Vector, njihova moć i díí s njima

Vektori, diy s vektorima, vektorski prostor linija.

Vektorski poredani prema broju i broju brojeva.

Dííí̈: 1. Množenje vektora brojem: lambda * vektor x = (lambda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * xn). (3,4, 0, 7) * 3 = (9, 12, 0,21)

2. Vektori savijanja (da budu u istom vektorskom prostoru) vektor x + vektor y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektor 0 = (0,0 ... 0) --- n E n - n-vimirni (linijski prostor) vektor x + vektor 0 = vektor x

Teorema. U tu svrhu, sustav od n vektora, n-svijeta linearnog prostranstvu lopte, obložen je ugarom, potrebno je i dovoljno, ali je neophodan jedan od vektora u linearnoj kombinaciji.

Teorema. Be-yak sukupn_st n + 1-ti vektor n-svijeta linearni prostor yavl. linija ugar.

Zbrajanje vektora, množenje vektora za brojeve. Uvesti vektore.

Zbroj dvaju vektora naziva se vektor, koji se ispravlja od klipa vektora do kraja vektora za kraj klipa, od klipa do kraja vektora. Dok su vektori zadani osnovnim koordinatama, kada su vektori presavijeni, zadane koordinate se pohranjuju.

Lako je vidjeti stražnji dio kartezijanskog koordinatnog sustava. dođi

Pokaži mi, čo

Vidi se Z Malinka 3

Zbroj bilo kojeg krajnjeg broja vektora može se znati po pravilu bagatokutnika (slika 4): samo jedno uho krajnjeg broja vektora, dovoljno je imati jedno uho vektora napada na kožu s krajem preostalog vektor, koji će biti posljednji vektor.

Snaga operacije preklapanja vektora:

Qih virazah imaju m, n - brojeve.

Razlika vektora naziva se vektor Drugi dodatak ê je vektor, suprotan vektoru po izravnom, ale po sekundi, po dodatnom.

U ovom rangu, operacija identifikacije vektora je zamijenjena operacijom savijanja

Vektor, čije se uho nalazi na klipu koordinata, a kraj - u točki A (x1, y1, z1) naziva se vektor radijusa točke A i prilično je jednostavan. Oscilacije yogo koordinata uzimaju se iz koordinata točke A, Yogh položaja duž orta ma viglyada

Vektor, gdje se uho u točki A (x1, y1, z1) i kraj u točki B (x2, y2, z2) može upisati u preglednik

de r 2 - radijus-vektor točke; r 1 je radijus vektor točke A.

Tom širi vektor na orts ma viglyad

Yogo dovzhina dorívnyu vídstaní mízh točke A i V

MNOŽENO

Dakle, za svaki ravninski problem, vektor na a = (ax; ay) na broju b nalazi se iza formule

a b = (ax b; ay b)

Primjena 1. Znati zbrajanje vektora a = (1; 2) s 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Dakle, za prostrano postrojenje, dodavanje vektora a = (ax; ay; az) broju b nalazi se iza formule

a b = (ax b; ay b; az b)

Primjena 1. Znati zbrajanje vektora a = (1; 2; -5) s 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Skalarni dodatni vektori de - Izrežite mízh vektore í; yaksho abo, dakle

Vrijednost skalarnog rješenja,

de, na primjer, ê veličina vektorske projekcije na vektor.

Skalarni kvadratni vektor:

Moć skalarnog stvaranja:

Skalarni twir u koordinatama

Yaksho zatim

Liska mízh vektori

Kut mízh vektori - kut mízh ravni qih vektori (najmanji kut).

Vector twir (Vektor twir dva vektora) pseudovektor, okomit na područje, potaknut s dva množitelja, koji je rezultat binarne operacije "množenje vektora" nad vektorima u trivijalnom euklidskom prostoru. Tvir nije ni komutativan, ni asocijativan (kako god da je antikomutativan) i prikazuje se kao skalarni dodatni vektori. U slučaju inženjera i fizičara, potrebno je imati vektor koji je okomit na dva očita - vektor twir daje snagu. Vektorski dodatak je smeđi za "vimíryuvannya" okomitosti vektora - golub vektorskih dodataka dvaju vektora na cesti, jer je smrad okomit, i mijenja se na nulu, jer su vektori paralelni ili antiparalelni.

Vector TV treba biti lišen trivijalnih i sedmodimenzionalnih prostora. Rezultat stvaranja vektora, poput skalarnog, leži u euklidskom metričkom prostoru.

Na temelju formula za izračunavanje koordinata vektora u skalaru u trivijalnom pravokutnom koordinatnom sustavu, formula za vektor treba biti u orijentaciji pravokutnog koordinatnog sustava, odnosno u obliku "kiralnosti"

Broj vektora.

Dva vektora koja nisu nula (nisu jednaka 0) nazivaju se kolinearna, kao da smrad leže na paralelnim ravnim linijama ili na jednoj ravnoj liniji. Doduše nije preporučljivo koristiti sinonime - "paralelne" vektore. Kolinearni vektori mogu biti jednako izravni ("smjerovi") ili alternativno izravni (u posljednjem slučaju nazivaju se "antikolinearni" ili "antiparalelni").

Varijacija vektora ( a, b, c)- skalarno zbrajanje vektora a vektorskim zbrajanjem vektora í b í c:

(a, b, c) = a ⋅ (b × c)

Jedan od njih se zove treći skalarni vektorski umnožak, ali kroz njih rezultat je skalar (točnije - pseudoskalar).

Geometrijski zm_st: Modul promjene za stvaranje numerički povezanog paralelepipeda, odobren od strane vektora (a, b, c) .

