Lider linearnih vektora ugar. Osnova vektorskog sustava

Kasnije se zadatak skaliranja sustava vektora na linearnost svodi na zadatak određivanja ranga matrice, presavijene iz vektora sustava.

Treba napomenuti da će za p> n vektorski sustav biti linearno zapušten.

poštovanje: Kada su matrice A presavijene, vektori sustava se mogu uzeti ne kao retke, već kao stupci.

Algoritam za dostizanje vektorskog sustava do linearnog depozita.

Analizirajmo algoritam na kundacima.

Primijenite relevantni vektorski sustav na linearni depozit.

Guzica.

Zadan sustav vektora. Dol_dzhuyte í̈í na linearnom ugaru.

Riješenje.

Budući da je vektor c jednak nuli, tada je izlazni sustav vektora linearno zapušten zbog trećeg stepena.

savjet:

Vektorski sustav je linearno zapušten.

Guzica.

Nastavite sustav vektora na linearnu dionicu.

Riješenje.

Nije lako zapamtiti da su koordinate vektora c jednake koordinatama vektora, onda pomnožite s 3. Prema tome, vektorski sustav je linearno zapušten.

termin 1. Linearna kombinacija vektora je zbroj kreacija ovih vektora na skalarima
:

termin 2. vektorski sustav
naziva se linearnim zapuštenim sustavom, jer linearna kombinacija njih (2.8) ide na nulu:

zašto među brojevima
ísnuê želeći b jedan, vídmínne víd nula.

termin 3. vektora
nazivaju se linearno neovisnim, jer se njihova linearna kombinacija (2.8) okreće na nulu samo jednom ako su svi brojevi.

S ove točke gledišta, možete skinuti posljedice.

trag 1. U linearnom sustavu vektora, jedan vektor se može koristiti kao linearna kombinacija drugih.

Dovođenje. Neka je Vikonano (2.9) i neka je značajan, koeficijent
. Moglo bi i:
. Poštovanje, ono što je pošteno i reverzibilno.

Posljedica 2. Kao vektorski sustav
da se osveti nulti vektor, tada je sustav (obov'yazkovo) linearno zapušten - dokaz je očit.

trag 3. yakscho sredina n vektor_v
budi kao k(
) Vektori se linearno deponiraju, zatim svi n vektor_u linearnim depozitima (oportunistički dokaz).

2 0 . Linearne kombinacije dva, tri i četiri vektora. Pogledajmo ishranu linearne ugare i pravougaonosti vektora na pravoj liniji, ravnosti i u prostoru. Predstavimo sljedeće teoreme.

teorem 1. Da bi dva vektora bila linearno ugar, potrebno je i dovoljno, da smrad bude kolinearan.

nužnost. pusti me vektor і linearne naslage. Tse znači da njihova linearna kombinacija
= 0 i (radi imenovanja)
. Zvuči ljubomore
, I (ovisno o množenju vektora brojem) і kolinearna.

dostatnost. pusti me vektor і kolinearno ( ║) (Pretpostavlja se da je smrad u obliku nultog vektora; inače je njihova linearna zabluda očita).

Prema teoremu (2.7) (div. §2.1, stavka 2 0) tada
pa što
, ili
- linearna kombinacija jednaka je nuli, štoviše, koeficijent at sretno 1 - vektor і linearne naslage.

Iz točke teorema očita je sljedeća posljedica.

posljedica. yakscho vectori і NE kolinearan, tada je smrad linearno neovisan.

teorem 2. Da bi tri vektora bila linearno ustajala, neophodna i dovoljna, da bi smrad bio dosljedan.

nužnost. pusti me vektor ,і linearne naslage. Pokazat će se da smrdi na usklađenost.

Linearna pojava vektora prema sljedećim brojevima
і tako da linearna kombinacija
, Í kod tsiomu (za imenovanje)
. Todi z tsíêí̈ ravnodušnost se može vidjeti vektor :=
, Tobto vektor bolje dijagonale paralelograma, temeljene na vektorima, da stoje u desnom dijelu linije jednakosti (slika 2.6). Tse znači da vektori ,і leže u istoj ravnini.

dostatnost. pusti me vektor ,і komplanarnost. Pokazat će se da je smrad linearno ustajao.

Uključujući mogućnost kolinearnosti bilo kojeg para vektora (jer ako je par linearno kumulativan, a prema posljedicama 3 (vidi točku 10) sva tri vektora su linearno kumulativna). S poštovanjem, takav dodatak uključuje i osnovu nultog vektora prosječnih vrijednosti tri.

