Vizit karta za linearne vektore ulova. Osnove sistema vektora

Istovremeno, razvoj naprednih sistema i vektora na liniji iscrpljivanja dovodi se u zadatak utvrđivanja ranga matrice, presavijene iz vektora sistema sistema.

Slidno poštujte da će za p> n vektorski sistem biti linearno ukošen.

poštovanje: Kada se matrica A presavije, vektori sistema se ne mogu uzeti u redove, već u redove.

Algoritam za praćenje sistema i vektora na liniji iscrpljivanja.

Algoritam na zadnjici je uklonjen.

Primijeniti napredne sisteme i vektore na liniju slijeđenja.

Dupe.

Dat je sistem vektora. Pratite liniju neobaveznosti.

Odluka.

Budući da je vektor c nula, vanjski sistem vektora je linearno zastario zahvaljujući trećoj moći.

kao što slijedi:

Sistem vektora je linearno pao.

Dupe.

Pratite sistem vektora na liniji neobrađenosti.

Odluka.

Chi nije lako zapamtiti, ali koordinate vektora c na iste koordinate vektora pomnožite s 3, tako da. To jest, virusni sistem vektora linearno stagnira.

vrijednost 1... Linearna kombinacija vektora primjenjuje se na zbir stvorenja ovih vektora na skalarima
:

vrijednost 2... vektorski sistem
da se nazove sistemom uzastopnih linija, jer se kombinacija linija u liniju (2.8) pretvara u nulu:

i sredinu brojeva
Želim da bude jedan, vidi od nule.

vrijednost 3... vektor
se nazivaju neovisni o linijama, jer će se kombinacija linija (2.8) povremeno okrenuti na nulu, ako su svi brojevi.

Tri puta se vrijednost može odbrojati od početka sljedećeg dana.

sukcesija 1... U linearnom sistemu vektora, jedan vektor može se koristiti kao linearna kombinacija vektora.

Dovedennya... Hej viconano (2.9) i hej za vrijednost, efikasnost
... Maêmo todí:
... Dragi, baš kako treba i jako teško.

Slidstvo 2. Yaksho sistem vektora
ako se osveti nulti vektor, tada je sistem (obov'yazkovo) linearno ustajao - to je očito.

sukcesija 3... yaksho middle n vektor
be-yaki k(
) Vektorív líníyno ugar, onda sve n vektori u nizu uzoraka (moguće je to dokazati).

2 0 ... Linijske kombinacije dva, tri i nekih vektora... Lako je vidjeti ishranu loze i nezavisnih vektora na ravnom, području i na otvorenom prostoru. Vodeći se teoremama.

Teorem 1... Za to će dva vektora biti oivičena parom, potrebno je i dovoljno, ako će smrad biti kolinearan.

nužnost... hello vector і linearni ugar. To znači, kako njihova kombinacija linija
= 0 i (radi vrijednosti)
... Zvidsy viplivay
, I (na osnovu množenja vektora brojem) vektora і collinear.

dovoljnost... hello vector і colinearni ( ║) (Dopušteno je da se smrad vidi iz nultog vektora; ostaci su očigledni).

Prema teoremi (2.7) (Div. §2.1, stavka 2 0), Todi
uzmi, scho
, abo
- kombinacija linija na nulu, štaviše, efikasnost pri vrata 1 - vektori і linearni ugar.

S teoremama destilacije slijedi sljedeći korak.

uspjeh... yaksho vektor і NIJE kolinearno, tada je smrad linearno kvadratni.

Teorema 2... Za to će tri vektora biti obložena ugarima, potrebno je i dovoljno, ali će smrad biti koplanarni.

nužnost... hello vector ,і linearni ugar. Pokazalo se da je smrad koplanarnosti.

Određivanje linije vektora u sljedećim koracima brojeva
і kao što je kombinacija linija
, І istovremeno (za vrijednost)
... Od ove ravni možete promijeniti vektor :=
, Tobto vektor putanja dijagonale paralelograma, postavljena na vektore, stoji u desnom dijelu lanca jednakosti (slika 2.6). Tse znači, scho vektor ,і leže u istom području.

dovoljnost... hello vector ,і Usklađenost. Pokazalo se da je smrad na liniji.

