Toisin sanoen vektoriryhmän lineaarisuus tarkoittaa, että on olemassa keskimmäinen vektori, joka voidaan esittää ryhmän muiden vektorien lineaarisella yhdistelmällä.

Hyväksyttävä. Todi

Otze-vektori x lineaarinen kesanto іz vectorіv ієї ryhmä.

Vektorit x, y, ..., z kutsutaan lineaariseksi itsenäiset vektorit, tasapuolisuuden (0) vuoksi näet sen

α=β= ...= γ=0.

Vektoriryhmät ovat siis lineaarisesti riippumattomia, joten vektori voidaan esittää lineaarisella yhdistelmällä muita samassa ryhmässä olevia vektoreita.

Vektorien lineaarisen esiintymisen nimitys

Olkoon m vektoria riveissä järjestyksessä n:

Lisättyään Gaussin vinyatokin nostamme matriisin (2) ylempään trikoonäkymään. Muun sarakkeen elementit muuttuvat vain kerran, jos rivit järjestetään uudelleen. M lyhyiden käännösten jälkeen otamme:

de i 1 , i 2 , ..., i m - rivien indeksit, poistettu mahdollisen rivien uudelleenjärjestelyn varalta. Katkaistuja rivejä katsottuna rivien indekseistä, mukaan lukien t, yak se ilmaistaan ​​rivien nollavektorilla. Pois jätetyt rivit muodostavat lineaarisesti riippumattomia vektoreita. Merkittävää on, että koska taittomatriisit (2) muuttavat vektoreiden järjestystä rivissä, on mahdollista valita toinen ryhmä lineaarisesti riippumattomia vektoreita. Ale pіdprostіr, millaisia ​​loukkauksia ovat vektoreiden ryhmät utvoryyuyut zbіgayutsya.

Vektorien lineaarinen riippumattomuus ja lineaarinen riippumattomuus.
Vektoripohjat. Ateenan koordinaattijärjestelmä

Auditoriossa on paljon suklaata, ja pari lakritsia poistetaan tänään ihosilmään - analyyttinen geometria lineaarialgebralla. Tämä artikkeli jaetaan kahteen osaan edistynyt matematiikka, ja ihmettelemme kuinka hajut tottuu yhteen kukkulaan. Pidä tauko, s'zh "Tviks"! ... kulta, no, super pieni tyttö. Jos haluan, en tee maaleja, olen pahoillani, minulla voi olla positiivinen tunnelma harjoitteluun.

Vektorien lineaarinen kesanto, vektorien lineaarinen riippumattomuus, vektoripohjalta tuo termi ei voi olla vain geometrinen tulkinta, vaan ennen kaikkea algebrallinen zmist. Itse "vektorin" käsite lineaarialgebran näkökulmasta ei ole kaukana samasta kuin "ylempi" vektori, jota voimme esittää avaruuden tasolla. Sinun ei tarvitse mennä kauas todisteeksi, yritä maalata viisiulotteisen avaruuden vektori. . Abo vain odota, joillekin kävin Gіsmeteossa: - lämpötila ja ilmanpaine ovat hyvät. Butt ei tietenkään ole oikea vektoriavaruuden auktoriteetin näkökulmasta, prote nіhto ei estä tietojen formalisointia parametreilla ja vektorilla. Syksyn henkeä.

Hei, en yritä houkutella sinua teorialla, lineaarisilla vektoriavaruuksilla, ongelmana on, että ymmärtää tuon lauseen määritelmä. Uudet termit (lineaarinen talletus, riippumattomuus, lineaarinen yhdistelmä, kanta jne.) ovat adjektiiveja kaikille vektoreille algebran näkökulmasta, mutta sovellus annetaan geometrisesti. Tässä luokassa kaikki on yksinkertaista, se on saatavilla ensi silmäyksellä. Krіm zavdanin analyyttistä geometriaa pidetään tyypillisenä algebran tehtävänä. Materiaalin hallitsemiseksi on tarpeen oppia oppitunnit Vektorit teekannuilleі Kuinka laskea?

Lineaarinen kesanto ja vektorin riippumattomuus tasossa.
Pinta-ala ja affiniteettikoordinaattijärjestelmä

Katsotaanpa aluettasi Tietokonepöytä(vain pöytä, yöpöydät, sänkytukit, steles, kuka tarvitsee). Alan johtaja lähipäivinä:

1) Valitse aluepohja. Karkeasti näyttää siltä, ​​että stylnitsa voi olla pitkä ja leveä, joten intuitiivisesti tajuttiin, että perustan indusoimiseen tarvitaan kaksi vektoria. Yksi vektori ei selvästikään riitä, kolme vektoria ovat zayva.

2) Käänteisen perusteella aseta koordinaattijärjestelmä(koordinaattiruudukko) määrittääksesi koordinaatit kaikille taulukossa oleville objekteille.

Älä ihmettele, selitys on sormilla. Ja sinun päälläsi. Ole kiltti, anna anteeksi vasemman käden ilmeikäs sormi tyylin reunaan niin, että ihmettelin näyttöä. Tse on vektori. Nyt paikka oikean käden pikkusormi pöydän reunalla juuri niin - schob buv suoristaminen monitorin näytöllä. Tse on vektori. Hymyile, näytät upealta! Mitä voit sanoa vektoreista? Datavektorit kollineaarinen, joka tarkoittaa lineaarisesti käännä yksi kerrallaan:
, no, chi navpaki: , de - deake numero, vіdmіnne vіd nolla.

Kuvaa, minkä toiminnon voi katsoa oppitunnilla Vektorit teekannuille De selitin säännön kertoa vektori luvulla.

Chi asettavatko sormesi perustan tietokonepöydälle? Ilmeisesti ei. Kolіnearnі vektorit ja hinnannousu siellä täällä yksin suoraan eteenpäin, ja alue voi olla pidempi ja leveämpi.

Tällaisia ​​vektoreita kutsutaan lineaarinen kesanto.

