Razkladannya u nizu fur'ê momci i neuparene funkcije neefikasnost bezsel parseval. Riadi Fur'ê: Istorija i infuzija matematičkog mehanizma na razvoj nauke

Riadi Fur'ê - cijena prilično zauzete funkcije s određenim periodom od viglyadi reda. U posmatraču okrenutom prema van, rješenje se naziva raspored elementa na ortogonalnoj osnovi. Implementacija funkcija za određeni broj Fur'êa upotpuniti alatima za naprezanje prilikom razvoja razvojnih radnika do autoriteta ove ponovne implementacije uz integraciju, diferencijaciju, kao i korištenje argumenata i argumenata.

Ljudin, koji ne zna ništa o matematici, ali ni o korenima francuskog kuvanog Fur'êa, koji je bolji za sve, ne za zvuk, već za "red" i kome je smrad potreban. A u međuvremenu, proces rekonstrukcije do kraja je otišao u naš život. Ne zamjeraju bez matematike, već fizike, hemije, liječnika, astronoma, seizmologa, okeanografije i mnogih drugih. Upoznajmo se pobliže sa precima velikog francuskog vinara, kao da je tresak vapaja, kako je čas bio pred nama.

Lyudina ta reinkarnacija Fur'êa

Niz Fur'ê ê u jednoj od metoda (red analize i ínshim) Proces se generiše zvukom, ako osoba ima zvuk. Naše vuho, u automatskom režimu, je rekreacija elementarnih čestica u centru opruge, koji je položen u red (izvan spektra) poslednje dnevne vrednosti čistoće za tonove rasta. Daleki um ponovo stvara počast zvucima koje smo primili. Svi zadaci moraju biti okruženi našim znanjem o dokazima, sami po sebi, a da bismo razumjeli proces, potrebno je znati kako se to radi u matematici.

Izvještaj o transformaciji Fur'ê

Reinkarnacija Fur'êa se može izvesti analitičkim, numeričkim i ínshim metodama. Brojni Fur'ê se odnose na numeričku metodu polaganja bilo kakvih kolivalnih procesa - od okeanske plime i lagane hladnoće do ciklusa pospanih (ti astronomski objekti) aktivnosti. Moguće je odabrati funkcije koje predstavljaju niz sinusoidnih skladišnih procesa poput niza sinusoidnih skladišta, koji se kreću od minimuma do maksimuma i unazad. Ponovna implementacija funkcije Fur'ê, koja opisuje fazu i amplitudu sinusoida, koji pokazuju frekvencije pjevanja. Cijeli proces može biti pobjednički za razvoj još više sklopivih rivljana, koji opisuju dinamičke procese koji proizlaze iz topline, svjetlosti i električne energije. Isto tako, veliki broj Fur'ê omogućava vizualizaciju neprekidnih skladišta na preklopnim kolizijskim signalima, zbog čega je postalo moguće ispravno interpretirati eksperimentalne mjere opreza u medicini, hemiji i astronomiji.

Istorijska izjava

Otac-otac teorije je francuski matematičar Jean Bathist Joseph Fur'ê. Yogo im'yam zgod i bulo se zove ponovno stvaranje. U ovoj metodi pronađena je zbirka ideja za implantaciju i objašnjenje mehanizama provođenja toplote – širenja toplote u čvrstim tijelima. Fur'ê, puštajući ga, sa prskanjem nepravilnih izraslina, moguće je raširiti na najjednostavniju sinusoidu, minimalnu i maksimum temperature kože, kao i svoju fazu. Sa širokim rasponom kože, takva komponenta se gubi od minimuma do maksimuma unazad. Matematička funkcija, koja opisuje gornji i donji vrh krivulje, kao i fazu kožnih harmonika, nazvana je ponovno stvaranje Fur'êa u obliku porasta temperature. Autor teorije vanredne funkcije, pošto je važno pridržavati se matematičkog opisa, još više priručnika u nizu kosinusa i sinusa, ali u zbroju, dati izvan- izlaz kutije.

Princip ponovnog izvođenja i pogled na zabavu

Učesnici istorije matematike - najraniji matematičari 19. veka - nisu prihvatili teoriju. Glavne izjave Fur'a dao je o onima koji imaju funkciju, kako opisati pravu liniju ili krivu, kako otvoriti, moguće je platiti porez na zbir sinusoidnih talasa, koji su bez prekida. Na zadnjici jaka možete vidjeti Heaviside "okupljanje". Kvaliteta funkcije je posljedica nakupljanja električnog strujanja iz doba dana kada je lantsug zbunjen. Učesnici teorije u to vrijeme nisu se držali takve situacije, iako je viraz opisan kombinacijom neponovljivih, izvanrednih funkcija, kao što su eksponent, sinusoida, linija je abokvadratna.

Zašto su francuski matematičari imali koristi od Furove teorije?

Čak i ako matematičara zanima njegova čvrstina, onda, ako postoji beskonačan trigonometrijski niz Fur'êa, moguće je preciznije zaključiti manifestaciju čestog okretanja u takvoj vrsti pada, kao da toga nema. . U uhu 19. veka, čvrstina je delovala apsurdno. Iako nevažni u svim znanjima, mnogi matematičari su proširili sferu uvođenja fenomena, oživjeli ga u posljednjih nekoliko godina toplotne provodljivosti. Većinom se većina učenika mučila za hranu: "Kako se zbir sinusoidnog niza može konvergirati tačnoj vrijednosti funkcije raspodjele?"

Sličnost redova Fur'ê: zadnjica

Prehrana o potrebi za dodatnim brojevima. Za udobniji fenomen vidljiva je klasična zadnjica. Da li biste mogli, ako nema načina da dođete do tačke, kako će mršavi ofanzivni krokod biti najmanji za sljedeću? Pretpostavimo da ste dva metra udaljeni od puta, šafranica je blizu polovine, ofanziva je do tri četvrtine, a nakon sljedećeg ćete doći na 97. put. Međutim, riječi b i v nisu bile krive, željenu oznaku koju nećete postići u strogom matematičkom smislu. Vikoristovuči numeričke rosrahunke, moguće je donijeti, da se uz dozvolu moguće približiti najmanjem skupu podataka. Danska dokazuje da je to ekvivalentno demonstraciji činjenice da će ukupna vrijednost jednog drugog, jedne četvrtine, biti pragmatična samo za jednog.

Ishrana posla: prijatelj koji dolazi, za Prilad Lorda Kelvina

Cena hrane se ponovila krajem devetnaestog veka, budući da je jedan broj Fur'ê pokušao zasosuvati da predvidi intenzitet pojačane i visoke plime. Na kraju sata prikačen je Lord Kelvin buv vinaydeny, što je analogni numerički dodatak, koji je omogućio mornarima ruske i trgovačke flote da prikažu prirodni fenomen. Danski mehanizam tako što započinje regrutaciju faza i amplituda prema tabelama učestalosti ispiranja i trenutnih vremenskih trenutaka, koji su privremeno zamrznuti u ovoj luci, protežući se do stijene. Skin parametar ima sinusoidnu komponentu viraz protoka i jedno od redovnih skladišta. Rezultati vimiryuvana uvedeni su u proračun Lorda Kelvina, koji je sintetizirao krivulju, koja je prenijela visinu vodstva na funkciju ofanzivne sudbine tima. Nenametljive krivulje boćanja presavijene su u svim lukama svijeta.

I kako će proces biti uništen od strane maloprodajne funkcije?

U tom času je postalo očito da je to u redu, da to prelazi u bolest izlijevanja, zbog velikog broja elemenata u rakunki, možete prebrojati veliki broj faza i amplituda i tako spriječiti tačniji prenos. Protest se pojavio, da ne naiđe na pravilnost kod tihih ljudi, ako plimni viraz, koji je klizač sinteze, otkriva jak stribok, tako da će biti ružičast. Istovremeno, ako je potrebno unijeti podatke iz tablica vremenskih trenutaka, tada je nemoguće izračunati broj decilkoh stopa Fur'êa. Specifična funkcija se ažurira na sinusne komponente (prema poznatim performansama). Robusnost između odlaznog i obnovljivog viraza moguća je u svakom trenutku. Prilikom preračunavanja te naredbe vidi se da se vrijednost najviše pomilovanja ne mijenja. Međutim, smrad je lokaliziran u području, gdje će pokazati tačku rezanja, a ako je to tačka, promašit će nulu. Godine 1899. potvrđen je rezultat teorijske potvrde Joshue Willard Gibbsa sa Univerziteta Ulsky.

Sličnost serije Fur'ê i razvoja matematike općenito

Analiz Fur'ê ne stagnira do pauza, već da primi beskrajan broj prskanja na intervalu pjevanja. U čitavoj seriji Fur'ê, funkcija klipa je predstavljena rezultatom stvarnog fizičkog vimira, koji uvijek konvergira. Ishrana datog procesa za određene klase funkcija dovedena je do pojave novih grana matematike, na primer, teorije društvenih funkcija. Vona se vezuje za imena kao što su L. Schwartz, J. Mikusinsky i J. Temple. U okviru teorije Bule postavljeno je čitanje i tačna teorijska osnova za takav virazi, poput Diracove delta funkcije (opisat ću područje jednog područja, koncentrisanog u beskonačno maloj periferiji tačka) i "korak" Heviraza. Režiseri robotske serije Fur'ê postali su skriveni za emitovanje seoskih i industrijskih zgrada, u kojima je figura intuitivnog: tačkasto naelektrisanje, tačkasta masa, magnetni dipoli, kao i sistem za postavljanje na balti.

Krzna metodaê

Niz Fur'êa, prema principima interferencije, može se popraviti savijanjem sklopivih oblika veće jednostavnosti. Na primjer, promjena toka topline se objašnjava prijelazom kroz prijelaz iz toplotnoizolacionog materijala u pogrešan oblik, bilo opakom površinom zemlje - zemljom, zmijolikom orbite neba - priliv planeta. U pravilu, malo ryvnyannya, kako opisati jednostavan klasični sistem, za elementarno otkrivanje stanja kože. Fur'ê pokazuje da se jednostavno rješenje može koristiti i za uskraćivanje više sklopivih zgrada. Vislovlyuyuchis moja matematika, serija Fur'ê - cijela metoda podnošenja rotirajuće sume harmonika - kosinusoida i sinusoida. U tom cilju, analiza vidomija je i u svrhu "harmonične analize".

Brojni Fur'ê - idealna tehnika za "dobivanje kompjutera"

Prije uspostavljanja kompjuterske tehnologije, Fur'ê Bull metodologija je bila najljepši dodatak arsenalu svih robota s prirodom našeg svjetla. Broj Fur'ê u složenom obliku omogućava virishuvati da ne bude lišen jednostavnosti poduhvata, jer je moguće direktno opstruirati zakone Njutnove mehanike, već fundamentalne principe. Većina uvida u Njutnovsku nauku devetnaestog veka postala je više nego dovoljna za poznavanje metodologije Fura.

Riadi Fur'ê seogodní

Sa razvojem kompjutera, ponovnim razvojem Fur'êa, došlo je do jasno nove rivn. Ova metodologija je razvijena praktično u svim sferama nauke i tehnologije. Jak kundakom možete usmjeriti digitalni audio i video signal. Implementacija Yogo-a postala je užasno lišavanje teorije, koju je francuski matematičar razbio na klipu 19. veka. Dakle, jedan broj Fur'ê u složenom obliku, omogućavajući rast rupe u vivchenna kosmičkom prostoru. Osim toga, cijena je vezana za razvoj fizike provodnih materijala i plazme, mikrohromske akustike, okeanografije, radio lociranja i seizmologije.

Trigonometrijska serija Fur'ê

U matematici, niz Fur'ê ê je na način definisanja dovoljnih funkcija preklapanja zbirom jednostavnih. U udaljenim vipadama, broj takvih viraza može biti beskonačan. Ako je to više od količine štete tokom procesa, tačnije je dobiti konačni rezultat. Najčešće je to najjednostavnija vikoristička trigonometrijska funkcija kosinusa ili sinusa. U takvim serijama, Fur'ê se nazivaju trigonometrijskim, a prikaz takvih varijacija naziva se harmonijska distribucija. Čitav metod vizualizacije u matematici. Ispred je predviđen trigonometrijski niz za sliku, kao i uvođenje funkcija, glavnog aparata teorije. Osim toga, vino dozvoljava nepoznavanje matematičke fizike. Nareshty, čitava teorija je otišla do dna razvoja još važnijih grana matematičke nauke (teorija integrala, teorija periodičnih funkcija). Osim toga, poslužila je kao prava tačka za razvoj ofanzivnih funkcija dinamičke promjene, kao i za hvatanje harmonične analize.

