Zavdannya 1. Znati da je sustav vektora linearno neovisan. Sustav vektora definirat ćemo kao matricu sustava čije su komponente sastavljene od koordinata vektora.

.

Odluka. Neka bude linearna kombinacija jednaka nuli. Zapisivanjem poretka u koordinate, možemo doći do sustava poretka:

.

Ovaj sustav činova naziva se trikutani. Može postojati samo jedna odluka . Ozhe, vektori linearno neovisni.

Zavdannya 2. Shvatite da je ovo linearno neovisan sustav vektora.

.

Odluka. vektori linearno nezavisne (div. zadatak 1). Dokažimo da je vektor linearna kombinacija vektora . Koeficijenti razloženi vektorima određuju se prema sustavu činova

.

Ovaj sustav, kao i trodijelni sustav, ima jedno rješenje.

Ozhe, sustav vektora linearno položen.

poštovanje. Matrice, kao što je u knjizi 1, nazivaju se trikutnymi , I u vrtu 2 - podjednako-zeznuto . Koncept linearne pojave sustava vektora može se lako izračunati, budući da je matrica sastavljena od koordinata tih vektora i često je trodimenzionalna. Ako matrica nema poseban oblik, onda za pomoć elementarno ponovno stvaranje redova Kako bi se očuvali linearni odnosi među partnerima, može se svesti na sličnu lukavu pojavu.

Elementarna rekreacija redaka matrice (EPC) nazivaju se sljedeće operacije na matrici:

1) preuređivanje redova;

2) množenje reda na isti broj kao nula;

3) dodatak retku drugog retka, pomnožen dodatnim brojem.

Zavdannya 3. Odredite najveći linearno neovisni podsustav i izračunajte rang vektorskog sustava

.

Odluka. Dovedimo matricu sustava pomoću dodatnog EPC-a do brzog izgleda. Da bi se pojasnio redoslijed radnji, redak s brojem je preuređen u matrici sa značajnim simbolom. U stupcu nakon što strelica označava radnju iznad redaka, matrice se ponovno stvaraju, jer morate kliknuti da biste uklonili retke nove matrice.

.

Očito su prva dva stupca ekstrahirane matrice linearno neovisna, treći stupac je njihova linearna kombinacija, a četvrti ne leži s prva dva. vektori nazivaju se osnovnim. Oni stvaraju maksimalno linearno neovisni podsustav sustava , A rang sustava je tri.

Osnova, koordinate

Zavdannya 4. Pronađite osnovu i koordinate vektora u ovoj osnovi na bezličnosti geometrijskih vektora, čije koordinate zadovoljavaju um .

Odluka. Bezlična ravnina je ravnina koja prolazi kroz koordinatni početak. Potpuna baza na ravnini sastoji se od dva nekolinearna vektora. Koordinate vektora u odabranoj bazi određene su rješenjima linearnog sustava linearnih trasa.

Postoji još jedan način da dovršite ovaj zadatak ako možete pronaći osnovu iza koordinata.

koordinate prostranstvo nema koordinate u ravnini, budući da su mirisi povezani s odnosima , Tobto nije neovisan. Nezavisne varijable i (one se nazivaju slobodnima) jasno pokazuju vektor na ravnini i, stoga se mogu izraziti kao koordinate u. zatim osnovu sastoji se od vektora koji leže u sličnim skupovima velikih promjena і , zatim .

Zavdannya 5. Odredite bazu i koordinate vektora u ovoj bazi na bazi svih vektora u prostoru, čije su neparne koordinate međusobno jednake.

Odluka. Odaberemo, kao i u prethodnom zadatku, koordinate u prostoru.

Dakle jak , To je sjajna promjena nedvosmisleno označiti vektor z í, također, ê koordinate. Konačnu bazu čine vektori.

Zavdannya 6. Pronađite bazu i koordinate vektora u ovoj bazi na temelju svih vrsta matrica , de - više brojeva.

Odluka. Matrica kože može se jasno prikazati u obliku:

Ovo je rezultat dekompozicije vektora z prema bazi
s koordinatama .

Zavdannya 7. Odredite dimenziju i bazu linearne ljuske vektorskog sustava

.

Odluka. Koristeći dodatnu EPC matricu, možemo transformirati koordinate vektora sustava na sličan-škakljiv izgled.

.

stotina preostale matrice su linearno neovisne, a preostale matrice kroz njih se izražavaju linearno. Ozhe, vektori uspostaviti osnovu , і .

poštovanje. osnova u Izbor je dvosmislen. Na primjer, vektori također uspostaviti osnovu .

Vrijednost 1. Sustav vektora nazivamo linearno neovisnim, jer se jedan od vektora sustava može prikazati kao linearna kombinacija drugih vektora sustava ili linearno neovisnim - na drugi način.

Vrijednost 1 '. Sustav vektora naziva se linearno ustajalim, ako su brojevi pronađeni h 1 , h 2 , …, h k, nisu svi jednaki nuli, tako da je linearna kombinacija vektora s ovim koeficijentima jednaka nultom vektoru: =, inače se sustav naziva linearno neovisnim.

