Izračunavanje površine figure okružene linijama, dato parametarski. Kako izračunati površinu figure i volumen omotača tijela, kako je linija parametarski postavljena? Kako saznati područje u mojoj vipadki

Predavanja 8. Programi integralnog pjevanja.

Dodatak integrala fizičkim problemima zasniva se na moći aditivnosti integrala za impersonalno. Stoga, uz pomoć integrala, takve količine se mogu prebrojati, kao da su same aditivne u višestrukosti. Na primjer, površina figure jednaka je zbroju površina Dovzhinovog luka, površina površine, volumen tijela, masa tijela mogu imati istu snagu. Taj broj veličina može se izračunati uz pomoć jednostavnog integrala.

Možete izvrnuti dvije metode i riješiti zadatke: metoda integralnih zbira i metoda diferencijala.

Metoda integralnih suma ponavlja konstrukciju jednog integrala: doći će do rascjepa, izračunati su tačke, za koje se izračunava funkcija, izračunava se integralni zbir, granični prijelaz se rotira. Za koga su sve metode osnovne preklapanje - da se ono što je između vas dovede i isto ono što je potrebno za zadatak.

Metoda diferencijala Vikorističkih nevrijednosti integrala i Newton-Leibnitzove formule. Izračunajte diferencijal veličine, prema potrebi, da buv, integrirajući diferencijal, za Newton-Leibnitzovu formulu, uzme traženu veličinu. Kome je cijela metoda osnovne konzistentnosti - da se donese ono što je diferencijal tražene vrijednosti izračunat, i ništa drugo.

Izračunavanje površine ravnih figura.

1. Figura je okružena grafikom funkcije, dat je Dekartov koordinatni sistem.

Sing integral smo shvatili u smislu površine krivolinijskog trapeza (zapravo, metoda integralnih suma). Ova funkcija samo prihvaća vidi značenje tada se površina ispod grafa funkcije na vídrízki može izračunati uz pomoć sing integrala. Mi to poštujemo Zbog toga se ovdje može koristiti diferencijalna metoda.

Ali funkcija može uzeti i negativne vrijednosti na drugoj strani, ali integral druge strane dobiva negativnu površinu, koja prekriva označeno područje.

Možete izračunati površinu koristeći formuluS=. Bitno je promijeniti predznak funkcije u mirnim područjima, u kojima postoje negativne vrijednosti.

Ako trebate izračunati površinu figure, okruženu grafom funkcije prema zvijeri, a ispod grafikom funkcije, tada možete koristiti formuluS= , tako jak.

guza. Izračunajte površinu figure, okruženu linijama x=0, x=2 i grafovima funkcija y=x 2 , y=x 3 .

Vrijedi napomenuti da interval (0,1) ima neravninu x 2 > x 3 , a za x >1 neravninu x 3 > x 2 . Tom

2. Slika je okružena grafikom funkcije, date u sistemu polarnih koordinata.

Pustite graf funkcije zadatka za polarni koordinatni sistem i želite da izračunate površinu krivolinijskog sektora, okruženog sa dve razmene i grafom funkcije za polarni koordinatni sistem.

Ovdje možete koristiti metodu integralnih suma, računajući površinu krivolinijskog sektora kao između zbira površina elementarnih sektora, u kojem je graf funkcije zamijenjen lukom udjela .

Možete izvrnuti diferencijalnu metodu: .

Možete mirkuvati ovako. Zamjena elementarnog krivolinijskog sektora, koji centralnom kutu daje kružni sektor, možda proporciju. Zvídsi . Integracija vikorističke formule Newtona - Leibnitz, naravno .

guza. Izračunajte površinu udjela (perevirim formula). Dragi. Područje udjela je skuplje .

guza. Brojim područje, okružen sam kardiogramom .

3 Slika je okružena grafikom funkcije specificirane parametrima.

Funkcija se može postaviti parametarski kao . Koristimo formulu S= , zamjenjujući njenu interintegraciju novom promjenom. . Kada izračunate integral, vidite te oblasti, deintegralna funkcija može imati prvi predznak i zaštititi cijelo područje ovim drugim predznakom.

guza. Izračunajte površinu, okružite je elípsom.

Koristimo simetriju elipse, računajući površinu četvrtine elipse koja se nalazi u prvom kvadrantu. Čiji kvadrant? Tom.

Obračun kontakata tel.

1. Izračunavanje obsyagív tíl za područja paralelnih reperíziv.

Neka je potrebno izračunati zapreminu stvarnog tijela V za date površine poprečnog presjeka tijela sa ravnima okomitim na pravu OX, povlačeći tačku x prave OX.