Niz Fur'ê periodičnih funkcija iz perioda 2π.

Brojni Fur'ê omogućavaju periodične funkcije koje se mogu sklopiti na komponente. Zamjena struna i opruga, zamjena, brzina i ubrzanje klipnjačkih mehanizama i akustičnih hvila - sve vrste praktičnih kundaka pohranjivanja periodičnih funkcija u inženjerske rostere.

Polaganjem u nizu Fur'ê teče na skupu, ali sve funkcije, ali praktično značajne u intervalu -π ≤x≤ π, moguće je kretati se u pogledu sličnih trigonometrijskih redova (broj sličnih članova, nakon

Standardna (= zvychany) notacija kroz zbir sinx i cosx

f (x) = a o + a 1 cosx + a 2 cos2x + a 3 cos3x + ... + b 1 sinx + b 2 sin2x + b 3 sin3x + ...,

de a o, a 1, a 2, ..., b 1, b 2, .. - Referentne konstante, tobto.

De za raspon od -π do π do performansi broja Fur'ê koje treba platiti formulama:

Karakteristike a o, a n í b n tzv kofítsíêntami Fur'ê, a ako je moguće znati, tada se naziva niz (1). naručiti krzno, po funkciji f (x). Za seriju (1), pojam (a 1 cosx + b 1 sinx) naziva se prvim ili glavni harmonik,

Najbolji način da se zapiše red je viktorijanski sp_vvidnoshennya acosx + bsinx = csin (x + α)

f (x) = a o + c 1 sin (x + α 1) + c 2 sin (2x + α 2) + ... + c n sin (nx + α n)

De ao je konstanta, s 1 = (a 1 2 + b 1 2) 1/2, sn = (an 2 + bn 2) 1/2 su amplitude ostalih komponenti, a dorívnyuê an = arctan an / b n.

Za niz (1), pojam (a 1 cosx + b 1 sinx) ili c 1 sin (x + α 1) naziva se prvim ili glavni harmonik,(a 2 cos2x + b 2 sin2x) ili c 2 sin (2x + α 2) nazvati drugi harmonik i do sada.

Za preciznu detekciju signala preklapanja potreban je neograničen broj članova. Međutim, praktično osoblje bagatjoka ima dovoljno prskanja prvih članova.

Niz Fur'ê neperiodičnih funkcija iz perioda 2π.

Distribucija funkcija koje se ne ponavljaju.

Budući da funkcija f (x) nije periodična, to znači da se ne može postaviti u red Fur'ê za sve vrijednosti x. Međutim, moguće je napraviti broj Fur'ê, koji predstavlja funkciju u bilo kojem opsegu širine 2?

Ako je data neperiodična funkcija, moguće je dodati novu funkciju, vrijednost f (x) u rasponu pjevanja vibrira i pozicija se ponavlja s rasponom s intervalom od 2π. Oscilacije su nova funkcija ê periodična sa periodom od 2π, íí̈ se može proširiti na red Fur'ê za sve vrijednosti. Na primjer, funkcija f (x) = x nije periodična. Međutim, ako je potrebno proširiti í̈ u nizu Fur'ê na intervalu od do 2π, tada će pozicija intervala biti periodična funkcija s periodom od 2π (kao što je prikazano na donjoj slici).

Za neperiodične funkcije, kao što je f (x) = x, zbir broja Fur'ê je odgovarajuća vrijednost f (x) u svim tačkama datog raspona, ali ne i f (x) za tačke na poziciji raspona. Za poznavanje većeg broja Fur'ê neperiodičnih funkcija u opsegu od 2π, koristi se ista formula koeficijenata Fur'ê.

Uparene i neuparene funkcije.

Recimo, funkcija y = f (x) parna gdje je f (-x) = f (x) za sve vrijednosti x. Grafovi uparenih funkcija su zasnovani na simetričnim funkcijama (prikažu se kao ogledalo). Dvije uparene funkcije: y = x 2 í y = cosx.

Recimo da je funkcija y = f (x) unpaired gdje je f (-x) = - f (x) sve vrijednosti x. Grafovi nesparenih funkcija zavise od simetričnih koordinata.

Bagato funkcije nisu tipovi, nisu upareni.

Širenje u nizu Fur'ê u kosinusu.

Niz Fur'ê uparenih periodičnih funkcija f (x) sa periodom od 2π može ukloniti članove iz kosinusa (kako ne bi uklonio članove iz sinusa), a možete uključiti i stalni član. otzhe,

de kofizinti broj Fur'ê,

Niz Furove nesparene periodične funkcije f (x) sa periodom od 2π je zamjena članova sinusima (kako se članovi ne bi osvetili kosinusima).

otzhe,

de kofizinti broj Fur'ê,

Red Fur'ê na pivperiodi.

Kako je funkcija namijenjena rasponu, recimo od 0 do π, a ne samo od 0 do 2π, može se postaviti u red samo sa sinusima ili samo kosinusima. Otrimaniy broj Fur'ê se zove naručiti Fur'ê na napívperíodí.

Potrebno je ispraviti distribuciju Fur'ê na napivperiodi na kosinusima funkciju f (x) u rasponu od 0 do π, potrebno je dodati par periodičnih funkcija. Na sl. Funkcija f (x) = x je prikazana u nastavku, tražena na intervalu od x = 0 do x = π. Oscilacije uparene funkcije su simetrične, ali osu f (x) vodi AB linija, što je prikazano na sl. niže. Samo ga pustite, ali položaj posmatranog intervala se urezuje u trouglasti oblik ê periodično sa periodom od 2π, a zatim se prikazuje okvirna grafika. na sl. niže. Oscilacije treba da odbiju raspored Fur'ê po kosinusima, kao i ranije, izračunata efikasnost Fur'ê a o í a n

Potrebno je ispraviti distribucija Fur'ê na napívperíodí iza sinusa funkcija f (x) u rasponu od 0 do π, potrebno je imati nesparenu periodičnu funkciju. Na sl. Funkcija f (x) = x je prikazana u nastavku, tražena na intervalu od x = 0 do x = π. Oscilacije su neuparene, funkcija je simetrična u odnosu na klip koordinata, to će biti CD linija, kao što je prikazano na sl. Samo ga pustite, ali položaj signala nalik fajlu periodično sa periodom od 2π, položaj signala nalik fajlu sa periodom od 2π, zatim, očitavanja na Sl. Oscilacije treba odbaciti za raspored Furina na osnovu sinusa, kako ranije tako i ranije, računato po vrijednosti Fur. b

Broj Fur'ê za pre-interval.

Proširivanje periodičnih funkcija iz perioda L.

Periodična funkcija f (x) se ponavlja iz inkremenata x L, dakle. f (x + L) = f (x). Prelazak sa funkcija koje su prethodno bile prikazane iz perioda 2π na funkcije iz perioda L da bi se završilo jednostavno, nešto od ovoga se može učiniti za dodatnu promjenu promjene.

Kako saznati seriju Fun'ê funkcije f (x) u rasponu -L / 2≤x≤L / 2, uvodimo novu promjenu u u takvom rangu da je funkcija f (x) mali period 2π i onda u. Ako je u = 2πx / L, tada je x = -L / 2 za u = -π i x = L / 2 za u = π. Takođe, nemojte dozvoliti da je f (x) = f (Lu / 2π) = F (u). Serija Fur'ê F (u) maê viglyad

(Između integracije se može zamijeniti bilo koji interval do L, na primjer, od 0 do L)

Niz Fur'ê za napívperiod za funkcije postavljene u intervalu L ≠ 2π.

Za instalaciju u = πh / L, interval od x = 0 do x = L je od intervala od u = 0 do u = π. Dakle, funkcija se može proširiti u nizu samo kosinusom ili samo sinusom, tobto. v red Fur'ê na pivperiodi.

Proširivanje kosinusa u rasponu od 0 do L ma viglyad

Riadi Fur'ê- način predstavljanja funkcije preklapanja zbirom jednostavnih i dobrih.
Sinus i kosinus - periodične funkcije. Čak i smrad ortogonalne osnove. Qiu snaga se može objasniti analogijom sa osovinama X X Xі Y Y Y na koordinatnoj površini. Dakle, kao što možemo opisati koordinate tačke duž osi, možemo opisati da li je funkcija i sinusa i kosinusa. Trigonometrijske funkcije je lako naučiti iz matematike.

Pojava sinusa i kosinusa je moguća za gledaoca takvog hwila:

Sinus - tse kosinus, chervoní - sinus. Nazivaju ih i harmonicima. Kosinusi su momci, sinusi su nespareni. Izraz harmonika potiče iz antike i odijevanja i upozorenja o međusobnoj povezanosti zvukova iz muzike.

Sho također veslaj Fur'ê

Takav niz, kako je najjednostavnije opisati funkciju sinusa i kosinusa, naziva se trigonometrijski. Nazvan u čast svog ljubitelja vina Jean Batist Joseph Fur'ê, na primjer XVIII - uho iz XIX vijeka. nekako dokazavši da, da li se funkcija može predstaviti u vigliadi, kombinacija takvih harmonika. I što više uzimate, što više uzimate, to više uzimate. Na primjer, slika je niža: moguće je bockati, sa velikim brojem harmonika, odnosno članovi su niski Fur'ê, crveni grafikon je dovoljno star da bude bliži plavom - opaka funkcija.

Praktično skladištenje u gorkom svití

A šta je sa potrošnjom više puta? Kako se možete zaglaviti na praktičan i praktičan način? Vyavlyayetsya, Fur'ê za to i vidomy za cijeli svijet, ali praktični cimet yogo ljubavi je doslovno neklasifikovan. Oh, lako je to popraviti tamo, de be-yaki chi khvili: akustika, astronomija, radiotehnika također. bud. Najjednostavnija guza yogo victoriannya: mehanizam robota i kamere i video kamere. Objasniću u kraćem vremenu da se ne mogu dodati samo slike, već izvedba Fur's serije. Í pratsyuê tse skríz - sat vremena gledanja slika na Internetu, filma ili slušanja muzike. Članak možete pročitati sa svog mobilnog telefona ako ste ljubitelj Fur'ê vi rangova. Bez revizije Fur'êa, nismo dobili najbolju internet propusnost, ali samo pogledajte video na YouTube-u i pogledajte standardni kvalitet.

Na cijeloj shemi dvosvjetske transformacije Fur'ê, kao vikoristovuyutsya za distribuciju slike na harmonike, tako da su osnovna skladišta. Na dijagramu je vrijednost -1, bilim kodirana crnom bojom, a desno i dolje iza grafikona frekvencija raste.

Lansiranje u nizu Fur'ê

Pevajući, vzhe vzhe vtomilsya pročitajte, isto važi i za formule.
Za takav matematički pristup, kao što je distribucija funkcija u redu Fur'ê, braća su integrisana. Bagato Integral Na viglyadu iz kutije, pišem red Fur'ê na viglyadu beskrajnog sumija:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (an cos ⁡ (nx) + bn sin ⁡ (nx)) f (x) = A + \ displaystyle \ sum_ (n = 1) ^ (\ infty) (a_n \ cos (nx) + b_n \ sin (nx))f (x) =A +n = 1∑ ∞ ​ (a n​ cos (n x) +b n​ grijeh (n x))
de
A = 1 2 π ∫ - π π f (x) d x A = \ frac (1) (2 \ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) dxA =2 π1 ​ − π ∫ π ​ f (x) d x
an = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (nx) dx a_n = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ cos (nx) dxa n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (n x) d x
bn = 1 π ∫ - π π f (x) sin ⁡ (nx) dx b_n = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ sin (nx) dxb n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (n x) d x

Moguće je imati beskonačan broj puta. a n a_n a n​ і b n b_n b n​ (Miriše i zovu se konferencije za distribuciju Fur'ê, AA A- tse samo nakon distribucije), tada će određeni broj grešaka u rezultatu biti 100% spremljen iz izlazne funkcije f (x) f (x) f (x) na osnovu - π - \ pi − π prije π \ pi π ... Ovo je primjer artikulacije moći integracije sinusa i kosinusa. Chim more n n n Za bilo koji dizajn funkcija, distribucija funkcija u nizu će biti preciznija.

