Razkladannya v vrsti fur'є fantje in neparne funkcije neučinkovitost bezsel parseval. Vrednost zaporedne zmogljivosti za formule fur'є

Ograja Fur'є funkcija f (x) na intervalu (-π; π) se imenuje trigonometrična vrsta v obliki:
, de

Funkcija ročaja Fur'є f (x) na intervalu (-l; l) se imenuje trigonometrična vrsta oblike:
, de

Precenljivo. Spletni kalkulator vrednosti za razširitev funkcije f (x) za vrstico Fur'є.

Za funkcije modula (na primer | x |) izberite kosinusna porazdelitev.

Pravila za uvedbo funkcij:

Za funkcije modula izberite kosinusno porazdelitev. Na primer za | x | potrebno je varnostno kopirati funkcijo brez modula, torej. x

Vrstica Fur'є shmatkovo-brez prekinitve, shmatkovo-monotona in prepletena na intervalu (- l;l) funkcija za konvergiranje vzdolž celotne številske osi.

Suma row Fur'є S (x):

• ê periodična funkcija z obdobjem 2 l... Funkcijo u (x) imenujemo periodična s periodo T (ali T-periodična), za vse x domene R, u (x + T) = u (x).
• na intervalu (- l;l) začnite s funkcijo f(x), za vinjeto točk rezanja
• na točkah rezanja (prva vrsta, torej funkcija je obkrožena) funkcije f(x) in na koncu intervala so srednje vrednosti:

.
Reči, da je funkcija zlaganja v vrstico Fur'є na intervalu (- l;l): .

Yaksho f(x) Je seznanjena funkcija, potem se njena razprostira, sprejme usodo seznanjene funkcije, tobto b n=0.
Yaksho f(x) - neparna funkcija, potem se njena razprostira vzame usodo odvzema neparnih funkcij, tobto a n=0

Ograja Fur'є funkcije f(x) na intervalu (0; l) v kosinusih več lokov se imenuje vrstica:
, de
.
Ograja Fur'є funkcije f(x) na intervalu (0; l) za sinusom več lokov se imenuje vrstica:
, de .
Vsota niza Fur'є za kosinusom več lokov je parna periodična funkcija s periodo 2 l, scho zbіgaєatsya s f(x) na intervalu (0; l) na točkah prekinitve.
Vsota vrstice Fur'є za sinusi več lokov je neparna periodična funkcija s periodo 2 l, scho zbіgaєatsya s f(x) na intervalu (0; l) na točkah prekinitve.
Število Fur'є za dano funkcijo v danem intervalu lahko dobi moč enotnosti, tako da se lahko obdela na enak način, pod registracijo formul, na primer za dodatno izbiro zmogljivosti, oblika

Zadnjica številka 1. Presledki s funkcijo f (x) = 1:
a) v zgornji vrstici Fur'є na intervalu(-π ;π);
b) vrstica za sinusom več lokov na intervalu(0;π); prebudi graf tistega, ki je bil odrezan na število Fur'є
Odločitev:
a) Razširitev v vrstico Fur'є na intervalu (-π; π) ma viglyad:
,
in vse funkcije b n= 0, ker funkcija je podana - par; tak čin,

Očitno bo pariteta Viconana
a 0 =2, a 1 =a 2 =a 3 =…=0
Pogledal bom moč enotnosti in funkcionalnosti shukany. S takšnim rangom distribucija shukane: chi je samo 1 = 1.
V takem primeru, ker se za njegovo funkcijo lahko uporabi število, lahko graf za število Fur'є uporabimo za številne funkcije na vseh številskih premicah.
b) Razširitev na interval (0; π) za sinusom več lokov ma viglyada:
Sprejetje učinkovitosti je očitno preslabo. Skoristaєmosya formula za izračun zmogljivosti:


V takem rangu, za fante n (n=2k) maєmo b n= 0, za neparne ( n=2k-1) -
Oh, no, .
Zbudi graf otrimannyh številnih Fur'є, ki pospešijo njegovo moč (božansko vishche).
Zdaj bo graf osrednje funkcije v določenem intervalu. Dal, pospešuje neparno sumi na število, prodovzhumo graf je simetričen glede na storž koordinat:

Prodovzhumo periodično na vseh številskih osi:


I nareshti, na točkah rezanja, srednji (vladamo in živimo mejo) pomeni:

Zadnjica številka 2. Funkcionalnost na intervalu (0; 6) za sinusi več lokov.
Odločitev: Distribucija, shou za norčevanje, maє viglyad:

Oscilacije in levi ter pravica dela enakosti, da upraviči funkcije greha iz drugih argumentov, nato pa ponovno razmisli, kar se izgubi, ko obstajajo pomeni n (naravnih!) Argumentov sinusov v nekaterih desnih delih:
za zvezde n = 18. To pomeni, da se takšna obdarjenost maščuje na desnem delu, funkcija pa je kriva za prevzem funkcije na levem delu: b 18 =1;
za zvezde n = 4. Pomeniti, b 4 =-5.
S takšnim rangom lahko s pomočjo izbora predstav popravite postavitev v daljavi.

Jak že prijazno nabridli. Vidim, da je trenutek poučen, saj so strateške rezerve teorije naučile uro nove konzervirane hrane. Zakaj funkcije ni mogoče razporediti v vrsti kot inaxe? Ali je na primer mogoče narisati ravno črto skozi sinus in kosinus? Da bi bil znan, ala taki, nachebto, daleč ena vrsta ene funkcije je dana
"vozz'єdnannya". Številni znani koraki v teoriji in praksi gredo na funkcijo zapored.

Na koncu dneva lahko spoznamo trigonometrično serijo Fur'є, pretakamo prehrano njegovega gospodarstva in sumi ter, presenetljivo, izberemo število zadnjic za porazdelitev funkcij v vrsti Fur'є . Večino časa sem hotel poimenovati članek "Vrsta Fur'є za čajnike", ale tse bulo z zvitostjo, nekaj za zadnjo generacijo, da pozna znanje o porazdelitvi matematične analize in praktičnih informacij. Na to preambulo nagaduvatime usposabljanje kozmonavtov =)

Najprej, dokler se materiali ne dvignejo, morajo stranice preiti v novo obliko. Spali smo, videli smo in bilo je težko. Brez močnih čustev zaradi pogona hudobne šape hrčka in vsiljivih misli o tyagarskem življenju akvarelnih ribokov. Številne Fur'є niso zložljive na prvi pogled, temveč praktičen pristop k preprostemu povečanju koncentracije spoštovanja - v idealnem primeru se razvoj najbolj priljubljenih še povečuje. Situacija se s časom pospešuje, vendar ni lahek način za premislek o rešitvi in ​​videzu. S takim rangom, če je vaša samopodoba nižja od povprečja, potem vam bomo lepše oprostili. Shypravda.

Z drugimi besedami, pred poletom v vesolje je treba zgrabiti ploščo pritrdilnih elementov vesoljske ladje. Predvsem zaradi pomena funkcij, ki so krive za klikanje na stroj:

S katerim koli naravnim pomenom:

ena). Prvič, sinusoid "šije" abscis skozi kožo "pi":
... Če bi argumentu priznali negativne pomene, bi bil rezultat očitno enak:.

2). Vendar niso vedeli vsega. Kosinus "pi en" je enakovreden "flasherju":

Negativen argument samo ne moti: .

Mabut, to je dovolj.

Jaz, v tretjini, sem kozmonavt shanovny zagіn, treba je iti ... integrirati.
Zokrem, opevan daj funkcijo diferencialnemu predznaku, integrirati dele i škorenj v frets z po formuli Newton-Leibnitz... Zelo pomembno je pred desno stranjo. Kategorično ne priporočam, da ga preskočite, ker se ni sploščil pri nedostopnem:

Zadnjica 1

Preštejte integrale

de nabuwaє naravna vrednost.

Odločitev: Integracija se izvede za spremembo "x" in na dani stopnji se kot konstanta uporablja diskretna sprememba "en". V vseh integralih opremljen s funkcijo diferencialnega znaka:

Kratka različica rešitve, dokler niste dovolj dobri za ciljanje, izgleda takole:

Zvikaєmo:

Chotiri je prekinjen, spontan. Poskusite kar najbolje izkoristiti čas, da dokončate integracijo na kratek način. Učne rešitve za lekcijo.

Pislya yakisnogo vikonannya desno nadyagaєmo skafander
in pripravljen za začetek!

Porazdelitev funkcij iz vrstice Fur'є v

Deyaku funkcija, yaka imenovani izposojena za predujem (in morda za večji predujem). Ker je funkcija integrirana v vrsta Fur'є:
de - tako imenovani kofіtsієnti Fur'є.

Ko je številka poklicana obdobje distribucije, In številka - napіvperіodom porazdelitev.

Očitno se v zagalnem vipadu vrsta Fur'є zloži v sinuse in kosinuse:

Dіysno, napisal predavanje:

Ničelni izraz je nizek, da se zapiše jak.

Koeficienti Fur'є se plačajo za naslednje formule:

Čudovito je razmišljati o tem, zato je v redu poslušati temo. obdobje distribucije, napivperiod, kofіtsієnti Fur'є da in Brez panike, ne gre za hvilyuvannyam pred vhodom v vesolje. Vse je shranjeno v najbližji zadnjici, pred obiskovalci je logično postaviti dnevne praktične obroke:

Kaj je treba spremeniti pri lebdenju nižjih naročil?

Razširite funkcijo na vrstico Fur'є. Ni enostavno sestaviti grafa funkcije, grafa vsote v vrsti, zasebne vsote, razvoj naprednih profesionalnih fantazij pa ima več razvoja.

Kako razširiti funkcijo na število Fur'є?

Čez dan morate vedeti kofіtsієnti Fur'є da zložite in preštejte tri pevski integrali.

Bodi podlasica, prepiši zagalny viglyad na vrsto Fur'є, ki tri delovne formule zase. Sem malo radij, tako da pri fantih, ki so mi odprli stran prav v očeh, otrok sveta postane astronavt.

zadnjica 2

Porazdeli funkcijo v vrstici Fur'є na vrstici. Pobuduvati graf, graf sumi poleg tega zasebnega sumi.

Odločitev: prvi del rastline se nahaja na distribucijski funkciji v vrsti Fur'є.

Uho je standardno, obov'yazkovo pisanje, scho:

Hkrati je distribucijska doba npr.

Funkcijo postavimo v vrstico Fur'є na vrstico:

Vikoristovuchi, ki temelji na formulah, vemo kofіtsієnti Fur'є... Zdaj ga morate odložiti in prešteti tri pevski integrali... Za udobje bom oštevilčil pike:

1) Prvi integral pa je najpreprostejši in je že vimag očesa kot oko:

2) Vikoristovumo prijatelja po formuli:

Tsey integraral dobre znayomiy i vzeti v kosih:

Z znanjem vicoristana način pripeljevanja funkcije do diferencialnega predznaka.

Pri pozdravljenem upravitelju takoj vikoristovuvati formula za integracijo delov po pojočem integralu :

Par tehnikov. Perche, piše formulo cel verz je treba postaviti na velik lok, ostanki pred izhodnim integralom ê konstanta. Ne nepogrešljivo! Loke je mogoče odpreti na kakršnem koli lažnem mednožju, poskušam ga razbiti na ostalo. Pershu ima "shmatku" Vyavlyaemo izjemno natančnost na postaji, jak bachite, konstanta ni na desni, vendar je med integracijo predstavljena na TV. Qia diya se vidi s kvadratnimi loki. No, in integral še ene "šmatke" formule ti pride prav zaradi trenuvala ;-)

I naygolovnishe - meja koncentracije spoštovanja!

3) Shukaymo tretja konferenca Fur'є:

Otriman relativnega sprednjega integrala, ki je enak integrirati z deli:

Celoten izvod trohe je zložen, podrobnosti bom komentiral spodaj:

(1) Viraz se bo povzpel na stil na velikem loku... Ker ne želim biti dolgočasna, pogosto uporabljam konstanto.

