Drugim riječima, linearno pojavljivanje skupine vektora znači da postoji srednji vektor, koji se može prikazati linearnom kombinacijom drugih vektora iste skupine.

Prihvatljiv. Todi

Otzhe vektor x linearno ležeći od vektora ove grupe.

Vektori x, g, ..., z nazivaju se linearno nezavisni vektori, zbog revnosti (0) teče, koji

α=β= ...= γ=0.

Tada su skupine vektora linearno neovisne, ako se dati vektor može prikazati linearnom kombinacijom drugih vektora iste skupine.

Vrijednost linearnog položaja vektora

Neka je zadano m vektora u redovima reda n:

Nakon što smo stvorili Gaussovu krivnju, vodit ćemo matricu (2) na gornji trikutani pogled. Elementi preostalog stupca mijenjaju se samo ako se redovi preurede. Nakon m prečaca, isključivanje se može poništiti:

de ja 1 , ja 2 , ..., ja m - indeksi redaka, uklonjeni u slučaju mogućeg preuređivanja redaka. Redovi su vizualno izdvojeni iz indeksa reda, uključujući one koji predstavljaju nulti vektor retka. Redovi koji nedostaju stvoreni su linearno neovisnim vektorima. Značajno je da je iz presavijene matrice (2) promjenjivog niza vektora retka moguće izvesti drugu skupinu linearno neovisnih vektora. Osim prostora koji vrijeđa te skupine vektora izbjegavaju.

Linearnost i linearnost vektora.
Vektorske baze. Atenski koordinatni sustav

U učionici će biti puno čokolada, a regenerator kože danas će dobiti par sladića - analitička geometrija s linearnom algebrom. Ova će statistika biti oštećena u dva odjeljka sjajna matematika, a mi se čudimo kako se smrad navikne na jedno opečeno mjesto. Odmorite se i igrajte "Twix"! ...mlynets, dobro, i nísenítnitsa superechok. Ako želim, neću odustati, počet ću s pozitivnim stavom.

Linearni položaj vektora, linearna neovisnost vektora, baza vektora Oba pojma mogu imati ne samo geometrijsku interpretaciju, nego, prije svega, algebarsku zamjenu. Shvativši sam "vektor" iz perspektive linearne algebre, to nikako nije isti "primarni" vektor koji možemo prikazati na ravnini ili u prostoru. Ne morate daleko tražiti dokaz, samo pokušajte naslikati vektor prostranstva penta-svijeta. . Ili čekajte, zbog čega sam otišao u Gismeteo: - temperatura i atmosferski tlak su dosljedni. Kundak je, naravno, netočan sa stajališta autoriteta u vektorskom prostoru, ali nitko se ne trudi formalizirati ove parametre s vektorom. Dihana jeseni.

Ne, ne namjeravam vas mamiti teorijom, linearnim vektorskim prostorima, cilj je da razumjeti značenje teoreme. Novi pojmovi (linearnost, neovisnost, linearna kombinacija, baza itd.) primjenjuju se na sve vektore sa stajališta algebre, ali će primjene biti geometrijske. Na ovaj način sve je jednostavno, dostupno i osobno. Osim zadataka analitičke geometrije, osvrnut ćemo se na vrste zadataka algebre. Za svladavanje gradiva važno je upoznati se s lekcijama Vektori za lutkeі Kako izračunavate vrijednost?

Linearnost i neovisnost vektora površine.
Osnova ravnine i afini koordinatni sustav

Pogledajmo vaše područje stol za računalo(samo stol, noćni ormarići, prekrivači, stele, kako vam odgovara). Zavodannya će ostati u ofenzivi:

1) Vibracijska osnovna ravnina. Grubo govoreći, stupac ima duljinu i širinu, pa se intuitivno shvatilo da su za formiranje baze potrebna dva vektora. Jedan vektor očito nije dovoljan, tri vektora su gubitak.

2) Na temelju odabrane osnove umetnuti koordinatni sustav(koordinatna mreža) za dodjelu koordinata svim objektima na stolu.

Nemojte se iznenaditi, objašnjenje će vam odmah biti na prstima. Štoviše, na vašem. Budite ljubazni, mjesto vulgarni prst lijeve ruke do ruba sobe tako da se divite monitoru. Ovo će biti vektor. Sada mjesto mali prst desne ruke na rubu stola upravo tako - tako da bude ravno na ekranu monitora. Ovo će biti vektor. Nasmiješi se, izgledaš predivno! Što možete reći o vektorima? Dani vektori kolinearni, što znači linearno pojavljuju se jedan za drugim:
, pa, zapravo: , de – deyake broj, vydmínne víd nula.

Sliku ove akcije možete vidjeti u lekciji Vektori za lutke Gdje sam objasnio pravilo množenja vektora brojem.

Kako će vaši prsti postaviti osnovu na površinu stola računala? Očito, ne. Kolinearni vektori će tu i tamo poskupjeti sama ravna, a površina je jednaka širini.

