Käyntikortti lineaarisille kesantovektoreille. Vektorijärjestelmien perusteet

Samasta ajasta edistyneiden järjestelmien ja vektorien kehittäminen ehtymislinjalla on nostettu tehtävään määrittää matriisin arvo, joka on taitettu järjestelmän vektoreista.

Liukuva kunnioitus, että p> n vektorijärjestelmä on lineaarisesti kesanto.

kunnioittaminen: Kun matriisi A on taitettu, järjestelmän vektorit voidaan ottaa ei riveissä, vaan riveissä.

Algoritmi järjestelmien ja vektorien edistämiseksi ehtymislinjalla.

Riko peppujen algoritmi.

Käytä edistyneitä järjestelmiä ja vektoreita kesantolinjalla.

Butt.

Vektorijärjestelmä on annettu. Seuraa kesantolinjaa.

Päätös.

Koska vektori c on nolla, niin ulkoinen vektorijärjestelmä on lineaarisesti vanhentunut kolmannen potenssin vuoksi.

seuraavasti:

Vektorijärjestelmä on lineaarisesti tyhjentynyt.

Butt.

Seuraa vektorijärjestelmää ehtymislinjalla.

Päätös.

Chi ei ole helppo muistaa, mutta vektorin c koordinaatit vektorin samoihin koordinaatteihin kerrotaan 3:lla niin, että. Eli vektorien virusjärjestelmä on lineaarisesti vanhentunut.

arvo 1... Lineaarista vektorien yhdistelmää sovelletaan näiden vektorien olemusten summaan skalaareissa
:

arvo 2... vektorijärjestelmä
jota kutsutaan rivien kestojärjestelmäksi, koska rivistä riviin -yhdistelmä (2.8) muuttuu nollaan:

ja numeroiden keskellä
Haluan sen olevan yksi, katso nollasta.

arvo 3... vektori
kutsutaan rivistä riippumattomiksi, koska riviyhdistelmä (2.8) muuttuu ajoittain nollaan, jos kaikki luvut.

Kolminkertainen arvo voidaan laskea seuraavan päivän alkamisesta.

peräkkäisyys 1... Lineaarisessa kesantovektorijärjestelmässä yhtä vektoria voidaan käyttää vektoreiden lineaariyhdistelmänä.

Dovedennya... Hei viconano (2.9) ja hei arvosta, tehokkuudesta
... Maєmo todі:
... Rakas, juuri oikein ja erittäin vaikeaa.

Slidstvo 2. Yaksho-vektorijärjestelmä
jos nollavektori kostetaan, niin järjestelmä (obov'yazkovo) on lineaarisesti vanhentunut - se on ilmeistä.

peräkkäisyys 3... yaksho keskellä n vektori
ole-yaki k(
) Vektorіv lіnіyno kesanto, sitten kaikki n vektorit kesantolinjassa (poikkeus todistettavissa).

2 0 ... Kahden, kolmen ja joidenkin vektorien viivayhdistelmät... Suvun ravitsemus ja vektorien riippumattomuus suoralla, alueella ja avoimessa tilassa on helppo nähdä. Teoreemojen ohjaamana.

Lause 1... Tätä varten kaksi vektoria vuorataan kesannolla, se on välttämätöntä ja riittävää, mutta haju on kollineaarista.

välttämättömyys... hei vektori і lineaarinen kesanto. Tse tarkoittaa, scho їх riviyhdistelmä
= 0 i (arvosta johtuen)
... Zvidsy viplivay
, I (perustuu vektorin kertomiseen luvulla) vektori і kollineaarinen.

yltäkylläisyys... hei vektori і kollineaarinen ( ║) (Hyödynnä se, että haju näkyy nollavektorista; sukulinja on ilmeinen).

Lauseen (2.7) mukaan (jako §2.1, kohta 2 0), Todi
ota, scho
, abo
- riviyhdistelmä nollaan, lisäksi hyötysuhde on ovi 1 - vektorit і lineaarinen kesanto.

Tislauksen teoreemojen kanssa on tulossa seuraava askel.

peräkkäin... yaksho vektori і EI kollineaarinen, silloin haju on lineaarisesti neliömäinen.

Lause 2... Sitä varten kolme vektoria viipyy kesannolla, se on tarpeellista ja riittävää, mutta haju on samantasoista.

välttämättömyys... hei vektori ,і lineaarinen kesanto. On osoitettu, että samantasoisuuden haju.

Vektorien linjan määrittäminen numeroiden seuraavissa vaiheissa
і kuten riviyhdistelmä
, Ennen kaikkea (arvon vuoksi)
... Todi z tsієї ravnostі voit muuttaa vektoria :=
, Tobto-vektori vektoreissa kehotetun suunnikaslävistäjän polku tasa-arvoketjun oikeaan osioon (kuva 2.6). Tse tarkoittaa scho-vektoria ,і makaa samalla alueella.

yltäkylläisyys... hei vektori ,і Vaatimustenmukaisuus. On osoitettu, että haju on linjassa.