Johtopäätös: Sanat "lineaarinen", "lineaarinen" tarkoittavat asioita, jotka ovat matemaattisesti yhtä suuria, joissa ei ole neliöitä, kuutioita, muita askelia, logaritmeja, sinejä. Є tіlki linіynі (1. vaihe) kesantoa vastaan.

Kaksi vektoritasoa lineaariset talletukset silloin ja vain silloin, jos haju on kollineaarinen.

Aseta sormesi ristiin pöydälle, jotta niiden välissä olet kuin Krim-leikkaus 0 tai 180 astetta. Kaksi vektoritasoalineaarisesti ei vanhentunut siinä ja vähemmän, koska haju ei ole kollineaarinen. Otzhe, perusta on otettu pois. Sinun ei tarvitse huolehtia siitä, että näkemysten pohjaa "niitetään" eripituisilla ei-suoralla vektoreilla. Minulle ei ole harvinaista, että joogassa lisäys ei ole vain 90 astetta, eikä vain yksittäinen, sama kuin vanha vektori.

Ole-yaky litteä vektori yksi arvo laajennettu perusteiden mukaan:
, de - dіysnі numerot. Soita numeroihin vektorin koordinaatit millä perusteella.

Joten näyttää siltä vektoriesityksiä näköalalla lineaarinen yhdistelmä kantavektorit. Tobto viraz on nimeltään vektori asetteluperusta tai lineaarinen yhdistelmä perusvektorit.

Voidaan esimerkiksi sanoa, että asettelujen vektori on tason ortonormaalin kannan takana, tai voidaan sanoa, että vektoreiden lineaariyhdistelmän esitykset ovat vääriä.

Muotoile toimeksianto perustalle muodollisesti: Alueen perusta kutsutaan paria lineaarisesti riippumattomia (ei-kollineaarisia) vektoreita, , jossa olla niinkuin Tasovektori on perusvektorien lineaarinen yhdistelmä.

Nimittämisen hetki on se, että vektorit otetaan laulujen järjestyksessä. Basisi - On olemassa kaksi täysin erilaista pohjaa! Näyttää siltä, ​​​​että vasemman käden pikkusormea ​​ei voi siirtää oikean käden pikkusormeen.

Olemme selvittäneet perusteet, mutta vieläkään ei riitä koordinaattiruudukon asettaminen ja koordinaattien osoittaminen tietokonetaulukon skin-objektille. miksi missasit? Vektorit є vіlnimi ja hämärtyvät koko tasossa. Kuinka sitten houkutella koordinaatit näihin pieniin vaelluspisteisiin pöydällä, jotka ovat hukassa riehakkaan viikonlopun jälkeen? Vaadittu ohje. І tällainen maamerkki on kaikille tuttu piste - koordinaattien tähkä. Se valitaan koordinaattijärjestelmästä:

Aloitan "koulujärjestöistä". Jo johdantotunnilla Vektorit teekannuille Näin suorakaiteen muotoisen koordinaatiston ja ortonormaalin perustan väliset tunnistuskirjat. Akselin vakiokuva:

Kun puhutaan suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä, silloin on yleisintä käyttää koordinaattien tähkä, koordinaattiakselia ja asteikkoa akseleita pitkin. Yritä kirjoittaa hakujärjestelmään "suorakulmainen koordinaattijärjestelmä", niin kerrot minulle, että sinun kannattaa kertoa sinulle koordinaattiakselin 5-6 luokan tiedosta ja siitä, miten pisteet asetetaan tasoon.

Toisaalta on olemassa vaikutus, että suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä voidaan määritellä kokonaisuutena ortonormaalisen perustan kautta. І tse mayzhe niin. Kaava kuulostaa tältä:

koordinaattien tähkä, і ortonormalisointi asettaa perustan Tason suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä . Se on suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä ehdottomasti on esitetty yhdellä pisteellä ja kahdella yksittäisellä ortogonaalisella vektorilla. Juuri tästä syystä tarvitset tuolin, kuten olen tiputtanut vishche - in geometrisia ongelmia usein (tosin ei zavzhd) maalaa і vektoreita, і koordinaattiakseleita.

Luulen, että kaikki ymmärsivät sen lisäpisteelle (koordinaattitähkä), joka on ortonormaali perustaan ​​nähden alueen BE-YAKIY POINTS ja alueen BE-YAKIYA VECTOR voit määrittää koordinaatit. Kuvannollisesti, ilmeisesti "kaikki voidaan numeroida ruudulla".

Voivatko koordinaattivektorit olla yksittäisiä? Nі, haista voi äiti dovіlnu ei-nolla dovzhina. Tarkastellaan pistettä ja kahta ortogonaalista vektoria ja melko nollasta poikkeavia arvoja:

Tällaista perustaa kutsutaan ortogonaalinen. Koordinaattien tähkä vektoreilla asettaa koordinaattiruudukon, ja olipa se tason piste, olipa se vektori, joka kirjoittaa koordinaatit tähän kantaan. Esimerkiksi tai. Ilmeinen sopimattomuus piilee siinä, että koordinaattivektorit mäen huipulla surra eri elämiä, vіdminnі vіd odinitsі. Yksinäisyyden parantamiseksi on olemassa ensisijainen ortonormaali perusta.

! Huomautus : ortogonaalisessa pohjassa ja myös alemmassa Ateenan kannassa otetaan huomioon tasot ja yhden avaruus akseleilla UMOVIMI. Esimerkiksi yhdessä yksikössä abskissa-akselia pitkin on 4 cm, yhdessä yksikössä ordinaatta-akselia pitkin 2 cm.

Ja muuta ruokaa, jakilla, on totta, että vastaus on annettu - mikä obov'azkovo kut perusvektorien välillä voi saavuttaa 90 astetta? Moi! Tapaamisen vahvistaminen, perusvektorit ja maksut vähemmän kuin ei-kollineaarinen. Vіdpovidno kut mozhe buti be-yakim, krіm 0 ja 180 astetta.

