Vektor, njihova moć i díí̈ s njima

Vektori, diy sa vektorima, vektorski prostor linija.

Vektorski poredani po broju i broju brojeva.

Díí̈: 1. Množenje vektora brojem: lambda * vektor x = (lambda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * xn).(3,4, 0, 7) * 3 = (9, 12, 0,21)

2. Preklapanje vektora (da budu u istom vektorskom prostoru) vektor x + vektor y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektor 0 = (0,0 ... 0) --- n E n - n-vimirni (linijski prostor) vektor x + vektor 0 = vektor x

Teorema. U tu svrhu, sistem od n vektora, n-sveta linearnog prostranstvu lopte, obložen je ugarom, potrebno je i dovoljno, samo jedan od vektora u linearnoj kombinaciji.

Teorema. Be-yak sukupn_st n + 1-ti vektor n-svijeta linearni prostor yavl. line folow.

Zbrajanje vektora, množenje vektora za brojeve. Uvesti vektore.

Zbir dva vektora naziva se vektor, koji se ispravlja od klipa vektora do kraja vektora za kraj klipa, od klipa do kraja vektora. Dok su vektori dati osnovnim koordinatama, kada su vektori presavijeni, date koordinate se pohranjuju.

Lako je vidjeti stražnji dio kartezijanskog koordinatnog sistema. Hajde

Pokaži mi, čo

Z Malinka 3 je vidljiva

Zbir bilo kog krajnjeg broja vektora može se znati po pravilu bagatokutnika (slika 4): samo jedno uvo krajnjeg broja vektora, dovoljno je imati jedno uho vektora za napad na kožu sa krajem preostalog vektor, koji će biti posljednji vektor.

Snaga operacije savijanja vektora:

Qih virazah imaju m, n - brojeve.

Razlika vektora se naziva vektor. Drugi dodatak ê je vektor, suprotan vektoru po direktnom, ale po sekundi, po dodatnom.

U ovom rangu, operacija identifikacije vektora je zamijenjena operacijom savijanja

Vektor, čije se uho nalazi na gredi koordinata, a kraj - u tački A (x1, y1, z1) naziva se radijus vektor tačke A i prilično je jednostavan. Oscilacije yogo koordinata su uzete iz koordinata tačke A, Yogh položaja duž orta ma viglyada

Vektor, gdje se uvo u tački A (x1, y1, z1) i kraj u tački B (x2, y2, z2) može upisati u preglednik

de r 2 - radijus-vektor tačke; r 1 je radijus vektor tačke A.

Tom širi vektor na ortama ma viglyada

Yogo dovzhina dorívnyu vídstaní mízh točke A i V

MNOŽENO

Dakle, za svaki ravan problem, vektor na a = (ax; ay) na broju b nalazi se iza formule

a b = (ax b; ay b)

Primjena 1. Znati sabiranje vektora a = (1; 2) sa 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Dakle, za prostrano postrojenje, dodavanje vektora a = (ax; ay; az) broju b nalazi se iza formule

a b = (ax b; ay b; az b)

Primjena 1. Znati sabiranje vektora a = (1; 2; -5) sa 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Skalarni dodatni vektori de - Izrežite mízh vektore í; yaksho abo, onda

Vrijednost skalarnog rješenja,

de, na primjer, ê je veličina vektorske projekcije na vektor.

Skalarni kvadratni vektor:

Moć skalarnog stvaranja:

Skalarni twir u koordinatama

Yaksho onda

Liska mízh vektori

Kut mízh vektori - kut mízh ravni qih vektori (najmanji kut).

Vector twir (Vektor twir dva vektora) pseudovektor, okomit na površinu, podstaknut sa dva množitelja, koji je rezultat binarne operacije "množenje vektora" nad vektorima u trivijalnom euklidskom prostoru. Tvir nije ni komutativan, ni asocijativan (mada je antikomutativan) i prikazuje se kao skalarni dodatni vektori. U slučaju inženjera i fizičara, potrebno je imati vektor koji je okomit na dva očigledna - vektor twir vam daje snagu. Vektorski dodatak je smeđi za "vimíryuvannya" okomitosti vektora - golub vektorskih dodataka dva vektora na putu, jer je smrad okomit, i mijenja se na nulu, jer su vektori paralelni ili antiparalelni.

Vector TV treba da bude lišen trivijalnog i sedmodimenzionalnog prostora. Rezultat kreiranja vektora, poput skalarnog, leži u euklidskom metričkom prostoru.

Na osnovu formula za izračunavanje koordinata vektora u skalaru u trivijalnom pravougaonom koordinatnom sistemu, formula za vektor treba da bude u orijentaciji pravougaonog koordinatnog sistema, odnosno u obliku "kiralnosti"

Broj vektora.

Dva vektora koja nisu nula (nisu jednaka 0) nazivaju se kolinearna, kao da smrad leži na paralelnim pravim linijama ili na jednoj pravoj liniji. Doduše, nije preporučljivo koristiti sinonime - "paralelne" vektore. Kolinearni vektori mogu biti podjednako ravni („pravci“) ili suprotno ravni (u posljednjem slučaju nazivaju se „antikolinearni“ ili „antiparalelni“).

Varijacija vektora ( a, b, c)- skalarno sabiranje vektora a vektorskim sabiranjem vektora í b í c:

(a, b, c) = a ⋅ (b × c)

Jedan od njih se zove treći skalarni vektorski proizvod, ali kroz njih rezultat je skalar (tačnije - pseudoskalar).

Geometrijski zm_st: Modul promjene u kreiranju numerički povezanog paralelepipeda, odobren od strane vektora (a, b, c) .

