන්නේ, මූලික ප්‍රදේශයක් සහ උසක් සහිත සෘජු චක්‍රාකාර සිලින්ඩරයක සිරස් පරිමාවට වඩා මූලික පරිමාව ගනු ලැබේ. . නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය ඒකාබද්ධ කිරීම සහ zastosovuyuchi, අපි ගන්නෙමු

2. ගණනය obsyagіv tіl එතීෙම් වේ.

විරහවට අවශ්‍ය වේවා OX.

ටෝඩි .

ඒ හා සමානව, පරිමාවOYශ්‍රිතයක් නරඹන්නෙකුට ලබා දෙන්නේ නම්, එය සූත්‍රයක් භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක.

මෙම කාර්යය නරඹන්නා සඳහා සකසා ඇති අතර එය අක්ෂය වටා බඳ පටල පරිමාව තීරණය කිරීම අවශ්ය වේOYවගකීම් ගණනය කිරීමේ සූත්‍රය එළඹෙන ශ්‍රේණියෙන් ඉවත් කළ හැකිය.

අවකලනය වෙත ගමන් කිරීම සහ චතුරස්රාකාර පද භාවිතා නොකිරීම, සමහරවිට . නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය ඒකාබද්ධ කිරීම සහ zastosovuyuchi, සමහරවිට.

බට්. obsyag cooli ගණනය කරන්න.

බට්. මතුපිට ප්රදේශයකින් වට වූ දකුණු රවුම් කේතුවක පරිමාව ගණනය කරන්න.

OXZ තලයේ සෘජු කැපුම් ත්‍රිකෝණයේ OZ අක්ෂය වටා සාදන ලද දවටනයේ සිරුරේ පරිමාව මෙන් පරිමාව ගණනය කරමු, එහි කකුල් OZ අක්ෂයේ සහ සරල රේඛාව z = H, සහ කර්ණය සරල රේඛාවේ පිහිටා ඇත.

x හරහා z හැරවීම, අපට ගත හැක .

චාපයේ දිග ගණනය කරන්න.

චාපයේ පිටුපස ගණනය කිරීම සඳහා සූත්‍ර ගැනීම සඳහා, අපි 1 වන අධ්‍යයන වාරයේ දී චාපයේ පිටුපස අවකලනය සඳහා සූත්‍රය නිර්මාණය කර ඇත්තෙමු.

බාධාවකින් තොරව අවකලනය වූ ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරයක චාපයක් මෙනි, දෙවන චාපයේ අවකලනය සූත්රය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක

. ටොම්

සුමුදු චාපයක් පාරමිතා වශයෙන් ලබා දුන්නද, එවිට

. ටොම් .

එලෙසම, චාපය ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ පිහිටුවා ඇත, එවිට

. ටොම් .

බට්. ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයේ චාපයේ දාරය දිගහරින්න, . .

පළමුව, මතුපිට එතුමෙහි කෙටි සූත්‍රයක් සඳහා මතුපිට එතුමෙහි ප්‍රදේශය සඳහා සූත්‍ර වෙත යන්න. ඉහළ එතුම, හෝ, එකම දේ - බඳ එතුමෙහි ඉහළ කොටස - ඉඩකඩ සහිත රූපයක්, එතුම vіdrіzka වලින් ආවරණය කර ඇත ABඅක්ෂය මත වක්රය ගොනා(පහත රූපය).

මම curvilinear trapeze හෙළි කරන්නෙමි, මම වක්‍රයේ අනුමාන වක්‍රයෙන් මෘගයා වට කරමි. Tіlo, දවටන සඳහා සාදා ඇත tsієї trapezії navko tiєї zh osі ගොනාසහ є tіlo wrapping. තවද මතුපිට එතීමේ ප්‍රදේශය හෝ ශරීරය ඔතා ඇති මතුපිට මුළු යෝගෝ ඕව්නිෂ්නියා කවචයයි, සුදුමැලි kіl නොවේ, අක්ෂය වටා එතීම් කෙළින්ම වේ. x = ඒі x = බී .