To su vektori tzv linearno laganje.

Dovidka: Riječi "linearno", "linearno" znače da u matematičkim jednadžbama nema kvadrata, kocke, drugih koraka, logaritama, sinusa itd. Samo linearni (1. stupanj) izrazi i položaji.

Dvije vektorske ravnine linearne naslage Ovo i samo ovo, ako su kolinearni.

Isprepletite prste na stolu tako da među njima bude razlika između 0 i 180 stupnjeva. Dvije vektorske ravninelinearno Ne naslage u ovom ili onom slučaju, jer smrad nije kolinearan. Pa, osnova je uklonjena. Nema potrebe za brigom o "košenju" osnove Wijshova s ​​neokomitim vektorima različitih dovzhin. Za nas je važno da u tu svrhu ne postoji samo 90 stupnjeva, i ne samo pojedinačni, jednaki vektori.

Što god vektor površine u jednom rangu rastavljeno prema osnovi:
, de - operativni brojevi. Imenuj brojeve vektorske koordinate na temelju čega.

Tako se čini da vektorpogleda od gledatelja linearna kombinacija bazni vektori. Tako zovu viraz vektor odvijanjapo osnovi ili drugo linearna kombinacija bazni vektori.

Na primjer, možemo reći da je vektor dekompozicije iza ortonormirane baze ravnine, a možemo reći da prikazi imaju izgled linearne kombinacije vektora.

Dopustite mi da formuliram vrijednost prema osnovi formalno: Osnova područja par linearno neovisnih (nekolinearnih) vektora naziva se , kada neka bude što bude Vektor površine je linearna kombinacija baznih vektora.

Pravi trenutak značaja je činjenica da su uzeti vektori pjevačkim redom. Basisi – to su dvije potpuno različite baze! Čini se da ne možete zamijeniti mali prst lijeve ruke malim prstom desne ruke.

Osnovu smo sredili, ali nije dovoljno postaviti koordinatnu mrežu i svakom objektu na stolu računala dodijeliti koordinate. Zašto ne dovoljno? Vektori su slobodni i lutaju cijelom površinom. Dakle, kako možemo dati koordinate ovim malim brutalnim točkama na stolu koje smo izgubili nakon napornog vikenda? Potrebna referentna točka. A takva referentna točka je svima poznata točka - početak koordinata. Pogledajmo koordinatni sustav:

Počet ću s organizacijom "škole". Već na uvodnom satu Vektori za lutke Vidio sam razlike između pravocrtnog koordinatnog sustava i ortonormirane baze. Standardna slika osovine:

Kada se govori o pravocrtni koordinatni sustav, tada su najčešće vidljive koordinate, koordinatne osi i mjerilo po osi. Pokušajte u tražilicu upisati “direktni koordinatni sustav” i vidjet ćete da se ima štošta naučiti o koordinatnim osima koje znate iz 5.-6.razreda i postavljanju točaka na ravninu.

S druge strane, slijedi da se pravocrtni koordinatni sustav može u potpunosti definirati preko ortonormirane baze. I to je vjerojatno istina. Formula bi trebala zvučati ovako:

kob koordinata, і ortonormalnosti postaviti osnovu Kartezijev pravocrtni ravninski koordinatni sustav . To je pravocrtni koordinatni sustav definitivno predstavljen je jednom točkom i dva pojedinačna ortogonalna vektora. Sami vidite stolicu, jer sam pozdravio mjesto - unutra geometrijski problemiČesto (ali ne uvijek) crtaju se i vektori i koordinatne osi.

Mislim da su svi shvatili da iza točke (koordinata) postoji ortonormirana baza BUDI TOČKA RAVNINE I BUDI VEKTOR RAVNINE mogu se dodijeliti koordinate. Slikovito rečeno, “sve što je na kvadratu može se nabrojati”.

Trebaju li koordinatni vektori biti jednostruki? Ne, mogu platiti dosta novca. Pogledajmo točku i dva ortogonalna vektora dovoljno različite vrijednosti:

Takva osnova se zove ortogonalni. Skup koordinata s vektorima definira koordinatnu mrežu, a svaka točka na ravnini ili vektoru ocrtava svoje koordinate u toj osnovi. Na primjer, ili... Očita nedosljednost leži u činjenici da koordinatni vektori na zagalnom vipadku Postoje različiti dovzhini, podijeljeni u jedan. Čim se jedinice povećaju, pojavljuje se primarna ortonormirana baza.

! Bilješka : u ortogonalnoj bazi, a također niže u afinim bazama, uzimaju se u obzir površina i prostor jedne duž osi UMOVIMI. Na primjer, u jednoj jedinici duž apscisne osi nalazi se 4 cm, u jednoj jedinici duž ordinatne osi je 2 cm. Ova informacija je dovoljna da se, ako je potrebno, prevedu "nestandardne" koordinate u "naše izvorne centimetre".