Snaga

Zmíshane tvír je koso-simetričan u odnosu na sve svoje argumente: v. To jest, preuređenje dva množenja nalik je znak stvaranja. Izgleda kao displej, tako da Zimshaniy dobutok u pravom Dekartovom koordinatnom sistemu (u ortonormalnoj osnovi) do dizajnera matrice, presavijenog u vektore:

Količina promjene u lijevom Dekartovom koordinatnom sistemu (u ortonormalnoj bazi) je za dizajner matrice, presavijena vektorima i uzeta sa predznakom minus:

Zokrem,

Ako su dva vektora paralelna, onda ako će treći vektor smrada popraviti promjene tvira, tada će biti nula.

Postoje tri vektora linearne ugare (tako da koplanarni, leže na istoj površini), a promjene temperature nula.

Geometrijski zmíst - Zmíshane tvir iza apsolutnih vrijednosti paralelepipeda (božanskih mališana), fiksiranih vektorima í; znak da leži u pravcu onog u kojem su tri vektora u desnoj ruci.

Vektori usklađenosti.

Tri vektora (ili više) nazivaju se komplanarnim, jer smrad, sveden na klip, leži u istom području

Koplanarnost snage

Ako želite da jedan od tri vektora bude nula, onda tri vektora mogu biti komplanarna.

Tri vektora, kako osvetiti par kolinearnih vektora, je komplanarno.

Zmíshane tvír koplanarni vektori. Tse - kriterij komplanarnosti tri vektora.

Kompliantni vektori - linija ugar. Cijena je također kriterij za komplanarnost.

U prostoru 3 svijeta, 3 nekoplanarna vektora postavljaju osnovu

Linearni i linearni nezavisni vektori.

Linearni i nezavisni sistemi i vektori.Viznachennya... Sistem vektora se zove line-fall ako postoji jedna netrivijalna linija linija ovih vektora, koja je pogodna za nulti vektor. Inakse, tobto. kako je samo trivijalna kombinacija linija ovih vektora u smjeru nultog vektora, vektor se zove linearno nezavisna.

Teorema (kriterijum loze)... Za tu svrhu, sistem vektora u linijskom prostranstvu usamljene ugare, neophodan je i dovoljan, ali uzmite jedan od ovih vektora u linijskoj kombinaciji drugih.

1) Ako sredina vektora ê želi jedan nulti vektor, onda je ceo sistem vektora ê linearan.

Istina, ako je, na primjer, onda vazhayuchi, najnetrivijalnija linearna kombinacija.

2) Ako je u sredini vektora sistem instaliran red po red, onda je ceo sistem iscrpljen.

Zaista, hej vektori, lyno pustinje. Takođe, linearna kombinacija nije trivijalna, ali ide u nulti vektor. Ale todí, gadayuchi Takođe je netrivijalan za linearnu kombinaciju, jednaku nultom vektoru.

2. Osnova i veličina. Viznachennya... Sistem linearnih nezavisnih vektora vektorski prostor koji treba pozvati osnovu Ima puno prostora, kao da bi bilo koji vektor mogao biti reprezentacija u pogledu linearne kombinacije vektora u cijelom sistemu, tobto. za vektor kože pročitajte brojeve tako, scho maê misce ravnist Tsya ravnist da se zove vektorska distribucija iza osnove i brojeva nazovi sebe koordinate šodo vektora bazi(abo u bazi) .

Teorema (o uniformnosti širenja po bazi). Kozhen vektor se može lako rasporediti na osnovu. êin rang, tobto. koordinate skin vektora u osnovi viznachayutsya nedvosmisleno.

Zavdannya 1. Z'yasuvati, čiji je sistem vektora linearno kvadrat. Sistem vektora je postavljen matricom sistema, koji se pohranjuju iz koordinata vektora.

.

Odluka. Započnite kombinaciju linija put do nule. Nakon što smo zapisali qiu ekvivalentnost na koordinatama, možemo prepoznati taku sistem ekvivalenata:

.

Takav sistem rivljana naziva se trikut. Vona maê dine ríshennya ... Otzhe, vektor Linearni kvadrat

Zavdannya 2. Z'yasuvati, chi je linearni nezavisan sistem vektora.

.

Odluka. Vector Linearni kvadrat (Div. Problem 1). Doneseno do vas, vektor je linearna kombinacija vektora ... Karakteristike distribucije za vektore iz sistema ryvnyany

.

Qia sistem je jak trikutna maê udine ríshennya.

Otzhe, sistem vektora linearni ugar.

Poštovanje... Matrice, ovog oblika, kao u zadatku 1, se nazivaju trikutnimi , i problem 2 - lukav ... Ishrana loze sistema i vektora je lako uočljiva, jer je matrica složena iz koordinata ovih vektora i često je nezgodna. Ako matrica nije manje posebna za oko, onda za pomoć elementarno prepravljanje redova , Tako da možete uzeti omjer između linija i strana između 100%, i možete ga dovesti do lukavog nadzora.

Elementarne transformacije redova matrice (EPS) se nazivaju napredne operacije na matrici:

1) preuređivanje redova;

2) Više redova na broju od nule;

3) dodavanje u red ínshy reda, pomnoženo određenim brojem.

Zavdannya 3. Poznajte maksimalni linearno kvadratni podsistem i izračunajte rang sistema i vektora

.

Odluka. Vođen matricom sistema, iza pomoći NPS-a, do skid-tricut pogleda. Objasnite redoslijed matrice, red sa brojem matrice, koji je transformiran, smislen simbolom. Na sto puta su strelice prikazane iznad redova matrice, što je neophodno da bi posetilac odbio redove nove matrice.