ගෞරවාන්විතව, රූපයේ එතීම අක්ෂය මෙන් නොපෙනෙන පරිදි එතීමේ ශරීරය සහ, පැහැදිලිවම, එකම මතුපිට සෑදිය හැකිය. ගොනා, නමුත් අක්ෂය ගැන අපොයි.

සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක වලින් ලබා දී ඇති එතුමෙහි මතුපිට ප්රදේශය ගණනය කිරීම

අපි පැතලි තලයේ සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක වෙත යමු y = f(x) වක්‍රයක් ලබා දී ඇත, ඛණ්ඩාංක අක්ෂය වටා එතීමෙන් දවටන ශරීරයක් ලබා දේ.

එතුමෙහි මතුපිට ප්රමාණය ගණනය කිරීමේ සූත්රය පහත පරිදි වේ:

(1).

උදාහරණ 1.අක්ෂය වටා එතීමෙන් ආවරණය වූ පැරබොලොයිඩ් මතුපිට ප්‍රදේශය දැන ගන්න ගොනාවෙනස් වන පරාවලයික චාප xදැක්ම x= 0 සිට x = ඒ .

විසඳුමක්. අපි පරාවලයේ චාපය සකසන විට අපට ශ්‍රිතය පැහැදිලිව දැකගත හැකිය:

පහත සඳහන් කාර්යයන් අපි දනිමු:

පළමුව, මතුපිට එතීමේ ප්‍රදේශය දැන ගැනීම සඳහා සූත්‍රය වේගවත් කරමු, අපි ලියන්නෙමු її pіdіntegralny virase කොටස, මුල මෙන් සහ සිතාගත හැකි පරිදි ඇත්තේ දන්නා pokhіdn පමණි:

Vidpovіd: dozhina චාප වංක dorіvnyuє

.

තට්ටම් 2.අක්ෂය වටා ඇති පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය දැන ගන්න ගොනා astroidi.

විසඳුමක්. පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය ගණනය කිරීම ප්රමාණවත් වන අතර, එය පළමු කාර්තුවේ දී ඝර්ෂණය කරන ලද එක් ඇස්ට්‍රොයිඩ ඉඳිකටුවක එතුම තුළට ගොස් 2 න් ගුණ කරයි. ඇස්ට්‍රොයිඩයේ පෙළගැස්මේ සිට එය පැහැදිලිවම ශ්‍රිතයකි, එබැවින් මතුපිට බිඳවැටීම ගණනය කිරීම සඳහා අපට සූත්‍රයක් හඳුන්වා දීමට අවශ්‍ය වනු ඇත:

.

0 සිට විචල්‍ය අනුකලනය ඒ:

පරාමිතිකව ලබා දී ඇති එතුමෙහි මතුපිට ප්‍රමාණය ගණනය කිරීම

එතුමෙහි මතුපිට සකසන වක්‍රය පරාමිතික සමානතා මගින් සකසා ඇත්නම් අපට බෑවුම දෙස බැලිය හැකිය.

මතුපිට එතීමේ එකම ප්රදේශය සූත්රය අනුව ගණනය කරනු ලැබේ

(2).

උදාහරණ 3.අක්ෂයේ එතුම් වලින් ආවරණය කර ඇති මතුපිට එතීමේ ප්රදේශය දැන ගන්න අපොයිරූපය, සයික්ලොයිඩ් සහ සරල රේඛාවකින් වට වී ඇත y = ඒ. සයික්ලොයිඩ් පරාමිතික සමානාත්මතා මගින් ලබා දී ඇත

විසඳුමක්. සයික්ලොයිඩ් එකක සහ සරල රේඛාවක හරස් ලක්ෂ්‍යය අපි දනිමු. සයික්ලොයිඩ්වල පෙළගැස්ම සහ සරල රේඛා පෙළගැස්වීම y = ඒ, අපි දන්නවා

ඇයි ඔබ දකින්නේ අන්තර් ඒකාබද්ධතාවය පෙන්වන්නේ කුමක්ද කියා

දැන් අපට සූත්රය (2) පිරවිය හැක. අපි විනෝදය දැන ගනිමු:

අපි දන්නා ප්‍රතිඵල නියෝජනය කරමින් සූත්‍රයේ වයිරසයේ මූලය ලියන්නෙමු:

මෙම වෛරසයේ මූලය අපි දනිමු:

.

