Rivnyannya među starijima. Opis rješenja

30.07.2020

Istodobno, postoji način ažuriranja funkcije za drugi diferencijal, dame dodaju tvornicu s novim rješenjem.

Ali tako, postoje diferencijalni ekvivalenti (DK) u obliku P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0, u nekim dijelovima diferencijala takvih funkcija može biti misterija. Danas možemo poznavati strani integral od DK, koji je, ispred glavne diferencijalne funkcije, također poznat.

zadnjica 1

Rivnyannya P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Zapis lijevog dijela ima diferencijal funkcije deyakoi U (x, y) = 0... Za cijeli ma vikonuvatsya um ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Vanjski diferencijal funkcije U (x, y) = 0 gledatelj d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Uz pomoć ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x možemo poreći:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Nakon što smo preobrazili postojanost ryvnyannya iz sistema otriman i rívnyany, možemo to učiniti:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Funkciju φ (y) možemo znati iz drugog ekvivalentnog sustava:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) dx ∂ y + φ y "(y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x, y) dx ∂ ydy

Tako smo znali traženu funkciju U (x, y) = 0.

zadnjica 2

Znati za DK (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 ishodište rješenja.

Odluka

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Reverzibilno, ono što treba vidjeti je ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Naš um je vikonutsya.

Na temelju izračuna možemo kreirati obrazac, ali samo dio vanjskog daljinskog upravljača je sekundarni diferencijal funkcije djelovanja U (x, y) = 0. Trebali bismo znati punu funkciju.

Oscilacije (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y ê obrnutim diferencijalom funkcije U (x, y) = 0 tada je

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Integracija po x po prvi put sustav:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Sada je diferencijacija na y prilagodbe rezultat:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y "(y)

Nakon što smo rekonfigurirali ostale jednake sustave, možemo prepoznati: ∂ U ∂ y = - 2 x y. Tse znači
- 2 x y + φ y "(y) = - 2 x y φ y" (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

de S - postao prilično sretan.

Prepoznatljivo je: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Po početnom integralu narodnog jezika ê x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Odabrat ćemo drugu metodu poznavanja funkcije prema zasebnom diferencijalu. Prijenos zakrivljenog integrala iz fiksne točke (x 0, y 0) u točku s promjenjivim koordinatama (x, y):

U (x, y) = ∫ (x 0, y 0) (x, y) P (x, y) d x + Q (x, y) d y + C

U vrijeme značenja integrala nemoguće je postaviti put integracije. Možemo uzeti staze jaka da integriramo laman, Lanke, koji se može povući paralelno s koordinatnim osi.

zadnjica 3

Znati početnu točku diferencijalne jednadžbe (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

Odluka

Provest ćemo ponovno razmatranje kako bismo otkrili zašto ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Go, gdje je lijevi dio diferencijalne jednadžbe predstavljen sekundarnim diferencijalom deyakoï funkcije U (x, y) = 0. Za poznavanje funkcije potrebno je izračunati zakrivljeni integral iz točke (1 ; 1) prije (x, y)... Vízmemo yak shlyakh integrirati lamanu, dílyanka kako hodati y = 1 od točke (1, 1) do (x, 1), a zatim od točke (x, 1) do (x, y):

∫ (1, 1) (x, y) y - y 2 dx + (x - 2 xy) dy = = ∫ (1, 1) (x, 1) (y - y 2) dx + (x - 2 xy ) dy + + ∫ (x, 1) (x, y) (y - y 2) dx + (x - 2 xy) dy = = ∫ 1 x (1 - 1 2) dx + ∫ 1 y (x - 2 xy) dy = (xy - xy 2) y 1 = = xy - xy 2 - (x 1 - x 1 2) = xy - xy 2

Domaće rješenje diferencijala prikazali smo jednakim obliku x y - x y 2 + C = 0.

zadnjica 4

Unesite početnu točku za diferencijalnu jednadžbu y · cos x d x + sin 2 x d y = 0.

Odluka

Može se ponovno razmotriti da se vidi je li ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Oskilki ∂ (y cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x cos x, onda vam neće smetati. Tse znači da jedini dio diferencijalnog izjednačavanja nije opći diferencijal funkcije. Tse Diferencijalna ekvivalencija od zime, kako rasporediti, i po prvi put ići na najbolje načine rješavanja.