Osim kolinearnosti bilo koje vektorske oklade (štaviše, par je linearno pao, a nakon 3 (vidi klauzulu 1 0), sva tri vektora su linearno u nizu). Izvanredno, to je i početak tipki, isto je i postavljanje nultog vektora u sredini tri vrijednosti.

Prenijela tri koplanarna vektora u jedno područje i vodila ih do klipa. Kroz kraj vektora izvedeno ravno, paralelno s vektorima і ; otrimaêmo sa tsyu vektorom і (Sl.2.7) - tim, scho vektor ne brine o njihovom postojanju і NIJE kolinearno za pojavljivanje vektora. Zvidsy viplyaê, vektor vektor =+... Prepisivanje cijene viglyada (-1) ++= 0, robimo visnovok, scho vektor ,і linearni ugar.

Postoje dvije nuspojave teoreme.

sukcesija 1... hej і NE kolinearni vektori, vektor - dovoljno dobro da leži u području, što je za početak s vektorima і , Vector. Nunuyu todí brojeve і taki, uh

=+. (2.10)

sukcesija 2... yaksho vektor ,і NE koplanarnost, smrad je linearno nezavisan.

Teorema 3... Be-like chotiri vektori su linearno ukošeni.

Dokaz je izostavljen; Dokazi teorema 2 slični su dokazima gore navedenih teorema.

uspjeh... Za sve nekoplanarne vektore ,,i bio to vektor
і taki, uh

. (2.11)

poštovanje... Za vektore u (trivijalnoj) prostranosti, razumijevanje loze i nezavisnosti može biti, kako bi trebalo biti, uz vođenje Teorema 1-3, jednostavno geometrijsko značenje.

Nekhai je dva reda nizova vektora і ... Na taj način, jedan od njih je linearna kombinacija drugog, tako da se jedan jednostavno pojavljuje kao numerički množitelj (na primjer,
). Geometrijski, to znači da se prekršaj vektora nalazi ravno na leđima; smrad majke je isti ili je suprotan (slika 2.8 xx).

Ako postoje dva vektora koji su ljuljani s jednog na jedan (slika 2.9 xx), tada nije moguće obrnuti jedan od njih na višekratnike istog broja - takvi vektori su linearno kvadratni. Otzhe, linija nezavisnosti dva vektora і znači da se vektor ne može postaviti na jednu ravnu liniju.

Postoji geometrijski osjećaj linearne neopaženosti i neovisnosti tri vektora.

hello vector ,і linearni ugar i vektor niske vrijednosti (za vrijednost) je linearna kombinacija vektora і , Tobto retuširanje u tom području, da se osveti vektoru і ... Tse znači, scho vektor ,і leže u istom području. Pošteno i zvorotne firme: yaksho vektor ,і leže na istom području, tada se smrad zadržava.

U takvom rangu, vektor ,і linearna je po tome i samo na isti način, jer smrad ne leži u istom području.

3 0 ... razumevanje osnove... Jedan od onih koje najviše zanima razumijevanje linearne i vektorske algebre je razumijevanje osnove. Unesite vrijednost.

vrijednost 1... Par vektora se poziva po redoslijedu, kako je naznačeno, koji vektor procesa klađenja se prvi takmiči, a koji drugi.

Vrijednost 2. naručeni par ,nelinearni vektori nazivaju se bazom na površini, jer počinju s danim vektorima.

Teorem 1... bilo koji vektor na području mogu postojati prikazi poput linearne kombinacije osnovnih sistema i vektora ,:

(2.12)

i i í

Dovedennya... hello vector і postaviti osnovu. Todi be-like vector može se predstaviti na viglyadí
.

Dokazivanje identiteta je dozvoljeno, ali više od jednog
... Mamo todí = 0, štaviše, želim jednu razliku od nule. Ostannê značiê, scho vektor і linearni ugar, tobto collinear; tse superperechit do tverdzhennyam, kako je smrad postavio osnovu.

Ale todi - distribucija na Odine.

vrijednost 3... Tri vektora se nazivaju urednim, kako se navodi, koji je vektor prvi važan, koji drugi, a koji treći.

vrijednost 4... Tri uređena nekoplanarna vektora nazivaju se bazom u prostoru.

Ovdje je istinita i teorema o raspletu i singularnosti.

Teorema 2... be-vector mogu biti prikazi poput linearne kombinacije osnovnih sistema i vektora ,,:

(2.13)

i í

U maloprodajnim objektima (2.12) i (2.13) vrijednosti nazivaju se vektorske koordinate u datoj bazi (tačnije, sa afinim koordinatama).