Tason piste, kuten sitä kutsutaan koordinaattien tähkä, і ei-kolineaarinen vectori, , aseta tason affiininen koordinaattijärjestelmä :

Toisin sanoen tällaista koordinaattijärjestelmää kutsutaan punottu järjestelmä. Pisteiden ja vektoreiden lisääminen nojatuolikuvaan:

Kuten tiedät, Ateenan koordinaattijärjestelmä on vähemmän helppo, he eivät käytä kaavoja vektoreille ja vdrіzkiville, kuten katsoimme oppitunnin toisessa osassa Vektorit teekannuille, runsaasti suolaisia ​​kaavoja, pov'yazanі z vektorien skalaariluominen. Sitten on reilut säännöt vektorin taittamiseen ja vektorin kertomiseen luvulla, kaavat tiettyyn lausekkeeseen jakamiseen ja myös tehtävien deakointiin, joita voimme helposti tarkastella.

Ja sellainen visnovok affiniteettijärjestelmä koordinaattien on suorakulmainen suorakaiteen muotoinen järjestelmä. Siihen її, mieluummin, useimmiten ja tuodaan bachitiin. ... Sillä välin tässä elämässä kaikki on selvää - on vähän tilanteita, joissa itse joki on vinossa (muuten esim. napainen) koordinaattijärjestelmä. Nuo humanoidit voivat nauttia sellaisista järjestelmistä =)

Siirrytään käytännön osaan. Usі zavdannya tämä oppitunti on aivan kuten suorakulmainen koordinaattijärjestelmä, joten zagalnogo Ateenan vpadku. Täällä ei ole mitään kokoontaitettavaa, kaikki materiaali on koulupojan saatavilla.

Miten määritellään vektorin kollineaarisuus tasossa?

Tyypillinen joki. Jotta olisi kaksi vektoria ja aluetta oltava kollineaarisia, tarpeellisia ja riittäviä, jotta niiden asianmukaiset koordinaatit olisivat suhteellisia. Itse asiassa tämä on koordinaattien yksityiskohdat ilmeisen spivvіdnoshenya.

peppu 1

a) Käänteiset chi-kollineaariset vektorit .
b) Chi määrittää vektorin perustan ?

Ratkaisu:
a) Miksi, mikä pätee vektoreille suhteellisuuskerroin siten, että yhtäläiset voittivat:

Obov'yazkovo rozpovіm noin "pіzhonskiy" raznovidny zastosuvannya tsgogo säännöt, yakiy prokochuє käytännössä. Ajatuksena on, että lasket välittömästi osuuden ja mietit, oletko oikeassa:

Lisätään vektorien annettujen koordinaattien osuus:

pian:
, tässä järjestyksessä vastaavat koordinaatit ovat verrannollisia,

Asetus voidaan taittaa ja taittaa alas, arvokas vaihtoehto:

Itsetarkistusta varten voit omituistaa ne, jotka ovat kollineaarisia vektoreita, ja taivuttaa lineaarisesti yhden läpi. Tästä näkökulmasta vastaavuuden paikka on olemassa . Oikeudenmukaisuutesi on helposti perveryaetsya alkeisjaon kautta vektoreilla:

b) Kaksi vektoria ja tasoa muodostavat perustan, ikään kuin ne olisivat kollineaarisia (lineaarisesti riippumattomia). Doslіdzhuєmo on kolіnearnіst vektori . Rakennetaan järjestelmä:

Ensimmäisestä tasa-arvoisesta huudat sho, toiselta tasa-arvoiselta syljet, sho, järjestelmä on hullu(Ratkaisua ei ole). Tällä tavalla vektorien vastaavat koordinaatit eivät ole verrannollisia.

Visnovok: vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia ja muodostavat perustan.

Ratkaisun yksinkertaistettu versio näyttää tältä:

Lisäämme vektorien annettujen koordinaattien osuuden :
, Otzhe, qi vektorit ja lineaarisesti riippumaton ja perustaa.

Soita tätä vaihtoehtoa, jos haluat hylätä arvioijat, mutta syyttää ongelmaa virheistä, jos koordinaatit ovat nolla. akseli näin: . Abo näin: . Abo näin: . Kuinka voin työskennellä täällä suhteellisesti? (Todellakin, et voi jakaa nollalla). Samasta syystä kutsuin yksinkertaisempaa ratkaisua "pizhonskyksi".

Ehdotus: a), b) hyväksyä.

Pieni luova peppu itsenäinen ratkaisu:

peppu 2

Mikä tahansa vektoriparametrin arvo tuleeko olemaan kollineaarinen?

Ratkaisua varten parametri löydetään suhteessa.

Käytämme vektorien uudelleentodennuksen algebran menetelmää kollineaarisuudelle.

Kahdelle vektorille vastaavan kovuuden alueella:

2) vektorit ja perustan;
3) vektorit eivät ole kollineaarisia;

+ 5) oskillaattori, taittuu näiden vektorien koordinaateista, vіdminny vіd nolla.

Vidpovidno, vastaava jalan venyvä kovuus:
1) vektori- ja lineaarikerrostumat;
2) vektorit eivät täytä perustetta;
3) vektorit ja kollineaarit;
4) vektorit voidaan kääntää lineaarisesti yhdestä toiseen;
+ 5) vektori, taittuu näiden vektorien koordinaateista, mikä johtaa nollaan.

Olen jo vakuuttunut siitä annettu hetki olet jo ymmärtänyt kaikki termit, jotka olet oppinut ja vahvistanut.

Katsotaanpa uutta raporttia, viides kappale: kaksi vektoria ja litteitä kolіnearnі thodі і tіlki tіlki tоdі, jos vyznachnik, taittuu näiden vector_v, do_vnyuє nollan koordinaateista:. Jotta zastosuvannya tsієї merkkejä, luonnollisesti on tarpeen muistaa tunne visionäärit.