guza

Jednostavan za korištenje y = 5 x y = 5x y =5 x
A = 1 2 π ∫ - π π f (x) dx = 1 2 π ∫ - π π 5 xdx = 0 A = \ frac (1) (2 \ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) dx = \ frac (1) (2 \ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) 5xdx = 0A =2 π1 ​ − π ∫ π ​ f (x) d x =2 π1 ​ − π ∫ π ​ 5 x d x =0
a 1 = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x cos ⁡ (x) dx = 0 a_1 = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ cos (x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi ) 5x \ cos (x) dx = 0a 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (x) d x =0
b 1 = 1 π ∫ - π π f (x) sin ⁡ (x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x sin ⁡ (x) dx = 10 b_1 = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ sin (x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi ) 5x \ sin (x) dx = 10b 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x sin (x) d x =1 0
a 2 = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (2 x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x cos ⁡ (2 x) dx = 0 a_2 = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ cos (2x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ ( \ pi ) 5x \ cos (2x) dx = 0a 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (2 x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x) d x =0
b 2 = 1 π ∫ - π π f (x) sin ⁡ (2 x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x sin ⁡ (2 x) dx = - 5 b_2 = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ sin (2x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) 5x \ sin (2x) dx = -5b 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x) grijeh(2 x) dx= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 xgrijeh(2 x) dx= − 5

Tako sam daleko. Sa takvom funkcijom odmah možemo reći da je sve a n = 0 a_n = 0an​ = 0 , kofítsíênti b n b_nbn​ slučajno se računa. Yakshho mi vizmemo pershi chotiri članovi su raspoređeni u nizu Fur'ê za funkciju y = 5 x y = 5xy= 5 x, Otrimaêmo:

$5x\approx 10\cdot \mathrm{grijeh}(x)-5\cdot \mathrm{grijeh}(2\cdot x)+310\cdot \mathrm{grijeh}(3\cdot x)-25\cdot \mathrm{grijeh}(4\cdot x)$

Grafikon funkcije, koja je ušla, pratit će ofanzivni rang:

Lansiranje, scho je otišao, u nizu Fur'ê se približio našoj funkciji izvan kutije. Kako ima više članova u nizu, na primjer, 15, onda je vjerojatniji sljedeći korak:

Više članova u nizu, tačnije.
Međutim, skala grafa je promjenjiva, moguće je primijetiti još jednu osobinu ponovne implementacije: nizak Fur'ê - periodična funkcija s periodom 2 π 2 \ pi2 π .

U takvom rangu, možete zamisliti da li je to funkcija, kao što je ê bez prekidanja [- π; π] [- \ pi; \ pi][ − π ; π ] ... Sva cijena je neophodna da bi se moglo analizirati kako se izgled analizira, te da se opiše funkcijama preklapanja. Neću da budem analitički (tobto za formulu), izgubiću je, ali nemam problema sa setom sinusa i problema. Većinu vremena je moguće prikazati do većeg broja Fur'ê, ali najčešće je to moguće analitički prikazati na jednostavnim modelima, jednom iz primjene nekih i nizom Fur'ê.

Transkript

1 MINISTARSTVO PROCJENE NAUKE FIZIČKOG FAKULTETA RF NOVOSIBIRSKI DERŽAVNI UNIVERZITET R.K.BELKHEVA OPIS KRZNA U PRIMENAMA I PROBLEMA Navchalnyi posibnik1

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkhêêva R.K. holding un-t. Novosibirsk, s. ISBN Na početku posete, glavni gledalac serije Fur'ê je pobednik; Detaljan dizajn kundaka za metodu Fur'ê prije rješavanja problema oko poprečne tetive. Dostavljen ilustrativni materijal. Ê zavdannya nezavisno rešenje. Zadaci za studente i pobede na Fizičkom fakultetu NSU. Postanite prijatelj u Virishenna metodičkom komitetu Fizičkog fakulteta NSU. Recenzent dr. fiz. nauke. V. A. Aleksandrov Zbirka priprema u okviru implementacije Programa razvoja NDU-NSU na str. ISBN s Novosibirski državni univerzitet, 211 s Belkhova R.K., 211

3 1. Proširivanje 2π-periodičnih funkcija na niz Fur'ê Viznachennya. Dodjela za funkciju f (x) naziva se funkcionalni niz a 2 + (an cosnx + bn sin nx), (1) de-performans an, bn se može izračunati prema formulama: an = 1 π bn = 1 π f (x) cosnxdx, n =, 1, ..., (2) f (x) sin nxdx, n = 1, 2, .... (3) Formule (2) (3) se nazivaju Euler Fur 'ê formule. Činjenica da funkcija f (x) podsjeća na niz Fur'ê (1) zapisuje se u obliku f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) (4) i čini se da je desni dio formula (4) ê po formalnom nizu Fur'ê funkcije f (x). Drugim riječima, čini se da formula (4) znači da efikasnost a n, b n nije poznata za formule (2), (3). 3

4 Viznachennya. 2π-periodična funkcija f (x) naziva se šmatkovo-glatka, čak i ako u intervalu [, π] postoji Kincev broj točaka = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Mala. 1. Grafikon funkcije f (x) Izračunava efikasnost Fur'ê a = 1 π f (x) dx = 1 π x 2 2 π = π, an = 1 π f (x) cosnxdx = 2 π = 2 () x sin nx cos nx + π nn 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = bn = 1 π π = 2 π f (x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, za n neuparene, za n uparene, f (x) sin nxdx =, pa je funkcija f (x) uparena. Možemo zapisati formalni Fur'ê niz za funkciju f (x): f (x) π 2 4 π k = 5 cos (2k + 1) x (2k + 1) 2.

6 Jasno je da je funkcija f (x) glatka po komadima. Dakle, kako je bez prekida, računa se samo između (6) na krajnjim tačkama između x = ± π i na tački zla x =: í f (π h) f (π) π h π f (+ h ) f (+) + h () lim = lim h + hh + hf (+ h) f (+) + h lim = lim = 1, h + hh + h = 1, f (h) f () h ( ) lim = lim = 1. h + hh + h Između ísnyu i íntseví, iako je funkcija glatka. Prema teoremi o Krapkovu, vrijednost Fuorovog niza konvergira na f (x) u tački kože, tako da je f (x) = π 2 4 π k = cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) Na sl. 2, 3 ukazuje na prirodu pristupa parcijalnih suma nizu Fur'ê S n (x), de S n (x) = an 2 + (ak coskx + bk sin kx), k = 1 funkciji f (x) na intervalu [, π]. 6

7 Mala. 2. Grafikon funkcije f (x) sa nametanjem parcijalnih suma na grafove S (x) = a 2 i S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x Sl. 3. Grafikon funkcije f (x) se superponira na novi graf zbirne slike S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 Podnošenjem u (7) x = otrimaêmo: = π 2 4 π k = 1 (2k + 1) 2, zvijezde znaju zbir numeričkog niza: = π2 8. Poznavajući zbir reda, lako je znati sljedeći Maêmo zbir: S = ( ) S = () = π S, čak i S = π2 6, dakle 1 n = π Zbir poznatog niza prvog poznatog Leonarda Eilera. Vona često studira matematičku analizu i dodatke. DODATAK 2. Na malom grafikonu znamo niz funkcija dat formulom f (x) = x za x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Mala. 4. Grafikon funkcije f (x) Funkcija f (x) se kontinuirano diferencira intervalom (, π). U tačkama x = ± π, postoji nekoliko tačaka između (5): f () =, f (π) = π. Osim toga, postoji razlika između (6): f (+ h) f (+) lim = 1 í h + hf (π h) f (π +) lim = 1. h + h glatka funkcija. Ako je funkcija f (x) nesparena, tada je a n =. Poznato je da je učinak bn integrisan po dijelovima: bn = 1 π f (x) sin πnxdx = 1 [x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1) n π + (1) n π] = 2 ( 1) n + 1. n Veoma formalan niz Fur'ê funkcija 2 (1) n + 1 f (x) sin nx. n 9 cosnxdx] =

10 Prema teoremama o protoku, vrijednosti glatke 2π-periodične funkcije koje se skupljaju, serija Fur funkcije f (x) se spušta na zbir: 2 (1) n + 1 sin nx = nf (x) = x, kao π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Mala. 6. Grafikon funkcije f (x) će biti prekriven grafikom sume grafikona S2 (x) Sl. 7. Grafikon funkcije f (x) prekriven na novom grafu zbroja S 3 (x) 11

12 Mala. 8. Grafikon funkcije f (x) bit će superponiran na novi graf sume S 99 (x). Pouzdan (8) x = π / 2. Todi 2 () + ... = π 2, ili = n = (1) n 2n + 1 = π 4. Lako smo znali zbir Leibnizove porodice. Imajući poklavl u (8) x = π / 3, znamo () + ... = π 2 3, ili (1+ 1) () (k) 3π + ... = 3k

13 DODATAK 3. Mali grafikon, znamo niz Fur'ê funkcija f (x) = sin x, uz priznavanje da je period 2π, í 1 se izračunava kao zbir niza brojeva 4n 2 1. Rješenje. Grafikon funkcije f (x) prikazan je na sl. 9. Očigledno, f (x) = sin x je neprekidna uparena funkcija iz perioda π. Ale 2π je također period funkcije f (x). Mala. 9. Grafikon funkcije f (x) Izračunava efikasnost Fur'ê. Usi b n = na činjenicu da je funkcija uparena. Okrunjen trigonometrijskim formulama, numerisan je an na n 1: an = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin (1 + n) x sin (1 n) x) dx = = 1 ( ) π cos (1 + n) x cos (1 n) x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 (4 1, kada je n = 2k, = π n 2 1, kada je n = 2k

14 Proračun nam ne dozvoljava da znamo koeficijent a 1, tako da će se za n = 1 imenilac vratiti na nulu. Za to se izračunava koeficijent a 1 bez sredine: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Dakle, kako se f (x) kontinuirano diferencira na (,) í (, π) í u tačkama kπ, (k je broj), ako postoji tačka između (5) i (6), tada serija Fur' ê funkcije ne konvergiraju bez tačke kože: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x Fig. 1. Grafikon funkcije f (x) superponira se na graf sume preseka S (x) 14

15 Mala. 11. Grafikon funkcije f (x) preklopljen na novi grafik sume preseka S1 (x) Sl. 12. Grafikon funkcije f (x) bit će superponiran na novi graf sume grafikona S2 (x) Sl. 13. Grafikon funkcije f (x) preklapa se na novi graf zbroja S 99 (x) 15

16 1 Brojni zbir brojevnog reda. Za cijeli 4n 2 1 zadovoljavajuće je (9) x =. Todi cosnx = 1 za sve n = 1, 2, ... i Otzhe, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. PRIMJENA 4. Vjerovatno da je funkcija f (x) glatka i glatka bez prekida, zadovoljan sam sa f (x π) = f (x) za sve x (pa je π -periodično), a 2n 1 = b 2n 1 = za sve n 1, i navpaki, ako je a 2n 1 = b 2n 1 = za sve n 1, tada je f (x) π-periodično. Odluka. Neka je funkcija f (x) π-periodična. Izračunava njena efikasnost Fur'ê a 2n 1 í b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f (x) cos (2n 1) xdx + f (x) cos (2n 1) xdx =) f (x ) cos (2n 1) xdx. Kod prvog integrala lako mogu zamijeniti promjenu x = t π: f (x) cos (2n 1) xdx = f (t π) cos (2n 1) (t + π) dt. 16

17 Klovn, cos (2n 1) (t + π) = cos (2n 1) t í f (t π) = f (t), možemo to vidjeti: a 2n 1 = 1 π (f (x) cos (2n 1) x dx +) f (x) cos (2n 1) x dx =. Slično, treba učiniti, b 2n 1 =. Nawpaki, neka je a 2n 1 = b 2n 1 =. Pošto je funkcija f (x) bez prekida, onda je, prema teoremi, manifestacija funkcije u tačkama njenog niza F (x π) = f (x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n (x π) + b 2n sin 2n (x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f (x), što znači da je f (x) π-periodična funkcija. DODATAK 5. Možemo reći da je funkcija f (x) glatka i glatka, f (x) = f (x) za sve x, zatim a = í a 2n = b 2n = za sve n 1, i navpaki, kao a = a 2n = b 2n =, tada je f (x π) = f (x) sve x. Odluka. Neka je funkcija f (x) zadovoljna sa f (xπ) = f (x). Brojni í̈í kofítsíênti Fur'ê: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f (x) cos nxdx + f (x) cosnxdx =) f (x) cosnxdx. Pri prvoj integraciji lako ću zamijeniti promjenu x = t π. Todi f (x) cosnxdx = f (t π) cosn (t π) dt. Grimizni tim, cos n (t π) = (1) n cosnt i f (t π) = f (t), možemo prihvatiti: an = 1 π ((1) n) f (t) cosnt dt =, ako n upareno = 2 π f (t) cos nt dt, kada je n neupareno. π Slično se radi, b 2n =. Nawpaki, neka je a = a 2n = b 2n =, za sve n 1. Pošto je funkcija f (x) bez prekida, onda teorema o eksplicitnosti funkcije u tačkama njenog niza Fur'ê vrijedi da je f (x ) = (a 2n 1 cos (2n 1) x + b 2n 1 sin (2n 1) x). osamnaest