2 še posebej spoštujem pridi do prvega "shmata": konstanta, da ožge rob in poskrbi za usodo prehoda med integracijo (i) v tvir. Skozi zakharaschen_st bom zapisal qiu dіyu know-how, da ga vidim s kvadratnimi loki. Z drugim "šmatom" vse je preprosteje: tu se drugi pojavijo za odpiranje velikih lokov, konstanta pa je posledica integracije znanega integrala ;-)

(3) Pri kvadratnih lokih se izvede preureditev, desni integral pa vgradnja med integracijo.

(4) Vinosimo "utripajoča luč" iz kvadratnih lokov: če so notranji loki odprti:.

(5) Med 1 in 1 pri lokih se izvede preostala povezava.

Vse tri značilnosti Fur'є so znane:

Formula je :

Hkrati se ne pozabi na distribucijo navpil. Po drugi strani pa je oder konstanta (»minus dva«), saj ni mogoče ležati za »en«, vino je za sumi.

V takem rangu smo prepoznali porazdelitev funkcij v vrsti Fur'є za interval:

Vivchimo prehrana zbіzhnostі nizko Fur'є. Bom razložil teorijo, zokrem Dirichleov izrek, dobesedno "na prste", torej, če potrebuješ dobro formulacijo, bodi podlasica, bodi brutaliziran do roke iz matematične analize (Na primer, 2. zvezek Bokhan; ali 3. zvezek Fikhtengoltsya, ale v novem pomenu).

Na drugem delu podjetja je potrebno narisati graf, graf vsote v vrsti in graf zasebnega vsota.

Funkcijski graf є naravnost na trgu, jak je narisan s črno pikčasto črto:

Pobrano iz torbe v vrsti. Kot veste, se funkcionalne vrstice zbližajo s funkcijami. Naši vypadnu motivi številne Fur'є za katero koli vrednost "x" pojdite na funkcijo, kot jo prikazuje barva črva. Funkcija Qia za vzdržljivost razveseli 1. vrsto na točkah, čeprav so v njih označene (rdeče točke na stolu)

V tem rangu: ... Enostavno ga je bachiti, zato je enostavno razbrati iz same specifične funkcije v zapisu je postavljena ikona "tilde" in chi ni znak enakosti.

Algoritem Vivchimo, yakim ročno buuvati številne.

Na osrednjem intervalu se vrstica Fur'є konvergira k funkciji (srednja črvonija se konča s črno pikčasto črto funkcije črte).

Zdaj je treba pogledati nekaj besed o naravi trigonometrične postavitve. Imajo številne Fur'є za vnos samo periodičnih funkcij (konstanta, sinus in kosinus), enako količino tudi periodična funkcija.

Kaj to pomeni za našo specifično aplikacijo? In to pomeni tiste, ki so vsota števila –neenakomerno periodično in rdečeročen na interval je kriv za neomejeno ponavljanje roke in desne roke.

Mislim, da je pomen izraza "obdobje distribucije" takoj postal dovolj jasen. Očitno odpuščeno, skozi kožo situacijo vedeti in ponoviti znova.

Zavoljo tega pazite, da sliko trikrat dokončate, saj je na naslanjaču polomljena. No, tudi "španci" obdobij susidnіkh - toliko bulo zrozulylo, tako da se graf nadaljuje.

Posebej zanimiv za predstavitev točke rezanja 1. vrste... Na takih točkah se vrsta Fur'є spusti na izolirano vrednost, saj je zapečena na sredini “trake” (rdeče lise na fotelju). Yak poznate ordinato števila točk? Obstaja zbirka znanih ordinat "vrha na vrhu": ko se vrednost funkcije izračuna na skrajnih desnih točkah osrednje periode porazdelitve:. Za izračun ordinate "od spodaj na vrhu" je preprosteje vzeti skrajno vrednost obdobja: ... Ordinata srednje vrednosti - srednja vrednost je vsota "zgoraj in spodaj":. Sprejmimo dejstvo, da boste ob pozivu stola takoj zadeli sredino, če je sredina napačno izračunana.

Če je dobrodelni znesek nizek, je pomen izraza "zbižnist" takoj ponovljiv. Motiv za pouk o vsota številskega niza... Naše bogastvo je zapisano v poročilu:

Schob na koncu chateau vsote, je treba zapisati nič + več dva segmenta zapored. Tobto,

Na foteljskem grafu delovanja slik v zeleni barvi, і, kot bachit, bom na koncu »zavila« svojo torbo. Če pogledate kos denarja petih članov zapored, potem je graf celotne funkcije natančnejši od rdeče črte, če je članov sto, potem bodo »zelene kače« dejansko zrasle in zbolele za črvi v drugem. V tem rangu se serije Fur'є zbližajo s svojim sumi.

Tsіkavo vіdnostviti, ki be-yaka chastkova vsota - tse neprekinjeno delovanje, protestni znesek številke je še vedno razriven.

Pravzaprav si je treba ogledati graf zasebnega sumija. Yak tse zrobiti? Če morate pogledati funkcijo, izračunajte vrednosti številk na vmesnih točkah (če vidite več točk, bo graf natančnejši). Nato sledite pomenu točke na stolu in natančno narišite graf na obdobje, če ga želite "roztirazhuvati" ob strani. In yak inakshe? In bližina je veriga periodičnih funkcij ... ... na zaslonu medicinskega pripomočka je graf srčnega ritma.

Viconuvati bo induciral, zlobno, niti ročno, tako da bo mogoče doseči vrhunsko natančnost, natančnost steklastega telesa ni manjša od pol milimetra. Medtem ko berem, nisem v skladu s stoli, prosim - "pravi" uslužbenec ne potrebuje stola, tukaj mora 50% anketirancev razširiti funkcijo na številne Fur's in vse.

Fotelj Pislya vikonannya bo dopolnjen z:

Ogled:

Bagato zavdan funkcijo vzdržati rezanje 1. vrste neposredno na obdobje distribucije:

Zadnjica 3

Postavite v vrsto funkcijo Fur'є, dodeljeno povezavi. Obdelajte graf funkcije in število povzetkov.

Predlagana funkcija je podana s pavšalnim rangom (Poleg tega me spoštuj, samo na vidrizki) in zdržati rezanje 1. vrste na točki. Koliko lahko dobite funkcionalnost Fur'є? Ni problema. V prvi vrsti obljublja pravica dela funkcije, da se sama integrira, do tega pa integracija kože in treh formul naslednjega davka v primeru vsote dveh integralov. Presenetljivo, na primer, kako smo lahko pri ničelni stopnji:

Še ena integracija je bila dodana na nič, vendar so se roboti spremenili, vendar ni tako.

Podobno sta zapisani obe funkciji.

Jak narisati vrečko v vrsti? Na lіvіnіrіvіlі gre fotelj naravnost, v intervalu іdrizok pa naravnost (krepko in krepko vidimo os osi). Tobto, o napredovanju širjenja vsote, številne zbіgaєtsya s funkcijo skrіz, poleg treh "groznih" točk. Na točki rezanja funkcije se število Fur'є zniža na izolirano vrednost, saj raste na sredini "traka", ki ga izrežem. Ni pomembno, kako dobro je in zaspano: leva meja: in očitno je ordinata srednje točke ceste 0,5.

Pogledal bom periodičnost sumi, sliko je treba "pomnožiti" na srednjem obdobju, seme je treba narisati na intervalih. Hkrati, na točkah, Fur'є vrstica ziydetsya na srednje vrednosti.

Mimogrede, tukaj ni nič novega.

Poskusite se sami uskladiti s svojimi zaposlenimi. Zrazok fina dekoracija in fotelj za pouk.

Razširitev funkcije števila Fur'є na pred-obdobje

Za tiste, ki bodo bolj verjetno širili besedo, de "smreka" - pa naj bo to pozitivno število, so formule za število Fur'є in koeficiente Fur'є podane tri s pospeševanjem argumenta sinusa in kosinusa:

Takoj, ko formule ugasnejo, so bile popravljene.

Algoritem in načelo reševanja nalog bo bolj verjetno shranjena, vendar je tehnična zapletenost izračuna še bolj napredna:

Zadnjica 4

Razširite funkcijo v vrstici Fur'є, ki bo ustvarila graf sumi.

Odločitev: pravzaprav analog aparata št. 3 s 1. vrsta na točki. Hkrati je distribucijska doba npr. Funkcija je označena samo na podlagi intervala, vendar ne spreminjajte desne - pomembno je, da je prekršek shmat funkcionalen za integracijo.

Razširljiva funkcija na številne Fur'є:

Nihanja funkcije so prikazana na storžu koordinat, nato je kožna funkcija Fur'є očitno zapisana v viglyadi sumi dva integrala:

1) Prvi integral bo napisal največje poročilo:

2) Resnično navdušen nad površjem Misyatsa:

Še en integral vzeti v kosih:

Na naslednjem koraku bom imel spoštovanje do dejstva, da bom videl jasen napredek v rešitvi?

Ostriž, ne nerazločno perchintegral de takoj vikonuєmo znak dostave do diferenciala... Na drugačen način ne pozabite na zlo konstanto pred velikimi loki, ki ne izgubite se v znakih z viktorijanskimi formulami ... Veliki loki kljub temu odprejo kvačkanje takoj na ofenzivnem robu.

Na desni strani so tehnologije, ki jih je mogoče zložiti stran od pomanjkanja zadostnih informacij o integraciji integracije.

Torej, ni bilo darilo slavnih kolegov francoskega matematika Fur'є, da so se spotaknili - kako so se smejali porazdelitvi funkcij trigonometričnega niza ?! =) Pred govorom, melodično, vse tsіkaviy praktične zmіst zmіst zmіst zvdannya. Fur'є je sam delal na matematičnem modelu toplotne prevodnosti, nato pa se je zanje shranila številna imena za razvoj periodičnih procesov, ki so v primeru nove svetlobe nevidni. Okužen, pred govorom, ki ga je odnesel v Dumo, vendar ne z nejasnim prilagajanjem grafa druge zadnjice s periodičnim srčnim ritmom. Naučite se lahko iz praktičnih metod sesanja reinkarnacija Fur'є od tretje osebe dzherelakh. ... Če ga želite lepše, ga ne boste potrebovali - zgaduvatisya boš, jak Perche Kohannya =)

3) Vrahoyuchi šibki Lanki, ki so bili večkrat uganjeni, razvrščajo s tretjim koeficientom:

Sestavni deli:

Mimogrede, poznamo učinkovitost formule , ne pozabite dodati ničelne učinkovitosti:

Naj bo grafov sumi nizek. Na kratko ponovite vrstni red dejanj: na intervalu bom naravnost, v intervalu pa bom naravnost. Z ničelno vrednostjo "x" se na sredino "traka" postavi pika, na strani pike pa "krožni" graf:


Na "palicah" obdobja vsote je primerno tudi, da se sredi "streka" raztrga.

Pripravljen. Predvidevam, da je funkcija za umom mišljena tako, da je prikrajšana za interval nap_interval in očitno izstopi iz vrste v intervalih

Ogled:

Funkcija Inodi shmatkovo-set je nastavljena brez prekinitve za obdobje distribucije. Najpreprostejši učenec: ... Odločitev (Div. 2. zvezek Bohana) enako, kot in dve sprednji zadnjici: ne vpliva kontinuiteta delovanja na točki, usnje kofіtsієnt Fur'є obrniti vrečko dveh integralov.

Za distribucijo točke rezanja 1. vrste da / abo kaže na graf "palice" je lahko ali več (dva, tri in be-yake kintseveštevilka). Medtem ko je funkcija integrirana v kožni del, je tudi zložena do nizkega Fourierja. Ne morem si predstavljati takšne trdote, če nisem praktičen. Tim ni najmanj, ni manj pomemben, videli boste večjo pomembnost projekta, zelo dobro ga boste pogledali in na primer statistika za vse tiste, ki so pomembni, je to storite v vrsti Fur's advanced zlaganje.

In pusti nemir, ko vidiš kristale in gledaš v neskončno zarjo vesolja:

Zadnjica 5

Razširitev funkcije števila Fur'є na robu črte in produvaty graphyk sumi število.

Imajo širok nabor funkcij neprekinjeno na nap_v_interval_ distribucije, scho določi rešitev. Vse je še bolj podobno zadnjici št. 2. Iz vesoljske ladje ni mogoče priti - virusno bo =) Uporabljena vizualizacija za graf lekcije je končana.