Potrebna nam je metoda diferencijala. Važno je da se uzima elementarni volumen iznad vertikalnog volumena pravog kružnog cilindra sa površinom osnove i visinom . Integrirajući i zastosovuyuchi Newton-Leibniz formulu, uzimamo

2. Izračun je obsyagív do omatanja.

Neka bude potrebno virahuvati OX.

Todi .

Slično, volumenOY Ako je funkcija data gledaocu, ona se može izračunati pomoću formule.

Ova funkcija je postavljena za posmatrača i potrebno je odrediti volumen omotača tijela oko oseOY Formula za obračun obaveze se može skinuti sa nadolazećeg ranga.

Prelazak na diferencijal i ne korištenje kvadratnih termina, možda . Integracija i zastosovujuća Newton-Leibnizova formula, možda.

guza. Izračunajte obsyag cooli.

guza. Izračunajte zapreminu pravog kružnog konusa okruženog površinom.

Izračunajmo zapreminu, poput volumena tijela omotača, napravljenog oko OZ ose ravno rezanog trikota u ravnini OXZ, čiji krak leži na OZ osi i ravna je z = H, a hipotenuza leži na pravoj liniji.

Okrećući x kroz z, možemo uzeti .

Izračunajte dužinu luka.

Da bismo uzeli formule za izračunavanje zadnje strane luka, kreirali smo u 1 semestru formulu za diferencijal zadnjeg luka.

Kao luk u grafu neprekinuto diferencirane funkcije, diferencijal drugog luka može se izračunati pomoću formule

. Tom

Iako je glatki luk zadan parametarski, onda

. Tom .

Isto tako, luk je postavljen u polarnom koordinatnom sistemu, onda

. Tom .

guza. Rasplesti rub luka grafa funkcije, . .

Prvo idite na formule za područje površinskog omotača, za kratku formulu samog površinskog omotača. Gornji omotač, ili, što je isto - gornji omotač tijela - prostrana figura, omot je napravljen u vídrízku AB krivulja na osi Ox(Slika ispod).

Otkrit ću krivolinijski trapez, okružiću zvijer krivuljom nagađanja krivulje. Tílo, napravljeno za zamatanje tsíêí̈ trapezíí̈ navko tiêí̈ zh osí Ox i ê tílo umotavanje. A područje površinskog omotača ili površina omotača tijela je cijela yogo ovnishnya školjka, a ne rahuyuchi kíl, utavleny omoti na osi ravno x = aі x = b .

S poštovanjem, da se tijelo omota i, očito, ista površina može napraviti tako da omoti figure ne budu na osi. Ox, ali oko ose Jao.

Proračun površine omotača, dat u pravokutnim koordinatama

Idemo na pravokutne koordinate na ravnoj ravni y = f(x) data je kriva, omotavanje oko koordinatne ose daje telo omotača.

Formula za izračunavanje površine omotača je sljedeća:

(1).

primjer 1. Upoznajte površinu površine paraboloida prekrivenu omotima oko ose Ox parabolični lukovi koji se mijenjaju x pogled x= 0 do x = a .

Rješenje. Možemo jasno vidjeti funkciju, dok postavljamo luk parabole:

Znamo sljedeće funkcije:

Prvo, ubrzajmo formulu za poznavanje površine omotača površine, napišimo taj dio íí̈ pídíntegralne viraze, poput korijena i moguće je da postoji samo poznat pokhídn:

Vidpovíd: dozhina luk krivo dorívnyuê

.

guza 2. Upoznajte površinu površine koja se obavija oko ose Ox astroidi.

Rješenje. Dovoljno je izračunati površinu površine, koja će izaći u omotač jedne astroidne igle, naborane u prvoj četvrtini, i pomnožiti njen sa 2. Iz poravnanja astroida, jasno je da je to funkcija, pa ćemo morati uvesti formulu za izračunavanje kolapsa površine:

.

Integracija varijable od 0 do a:

Proračun površine omotača, dat parametarski

Možemo pogledati nagib, ako je kriva koja postavlja površinu omotača postavljena parametarskim jednakostima

Ista površina površinskog omotanja izračunava se prema formuli

(2).

primjer 3. Poznajte površinu površinskog omotača, prekrivenog omotima na osi Jao figura, okružena cikloidom i pravom linijom y = a. Cikloida je data parametarskim jednakostima

Rješenje. Znamo tačku ukrštanja cikloide i prave linije. Poravnavanje poravnanja cikloida i poravnanje pravih linija y = a, mi znamo

Zašto vidite šta pokazuje interintegracija

Sada možemo popuniti formulu (2). Upoznajmo zabavu:

Zapisujemo korijen viraze u formulu, koja predstavlja poznate rezultate:

Znamo korijen ovog virusa:

.