Sa fiksnom osnovom
і
možeš pisati
.

Na primjer, gdje su zadaci osnova
dao sam, dobro
, To znači da shho maê misce uyavlennya (distribucija)
.

4 0 ... Linearne operacije na vektorima u koordinatnom obliku... Uvedeno u osnovu omogućava linearne operacije na vektorima zamijeniti izvanrednim linearnim operacijama na brojevima - koordinatama vektora.

Hajde na zadacima deyakiy osnovi
... Očigledno, skup koordinata vektora u cijeloj bazi će se povećati od početka samog vektora. Koriste se sljedeće odredbe:

a) dva vektora
і
Rivni Todi i Tylki Todi, ako su date iste koordinate:

b) sa više vektora
po broju yogo koordinate pomnožene s brojem:

; (2.15)

c) kada se daju vektori, pohranjuju se sljedeće koordinate:

Dokazati da je tsikh moći nedopustiv; nije moguće napajati stražnjicu b). maêmo

==

poštovanje... Na otvorenom prostoru (na prostoru) možete vibrirati neograničeno bogate baze.

Vođeni kundakom do prijelaza s jedne osnove na drugu, moguće je promijeniti položaj između koordinata vektora u različitim bazama.

zadnjica 1... Osnovni sistemi
dati tri vektora:
,
і
... U osnovi ,,vektor distribucija. Znati koordinate vektora u bazi
.

Odluka... Mamo distribucija:
,
,
; već,
=
+2
+
= =
, tobto
u bazi
.

zadnjica 2... Hajde na osnovu deyakoma
chotiri vektori dati su prema njihovim koordinatama:
,
,
і
.

Z'yasuwati, chi postavite vektor
osnova; u slučaju pozitivnog odgovora znati distribuciju vektora u celoj osnovi.

Odluka... 1) vektor je postavio osnovu, poput smrada linearno nezavisnog. Skladište linija kombinacija vektora
(
) Ja z'yasuêmo, za yak
і neće se pretvoriti u nulu:
= 0. mmo:

=
+
+
=

Za vrijednost jednakosti vektora u koordinatnom obliku, sistem (linearnih jednostranih algebarskih) rivnjana moći će napredovati:
;
;
, Viznachnik yakoi
=1
, Tobto je sistem maê (lishe) trivijalno rješenje
... Tse znači linijska neovisnost vektora
i već je smrad postavio osnovu.

2) proširivi vektor u celoj osnovi. maêmo: =
abo u koordinatnom obliku.

Promjenom na jednake vektore u koordinatnim oblicima možemo prepoznati sistem linearnih neujednačenih algebarskih jednadžbi:
;
;
... Virishuchi je (na primjer, prema Kramerovom pravilu), otrimaêmo:
,
,
і (
)
... Mahmo vektor širenja u bazi
:=.

5 0 ... Vektorska projekcija prema nebu. Moć projekcija. Nekhai je deyaka hang l, Tobto ravno z označit ćemo na najnižim pravcima i nećemo zadavati zadane određene vektore .Definirajmo pojam vektorske projekcije besplatno l.

vrijednost... vektorska projekcija besplatno l naziva se twir modula th vektora prema kosinusu kuta mízh vissyu l i vektor (slika 2.10):

. (2.17)

Posljednji bit vrijednosti je iskaz o onima koji su jednaki vektoru iste projekcije (za jednu te istu).

Značajna snaga projekcija.

1) projekcija sumi vektora na radnju l put do zbroja projekcije dodatnih vektora na istoj pruzi:

2) projekcija skalara na vektor puta dodavanju skalara na projekciju vektora na istu osu:

=
. (2.19)

uspjeh... Projekcija linijske kombinacije vektora na svim linijama ceste kombinacijom sljedećih projekcija:

Dokazivanje ovlaštenja je nedopustivo.

6 0 ... Pravokutni kartezijanski koordinatni sistem u prostoru.Raspored vektora duž raspona osi. Uzmite tri međusobno okomite koordinate u osnovi; za njih se uvode posebne oznake
... Stavljajući uho na stvar O, Oni su ih režirali (prema ort
) Osa koordinata Ox,Oy iO z(Pokupićemo to na pozitivan, jasan način, klipom ispred njega, a u jednoj jedinici nazvaćemo to koordinatni pogled).

vrijednost... Sustav od tri međusobno okomite koordinatne osi uređen je s kičmom, a okosnica se naziva pravokutni kartezijanski koordinatni sistem u prostoru.

osa Ox nazvati vissu abscis, Oy- víssu ordinate íO z – vissyu aplikat.