Postavitev v vrsto Fur'є fantov in neparnih funkcij

Pri fantih in neparnih funkcijah je proces obnove kot slovo. Prva os do chomu. Če se obrnemo na odprtje funkcije v vrstico Fur'є v obdobju "dva pi" da do precej dobrega obdobja "dve smreki" .

Resda je naša funkcija par. Zagalniy član vrstice, tako kot ti bachite, se maščuje za seznanjene kosinuse in neparne sinuse. In če obstaja EVEN funkcija, kaj pa neparni sinusi? Ponastavimo neizkoriščeno učinkovitost:.

V takem rangu, seznanjena funkcija za zlaganje v vrsti Fur'є samo po kosinusih:

Oskilki integracija parnih funkcij glede na simetrično raven nič, lahko začnete integrirati, nato pa se poslovite od tega іnshі uspešnosti Fur'є.

Za promіzhku:

Za naprednejšo stopnjo:

Do učbenikov, kot je praktično v vsakem obdelovalcu za mataanalizo, razporediti parne funkcije ... Poleg tega je bil v moji specialistični praksi večkrat uveden smrad:

Zadnjica 6

Funkcija je podana. Zahtevano:

1) razširitev funkcije na nizko Fur'є s piko, de - bolj pozitivno število;

2) zapisati porazdelitev na intervalu, tako da večkrat poda funkcijo in graf.

Odločitev: na prvi točki se bo čutila vidnost vnetega viglyada in še bolje! Če jo potrebujete - samo oddajte svojo vrednost.

1) V obdobju tsіy naloge distribucije, na primer. Na prelomu daljših dni je budnica integracije, "smreka" se uporablja kot stalnica

Funkcija je seznanjena, kar pomeni, da jo je mogoče razporediti v vrsti Fur'є samo v kosinusih: .

Koeficient Fur'є shukaєmo za formulami ... Brutalno spoštovanje do ponorele matere. V prvi vrsti se izvede integracija za pozitivno distribucijo, kar pomeni, da varno sprostimo modul , ki gleda iz dveh shmatkiv liche "ix". Na drugačen način je tako, kot da bi se poslovili od integracije.

dve:

Sestavni deli:

V tem rangu:
, na lastno konstanto, jak ležati z "en", winosimo mezhi sumi.

Ogled:

2) Zapisljiva porazdelitev za interval, za katerega je formula dana na domači strani za naslednji primer:

Prepis

1 MINISTRSTVO ZA OCENJEVANJE ZNANOSTI RF NOVOSIBIRSKY DERŽAVNIJ UNIVERZA FIZIČKE FAKULTETE R.K.BELKHEVA RAZPET KRZNA V APLIKACIJAH IN TEŽAVAH Navchalnyi posibnik1

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkhєєva R.K. držati un-t. Novosibirsk, s. ISBN Na začetku obiska zmaga glavni gledalec serije Fur'є; Podrobna zasnova zadnjice za metodo Fur'є pred reševanjem problemov o prečni struni. Priloženo ilustrativno gradivo. Є zavdannya neodvisna rešitev. Naloge za študente in zmage na Fakulteti za fiziko NSU. Postanite prijatelj v metodičnem odboru Virishenna Fakultete za fiziko NSU. Recenzent dr. fiz. znanosti. V. A. Aleksandrov Zbirka priprav v okviru izvajanja Programa razvoja NDU-NSU na pp. ISBN s Novosibirska državna univerza, 211 s Belkhova R.K., 211

3 1. Razširitev 2π-periodičnih funkcij na niz Fur'є Viznachennya. Dodelitev funkciji f (x) imenujemo funkcionalni niz a 2 + (an cosnx + bn sin nx), (1) funkcije an, bn se izračunajo po formulah: an = 1 π bn = 1 π f (x) cosnxdx, n =, 1, ..., (2) f (x) sin nxdx, n = 1, 2, .... (3) Formule (2) (3) se imenujejo Euler Fur'є formule. Dejstvo, da je funkcija f (x) podobna vrsti Fur'є (1), je zapisana v obliki f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) (4) in zdi se, da je desni del formulo (4) є s formalno vrsto Fur'є funkcije f (x). Z drugimi besedami, zdi se, da formula (4) pomeni, da učinkovitost a n, b n ni znana za formule (2), (3). 3

4 Viznachennya. 2π-periodična funkcija f (x) se imenuje shmatkovo-gladka, tudi če je v intervalu [, π] Kincevo število točk = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Majhna. 1. Graf funkcije f (x) Izračunljiva učinkovitost Fur'є a = 1 π f (x) dx = 1 π x 2 2 π = π, an = 1 π f (x) cosnxdx = 2 π = 2 () x sin nx cos nx + π nn 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = bn = 1 π π = 2 π f (x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, za n neparnih, za n seznanjenih, f (x) sin nxdx =, zato je funkcija f (x) seznanjena. Za funkcijo f (x) lahko zapišemo formalno Fur'є vrsto: f (x) π 2 4 π k = 5 cos (2k + 1) x (2k + 1) 2.

6 Jasno je, da je funkcija f (x) kosično gladka. Ker je torej brez prekinitve, se šteje le med (6) na končnih točkah med x = ± π in na točki zla x =: í f (π h) f (π) π h π f (+ h ) f (+) + h () lim = lim h + hh + hf (+ h) f (+) + h lim = lim = 1, h + hh + h = 1, f (h) f () h ( ) lim = lim = 1. h + hh + h Med іsnyu in іntsevі, čeprav je funkcija bolj gladka. Po izreku o krapkovih se vrednost Fuhrove serije na točkah kože konvergira k f (x), tako da je f (x) = π 2 4 π k = cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) Na sl. 2, 3 kaže na naravo približevanja delnih vsot nizu Fur'є S n (x), de S n (x) = an 2 + (ak coskx + bk sin kx), k = 1 funkciji f (x) v intervalu [, π]. 6

7 Majhna. 2. Graf funkcije f (x) z namestitvijo delnih vsot na grafih S (x) = a 2 in S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x Sl. 3. Graf funkcije f (x) se naloži na nov graf vsote grafov S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 Če oddamo v (7) x = otrimaєmo: = π 2 4 π k = 1 (2k + 1) 2, zvezde poznajo vsoto številskega niza: = π2 8. Če poznamo vsoto vrstice, je enostavno poznamo naslednjo vsoto Maєmo: S = ( ) S = () = π S, celo S = π2 6, torej 1 n = π Vsota znamenite serije prvega znanega Leonarda Eilerja. Vona se pogosto uči matematične analize in dodatkov. PRILOGA 2. Na majhnem grafu poznamo vrsto Funkcij, podano s formulo f (x) = x za x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Majhna. 4. Graf funkcije f (x) Funkcijo f (x) kontinuirano diferencira interval (, π). V točkah x = ± π je med (5) več točk: f () =, f (π) = π. Poleg tega obstaja razlika med (6): f (+ h) f (+) lim = 1 і h + hf (π h) f (π +) lim = 1. h + h gladka funkcija. Če je funkcija f (x) neparna, potem je a n =. Znano je, da je zmogljivost bn integrirana z deli: bn = 1 π f (x) sin πnxdx = 1 [x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1) n π + (1) n π] = 2 ( 1) n + 1. n Zelo formalna serija Fur'є funkcij 2 (1) n + 1 f (x) sin nx. n 9 cosnxdx] =

10 V skladu z izrekom o toku, vrednost skrčljive gladke 2π-periodične funkcije, se serija Fur funkcije f (x) zniža na vsoto: 2 (1) n + 1 sin nx = nf (x) = x, kot π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Majhna. 6. Graf funkcije f (x) bo prekrit z grafom vsote grafa S2 (x) Sl. 7. Graf funkcije f (x) prekrit z novim grafom vsote grafov S 3 (x) 11

12 Majhna. 8. Graf funkcije f (x) bo naložen na nov graf vsote S 99 (x). Zanesljivo (8) x = π / 2. Todi 2 () + ... = π 2, ali = n = (1) n 2n + 1 = π 4. Z lahkoto smo poznali vsoto družine Leibniz. Če imamo poklavl v (8) x = π / 3, vemo () + ... = π 2 3 ali (1+ 1) () (k) 3π + ... = 3k

13 PRILOGA 3. Majhen graf, poznamo vrsto funkcij Fur'є f (x) = sin x, pri čemer priznavamo, da je obdobje 2π, і 1 se izračuna kot vsota številskega niza 4n 2 1. Rešitev. Graf funkcije f (x) je prikazan na sl. 9. Očitno je f (x) = sin x neprekinjena parna funkcija iz obdobja π. Ale 2π je tudi obdobje funkcije f (x). Majhna. 9. Graf funkcije f (x) Izračunljiva učinkovitost Fur'є. Usi b n = na dejstvo, da je funkcija seznanjena. Okronan s trigonometričnimi formulami, je oštevilčen an pri n 1: an = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin (1 + n) x sin (1 n) x) dx = = 1 ( ) π cos (1 + n) x cos (1 n) x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 (4 1, ko je n = 2k, = π n 2 1, ko je n = 2k

14 Izračun nam ne omogoča, da poznamo koeficient a 1, zato se pri n = 1 imenovalec ponastavi na nič. K temu se izračuna koeficient a 1 brez sredine: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Torej, ker je f (x) neprekinjeno diferenciran na (,) і (, π) і v točkah kπ, (k je število), če je med (5) in (6) število, potem serija Fur' ê funkcije se ne konvergirajo v točko kože: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x Sl. 1. Graf funkcije f (x) je prekrit z grafom vsote preseka S (x) 14

15 Majhna. 11. Graf funkcije f (x) prekrit na novem grafu vsote preseka S1 (x) Sl. 12. Graf funkcije f (x) bo naložen na nov graf vsote grafov S2 (x) Sl. 13. Graf funkcije f (x) prekrit z novim grafom vsote grafov S 99 (x) 15

16 1 Izračunljiva vsota številske vrstice. Za celoten 4n 2 1 je zadovoljivo (9) x =. Todi cosnx = 1 za vse n = 1, 2, ... i Otzhe, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. APLIKACIJA 4. Verjetno, da je funkcija f (x) gladka in brez prekinitev, sem zadovoljen s f (x π) = f (x) za vse x (torej je π -periodično), a 2n 1 = b 2n 1 = za vse n 1 in navpaki, če je a 2n 1 = b 2n 1 = za vse n 1, potem je f (x) π-periodična. Odločitev. Naj bo funkcija f (x) π-periodična. Izračunljiva njena učinkovitost Fur'є a 2n 1 і b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f (x) cos (2n 1) xdx + f (x) cos (2n 1) xdx =) f (x ) cos (2n 1) xdx. Pri prvem integralu zlahka zamenjam spremembo x = t π: f (x) cos (2n 1) xdx = f (t π) cos (2n 1) (t + π) dt. šestnajst

17 Klovn, cos (2n 1) (t + π) = cos (2n 1) t і f (t π) = f (t), lahko vidimo: a 2n 1 = 1 π (f (x) cos (2n 1) x dx +) f (x) cos (2n 1) x dx =. Podobno je treba narediti, b 2n 1 =. Nawpaki, naj a 2n 1 = b 2n 1 =. Ker je funkcija f (x) brez prekinitve, je v skladu z izrekom manifestacija funkcije na točkah njene serije F (x π) = f (x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n (x π) + b 2n sin 2n (x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f (x), kar pomeni, da je f (x) π-periodična funkcija. DODATEK 5. Lahko rečemo, da je funkcija f (x) gladka in gladka, f (x) = f (x) za vse x, nato a = і a 2n = b 2n = za vse n 1, in navpaki, npr. a = a 2n = b 2n =, potem f (x π) = f (x) vsi x. Odločitev. Naj bo funkcija f (x) zadovoljna s f (xπ) = f (x). Številni njeni kofіtsієnti Fur'є: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f (x) cos nxdx + f (x) cosnxdx =) f (x) cosnxdx. Pri prvi integraciji bom enostavno zamenjal spremembo x = t π. Todi f (x) cosnxdx = f (t π) cosn (t π) dt. Crimson tim, cos n (t π) = (1) n cosnt in f (t π) = f (t), lahko sprejmemo: an = 1 π ((1) n) f (t) cosnt dt =, če n seznanjeno = 2 π f (t) cos nt dt, ko je n neparno. π Podobno se naredi, b 2n =. Nawpaki, naj a = a 2n = b 2n =, za vse n 1. Ker je funkcija f (x) brez prekinitve, velja izrek o eksplicitnosti funkcije v točkah njene serije Fur'є, da je f (x ) = (a 2n 1 cos (2n 1) x + b 2n 1 sin (2n 1) x). osemnajst