I još jedna hrana, kao što je istina već dana - kakva je veza između baznih vektora koji mogu biti jednaki 90 stupnjeva? Ne! Kako odrediti smisao, osnovni vektori krivnje manje nekolinearni. Očigledno, može biti bilo gdje između 0 i 180 stupnjeva.

Točka ravnine zove se kob koordinata, і nekolinearan vektori, , set afini koordinatni sustav ravnine :

Ponekad se ovaj koordinatni sustav naziva kosi sustav. Kao stražnjica na stolici slika točke i vektora:

Kao što možete zamisliti, afini koordinatni sustav još je manje ručni, ne radi s formulama za udvostručenje vektora i rezanja, kao što smo vidjeli u drugom dijelu lekcije Vektori za lutke, bogato ukusne formule povezane s skalarno stvaranje vektora. Zatim slijede sljedeća pravila za zbrajanje vektora i množenje vektora brojem, formule za pododjeljak u ovoj relaciji, kao i radnje tipa zadatka koji ćemo ukratko pogledati.

A kruna je takva da je možemo krstiti najboljom mogućom rukom afini sustav koordinate je kartezijev pravocrtni sustav. Zato, draga moja, najčešće moram učiti. ...U ovom slučaju sve je u životu jasno - temelji se na situaciji u kojoj je sama rijeka nagnuta (ili druga, npr. polarni) koordinatni sustav. Humanoidi mogu uživati ​​u takvim sustavima =)

Prijeđimo na praktični dio. Sve informacije dane u ovoj lekciji su poštene iu pravocrtnom koordinatnom sustavu iu afoničkom obliku. Ovdje nema ništa komplicirano, sav je materijal dostupan učeniku.

Kako odrediti kolinearnost vektora površina?

Tipični bogataš. Da bismo imali dva vektora i ravnine Ako su kolinearni, potrebno je i dovoljno da im koordinate budu proporcionalne. Zapravo, ne postoji koordinatni detalj očitog odnosa.

stražnjica 1

a) Provjerite jesu li vektori kolinearni .
b) Chi uspostavi bazne vektore ?

Odluka:
a) Jasno je što to znači za vektore koeficijent proporcionalnosti, tako da su jednakosti jednake:

Razjasnimo "pomodnu" verziju uspostavljenog pravila, koje se općenito provodi u praksi. Ideja je odmah ispraviti proporciju i pitati se je li to istina:

Zbrajamo udio iz linija odgovarajućih koordinata vektora:

Kratko:
, dakle, vanjske koordinate su proporcionalne, dakle,

Instalacija se može sklopiti i sklopiti, dakle ista opcija:

Za samoprovjeru, možete provjeriti one koje kolinearni vektori linearno izražavaju jedan kroz jedan. U čijem se slučaju nazire mjesto ljubomore . Njegova se pravednost može lako provjeriti kroz elementarne radnje s vektorima:

b) Dva vektora površine čine bazu jer su kolinearni (linearno neovisni). Pratimo kolinearnost vektora . Slažemo sustav:

Iz prve izvire jednadžba, iz druge izvire suparništvo, koje, zatim, sustav je apsurdan(Nema rješenja). Dakle, stvarne koordinate vektora nisu proporcionalne.

Visnovok: vektori su linearno neovisni i tvore bazu.

Pojednostavljena verzija rješenja izgleda ovako:

Omjer zbrajamo iz odgovarajućih koordinata vektora :
Stoga su ti vektori linearno neovisni i tvore bazu.

Provjerite jesu li recenzenti odbili ovu opciju, inače će se problem pojaviti ako koordinate dosegnu nulu. Os je ovakva: . Ili ovako: . Ili ovako: . Kako radimo kroz proporcije? (Da budem iskren, ne možete dijeliti s nulom). Upravo iz tog razloga, nazvao sam pojednostavljeno rješenje "bezveznim".

Predmet: a), b) ustvrditi.

Mala kreativna guzica za neovisna odluka:

stražnjica 2

Za bilo koju vrijednost vektorskog parametra hoće li biti kolinearnosti?

U rješenju se parametar nalazi kroz proporciju.

Temelji se na rafiniranoj metodi algebre za provjeru kolinearnosti vektora.Sustavljujemo svoje znanje i dodajemo petu točku:

Za dva vektora površine, ekvivalentni koraci otvrdnjavanja:

2) vektori definiraju bazu;
3) vektori nisu kolinearni;

+ 5) primarni, sklopivi iz koordinata ovih vektora, podređenih nuli.

očito, ekvivalentna tvrdoća stopala i kreveta:
1) linearni vektori;
2) vektori nisu jednaki bazi;
3) vektori su kolinearni;
4) vektori se mogu linearno izraziti jedan kroz jedan;
+ 5) primarni, dodatak iz koordinata ovih vektora, jednak nuli.