Pomaknimo tri koplanarna vektora u jednoj ravnini i donijet ćemo ih do glave klipa. Kroz kraj vektora nacrtana ravno, paralelno s vektorima і ; otrimaêmo at tsimu vectori і (Sl.2.7) і NE kolínearní za pripuschennyam vektore. Zvídsi yiplyaê scho vektor =+. Nakon što smo ponovno napisali vrijednost oka (-1) ++= 0 ,і linearne naslage.

Iz gotovog teorema vidljive su dvije posljedice.

trag 1. dođi і NE kolinearni vektori, vektor - dovílny, scho ležati u ravnini, kako je definirano vektorima і , vektor. Naučite iste brojeve і onako

=+. (2.10)

trag 2. yakscho vectori ,і NE komplanarnost, onda je smrad linearno neovisan.

teorem 3. Be-yakí chotiri vectori liníyno zalezhní.

Dokaz je zanemariv; Uz neke izmjene, nema kopije dokaza teorema 2. Izvucimo neke zaključke iz teorema.

posljedica. Za sve nekoplanarne vektore ,,i koji god vektor
і onako

. (2.11)

poštovanje. Za vektore u (trivimirnom) prostranstvu razumijevanja linearne zapuštenosti i neovisnosti moguć je, kao što je jasno iz smjernica teorema 1-3, jednostavan geometrijski smisao.

Dopustite mi da imam dva linearna vektora za ležanje і . U takvoj situaciji, jedan od njih je linearna kombinacija drugog, koji se jednostavno preokrene brojčanim množiteljem (npr.
). Geometrijski, to znači da se vektori napada nalaze na gornjoj ravnoj liniji; smrad može biti isti ili suprotan izravni (slika 2.8 xx).

Pa, ako su dva vektora poredana jedan prema jedan (slika 2.9 xx), onda je na ovaj način nemoguće uzeti jedan od njih množenjem drugog brojem - takvi su vektori linearno neovisni. Otzhe, linearna neovisnost dvaju vektora і znači da se q vektora ne može postaviti na isti pravac.

Jasno je da je geometrijski smisao linearne ugare i neovisnost tri vektora.

pusti me vektor ,і linearno deponirani a ne sijena (za svrhu) vektor ê linearna kombinacija vektora і , Tobto raztasovaniya u stanu, scho za osvetu vektori і . Tse znači da vektori ,і leže u istoj ravnini. Prilično i nemilosrdno čvrst: kao vektor ,і ležati u jednom stanu, tada je smrad linearno ugar.

U ovom rangu vektori ,і linearno neovisna u tom i samo u tom padu, kao da smrad nije ležao u jednom stanu.

3 0 . razumjeti osnovu. Jedan od najvažnijih za razumijevanje linearne i vektorske algebre je razumijevanje osnove. Hajde da predstavimo termin.

termin 1. Par vektora naziva se uređenim, jer je naznačeno koji vektor oklade treba uzeti u obzir prvi, a koji drugi.

Imenovanje 2. naručeni par ,nekolinearni vektori nazivaju se bazama na ravnini, jer su definirani zadanim vektorima.

teorem 1. bilo koji vektor na ravnini mogu postojati prikazi kao linearna kombinacija osnovnog sustava vektora ,:

(2.12)

a izgled je isti.

Dovođenje. pusti me vektor і uspostaviti osnovu. Neka bude vektorski možete zamisliti
.

Da bi se dokazalo jedinstvo, prihvatljivo je da postoji još jedan aranžman
. Može todi = 0, štoviše, želim da jedna od razlika bude jednaka nuli. Ostati znači da vektori і linearno ugar, zatim kolinearno; tse superechit čvrstoća, scho smrdi do osnove.

Ale todi - širenje na jedan.

termin 3. Trio vektora naziva se uređenim, jer je naznačeno koji vektor treba uzeti u obzir prvi, koji drugi, a koji treći.

termin 4. Uređeni trio nekoplanarnih vektora naziva se baza u prostoru.

Ovdje također vrijedi teorem o ekspanziji i jedinstvu.

teorem 2. be-vektor mogu postojati prikazi kao linearna kombinacija osnovnog vektorskog sustava ,,:

(2.13)

a sve manifestacije su iste (dokaz teorema je izostavljen).

