Perhitungan luas gambar yang dikelilingi oleh garis, diberikan secara parametrik. Bagaimana cara menghitung luas gambar dan volume bungkus tubuh, bagaimana garis diatur secara parametrik? Bagaimana cara mengetahui area di vipadka saya?

Kuliah 8. Program integral sing.

Adendum integral pada masalah fisik didasarkan pada kekuatan aditif integral untuk impersonal. Oleh karena itu, untuk bantuan integral, jumlah tersebut dapat dihitung, seolah-olah mereka sendiri adalah aditif dalam multiplisitas. Misalnya, luas gambar sama dengan jumlah luas busur Dovzhin, luas permukaan, volume benda, massa benda mungkin memiliki kekuatan yang sama. Jumlah besaran tersebut dapat dihitung dengan bantuan integral sederhana.

Anda dapat memutar dua metode dan memecahkan masalah: metode jumlah integral dan metode diferensial.

Metode jumlah integral mengulangi konstruksi integral pertama: akan ada pembagian, poin dihitung, yang fungsinya dihitung, jumlah integralnya dihitung, transisi batas diputar. Untuk siapa, semua metode adalah pelipatan dasar - untuk membawa apa yang ada di antara Anda dan yang sama yang diperlukan untuk tugas itu.

Metode diferensial Vicorist non-nilai integral dan rumus Newton-Leibnitz. Hitung diferensial besarnya, seperti yang diperlukan, bahwa buv, mengintegrasikan diferensial, untuk rumus Newton-Leibnitz, mengambil besaran yang diperlukan. Siapa yang memiliki seluruh metode konsistensi dasar - untuk membawa apa perbedaan dari nilai yang diperlukan telah dihitung, dan tidak ada yang lain.

Perhitungan luas bangun datar.

1. Gambar tersebut dikelilingi oleh grafik fungsi, dengan sistem koordinat Cartesian.

Kami telah memahami integral sing dalam hal luas trapesium lengkung (sebenarnya, metode jumlah integral). Fungsi ini hanya menerima lihat artinya maka luas di bawah grafik fungsi pada vіdrіzka dapat dihitung dengan bantuan integral sing. Kami menghormati itu Inilah sebabnya mengapa metode diferensial dapat digunakan di sini.

Tetapi fungsi juga dapat mengambil nilai negatif di sisi lain, tetapi integral dari sisi lain memberikan area negatif, yang melapiskan area yang ditentukan.

Anda dapat menghitung luas menggunakan rumusS=. Penting untuk mengubah tanda fungsi di area yang tenang, di mana ada nilai negatif.

Jika Anda perlu menghitung luas gambar yang dikelilingi oleh grafik fungsi ke binatang, dan di bawah grafik fungsi, maka bisa pakai rumusS= , jadi ya.

pantat. Hitung luas gambar yang dikelilingi oleh garis x=0, x=2 dan grafik fungsi y=x 2 , y=x 3 .

Perlu dicatat bahwa interval (0,1) memiliki ketidakrataan x 2 > x 3 , dan untuk x >1 ketidakrataan x 3 > x 2 telah dihitung. tom

2. Gambar tersebut dikelilingi oleh grafik fungsi, yang diberikan dalam sistem koordinat kutub.

Biarkan grafik fungsi tugas untuk sistem koordinat kutub dan Anda ingin menghitung luas sektor lengkung yang dikelilingi oleh dua pertukaran dan grafik fungsi untuk sistem koordinat kutub.

Di sini Anda dapat menggunakan metode penjumlahan integral, menghitung luas sektor lengkung sebagai antara jumlah luas sektor dasar, di mana grafik fungsinya diganti dengan busur pancang. .

Anda dapat memutar metode diferensial: .

Anda dapat mirkuvati seperti ini. Mengganti sektor lengkung dasar, yang memberikan kut pusat sektor melingkar, mungkin suatu proporsi. Zvіdsi . Mengintegrasikan rumus Vicorist Newton - Leibnitz, tentu saja .

pantat. Hitung luas pasak (rumus perevirim). Terhormat. Area pasak lebih mahal .

pantat. Saya menghitung area, saya dikelilingi oleh cardio .

3 Gambar dikelilingi oleh grafik fungsi yang ditentukan oleh parameter.

Fungsi dapat diatur secara parametrik sebagai . Rumus Vikoristovuemo S= , menggantikan interintegrasinya dengan perubahan baru. . Ketika Anda menghitung integral, Anda melihat area tersebut, fungsi de-integral dapat memiliki tanda pertama dan melindungi seluruh area dengan tanda lain ini.

pantat. Hitung luasnya, kelilingi dengan elps.