Lukuun ottamatta minkä tahansa vektoripanoksen kollineaarisuutta (lisäksi pari on lineaarisesti pudonnut, ja 3:n jälkeen (katso lauseke 1 0), kaikki kolme vektoria ovat lineaarisesti kesannolla). Huomattavaa on, että se on myös näppäinten asetus, sama on kolmen arvon keskellä olevan nollavektorin asetus.

Siirrettiin kolme samantasoista vektoria yhdelle alueelle ja suunnattiin korvan korvaan. Vektorin pään läpi suoritetaan suoraan, vektoreiden suuntaisesti і ; otrimaєmo tsyu-vektorilla і (Kuva 2.7) - їх іннуання ei välitä tim, scho-vektorista і EI kollineaarinen vektorin poksahtamiseen. Zvidsy viplyaє, scho-vektori =+... Viglyadin hinnan kirjoittaminen uudelleen (-1) ++= 0, robimo visnovok, scho-vektori ,і lineaarinen kesanto.

Teoreemalla on kaksi sivuvaikutusta.

peräkkäisyys 1... Hei і EI kollineaariset vektorit, vektori - tarpeeksi hyvä makaamaan alueella, joka on aloitettava vektoreista і , vektori. Juokse samaan numeroon і taki

=+. (2.10)

peräkkäisyys 2... yaksho vektori ,і EI samantasoista, haju on lineaarisesti neliömäinen.

Lause 3... Be-kuin chotiri-vektorit ovat lineaarisesti kesannoissa.

Todistus jätetään pois; Lauseen 2 todistukset ovat samanlaisia ​​kuin edellä mainituissa lauseissa.

peräkkäin... Kaikille ei-koplanaarisille vektoreille ,,ja olkoon se vektori
і taki

. (2.11)

kunnioittaminen... (Triviaalissa) avaruudessa oleville vektoreille sukulinjan ja riippumattomuuden ymmärtäminen voi olla sellaisenaan lauseiden 1-3 ohjauksessa yksinkertaista geometristä järkeä.

Nekhai on kaksirivinen kesantovektori і ... Tällä tavalla yksi niistä on lineaarinen yhdistelmä toisesta, niin että yksi näkyy yksinkertaisesti numeerisena kertoimena (esim.
). Geometrisesti se tarkoittaa, että vektorin rikos sijaitsee selkäsuoralla; äidin haju on sama, tai muuten se on selkeämpi (kuva 2.8 xx).

Jos on kaksi vektoria, jotka on käännetty yhdestä leikkauksesta yhteen (kuva 2.9 xx), niin ei ole mahdollista kääntää yhtä niistä saman luvun kerrannaisiksi - tällainen vektori on lineaarisesti neliö. Otzhe, viivariippumattomuus kaksi vektoria і tarkoittaa, että vektoria ei voi sijoittaa yhdelle suoralle.

Kolmen vektorin lineaarista kesantoa ja riippumattomuutta on geometrinen tunne.

hei vektori ,і lineaarinen kesanto ja pieni (arvo)vektori є lineaarinen vektoreiden yhdistelmä і , Tobto retusointi alueella, kostaa vektori і ... Tse tarkoittaa scho-vektoria ,і makaa samalla alueella. Melko і zolotne tverdzhennya: yaksho vektori ,і makaa samalla alueella, silloin haju on lineaarinen.

Sellaisessa asemassa, vektori ,і se on lineaarinen siinä ja vain siinä tapauksessa, koska haju ei ole samalla alueella.

3 0 ... perustan ymmärtäminen... Yksi niistä, jotka halusivat ymmärtää lineaarisen ja vektorialgebran, ymmärtää perusteen. Anna arvo.

arvo 1... Vektoriparia kutsutaan järjestyksessä, kuten on osoitettu, mikä vedonlyöntiprosessin vektori on ensimmäinen ja mikä toinen.

Arvo 2. järjestetty pari ,epälineaarisia vektoreita kutsutaan alueen kantaksi, koska niille on annettu vektoreita.

Lause 1... mikä tahansa vektori alueella voi olla esityksiä kuten lineaarinen yhdistelmä perusjärjestelmiä ja vektoreita ,:

(2.12)

ja Edinon ilmoituksen aikaan.

Dovedennya... hei vektori і asettaa perustan. Todi be-kuin vektori voidaan esittää viglyadі
.

Henkilöllisyyden todistamiseksi se on sallittua, mutta enemmän kuin yksi kerta
... Mamo todі = 0, ja haluan yhden eron nollasta. Ostann tarkoittaa scho-vektoria і lineaarinen kesanto, tobto kollineaarinen; tse superpeertverdzhennyam, kuinka haju luo perustan.

Ale todi - jakelu Odinen.

arvo 3... Kolmea vektoria kutsutaan järjestykseksi, kuten sanotaan, mikä vektori on ensimmäinen tärkeä, mikä toinen ja mikä kolmas.

arvo 4... Järjestettiin kolme ei-tasossa olevaa vektoria, joita kutsutaan avaruuden kantaksi.

Tässä pätee myös avautumis- ja singulaarisuuslause.