U izgledima (2.12) i (2.13) vrijednosti nazivaju se koordinate vektora u zadanoj bazi (točnije, koordinatama afiniteta).

S fiksnom osnovom
і
možete napisati
.

Na primjer, kao osnova za zadatke
a s obzirom na to
, To ne znači da postoji mjesto za manifestaciju (izgled)
.

4 0 . Linearne operacije nad vektorima u koordinatnom obliku. Uvođenje baze omogućuje linearne operacije nad vektorima i zamjenjuje najznačajnije linearne operacije nad brojevima – koordinate tih vektora.

Neka zadaci budu prava osnova
. Očito, zadatak koordinata vektora u istoj bazi određuje sam vektor. Postoje takvi prijedlozi:

a) dva vektora
і
Rivní todí í tílki tílki todí, ako rívní njih vídpovídní koordinate:

b) pri množenju vektora
po broju yogo koordinati i pomnožiti s cijelim brojem:

; (2.15)

c) pri zbrajanju vektora dodaju se zadane koordinate:

Dokazati tsikh dominaciju izostavljeno; učinimo to za zadnjicu snage b). može biti

==

poštovanje. U blizini prostranstva (na ravnom) možete birati nebrojeno bogate baze.

Pomaknimo prijelaz s jedne baze na sljedeću, postavit ćemo sp_v_dnosheniya između koordinata vektora u različitim bazama.

guza 1. Za osnovni sustav
data tri vektora:
,
і
. U osnovi ,,vektor može izložiti. Znati koordinate vektora u osnovi
.

Riješenje. Raspored svibnja:
,
,
; otzhe,
=
+2
+
= =
, onda
u osnovi
.

guza 2. Dopustite mi da prijeđem na stvarnu osnovu
nekoliko vektora zadano je svojim koordinatama:
,
,
і
.

Z'yasuwati, chi umiriti vektori
osnova; na pozitivan način poznavati raspored vektora u kojoj osnovi.

Riješenje. 1) vektori uspostavljaju bazu, sve dok su linearno neovisni. Pohranjujemo linearnu kombinaciju vektora
(
) Í z'yasuêmo, za one
і pretvara se na nulu:
= 0. možda:

=
+
+
=

U svrhu jednakosti vektora u koordinatnom obliku potrebno je unaprijediti sustav (linearnih homogenih algebarskih) poravnanja:
;
;
, Vyznachnik yakoí̈
=1
, pa sustav može biti (manje) trivijalno rješenje
. Tse znači linearnu neovisnost vektora
í, otzhe, smrad zadovoljiti osnovu.

2) vektor širenja u kojoj osnovi. može biti: =
ili u koordinatnom obliku.

Prelazeći na jednakost vektora u koordinatnom obliku, oduzimamo sustav linearnih nehomogenih algebarskih jednadžbi:
;
;
. Virishyuchi í̈í (na primjer, prema Cramerovom pravilu), uzimamo:
,
,
і (
)
. Mogu li postaviti vektor u osnovi
:=.

5 0 . Projekcija vektora u cjelini. Snaga projekcija. Pusti me da sve razbijem l, Tobto ćemo ga izravno preuzeti i odraditi zadatke vektora .Definirajte pojam projekcije vektora za cjelinu l.

ugovoreni sastanak. vektorska projekcija za cjelinu l tvir modula ovog vektora naziva se kosinusom kuta mizh víssu l i vektor (slika 2.10):

. (2.17)

Posljednji dio imenovanja je izjava o onima koji su jednaki vektori i mogu imati jednake projekcije (na jednu te istu cjelinu).

Značajno dominantne projekcije.

1) projekcija zbroja vektora na dan svih l dodajte zbroj projekcija dodatnih vektora na istu cjelinu:

2) projekcija stvorenog skalara na vektor skuplja je dodati isti skalar projekciji vektora na istu os:

=
. (2.19)

posljedica. Projekcija linearne kombinacije vektora na sve ostale linearne kombinacije njihovih projekcija:

Dokazni autoritet je izostavljen.

6 0 . Pravokutni kartezijanski koordinatni sustav u prostoru.Distribucija vektora po vektorima osi. Neka se za osnovu izaberu tri međusobno okomita vektora; za njih uvodimo posebne oznake
. Postavljanjem ih na klip do točke O, Usmjereno duž njih (vídpovídno do orts
) Koordinatne osi Vol,Oy iO z(Uzmimo sve na njemu s pozitivnim smjerom, na klipu u vídlíku i samoći, zove se koordinata víssyu).

ugovoreni sastanak. Sustav od tri međusobno okomite koordinatne osi s glavom i glavnom jedinicom uređen je i naziva se pravokutni Kartezijanski koordinatni sustav u prostoru.

os Vol naziva se cijela apscisa, Oy- sve ordinate íO z – Vísyu aplikacija.