Pokažimo da su te vrijednosti ekvivalentne.

Neka vrijednost 1 završi, tada je jedan od vektora sustava linearna kombinacija ostalih:

Linearna kombinacija vektorskog sustava jednaka je nultom vektoru, a nužno je da koeficijent vektorskog sustava bude jednak nuli, tako da vrijednost na kraju bude 1'.

Ne zaboravimo na značenje 1 '. Linearna kombinacija vektorskog sustava je drevna, a posebno koeficijent kombinacije doseže nulu, na primjer, koeficijent vektora.

Predstavili smo jedan od vektora sustava kao linearnu kombinaciju ostalih, tako da vrijednost 1 završava.

Vrijednost 2. Naziva se jedinični vektor ili orth n-dimenzionalni vektor, od koga ja-ta koordinata je jedan, a rta koordinata je nula.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Teorem 1. Pojedinačni vektori pokolja n miran prostor linearno nezavisan.

Gotovo. Linearna kombinacija ovih vektora s dovoljnim koeficijentima usporediva je s nultim vektorom.

S ove točke gledišta, svi koeficijenti dosežu nulu. Skinuli su ga i obrisali.

kožni vektor n miran prostor ā (A 1 , A 2 , ..., A n) mogu postojati prikazi naizgled linearne kombinacije pojedinačnih vektora s koeficijentima jednakim koordinatama vektora

Teorem 2. Ako vektorski sustav sadrži nulti vektor, on je linearno pohranjen.

Gotovo. Recimo da postoji sustav vektora i jedan od vektora je nula, na primjer =. Zatim, s vektorima ovog sustava, možete dodati linearnu kombinaciju jednaku nultom vektoru, au svim slučajevima koeficijenti će biti nula:

Pa, sustav je linearan.

Teorem 3. Kao što je podsustav vektorskog sustava linearno ovisan, tako je i cijeli sustav linearno ovisan.

Gotovo. Zadan je sustav vektora. Pretpostavimo da je sustav linearno postavljen, tada će se brojevi pronaći h 1 , h 2 , …, h r , Nije sve jednako nuli, kao što je =. zatim

Pokazalo se da je linearna kombinacija vektora cijelog sustava prastara, a koeficijent te kombinacije sve je više jednak nuli. Pa, sustav vektora je linearan.

Istraga. Kako je sustav vektora linearno neovisan, onda je i svaki podsustav linearno neovisan.

Gotovo.

Prihvatljivo je da je podsustav linearno ovisan. Teorem implicira da je cijeli sustav linearno ovisan. Stigli smo prije kraja.

Teorem 4 (Steinitzova teorema). Svaki sloj sadrži vektore i linearnu kombinaciju vektora i m>n, Tada sustav vektora linearno leži.

Istraga. Svaki sustav n-dimenzionalnih vektora ne može imati više od n linearno neovisnih vektora.

Gotovo. koža n-dimenzionalni vektor se izražava kao linearna kombinacija n pojedinačnih vektora. Jer sustav se osvećuje m vektori i m>n, Zatim, iza teorema, s obzirom na sustav linearno položen.

Ova nam statistika pokazuje:

• što su kolinearni vektori?
• što je mentalna kolinearnost vektora;
• u čemu je bit snage kolinearnih vektora;
• Što je linearni položaj kolinearnih vektora?

vrijednost 1

Kolinearni vektori su vektori koji su paralelni s jednim pravcem ili leže na istom pravcu.

guza 1

Razmislite o kolinearnosti vektora

Dva su vektora kolinearna, kao da se slažu sa sljedećim umovima:

• Umova 1 . Vektori a i b su kolinearni ako postoji broj λ takav da je a = λ b;
• Umova 2 . Vektori a i b su kolinearni s istim koordinatama:

a = (a 1; a 2), b = (b 1; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• Umova 3 . Vektori a i b su kolinearni zbog jednakosti vektorske kreacije i nultog vektora:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

poštovanje 1

Umova 2 postaje stagnirajući jer je jedna od koordinata vektora jednaka nuli.

poštovanje 2

Umova 3 Bit će ograničen samo na one vektore koji su zadani u prostoru.

Primijenite upute za istraživanje kolinearnosti vektora

guza 1

Vektori a = (1; 3) i b = (2; 1) testirani su na kolinearnost.

Kako vjerovati?

U ovom slučaju potrebno je izbjegavati drugu mentalnu kolinearnost. Za specificiranje vektora to izgleda ovako:

Ljubomora je lažna. Moguće je konstruirati konstrukciju tako da vektori a i b budu nekolinearni.

Potvrda : A | | b

guza 2

Zašto je za kolinearnost vektora potrebna vrijednost m vektora a = (1; 2) i b = (- 1; m)?

Kako vjerovati?

Prema kolinearnosti Vikoristovog prijatelja, vektori će biti kolinearni jer će njihove koordinate biti proporcionalne:

Sa zvijezde možete vidjeti da je m = - 2.

dokaz: m = - 2.