Čim smo zabilježili oprost u tekstu, budi lasica, vidi je i pritisnite Ctrl + Enter

Postavljanje problema za dvostrani prikaz

Ažuriranje funkcije pobjednika za novi diferencijal

9.1. Postavljanje problema za dvosmjerni pogled. 72

9.2. Opis rješenja. 72

Tse jedan od dodataka zakrivljenog integrala II roda.

S obzirom na glavnu razliku funkcije dvaju pobjednika:

Upoznajte funkciju.

1. Pa kako ne funkcionira svaki tip diferencijacije pjevanja U(x,y), onda je potrebno preispitati ispravnost izrade majstora, da bi se preispitala potreba za dovoljnim mentalnim diferencijalom, kao za funkciju 2 zimska čovjeka. Tsya umova vypliva iz ekvivalencije čvrstoće (2) i (3) u teoremu u prethodnom odlomku. Kako je naznačeno ime Viconana, onda je oznaka rješenja, funkcija U(x,y) inovacija je moguća; Ako um nije viconano, tada zavdannya nije rješenje, pa funkcija ažuriranja nije moguća.

2. Moguće je znati funkciju iza drugog diferencijala, na primjer, za dodatni krivocrtni integral II roda, računajući onu s pravca, gdje je fiksna točka ( x 0 ,y 0) ta točka promjene ( x; y) (Mali. osamnaest):

Ovaj rang je prepoznat kao zakrivljeni integral II roda općeg diferencijala dU(x,y) skupa vrijednost funkcije U(x,y) na kraju i na kob točkama linije integracije.

Sada saznajte rezultat, morate poslati zamjenu dU u zakrivljenom integralu viraz i izvršiti izračun integrala za lamanu ( ACB), maksimalna neovisnost od oblika integracijske linije:

na ( AC): na ( SV) :

(1)

U takvom rangu se usvaja formula uz pomoć koje se ažurira funkcija 2 pobjednika za drugi diferencijal.

3. Moguće je ažurirati funkciju za drugačiji diferencijal samo od točnosti do konačnog zbrajanja, d(U+ const) = dU... Odnosno, kao rezultat revizije zadataka, prepoznat ćemo nemogućnost funkcija, tako da se kasnije jedan oblik prikazuje.

Prijavite se (ažurirajte funkciju dva pobjednika za drugi diferencijal)

1. Znati U(x,y), koji dU = (x 2 – y 2)dx – 2xydy.

Revizija glavne razlike funkcija dvaju ministara:

Umovu opću diferencijaciju viconano, od iste, funkcije U(x,y) ažuriranje je moguće.

Pereirka: - Tako je.

Pogled: U(x,y) = x 3 /3 – xy 2 + C.

2. Znati funkciju, taku scho

Ogromna potreba za dovoljnom osnovnom razlikom funkcija triju pobjednika:

Razvoj zadataka

Sve opće razlike posjetitelja, od iste, funkcija se može ažurirati (zadana vrijednost je ispravno postavljena).

Osim toga, koristi se funkcija krivuljastog integrala II vrste, koja je izračunata prema dejakijevoj liniji, tako da se točka fiksira, a točka mijenja, tako da

(Jednako mu je, kao da je obostrano).

S druge strane, zakrivljeni integral druge vrste glavnog diferencijala ne leži u obliku integracijske linije, odnosno jednostavnije je poštivati lamanu, nego presavijati od paralelnih osi koordinata. Kada je točka fiksna, moguće je uzeti točku samo za uzimanje točke s određenim numeričkim koordinatama; Kako bi se poboljšalo poštivanje zadataka, moguće je uzeti fiksnu točku, na primjer, točku M 0. Todi na koži od lanok lamano matimemo

10.2. Proračun površinskog integrala 1. vrste. 79

10.3. Deyaki programi površinskog integrala 1. vrste. 81

Ovo je standardni pogled $ P \ lijevo (x, y \ desno) \ cdot dx + Q \ lijevo (x, y \ desno) \ cdot dy = 0 $, u kojem je lijevi dio drugi diferencijal funkcije deyakoí̈ $ F \ lijevo (x, y \ desno) $, nazivaju se jednakim u više diferencijala.