Vlast

Zmíshane tvír je iskrivljeno simetričan u odnosu na sve svoje argumente: v. To jest, preuređenje dvaju množenja nalik je znak stvaranja. Izgleda kao zaslon, tako da Zimshaniy dobutok u pravom Dekartovom koordinatnom sustavu (u ortonormalnoj bazi) do dizajnera matrice, presavijenog u vektore:

Količina promjene u lijevom kartezijanskom koordinatnom sustavu (u ortonormalnoj bazi) je za dizajner matrice, presavijena s vektorima i uzeta sa predznakom minus:

Zokrem,

Ako su dva vektora paralelna, onda ako će treći vektor smrada popraviti promjene tvira, tada će biti nula.

Postoje tri vektora linearnog ugara (tako da koplanarni, leže na istom području), a promjene temperature nula.

Geometrijski zmíst - Zmíshane tvir iza apsolutnih vrijednosti paralelepipeda (božanskih mališana), fiksiranih vektorima í; znak da leži u smjeru onog u kojem su tri vektora u desnoj ruci.

Vektori usklađenosti.

Tri vektora (ili više) nazivaju se komplanarnim, jer smrad, sveden na klip, leži u istom području

Koplanarnost snage

Ako želite da jedan od tri vektora bude nula, tada tri vektora mogu biti komplanarna.

Tri vektora, kako se osvetiti paru kolinearnih vektora, ê komplanarno.

Zmíshane tvír koplanarni vektori. Tse - kriterij komplanarnosti tri vektora.

Sukladni vektori - linija ugar. Cijena je također kriterij za komplanarnost.

U prostoru 3 svijeta, 3 nekoplanarna vektora postavljaju osnovu

Linearni ugar i linearni nezavisni vektori.

Linearni i nezavisni sustavi i vektori.Viznachennya... Sustav vektora naziva se linija-ugar ako postoji jedna netrivijalna linija linija ovih vektora, koja je prikladna za nulti vektor. Inakse, tobto. kako je samo trivijalna kombinacija linija ovih vektora u smjeru nultog vektora, vektor se zove linearno neovisno.

Teorem (kriterij loze)... Za tu svrhu, sustav vektora u linijskom prostranstvu usamljene ugare, neophodan je i dovoljan, ali uzmite jedan od ovih vektora u linijskoj kombinaciji drugih.

1) Ako sredina vektora ê želi jedan nulti vektor, onda je cijeli sustav vektora ê linearan.

Istina, ako, na primjer, onda, vazhayuchi, većina ne-trivijalna linearna kombinacija.

2) Ako je u sredini vektora sustav instaliran red po red, tada je cijeli sustav iscrpljen.

Stvarno, hej vektori, lyno pustinje. Također, linearna kombinacija nije trivijalna, ali ide u nulti vektor. Ale todí, gadayuchi Također je netrivijalan za linearnu kombinaciju, jednak nultom vektoru.

2. Osnova i veličina. Viznachennya... Sustav linearnih nezavisnih vektora vektorski prostor koji treba nazvati osnovu Prostora je puno, kao da bi bilo koji vektor mogao biti prikaz u pogledu linearne kombinacije vektora u cijelom sustavu, tobto. za vektor kože pročitajte brojeve tako, scho maê misce ravnist Tsya ravnist da se zove vektorska raspodjela iza osnove i brojeva nazvati se koordinate shodo vektora bazi(abo u bazi) .

Teorem (o ujednačenosti širenja po bazi). Kozhen vektor se lako može širiti po bazi. êin čin, tobto. koordinate skin vektora na bazi viznachayutsya nedvosmisleno.

Zavdanja 1. Z'yasuvati, čiji je sustav vektora linearno kvadrat. Sustav vektora je postavljen matricom sustava, koji se pohranjuju iz koordinata vektora.

.

Odluka. Započnite kombinaciju linija put do nule. Nakon što smo zapisali qiu ekvivalentnost na koordinatama, možemo prepoznati taku sustav ekvivalenata:

.

Takav sustav rivljana naziva se tricut. Vona maê dine ríshennya ... Otzhe, vektor Linearni kvadrat

Zavdanja 2. Z'yasuvati, chi je linearni neovisni sustav vektora.

.

Odluka. Vektor Linearni kvadrat (Div. Problem 1). Doneseno vam, vektor je linearna kombinacija vektora ... Značajke distribucije za vektore iz sustava rivnyany

.

Qia sustav je yak trikutna maê udine ríshennya.

Otzhe, sustav vektora linearni ugar.

Poštovanje... Matrice, ovog oblika, kao u zadatku 1, nazivaju se trikutnimi , i problem 2 - lukav ... Prehrana loze sustava i vektora je lako uočljiva, budući da je matrica složena iz koordinata ovih vektora i često je nezgodna. Ako matrica nije manje posebna za oko, onda za pomoć elementarna prerada redova , Tako da možete uzeti omjer reda i strane između 100% i možete ga dovesti do lukavog nadzora.

Elementarne transformacije redaka matrice (EPS) se nazivaju napredne operacije na matrici:

1) preuređenje redova;

2) Više redaka na broju od nule;

3) dodavanje u red ínshy retka, pomnoženo određenim brojem.

Zavdanja 3. Poznajte maksimalni linearno kvadratni podsustav i izračunajte rang sustava i vektora

.

Odluka. Vođen matricom sustava, iza pomoći NPS-a, do skid-tricut pogleda. Objasnite redoslijed matrice, red s brojem matrice, koji je transformiran, smislen simbolom. Na stotinu puta strelice su naznačene iznad redaka matrice, što je potrebno da posjetitelj zaniječe retke nove matrice.