Kriteriji linearnog položaja i linearne neovisnosti vektorskih sustava

teorema

Sustav vektora u vektorskom prostoru je linearan samo u onoj mjeri u kojoj se jedan od vektora sustava može izraziti kroz druge vektore tog sustava.

Gotovo

Neka je sustav e 1, e 2,. . . , E n je linearno položen. Napišimo linearnu kombinaciju vrijednosti sustava koja je jednaka nultom vektoru:

a 1 e 1 + a 2 e 2 +. . . + A n e n = 0

u tom slučaju jedan od koeficijenata kombinacije nije jednak nuli.

Neka je a k ≠ 0 k ∈ 1, 2,. . . , N.

Dijelimo uvrijeđeni dio revnosti koeficijentom koji nije nula:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k +. . . + (A k - 1 a n) e n = 0

značajan:

A k - 1 a m, gdje je m ∈ 1, 2,. . . , K - 1, k + 1, n

U ovoj situaciji:

β 1 e 1 +. . . + Β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 +. . . + B n e n = 0

ili e k = (- β 1) e 1 +. . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 +. . . + (- β n) e n

Zvijezda pokazuje da je jedan od vektora sustava izražen kroz sve ostale vektore sustava. Što se tražilo da se prenese (itd.).

dostupnost

Neka je jedan od vektora linearno određen preko svih ostalih vektora sustava:

e k = γ 1 e 1 +. . . + Γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 +. . . + Γ n e n

Prenosimo vektor e k na desnu stranu jednadžbe:

0 = γ 1 e 1 +. . . + Γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 +. . . + Γ n e n

Kako je koeficijent vektora e k još uvijek jednak - 1 ≠ 0, imamo netrivijalnu manifestaciju nule sustavom vektora e 1, e 2,. . . , E n, a to pak znači da je ovaj sustav vektora linearno sadržan. Što se tražilo da se prenese (itd.).

istraga:

• Sustav vektora je linearno neovisan ako se jedan od njegovih vektora može izraziti kroz sve ostale vektore sustava.
• Sustav vektora, koji kombinira nulti vektor ili dva jednaka vektora, linearno je ovisan.

Snaga linearno ležećih vektora

1. Za 2- i 3-dimenzionalne vektore, um je nacrtan: dva linearno ležeća vektora su kolinearna. Dva kolinearna vektora su linearne naslage.
2. Za 3-dimenzionalne vektore, um je nacrtan: tri linearna vektora su koplanarna. (3 koplanarna vektora - linearne naslage).
3. Za n-dimenzionalne vektore um je nacrtano: n + 1 vektor je uvijek linearan.

Primjene rješavanja problema na temelju linearnog preklapanja ili linearne neovisnosti vektora

guza 3

Provjerimo linearnu neovisnost vektora a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0.

Odluka. Vektori linearno leže jer je veličina vektora manja od broja vektora.

guza 4

Provjerimo linearnu neovisnost vektora a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1.

Odluka. Znamo vrijednosti koeficijenata za koje će linearna kombinacija biti jednaka nultom vektoru:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Zapisujemo vektorsku razliku u linearnom izgledu:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ovaj sustav konstruiramo koristeći Gaussovu metodu:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Iz 2. reda uzimamo 1., iz 3. reda - 1.:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Od 1. reda dodaje se 2. red, u 3. red dodaje se 2. red:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Odluka znači da sustav nema odluke. To znači da postoji različita od nule kombinacija vrijednosti takvih brojeva x 1, x 2, x 3, za koje je linearna kombinacija a, b, c relativna u odnosu na nulti vektor. Ozhe, vektori a, b, c ê linearno ustajao. ​​​​​​​

Ako ste u tekstu označili uslugu, pogledajte je i pritisnite Ctrl + Enter

Linearnost i linearnost vektora.
Osnova vektora. Afini koordinatni sustav

U učionici je zdjela čokolade, a onaj koji oslobađa kožu danas će dobiti par sladića - analitička geometrija s linearnom algebrom. Ova će statistika biti oštećena u dva odjeljka sjajna matematika, I čudimo se kako smrad koegzistira na jednom spaljenom mjestu. Odmorite se i igrajte "Twix"! ...prokletstvo, pa nema smisla svađati se. Ako želim dobro, neću zaboraviti, na kraju dana za početak je kriv pozitivan stav.

Linearni položaj vektora, linearna neovisnost vektora, baza vektora ta unutra. Pojmovi ne podrazumijevaju samo geometrijsku interpretaciju, već, prije svega, algebarski smisao. Shvaćajući sam "vektor" sa stajališta linearne algebre, to je daleko od toga da je isti "primarni" vektor koji možemo prikazati na ravnini ili u prostoru. Ne morate ići daleko za dokaz; pokušajte nacrtati vektor petodimenzionalnog prostora . Ili vremenski vektor, zbog kojeg sam upravo otišao na Gismeteo: - temperatura i atmosferski tlak su dosljedni. Primjer, naravno, nije točan sa stajališta autoriteta vektorskog prostora, ali, ništa manje, nitko se ne trudi formalizirati te parametre s vektorom. Jesen Dihanna....

