Provjerite je li to funkcija novog diferencijala. Diferencijalno izjednačavanje ostalih diferencijala

30.07.2020

Kakav je standardni izgled $P \ lijevo (x, y \ desno) \ cdot dx + Q \ lijevo (x, y \ desno) \ cdot dy = 0 $, u kom slučaju je lijevi dio posljednji diferencijal stvarna funkcija $ F \ lijevo ( x,y\desno)$, naziva se jednakom drugim diferencijalima.

Jednadžba u najnovijim diferencijalima može se prepisati kao $dF \ lijevo (x, y \ desno) = 0 $, de $ F \ lijevo (x, y \ desno) $ - takva funkcija da $ dF \ lijevo (x, y \desno)=P\levo(x,y\desno)\cdot dx+Q\levo(x,y\desno)\cdot dy$.

$dF\left(x, y\desno) = 0$: $\int dF\left(x, y\right) = F\left(x, y\right)$; integral u nultom desnom dijelu skupljeg prilično konstantnog $C$. Dakle, konačno rješenje ove jednadžbe u implicitnom obliku može izgledati kao $ F \ lijevo (x, y \ desno) = C $.

Da bi ova diferencijalna jednakost bila jednaka u drugim diferencijalima, potrebno je i dovoljno da Umov $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $. Ako je dodijeljen pametni vikonan, onda postoji takva funkcija $F\left(x,y\right)$, za koju možete napisati: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+ \frac(\partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$ parcijalni F)(\partial x) = P\left(x,y\right)$ i $\frac(\partial F)(\partial y) = Q\left(x,y\right)$.

Integrabilno prije $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ preko $x$ i $F\left(x,y\right)=\int P\ left( x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, gdje je $U\left(y\right)$ dovoljna funkcija od $y$.

Uzmimo to ovako, tako da je zadovoljen još jedan spin $\frac(\partial F)(\partial y) = Q\left(x, y\right)$. Za koje možemo razlikovati $F\left(x,y\right)$ u odnosu na $y$ i izjednačiti rezultat sa $Q\left(x,y\right)$. Opciono: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left( x,y\desno)$.

Dalje rješenje je:

za ostatak jednakosti znamo $U"\left(y\right)$;
integrabilni $U"\left(y\right)$ i poznati $U\left(y\right)$;
zamjenjujući $U\left(y\right)$ jednakim $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ i funkcija $F\left(x,y\right)$ je rezidualno uzeta.

Znamo razliku:

$U"\left(y\right)$ je integrabilan u odnosu na $y$ i $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$ poznato je.

Poznati rezultat: $F\left(x, y\desno) = V\left(x, y\desno) + U\left(y\right) = 5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Rješenje možemo zapisati na sljedeći način: $F \ lijevo (x, y \ desno) = C $, i samo:

Poznato privatno rješenje $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, gdje je $y_(0) =3$, $x_(0) =2 $:

Privatno rješenje može izgledati ovako: $5 cdot x cdot y ^ (2) +3 cdot x cdot y-2 cdot y = $102.

Izjava o problemu u stav dva sveta

Ponovno pronalaženje funkcija broja promjena iza njenog novog diferencijala

9.1. Prikaz problema u pogledu dva svijeta. 72

9.2. Opis rješenja. 72

Ovo je jedan od dodataka krivolinijskom integralu druge vrste.

S obzirom na potpuni diferencijal funkcije dvije promjene:

Upoznajte funkciju.

1. Dakle, kako se ne može svaki um posmatrati kao novi diferencijal funkcije pjevanja U(x,y), tada je potrebno preokrenuti ispravnost postavljanja zadatka, da bi ga obrnuli, potrebno je preispitati potrebu za dovoljnim umom novog diferencijala, kako za funkciju 2-x promjena može izgledati . Tsya umova vyplivaet z tvrdnje o ekvivalentnosti (2) i (3) u teoremi iz prethodnog stava. Čim je imenovan umova vikonan, onda je zadatak bio donijeti odluku, tako da je funkcija U(x,y) može se obnoviti; ako um nije ubijen, onda nema rješenja, pa se funkcija ne može vratiti.