Na osnovu toga ćemo uzeti distribuciju prethodnog vektora
... Iz teorema (vidi §2.2, stavka 3 0, (2.13)) jasno je da
može biti jednak broju namaza na bazi
(Ovdje zamijenite koordinate
uživo
):

. (2.21)

U (2.21)
suštine (kartezijanske pravokutne) koordinate vektora ... Smisao kartezijanskih koordinata uspostavit će se teoremom.

teorema... Kartezijeve pravokutne koordinate
vektor Na osi se vide projekcije th vektora Ox,Oy iO z.

Isporučeno. pored vektora Koordinatni sistemi - tačka O... Todi yogo kineti bit će preuzeti sa tačke deyako
.

Povucite kroz tačku
tri područja paralelna s koordinatnim područjima Oyz,Oxzі Oxy(Sl. 2.11 xx). Otrimaêmo todí:

. (2.22)

U (2.22) vektor
і
nazivaju se skladišni vektori
duž osa Ox,Oy iO z.

pusti da prođe
і označeno kutijem, odobreno vektorom sa ortama
... Todi za skladišta prepoznajemo sljedeće formule:

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

Z (2.21), (2.22) (2.23) znamo:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

- koordinate
vektor je projekcija vektora na koordinatnu osu Ox,Oy iO z sigurno.

poštovanje... brojevi
nazivaju se direktni kosinusi vektora .

vektorski modul (Dijagonalni pravokutni paralelopiped) izračunava se po formuli:

. (2.24)

Koriste se tri formule (2.23) i (2.24), ali se direktni kosinusi mogu izračunati prema formulama:

=
;
=
;
=
. (2.25)

Infekcije dijela kože s omjerom u (2.25) i zdepasto pojmovima iví i desni dio rívnosti ivnosti, dolazimo do formule:

- ne budite poput tri kutije, radite deyakiy direktno na otvorenom prostoru, ale, lišeni ih, kosinusa koji su vezani za supružnike (2.26).

7 0 ... Vektor radijusa i koordinate tačke.Vrijednost vektora za yogo cob i kíntsya... Unesite vrijednost.

vrijednost... Vektor radijusa (označen ) Vektor se naziva klipom koordinata O s točkom (slika 2.12 xx):

. (2.27)

Nalik na otvoreni prostor, vektor radijusa pjevanja (i natrag). U takvom rangu, tačke su predstavljene prostranstvima u vektorskoj algebri i vektorima radijusa.

Očigledno, koordinate
bodova M je projekcije vektora njenog radijusa
na koordinatnim osama:

(2.28’)

u takvom rangu,

(2.28)

- radijus vektora tačke je vektor čija projekcija na koordinatnoj osi ide na koordinate cijele tačke. Zvuči kao dve ploče:
і
.

Otrimaêmo formule za izračunavanje projekcija vektora
iza koordinata klipa - tačka
i kraj - bodovi
.

Izvedeni radijus vektor
i vector
(Slika 2.13). Otrimaêmo, scho

=
=(2.29)

-projekcija vektora na koordinatni orti jednaka razlici u koordinatama vektora.

8 0 ... Deyaki zavdannya na kartezijanskim koordinatama.

1) imajte na umu kolinearnost vektora ... Iz teorema (vidi §2.1, stavku 2 0, formulu (2.7)) jasno je da za kolinearnost vektora і potrebno je i dovoljno za dobre performanse: =... Tri vektorske ekvivalentnosti su prepoznatljive u koordinatnom obliku jednakosti:

(2.30)

- za kolinearnost vektora і potrebno je i dovoljno, s obzirom na to da su koordinate proporcionalne.

2) viđeno između tačaka ... Deklaracija (2.29)
mízh dots
і
počnite s formulom

=
=. (2.31)

3) za određeni datum ... Daj mi poen
і
i svetište
... trebam znati
- koordinate tačaka M (Slika 2.14).