.

Očito je da je prvih dvjesto matrica obrubljenih linearno neovisno, treća stotina je linearna kombinacija, a četvrtine ne leže u prve dvije. Vektor nazivaju se osnovnim. Miris postavlja maksimalno linearno neovisni podsustav sustava , A rang sustava je tri.

Osnova, koordinate

Zavdanja 4. Znati osnovu i koordinate vektora u cijeloj bazi na neograničenim geometrijskim vektorima čije koordinate .

Odluka... Bagato je područje koje prolazi kroz klip koordinata. Pouzdanu osnovu na području skladišta čine dva nekolinearna vektora. Koordinate vektora na bazi vibranoma počinju kao međusobno povezani sustav linearnih poravnanja.

Ovo je najosnovniji način prikaza podataka, ako možete znati osnovu za koordinate.

Koordinirati prostranstvo ê koordinate na području, komadi su vezani to nije ê kvadrat. Nezalezhní vínní í (smrdi se zovu vílny) nedvosmisleno viznachayut vektor na području í, također, može se odrediti koordinatama u. Todi osnova leže u vektorima, pa leže u istim skupovima vilny і , tobto.

Zavdannya 5. Znati bazu i koordinate vektora na istoj bazi na velikim vektorima na otvorenom prostoru, na kojima su nesparene koordinate jednake sebi.

Odluka... Viberemo, kao u zadacima u prvom planu, koordinira na otvorenom prostoru.

Dakle jak onda velike promjene nedvosmisleno pokrenuti vektor i, također, ê koordinate. Opća osnova je pohranjena u vektorima.

Zavdanja 6. Poznavati bazu i koordinate vektora u cijeloj bazi na temelju svih matrica u obliku , de - Dobri brojevi.

Odluka... Matrica kože s je nedvosmisleno predstavljena u pregledniku:

Cijena distribucije do distribucije vektora iz baze
s koordinatama .

Zavdanja 7. Poznavati veličinu i osnovu linearne ljuske sustava i vektora

.

Odluka. Može se rekonstruirati uz pomoć EPN matrice od koordinata vektora sustava do često triktivnog pogleda.

.

Stovptsí ostatak matrice je linearno neovisan, ali sto okrenite se linearno preko njih. Otzhe, vektor uspostaviti osnovu , і .

Poštovanje... Osnova y dvosmisleno vibrirati. Na primjer, vektori također postaviti osnovu .

Sustav vektora naziva se linija-ugar, ako postoje takvi brojevi, sredina bi se željela vidjeti od nule, da se pokaže paritet. >.

Kao i paritet vidljivosti samo na isti način, ako je sve, tada će se sustav vektora zvati linearno neovisno.

Teorema. Vektorski sustav u bude linija-ugar ako je potreban samo jedan od vektora u linearnoj kombinaciji tih.

dionica 1. Bagatochlen ê linijska kombinacija prtljage. Prtljaga postaje linearni kvadratni sustav, kao što je https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif "width =" 129 "height =" 24 ">.

dionica 2. Sustav matrica, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif "width =" 51 " .ru / text / 78/624 / images / image019_27.gif "width =" 69 " visina =" 21 "> /images/image022_26.gif" širina = "40"

Odluka.

Moguće je poredati kombinaciju ovih vektora https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif "22">.

S obzirom na iste koordinate istih vektora, možemo prihvatiti širinu = "289" visina = "69">

Preostali mj

і

Sustav može biti samo trivijalan, tako da je linearna kombinacija ovih vektora nula, ako je sve performanse nula. Tom s obzirom na sustav vektor_u liniji-ravno.

dionica 4. Vektorska linija neovisna. Sustavi i vektori

a).;

b).?

Odluka.

a). Lako je poravnati kombinaciju i jednaku nuli

Vikoristovuyu moć operacija s vektorima u linearnom prostoru, prepisan ostatak jednakosti viglyadí

Dakle, kako je vektor linearno neovisan, tada će učinkovitost biti nula, pa će biti gif.

Otriman sustav rívnyan maê udine trivijalne ríshennya .

Oskílki ravníst (*) vikonuêtsya samo kada - linearno neovisno;

b). Vrijednost skladišta https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif " (**)

Zastosovyuchi analogni mirkuvannya, otrimaêmo

Virishuchi sustav rivnjana po Gausovoj metodi, otrimaêmo

abo

Preostali sustav može biti bez rješenja https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif "width =" 149 "height =" 24 src = "> vikonute ravnist (**) ... Otzhe, sustav vektora - Linearni ugar.

zadnjica 5 Vektorski sustav je linearan, a vektorski sustav linearan. gif. (***)

U smirenosti (***) ... Dyysno, sustav metka nije usamljen.

Zí spívvídnoshennya (***) otrimmo abo Značajno .

Otrimaêmo

Zavdannya za neovisno rješenje(u gledalištu)

1. Sustav, koji je u stanju osvetiti nulti vektor, je linearno zapušten.

2. Sustav koji se može pohraniti iz jednog vektora a, linearno je pao, ako samo, ako, a = 0.

3. Sustav, koji se može pohraniti u dva vektora, linearno pada samo na jedan ili drugi, ako su vektori proporcionalni (tako da jedan od njih prelazi iz višekratnika u broj).

4. Čim postoji linearni ugarski sustav i damo vektor, tada se vidi linearni ugarski sustav.

5. Iako je linijski sustav vidio vektor, sustav vektora linijske linije je izvučen.

6. Yaksho sustav S loza nije ugar, ali postaje linearna ugar kada se doda vektor b, zatim vektor b rotirati linearno kroz vektore sustava S.

c). Sustav matrica ima drugačiji redoslijed matrica.

