Razkladannya u nizu fur'ê momci i neuparene funkcije neefikasnost bezsel parseval. Vrijednost performansi u nizu za formule fur'ê

Rukohvat Fur'ê funkcija f (x) na intervalu (-π; π) naziva se trigonometrijski niz u obliku:
, de

Funkcija ručke Fur'ê f (x) na intervalu (-l; l) naziva se trigonometrijski niz oblika:
, de

Primjetno. Online kalkulator vrijednosti za proširenje funkcije f (x) za red Fur'ê.

Za funkcije modula (na primjer, | x |), odaberite kosinusna distribucija.

Pravila za uvođenje funkcija:

Za funkcije modula odaberite kosinusnu distribuciju. Na primjer, za | x | potrebno je napraviti sigurnosnu kopiju funkcije bez modula, dakle. x.

Red Fur'ê shmatkovo-bez prekida, shmatkovo-monoton i isprepleten na intervalu (- l;l) funkcija da konvergira duž cijele brojevne ose.

Suma red Fur'ê S (x):

• ê periodična funkcija sa periodom 2 l... Funkcija u (x) se naziva periodičnom sa periodom T (ili T-periodičnom), za sve x domene R, u (x + T) = u (x).
• na intervalu (- l;l) započnite s funkcijom f(x), iza vinjete tačaka rezanja
• na tačkama rezanja (prva vrsta, tj. funkcija je okružena) funkcije f(x) i na kraju intervala srednje vrijednosti su:

.
Reći da je funkcija presavijanja u red Fur'ê na intervalu (- l;l): .

Yaksho f(x) Je li uparena funkcija, tada se njeno širenje zauzima za sudbinu uparene funkcije, tobto b n=0.
Yaksho f(x) - neuparena funkcija, a zatim njeno širenje preuzima sudbinu lišavanja nesparenih funkcija, tobto a n=0

Rukohvat Fur'ê funkcije f(x) na intervalu (0; l) u kosinusima više lukova nazvati redom:
, de
.
Rukohvat Fur'ê funkcije f(x) na intervalu (0; l) iza sinusa višestrukih lukova nazvati redom:
, de .
Zbroj u nizu Fur'ê iza kosinusa višestrukih lukova je uparena periodična funkcija sa periodom 2 l, scho zbígaêatsya s f(x) na intervalu (0; l) na tačkama prekida.
Zbir reda Fur'ê iza sinusa višestrukih lukova je nesparena periodična funkcija sa periodom 2 l, scho zbígaêatsya s f(x) na intervalu (0; l) na tačkama prekida.
Broju Fur'ê za datu funkciju na datom intervalu može se dati snaga jednostrukosti, tako da se može obraditi na isti način, ispod registracije formula, na primjer, za dodatni izbor performansi, formu

Kundak broj 1. Prostori sa funkcijom f (x) = 1:
a) u gornjem redu Fur'ê na intervalu(-π ;π);
b) red iza sinusa višestrukih lukova na intervalu(0;π); probudi graf onog koji je bio odsječen na broj Fur'ê
Odluka:
a) Proširivanje na red Fur'ê na intervalu (-π; π) ma viglyad:
,
i sve karakteristike b n= 0, jer funkcija je data - par; takav čin,

Očigledno, paritet Viconana će biti
a 0 =2, a 1 =a 2 =a 3 =…=0
Pogledaću snagu jedinstva i shukany funkcionalnosti. Sa takvim rangom, distribucija šukane: chi je samo 1 = 1.
U takvom slučaju, pošto se broj može koristiti za svoju funkciju, graf za broj Fur'ê se može koristiti za brojne funkcije na svim brojevnim linijama.
b) Proširivanje na interval (0; π) iza sinusa višestrukih lukova ma viglyada:
Usvajanje efikasnosti je očigledno previše loše, očigledno. Skoristaêmosya formula za izračunavanje performansi:


U takvom rangu, za momke n (n=2k) maêmo b n= 0, za neuparene ( n=2k-1) -
Oh dobro, .
Probudite graf otrimannyh brojnih Fur'ê, ubrzavajući njegovu moć (božansko vishche).
Sada će postojati graf centralne funkcije u datom intervalu. Dal, ubrzavajući neupareni sumi na broj, prodovzhumo graf je simetričan na klip koordinata:

Periodično proizvodimo po svim numeričkim osa:


I nareshti, na tačkama sečenja, srednja (mi vladamo i živimo granicu) značenja:

Zadnjica broj 2. Funkcionalnost na intervalu (0; 6) iza sinusa višestrukih lukova.
Odluka: Distribucija, treba se rugati, maê viglyad:

Oscilacije i životi, i pravo dijela jednakosti da se opravda funkcija grijeha iz drugih argumenata, pa da se preispita, što se gubi kada postoje značenja n (prirodnih!) argumenata sinusa u nekom od pravih dijelova:
za zvijezde n = 18. To znači da je takva zadužbina da se osveti na desnom dijelu, a funkcija je kriva za preuzimanje funkcije na lijevom dijelu: b 18 =1;
za zvijezde n = 4. Misliti, b 4 =-5.
S takvim rangom, uz pomoć odabira predstava, možete ispraviti raspored u daljini.

Jak je već ljubazno nabridli. Vidim da je trenutak naređen, budući da su strateške rezerve teorije naučile čas nove konzerve. Zašto nije moguće rasporediti funkciju u nizu kao inaxe? Na primjer, da li je moguće povući pravu liniju kroz sinus i kosinus? Da bude poznat, ala taki, nachebto, daleko jedna vrsta jedne funkcije je data
"vozz'êdnannya". Krym poznati koraci u teoriji i praksi, idite na širenje funkcija u nizu.

Na kraju dana, možemo naučiti o trigonometrijskom nizu Fur'ê, procijediti ishranu njegove ekonomije i sumi, i, iznenađujuće, odabrati broj guzica za distribuciju funkcija u redu Fur'ê . Većinu vremena sam želio da nazovem članak "Red Fur'ê za čajnike", ale tse bulo sa lukavstvom, neki za posljednju generaciju da zna znanje o distribuciji matematičke analize i praktičnih informacija. U tu preambulu nagaduvatime obuku kosmonauta =)

Prije svega, dok se materijali ne podignu, stranice moraju ići u novu formu. Spavali smo, vidjeli smo i bilo je teško. Bez jakih emocija od nagona opake šape hrčka i nametljivih misli o tyagar životu akvarela riboka. Brojni Fur'ê nisu sklopivi na prvi pogled, već praktičan pristup jednostavnom povećanju koncentracije poštovanja - u idealnom slučaju postoji daljnji porast u razvoju najpopularnijih. Situacija se vremenom usporava, ali ne i lak način rekonfiguracije rješenja i izgleda. Sa takvim rangom, ako vam je samopoštovanje niže od prosjeka, onda ćemo vam ljepše oprostiti. Shypravda.

Drugim riječima, prije letenja u svemir potrebno je zgrabiti panel dodataka svemirskog broda. Uglavnom, zbog značenja funkcija koje su krive za klikanje na mašinu:

Sa bilo kojim prirodnim značenjem:

1). Prvo, sinusoida "prošiva" apscis kroz kožu "pi":
... Ako se argumentima prizna negativna značenja, rezultat bi, očigledno, bio isti:.

2). Ali nisu sve znali. Kosinus "pi en" je ekvivalentan "bljeskaču":

Negativan argument samo ne smeta: .

Mabut, dosta je.

Ja, u trećem, je shanovny zagín kosmonauti, potrebno je ići ... integrirati.
Zokrem, pevan dati funkciju diferencijalnom predznaku, integrisati delove i bootie in frets z po Newton-Leibnitz formuli... Veoma je važno ispred desne strane. Kategorično ne preporučujem da ga preskočite, jer se nije spljoštio na nedostupnom:

zadnjica 1

Prebrojite integrale

de nabuwaê prirodna vrijednost.

Odluka: Integracija se vrši za promjenu "x" iu ovoj fazi se diskretna promjena "en" koristi kao konstanta. U svim integralima opremljen funkcijom diferencijalnog predznaka:

Kratka verzija rješenja, dok ne budete dovoljno dobri da ciljate, izgleda ovako:

Zvikaêmo:

Chotiri je punktiran, spontan. Pokušajte maksimalno iskoristiti vrijeme kako biste na kratak način dovršili integraciju. Učenje rješenja za lekciju.

Pislya yakisnogo vikonannya desno nadyagaêmo svemirska odijela
i spremni za početak!

Distribucija funkcija od reda Fur'ê do

Deyaku funkcija, yaka određen pozajmljen za predujam (i, možda, za veći predujam). Budući da je funkcija integrirana u red Fur'ê:
de - tzv kofítsíênti Fur'ê.

Kada se pozove broj period distribucije, I broj - napívperíodom distribucija.

Očigledno, u zagalnom vipadu, red Fur'ê se savija u sinuse i kosinuse:

Díysno, napisao je predavanje:

Nulti pojam je nizak za zapisivanje jaka.

Koeficijenti Fur'ê se plaćaju za sljedeće formule:

Divno je razmišljati o tome, pa je u redu slušati temu. period distribucije, napivperiod, kofítsíênti Fur'ê da í Bez panike, ne radi se o hvilyuvannyam prije ulaza u svemir. Sve se sprema u najbližu guzu, pred posjetiteljima je logično postaviti dnevne praktične obroke:

Šta je potrebno revidirati u lebdenju nižih naloga?

Proširite funkciju na red Fur'ê. Nije lako nacrtati graf funkcije, graf sume u nizu, privatni zbir, a razvoj naprednih profesionalnih fantazija ima više razvoja.

Kako proširiti funkciju na broj Fur'ê?

Po danu, morate znati kofítsíênti Fur'ê tobto fold i broj tri pjevanje integrala.

Budi lasica, prepiši zagalny viglyad na red Fur'ê da tri radne formule za sebe. Ja sam mali radijum, pa kod momaka koji su otvorili stranicu pravo u mojim očima, dijete svijeta postaje astronaut.

zadnjica 2

Distribuirajte funkciju u redu Fur'ê na liniji. Pobuduvati graf, graf sumi pored tog privatnog sumi.

Odluka: prvi dio postrojenja nalazi se na distributivnoj funkciji u redu Fur'ê.

Uho je standardno, obov'yazkovo pisanje, scho:

Istovremeno, period distribucije je npr.

Stavljamo funkciju u red Fur'ê na liniju:

Vikoristovuči se baziraju na formulama, znamo kofítsíênti Fur'ê... Sada ga trebate spustiti i izbrojati tri pjevanje integrala... Radi praktičnosti, numerisaću tačke:

1) Prvi integral je, međutim, najjednostavniji i već je vimag oka koje oko:

2) Koristimo prijatelju formulu:

Tsey integraral dobre znayomiy i uzeti u komadima:

Sa znanjem vicoristana metoda dovođenja funkcije do diferencijalnog predznaka.

Na pozdravljen menadžer, odmah vikoristovuvati formula za integraciju delova pevajućim integralom :

Par tehničara. Perche, piše formulu cijeli stih treba staviti na veliki luk, bilješke prije izlaznog integrala je konstanta. Nije neophodno! Mašne se mogu otvoriti na bilo kojoj vrsti lažnog međunožja, pokušavam ga razbiti na ostalo. Pershu ima "shmatku" Vyavlyaemo ekstremnu preciznost na stanici, jak bachite, konstanta nije na desnoj strani, ali između integracije se prikazuje na TV-u. Qia diya se vidi kvadratnim lukovima. E, i integral još jedne "šmatke" formule ti je dobar zbog trenuvala ;-)

Ja naygolovnishe - granica koncentracije poštovanja!

3) Shukaymo treća konferencija Fur'ê:

Otriman relativnog prednjeg integrala, koji je isti integrisati sa delovima:

Cijeli primjerak trohe je presavijen, a detalje ću komentirati u nastavku:

(1) Viraz će se uzdignuti u stilu na velikom luku... Ne želim da budem dosadan, često koristim konstantu.