Pretpostavimo da smo pronašli formulu (2):

.

Napravimo zamjenu:

Ja, nareshti, znamo

Konvertirani virusi imaju različite trigonometrijske formule

Prijedlog: površina omotača je dobra.

Proračun površine omotača, dat u polarnim koordinatama

Neka se kriva obavija oko površine, postavljena u polarnim koordinatama.

Volim vas, studenti VNZ Argemony!

Još trohi - i kurs će biti završen, a mi ćemo se odmah pobrinuti za osovinu.

Zhouli Trohi je odmahnula rukom - i na vjetru se učinilo da stoji. Tačnije, to je bio pravolinijski trapez. Vaughn je samo visio u vazduhu, stvoren magičnom energijom, dok je tekao duž njenih strana, a takođe se kovitlao u sredini samog trapeza, kroz koji je sav vibrirao i svetlucao.
Zatim je vikladač trohi kružnim pokretom prstima ruke - i trapez je počeo da se omota oko nevidljive ose. Tiho, onda ćemo biti sve bolji i bolji - tako da je u budućnosti obim objavljivanja počeo da se pojavljuje. Činilo se da magična energija izvire iz nje.

Dali je trapio ovako: blistave konture figure i njene unutrašnjosti počele su da se hvataju kao govor, svetlost je postajala sve manje pamtljiva, a onda je sama figura postajala sve sličnija schos vodchutne. Zrna materijala su postupno podijeljena prema slici. Prva osovina je nestala: omot, svijeća. Povitri visiv ima predmet sličan virvi. Zhouly je pažljivo stavio jogo na sto.

Well axis. Otprilike na ovaj način moguće je materijalizirati mnogo objekata - sa omotačem, poput ravnih figura koje su gotovo prave linije. Očigledno, za materijalizaciju je potrebno pjevati mnogo govora, kako bi se ispunio samim sobom čitav volumen, koji je staložen i vremenski prigušen za dodatnu magijsku energiju. A osovina, da bi se tačno razveselila, koliko je govora potrebno, - potrebno je poznavati tijelo koje se prihvata. U suprotnom, ako nema dovoljno govora, neće biti moguće pokriti cijeli tom sobom i tijelo može biti njemačko, sa vadama. A materijali su još više ukrašeni velikim suviškom govora - nije potrebno odisati magičnom energijom.
Pa, kako to da imamo puno govora? Todi, pored brojanja obsyagi tel, možete procijeniti, kako za rozmirami tílo možemo rasti bez posebne količine magične energije.
Svaki višak primljenog materijala je druga pomisao. Gde će nestati suvišni govori? Obsipayutsya, biti ne zadíyanimi? Chi štap na tijelu abyaka?
Ima još o čemu razmišljati. Čim ste imali neke misli, onda sam ih slušao od zadovoljstva. U međuvremenu, prijeđimo na izračun obsyagiv tíl, oduzimajući takav način.
Ovdje se može vidjeti papalina vipadkiva.

Vipadok 1.

Područje, kao što ćemo omotati, je najklasičniji krivolinijski trapez.

Očigledno je da možemo samo obaviti oko ose OH. Kako da uništim desni trapez horizontalno da ne preplavi cijeli OY, možete ga omotati oko i oko ose. Formule pravopisa za oba vipadkív su sljedeće:

Pošto ste već savladali osnovne mađioničarske trikove o funkcijama, za vas, mislim, neće biti važno da li ćete figuru trebati prenijeti tako u koordinatne ose, tako da će vam biti zgodno za rad s njom.

Vipadok 2

Možete omotati ne samo klasični krivolinijski trapez, već i figuru takvog izgleda:

Prilikom umotavanja oduzimamo vlastiti prsten. I nakon što smo prenijeli figuru u pozitivnu oblast, možemo je zamotati i odabrati os OY. Tezh otrimaêmo kíltse chi ní. Položiti sve na način da je figura roztashovuvatym: ako prođete granicu točno duž ose OY, tada se prsten neće vidjeti. Moguće je razotkriti obsyagi takvih omotača, koristeći sljedeću zagonetku:

Vipadok 3.