Mama misli na kolinearnost vektora:
, zvijezde
і

. (2.32)

Z (2.32) je prepoznatljivo u koordinatnom obliku:

Iz formula (2.32 ') moguće je odbiti formule za izračunavanje koordinata sredine
, vvazayuchi
:

poštovanje... Iskoristit ćemo prednosti
і
pozitivan ili negativan, zbog činjenice da ga možete dobiti direktno iz uha
dostava do kraja
, da se ne izgubi. Prema formulama (2.32) - (2.32 "), mogu se znati koordinate tačke,
zovnishním rang, pa, kakav bod M biti u produženoj poseti
, Nije sve u sredini. Kad tsomu zychay,
.

4) sferna površina . Skladišna površina skladišta - geometrijski niz točaka
, Rivnoviddalenikh to vidstan od fiksnog centra deyakogo - bodovi
... Očigledno, u ovom vypadu
i iz definicija formule (2.31)

Rivnyannya (2.33) i Rivnyannya shukanoy sferne površine.

Zavdannya 1. Z'yasuvati, chi je sistem vektora u linearnom kvadratu. Sistem vektora bit će postavljen kao matrica sistema, od kojih se 100% pohranjuje iz koordinata vektora.

.

Odluka. Ostavite kombinaciju linija putovati do nule. Zapisavši cijenu u koordinatama, pokrenuću sistem rivnjana:

.

Takav sistem se naziva trikus. Vona maê dine rishhennya ... Otzhe, vektor linearno nezavisni.

Zavdannya 2. Z'yasuvati, chi je linearni nezavisni sistem vektora.

.

Odluka. vektor Linearni kvadrat (Div. Problem 1). Donet vam je vektor linearna kombinacija vektora ... Distribucija značajki po vektorima viznachayutsya iz sistema

.

Qia sistem, kao što je trikutna, može sadržati rješenje.

Otzhe, sistem vektora linearni ugar.

poštovanje... Matrica ove vrste, kao i u biljci 1, naziva se trikutnimi , A u biljci 2 - lukav ... Lako je vidjeti hranu o liniji sistema vektora, jer se matrica sastoji od koordinata broja vektora, koji su često trokutasti. Ako matrica nije posebne vrste, onda za pomoć elementarna transformacija redova , Tako da možete uzeti omjer linija i strana između 100%i dovesti ga do brzog trikova.

Elementarne transformacije redova matrice (EPC) nazivaju se takve operacije na matrici:

1) preuređivanje redova;

2) Više redova na broju od nule;

3) sabiranje u red sjajnog reda, pomnoženo s određenim brojem.

Zavdannya 3. Poznavati maksimalni linearno nezavisni podsistem i izračunati rang sistema i vektora

.

Odluka. Vodeći se matricom sistema, iza pomoći EPC-a do često zavaravanog pogleda. Objasnite redoslijed d_y, reda s brojem matrice, koji je značajno simboliziran. Na stotinama strelice, matrice se pretvaraju u redove, jer je od viconatija potrebno da odbaci redove nove matrice.

.

Očigledno je da je prvih dvije stotine oboda matrica linearno neovisno, treća stotinka linearne kombinacije, a četvrtine se ne mogu pronaći među prve dvije. vektor nazivaju se osnovnim. Smell postavlja maksimalni linearno nezavisni sistemski podsistem , I rang sistema je tri.

Osnova, koordinate

Zavdannya 4. Znati osnovu i koordinate vektora u cijeloj osnovi na neograničenim geometrijskim vektorima čije koordinate umovi .

Odluka... Bezlich je područje za prolazak kroz klip koordinata. Dobra osnova za ovo područje temelji se na dva nelinearna vektora. Koordinate vektora u odabranoj bazi temelje se na odlukama općeg sistema i liniji linije.

Ovo je najosnovniji način prikaza podataka, ako možete znati osnovu za koordinate.

koordinate prostor nije koordinate na području, tako da je smrad vezan , Tobto nije kvadrat. Nezalezhní vínní í (smrad se naziva vílny) nedvosmisleno viznachayut vektor na području í, također, smrad se može odrediti koordinatama u. Todi osnova da se čuvaju u vektorima, tako da leže u svim vrstama velikih zima і , tobto.

Zavdannya 5. Poznavati osnovu i koordinate vektora u cjelini na osnovu svih vektora na otvorenom prostoru, pri čemu su nesparene koordinate jednake samoj sebi.

Odluka... Viberemo, poput zadataka u prvom planu, koordinira u prostoru.