2 Posebno poštujem dolazimo do prvog "shmata": konstanta da se sprži ivica i pobrine se za sudbinu prijelaza između integracije (i) do tvira. Kroz zakharaschen_st ću zapisati qiu díyu know-how da ga vidim s četvrtastim lukovima. Sa još jednim "šmatom" sve je jednostavnije: ovdje se pojavljuju drugi za otvaranje velikih lukova, a konstanta je zbog integracije poznatog integrala ;-)

(3) Na četvrtastim lukovima vrši se preuređenje, a desni integral - ugradnja između integracije.

(4) Vinosimo "blistavo svjetlo" iz četvrtastih lukova: ako su unutrašnji lukovi otvoreni:.

(5) Između 1 i 1 na lukovima izvodi se zaostala veza.

Sve tri karakteristike Fur'êa su poznate:

Formula je :

Pritom se ne zaboravlja na distribuciju navpila. S druge strane, pozornica je konstanta ("minus dva"), jer nije moguće ležati iza "en", vino je iza sumija.

U takvom rangu prepoznali smo distribuciju funkcija u nizu Fur'ê za interval:

Vivchimo prehrana zbízhností niska Fur'ê. Objasniću teoriju, zokrem Dirichleova teorema, doslovno "na prste", pa ako ti treba dobra formulacija, budi lasica, budi brutaliziran do ruke iz matematičke analize (Na primjer, 2. tom Bokhan; ili 3. tom Fikhtengoltsya, ale u novom značaju).

Na drugom delu preduzeća potrebno je nacrtati grafik, grafik suma u nizu i grafik privatne sume.

Funkcijski graf ê pravo na trg, jak je nacrtan crnom isprekidanom linijom:

Pokupljeno iz torbe u nizu. Kao što znate, funkcionalni redovi konvergiraju funkcijama. Naši vypadnu motivi broj Fur'ê za bilo koju vrijednost "x" idite na funkciju, kao što je prikazano bojom crva. Qia funkcija izdržati razveseli 1. vrstu na tačkama, doduše naznačenim u njima (crvene tačke na stolici)

U ovom rangu: ... Lako je bachiti, pa se to lako vidi iz same specifične funkcije u zapisu stavlja se ikona "tilde", a chi nije znak jednakosti.

Vivchimo algoritam, yakim ručno buuvati nekoliko.

Na središnjem intervalu, red Fur'ê konvergira funkciji (središnja crvenila završava crnom isprekidanom linijom funkcije linije).

Sada treba pogledati nekoliko riječi o prirodi trigonometrijskog rasporeda. Imati nekoliko Fur'ê za unos samo periodičnih funkcija (konstanta, sinus i kosinus), isti iznos takođe periodična funkcija.

Što to znači za našu specifičnu primjenu? A to znače one, koje su zbir broja –neujednačeno periodično a crvenoruki u intervalu je kriv za beskonačno ponavljanje ruke i desne ruke.

Mislim da je odmah postalo dovoljno jasno značenje izraza "period distribucije". Očigledno oprošteno, kroz kožu situacija da se zna i ponovi ponovo.

Radi toga, obavezno tri puta dovršite sliku, jer je polomljena na fotelji. Pa, čak i "panjevi" perioda susidníkh - schob bulo nula, tako da se grafikon nastavlja.

Od posebnog interesa za predstavljanje tačke rezanja 1. vrste... Na takvim mestima se red Fur'ê spušta na izolovanu vrednost, jer se peče na sredini „trake“ (crvene mrlje na fotelji). Znate ordinatu broja bodova? Postoji zbirka poznatih ordinata "vrh na vrhu": kada se vrijednost funkcije izračuna na ekstremnim desnim tačkama centralnog perioda distribucije:. Za izračunavanje ordinate "dno na vrhu" jednostavnije je uzeti ekstremnu vrijednost perioda: ... Ordinata srednje vrijednosti - srednja vrijednost je zbir "gore i dna":. Hajde da prihvatimo činjenicu da ćete prilikom pozivanja stolice odmah pogoditi sredinu, ako je sredina pogrešno izračunata.

Ako je dobrotvorna suma mala, smisao izraza "zbižnist" se može odmah ponoviti. Motiv lekcije o zbir niza brojeva... Naše bogatstvo je zapisano u izveštaju:

Schob na kraju šato sume, potrebno je upisati nula + još dva segmenta u nizu. Tobto,

Na fotelji graf funkcije slike u zelenoj boji, i, kao bahit, završiću "umotavajući" svoju torbu. Ako pogledate parče novca od pet članova za redom, onda je grafikon cijele funkcije tačniji od crvene linije, ako ima stotinu članova, onda će "zelene zmije" zapravo narasti da se razbole od crvi u drugom. U ovom rangu, serije Fur'ê konvergiraju sa svojim sumi.

Tsíkavo vidnostviti, koji be-yaka chastkova sum - tse neprekidna funkcija, iznos protesta za broj je i dalje razrivan.

U stvari, sasvim je potrebno posjetiti graf privatnog sumija. Yak tse zrobiti? Ako trebate pogledati funkciju, izračunajte vrijednosti brojeva u međutočkama (ako vidite više tačaka, onda će grafikon biti precizniji). Zatim pratite značenje tačke na stolici i pažljivo nacrtajte grafikon na periodu, ako želite da ga "roztiražujete" sa strane. I yak inakshe? A blizina je lanac periodičnih funkcija... ...na displeju medicinskog uređaja je grafikon srčanog ritma.

Viconuvati će inducirati, zlobno, čak ni ručno, tako da će se moći postići vrhunska preciznost, tačnost staklastog tijela nije manja od pola milimetra. Dok čitam, nisam u skladu sa stolicama, molim vas - "pravom" osoblju nije potrebna stolica, ovdje 50% ispitanika treba da proširi funkciju na brojne Fur's i sve ostalo.

Pislya vikonannya fotelja će biti upotpunjena sa:

Pogled:

Bagato zavdan funkciju izdržati sečenje 1. vrste direktno na period distribucije:

zadnjica 3

Stavite u red funkciju Fur'ê, dodijeljenu linku. Kultivirajte graf funkcije i broj sažetaka.

Predložena funkcija je data paušalnim rangom (štaviše, poštuj me, samo na vidrizki) i izdržati sečenje 1. vrste u tački. Koliko možete dobiti od funkcionalnosti Fur'ê? Nema problema. Prvo i najvažnije, pravo dijela funkcije da se integrira po sebi obećava, do toga integraciju kože i tri formule sljedećeg poreza u slučaju zbira dva integrala. Iznenađujuće, na primjer, kako možemo biti na nulti stopi:

Još jedna integracija je dodana na nulu, ali su se roboti promijenili, ali nije tako.

Slično, dvije funkcije su ispisane.

Jak crtati torbu u nizu? Na lívínírívílí, fotelja ide pravo naprijed, a u intervalu ídrizok ravno (podebljano i podebljano vidimo os ose). Tobto, na progresiju širenja sume, broj sbígaêtsya s funkcija skríz, krím tri "gadna" boda. U trenutku rezanja funkcije, određeni broj Fur'ê se spušta na izolovanu vrijednost, kao i raste u sredini "trake" koju sam isjekao. Nije važno koliko je dobro i pospano: granica na lijevoj strani: i očigledno, ordinata srednje tačke puta je 0,5.

Pogledaću periodičnost sumija, sliku treba "umnožiti" na srednji period, sjeme treba nacrtati na intervalima. Istovremeno, u tačkama, red Fur'ê ziydetsya na srednje vrijednosti.

Inače, tu nema ništa novo.

Pokušajte se i sami uklopiti sa svojim zaposlenima. Zrazok fina dekoracija i fotelja za nastavu.

Proširivanje funkcije brojnih Fur'ê u prethodnom periodu

Za one za koje je vjerojatnije da će širiti riječ, de "smreka" - bio to pozitivan broj, formule za broj Fur'ê i koeficijente za Fur'ê su date tri ubrzavanjem argumenta sinusa i kosinusa:

Čim formule izađu, popravljene su.

Algoritam i princip rješavanja zadataka vjerojatnije će biti sačuvani, izračunava se malo više tehničke složenosti:

zadnjica 4

Proširite funkciju u redu Fur'ê koji će kreirati graf sumi.

Odluka: zapravo analog aparata br. 3 s 1. vrsta u tački. Istovremeno, period distribucije je npr. Funkcija je naznačena samo na osnovu intervala, ali ne menjajte desnu - važno je da je prekršaj shmat u funkciji da se integriše.

Proširiva funkcija na brojne Fur'ê:

Oscilacije funkcije su prikazane na kos koordinata, tada je skin funkcija Fur'ê očito zapisana u viglyadi sumi dva integrala:

1) Prvi integral će napisati maksimum izvještaja:

2) Zaista impresioniran na površini Misyatsa:

Još jedan integral uzeti u komadima:

Na sljedećem koraku, osjetit ću poštovanje prema činjenici da ću vidjeti jasan napredak u rješenju?

Perche, ne nejasno perchintegral de odmah vikonuêmo znak isporuke na diferencijal... Na drugačiji način, ne zaboravite na zlu konstantu ispred velikih lukova koji nemojte se izgubiti u znakovima sa viktorijanskim formulama ... Veliki lukovi, ipak, otvaraju heklanje odmah na ofanzivnoj ivici.

Na desnoj strani su tehnologije koje se mogu preklopiti zbog nedostatka dovoljno informacija o integraciji integracije.

Dakle, nisu naleteli na dar slavnih kolega francuskog matematičara Fur'êa - kako su se smijali raspodjeli funkcija trigonometrijskog niza ?! =) Prije govora, milozvučno, sve tsíkaviy praktične zmíst zmíst zmíst zvdannya. Sam Fur'ê je radio na matematičkom modelu toplotne provodljivosti, a zatim je za njih sakriven niz naziva za razvoj periodičnih procesa, koji su nevidljivi u slučaju nove svjetlosti. Inficiran, pre govora, odnevši ga u Dumu, ali ne nejasnim podešavanjem grafikona druge zadnjice sa periodičnim ritmom srca. Možete naučiti iz praktičnih metoda sisanja reinkarnacija Fur'ê od džerelakha treće strane. ... Ako želiš ljepše, neće ti trebati - bit ćeš zgaduvatisya, jak Perche Kohannya =)

3) Vrahoyuchi slabi Lankanci, koji su nekoliko puta nagađani, slažući se sa trećim koeficijentom:

Sastavni dijelovi:

Usput, znamo efikasnost formule , ne zaboravite dodati nultu efikasnost:

Neka grafovi sumi budu niski. Ukratko ponovite redoslijed radnji: u intervalu ću biti ravan, ali u intervalu ću biti ravan. Sa nultom vrijednošću "x", tačka se stavlja u sredinu "trake", a "kružni" graf na strani tačke:


Na "štapovima" perioda sume, pogodno je i da se sredina "trake" kida.

Spreman. Pretpostavljam da je sama funkcija iza uma zamišljena da bude lišena intervala_dremanja i, očito, da izađe iz reda u intervalima

Pogled:

Inodi shmatkovo-set funkcija se postavlja bez prekida za period distribucije. Najjednostavniji učenik: ... Odluka (Div. 2. tom Bohana) isto, kao i dva prednja kundaka: bez uticaja kontinuitet funkcije u točki, kožni kofítsíênt Fur'ê pretvoriti torbu od dva integrala.

Za distribuciju tačke rezanja 1. vrste da /abo ukazuje na "štap" graf može biti ili više (dva, tri i be-yake kintseve broj). Dok je funkcija integrirana u dio kože, također je presavijena na niski Fourier. Ne mogu zamisliti takvu tvrdoću ako nisam praktičan. Tim nije najmanje, nije manje važno, videćete veći značaj projekta, dobro ćete ga pogledati, a na primer statistika za sve one koji su bitni ê uradite to u nizu Fur's advanced preklapanje.

I ostavi nemir, gledajući kristale i gledajući u beskrajnu zoru svemira:

Guza 5

Proširivanje funkcije broja Fur'ê na rubu linije i produvaty graphyk sumi broj.

Imaju širok spektar funkcija neprekinuto na nap_v_interval_ distribucije, scho postavlja rješenje. Sve je još sličnije zadnjici br. 2. Ne postoji način da se izađe iz svemirskog broda - bit će viralno =) Primijenjena vizualizacija za graf lekcije je završena.