U to sam se već uvjerio Danski trenutak već ste razumjeli sve pojmove koji su definirani i potvrđeni.

Pogledajmo novu, petu točku izvješća: dva vektora površine Kolinearne metode i samo one, ako je ishodište, savijene su iz koordinata ovih vektora, u odnosu na nulu:. Da biste dovršili ove znakove, naravno, morate imati na umu znati i pobjednici.

Virishimo Guza 1 na drugi način:

a) Kovarijata zbrajanja koordinata vektora je izračunljiva :
, Otzhe, tsi vektori kolínearni.

b) Dva vektora površine čine bazu jer su kolinearni (linearno neovisni). Kovarijata koordinata vektora je izračunljiva :
, Također, vektori su linearno neovisni i stvaraju bazu.

Predmet: a), b) ustvrditi.

Izgleda puno kompaktnije i ljepše, s manjim proporcijama.

Uz pomoć razmatranog materijala moguće je utvrditi kolinearnost vektora, te ostvariti paralelnost presjeka i pravaca. Pogledajmo nekoliko narudžbi s određenim geometrijskim figurama.

stražnjica 3

S obzirom na vrhove Chotirikutnik. Obavijestite me da je Chotirikutnik paralelogram.

Gotovo: U zadatku neće biti potrebna fotelja, ostatak rješenja će biti čisto analitički.Možemo pogoditi značenje paralelograma:
Paralelogram Zove se čotirikutnik, čije su isturene strane po parovima paralelne.

Na ovaj način potrebno je prenijeti:
1) paralelnost proksimalnih strana;
2) paralelnost suprotnih stranica.

Uvjerljivo:

1) Znamo vektore:

2) Znamo vektore:

Viyshov je isti vektor ("prema školi" - jednaki vektori). Kolinearnost je već očita, ali je bolje formalizirati odluku na jasan, dobro uređen način. Kovarijat zbrajanja koordinata vektora je izračunljiv:
, Također, vektori su kolinearni, i .

Visnovok: Suprotne stranice breze su paralelne u parovima, dakle, iza značenja je paralelogram. Što je trebalo iznijeti.

Više dobrih i različitih figura:

stražnjica 4

S obzirom na vrhove Chotirikutnik. Recimo da je chotirikutnik trapez.

Da biste bolje formulirali dokaz, nužno je nabaviti veliki trapez ili samo sjediti i samo pogađati kako izgleda.

To je cilj neovisne odluke. Izvan odluke poput lekcije.

A sada je došlo vrijeme da s trga polako pređemo na otvoreni prostor:

Kako odrediti kolinearnost vektora u prostoru?

Pravilo je vrlo slično. Da bi dva prostorna vektora bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da su njihove relativne koordinate proporcionalne.

stražnjica 5

Znajte da će kolinearni vektori biti dostupni svemiru:

A);
b)
V)

Odluka:
a) Provjerimo koliki je koeficijent proporcionalnosti za odgovarajuće vektorske koordinate:

Sustav nema rješenja, ali vektori nisu kolinearni.

"Sproshchenka" je formalizirana obrnutim proporcijama. U ovom odjeljku:
– koordinate nisu proporcionalne, a vektori nisu kolinearni.

Predmet: vektori nisu kolinearni.

b-c) Ovo su točke neovisne odluke. Pokušajte ga dizajnirati na dva različita načina.

Postoji metoda za provjeru kolinearnosti prostornih vektora i kroz ishodište trećeg reda, s obzirom na metodu navedenu u članku Vektorski tvr vektori.

Slično ravnom rezu, razmatrani alati mogu se slagati praćenjem paralelizma prostornih rezova i ravnih linija.

Ljubazno molimo za još jedan odjeljak:

Linearnost i neovisnost vektora u trivijalnom prostoru.
Ekspanzivna baza i afini koordinatni sustav

Mnogi od uzoraka koje smo vidjeli na ravnici bit će sajamski na otvorenom prostoru. Pokušao sam minimizirati sažetak teorije, fragmenti lijevog dijela informacija već su otkriveni. Tim, ništa manje, preporučam da pažljivo pročitate uvodni dio jer se uvode novi pojmovi i pojmovi.

Sada, umjesto područja računalnog stola, postoji trodimenzionalni prostor. Stvorimo ovu osnovu od sada. Bilo da smo u zatvorenom prostoru ili na ulici, nikada nećemo moći upoznati tri svijeta širine, dubine i visine. Stoga su za formiranje baze potrebna tri prostorna vektora. Jedan ili dva vektora nisu dovoljni, četvrtine su odlične.