.

Očigledno je da su prve dvije stotine obrubljenih matrica linearno nezavisne, treća stotina je linearna kombinacija, a četvrtine ne leže u prve dvije. Vector nazivaju se osnovnim. Miris je postavio maksimalno linearno nezavisan sistemski podsistem , A rang sistema je tri.

Osnova, koordinate

Zavdannya 4. Znati osnovu i koordinate vektora u cijeloj bazi na neograničenim geometrijskim vektorima čije koordinate .

Odluka... Bagato je područje koje prolazi kroz klasu koordinata. Pouzdanu osnovu na području skladišta čine dva nekolinearna vektora. Koordinate vektora na bazi vibranoma počinju kao međusobno povezani sistem linearnih poravnanja.

Ovo je najosnovniji način prikaza podataka, ako možete znati osnovu za koordinate.

Koordinate prostranost ê koordinate na području, komadi su vezani to nije ê kvadrat. Nezalezhní vínní í (smrdi se zovu vílny) nedvosmisleno viznachayut vektor na području í, također, može se odrediti koordinatama u. Todi base leže u vektorima, tako da leže u istim skupovima vilny і , tobto.

Zavdannya 5. Znati bazu i koordinate vektora na istoj osnovi na velikim vektorima na otvorenom prostoru, na kojima su nesparene koordinate jednake sebi.

Odluka... Viberemo, kao u zadacima u prvom planu, koordinira na otvorenom prostoru.

Tako jak onda velike promene nedvosmisleno pokrenuti vektor i, također, ê koordinate. Opća osnova je pohranjena u vektorima.

Zavdannya 6. Znati osnovu i koordinate vektora u cijeloj bazi na osnovu svih matrica u obliku , de - Dobri brojevi.

Odluka... Matrica kože s je nedvosmisleno predstavljena u pregledniku:

Cijena distribucije do distribucije vektora iz baze
sa koordinatama .

Zavdannya 7. Znati veličinu i osnovu linearne ljuske sistema i vektora

.

Odluka. Može se rekonstruisati uz pomoć EPN matrice od koordinata vektora sistema do često triktivnog pogleda.

.

Stovptsí ostatak matrice je linearno nezavisan, ali sto okrenite se linearno preko njih. Otzhe, vektor uspostaviti osnovu , і .

Poštovanje... Osnova y vibriraju dvosmisleno. Na primjer, vektori takođe postaviti osnovu .

Sistem vektora se zove line-fall, ako postoje takvi brojevi, sredina bi željela da se vidi od nule, da pokaže paritet. >.

Kao i paritet vidljivosti samo na isti način, ako je sve, onda će se sistem vektora zvati linearno nezavisna.

Teorema. Vektorski sistem u bude line-fall ako je potreban samo jedan od vektora u linearnoj kombinaciji njih.

dionica 1. Bagatochlen ê linijska kombinacija prtljaga. Prtljaga postaje linearni kvadratni sistem, kao što je https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif "width =" 129 "height =" 24 ">.

dionica 2. Sistem matrica, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif "width =" 51 " .ru / text / 78/624 / images / image019_27.gif "width =" 69 " visina =" 21 "> /images/image022_26.gif" širina = "40"

Odluka.

Moguće je poređati kombinaciju ovih vektora https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif "22">.

S obzirom na iste koordinate istih vektora, možemo prihvatiti širinu = "289" visina = "69">

Preostali mj

і

Sistem može biti samo trivijalniji, tako da je kombinacija linija ovih vektora nula, ako su sve performanse nule. Tom s obzirom na sistem vektor_u liniji-ravno.

dionica 4. Nezavisna od vektorske linije. Sistemi i vektori

a).;

b).?

Odluka.

a). Lako je poravnati kombinaciju i jednaku nuli

Vikoristovuyu moć operacija s vektorima u linearnom prostoru, prepisan ostatak jednakosti viglyadí

Dakle, kako je vektor linearno nezavisan, onda će efikasnost biti nula, pa će biti gif.

Otriman sistem rívnyan maê udine trivijalne ríshennya .

Oskílki ravníst (*) vikonuêtsya samo kada - linearno nezavisno;

b). Vrijednost skladišta https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif " (**)

Zastosovyuchi analogni mirkuvannya, otrimaêmo

Virishuchi sistem rivljana po Gausovoj metodi, otrimaêmo

abo

Preostali sistem može biti bez rješenja https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif "width =" 149 "height =" 24 src = "> vikonute ravnist (**) ... Otzhe, sistem vektora - Linearni ugar.

Guza 5 Vektorski sistem je linearan, a vektorski sistem je linearan. gif. (***)

U smirenosti (***) ... Dyysno, sistem metka nije usamljen.

Zí spívvídnoshennya (***) otrimmo abo Značajno .

Otrimaêmo

Zavdannya for nezavisno rešenje(u gledalištu)

1. Sistem, koji je u stanju da osveti nulti vektor, je linearno zapušten.

2. Sistem koji se može pohraniti iz jednog vektora a, linearno je pao, ako samo, ako, a = 0.

3. Sistem, koji se može pohraniti u dva vektora, linearno pada na oba i samo todi, ako su vektori proporcionalni (tako da jedan od njih dolazi iz višekratnika u broj).

4. Čim postoji linearni ugar sistem i daje vektor, onda se vidi linearni ugar.

5. Iako je linijski sistem vidio vektor, sistem vektora pravolinijskih je izvučen.

6. Yaksho sistem S loza nije ugar, ali postaje linearna ugar kada se doda vektor b, zatim vektor b rotirati linearno kroz vektore sistema S.

c). Sistem matrica ima drugačiji redoslijed matrica.