Postavljanje u red Fur'ê momaka i neuparene funkcije

Sa momcima i neuparenim funkcijama, proces obnove je kao da se kaže zbogom. Prva os do čomu. Prelazak na otvaranje funkcije na red Fur'ê u periodu "dva pi" da do dosta dobrog perioda "dve smreke" .

Doduše, naša funkcija je par. Zagalni član reda, kao i vi bachite, osvetite se uparenim kosinusima i neuparenim sinusima. A ako postoji EVEN funkcija, što je onda s neuparenim sinusima? Resetujmo neiskorišćenu efikasnost:.

U takvom rangu, uparena funkcija za preklapanje u nizu Fur'ê samo po kosinusima:

Oskilki integracija uparenih funkcija prema simetričnom nivou od nule, možete početi da se integrišete, a zatim se oprostite od te ínshí performanse Fur'ê.

Za promízhku:

Za napredniju fazu:

Do udžbenika, kako je praktično u svakom rukovatelju za mataanalizu, izložiti uparene funkcije ... Osim toga, smrad je više puta uveden u moju specijaliziranu praksu:

zadnjica 6

Funkcija je data. Obavezno:

1) proširenje funkcije na nisko Fur'ê sa tačkom, de - pozitivniji broj;

2) zapisati distribuciju na intervalu, pružajući funkciju i graf u više navrata.

Odluka: u prvoj tački osjetit će se vidljivost revnosne viglyade, pa čak i bolje! Ako vam je potrebno - samo pošaljite svoju vrijednost.

1) Na tsíy tasksí period distribucije, na primjer. Na prijelazu daljih dana, budnica je integracija, "smreka" se koristi kao konstanta

Funkcija je uparena, što znači da se može poredati u red Fur'ê samo u kosinusima: .

Koeficijent Fur'ê shukaêmo iza formula ... Brutalno postovanje za ludog drkadziju. Prije svega, integracija se vrši za pozitivnu distribuciju, a to znači da bezbedno oslobađamo modul , koji gleda iz dva shmatkiv liche "ix". Na drugačiji način, to je kao da se oprostite od integracije.

dva:

Sastavni dijelovi:

U ovom rangu:
, na vlastitu konstantu, jak da legne sa "en", winosimo mezhi sumi.

Pogled:

2) Distribucija koja se može snimiti za interval, za koji je formula data na početnoj stranici za sljedeći primjer:

Transkript

1 MINISTARSTVO PROCJENE NAUKE FIZIČKOG FAKULTETA RF NOVOSIBIRSKI DERŽAVNI UNIVERZITET R.K.BELKHEVA OPIS KRZNA U PRIMENAMA I PROBLEMA Navchalnyi posibnik1

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkhêêva R.K. holding un-t. Novosibirsk, s. ISBN Na početku posete, glavni gledalac serije Fur'ê je pobednik; Detaljan dizajn kundaka za metodu Fur'ê prije rješavanja problema oko poprečne tetive. Dostavljen ilustrativni materijal. Ê zavdannya nezavisno rešenje. Zadaci za studente i pobede na Fizičkom fakultetu NSU. Postanite prijatelj u Virishenna metodičkom komitetu Fizičkog fakulteta NSU. Recenzent dr. fiz. nauke. V. A. Aleksandrov Zbirka priprema u okviru implementacije Programa razvoja NDU-NSU na str. ISBN s Novosibirski državni univerzitet, 211 s Belkhova R.K., 211

3 1. Proširivanje 2π-periodičnih funkcija na niz Fur'ê Viznachennya. Dodjela za funkciju f (x) naziva se funkcionalni niz a 2 + (an cosnx + bn sin nx), (1) de-performans an, bn se može izračunati prema formulama: an = 1 π bn = 1 π f (x) cosnxdx, n =, 1, ..., (2) f (x) sin nxdx, n = 1, 2, .... (3) Formule (2) (3) se nazivaju Euler Fur 'ê formule. Činjenica da funkcija f (x) podsjeća na niz Fur'ê (1) zapisuje se u obliku f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) (4) i čini se da je desni dio formula (4) ê po formalnom nizu Fur'ê funkcije f (x). Drugim riječima, čini se da formula (4) znači da efikasnost a n, b n nije poznata za formule (2), (3). 3

4 Viznachennya. 2π-periodična funkcija f (x) naziva se šmatkovo-glatka, čak i ako u intervalu [, π] postoji Kincev broj točaka = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Mala. 1. Grafikon funkcije f (x) Izračunava efikasnost Fur'ê a = 1 π f (x) dx = 1 π x 2 2 π = π, an = 1 π f (x) cosnxdx = 2 π = 2 () x sin nx cos nx + π nn 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = bn = 1 π π = 2 π f (x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, za n neuparene, za n uparene, f (x) sin nxdx =, pa je funkcija f (x) uparena. Možemo zapisati formalni Fur'ê niz za funkciju f (x): f (x) π 2 4 π k = 5 cos (2k + 1) x (2k + 1) 2.

6 Jasno je da je funkcija f (x) glatka po komadima. Dakle, kako je bez prekida, računa se samo između (6) na krajnjim tačkama između x = ± π i na tački zla x =: í f (π h) f (π) π h π f (+ h ) f (+) + h () lim = lim h + hh + hf (+ h) f (+) + h lim = lim = 1, h + hh + h = 1, f (h) f () h ( ) lim = lim = 1. h + hh + h Između ísnyu i íntseví, iako je funkcija glatka. Prema teoremi o Krapkovu, vrijednost Fuorovog niza konvergira na f (x) u tački kože, tako da je f (x) = π 2 4 π k = cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) Na sl. 2, 3 ukazuje na prirodu pristupa parcijalnih suma nizu Fur'ê S n (x), de S n (x) = an 2 + (ak coskx + bk sin kx), k = 1 funkciji f (x) na intervalu [, π]. 6

7 Mala. 2. Grafikon funkcije f (x) sa nametanjem parcijalnih suma na grafove S (x) = a 2 i S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x Sl. 3. Grafikon funkcije f (x) se superponira na novi graf zbirne slike S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 Podnošenjem u (7) x = otrimaêmo: = π 2 4 π k = 1 (2k + 1) 2, zvijezde znaju zbir numeričkog niza: = π2 8. Poznavajući zbir reda, lako je znati sljedeći Maêmo zbir: S = ( ) S = () = π S, čak i S = π2 6, dakle 1 n = π Zbir poznatog niza prvog poznatog Leonarda Eilera. Vona često studira matematičku analizu i dodatke. DODATAK 2. Na malom grafikonu znamo niz funkcija dat formulom f (x) = x za x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Mala. 4. Grafikon funkcije f (x) Funkcija f (x) se kontinuirano diferencira intervalom (, π). U tačkama x = ± π, postoji nekoliko tačaka između (5): f () =, f (π) = π. Osim toga, postoji razlika između (6): f (+ h) f (+) lim = 1 í h + hf (π h) f (π +) lim = 1. h + h glatka funkcija. Ako je funkcija f (x) nesparena, tada je a n =. Poznato je da je učinak bn integrisan po dijelovima: bn = 1 π f (x) sin πnxdx = 1 [x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1) n π + (1) n π] = 2 ( 1) n + 1. n Veoma formalan niz Fur'ê funkcija 2 (1) n + 1 f (x) sin nx. n 9 cosnxdx] =

10 Prema teoremama o protoku, vrijednosti glatke 2π-periodične funkcije koje se skupljaju, serija Fur funkcije f (x) se spušta na zbir: 2 (1) n + 1 sin nx = nf (x) = x, kao π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Mala. 6. Grafikon funkcije f (x) će biti prekriven grafikom sume grafikona S2 (x) Sl. 7. Grafikon funkcije f (x) prekriven na novom grafu zbroja S 3 (x) 11

12 Mala. 8. Grafikon funkcije f (x) bit će superponiran na novi graf sume S 99 (x). Pouzdan (8) x = π / 2. Todi 2 () + ... = π 2, ili = n = (1) n 2n + 1 = π 4. Lako smo znali zbir Leibnizove porodice. Imajući poklavl u (8) x = π / 3, znamo () + ... = π 2 3, ili (1+ 1) () (k) 3π + ... = 3k

13 DODATAK 3. Mali grafikon, znamo niz Fur'ê funkcija f (x) = sin x, uz priznavanje da je period 2π, í 1 se izračunava kao zbir niza brojeva 4n 2 1. Rješenje. Grafikon funkcije f (x) prikazan je na sl. 9. Očigledno, f (x) = sin x je neprekidna uparena funkcija iz perioda π. Ale 2π je također period funkcije f (x). Mala. 9. Grafikon funkcije f (x) Izračunava efikasnost Fur'ê. Usi b n = na činjenicu da je funkcija uparena. Okrunjen trigonometrijskim formulama, numerisan je an na n 1: an = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin (1 + n) x sin (1 n) x) dx = = 1 ( ) π cos (1 + n) x cos (1 n) x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 (4 1, kada je n = 2k, = π n 2 1, kada je n = 2k

14 Proračun nam ne dozvoljava da znamo koeficijent a 1, tako da će se za n = 1 imenilac vratiti na nulu. Za to se izračunava koeficijent a 1 bez sredine: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Dakle, kako se f (x) kontinuirano diferencira na (,) í (, π) í u tačkama kπ, (k je broj), ako postoji tačka između (5) i (6), tada serija Fur' ê funkcije ne konvergiraju bez tačke kože: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x Fig. 1. Grafikon funkcije f (x) superponira se na graf sume preseka S (x) 14

15 Mala. 11. Grafikon funkcije f (x) preklopljen na novi grafik sume preseka S1 (x) Sl. 12. Grafikon funkcije f (x) bit će superponiran na novi graf sume grafikona S2 (x) Sl. 13. Grafikon funkcije f (x) preklapa se na novi graf zbroja S 99 (x) 15

16 1 Brojni zbir brojevnog reda. Za cijeli 4n 2 1 zadovoljavajuće je (9) x =. Todi cosnx = 1 za sve n = 1, 2, ... i Otzhe, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. PRIMJENA 4. Vjerovatno da je funkcija f (x) glatka i glatka bez prekida, zadovoljan sam sa f (x π) = f (x) za sve x (pa je π -periodično), a 2n 1 = b 2n 1 = za sve n 1, i navpaki, ako je a 2n 1 = b 2n 1 = za sve n 1, tada je f (x) π-periodično. Odluka. Neka je funkcija f (x) π-periodična. Izračunava njena efikasnost Fur'ê a 2n 1 í b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f (x) cos (2n 1) xdx + f (x) cos (2n 1) xdx =) f (x ) cos (2n 1) xdx. Kod prvog integrala lako mogu zamijeniti promjenu x = t π: f (x) cos (2n 1) xdx = f (t π) cos (2n 1) (t + π) dt. 16

17 Klovn, cos (2n 1) (t + π) = cos (2n 1) t í f (t π) = f (t), možemo to vidjeti: a 2n 1 = 1 π (f (x) cos (2n 1) x dx +) f (x) cos (2n 1) x dx =. Slično, treba učiniti, b 2n 1 =. Nawpaki, neka je a 2n 1 = b 2n 1 =. Pošto je funkcija f (x) bez prekida, onda je, prema teoremi, manifestacija funkcije u tačkama njenog niza F (x π) = f (x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n (x π) + b 2n sin 2n (x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f (x), što znači da je f (x) π-periodična funkcija. DODATAK 5. Možemo reći da je funkcija f (x) glatka i glatka, f (x) = f (x) za sve x, zatim a = í a 2n = b 2n = za sve n 1, i navpaki, kao a = a 2n = b 2n =, tada je f (x π) = f (x) sve x. Odluka. Neka je funkcija f (x) zadovoljna sa f (xπ) = f (x). Brojni í̈í kofítsíênti Fur'ê: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f (x) cos nxdx + f (x) cosnxdx =) f (x) cosnxdx. Pri prvoj integraciji lako ću zamijeniti promjenu x = t π. Todi f (x) cosnxdx = f (t π) cosn (t π) dt. Grimizni tim, cos n (t π) = (1) n cosnt i f (t π) = f (t), možemo prihvatiti: an = 1 π ((1) n) f (t) cosnt dt =, ako n upareno = 2 π f (t) cos nt dt, kada je n neupareno. π Slično se radi, b 2n =. Nawpaki, neka je a = a 2n = b 2n =, za sve n 1. Pošto je funkcija f (x) bez prekida, onda teorema o eksplicitnosti funkcije u tačkama njenog niza Fur'ê vrijedi da je f (x ) = (a 2n 1 cos (2n 1) x + b 2n 1 sin (2n 1) x). osamnaest

