Rivnyannya termasuk yang lebih tua. Deskripsi solusi

30.07.2020

Pada saat yang sama, ada cara memperbarui fungsi diferensial kedua, wanita menambahkan pabrik dengan solusi baru.

Namun demikian, ada persamaan diferensial (DK) dalam bentuk P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 mungkin ada misteri di beberapa bagian dari perbedaan fungsi tersebut. Hari ini kita dapat mengetahui integral asing DK, yang juga diketahui di depan fungsi diferensial utama.

pantat 1

Rivnyannya P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Catatan bagian kiri memiliki diferensial fungsi deyakoi U (x, y) = 0... Untuk seluruh pikiran ma vikonuvatsya P y ≡ Q x.

Diferensial eksternal dari fungsi U (x, y) = 0 viewer d U = U x d x + U y d y. Dengan bantuan P y Q x kita dapat menyangkal:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = U x d x + U y d y

U x = P (x, y) U y = Q (x, y)

Setelah mengubah kegigihan ryvnyannya dari sistem otriman dan rіvnyany, kita dapat melakukannya:

U (x, y) = P (x, y) d x + (y)

Fungsi (y) dapat kita ketahui dari sistem ekuivalen lainnya:
U (x, y) y = ∫ P (x, y) dx y + y "(y) = Q (x, y) φ (y) = ∫ Q (x, y) - P (x, y) dx ydy

Ini adalah bagaimana kita mengetahui fungsi yang dibutuhkan U (x, y) = 0.

pantat 2

Diketahui DK (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 asal solusi.

Keputusan

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Dapat dibalik, yang harus dilihat adalah P y Q x:

P y = (x 2 - y 2) y = - 2 y Q x = (- 2 x y) x = - 2 y

Pikiran kita adalah vikonutsya.

Berdasarkan perhitungan, kita dapat membuat pola, tetapi hanya sebagian dari kendali jarak jauh eksternal yang merupakan diferensial sekunder dari fungsi aksi U (x, y) = 0. Kita harus tahu fungsi lengkapnya.

Osilasi (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y oleh diferensial balik dari fungsi U (x, y) = 0 maka

U x = x 2 - y 2 U y = - 2 x y

Integrasi dengan x untuk sistem pertama kali:

U (x, y) = (x 2 - y 2) d x + (y) = x 3 3 - x y 2 + (y)

Sekarang diferensiasi pada y dari penyesuaian adalah hasilnya:

U y = x 3 3 - x y 2 + (y) y = - 2 x y + y "(y)

Setelah mengkonfigurasi ulang sistem persamaan lainnya, kita dapat mengenali: U y = - 2 x y. Tse artinya
- 2 x y + y "(y) = - 2 x y y" (y) = 0 (y) = ∫ 0 d x = C

de S - menjadi cukup senang.

Diketahui: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Dengan integral awal dari bahasa daerah x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Kami akan memilih metode lain untuk mengetahui fungsi menurut diferensial terpisah. Pemindahan integral lengkung dari titik tetap (x 0, y 0) ke titik dengan perubahan koordinat (x, y):

U (x, y) = (x 0, y 0) (x, y) P (x, y) d x + Q (x, y) d y + C

Pada saat makna integral, tidak mungkin untuk meletakkan jalur integrasi. Kita bisa mengambil jalur yak untuk mengintegrasikan laman, orang-orang Lanka, yang bisa digambar sejajar dengan sumbu koordinat.

pantat 3

Ketahui titik awal persamaan diferensial (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

Keputusan

Kami akan melakukan peninjauan kembali untuk mengetahui mengapa P y Q x:

P y = (y - y 2) y = 1 - 2 y Q x = (x - 2 x y) x = 1 - 2 y

Go, di mana bagian kiri persamaan diferensial diwakili oleh diferensial sekunder dari fungsi deyakoï U (x, y) = 0. Untuk mengetahui fungsinya, perlu menghitung integral lengkung dari titik (1 ; 1) sebelum (x, y)... Vіzmemo yak shlyakh mengintegrasikan lamanu, dіlyanka cara berjalan bersama y = 1 dari titik (1, 1) ke (x, 1), dan kemudian dari titik (x, 1) ke (x, y):

(1, 1) (x, y) y - y 2 dx + (x - 2 xy) dy = = (1, 1) (x, 1) (y - y 2) dx + (x - 2 xy ) dy + + (x, 1) (x, y) (y - y 2) dx + (x - 2 xy) dy = = 1 x (1 - 1 2) dx + 1 y (x - 2 xy) dy = (xy - xy 2) y 1 = = xy - xy 2 - (x 1 - x 1 2) = xy - xy 2

Kami telah membuat solusi rumah dari diferensial sama dengan bentuk x y - x y 2 + C = 0.

pantat 4

Masukkan titik awal persamaan diferensial y · cos x d x + sin 2 x d y = 0.