අපි සූත්‍රය (2) සොයාගෙන ඇතැයි සිතමු:

.

අපි ආදේශනයක් කරමු:

මම, නරේෂ්ටි, අපි දන්නවා

පරිවර්තනය කරන ලද වෛරස් වලට විවිධ ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර ඇත

යෝජනාව: මතුපිට එතීමේ ප්රදේශය හොඳයි.

ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංක වලින් ලබා දී ඇති එතුමෙහි මතුපිට ප්‍රමාණය ගණනය කිරීම

වක්‍රය මතුපිට වටා එතීමට ඉඩ දෙන්න, ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංක සකස් කරන්න.

VNZ Argemony හි සිසුන්, මම ඔබට ආදරෙයි!

තවත් trohi - සහ පාඨමාලාව අවසන් වනු ඇත, සහ එකවර අපි අක්ෂය ගැන බලාගන්නෙමු.

Zhouli trohi ඇගේ අත වනමින් - සුළඟේ සිටගෙන සිටින බවක් පෙනෙන්නට තිබුණි. එසේත් නැතිනම්, එය සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezium විය. වෝන් යන්තම් වාතයේ එල්ලී, ඉන්ද්‍රජාලික ශක්තියෙන් නිර්මාණය වූ අතර, එය පැති දිගේ ගලා ගිය අතර, ට්‍රැපීසියම් මධ්‍යයේ ද කැරකෙමින්, ඒ හරහා සියල්ල කම්පනය වී දිලිසෙන්නට විය.
එවිට වික්ලැඩච් ට්‍රෝහි ඔහුගේ අතේ ඇඟිලිවලින් චක්‍ර චලිතයක් සිදු කළේය - සහ ට්‍රැපීසියම් නොපෙනෙන අක්ෂයක් වටා එතීමට පටන් ගත්තේය. නිශ්ශබ්දව, එවිට අපි වඩා හොඳ සහ හොඳ වනු ඇත - එබැවින්, අනාගතයේ දී, පළ කිරීමේ පරිමාව පෙනෙන්නට පටන් ගත්තේය. ඉන්ද්‍රජාලික ශක්තිය ඇයගෙන් නැඟුණු බව පෙනෙන්නට තිබුණි.

ඩාලි ට්‍රැපිලෝස් මේ වගේ: රූපයේ දිලිසෙන සමෝච්ඡයන් සහ її අභ්‍යන්තරය කථාවක් මෙන් ග්‍රහණය වීමට පටන් ගත්තේය, ආලෝකය අඩුවෙන් හා මතකයේ රැඳෙන්නට විය, එවිට රූපයම ස්කොස් වොඩ්චුට්නේට වැඩි වැඩියෙන් සමාන විය. ද්රව්යයේ ධාන්ය ක්රමයෙන් රූපය අනුව බෙදී ගියේය. පළමු අක්ෂය සියල්ලම නැති වී ගියේය: එතීම, ඉටිපන්දම. Povitri Visiv සතුව virva වැනි වස්තුවක් ඇත. Zhouly පරිස්සමෙන් යෝගෝව මේසය මතට ලිස්සා ගියා.