Lause 2... olla vektori voivat olla esityksiä, kuten perusjärjestelmien ja vektoreiden lineaarinen yhdistelmä ,,:

(2.13)

і і

Vähittäiskaupoissa (2.12) ja (2.13) arvot kutsutaan vektorikoordinaateiksi tietyllä pohjalla (tarkemmin affinisteilla koordinaateilla).

Kiinteällä pohjalla
і
sinä voit kirjoittaa
.

Esimerkiksi missä tehtävät ovat perusta
annoin, no
, Se tarkoittaa, shho maє misce uyavlennya (jakelu)
.

4 0 ... Lineaariset operaatiot vektoreille koordinaattimuodossa... Otettu käyttöön perusteella mahdollistaa lineaaristen operaatioiden vektorien korvaamisen poikkeuksellisilla lineaarisilla operaatioilla numeroille - vektorien koordinaateille.

Hanki työpaikkoja deyakiy perusteella
... On selvää, että vektorin koordinaattijoukko koko kannassa kasvaa itse vektorin alusta. Siinä on seuraavat ehdotukset:

a) kaksi vektoria
і
Rivni Todi ja Tylki Todi, jos samat koordinaatit ovat:

b) useilla vektoreilla
numeron mukaan joogo-koordinaatit kerrotaan numerolla:

; (2.15)

c) kun vektorit syötetään, seuraavat koordinaatit tallennetaan:

Todista, että voiman tsikh on tuhoutuva; ei ole mahdollista tuoda tehoa takapuolelle b). maєmo

==

kunnioittaminen... Avoimessa tilassa (alueella) voit värähtää loputtomasti rikkaita tukikohtia.

Button ohjaamana siirtymiseen yhdestä kannasta ensimmäiseen on mahdollista asettaa vektorin koordinaattien ero eri kannassa.

peppu 1... Perusjärjestelmät
annettu kolme vektoria:
,
і
... Pohjassa ,,vektori jakelu. Tunne vektorin koordinaatit pohjalta
.

Päätös... Mamon jakelu:
,
,
; jo,
=
+2
+
= =
, tobto
pohjalta
.

peppu 2... Tule deyakom-periaatteella
chotiri-vektorit on annettu niiden koordinaatteilla:
,
,
і
.

Z'yasuwati, chi aseta vektori
perusta; positiivisen vastauksen tapauksessa tietää vektorin jakauma koko pohjalla.

Päätös... 1) vektori asettaa perustan, kuten haju on lineaarisesti riippumaton. Varastoi vektoreiden riviyhdistelmää
(
) I z'yasuєmo, jakille
і ei muutu nollaan:
= 0.mm:

=
+
+
=

Koordinaattimuodossa olevien vektorien yhtäläisyyden arvossa (lineaarinen yksipuolinen algebrallinen) rivnyaanien järjestelmä pystyy edetmään:
;
;
, Viznachnik yakoi
=1
, Tobto järjestelmä on maє (lishe) triviaali ratkaisu
... Tse tarkoittaa vektorien viivariippumattomuutta
і, haju loi jo perustan.

2) laajennettava vektori koko pohjalla. äiti: =
abo koordinaattimuodossa.

Vaihtamalla yhtäläisiksi vektoreiksi koordinaattimuodoissa, voimme tunnistaa lineaarisen epäyhtenäisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän:
;
;
... Virishuchi її (esimerkiksi Kramerin säännön mukaan), otrimaєmo:
,
,
і (
)
... Mahmo leviävä vektori pohjalta
:=.

5 0 ... Vektoriprojektio ilmassa. Ennusteiden voima. Nekhai є deyaka hang l, Tobto suoraan z merkitsemme nіy suoria ja ei tehtäviä mitä tahansa vektoria .Määritellään vektoriprojektion käsite ilmaiseksi l.

arvo... vektori projektio ilmaiseksi l jota kutsutaan th vektorin moduulin twiriksi kosiniksi kuta mіzh vissyu l i-vektori (kuva 2.10):

. (2.17)

Arvon viimeinen bitti on lausunto niistä, jotka ovat yhtä suuria kuin saman projektion vektori (yhdelle ja samalle).

Merkittävästi ennusteiden voima.

1) sumivektorien projektio toimintaan l tie samalla kiskolla olevien lisävektorien projektioiden summaan:

2) skalaarin projektio tien vektoriin skalaarin lisäämiseen vektorin projektioon samalle akselille:

=
. (2.19)

peräkkäin... Vektorien linjayhdistelmän projektio seuraavien projektioiden yhdistelmän kaikilla tielinjoilla:

Todista, että auktoriteetti on kiellettyä.

6 0 ... Suorakaiteen muotoinen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä avaruudessa.Vektorin asettelu akselialuetta pitkin. Ota kolme keskenään kohtisuoraa koordinaattia perusviivasta; niille otetaan käyttöön erityiset nimitykset
... Korvan laittaminen asiaan O, Heidän ohjaamansa (orts
) Koordinaattiakseli Härkä,Oy iO z(Tarkastelemme niitä positiivisella ja suoraviivaisella tavalla, sen edessä olevasta tähkästä, ja yhdessä yksikössä kutsumme sitä koordinaattinäkymäksi).

arvo... Tilattua kolmen keskenään kohtisuoran koordinaattiakselin järjestelmää, jossa on runkokorva ja runkoyksikkö, kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi suorakulmaiseksi koordinaattijärjestelmäksi avaruudessa.

akseli Härkä kutsutaan visyu abscis, Oy- vіssu ordinaatt іO z – vissyu aplikat.