Keputusan

Hal ini dapat dipertimbangkan kembali, untuk melihat apakah itu P y Q x.

Oskilki (y cos x) y = cos x, (sin 2 x) x = 2 sin x cos x, maka Anda tidak akan keberatan. Tse berarti bahwa satu-satunya bagian dari persamaan diferensial bukanlah diferensial umum dari fungsi tersebut. Tse Persamaan Diferensial dari musim dingin, bagaimana mendistribusikan, dan untuk pertama kalinya, pergi ke cara terbaik untuk memecahkan.

Segera setelah kami mencatat pengampunan dalam teks, jadilah musang, lihat dan tekan Ctrl + Enter

Menyetel masalah untuk tampilan dua sisi

Memperbarui fungsi pemenang untuk diferensial baru

9.1. Mengatur masalah untuk tampilan dua arah. 72

9.2. Deskripsi solusi. 72

Ini salah satu tambahan integral lengkung genus II.

Mengingat diferensial utama dari fungsi dua pemenang:

Tahu fungsinya.

1. Agar tidak setiap jenis diferensiasi fungsi bernyanyi kamu(x,kamu), maka perlu mempertimbangkan kembali kebenaran produksi master, untuk mempertimbangkan kembali perlunya perbedaan mental yang cukup, seperti untuk fungsi 2 pria musim dingin. Tsya umova vypliva dari soliditas ekivalen (2) dan (3) dalam teorema pada paragraf di atas. Sebagai nama Viconan ditunjuk, maka penunjukan solusi, fungsi kamu(x,kamu) inovasi dimungkinkan; Jika pikiran tidak viconano, maka zavdannya bukan solusi, jadi fungsi pembaruan tidak mungkin.

2. Dimungkinkan untuk mengetahui fungsi di balik diferensial kedua, misalnya, untuk integral lengkung tambahan dari genus II, setelah menghitung satu dari garis, di mana titik tetap ( x 0 ,kamu 0) titik perubahan itu ( x; y) (Kecil. delapan belas):

Peringkat ini diakui sebagai integral melengkung dari genus II dari diferensial umum dU(x,kamu) nilai fungsi yang mahal kamu(x,kamu) di ujung dan di ujung tongkol dari garis integrasi.

Ketahui hasilnya sekarang, Anda harus mengirimkan pengganti dU dalam viraz integral lengkung dan untuk melakukan perhitungan integral lamana ( ACB), independensi maksimum dari bentuk garis integrasi:

pada ( AC): pada ( SV) :

(1)

Dalam peringkat seperti itu, formula diadopsi, dengan bantuan fungsi 2 pemenang diperbarui untuk diferensial kedua.

3. Dimungkinkan untuk memperbarui fungsi untuk diferensial yang berbeda hanya dari ketepatan hingga penambahan akhir, the D(kamu+ konstan) = dU... Artinya, sebagai hasil dari revisi tugas, kami akan mengenali ketidakmungkinan fungsi, sehingga satu bentuk dari satu ditampilkan di kemudian hari.

Terapkan (perbarui fungsi dua pemenang untuk diferensial kedua)

1. Tahu kamu(x,kamu), yang dU = (x 2 – kamu 2)dx – 2xydy.

Revisi perbedaan utama fungsi dua menteri:

Diferensiasi umum Umovu viconano, dari fungsi yang sama kamu(x,kamu) pembaruan dimungkinkan.

Pereirka: - Benar.

Melihat: kamu(x,kamu) = x 3 /3 – xy 2 + C.

2. Tahu fungsinya, taku scho

Kebutuhan yang luar biasa untuk diferensial dasar yang cukup dari fungsi tiga pemenang:

Perkembangan tugas

Semua perbedaan umum pengunjung, dari yang sama, fungsi dapat diperbarui (default diatur dengan benar).

Selain itu, digunakan fungsi integral lengkung tipe II yang telah dihitung menurut garis deyakiy, sehingga titik tetap dan titik diubah, sehingga

(Ini sama dengan itu, seperti dua sisi).