Virishima Esimerkki 1 eri tavalla:

a) Vektorien lukumäärän laskeminen, vektorien koordinaatit yhteenlaskeminen :
, Otzhe, tsі vektorit ja kolіnearnі.

b) Kaksi vektoria ja tasoa muodostavat perustan, ikään kuin ne olisivat kollineaarisia (lineaarisesti riippumattomia). Vektorien lukumäärän laskeminen, vektorien koordinaattien taittaminen :
, Otzhe, vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia ja muodostavat perustan.

Ehdotus: a), b) hyväksyä.

Näyttää huomattavasti kompaktimmalta ja kauniimmalta, pienempi ratkaisu mittasuhteineen.

Tutkitun materiaalin avulla on mahdollista määrittää vektorien kollineaarisuus ja myös tuoda vdrіzkіv, suorien viivojen yhdensuuntaisuus. Katsotaanpa pari tehtävää tietyistä geometrisista muodoista.

peppu 3

Koska chotirikutnikin yläosat. Tuo, että chotirikutnik on suuntaviiva.

Tuominen: Tehtävässä ei tarvita nojatuolia, ratkaisun sirpaleet ovat puhtaasti analyyttisiä
suunnikas kutsutaan chotirikutnikiksi, jolla on vastakkaiset sivut pareittain rinnakkain.

Tässä järjestyksessä sinun on tuotava:
1) vastakkaisten sivujen yhdensuuntaisuus;
2) vastakkaisten sivujen yhdensuuntaisuus.

Me tuomme:

1) Tiedämme vektorit:

2) Tiedämme vektorit:

Viyshov on sama vektori ("koulun mukaan" - yhtäläiset vektorit). Kolіnearnіst on jo ilmeinen, mutta on parempi järjestää ratkaisu kunnolla, järjestelyn kanssa. Lasketaan vektorien lukumäärä taittamalla vektorien koordinaatit:
, Otzhe, qі vektorit ja kollinearnі, i .

Visnovok: Protilezhnі sivut chotirikutnik pareittain rinnakkain, otzhe, vіn є suunnikkaat tapaamisia varten. Mitä tuomiseen tarvittiin.

Lisää hyviä lukuja:

peppu 4

Koska chotirikutnikin yläosat. Tuoda, scho chotirikutnik є trapezієyu.

Todista se kauniisti, upeammin, piirrä puolisuunnikkaan merkintä ja täytä se ja arvaa vain, kuin katsoisit ulos.

Tse zavdannya itsenäinen ratkaisu. Ulkoinen ratkaisu kuin oppitunti.

Ja nyt on tullut aika pikkuhiljaa siirtyä asunnosta avoimeen:

Kuinka määritellä vektorin kollineaarisuus avaruudessa?

Sääntö on samanlainen. Jotta kaksi vektoria avaruuteen olisivat kollineaariset, on välttämätöntä ja riittävää, että niiden vastaavat koordinaatit ovat verrannollisia.

peppu 5

Z'yasuvati, chi kolіnearnі edistävät vektoreita ja tilaa:

mutta);
b)
sisään)

Ratkaisu:
a) Käänteisesti chi on vektorien eri koordinaattien suhteellisuuskerroin:

Järjestelmää ei voida ratkaista, joten vektorit eivät ole kollineaarisia.

"Sproschenka" valmistetaan suhteellisesti uudelleen. Tässä näkymässä:
– suhteelliset koordinaatit eivät ole verrannollisia, joten vektorit eivät ole kollineaarisia.

Ehdotus: vektorit eivät ole kollineaarisia.

b-c) Nämä ovat itsenäisen päätöksen kohdat. Yritä sisustaa jooga kahdella tavalla.

Käytä menetelmää avaruusvektorien uudelleentodentamiseksi kolineaarisuudelle kolmannen asteen muuttujan kautta, tämä menetelmä on esitetty artikkelissa Vector TV-vektori.

Samoin kuin tasainen näkymä työkalujen näkyvistä, se voi olla pysähtynyt menetelmällä, jolla säilytetään avointen tilojen ja suorien linjojen yhdensuuntaisuus.

Pyydämme sinua ystävällisesti toiseen divisioonaan:

Lineaarinen vanheneminen ja riippumattomuus ovat vektoreita trivimeeriavaruudessa.
Tilava pohja- ja affiniteettikoordinaattijärjestelmä

Monet lait, kuten olemme nähneet aukiolla, ovat oikeudenmukaisia ​​ja tilavia. Yritin minimoida teorian synopsiksen, tiedon vasemman osan palaset on jo purettu. Tim ei ole vähempää, suosittelen, että luet johdanto-osan kunnioittavasti, sirpaleet ovat uusia termejä ja ymmärrät.

Nyt tietokonepöydän alueen korvaaminen laajenee kolmiulotteiseen tilaan. Luodaan joogaperusta. Kuka tietää kerrallaan talossa, kuka on kaduilla, mutta joka tapauksessa emme voi mennä minnekään kolmessa maailmassa: leveys, pituus ja korkeus. Siksi kannan indusoimiseksi tarvitaan kolme avaruusvektoria. Yksi tai kaksi vektoria ei riitä, neljännekset ovat zayvi.

Olen jälleen rozminaєmos sormissa. Ole ystävällinen, nosta kätesi ylämäkeen ja nosta näppylä eri puolilta mahtavaa, vaikuttavaa keskisormi . Tse on vektoreita, haju ihmettelee eri puolia, suree eri dozhinaa ja suree eri kuteja keskenään. Vitayu, trivimir-avaruuden perusta on valmis! Ennen puhetta ei ole tarpeen osoittaa sellaisia ​​vikladakkeja, kuten älä väännä sormiasi, mutta et voi mennä minnekään =)

Laitetaan tärkeä ateria, olla kuin kolme vektoria ja tyydyttävät trivi-maailmallisen avaruuden perustan? Ole ystävällinen, purista kolme sormea ​​lujasti tietokoneen pöytään. Mitä tapahtui? Kolme vektoria vaelsi samassa tasossa, ja karkeasti näyttää siltä, ​​että meillä on yksi merkki vimirivistä - korkeus. Sellaisia ​​vektoreita koplanaarinen Ja on aivan ilmeistä, että trivimeerisen avaruuden perustaa ei voida luoda.