Pozabavimo se rasporedom određenog vektora prema bazi
. Tri teorema (vidi §2.2, točku 3 0, (2.13)) jasno pokazuju da
može biti jedan te isti red rasporeda prema osnovi
(Ovdje možete promijeniti koordinate
naviknuti se
):

. (2.21)

U (2.21)
bit (kartezijanski rektorez) koordinata vektora . Teoremom se utvrđuje smisao kartezijanskih koordinata.

teorema. Kartezijanske pravokutne koordinate
vektor ê projekcije ovog vektora su vidljive na osi Vol,Oy iO z.

Dovođenje. pomístimo vektor na kob koordinatnog sustava – točka O. Todi yogo kínets bude zbígatisya s deakoy točkom
.

Prođimo kroz točku
tri ravnine paralelne s koordinatnim ravninama Oyz,Oxzі Oxy(Sl.2.11 xx). Uzimamo samo:

. (2.22)

U (2.22) vektori
і
nazivaju se skladišnim vektorima
duž osi Vol,Oy iO z.

pustiti da prođe
і označen kao dobar kuti, odobren vektorom s orts
. Međutim, za skladišta su potrebne sljedeće formule:

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

Iz (2.21), (2.22) (2.23) znamo:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

- koordinate
vektor ê projekcije vektora na koordinatnu os Vol,Oy iO z očito.

poštovanje. brojevima
nazivaju se izravni kosinusi vektora .

vektorski modul (Dijagonala pravokutnog paralelepipeda) izračunava se prema formuli:

. (2.24)

Iz formula (2.23) i (2.24) jasno je da se izravni kosinusi mogu izračunati pomoću formula:

=
;
=
;
=
. (2.25)

Zvodyashchie vrijeđajući dijelove kože ravnodušnosti u (2.25) i zbrajajući pojam lijevi i desni dio oduzimajući jednakosti, dolazimo do formule:

- nemojte biti kao tri kuti utvoryuyut deaky izravno u prostoru, ali samo manje t, kosinus takvih pov'yazan svvdnoshnennyam (2.26).

7 0 . Radijus vektor i koordinate točke.Oznaka vektora na yogo cob i kíntsia. Hajde da predstavimo termin.

ugovoreni sastanak. Radijus-vektor (označen ) Vektor se zove, koji zadnuê cob koordinata O s točkom (slika 2.12 xx):

. (2.27)

Be-yakíy pokažite na prostor vídpovídaê singy radijus-vektor (i natrag). Tim se redoslijedom točke prostora mogu predstaviti u vektorskoj algebri svojim radijus-vektorima.

Očito koordinate
bodova Mê projekcije íí̈ vektor radijusa
na koordinatnoj osi:

(2.28’)

i to na takav način

(2.28)

- radijus-vektor točke je vektor čije projekcije na koordinatne osi odgovaraju koordinatama točke. Zvuči kao dva unosa:
і
.

Oduzimamo formule za izračun projekcija vektora
za koordinate joga na klipu - točke
i kintsya - bodovi
.

Nacrtajte radijus vektor
ja vektor
(Sl.2.13). To uzimamo u obzir

=
=(2.29)

- projekcije vektora na koordinatne vektore jednake razlikama odgovarajućih koordinata kraja i koba vektora.

8 0 . Operacije na kartezijanskim koordinatama.

1) razumjeti kolinearnost vektora . vrijede 3 teorema (vidi §2.1, točka 2 0, formula (2.7)), koji za kolinarnost vektora і potrebno je i dovoljno, kako bi spívvídnoshennia bila pobjednička: =. Za ovu vektorsku jednakost uzimamo tri u koordinatnom obliku jednakosti:

(2.30)

- za kolinearne vektore і nužni i dovoljni, tako da su njihove odgovarajuće koordinate proporcionalne.

2) kretati se između točaka . Iz izgleda (2.29) vidite ono što vidite
između točaka
і
vyznaetsya formula

=
=. (2.31)

3) podíl vídrízka vídnomu vídnoshení . Daj mi bod
і
i kapci
. moram znati
- koordinate točke M (Sl.2.14).