10. Hajde sustav vektora a,b,c vektorski prostor je linearno kvadrat. Kako bismo doveli liniju neovisnosti ofenzivnih vektorskih sustava:

a).a +b, b, c.

b).a +https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif "width =" 15 "height =" 19 "> - priličan broj

c).a +b, a + c, b + c.

11. dođi a,b,c- tri vektora na području, na tom broju možete imati tricikl. Hoće li qi vektori biti napušteni?

12. Zadana su dva vektora a1 = (1, 2, 3, 4),a2 = (0, 0, 0, 1)... Dodajte dva chotirivimirna vektora a3 taa4 dakle, schob sustav a1,a2,a3,a4 Linearni trg Bula .

Viznachennya. Linija kombinacija vektora a 1, ..., a n s parametrima x 1, ..., x n naziva se vektor

x 1 a 1 + ... + x n a n.

trivijalno jer sve performanse x 1, ..., x n jednake nuli.

Viznachennya. Kombinacija linija x 1 a 1 + ... + x n a n se zove netrivijalan, ako želite b jedna od funkcija x 1, ..., x n nije prikladna za nulu.

linearno neovisno, budući da ne postoji netrivijalna kombinacija ovih vektora u istom nultom vektoru.

To jest, vektori a 1 ..., a n linearno neovisni kao x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 todi i samo todi, ako je x 1 = 0, ..., x n = 0.

Viznachennya. Vektori a 1, ..., a n se nazivaju linearni ugar također je netrivijalna kombinacija ovih vektora u smjeru nultog vektora.

Snaga linearnih vektora ulijeganja:

Za 2 i 3 svjetska vektora.

Dvije linije vektor ugar- kolinearna. (Kolinearni vektori – linearni ugar.).

Za tri svjetska vektora.

Tri linearna leđna vektora - komplanarna. (Tri komplanarna vektora - prazna linija.)

• Za n-dimenzionalne vektore.

  n + 1 vektor ovisno o liniji.

Stavite zgradu na liniju ugarosti i liniju na liniju vektora:

Dodatak 1. Pretvorite vektore a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) linearno neovisne.

Odluka:

Vektori će biti linearno zapušteni, bit će razlika u veličini vektora za broj vektora.

Dodatak 2. Pretvorite vektore a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) linearno neovisne.

Odluka:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

iz prvog reda drugog; do trećeg reda dodamo ostalo:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Ova odluka će pokazati da sustav može biti bez rješenja, tako da nije nulta kombinacija vrijednosti brojeva x 1 x 2 x 3 kao što je linearna kombinacija vektora a, b, c prema nultom vektoru, npr. :

A + b + c = 0

a tse znači vektore a, b, c loze.

Pogled: vektori a, b, c linearno zapušteni.

Dodatak 3. Pretvorite vektore a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) linearno neovisne.

Odluka: Znamo vrijednost izvedbe za bilo koju linijsku kombinaciju ovih vektora u smjeru nultog vektora.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Cijena vektora može se zabilježiti u viglyadi sustavu linearnog rivna

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

Virishimo qiu sustav vikoristovuchi metoda Gaus

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

iz drugog reda vídnímemo; Iz trećeg reda, prije svega:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

iz prvog reda drugog; do trećeg reda dodamo je drugačije.

Iscrpljenost loze koja linijska neovisnost vektor
Vektorske baze. Afina koordinatni sustav

U gledalištu su čokolade, a za kožu je ostavljeno par sladića. Ovaj statut bit će razbijen u dva dijela odjednom sjajna matematika, a mi se čudimo, kako se smrad navikne na jedan obgorttsi. Stani, z'yzh "Tvix"! ... malo, dobro, super-link. Ako hoću garazd, neću odbiti, hoću, za sada ću imati pozitivan stav.

Linearni depoziti vektora, vektori neovisnosti linija, baznih vektora isti izraz ne može biti samo geometrijska interpretacija, ale, prvo za sve, algebarski smisao. Samo razumijevanje "vektora" iz pogleda linearne algebre daleko je od toga da ovisi o tom "ekstravagantnom" vektoru, koji možemo vizualizirati na širokom području. Nema potrebe ići za dokazom, isprobajte mali vektor prostora. ... Za vektor, pričekajte minutu, nakon odlaska na Gismeteo: - temperatura i atmosfersko prianjanje su očiti. Kundak, očito, nije ispravan sa stajališta snage vektora prema prostranstvu, ne ograđuje formaliziranje zadanih parametara s vektorom. Dikhannya jesen.

Bok, neću te zadirkivati ​​teorijom, linearnim vektorskim prostorima, zavdannya polyagaê u tome, schob inteligencija po teoremu. Novi pojmovi (loza, neovisnost, kombinacija loza, baza itd.) dolaze do svih vektora sa stajališta algebre, ali ako postoje geometrijski podaci. U takvom rangu sve je jednostavno, dostupno je ručno. Izrada analitičkih geometrija je lako razumljiva, vrste algebre. Za svladavanje gradiva bazhano proučite lekcije Vektori za čajnikeі Koji je jak tamo?

Linearna zapuštenost i ravnost vektora u prostoru.
Osnova područja i afinni koordinatni sustav

Područje vašeg stol za računalo(samo stol, noćni ormarići, pidloge, stele, tko bi trebao biti). Zavdannya polyagatime u napadnim događajima:

1) Vibrirajte osnovu područja... Otprilike, to je stylnitsa za veličinu i širinu, i intuitivno je inteligentna, ali potrebna su dva vektora za induciranje osnove. Jedan vektor očito nije dovoljan, tri vektora su posudba.