Vikoristovuemo simetri elips, menghitung luas seperempat elips, yang ada di kuadran pertama. kuadran siapa? tom.

Perhitungan kontak telp.

1. Perhitungan obsyagіv tіl untuk area pererіzіv paralel.

Biarkan perlu untuk menghitung volume tubuh sebenarnya V untuk area yang diberikan dari penampang tubuh dengan bidang yang tegak lurus terhadap garis lurus OX, melewati titik x dari garis lurus OX.

Kita membutuhkan metode diferensial. Yang penting, volume dasar, di atas volume vertikal silinder melingkar lurus dengan luas alas dan tinggi, diambil . Mengintegrasikan dan memblokir rumus Newton-Leibnitz, kita ambil

2. Perhitungannya obsyagіv tіl pembungkus.

Biarlah perlu untuk virahuvati SAPI.

Todi .

Demikian pula, volumeOY Jika suatu fungsi diberikan kepada penampil, fungsi tersebut dapat dihitung menggunakan rumus.

Fungsi ini diatur untuk pemirsa dan perlu untuk menentukan volume pembungkus tubuh di sekitar sumbuOY rumus perhitungan kewajiban dapat dihilangkan dengan pangkat yang akan datang.

Lolos ke diferensial dan tidak menggunakan istilah kuadrat, mungkin . Mengintegrasikan dan zastosovuyuchi rumus Newton-Leibniz, mungkin.

pantat. Hitung obsyag cooli.

pantat. Hitung volume kerucut lingkaran siku-siku yang dikelilingi oleh luas permukaan.

Mari kita hitung volumenya, seperti volume badan bungkusnya, dibuat di sekitar sumbu OZ dari triko berpotongan lurus di bidang OXZ, yang kakinya terletak pada sumbu OZ dan lurus z \u003d H, dan hipotenusa terletak pada garis lurus.

Dengan memutar x melalui z, kita dapat mengambil .

Hitung panjang busur.

Untuk mengambil rumus menghitung bagian belakang busur, kami telah membuat dalam 1 semester rumus untuk diferensial bagian belakang busur.

Seperti busur dalam grafik fungsi berdiferensiasi tak terputus, diferensial busur kedua dapat dihitung dengan menggunakan rumus

. tom

Meskipun busur halus diberikan secara parametrik, kemudian

. tom .

Demikian juga, busur diatur dalam sistem koordinat kutub, kemudian

. tom .

pantat. Uraikan tepi busur grafik fungsi, . .

Pertama, masuk ke rumus luas bungkus permukaan, untuk rumus singkat bungkus permukaan itu sendiri. Pembungkus atas, atau, apa yang sama - pembungkus tubuh atas - sosok yang luas, pembungkusnya dibuat menjadi vіdrіzka AB kurva pada sumbu Sapi(Gambar di bawah).

Saya akan mengungkapkan trapesium lengkung, saya akan mengelilingi binatang itu dengan kurva menebak kurva. Tіlo, dibuat untuk pembungkus tsієї trapez navko tiєї zh osі Sapi dan tіlo pembungkus. Dan luas permukaan pembungkus atau permukaan pembungkus badan adalah seluruh cangkang yogo ovnishnya, bukan rahuyuchi kіl, utavleny pembungkus pada sumbu lurus x = sebuahі x = B .

Dengan hormat, bahwa badan pembungkus dan, tentu saja, permukaan yang sama dapat dibuat sehingga pembungkus gambar tidak pada sumbunya. Sapi, tetapi tentang sumbu Aduh.

Perhitungan luas permukaan pembungkus, diberikan dalam koordinat persegi panjang

Mari kita pergi pada koordinat persegi panjang pada bidang datar kamu = F(x) kurva diberikan, membungkus di sekitar sumbu koordinat diberikan tubuh pembungkus.

Rumus untuk menghitung luas permukaan bungkus adalah sebagai berikut:

(1).

Contoh 1. Ketahui luas permukaan paraboloid yang dilingkupi oleh lilitan di sekitar sumbu Sapi busur parabola yang berubah x melihat x= 0 sampai x = sebuah .