Opet gnječim na prstima. Budite ljubazni, podignite ruku i otvorite različite strane sjajno, impresivno i srednji prst . Postojat će prijenosnici, smradovi će se pojaviti na različitim stranama, postojat će različite razlike među sobom i bit će različiti mirisi među sobom. Vidim, osnova trivijalnog prostranstva je spremna! Prije nego progovorite, nema potrebe tako nešto demonstrirati svojim računima, samo ne vrtite prstima i nećete nikuda stići =)

Stavimo važniju hranu u budućnost, bilo da se radi o tri vektora koji stvaraju osnovu trivijalnog prostora? Budite ljubazni, čvrsto pritisnite tri prsta na stranu stola računala. Što se dogodilo? Tri vektora kretala su se u jednoj ravnini i, grubo rečeno, poznavali smo jedan od izumrlih svjetova - visinu. Takvi vektori komplanarni A potpuno je očito da se ne može stvoriti osnova trivijalnog prostora.

Treba napomenuti da koplanarni vektori ne leže u istoj ravnini, ali se mogu nalaziti u paralelnim ravninama (samo radite prstima, tako da je Salvadoru Daliju teže =)).

Viznachennya: vektori se nazivaju komplanarni Kao što postoji ravnica, koja je paralelna s mirisom. Ovdje je logično dodati da ako ne postoji takvo područje, vektori neće biti koplanarni.

Tri koplanarna vektora uvijek su linearna tada se linearno izražavaju jedan kroz jedan. Radi jednostavnosti, ponovno je prihvatljivo da smrad leži u istom području. Prije svega, vektori koji nisu samo koplanarni mogu biti i kolinearni, tako da se svaki vektor može izraziti kroz bilo koji vektor. U drugom slučaju, budući da, na primjer, vektori nisu kolinearni, tada se treći vektor izražava kroz njih u jednom obliku: (Zašto je lako pogoditi iz materijala u prednjem dijelu).

Poštena je ta prekretnica: tri nekoplanarna vektora uvijek su linearno neovisna, da se ne izražavaju jedan po jedan. I, očito, samo takvi vektori mogu stvoriti osnovu trivijalnog prostora.

Viznachennya: Osnova trivijalnog prostora naziva se trio linearno neovisnih (nekomplanarnih) vektora, preuzeto iz reda pjevanja kakav god bio vektor prostora u jednom rangu dekomponirano na zadanu bazu, gdje su koordinate vektora u ovoj bazi

Pretpostavljam, također možete reći da je vektor prikaza u pogledu linearna kombinacija bazni vektori.

Pojam koordinatnog sustava uvodi se na isti način kao što je za ravnu plohu dovoljna jedna točka ili tri linearno neovisna vektora:

kob koordinata, і nekoplanarni vektori, preuzeto iz reda pjevanja, set afini koordinatni sustav trivijalnog prostora :

Naravno, koordinatna mreža "pletenice" nije baš zgodna, ali koordinatni sustav nam to omogućuje definitivno označavaju koordinate bilo kojeg vektora i koordinate bilo koje točke u prostoru. Slično ravnini, u afinom koordinatnom sustavu prostor ne obrađuje određene formule o kojima sam već nagađao.

Najvažnija i izravna definicija afinog koordinatnog sustava je pravocrtni koordinatni sustav u prostor:

Točka prostora, kako se zove kob koordinata, і ortonormalnosti postaviti osnovu Kartezijev pravocrtni koordinatni sustav . Upoznaj sliku:

Prije nego što prijeđemo na praktične zadatke, ponovno ćemo sistematizirati informacije:

Za tri vektora u prostoru, ista tijela su ekvivalentna:
1) vektori su linearno neovisni;
2) vektori definiraju bazu;
3) vektori nisu koplanarni;
4) vektori se ne mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
5) primarni, preklapanje koordinata ovih vektora, od nule.

Dekubitusi su se, valjda, očistili.

Linearni položaj/neovisnost vektora u prostoru tradicionalno se provjerava uz pomoć dodatnog izvora (točka 5). Što si izgubio? praktičnih zadataka Izrazi su jasno algebarske prirode. Vrijeme je da objesite geometrijski ključ na cvijeće i zamahnete linearnom algebrom bejzbolskom palicom:

Prostor tri vektora koplanarne metode i samo one, ako je ishodište zbrajanja koordinata ovih vektora jednako nuli: .

Želio bih istaknuti malu tehničku nijansu: koordinate vektora mogu se zabilježiti ne samo u stupcu, već iu retku (vrijednost primarne se neće promijeniti - čudesna moć primarnih). Ale je puno ljepši od ostalih, što ga čini pogodnijim za obavljanje mnogih praktičnih zadataka.

Onim čitateljima koji su zaboravili metode razvrstavanja primarnih likova i možda su se u njima slabo orijentirali, preporučujem jednu od svojih najstarijih lekcija: Kako izračunavate vrijednost?

stražnjica 6

Provjerite čine li sljedeći vektori bazu trivijalnog prostora:

Odluka: Zapravo se sve odluke svode na plaćanje glavnice

a) Korolar zbrojaka iz koordinata vektora je izračunljiv (korolar kriterija u prvom redu):

, Također, vektori su linearno neovisni (nisu koplanarni) i stvaraju osnovu trivijalnog prostora.