2) Na temelju obrnute osnove postaviti koordinatni sustav(koordinatna mreža), za dodjelu koordinata svim objektima koji se nalaze na stolu.

Nemojte se čuditi, neka će vam objašnjenja biti na prstima. I na tvojoj. Budite ljubazni, molim vas treći prst lijeve ruke do ruba zida, pa se začudio monitoru. Tse bude vektor. Sada molim komadić desne ruke na rubu stola, tako je samodostatno. Tse bude vektor. Nasmiješi se, divno vidiš! Možete li mi reći o vektorima? Dani vektori kolinearna, što znači crta okreći jedan po jedan:
, pa, chi navpaki:, de - deyake broj, vidi se kao nula.

Možete pogledati sliku cijele akcije na urotsi Vektori za čajnike de I objašnjavajući pravilo množenja vektora brojem.

Kako će vaši prsti postaviti osnovu na površinu računalnog stola? Očito ne. Kolinearni vektori za porast cijene tudi-syudi jedan ravno, a površina je jednaka širini.

Imenujte takve vektore linearni ugar.

Dovidka: Riječi "crta", "crta" znače ono što matematičari imaju u matematici, ono što su mali kvadrati, kocke, stepenice, logaritmi, sinusi. Ê samo loza (1. stadij) je narušena i zapuštena.

Dva vektorska područja linearni ugar todi i tilki todi, ako je smrad kolinearan.

Stavite prste na stolove, tako da ćete između njih biti kao odrezani rub 0 ili 180 stupnjeva. Dva vektorska područjacrta ne pustinje u tome i ako nije važno, jer smrad nije kolinearan... Otzhe, osnova je obrezana. Nema potrebe da se sklonite, ali je osnova vijša "pokošena" neokomitim vektorima rasta. Nije jeftino, ali ne samo za 90 stupnjeva, i ne samo za jedan, već i za drugi vektor.

Budi kao vektorsko područje êin rang postaviti na osnovu:
, de - brojevi. Zovu se brojevi vektorske koordinate u cijeloj osnovi.

Tako se čini vektorpogleda na viglyadí kombinacija linija baznih vektora... Tobto viraz poziv vektorska raspodjelatemeljem abo kombinacija linija bazni vektori.

Na primjer, možete reći da je vektor širenja iza ortonormalne baze područja, ali možete reći da nema prikaza linearne kombinacije vektora.

ja ću formulirati bazna vrijednost formalno: Osnova područja par linearno neovisnih (nekolinearnih) vektora, , u isto vrijeme budi kao Vektor područja je linearna kombinacija osnovnih vektora.

U isto vrijeme, činjenica da su vektori uzeti red pjevanja... Basisi - postoje dvije apsolutno različite baze! Čini se da se čovječuljak njegove lijeve ruke ne miče na malom dijelu male ruke desne ruke.

Na temelju razvoja, iako neadekvatno, postavite koordinatnu mrežu i dodijelite koordinate skin objektu vašeg računalnog stola. Što je zaboravljeno? Vektori su divlji i cvjetaju po cijelom području. Kako možemo dodijeliti koordinate tim malim, grubim točkama na stolu, jer su izgubili razum? Potrebna ažurna kontrola. A takav je raspored svima poznat - kockica koordinata. Odabire se iz koordinatnog sustava:

Čitat ću o "školskoj" organizaciji. Već na uvodnom satu Vektori za čajnike Vidim deyakí vídminností mízh pravokutni koordinatni sustav i ortonormalnu osnovu. Standardna slika osi:

Ako govorite o pravokutni koordinatni sustav, tada se najčešće nalazi klip koordinata, koordinatne osi i skala duž osi. Pokušajte ukucati "pravolinijski koordinatni sustav" u ozvučenje, pa ćete moći reći koliko ćete vam reći o poznavanju 5-6. razreda koordinatnih osi io tome kako se postavljaju točke na površinu.

S druge strane je neprijatelj, ali je pravocrtni koordinatni sustav u cijelosti moguć kroz ortonormalnu bazu. Í tse mayzhe tako. Formula je sljedeća:

klip koordinata, і ortonormacije postavljena osnova pravokutni kartezijanski koordinatni sustav područja ... Tobto pravokutni koordinatni sustav nedvosmisleno i početi s jednom točkom i dva pojedinačna ortogonalna vektora. Za isti, bachite fotelju, kao što sam cijepio vishche - u geometrijski problemičesto (ne čekajte) bojite í vektore, í koordinatne osi.

Mislim da je sva inteligencija, iza dodatne točke (kod koordinata) i ortonormalne osnove BE-YAKI TOČKA područja i BE-YAKI VEKTOR područja možete dodijeliti koordinate. Slikovito rečeno, "na trgu se sve može numerirati".

Jesu li koordinate vektora jednostruke? Ne, smrad može namirisati majku ne-nula vina. Možete vidjeti točku i dva ortogonalna vektora unaprijed ne-nulte predrasude:

Takva osnova se zove ortogonalni... Sklop koordinata s vektorima postavlja koordinatnu mrežu, bilo da je to točka područja, bilo da vektor može pronaći svoje koordinate u danoj bazi. Na primjer, abo. Očito, polaritet nije gladak u činjenici da je koordinatni vektor u galantni vipadku Neka uspon prilike, promjena s jednog na drugi. Čim trebate podesiti jedinicu, tada biste trebali koristiti osnovnu ortonormalizaciju.