19 Todi = f (x π) = = = f (x). DODATAK 6. Vivchimo yak pored nastavlja da se integriše na jaz [, π / 2] pomoću funkcije f (x) na procepu [, π], tako da je red Fur'ê mav viglyad: a 2n 1 cos ( 2n 1) x. (1) Odluka. Neka graf funkcije ma viglyada lebdi na sl. 14. Oscilacije u redu (1) a = a 2n = b 2n = za sve n, tada je zadnjica 5 vyplyaê, ali funkcija f (x) je kriva za jednak paritet f (xπ) = f (x) za sve x. Postoji način da se poboljša funkcija f (x) između [, / 2]: f (x) = f (x + π), sl. 15. Pored toga, red (1) je da osveti samo kosinuse, on je raspoređen, ali funkcija f (x) se nastavlja kao par (tj. graf je simetričan osi Oy), riža

20 Mala. 14. Grafikon funkcije f (x) Mala. 15. Grafikon nastavljene funkcije f (x) za napredovanje [, / 2] 2

21 Otzhe, funkcija ma viglyada, smjernice na sl. 16. Mala. 16. Grafikon nastavka funkcije f (x) za napredovanje [, π] [π / 2, π], grafik funkcije f (x) je centralno simetričan na tačku (π / 2,), i intervalu [, π], graf je simetričan osi Oy. 21

22 REFERENTNE APLIKACIJE 3 6 Nekhai l>. Jasno je da su dva uma: a) f (l x) = f (x); b) f (l + x) = f (x), x [, l / 2]. Sa geometrijske tačke gledišta tačka (a) znači da je grafik funkcije f (x) simetričan duž okomite prave linije x = l / 2, a graf (b) gde je graf f (x) centralno simetrično u odnosu na tačku (l / 2;) na osi apscisa. Istina je sljedeće: 1) ako je funkcija f (x) uparena sa Viconan Umov (a), onda je b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... =; 2) ako je funkcija f (x) uparena sa Viconan Umov (b), onda b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a = a 2 = a 4 = ... =; 3) ako je funkcija f (x) nesparena i Vikonan Umov (a), tada je a = a 1 = a 2 = ... =, b 2 = b 4 = b 6 = ... =; 4) ako je funkcija f (x) nesparena i Vikonan Umov (b), tada je a = a 1 = a 2 = ... =, b 1 = b 3 = b 5 = ... =. ZAVDANNA Za zadatke 1 7 obojite grafikone i upoznajte Fur'ê seriju za funkcije,< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 (1, jakšo / 2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Proširivanje funkcije, date u intervalu [, π], samo iza sinusa ili samo iza kosinusa Funkcija f je specificirana u intervalu [, π]. Proširit ćemo prostor u cijelom rasponu do Fur'ê reda, možemo nastaviti na f na istaknutosti [, π] sa višim rangom, a istovremeno će biti brže s formulama Eiler Fur' ê. Svavilja kod napredne funkcije za proizvodnju prije, za jednu vrstu funkcije f: [, π] R možemo ukloniti broj Fur'ê. Alternativno, možete vikoristovuvat tse svavillya tako, samo obrežite širenje samo iza sinusa ili samo po kosinusima: prvi vipad ima dovoljno za promociju f sa neuparenim rangom, i to na drugačiji način za momke. Algoritam rješenja 1. Nastavite funkciju s neuparenim (moj) rangom (,), a zatim periodično, svakih 2π, nastavite funkciju za cjelinu. 2. Izračunajte performanse Fur'ê. 3. Presavijte Fur seriju funkcije f (x). 4. Revizijski umovi su na niskom nivou. 5. Uvedite funkciju za koju postoji cijeli red. DODATAK 7. Primijenjeno na funkciju f (x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Mala. 17. Grafikon kontinuirane funkcije Očigledno je da je funkcija f (x) stidljivo glatka. Brojno funkcionalan Fur'ê: a n = sve n do te mjere da je funkcija f (x) nesparena. Ako je n 1, onda je bn = 2 π f (x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = 1 = 1 (1 ) n (1) n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, gdje je n = 2 k + 1, (1) n + 1 (n 1) + (n + 1) = π (n + 1) ( n 1) 2 2n, gdje je n = 2k. π n 2 1 Kada je n = 1, imenilac se pretvara u nulu na prednjoj strani kalkulatora, tako da se koeficijent b 1 izračunava bez prethodnih 25

26 spavanje: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Niz Fur'ê funkcija f (x) je preklopiv: f (x) 8 π k = 1 k 4k 2 1 sin 2kx. Ako je funkcija f (x) sramežljivo glatka, onda nakon teoreme o krapkovu vrijednost Fur serije funkcije f (x) ide na sumi: cosx, gdje je π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Mala. 18. Grafikon funkcije f (x) preklopljen na novi grafik zbroja komada S1 (x) Sl. 19. Grafikon funkcije f (x) preklapa se na novi graf zbroja S 2 (x) 27

28 Mala. 2. Grafikon funkcije f (x) bit će superponiran na graf presečne sume S3 (x). 21 prikazani su grafovi funkcije f (x) i parcijalne sume S 99 (x). Mala. 21. Grafikon funkcije f (x) preklapa se na novi graf zbroja S 99 (x) 28

29 DODATAK 8. Proširivo funkcijom f (x) = e ax, a>, x [, π], do serije Fur'ê samo u kosinusima. Odluka. Kontinuirano sa funkcijom ranga tipa (,) (tako da je paritet f (x) = f (x) prikazan svim x (, π)), to se periodično buv s periodom od 2π, protežući Yong broj prema gore . Možemo prihvatiti funkciju f (x), graf takvih reprezentacija na Sl. 22. Funkcija f (x) u tačkama Mal. 22. Grafikon kontinuirane funkcije f (x) x = kπ, k je cijeli broj, kao i ulja. Brojno kofítsíênti Fur'ê: b n =, oskílki f (x) uparen. Integrisati u delovima Mo 29

30 an = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd (e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f (x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e ax ax 2n2 e ax a a (eaπ cos n π 1) n2 aa n. 2 Otzhe, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Oscilacije f (x) su bez prekida, tada, prema teoremi o strujanju, serija Fura konvergira u f (x). Takođe, svi x [, π] imaju f (x) = 1 π a (eaπ 1) + 2a π k = 1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Rajs demonstrira radnju približavanja parcijalnih suma broju Fur'ê datoj funkciji rezanja. 3

31 Mala. 23. Grafovi funkcija f (x) i S (x) Mal. 24. Grafovi funkcija f (x) i S1 (x) Mali. 25. Grafovi funkcija f (x) i S2 (x) Mali. 26. Grafovi funkcija f (x) i S 3 (x) 31

32 Mala. 27. Grafovi funkcija f (x) i S4 (x) Mal. 28. PREDSTAVLJENI grafovi funkcija f (x) i S 99 (x) 9. Stavite funkciju f (x) = cos x, x π u red Fur'ê samo u kosinusima. 1. Proširiti funkciju f (x) = e ax, a>, x π, na red Fur'ê samo iza sinusa. 11. Stavite funkciju f (x) = x 2, x π u red Fur'ê samo iza sinusa. 12. Odrediti funkciju f (x) = sin ax, x π, y serije Fur'ê samo u kosinusima. 13. Stavite funkciju f (x) = x sin x, x π u red Fur'ê samo iza sinusa. Vidpovidi 9.cosx = cosx. 1. e ax = 2 [1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k = 1 11. x 2 2 [π 2 (1) n 1 π n + 2] n 3 ((1) n 1) sin nx. 32

33 12. Ako a nije cijeli broj, sin ax = 1 cosaπ (1 + + 2a cos 2nx) + π a 2 (2n) 2 + 2a 1 + cosaπ cos (2n 1) x π a 2 (2n 1) 2 ; ako je a = 2m par broj, onda sin 2mx = 8m cos (2n 1) x π (2m) 2 (2n 1) 2; ako je a = 2m 1 pozitivno neparni broj, tada je sin (2m 1) x = 2 (cos 2nx) 1 + 2 (2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Serija Fury funkcije sa određenim periodom Pretpostavimo da je funkcija f (x) postavljena u intervalu [l, l], l>. Nakon što smo izvršili zamjenu x = ly, y π, možemo izvesti funkciju g (y) = f (ly / π), što znači na intervalu π [, π]. Treća funkcija g (y) formira (formalni) niz Fur'ê () ly f = g (y) a π 2 + (an cosny + bn sin ny), čija efikasnost leži iza Ojlerovih Fur'ê formula : an = 1 π g (y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2, ..., 33

34 bn = 1 π g (y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2, .... π Za funkciju f (x), trigonometrijski niz se može lako promijeniti da izgleda kao: de f (x) a 2 + an = 1 lbn = 1 lllll sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2, ..., ( 12) dx, n = 1, 2, . .. DODATAK 9. Poznat nam je niz Fur'ê funkcija, datih u intervalu (l, l) virazom (A, gdje je l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 llf (x) dx = 1 l A dx + 1 ll B dx = A + B, llan = 1 lllf (x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 ll A cos πnx l = A + B π nlbn = 1 l dx + 1 ll B cos πnx l sin πn =, gdje je n, ll A sin πnx lf (x) sin πnx l dx + 1 ll dx = B sin πnx l = BA (1 cosπn). πn Fur serija funkcije f (x) je sklopiva: f (x) A + B π (B A Skala cosπn = (1) n, zatim n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l za n = 2k je zamislivo b n = b 2k =, za n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2 (BA) π (2k 1).

36 zvjezdica f (x) A + B (BA)? yaksho l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Mala. 29. Grafikon funkcije f (x) sa superponiranim na novim grafovima harmonika S (x) = a 2 i S 1 (x) = b 1 sinx. Za specifičnost grafa tri druga harmonika S 3 (x) = b 3 sin 3πx, S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l i S 7 (x) = b 7 sin 7πx potisak okomito uzbrdo l 37

38 Mala. 3. Grafikon funkcije f (x) se superponira na novi graf sume komada S 99 (x) Sl. 31. Fragment sl. 3 na skali 38

39 DEFINITIVNO U problemima prostora u seriji Fur'ê, funkcije su dodijeljene datom međuproduktu. 14.f (x) = x 1, (1, 1). 15.f (x) = ch2x, (2, 2] f (x) = x (1 x), (1, 1). 17.f (x) = cos π x, [1, 1] f (x ) = sin π x, (1, 1).(2 1, gdje je 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18.f (x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f (x) = α 2) l b) f (x) = 4al (1) n 1 (2n 1 ) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23.a) f (x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x ... b) f ( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π) + 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Kompleksni oblik u nizu Fur'ê Distribucija f (x) = cne inx, de cn = 1 2π f (x) e inx dx, n = ± 1, ± 2, ..., nazvat ćemo kompleksni oblik Fur'ê serije. Funkcija savijanja u složeni red Fur'ê sa vizijom tihih umova, zbog čega se mogu smjestiti u govorni red Fur'ê. 4