Otamme huomioon merkittävimmän vektorin jakauman
... Lauseista (ks. §2.2, kohta 3 0, (2.13)) käy selväksi, että
voi olla yhtä suuri kuin erojen määrä perusteella
(Korvaa koordinaatit tässä
elää
):

. (2.21)

In (2.21)
vektorin olemus (karteesinen suorakulmainen) koordinaatit ... Karteesisten koordinaattien tunne määritellään lauseella.

lause... Suorakulmaiset suorakulmaiset koordinaatit
vektori є :nnen vektorin projektiot näkyvät akselilla Härkä,Oy iO z.

Toimitettu. vektorin lisäksi Koordinaattijärjestelmät - Piste O... Todi yogo -kinetit otetaan deyakopisteestä
.

Piirrä pisteen läpi
kolme koordinaattialueiden kanssa samansuuntaista aluetta Oyz,Oxzі Oxy(Kuva 2.11 xx). Otrimaєmo todі:

. (2.22)

Kohdassa (2.22) vektorissa
і
Niitä kutsutaan varastovektoreiksi
akseleita pitkin Härkä,Oy iO z.

Hei läpi
і nimeänyt kuti, hyväksynyt vektorin orttien kanssa
... Todi varastoille tunnistamme seuraavat kaavat:

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

З (2.21), (2.22) (2.23) tiedämme:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

- koordinaatit
vektori є vektorin projektio koordinaattiakselille Härkä,Oy iO z varmasti.

kunnioittaminen... numerot
kutsutaan vektorin suoriksi kosineiksi .

vektori moduuli (Diagonaalinen suorakulmainen suuntaissärmiö) lasketaan kaavalla:

. (2.24)

Käytössä on kolme kaavaa (2.23) ja (2.24), mutta suorat kosinit voidaan laskea kaavojen mukaan:

=
;
=
;
=
. (2.25)

Ihon osan infektiot, joissa on іnosti vuonna (2.25) і jähmeä termillä іvі ja oikeat osat rіvnosti іvnosti, tulemme kaavaan:

- älä ole kuin kolme kutista, tee deyakiy suoraan avoimessa tilassa, ale, jonka kosinit on sidottu puolisoihin (2.26).

7 0 ... Sädevektori ja pisteen koordinaatit.Vektorin arvo yogo korvalle ja kintsyalle... Anna arvo.

arvo... Sädevektori (merkitty ) Vektoria kutsutaan koordinaattien tähkäksi O pisteellä (kuva 2.12 xx):

. (2.27)

Ole kuin osoita avoimeen tilaan, laulusädevektoriin (ja takaisin). Tällaisessa arvossa pisteet esitetään laajuudessa vektorialgebrassa ja sädevektoreissa.

Ilmeisesti koordinaatit
pisteitä Mє її sädevektorin projektiot
koordinaattiakseleilla:

(2.28’)

sellaisessa asemassa,

(2.28)

- pisteen sädevektori є vektori, jonka projektio koordinaattiakselilla menee koko pisteen koordinaatteihin. Kuulostaa kahdelta levyltä:
і
.

Otrimaєmo kaavat vektorin projektioiden laskemiseen
pisteen koordinaattien takana
і кінця - pisteet
.

Suoritettu sädevektori
i vektori
(Kuva 2.13). Otrimaєmo, scho

=
=(2.29)

- vektorin projektio koordinaattiortille, joka on yhtä suuri kuin vektorin koordinaattien ero.

8 0 ... Deyakі zavdannya suorakulmaisilla koordinaateilla.

1) Muista vektorien kollineaarisuus ... Lauseista (katso §2.1, kohta 20, kaava (2.7)) on selvää, että vektorien kollineaarisuuden kannalta і se on välttämätöntä ja riittävää hyvään suorituskykyyn: =... Kolme vektoriekvivalenssia on tunnistettavissa tasa-arvon koordinaattimuodossa:

(2.30)

- vektorien kollineaarisuudelle і on välttämätöntä ja riittävää, että annetut koordinaatit ovat verrannollisia.

2) näkyy pisteiden välissä ... Ilmoitus (2.29)
mіzh pisteitä
і
aloita kaavalla

=
=. (2.31)

3) tietylle päivämäärälle ... Anna minulle piste
і
ja suljin
... tarvitsee tietää
- pisteen koordinaatit M (Kuva 2.14).

Varmista, että vektorit ovat kollineaarisia:
, tähdet
і

. (2.32)

З (2.32) on tunnistettavissa koordinaattimuodossa:

Kaavoista (2,32 ') on mahdollista hylätä kaavat, joilla lasketaan koordinaatin keskikohdan koordinaatit.
, vvazayuchi
:

kunnioittaminen... Hyödynnämme
і
positiivinen tai negatiivinen, koska se on aivan poissa korvasta
toimitus loppuun asti
, jotta ei hukattu. Kaavojen (2.32) - (2.32") mukaan voidaan tietää pisteen koordinaatit,
zovnіshnіm listalla, niin, niin, dіlіt kohta M olla pidennetyllä vierailulla
, Ei kaikki keskellä. Tsomilla se on ilkeää,
.