19 Todi = f (x π) = = = f (x). DODATAK 6. Vivchimo yak pored nastavlja da se integriše na jaz [, π / 2] pomoću funkcije f (x) na procepu [, π], tako da je red Fur'ê mav viglyad: a 2n 1 cos ( 2n 1) x. (1) Odluka. Neka graf funkcije ma viglyada lebdi na sl. 14. Oscilacije u redu (1) a = a 2n = b 2n = za sve n, tada je zadnjica 5 vyplyaê, ali funkcija f (x) je kriva za jednak paritet f (xπ) = f (x) za sve x. Postoji način da se poboljša funkcija f (x) između [, / 2]: f (x) = f (x + π), sl. 15. Pored toga, red (1) je da osveti samo kosinuse, on je raspoređen, ali funkcija f (x) se nastavlja kao par (tj. graf je simetričan osi Oy), riža

20 Mala. 14. Grafikon funkcije f (x) Mala. 15. Grafikon nastavljene funkcije f (x) za napredovanje [, / 2] 2

21 Otzhe, funkcija ma viglyada, smjernice na sl. 16. Mala. 16. Grafikon nastavka funkcije f (x) za napredovanje [, π] [π / 2, π], grafik funkcije f (x) je centralno simetričan na tačku (π / 2,), i intervalu [, π], graf je simetričan osi Oy. 21

22 REFERENTNE APLIKACIJE 3 6 Nekhai l>. Jasno je da su dva uma: a) f (l x) = f (x); b) f (l + x) = f (x), x [, l / 2]. Sa geometrijske tačke gledišta tačka (a) znači da je grafik funkcije f (x) simetričan duž okomite prave linije x = l / 2, a graf (b) gde je graf f (x) centralno simetrično u odnosu na tačku (l / 2;) na osi apscisa. Istina je sljedeće: 1) ako je funkcija f (x) uparena sa Viconan Umov (a), onda je b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... =; 2) ako je funkcija f (x) uparena sa Viconan Umov (b), onda b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a = a 2 = a 4 = ... =; 3) ako je funkcija f (x) nesparena i Vikonan Umov (a), tada je a = a 1 = a 2 = ... =, b 2 = b 4 = b 6 = ... =; 4) ako je funkcija f (x) nesparena i Vikonan Umov (b), tada je a = a 1 = a 2 = ... =, b 1 = b 3 = b 5 = ... =. ZAVDANNA Za zadatke 1 7 obojite grafikone i upoznajte Fur'ê seriju za funkcije,< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 (1, jakšo / 2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Proširivanje funkcije, date u intervalu [, π], samo iza sinusa ili samo iza kosinusa Funkcija f je specificirana u intervalu [, π]. Proširit ćemo prostor u cijelom rasponu do Fur'ê reda, možemo nastaviti na f na istaknutosti [, π] sa višim rangom, a istovremeno će biti brže s formulama Eiler Fur' ê. Svavilja kod napredne funkcije za proizvodnju prije, za jednu vrstu funkcije f: [, π] R možemo ukloniti broj Fur'ê. Alternativno, možete vikoristovuvat tse svavillya tako, samo obrežite širenje samo iza sinusa ili samo po kosinusima: prvi vipad ima dovoljno za promociju f sa neuparenim rangom, i to na drugačiji način za momke. Algoritam rješenja 1. Nastavite funkciju s neuparenim (moj) rangom (,), a zatim periodično, svakih 2π, nastavite funkciju za cjelinu. 2. Izračunajte performanse Fur'ê. 3. Presavijte Fur seriju funkcije f (x). 4. Revizijski umovi su na niskom nivou. 5. Uvedite funkciju za koju postoji cijeli red. DODATAK 7. Primijenjeno na funkciju f (x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Mala. 17. Grafikon kontinuirane funkcije Očigledno je da je funkcija f (x) stidljivo glatka. Brojno funkcionalan Fur'ê: a n = sve n do te mjere da je funkcija f (x) nesparena. Ako je n 1, onda je bn = 2 π f (x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = 1 = 1 (1 ) n (1) n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, gdje je n = 2 k + 1, (1) n + 1 (n 1) + (n + 1) = π (n + 1) ( n 1) 2 2n, gdje je n = 2k. π n 2 1 Kada je n = 1, imenilac se pretvara u nulu na prednjoj strani kalkulatora, tako da se koeficijent b 1 izračunava bez prethodnih 25

26 spavanje: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Niz Fur'ê funkcija f (x) je preklopiv: f (x) 8 π k = 1 k 4k 2 1 sin 2kx. Ako je funkcija f (x) sramežljivo glatka, onda nakon teoreme o krapkovu vrijednost Fur serije funkcije f (x) ide na sumi: cosx, gdje je π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Mala. 18. Grafikon funkcije f (x) preklopljen na novi grafik zbroja komada S1 (x) Sl. 19. Grafikon funkcije f (x) preklapa se na novi graf zbroja S 2 (x) 27

28 Mala. 2. Grafikon funkcije f (x) bit će superponiran na graf presečne sume S3 (x). 21 prikazani su grafovi funkcije f (x) i parcijalne sume S 99 (x). Mala. 21. Grafikon funkcije f (x) preklapa se na novi graf zbroja S 99 (x) 28

29 DODATAK 8. Proširivo funkcijom f (x) = e ax, a>, x [, π], do serije Fur'ê samo u kosinusima. Odluka. Kontinuirano sa funkcijom ranga tipa (,) (tako da je paritet f (x) = f (x) prikazan svim x (, π)), to se periodično buv s periodom od 2π, protežući Yong broj prema gore . Možemo prihvatiti funkciju f (x), graf takvih reprezentacija na Sl. 22. Funkcija f (x) u tačkama Mal. 22. Grafikon kontinuirane funkcije f (x) x = kπ, k je cijeli broj, kao i ulja. Brojno kofítsíênti Fur'ê: b n =, oskílki f (x) uparen. Integrisati u delovima Mo 29

30 an = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd (e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f (x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e ax ax 2n2 e ax a a (eaπ cos n π 1) n2 aa n. 2 Otzhe, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Oscilacije f (x) su bez prekida, tada, prema teoremi o strujanju, serija Fura konvergira u f (x). Takođe, svi x [, π] imaju f (x) = 1 π a (eaπ 1) + 2a π k = 1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Rajs demonstrira radnju približavanja parcijalnih suma broju Fur'ê datoj funkciji rezanja. 3

31 Mala. 23. Grafovi funkcija f (x) i S (x) Mal. 24. Grafovi funkcija f (x) i S1 (x) Mali. 25. Grafovi funkcija f (x) i S2 (x) Mali. 26. Grafovi funkcija f (x) i S 3 (x) 31

32 Mala. 27. Grafovi funkcija f (x) i S4 (x) Mal. 28. PREDSTAVLJENI grafovi funkcija f (x) i S 99 (x) 9. Stavite funkciju f (x) = cos x, x π u red Fur'ê samo u kosinusima. 1. Proširiti funkciju f (x) = e ax, a>, x π, na red Fur'ê samo iza sinusa. 11. Stavite funkciju f (x) = x 2, x π u red Fur'ê samo iza sinusa. 12. Odrediti funkciju f (x) = sin ax, x π, y serije Fur'ê samo u kosinusima. 13. Stavite funkciju f (x) = x sin x, x π u red Fur'ê samo iza sinusa. Vidpovidi 9.cosx = cosx. 1. e ax = 2 [1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k = 1 11. x 2 2 [π 2 (1) n 1 π n + 2] n 3 ((1) n 1) sin nx. 32

33 12. Ako a nije cijeli broj, sin ax = 1 cosaπ (1 + + 2a cos 2nx) + π a 2 (2n) 2 + 2a 1 + cosaπ cos (2n 1) x π a 2 (2n 1) 2 ; ako je a = 2m par broj, onda sin 2mx = 8m cos (2n 1) x π (2m) 2 (2n 1) 2; ako je a = 2m 1 pozitivno neparni broj, tada je sin (2m 1) x = 2 (cos 2nx) 1 + 2 (2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Serija Fury funkcije sa određenim periodom Pretpostavimo da je funkcija f (x) postavljena u intervalu [l, l], l>. Nakon što smo izvršili zamjenu x = ly, y π, možemo izvesti funkciju g (y) = f (ly / π), što znači na intervalu π [, π]. Treća funkcija g (y) formira (formalni) niz Fur'ê () ly f = g (y) a π 2 + (an cosny + bn sin ny), čija efikasnost leži iza Ojlerovih Fur'ê formula : an = 1 π g (y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2, ..., 33

34 bn = 1 π g (y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2, .... π Za funkciju f (x), trigonometrijski niz se može lako promijeniti da izgleda kao: de f (x) a 2 + an = 1 lbn = 1 lllll sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2, ..., ( 12) dx, n = 1, 2, . .. DODATAK 9. Poznat nam je niz Fur'ê funkcija, datih u intervalu (l, l) virazom (A, gdje je l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 llf (x) dx = 1 l A dx + 1 ll B dx = A + B, llan = 1 lllf (x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 ll A cos πnx l = A + B π nlbn = 1 l dx + 1 ll B cos πnx l sin πn =, gdje je n, ll A sin πnx lf (x) sin πnx l dx + 1 ll dx = B sin πnx l = BA (1 cosπn). πn Fur serija funkcije f (x) je sklopiva: f (x) A + B π (B A Skala cosπn = (1) n, zatim n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l za n = 2k je zamislivo b n = b 2k =, za n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2 (BA) π (2k 1).

36 zvjezdica f (x) A + B (BA)? yaksho l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Mala. 29. Grafikon funkcije f (x) sa superponiranim na novim grafovima harmonika S (x) = a 2 i S 1 (x) = b 1 sinx. Za specifičnost grafa tri druga harmonika S 3 (x) = b 3 sin 3πx, S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l i S 7 (x) = b 7 sin 7πx potisak okomito uzbrdo l 37

38 Mala. 3. Grafikon funkcije f (x) se superponira na novi graf sume komada S 99 (x) Sl. 31. Fragment sl. 3 na skali 38

39 DEFINITIVNO U problemima prostora u seriji Fur'ê, funkcije su dodijeljene datom međuproduktu. 14.f (x) = x 1, (1, 1). 15.f (x) = ch2x, (2, 2] f (x) = x (1 x), (1, 1). 17.f (x) = cos π x, [1, 1] f (x ) = sin π x, (1, 1).(2 1, gdje je 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18.f (x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f (x) = α 2) l b) f (x) = 4al (1) n 1 (2n 1 ) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23.a) f (x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x ... b) f ( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π) + 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Kompleksni oblik u nizu Fur'ê Distribucija f (x) = cne inx, de cn = 1 2π f (x) e inx dx, n = ± 1, ± 2, ..., nazvat ćemo kompleksni oblik Fur'ê serije. Funkcija savijanja u složeni red Fur'ê sa vizijom tihih umova, zbog čega se mogu smjestiti u govorni red Fur'ê. 4