! Bilješka : u ortogonalnoj osnovi, kao i niže u afinoj osnovi površine i prostor istih duž osi vvazayutsya POTEZ... Na primjer, u jednoj jedinici duž apscisne osi iznosi 4 cm, u jednoj jedinici duž osi ordinata 2 cm.

A druga hrana, s druge strane, pogled je već zasigurno dat - što je to s ligamentom između baznih vektora i 90 stupnjeva? N! Yak za smanjenje vrijednosti, osnovni vektori su točni ako ne kolinearna... U pravilu rez može biti jak, osim za 0 i 180 stupnjeva.

Točka područja, jak koji se zove klip koordinata, і nekolinearna vektor, , pitajte koordinatni sustav područja :

Inodi taku koordinatni sustav se zove koso sustav. Yak je stavio na stolicu slike točaka i vektora:

Kako rozumíête, afini koordinatni sustav je manje jednostavan, ne rade s formulama vektora koji su prikazani u drugom dijelu lekcije Vektori za čajnike, bogato slane formule, povezane sa skalarni vektorski vektori... Tada su pravila za preklapanje vektora i množenje vektora brojem istinita, formule se koriste u danoj prezentaciji, kao i radnje vrsta zgrada koje su lako razumljive.

A visnovok je takav da ćemo najbolji pristup upotrijebiti u obliku afinog koordinatnog sustava je kartezijanski pravocrtni sustav. Taj í̈í̈, ​​rođen, najčešće i donosi bachiti. ... No, sve je u cijelom životu podnošljivo - rijetke su situacije u kojima je predrijeka sama po sebi koso polarni) koordinatni sustav. Takav humanoidni sustav može doći do gušta =)

Prelazimo na praktični dio. Napori da se nauči iz dane lekcije su kao pravokutni koordinatni sustav, tako revan afine vypadku. Ovdje nema preklapanja, sav materijal je dostupan školarcu.

Koliki je broj vektora u tom području?

Typova p_ch. Da bi dva vektora površine boules kolinearni, potrebni i dovoljni, ali su zadane koordinate proporcionalne... Zapravo, postoji koordinatni detalj očitog odnosa.

zadnjica 1

a) Revizija, kolinearni vektori .
b) Chi postavi bazu vektora ?

Odluka:
a) Z'yasuêmo, chi isnu za vektore učinkovitost proporcija, poput onih za koje se pokazalo da su jednake:

Obov'yazkovo rozpovim o "pizhonskom" tipu pohranjivanja pravila, koje u praksi potpuno preskačem. Ideja \ u200b \ u200bpolagê je da ga jednostavno presavijete proporcionalno i začudite se ako je istina:

U smislu omjera zadanih koordinata vektora:

Brzo:
, u takvom rangu, s obzirom na koordinate proporcija, isto,

Kapak se može postaviti na krevet i navpaki, cijena je sljedeća:

Za samoreviziju moguće je iskoristiti one koji su kolinearni vektori linearno rotirani jedan kroz jedan. Imam puno problema ... Hya justice je lako uvijati kroz elementarni diy s vektorima:

b) Dva vektora područja utvrđuju osnovu, jer je smrad kolinearan (linearni kvadrat). Doslidzhuêmo o vektoralnosti ... Sustav zaliha:

Za prvog vipliviana, za drugog vipliva za drugog, za, oh, sustav je lud(Rishen je glupa). Dakle, koordinate vektora nisu proporcionalne.

Visnovok: vektorski neovisan o liniji i postaviti osnovu.

Verzija rješenja viglyad pojednostavljena je na sljedeći način:

S udjelom izvedenih koordinata vektora :
, Otzhe, ci vektori linearno neovisni i postavljaju osnovu.

Imenujte ovu opciju da biste odbacili recenzente, jao, problem je u vipadima, ako su koordinate nula. Os je ovako: ... Za ovo: ... Za ovo: ... Jak ovdje za djecu kroz proporciju? (Istina, nulto vrijeme nije moguće). Upravo iz tog razloga, oproštenu odluku nazvao sam "pizhonsky".

Pogled: a), b) potvrditi.

Mala kreativna stražnjica za neovisnu verziju:

zadnjica 2

Za bilo koji zadani parametar, vektor biti kolinearan?

U slučaju rješenja, parametar je poznat kroz proporciju.

Osnovna metoda dorade je metoda algebre inverzije vektora u linearnost.

Za dva vektora u području jednakom početku čvrstoće:

2) vektorski postaviti bazu;
3) vektor nije kolinearan;

+ 5) dizajner oblika, nabori iz koordinata zadanih vektora, pogled od nule.

Zapravo, Ekvivalentni početak zastarjele čvrstoće:
1) vektor linije ugar;
2) vektori ne postavljaju bazu;
3) vektor kolinearan;
4) vektor se može linearno poremetiti jedan kroz jedan;
+ 5) dizajner oblika, dodaci koordinata zadanih vektora na nulu.

Još uvijek sam u stanju to učiniti Dani trenutak već imate inteligenciju svih pojmova koji su stvoreni i očvrsnuti.

Izvještaj je jasan, novi stavak: dva vektora površine kolinearni todi i samo todi, ako je dizajner, dodaci iz koordinata zadanih vektora, na nulu:. Za uspostavljanje osjećaja znanja, naravno, potrebno je vidjeti znaju poslovni ljudi.

Virishimo Kundak 1 na drugačiji način:

a) Brojčana vrijednost za zbrajanje koordinata vektora :
, također, ci vektori su kolinearni.

b) Dva vektora područja utvrđuju osnovu, jer je smrad kolinearan (linearni kvadrat). Brojčana oznaka, zbrajanje koordinata vektora :
, Otzhe, vektori su linearno neovisni i postavljaju bazu.