4) pallomainen pinta . Varaston pallomainen pinta - geometrinen pistejoukko
, Rivnoviddalenikh to vidstan deyakoyn kiinteästä keskustasta - pistettä
... Ilmeisesti tietyllä tavalla
ja kaavasta (2.31)

Rivnyannya (2.33) і Rivnyannya shukanoy pallomainen pinta.

Zavdannya 1. Z'yasuvati, chi є vektorijärjestelmä on lineaarisesti neliö. Järjestelmän matriisiksi asetetaan vektorijärjestelmä, josta 100 % on tallennettu vektorien koordinaateista.

.

Päätös. Aloita riviyhdistelmä tie nollaan. Kirjoitettuani hinnan koordinaatteihin käynnistän rivnyan-järjestelmän:

.

Tällaista rivnyan-järjestelmää kutsutaan tricutiksi. Vona voi ruokailla rіshennyaa ... Otzhe, vektori Lineaarinen neliö

Zavdannya 2. Z'yasuvati, chi on lineaarinen riippumaton vektorijärjestelmä.

.

Päätös. vektori Lineaarinen neliö (jako Tehtävä 1). Sinulle tuotu vektori on vektorien lineaarinen yhdistelmä ... Ominaisuuksien jakauma vektoreittain viznachayutsya järjestelmästä

.

Qia-järjestelmä, yak trikutna, maє edine rіshennya.

Otzhe, vektorijärjestelmä lineaarinen kesanto.

kunnioittaminen... Tällaista matriisia, kuten kasvissa 1, kutsutaan trikutnimi , Ja tehtaassa 2 - hankala ... Vektorijärjestelmän linjaa koskeva ruoka on helppo nähdä, koska matriisi koostuu vektorien lukumäärän koordinaateista, jotka ovat usein kolmion muotoisia. Jos matriisi ei ole erityinen, niin apua rivien perusmuodostus , Jotta voit ottaa rivien ja sivujen välisen suhteen välillä 100 %, ja voit saada sen hankalaan vigladeen.

Rivien alkeismuunnokset matriiseja (EPC) kutsutaan tällaisiksi matriisin operaatioiksi:

1) rivien uudelleenjärjestely;

2) Useita rivejä numerolla nollasta;

3) lisäys ujollisen rivin riviin kerrottuna tietyllä numerolla.

Zavdannya 3. Tunne suurin lineaarisesti riippumaton osajärjestelmä ja laske järjestelmien ja vektorien järjestys

.

Päätös. EPC:n avun takana olevan järjestelmän matriisin ohjaama usein huijattu näkymä. Selitä d_y:n järjestys, rivi, jossa on numero, muunnetaan symbolilla merkityksellisesti matriisiksi. Nuolirivin sadasosissa matriisit muunnetaan rivien yli, koska vikonatin on hylättävä uuden matriisin rivit.

.

Ilmeisesti matriisien reunan kaksisataa ensimmäistä ovat lineaarisesti riippumattomia, kolmas sadasosa on lineaarinen yhdistelmä, ja neljäsosaa ei kata kaksi ensimmäistä. vektori kutsutaan perus. Haju perustaa suurimman lineaarisesti riippumattoman järjestelmän alijärjestelmän , Ja järjestelmän arvo on kolme.

Pohja, koordinaatit

Zavdannya 4. tuntea vektorien kanta ja koordinaatit koko kannassa rajattomilla geometrisilla vektoreilla, joiden koordinaatit täyttyvät .

Päätös... Bezlich on alue, joka kulkee koordinaattien tähkän läpi. Hyvä pinta-ala perustuu kahteen epälineaariseen vektoriin. Vektorien koordinaatit valitussa kannassa perustuvat yleisen järjestelmän ja suoran päätöksiin.

Tämä on yksinkertaisin tapa näyttää tiedot, jos tiedät koordinaattien perusteet.

koordinaatit tila ei ole є koordinaatit alueella, joten haju on sidottu lapsiin , Tobto ei ole neliö. Nezalezhnі vіnnі і (hajua kutsutaan vіlnyksi) yksiselitteisesti viznayut vektorin alueella і, myös haju voidaan määrittää koordinaattien avulla. Todi perusteella varastoitava vektoreihin, mutta makaamaan kaikenlaisissa suurten talvien sarjoissa і , tobto.

Zavdannya 5. Tietää vektorien kanta ja koordinaatit kokonaisessa kannassa kaikkien avaruuden vektoreiden perusteella, joissa parittomat koordinaatit ovat yhtä suuria kuin itse.

Päätös... Viberemo, kuten etualalla tehtävissä, koordinoi avaruudessa.

Niin jakki , Se on hieno muutos Aloita vektori yksiselitteisesti і:llä, myös є-koordinaateilla. Yleinen kanta on tallennettu vektoreihin.