Pogodimo, imamo divne krivulje, ali takve da se ne pitaju na nama poznat, već na parametarski način. Takve krive su često zatvorene. Parametar t je kriv za promjenu na način da zatvorena figura, kada zaobiđe njen duž krivina (srednja), više nije zla.

Zatim za izračunavanje volumena tijela, omotavanje treba obaviti na osi OH ili OY, morate baciti takvu čaroliju:

Qi formule se mogu uvijati u smjeru nezatvorenih krivulja: ako krajevi poslušnosti leže na osi OX i osi OY. Figura izgleda zatvorena na bilo koji način: krajevi zatvaraju osu.

Vipadok 4.

Neke od magičnih krivulja date su polarnim koordinatama (r=r(fi)). Istu figuru možete omotati oko polarne ose. U ovom pravcu, kartezijanski koordinatni sistem se spušta od polara i leži
x = r (fi) * cos (fi)
y=r(fi)*sin(fi)
Na taj način dolazimo do parametarskog oblika krivulje, gdje je parametar fi kriv za promjenu na način da pri obilasku krivulje područje postaje lijevo.
Í koristuêmosya inkantacijske formule z nagodi 3.

Međutim, za vipadku polarne koordinate ê í ima svoju vlastitu formulu zapovijedanja:

Očigledno, ravne figure se mogu omotati kao i bilo koje druge prave linije, ne samo ose OX i OY, ali ako su manipulacije već presavijene, bićemo okruženi onim zaokretima o kojima je bilo reči u predavanju.

I sada zadaća. Ne dajem vam konkretne brojke. Već smo razvili mnogo funkcija i želim da je sami dizajnirate na način da vam zatreba u magijskoj praksi. Mislim da će na predavanju biti dovoljno primjera za sve naznake.

Ako smo razradili geometrijski zm_st sing integrala, došli smo do formule, uz pomoć koje možete znati površinu krivolinijskog trapeza, okruženog apscisom, ravnim linijama x=a, x=b, kao i non-stop (nevidljivo nepozitivna) funkcija y = f(x) . Ponekad možete lako postaviti funkciju koja okružuje figuru koja izgleda kao parametarska. družiti se funkcionalna ustajalost kroz t parametar. U okviru ovog materijala pokazujemo kako možete znati površinu figure, jer je okružena parametarski datom krivom.

Nakon objašnjenja teorije i prikaza formula, analizirat ćemo karakteristične primjere za područje takvih članaka.

Osnovna formula za proračun

Pretpostavimo da imamo krivolinijski trapez između kojih se nalaze prave x = a , x = b , sve O x í kriva x = φ (t) y = ψ (t) je parametarski zadana, a funkcije x = φ (t) i y = ψ (t) je neprekidan na intervalu α; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Zakazivanje 1

Da bi se izračunala površina trapeza za takve umove, potrebno je dobiti formulu S (G) = ∫ α β ψ (t) φ "(t) d t.

Razvili smo formule za ravan krivolinijski trapez S (G) = ∫ a b f (x) d x metodom supstitucije x = φ (t) y = ψ (t) :

S(G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ "(t) d t

Zakazivanje 2

Vrahovujuči monotona promjena funkcije x = φ (t) na intervalu β ; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Ako funkcija x = φ (t) nije uključena u osnovne elementarne, onda moramo pogoditi osnovna pravila za rast te promjenjive funkcije na intervalu, kako bismo mogli odrediti hoće li ona rasti ili opadati.

Za koga je cijela poenta da se razriješi, zadatak zastosuvannya formule, koja je podignuta.

guza 1

Umov: da se pronađe površina figure, kako se pravi pravac, dato je jednakom obliku x = 2 cos t y = 3 sin t .

Rješenje

Možemo parametarski postaviti liniju. Grafički se može predstaviti gledanjem elipse sa dva slova 2 i 3. Div za ilustraciju:

Pokušajmo saznati površinu 1 4 slike, jer ona zauzima prvi kvadrant. Područje je u intervalu x ∈ a; b = 0; 2. Pomnožimo vrijednost sa 4 i znamo površinu cijele figure.

Osa prekoračenja našeg proračuna:

x = φ (t) = 2 cos ty = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Kada je k, što je jednako 0, oduzimamo interval β; α = 0; π 2 . Funkcija x = φ (t) = 2 cos t će se monotono smanjivati ​​na novoj (izvještaj o nevjerovatnom članku o glavnim elementarnim funkcijama i njihovoj snazi). Također, možete izračunati formulu za izračunavanje površine i znati sing integral, koristeći Newton-Leibniz formulu:

- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π 2 \u003d 3 π 2 - sin 2 π 2 2 - 0 - sin 2 0 2 \u003d 3 π 2

Dakle, površina figure koju daje vanjska kriva jednaka je S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π .