Pogled: a), b) potvrditi.

Viglyada znači kompaktan i sladak, a ne rješenje s proporcijama.

Uz pomoć viđenog materijala moguće je utvrditi broj vektora, te dovesti paralelnost pravaca u ravno. Vidi se nekoliko zgrada specifičnih geometrijskih oblika.

zadnjica 3

Dano na vrh čotirikutnika. Donesi, chotirikutnik ê paralelogram.

Dovedennya: Stolica u zadacima neće biti potrebna, neka će rješenja biti isključivo analitička.
Paralelogram nazvati čotirikutnik, kod kojeg su suprotne strane u paru paralelne.

Uz ovaj čin potrebno je ponijeti:
1) paralelizam drugih strana;
2) paralelizam drugih strana.

očito:

1) Znamo vektor:

2) Znamo vektor:

Viyshov je isti vektor ("po školi" - jednaki vektori). Kolinearnost je još očitija, ali rješenje je ipak ljepše urediti kako treba, s rasporedom. Numerički oblik, zbrajanje koordinata vektora:
, Otzhe, ci vektori su kolinearni, tj.

Visnovok: Protilezhny strane chotirikutnika su paralelne u parovima; moram donijeti.

Još figura dobrih i mladih ljudi:

zadnjica 4

Dano na vrh čotirikutnika. Donesite čotirikutnik na trapez.

Za suvornu osobu, dokažite formulu ljepše, zlobnije, maknite se s puta trapeza, i samo je dovršite i samo pogodite, kao viglyad.

Tse zavdannya neovisno rješenje. Izvan rješenja za lekciju.

A sada, nakon sat vremena instrukcije, polako se pomaknite s trga na prostranstvo:

Koliko vektora ima u svemiru?

Pravilo je dosta isto. Da bi dva vektora bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da koordinate budu proporcionalne.

zadnjica 5

Z'yasuvati, gdje će kolinear biti na putu do prostranstva:

a);
b)
v)

Odluka:
a) Revidirati, gdje je koeficijent proporcionalnosti za vanjske koordinate vektora:

Sustav nije dizajniran jer vektori nisu kolinearni.

"Sproshchenka" je napravljena u preokretu proporcija. U ovom vipadku:
- prikazane koordinate nisu proporcionalne, ali vektor nije kolinearan.

Pogled: vektor nije kolinearan.

b-c) Tse točke neovisnog rješenja. Pokušajte ga dizajnirati na dva načina.

Osnovna metoda pretvaranja prostranih vektora u linearnost i preko visnatnika trećeg reda; Vektor tvir vector_v.

Slično kao i ravni pogled na alate, može stagnirati zbog načina na koji se nastavlja paralelizam prostranih pogleda i ravnih linija.

Molimo Vas za još jednu raspravu:

Linearnost i neovisnost vektora u trivijalnom prostoru.
Prostrana baza i afinni koordinatni sustav

Mnogo će pravilnosti, kako su gledali na područje, biti pošteno i prostrano. Pokušao sam minimalizirati sažetak od teorije, dio lijevog dijela informacija je već ukorijenjen. Tim nije najmanje, preporučam da s poštovanjem pročitate uvodni dio, na par trenutaka da se pojave novi pojmovi i razumiju.

Sada promijenite područje računala na tablicu dok ne postane trivijalan prostor. Sa skupom topivih osnova. Netko odjednom biti na selu, ponekad na ulici, iako u svakom slučaju, ne bismo mogli proći kroz tri puta: širinu, povećanje i težinu. Za induciranje baze potrebna su tri prostora vektora. Jedan ili dva vektora nisu dovoljna, četvrtine su male.

Znam da rastem na prstima. Budite ljubazni, stavite ruku gore-dolje i van u svoje strane super, super srednji prst ... Bit će vektor, smrad čuda na malim stranama, možda će biti malo ukusniji, a možda malo ljepši. Razmišljam, osnova gotovih stvari koje su trivijalne za otvoreni prostor! Prije govora nije potrebno demonstrirati iste pobjede, jer ne vrtite prste, ali sa gledišta nećete nigdje stići =)

Mnogo važnije od hrane, be-kao tri vektora uspostavit će osnovu trivijalnog prostora? Budite ljubazni, schílno stisnite tri prsta na zid računalnog stola. Kako je postalo? Tri vektora su istresena na istom području, a, otprilike, čini se, imamo jedan od njih - visinu. Takvi vektori ê komplanarna a općenito je očito da se osnova trivijalnog ne uklapa u prostor.

Dakle, to znači da komplanarni vektori nikoga ne mogu ležati u blizini istog područja, mogu se kretati u blizini paralelnih područja (samo da bi bili robusni s vašim prstima, pa je Salvador Dal bio lišen =)).

Viznachennya: vektor je imenovan komplanarna kao ravna površina kao smrad paralela. Ovdje je logično dodati, ako takvo područje nije vidljivo, tada vektor neće biti komplanaran.

Tri koplanarna vektora su uspostavljena na linijskoj osnovi uvijati jedan za drugim na linearni način. Radi jednostavnosti, dopušteno je da smrad leži na istom području. Na prvom mjestu, vektori su, osim toga, komplanarni, mogu biti kolinearni, tako da se bilo koji vektor može narušiti kroz bilo koji vektor. Za drugu, ako, na primjer, vektori nisu kolinearni, tada se treći vektor rotira kroz njih u jednom rangu: (i od koga je lako tražiti materijale na prednjem dijelu).