Zavdannya 6. Tunne vektorien kanta ja koordinaatit koko kannassa kaikkien muodossa olevien matriisien perusteella , de - merkittäviä lukuja.

Päätös... Ihomatriisi s on yksiselitteisesti esitettävissä katsojassa:

Hinta vektorin z jakauman perusteella
koordinaattien kanssa .

Zavdannya 7. Tunne järjestelmien ja vektorien lineaarisen kuoren koko ja kanta

.

Päätös. Se voidaan rekonstruoida EPC-matriisin avulla järjestelmän vektorien koordinaateista usein rikottavaan vigleadiin.

.

100 % loput matriisista on lineaarisesti riippumattomia, mutta sata pyörivät lineaarisesti niiden läpi. Otzhe, vektori perustaa , і .

kunnioittaminen... pohjalta sisään värisemään epäselvästi. Esimerkiksi vektorit asettaa myös perustan .

Hei L - rivitila kentän yläpuolella R ... Hei A1, A2, ..., an (*) Kintsevin vektorijärjestelmä L ... vektori V = A1 × A1 + A2 × A2 + ... + × An (16) soittaa Lineaarinen vektoreiden yhdistelmä ( *), hei puhe, hei vektori V pyörivät lineaarisesti vektorijärjestelmän (*) läpi.

Liikearvo 14. Vektorijärjestelmää (*) kutsutaan linja-kesanto , Todi ja vain todi, jos on olemassa sellainen nollasta poikkeava joukko kertoimia a1, a2, ..., an, a1 × A1 + A2 × A2 + ... + × An = 0. Yaksho f a1 × A1 + A2 × A2 + ... + × An = 0 Û a1 = a2 = ... = an = 0, niin järjestelmä (*) kutsutaan Lineaarinen neliö.

Suvun ja itsenäisyyden voima.

10. Jos vektorijärjestelmä on nollavektori, niin se on lineaarisesti pudonnut.

Itse asiassa, jos järjestelmässä (*) vektori A1 = 0, Ne 1 × 0 + 0× A2 + ... + 0 × Аn = 0 .

20. Jos vektorijärjestelmässä on kaksi verrannollista vektoria, niin se on lineaarisesti pudonnut.

Hei A1 = L× A2. Todi 1 × A1 -l × A2 + 0× A3 + … + 0× A N = 0.

30. Kintsevin vektorijärjestelmä (*) kohdassa n ³ 2 putoaa lineaarisesti molempiin ja vain todi, jos halutaan yksi näistä vektoreista lineaarisessa yhdistelmässä koko järjestelmän suurimpia vektoreita.

Þ Nekhai (*) lyn_yno kesanto. Eli on olemassa nollasta poikkeava joukko kertoimia a1, a2, ..., an, joille a1 × A1 + A2 × A2 + ... + × An = 0 . Älä loukkaa henkisyyttä, voit käyttää sitä, mutta a1 ¹ 0. Todi isnu i A1 = × a2 × A2 + ... + × × A N. Otzhe, vektori A1 є Lineaarinen yhdistelmä muita vektoreita.

Ü Jätä yksi z-vektori (*) є niiden lineaarinen yhdistelmä. Voit pelata samaa vektoria, eli E. A1 = B2 A2+ ... + miljardia A N, Zvidsi (-1) × A1 + b2 A2+ ... + miljardia A N = 0 , T.E. (*) Lineaarinen kesanto.

Kunnioittaminen. Vikoristovuyu jäljellä oleva teho, on mahdollista päivämäärä arvo lineaarinen kesanto ja riippumattomuus ei-äärettömän järjestelmien ja vektoreiden.

Liikearvo 15. vektorijärjestelmä A1, A2, ..., an , ... (**) kutsutaan Lineaarinen kesanto, Haluaisin yhden vektorin lineaarisessa yhdistelmässä, jossa on sama määrä vektoreita. Yleensä järjestelmää (**) kutsutaan Lineaarinen neliö.

40. Kintsev-vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton molemmista ja vain todista, kunhan on mahdollista käyttää lineaarisia vektoreita muiden vektorien kautta.

50. Jos vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton, niin onko vektorijärjestelmä lineaarisesti riippumaton.

60. Jos tietyn järjestelmän ja vektorien alijärjestelmä on lineaarisesti autio, niin koko järjestelmä on myös autio.

Olkoon kaksi vektorijärjestelmää A1, A2, ..., an , ... (16) i В1, В2, ..., ВS, ... (17). Jos järjestelmän (16) ihovektori voidaan esittää järjestelmän (17) Kintzin vektoreiden lineaariyhdistelmän näkymässä, voidaan sanoa, että järjestelmä (17) pyörii lineaarisesti järjestelmän (16) läpi. ).

Liikearvo 16. Kutsutaan kahta järjestelmää ja vektoria vastaava , Yaksho iho niistä on lineaarisesti kierretty läpi insha.

Lause 9 (Päälause koskee kesantoviivaa).

hei minä - kaksi kintsev-järjestelmää ja vektoria z L ... Jos persha-järjestelmä on lineaarisesti neliö ja pyörii lineaarisesti ystävän läpi, niin N£ s.