Ne, ne namjeravam vas mamiti teorijom, linearnim vektorskim prostorima, cilj je da razumjeti značenje teoreme. Novi pojmovi (linearnost, neovisnost, linearna kombinacija, baza itd.) vrijede za sve vektore s algebarskog gledišta, ali će primjene biti geometrijske. Na ovaj način sve je jednostavno, dostupno i očito. Osvrnut ćemo se na nastavu analitičke geometrije i vrste nastave algebre. Za svladavanje gradiva važno je upoznati se s lekcijama Vektori za lutkeі Kako izračunati stanje gotovine?

Linearni položaj i neovisnost vektora područja.
Ravninska baza i afini koordinatni sustav

Pogledajmo vaše područje stol za računalo(Samo stol, noćni ormarići, prekrivači, stele, kako vam odgovara). Zavodannya će ostati u ofenzivi:

1) Vibracijska osnovna ravnina. Grubo govoreći, linija ima duljinu i širinu, pa je intuitivno shvatila da su za formiranje baze potrebna dva vektora. Jedan vektor očito nije dovoljan, tri vektora su previše.

2) Na temelju odabrane osnove postaviti koordinatni sustav(Koordinatna mreža) za dobivanje koordinata svega na tablici objekata.

Nemojte se iznenaditi, objašnjenje će vam odmah biti na prstima. Štoviše, na vašem. Budite ljubazni, mjesto vulgarni prst lijeve ruke do ruba sobe kako biste mogli gledati u monitor. Ovo će biti vektor. sada mjesto mali prst desne ruke na rubu stola na isti način – tako da bude ravno na ekranu monitora. Ovo će biti vektor. Smijte se, izgledate predivno! Što možete reći o vektorima? tribute vektori kolinearni, što znači linearno pojavljuju se jedan za drugim:
, Pa, zapravo: de - deyak broj, vidmínne vid nula.

Sliku ove akcije možete vidjeti u lekciji Vektori za lutke, Gdje sam objasnio pravilo množenja vektora brojem.

Kako će vaši prsti postaviti osnovu na površinu stola računala? Očito, ne. Kolinearni vektori će tu i tamo poskupjeti sama ravno, a stan ima duljinu i širinu.

To su vektori tzv linearno laganje.

Dovidka: Riječi "linearno", "linearno" označavaju činjenicu da u matematičkim jednadžbama, izrazima nema kvadrata, kocki, drugih koraka, logaritama, sinusa itd. Samo linearni (1. stupanj) izraz i položaj.

Dva vektora površine linearne naslage Ovo i samo ovo, ako su kolinearni.

Prekrižite prste na stolu tako da između njih bude krug, između 0 i 180 stupnjeva. Dva vektora površinelinearno NE naslage na ovaj i samo na taj način, jer smrad nije kolinearan. Pa, osnova je uklonjena. Ne treba se brinuti da je osnova valova "iskrivljena" vektorima neokomitosti različitih vrijednosti. Vrlo brzo ćemo shvatiti da za ovu svrhu nije samo na 90 stupnjeva, i ne samo sam, jednak ostalim vektorima

Što god ravni vektor u jednom rangu rastavljeno prema osnovi:
, Deaktivirani brojevi. imenovati brojeve vektorske koordinate u ovoj osnovi.

Tako se čini da vektorpogleda od gledatelja linearna kombinacija bazni vektori. Tobto, zovu ga viraz vektor odvijanjapo osnovi ili drugo linearna kombinacija bazni vektori.

Na primjer, može se reći da je vektor dekompozicija na ortonormiranoj bazi ravnine i može se reći da reprezentacija izgleda kao linearna kombinacija vektora.

Idemo formulirati vrijednost prema osnovi formalno: osnovu područja naziva se par linearno neovisnih (nekolinearnih) vektora, , kada neka bude što bude vektor površine je linearna kombinacija baznih vektora.

Bitna stvar je činjenica da uzeti vektori po redu pjesama. osnova - to su dvije potpuno različite baze! Kako se čini, mali prst lijeve ruke ne može se pomaknuti na mjesto malog prsta desne ruke.

Osnovu smo sredili, ali nije dovoljno postaviti koordinatnu mrežu i dodijeliti koordinate skin objekta tablici vašeg računala. Zašto nema dovoljno? Vektori su slobodni i lutaju cijelom površinom. Dakle, kako možemo dati koordinate ovim malim brutalnim bodovima na stolu koje smo izgubili nakon napornog vikenda? Potrebna referentna točka. A takva referentna točka je svima poznata točka - početak koordinata. Pogledajmo koordinatni sustav:

Počet ću od "školskog" sustava. Već na uvodnom satu Vektori za lutke Vidio sam razlike između pravocrtnog koordinatnog sustava i ortonormirane baze. Standardna slika osovine:

Kada se govori o pravocrtni koordinatni sustav, Tada su najčešće važne koordinate, koordinatne osi i mjerilo po osi. Pokušajte u tražilicu upisati “direktni koordinatni sustav” i vidjet ćete da ćete dobiti puno informacija o koordinatnim osima koje znate od 5.-6.razreda i o postavljanju točaka na ravninu.