Izjednačavanje u ostalim diferencijalima može se prepisati u pregledniku $ dF \ lijevo (x, y \ desno) = 0 $, gdje je $ F \ lijevo (x, y \ desno) $ takva funkcija da je $ dF \ lijevo ( x, y \ desno) = P \ lijevo (x, y \ desno) \ cdot dx + Q \ lijevo (x, y \ desno) \ cdot dy $.

Prointegrumo vrijeđajući dio linije $ dF \ lijevo (x, y \ desno) = 0 $: $ \ int dF \ lijevo (x, y \ desno) = F \ lijevo (x, y \ desno) $; Integral od nultog desnog dijela ceste do zadnjeg posta $ C $. U takvom rangu, glavna odluka ovog jednakog u implicitnom obliku je $ F \ lijevo (x, y \ desno) = C $.

Da bi se dobila diferencijalna jednadžba, ona je bila jednaka jednoj u drugim diferencijalima, potrebno je i dovoljno da $ \ frac (\ parcijalni P) (\ parcijalni y) (\ parcijalni y) = \ frac (\ parcijalni Q) (\ djelomični x) $. Ako se misli na ime Viconana, onda je takva funkcija $ F \ lijevo (x, y \ desno) $, za koju možete napisati: $ dF = \ frac (\ parcijalni F) (\ parcijalni x) \ cdot dx + \ frac (\ parcijalni F) (\ djelomični y) \ cdot dy = P \ lijevo (x, y \ desno) \ cdot dx + Q \ lijevo (x, y \ desno) \ cdot dy $, možemo prihvatiti zvijezde samo dva puta: $ \ frac (\ djelomični F) (\ parcijalni x) = P \ lijevo (x, y \ desno) $ í $ \ frac (\ parcijalni F) (\ parcijalni y) = Q \ lijevo ( x, y \ desno) $.

Integralni prvi sp_vv_dnoshennya $ \ frac (\ parcijalni F) (\ parcijalni x) = P \ lijevo (x, y \ desno) $ za $ x $ í bit će zanemariv $ F \ lijevo (x, y \ desno) = \ int P \ lijevo (x, y \ desno) \ cdot dx + U \ lijevo (y \ desno) $, de $ U \ lijevo (y \ desno) $ je dovoljna funkcija iz $ y $.

Pidberemo njen tako, zadovoljni ste jedni s drugima s $ \ frac (\ parcijalni F) (\ djelomični y) = Q \ lijevo (x, y \ desno) $. Za cijeli raspon diferencijacije ne razmišljamo o raspodjeli $F \ lijevo (x, y \ desno) $ po $ y $, a rezultat je obično do $ Q \ lijevo (x, y \ desno) $. Mo: $ \ frac (\ djelomično) (\ djelomično y) \ lijevo (\ int P \ lijevo (x, y \ desno) \ cdot dx \ desno) + U "\ lijevo (y \ desno) = Q \ lijevo ( x, y \ desno) $.

Daljnje rješenje je sljedeće:

iz preostale ekvivalencije znamo $ U "\ lijevo (y \ desno) $;
integracija $ U "\ lijevo (y \ desno) $ í poznato je $ U \ lijevo (y \ desno) $;
stavite $ U \ lijevo (y \ desno) $ na jednakost $ F \ lijevo (x, y \ desno) = \ int P \ lijevo (x, y \ desno) \ cdot dx + U \ lijevo (y \ desno) ) $ i rezidualno je prepoznatljiv po funkciji $ F \ lijevo (x, y \ desno) $.

Poznaje se po razlici:

Integracija $ U "\ lijevo (y \ desno) $ preko $ y $ í poznato je $ U \ lijevo (y \ desno) = \ int \ lijevo (-2 \ desno) \ cdot dy = -2 \ cdot y $ .

Znamo rezultat: $ F \ lijevo (x, y \ desno) = V \ lijevo (x, y \ desno) + U \ lijevo (y \ desno) = 5 \ cdot x \ cdot y ^ (2) +3 \ cdot x \ cdot y-2 \ cdot y $.