Tako da , To je velika promjena nedvosmisleno započeti vektor sa i, takođe, je koordinate. Opća osnova pohranjena je u vektorima.

Zavdannya 6. Poznavati osnovu i koordinate vektora u cijeloj osnovi na osnovu svih matrica u obliku , de - većina brojeva.

Odluka... Matrica kože jedinstveno je predstavljiva kod gledatelja:

Cijena distribucije vektora z na osnovu
sa koordinatama .

Zavdannya 7. Znati veličinu i osnovu linearne ljuske sistema i vektora

.

Odluka. Može se rekonstruirati uz pomoć EPC matrice od koordinata vektora sistema do prikaza shematski-trikus.

.

100% ostatak matrice je linearno nezavisan, ali stotinu linearno uvijte kroz njih. Otzhe, vektor uspostaviti osnovu , і .

poštovanje... osnova u vibriraju dvosmisleno. Na primjer, vektori takođe postavili osnovu .

hej L - linijski prostor iznad polja R ... hej A1, A2, ..., an (*) Kincevov sistem vektora L ... vektor V = A1 × A1 + A2 × A2 + ... + an × An (16) biti pozvan Linearna kombinacija vektora ( *), hej talk, hey vector V rotirati linearno kroz sistem vektora (*).

Poslovna vrijednost 14. Vektorski sistem (*) se naziva lyniyno fallow , Todi i samo todi, ako postoji takav skup nultih koeficijenata a1, a2, ..., an, a1 × A1 + A2 × A2 + ... + an × An = 0. Yaksho f a1 × A1 + A2 × A2 + ... + an × An = 0 Û a1 = a2 = ... = an = 0, tada se poziva sistem (*) Linear Square.

Moć loze i nezavisnost.

10. Ako je sistem vektora nulti vektor, tada je linearno pao.

Zapravo, ako je u sistemu (*) vektor A1 = 0, Tih 1 × 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Ako sistem vektora ima dva proporcionalna vektora, on linearno pada.

hej A1 = L× A2. Todi 1 × A1 -l × A2 + 0× A3 + … + 0× A N = 0.

30. Kincevov sistem vektora (*) pri n ³ 2 linearno pada samo todi i samo todi, ako postoji želja za jednim od ovih vektora u linearnoj kombinaciji najvećih vektora cijelog sistema.

Þ Nekhai (*) je lyno ugar. To jest, postoji skup nultih koeficijenata a1, a2, ..., an, za koje je a1 × A1 + A2 × A2 + ... + an × An = 0 . Ne oštećujte svoju duhovnost, možete je koristiti, ali a1 ¹ 0. Todi isnu i A1 = × a2 × A2 + ... + × an × A N. Otzhe, vektor A1 je linearna kombinacija drugih vektora.

Ü Ostavite jedan z vektor (*) je linearna kombinacija ovih. Možete igrati isti vektor, tj. E. A1 = B2 A2 + ... + bn A N, Zvidsy (-1) × A1 + b2 A2 + ... + bn A N = 0 , T.E. (*) Linearni ugar.

Poštovanje. Vikoristovuyu preostalom snagom, moguće je datirati vrijednost linearnog ugiba i neovisnosti o beskonačnim sistemima i vektorima.

Poslovna vrijednost 15. vektorski sistem A1, A2, ..., an , ... (**) biti pozvani Linearni ugar, Želio bih imati jedan vektor u linearnoj kombinaciji istog broja vektora. Općenito, sistem (**) se poziva Linear Square.

40. Kincevov sistem vektora linearno je nezavisan od oba i samo od todi, budući da je moguće koristiti linearne vektore kroz ostale vektore.

50. Ako je sistem vektora linearno nezavisan, onda je li sistem linearno nezavisan.

60. Ako su podsistem datog sistema i vektori linearno iscrpljeni, tada je i cijeli sistem napušten.

Neka postoje dva sistema vektora A1, A2, ..., an , ... (16) i V1, V2, ..., VS, ... (17). Ako se kožni vektor sistema (16) može predstaviti u pogledu linearne kombinacije Kincovog broja vektora u sistemu (17), tada možemo reći da se sistem (17) linearno rotira kroz sistem (16) ).

Poslovna vrijednost 16. Zovu se dva sistema i vektori ekvivalent , Yaksho koža od njih linearno je uvijena kroz inshu.