S druge strane, istina je da se pravocrtni koordinatni sustav može u potpunosti definirati preko ortonormirane baze. I to je vjerojatno istina. Formula će zvučati kao skori obred:

kob koordinata, і ortonormalan postaviti osnovu Kartezijev pravocrtni ravninski koordinatni sustav . Tobto, koordinatni sustav je pravolinijski definitivno predstavljen je jednom točkom i dva pojedinačna ortogonalna vektora. Zato vidite stolicu u kojoj sam uvijek bio geometrijski problemiČesto (ali ne uvijek) crtaju se i vektori i koordinatne osi.

Mislim da je svima jasno da iza dodatne točke (koordinate) i ortonormirane baze BE točka ravnine i BE vektor ravnine Možete pristupiti koordinatama. Slikovito rečeno, “sve što je na kvadratu može se nabrojati”.

Zašto bi koordinatni vektori bili jednostruki? Ne, mogu platiti dosta novca. Pogledajmo točku i dva ortogonalna vektora značajne vrijednosti različite od nule:

Takva osnova se zove ortogonalni. Skup koordinata s vektorima definira koordinatnu mrežu, a bilo koja točka na ravnini ili bilo koji vektor prati svoje koordinate u ovoj bazi. Na primjer, chi. Očita nedosljednost leži u činjenici da koordinatni vektori na zagalnom vipadku Postoje različiti dovzhini, podijeljeni u jedan. Čim jedinice ojačaju, pojavljuje se primarna ortonormirana baza.

! Bilješka : U ortogonalnoj bazi, a također niže u afinoj bazi, uzimaju se u obzir površina i prostor jedinica duž osi mentalno. Na primjer, u jednoj jedinici na apscisnoj osi nalazi se 4 cm, u jednoj jedinici na ordinatnoj osi 2 cm. Ovaj podatak dovoljan je za svaku potrebu pretvaranja “nestandardnih” koordinata u “naše originalne centimetre”.

I još jedna namirnica, koja je već dokazano točna - zašto je potrebno dodati 90 stupnjeva između baznih vektora? Ne! Kako odrediti značenje, bazne vektore krivnje nekolinearniji. Očito, može biti bilo gdje između 0 i 180 stupnjeva.

Točka ravnine zove se kob koordinata, і nekolinearan vektori, , set afini koordinatni sustav ravnine :

Ponekad se ovaj koordinatni sustav naziva kosokutny sustav. Kao stražnjica na stolici slika točke i vektora:

Kao što možete zamisliti, afini koordinatni sustav još je manje ručan; on ne obrađuje formule za udvostručenje vektora i dijeljenja, kao što smo vidjeli u drugom dijelu lekcije Vektori za lutke, Bogato ukusne formule povezane s skalarno stvaranje vektora. Tu su zatim pravila za zbrajanje vektora i množenje vektora brojem, formule za dijeljenje odsječka u zadanoj relaciji, kao i druge vrste zadataka koje ćemo uskoro pogledati.

A kruna je takva da je najbolje možemo rukom krstiti padom afini sustav koordinate je kartezijev pravocrtni sustav. To je, draga moja, ono što najčešće vidimo. ... No, sve je u čovjekovom životu jasno - temelji se na situaciji u kojoj je sama rijeka Kosokutna (ili kako Nabuda insha, npr. polarni) koordinatni sustav. Humanoidi mogu uživati ​​u takvim sustavima =)

Prijeđimo na praktični dio. Sve informacije u ovoj lekciji vrijede i za pravokutni koordinatni sustav i za kosi afini tip. Ovdje nema ništa komplicirano, sav je materijal dostupan školarcima.

Kako odrediti kolinearnost vektora površina?

Tipični bogataš. Da bismo to učinili, postoje dva vektora površine Ako su kolinearni, potrebno je i dovoljno da njihove relativne koordinate budu proporcionalne U biti, radi se o koordiniranom detaljiziranju očitog odnosa.

guza 1

a) Provjerite, kolinearni vektori .
b) Chi uspostavi bazne vektore ?

Odluka:
a) Jasno je što to znači za vektore koeficijent proporcionalnosti, tako da su jednakosti jednake:

Razjasnimo "duper" verziju ovog pravila, koja općenito funkcionira u praksi. Ideja je odmah promijeniti omjer i vidjeti je li to točno:

Dodamo udio iz linija koordinata vektora:

uskoro:
, Dakle, vanjske koordinate su proporcionalne, dakle,

Instalacija se može sklopiti i sklopiti, dakle ista opcija:

Za samoprovjeru možete koristiti činjenicu da su kolinearni vektori linearno izraženi jedan kroz jedan. U ovo vrijeme nazire se mjesto ljubomore . Njihova valjanost može se lako provjeriti kroz elementarne radnje s vektorima:

b) Dva vektora površine stvaraju bazu jer nisu kolinearni (linearno neovisni). Moguće je provjeriti kolinearnost vektora . Slažemo sustav:

Od prvoga je trag, od drugoga je trag, što znači sustav je apsurdan(Nema rješenja). Dakle, relativne koordinate vektora nisu proporcionalne.

visnovok: Vektori su linearno neovisni i čine bazu.