On syytä huomata, että samantasoiset vektorit ja mitään väärää ovat samassa tasossa, ne voivat olla yhdensuuntaisissa tasoissa (yritä vain työskennellä sormillasi, jotta Salvador Dali kiertyisi vähemmän =)).

Nimittäminen: vektorit on nimetty koplanaarinen kuin oikea asunto, kuin rinnakkaishaju. Tässä on loogista lisätä, että jos tällaista aluetta ei ole, vektorit eivät ole samassa tasossa.

Kolme koplanaarista vektoria ja lineaarista kerrostumaa tobto lineaarisesti vrazhayutsya yksi kerrallaan. Yksinkertaisuuden vuoksi on jälleen hyväksyttävää, että haju on samassa asunnossa. Ensinnäkin vektorit, eikä vain sitä, ne ovat samantasoisia, ne voivat olla kollineaarisempia, vaikka vektori voidaan nähdä vektorin läpi. Toisella tavalla esimerkiksi vektorit eivät ole kollineaarisia, jolloin kolmas vektori kääntyy niiden läpi yhdessä järjestyksessä: (ja miksi se on helppo arvata edellisen jaon materiaaleista).

Reilu on väitteen palautus: kolme ei-koplanaarista vektoria ja lineaarisesti riippumaton vektori, tobto jo n_yak ei vrazhayutsya yksi kerrallaan. Olen ilmeisesti pienempi kuin sellaiset vektorit ja voin tyydyttää triviaalin laajuuden perustan.

Nimittäminen: Perusta trivimirnogo lakeus jota kutsutaan lineaarisesti riippumattomien (ei-koplanaaristen) vektoreiden trioksi, otettu laulujärjestyksestä milloin tahansa, olipa kyseessä avoimen tilan vektori yksi arvo levitetty tietylle perustalle, vektorin koordinaatit tietyssä kannassa

Arvaamalla voidaan myös sanoa, että esitysten vektori lineaarinen yhdistelmä perusvektorit.

Koordinaatiston käsite esitellään samalla tavalla, kuten tasaiselle rinteelle riittää yksi piste ja kolme lineaarisesti riippumatonta vektoria:

koordinaattien tähkä, і ei-tasossa vectori, otettu laulujärjestyksestä, aseta affinnu trivi-maailmaavaruuden koordinaattijärjestelmä :

On selvää, että "punos"-koordinaattiruudukko ei ole kovin tehokas, mutta kehotettu koordinaattijärjestelmä antaa meille mahdollisuuden ehdottomasti määrittää minkä tahansa vektorin koordinaatit, jotka koordinaatit minkä tahansa avaruuden pisteen. Kuten tasossa, Ateenan koordinaatistossa avaruus ei kehitä samoja kaavoja, joista olen jo arvannut.

Ensisijaisin ja kätevin termi affiniteettikoordinaatistolle є suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä:

Osoita avaruuteen, kuten sitä kutsutaan koordinaattien tähkä, і ortonormalisointi asettaa perustan Suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä . Tunne kuva:

Ennen sitä, kuinka siirrytään käytännön tehtäviin, systematisoin tiedot uudelleen:

Kolmelle vektorille avaruudessa, joka vastaa samaa jäykkyyttä:
1) vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia;
2) vektorit ja perustan;
3) vektorit eivät ole samassa tasossa;
4) vektoreita ei voida kääntää lineaarisesti yksi kerrallaan;
5) vyznachnik, taittamalla näiden vektorien koordinaatit, vіdminny vіd nolla.

Protilezhnі vyslovlyuvannya, arvaa, zrozumіlі.

Vektorin lineaarista putoamista/riippumattomuutta avaruudessa tarkastellaan perinteisesti nimitetyn avuksi (kohta 5). Tі, koulu hävisi käytännön tehtäviä sisältää selkeän algebrallisen merkin ilmaisun. On aika ripustaa geometrinen avain kukille ja käyttää lineaarialgebran pesäpallomailaa:

Kolme vektoriavaruutta complanarnі thodі і tіlki tіlki tіlі, jos vyznachnik, taitetut koordinaatit danih vektor_v, do_vnyuє nolla : .

Kunnioitan pientä teknistä vivahdetta: vektorien koordinaatit voidaan tallentaa paitsi sarakkeeseen, myös riviin (vektorin arvo ei muutu - vektorien teho on hämmästyttävä). Ale rikkaampi on kauniimpi klo stovptsі, oskіlki tse vigіdnіshe joidenkin käytännön tehtävien suorittamiseen.

Tim lukijoille, jotka ovat unohtaneet rozrahunka vyznachniki -menetelmät tai ehkä he ovat heikosti orientoituneita niihin, suosittelen yhtä vanhimmista oppitunneistani: Kuinka laskea?

peppu 6

Varmista, että seuraavat vektorit muodostavat triviaalin laajuuden perustan:

Ratkaisu: Itse asiassa kaikki päätökset tehdään velallisen laskennan mukaan

a) Laske muuttuja laskostaen vektorin_v koordinaateista (ensimmäisen rivin laajennusmuuttuja):

, Otzhe, vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia (ei koplanaarisia) ja muodostavat triviaaliavaruuden perustan.

Vidpovid: annetut vektorit ja täyttävät perusteen

b) Tämä on itsenäisen päätöksen asia. Ulkoisesti ratkaisu on, että se on samanlainen kuin oppitunti.

Indeksointi- ja luovat työntekijät:

peppu 7

Millä parametrin arvolla vektorit ovat samantasoisia?