Zapisat ću rješenje za gledatelja $ F \ lijevo (x, y \ desno) = C $, ali samo sebe:

Privatno je poznato $ F \ lijevo (x, y \ desno) = F \ lijevo (x_ (0), y_ (0) \ desno) $, de $ y_ (0) = 3 $, $ x_ (0) = 2 $:

Privatno rješenje ma viglyad: 5 $ cdot x cdot y ^ (2) +3 cdot x cdot y-2 cdot y = 102 $.

Vrijednost poslovanja 8.4. Diferencijal za um

de
nazvati rivnyannyam na glavnim razlikama.

Sjajno je što je jedini dio tako jednakog ê glavni diferencijal funkcije deyakoí̈.
.

U zagalny vipad vypadnya (8.4) možete platiti na viglyadí

Možete zamijeniti rivnyannya (8.5).

razvoj aê lokalnom integracijom rivnyannya (8.4). U takvom rangu, za provjeru rivnyannya (8.4), potrebno je poznavati funkciju
... Prema datumu registracije (8.4), maêmo

(8.6)

funkcija
Znajmo, kao funkcija, kao jedan od umova (8.6):

de - dovoljna funkcija, jak za polaganje .

Funkcije
počni ovako, kad vidiš da se drugi um okreće (8.6)

(8.7)

Od virazu (8.7) i za pokretanje funkcije
... Pidstavlyayuchi íí̈ kod viraz za
da ítrimuyut zagalny integral ínígídnogo ívnyannya.

Zavdanja 8.3. Prointegrirati Rivnyannya

Ovdje
.

Otzhe, cijena je smanjena na vrstu diferencijalnih jednadžbi u glavnim diferencijalima. funkcija
idemo shukati na viglyadí

sa strane,

U brojnim umovima
možda ne visonuvatis.

Todi takí ívnyannya do tipa, kako paziti, voditi se tolikim brojem naslova je integrirajući množitelj, koji je, u zalnyy vipadku, samo funkcija abo .

Yakshcho na deyakogo ryvnyannya isnuintegrirajući množitelj, , onda bismo trebali krenuti s formulom

de paviljon maê buti lishe funktsíu .

Slično, što je množitelj integratora, a što se samo deponira , Počnite s Formulom

de paviljon
maê buti lishe funktsíu .

Posjeti za one koji prisustvuju, po prvi put , a za drugu - ironično Upoznat ću se s množiteljem integracije za ovaj jednak.

Zavdannya 8.4. Dovedite cijenu na razinu cijene u glavnim razlikama.

Vidljivi zatvarač:

Tema 8.2. Linearni diferencijalni ekvivalenti

Vrijednost poslovanja 8.5... Diferencijalna Rivnyannya
nazvati linijom, jer je to postrojenje shukano funkcije , í̈s nepristojan a ne osvećivati se stvaranju funkcije shukanoy i funky.

Pogled izvan kutije diferencijalne linije za takve odnose:

(8.8)

Yakshcho i spivvidnoshenni (8.8) prava dijela
, Uzmite rívnyannya pod nazivom linearni jednostrani. Vipadku, ako je časna prava
, Također, naziva se linearnim heterogenim.

Pokazat će se da se jednadžba (8.8) integrira na kvadraturama.

U prvoj fazi, linija je jednostrana.

Također Pravedan,

;

Ostann spívvídnoshennya viznachaê u kućnom rješenju linije jednolinija rívnyannya.

Za šalu o gotovim rješenjem linearnog heterogenog rivalstva, postoji način variranja starog post-mortema. Ideja metode u onom koji je izvan rješenja linearne neujednačene rivne u tom viglyadu, kao i rješenje općeg, jednorednog rivna, proteinskog stupa biti zamijenjen deyako funkcijom
, scho pidlyagaê vrijednost. Otzhe, maêmo:

(8.9)

U slučaju sportaša (8.8) virazi,
і
, otrimaêmo

Posljednji viraz možete pobijediti na sportskom mitingu (8.9), možete pobijediti u stranoj integraciji linearnog neujednačenog suparništva.

Takav rang, rješenje izvan kutije linearnog, neujednačenog omjera, utvrđuje se pomoću dvije kvadrature: rješenja izvan kutije linearnog, jednostranog suparništva i izvan- of-the-box rješenje neujednačenog, neujednačenog obroka.

Zavdanja 8.5. Prointegrirati Rivnyannya