10. Hajde sistem vektora a,b,c vektorski prostor je linearno kvadrat. Da dovedemo liniju nezavisnosti ofanzivnih vektorskih sistema:

a).a +b, b, c.

b).a +https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif "width =" 15 "height =" 19 "> - priličan broj

c).a +b, a + c, b + c.

11. Hajde a,b,c- tri vektora na površini, na tom broju možete imati tricikl. Hoće li qi vektori biti napušteni?

12. Zadana dva vektora a1 = (1, 2, 3, 4),a2 = (0, 0, 0, 1)... Dodajte dva chotirivimirna vektora a3 taa4 dakle, schob sistem a1,a2,a3,a4 Linearni trg Bula .

Viznachennya. Linija kombinacija vektora a 1, ..., a n sa parametrima x 1, ..., x n naziva se vektor

x 1 a 1 + ... + x n a n.

trivijalan jer su sve performanse x 1, ..., x n jednake nuli.

Viznachennya. Kombinacija linija x 1 a 1 + ... + x n a n se zove netrivijalan, ako želite b jedna od funkcija x 1, ..., x n nije prikladna za nulu.

linearno nezavisna, jer ne postoji netrivijalna kombinacija ovih vektora u istom nultom vektoru.

To jest, vektori a 1 ..., a n linearno nezavisni kao x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 todi i samo todi, ako je x 1 = 0, ..., x n = 0.

Viznachennya. Vektori a 1, ..., a n se nazivaju linearni ugar to je također netrivijalna kombinacija ovih vektora u smjeru nultog vektora.

Snaga linearnih vektora ležanja:

Za 2 i 3 svjetska vektora.

Dva reda vektor ugar- kolinearno. (Kolinearni vektori - linearni ugar.).

Za tri svetska vektora.

Tri linearna leđna vektora - komplanarna. (Tri komplanarna vektora - prazna linija.)

• Za n-dimenzionalne vektore.

  n + 1 vektor u zavisnosti od linije.

Stavite zgradu na liniju ugarosti i liniju na liniju vektora:

Dodatak 1. Pretvorite vektore a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) linearno nezavisne.

Odluka:

Vektori će biti linearno zapušteni, postojaće određena razlika u veličini vektora za broj vektora.

Dodatak 2. Pretvorite vektore a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) linearno nezavisne.

Odluka:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

iz prvog reda drugog; do trećeg reda dodamo ostalo:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Ova odluka će pokazati da sistem može biti bez rješenja, tako da nije nulta kombinacija vrijednosti brojeva x 1 x 2 x 3 kao što je linearna kombinacija vektora a, b, c prema nultom vektoru, npr. :

A + b + c = 0

a tse znači vektori a, b, c linija.

Pogledaj: vektori a, b, c linearno zapušteni.

Dodatak 3. Pretvorite vektore a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) linearno nezavisne.

Odluka: Znamo vrijednost performansi za bilo koju linijsku kombinaciju ovih vektora u smjeru nultog vektora.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Cijena vektora može se zabilježiti u viglyadi sistemu linearnog rivna

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

Virishimo qiu sistem vikoristovuči metodom Gaus

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

iz drugog reda vídnímemo; Iz trećeg reda, prije svega:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

iz prvog reda drugog; do trećeg reda dodamo je drugačije.

To je iscrpljivanje loze linijska nezavisnost vektor
Vektorske baze. Afina koordinatni sistem

U gledalištu su čokolade, a ostavljeno je i par sladića za kožu. Ovaj statut će biti razbijen u dva dijela odjednom odlična matematika, i pitamo se, kako se smrad navikne na jedan obgorttsi. Stani, z'yzh "Tvix"! ... malo, pa, super-link. Ako hoću da garazdujem, neću da udaram, hoću, za sada, imaću pozitivan stav.

Linearni depoziti vektora, vektori nezavisnosti linija, baznih vektora isti pojam ne može biti samo geometrijska interpretacija, ale, prvo za sve, algebarski smisao. Samo razumijevanje "vektora" iz pogleda linearne algebre daleko je od toga da ovisi o tom "ekstravagantnom" vektoru, koji možemo vizualizirati na širokom području. Nema potrebe tražiti dokaz, pokušajte simulirati vektor prostora. ... Za vektor, sačekajte minut, nakon odlaska u Gismeteo: - temperatura je očigledna. Očigledno, kundak nije ispravan sa stanovišta snage vektora prema prostranstvu, ne ograđuje date parametre vektorom. Dikhannya jesen.

Zdravo, neću te zadirkivati ​​teorijom, linearnim vektorskim prostorima, zavdannya polyagaê u tome inteligencija po teoremi. Novi pojmovi (loza ugarosti, nezavisnost, loza kombinacije, osnova itd.) dolaze do svih vektora sa stanovišta algebre, ali ako postoje geometrijski podaci. U takvom rangu sve je jednostavno, dostupno je ručno. Kreiranje analitičkih geometrija može se shvatiti kao tipovi algebre. Za savladavanje gradiva bazhano proučite lekcije Vektori za čajnikeі Koji je jak tamo?

Linearna zaleđenost i ravnost vektora u prostoru.
Osnova područja i afinni koordinatni sistem

Područje vašeg kompjuterski sto(samo sto, noćni ormarići, pidloge, stele, ko bi trebao biti). Zavdannya polyagatime u ofanzivnim događajima:

1) Vibrirajte osnovu područja... Otprilike, to je stil dizajna i širina, intuitivno je inteligentan, ali su potrebna dva vektora da se stvori osnova. Jedan vektor očigledno nije dovoljan, tri vektora su posuđena.