Ratkaisu: Vektorit ja koplanaarinen todі і tіlki tіlki dі, jos vyznachnik, näiden vektorien koordinaatit taittuvat nollaan:

Itse asiassa sen on oltava yhtä suuri kuin vyznachnik. Se on kaadettu nollien päälle kuin shulikit jerbooihin - navigaattorin merkkinä siitä, että eri rivissä ja rivissä selvitän, etsin miinuksia:

Suoritetaan lisälaajennus ja käännetään se oikealta yksinkertaisimpaan lineaariseen kohdistukseen:

Vidpovid: klo

Tässä on helppo sovittaa, minkä vuoksi on tarpeen perustella entisen virkailijan arvo ja harkita uudelleen , avaa jooga uudelleen.

Lopuksi katsomme vielä yhden tyypillisiä tehtäviä, joka on luonteeltaan algebrallisempi ja sisältyy perinteisesti lineaarialgebran kurssiin. Lattiaa on levennetty, mikä on ansiokas suurelle topalle:

Tuo 3 vektoria perustaa trivi-maailmaavaruuden perusta
ja tietää annetussa kannassa neljännen vektorin koordinaatit

peppu 8

Annettu vektori. Osoita, että vektorit täyttävät trivimeeriavaruuden kanta, ja tiedä missä kannassa olevan vektorin koordinaatit.

Ratkaisu: Takaosassa poimimme mielen Mielelle sille annetaan chotiri-vektorit, ja kuten Bachite, haju on jo mayut koordinaatteja samalla perusteella. Mikä on perusta - älä kiusaa meitä. Ja sanoakseni sellaista: kolme vektoria kokonaisuutena voivat muodostaa uuden perustan. Ensimmäinen vaihe perustuu jälleen liitteen 6 ratkaisuihin, on tarpeen tarkistaa, ovatko vektorit todella lineaarisesti riippumattomia:

Lasketaan vektorien lukumäärä taittamalla vektorien koordinaatit:

, Otzhe, vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia ja muodostavat perustan trivi-maailmalliselle avaruudelle.

! tärkeä : vektorin koordinaatit obov'azkovo tallennettavissa asemalla vyznachnika, ei riveissä. Muuten tulee huijaus kauempana algoritmeja rozvyazannya.

Vektorijärjestelmän lineaarisuuden ja riippumattomuuden käsitteet ovat vielä tärkeämpiä kuin vektorien algebra, niissä olevat sirpaleet perustuvat monimuotoisuuden ja avaruuden perustan ymmärtämiseen. Näissä tilastoissa meillä on ero, voimme tarkastella lineaarisen kesannoinnin ja riippumattomuuden voimaa, otamme pois algoritmin vektorijärjestelmän skaalaamiseksi lineaariseen kesantoon ja analysoimme yksityiskohtaisesti sovellusten ratkaisua.

Navigointi sivulla.

Vektorijärjestelmän lineaarisen kesanto ja lineaarinen riippumattomuus.

Katsotaanpa p n-virtuaalivektorien kokoelmaa, merkittävästi niiden tulevaa järjestystä. Näiden vektorien ja reaalilukujen lineaarisen yhdistelmän tallentaminen (dіysnih chi -kompleksi): . Riippuen operaatioiden nimeämisestä n-maailman vektoreille sekä operaatioiden tehosta taittaa vektori ja kertoa vektori luvulla, on mahdollista varmistaa, että lineaarinen yhdistelmä on kirjoitettu todelliseksi n-maailman vektoriksi , tobto.

Joten menimme vektorijärjestelmän lineaarisen kesannön määränpäähän.

Nimittäminen.

Tällainen lineaarinen yhdistelmä voi olla nollavektori, jos numerot ovat keskellä Jos haluat yhden, jos näet nollan, kutsutaan vektorijärjestelmää lineaarinen kesanto.

Nimittäminen.

Lineaarisena yhdistelmänä nollavektorin kanssa vain kerran, jos kaikki luvut yhtä suuri kuin nolla, niin kutsutaan vektorijärjestelmää lineaarisesti riippumaton.

Lineaarisen kesannoinnin ja itsenäisyyden voima.

Tietojen, ajanvarauksen perusteella muotoilemme, että voimme tuoda vektorijärjestelmän lineaarisen virheen dominanssi ja lineaarinen riippumattomuus.

Heti kun lineaarinen kesantovektorijärjestelmä lisätään, järjestelmä on lineaarisesti kesanto.

Tuominen.

Koska vektorijärjestelmä voidaan tallettaa lineaarisesti, mustasukkaisuus on mahdollista jopa yhden nollasta poikkeavan numeron olemassaolosta . Älä viitsi.

Dodamo ulkoiseen vektoreiden ja s-vektorien järjestelmään , ota oma järjestelmäsi. Joten kuten i, sitten lineaarinen vektorien yhdistelmä järjestelmämielessä

on nollavektori ja . Myös vektorien ja lineaarien kesantojärjestelmä on voitettu.

Jos sammutat pienen määrän vektoreita lineaarisesti riippumattomasta vektorijärjestelmästä, järjestelmä on lineaarisesti riippumaton.

Tuominen.

Oletetaan, että järjestelmä on lineaarisesti kesanto. Kun kaikki syötevektorit on lisätty vektorijärjestelmään, poistamme vektorijärjestelmän. Mielen takana se on lineaarisesti riippumaton, ja lineaarisen kesannon aikaisemman voiman ansiosta se voi olla lineaarisesti kesanto. Mi dіyshli protirіchchya, otzhe, tunnustuksemme on väärä.

Jos vektorijärjestelmä haluaa yhden nollavektorin, niin tällainen järjestelmä on lineaarisesti kesanto.

Tuominen.