Pojednostavljena verzija rješenja izgleda ovako:

Omjer zbrajamo iz odgovarajućih koordinata vektora :
To znači da su ti vektori linearno neovisni i čine bazu.

Uvjerite se da recenzenti ne odbiju ovu opciju, inače će se problem pojaviti u ovim situacijama ako koordinate dosegnu nulu. Os je ovakva: . Ili ovako: . Ili ovako: . Kako radimo kroz proporcije? (Naravno, ne možete dijeliti s nulom). Iz tih sam razloga pojednostavljeno rješenje nazvao "budalastim".

dokaz: a), b) ustvrditi.

Mala kreativna guzica za neovisna odluka:

guza 2

Za bilo koju vrijednost vektorskog parametra hoće li biti kolinearnosti?

Rješenje ima parametar rješenja za pronalaženje proporcije.

Otkriva sofisticiranu algebarsku metodu za provjeru kolinearnosti vektora. Naše znanje sistematiziramo s petom točkom neposredno prije toga:

Za dva vektora površine, ekvivalentni koraci otvrdnjavanja:

2) vektori definiraju bazu;
3) vektori NISU kolinearni;

+ 5) primarni, dodatak iz koordinata ovih vektora, podređen nuli.

očito, ekvivalentna tvrdoća stopala i kreveta:
1) linearni vektori;
2) vektori nisu jednaki bazi;
3) vektori su kolinearni;
4) vektori se mogu linearno izračunati jedan kroz drugi;
+ 5) primarni, dodatak iz koordinata ovih vektora, jednak nuli.

U to sam već uvjeren Danski trenutak Već ste razumjeli sve pojmove i definicije.

Pogledajmo pobliže novu, petu točku: dva vektora površine Kolinearne metode i samo one, ako je ishodište, savijene su iz koordinata ovih vektora, u odnosu na nulu:. Da biste dovršili ove znakove, naravno, morate imati na umu znati i pobjednici.

virishimo Guza 1 na drugi način:

a) Kovarijata adicija iz koordinata vektora je izračunljiva :
, To znači da su zadani vektori kolinearni.

b) Dva vektora površine stvaraju bazu jer nisu kolinearni (linearno neovisni). Izračunljivi predznak, dodaci iz koordinata vektora :
To znači da su vektori linearno neovisni i tvore bazu.

dokaz: a), b) ustvrditi.

Izgleda puno kompaktnije i ljepše, s boljim proporcijama.

Na temelju gornjeg materijala moguće je utvrditi ne samo kolinearnost vektora, već i paralelnost presjeka i ravnih linija. Pogledajmo nekoliko dizajna s određenim geometrijskim figurama.

guza 3

S obzirom na vrhove Chotirikutnik. Recimo da je hotirikutnik paralelogram.

Gotovo: Neće biti potrebe za foteljama, sve dok će odluka biti čisto analitička. Pogodimo značenje paralelograma:
paralelogram Zove se čotirikutnik, čije su isturene strane po parovima paralelne.

Na ovaj način potrebno je prenijeti:
1) paralelizam suprotnih strana i;
2) paralelizam suprotnih stranica i.

priopćeno:

1) Znamo vektore:

2) Znamo vektore:

Vyshov je isti vektor ("prema školi" - jednaki vektori). Kolinearnost je sasvim očita, ali bolje je odluku formulirati na jasan i organiziran način. Kovarijat dodataka iz koordinata vektora je izračunljiv:
, To znači da su zadani vektori kolinearni, tj.

visnovok: Suprotne stranice breze su paralelne u parovima, što znači da postoji paralelogram izvan značenja. Što je trebalo iznijeti.

Više brojki, dobrih i loših:

guza 4

S obzirom na vrhove Chotirikutnik. Recimo da je chotirikutnik trapez.

Za potpuniju formulaciju dokaza, bolje je prvo nabaviti poseban trapez ili samo sjediti i samo pogoditi kako izgleda.

Ovo je za neovisne odluke. izvan odluke na kraju lekcije.

A sada je vrijeme da iz ravnice polako pređemo na otvoreno:

Kako odrediti kolinearnost vektora u prostoru?

Pravilo je vrlo slično. Da bi dva prostorna vektora bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da su njihove relativne koordinate proporcionalne.

guza 5

Znajte da će postojati kolinearni vektori i prostor:

A);
b)
V)

Odluka:
a) Provjerimo da je glavni koeficijent proporcionalnosti za odgovarajuće vektorske koordinate:

Sustav nema rješenja, što znači da vektori NISU kolinearni.

"Sproshchenka" je formalizirana obrnutim proporcijama. U ovom odjeljku:
- koordinate nisu proporcionalne, što znači da vektori NISU kolinearni.

dokaz: vektori NISU kolinearni.

b-c) Ove točke su za neovisne odluke. Isprobajte ga na dva različita načina.

Postoji metoda za provjeru kolinearnosti prostornih vektora i preko sličnosti trećeg reda, dajući metode za identificiranje statistike Vektorski dodatni vektori.