41 DODATAK 1. Znamo Fur niz kompleksnog oblika funkcije dat formulom f (x) = e ax, y između [, π), de broj govora. Odluka. Izvedba koja se može mjeriti: = c n = 1 2π f (x) e inx dx = 1 2π e (a in) x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1) n sh aπ. 2π (a in) π (a in) Kompleksni Fur niz funkcije f mašine f (x) sh aπ n = (1) n a in einx. Ponovno razmatranje, pa je funkcija f (x) kvrgavo glatka: u intervalu (, π) je beskonačno diferencirana, au tačkama x = ± π postoje tačke između (5), (6) lim h + ea (+ h) = e aπ, lim h + ea (π h) = e aπ, ea (+ h) ea (+) lim h + h = ae aπ ea (π h) ea (π), lim h + h = ae aπ. Takođe, funkcija f (x) je predstavljena redom Fur'ê sh aπ π n = (1) n a u einx, što treba da ide na sumi: (e S (x) = ax, gde je π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 DODATAK 11. Poznajemo Fur niz za složeni i govorni oblik funkcije date formulom f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, de a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Nagadaêmo, vreća beskrajnog geometrijskog napretka sa standardnim q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Sada znamo izvestan broj Fur'ê u govornim oblicima. Za veliku grupu kompletiranja sa brojevima n i n za n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Oskilki c = 1, tada je 2 = 2a n cos nx. f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Niz Fur'ê u govornom obliku funkcije f (x). Ovaj rang, ne računajući ekonomski integral, poznavali smo nisku funkciju Fur'ê. Kada smo virahuvali, postoji važan integral, koji se može naći u parametru cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a (zz 1) f (x) = 2i (1 a (zz 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1) z 2 2 (za) (za 1) = = i 2 + i () a 2 za + a 1. za 1 Dermal iz prostih razlomaka možemo staviti pod formulu geometrijskog progresa: + aza = a 1 z 1 a = aanzzn, n = za 1 za = az = anz n. n = Potpuno, fragmenti az = a / z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, abo, kraće, c n = 1 2i a n sgnn. Tim sam, poznat je broj Fur'ê u složenom obliku. Grupirajući sabirke sa brojevima n i n, možemo izvesti niz Fur'ê funkcija u govornom obliku: = f (x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 = sin nx. Znam u daljini virahuvati uvredljivi integral preklapanja: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 ZAVDANNYA 24. Vikoristovuchi (15), izračunajte integral cos nxdx 1 2a cosx + a 2 za govore a, a> Vikoristovuchi (16), izračunajte integral sin x sin nxdx za govore a, a> a cosx + a2 U problemima Fur'ê u složenim oblicima za funkcije. 26.f (x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Teorem o jednakosti Ljapunova (jednakost Ljapunova). Neka je funkcija f: [, π] R takva da je f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f (x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Prema tome, Ljapunovljeva ekvivalentnost za funkciju f (x) raste do oka: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Preostala ekvivalencija za a π je poznata sin 2 na n 2 = a (π a) 2 Vazayuchi a = π 2, možemo uzeti sin2 na = 1 za n = 2k 1 i sin 2 na = za n = 2k. Otzhe, k = 1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. DODATAK 14. Zapišemo Ljapunovljevu jednakost za funkciju f (x) = x cosx, x [, π], í znamo dodatni zbir brojevni niz (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4.1 π Rješenje. Direktno izračunavanje daje = ππ f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Oskilki f (x) je uparena funkcija, tada za sve n maêmo bn =, an = 2 π = 1 π 1 = π (n + 1) = f (x) cosnxdx = 2 π 1 cos (n + 1) x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos (n + 1) x + cos (n 1) x) dx = 1 π sin (n + 1) xdx sin (n 1) xdx = π (n 1 ) π π 1 + cos (n 1) x = π (n 1) 2 1 (= (1) (n + 1) 1) 1 (+ (1) (n + 1) 1) = π (n + 1 ) 2 π (n 1) 2 () = (1) (n + 1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1) (n + 1) 1 nk π ( n 2 1) = π (4k 2 1) 2 ako je n = 2k, 2, ako je n = 2k + 1. Vrijednost a 1 treba računati okremo, fragmenti u dalekoj formuli za n = 1, nazivnik od razlomak se pretvara u nulu. = 1 π a 1 = 2 π f (x) cosxdx = 2 π x (1 + cos 2x) dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Dakle, Ljapunovljev paritet za funkciju f (x) ma viglyad: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π PREZENTACIJA 32. Napišite Ljapunovljevu ekvivalentnost za funkcija (xf (x) = 2 πx, gdje je x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Odgovori + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2.1 π 35. f (x) g (x) dx = cndn, de cn funkcija f (x) i dn Funkcionalna funkcija g (x) . 6. Diferencijacija serije Fur'ê Nekhai f: R R kontinuirano diferencirana 2π-periodična funkcija. Ova serija Fur'ê ma viglyad: f (x) = a 2 + (n cos nx + b n sin nx). Funkcija f (x) je slična 2π-periodičnoj funkciji, za koju se može napisati formalni niz Fur'ê: f (x) a 2 + (an cos nx + bn sin nx), de a, an, bn , n = 1, 2, ... funkcionalnost Fur'ê funkcija f (x). 51

52 Teorema (proširena diferencijacija serije Fur). U slučaju raspadanja, tačno je da je a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. PRIMJENA 15. Nemojte biti stidljivo glatka funkcija f (x) bez prekida u intervalu [, π]. Očigledno, možemo reći da je f (x) dx = malo loše ponašanje 2 dx 2 dx, zbog Steklove nesposobnosti i ponovnog povezivanja, tako da će nove funkcije izgubiti funkciju f (x) tipa f (x) Drugim riječima, Steklova nesposobnost, recimo, kada vidite da postoje tri jednostavne funkcije (u srednjem kvadratu), postoje tri funkcije (u srednjem kvadratu). Odluka. Podržano funkcijom f (x) do intervala [,] od strane tipskog ranga. Značajno prošireno samom funkcijom simbolom f (x). Funkcija će se nastaviti bez prekida i bit će glatka i glatka na putu [, π]. Dakle, kako je funkcija f (x) bez prekida, onda je f 2 (x) bez prekida za vrijeme trajanja i 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Oskílki funkcija para se nastavlja, zatim b n =, a = iza sudopera. Otzhe, paritet Lyapunov nabuvê na oko 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Ponovno razmatranje, da se f (x) pridržava teorema o diferencijaciji niza Fur'ê, tako da je a =, an = nb n, bn = na n, n 1. Ne želim f (x) biti loš u tačkama x 1, x 2, ..., x N u intervalu [, π]. Neka je x = x N + 1 = π. Rastom integracije [, π] na N +1 intervalu (x, x 1), ..., (x N, x N + 1), stanje kože f (x) je savršeno diferencirano. Todi, opaka moć aditivnosti integrala, ali i integrirajućih dijelova, je prepoznatljiva: bn = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1π j = xj + 1 xjx j + 1 xjnn π N j = xj + 1 xjx j + 1 xjf (x) sin nxdx = f (x) cosnxdx = f (x) cosnxdx = = 1 π [(f (x (x) 1) sin nx 1 f (x) sin nx) + + (f ( x 2) sinnx 2 f (x 1) sin nx 1)

54 + (f (x N + 1) sin nx N + 1 f (x N) sin nx N)] n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j + 1 a = 1 f (x) dx = 1 N f (x) dx = π π j = xj = 1 N x j + 1 f (x) π = 1 (f (π) f ()) = .. . x j π j = Ostaju jednaki jedni drugima kroz one u kojima je funkcija f (x) unapređena rangom tipa, pa stoga f (π) = f (). Slično, možemo prepoznati an = nbn. Pokazali smo da je teorema proširene diferencijacije Fur'ê serije za neprekinutu maštačko-glatku 2π-periodičnu funkciju, sličnu onoj za međuproizvod [, π], arogantna u prvoj vrsti, vyrna. Iz istog f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) = (na n) sin nx, oskilki a =, an = nb n =, bn = na n, n = 1, 2, ... Oskilki 2 dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Dakle, kao kožni termin u nizu (18), to je manje-više dodatni član reda (17), zatim 2 dx 2 dx. Pogađanje, scho f (x) je momcima u naprednim funkcijama, maêmo 2 dx 2 dx. Da donesem Steklovu paritetu. Danas postoji mnogo funkcija u Steklovovim nepravilnostima. Ako želite za jedan n 2 efikasnost a n kao rezultat nula, onda a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 PODRŠKA 37. Ne budi sramežljiva funkcija f (x) je neprekidna u intervalu [, π]. Obavijestite da, kada pobijedite, morate f () = f (π) = postoji mala greška 2 dx 2 dx, kako se to još naziva i Steklovom nesposobnošću, i preći preko, ali to jednostavno ne smeta f (x) . .. 38. Neka funkcija f bude bez prekida u intervalu [, π] i u novom (iza vinjete beskonačnog broja tačaka) idem f (x), tako da integrišemo sa kvadratom. Da informišemo, ako u određenoj viziji mislite da je f () = f (π) í f (x) dx =, onda postoji mali nedostatak neefikasnosti 2 dx 2 dx, kako se to naziva Wirtingerova neodlučnost, a funkcija je nije baš jednostavno za x) = A cosx + B sin x. 56

57 7. Stagnacija redova Fur'ê o pojavljivanju diferencijalnih rasa među privatnim pokojnicima Kada oživljavanje stvarnog objekta (manifestacija prirode, virusni proces, kontrolni sistem je isuviše tanak.) korak ka razvoju. matematičkog aparata. U fazi naučnih studija, takvo koplje se ljuljalo: fizički model je matematički model. Fizička formulacija (model) polja u ofanzivi je: pojavljuje se i razvija proces tog faktora glave, koji se preliva na novi. Matematička formulacija (model) polja u inventaru fizičke formulacije faktora i umova u pogledu sistema i jednakih (algebarski, diferencijalni, integralni itd.). Šef države se zove ispravna postavka, kako u pevačkom funkcionalnom prostoru rešavanja zadataka mišljenja, jedan jedini i bez prekida polaže na klip i graničnu pamet. Matematički model nije samo isti objekat za gledanje, već ćemo mu pristupiti opisom. Viznovok pivnyannya vilnykh malikh poprečne žice. Neka se konopce zategnu, a sama struna zategnuta. Ako umetnete žicu sa položaja ravne linije (na primjer, izvucite je ili povucite uzduž), tada je vjerojatnije da će struna biti 57

58 vagatisya. Istovremeno, sve tačke strune kolabiraju okomito na položaj ravnove (poprečne veze), štaviše, u momentu kože, struna leži u jednom te istom području. Postoji pravougaoni koordinatni sistem xou. Todi, ako je u trenutku kob u satu t = struna urasla u os Oxa, tada u znači oslobađanje strune iz položaja prave linije, tako da je pozicija tačke strune iz apscisa x u završnom trenutku sata t funkcije, tíê vrijednost Uz fiksnu vrijednost t, graf funkcije u (x, t) predstavlja oblik niza koji se može vrtjeti u trenutku t (slika 32). Uz konstantnu vrijednost x, funkcija u (x, t) daje zakon do tačke apscise x, prava je ravna, paralelna sa osom Ou, t se gubi, a druga se gubi 2 u 2 je ubrzana . Mala. 32. Sila, primijenjena na neograničeno mali broj nizova Skladište dovoljna da zadovolji funkciju u (x, t). Za čitavu gomilu brutalnih prskanja neka oproste. Žica je apsolutno čvrsta - 58

59 Coy, pa vvazhatimo, zašto ne bi strunu zavrnuo viginu; tse znači, scho opruge, scho namiguje na žice, uvijek ispravljene prema potpuno istom profilu rukavice. Žica se prenosi oprugom i Hookeovim zakonom; tse znači da je promjena veličine uvučena proporcionalno zmiji žice. Prihvatljivo, jednolančana žica; tse znači, íí̈íí̈ linea gustina ρ postíyna. Snage buđenja su nezdrave. Tse označava kako ga možemo vidjeti. Mi vivchatimo lizing žice su male. Ako sa ϕ (x, t) označimo rez između apscise i isprekidane linije u tački od apscise x u trenutku t, onda je um djetetovog polja u činjenici da je vrijednost ϕ 2 (x , t) ne može biti lako x, t), tako da je ϕ 2. Pošto je kut ϕ maliijum, onda cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tan ϕ í takođe, vrijednost (uxx,) 2 se također može izostaviti. Zvuči odjednom viplivaj, ali u procesu pjevanja, možete zehtuvati zmijom čak i ako ste razdvojnik žica. Zapravo, malo niza M 1 M 2 treba dizajnirati u apscisnoj osi, de x 2 = x 1 + x, put l = x 2 x () 2 u dx x. x Pokazat će se da će za naše dodatke vrijednost sile zatezanja T biti konstantna napetost strune. Istovremeno, po prvi put želim da diljankam žice M 1 M 2 (Sl. 32) u vreme sata t i umesto učešća - 59

60 kv vučnim silama T 1 i T 2. Oscilacije za odvod svih tačaka strune kolapsiraju paralelno sa osom Ou i vanjske sile, tada je zbir projekcija vučnih sila na osovinu Ox odgovoran za nulu: T 1 cosϕ (2 x 1, t) + (x 2, t) =. Počinje kroz mali broj kutiv ϕ 1 = ϕ (x 1, t) í ϕ 2 = ϕ (x 2, t) strukture, ali T 1 = T 2. Značajno, početna vrijednost T 1 = T 2 kroz T. Sada zbir projekcija F u qix sila na osovinu Ou: F u = T sin ϕ (x 2, t) T sin ϕ (x 1, t). (2) Oskílki za mali kutív sin ϕ (x, t) tg? T (tan ϕ (x 2, t) tan ϕ (x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) xx T 2 ux 2 (x 1, t) x ... Ako je tačka x 1 obrnuta, onda je F u T 2 u x2 (x, t) x. Osim toga, pošto je poznato da sve sile idu na M 1 M 2, postoji još jedan Newtonov zakon, što znači da postoji potreba za brzim snabdijevanjem svih sila dana. Masa strune je M 1 M 2 za put m = ρ l ρ x, a za ubrzani put 2 u (x, t). Ekvivalentno Njutnovom t 2 sa tačke gledišta: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2 (x, t) x, de α 2 = T ρ je trajno pozitivan broj. 6