Toimitettu. Hyväksyttävä, scho N> S. Mielen lauseen takana

hullu. Joten koska ihmisiä on enemmän kuin ei-alkuperäisiä, järjestelmä on äärettömän rikas ratkaisuja. Otzhe, hän ei ole nolla X10, x20, ..., xN0... Samoilla arvoilla pariteetti (18) on totta sanoen, että vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton. Otzhe, meidän pripuschennya ei ole totta. jo, N£ s.

Slidstvo. Heti kun viimeisessä ja rivissä on kaksi samanlaista järjestelmää ja vektoria, silloin haisee kostaa samalle määrälle vektoreita.

Liikearvo 17. Vektorijärjestelmää kutsutaan Suurin lineaarisesti neliövektorijärjestelmä rivitila L , Yaksho won on lineaarisesti neliö, ale, kun siihen lisätään mikä tahansa vektori z L Sinun ei pitäisi olla osa järjestelmää, et ole linjassa kesantomaan kanssa.

Lause 10. Ole kuin kaksi maksimilineaaristen riippumattomien järjestelmien ja vektorien pistettä L Kosto sama määrä vektoreita.

Dovedennya sen lisäksi, että onko olemassa kaksi maksimaalista lineaarista riippumatonta järjestelmää ja yhtä suuria vektoreita .

Vektorijärjestelmä on helppo tuoda avaruuteen L on mahdollista lisätä maksimissaan lineaarista riippumattomia järjestelmiä ja vektoreita avaruudessa.

laita päälle:

1. Kaikille kollineaarisille geometrisille vektoreille, olipa kyseessä järjestelmä, joka laskee yhteen yhden nollasta poikkeavan vektorin, є suurin lineaarinen neliö.

2. Kaikkien samantasoisten geometristen vektorien tapauksessa tuleeko kahdesta epälineaarisesta vektorista suurin lineaarisesti riippumaton järjestelmä.

3. Triviaalin euklidisen avaruuden kaikkien mahdollisten geometristen vektorien mahdottomuudessa, oli se sitten kolmen ei-tasoisen vektorin järjestelmä є maksimi lineaarinen neliö.

4. Kaikilla askeleen polynomeilla ei ole a:ta N Polynomijärjestelmä tehokkaalla (kompleksisella) suorituskyvyllä 1, x, x2, ..., xnЄ suurin lineaarinen neliö.

5. Kaikille polynomeille, joissa ei ole tehokkaita (monimutkaisia) funktioita, suurimman lineaarista riippumattoman järjestelmän pisteet є

a) 1, x, x2, ..., xn, ...;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N,...

6. Vapaan tilan matriisit M´ Nє riviväli (käännä tse). Soveltamalla maksimaalista lineaarisen neliön järjestelmää koko avaruuteen є matriisijärjestelmä E11= , E12 =, ..., EMn = .

Olkoon vektorijärjestelmä annettu C1, c2, ..., ks. (*). Vektorien s (*) osajärjestelmää kutsutaan Suurin lineaarinen neliö pidsystem järjestelmät ( *) Se ei makaa tasaisesti, mutta kun siihen lisättiin mikä tahansa muu vektori, voitin järjestelmästä on tullut lineaarinen kesanto. Jos järjestelmä (*) on kintsev, niin onko se maksimi lineaarisesti riippumaton, alijärjestelmällä on yksi ja sama määrä vektoreita. (Todiste suoritettava itsenäisesti). Kutsutaan vektorien lukumäärä järjestelmän suurimmassa lineaarisessa riippumattomassa alijärjestelmässä (*). sijoitus Tsієї järjestelmät. Ilmeisesti vastaavat järjestelmät ja vektorit voivat olla samaa arvoa.

Lineaarinen kesanto ja vektorien riippumattomuus

Lineaarisen kesanto- ja ei-kesantovektorien järjestelmien arvo

arvo 22

Aloita järjestelmä n-vektorilla ja lukujoukolla
, todі

(11)

jota kutsutaan tietyn järjestelmän ja vektorien lineaariseksi yhdistelmäksi tietyllä funktiojoukolla.

arvo 23

vektorijärjestelmä
jota kutsutaan sukulinjaksi, koska on olemassa tällainen joukko funktioita
Haluan, että yksi ei mene nollaan, vaan tietyn järjestelmän ja vektoreiden riviyhdistelmä funktioiden kanssa menee nollavektoriin:

Hei
, todі

Liikearvo 24 ( järjestelmän yhden vektorin ilmentymisen kautta viivayhdistelmän näkökulmasta)

vektorijärjestelmä
kutsutaan linjakesanoksi, jos haluat yhden koko järjestelmän vektoreista ja se voidaan esittää koko järjestelmän muiden vektorien viivayhdistelmänä.

kovettunut 3

Arvot 23 ja 24 vastaavat.

arvo 25(nollariviyhdistelmän kautta)

vektorijärjestelmä
kutsutaan riviriippumattomaksi, koska koko järjestelmässä on nollariviyhdistelmä ja se voidaan jättää pois
yhtä kuin nolla.

arvo 26(Jos ei haluta antaa yhtä systeemin vektoria näiden lineaarisen yhdistelmän katsojille)

vektorijärjestelmä
Sitä ei voida kutsua lineaariseksi neliöksi, koska useampaa kuin yhtä koko järjestelmän vektoreista ei voida esittää koko järjestelmän muiden vektorien lineaariyhdistelmän näkökulmasta.