2. Moguće je znati funkciju iza njenog gornjeg diferencijala, na primjer, za dodatni krivolinijski integral II vrste, nakon izračunavanja yogo u pravoj, koja je fiksna tačka ( x 0 ,y 0) ta tačka promjene ( x;y) (Mal. osamnaest):

U ovom rangu je oduzeto da je krivolinijski integral 2. vrste kao potpuni diferencijal dU(x,y) dobra vrijednost funkcije U(x,y) na kraju i kukuruznim tačkama linije integracije.

Znajući sada rezultat, potrebno je osigurati zamjenu dU u krivolinijsku integralnu virazu i izvrši izračunavanje integrala iza lamana ( ACB), vrakhovuyuchi yogo nezavisnost u obliku linija integracije:

na ( AC): na ( SW) :

(1)

U ovom rangu je eliminirana formula za čiju pomoć se koristi funkcija 2. zamjene za njen gornji diferencijal.

3. Moguće je poboljšati funkciju iza njenog gornjeg diferencijala d(U+ const) = dU. Dakle, kao rezultat izvršenja zadatka, uzimaju se u obzir bezlične funkcije, da se jedna vrsta jedne razrađuje na stalnom dodatku.

Primjena (inovacija funkcije dvije zamjene za treći diferencijal)

1. Znati U(x,y), kao dU = (x 2 – y 2)dx – 2xydy.

Ponovo potvrđujemo ukupnu razliku uma u funkciji dvije promjene:

Za um novog diferencijala, vikonano, također, funkcija U(x,y) može se obnoviti.

Perevírka: - Tako je.

prijedlog: U(x,y) = x 3 /3 – xy 2 + C.

2. Znati funkciju kao što je

Pregledavamo potrebno i dovoljno znanje o ukupnom diferencijalu funkcija tri promjene: , , kako je dao viraz.

Na rozvyazuvaníy zadatke

svi umovi novog diferencijala viconana, dakle, funkcija se može vratiti (zadatak je ispravno postavljen).

Dodamo funkciju uz pomoć krivolinijskog integrala druge vrste, izračunavši je duž deaky linije, koja je fiksna točka i tačka promjene

(Tsya rivníst vyvoditsya tako sama, kao u dvosvjetskom raspoloženju).

S druge strane, krivolinijski integral druge vrste u slučaju totalnog diferencijala ne može ležati u obliku linije integracije, lakše ga je staviti iza lamana, koji se formira od vjetrova, paralelno sa koordinatne ose. Kada je tačka fiksna, radi jednostavnosti, uzmite tačku sa određenim numeričkim koordinatama, više od toga, tako da tačke i na celoj liniji integracije imaju mentalnu osnovu krivolinijskog integrala (tako da su funkcije, i, prekidne -besplatno). Da biste poboljšali ovo poštovanje za ovaj zadatak, možete uzeti fiksnu tačku, na primjer, tačku M 0. Todi na koži od nogu lamanoi matimemo

10.2. Proračun površinskog integrala prve vrste. 79

10.3. Deyaki programi površinskog integrala prve vrste. 81

Može biti da je zadnji dio diferencijalnog izjednačavanja

ê povny diferencijalno djelujuće funkcije:

a kasnije, jednako (7) izgleda kao .

Ako je funkcija jednaka rješenjima (7), tada , i, također,

de - postina i navpaki, kao da se funkcija deak prevodi u istost konačne jednakosti (8), zatim se, razlikovanjem od istosti, oduzima, zatim, de - dovoljno je postalo, ê zagalni integrand od vanjske jednakosti.

Ako je data početna vrijednost, onda se ona trajno određuje iz (8) i

ê privatni integral. Kao tačka, tada izjednačenje (9) označava implicitnu funkciju víd .

Da bi lijevi dio jednadžbe (7) bio gornji diferencijal trenutne funkcije, potrebno je i dovoljno da

Kao da je um, kako je istakao Euler, vikonan, onda je jednako (7) lako integrirati. Tačno, . Sa druge strane,. otzhe,

Prilikom izračunavanja integrala vrijednost se prihvata onakva kakva je postala, da bi to bila dovoljna funkcija u obliku. Za svrhu funkcije, diferencijalna funkcija je poznata

Na osnovu čega se određuje jednakost, on je integrabilan, poznat je.