61 Brzo na x, možemo definirati mo 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2 (x, t). (21) Kao rezultat toga, prikazali smo linearne razlike između privatnih, različitih redova veličine, sa zastarjelim performansama. Yogo naziva chi žice istom vrstom kao i iste. Rivnyannya (21) preformuliše Njutnov zakon i opisuje kolaps strune. Ale pri fizičkom uprizorenju boule vimogi o onim žicama koje se pričvršćuju i žice se stavljaju u narednih sat vremena. Ekvivalentno, zapišite to ovako: a) važno je da su krajevi žica fiksirani u tačkama x = í x = l, tako da je važno, za sve t visonana izvedbe u (, t) =, u (l, t) =, u (l, (22) b) pažljivo, u trenutku t = pozicija niza je postavljena ispod grafika funkcije f (x), tako da je, za sve x [, l], ekvivalentnost u (x,) = f (x); (23) c) takođe, u trenutku t = tačka niza od apscise x, data je fluidnost g (x), tako da je i u (x,) = g (x). (24) t Spívdnoshennya (22) se nazivaju granični umovi, a spívídnoshennya (23) i (24) se nazivaju umovima klipa. Matematički model vilnih malih poprečnih 61

62 nizanje žica u činjenici da je potrebno napraviti niz struna (21) sa graničnim umivaonicima (22) i umivaonicima (23) i (24) Odluka vilnog malog poprečnog nizanja žica po Fur' 'Roving po regiji (21) xl,< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >... U skladu sa (25) (21), možemo prepoznati: X T = α 2 X T, (26) ili T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x). (27) Čini se da su zli postali. Dakle, ako x í t ne leži na jedan način od jedan, onda lijevi dio (27) ne leži oko x, već desni oko t i povratna vrijednost cich je oko 62

63 može biti postetapirano, što ima značenje kroz λ: T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x) = λ. Prepoznaćemo dva specifična diferencijalna ekvivalenta: X (x) λx (x) =, (28) T (t) α 2 λt (t) =. (29) Za veliku granicu, zamislite (22) da vidite X () T (t) = í X (l) T (t) =. Oskílka smrad se može vidjeti sve t, t>, zatim X () = X (l) =. (3) Znamo odluku rivnyannya (28), jer bi to zadovoljilo granične umove (3). Vidljiva su tri pogleda. Vipadoc 1:>. Neka je λ = β 2. Ekvivalentno (28) izgledu X (x) β 2 X (x) =. Yogo karakteristika jednaka k 2 β 2 = korijen k = ± β. Otzhe, glava rješenja (28) ma viglyad X (x) = C e βx + De βx. Ako ste krivi da ste pogriješili, onda C i D tako da je granični odvod (3) zahvaćen, tako da je X () = C + D =, X (l) = C e βl + De βl =. Oskílki β, tsya sistem rívnyan maê êdine otopine C = D =. Otzhe, X (x) ta 63

64 u (x, t). Sam Tim, na vipadku 1 mi, donio je trivijalnu odluku, koliko se to nije moglo uočiti. Tip 2: λ =. Todi rívnyannya (28) nabuvaê u pogledu X (x) = í-to rješenje, očigledno, dato je formulom: X (x) = C x + d. Dajemo rješenje na graničnom ponoru (3), možemo ga očitati X () = D = í X (l) = Cl =, također, C = D =. Iz istog vremena, X (x) i u (x, t), a mi smo već odbacili trivijalno rješenje. Vipadoc 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 Nadal navatimo n samo pozitivne vrijednosti n = 1, 2, ..., fragmenti sa negativnim n će biti odluka o tome (nπ) Vrijednosti λ n = nazivaju se apsolutni brojevi, a funkcije X n (x) = C n sin πnx sa najmoćnijim funkcijama diferencijalne jednadžbe (28) s regionalnim umovima (3). Sada je labavo povezan (29). Za novu karakteristiku ma viglyada k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Oskílki vishche mi s'yasuvali, ali netrivijalna rješenja X (x) ívnyannya (28) ê ako je za negativan λ, jednako λ = n2 π 2, tada isto λ mi i vidljivo daleko. Koren prave (32) ê k = ± iα λ, a rešenje prave (29) može izgledati ovako: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) ll de A n í B n su konzistentniji. Predstavljamo formule (31) i (33) u (25), znamo privatno rješenje rivnyannya (21), ali smo zadovoljni regionalnim umovima (22): πnx. lll Ubacite množitelj C n na pramcu í umetnite vrijednost C n A n = bn i B n C n = an, upišite un (X, T) kod gledaoca (un (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt ) sin πnx. (34) l l l 65

66 Strune jigs, koje pokazuju rješenja u n (x, t), nazivaju se power string jigs. Oskilki rívnyannya (21) i granična pobjeda (22) líníyní i jednosmjerna, zatim líníyna kombinacija rješenja (34) (u (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt) sin πnx (35) lll dana ), koji će zadovoljiti granične umove (22) posebnom vibracijom izvedbe an i bn, što neće pružiti jednak broj izvođenja. Danas je efikasnost í bn rješenja (35) toliko dobra da nije bila samo granična linija, već i kob (23) da su (24), de f (x), g (x) dobili funkciju (gdje f () = f (l) = g () = g (l) =). Impresivno, funkcije f (x) i g (x) će zadovoljiti umove distribucije na nisku Fur'ê. S obzirom na (35) vrijednost t =, možemo uzeti u (x,) = a n sin πnx l = f (x). Diferencirajući niz (35) u t i predstavljajući t =, možemo učiniti da je ut (x,) = πnα bn sin πnx ll = g (x), a funkcije širenja f (x) i g (x) do Fur' ê lavas. Također, a n = 2 l f (x) sin πnx l dx, b n = 2 l g (x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 Nudimo razne opcije za funkcionalnosti an i bn do broja (35), prihvatamo rješenje rivnyannya (21), kao i za granične umove (22) i cob umove (23) i (24 ). Tim smo se i sami obavezali na male ukrštene žice. Postoji fizička promjena u funkcijama snage u n (x, t) problema vezanih uz nizove, kao što je dato formulom (34). Prepisivo í̈í̈ pri viglyadí de n (x, t) = n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctan b n. l a n Iz formule (37) se vidi da sve tačke niza idu harmonično sa jednom te istom frekvencijom ω n = πnα i fazom πnα δ n. Amplituda strune koja leži od l l apscis x tačke niza í puta α n sin πnx. Sa takvim brojem sve tačke niza odmah postižu maksimalnu vidljivost u tom pravcu i jedan sat prelaze poziciju linije. Ove kolyvannya se nazivaju stojećim pohvalama. Stojeći za mate n + 1 nedestruktivnu tačku, kako pitati korijene rivnyannya sin πnx = u intervalu [, l]. Nepokorne tačke se zovu vuze stojećih khvilija. U sredini čvorova rastu tačke, u kojima pogledi dostižu maksimum; takve tačke se nazivaju antinodi. Kožna žica se može koristiti za striktno pjevanje frekvencija n = πnα, n = 1, 2, .... a frekvencije se nazivaju frekvencijama snage žice. Najniži l ton, koji se može vidjeti kao žica, počinje od 67

68 frekvencija niske snage 1 = π T í se naziva osnovnim tonom žice. Drugi tonovi, koji odgovaraju l ρ frekvencijama n, n = 2, 3, ..., nazivaju se prizvuci ili harmonici. Za specifičnost vrste žica, tip glavnog tona (sl. 33), prvog prizvuka (sl. 34) i drugog prizvuka (sl. 35). Mala. 33. Profil žice, koji izgleda kao glavni ton Mal. 34. Profil žice, koji izgleda kao prvi prizvuk. 35. Profil žice, koji izgleda kao drugačiji prizvuk.Kako struna ide, počinje sa umovima klipa, pojavljuje se funkcija u (x, t), kao što se može vidjeti iz formula (35), u oči sume, ima nekih harmonika. Takav čin je dovoljan za koloniju 68

69 žica je superpozicija stajaćih udica. Istovremeno, karakter zvuka žice (ton, jačina zvuka, tembar) leži u obliku sp_vdnoshennya između amplituda harmonika. Jačina, visina i tembar zvuka. Snagu zvuka karakterizira energija zvuka. Zvuk zvuka počinje frekvencijom chi perioda: ako je frekvencija viša, onda je zvuk viši. Timbar zvuka počinje da se manifestuje u prizvucima, energija se diže iza harmonika, tako da na način zvučanja tona. Amplitude prizvuka su, očigledno, manje od amplitude glavnog tona, a faze prizvuka mogu biti prilično značajne. Naš Vuho nije osjetljiv na Phasie Kolivan. Uporedite, na primer, dve krive na sl. 36, osumnjičenog od strane z. Tse snima zvuk sa vrlo osnovnim tonom, upletenim od klarineta (a) i klavira (b). Uvredljivi zvuci nisu jednostavni sinusoidni zvuci. Osnovna frekvencija zvuka u oba tipa je ista, a isti je i ton. Malo zakrivljenosti činjenice da se prizvuci primjenjuju na glavni ton. U pevačkom smislu bebe, pokažite isti tembar. 69

Ekvivalentno hiperboličkom tipu. Kolona nesputanih i nedovršenih nizova. Krzna metoda Krzna metoda Stojeći čvili 4 Predavanja 4.1. Ekvivalentno hiperboličkom tipu. Kolekcija nije beskonačna i tako dalje.

MOSKVSKI DRŽAVNI TEHNIČKI UNIVERZITET CIVILNOG AVIJATSIN V.M. Lyubimov, Ê.A. Žukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Šurinov M A T E M A T Í K A R A D I POSIBNIK

MINISTARSTVO RUSKOG FEDERALNOG Državnog budžetskog obrazovanja Ustanova za stručno obrazovanje MATI Ruski državni tehnološki univerzitet imena K. E. Tsilkovsky

Ministarstvo obrazovanja Republike Bilorus EE "Vitebsk State Technological University" Tema. "Redovi" Katedra za teorijsku i primijenjenu matematiku. raskinula doc. Ê.B. Duninoyu. Main

Federalna agencija za obrazovanje Federalna državna agencija za uspostavljanje stručnog obrazovanja FEDERALNI UNIVERZITET PIVDENNY R. M. Gavrilova, G. S. Kostetska Metodički

Tema Riadi Fur'ê Praktično korištenje Riadi Fur'ê iza ortogonalnih sistema funkcija

TEORIJA DOMETA Teorija serija je najvažnija skladišna matematička analiza i poznavanje teoretskih i numeričkih praktičnih izvještaja. Razr_znyayut niz brojeva i funkcija.

ZMIST RED FUR'Ê 4 Razumijevanje periodične funkcije 4 Trigonometrijsko polje 6 3 Ortogonalni sistemi funkcija 4 Trigonometrijski niz Fur'ê 3 5 Red Fur'ê za dječake i nesparene funkcije 6 6 Izgled

Federalna agencija za obrazovanje Moskovski državni univerzitet za geodeziju i kartografiju (MÍIGAIK)

Predavanje 4. Analiza harmonije. Niz Fur'ê periodičnih funkcija. Harmony Analysis

TEMA V RED FUR'Ê PREDAVANJE 6 Postavljanje periodičnih funkcija u nizu Fur'ê Bagato procesa koji se dešavaju u prirodi i tehnologiji, može se ponavljati kroz pevanje sat vremena Takvi procesi

METODOLOŠKI VKAZIVKI PRIJE ROZRAKHUNKOVYH ZAVDANA NA KURSU VISCHO MATEMATIKE "ZVICHAYNI DIFERENCY RIVNYANYA RANGE Podviyni INTEGRALI" DIO SH TEMA RED

6 redova Fur'ê 6 Ortogonalni sistemi funkcija Niz Fur'ê u ortogonalnim sistemima funkcija Funkcije ϕ () i ψ (), vrijednosti i integracija na vrhu [,], nazivaju se ortogonalnim u cjelini

VARIJACIJE INTEGRAL. Integral sumi singularnog integrala Nehai je dobio funkciju y = f (), dodijeljenu obliku [, b], de< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 redova koraka 5 redova koraka: vrijednost, područje razlike Funkcionalni red oblika (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) de, a, a, K , a, k deyaki brojevi, nazovite seriju stanja brojeva

UNIVERZITET BILORUSKI DERŽAVNI FAKULTET ZA PRIMIJENJENU MATEMATIKU I INFORMATIKU

Stavi deyaki na to. guza. Znamo zbir beskonačnog geometrijskog progresa.Formula izraza revnosti je a + aq + ... + aq n + ... (a). a n = aq n. Brojni dijelovi sumija. Ako je q =, onda

Zavdannya 1.1. Da bi se saznalo iz navedenog regiona odluka iz iste nule je odluka y = y (x) diferencijalne jednačine, koja je zadovoljna zadatkom regionalnih umova (menadžer Sturm-Livilya).