19 Todi = f (x π) = = = f (x). PRILOGA 6. Vivchimo yak poleg še naprej integriran na vrzel [, π / 2] s funkcijo f (x) na vrzel [, π], tako da je vrstica Fur'є mav viglyad: a 2n 1 cos ( 2n 1) x. (1) Odločba. Naj bo graf funkcije ma viglyada, ki lebdi na sl. 14. Nihanja v vrstici (1) a = a 2n = b 2n = za vse n, potem je zadnjica 5 vyplyaє, vendar je funkcija f (x) kriva za enako pariteto f (xπ) = f (x) za vse x. Obstaja način za izboljšanje funkcije f (x) med [, / 2]: f (x) = f (x + π), sl. 15. Poleg tega je vrstica (1) namenjena maščevanju samo kosinusom, je urejena, vendar se funkcija f (x) nadaljuje kot par (to je, da je graf simetričen na os Oy), riž

20 Majhna. 14. Graf funkcije f (x) Majhna. 15. Graf nastavljene funkcije f (x) za napredek [, / 2] 2

21 Otzhe, funkcija ma viglyada, vodenje na sl. 16. Majhna. 16. Graf nadaljevanja funkcije f (x) za napredek [, π] [π / 2, π], graf funkcije f (x) je centralno simetričen na točko (π / 2,), in intervalu [, π] je graf simetričen na os Oy. 21

22 REFERENČNE APLIKACIJE 3 6 Nekhai l>. Očitno dva uma: a) f (l x) = f (x); b) f (l + x) = f (x), x [, l / 2]. Z geometrijskega vidika točka (a) pomeni, da je graf funkcije f (x) simetričen vzdolž navpične premice x = l / 2, graf (b), kjer je graf f (x) središčno simetrično glede na točko (l / 2;) na osi abscis. Velja naslednje: 1) če je funkcija f (x) seznanjena z Viconan Umov (a), potem b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... =; 2) če je funkcija f (x) seznanjena z Viconan Umov (b), potem b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a = a 2 = a 4 = ... =; 3) če je funkcija f (x) neparna in Viconan Umov (a), potem a = a 1 = a 2 = ... =, b 2 = b 4 = b 6 = ... =; 4) če je funkcija f (x) neparna in Viconan Umov (b), potem a = a 1 = a 2 = ... =, b 1 = b 3 = b 5 = ... =. ZAVDANNA Za naloge 1 7 pobarvaj grafe in pozna serijo Fur'є za funkcije,< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 (1, jakšo / 2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Razširitev funkcije, podane v intervalu [, π], samo po sinusih ali samo po kosinusih Funkcija f je podana v intervalu [, π]. Razširili bomo prostor v celotnem razponu do Fur'є vrstice, lahko nadaljujemo s f na izboklini [, π] z višjim rangom, hkrati pa bo hitreje s formulami Eiler Fur' є. Svavilja pri napredni funkciji izdelati prej, za eno vrsto funkcije f: [, π] R lahko odstranimo številne Fur'є. Druga možnost je, da vikoristovuvat tse svavillya tako, da samo obrezujete širitev le za sinusi ali samo po kosinusih: prvi vipad ima dovolj za promocijo f z neparnim rangom in na drugačen način za fante. Algoritem rešitve 1. Nadaljujte funkcijo z neparnim (moškim) rangom (,) in nato periodično, vsakih 2π, nadaljujte funkcijo za celoto. 2. Izračunajte zmogljivost Fur'є. 3. Zložite serijo Fur funkcije f (x). 4. Revizijski umi so nizki. 5. Predstavite funkcijo, za katero je cela vrstica. DODATEK 7. Uporabljeno za funkcijo f (x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Majhna. 17. Graf nastavljene funkcije Očitno je funkcija f (x) sramežljivo gladka. Številni funkcionalni Fur'є: a n = vse n do te mere, da je funkcija f (x) neparna. Če je n 1, potem je bn = 2 π f (x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = 1 = 1 (1 ) n (1) n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, kjer je n = 2 k + 1, (1) n + 1 (n 1) + (n + 1) = π (n + 1) ( n 1) 2 2n, kjer je n = 2k. π n 2 1 Ko je n = 1, se imenovalec obrne na nič na sprednji strani kalkulatorjev, zato se koeficient b 1 izračuna brez predhodnih 25

26 spanje: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Niz funkcij Fur'є f (x) je zložljiv: f (x) 8 π k = 1 k 4k 2 1 sin 2kx. Če je funkcija f (x) sramežljivo gladka, potem po izreku o krapkovih vrednost serije Fur funkcije f (x) preide na sumi: cosx, kjer je π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Majhna. Slika 18. Graf funkcije f (x), ki je prekrit na novem grafu vsote kosov S1 (x) Sl. 19. Graf funkcije f (x) prekrit z novim grafom vsote grafov S 2 (x) 27

28 Majhna. 2. Graf funkcije f (x) bo naložen na graf presečne vsote S3 (x). 21 so prikazani grafi funkcije f (x) in delne vsote S 99 (x). Majhna. 21. Graf funkcije f (x), prekrit z novim grafom vsote grafov S 99 (x) 28

29 PRILOGA 8. Razširljivo s funkcijo f (x) = e ax, a>, x [, π], do niza Fur'є samo v kosinusih. Odločitev. Neprekinjeno s funkcijo ranga fanta (,) (tako da je pariteta f (x) = f (x) prikazana vsem x (, π)), se to občasno s periodo 2π razteguje navzgor. . Lahko sprejmemo funkcijo f (x), graf takšnih predstavitev na sl. 22. Funkcija f (x) v točkah Mal. 22. Graf nastavljene funkcije f (x) x = kπ, k je celo število, tako kot olja. Številno kofіtsієnti Fur'є: b n =, oskіlki f (x) v paru. Integrirajte z deli Mo 29

30 an = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd (e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f (x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e ax ax 2n2 e ax a (eaπ cos n π 1) n2 aa n. 2 Otzhe, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Nihanja f (x) so brez prekinitve, potem se po izreku o toku serija Fur konvergira k f (x). Prav tako vsi x [, π] maєmo f (x) = 1 π a (eaπ 1) + 2a π k = 1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Riž prikazuje delovanje približevanja delnih vsot številu Fur'є dani funkciji rezanja. 3

31 Majhna. 23. Grafi funkcij f (x) in S (x) Mal. 24. Grafi funkcij f (x) in S1 (x) Mala. 25. Grafi funkcij f (x) in S2 (x) Majhna. 26. Grafi funkcij f (x) in S 3 (x) 31

32 Majhna. 27. Grafi funkcij f (x) in S4 (x) Mal. 28. PREDSTAVLJENA grafa funkcij f (x) in S 99 (x) 9. Funkcijo f (x) = cos x, x π umestimo v vrsto Fur'є samo v kosinusih. 1. Funkcijo f (x) = e ax, a>, x π razširimo na vrstico Fur'є samo za sinusi. 11. Funkcijo f (x) = x 2, x π postavimo v vrstico Fur'є le za sinusi. 12. Določi funkcijo f (x) = sin ax, x π, y niz Fur'є samo v kosinusih. 13. Funkcijo f (x) = x sin x, x π postavimo v vrstico Fur'є le za sinusi. Vidpovidi 9.cosx = cosx. 1. e ax = 2 [1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k = 1 11. x 2 2 [π 2 (1) n 1 π n + 2] n 3 ((1) n 1) sin nx. 32

33 12. Če a ni celo število, sin ax = 1 cosaπ (1 + + 2a cos 2nx) + π a 2 (2n) 2 + 2a 1 + cosaπ cos (2n 1) x π a 2 (2n 1) 2 ; če je a = 2m par število, potem sin 2mx = 8m cos (2n 1) x π (2m) 2 (2n 1) 2; če je a = 2m 1 pozitivno neparno število, potem je sin (2m 1) x = 2 (cos 2nx) 1 + 2 (2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Serija Fury funkcije z določeno periodo Recimo, da je funkcija f (x) nastavljena v intervalu [l, l], l>. Po zamenjavi x = ly, y π lahko izpeljemo funkcijo g (y) = f (ly / π), kar pomeni v intervalu π [, π]. Tretja funkcija g (y) tvori (formalno) serijo Fur'є () ly f = g (y) a π 2 + (an cosny + bn sin ny), katere učinkovitost se skriva za formulami Euler Fur'є : an = 1 π g (y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2, ..., 33

34 bn = 1 π g (y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2, .... π Za funkcijo f (x) je mogoče trigonometrično vrsto zlahka spremeniti, da izgleda kot: de f (x) a 2 + an = 1 lbn = 1 lllll sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2, ..., ( 12) dx, n = 1, 2, . .. PRILOGA 9. Poznamo vrsto funkcij Fur'є, podane v intervalu (l, l) z virazom (A, kjer je l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 llf (x) dx = 1 l A dx + 1 ll B dx = A + B, llan = 1 lllf (x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 ll A cos πnx l = A + B π nlbn = 1 l dx + 1 ll B cos πnx l sin πn =, kjer je n, ll A sin πnx lf (x) sin πnx l dx + 1 ll dx = B sin πnx l = BA (1 cosπn). πn Serija Fur funkcije f (x) je zložljiva: f (x) A + B π (B A lestvice cosπn = (1) n, nato n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l za n = 2k je mogoče zamisliti b n = b 2k =, za n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2 (BA) π (2k 1).

36 Zvezd f (x) A + B (BA)? yaksho l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Majhna. 29. Graf funkcije f (x) s superponiranim na novih grafih harmonik S (x) = a 2 in S 1 (x) = b 1 sinx. Za specifičnost grafa treh drugih harmonikov S 3 (x) = b 3 sin 3πx, S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l in S 7 (x) = b 7 sin 7πx potisk navpično navzgor l 37

38 Majhna. 3. Graf funkcije f (x) se naloži na nov graf vsote kosov S 99 (x) Sl. 31. Odlomek sl. 3 na lestvici 38

39 DEFINITIVNO V problemih prostora v seriji Fur'є so funkcije dodeljene danemu vmesnemu. 14.f (x) = x 1, (1, 1). 15.f (x) = ch2x, (2, 2] f (x) = x (1 x), (1, 1). 17.f (x) = cos π x, [1, 1] f (x ) = sin π x, (1, 1). (2 1, kjer je 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18.f (x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. а) f (x) = α 2) l b) f (x) = 4al (1) n 1 (2n 1 ) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23.a) f (x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x ... b) f ( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π) + 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Kompleksna oblika na vrsto Fur'є Porazdelitev f (x) = cne inx, de cn = 1 2π f (x) e inx dx, n = ± 1, ± 2, ..., bomo imenovali kompleksna oblika serije Fur'є. Funkcija zlaganja v zapleteno vrsto Fur'є z vizijo tihih umov, zaradi česar jih je mogoče umestiti v govorno vrsto Fur'є. 4