Prema toku matematičke analize, lakše je dodijeliti funkciju iza njenog gornjeg diferencijala uzimanjem krivolinijskog integrala između fiksne tačke i tačke sa promjenjivim koordinatama duž putanje:

Najčešći način integracije je ručno uzimanje lamana, presavijenog sa dvije noge paralelne s koordinatnim osa; u kom pravcu

guza. .

Lijevi dio je jednak gornjem diferencijalu trenutne funkcije, dijelovi

Otzhe, može izgledati duboki integral

Možete dodati još jedan način dodjeljivanja funkcije:

Za tačku klipa biramo, na primjer, klip koordinata, kao način integracije - laman. Todi

taj duboki integral može izgledati

Što zbígaêtsya s prethodnim rezultatom, scho donijeti na spavanje banner.

U nekim slučajevima, ako lijevi dio jednakosti (7) nije isti diferencijal, lako je promijeniti funkciju nakon što se množenjem lijevog dijela jednakosti (7) pretvori u novi diferencijal. Takva funkcija se zove integrirajući množitelj. S poštovanjem, kakvo množenje integrirajućim množiteljem može biti proizvedeno prije pojave više drugih rješenja koja ovaj množitelj omotavaju na nulu.

guza. .

Očigledno, nakon množenja množenjem, lijevi dio se pretvara u novi diferencijal. Istina, nakon množenja s otrimaemo

inače, integracija, . Množenje sa 2 i potenciranje, matimemo.

Očigledno, integrirajući faktor je daleko od toga da se tako lako pokupi. Da bi se pronašla vrijednost integrirajućeg množitelja, divljak treba izabrati onaj koji nije jednak istoj nuli, privatno rješenje jednakosti u privatnim sličnim, ali urlajućeg izgleda

kao da sam nakon toga otišao na to prebacivanje nekih dodankiva u drugi dio smirenosti da me upute da pogledam

Na divlji način integracije tsgogo rivnyanya među privatne rođake, ne možemo oprostiti još više, nižu integraciju vyhídny rivnyannya, međutim, u nekim slučajevima, integracija privatne divergencije (11) ne postaje teška.

Osim toga, važno je da je integrirajući množitelj funkcija samo jednog argumenta (na primjer, funkcija samo ili samo, ili funkcija samo, ili samo, itd.), također možete lako integrirati jednako (11) koristi se množitelj ovog tipa. Tim sam može vidjeti klasu jednakih, što je integrirajući množitelj koji se lako može znati.

Na primjer, znate, imajte na umu da neki jednaki mogu imati integrirajući množitelj, da se postavi samo nekoliko, tobto. . U isto vrijeme (11) pitajte i pogledajte prizor, zvijezde, vvazhuyuchi neprekinutu funkciju pogleda, uzmi

Iako funkcioniše samo kao víd, tada integrirajući množitelj, za koji je manja vjerovatnoća da će biti deponovan víd, ísnuê i dorivnyuê (12), inače nema integrirajućeg množitelja.

Umov ísnuvannya íntegryuchy multiplikator, scho depozit samo víd, vykonano, na primjer, za linearni ívnyannya abo. U redu, otzhe. Apsolutno slično, može se pronaći razlog za integraciju faktora u formu i tako dalje.

guza. Chi maê jednak integrirajući množitelj uma?

Značajno. Rivnyannya (11) kada se gleda u oči, zvijezde su ili

Za osnovu integrativnog množitelja datog tipa, on je neophodan i dovoljan je dodatak za kontinuitet, da bi samo funkcionisao. Istovremeno, faktor integracije je ê th dorívnyuê (13). Kada se uzme. Množenje vihídne jednako

Integracija, oduzimanje, a zatim potenciranje matimemo, ili u polarnim koordinatama - porodica logaritamskih spirala.

guza. Upoznajte oblik ogledala, koje paralelno sa ovom pravom linijom odražava sve promjene koje izlaze iz date tačke.