Matematička analiza Tema: Pevanje integrala Nevlasnog integrala Predavač Pakhomova Ê.G. 2017 str. ROZDIL II. Pevanje integral te jogo dodatke 1. Pevanje integral te jogo snage 1. Glava,

Predavanje 8 4 Glava Sturm-Livilya Moguće je razumjeti problem kob-ivice za diferencijalnu jednakost kod privatnih starijih različitog reda, kada se opisuje mali poprečni niz struna.

Objašnjeno u tekstu: znak se čita yak "pravedno" i znači da je kod rivljana dešnjak iz znaka a zlo je od znaka bezlich odgovor, znak IR znači bezlich govorne brojeve, znak IN

82 4. Rozdil 4. Funkcionalni i državni red 4.2. Zauzet 3 4.2. Zauzet 3 4.2 .. Stavljanje funkcije u Taylorov red VRIJEDNOST 4.2 .. Ne znam funkcija y = f (x) je neograničeno diferencirana na periferiji

MINOBRNAUKI ROSIN FEDERALNA DERŽAVNA BUDGETNA OSVITALNAYA INSTANOVA VISCHOÍ̈ PROFESSIONO OSNIVANJE "SAMARSKY DERZHAVNIY TECHNICAL

Federalna agencija za željeznički transport Ural State University of Nobles sa Odsjekom za primijenjenu matematiku

Predavanje 3 Redovi Taylor i Maclaurin Stagnacija funkcija polaganja državnih redova u redovima State Rows Taylor i Maclaurin

Sa A Lavrenchenko wwwwrckoru Predavanje Revizija Fur'ê Razumijevanje integralne rekonstrukcije Metoda Integralne revizije je jedna od napornih metoda u matematičkoj fizici ê nasilnom revizijom

Integracija funkcije (za Rimana) isti integral Primjena rješenja zadataka 1. Funkcija f (x) = C je integrirana na, tako da za bilo koju vrstu promjene ili vibracije tačaka ξ i integral

Kurs 1. godine. Izvršiti Riman funkciju, koja je 0, m m R (), što je m, m 0 i ostale nekratke, 0, što je iracionalno, razrivno u koži racionalne tačke i bez prekida u koži iritacije. Odluka.

1 2 Zm_st 1 Redovi Fur'ê 5 1.1 Trigonometrijska serija Fur'ê ............ 5 1.2 Tilki sin & cos ................. .... 7 1.3 Serija krzna u složenom obliku 11 1.4 f (x) = ck? ........................

RÍVNÂNNÂ MATEMATIČKA FIZIKA 1. Diferencijalni odnosi sa privatnom djecom.

Predavanje 4. Hvilyoví rívnyannya 1. Vivedennya ívnyannya kolivannya žice 2. Rívnyannya pozdovzhníkh kolyvannaya žice 3. Slušalice, rubovi 4. Prikaz problema 1. Povučene žice za dribling

1. Elektrostatika 1 1. Elektrostatika Lekcija 6 Razvoj promjena u kartezijanskim koordinatama 1.1. (Fabrička postavka 1.49) Područje z = napunjeno od jačine σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), de σ, α, β post_yni.

Tema modula Funkcionalni završeci i serije Snaga jednake važnosti i nizovi

Ekvivalentno paraboličnom tipu. Metoda za promenu iste teritorije Jedan region zemlje Funkcije uređaja Niti jedan za isti tip provođenja toplote 7 Predavanja 7.1 Ekvivalent za parabolični tip. Podil metoda

Predavanje Brojevi nizovi Znakovi vrijednosti Brojevi nizovi Znakovi vrijednosti Brojni nizovi Znakovi vrijednosti Numerički niz + + + +, dodaci od neograničenih članova, koji se nazivaju nizovi brojeva Brojevi,

35 7 Trigonometrijski niz Fur'ê Redovi Fur'ê za periodične funkcije s periodom T.

Metalurški fakultet Katedra za visoku matematiku OPIS Metodičko uputstvo Novokuznjeck 5 Federalna agencija za obrazovanje

Departman za matematiku i informatiku Element sve matematike Početno-metodički kompleks za učenike srednjeg stručnog obrazovanja, koji počinju da uče iz daljinskih tehnologija.

9. Prije svega integral bez vrijednosti 9 .. Neka funkcija f () bude postavljena na interval I R. Funkcija F () se zove primarna funkcija f () za interval I, kao F () = f () za bilo koje I, to je primarna

DIFERENCIJALNE FUNKCIJE JEDNE ZIMA Razumijevanje jednostavnog, geometrijskog i fizičkog smisla Zavdannya, stvoriti prije razumijevanja primitivne Oznake Stosova S na pravu y f (x) u tački A x; f (

Ekvivalentno hiperboličkom tipu. Kolona nesputanih i nedovršenih nizova. D'Alembertova metoda Nemirisna žica. D'Alembertova formula Nelinearni niz 3 Predavanje 3.1. Ekvivalentno hiperboličkom tipu.

Zmíst Vstup. Osnovno razumijevanje .... 4 1. Integralna porodica Volterri ... 5 Varijante domaćinstva ... 8 2. Rezolucija Integralne porodice Volterri. 10 Mogućnosti za domaćinstvo ... 11

RANGE. Redovi brojeva. Glavna vrijednost Nehai je data neograničenom broju Virazovih brojeva (neograničen zbir) a, a 2, ..., an, ... ai = a + a 2 + + an + ... () i = be nazvana numeričkim nizom. Brojevi

8. Koračni redovi 8 .. Funkcionalni niz oblika cn (z) n, (8.) n = de cn je numerički niz, R je fiksni broj, a z R se naziva red stanja sa parametrima c n . Vicone zamjenjuje pobjednike

~ ~ Nevažni i nevažni integrali Razumijevanje primordijalnog i nepridijeljenog integrala. Oznaka: Funkcija F se zove prvi red u odnosu na funkciju f, kao i funkciju pričvršćivanja

3724 REDOVI CRATNI Í KRIVOLINIINI INTEGRALA 1 ROBOCH PROGRAM ROSDILIVA "REDOVI CRATNI Í CRYVOLINIINI INTEGRALA" 11 Redovi brojeva Razumjeti brojevnu seriju Moć brojeva

JEDI. RUDIJ MATEMATIČNA ANALIZA. BROJEVI I FUNKCIONALNI REDOVI NOVOSIBIRSK 200 2 MINOBRNAUKI ROSIN GOU VPO "NOVOSIBIRSKY DERZHAVNIY PEDAGOGICHNY UNIVERSITY" O.M. Rudiy MATEMATIČNA ANALIZA.

PREDAVANJE N 7. Taylorovi redovi i Taylorovi redovi ... Taylorovi redovi ... Taylorovi redovi ...

TRG RIVNIANNYA Zmist TRG RIVNIANNYA ... 4.taj zadnji trg rivnyan ... 4 ..

ROSDIL ZAVDANNA SA PARAMETRIMA Komentari Upravljanje parametrima je tradicionalno sklopivi objekti na strukturama EDI, tako da možete koristiti sve metode i metode rješavanja djece.

Diferencijalni proračun Uveden u matematičku analizu Intersekcionalne funkcije. Rozkritta nevrijednosti na granicama. Funkcije su slične. Pravila diferencijacije. Zasosuvannya obhídnoí̈

Niz Fur'ê ortogonalnih sistema funkcija Sa stanovišta algebre, ekvivalencija defunkcija date klase a - performansi R ali C jednostavno znači da je vektor linearna kombinacija vektora

1. Pjevački integral 1.1. Neka je f okružen funkcijom, postavljenom na oblik [, b] R. Rosbittyam vidrizka [, b] nazovite takav skup tačaka τ = (x, x 1, ..., xn 1, xn) [, b ], uh = x< x 1 < < x n 1

Glavne stepenice Redovi a a a Prikaz reda a a a a a () se nazivaju statički, de, a, postoperativni, nazivaju se funkcioneri u nizu.

Postavljanje u niz FUR' momaka i nesparenih funkcija Postavljanje funkcije u red iza sinusa, ili po kosinusima Red Fur'ê za funkciju sa dugim periodom Parsevala Zatvoreni sistemi i Rotacija i zatvorenost sistemima