41 PRILOGA 1. Poznamo vrsto Fur kompleksne oblike funkcije, podane s formulo f (x) = e ax, y med [, π), de govorno število. Odločitev. Količinsko merljiva zmogljivost: = c n = 1 2π f (x) e inx dx = 1 2π e (a in) x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1) n sh aπ. 2π (a in) π (a in) Kompleksni niz Fur funkcije f stroja f (x) sh aπ n = (1) n a in einx. Ponovno premislek, torej je funkcija f (x) grudasto gladka: na intervalu (, π) je neskončno diferencirana, v točkah x = ± π pa so točke med (5), (6) lim h + ea (+ h) = e aπ, lim h + ea (π h) = e aπ, ea (+ h) ea (+) lim h + h = ae aπ ea (π h) ea (π), lim h + h = ae aπ. Prav tako je funkcija f (x) predstavljena z vrstnim redom Fur'є sh aπ π n = (1) n a v einx, kar naj bi šlo na sumi: (e S (x) = ax, kjer je π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 PRILOGA 11. Poznamo vrsto Fur za kompleksno in govorno obliko funkcije, podano s formulo f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, de a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Nagadaєmo, vreča neskončnega geometrijskega napredka s standardnim q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Zdaj poznamo številne Fur'є v govornih oblikah. Za veliko skupino dopolnitev s številkama n in n za n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Oskilki c = 1, potem je 2 = 2a n cos nx. f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Niz Fur'є pri govorni obliki funkcije f (x). Ta rang, če ne štejemo ekonomskega integrala, smo poznali nizko funkcijo Fur'є. Ko virahuvali, je pomemben integral, ki ga najdemo v parametru cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a (zz 1) f (x) = 2i (1 a (zz 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1) z 2 2 (za) (za 1) = = i 2 + i () a 2 za + a 1. za 1 Dermal iz preprostih ulomkov lahko damo pod formulo geometrijskega napredka: + aza = a 1 z 1 a = aanzzn, n = za 1 za = az = anz n. n = Popolnoma, fragmenti az = a / z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, abo, krajše, c n = 1 2i a n sgnn. Tim sam, je znano več Fur'є v zapleteni obliki. Ko združimo seštevanja s številkama n in n, lahko sklepamo niz Fur'є funkcij v govorni obliki: = f (x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 = an sin nx. Poznam v daljavi virahuvati žaljiv zgibni integral: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 ZAVDANNYA 24. Vikoristovuchi (15), izračunaj integral cos nxdx 1 2a cosx + a 2 za govore a, a> Vikoristovuchi (16), izračunaj integral sin x sin nxdx za govore a, a> a cosx + a2 V težavah Fur'є pri zapletenih oblikah za funkcije. 26.f (x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Izrek o enakosti Ljapunova (Enakost Lyapunova). Naj bo funkcija f: [, π] R taka, da je f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f (x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Zato Ljapunovska ekvivalentnost za funkcijo f (x) nabrekne na oko: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Preostala enakovrednost za π je znana sin 2 na n 2 = a (π a) 2 Vazayuchi a = π 2, lahko vzamemo sin2 na = 1 za n = 2k 1 in sin 2 na = za n = 2k. Otzhe, k = 1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. PRILOGA 14. Zapišemo Ljapunovsko enakost za funkcijo f (x) = x cosx, x [, π], í poznamo dodatno vsoto številski niz (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4.1 π Rešitev. Neposredni izračun daje = ππ f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Oskilki f (x) je parna funkcija, potem je za vse n maєmo bn =, an = 2 π = 1 π 1 = π (n + 1) = f (x) cosnxdx = 2 π 1 cos (n + 1) x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos (n + 1) x + cos (n 1) x) dx = 1 π sin (n + 1) xdx sin (n 1) xdx = π (n 1 ) π π 1 + cos (n 1) x = π (n 1) 2 1 (= (1) (n + 1) 1) 1 (+ (1) (n + 1) 1) = π (n + 1 ) 2 π (n 1) 2 () = (1) (n + 1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1) (n + 1) 1 nk π ( n 2 1) = π (4k 2 1) 2, če je n = 2k, 2, če je n = 2k + 1. Vrednost a 1 je treba prešteti ločeno, fragmente v pripravljeni formuli za n = 1, se imenovalec ulomka obrne na nič. = 1 π a 1 = 2 π f (x) cosxdx = 2 π x (1 + cos 2x) dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Tako je pariteta Lyapunova za funkcijo f (x) maviglyad: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π, 2 1) = π π PREDSTAVITEV 32. Napišite enakovrednost Lyapunova za funkcija (xf (x) = 2 πx, kjer je x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Odgovori + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2,1 π 35. f (x) g (x) dx = cndn, de cn funkcija f (x) in dn Funkcijska funkcija g (x) . 6. Diferenciacija serije Fur'є Nekhai f: R R kontinuirano diferencirana 2π-periodična funkcija. Njena serija Fur'є ma viglyad: f (x) = a 2 + (n cos nx + b n sin nx). Podobno kot f (x) bo osrednja funkcija intermitentna 2π-periodična funkcija, za katero lahko zapišemo formalno vrsto Fur'є: f (x) a 2 + (an cos nx + bn sin nx), de a , an, bn, n = 1, 2, ... funkcionalnost Fur'є funkcija f (x). 51

52 Izrek (razširjena diferenciacija serije Fur). V primeru razpadajočega pripushennya je res, da je a =, an = nb n, bn = na n, n 1. APLIKACIJA 15. Ne bodi sramežljivo gladka funkcija f (x) brez prekinitve v intervalu [, π] . Očitno lahko rečemo, da je f (x) dx = majhno napačno vedenje 2 dx 2 dx, zaradi Steklove nezmožnosti in ponovne povezave, tako da bodo nove funkcije izgubile funkcijo f (x) tipa f (x) Z drugimi besedami, Steklova nesposobnost, recimo, ko vidite, da so tri preproste funkcije (v srednjem kvadratu), so tri funkcije (v srednjem kvadratu). Odločitev. Podprto s funkcijo f (x) do intervala [,] z rangom fanta. Znatno razširjeno s samo funkcijo s simbolom f (x). Funkcija se bo nadaljevala brez prekinitve in bo gladka in gladka na poti [, π]. Torej, ker je funkcija f (x) brez prekinitve, potem je f 2 (x) brez prekinitve ves čas in 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Oskіlki funkcija para se nadaljuje, potem b n =, a = za umivalnikom. Otzhe, pariteto Lyapunov nabuvє na oko 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Ponovno premislek, da se f (x) drži izrekov o diferenciaciji serije Fur'є, tako da je a =, an = nb n, bn = na n, n 1. Ne želim f (x) biti slab v točkah x 1, x 2, ..., x N v intervalu [, π]. Naj bo x = x N + 1 = π. Z rastjo integracije [, π] na intervalu N +1 (x, x 1), ..., (x N, x N + 1), je stanje kože f (x) popolnoma diferencirano. Todi, začarana moč aditivnosti integrala in nato integrirajočih delov je prepoznavna: bn = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1π j = xj + 1 xjx j + 1 xjnn π N j = xj + 1 xjx j + 1 xjf (x) sin nxdx = f (x) cosnxdx = f (x) cosnxdx = = 1 π [(f (x (x) 1) sin nx 1 f (x) sin nx) + + (f ( x 2) sinnx 2 f (x 1) sin nx 1)

54 + (f (x N + 1) sin nx N + 1 f (x N) sin nx N)] n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j + 1 a = 1 f (x) dx = 1 N f (x) dx = π π j = xj = 1 N x j + 1 f (x) π = 1 (f (π) f ()) = .. . x j π j = Ostajajo enaki med seboj prek tistih, pri katerih je bila funkcija f (x) pospešena s tipovim rangom in zato f (π) = f (). Podobno lahko prepoznamo an = nbn. Pokazali smo, da se izrek razširjene diferenciacije serije Fur'є za neprekinjeno shmatkovo-gladko 2π-periodično funkcijo, ki je podobna tisti pri vmesni [, π], ponaša s prvo vrsto, vyrna. Iz istega f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) = (na n) sin nx, oskilki a =, an = nb n =, bn = na n, n = 1, 2, ... Oskilki 2 dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Torej je kot kožni izraz v vrsti (18) bolj ali manj dodatni člen v vrstici (17), nato 2 dx 2 dx. Ugibanje, scho f (x) є fantom v naprednih funkcijah, maєmo 2 dx 2 dx. Da prinesem Steklovo pariteto. Dandanes je v Steklovih nepravilnostih veliko funkcij. Če želite za en n 2 učinkovitost a n kot rezultat nič, potem a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 POMOČ 37. Ne bodi sramežljiva funkcija f (x) je neprekinjena v intervalu [, π]. Obvestite, da morate, ko zmagate, f () = f (π) = majhna napaka 2 dx 2 dx, saj se temu reče tudi Steklova nesposobnost, in prestopite, vendar ni nič proti f (x) . .. 38. Naj bo funkcija f brez prekinitve v intervalu [, π] in v novem (za vinjeto neskončnega števila točk) bom šel f (x), tako da se integriramo s kvadratom. Če ob določeni viziji menite, da je f () = f (π) і f (x) dx =, potem malo manjka neučinkovitosti 2 dx 2 dx, kot se imenuje Wirtingerjeva neodločnost, funkcija pa je ni zelo preprosto za x) = A cosx + B sin x. 56

57 7. Stagnacija vrst Fur'є o pojavu diferencialnih ras med zasebnimi pokojniki Ko je oživitev resničnega predmeta (manifestacija narave, virusni proces, nadzorni sistem pretanek.) korak k razvoju . matematični aparat. Na stopnji znanstvenih študij se je taka sulica zamajala: fizični model je matematični model. Fizična formulacija (model) polja v ofenzivi je: pojavi se in razvije proces tistega glavnega faktorja, ki se prelije na novega. Matematična formulacija (model) področja v inventarju fizične formulacije faktorjev in umov v pogledu sistemov in enakih (algebraični, diferencialni, integralni itd.). Državni poglavar se imenuje pravilna nastavitev, saj v pevskem funkcionalnem prostoru reševanja miselnih nalog eno in edino in brez prekinitve polaga na storž in mejo umov. Matematični model ni le isti predmet, ki ga je treba pogledati, ampak se mu bomo približali z opisom. Viznovok pivnyannya vilnykh malikh prečne strune. Naj bodo vrvice pritrjene, sama vrvica pa napeta. Če vrvico vstavite s položaja ravne črte (na primer jo potegnete ven ali potegnete vzdolž), je verjetneje, da bo vrvica 57

58 vagatisya. Hkrati se vse točke strune zrušijo pravokotno na položaj ravnove (prečna povezava), poleg tega v trenutku kože struna leži na enem in istem območju. Obstaja pravokoten koordinatni sistem xou. Todi, če je v trenutku storža ob uri t = struna zrasla v os Ox, potem pomeni u sprostitev strune iz položaja premice, tako da je položaj točke strune od abscisa x v končnem trenutku ure t funkcije, tіє ​​vrednost Pri fiksni vrednosti t graf funkcije u (x, t) predstavlja obliko strune, ki jo lahko zavrtimo v času t (slika 32). S konstantno vrednostjo x daje funkcija u (x, t) zakon do točke abscise x, črta je ravna, vzporedna z osjo Ou, t se izgubi, druga pa se izgubi 2 ut 2 je pospešena . Majhna. 32. Sila, uporabljena na neomejeno majhno število nizov Skladišče, ki zadostuje za izpolnitev funkcije u (x, t). Za cel kup brutalnih posipov naj odpustijo. Vrvica je popolnoma napeta - 58

59 Coy, tako vvazhatimo, zakaj ne bi se struna zvila od viginu; tse pomeni, scho vzmeti, scho pomežikne strunam, vedno zravnane glede na popolnoma enak njen profil rokavic. Struna se prenaša z vzmetjo in po Hookeovem zakonu; tse pomeni, da je bila sprememba velikosti povlečena sorazmerno s kačo strune. Sprejemljivo, enoverižna vrvica; tse pomeni, її її linea gustina ρ postіyna. Prebujajoče se sile so nezdrave. Tse označuje, kako ga lahko vidimo. Mi vivchatimo zakup strune so majhne. Če z ϕ (x, t) označimo rez med absciso in pikčasto črto na točki abscise x v trenutku t, potem je um otroškega polja v tem, da je vrednost ϕ 2 (x , t) ni mogoče zlahka x, t), tako da je ϕ 2. Ker je kut ϕ malij, potem je tudi cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tan ϕ і, lahko tudi vrednost (uxx,) 2 izpustimo. Sliši se naenkrat viplivay, toda v procesu petja lahko zehtuvati s kačo, tudi če ste ločevalec strun. Pravzaprav je treba na abscisni osi oblikovati malo vrvice M 1 M 2, de x 2 = x 1 + x, cesta l = x 2 x () 2 u dx x. x Pokazalo se bo, da bo za naše dodatke vrednost natezne sile T konstantna napetost strune. Hkrati želim prvič dilyanka strune M 1 M 2 (slika 32) ob uri t in namesto sodelovanja - 59