Olkoon tämän vektorijärjestelmän vektori nolla. Oletetaan, että vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton. Silloin vektoritasapaino on mahdollista vain, jos . Kuitenkin, jos otat sen, olkoon se, jos katsot nollaa, niin tasaisuus on silti reilua, sirpaleet. Otzhe, meidän korvaus on nevirnim, ja vektorijärjestelmä on lineaarisesti talletettu.

Jos vektorijärjestelmä on lineaarisesti kesanto, niin jos vain yksi vektoreista ilmaistaan ​​lineaarisesti muiden kautta. Koska vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton, vektoreita ei voida ilmaista muiden kautta.

Tuominen.

Palautamme sen kovuuteen.

Olkoon vektorijärjestelmä lineaarisesti kesanto, jos vain halutaan nähdä nolla, luku і, jolla yhtälö on oikea. Qiu mustasukkaisuus voi olla rozvyazat shodo, sirpaleita tahansa maєmo

Lisäksi vektoria kierretään lineaarisesti muiden järjestelmän vektoreiden läpi, jotka oli tarpeen tuoda.

Otetaan nyt toinen lujuus.

Jos vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton, mustasukkaisuus voi olla vain .

Oletetaan, että järjestelmän vektori ilmaistaan ​​lineaarisesti інші:n kautta. Olkoon se vektori є todi. Qi-tasapaino voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon , vasemmassa osassa on vektorijärjestelmän lineaarinen yhdistelmä, lisäksi vektorin edessä oleva kerroin on yhtä suuri kuin nolla, mikä osoittaa vektorijärjestelmän lineaarisen esiintymisen. Joten mi deyshli protirichcha, otzhe, voima toi.

Kahdesta jäljellä olevasta viranomaisesta nousee esiin tärkeä väite:
vektorijärjestelmänä, joka korvaa vektorit i , de - enemmän kuin luku, se on lineaarisesti kesanto.

Vektorijärjestelmän kehittäminen lineaarista kesantoa varten.

Asetetaan tavoite: meidän on perustettava lineaarinen talletus tai lineaarinen riippumattomuus vektorijärjestelmät.

Looginen ruoka: "Kuinka virishuvate?"

Käytännön näkökulmasta häpeäksi voidaan syyttää sitä, että tarkastellaan enemmän lineaarisen virheen voiman ja vektorijärjestelmän riippumattomuuden tärkeyttä. Tämän auktoriteetin merkitys mahdollistaa vektorijärjestelmän lineaarisen validiteetin määrittämisen seuraavissa tapauksissa:

Kuinka voit olla muissa tunnelmissa, mitkä ovat suuremmat?

Katsotaanpa cymiä.

Arvataan matriisin arvoa koskevan lauseen muotoilu, kuten artikkelissa ehdotimme.

Lause.

Älä viitsi r - matriisin A järjestys p:llä n, . Olkoon M matriisin A kantamolli. Matriisin A rivit (kaikki sarakkeet), jotka osallistuvat perusmollin M kehittämiseen, kierretään lineaarisesti matriisin rivien (stowpts) läpi, jolloin syntyy perusmolli M.

Ja nyt selitetään matriisin arvoa koskevan lauseen yhteys vektorijärjestelmän peräkkäisyyteen lineaariseen talletukseen.

Lisäämme matriisin A, jonka rivit ovat seuraavan järjestelmän vektoreita:

Mikä on vektorijärjestelmän lineaarisen riippumattomuuden merkitys?

Vektorijärjestelmän neljänneltä lineaarisen riippumattomuuden tasolta tiedämme, mitä vektorijärjestelmästä on mahdollista, ei voida ilmaista muiden kautta. Toisin sanoen matriisin A kutakin riviä ei käännetä lineaarisesti muiden rivien läpi, vektorijärjestelmän lineaarinen riippumattomuus on yhtä suuri kuin mentaalinen yksi Rank(A)=p.

Mikä on vektorijärjestelmän lineaarisen virheellisyyden merkitys?

Kaikki on yksinkertaisempaa: jos haluat, että yksi matriisin A rivi ilmaistaan ​​lineaarisesti muiden kautta, vektorijärjestelmän lineaarinen kanta on yhtä suuri kuin älyllinen sijoitus (A)

.

p align="justify"> Tästä lähtien tehtävä vektorijärjestelmän siirtämiseksi lineaariseen paikkaan on sovitettu matriisin vaaditun järjestyksen esiasetukseen, joka on taitettu järjestelmän vektorista.

Liu'uta osoittamaan, että p>n:llä vektorijärjestelmä on lineaarinen kesanto.

Kunnioittaminen: kun matriisi A taitetaan, järjestelmän vektorit voidaan ottaa ei riveinä, vaan sarakkeina.

Algoritmi vektorijärjestelmän saavuttamiseksi lineaariseen kerrokseen.

Analysoidaanpa peppujen algoritmia.

Esimerkki vektorijärjestelmän laajentamisesta lineaariseen kesantoon.

peppu.

Annettu vektorijärjestelmä. Dol_dzhuyte її lineaarisella kesantoalueella.

Ratkaisu.

Koska vektori on nolla, vektorijärjestelmän tulisi sijaita lineaarisesti kolmannessa potenssissa.

Ehdotus:

System vector_v lineaarinen talletus.

peppu.

Vaihda vektorijärjestelmä lineaariseen kesantoon.

Ratkaisu.

Ei ole vaikeaa muistaa, että vektorin c koordinaatit ovat yhtä suuria kuin vektorin vastaavat koordinaatit, kerrotaan 3:lla, sitten . Siksi vektorijärjestelmä on lineaarisesti kesanto.

viraz mieli olla nimeltään vektorien lineaarinen yhdistelmä A 1 , A 2 ,...,A n kertoimilla λ1, λ2,...,λn.