2) Na osnovu obrnute osnove postaviti koordinatni sistem(koordinatna mreža), za dodjelu koordinata svim objektima koji se nalaze na stolu.

Nemojte se čuditi, neka objašnjenja će vam biti na prstima. I na tvojoj. Budite nežni, molim vas treći prst lijeve ruke do ivice zida, pa se začudio monitoru. Tse bude vektor. Sada molim komadić desne ruke na ivici stola, tako je samodovoljna. Tse bude vektor. Nasmiješite se, divno vidite! Možete li mi reći o vektorima? Dani vektori kolinearno, što znači linija okreći jedan po jedan:
, pa, chi navpaki:, de - deyake broj, vidi se kao nula.

Možete pogledati sliku cijele akcije na urotsi Vektori za čajnike de I objašnjavajući pravilo množenja vektora brojem.

Kako će vaši prsti postaviti osnovu na površinu kompjuterskog stola? Očigledno ne. Kolinearni vektori za porast cijene tudi-syudi jedan ravno, a površina je jednaka širini.

Imenujte takve vektore linearni ugar.

Dovidka: Riječi "prava", "prava" označavaju ono što matematičari imaju u matematici, to su mali kvadrati, kocke, stepenice, logaritmi, sinusi. Ê samo loza (1. faza) je narušena i zapuštena.

Dvije vektorske oblasti linearni ugar todi i tilki todi, ako je smrad kolinearan.

Stavite prste na stolove, tako da između njih budete kao rezna ivica 0 ili 180 stepeni. Dvije vektorske oblastilinija ne pusti u tome i ako nije bitno, jer smrad nije kolinearan... Otzhe, osnova je obrezana. Nema potrebe da se sklonite, ali osnova vijša je "pokošena" neupravnim vektorima rasta. Nije jeftino, ali ne samo za 90 stepeni, i ne samo za jedan, već i za drugi vektor.

Budite poput vektorsko područje êin rank rasporediti na osnovu:
, de - brojevi. Zovu se brojevi vektorske koordinate u celoj osnovi.

Tako izgleda vektorviews at viglyadí kombinacija linija baznih vektora... Tobto viraz call vektorska distribucijana osnovu abo kombinacija linija bazni vektori.

Na primjer, možete reći da je vektor širenja iza ortonormalne osnove površine, ali možete reći da nema prikaza linearne kombinacije vektora.

ja ću formulisati bazna vrijednost formalno: Osnova područja par linearno nezavisnih (nekolinearnih) vektora, , u isto vrijeme biti poput Vektor područja je linearna kombinacija osnovnih vektora.

U isto vrijeme, činjenica da su vektori uzeti red pjevanja... Basisi - postoje dvije potpuno različite baze! Čini se da se čovječuljak njegove lijeve ruke ne pomiče na malom dijelu male ruke desne ruke.

Na osnovu razvoja, iako neadekvatnog, postavite koordinatnu mrežu i dodijelite koordinate skin objektu vašeg kompjuterskog stola. Šta je zaboravljeno? Vektori su divlji i cvjetaju po cijelom području. Kako možemo dodijeliti koordinate ovim malim, grubim tačkama na stolu, pošto su izgubili razum? Potrebna ažurna kontrola. A takav raspored je svima poznat - klip koordinata. Bira se iz koordinatnog sistema:

Čitaću o "školskoj" organizaciji. Već na uvodnom času Vektori za čajnike Vidim deyakí vídminností mízh pravougaoni koordinatni sistem i ortonormalnu osnovu. Standardna slika osi:

Ako pričate o pravougaoni koordinatni sistem, tada najčešće postoji klip koordinata, koordinatne osi i skala duž osa. Probaj da ukucaš "pravolinijski koordinatni sistem" u ozvučenje, pa ćeš reći koliko ćeš ti reći o poznavanju 5-6. klase koordinatnih osa io tome, kako se stavljaju tačke na površinu.

S druge strane je neprijatelj, ali je pravolinijski koordinatni sistem u cijelosti moguć kroz ortonormalnu osnovu. Í tse mayzhe so. Formula je sljedeća:

klip koordinata, і ortonormacije postavljena osnova pravougaoni kartezijanski koordinatni sistem oblasti ... Tobto pravougaoni koordinatni sistem nedvosmisleno i počnite s jednom tačkom i dva pojedinačna ortogonalna vektora. Za isto, bachite fotelju, kako sam nakalemio više - u geometrijski problemičesto (ne čekajte) slikajte í vektori, í koordinatne ose.

Mislim da je sva inteligencija, iza dodatne tačke (kod koordinata) i ortonormalne osnove BE-YAKI POINT područja i BE-YAKI VEKTOR područja možete dodijeliti koordinate. Slikovito rečeno, "sve se može numerisati na kvadratu".

Jesu li koordinate vektora jednostruke? Ne, smrad može namirisati majku vina različitog od nule. Možete vidjeti tačku i dva ortogonalna vektora unaprijed ne-nulte predrasude:

Takva osnova se zove ortogonalno... Grupa koordinata sa vektorima postavlja koordinatnu mrežu, bilo da je to tačka područja, bilo da vektor može pronaći svoje koordinate u datoj bazi. Na primjer, abo. Očigledno, polaritet nije gladak u činjenici da je koordinatni vektor u galantnu vipadku Neka uspon prilike, promjena iz jednog u drugi. Čim trebate podesiti jedinicu, tada biste trebali koristiti osnovnu ortonormalizaciju.