Molimo razumite kolinearnost vektora:
, zvijezde
і

. (2.32)

Z (2.32) uzima se u koordinatnom obliku:

Iz formula (2.32') može se uzeti formula za izračun koordinata sredine klina
, bez obzira na
:

poštovanje. Pogledajmo
і
pozitivan ili negativan ugar, ovisno o tome idu li ravno na klip
vjetar do kraja
, inače ne bježi. Zatim slijedeći formule (2.32) - (2.32") možete znati koordinate točke za podjelu linija
zovníshním rang, onda tako, što podijeliti točku M biti u prodaji
, ne usred joge. S kim, jasno je
.

4) poravnanje sfernih površina . Skladišno niveliranje sfernih površina - geometrijske točke
, Rivnoviddalenikh na vídstanu pogled na fiksni centar – točke
. Očito je da u ovoj vipadki
a uz poboljšanje formule (2.31)

Niveliranje (2.33) i izravnavanje sferne plohe.

Zadatak 1. Z'yasuvati, chi ê sustav vektora je linearno neovisan. Sustav vektora bit će postavljen matricom sustava čiji se stupci zbrajaju iz koordinata vektora.

.

Riješenje. Hajde kombinacija jednaka nuli. Nakon što smo zapisali vrijednost u koordinatama, uzet ćemo sustav izjednačavanja:

.

Takav sustav jednakih naziva se trikut. Postoji samo jedno rješenje . Oče, vektori linearno neovisno.

Zadatak 2. Z'yasuvati, chi ê linearno neovisni sustav vektora.

.

Riješenje. vektora linearno neovisno (razd. problem 1). Recimo da je vektor linearna kombinacija vektora . Koeficijenti raspodjele po vektorima vynachayutsya iz sustava jednak

.

Tsya sustav, poput trikutne, čini jedno rješenje.

Oče, sustav vektora linearno ugar.

poštovanje. Ovakve matrice, kao u zadatku 1, nazivaju se lukav , A u zadatku 2 - često lukav . Informaciju o linearnosti sustava vektora lako je pogriješiti, jer se matrica sastoji od koordinata ovih vektora i često je zeznuta. Ako matrica nema poseban oblik, onda za pomoć elementarna transformacija redova , Scho zberígayut linearni spívvídnoshennia mízh stovptsami, íí̈ može se svesti na sličan-zamršen izgled.

Elementarne transformacije redaka matrice (EPC) nazivaju se takve operacije na matrici:

1) permutacija redaka;

2) množenje retka na zadani nulti broj;

3) dodatak retku sljedećeg retka, pomnožen određenim brojem.

Zadatak 3. Pronađite maksimalni linearno neovisni podsustav i izračunajte rang vektorskog sustava

.

Riješenje. Usmjerimo matricu sustava nakon pomoći EPC-a na sličan-često-škakljiv izgled. Kako bi se objasnio redoslijed dana, red s brojem pretvara se u matricu sa značajnim simbolom. Na stražnjoj strani stupca, strelice su prikazane iznad redaka, matrice su transformirane, kao da je potreban viconate za uklanjanje redaka nove matrice.

.

Očito je da su prva dva stupca uklonjene matrice linearno neovisna, treći stupac je linearna kombinacija, a četvrti stupac se ne može naći u prva dva. vektora nazivaju se osnovnim. Oni uspostavljaju maksimalno linearno neovisni podsustav sustava , A rang sustava je tri.

Osnova, koordinate

Zadatak 4. Pronađite osnovu i koordinate vektora u ovoj bazi na anonimnim geometrijskim vektorima, čije koordinate prijaju umu .

Riješenje. Bezlích ê ravan, scho proći kroz klip koordinata. Dodatna baza na ravnini sastoji se od dva nekolinearna vektora. Koordinate vektora u obrnutoj bazi pridaju se rješenjima odgovarajućeg sustava linearnih poravnanja.

Ísnuê th ínshíy sposíb vyvíshennya tsgogo zavdannya, ako možete znati osnovu za koordinate.

koordinate prostor nisu koordinate na stanu, pa smrad , Tobto nije neovisan. Nezavisne varijable i (smradovi se nazivaju slobodnima) jedinstveno dodjeljuju vektor području í, tako da se smradovi mogu uzeti s koordinatama unutar. ista osnova sastoji se od vektora, koji leže u i različitih skupova u slobodnim varijablama і , zatim .