41 DODATAK 1. Znamo Fur niz kompleksnog oblika funkcije dat formulom f (x) = e ax, y između [, π), de broj govora. Odluka. Izvedba koja se može mjeriti: = c n = 1 2π f (x) e inx dx = 1 2π e (a in) x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1) n sh aπ. 2π (a in) π (a in) Kompleksni Fur niz funkcije f mašine f (x) sh aπ n = (1) n a in einx. Ponovno razmatranje, pa je funkcija f (x) kvrgavo glatka: u intervalu (, π) je beskonačno diferencirana, au tačkama x = ± π postoje tačke između (5), (6) lim h + ea (+ h) = e aπ, lim h + ea (π h) = e aπ, ea (+ h) ea (+) lim h + h = ae aπ ea (π h) ea (π), lim h + h = ae aπ. Takođe, funkcija f (x) je predstavljena redom Fur'ê sh aπ π n = (1) n a u einx, što treba da ide na sumi: (e S (x) = ax, gde je π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 DODATAK 11. Poznajemo Fur niz za složeni i govorni oblik funkcije date formulom f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, de a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Nagadaêmo, vreća beskrajnog geometrijskog napretka sa standardnim q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Sada znamo izvestan broj Fur'ê u govornim oblicima. Za veliku grupu kompletiranja sa brojevima n i n za n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Oskilki c = 1, tada je 2 = 2a n cos nx. f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Niz Fur'ê u govornom obliku funkcije f (x). Ovaj rang, ne računajući ekonomski integral, poznavali smo nisku funkciju Fur'ê. Kada smo virahuvali, postoji važan integral, koji se može naći u parametru cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a (zz 1) f (x) = 2i (1 a (zz 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1) z 2 2 (za) (za 1) = = i 2 + i () a 2 za + a 1. za 1 Dermal iz prostih razlomaka možemo staviti pod formulu geometrijskog progresa: + aza = a 1 z 1 a = aanzzn, n = za 1 za = az = anz n. n = Potpuno, fragmenti az = a / z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, abo, kraće, c n = 1 2i a n sgnn. Tim sam, poznat je broj Fur'ê u složenom obliku. Grupirajući sabirke sa brojevima n i n, možemo izvesti niz Fur'ê funkcija u govornom obliku: = f (x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 = sin nx. Znam u daljini virahuvati uvredljivi integral preklapanja: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 ZAVDANNYA 24. Vikoristovuchi (15), izračunajte integral cos nxdx 1 2a cosx + a 2 za govore a, a> Vikoristovuchi (16), izračunajte integral sin x sin nxdx za govore a, a> a cosx + a2 U problemima Fur'ê u složenim oblicima za funkcije. 26.f (x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Teorem o jednakosti Ljapunova (jednakost Ljapunova). Neka je funkcija f: [, π] R takva da je f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f (x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Prema tome, Ljapunovljeva ekvivalentnost za funkciju f (x) raste do oka: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Preostala ekvivalencija za a π je poznata sin 2 na n 2 = a (π a) 2 Vazayuchi a = π 2, možemo uzeti sin2 na = 1 za n = 2k 1 i sin 2 na = za n = 2k. Otzhe, k = 1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. DODATAK 14. Zapišemo Ljapunovljevu jednakost za funkciju f (x) = x cosx, x [, π], í znamo dodatni zbir brojevni niz (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4.1 π Rješenje. Direktno izračunavanje daje = ππ f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Oskilki f (x) je uparena funkcija, tada za sve n maêmo bn =, an = 2 π = 1 π 1 = π (n + 1) = f (x) cosnxdx = 2 π 1 cos (n + 1) x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos (n + 1) x + cos (n 1) x) dx = 1 π sin (n + 1) xdx sin (n 1) xdx = π (n 1 ) π π 1 + cos (n 1) x = π (n 1) 2 1 (= (1) (n + 1) 1) 1 (+ (1) (n + 1) 1) = π (n + 1 ) 2 π (n 1) 2 () = (1) (n + 1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1) (n + 1) 1 nk π ( n 2 1) = π (4k 2 1) 2 ako je n = 2k, 2, ako je n = 2k + 1. Vrijednost a 1 treba računati okremo, fragmenti u dalekoj formuli za n = 1, nazivnik od razlomak se pretvara u nulu. = 1 π a 1 = 2 π f (x) cosxdx = 2 π x (1 + cos 2x) dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Dakle, Ljapunovljev paritet za funkciju f (x) ma viglyad: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π PREZENTACIJA 32. Napišite Ljapunovljevu ekvivalentnost za funkcija (xf (x) = 2 πx, gdje je x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Odgovori + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2.1 π 35. f (x) g (x) dx = cndn, de cn funkcija f (x) i dn Funkcionalna funkcija g (x) . 6. Diferencijacija serije Fur'ê Nekhai f: R R kontinuirano diferencirana 2π-periodična funkcija. Ova serija Fur'ê ma viglyad: f (x) = a 2 + (n cos nx + b n sin nx). Funkcija f (x) je slična 2π-periodičnoj funkciji, za koju se može napisati formalni niz Fur'ê: f (x) a 2 + (an cos nx + bn sin nx), de a, an, bn , n = 1, 2, ... funkcionalnost Fur'ê funkcija f (x). 51

52 Teorema (proširena diferencijacija serije Fur). U slučaju raspadanja, tačno je da je a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. PRIMJENA 15. Nemojte biti stidljivo glatka funkcija f (x) bez prekida u intervalu [, π]. Očigledno, možemo reći da je f (x) dx = malo loše ponašanje 2 dx 2 dx, zbog Steklove nesposobnosti i ponovnog povezivanja, tako da će nove funkcije izgubiti funkciju f (x) tipa f (x) Drugim riječima, Steklova nesposobnost, recimo, kada vidite da postoje tri jednostavne funkcije (u srednjem kvadratu), postoje tri funkcije (u srednjem kvadratu). Odluka. Podržano funkcijom f (x) do intervala [,] od strane tipskog ranga. Značajno prošireno samom funkcijom simbolom f (x). Funkcija će se nastaviti bez prekida i bit će glatka i glatka na putu [, π]. Dakle, kako je funkcija f (x) bez prekida, onda je f 2 (x) bez prekida za vrijeme trajanja i 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Oskílki funkcija para se nastavlja, zatim b n =, a = iza sudopera. Otzhe, paritet Lyapunov nabuvê na oko 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Ponovno razmatranje, da se f (x) pridržava teorema o diferencijaciji niza Fur'ê, tako da je a =, an = nb n, bn = na n, n 1. Ne želim f (x) biti loš u tačkama x 1, x 2, ..., x N u intervalu [, π]. Neka je x = x N + 1 = π. Rastom integracije [, π] na N +1 intervalu (x, x 1), ..., (x N, x N + 1), stanje kože f (x) je savršeno diferencirano. Todi, opaka moć aditivnosti integrala, ali i integrirajućih dijelova, je prepoznatljiva: bn = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1π j = xj + 1 xjx j + 1 xjnn π N j = xj + 1 xjx j + 1 xjf (x) sin nxdx = f (x) cosnxdx = f (x) cosnxdx = = 1 π [(f (x (x) 1) sin nx 1 f (x) sin nx) + + (f ( x 2) sinnx 2 f (x 1) sin nx 1)

54 + (f (x N + 1) sin nx N + 1 f (x N) sin nx N)] n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j + 1 a = 1 f (x) dx = 1 N f (x) dx = π π j = xj = 1 N x j + 1 f (x) π = 1 (f (π) f ()) = .. . x j π j = Ostaju jednaki jedni drugima kroz one u kojima je funkcija f (x) unapređena rangom tipa, pa stoga f (π) = f (). Slično, možemo prepoznati an = nbn. Pokazali smo da je teorema proširene diferencijacije Fur'ê serije za neprekinutu maštačko-glatku 2π-periodičnu funkciju, sličnu onoj za međuproizvod [, π], arogantna u prvoj vrsti, vyrna. Iz istog f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) = (na n) sin nx, oskilki a =, an = nb n =, bn = na n, n = 1, 2, ... Oskilki 2 dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Dakle, kao kožni termin u nizu (18), to je manje-više dodatni član reda (17), zatim 2 dx 2 dx. Pogađanje, scho f (x) je momcima u naprednim funkcijama, maêmo 2 dx 2 dx. Da donesem Steklovu paritetu. Danas postoji mnogo funkcija u Steklovovim nepravilnostima. Ako želite za jedan n 2 efikasnost a n kao rezultat nula, onda a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 PODRŠKA 37. Ne budi sramežljiva funkcija f (x) je neprekidna u intervalu [, π]. Obavijestite da, kada pobijedite, morate f () = f (π) = postoji mala greška 2 dx 2 dx, kako se to još naziva i Steklovom nesposobnošću, i preći preko, ali to jednostavno ne smeta f (x) . .. 38. Neka funkcija f bude bez prekida u intervalu [, π] i u novom (iza vinjete beskonačnog broja tačaka) idem f (x), tako da integrišemo sa kvadratom. Da informišemo, ako u određenoj viziji mislite da je f () = f (π) í f (x) dx =, onda postoji mali nedostatak neefikasnosti 2 dx 2 dx, kako se to naziva Wirtingerova neodlučnost, a funkcija je nije baš jednostavno za x) = A cosx + B sin x. 56

57 7. Stagnacija redova Fur'ê o pojavljivanju diferencijalnih rasa među privatnim pokojnicima Kada oživljavanje stvarnog objekta (manifestacija prirode, virusni proces, kontrolni sistem je isuviše tanak.) korak ka razvoju. matematičkog aparata. U fazi naučnih studija, takvo koplje se ljuljalo: fizički model je matematički model. Fizička formulacija (model) polja u ofanzivi je: pojavljuje se i razvija proces tog faktora glave, koji se preliva na novi. Matematička formulacija (model) polja u inventaru fizičke formulacije faktora i umova u pogledu sistema i jednakih (algebarski, diferencijalni, integralni itd.). Šef države se zove ispravna postavka, kako u pevačkom funkcionalnom prostoru rešavanja zadataka mišljenja, jedan jedini i bez prekida polaže na klip i graničnu pamet. Matematički model nije samo isti objekat za gledanje, već ćemo mu pristupiti opisom. Viznovok pivnyannya vilnykh malikh poprečne žice. Neka se konopce zategnu, a sama struna zategnuta. Ako umetnete žicu sa položaja ravne linije (na primjer, izvucite je ili povucite uzduž), tada je vjerojatnije da će struna biti 57

58 vagatisya. Istovremeno, sve tačke strune kolabiraju okomito na položaj ravnove (poprečne veze), štaviše, u momentu kože, struna leži u jednom te istom području. Postoji pravougaoni koordinatni sistem xou. Todi, ako je u trenutku kob u satu t = struna urasla u os Oxa, tada u znači oslobađanje strune iz položaja prave linije, tako da je pozicija tačke strune iz apscisa x u završnom trenutku sata t funkcije, tíê vrijednost Uz fiksnu vrijednost t, graf funkcije u (x, t) predstavlja oblik niza koji se može vrtjeti u trenutku t (slika 32). Uz konstantnu vrijednost x, funkcija u (x, t) daje zakon do tačke apscise x, prava je ravna, paralelna sa osom Ou, t se gubi, a druga se gubi 2 u 2 je ubrzana . Mala. 32. Sila, primijenjena na neograničeno mali broj nizova Skladište dovoljna da zadovolji funkciju u (x, t). Za čitavu gomilu brutalnih prskanja neka oproste. Žica je apsolutno čvrsta - 58

59 Coy, pa vvazhatimo, zašto ne bi strunu zavrnuo viginu; tse znači, scho opruge, scho namiguje na žice, uvijek ispravljene prema potpuno istom profilu rukavice. Žica se prenosi oprugom i Hookeovim zakonom; tse znači da je promjena veličine uvučena proporcionalno zmiji žice. Prihvatljivo, jednolančana žica; tse znači, íí̈íí̈ linea gustina ρ postíyna. Snage buđenja su nezdrave. Tse označava kako ga možemo vidjeti. Mi vivchatimo lizing žice su male. Ako sa ϕ (x, t) označimo rez između apscise i isprekidane linije u tački od apscise x u trenutku t, onda je um djetetovog polja u činjenici da je vrijednost ϕ 2 (x , t) ne može biti lako x, t), tako da je ϕ 2. Pošto je kut ϕ maliijum, onda cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tan ϕ í takođe, vrijednost (uxx,) 2 se također može izostaviti. Zvuči odjednom viplivaj, ali u procesu pjevanja, možete zehtuvati zmijom čak i ako ste razdvojnik žica. Zapravo, malo niza M 1 M 2 treba dizajnirati u apscisnoj osi, de x 2 = x 1 + x, put l = x 2 x () 2 u dx x. x Pokazat će se da će za naše dodatke vrijednost sile zatezanja T biti konstantna napetost strune. Istovremeno, po prvi put želim da diljankam žice M 1 M 2 (Sl. 32) u vreme sata t i umesto učešća - 59