! Bilješka : u ortogonalnoj osnovi, kao i niže u afinoj osnovi površine i prostor istih duž osi vvazayutsya MOVE... Na primjer, u jednoj jedinici duž apscisne ose iznosi 4 cm, u jednoj jedinici duž ose ordinata 2 cm.

A druga hrana, s druge strane, sa druge strane, pogled je već sigurno dat - šta je to sa ligamentom između baznih vektora i 90 stepeni? Ní! Jak za smanjenje vrijednosti, osnovni vektori su ispravni ako ne kolinearno... Po pravilu, rez može biti jak, osim za 0 i 180 stepeni.

Tačka područja, jak koji se zove klip koordinata, і nekolinearno vektor, , pitaj koordinatni sistem područja :

Inodi taku koordinatni sistem se zove koso sistem. Jak je stavio na stolicu slike tačaka i vektora:

Kako rozumíête, afini koordinatni sistem je manje lak, ne koriste formule za vektore i vídrízkív, kao što su gledali u drugom dijelu lekcije Vektori za čajnike, bogato slane formule, povezane sa skalarni vektorski vektori... Tada su pravila za savijanje vektora i množenje vektora brojem tačna, formule se koriste u datoj prezentaciji, kao i one vrste zgrada koje su lako vidljive.

A visnovok je takav, da ćemo koristiti najbolji pristup u obliku afinog koordinatnog sistema je Dekartov pravolinijski sistem. Taj í̈í̈, ​​rođen, najčešće i donosi bachiti. ... Međutim, sve je u čitavom životu podnošljivo - malo je situacija u kojima je predreka sama po sebi koso polar) koordinatni sistem. Ta vrsta humanoidnog sistema može doći do gušta =)

Prelazimo na praktični dio. Napori da se nauči iz date lekcije su kao pravougaoni koordinatni sistem, tako revnosno afino vypadku. Ovdje nema preklapanja, sav materijal je dostupan školarcu.

Koliki je broj vektora u tom području?

Typova p_ch. Za dva vektora površine boules kolinearni, neophodni i dovoljni, ali su date koordinate proporcionalne... U stvari, postoji koordinatni detalj očiglednog odnosa.

zadnjica 1

a) Revizija, kolinearni vektori .
b) Chi postavlja osnovu vektora ?

Odluka:
a) Z'yasuêmo, chi isnu za vektore efikasnost proporcija, kao što su one za koje se pokazalo da su jednake:

Obov'yazkovo rozpovim o "pizhonskom" tipu skladištenja pravila, koje u praksi potpuno preskačem. Ideja \ u200b \ u200bpolagê je da ga jednostavno presavijete proporcionalno i budete zadivljeni ako je istina:

U smislu proporcije datih koordinata vektora:

Brzo:
, u takvom rangu, s obzirom na koordinate proporcija, isto,

Kapak se može postaviti na krevet i navpaki, cijena je jednaka sljedećem:

Za samoreviziju moguće je iskoristiti one koji su kolinearni vektori linearno rotirani jedan kroz jedan. Imam mnogo problema ... Hya justice se lako okreće kroz elementarne diy vektore:

b) Dva vektora površine uspostavljaju osnovu, jer je smrad kolinearan (linearni kvadrat). Doslidzhuêmo o vektoralnosti ... Sistem zaliha:

Za prvog vipliviana, za drugog vipliva za drugog, za, oh, sistem je lud(Rishen je glupa). Dakle, koordinate vektora nisu proporcionalne.

Visnovok: vektorski neovisan i postaviti osnovu.

Verzija rješenja viglyad je pojednostavljena na sljedeći način:

Sa udjelom izvedenih koordinata vektora :
, Otzhe, ci vektori linearno nezavisni i postavljaju osnovu.

Imenujte ovu opciju da biste odbacili recenzente, avaj, problem je u vipadima, ako su koordinate nula. Osa je ovako: ... Za ovo: ... Za ovo: ... Jak ovdje za djecu kroz proporcije? (Istina, nulto vrijeme nije moguće). Upravo iz tog razloga, oproštenu odluku sam nazvao "pižonski".

Pogledaj: a), b) potvrditi.

Mala kreativna guza za nezavisnu verziju:

zadnjica 2

Za bilo koji dati parametar, vektor biti kolinearan?

U slučaju rješenja, parametar je poznat kroz proporciju.

Osnovna metoda preciziranja je metoda algebre inverzije vektora u linearnost.

Za dva vektora u području jednakom početku čvrstoće:

2) vektorski skup osnove;
3) vektor nije kolinearan;

+ 5) dizajner forme, preklopi iz koordinata datih vektora, pogled od nule.

U stvari, Ekvivalentni početak zastarjele čvrstoće:
1) vektor linije ugar;
2) vektori ne postavljaju osnovu;
3) vektor kolinear;
4) vektor se može linearno poremetiti jedan kroz jedan;
+ 5) dizajner forme, dodaci iz koordinata datih vektora, na nulu.

Ja to još uvijek mogu Daniy moment već imate inteligenciju svih pojmova, koji su stvoreni i ojačani.

Izveštaj je jasan, novi paragraf: dva vektora površine kolinearni todi i samo todi, ako je dizajner, dodaci iz koordinata datih vektora, na nulu:. Za uspostavljanje osjećaja znanja, naravno, potrebno je vidjeti biznismeni znaju.

Virishimo Kundak 1 na drugačiji način:

a) Numerička vrijednost za sabiranje koordinata vektora :
, također, ci vektori su kolinearni.

b) Dva vektora površine uspostavljaju osnovu, jer je smrad kolinearan (linearni kvadrat). Brojčani oznaka, dodavanje koordinata vektora :
, Otzhe, vektori su linearno nezavisni i postavljaju osnovu.