Teorema 9 (Glavni teorem se odnosi na liniju ugiba).

zdravo i - dva kinceva sistema i vektora z L ... Ako je sistem persha linearno kvadratni i linearno se rotira kroz prijatelja, tada N£ s.

Isporučeno. Prihvatljivo, scho N> S. Iza teoreme uma

lud. Dakle, kako je broj ljudi veći od broja stranih, sistem je vrlo bogat rješenjima. Otzhe, kod nje je nula X10, x20, ..., xN0... Sa istim vrijednostima, paritet (18) će biti istinit, čime će se zamijeniti činjenica da je sistem vektora linearno nezavisan. Otzhe, naša pripuschennya nije istina. već, N£ s.

Slidstvo.Čim postoje dva jednaka sistema i vektora u zadnjem i u vidnom polju, onda smrdi osvećivati ​​se istom broju vektora.

Poslovna vrijednost 17. Sistem vektora se naziva Maksimalni linearno kvadratni sistem vektora linijski prostor L , Yaksho osvojio je linearno kvadrat, ale, kad joj se doda bilo koji vektor z L , Scho ne ulaze u qiu sistem;

Teorema 10. Be-poput dvije točke maksimalnih linearnih nezavisnih sistema i vektora L Osveti isti broj vektora.

Dovedennya pored činjenice da postoje dva maksimalna linearna nezavisna sistema i jednaki vektori .

Sistem vektora je lako iznijeti na otvoreni prostor L moguće je dodati maksimalno linearno nezavisan sistem i vektore u prostoru.

stavi:

1. Za sve kolinearne geometrijske vektore, bilo da se radi o sistemu koji će dodati jedan vektor različit od nule, maksimalni je linearno kvadratni.

2. U slučaju svih koplanarnih geometrijskih vektora, da li dva nelinearna vektora postaju maksimalno linearno nezavisni sistem.

3. U nemogućnosti svih mogućih geometrijskih vektora trivijalnog euklidskog prostora, bilo da se radi o sistemu od tri nekoplanarna vektora, maksimalno je linearno kvadrat.

4. Svi polinomi koraka nemaju a N Sistem polinoma sa efikasnim (složenim) performansama 1, x, x2, ..., xnÊ maksimalni linearni kvadrat.

5. Za sve polinome bez efikasnih (složenih) funkcija, kundaci maksimalno linearno nezavisnog sistema je

a) 1, x, x2, ..., xn, ...;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N, ...

6. Matrice slobodnog prostora M´ N je linearni prostor (okrenite taster). Primjenom maksimalno linearno nezavisnog sistema u čitavom prostoru je matrični sistem E11= , E12 =, ..., EMn = .

Neka je dat sistem vektora C1, c2, ..., cf (*). Podsistem vektora s (*) se poziva Maksimalno nezavisno od linije pidsystem sistemi ( *) Ne leži ravno, ali s dodanim bilo kojim vektorom, winov sistem je postao linearni ugao. Ako je sistem (*) kintsev, podsistem će, bez obzira na to što je maksimalno linearno nezavisan, imati isti broj vektora. (Dokaz da se izvrši nezavisno). Poziva se broj vektora u maksimalnom linearnom nezavisnom podsistemu sistema (*) čin Tsí one sisteme. Očigledno je da ekvivalentni sistemi i vektori mogu biti istog ranga.

Linearnost i nezavisnost vektora

Vrijednost linearnih ugaonih i neoparenih sistema vektora

vrijednost 22

Pokrenite sistem sa n-vektorima i skupom brojeva
, todi

(11)

nazvati linearnom kombinacijom datog sistema i vektora sa datim skupom funkcija.

vrijednost 23

vektorski sistem
da se nazove lozom, jer postoji takav skup funkcija
Želim da jedan ne ide na nulu, ali kombinacija linija datog sistema i vektora sa skupom funkcija ide do nultog vektora:

hej
, todi

Poslovna vrijednost 24 ( kroz manifestaciju jednog vektora sistema s obzirom na linearnu kombinaciju ostalih)

vektorski sistem
Može se nazvati uzorom loze, ako želite jedan od vektora cijelog sistema i može se predstaviti u pogledu linearne kombinacije ostalih vektora cijelog sistema.

kaljeno 3

Vrijednosti 23 i 24 ekvivalenta.

vrijednost 25(Kroz kombinaciju nulte linije)

vektorski sistem
da se naziva linearnim kvadratom, kao kombinacija nulte linije cijelog sistema i može biti lišena svega
pivnih na nulu.

vrijednost 26(Zbog nespremnosti da se jedan vektor sistema da gledaocima linearne kombinacije ovih)

vektorski sistem
Nemoguće je nazvati se linearnim kvadratom, jer se više od jednog vektora cijelog sistema ne može predstaviti u pogledu linearne kombinacije ostalih vektora cijelog sistema.