Zadatak 5. Nađite bazu i koordinate vektora u ovoj bazi na bezličnim svim vektorima u prostoru, koji imaju međusobno jednake nesparene koordinate.

Riješenje. Vibero, kao i ja u zadatku naprijed, koordinira u prostoru.

pa jak , To će se promijeniti jednoznačno dodijeliti vektoru z í, otzhe, ê koordinate. Varijabilna baza se sastoji od vektora.

Zadatak 6. Pronađite bazu i koordinate vektora u ovoj bazi na bezličnim svim matricama u obliku , de - priličan broj.

Riješenje. Matrix kože s je jedinstveno predstavljen na prvi pogled:

Tse spívvídnoshennia ê razladannyam vektor z na bazi
s koordinatama .

Zadatak 7. Poznavati ekspanziju i osnovu linearne ovojnice vektorskog sustava

.

Riješenje. Transformirajmo uz pomoć EPC matrice iz koordinata vektora u sustavu na sličan škakljiv izgled.

.

stovptsi preostale matrice su linearno neovisne, a preostale matrice linearno savijati kroz njih. Otac, vektori uspostaviti osnovu , і .

poštovanje. osnova u izabran dvosmisleno. Na primjer, vektor također uspostaviti osnovu .

dođi L - linearni prostor iznad terena R . dođi A1, A2, ..., an (*) Kintseva sustav vektora L . vektor NA = A1 × A1 +A2 × A2 + ... + an × An (16) pozvao Linearna kombinacija vektora ( *), ili reci koji vektor NA linearno invertirano kroz sustav vektora (*).

Imenovanje 14. Vektorski sustav (*) se zove linearni ugar , Tada i samo ako postoji takav različit od nule skup koeficijenata a1, a2, ..., an, da je a1 × A1 +A2 × A2 + ... + an × An = 0. Što kažete na a1 × A1 +A2 × A2 + ... + an × An = 0 Û a1 = a2 = ... = an = 0, tada se zove sustav (*). Linearno neovisno.

Snaga linearne ugare i neovisnosti.

10. Ako sustav vektora može zamijeniti nulti vektor, onda je on linearno zapušten.

Definitivno, samo u vektoru sustava (*). A1 = 0, Te 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Ako sustav vektora zamjenjuje dva proporcionalna vektora, tada je linearno prazna.

dođi A1 = L× A2. Todi 1 × A1 -l× A2 + 0× A3 + … + 0× ALI N= 0.

30. Endian sustav vektora (*) s n ³ 2 je linearno zapušten čak i ako se želi samo jedan od vektora u linearnoj kombinaciji drugih vektora u sustavu.

Þ Nehai (*) je linearno ugar. Tada postoji niz koeficijenata a1, a2, ..., an koji nije nula, za koji je a1 × A1 +A2 × A2 + ... + an × An = 0 . Bez uništavanja pospanosti, možete smatrati da je a1 ¹ 0. A1 = × a2 × A2 + ... + × an × ALI N. Otze, vektor A1 ê linearna kombinacija drugih vektora.

Ü Neka je jedan od vektora (*) linearna kombinacija ostalih. Možete unijeti koji je prvi vektor, tj. A1 = B2 A2+ ... + bn ALI N, Zvídsi (-1) × A1 + b2 A2+ ... + bn ALI N= 0 , T. E. (*) Linearni ugar.

Poštovanje. Vikoristovuyuchi preostale snage, možete datirati označavanje linearne zablude i neovisnosti neiscrpnog sustava vektora.

Imenovanje 15. vektorski sustav A1, A2, ..., an , ... (**) Zove se Linearni ugar, Samo želim jedan njen vektor je linearna kombinacija konačnog broja drugih vektora. Na drugi način se zove sustav (**). Linearno neovisno.

40. Kíntseva sustav vektora je linearno neovisan samo i samo ako je moguće linearno povezati preko drugih vektora.

50. Kao što je vektorski sustav linearno neovisan, onda je li i podsustav linearno neovisan.

60. Budući da je podsustav ovog vektorskog sustava linearno zapušten, onda je i cijeli sustav linearno zapušten.

Dopustite mi da vam dam dva sustava vektora A1, A2, ..., an , ... (16) i B1, B2, ..., BS, ... (17). Ako se skin vektor sustava (16) može predstaviti kao linearna kombinacija konačnog broja vektora u sustavu (17), onda možemo reći da je sustav (17) linearno izražen kroz sustav (16).