Pogledaj: a), b) potvrditi.

Viglyada znači kompaktan i sladak, a ne rješenje s proporcijama.

Uz pomoć viđenog materijala moguće je utvrditi broj vektora, te dovesti paralelnost pravaca, ispraviti. Vidi se nekoliko zgrada specifičnih geometrijskih oblika.

zadnjica 3

Dato na vrh čotirikutnika. Donesite, chotirikutnik je paralelogram.

Dovedennya: Stolica u zadacima neće biti potrebna, neka rješenja će biti čisto analitička.
Paralelogram nazvati čotirikutnik, kod kojeg su suprotne strane paralelne u parovima.

Uz ovaj čin potrebno je ponijeti:
1) paralelizam drugih strana;
2) paralelizam drugih strana.

Očigledno:

1) Znamo vektor:

2) Znamo vektor:

Vijšov je isti vektor ("po školi" - jednaki vektori). Kolinearnost je još očiglednija, ali je rješenje ipak ljepše urediti kako treba, sa rasporedom. Numerički oblik, dodavanje koordinata vektora:
, Otzhe, ci vektori su kolinearni, tj.

Visnovok: Protiležne strane čotirikutnika su paralelne u parovima; Potrebno je doneti.

Još figura dobrih i mladih ljudi:

zadnjica 4

Dato na vrh čotirikutnika. Donesite čotirikutnik na trapez.

Za suvornu osobu, dokažite formulu ljepše, zlobnije, maknite se s puta trapeza, i samo je završite i samo pogodite, kao viglyad.

Tse zavdannya nezavisno rješenje. Izvan rješenja za lekciju.

A sada, nakon sat vremena instrukcija, polako se pomaknite od trga do prostranstva:

Koliko vektora postoji u svemiru?

Pravilo je skoro isto. Da bi dva vektora bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da koordinate budu proporcionalne.

Guza 5

Z'yasuvati, gdje će kolinear biti na putu ka prostranstvu:

a);
b)
v)

Odluka:
a) Revidirati, gdje je koeficijent proporcionalnosti za vanjske koordinate vektora:

Sistem nije projektovan jer vektori nisu kolinearni.

"Sproshchenka" je napravljena u preokretu proporcija. U ovoj vipadku:
- prikazane koordinate nisu proporcionalne, ali vektor nije kolinearan.

Pogledaj: vektor nije kolinearan.

b-c) Tse tačke nezavisnog rješenja. Pokušajte ga dizajnirati na dva načina.

Osnovna metoda pretvaranja prostranih vektora u linearnost i preko visnatnika trećeg reda; Vector tvir vector_v.

Slično ravnom pogledu na alate, može stagnirati zbog načina na koji se nastavlja paralelizam prostranih pogleda i pravih linija.

Molimo Vas za još jednu diskusiju:

Linearnost i nezavisnost vektora u trivijalnom prostoru.
Prostrana osnova i afina koordinatni sistem

Mnogo pravilnosti, kako su posmatrali područje, biće pošteno i prostrano. Pokušao sam da minimiziram apstrakt iz teorije, dio lijevog dijela informacija je već ukorijenjen. Tim nije najmanje, preporučujem da s poštovanjem pročitate uvodni dio, na par trenutaka da se pojave novi pojmovi i shvatite.

Sada promijenite područje računala na sto dok ne postane trivijalan prostor. Sa setom topivih osnova. Nekoga se odjednom nađe na selu, ponekad na ulici, ali u svakom slučaju ne bismo mogli proći kroz tri puta: širinu, povećanje i povećanje. Za indukciju baze potrebna su tri prostora vektora. Jedan ili dva vektora nisu dovoljni, četvrtine su male.

Znam da rastem na prstima. Budite nežni, stavite ruku gore-dole i ispružite svoje strane super, super srednji prst ... Biće vektor, smrad čuda na malim stranama, možda će biti malo ukusniji, a možda i malo lepši. Razmišljam, osnova gotovih stvari koje su trivijalne za otvoreni prostor! Prije govora nije potrebno demonstrirati iste pobjede, jer ne vrtite prste, ali sa stanovišta nećete nigdje stići =)

Mnogo važnije od hrane, be-kao tri vektora će uspostaviti osnovu trivijalnog prostora? Budite ljubazni, schílno stisnite tri prsta na zid kompjuterskog stola. Kako je to postalo? Tri vektora su istresena u istom prostoru, a, otprilike, izgleda, imamo jedan od njih - visinu. Takvi vektori ê komplanarno i općenito je očito da se osnova trivijalnog ne uklapa u prostor.

Dakle, to znači da niko koplanarni vektori ne mogu ležati u blizini iste oblasti, mogu se kretati blizu paralelnih područja (samo da bi bili robusni sa vašim prstima, pa je Salvador Dal bio lišen toga =)).

Viznachennya: vektor je imenovan komplanarno kao ravna površina kao smrad paralela. Ovdje je logično dodati, ako takva oblast nije vidljiva, tada vektor neće biti komplanaran.

Tri koplanarna vektora su uspostavljena na linijskoj osnovi da se uvijaju jedan po jedan na linearni način. Radi jednostavnosti, dozvoljeno je da smrad leži na istom području. Na prvom mjestu, vektori su, osim toga, koplanarni, mogu biti kolinearni, tako da bilo koji vektor može biti narušen kroz bilo koji vektor. S druge strane, ako, na primjer, vektori nisu kolinearni, onda se treći vektor rotira kroz njih u jednom rangu: (i od koga je lako tražiti materijale na prednjem dijelu).