Snaga linearnog ugla i nezavisni sistemi vektora

teorema 2 (Nulti vektor u vektorskim sistemima)

Ako je u sistemu vektora é nulti vektor, tada je sistem linearno ustajao.

 Nekhai
, Todi.

otrimaêmo
Takođe, na osnovu vrijednosti sistema uzoraka i vektora kroz kombinaciju nulte linije (12) sistem je linearno ustajao. 

teorema 3 (Podsistem u osnovi u sistemima vektora)

Ako je podsistem u skladu s vektorima, tada je cijeli sistem osiromašen.

 Nekhai
- Linearno iscrpljen podsistem
, Među onima koji bi htjeli biti jedan, nisu vrijedni nule:

To znači da je nakon vrijednosti 23 sistem linearno ustajao. 

Teorem 4

Da li je podsistem sistem nezavisan od linije i nezavisan od linije.

 Nasuprot. Ne brinite, sistem je linearno nezavisan i podsistem ne leži u redu. Čim se slijedi Teorema 3, cijeli sistem će također pasti. Protir_chchya. Otzhe, podsistem linijski nezavisnog sistema ne može biti uzastopni linijski. 

Geometrijski osjećaj loze i nezavisnost sistema i vektora

Teorema 5

dva vektora і linearna ugarica i samo tijela, ako
.

 Nužnost.

і - linearni ugar
, Šo vikonutsya umova
... Todi
, Tobto
.

Dovoljnost.

Linearne naslage. 

sukcesija 5.1

Nulti vektor je kolinearan bilo kojem vektoru

sukcesija 5.2

Za to će dva vektora biti linearno nezavisna, potrebno je i dovoljno, ali nije bula kolinearna .

Teorema 6

U tu svrhu sistem tri vektora će linearno pasti, potrebno je i dovoljno, ako će vektori biti koplanarni .

 Nužnost.

- Linearni ugar, također, jedan vektor može biti predstavljen u pogledu kombinacije linija.

, (13)

de
і
... Iza pravila paralelograma je dijagonalni paralelogram sa stranicama
, Ale paralelogram - ravna figura
Koplanarnost
- takođe i koplanarnost.

dovoljnost.

- Usklađenost. Tri vektora se mogu prijaviti do tačke B:

C

B`

- Linearne naslage 

sukcesija 6.1

Nulti vektor je komplanarni na bilo koji par vektora.

sukcesija 6.2

Za vektor narudžbe
Potrebno je dovršiti smrad, ali smrad nije koplanar.

sukcesija 6.3

Može li se vektor područja prikazati u pogledu linearne kombinacije dva nelinearna vektora u istoj oblasti.

Teorema 7

Budite poput čotiri vektora na otvorenom prostoru .

 Dostupne su 4 vrste trzalica:

Povucite područje kroz vektor, zatim povucite područje kroz vektor i područje kroz vektor. Zatim crtamo područje, koje prolazi kroz točku D, paralelno s parovima vektora; ; sigurno. Duž linija će postojati paralelne linije zemlje OB 1 D 1 C 1 ABDC.

Clear OB 1 D 1 C 1 - paralelogram z nadahnjuje pravilo paralelograma
.

Prikazan OADD 1 - paralelogram (iz moći paralelepipeda)
, todi

Jednačina EMBED. 3.

Prema teoremi 1
taki, scho. Todi
, І za vrijednost 24 sistem vektora je u skladu. 

sukcesija 7.1

Zbrajat ću tri nekoplanarna vektora u prostoru vektor, tako da mogu izaći iz dijagonale paralelepipeda, pozvan na ista tri vektora, primijenjen na stražnju stranu klipa, štaviše, klip vektora sa stražnje strane klipa sažima tri vektora.

sukcesija 7.2

Ako uzmemo 3 nekoplanarna vektora na otvorenom prostoru, može li se vektor proširiti u linearnu kombinaciju ova tri vektora.