Izlaganje brojnih Fur'ê uparenih i nesparenih funkcija Funkcije f (x), dodijeljene vidrizka \ -1, de I> 0, nazivaju uparene, jer je graf uparenih funkcija simetričan i osa ordinata. Funkcija f (x), dodijeljena obliku J), de I> 0, naziva se nesparenom, jer je graf nesparenih funkcija simetričan u odnosu na klasu koordinata. guza. a) Funkcije ê uparene na alternativama | -jt, jt), to jest za sve x e b) Funkcije su neuparene, to jest, Navođenje u nizu Fur'ê momaka i neuparenih funkcija; Fur'ê za funkcije sa dug period Kompleksna notacija za broj Fur'ê Riadi Fur'ê za brojne ortogonalne sisteme funkcija Broj Fur'ê za ortogonalni sistem Minimalna snaga funkcije sistema Labavost sistema (x) de ni na momke, ni na nesparene funkcije, oskilki Nekhai funkcija f (x), koja je zadovoljna teoremama 1, ê je uparena na osnovu x |. Todi all tobto. / (x) cos nx je uparena funkcija, a f (x) sinnx je neuparena. Za to, funkcija para funkcija / (f) dovršava funkciju Otzhe, broj funkcije para ma viglyad 00 Yaksho f (x) je neuparena funkcija na izlazu [-tg, ir |, zatim funkcija nije uparena sa , a zbrajanje f (x) sin nx je funkcija para. U takvom rangu, niz Fuhr'ê nesparenih funkcija može se vidjeti Dodatak 1. Prostori u nizu Fur'ê na sličnoj funkciji -x ^ x ^ n 4 Dakle, kao funkcija para i ako smo zadovoljni sa teoremama 1, tada znamo kofítsíênti Fur'ê. Mamo Dvíchí integracija u dijelovima, otrimamo, tako da je broj Fur'ê ove funkcije viglyadê sljedeći: u svakom slučaju, u otvorenom pogledu, vrijednost je fer za bilo koje x €, tako da je u točkama x = ± ir postoji broj f (x) = x2, fragmenata. Grafikoni funkcije f (x) = x i zbir datog reda su dati na Sl. Poštovanje. Čitav niz Fur'ê vam omogućava da znate zbir jednog od numeričkih nizova, koji konvergira, i sam, na x = 0, on je prepoznatljiv, ali Primjena 2. Proširuje se u Fur'ê seriju na intervalu od funkcija / (x) = x. Funkcija / (x) zadovoljava teoremu 1, a također je moguće proširiti u niz Fur, koji se kroz nesparenu funkciju funkcije integrira zajedno, znamo funkciju funkcije funkcije s obzirom, red Fur svih x tačaka x - ± tg suma na broj Fur'ê se ne riješi vrijednosti funkcije / (x) = x, neki od najvažnijih stavova su u sličnom [- *, i-] zbir broja ê periodičnih naprednih funkcija / (x) = x; njen graf je prikazan na sl. 6. § 6. Raspored funkcije, date pogonu, u nizu iza sinusa ili po kosinusima. Značaj centralne funkcije za isporuku 0 | moguće je biti drugog ranga. Na primjer, moguće je koristiti funkciju / na vozilu] tako, schob /. Imam dosta vipadku da to kažem) "unapredio u vidrizok 0] od mladog čina"; í̈ broj Fur'ê osvete lishe kosinusi. Kako je funkcija / (f) važna za oblik [-l-, mc] tako, ako je funkcija neuparena, ako se čini da / "je unapređen u oblik [- *, 0] neuparenim rangom"; Sav red Fur'ê će biti zbunjen samo sa sinusima.Takođe, koža je okružena kvrgavo-monotonom funkcijom / (f), dodijeljena je alternativnoj, moguće je proširiti u nizu Fur'ê í duž sinusa, í duž kosinusa Primjena 1. Funkcije u nizu ruža 'ê: a) po kosinusima; b) iza sinusa. M Funkcija se daje u slučaju uparenih i neuparenih promocija u vidrizoks | -x, 0) će biti isprepletene tako da je šmatkovo-monotono. a) Kontinuirano / (z) u verzijama 0) a) Kontinuirano j \ x) u verzijama (-tg, 0 | mladi rang (slika 7), todi íí̈ red Fur'ê i matime viglyad P = 1 de kofítsíênti Fur ' ê, b) Nastavite / (z) u obliku [-x, 0] nespareni (slika 8). Todi í̈ broj Fur'ê §7. Niz Fur'ê za funkciju sa određenim periodom Nehai funkcija fix) ê periodično izdanje s periodom od 21,1 ^ 0. Ta funkcija F (t) = / ^ tj će biti periodična funkcija argumenta t iz perioda i može se proširiti do reda Fur'ê. , Za ostanak na vlasti i za periodične funkcije sa određenim periodom 21. Rast, koji je dobio svoju snagu i dovoljan da označi distribuciju funkcija u nizu Fur'ê. Primena 1. Proširivanje serije Fur'ê je periodična funkcija sa periodom 21, data u obliku [- /, /] formulom (slika 9). Dakle, kako je data funkcija para, tada se broj Fur'ê maê viglyad daje određeni broj Fur'ê koji zna vrijednosti funkcija Fur'ê, jasno je prepoznato da postoji jedna važna moć periodičnih funkcija. Teorema 5. Ako je funkcija perioda T i integrirana, onda je to broj i jednakost od m. Odnosno, integracija nije zasnovana na razlici između perioda puta T, već je isto značenje upravo iz pozicije pogona na numeričkoj osi. Pošteno, Robimo će zamijeniti promjenu iz drugog Integrala, vvazhayuchi. Tse daê i í takođe, geometrijski moćnost znači da oblasti zasenčene na Sl. 10 regija jednakih jedna drugoj. Zokrem, za funkciju f (x) sa tačkom, prihvatljivo je kada se niz FUR' momaka i neparnih funkcija postavlja u red iza sinusa, ili kosinusima. Fur'ê funkcije Fur'ê serije prema ortogonalnom sistemi Minimalna snaga efikasnosti Beselove jednakosti Parseval zatvorenih sistema Rotacija i zatvorenost sistema Primena 2. Funkcija x ê periodična iz perioda Zbog nesparene prirode ove funkcije, bez brojanja integrala, moguće je koristiti je, ali ako je nekome data snaga, opruga, koja je funkcija periodičnih funkcija f (x) broj (što znači, funkcija je cos - a sin može biti period 2 /). Primena 3. Otvaranje broja Fur'ê je dato na intervalu funkcijom sa periodom od 2x (slika 11). 4 Znamo funkcionalnost funkcije. Otzhe, niz Fur'ê će se videti ovako: U tački x = jt (tačka preseka prvog roda) maêmo §8. Sveobuhvatna notacija za određeni broj Fur'ê U cijelom paragrafu vikoristovuyutsya deyaki elementi kompleksne analize (div. Razdil XXX, de all diy, koji se ovdje izvodi sa složenim virazama, suvoro rimmed). Neka funkcija f (x) bude zadovoljna sa dovoljno prostora u redu Fur'ê. Na primjer, moguće je prikazati smjer Vikoristove formule Eilera u kompleksnom obliku (3). Poznato je da virazi kofítsíêntív putem integrarala. Slično, rezidualna formula za s „, s_p í s može se napisati na sljedeći način:. ... Karakteristike se nazivaju kompleksne funkcije Fur'ê funkcije Za periodične funkcije iz perioda), složeni oblik je broj Fur'ê će se vidjeti u očima dekofitsinti Sp koji se izračunava prema formulama vrijednosti w, kao i između aplikacija. Prostori u složenoj seriji Fur'ê funkcije perioda. Funkcija je data dovoljnim umovima distribucije u nizu Fur'ê. Nekhai Know-how složena funkcionalnost Fur'ê centralna funkcija. Mahmo za neuparene za momke n, ili kraće. Predstavlyayuchi značenje), prepoznatljiv rezidualno Veliki, ali broj se može napisati ovako: Red Fur'ê iza ortogonalnih sistema funkcija 9.1. Ortogonalni sistemi funkcija Besmisleno kroz sve (akcione) funkcije, koje su smislene i integrisane u kvadrat [a, 6], tako da je takav, za neki jednostavan integral. Zokrema, sve funkcije f (x), bez prekida do oblika [a, 6], da budu 6], i značenje Lebesgueovih integrala uključeni su u značenje Rimanovih integrala. Viznachennya. Sistem funkcija, de, naziva se ortogonalnim na oblik [a, b \, kao Umov (1) koji prenosi, zokrem, ali funkcije nisu pogodne za istu nulu. Integralno razgovarati sa Sensei Lebesgueom. Ako se vrijednost naziva normom funkcije u ortogonalnom sistemu za bilo koju mašinu, tada se sistem funkcija naziva ortonormalnim. Ako je sistem (y> „(g)) ortogonalan, onda je sistem Primena 1. Trigonometrijski sistem je ortogonan u pravcu. Sistem funkcija je ortonormalni sistem funkcija, Dodatak 2. Kosinusni sistem í sinusni sistem je ortonormiran. Uvedene, vrijednosti ê su ortogonalne na smjer (0, f |, ali nisu ortonormalne (na I F-2). Tako da ih normira COS. da bi funkcija uspostavila ortonormalni sistem funkcija na putu Čini se, na primjer, ortogonalnost Legendreovih polinoma, do reda m - I uključujući, pretvara se u nulu na kraju oblika [-1,1). Viznachennya. Sistem funkcija (pn (x)) naziva se ortogonalnim na intervalu (a, b) sa funkcijom p (x), pri čemu je: 1) za sve n = 1,2, ... svuda je označen i pozitivno na intervalu (a, b) iza moguće vinjete krajnjeg broja tačaka, de p (x) se može okrenuti na nulu. Nakon diferencijacije u formuli (3), poznato je. Može se pokazati da je okretanje Chebishev-Ermita ortogonalno na intervalu.Primjena 4. Sistem Beselovih funkcija (jL (pix) ^ je ortogonan na intervalu nule Beselove funkcije. Ortogonalni sistem funkcija u interval (a, 6) i niz (cj = const) konvergiraju na cijelom intervalu funkciji f (x): sistem je otrimaêmo, scho tsya operatsíya maê, očigledno, to je formalne prirode. Tim nije najmanje važno, za neke ljude, na primjer, ako se nizovi (4) jednako konvergiraju, sve funkcije su neprekidne i interval (a, 6) je dosadan, a operacija je legalna. Za nas je samo formalno tumačenje ujedno važnije. Otzhe, neka se podesi funkcija. Brojevi sa * vrijede za formulu (5) i možemo napisati Serija, koja stoji na desnom dijelu, zvaće se niz Fur'ê funkcije f (x) i sistema (^ n (i) ) - Brojevi Cn se nazivaju funkcijama Fur'ê funkcije f (x ) za cijeli sistem. Znak ~ u formuli (6) znači da su brojevi Cn vezani za funkciju / (g) formulom (5) (ako se ne prenosi, ali red sa desne strane konvergira, ali više konvergira funkciji f (x)). Za to je prirodno jesti hranu: kakva je to moć? Koja vrijednost "predstavlja" funkciju f (x)? 9.3. Vrijednost prosječne vrijednosti. Posljednji, konvergiraju elementu] u sredini, kao norma u teoremi prostranstva 6. Posljednji) konvergiraju ekvidistantno, ne konvergiraju u sredini. M Ne dozvolite da posljednji () ide ravno u smjer [a, b] do funkcije / (x). Tse znači da bi koža uopće dosegla veliku mamo Otzhe, zvuci naše snage su snažni. Zvorotna čvrstoća je pogrešna: posljednji () može konvergirati u sredini do / (x), ali nije baš sličan. guza. Lako je vidjeti zadnju stvar. Lako je napraviti sigurnosnu kopiju, ali Ale tsya ne radi pozadi: to je, na primjer, to je, na primjer, neću biti sjajan, ali, uglavnom, Započinjem red od četiri tipa i neuporedivih funkcija kosinusi Red Fur'ê za funkcije sa periodom prije perioda Kompleksna notacija za seriju Fur'ê Riadi Fur'ê za vanjske ortogonalne sisteme funkcija Red Fur'ê iza ortogonalni sistem Minimalna snaga funkcija Fury-stitched sistemi Labavi sistemi Ortonormalizovani sistem Linearna kombinacija de n ^ 1 - fiksirala je ceo broj, a znamo vrednost poslednjih, za koje je integral minimalna vrednost. Pisani izvještaj je zanimljiv pojam po član, zbog orto-normalnosti sistema moguće je prepoznati da prva dva kompletiranja u desnom dijelu ravnoteže (7) ne leže, a treća se ne može pronađeno. Ovome, integral (*) dodaje minimalnu vrijednost pri ak = ck, integral se zove srednje kvadratne aproksimacije funkcije / (x) linearna kombinacija Tn (x). U takvom rangu, srednja kvadratna aproksimacija funkcije / accept je najniža vrijednost, ako. ako je Tn (x) ê 71-deo zbira broja funkcija / (x) iza sistema (. Vazhayuchi ak = ck, s (7) možemo prihvatiti Ekvivalentnost (9) se zove isti Bessel. , onda, zbog Besselove inertnosti Oskilka, ja sam prilično tu, onda je Beselova inertnost moguća u jačem obliku, odnosno za bilo koju funkciju / niz kvadrata funkcija. Dakle, kako je sistem ortonormalizovan na osnovu [-x, tg], onda je nedoslednost (10) u transpoziciji na elementarni zapis trigonometrijskog niza Fur'ê da Ako je f2 (x) integrisan, onda ćemo kroz nužni um niza neizbježnosti u lijevom dijelu nerava (11) to prihvatiti. Parsevalov paritet Za neke sisteme (^ „(x)), znak nepristojnosti u formuli (10) može se zamijeniti (za sve funkcije / (x) 6 godina) kao znak parnosti. Otrimanov paritet se naziva parseval-Steklov paritet (um). Besselov identitet (9) nam omogućava da sam zapišemo umov (12) u ekvivalentnom obliku Tim, naziv uma znači da su dijelovi sumi Sn (x) niski da bi funkcija / (x) konvergirala na funkcija / (x) u sredini, tako da. iznad norme 6]. Viznachennya. Sistem je ortonormaliziran (naziva se više u b2 [ay b], kao da bi funkcija mogla biti što preciznija u kombinaciji srednje linije, mogla bi se isporučiti s velikim brojem podnošenja, tako da može biti funkcija za , B \ i za bilo koje e> 0 postoji prirodan broj nq í brojevi a \, a2y ... za cijeli sistem, idite na f (x) u sredini, tako da za normu možete pokazati da je trigonometrijski sistem je rijedak, zvijezde su živopisno čvrste. Teorema 8. Ako joj funkcija trigonometrijskog Fur reda konvergira u sredini. 9.5. Zatvoreni sistemi. Potencijal i zatvorenost sistema Visnachennya. Sistem funkcija \ je ortonormalan, naziva se zatvoren, kao da je u prostoru Li \ a, b) nije funkcija koja je ortogonalna svim funkcijama. Desno 1. Postavite red Fur'ê u funkciju intervala (-ya-, z) 2. Postavite red Fur'ê u funkciju intervala (-tg, tg) 3. Postavite red Fur'ê u funkcija intervala (-tg, tg) 4. Postavite Fur'ê niz u interval (-jt, tg) na funkciju 5. Postavite Fur'n niz u interval (-tg, tg) sa funkcijom f (x) = x + x. 6. Postavite do Fur'ê reda u intervalu (-jt, tg) funkciji n 7. Postavite do Fur'ê reda u funkciji intervala (-tg, z) / (x) = sin2 x. 8. Postavite do Fur'ê reda u intervalu (-tg, jt) funkciji f (x) = y 9. Postavite do Fur'ê reda u intervalu (-tt, -k) funkciji / (x ) = | sin x |. 10. Stavite niz Fur'ê u interval (-ya-, mr) funkciju / (x) = §. 11. Stavite funkciju f (x) = sin § do reda Fur'ê u interval (-tg, tg). 12. Proširiti red Fur'ê sa funkcijom f (x) = n -2x, datom u intervalu (0, x), gurajući ga u interval (-x, 0): a) kao momak; b) neparni rang. 13. Stavite Fur red iza sinusa funkcije f (x) = x2, date u intervalu (0, x). 14. Dekomponovati niz Fur'ê funkcija / (x) = 3, datih u intervalu (-2.2). 15. Proširiti funkciju f (x) = | x | na red Fur'ê, dat u intervalu (-1,1). 16. Postavite Fur red iza sinusa sa funkcijom f (x) = 2x, datom u intervalu (0,1).