60 kv vučnim silama T 1 i T 2. Oscilacije za odvod svih tačaka strune kolapsiraju paralelno sa osom Ou i vanjske sile, tada je zbir projekcija vučnih sila na osovinu Ox odgovoran za nulu: T 1 cosϕ (2 x 1, t) + (x 2, t) =. Počinje kroz mali broj kutiv ϕ 1 = ϕ (x 1, t) í ϕ 2 = ϕ (x 2, t) strukture, ali T 1 = T 2. Značajno, početna vrijednost T 1 = T 2 kroz T. Sada zbir projekcija F u qix sila na osovinu Ou: F u = T sin ϕ (x 2, t) T sin ϕ (x 1, t). (2) Oskílki za mali kutív sin ϕ (x, t) tg? T (tan ϕ (x 2, t) tan ϕ (x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) xx T 2 ux 2 (x 1, t) x ... Ako je tačka x 1 obrnuta, onda je F u T 2 u x2 (x, t) x. Osim toga, pošto je poznato da sve sile idu na M 1 M 2, postoji još jedan Newtonov zakon, što znači da postoji potreba za brzim snabdijevanjem svih sila dana. Masa strune je M 1 M 2 za put m = ρ l ρ x, a za ubrzani put 2 u (x, t). Ekvivalentno Njutnovom t 2 sa tačke gledišta: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2 (x, t) x, de α 2 = T ρ je trajno pozitivan broj. 6

61 Brzo na x, možemo definirati mo 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2 (x, t). (21) Kao rezultat toga, prikazali smo linearne razlike između privatnih, različitih redova veličine, sa zastarjelim performansama. Yogo naziva chi žice istom vrstom kao i iste. Rivnyannya (21) preformuliše Njutnov zakon i opisuje kolaps strune. Ale pri fizičkom uprizorenju boule vimogi o onim žicama koje se pričvršćuju i žice se stavljaju u narednih sat vremena. Ekvivalentno, zapišite to ovako: a) važno je da su krajevi žica fiksirani u tačkama x = í x = l, tako da je važno, za sve t visonana izvedbe u (, t) =, u (l, t) =, u (l, (22) b) pažljivo, u trenutku t = pozicija niza je postavljena ispod grafika funkcije f (x), tako da je, za sve x [, l], ekvivalentnost u (x,) = f (x); (23) c) takođe, u trenutku t = tačka niza od apscise x, data je fluidnost g (x), tako da je i u (x,) = g (x). (24) t Spívdnoshennya (22) se nazivaju granični umovi, a spívídnoshennya (23) i (24) se nazivaju umovima klipa. Matematički model vilnih malih poprečnih 61

62 nizanje žica u činjenici da je potrebno napraviti niz struna (21) sa graničnim umivaonicima (22) i umivaonicima (23) i (24) Odluka vilnog malog poprečnog nizanja žica po Fur' 'Roving po regiji (21) xl,< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >... U skladu sa (25) (21), možemo prepoznati: X T = α 2 X T, (26) ili T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x). (27) Čini se da su zli postali. Dakle, ako x í t ne leži na jedan način od jedan, onda lijevi dio (27) ne leži oko x, već desni oko t i povratna vrijednost cich je oko 62

63 može biti postetapirano, što ima značenje kroz λ: T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x) = λ. Prepoznaćemo dva specifična diferencijalna ekvivalenta: X (x) λx (x) =, (28) T (t) α 2 λt (t) =. (29) Za veliku granicu, zamislite (22) da vidite X () T (t) = í X (l) T (t) =. Oskílka smrad se može vidjeti sve t, t>, zatim X () = X (l) =. (3) Znamo odluku rivnyannya (28), jer bi to zadovoljilo granične umove (3). Vidljiva su tri pogleda. Vipadoc 1:>. Neka je λ = β 2. Ekvivalentno (28) izgledu X (x) β 2 X (x) =. Yogo karakteristika jednaka k 2 β 2 = korijen k = ± β. Otzhe, glava rješenja (28) ma viglyad X (x) = C e βx + De βx. Ako ste krivi da ste pogriješili, onda C i D tako da je granični odvod (3) zahvaćen, tako da je X () = C + D =, X (l) = C e βl + De βl =. Oskílki β, tsya sistem rívnyan maê êdine otopine C = D =. Otzhe, X (x) ta 63

64 u (x, t). Sam Tim, na vipadku 1 mi, donio je trivijalnu odluku, koliko se to nije moglo uočiti. Tip 2: λ =. Todi rívnyannya (28) nabuvaê u pogledu X (x) = í-to rješenje, očigledno, dato je formulom: X (x) = C x + d. Dajemo rješenje na graničnom ponoru (3), možemo ga očitati X () = D = í X (l) = Cl =, također, C = D =. Iz istog vremena, X (x) i u (x, t), a mi smo već odbacili trivijalno rješenje. Vipadoc 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 Nadal navatimo n samo pozitivne vrijednosti n = 1, 2, ..., fragmenti sa negativnim n će biti odluka o tome (nπ) Vrijednosti λ n = nazivaju se apsolutni brojevi, a funkcije X n (x) = C n sin πnx sa najmoćnijim funkcijama diferencijalne jednadžbe (28) s regionalnim umovima (3). Sada je labavo povezan (29). Za novu karakteristiku ma viglyada k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Oskílki vishche mi s'yasuvali, ali netrivijalna rješenja X (x) ívnyannya (28) ê ako je za negativan λ, jednako λ = n2 π 2, tada isto λ mi i vidljivo daleko. Koren prave (32) ê k = ± iα λ, a rešenje prave (29) može izgledati ovako: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) ll de A n í B n su konzistentniji. Predstavljamo formule (31) i (33) u (25), znamo privatno rješenje rivnyannya (21), ali smo zadovoljni regionalnim umovima (22): πnx. lll Ubacite množitelj C n na pramcu í umetnite vrijednost C n A n = bn i B n C n = an, upišite un (X, T) kod gledaoca (un (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt ) sin πnx. (34) l l l 65

66 Strune jigs, koje pokazuju rješenja u n (x, t), nazivaju se power string jigs. Oskilki rívnyannya (21) i granična pobjeda (22) líníyní i jednosmjerna, zatim líníyna kombinacija rješenja (34) (u (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt) sin πnx (35) lll dana ), koji će zadovoljiti granične umove (22) posebnom vibracijom izvedbe an i bn, što neće pružiti jednak broj izvođenja. Danas je efikasnost í bn rješenja (35) toliko dobra da nije bila samo granična linija, već i kob (23) da su (24), de f (x), g (x) dobili funkciju (gdje f () = f (l) = g () = g (l) =). Impresivno, funkcije f (x) i g (x) će zadovoljiti umove distribucije na nisku Fur'ê. S obzirom na (35) vrijednost t =, možemo uzeti u (x,) = a n sin πnx l = f (x). Diferencirajući niz (35) u t i predstavljajući t =, možemo učiniti da je ut (x,) = πnα bn sin πnx ll = g (x), a funkcije širenja f (x) i g (x) do Fur' ê lavas. Također, a n = 2 l f (x) sin πnx l dx, b n = 2 l g (x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 Nudimo razne opcije za funkcionalnosti an i bn do broja (35), prihvatamo rješenje rivnyannya (21), kao i za granične umove (22) i cob umove (23) i (24 ). Tim smo se i sami obavezali na male ukrštene žice. Postoji fizička promjena u funkcijama snage u n (x, t) problema vezanih uz nizove, kao što je dato formulom (34). Prepisivo í̈í̈ pri viglyadí de n (x, t) = n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctan b n. l a n Iz formule (37) se vidi da sve tačke niza idu harmonično sa jednom te istom frekvencijom ω n = πnα i fazom πnα δ n. Amplituda strune koja leži od l l apscis x tačke niza í puta α n sin πnx. Sa takvim brojem sve tačke niza odmah postižu maksimalnu vidljivost u tom pravcu i jedan sat prelaze poziciju linije. Ove kolyvannya se nazivaju stojećim pohvalama. Stojeći za mate n + 1 nedestruktivnu tačku, kako pitati korijene rivnyannya sin πnx = u intervalu [, l]. Nepokorne tačke se zovu vuze stojećih khvilija. U sredini čvorova rastu tačke, u kojima pogledi dostižu maksimum; takve tačke se nazivaju antinodi. Kožna žica se može koristiti za striktno pjevanje frekvencija n = πnα, n = 1, 2, .... a frekvencije se nazivaju frekvencijama snage žice. Najniži l ton, koji se može vidjeti kao žica, počinje od 67

68 frekvencija niske snage 1 = π T í se naziva osnovnim tonom žice. Drugi tonovi, koji odgovaraju l ρ frekvencijama n, n = 2, 3, ..., nazivaju se prizvuci ili harmonici. Za specifičnost vrste žica, tip glavnog tona (sl. 33), prvog prizvuka (sl. 34) i drugog prizvuka (sl. 35). Mala. 33. Profil žice, koji izgleda kao glavni ton Mal. 34. Profil žice, koji izgleda kao prvi prizvuk. 35. Profil žice, koji izgleda kao drugačiji prizvuk.Kako struna ide, počinje sa umovima klipa, pojavljuje se funkcija u (x, t), kao što se može vidjeti iz formula (35), u oči sume, ima nekih harmonika. Takav čin je dovoljan za koloniju 68

69 žica je superpozicija stajaćih udica. Istovremeno, karakter zvuka žice (ton, jačina zvuka, tembar) leži u obliku sp_vdnoshennya između amplituda harmonika. Jačina, visina i tembar zvuka. Snagu zvuka karakterizira energija zvuka. Zvuk zvuka počinje frekvencijom chi perioda: ako je frekvencija viša, onda je zvuk viši. Timbar zvuka počinje da se manifestuje u prizvucima, energija se diže iza harmonika, tako da na način zvučanja tona. Amplitude prizvuka su, očigledno, manje od amplitude glavnog tona, a faze prizvuka mogu biti prilično značajne. Naš Vuho nije osjetljiv na Phasie Kolivan. Uporedite, na primer, dve krive na sl. 36, osumnjičenog od strane z. Tse snima zvuk sa vrlo osnovnim tonom, upletenim od klarineta (a) i klavira (b). Uvredljivi zvuci nisu jednostavni sinusoidni zvuci. Osnovna frekvencija zvuka u oba tipa je ista, a isti je i ton. Malo zakrivljenosti činjenice da se prizvuci primjenjuju na glavni ton. U pevačkom smislu bebe, pokažite isti tembar. 69

Ekvivalentno hiperboličkom tipu. Kolona nesputanih i nedovršenih nizova. Krzna metoda Krzna metoda Stojeći čvili 4 Predavanja 4.1. Ekvivalentno hiperboličkom tipu. Kolekcija nije beskonačna i tako dalje.

MOSKVSKI DRŽAVNI TEHNIČKI UNIVERZITET CIVILNOG AVIJATSIN V.M. Lyubimov, Ê.A. Žukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Šurinov M A T E M A T Í K A R A D I POSIBNIK

MINISTARSTVO RUSKOG FEDERALNOG Državnog budžetskog obrazovanja Ustanova za stručno obrazovanje MATI Ruski državni tehnološki univerzitet imena K. E. Tsilkovsky

Ministarstvo obrazovanja Republike Bilorus EE "Vitebsk State Technological University" Tema. "Redovi" Katedra za teorijsku i primijenjenu matematiku. raskinula doc. Ê.B. Duninoyu. Main

Federalna agencija za obrazovanje Federalna državna agencija za uspostavljanje stručnog obrazovanja FEDERALNI UNIVERZITET PIVDENNY R. M. Gavrilova, G. S. Kostetska Metodički

Tema Riadi Fur'ê Praktično korištenje Riadi Fur'ê iza ortogonalnih sistema funkcija

TEORIJA DOMETA Teorija serija je najvažnija skladišna matematička analiza i poznavanje teoretskih i numeričkih praktičnih izvještaja. Razr_znyayut niz brojeva i funkcija.