Vektorijärjestelmän lineaarisen talletuksen nimitys

Vektorijärjestelmä A 1 , A 2 ,...,A n olla nimeltään lineaarinen kesanto, Kuinka käyttää nollasta poikkeavaa numerosarjaa λ1, λ2,...,λn, jolle vektorien lineaarinen yhdistelmä λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n lähempänä nollaa vektoria, Tobto-järjestelmä vastaa: voi olla nollasta poikkeava ratkaisu.
Numeroiden valinta λ1, λ2,...,λn є nollasta poikkeava, jos vain yksi numeroista λ1, λ2,...,λn on vіdminu vіd nolla.

Vektorijärjestelmän lineaarisen riippumattomuuden nimitys

Vektorijärjestelmä A 1 , A 2 ,...,A n olla nimeltään lineaarisesti riippumaton, näiden vektoreiden lineaarisena yhdistelmänä λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n anna nollavektorille pienempi kuin nollalukujoukko λ1, λ2,...,λn , Tobto-järjestelmä vastaa: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n = Θ on vain yksi nollaratkaisu.

Varasto 29.1

Käänteinen, chi є lineaarisesti kesantojärjestelmä vektori_v

Ratkaisu:

1. Rakennamme tasausjärjestelmän:

2. Virishuemo її Gaus-menetelmä. Jordan-järjestelmän muunnos on esitetty taulukossa 29.1. Kun rakennetaan uudelleen järjestelmän oikeita osia, hajun sirpaleet ovat nolla, eivätkä ne muutu Jordanin muunnoksille.

3. Taulukon kolme jäljellä olevaa kolme riviä kirjoitus sallittu järjestelmä, yhtä vahva järjestelmät:

4. Otrimuemo zagalne järjestelmän ratkaisu:

5. Annettuaan vapaan muutoksen arvon x 3 =1 tuomioistuimelle, vain yksityinen nollasta poikkeava päätös X = (-3,2,1).

Huomautus: Tällä tavalla nollasta poikkeavalla lukujoukolla (-3,2,1) nollavektorin vektorin lineaarinen yhdistelmä on -3A1+2A2+1A3=Θ. Otzhe, vektorijärjestelmä on lineaarisesti kesanto.

Vektorijärjestelmien teho

Teho (1)
Jos vektorijärjestelmä on lineaarisesti kesannolla, niin jos yksi vektoreista on asetettu muiden taakse, niin jos vain yksi järjestelmän vektoreista on muiden takana, vektorijärjestelmä on lineaarisesti kesanto.

Teho (2)
Aivan kuten vektorialijärjestelmä on lineaarisesti kesanto, niin koko järjestelmä on lineaarisesti kesanto.

Teho (3)
Aivan kuten vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton, onko alijärjestelmä lineaarisesti riippumaton.

Teho (4)
Olipa kyseessä vektorijärjestelmä, nollavektorin kostamiseksi se on lineaarinen kesanto.

Teho (5)
M-maailman vektoreiden järjestelmä on aina lineaarisesti kesanto, koska vektorien määrä n on suurempi kuin vektoreiden lukumäärä (n>m)

Vektorijärjestelmän perusta

Vektorijärjestelmän perusta A 1 , A 2 ,..., A sellaisessa alijärjestelmässä B 1 , B 2 ,...,B r(skin vektoreista B 1 ,B 2 ,...,Br є yksi vektoreista A 1 , A 2 ,..., A n) tulevien mielien miellyttämiseksi:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r lineaarisesta riippumaton vektorijärjestelmä;
2. mikä tahansa vektori A j järjestelmät A 1 , A 2 ,..., A n ilmaistaan ​​lineaarisesti vektorien B 1 , B 2 ,..., B r kautta

r- Perusteeseen sisältyvien vektorien lukumäärä.

Lause 29.1 Vektorijärjestelmän yhdestä kannasta.

M-maailman vektoreiden järjestelmänä korvaamaan m erilaista yksittäistä vektoria E 1 E 2 ,..., E m , kaikki hajut muodostavat järjestelmän perustan.

Algoritmi vektorijärjestelmän perustan löytämiseksi

Vektorijärjestelmän A 1 ,A 2 ,...,A n perustan tuntemiseksi on välttämätöntä:

• Taita kaksiulotteinen vektorijärjestelmä homogeeniseksi yhtäläisiksi A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n = Θ
• Ohjaa järjestelmääsi

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Ratkaisu. Shukaєmo zagalne rіshennya rіvnyan järjestelmä

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gaussin menetelmä. Jolle kirjoitamme ylös homogeenisen järjestelmän koordinaateille:

Järjestelmämatriisi

Järjestelmä saa katsoa: (r A = 2, n= 3). Järjestelmä on spіlna ja se on näkymätön. ї zagalne päätös ( x 2 - ilmainen vaihto): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Nollasta poikkeavan yksityisen ratkaisun läsnäolo, esimerkiksi puhuaksesi näistä vektoreista a 1 , a 2 , a 3 lineaariset talletukset.

peppu 2.

Z'yasuwati, chi є annettu järjestelmä vector_v lineaarisesti kesanto tai lineaarisesti riippumaton:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Ratkaisu. Katsotaanpa homogeenista tasoitusjärjestelmää a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

mutta palanut katsoo (koordinaattien taakse)

Järjestelmä on yhtenäinen. Jos hän ei ole virogeeninen, on vain yksi ratkaisu. Homogeenisen järjestelmän käsitteleminen on nolla (triviaali) ratkaisu. Lisäksi toisinaan vektorijärjestelmä on itsenäinen. No, Virogen-järjestelmässä voi olla nollasta poikkeavia päätöksiä, ja siksi se on kesanto.

Tarkistamme järjestelmän virogeenisuuden:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Nevirogeeninen järjestelmä i, otzhe, vektorit a 1 , a 2 , a 3 lineaarisesti riippumaton.

johtaja. Z'yasuvati, chi saa vektorijärjestelmän, joka on lineaarisesti kesanto tai lineaarisesti riippumaton:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Ilmoittaa, että vektorijärjestelmä on lineaarisesti kesanto, jotta se ei kosta:

a) kaksi yhtä suurta vektoria;

b) kaksi verrannollista vektoria.