60 kv z vlečnimi silami T 1 in T 2. Nihanja za odtok vseh točk strune se zrušijo vzporedno z osjo Ou in navzven sil, potem je vsota projekcije vlečnih sil na os Ox odgovorna za nič: T 1 cosϕ (2 x 1, t) + (x 2, t) =. Začne se skozi majhno število kutiv ϕ 1 = ϕ (x 1, t) і ϕ 2 = ϕ (x 2, t) strukture, vendar T 1 = T 2. Pomembno je, da je začetna vrednost T 1 = T 2 do T. Zdaj vsota projekcij F u qix sil na os Ou: F u = T sin ϕ (x 2, t) T sin ϕ (x 1, t). (2) Oskіlki za majhne kutіv sin ϕ (x, t) tg? T (tan ϕ (x 2, t) tan ϕ (x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) xx T 2 ux 2 (x 1, t) x ... Če je točka x 1 obrnjena, potem je F u T 2 u x2 (x, t) x. Poleg tega, ker je znano, da vse sile gredo na M 1 M 2, obstaja še en Newtonov zakon, kar pomeni, da je treba zagotoviti hitro oskrbo vseh sil dneva. Masa strune je M 1 M 2 za cesto m = ρ l ρ x, za pospešeno cesto pa 2 u (x, t). Enakovredno Newtonovemu t 2 z vidika: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2 (x, t) x, de α 2 = T ρ je trajno pozitivno število. 6

61 Speedy na x, lahko definiramo mo 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2 (x, t). (21) Posledično smo prikazali linearne razlike med zasebnimi, različnih velikosti, z zastarelo uspešnostjo. Yogo imenuje chi strune v isto vrsto kot iste. Rivnyannya (21) je preoblikoval Newtonov zakon in opisal propad strune. Ale pri fizični uprizoritvi balinanja vimogi o tistih strunah, ki se pripnejo in strune dajo v naslednji uri. Enakovredno zapišite takole: a) pomembno je, da je konec strun fiksiran na točkah x = і x = l, tako da je pomembno, za vse t visonov izvedbe u (, t) =, u (l, t) =, u (l, (22) b) pozorno, v trenutku t = je položaj niza postavljen pod graf funkcije f (x), tako da je za vse x [, l] enakovrednost u (x,) = f (x); (23) c) No, v času ure t = točka strune iz abscise x je podana hitrost g (x), torej tudi u (x,) = g (x). (24) t Spіvdnoshennya (22) se imenujejo mejni umi, spіvіdnoshennya (23) in (24) pa se imenujejo storžni umi. Matematični model prečnega vilnyh malikh 61

62 nizanje strun v dejstvu, da je treba narediti vrvico strun (21) z robnimi umivalniki (22) in ponori (23) in (24) Odločitev vilnega majhnega prečnega nizanja strun po metodi Fur' 'Roving po regiji (21) xl,< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >... Glede na (25) (21) lahko prepoznamo: X T = α 2 X T, (26) ali T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x). (27) Zdi se, da so hudobni postali. Torej, če x і t ne leži eno smer od ena, potem levi del (27) ne leži okoli x, desni pa okoli t in povratna vrednost cich je približno 62

63 je lahko postopenjsko, kar je smiselno skozi λ: T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x) = λ. Prepoznali bomo dva specifična diferencialna ekvivalenta: X (x) λx (x) =, (28) T (t) α 2 λt (t) =. (29) Za veliko mejo pomislimo (22), da vidimo X () T (t) = і X (l) T (t) =. Oskіlka smrad je mogoče videti vse t, t>, potem X () = X (l) =. (3) Poznamo odločitev rivnyannya (28), saj bi bila všeč mejnim umom (3). Vidni so trije pogledi. Vipadoc 1:>. Naj bo λ = β 2. Enakovredno (28) videzu X (x) β 2 X (x) =. Yogova karakteristika je enaka k 2 β 2 = koren k = ± β. Otzhe, glava rešitve (28) ma viglyad X (x) = C e βx + De βx. Če ste krivi, da ste naredili napako, potem C in D tako, da je bil mejni odtok (3) ujet, tako da je X () = C + D =, X (l) = C e βl + De βl =. Оskіlki β, tsya sistem rіvnyan maє єdine raztopine C = D =. Otzhe, X (x) do 63

64 u (x, t). Tim sam je na vipadku 1 mi sprejel trivialno odločitev, kolikor ni bilo opaziti. Tip 2: λ =. Todi rіvnyannya (28) nabuvaє v pogledu X (x) = і th rešitev, je očitno podana s formulo: X (x) = C x + d. Rešitev podamo na mejnem ponoru (3), lahko jo preberemo X () = D = і X (l) = Cl =, tudi C = D =. Od istega časa, X (x) in u (x, t), in smo že zavrnili trivialno rešitev. Vipadoc 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 Nadal navatimo n samo pozitivne vrednosti n = 1, 2, ..., fragmenti z negativnim n bodo odločitev o tem (nπ) Vrednosti λ n = imenujemo absolutna števila, funkcije X n (x) = C n sin πnx z najmočnejšimi funkcijami diferencialne enačbe (28) z regionalnimi umi (3). Zdaj je ohlapno povezan (29). Za novo karakteristiko ma viglyad k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Oskіlki vishche mi s'yasuvali, vendar netrivialne rešitve X (x) іvnyannya (28) є, če je za negativno λ, enako λ = n2 π 2, potem enako λ mi in vidno daleč. Koren premice (32) ê k = ± iα λ, rešitev premice (29) pa je lahko videti takole: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) ll de A n і B n so bolj dosledni. Predstavljamo formuli (31) in (33) v (25), poznamo zasebno odločitev rivnyannya (21), vendar smo zadovoljni z regionalnimi umi (22): πnx. lll Vstavite množitelj C n na premcu і vstavite vrednost C n A n = bn in B n C n = an, napišite un (X, T) pri gledalcu (un (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt ) sin πnx. (34) l l l 65

66 Vbodne vbodne, ki prikazujejo rešitve u n (x, t), se imenujejo vbodne vbodne vrvice. Oskilki rіvnyannya (21) in mejne zmage (22) lіnіynі in enosmerna, nato lіnіyna kombinacija rešitev (34) (u (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt) sin πnx (35) lll dni ), ki zadovolji mejne ume (22) s posebno vibracijo izvedbe an i bn, ki bo zagotovila enako varnost števila. Dandanes je učinkovitost rešitve an in bn (35) tako dobra, da ni bila le meja, ampak storž (23), da so (24), de f (x), g (x) dobile funkcijo (kjer je f () = f (l) = g () = g (l) =). Impresivno je, da bosta funkciji f (x) in g (x) zadovoljili misli, ki bi jih razdelili na nizko Fur'є. Glede na (35) vrednost t = lahko vzamemo u (x,) = a n sin πnx l = f (x). Če diferenciramo vrsto (35) po t in predstavimo t =, lahko naredimo, da je ut (x,) = πnα bn sin πnx ll = g (x), funkciji širjenja f (x) in g (x) pa do Fur' je lava. Prav tako je a n = 2 l f (x) sin πnx l dx, b n = 2 l g (x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 Ponudimo lahko različne možnosti za funkcionalnosti an in bn do števila (35), sprejemamo rešitev rivnyannya (21), kot tudi za mejne ume (22) in storževe (23) in ( 24). Tim smo se sami zavezali majhnim križnim strunam. Obstaja fizična sprememba funkcij moči u n (x, t) težav glede nizanja nizov, kot je podana s formulo (34). Prepisljivo її pri viglyadі de n (x, t) = n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctan b n. l a n Iz formule (37) je razvidno, da gredo vse točke strune harmonično z eno in isto frekvenco ω n = πnα in fazo πnα δ n. Amplituda strune, ki leži od točke l l abscisa x niza і ceste α n sin πnx. S takšnim številom vse točke vrvice takoj dosežejo največjo vidljivost v tej smeri in eno uro preidejo položaj črte. Te kolyvannya se imenujejo stoječe pohvale. Stoji za mate n + 1 nedestruktivno točko, kako vprašati korenine rivnyannya sin πnx = v intervalu [, l]. Neukrotljive točke se imenujejo vuze stoječih khvili. Na sredini vozlišč rastejo točke, v katerih pogledih dosežejo maksimum; takšne točke imenujemo antinode. Dermalno struno lahko uporabimo za striktno poje frekvence n = πnα, n = 1, 2, .... in frekvence se imenujejo močne frekvence strune. Najnižji ton l, ki ga lahko vidimo kot struno, se začne pri 67

68 frekvenca nizke moči 1 = π T і se imenuje osnovni ton strune. Drugi toni, ki ustrezajo l ρ frekvencam n, n = 2, 3, ..., se imenujejo prizvoni ali harmoniki. Za specifičnost vrste strun, vrsta glavnega tona (slika 33), prvega prizvoka (slika 34) in drugega prizvoka (slika 35). Majhna. 33. Profil strune, ki izgleda kot glavni ton Mal. 34. Profil strune, ki izgleda kot prvi prizvok. 35. Profil strune, ki je videti kot drugačen prizvok.Ko gre struna, se začne s storžnimi glavami, pojavi se funkcija u (x, t), kot je razvidno iz formul (35), v oči sumy je nekaj harmonikov. Takšen čin zadostuje za kolonijo 68

69 strun je superpozicija stoječih kavljev. Hkrati je značaj zvoka strune (ton, moč zvoka, tember) v obliki sp_vdnoshennya med amplitudami harmonikov. Moč, višina in tember zvoka. Za moč zvoka je značilna energija zvoka. Zvok zvoka se začne s frekvenco obdobja chi: če je frekvenca višja, je zvok višji. Zvok zvoka se začne kazati v prizvokih, energija se dviga za harmonikami, tako da na način zvenenja tona. Amplitude prizvokov so očitno manjše od amplitude glavnega tona, faze prizvokov pa so lahko precej pomembne. Naš Vuho ni občutljiv na Phasie Kolivan. Primerjajte na primer dve krivulji na sl. 36, osumljen z. Tse posnamejo zvok z zelo osnovnim tonom, zvitim iz klarineta (a) in klavirja (b). Žaljivi zvoki niso preprosti sinusni zvoki. Osnovna frekvenca zvoka pri obeh vrstah je enaka in enak je ton. Malo krivulj glede dejstva, da se na glavni ton uporabljajo prizvoki. V otrokovem pevskem smislu pokažite isti tember. 69

Enakovredno hiperboličnemu tipu. Stolpec neoviranih in nedokončanih strun. Krzna metoda Krznena metoda Stoječi čvili 4 Predavanja 4.1. Enakovredno hiperboličnemu tipu. Zbirka ni neskončna in tako naprej.

MOSKVA DRŽAVNA TEHNIČNA UNIVERZA CIVILNEGA AVIATSIN V.M. Lyubimov, Є.A. Žukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Šurinov M A T E M A T І K A R A D I POSIBNIK

MINISTRSTVO RUSKE ZVEZE Državno proračunsko izobraževanje Ustanova strokovnega izobraževanja MATI Ruska državna tehnološka univerza po K.E. Ciolkovskem

Ministrstvo za šolstvo Republike Bilorus EE "Vitebska državna tehnološka univerza" Tema. Oddelek za teoretično in uporabno matematiko "Rows". razbil izr. Є.B. Duninoyu. Glavni

Zvezna agencija za izobraževanje Zvezna državna agencija za ustanovitev strokovnega izobraževanja ZVEZNA UNIVERZA PIVDENNY R. M. Gavrilova, G. S. Kostetska Metodika

Tema Riadi Fur'є Praktična uporaba Riadi Fur'є za ortogonalnimi sistemi funkcij

TEORIJA DOMETA Teorija serij je najpomembnejša matematična analiza skladišča in poznavanje tako teoretičnih kot numeričnih praktičnih poročil. Razr_znyayut številne številke in funkcije.