හොඳින් අක්ෂය. ආසන්න වශයෙන් මේ ආකාරයෙන් බොහෝ වස්තු ද්‍රව්‍යකරණය කළ හැකිය - එතීමේ මාර්ගයක් සමඟ, පැතලි රූප මෙන් සරල රේඛා වේ. පැහැදිලිවම, ද්රව්යමයකරණය සඳහා, අතිරේක ඉන්ද්රජාලික ශක්තිය සඳහා නිරාකරණය කර තාවකාලිකව යටපත් කරන ලද සම්පූර්ණ පරිමාවම තමන්ගෙන්ම පිරවීම සඳහා කුඩා කථාවක් අවශ්ය වේ. සහ අක්ෂය, හරියටම ප්රීතිමත් කිරීම සඳහා, කොපමණ කථාවක් අවශ්යද, - එය පිළිගත් ශරීරය දැන ගැනීමට අවශ්ය වේ. එසේ නොමැති නම්, ප්රමාණවත් කථාවක් නොමැති නම්, එය මුළු පරිමාවම තමාගෙන්ම ආවරණය කිරීමට නොහැකි වනු ඇති අතර ශරීරය වඩස් සමඟ ජර්මානු විය හැකිය. තවද ද්‍රව්‍ය කථනයේ විශාල අතිරික්තතාවයෙන් වඩාත් අලංකාර කර ඇත - ඉන්ද්‍රජාලික ශක්තිය පිට කිරීම අවශ්‍ය නොවේ.
හොඳයි, අපට බොහෝ කථා ඇති වන්නේ කෙසේද? Todi, obsyagi tel ගණන් කිරීමට අමතරව, ඔබ rozmirami tіlo සඳහා ලෙස, ඇස්තමේන්තු කළ හැක අපි ඉන්ද්රජාලික බලශක්ති විශේෂ ප්රමාණවලින් තොරව වර්ධනය විය හැක.
ලැබුණු ද්රව්යයේ ඕනෑම අතිරික්තයක් තවත් සිතුවිල්ලකි. අනවශ්‍ය කතා කොහේ යයිද? Obsipayutsya, zadіyanimi නොවන වීම? අබියාක්ගේ සිරුරේ චී දණ්ඩ?
මෙතන හිතන්න තව දේවල් තියෙනවා. ඔබට යම් යම් සිතුවිලි ඇති වූ වහාම මම තෘප්තිමත් ලෙස ඒවාට සවන් දුන්නෙමි. මේ අතරතුර, එවැනි ක්රමයක් ඉවත් කරමින් obsyagiv tіl ගණනය කිරීමට අපි ඉදිරියට යමු.
මෙහි විපඩ්කිව් හාල්මැස්සෙකු දැකිය හැකිය.

විපදොක් 1.

ප්රදේශය, අපි ඔතා ඇති පරිදි, වඩාත් සම්භාව්ය curvilinear trapezium වේ.

අපට එතීමට හැක්කේ OH අක්ෂය වටා පමණක් බව පැහැදිලිය. දකුණු අතේ ඇති trapezoid තිරස් අතට විනාශ කරන්නේ කෙසේද, එය සම්පූර්ණ OY යටපත් නොකරනු ඇත, ඔබට එය වටා සහ අක්ෂය වටා ඔතා ගත හැකිය. vipadkіv දෙකම සඳහා අක්ෂර වින්‍යාස සූත්‍ර පහත පරිදි වේ:

ඔබ දැනටමත් කාර්යයන් පිළිබඳ මූලික මැජික් උපක්‍රම ප්‍රගුණ කර ඇති බැවින්, ඔබ වෙනුවෙන්, මම හිතන්නේ, ඔබට රූපය ඛණ්ඩාංක අක්ෂවලට මාරු කිරීමට අවශ්‍ය නම් එය කමක් නැත, එවිට එය එය සමඟ වැඩ කිරීමට පහසු වනු ඇත.