Larutan. Kita dapat dengan jelas melihat fungsinya, saat kita mengatur busur parabola:

Kita mengetahui fungsi-fungsi berikut:

Pertama, mari kita mempercepat rumus untuk mengetahui luas permukaan pembungkus, mari kita tulis bagian pіdіntegralnogo virase itu, seperti akarnya dan mungkin hanya ada pokhdn yang diketahui:

Vidpovіd: dozhina busur bengkok dorіvnyuє

.

pantat 2. Ketahui luas permukaan yang melingkari sumbu Sapi astroidi.

Larutan. Cukup menghitung luas permukaan yang akan keluar ke dalam bungkus salah satu tanda bintang, mengacak-acak pada kuartal pertama, dan mengalikan dengan 2. Dari perataan astro_di jelas merupakan fungsi, jadi kita perlu menyediakan rumus untuk menghitung luasnya

.

Integrasi variabel dari 0 hingga sebuah:

Perhitungan luas permukaan pembungkus, diberikan secara parametrik

Kita dapat melihat kemiringannya, jika kurva yang mengatur permukaan bungkus diatur oleh persamaan parametrik

Area pembungkus permukaan yang sama dihitung sesuai dengan rumus

(2).

contoh 3. Ketahui luas permukaan pembungkus, tutupi pembungkus pada sumbunya Aduh gambar, dikelilingi oleh cycloid dan garis lurus kamu = sebuah. Sikloid diberikan oleh persamaan parametrik

Larutan. Kita tahu titik persimpangan cycloid dan garis lurus. Menyelaraskan keselarasan cycloids dan penjajaran garis lurus kamu = sebuah, kita tahu

Mengapa Anda melihat apa yang ditunjukkan oleh interintegrasi?

Sekarang kita bisa mengisi rumus (2). Yuk ketahui keseruannya:

Kami menuliskan akar virusse dalam rumus, mewakili hasil yang diketahui:

Kita tahu akar dari virus ini:

.

Misalkan kita telah menemukan rumus (2):

.

Mari kita lakukan substitusi:

Saya, nareshti, kami tahu

Virus yang dikonversi memiliki rumus trigonometri yang berbeda

Saran: luas permukaan pembungkusnya bagus.

Perhitungan luas permukaan pembungkus, diberikan dalam koordinat kutub

Biarkan kurva membungkus permukaan, atur dalam koordinat kutub.

Aku mencintaimu, mahasiswa VNZ Argemony!

Lebih banyak trohi - dan kursus akan selesai, dan sekaligus kami akan mengurus porosnya.

Zhouli trohi melambaikan tangannya - dan dalam angin tampak berdiri. Atau lebih tepatnya, itu adalah trapesium bujursangkar. Vaughn hanya tergantung di udara, diciptakan oleh energi magis, saat mengalir di sepanjang sisi, dan juga berputar di tengah trapesium itu sendiri, di mana semuanya bergetar dan berkilauan.
Kemudian vikladach trohi membuat gerakan melingkar dengan jari-jari tangannya - dan trapesium mulai melingkari sumbu yang tidak terlihat. Diam-diam, maka kita akan menjadi lebih baik dan lebih baik - sehingga di masa depan, volume posting mulai muncul. Tampaknya energi magis muncul darinya.

Dali trapilos seperti ini: kontur sosok yang berkilauan dan bagian dalam mulai menangkap seperti pidato, cahaya menjadi semakin tidak berkesan, kemudian sosok itu sendiri menjadi semakin mirip dengan schos vodchutne. Butir-butir material secara bertahap dibagi sesuai dengan gambar. Sumbu pertama hilang semua: pembungkusnya, lilinnya. Povitri visiv memiliki objek yang mirip dengan virva. Zhouly dengan hati-hati menyelipkan yogo itu ke atas meja.

baik sumbu. Kira-kira dengan cara ini banyak objek dapat diwujudkan - dengan cara membungkus, seperti gambar datar yang hampir lurus. Jelas, untuk perwujudan, perlu untuk menyanyikan banyak pidato, untuk mengisi dengan diri sendiri seluruh volume, yang diselesaikan dan ditundukkan untuk sementara untuk energi magis tambahan. Dan porosnya, untuk benar-benar menghibur, berapa banyak ucapan yang diperlukan, - perlu mengetahui tubuh yang diterima. Jika tidak, jika tidak ada cukup ucapan, tidak mungkin untuk menutupi seluruh volume dengan diri sendiri dan tubuh bisa menjadi Jerman, dengan vadas. Dan bahan-bahannya bahkan lebih dihiasi dengan ucapan yang berlebihan - tidak perlu memancarkan energi magis.
Nah, bagaimana kita bisa banyak bicara? Todi, selain menghitung obsyagi tel, Anda dapat memperkirakan, untuk rozmirami tіlo kita dapat tumbuh tanpa energi magis dalam jumlah khusus.
Setiap kelebihan dari materi yang diterima adalah pemikiran lain. Ke mana perginya pidato-pidato yang berlebihan itu? Obsipayutsya, bukan zadіyanimi? Chi menempel pada tubuh abyak?
Ada lebih banyak untuk dipikirkan di sini. Segera setelah Anda memiliki beberapa pemikiran, maka saya mendengarkannya karena puas. Sementara itu, mari kita beralih ke perhitungan obsyagiv tіl, dengan cara seperti itu.
Di sini orang dapat melihat sprat vipadkiv.