Vídpovid: podatkovni vektori i baza

b) Ovo je točka neovisne odluke. Iznad svega, postoji rješenje i zaključak lekcije.

Zamke i kreativni pokušaji:

stražnjica 7

Za koju će vrijednost parametra vektori biti komplanarni?

Odluka: Vektori su komplanarni i samo tada, ako je ishodište, zbroj koordinata tih vektora jednak nuli:

Zapravo, potrebno je biti lojalan vođi. Dolazimo do nula kao trikovi na jerbou - najočitiji je otvoriti ga u drugom redu i odmah će minusi:

Provodimo daljnje pojednostavljenje i reduciramo ga s desna na najjednostavniju linearnu jednadžbu:

Vídpovid: na

Ovdje je lako izvršiti preokret, za koji trebate zamijeniti vrijednosti u izlaznom izvoru i ponovno ih pretvoriti tako da , otvorivši ga iznova.

Pogledajmo još jedan prije nego što završimo tipična biljkaŠto je više algebarske prirode i tradicionalno se uključuje prije tečaja linearne algebre. Vrh tablice je širok, što zaslužuje sljedeći vrh:

Dovedite da 3 vektora stvaraju osnovu trivijalnog prostora
te znati koordinate 4. vektora u ovoj bazi

stražnjica 8

Zadani vektori. Pokažite da vektori čine bazu trivijalnog prostora i pronađite koordinate vektora u toj bazi.

Odluka: Pogledajmo prvo um. Iza uma postoje četiri vektora, a kao što znate, već postoje koordinate u istoj bazi. Ovo je osnova - nemojte nas gnjaviti. I ovako rečeno: tri vektora kao cjelina mogu stvoriti novu osnovu. Prva faza je u potpunosti izbjegnuta iz rješenja Dodatka 6, potrebno je provjeriti jesu li vektori uistinu linearno neovisni:

Kovarijat zbrajanja koordinata vektora je izračunljiv:

, Također, vektori su linearno neovisni i stvaraju osnovu trivijalnog prostora.

! Važno : vektorske koordinate obov'yazkovo za pisanje na stanici prvi, a ne u redovima. Inače će doći do zabune u daljnjem algoritmu razotkrivanja.

Koncepti linearne koherencije i neneovisnosti sustava vektora još su važniji u algebri vektora, jer se na njima temelje koncepti dimenzionalnosti i prostorne baze. Ovaj članak ima poseban značaj, s obzirom na snagu linearnog položaja i neovisnost, razmatramo algoritam za praćenje sustava vektora za linearni položaj i detaljno analiziramo rješenja aplikacija.

Navigacija na stranici.

Značenje linearnog položaja i linearne neovisnosti vektorskog sustava.

Pogledajmo skup p n-virtualnih vektora, posebice njihov trenutni poredak. Dodajte linearnu kombinaciju ovih vektora i brojeva (aktivne i složene): . Na temelju značajne operacije nad n-virtualnim vektorima, kao i snage operacija zbrajanja vektora i množenja vektora brojem, može se potvrditi da je zapisana linearna kombinacija pravi n-virtualni vektor, tada bto .

Tako smo došli do određivanja linearnog položaja vektorskog sustava.

Viznachennya.

Budući da linearna kombinacija može biti nulti vektor ako je sredina brojeva Ako samo, osim nule, tada se zove sustav vektora linearno položeno.

Viznachennya.

Budući da linearna kombinacija ima nulti vektor samo ako svi brojevi jednak nuli, tada se sustav vektora naziva linearno neovisni.

Snaga linearne secesije i neovisnosti.

Na temelju podataka može se formulirati i prikazati vrijednost snaga linearne važnosti i linearna neovisnost vektorskog sustava.

Ako se niz vektora doda linearno ustajalom sustavu vektora, sustav će biti linearno ustajao.

Gotovo.

Budući da sustav vektora leži linearno, tada je moguće jasno željeti jedan različit od nule broj brojeva . Pusti to.

Dodajte izlaznom vektorskom sustavu još vektora , oduzimamo sustav svojima. Dakle, linearna kombinacija vektora ovog sustava izgleda ovako

je nulti vektor, a . Dakle, dobije se sustav vektora koji je linearno položen.

Ako isključite niz vektora iz linearno neovisnog vektorskog sustava, tada će sustav biti linearno neovisan.

Gotovo.

Recimo da je sustav linearno postavljen. Dodavanjem svih bačenih vektora vektorskom sustavu možemo izdvojiti izlazni vektorski sustav. Iza umivaonika je linearno neovisan, a zbog prednje snage linearnog ležanja može biti linearno ležeći. Dali smo sve od sebe, dobro, naše ponašanje je pogrešno.

Ako sustav vektora zahtijeva jedan nulti vektor, tada je takav sustav linearno ovisan.

Gotovo.