Di sisi lain, integral lengkung dari diferensial utama jenis kedua tidak terletak dalam bentuk garis integrasi, yaitu lebih sederhana untuk menghormati lamana, tetapi untuk melipat dari sumbu koordinat yang sejajar. Ketika suatu titik ditetapkan, dimungkinkan untuk mengambil titik hanya dengan mengambil titik dengan koordinat numerik tertentu; Untuk meningkatkan rasa hormat terhadap tugas, dimungkinkan untuk mengambil titik tetap, misalnya, titik M 0. Todi di kulit dari lanok lamano matimemo

10.2. Perhitungan integral permukaan jenis pertama. 79

10.3. Program Deyaki dari integral permukaan jenis pertama. 81

Ini adalah tampilan standar $ P \ kiri (x, y \ kanan) \ cdot dx + Q \ kiri (x, y \ kanan) \ cdot dy = 0 $, di mana bagian kiri adalah diferensial kedua dari fungsi deyakoї $ F \ kiri (x, y \ kanan) $, disebut sama dalam lebih banyak perbedaan.

Persamaan dalam diferensial lain dapat ditulis ulang di viewer $ dF \ kiri (x, y \ kanan) = 0 $, di mana $ F \ kiri (x, y \ kanan) $ adalah fungsi yang $ dF \ kiri ( x, y \ kanan) = P \ kiri (x, y \ kanan) \ cdot dx + Q \ kiri (x, y \ kanan) \ cdot dy $.

Prointegrumo menyinggung bagian dari garis $ dF \ kiri (x, y \ kanan) = 0 $: $ \ int dF \ kiri (x, y \ kanan) = F \ kiri (x, y \ kanan) $; Terpisah dari nol bagian kanan jalan sampai pos terakhir $C$. Dalam rank seperti ini, keputusan utama dari persamaan ini dalam bentuk implisit adalah $ F \ kiri (x, y \ kanan) = C $.

Untuk mendapatkan persamaan diferensial, itu sama dengan satu di diferensial lain, perlu dan cukup bahwa $ \ frac (\ parsial P) (\ parsial y) (\ parsial y) = \ frac (\ parsial Q) (\ sebagian x) $. Jika nama Viconan yang dimaksud, maka fungsi tersebut adalah $ F \ left (x, y \ right) $, yang dapat Anda tulis: $ dF = \ frac (\ partial F) (\ partial x) \ cdot dx + \ frac (\ sebagian F) (\ sebagian y) \ cdot dy = P \ kiri (x, y \ kanan) \ cdot dx + Q \ kiri (x, y \ kanan) \ cdot dy $, kami dapat menerima bintang hanya dua kali: $ \ frac (\ sebagian F) (\ sebagian x) = P \ kiri (x, y \ kanan) $ і $ \ frac (\ sebagian F) (\ sebagian y) = Q \ kiri ( x, y \ kanan) $.

Integral dulu sp_vv_dnoshennya $ \ frac (\ partial F) (\ partial x) = P \ left (x, y \ right) $ by $ x $ akan diabaikan $ F \ left (x, y \ right) = \ int P \ kiri (x, y \ kanan) \ cdot dx + U \ kiri (y \ kanan) $, de $ U \ kiri (y \ kanan) $ adalah fungsi yang cukup dari $ y $.

Pidberemo jadi, Anda senang satu sama lain dengan $ \ frac (\ parsial F) (\ parsial y) = Q \ kiri (x, y \ kanan) $. Untuk seluruh rentang diferensiasi, kami tidak memikirkan distribusi $ F \ kiri (x, y \ kanan) $ oleh $ y $, dan hasilnya biasanya hingga $ Q \ kiri (x, y \ kanan) $. Mo: $ \ frac (\ sebagian) (\ sebagian y) \ kiri (\ int P \ kiri (x, y \ kanan) \ cdot dx \ kanan) + U "\ kiri (y \ kanan) = Q \ kiri ( x, y \ kanan) $.

Solusi selanjutnya adalah sebagai berikut:

dari ekivalensi yang tersisa kita tahu $U "\ left (y \ right) $;
integrasi $ U "\ kiri (y \ kanan) $ diketahui $ U \ kiri (y \ kanan) $;
letakkan $ U \ kiri (y \ kanan) $ pada persamaan $ F \ kiri (x, y \ kanan) = \ int P \ kiri (x, y \ kanan) \ cdot dx + U \ kiri (y \ kanan ) $ dan sisanya dapat dikenali oleh fungsi $ F \ kiri (x, y \ kanan) $.

Diketahui dari perbedaan:

Integrasi $ U "\ kiri (y \ kanan) $ lebih dari $ y $ diketahui $ U \ kiri (y \ kanan) = \ int \ kiri (-2 \ kanan) \ cdot dy = -2 \ cdot y $ .

Kita tahu hasilnya: $ F \ kiri (x, y \ kanan) = V \ kiri (x, y \ kanan) + U \ kiri (y \ kanan) = 5 \ cdot x \ cdot y ^ (2) +3 \ cdot x \ cdot y-2 \ cdot y $.