Vipadok 1.

Area tersebut, seperti yang akan kita bungkus, adalah trapesium lengkung paling klasik.

Jelas bahwa kita hanya dapat membungkus sumbu OH. Bagaimana saya bisa menghancurkan trapesium tangan kanan secara horizontal sehingga tidak membanjiri seluruh OY, Anda dapat membungkusnya di sekitar dan di sekitar sumbu. Rumus ejaan untuk kedua vipadkіv adalah sebagai berikut:

Karena Anda telah menguasai trik sulap dasar pada fungsi tersebut, saya pikir tidak masalah bagi Anda untuk mentransfer gambar ke dalam sumbu koordinat, jika perlu, sehingga akan berguna untuk bekerja dengannya.

vipadok 2

Anda tidak hanya dapat membungkus trapesium lengkung klasik, tetapi juga sosok tampilan seperti itu:

Saat membungkus, kami mengambil cincin kami sendiri. Dan setelah memindahkan gambar ke area positif, kita dapat membungkus dan memilih sumbu OY. Tezh otrimaєmo kіltse chi n. Untuk meletakkan segala sesuatu sedemikian rupa sehingga sosok itu roztashovuvatym: jika Anda melewati batas tepat di sepanjang sumbu OY, maka cincin itu tidak akan terlihat. Hal ini dimungkinkan untuk mengungkap obsyagi dari pembungkus tіl tersebut, menggunakan mantra berikut:

Vipadok 3.

Mari kita tebak, kita memiliki kurva yang indah, tetapi sedemikian rupa sehingga mereka tidak ditanyakan dengan cara yang kita kenal, tetapi dengan cara parametrik. Kurva seperti itu sering tertutup. Parameter t bersalah karena berubah sedemikian rupa sehingga angka tertutup, ketika melewati sepanjang kurva (pertengahan), tidak lagi jahat.

Kemudian untuk perhitungan volume tubuh, pembungkus harus dilakukan pada sumbu OH atau OY, Anda perlu menggunakan mantra seperti itu:

Rumus Qi dapat diputar ke arah kurva non-tertutup: jika kepatuhan berakhir terletak pada sumbu OX dan sumbu OY. Sosok itu tampak tertutup dengan cara apa pun: ujung-ujungnya menutup sumbu.

Vipadok 4.

Beberapa kurva ajaib diberikan oleh koordinat kutub (r=r(fi)). Anda dapat membungkus gambar yang sama di sekitar sumbu kutub. Dalam arah ini, sistem koordinat Cartesian turun dari kutub dan terletak
x = r (fi) * cos (fi)
y=r(fi)*sin(fi)
Dengan cara ini, kita sampai pada bentuk parametrik kurva, di mana parameter fi bersalah karena berubah sedemikian rupa sehingga, ketika mengitari kurva, area menjadi kidal.
rumus mantra koristuєmosya z nagodi 3.

Namun, untuk koordinat kutub vipadku memiliki rumus mantranya sendiri:

Jelas, gambar datar dapat dililitkan seperti halnya garis lurus lainnya, bukan hanya sumbu OX dan OY, tetapi jika manipulasi sudah dilipat, kita akan dikelilingi oleh tikungan itu, yang telah dibahas dalam kuliah.

Dan sekarang pekerjaan rumah. Saya tidak memberi Anda angka spesifik. Kami telah mengembangkan banyak fungsi, dan saya ingin Anda mendesainnya sendiri sedemikian rupa sehingga Anda mungkin membutuhkannya dalam praktik magis. Saya pikir akan ada cukup banyak contoh untuk semua indikasi di kuliah.