Prijedlog: S(G) = 6 π

Treba pojasniti da je prilikom rješavanja problema bilo moguće uzeti ne više od četvrtine elipse, a jednu i po - gornju i donju. Jedna polovina će se podijeliti na intervalu x ∈ a; b=-2; 2. Čija je vipadka u nas otišla b:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k , k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k , k ∈ Z

Ovim redom, kada je k jednako 0, oduzeli smo β; α = 0; π. Funkcija x = φ (t) = 2 cos t na koji će interval biti monotono opadajući.

Nakon toga izračunavamo površinu polovice elipse:

- ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

Važno je da možete uzeti samo gornji i donji dio, ali ne možete uzeti desni.

Moguće je presavijati parametarsko poravnanje ove elipse, čije će središte biti rašireno na klipu koordinata. Izgleda kao x = a cos t y = b sin t. Na ovaj način, baš kao i u aplikaciji, oduzimamo formulu za izračunavanje površine belepsa S elips a \u003d πab.

Postavite ulog, centar nekog sortiranja na kocku koordinata, možete koristiti dodatno poravnanje x = R · cos t y = R · sin t , gdje je t parametar, a R radijus ovog udjela. Čim ubrzamo sa formulom za površinu elipse, onda oduzimamo formulu za koju možemo izračunati površinu udjela poluprečnika R: S okrugli i \ u003d πR 2.

Pogledajmo još jedan zadatak.

guza 2

Umov: saznajte zašto je površina figure vrednija, jer je okružena parametarski datom krivom x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t.

Rješenje

Pojasnimo samo da ova kriva može izgledati kao dobro utabani astroid. Ozvučite astroid da se izrazi uz pomoć jednakog oblika x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t.

Sada se navodno raspravlja o tome kako izazvati takvu krivu. Vikonaëmo pobudovu za okremi bodove. Metoda najšireg opsega koja se može koristiti za veći zadatak. Više preklopne kundake potrebno je izvršiti diferencijalni proračun kako bi se otkrila parametarska funkcija.

Imamo x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t.

Zadate funkcije su dodijeljene svim stvarnim vrijednostima t. Za sin í cos, jasno je da je smrad periodičan, a njihov period postaje 2 pí. Nakon što smo izračunali vrijednosti funkcija x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t za t = t 0 ∈ 0; 2 π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 ? 8 , uzeti bodove x 0 ; y 0 = (φ (t 0); ψ (t 0)) .

Kreirajmo tabelu vrijednosti vrećice:

Nakon toga, bitno je da su potrebne tačke na ravni, a zatim jedna prava.

Sada trebamo znati površinu onih dijelova figure, koja se nalazi u prvoj koordinatnoj četvrtini. Za to je x ∈ a; b = 0; 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Ako je k jednako 0, tada imamo interval β; α = 0; π 2 í funkcija x = φ (t) = 3 cos 3 t će se monotono smanjivati ​​na novom. Sada uzmimo formulu površine:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "dt = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t cos 2 tdt = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 t) dt = 18 ∫ 0 2 sin 4 tdt - ∫ 0 π 2 sin 6 tdt

Imamo Wiishli linearni integrali, ako možete izračunati uz pomoć Newton-Leibnizove formule. Prvi red za formulu može biti poznat, rekurzivna formula J n (x) \u003d - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , de J n (x) = ∫ sin nxdx.

∫ sin 4 tdt = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 tdt = = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 tdt = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 tdt = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 tdt ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 πt 2 sin ∫ 0 πt 2 sin ∫ 6 3 π 16 = 15 π 96

Virahuvali smo kvadrat četvrte figure. Skupo je 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t \u003d 18 3 π 16 - 15 π 96 \u003d 9 π 16.

Ako vrijednost pomnožimo sa 4, uzimamo površinu svih figura - 9 π 4.

Dakle, mi sami možemo donijeti da se površina bastroida, data sa x = a cos 3 ty = a sin 3 t, može znati po formuli okruženom linijom x = a · cos 3 ty = b · sin 3 t slijedi formulu S = 3 πab 8 .

Kao da ste se sjetili pomilovanja u tekstu, budite ljubazni, pogledajte ga i pritisnite Ctrl + Enter