Lineaarisen kesannon ja itsenäisten vektorijärjestelmien teho

lause 2 (Nollavektori vektorijärjestelmissä)

Jos vektorijärjestelmässä є on nollavektori, niin järjestelmä on lineaarisesti vanhentunut.

 Tule
, Todi.

otrimaєmo
Perustuu myös kesantojärjestelmän arvoon ja nollaviivayhdistelmän läpi kulkeviin vektoreihin (12) järjestelmä on lineaarisesti vanhentunut. 

lause 3 (Kadonnut osajärjestelmä vektorijärjestelmissä)

Jos osajärjestelmä on linjassa vektorijärjestelmän kanssa, koko järjestelmä on rivityhtynyt.

 Tule
- Lineaarinen tyhjentynyt osajärjestelmä
, Niiden joukossa, jotka haluaisivat olla sellainen, joka ei ole liian kallis:

Tämä tarkoittaa, että arvon 23 jälkeen järjestelmä on lineaarisesti vanhentunut. 

Lause 4

Onko osajärjestelmä linjariippumaton järjestelmä ja linjariippumaton.

 Päinvastoin. Älä huoli, järjestelmä on lineaarisesti riippumaton ja alijärjestelmä ei ole linjassa. Heti kun Lause 3 noudatetaan, myös koko järjestelmä putoaa. Protir_chchya. Otzhe, linjariippumattoman järjestelmän alijärjestelmä ei voi olla linja-rivikesanto. 

Geometrinen linjan tunne ja järjestelmien ja vektorien riippumattomuus

Lause 5

kaksi vektoria і lineaariset kesantomaat ja vain todit, jos
.

 Välttämättömyys.

і - lineaarinen kesanto
, Scho vikonutsya umova
... Todi
, Tobto
.

Riittävyys.

Lineaariset talletukset. 

peräkkäisyys 5.1

Nollavektori on kollineaarinen minkä tahansa vektorin kanssa

peräkkäisyys 5.2

Sitä varten kaksi vektoria on lineaarisesti riippumaton, se on välttämätöntä ja riittävää, mutta ei bula collinear .

Lause 6

Tätä tarkoitusta varten kolmen vektorin järjestelmä putoaa lineaarisesti, se on välttämätöntä ja riittävää, jos vektorit ovat samassa tasossa .

 Välttämättömyys.

- Lineaarinen kesanto, myös yksi vektori voidaan esittää kahden viivayhdistelmän näkymässä.

, (13)

de
і
... Suunnikkaan säännön takana є diagonaalinen suunnikas sivuilla
, Ale suuntakuvio - litteä kuva
samantasoisuus
- myös samantasoisuus.

yltäkylläisyys.

- Vaatimustenmukaisuus. Kolme vektoria voidaan raportoida pisteeseen B asti:

C

B`

- Lineaariset talletukset 

peräkkäisyys 6.1

Nollavektori on samantasoinen minkä tahansa vektoriparin kanssa.

peräkkäisyys 6.2

Tälle vektorille
Kiusaaja, se on lopetettava, mutta se ei ole samassa tasossa.

peräkkäisyys 6.3

Voidaanko alueen vektori esittää kahden epälineaarisen vektorin lineaariyhdistelmänä samalla alueella.

Lause 7

Ole kuin chotiri-vektorit avoimessa tilassa .

 Saatavilla on 4 eri tyyppiä:

Piirrä alue vektorin läpi, sitten alue vektorin läpi ja alue vektorin läpi. Sitten piirrämme alueen, joka kulkee pisteen D kautta, yhdensuuntaisesti vektoriparien kanssa; ; varmasti. Linjoja pitkin tulee olemaan yhdensuuntaisia ​​maalinjoja OB 1 D 1 C 1 ABDC.

Asia selvä OB 1 D 1 C 1 - suuntaviiva z kannustaa suuntaviivan sääntöä
.

Näytetään OADD 1 - suuntaviiva (suuntaissärmiön voimasta)
, todі

EMBED-yhtälö. 3.

Lauseen 1 mukaan
taki, scho. Todi
, І arvolle 24 vektorijärjestelmä on linjassa. 

peräkkäisyys 7.1

Otan yhteen kolme ei-tasossa olevaa vektoria avaruudessa є vektori, jotta voidaan päästä ulos suuntaissärmiön lävistäjästä, kehotetaan samaan kolmeen vektoriin, sovellettu tähkän takaosaan, lisäksi vektori summaa kolmen vektorin tähkän takaa.

läpäisy 7.2

Jos otat 3 ei-samantasoista vektoria avoimessa avaruudessa, voidaanko vektoria laajentaa näiden kolmen vektorin lineaariseksi yhdistelmäksi.