Hajde da postavimo klap koordinata u datu tačku i usmerimo sve apscise paralelno sa onom koja je data u zadatku direktno. Ne ustručavajte se pasti na ogledalo u tom trenutku. Možemo gledati u ogledalo sa ravnom površinom, koja može proći kroz cijelu apscisu i mrlju. Uradimo to do resekcije površine ogledala u tačkama. Dakle, kako je kut pad, ja razmjenjujem dorívnyuê kutu vidbittya, onda je tricoutnik rívnobradrenny. otzhe,

Otrimane je jednako jednako lako se integrirati zamjenom promjena, a još jednostavnije, nakon promjene u iracionalnosti bannermana, prepisati yoga yak. Postoji očigledan integrirajući množitelj , , , (rodno mjesto parabola).

Lakše je kretati se po koordinatama i , pa kad izrežete pomiješane na površini, gledate je.

Moguće je donijeti osnovu integrirajućeg množitelja, inače, isto tako, osnovu različitog od nule rješenja jednakosti u privatnom (11) u aktivnom području, jer funkcije mogu biti neprekinuto izgubljene i prihvatanjem jedne od ovih funkcija ne okreće se na nulu. Također, metoda integrirajućeg množitelja može se smatrati dubokom metodom integracije jednakom umu, međutim, zbog poteškoća u poznavanju integrirajućeg množitelja, ova metoda će najvjerovatnije zaglaviti u mirnim situacijama, ako je integrirajući množitelj očigledan. .

Pokazuje se kako prepoznati diferencijalnu jednakost u najnovijim diferencijalima. Inducirana metoda joge virishennya. Kundak rozv'yazuvannya je usmjeren na vanjske diferencijale na dva načina.

Zmist

Entry

Diferencijalno poravnanje prvog reda u najnovijim diferencijalima - poravnanje uma:
(1) ,
de lijevi dio jednadžbe sa gornjim diferencijalom djelujuće funkcije U (x, y) za promjenu x, y:
.
Sa kim.

Da li je ikada pronađena takva funkcija U (x, y), onda izgledam kao
dU (x, y) = 0.
Joga globalni integral:
U (x, y) = C,
de C - brzo.

Kao diferencijalno izjednačenje prvog reda zapisuje se obrnuto:
,
tada je jogu lako dovesti u formu (1) . Za koga množimo jednako sa dx. Todi. Kao rezultat toga, mi smo opsesivno jednaki, izraženi kroz razlike:
(1) .

Moć diferencijalnog izjednačavanja drugih diferencijala

Da bi bili jednaki (1) bio je jednak najnovijim razlikama, bio je potreban i dovoljan, tako da je spívvídnoshennia bila pobjednička:
(2) .

Dovođenje

Nadalje napominjemo da su sve funkcije koje su pobjedničke u dokazu određene i mogu varirati u istom području, vrijednosti promijenjenih x i y. Krapka x 0 , y0 pa lezi tsíy galuzí.

Podsjećamo na potrebu (2).
Idemo na lijevi dio rijeke (1) ê diferencijal djelujuće funkcije U (x, y):
.
Todi
;
.
Krhotine prijatelja su onda dobro ležati u redoslijedu razlikovanja
;
.
Pogledajte šta slijedi. Neophodnost uma (2) doneo.

Donosimo pažnju (2).
Hajde da poludimo (2) :
(2) .
Pokažimo da je moguće poznavati takvu funkciju U (x, y), što í̈í diferencijal:
.
Tse znači da takva funkcija U (x, y), kao zadovoljan sa jednakim:
(3) ;
(4) .
Znamo takvu funkciju. Integralno jednak (3) po x tipu x 0 do x, bez obzira na to što je y post:
;
;
(5) .
Važna je diferencijacija po y, ono što je x konstantno i stabilno (2) :

.
Rivnyannia (4) bude vikonano, yakscho
.
Integrabilan u odnosu na y víd y 0 do y:
;
;
.
Predstavljen u (5) :
(6) .
Oče, znali smo funkciju, razlika je
.
Donesena dovoljnost.

Formula (6) , U (x0, y0)ê konstanta - vrijednosti funkcije U (x, y) u tački x 0 , y0. Í̈y se može dati da li je značajan.