විපදොක් 2

ඔබට සම්භාව්‍ය curvilinear trapezium පමණක් නොව, එවැනි පෙනුමක රූපය ඔතා ගත හැකිය:

එතීමේදී, අපි අපේම මුද්ද ඉවත් කරමු. රූපය ධනාත්මක ප්‍රදේශයට මාරු කිරීමෙන් පසුව, අපට її ඔතා OY අක්ෂය තෝරා ගත හැකිය. Tezh otrimaєmo kіltse chi nі. රූපය roztashovuvatym ආකාරයෙන් සෑම දෙයක්ම තැබීමට: ඔබ OY අක්ෂය ඔස්සේ මායිම හරියටම සමත් වුවහොත්, මුද්ද නොපෙනේ. පහත සඳහන් මන්ත්‍රය භාවිතා කරමින් එවැනි ටිල් එතුම් වල obsyagi ලිහා ගත හැකිය:

විපදොක් 3.

අපි අනුමාන කරමු, අපට අපූරු වක්‍ර තිබේ, නමුත් ඒවා අසන්නේ අපට හුරුපුරුදු ආකාරයකින් නොව, පාරමිතික ආකාරයකින්. එවැනි වක්ර බොහෝ විට වසා ඇත. වක්‍ර (අතරමැදි) දිගේ її මඟහැර යන විට සංවෘත රූපය තවදුරටත් නරක නොවන ආකාරයට වෙනස් කිරීම සඳහා t පරාමිතිය වරදකරු වේ.

එවිට ශරීරයේ පරිමාව ගණනය කිරීම සඳහා, එතීම OH ​​හෝ OY අක්ෂය මත සිදු කළ යුතුය, ඔබ එවැනි අක්ෂර වින්‍යාසයක් කළ යුතුය:

Qi සූත්‍ර සංවෘත නොවන වක්‍රවල දිශාවට කරකැවිය හැක: කීකරුකම අවසන් වුවහොත් OX අක්ෂය සහ OY අක්ෂය මත පිහිටයි. රූපය ඕනෑම ආකාරයකින් වසා ඇති බව පෙනේ: කෙළවර අක්ෂය වසා දමයි.

විපඩොක් 4.

සමහර මැජික් වක්‍ර ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංක (r=r(fi)) මගින් ලබා දී ඇත. ඔබට ධ්‍රැවීය අක්ෂය වටා එකම රූපය ඔතා ගත හැකිය. මෙම දිශාවට, කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය ධ්රැවීය හා බොරුවෙන් බැස යයි
x = r (fi) * cos (fi)
y=r(fi)*sin(fi)
මේ ආකාරයට අපි වක්‍රයේ පරාමිතික ස්වරූපයට පැමිණෙමු, එහිදී වක්‍රය වටා යන විට ප්‍රදේශය වම් අත බවට පත්වන ආකාරයට වෙනස් කිරීමේ fi පරාමිතිය වැරදියි.
І koristuєmosya මන්ත්‍ර සූත්‍ර Z nagodi 3.

කෙසේ වෙතත්, vipadku ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංක සඳහා є і එහි ම මන්ත්‍ර සූත්‍රය ඇත:

පැහැදිලිවම, OX සහ OY අක්ෂ පමණක් නොව වෙනත් ඕනෑම සරල රේඛා වටා පැතලි රූප ඔතා ගත හැකිය, නමුත් උපාමාරු දැනටමත් නැවී ඇත්නම්, දේශනයේදී සාකච්ඡා කරන ලද එම විකෘති වලින් අප වට කරනු ලැබේ.

සහ දැන් ගෙදර වැඩ. මම ඔබට නිශ්චිත සංඛ්‍යා ලබා දෙන්නේ නැහැ. අපි දැනටමත් බොහෝ කාර්යයන් වර්ධනය කර ඇති අතර, ඔබට එය ඉන්ද්‍රජාලික භාවිතයේදී අවශ්‍ය විය හැකි ආකාරයට ඔබ විසින්ම නිර්මාණය කර ගැනීමට මට අවශ්‍යය. දේශනයේ සියලුම ඇඟවීම් සඳහා ප්‍රමාණවත් උදාහරණ ලැබෙනු ඇතැයි මම සිතමි.