Slično ravnoj površini, razmatrani alat može se kombinirati s metodom praćenja paralelizma prostornih rezova i ravnih linija.

Ljubazno molimo za još jedan odjeljak:

Linearnost i neovisnost vektora u trivijalnom prostoru.
Prostorna baza i afini koordinatni sustav

Mnogi uzorci koje smo vidjeli na ravnici vrijedit će i na otvorenom. Pokušao sam minimizirati sažetak teorije, fragmenti lijevog dijela informacija već su otkriveni. Prote, preporučam da pažljivo pročitate uvodni dio, jer će se pojaviti novi pojmovi i pojmovi.

Sada, umjesto područja računalnog stola, postoji trodimenzionalni prostor. Stvorimo ovu osnovu od sada. Bilo da smo u uredu ili na ulici, što god se dogodilo, nemamo kamo otići pred tri svijeta: širinom, dužinom i visinom. Stoga su za formiranje baze potrebna tri prostorna vektora. Jedan ili dva vektora nisu dovoljni, četvrtine su odlične.

Opet ga gnječim na prstima. Budite ljubazni, podignite ruku i otvorite različite strane sjajno, impresivno i srednji prst . Bit će vektori, oni će se pojaviti na različitim stranama, oni će se kretati drugačije, i oni će biti različiti među sobom. Vidim, osnova trivijalnog prostranstva je spremna! Prije nego što progovorite, nema potrebe demonstrirati takvu izjavu, samo ne vrtite prstima i na kraju nećete nikamo otići =)

Da ti dam važnu hranu, bilo da se radi o tri vektora koji stvaraju osnovu trivijalnog prostora? Budite ljubazni, čvrsto pritisnite tri prsta na stranu stola računala. Što se dogodilo? Tri vektora su se kretala u jednoj ravnini i, grubo rečeno, izgubili smo jedan naš svijet - visinu. Takvi vektori komplanarni I, potpuno je očito da osnova trivijalnog prostora nije stvorena.

Treba napomenuti da koplanarni vektori ne moraju ležati u istoj ravnini, mogu postojati u paralelnim ravninama (samo ne dirajte ničije prste, baš kao Salvador Dali =)).

ugovoreni sastanak: Vektori su imenovani komplanarni, Kao što postoji ravnica, koja miriše paralelno. Ovdje je logično dodati da budući da takva ravnina ne postoji, vektori neće biti komplanarni.

Tri koplanarna vektora su linearna, Zatim se linearno izražavaju jedan kroz jedan. Jednostavnosti radi, ponovno je jasno da smrad leži u istoj ravnini. Prije svega, vektori, ne samo što su koplanarni, mogu biti i komplementarni kolinearnosti, tako da se svaki vektor može izraziti kroz bilo koji vektor. U drugom slučaju, budući da, na primjer, vektori NISU kolinearni, tada se treći vektor izražava kroz njih u jednom obliku: (Zašto, lako je zaključiti iz materijala u prednjem dijelu).

Pošteno je i odlučno: tri nekoplanarna vektora su inicijalno linearno neovisna, Da se svaki dan ne svađaju jedan za drugim. I, očito, samo takvi vektori mogu stvoriti osnovu trivijalnog prostora.

ugovoreni sastanak: Osnova trivijalnog prostora naziva se trio linearno neovisnih (nekomplanarnih) vektora, uzeta po redu pjesama, Bez obzira na vektor prostora u jednom rangu rastavljeno iz zadane baze, gdje su - koordinate vektora u ovoj bazi

Pretpostavljam, također možete reći da je vektor prikaza u pogledu linearna kombinacija bazni vektori.

Pojam koordinatnog sustava uvodi se na potpuno isti način kao i za ravnu plohu, dovoljna je jedna točka ili tri linearne nezavisni vektori:

kob koordinata, і nekoplanarni vektori, uzeta po redu pjesama, set afini koordinatni sustav trivijalnog prostora :

Naravno, "pletenica" koordinatne mreže nije sjajna za ruku, ali ništa manje, generirani koordinatni sustav omogućuje nam definitivno označavaju koordinate bilo kojeg vektora i koordinate bilo koje točke u prostoru. Slično ravnini, u afinom koordinatnom sustavu prostor ne uključuje iste formule o kojima sam već razmišljao.

Najvažnija i izravna definicija afinog koordinatnog sustava, kao što svatko može pogoditi, jest pravocrtni koordinatni sustav u prostor:

Točka prostora, kako se zove kob koordinata, і ortonormalan postaviti osnovu Kartezijev pravocrtni koordinatni sustav . Znam sliku:

Prije nego što prijeđemo na praktične zadatke, ponovno ćemo sistematizirati informacije:

Za tri vektora prostora, ekvivalentna napredovanja uporišta:
1) vektori su linearno neovisni;
2) vektori definiraju bazu;
3) vektori NISU komplanarni;
4) vektori se mogu linearno izračunati jedan kroz drugi;
5) primarni, preklapanje iz koordinata ovih vektora, podređenih nuli.