Imenovanje 16. Zovu se dva sustava vektora ekvivalent , budući da je koža od njih linearno izražena kroz jezik.

teorem 9 (Osnovni teorem o linearnom ugaru).

javi mi - dva krajnja vektorska sustava L . Budući da je prvi sustav linearno neovisan i linearno rotira kroz prijatelja, onda N£s.

Dovođenje. Pretpostavimo to N> S. Iza teorema uma

ukupno. Budući da je broj jednakih veći od broja nepoznanica, tada sustav može biti beskonačno bogatiji rješenjem. Oče, ona ima različitu od nule X10, x20, ..., xN0. S tim vrijednostima bit će istinita jednakost (18), što zamjenjuje činjenicu da je sustav vektora linearno neovisan. Oče, naše priznanje nije točno. otzhe, N£s.

Posljedica. Budući da u Kini postoje dva ekvivalentna sustava vektora i linearno neovisni, onda će smrad osvetiti isti broj vektora.

Imenovanje 17. Vektorski sustav naziva se Maksimalni linearno neovisni sustav vektora linearni prostor L , Kako je linearno neovisan, ali kada mu se dodaje, može postojati neki vektor L , Scho da ne uđe u ovaj sustav, on postaje već linearno ugar.

Teorem 10. Be-yakí dví kíntseví maksimalni linearno neovisni vektorski sustavi L Kompenzacija za isti broj vektora.

Dovođenje jasno je da postoje dva maksimalna linearno neovisna sustava vektora u ekvivalentu .

Lako je donijeti, scho biti linearno neovisni vektorski sustav u prostoru L može se proširiti do maksimalnog linearno neovisnog vektorskog sustava u cijelom prostoru.

primijeniti:

1. Za impersonalne sve kolinearne geometrijske vektore mora postojati sustav koji se sastoji od jednog vektora različitog od nule, koji je maksimalno linearno neovisan.

2. Za impersonalne sve koplanarne geometrijske vektore, tvore li dva nekolinearna vektora maksimalni linearno neovisni sustav.

3. U bezličnom od svih mogućih geometrijskih vektora u trivijalnom euklidskom prostoru, sustav tri nekoplanarna vektora je maksimalno linearno neovisan.

4. Bezlični polinomi nemaju više koraka N S efektivnim (složenim) koeficijentima, sustav polinoma 1, x, x2, ..., xnÊ maksimalno linearno neovisno.

5. Za bezlične polinome s realnim (kompleksnim) koeficijentima, stražnji dio maksimalnog linearno neovisnog sustava

a) 1, x, x2, ..., xn, ...;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N,...

6. Bezlična matrica prostora M´ Nê linearni prostor (obrnut). Sustav maksimalnog linearno neovisnog sustava u istom prostoru je sustav matrica E11= , E12 =, ..., EMn = .

Neka je zadan sustav vektora C1, c2, ..., usp (*). Vektorski podsustav s (*) se zove Maksimalno linearno neovisno podsustav sustav ( *) , Ako je linearno neovisan, ali ako mu dodate, bilo koji drugi vektor, tada će sustav postati linearno zapušten. Ako je sustav (*) Kíntsev, onda je to maksimalni linearno neovisni podsustav za osvetu jednog te istog broja vektora. (Dokaz treba izvesti samostalno). Broj vektora u maksimalnom linearno neovisnom podsustavu sustava (*) se zove rang Tsíêí̈ sustavi. Očito, ekvivalentni vektorski sustavi mogu imati iste rangove.

Linearni ugar i neovisnost vektora

Označavanje linearnih i nezavisnih vektorskih sustava

termin 22

Dopustite mi da imam sustav n-vektora i možda skup brojeva
, onda

(11)

naziva se linearna kombinacija zadanog sustava vektora s zadanim skupom koeficijenata.

termin 23

vektorski sustav
naziva se linearno ugar, kao takav skup koeficijenata
, Ako samo jedan od njih nije jednak nuli, tada je linearna kombinacija danog sustava vektora sa skupom koeficijenata jednaka nultom vektoru:

dođi
, onda

Termin 24 ( kroz manifestaciju jednog vektora sustava u obliku linearne kombinacije drugih)

vektorski sustav
naziva se linearno zapuštenim, čak i ako se jedan od vektora u sustavu može predstaviti u vizualno linearnoj kombinaciji drugih vektora u sustavu.

stvrdnjavanje 3

Određeni 23 i 24 ekvivalenti.

termin 25(Kroz kombinaciju nulte linije)

vektorski sustav
naziva se linearno neovisnim, pa nulta linearna kombinacija sustava može biti moguća samo za sve
jednaka nuli.

termin 26(Zbog nemogućnosti podnošenja jednog vektora sustava, izgleda kao linearna kombinacija drugih)

vektorski sustav
naziva se linearno neovisnim, jer niti jedan od vektora u sustavu ne može biti predstavljen linearnom kombinacijom drugih vektora u sustavu.