අපි sing integral හි ජ්‍යාමිතික zm_st සකස් කර ඇත්නම්, අපි සූත්‍රයක් ඉදිරිපත් කර ඇත්තෙමු, ඒ සඳහා ඔබට abscissa රේඛාව, සරල රේඛා වලින් වට වූ curvilinear trapezium ප්‍රදේශය දැනගත හැකිය. x=a, x=b, මෙන්ම නොනවතින (නොපෙනෙන ලෙස ධනාත්මක නොවන) ශ්‍රිතයක් y = f(x) .සමහර විට ඔබට පහසුවෙන් පරාමිතික එකක් මෙන් පෙනෙන රූපයක් වටා ශ්‍රිතයක් සැකසිය හැක. රැඳී ඉන්න ක්රියාකාරී පල්වීම t පරාමිතිය හරහා. මෙම ද්‍රව්‍යයේ රාමුව තුළ, එය පරාමිතිකව ලබා දී ඇති වක්‍රයකින් වට වී ඇති බැවින්, රූපයේ ප්‍රදේශය ඔබට දැනගත හැකි ආකාරය අපි පෙන්වමු.

න්‍යාය පැහැදිලි කිරීමෙන් සහ සූත්‍ර පෙන්වීමෙන් පසු, අපි එවැනි ලිපිවල ප්‍රදේශයේ ලාක්ෂණික උදාහරණ විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු.

ගණනය කිරීම සඳහා මූලික සූත්රය

x = a , x = b , සියලු O x і වක්‍රය x = φ (t) y = ψ (t) පරාමිතිකව ලබා දී ඇති අතර x = φ යන ශ්‍රිතයන් අතර සරල රේඛා ඇති වක්‍ර රේඛීය trapezium එකක් ඇතැයි උපකල්පනය කරමු. (t) i y = ψ (t) පරතරය α මත බාධාවකින් තොරව; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

පත්වීම 1

එවැනි මනස් සඳහා trapezoid ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා, S (G) = ∫ α β ψ (t) φ "(t) d t සූත්රය දිනා ගැනීම අවශ්ය වේ.

අපි x = φ (t) y = ψ (t) ආදේශන ක්‍රමය මගින් පැතලි වක්‍ර රේඛීය trapezoid S (G) = ∫ a b f (x) d x සඳහා සූත්‍ර සකස් කර ඇත:

S(G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ "(t) d t

පත්වීම 2

Vrakhovuyuchi ශ්‍රිතයේ ඒකාකාරී වෙනසක් x = φ (t) පරතරය β මත; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

x = φ (t) ශ්‍රිතය මූලික ප්‍රාථමික ඒවාට ඇතුළත් කර නොමැති නම්, එම වෙනස්වන ශ්‍රිතය විරාමයේදී වර්ධනය වීමට අවශ්‍ය මූලික නීති අනුමාන කළ යුතු අතර, එවිට අපට එය වර්ධනය වේද, වැටෙනවාද යන්න තීරණය කළ හැක.

කවුරුන් සඳහාද, ගෙන එන ලද සූත්‍රයේ zastosuvannya කර්තව්‍යය නිරාකරණය කළ යුතුය.

තට්ටම් 1

උමොව්: රූපයේ වර්ගඵලය සොයා ගැනීමට, රේඛාව සාදන ආකාරය, x = 2 cos t y = 3 sin t ආකෘතියට සමාන වේ.

විසඳුමක්

අපට පරාමිතිකව රේඛාවක් සැකසිය හැක. 2 සහ 3 අකුරු දෙකකින් යුත් ඉලිප්සයක් දෙස බැලීමෙන් චිත්‍රක වශයෙන් її නිරූපණය කළ හැක. නිදර්ශනය සඳහා Div:

රූපයේ 1 4 ප්‍රදේශය දැන ගැනීමට උත්සාහ කරමු, එය පළමු හතරැස්ම හිමිකර ගනී. කලාපය x ∈ a පරතරය තුළ ඇත; b = 0; 2. අපි අගය 4 න් ගුණ කරමු, සම්පූර්ණ රූපයේ ප්රදේශය අපි දනිමු.