Neka je vektor u ovom sustavu vektora nula. Prihvatljivo je da je izlazni vektorski sustav linearno neovisan. Onda je vektorska ljubomora moguća samo ako... Međutim, ako to počnemo ispočetka, onda će ljubomora ipak biti poštena, ostatak. Pa, naša pretpostavka je netočna, a izlazni sustav vektora je linearan.

Ako je sustav vektora linearno podređen, tada bi jedan od vektora želio biti linearno izražen kroz ostale. Budući da je sustav vektora linearno neovisan, podaci iz vektora se ne mogu izraziti kroz druge.

Gotovo.

Idemo prvo na početak.

Ako je sustav vektora linearno ovisan, tada želimo imati jedan broj zamjenjiv od nule i kod kojeg je točna jednakost. Ova se ljubomora može brzo osloboditi, a njezini dijelovi mogu biti

Također, vektor se linearno izražava kroz ostale vektore sustava koje treba dovršiti.

Sada prenesimo istinu jedni drugima.

Kako je sustav vektora linearno neovisan, onda je jednakost jedino moguća.

Prihvatljivo je da se vektor sustava izražava linearno kroz ostale. Upotrijebimo vektor i onda. Ova se jednadžba može prepisati tako da se na lijevoj strani nalazi linearna kombinacija vektora sustava, a koeficijent ispred vektora se oduzima od nule, što ukazuje na linearno pojavljivanje izlaznih vektorskih sustava í̈. Tako smo postupili, a onda je vlast to iznijela.

Iz preostala dva autoriteta proizlazi važna tvrdnja:
Ako sustav vektora sadrži vektore i, veći broj je linearan.

Prilagodba vektorskog sustava linearnom položaju.

Postavimo zadatak: moramo postaviti i linearnu pohranu linearna neovisnost vektorski sustavi.

Logičnija hrana: "kako da je izaberemo?"

S praktičnog gledišta, to se može vidjeti iz veće važnosti i snage linearne važnosti i neovisnosti vektorskog sustava. Ova važnost i moć omogućuju nam da uspostavimo linearnu distribuciju vektorskog sustava u takvim slučajevima:

Kako se nosite s ostalim epizodama, kojih je najviše?

Hajdemo shvatiti.

Prisjetimo se formulacije teorema o rangu matrice koju smo uveli u statistiku.

Teorema.

Idemo r - rang matrice A reda p po n, . Nekhai M - osnovni minor matrice A. Svi redovi (svi stupci) matrice A, koji sudjeluju u osvjetljavanju osnovnog minora M, linearno se izražavaju kroz retke (redove) matrice, koji generiraju osnovni minor M.

A sada objasnimo vezu između teorema o rangu matrice i razvoja sustava vektora za linearno pojavljivanje.

Zbrojimo matricu A, čiji će redovi biti vektori daljnjeg praćenog sustava:

Koje je značenje linearne neovisnosti vektorskog sustava?

Iz četvrte točke linearne neovisnosti sustava vektora znamo da se jedan od vektora sustava ne izražava kroz druge. Drugim riječima, svaki redak matrice A neće biti linearno izražen kroz druge retke, dakle, linearna neovisnost vektorskog sustava bit će jednaka mentalnom Rank(A)=p.

Koje je značenje linearne pojave vektorskog sustava?

Sve je vrlo jednostavno: želio bih da jedan redak matrice A bude linearno izražen kroz druge, zatim, linearna lokacija vektorskog sustava bit će jednaka mentalnom rangu (A)

.

p align="justify"> Stoga je unaprijed postavljeno praćenje sustava vektora za linearno pojavljivanje reducirano na unaprijed određeni rang matrice složene iz vektora sustava.

Primijetimo da će s p>n sustav vektora linearno ležati.

Poštovanje: kada je matrica A presavijena, vektori sustava se mogu uzeti ne kao reci, već kao stupci.

Algoritam za praćenje sustava vektora za linearnu lokaciju.

Razložimo algoritam u praktičnim terminima.

Primjena praćenja vektorskog sustava za linearno postavljanje.

kundak.

Zadan je sustav vektora. Pratite njihov linearni položaj.

Odluka.

Budući da je vektor nula, rezultirajući sustav vektora linearno je smješten ispod treće potencije.

Predmet:

Sustav vektora je linearan.

kundak.

Zamijenite sustav vektora za linearnu lokaciju.

Odluka.

Lako je uočiti da su koordinate vektora c slične odgovarajućim koordinatama vektora, pomnožite s 3, dakle. Stoga je izlazni sustav vektora linearan.

Viraz um nazvao linearna kombinacija vektora A 1 , A 2 ,...,A n s koeficijentima λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Vrijednosti linearnog položaja vektorskog sustava

Vektorski sustav A 1 , A 2 ,...,A n nazvao linearno položeno, Što je skup brojeva različit od nule? λ 1, λ 2 ,...,λ n, za bilo koju linearnu kombinaciju vektora λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n stariji od nultog vektora, Zatim sustav činova: Postoji odluka različita od nule.
Birajte brojeve λ 1, λ 2 ,...,λ n ê različito od nule, ako želite jedan od brojeva λ 1, λ 2 ,...,λ n promijeniti od nule.