ЗМІСТ VRSTA FUR'Є 4 Razumevanje periodične funkcije 4 Trigonometrično polje 6 3 Ortogonalni sistemi funkcij 4 Trigonometrični niz Fur'є 3 5 Vrstica Fur'є za dečke in neparne funkcije 6 6 Postavitev

Zvezna agencija za izobraževanje Moskovska državna univerza za geodezijo in kartografijo (MІIGAIK)

Predavanje 4. Analiza harmonije. Serija periodičnih funkcij Fur'є. Harmonična analiza V znanosti in tehnologiji matere pogosto poročajo o ponavljajočih se škodljivcih, tako da se ponavljajo

TEMA V VRSTINA FUR'Є PREDAVANJE 6 Postavitev periodičnih funkcij v nizu procesov Fur'є Bagato, ki se pojavljajo v naravi in ​​tehnologiji, se lahko ponavljajo s pevskimi pozivi eno uro. Takšni procesi

METODOLOŠKI VKAZIVKI PRED ROZRAKHUNKOVYH ZAVDANOM NA TEČAJU VISCHO MATEMATIKE "ZVICHAYNI RIVNYANYA RIVNYANYA RAGE Podviyni INTEGRALI" DEL SH TEMA

6 vrstic Fur'є 6 Ortogonalni sistemi funkcij Zaporedje Fur'є v ortogonalnih sistemih funkcij Funkcije ϕ () in ψ (), vrednosti in integracija na vrhu [,], se v celoti imenujejo ortogonalne

VARICIJE INTEGRAL. Integral sumi singularnega integrala Nehai ima funkcijo y = f (), dodeljeno obliki [, b], de< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 vrstic korakov 5 vrstic korakov: vrednost, območje razlike Funkcionalna vrstica v obliki (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) de, a, a, K , a, k deyaki številke, pokličite državno serijo Številke

UNIVERZA BILORUSKI DERŽAVNI FAKULTETA ZA UPORABNO MATEMATIKO IN INFORMATIKO

Nanjo položi deyaki. zadnjico. Poznamo vsoto neskončnega geometrijskega napredka Formula za izraz vneme je a + aq + ... + aq n + ... (a). a n = aq n. Številni del sumija. Če je q =, potem

Zavdanja 1.1. Če želite izvedeti iz določene regije odločitev iz iste ničle, je odločitev y = y (x) diferencialne enačbe, ki je zadovoljna z dodelitvijo regionalnih umov (upravitelj Sturm-Livilya).

Matematična analiza Tema: Petje integral Nevlasny integral Predavatelj Pakhomova Є.G. 2017 str. ROZDIL II. Pevski integral te jogo dodatke 1. Pevski integral te jogo moči 1. Glava,

Predavanje 8 4 Vodja Sturm-Livilya Pri opisu majhnega prečnega niza strun je mogoče razumeti problem diferencialne enakosti pri zasebnih starejših drugačnega reda.

Pojasnjeno v besedilu: znak se bere jak "pravično" in pomeni, da je pri rivnjanih desničar iz znaka in zlo iz znaka bezlich odgovor, znak IR pomeni brezlich govorne številke, znak IN

82 4. Rozdil 4. Funkcionalna in državna vrstica 4.2. Zaseden 3 4.2. Zaseden 3 4.2 .. Prenos funkcije v Taylorjev niz VREDNOST 4.2 .. Ne vem, funkcija y = f (x) je neomejeno diferencirana na obrobju

MINOBRNAUKI ROSIN FEDERALNA DERZHAVNA BUDGETNA OSVITALNAYA INSTANOVA VISCHOЇ PROFESSIONO USTANOVITI "SAMARSKY DERZHAVNIY TECHNICAL

Zvezna agencija za železniški promet Uralska državna univerza plemičev z Oddelkom za uporabno matematiko

Predavanje 3. Vrstice Taylor in Maclaurin Stagnacija funkcij polaganja državnih vrstic pri državnih vrsticah Taylor in Maclaurin vrstice

Z A Lavrenchenko wwwwrckoru Predavanje Revizija Fur'є Razumevanje integralne rekonstrukcije Metoda Integralne revizije je ena od prizadevnih metod v matematični fiziki ê z nasilno revizijo

Integracija funkcije (za Rimana) isti integral Uporaba rešitve nalog 1. Funkcija f (x) = C je integrirana na, tako kot za kakršno koli spremembo ali nihanje točk ξ i integral

1. letnik tečaja. Izvajati Rimanovo funkcijo, ki je 0, m m R (), ki je m, m 0 in druge nekratke, 0, ki je iracionalna, razrivna v kožni racionalni točki in brez prekinitve v koži draženja. Odločitev.

1 2 Zm_st 1 Vrstica Fur'є 5 1.1 Trigonometrična serija Fur'є ............ 5 1.2 Tilki sin & cos ................. .... 7 1.3 Serija krzna v kompleksni obliki 11 1.4 f (x) = ck? .......................

RIVNYANNYA MATEMATIČNA FIZIKA 1. Diferencialna rivnyannya z zasebnimi otroki.

Predavanje 4. Hvilyovі rіvnyannya 1. Vivedennya іvnyannya kolivannya strune 2. Rіvnyannya pozdovzhnіkh kolyvannaya strune 3. Slušalke, platišča 4. Izjava o težavah 1. Narisane strune

1. Elektrostatika 1 1. Elektrostatika Lekcija 6 Razvoj sprememb kartezijskih koordinat 1.1. (Tovarniška nastavitev 1.49) Območje z = napolnjeno iz jakosti σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), de σ, α, β post_yni.

Tema modula Funkcionalni končnici in nizi Moč enakega pomena in vrste

Enakovredno paraboličnemu tipu. Metoda za spreminjanje istega ozemlja Ena regija države Funkcije naprave Niti ena za isto vrsto toplotne prevodnosti 7 Predavanja 7.1 Enakovredno za parabolični tip. Podil metoda

Predavanje Številski niz Znaki vrednosti Številski niz Znaki vrednosti Številski niz Znaki vrednosti Številčni niz + + + +, dodatki neomejenih članov, imenovani številski niz Številke,

35 7 Trigonometrična serija Fur'є Vrstice Fur'є za periodične funkcije s točko T.

Fakulteta za metalurgijo Oddelek za visoko matematiko RANGE Metodična navodila Novokuznetsk 5 Zvezna agencija za izobraževanje

Oddelek za matematiko in informatiko Element vse matematike Začetno-metodični kompleks za dijake srednjega strokovnega izobraževanja, ki se začnejo učiti iz oddaljenih tehnologij.

9. Najprej nevrednosti integral 9 .. Naj bo funkcija f () nastavljena na interval I R. Funkcija F () se imenuje primarna funkcija f () za interval I, saj je F () = f () za kateri koli I, to je primarna

DIFERENCIALNE FUNKCIJE ENA ZIMA Razumevanje preprostega, geometrijskega in fizičnega smisla Zavdannya, ustvariti pred razumevanjem primitivnega Oznaka Stosovo S na premico y f (x) v točki A x; f (

Enakovredno hiperboličnemu tipu. Stolpec neoviranih in nedokončanih strun. D'Alembertova metoda Neodišavljena struna. D'Alembertova formula Nelinearni niz 3 Predavanje 3.1. Enakovredno hiperboličnemu tipu.

Зміст Vstup. Osnovno razumevanje .... 4 1. Integralna družina Volterri ... 5 Variante gospodinjstva ... 8 2. Resolucija Integralne družine Volterri. 10 Možnosti za gospodinjstvo ... 11

DOMET. Vrstice številk. Glavna vrednost Nehaija je dana neomejenemu številu Virazovih števil (neomejena vsota) a, a 2, ..., an, ... ai = a + a 2 + + an + ... () i = be imenujemo številčna vrsta. Številke

8. Vrstice korakov 8 .. Funkcionalna vrsta oblike cn (z) n, (8.) n = de cn je številsko zaporedje, R je fiksno število, z R pa imenujemo vrstica stanja s parametri c n . Vicone zamenja zmagovalce

~ ~ Nepomembni in nepomembni integrali Razumevanje primordialnega in nepridejenega integrala. Oznaka: Funkcija F se imenuje prva vrstica glede na funkcijo f, kot tudi funkcijo pritrditve

3724 VRSTICE CRATNI І KRIVOLINIINI INTEGRALS 1 ROBOCH PROGRAM ROSDILIV "VRSTICE CRATNI І CRYVOLINIINI INTEGRALS" 11 Vrstice števil Razumeti vrsto števil Moč števil

JEJ. RUDIJ MATEMATIČNA ANALIZA. ŠTEVILKE IN FUNKCIONALNE VRSTICE NOVOSIBIRSK 200 2 MINOBRNAUKI ROSIN GOU VPO "NOVOSIBIRSKY DERŽAVNIY PEDAGOGICHNY UNIVERSITY" О.М. Rudiy MATEMATIČNA ANALIZA.

PREDAVANJE N 7. Taylorjeve vrstice in Taylorjeve vrstice ... Taylorjeve vrstice ... Taylorjeve vrstice ...

TRG RIVNIANNYA Zmist TRG RIVNIANNYA ... 4. ta zadnji kvadrat rivnyan ... 4 ..

ROSDIL ZAVDANNA S PARAMETRI Komentarji Upravljanje s parametri je tradicionalno zložljivi objekti pri strukturah EDI, tako da lahko uporabite vse metode in metode reševanja otrok.

Diferencialni izračun Uveden v matematično analizo Intersekcijske funkcije. Rozkritta nevrednosti na mejah. Funkcije so podobne. Pravila diferenciacije. Zasosuvannya obhіdnoї

Niz Fur'є ortogonalnih sistemov funkcij Z vidika algebre enakovrednost de-funkcij danega razreda a - zmogljivosti R, vendar C preprosto pomeni, da je vektor linearna kombinacija vektorjev

1. Pevski integral 1.1. Naj je f obkrožen s funkcijo, nastavljeno na obliko [, b] R. Rozbittyam vidrizka [, b] imenuje ta niz točk τ = (x, x 1, ..., xn 1, xn) [, b] , uh = x< x 1 < < x n 1

Glavne stopnice Vrstice a a a Pogled vrstice a a a a a () se imenujejo statične, de, a, pooperativne, imenujejo se funkcionarji v vrsti.

2. Vrednost zmogljivosti je nizka za formule Fur'є.

Ne imejte periodične funkcije ƒ (x) s periodo 2π, tako da je videti kot trigonometrična vrsta, ampak pojdite na celotno funkcijo v intervalu (-π, π), tako da je vsota vrste:

Menda je integriran v funkcijo, ki stoji na istem delu verige enakosti, v najpomembnejšem delu integracije v celotni seriji. Tse bude vikonuvatisya, takoj ko se številski niz zloži s koeficienti dane trigonometrične vrste, se popolnoma zbliža, tako da se pozitivna številska vrsta konvergira

Vrstica (1) majorєmo і se lahko integrira izraz za izrazom v intervalu (-π, π). Prointegruemo prekrška na del ryvnosti (2):

Oštevilčen je okremo kozenintegral, kar je vidno na desni strani:

,

,

V takem rangu, , zvezdice

. (4)

Ocena nastopov Fur'є. (Bugriv)

Izrek 1. Če funkcija ƒ (x) za obdobje 2π ni prekinjena, bo brez prekinitve vzela ƒ (s) (x) za vrstni red s, saj je srečna na vseh osi nepravilnosti:

│ ƒ (s) (x) │≤ M s; (5)

Todi kofіtsієnti Fur'є deluje tako, da zadovolji nepravilnosti

Dostavljeno. Integrirani deli in vrahoyuchi,

ƒ (-π) = ƒ (π), maєmo

Integracija desnega dela (7) nazadnje, nenazadnje? 6).

Druga ocena (6) je naslednja.

Izrek 2. Za izvedbo Fur'є ƒ (x) ne manjka

(8)

Dostavljeno. Maєmo

(9)

Uvesti v času spremembe spremembe in dostave, scho ƒ (x) - periodična funkcija, je mogoče izvesti

Skladiščenje (9) in (10), bomo

B k je mogoče dokazati na podoben način.