අපගේ ගණනය ඉක්මවා යාමේ අක්ෂය:

x = φ (t) = 2 cos ty = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ = 2 cos 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

0 ට සමාන වන k විට, අපි පරතරය β ඉවත් කරමු; α = 0; π 2 . ශ්‍රිතය x = φ (t) = 2 cos t නව එක මත ඒකාකාරී ලෙස අඩු වනු ඇත (ප්‍රධාන මූලික ශ්‍රිත සහ ඒවායේ බලය පිළිබඳ විශ්මය ජනක ලිපියේ වාර්තා කරන්න). එසේම, ඔබට ප්‍රදේශය ගණනය කිරීමේ සූත්‍රය ගණනය කළ හැකි අතර නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය භාවිතා කර ගායනා අනුකලනය දැනගත හැකිය:

- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π 2 \u003d 3 π 2 - sin 2 π 2 2 - 0 - sin 2 0 2 \u003d 3 π 2

එබැවින්, බාහිර වක්‍රය මගින් ලබා දෙන රූපයේ ප්‍රදේශය S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π ට සමාන වේ.

යෝජනාව: S(G) = 6 π

ගැටළු විසඳීමේදී, ඉලිප්සයෙන් හතරෙන් එකකට වඩා ගත නොහැකි බවත්, එකහමාරක් - ඉහළ සහ පහළ බවත් පැහැදිලි කළ යුතුය. එක් භාගයක් x ∈ a පරතරය මත බෙදී යයි; b=-2; 2. අප තුළ කාගේ vipadka ගොස් ඇත b:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k , k ∈ Z

මෙම අනුපිළිවෙලෙහි, k 0 ට සමාන වන විට, අපි β අඩු කළෙමු; α = 0; π. ශ්‍රිතය x = φ (t) = 2 cos t අතර පරතරය ඒකාකාරී ලෙස අඩු වේ.

ඊට පසු, අපි ඉලිප්සයේ භාගයේ ප්රදේශය ගණනය කරමු:

- ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

ඔබට ඉහළ සහ පහළ කොටස් පමණක් ගත හැකි වීම වැදගත්ය, නමුත් ඔබට දකුණට ගත නොහැක.

මෙම ඉලිප්සයේ පරාමිතික පෙළගැස්ම නැමිය හැකි අතර, එහි කේන්ද්‍රය ඛණ්ඩාංකවල කොබ් මත පැතිරෙනු ඇත. එය x = a cos t y = b sin t ලෙස පෙනේ. මේ ආකාරයෙන්, යෙදුමේ මෙන්, අපි belepsa S elips a \u003d πab ප්රදේශය ගණනය කිරීමේ සූත්රය ඉවත් කරමු.

කොටස් සකසන්න, ඛණ්ඩාංකවල යම් යම් වර්ගීකරණයක කේන්ද්‍රය, ඔබට අතිරේක පෙළගැස්මක් භාවිතා කළ හැකිය x = R · cos t y = R · sin t , එහිදී t යනු පරාමිතියක් වන අතර R යනු මෙම කොටස්වල අරය වේ. ඉලිප්සයේ ප්‍රදේශය සඳහා වන සූත්‍රය සමඟ අපි වේගවත් වූ වහාම, අපි සූත්‍රය ඉවත් කරමු, ඒ සඳහා අපට R: S වටය සහ \ අරය සමඟ කොටස්වල ප්‍රදේශය ගණනය කළ හැකිය. u003d πR 2.

අපි තවත් එක් කාර්යයක් දෙස බලමු.

තට්ටම් 2

Umov: x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t පරාමිතිකව ලබා දී ඇති වක්‍රයකින් එය වට වී ඇති බැවින්, රූපයේ ප්‍රදේශය වඩා වටිනා වන්නේ මන්දැයි සොයා බලන්න.