ZMIST RED FUR'Ê 4 Razumijevanje periodične funkcije 4 Trigonometrijsko polje 6 3 Ortogonalni sistemi funkcija 4 Trigonometrijski niz Fur'ê 3 5 Red Fur'ê za dječake i nesparene funkcije 6 6 Izgled

Federalna agencija za obrazovanje Moskovski državni univerzitet za geodeziju i kartografiju (MÍIGAIK)

Predavanje 4. Analiza harmonije. Niz Fur'ê periodičnih funkcija. Harmony Analysis

TEMA V RED FUR'Ê PREDAVANJE 6 Postavljanje periodičnih funkcija u nizu Fur'ê Bagato procesa koji se dešavaju u prirodi i tehnologiji, može se ponavljati kroz pevanje sat vremena Takvi procesi

METODOLOŠKI VKAZIVKI PRIJE ROZRAKHUNKOVYH ZAVDANA NA KURSU VISCHO MATEMATIKE "ZVICHAYNI DIFERENCY RIVNYANYA RANGE Podviyni INTEGRALI" DIO SH TEMA RED

6 redova Fur'ê 6 Ortogonalni sistemi funkcija Niz Fur'ê u ortogonalnim sistemima funkcija Funkcije ϕ () i ψ (), vrijednosti i integracija na vrhu [,], nazivaju se ortogonalnim u cjelini

VARIJACIJE INTEGRAL. Integral sumi singularnog integrala Nehai je dobio funkciju y = f (), dodijeljenu obliku [, b], de< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 redova koraka 5 redova koraka: vrijednost, područje razlike Funkcionalni red oblika (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) de, a, a, K , a, k deyaki brojevi, nazovite seriju stanja brojeva

UNIVERZITET BILORUSKI DERŽAVNI FAKULTET ZA PRIMIJENJENU MATEMATIKU I INFORMATIKU

Stavi deyaki na to. guza. Znamo zbir beskonačnog geometrijskog progresa.Formula izraza revnosti je a + aq + ... + aq n + ... (a). a n = aq n. Brojni dijelovi sumija. Ako je q =, onda

Zavdannya 1.1. Da bi se saznalo iz navedenog regiona odluka iz iste nule je odluka y = y (x) diferencijalne jednačine, koja je zadovoljna zadatkom regionalnih umova (menadžer Sturm-Livilya).

Matematička analiza Tema: Pevanje integrala Nevlasnog integrala Predavač Pakhomova Ê.G. 2017 str. ROZDIL II. Pevanje integral te jogo dodatke 1. Pevanje integral te jogo snage 1. Glava,

Predavanje 8 4 Glava Sturm-Livilya Moguće je razumjeti problem kob-ivice za diferencijalnu jednakost kod privatnih starijih različitog reda, kada se opisuje mali poprečni niz struna.

Objašnjeno u tekstu: znak se čita yak "pravedno" i znači da je kod rivljana dešnjak iz znaka a zlo je od znaka bezlich odgovor, znak IR znači bezlich govorne brojeve, znak IN

82 4. Rozdil 4. Funkcionalni i državni red 4.2. Zauzet 3 4.2. Zauzet 3 4.2 .. Stavljanje funkcije u Taylorov red VRIJEDNOST 4.2 .. Ne znam funkcija y = f (x) je neograničeno diferencirana na periferiji

MINOBRNAUKI ROSIN FEDERALNA DERŽAVNA BUDGETNA OSVITALNAYA INSTANOVA VISCHOÍ̈ PROFESSIONO OSNIVANJE "SAMARSKY DERZHAVNIY TECHNICAL

Federalna agencija za željeznički transport Ural State University of Nobles sa Odsjekom za primijenjenu matematiku

Predavanje 3 Redovi Taylor i Maclaurin Stagnacija funkcija polaganja državnih redova u redovima State Rows Taylor i Maclaurin

Sa A Lavrenchenko wwwwrckoru Predavanje Revizija Fur'ê Razumijevanje integralne rekonstrukcije Metoda Integralne revizije je jedna od napornih metoda u matematičkoj fizici ê nasilnom revizijom

Integracija funkcije (za Rimana) isti integral Primjena rješenja zadataka 1. Funkcija f (x) = C je integrirana na, tako da za bilo koju vrstu promjene ili vibracije tačaka ξ i integral

Kurs 1. godine. Izvršiti Riman funkciju, koja je 0, m m R (), što je m, m 0 i ostale nekratke, 0, što je iracionalno, razrivno u koži racionalne tačke i bez prekida u koži iritacije. Odluka.

1 2 Zm_st 1 Redovi Fur'ê 5 1.1 Trigonometrijska serija Fur'ê ............ 5 1.2 Tilki sin & cos ................. .... 7 1.3 Serija krzna u složenom obliku 11 1.4 f (x) = ck? ........................

RÍVNÂNNÂ MATEMATIČKA FIZIKA 1. Diferencijalni odnosi sa privatnom djecom.

Predavanje 4. Hvilyoví rívnyannya 1. Vivedennya ívnyannya kolivannya žice 2. Rívnyannya pozdovzhníkh kolyvannaya žice 3. Slušalice, rubovi 4. Prikaz problema 1. Povučene žice za dribling

1. Elektrostatika 1 1. Elektrostatika Lekcija 6 Razvoj promjena u kartezijanskim koordinatama 1.1. (Fabrička postavka 1.49) Područje z = napunjeno od jačine σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), de σ, α, β post_yni.

Tema modula Funkcionalni završeci i serije Snaga jednake važnosti i nizovi

Ekvivalentno paraboličnom tipu. Metoda za promenu iste teritorije Jedan region zemlje Funkcije uređaja Niti jedan za isti tip provođenja toplote 7 Predavanja 7.1 Ekvivalent za parabolični tip. Podil metoda

Predavanje Brojevi nizovi Znakovi vrijednosti Brojevi nizovi Znakovi vrijednosti Brojni nizovi Znakovi vrijednosti Numerički niz + + + +, dodaci od neograničenih članova, koji se nazivaju nizovi brojeva Brojevi,

35 7 Trigonometrijski niz Fur'ê Redovi Fur'ê za periodične funkcije s periodom T.

Metalurški fakultet Katedra za visoku matematiku OPIS Metodičko uputstvo Novokuznjeck 5 Federalna agencija za obrazovanje

Departman za matematiku i informatiku Element sve matematike Početno-metodički kompleks za učenike srednjeg stručnog obrazovanja, koji počinju da uče iz daljinskih tehnologija.

9. Prije svega integral bez vrijednosti 9 .. Neka funkcija f () bude postavljena na interval I R. Funkcija F () se zove primarna funkcija f () za interval I, kao F () = f () za bilo koje I, to je primarna

DIFERENCIJALNE FUNKCIJE JEDNE ZIMA Razumijevanje jednostavnog, geometrijskog i fizičkog smisla Zavdannya, stvoriti prije razumijevanja primitivne Oznake Stosova S na pravu y f (x) u tački A x; f (

Ekvivalentno hiperboličkom tipu. Kolona nesputanih i nedovršenih nizova. D'Alembertova metoda Nemirisna žica. D'Alembertova formula Nelinearni niz 3 Predavanje 3.1. Ekvivalentno hiperboličkom tipu.

Zmíst Vstup. Osnovno razumijevanje .... 4 1. Integralna porodica Volterri ... 5 Varijante domaćinstva ... 8 2. Rezolucija Integralne porodice Volterri. 10 Mogućnosti za domaćinstvo ... 11

RANGE. Redovi brojeva. Glavna vrijednost Nehai je data neograničenom broju Virazovih brojeva (neograničen zbir) a, a 2, ..., an, ... ai = a + a 2 + + an + ... () i = be nazvana numeričkim nizom. Brojevi

8. Koračni redovi 8 .. Funkcionalni niz oblika cn (z) n, (8.) n = de cn je numerički niz, R je fiksni broj, a z R se naziva red stanja sa parametrima c n . Vicone zamjenjuje pobjednike

~ ~ Nevažni i nevažni integrali Razumijevanje primordijalnog i nepridijeljenog integrala. Oznaka: Funkcija F se zove prvi red u odnosu na funkciju f, kao i funkciju pričvršćivanja

3724 REDOVI CRATNI Í KRIVOLINIINI INTEGRALA 1 ROBOCH PROGRAM ROSDILIVA "REDOVI CRATNI Í CRYVOLINIINI INTEGRALA" 11 Redovi brojeva Razumjeti brojevnu seriju Moć brojeva

JEDI. RUDIJ MATEMATIČNA ANALIZA. BROJEVI I FUNKCIONALNI REDOVI NOVOSIBIRSK 200 2 MINOBRNAUKI ROSIN GOU VPO "NOVOSIBIRSKY DERZHAVNIY PEDAGOGICHNY UNIVERSITY" O.M. Rudiy MATEMATIČNA ANALIZA.

PREDAVANJE N 7. Taylorovi redovi i Taylorovi redovi ... Taylorovi redovi ... Taylorovi redovi ...

TRG RIVNIANNYA Zmist TRG RIVNIANNYA ... 4.taj zadnji trg rivnyan ... 4 ..

ROSDIL ZAVDANNA SA PARAMETRIMA Komentari Upravljanje parametrima je tradicionalno sklopivi objekti na strukturama EDI, tako da možete koristiti sve metode i metode rješavanja djece.

Diferencijalni proračun Uveden u matematičku analizu Intersekcionalne funkcije. Rozkritta nevrijednosti na granicama. Funkcije su slične. Pravila diferencijacije. Zasosuvannya obhídnoí̈

Niz Fur'ê ortogonalnih sistema funkcija Sa stanovišta algebre, ekvivalencija defunkcija date klase a - performansi R ali C jednostavno znači da je vektor linearna kombinacija vektora

1. Pjevački integral 1.1. Neka je f okružen funkcijom, postavljenom na oblik [, b] R. Rosbittyam vidrizka [, b] nazovite takav skup tačaka τ = (x, x 1, ..., xn 1, xn) [, b ], uh = x< x 1 < < x n 1

Glavne stepenice Redovi a a a Prikaz reda a a a a a () se nazivaju statički, de, a, postoperativni, nazivaju se funkcioneri u nizu.

2. Vrijednost performansi je niska za formule Fur'ê.

Nemojte imati periodičnu funkciju ƒ (x) s periodom od 2π tako da izgleda kao trigonometrijski niz, već idite na cijelu funkciju u intervalu (-π, π), tako da je zbir niza:

Navodno je integriran u funkciju, koja stoji na istom dijelu lanca jednakosti, u najvažnijem dijelu integracije u cijelom nizu. Tse bude vikonuvatisya, čim se brojčani niz savije sa koeficijentima datog trigonometrijskog niza, apsolutno konvergira, tako da se pozitivni brojni niz konvergira

Red (1) majorêmo í se može integrirati pojam po član u intervalu (-π, π). Prointegruemo prekršaja na dio ryvnosti (2):

Numeriran je okremo kozenintegral, što se vidi sa desne strane:

,

,

U takvom rangu, , zvijezde

. (4)

Procjena performansi Fur'ê. (Bugrív)

Teorema 1. Ako funkcija ƒ (x) za period 2π nije prekinuta, ona će bez prekida uzeti ƒ (s) (x) za red s, jer je sretna na svim osi nepravilnosti:

│ ƒ (s) (x) │≤ M s; (5)

Todi kofítsíênti Fur'ê funkcionira da zadovolji nepravilnosti

Isporučeno. Integrisani dijelovi i vrahoyuchi,

ƒ (-π) = ƒ (π), maêmo

Integracija desnog dijela (7) posljednje, posljednje, ali ne i najmanje važno? 6).

Druga procjena (6) je sljedeća.

Teorema 2. Za izvedbu Fur'ê ƒ (x) nema nedostatka

(8)

Isporučeno. Maêmo

(9)

Uvesti u vrijeme promjene promjene i vrahoyuchi, scho ƒ (x) - periodična funkcija,

Skladištenje (9) i (10), hoćemo

B k se može dokazati na sličan način.

Slidstvo. Pošto je funkcija ƒ (x) neprekidna, funkcija (x) je nula: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Prostor funkcija iz skalarnog krema.