Jika kami telah mengerjakan zm_st geometris dari integral sing, kami telah menemukan rumus, yang untuknya Anda dapat mengetahui luas trapesium lengkung, dikelilingi oleh absis, garis lurus x=a, x=b, serta fungsi non-stop (tidak terlihat positif) y = f(x) . Terkadang Anda dapat dengan mudah mengatur fungsi yang mengelilingi gambar yang terlihat seperti parametrik. nongkrong bareng basi fungsional melalui parameter t. Dalam kerangka materi ini, kami menunjukkan bagaimana Anda dapat mengetahui luas gambar, karena dikelilingi oleh kurva yang diberikan secara parametrik.

Setelah menjelaskan teori dan menunjukkan formula, kami akan menganalisis contoh karakteristik bidang artikel tersebut.

Rumus dasar untuk perhitungan

Asumsikan bahwa kita memiliki trapesium lengkung, di antaranya ada garis lurus x = a , x = b , semua O x kurva x = φ (t) y = (t) diberikan secara parametrik, dan fungsi x = (t) i y = (t) tidak terputus pada interval ; ,< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Janji 1

Untuk menghitung luas trapesium untuk pikiran seperti itu, perlu untuk memenangkan rumus S (G) = (t) "(t) d t.

Kami telah mengembangkan rumus untuk trapesium lengkung datar S (G) = a b f (x) d x dengan metode substitusi x = (t) y = (t) :

S(G) = a b f (x) d x = ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α (t) φ "(t) d t

Janji 2

Vrakhovuyuchi perubahan monoton fungsi x = (t) pada interval ; ,< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Jika fungsi x = (t) tidak termasuk dalam elemen dasar, maka kita perlu menebak aturan dasar untuk pertumbuhan fungsi yang berubah pada interval, sehingga kita dapat menentukan apakah itu akan tumbuh atau turun.

Untuk siapa seluruh intinya harus diselesaikan, tugas zastosuvannya dari formula, yang telah diangkat.

pantat 1

Umov: untuk mencari luas gambar, cara membuat garis, diberikan sama dengan bentuk x = 2 cos t y = 3 sin t .

Larutan

Kita dapat mengatur garis secara parametrik. Secara grafis dapat direpresentasikan dengan melihat elips dengan dua huruf 2 dan 3. Div untuk ilustrasi:

Mari kita coba mengetahui luas 1 4 dari gambar tersebut, karena menempati kuadran pertama. Daerah tersebut berada pada selang x a; b = 0; 2. Mari kita kalikan nilainya dengan 4 dan kita tahu luas seluruh gambar.

Sumbu melampaui perhitungan kami:

x = (t) = 2 cos ty = (t) = 3 sin t φ α = a 2 cos = 0 ⇔ = 2 + k , k Z , = b 2 cos = 2 = 2 k , k Z

Ketika k, yang sama dengan 0, kita menghilangkan interval ; = 0; 2 . Fungsi x = (t) = 2 cos t akan berkurang secara monoton pada yang baru (laporan tentang artikel menakjubkan tentang fungsi dasar utama dan kekuatannya). Anda juga dapat menghitung rumus untuk menghitung luas dan mengetahui integral sing, menggunakan rumus Newton-Leibniz:

- 0 2 3 sin t 2 cos t "dt = 6 0 π 2 sin 2 tdt = 3 0 2 (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π 2 \u003d 3 2 - dosa 2 2 2 - 0 - dosa 2 0 2 \u003d 3 2

Jadi, luas bangun yang diberikan oleh kurva luar sama dengan S (G) = 4 · 3 2 = 6 .

Saran: S(G) = 6

Harus diklarifikasi bahwa, ketika memecahkan masalah, dimungkinkan untuk mengambil tidak lebih dari seperempat elips, dan satu setengah - atas dan bawah. Setengah bagian akan dibagi pada interval x a; b=-2; 2. Vipadka siapa dalam diri kita yang telah hilang b:

(α) = a 2 cos = - 2 ⇔ α = π + π k , k Z, (β) = b 2 cos = 2 β = 2 k , k Z

Dalam urutan ini, ketika k sama dengan 0, kami mengurangi ; = 0; . Fungsi x = (t) = 2 cos t yang intervalnya akan menurun secara monoton.

Setelah itu, kami menghitung luas setengah elips:

- 0 3 sin t 2 cos t "dt = 6 0 π sin 2 tdt = 3 0 (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 = 3 π - dosa 2 2 - 0 - dosa 2 0 2 = 3

Adalah penting bahwa Anda hanya dapat mengambil bagian atas dan bawah, tetapi Anda tidak dapat mengambil yang benar.