Dominacija linearnih i nezavisnih sustava vektora

teorema 2 (Nulti vektor u sustavu vektora)

Ako u sustavu vektora postoji nulti vektor, tada je sustav linearno zapušten.

 Hajde
, Todi.

poduzete
, Otzhe, za označavanje linearnog sustava vektora kroz nultu linearnu kombinaciju (12) sustav je linearno zapušten. 

teorema 3 (Depozitni podsustav u sustavu vektora)

Kao što je u sustavu vektora podsustav linearno zapušten, tako je i cijeli sustav linearno zapušten.

 Hajde
- linearni podsustav ugar
, čija sredina, ako samo jedan nije jednak nuli:

Dakle, nakon imenovanja 23, sustav je linearno zapušten. 

teorem 4

Bio to podsustav linearno neovisnog sustava linearno neovisnog sustava.

 Naizgled suprotno. Neka je sustav linearno neovisan i u niy ê linearno zapušten podsustav. Aletodija nakon teorema 3, cijeli će sustav također biti linearno zapušten. Čišćenje. Također, podsustav linearno neovisnog sustava ne može biti linearno zapušten. 

Geometrijski smisao linearne ugare i neovisnost vektorskog sustava

teorem 5

dva vektora і liniyno ugar todi i samo tílki todi, ako
.

 Nužnost.

і - linearne naslage
, Što je pametno
. također
, Tobto
.

Dostupnost.

Linearne naslage. 

posljedica 5.1

Nulti vektor kolinearan je bilo kojem vektoru

posljedica 5.2

Da bi dva vektora bila linearno neovisna, potrebno je i dovoljno, dakle nije kolinearna .

teorem 6

Da bi sustav od tri vektora bio linearno ugašen, potrebno je i dovoljno da vektori i vektori budu koplanarni .

 Nužnost.

- linearno zapušten, dakle, jedan vektor može se predstaviti linearnom kombinacijom dva druga.

, (13)

de
і
. Iza pravila paralelograma ê dijagonala paralelograma sa stranicama
, Ale paralelogram - plosnati lik
komplanarnost
- također komplanarnost.

dostatnost.

- usklađenost. Izvještavamo o tri vektora do točke B:

C

B`

- linearne naslage 

posljedica 6.1

Nulti vektor je komplanaran bilo kojem paru vektora.

posljedica 6.2

Da bi se vektorski
ako je linearno neovisno, potrebno je to učiniti, kako smrad ne bi bio dosljedan.

posljedica 6.3

Može li se ravninski vektor predstaviti kao linearna kombinacija dva nekolinearna vektora u istoj ravnini.

teorem 7

Be-yakí chotiri vektori u prostoru linearnih naslaga .

 Pogledajmo 4 vipadije:

Nacrtajmo ravninu kroz vektore, nacrtajmo ravninu kroz vektore i ravninu kroz vektore. Nacrtajmo ravnine koje prolaze kroz točku D, paralelno s parovima vektora; ; očito. Duž linija peretine ravnina nalazit će se paralelepiped OB 1 D 1 C 1 ABDC.

Pogledaj OB 1 D 1 C 1 - paralelogram s pravilom paralelograma
.

Pogledajmo OADD 1 - paralelogram (sa snagom paralelepipeda)
, onda

Ugradi jednadžbu.3.

Prema teoremu 1
pa što. također
, I za imenovanje 24 vektorski sustav je linearno zapušten. 

posljedica 7.1

Zbroj tri nekomplanarna vektora u prostoru je vektor koji raste iz dijagonale paralelepipeda, na temelju ova tri vektora, primijenjen na uho klipa, a uho vektora sumi zbígaêtsya iz kuta klip ova tri vektora.

posljedica 7.2

Ako uzmete 3 nekoplanarna vektora u prostoru, onda može li se bilo koji vektor tog prostora postaviti u linearnu kombinaciju ova tri vektora.