Funkcija ƒ (x) se naziva komadno-kontinuirana na osnovu dužine, sve dok je bez prekida, moguće, od konačnog broja tačaka, de maê prvom rodu. Takve tačke se mogu dodati množenju na osnovu broja i smanjiti rezultat da bi se znalo shmatkovo-bez prekida u funkciji.

Skalarna skuta od dva šmatkovo-bezperervnih na (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Očigledno je za one koji su shmatkovo-bez prekida na funkcijama ƒ, φ ψ da opravdaju autoritet:

1) (ƒ, φ) = (φ, ƒ);

2) (ƒ, ƒ) í sa jednakošću (ƒ, ƒ) = 0 vapingê, ali (x) = 0 na, uključujući, eventualno, krajnji broj tačaka x;

3) (α ƒ + β φ, ψ) = α (ƒ, ψ) + β (φ, ψ),

de α, β - su dobri brojevi.

Bez svih funkcija shmatkovo-bez prekida, za koje je uveden skalarni tvir za formulu (11), značit ćemo, i prostor

Poštovanje 1.

U matematici se to naziva prostor = (a, b) broj funkcija ƒ (x) integriranih u Lebesgueovom smislu odjednom sa vlastitim kvadratima, što se skalarno koristi za takvu formulu (11). Pogled na prostor je djelimično. Ogromnost prostranstva moći je ogromna, ali ne sve.

3 autoriteta 1), 2), 3) Bitna je inercija Bunjakovskog | (ƒ, φ) | ≤ (,) ½ (φ, φ) ½, kao moji integrali gledaoca kako slijedi:

Magnituda

nazvati normom funkcije f.

Norma takve moći:

1) | f || ≥ 0, ako jednakost može biti samo za nultu funkciju f = 0, tada je funkcija koja se može koristiti za nulu, možda, konačni broj bodova;

2) | ƒ + φ || ≤ || ƒ (x) || || φ ||;

3) | α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

de α - broj dizajna.

Još jedna moć moje integracije je ovakva:

i da se zove Minkovski nervi.

Reći da je posljednja funkcija (f n), pratiti do, spuštati se do funkcije, pratiti smisao kvadratne srednje vrijednosti do (u svakom slučaju izvan norme), ako

Značajno je da ako se trajanje funkcija n (x) jednako konvergira funkciji ƒ (x) na drugoj strani, onda je za postizanje velike n razlike ƒ (x) - n (x) u apsolutnoj vrijednosti, krivica mala za sva tri puta.

Ako je n (x) pragmatičan prema ƒ (x) u smislu srednjeg kvadrata, onda razlika vjerovatno nije mala za veliko n svuda. U okruženju mjeseca, rast može biti veliki, što je još važnije, ali uklopljen u trg duž dužine bulevara za veliki n.

guza. Neka slika bude data malom bez prekida u shmatkovo-linijskoj funkciji n (x) (n = 1, 2, ...), štaviše

(Bugrov, strana 281, sl. 120)

Ako ste prirodni n

í, takođe, posljednja funkcija, želim ići na nulu na n → ∞, iako nepravilno. Mízh team

tj. posljednja funkcija (f n (x)) na nulu u smislu srednjeg kvadrata na.

Postojaće niz funkcija 1, 2, 3, ...

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Zbir prvih yogo n članova

σ n = 1 + 2 + + n

ê funkcija, scho polagati do. Kako zarobiti, pa, funkcija je takva,

|| ƒ- σ n || → 0 (n → ∞),

onda se čini da niz (12) konvergira funkciji u smislu srednjeg kvadrata i zapisa

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

Napomena 2.

Možete vidjeti prostor = (a, b) funkcije kompleksne vrijednosti ƒ (x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), de ƒ 1 (x) i ƒ 2 (x) - akcija shmatkovo - bez prekida na funkciji. U širokom rasponu funkcija, množenje kompleksnim brojevima i skalarno sabiranje funkcija ƒ (x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) i φ (x) = φ 1 (x) + i φ 2 (x ), ali počnite s ofanzivnim rangom:

a norma počinje kao vrijednost

Niz Fur'ê periodičnih funkcija iz perioda 2π.

Brojni Fur'ê omogućavaju periodične funkcije koje se mogu sklopiti na komponente. Zamjena struna i opruga, zamjena, brzina i ubrzanje klipnjačkih mehanizama i akustičnih hvila - sve vrste praktičnih kundaka pohranjivanja periodičnih funkcija u inženjerske rostere.

Polaganjem u nizu Fur'ê teče na skupu, ali sve funkcije, ali praktično značajne u intervalu -π ≤x≤ π, moguće je kretati se u pogledu sličnih trigonometrijskih redova (broj sličnih članova, nakon

Standardna (= zvychany) notacija kroz zbir sinx i cosx

f (x) = a o + a 1 cosx + a 2 cos2x + a 3 cos3x + ... + b 1 sinx + b 2 sin2x + b 3 sin3x + ...,

de a o, a 1, a 2, ..., b 1, b 2, .. - Referentne konstante, tobto.

De za raspon od -π do π do performansi broja Fur'ê koje treba platiti formulama:

Karakteristike a o, a n í b n tzv kofítsíêntami Fur'ê, a ako je moguće znati, tada se naziva niz (1). naručiti krzno, po funkciji f (x). Za seriju (1), pojam (a 1 cosx + b 1 sinx) naziva se prvim ili glavni harmonik,

Najbolji način da se zapiše red je viktorijanski sp_vvidnoshennya acosx + bsinx = csin (x + α)

f (x) = a o + c 1 sin (x + α 1) + c 2 sin (2x + α 2) + ... + c n sin (nx + α n)

De ao je konstanta, s 1 = (a 1 2 + b 1 2) 1/2, sn = (an 2 + bn 2) 1/2 su amplitude ostalih komponenti, a dorívnyuê an = arctan an / b n.

Za niz (1), pojam (a 1 cosx + b 1 sinx) ili c 1 sin (x + α 1) naziva se prvim ili glavni harmonik,(a 2 cos2x + b 2 sin2x) ili c 2 sin (2x + α 2) nazvati drugi harmonik i do sada.

Za preciznu detekciju signala preklapanja potreban je neograničen broj članova. Međutim, praktično osoblje bagatjoka ima dovoljno prskanja prvih članova.

Niz Fur'ê neperiodičnih funkcija iz perioda 2π.

Distribucija neponovljivih funkcija na broj Fur'ê.

Budući da funkcija f (x) nije periodična, to znači da se ne može postaviti u red Fur'ê za sve vrijednosti x. Međutim, moguće je napraviti broj Fur'ê, koji predstavlja funkciju u bilo kojem opsegu širine 2?

Ako je data neperiodična funkcija, moguće je dodati novu funkciju, vrijednost f (x) u rasponu pjevanja vibrira i pozicija se ponavlja s rasponom s intervalom od 2π. Oscilacije su nova funkcija ê periodična sa periodom od 2π, íí̈ se može proširiti na red Fur'ê za sve vrijednosti. Na primjer, funkcija f (x) = x nije periodična. Međutim, ako je potrebno proširiti í̈ u nizu Fur'ê na intervalu od do 2π, tada će pozicija intervala biti periodična funkcija s periodom od 2π (kao što je prikazano na donjoj slici).

Za neperiodične funkcije, kao što je f (x) = x, zbir broja Fur'ê je odgovarajuća vrijednost f (x) u svim tačkama datog raspona, ali ne i f (x) za tačke na poziciji raspona. Za poznavanje većeg broja Fur'ê neperiodičnih funkcija u opsegu od 2π, koristi se ista formula koeficijenata Fur'ê.

Uparene i neuparene funkcije.

Recimo, funkcija y = f (x) parna gdje je f (-x) = f (x) za sve vrijednosti x. Grafovi uparenih funkcija su zasnovani na simetričnim funkcijama (prikažu se kao ogledalo). Dvije uparene funkcije: y = x 2 í y = cosx.

Recimo da je funkcija y = f (x) unpaired gdje je f (-x) = - f (x) sve vrijednosti x. Grafovi nesparenih funkcija zavise od simetričnih koordinata.

Bagato funkcije nisu tipovi, nisu upareni.

Širenje u nizu Fur'ê u kosinusu.

Niz Fur'ê uparenih periodičnih funkcija f (x) sa periodom od 2π može ukloniti članove iz kosinusa (kako ne bi uklonio članove iz sinusa), a možete uključiti i stalni član. otzhe,

de kofizinti broj Fur'ê,

Niz Furove nesparene periodične funkcije f (x) sa periodom od 2π je zamjena članova sinusima (kako se članovi ne bi osvetili kosinusima).

otzhe,

de kofizinti broj Fur'ê,

Red Fur'ê na pivperiodi.

Kako je funkcija namijenjena rasponu, recimo od 0 do π, a ne samo od 0 do 2π, može se postaviti u red samo sa sinusima ili samo kosinusima. Otrimaniy broj Fur'ê se zove naručiti Fur'ê na napívperíodí.

Potrebno je ispraviti distribuciju Fur'ê na napivperiodi na kosinusima funkciju f (x) u rasponu od 0 do π, potrebno je dodati par periodičnih funkcija. Na sl. Funkcija f (x) = x je prikazana u nastavku, tražena na intervalu od x = 0 do x = π. Oscilacije uparene funkcije su simetrične, ali osu f (x) vodi AB linija, što je prikazano na sl. niže. Samo ga pustite, ali položaj posmatranog intervala se urezuje u trouglasti oblik ê periodično sa periodom od 2π, a zatim se prikazuje okvirna grafika. na sl. niže. Oscilacije treba da odbiju raspored Fur'ê po kosinusima, kao i ranije, izračunata efikasnost Fur'ê a o í a n

Ako je potrebno korigirati funkciju f (x) u rasponu od 0 do π, potrebno je koristiti nesparenu periodičnu funkciju. Na sl. Funkcija f (x) = x je prikazana u nastavku, tražena na intervalu od x = 0 do x = π. Oscilacije su neuparene, funkcija je simetrična u odnosu na klip koordinata, to će biti CD linija, kao što je prikazano na sl. Samo ga pustite, ali položaj signala nalik fajlu periodično sa periodom od 2π, položaj signala nalik fajlu sa periodom od 2π, zatim, očitavanja na Sl. Oscilacije treba odbaciti za raspored Furina na osnovu sinusa, kako ranije tako i ranije, računato po vrijednosti Fur. b

Broj Fur'ê za pre-interval.

Proširivanje periodičnih funkcija iz perioda L.

Periodična funkcija f (x) se ponavlja iz inkremenata x L, dakle. f (x + L) = f (x). Prelazak sa funkcija koje su prethodno bile prikazane iz perioda 2π na funkcije iz perioda L da bi se završilo jednostavno, nešto od ovoga se može učiniti za dodatnu promjenu promjene.

Kako saznati seriju Fun'ê funkcije f (x) u rasponu -L / 2≤x≤L / 2, uvodimo novu promjenu u u takvom rangu da je funkcija f (x) mali period 2π i onda u. Ako je u = 2πx / L, tada je x = -L / 2 za u = -π i x = L / 2 za u = π. Takođe, nemojte dozvoliti da je f (x) = f (Lu / 2π) = F (u). Serija Fur'ê F (u) maê viglyad

De kofizinti broj Fur'ê,

Međutim, najčešća formula je da se formula proizvodi sve dok listovi ne ostanu. Oscilacije u = 2πh / L, čak i du = (2π / L) dx, a između integracije - od -L / 2 do L / 2, promjena - π u π. Otzhe, broj Fur'ê za ugar od x maê viglyad

de u rasponu od -L / 2 do L / 2 performansi do broja Fur'ê,

(Između integracije se može zamijeniti bilo koji interval do L, na primjer, od 0 do L)

Niz Fur'ê za napívperiod za funkcije postavljene u intervalu L ≠ 2π.

Za instalaciju u = πh / L, interval od x = 0 do x = L je od intervala od u = 0 do u = π. Dakle, funkcija se može proširiti u nizu samo kosinusom ili samo sinusom, tobto. v red Fur'ê na pivperiodi.

Proširivanje kosinusa u rasponu od 0 do L ma viglyad