Slidstvo. Ker je funkcija ƒ (x) neprekinjena, je funkcija (x) nič: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Prostor funkcij iz skalarne smetane.

Funkcijo ƒ (x) imenujemo kosično-neprekinjena na vzdolžni osnovi, dokler je brez prekinitve morda končnega števila točk, de maє za prvi rod. Takšne točke je mogoče dodati množenju na podlagi števila in obrezati rezultat, da poznamo shmatkovo-brez prekinitve v funkciji.

Skalarna skuta iz dveh shmatkovo-bezperervnih na (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Očitno je za tiste, ki so shmatkovo-brez prekinitev na funkcijah ƒ, φ ψ, da upravičijo avtoriteto:

1) (ƒ, φ) = (φ, ƒ);

2) (ƒ, ƒ) і z enakostjo (ƒ, ƒ) = 0 vapingє, vendar (x) = 0 na, vključno z, po možnosti, končnim številom točk x;

3) (α ƒ + β φ, ψ) = α (ƒ, ψ) + β (φ, ψ),

de α, β - so dobre številke.

Brez vseh shmatkovo-brez prekinitvenih funkcij, za katere je uveden skalarni tvir za formulo (11), bomo pomenili, in prostor

Spoštovanje 1.

V matematiki se imenuje prostor = (a, b) število funkcij ƒ (x), integriranih v Lebesgueovem smislu naenkrat s svojimi kvadrati, kar se skalarno uporablja za takšno formulo (11). Pogled na prostor je delno. Ogromnost obsežnosti moči je ogromna, a ne vse.

3 oblasti 1), 2), 3) Inercija Bunyakovskega je pomembna | (ƒ, φ) | ≤ (,) ½ (φ, φ) ½, kot so moji integrali gledalca, kot sledi:

Velikost

imenujemo norma funkcije f.

Norma takšne moči:

1) | f || ≥ 0, če je enakost lahko samo za ničelno funkcijo f = 0, potem je funkcija, ki jo lahko uporabimo za nič, morda končno število točk;

2) | ƒ + φ || ≤ || ƒ (x) || || φ ||;

3) | α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

de α - projektna številka.

Druga moč moje integracije je taka:

in se imenuje živci Minkovskega.

Reči, da je zadnja funkcija (f n), slediti, spuščati se do funkcije, izslediti smisel kvadratne povprečne vrednosti do (sploh onkraj norme), če

Pomembno je, da če se trajanje funkcij n (x) enakomerno konvergira funkciji ƒ (x) na drugi strani, potem je za doseganje velike razlike n ƒ (x) - n (x) v absolutnih vrednostih krivda majhna. za vse trikrat.

Če je n (x) pragmatično za ƒ (x) v smislu povprečnega kvadrata, potem razlika verjetno ni majhna za velik n povsod. V okolici meseca je rast morda velika, še pomembneje, a vpeta v trg po dolžini bulvarja za veliko n.

zadnjico. Naj bo slika podana malemu brez prekinitve v funkciji shmatkovo-line n (x) (n = 1, 2, ...), poleg tega

(Bugrov, stran 281, sl. 120)

Če ste naravni n

і, tudi zadnja funkcija, želim iti na nič pri n → ∞, čeprav neenakomerno. Mіzh ekipa

torej zadnja od funkcij (f n (x)) na nič v smislu povprečnega kvadrata naprej.

Obstajajo številne funkcije 1, 2, 3, ...

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Vsota prvih yogo n članov

σ n = 1 + 2 + + n

є funkcija, scho položiti do. Kako ujeti, no, funkcija je taka,

|| ƒ- σ n || → 0 (n → ∞),

potem se zdi, da vrsta (12) konvergira funkciji v smislu povprečnega kvadrata in piše

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

Opomba 2.

Vidite lahko prostor = (a, b) kompleksne funkcije ƒ (x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), de ƒ 1 (x) in ƒ 2 (x) - dejanje shmatkovo - brez prekinitev na funkciji. V širokem razponu funkcij pomnožite s kompleksnimi števili in skalarnim seštevanjem funkcij ƒ (x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) in φ (x) = φ 1 (x) + i φ 2 (x) ), vendar začnite z ofenzivnim rangom:

in norma se začne kot vrednost

Niz periodičnih funkcij Fur'є iz obdobja 2π.

Številne Fur'є omogočajo periodične funkcije, ki jih je mogoče zložiti na komponente. Menjava drsnikov in vzmeti, zamenjava, hitrost in hitrost ročičnih mehanizmov in akustičnih hvili - vse vrste praktičnega zadka za shranjevanje periodičnih funkcij v inženirskih seznamih.

Postavitev v vrsto Fur'є, ki teče na nizu, vendar vse funkcije, vendar praktično smiselne v intervalu -π ≤x≤ π, se je mogoče premikati v pogledu podobnih trigonometričnih vrstic (število podobnih členov, po

Standardni (= zvychany) zapis prek vsote sinx in cosx

f (x) = a o + a 1 cosx + a 2 cos2x + a 3 cos3x + ... + b 1 sinx + b 2 sin2x + b 3 sin3x + ...,

de a o, a 1, a 2, ..., b 1, b 2, .. - Referenčne konstante, tobto.

De za razpon od -π do π do zmogljivosti števila Fur'є, ki se plača po formulah:

Značilnosti a o, a n і b n imenovan kofіtsієntami Fur'є, in če je mogoče vedeti, se imenuje vrsta (1). naroči krzno, s funkcijo f (x). Za serijo (1) se izraz (a 1 cosx + b 1 sinx) imenuje prvi oz glavna harmonika,

Najboljši način za zapisovanje vrstice je viktorijanski sp_vvidnoshennya acosx + bsinx = csin (x + α)

f (x) = a o + c 1 sin (x + α 1) + c 2 sin (2x + α 2) + ... + c n sin (nx + α n)

De ao je konstanta, s 1 = (a 1 2 + b 1 2) 1/2, sn = (an 2 + bn 2) 1/2 je amplituda drugih komponent, za cesto pa an = arctan an / b n.

Za serijo (1) se izraz (a 1 cosx + b 1 sinx) ali c 1 sin (x + α 1) imenuje prvi oz. glavna harmonika,(a 2 cos2x + b 2 sin2x) ali c 2 sin (2x + α 2) se imenuje druga harmonika in tako daleč.

Za natančno zaznavanje zložljivega signala je potrebno neomejeno število članov. Vendar ima praktično osebje bagayokha dovolj škropljenja prvih članov.

Niz Fur'є neperiodičnih funkcij iz obdobja 2π.

Porazdelitev enkratnih funkcij na število Fur'є.

Ker funkcija f (x) ni periodična, to pomeni, da je ni mogoče postaviti v vrstico Fur'є za vse vrednosti x. Vendar pa je mogoče narediti število Fur'є, ki predstavlja funkcijo v katerem koli obsegu s širino 2?

Če je nastavljena neperiodična funkcija, je mogoče dodati novo funkcijo, vrednost f (x) v območju petja zavibrira in položaj se ponovi z razponom z intervalom 2π. Nihanja so nova funkcija є periodična s periodo 2π, її lahko razširimo na vrstico Fur'є za vse vrednosti. Na primer, funkcija f (x) = x ni periodična. Če pa je treba njeno v vrsti Fur's razširiti na interval od do 2π, bo položaj intervala periodična funkcija s periodo 2π (kot je prikazano na spodnji sliki).

Za neperiodične funkcije, kot je f (x) = x, vsota števila Fur'є vnaprej dodeljene vrednosti f (x) na vseh točkah danega obsega, ne pa f (x) za točke v post- obseg. Za poznavanje številnih Fur'є neperiodičnih funkcij v območju 2π se uporablja enaka formula koeficientov Fur'є.

Seznanjene in neparne funkcije.

Recimo, funkcija y = f (x) parna kjer je f (-x) = f (x) za vse vrednosti x. Grafi parnih funkcij temeljijo na simetričnih funkcijah (prikazane v zrcalnem načinu). Dve seznanjeni funkciji: y = x 2 і y = cosx.

Recimo, da je funkcija y = f (x) neparno kjer je f (-x) = - f (x) vse vrednosti x. Grafi neparnih funkcij so odvisni od simetričnih koordinat.

Bagato funkcije niso fantje, niso neparni.

Razširitev v vrsti Fur'є v kosinus.

Niz Fur'є seznanjenih periodičnih funkcij f (x) s periodo 2π lahko odstrani člane iz kosinusov (da ne odstrani članov iz sinusov), vključite pa lahko tudi stalnega člana. Otzhe,

de kofizinti številne Fur'є,

Niz Furove neparne periodične funkcije f (x) s periodo 2π je zamenjava členov s sinusi (da se članom ne maščujejo s kosinusi).

Otzhe,

de kofizinti številne Fur'є,

Vrstica Fur'є na pivperiodi.

Ker je funkcija namenjena območju, recimo od 0 do π, in ne samo od 0 do 2π, jo lahko postavimo v vrsto samo s sinusi ali samo kosinusi. Otrimaniy število Fur'є se imenuje naročilo Fur'є na napіvperіodі.

Treba je popraviti porazdelitev Fur'є na napivperiodi na kosinusih funkcijo f (x) v območju od 0 do π, je treba dodati par periodičnih funkcij. Na sl. Spodaj je prikazana funkcija f (x) = x, ki jo zahteva interval od x = 0 do x = π. Nihanja parne funkcije so simetrična, vendar os f (x) vodi črta AB, ki je prikazana na sl. nižje. Pustite ga, vendar se drža pogledanega intervala občasno obrezuje v trikotno obliko ê s periodo 2π, nato se prikaže okvirna grafika. na sl. nižje. Oscilacije morajo zavrniti postavitev Fur'є po kosinusih, kot in prej, izračunana učinkovitost Fur'є a o і a n

Če je treba funkcijo f (x) popraviti v območju od 0 do π, je treba uporabiti neparno periodično funkcijo. Na sl. Spodaj je prikazana funkcija f (x) = x, ki jo zahteva interval od x = 0 do x = π. Nihanja so neparna, funkcija je simetrična glede na storž koordinat, to bo črta CD, kot je prikazano na sl. Samo pustite ga, toda položaj periodičnega signala, podobnega datoteki, s periodo 2π, drža datotečnega signala s periodo 2π, nato pa odčitki na sl. Za postavitev Furina na podlagi sinusov je treba zavrniti nihanja, tako prej kot prej, preračunano na vrednost Fur. b

Število Fur'є za pred-interval.

Razširitev periodičnih funkcij iz obdobja L.

Periodična funkcija f (x) se ponavlja iz prirastkov x L, torej. f (x + L) = f (x). Če se premaknete od funkcij, ki so bile predhodno prikazane iz obdobja 2π, na funkcije iz obdobja L, da dokončate preprosto, lahko nekaj od tega naredite za dodatno spremembo spremembe.

Kako spoznati vrsto Fun'є funkcije f (x) v območju -L / 2≤x≤L / 2, uvedemo novo spremembo u v takem rangu, da je funkcija f (x) majhna perioda 2π in potem u. Če je u = 2πx / L, potem je x = -L / 2 za u = -π in x = L / 2 za u = π. Prav tako ne pustite, da je f (x) = f (Lu / 2π) = F (u). Serija Fur'є F (u) maє viglyad

De kofizinti številne Fur'є,

Vendar pa je najpogostejša formula priprava formule, dokler ne ostanejo listi. Nihanja u = 2πх / L, celo du = (2π / L) dx, in med integracijo - od -L / 2 do L / 2, spremenite - π v π. Otzhe, število Fur'є za padost iz x maє viglyad

de v razponu od -L / 2 do L / 2 zmogljivosti do števila Fur'є,

(Med integracijo je mogoče nadomestiti kateri koli interval do L, na primer od 0 do L)

Niz Fur'є za napіvperiodo za funkcije, določene v intervalu L ≠ 2π.

Za namestitev u = πх / L je interval od x = 0 do x = L od intervala od u = 0 do u = π. Seveda, funkcijo je mogoče v vrsti razširiti samo s kosinusom ali samo s sinusom, tobto. v vrstica Fur'є na pivperiodi.

Razširitev kosinusov v območju od 0 do L ma viglyad