Saya akan menuliskan solusi untuk pemirsa $ F \ kiri (x, y \ kanan) = C $, tetapi sendiri:

Diketahui secara pribadi $ F \ kiri (x, y \ kanan) = F \ kiri (x_ (0), y_ (0) \ kanan) $, de $ y_ (0) = 3 $, $ x_ (0) = 2 $:

Solusi pribadi dari ma viglyad: $5 cdot x cdot y ^ (2) +3 cdot x cdot y-2 cdot y = 102 $.

Nilai bisnis 8.4. Diferensial untuk pikiran

de
disebut rivnyannyam di perbedaan utama.

Sangat bagus, bahwa satu-satunya bagian dari yang sama adalah diferensial utama dari fungsi deyakoї.
.

Di zagalny vipad vypadnya (8.4), Anda dapat membayar di viglyadі

Anda bisa mengganti rivnyannya (8.5).

pengembangan oleh integrasi lokal rivnyannya (8.4). Dalam peringkat seperti itu, untuk verifikasi rivnyannya (8.4), perlu diketahui fungsinya
... Menurut tanggal pendaftaran (8.4), maєmo

(8.6)

fungsi
Mari kita tahu, seperti fungsi, seperti salah satu pikiran (8.6):

de - fungsi yang cukup, yak untuk berbaring dari .

Fungsi
mulai seperti ini, ketika Anda melihat giliran pikiran lain (8.6)

(8.7)

Dari virazu (8.7) dan untuk memulai fungsi
... Pidstavlyayuchi di viraz untuk
bahwa trimuyut integral zagalny nіgіdnogo vnyannya.

Zavdannya 8.3. Prointegruvati Rivnyanya

Di Sini
.

Otzhe, harga diturunkan ke jenis persamaan diferensial di diferensial utama. fungsi
ayo shukati di viglyadі

Dari samping,

Di sejumlah pikiran
mungkin tidak visonuvatis.

Todi takі vnyannya ke jenisnya, cara melihat keluar, dipandu oleh begitu banyak judul adalah pengganda terintegrasi, yang, dalam vipadku zalnyy, adalah fungsi saja tentang .

Segera setelah deyakogo ryvnyannya memiliki pengganda terintegrasi , maka kita harus mulai untuk rumusnya

de paviliun maє buti lishe funktsіu .

Demikian pula, apa pengganda integrator, apa yang akan disimpan hanya dari , Mulailah dengan Rumus

de paviliun
maє buti lishe funktsіu .

Kunjungan bagi yang baru pertama kali hadir , dan untuk yang lainnya - masam Saya akan membiasakan diri dengan pengganda integrasi untuk persamaan ini.

Zavdannya 8.4. Bawa harga ke tingkat harga di diferensial utama.

Rana yang terlihat:

Topik 8.2. Persamaan Diferensial Linier

Nilai bisnis 8.5... Diferensial Rivnyanya
disebut garis, karena merupakan barisan fungsi shukano , kasar dan bukan untuk membalas dendam atas pembuatan fungsi shukanoy dan funky.

Tampilan out-of-the-box dari garis diferensial untuk hubungan tersebut:

(8.8)

Yakshcho di spivvidnoshenni (8.8) hak bagian
, Ambil rіvnyannya yang disebut linier satu sisi. Vipadku, jika chastin benar
, Juga disebut heterogen linier.

Akan ditunjukkan bahwa persamaan (8.8) terintegrasi pada kuadratur.

Pada tahap pertama, garisnya satu sisi.

Juga Adil,

;

Ostann spіvvіdnoshennya viznachaє dalam solusi rumah dari garis satu baris rіvnyannya.

Untuk lelucon solusi out-of-the-box dari persaingan heterogen linier, ada cara untuk memvariasikan post-mortem lama. Gagasan metode dalam metode yang berada di luar solusi rivnya linier tidak seragam dalam viglyad itu, seperti dan solusi umum, rivnya baris tunggal, pos protein digantikan oleh fungsi deyako
, nilai scho pidlyagaє. Otzhe, maєmo:

(8.9)

Dalam kasus olahragawan (8.8) virazi,
і
, otrimaєmo

Anda dapat memenangkan viraz terakhir pada pertemuan olahraga (8.9), Anda dapat memenangkan integrasi asing dari persaingan non-seragam linier.

Peringkat seperti itu, solusi out-of-the-box dari linear, ransum non-seragam, ditetapkan oleh dua kuadratur: solusi out-of-the-box dari linear, persaingan satu sisi, dan out- solusi of-the-box dari ransum yang tidak seragam dan tidak seragam.

Zavdannya 8.5. Prointegruvati Rivnyanya