විසඳුමක්

මෙම වක්‍රය හොඳින් පාගා දැමූ ග්‍රහකයක් මෙන් පෙනෙන බව පැහැදිලි කර ගනිමු. x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t සමාන ආකෘතියේ උපකාරය සඳහා ප්‍රකාශ කිරීමට තාරකා ග්‍රහකය ශබ්ද කරන්න.

එවැනි වක්‍රයක් ඇති කරන්නේ කෙසේද යන්න දැන් සාකච්ඡා කර ඇති බව වාර්තා වේ. okremi ලකුණු සඳහා Vikonaёmo pobudovu. විශාල කාර්යයක් සඳහා භාවිතා කළ හැකි වඩාත් පුළුල් පරාසයක ක්රමය. තව නැමිය හැකි කොටස්පරාමිතික ශ්රිතයක් හෙළිදරව් කිරීම සඳහා අවකල ගණනය කිරීමක් සිදු කිරීම අවශ්ය වේ.

අපට x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t.

ලබා දී ඇති කාර්යයන් t හි සියලුම සත්‍ය අගයන් වෙත පවරා ඇත. sin і cos සඳහා, දුර්ගන්ධය є ආවර්තිතා සහ їх කාලය 2 pі බවට පත් වන බව පැහැදිලිය. x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t සඳහා t = t 0 ∈ 0 යන ශ්‍රිතවල අගයන් ගණනය කිරීමෙන් පසු; 2 π 8, π 4, 3 π 8, π 2, . . . , 15 ? 8, ලකුණු x 0 ගන්න; y 0 = (φ (t 0); ψ (t 0)) .

අපි බෑග් අගයන් වගුවක් නිර්මාණය කරමු:

ඊට පසු, ගුවන් යානයේ ලකුණු අවශ්ය වන අතර පසුව එක් පේළියක් අවශ්ය වේ.

දැන් අපි පළමු ඛණ්ඩාංක කාර්තුවේ පිහිටා ඇති රූපයේ එම කොටස්වල ප්රදේශය දැනගත යුතුය. ඒ සඳහා, x ∈ a; b = 0; 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

k 0 ට සමාන නම්, අපට β පරතරයක් ඇත; α = 0; π 2 і ශ්‍රිතය x = φ (t) = 3 cos 3 t නව එක මත ඒකාකාරී ලෙස අඩු වේ. දැන් අපි ප්‍රදේශ සූත්‍රය ගනිමු:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "dt = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t cos 2 tdt = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 t) dt = 18 2 sin 4 tdt - ∫ 0 π 2 sin 6 tdt

අපිට Wiishli තියෙනවා රේඛීය අනුකලනය, ඔබට Newton-Leibniz සූත්‍රයේ උපකාරය සඳහා ගණනය කළ හැකි නම්, Qієї සූත්‍රය සඳහා පළමු පේළිය දැනගත හැකිය, පුනරාවර්තන සූත්‍රය J n (x) \u003d - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , de J n (x) = ∫ sin nxdx.

∫ sin 4 tdt = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 tdt = = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 tdt = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 tdt = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 tdt ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ t = 0 4 π 6 3 π 16 = 15 π 96

අපි හතරවන රූපයේ චතුරස්රය විරහුවලි කරමු. එය මිල අධිකයි 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t \u003d 18 3 π 16 - 15 π 96 \u003d 9 π 16.

අපි අගය 4 න් ගුණ කළහොත්, අපි සියලු රූපවල වර්ගඵලය ගනිමු - 9 π 4.

එබැවින් x = a cos 3 ty \u003d a sin 3 t මගින් ලබා දී ඇති ස්ට්‍රොයිඩි ප්‍රදේශය x = a · cos 3 ty = b රේඛාවකින් වට කර ඇති සූත්‍රයෙන් දැනගත හැකි බව අපටම ගෙන ඒමට හැකිය. · sin 3 t S = 3 πab 8 සූත්‍රය අනුගමනය කරයි.

පෙළෙහි ඇති සමාව ඔබට මතක ඇතිවාක් මෙන්, කාරුණික වන්න, එය බලන්න සහ Ctrl + Enter ඔබන්න