Vrijednosti linearne neovisnosti vektorskog sustava

Vektorski sustav A 1 , A 2 ,...,A n nazvao linearno neovisni, kao linearna kombinacija ovih vektora λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n više od nultog vektora nego nultog skupa brojeva λ 1, λ 2 ,...,λ n , Zatim sustav činova: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ Postoji samo jedno rješenje.

Zaliha 29.1

Provjerite je li linearan ustajali sustav vektori

Odluka:

1. Stvaramo sustav razina:

2. Verificirano Gaussovom metodom. Transformacija Jordanovog sustava prikazana je u tablici 29.1. Kada se desni dio sustava proširi, fragmenti se ne bilježe, dosežu nulu i ne mijenjaju se zbog Jordanovih transformacija.

3. Preostala tri retka tablice bilježi dopušteni sustav, jednak izlazu sustav:

4. Skriveno rješenje sustava je eliminirano:

5. Nakon što smo od vlasti zatražili vrijednost besplatne promjene x 3 =1, Odluke različite od nule su strogo isključene X = (-3,2,1).

Dokaz: Dakle, sa skupom brojeva koji nije nula (-3,2,1), linearna kombinacija vektora jednaka je nultom vektoru -3A1+2A2+1A3=Θ. Otje, sustav vektora je linearno ovisan.

Snaga vektorskih sustava

snaga (1)
Ako je sustav vektora linearno podređen, onda ako je jedan od vektora dekomponiran nakon ostalih, onda ako je jedan od vektora sustava dekomponiran nakon ostalih, sustav vektora je linearno podređen.

snaga (2)
Kako je vektorski podsustav linearno ovisan, onda je i cijeli sustav linearno ovisan.

snaga (3)
Ako je sustav vektora linearno neovisan, tada je i podsustav linearno neovisan.

Autoritet (4)
Bilo da postoji sustav vektora koji sadrži nulti vektor, on je linearno zastario.

Autoritet (5)
Sustav m-dimenzionalnih vektora je uvijek linearan, ako je broj vektora n veći od njihove dimenzije (n>m)

Osnova vektorskog sustava

Osnova vektorskog sustava A 1 , A 2 ,..., A n takav podsustav naziva se B 1 , B 2 ,..., B r(jedan od vektora B 1, B 2,..., B r je jedan od vektora A 1, A 2,..., A n), što zadovoljava umove dana:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r linearno neovisni sustav vektora;
2. bez obzira na vektor slučaja A j sustavi A 1 , A 2 ,..., A n linearno se izražavaju preko vektora B 1 , B 2 ,..., B r

r- Broj vektora uključenih u bazu.

Teorem 29.1 O unitarnoj bazi sustava vektora.

Ako sustav m-dimenzionalnih vektora sadrži m različitih pojedinačnih vektora E 1 E 2 ,..., E m , svi oni čine bazu sustava.

Algoritam za pronalaženje baze vektorskog sustava

Da bi se znala baza vektorskog sustava A 1 , A 2 ,..., A n potrebno je:

• Presavijte jedan sustav vektora u jedan sustav razina A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Predstavite Qiu sustav

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Odluka.Čini se kao tajno rješenje za sustav činova

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gaussova metoda. U tu svrhu zapisujemo jedan sustav koordinata:

Matrica sustava

Sustav može izgledati ovako: (r A = 2, n= 3). Sustav je jak i nevažan. Ovo je tajna odluka ( x 2 – gratis promjena): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => x o = . Prisutnost privatne odluke koja nije nula, na primjer, govoriti o tim vektorima a 1 , a 2 , a 3 linearne naslage.

guza 2.

Z'yasuvati, chi ê s obzirom na sustav vektori linearno kontinuirani ili linearno neovisni:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Odluka. Pogledajmo jedinstveni sustav činova a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Ili ga možete vidjeti otvoreno (iza koordinata)

Sustav je jednoobrazan. Jer se ne rađa, postoji samo jedna odluka. Što je problem s homogenim sustavom – nulto (trivijalno) rješenje. Pa, opet je sustav vektora neovisan. Ako je sustav degeneriran, on ima rješenja različita od nule i stoga je ustajao.

Provjeravamo muževnost sustava:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sustav je neviđen i, iz istog, vektora a 1 , a 2 , a 3 linearno neovisni.

Zavdannya. Znajte da je zadani sustav vektora ili linearno kontinuiran ili linearno neovisan:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Naznačite da će vektorski sustav biti linearno zastario, kako bi se izbjeglo:

a) dva jednaka vektora;

b) dva proporcionalna vektora.