Dekubitusi su, mislim, došli na svoje.

Linearni položaj/neovisnost vektora u prostoru tradicionalno se provjerava uz pomoć dodatnog izvora (točka 5). Rashta praktičnih zadataka Izrazi će biti čisto algebarske prirode. Vrijeme je da objesite geometrijski ključ na cvijeće i zamahnete linearnom algebrom bejzbolskom palicom:

Tri vektora prostora komplanarnost ove i samo ove, ako je ishodište, koordinata ovih vektora jednaka nuli: .

Želio bih vam skrenuti pozornost na malu tehničku nijansu: koordinate vektora mogu se pisati ne samo u stupcima, već i u redovima (vrijednosti primarne vrijednosti se ne mijenjaju - pogledajte Snaga primarne). Ale je puno ljepši u svim aspektima, pa je stoga pogodniji za obavljanje mnogih praktičnih zadataka.

Onim čitateljima koji su zaboravili metode razgradnje primarnih likova i koji su se možda u njima slabo orijentirali, preporučujem jednu od svojih najstarijih lekcija: Kako izračunati stanje gotovine?

guza 6

Provjerite čine li sljedeći vektori bazu trivijalnog prostora:

Odluka: Zapravo, sve se odluke svode na odbitak fiducije.

a) Kovarijata nabora iz koordinata vektora je izračunljiva (izvođenje kriterija u prvom redu):

To znači da su vektori linearno neovisni (NE komplanarnost) i stvaraju osnovu trivijalnog prostora.

Potvrda: Vektori podataka stvaraju osnovu

b) Ovo je točka za neovisne odluke. Više rješenja i zaključaka na kraju lekcije.

Budite kreativni i kreativni:

guza 7

Pri kojoj će vrijednosti parametra vektori biti komplanarni?

Odluka: Vektori su komplanarni i samo tada, ako je ishodište koordinata tih vektora jednako nuli:

U biti, potrebno je održavati blizak odnos s vođom. Do nula dolazimo kao trikovi na jerbou - najočitije je otvoriti ga u drugom redu i odmah doći do minusa:

Provodimo daljnje pojednostavljenje i reduciramo s desna na najjednostavniju linearnu jednadžbu:

Potvrda: na

Ovdje je lako izvršiti poništavanje, za što trebate staviti ekstrahirane vrijednosti u izlazni izvor i ponovno pretvoriti, tako , Rozkrivshi yogo opet.

Pogledajmo još jedan prije nego što završimo tipičan zadatak, Više je algebarske prirode i tradicionalno je uključen u kolegij linearne algebre. Vrh stola je širok, što zaslužuje susjedni vrh:

Dovedite da 3 vektora stvaraju osnovu trivijalnog prostora
te znati koordinate 4. vektora u ovoj bazi

guzica 8

Zadani vektori. Pokažite da vektori čine bazu trivijalnog prostora i pronađite koordinate vektora u toj bazi.

Odluka: Prije svega, riješimo to. Iza uma postoji nekoliko vektora i, kao što vidite, oni već imaju koordinate u istoj bazi. Ovo je osnova - nemojte nas gnjaviti. I jasno je: tri vektora mogu stvoriti novu osnovu. Prva faza je potpuno izbjegnuta iz rješenja primjera 6, potrebno je provjeriti vrijede li linearno neovisni vektori:

Kovarijat dodataka iz koordinata vektora je izračunljiv:

To znači da su vektori linearno neovisni i čine osnovu trivijalnog prostora.

! s poštovanjem : Koordinate vektora obov'yazkovo za pisanje u stotini prvi, a ne u redovima. Inače će doći do zabune u daljnjem algoritmu odlučivanja.

Drugim riječima, linearna pojava skupine vektora znači da postoji srednji vektor koji se može identificirati linearnom kombinacijom drugih vektora u istoj skupini.

Prihvatljiv. zatim

isti vektor x linearno ležeći s vektorima ove grupe.

vektori x, g, ..., z nazivaju se linearno nezavisni vektori, Zbog revnosti (0) teče, koji

α=β= ...= γ=0.

Tada su skupine vektora linearno neovisne, budući da se dati vektor ne može prikazati linearnom kombinacijom drugih vektora iste skupine.

Vrijednost linearnog položaja vektora

Dodijelimo m vektora u redovima za red n:

Nakon što smo prikupili Gausovljevu krivnju, vodimo matricu (2) na gornji trikutani pogled. Elementi preostalog stupca mijenjaju se samo ako se redovi preurede. Nakon m prečaca, isključivanje se može poništiti:

de ja 1 , ja 2 , ..., ja m - indeksi redaka, uklonjeni u slučaju mogućeg preuređivanja redaka. Promatranje redaka iz indeksa reda uključuje one koji predstavljaju nulti vektor retka. Reshta redovi stvaraju linearno neovisne vektore. Značajno je da je presavijenom matricom (2) mijenjajući slijed vektora retka moguće dobiti još jednu grupu linearno neovisnih vektora. Ale podprostír, yaku resentment ci grupe vektora se izbjegavaju.