Pošteno je da je kolovođa čvrst: tri nekoplanarna vektora se uspostavljaju red po red, kako se ne bi savijali jedan za drugim. I, očigledno, samo takvi vektori mogu uspostaviti osnovu trivijalnog prostora.

Viznachennya: Osnova trivijalnog prostora nazvati trolinijski linearni (nekomplanarni) vektori, uzeo iz reda pjevanja biti poput vektorskog otvorenog prostora êin rank za proširenje na datoj bazi, de koordinate vektora u datoj bazi

Pretpostavljam da se može reći i da je vektor reprezentacija u viglyadu kombinacija linija bazni vektori.

Koncept koordinatnog sistema uveden je na način da je za ravan pogled dovoljna samo jedna tačka, bilo da postoje tri linearno nezavisna vektora:

klip koordinata, і nekoplanarni vektor, preuzeto iz reda pjevanja, pitaj afini koordinatni sistem trivijalnog prostora :

Očigledno, koordinatna mreža "pletenica" nije baš zgodna, ali nam je koordinatni sistem dozvoljen nedvosmisleno Dodjeljivanjem koordinata bilo kojeg vektora i koordinata bilo koje tačke prostoru. Slično području, u afinom koordinatnom sistemu, prostranstvo se ne odnosi na formule, o čemu sam već zgaduvao.

Koristićemo nybilsh i zgodno ograničenje u afinom koordinatnom sistemu ê pravougaoni koordinatni sistem:

Pokažite na otvoreni prostor, jak koji se zove klip koordinata, і ortonormacije postavljena osnova prostor kartezijanskog pravougaonog koordinatnog sistema ... Upoznajte sliku:

Prije Tima, kako ići do praktičnih zgrada, znam sistematizovane informacije:

Za tri vektora u prostoru, isto vrijedi:
1) vektorska linija;
2) vektorski skup osnove;
3) vektori nisu komplanarni;
4) vektor se ne može linearno poremetiti jedan kroz jedan;
5) dizajner forme, dodaci koordinata zadatih vektora, pogled od nule.

Protylezhní vyslovlyuvannya, pretpostavljam, zrízuílí.

Tradicionalno se mijenja linija upadljivosti/nezavisnosti vektora na otvorenom prostoru za dodatnog posjetitelja (stav 5.). Ti, izgubio si se praktičan rad su algebarskog karaktera. Vrijeme je da igrate geometrijski ključ na cvijeću i upravljate linearnom algebrom s bejzbol palicom:

Tri vektora prostora komplanarni todi i samo todi, ako je dizajner, dodavanje koordinata datih vektora, na nulu: .

Završavam svoje poštovanje prema maloj tehničkoj nijansi: koordinate vektora se mogu napisati ne samo na sto, već i na redove (značenje dizajnera se ne može promijeniti - božanska moć dizajnera). Ale nagato je ljepši na sto pedeset, izgledi su tse vigidnish za oslobađanje praktičnih radnika.

Tim čitaoci, poput trojki, izgubili su iz vida metode izrade vizitkarti, a možda od njih malo koristi, preporučujem jednu od mojih najstarijih lekcija: Koji je jak tamo?

zadnjica 6

Revidirajte, da biste uspostavili osnovu trivijalnog prostora takvih vektora:

Odluka: Zapravo, sve odluke se donose prije plaćanja

a) Kvantitativno je izračunati oblik nabora iz koordinata vektora (oblik rezultata u prvom redu):

, Otzhe, vektori su linearno nezavisni (ne komplanarni) i postavljaju osnovu trivijalnog prostora.

Pogled: dati vektori postavljaju osnovu

b) Tačka nezavisnog rješenja. Izvan odluke, to je kao lekcija.

Pijenje i kreativni rad:

zadnjica 7

Za koju vrijednost parametra će vektor biti komplanaran?

Odluka: Vektor komplanarni todi i samo todi, ako je dizajner, dodavanje koordinata ovih vektora putu je nula:

Naime, potrebno je registrirati se kod visnatnika. Nalítaêmo na nuli yak shulíki za jerboas - posjetitelj za navigídníshe razkriti u drugom redu i odmah se riješiti minusa:

Izvedeno za malu pomoć i može se učiniti sve do najjednostavnije linije:

Pogled: at

Ovdje je lako napraviti zabludu, za koju je potrebno prikazati oduzetu vrijednost od vihidnog viznačnika koji se perekonatisya, tako da otvarajući ga iznova.

Na kraju samo jedan type zavdannya Više je algebarske prirode i tradicionalno se uključuje prije kursa linearne algebre. Zidovi su prošireni, što je zaslužno za okremiy topic:

Dovedite 3 vektora u bazu trivijalnog prostora
koji znaju koordinate 4. vektora u datoj bazi

zadnjica 8

Dat je vektor. Pokazati da vektor postavlja osnovu trivijalnog prostora i poznaje koordinate vektora na istoj bazi.

Odluka: Pregršt motika iz uma Za um je dat chotiri vektor, í, yak bachite, smrdi su još uvijek u koordinatama u deyakom bazi. Yaky tse osnova - nismo lukavi. I tsíkavit taka rích: tri vektora u jednom komadu mogu uspostaviti novu osnovu. Prvi korak u početku izgradnje na rješenjima Dodatka 6, potrebno je preispitati, a vektor je linearno ispravan:

Numerički oblik, dodavanje koordinata vektora:

, Otzhe, vektori su linearno nezavisni i postavljaju osnovu trivijalnog prostora.

! Važno je : koordinate vektora obov'yazkovo zapiši na sto viznačnik, a ne u redovima. To će biti lopov u lažnom algoritmu za vezu.