Kako prepoznati diferencijalno poravnanje najnovijih diferencijala

Pogledajmo diferencijalno poravnanje:
(1) .
Da bismo odredili koliko je jednako u najnovijim diferencijalima, potrebno je obrnuti (2) :
(2) .
Kako se ispostavilo, isplati se u najnovijim diferencijalima. Yakshcho ní - tse nije jednak u drugim diferencijalima.

guza

Provjerite, chi ê je jednak najnovijim diferencijalima:
.

Evo
, .
Diferencijacija u odnosu na y, uzimajući u obzir x konstantu:

.
Diferencijalno

.
oskilki:
,
onda je zadatak jednak - za ostale diferencijale.

Metode rozvyazannya diferencijala jednake su najnovijim diferencijalima

Metoda naknadnog posmatranja diferencijala

Najveći jednostavna metoda Savršenstvo poravnanja u najnovijim diferencijalima je metoda naknadnog promatranja diferencijala. Za koje mi zastosovuêmo formule diferencijacije, napisane u diferencijalnom obliku:
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
U ovim formulama, u i v su prilično različiti, presavijeni iz bilo koje kombinacije promjena.

guza 1

Rozvyazati rivnyannya:
.

Ranije smo znali da je cijena jednaka najnovijim diferencijalima. Hajde da prepravimo jogu:
(P1) .
Virishuemo jednak, sukcesivno vidjeti diferencijal.
;
;
;
;

.
Predstavljen u (P1):
;
.

Metoda sekvencijalne integracije

Koja metoda se koristi za provjeru funkcije U (x, y), šta raduje Rivljanu:
(3) ;
(4) .

Integralno jednak (3) po x , poštujući y konstantu:
.
Ovdje φ (y)- Dovoljna funkcija u obliku y, kako je potrebno naznačiti. Vaughn je trajna integracija. Podneseno u jednakim dijelovima (4) :
.
Zvídsi:
.
Integrirajući, znamo φ (y) ja, u isto vrijeme, U (x, y).

guza 2

Muškost jednaka najnovijim diferencijalima:
.

Ranije smo znali da je cijena jednaka najnovijim diferencijalima. Hajde da uvedemo notaciju:
, .
Shukaemo funkcija U (x, y), diferencijal je jednak lijevom dijelu:
.
Todi:
(3) ;
(4) .
Integralno jednak (3) po x , poštujući y konstantu:
(P2)
.
Diferencijacija u odnosu na y:

.
Zamislimo se unutra (4) :
;
.
Integribilno:
.
Zamislimo se unutra (P2):

.
Globalno integralno izjednačavanje:
U (x, y) = konst.
Kombinirajte dva posta u jedan.

Metoda integracije klinaste krive

Funkcija U, koja je dodijeljena sljedećem:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
možete znati kako da integrišete poravnanje zakrivljene krive koja povezuje tačke (x0, y0)і (x, y):
(7) .
Oskilki
(8) ,
tada integral treba deponovati samo u obliku koordinata klipa (x0, y0) i kíntseva (x, y) tačka i leži u obliku krive. W (7) і (8) mi znamo:
(9) .
Evo x 0 i y 0 - Ostani. Tom U (x0, y0)- tako brzo.

Krajnji dio takvog imenovanja U pisma odbitaka za dokaz:
(6) .
Ovde se integracija vrši unazad duž klina, paralelno sa y-osom tačke (x 0 , y 0 ) do tačke (x0, y). Zatim se integracija vrši duž šine, paralelno sa x-osi tačke (x0, y) do tačke (x, y) .

Za veći zaokret, potrebno je prikazati poravnanje krivina, koje su spojne tačke (x 0 , y 0 )і (x, y) parametarski prikaz:
x 1 = s(t1); y 1 = r(t1);
x 0 = s(t0); y 0 = r(t0);
x = s (t); y=r (t);
i integrirati preko t 1 tip t 0 do t.

Najjednostavnije vykonuetsya íntegruvannya vídrízkom scho z'ednuê bodova (x 0 , y 0 )і (x, y). u kom pravcu:
x 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Nakon zamjene unesite integral t in 0 prije 1 .
Tsei sposíb, međutim, dovesti do dosit glomaznog računa.