Pošteno je da je kolovođa čvrst: tri nekoplanarna vektora se uspostavljaju red po red, kako se ne bi savijali jedan za drugim. I, očito, samo takvi vektori mogu uspostaviti osnovu trivijalnog prostora.

Viznachennya: Osnova trivijalnog prostora nazvati trolinijskim linearnim (nekomplanarnim) vektorima, uzeo iz pjevačkog reda biti-kao vektorski otvoreni prostor êin rang proširiti na zadanoj bazi, de koordinate vektora u danoj bazi

Pretpostavljam, također možete reći da je vektor prikaza u viglyadu kombinacija linija bazni vektori.

Uvodi se koncept koordinatnog sustava kao takav, jer je za ravni pogled dovoljna samo jedna točka, bilo da postoje tri linearno neovisna vektora:

klip koordinata, і nekoplanarni vektor, preuzeto iz reda pjevanja, pitajte afini koordinatni sustav trivijalnog prostora :

Očito, koordinatna mreža "pletenica" nije baš zgodna, ali nam je koordinatni sustav dopušten nedvosmisleno Dodjeljujući koordinate bilo kojeg vektora i koordinate bilo koje točke prostoru. Slično području, u afinom koordinatnom sustavu, prostranstvo se ne odnosi na formule, o čemu već zgaduvam.

Koristit ćemo nybilsh i zgodno ograničenje u afinom koordinatnom sustavu ê pravokutni koordinatni sustav:

Pokazivač na otvoreni prostor, jak koji se zove klip koordinata, і ortonormacije postavljena osnova prostor kartezijanskog pravokutnog koordinatnog sustava ... Upoznajte sliku:

Prije Tima, kako ići do praktičnih zgrada, znam sistematizirane informacije:

Za tri vektora u prostoru isto vrijedi:
1) vektorski line-of-line;
2) vektorski postaviti bazu;
3) vektori nisu komplanarni;
4) vektor se ne može linearno poremetiti jedan kroz jedan;
5) dizajner forme, dodaci koordinata zadanih vektora, pogled od nule.

Protylezhní vyslovlyuvannya, pretpostavljam, zrízuílí.

Tradicionalno se mijenja linija ugarosti/nezavisnosti vektora na otvorenom prostoru za dodatnog posjetitelja (stav 5.). Ti, izgubila si se praktični rad su algebarskog karaktera. Vrijeme je da zaigrate geometrijski ključ na cvijeće i zaigrate linearnu algebru s bejzbol palicom:

Tri vektora prostora komplanarni todi i samo todi, ako je dizajner, zbrajanje koordinata zadanih vektora, na nulu: .

Završavam svoje poštovanje prema maloj tehničkoj nijansi: koordinate vektora mogu se napisati ne samo na sto, već i na redove (značenje dizajnera se ne može promijeniti - božanska moć dizajnera). Ale nagato je ljepši na sto pedeset, izgledi su tse vigidnish za puštanje praktičnih radnika.

Tim čitatelji, kao što su trojaci izgubili iz vida metode izrade posjetnica, a možda od njih i nemaju puno koristi, preporučujem jednu od mojih najstarijih lekcija: Koji je jak tamo?

zadnjica 6

Revidirati, kako bi se uspostavila osnova trivijalnog prostora takvih vektora:

Odluka: Zapravo, sve odluke se donose prije plaćanja

a) Kvantitativno je izračunati oblik nabora iz koordinata vektora (oblik rezultata u prvom redu):

, Otzhe, vektori su linearno neovisni (ne komplanarni) i postavljaju osnovu trivijalnog prostora.

Pogled: zadani vektori postavljaju osnovu

b) Tse točka neovisnog rješenja. Izvan odluke, to je kao lekcija.

Pijenje i kreativni rad:

zadnjica 7

Za koju će vrijednost parametra vektor biti komplanaran?

Odluka: Vektor komplanarni todi i samo todi, ako je dizajner, dodavanje koordinata ovih vektora cesti je nula:

Zapravo, potrebno je registrirati se kod visnatnika. Nalítaêmo na nuli yak shulíki za jerboas - posjetitelj nyvigidníshe razkriti u drugom redu i odmah se riješiti minusív:

Provedeno za malu pomoć i može se učiniti sve do najjednostavnije linije:

Pogled: kod

Ovdje je lako napraviti zabludu, za koju je potrebno predstaviti oduzetu vrijednost od vihidniy viznachnik koji perekonatisya, tako da otvarajući ga iznova.

Na kraju samo jedan tipa zavdannya Više je algebarske prirode i tradicionalno se uključuje prije tečaja linearne algebre. Zidovi su prošireni, što je zaslužno za okremiy topic:

Dovedite 3 vektora na bazu trivijalnog prostora
koji znaju koordinate 4. vektora u danoj bazi

zadnjica 8

Zadan vektor. Pokazati da vektor postavlja osnovu trivijalnog prostora i poznaje koordinate vektora na istoj bazi.

Odluka: Pregršt motika iz uma Za um je dat chotiri vektor, í, yak bachite, smrdi su još uvijek u koordinatama u bazi deyakom. Yaky tse osnova - nismo lukavi. I tsíkavit taka rích: tri vektora u jednom komadu mogu uspostaviti novu osnovu. Prvi korak u početku izgradnje na rješenjima Dodatka 6, potrebno je preispitati, a vektor je linearno ispravan:

Numerički oblik, zbrajanje koordinata vektora:

, Otzhe, vektori su linearno neovisni i postavljaju osnovu trivijalnog prostora.

! Važno je : koordinate vektora obov'yazkovo Zapiši na sto viznachnik, a ne u redovima. To će biti nevaljalac u lažnom algoritmu za vezu.