Dimungkinkan untuk melipat perataan parametrik elips ini, yang pusatnya akan tersebar pada tongkol koordinat. Sepertinya x = a cos t y = b sin t. Dengan cara ini, seperti dalam aplikasi, kami mengambil rumus untuk menghitung luas elips belepsa elips a \u003d ab.

Tetapkan patok, pusat dari beberapa pengurutan pada tongkol koordinat, Anda dapat menggunakan perataan tambahan x = R · cos t y = R · sin t , di mana t adalah parameter, dan R adalah jari-jari pancang ini. Segera setelah kita mempercepat dengan rumus luas elips, maka kita ambil rumusnya, yang untuk itu kita dapat menghitung luas tiang dengan jari-jari R: S bulat dan \ u003d R 2.

Mari kita lihat satu tugas lagi.

pantat 2

Umroh: cari tahu mengapa luas gambar lebih berharga, karena dikelilingi oleh kurva yang diberikan secara parametrik x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t.

Larutan

Mari kita perjelas bahwa kurva ini mungkin terlihat seperti asteroid yang diinjak dengan baik. Bunyikan astroid untuk mengekspresikan dirinya untuk bantuan bentuk yang sama x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t.

Sekarang dilaporkan dibahas bagaimana menginduksi kurva seperti itu. Vikonaёmo pobudovu untuk poin okremi. Metode paling luas yang dapat digunakan untuk tugas yang lebih besar. Lagi saham lipat perlu melakukan perhitungan diferensial untuk mengungkapkan fungsi parametrik.

Kami memiliki x = (t) = 3 cos 3 t, y = (t) = 2 sin 3 t.

Fungsi yang diberikan ditugaskan ke semua nilai sebenarnya dari t. Untuk sin cos, jelas bahwa bau periodik dan periode menjadi 2 pі. Setelah menghitung nilai fungsi x = (t) = 3 cos 3 t, y = (t) = 2 sin 3 t untuk t = t 0 0; 2 8 , 4 , 3 8 , 2 , . . . , 15 ? 8 , ambil poin x 0 ; y 0 = (φ (t 0); (t 0)) .

Mari kita buat tabel nilai tas:

Setelah itu, penting untuk membutuhkan titik pada bidang dan kemudian satu garis.

Sekarang kita perlu mengetahui luas bagian-bagian gambar tersebut, yang terletak di kuartal koordinat pertama. Untuk itu, x a; b = 0; 3:

(α) = a 3 cos 3 t = 0 = π 2 + πk, k Z, (β) = b 3 cos 3 t = 3 = 2 k , k Z

Jika k sama dengan 0, maka kita memiliki interval ; = 0; 2 fungsi x = (t) = 3 cos 3 t akan berkurang secara monoton pada yang baru. Sekarang mari kita ambil rumus luas:

- 0 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "dt = 18 0 π 2 sin 4 t cos 2 tdt = = 18 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 t) dt = 18 0 π 2 dosa 4 tdt - 0 2 dosa 6 tdt

Kami memiliki Wiishli integral linier, jika Anda dapat menghitung dengan bantuan rumus Newton-Leibniz. Baris pertama untuk rumus qієї dapat diketahui, rumus rekursif J n (x) \u003d - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , de J n (x) = sin nxdx.

sin 4 tdt = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 sin 2 tdt = = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 - cos t sin t 2 + 1 2 sin 0 tdt = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C 0 π 2 sin 4 tdt = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 16 sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 + 5 6 sin 4 tdt ∫ 0 2 sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 0 2 + 5 6 0 2 sin 4 tdt = 5 6 3 16 = 15 96

Kami virahuvali kuadrat dari angka keempat. Mahal 18 0 π 2 sin 4 t d t - 0 2 sin 6 t d t \u003d 18 3 16 - 15 96 \u003d 9 16.

Jika kita mengalikan nilainya dengan 4, kita mengambil luas semua angka - 9 4.

Jadi kita sendiri dapat membawa bahwa luas bastroidi, diberikan oleh x = a cos 3 ty \u003d a sin 3 t, dapat diketahui dengan rumus yang dikelilingi oleh garis x = a · cos 3 ty = b · sin 3 t mengikuti rumus S = 3 ab 8 .

Seolah-olah Anda ingat pengampunan dalam teks, berbaik hati, lihat dan tekan Ctrl + Enter