Úloha 1. Systém vektorov Z'yasuvati, chi є je lineárne nezávislý. Systém vektorov bude daný maticou systému, ktorej stĺpce sú sčítané zo súradníc vektorov.

.

Riešenie. Poď on line kombinácia rovná sa nule. Po zapísaní hodnoty v súradniciach vezmeme systém vyrovnávania:

.

Takýto systém rovných sa nazýva trikut. Existuje len jedno riešenie . Otec, vektori lineárne nezávislé.

Úloha 2. Z'yasuvati, chi є lineárne nezávislý systém vektorov.

.

Riešenie. vektory lineárne nezávislé (rozdiel. úloha 1). Povedzme, že vektor je lineárna kombinácia vektorov . Koeficienty rozdelenia podľa vektorov vynachayutsya zo systému rovný

.

Systém Tsya, podobne ako trikutna, je jedným z riešení.

Otec, systém vektorov lineárne ladom.

rešpekt. Matice tohto druhu, ako v úlohe 1, sa nazývajú zložité , A v úlohe 2 - často zložité . Informácie o linearite systému vektorov sa dajú ľahko pomýliť, pretože matica sa skladá zo súradníc týchto vektorov a je často zložitá. Ak matica nemá špeciálny formulár, potom o pomoc elementárna transformácia riadkov , Scho zberіgayut lineárne spіvvіdnoshennia mіzh stovptsami, її môže byť znížená na podobne-zložitý vzhľad.

Elementárne transformácie riadkov matice (EPC) sa nazývajú také operácie na matici:

1) permutácia riadkov;

2) násobenie riadku na danom nulovom čísle;

3) pridanie k riadku nasledujúceho riadku, vynásobené určitým číslom.

Úloha 3. Nájdite maximálny lineárne nezávislý podsystém a vypočítajte hodnosť vektorového systému

.

Riešenie. Nasmerujme maticu systému po pomoci EPC na podobný-často-záludný vzhľad. Na vysvetlenie poradia dňa sa riadok s číslom premení na maticu s významovým symbolom. V zadnej časti stĺpca sú nad riadkami zobrazené šípky, matice sú transformované, ako keby sa na odstránenie riadkov novej matice vyžadoval viconát.

.

Je zrejmé, že prvé dva stĺpce odstránenej matice sú lineárne nezávislé, tretí stĺpec je lineárna kombinácia a štvrté stĺpce nemožno nájsť v prvých dvoch. vektory sa nazývajú základné. Zakladajú maximálny lineárne nezávislý subsystém systému , A poradie systému je tri.

Základ, súradnice

Úloha 4. Nájdite základ a súradnice vektorov v tomto základe na anonymných geometrických vektoroch, ktorých súradnice potešia myseľ .

Riešenie. Bezlіch є plochý, scho prejsť klasom súradníc. Dodatočná báza v rovine je zložená z dvoch nekolineárnych vektorov. Súradnice vektorov v obrátenej báze sú priradené riešeniam zodpovedajúceho systému lineárnych zarovnaní.

Іsnuє th іnshіy sposіb vyvіshennya tsgogo zavdannya, ak môžete poznať základ pre súradnice.

súradnice priestor nie sú súradnice na byte, takže smrad , Tobto nie je nezávislý. Nezávislé premenné i (smrady sa nazývajú voľné) jedinečne priraďujú vektor oblasti i, takže ich možno brať so súradnicami. rovnaký základ pozostáva z vektorov, ktoré ležia v rôznych množinách vo voľných premenných і , potom .

Úloha 5. Nájdite základ a súradnice vektorov v tomto základe na neosobných všetkých vektoroch v priestore, ktoré majú nepárové súradnice navzájom rovnaké.

Riešenie. Vibero, rovnako ako ja v úlohe vpred, koordinuje v priestore.

tak jaka , To sa zmení jednoznačne priraďte súradnice vektora z і, otzhe, є. Premenná báza je zložená z vektorov.

Úloha 6. Nájdite základ a súradnice vektorov v tomto základe na neosobných všetkých maticiach vo formulári , de - poriadny počet.

Riešenie. Kožná matrica s je jedinečne reprezentovateľná na prvý pohľad:

Tse spіvvіdnoshennia є razladannyam vektor z na základe
so súradnicami .

Úloha 7. Poznať expanziu a základ lineárnej obálky vektorového systému

.

Riešenie. Transformujme pomocou matice EPC zo súradníc vektora v systéme na podobne ošemetný vzhľad.

.

stovptsi zvyšné matice sú lineárne nezávislé a zvyšné matice lineárne sa cez ne ohýbať. Otec, vektori vytvoriť základ , і .

rešpekt. základ v zvolený nejednoznačne. Napríklad vektor tiež stanoviť základ .

Menovanie 1. Systém vektorov sa nazýva lineárne ladený, pretože jeden z vektorov systému môže byť reprezentovaný lineárnou kombináciou iných vektorov v systéme a lineárne nezávislý - v inom smere.

Vymenovanie 1 '. Systém vektorov sa nazýva lineárny úhor, keďže existujú čísla h 1 , h 2 , …, h k, nie všetky rovné nule, takže lineárna kombinácia vektorov s danými koeficientmi sa rovná nulovému vektoru: =, v druhom prípade sa systém nazýva lineárne nezávislý.

Ukáže sa, že hodnoty sú ekvivalentné.

Vyberme si označenie 1, potom je jeden z vektorov v systéme dobrou lineárnou kombináciou ostatných:

Lineárna kombinácia systému vector_v na nulový vektor, navyše v celkovom obsіzі kof_tsієnti tsієї kombinatsії na nulu, takže vikonuєtsya 1 '.

Nech vyhrajú menovanie 1 '. Lineárna kombinácia sústavy vektorov je drahšia a vo všeobecnosti sa koeficienty kombinácie rovnajú nule, napríklad koeficienty vektora.

Jeden z vektorov v systéme bol prezentovaný v zdanlivo lineárnej kombinácii iných, takže vektor 1.

Menovanie 2. Nazýva sa jeden vektor alebo vektor n-svetový vektor, SZO i-tá súradnica sa rovná jednej a reshta je nula.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Veta 1. Rôzne jednotlivé vektory n pokojná rozloha lineárne nezávislá.

Prinášanie. Nech lineárna kombinácia týchto vektorov s dostatočnými koeficientmi dosiahne nulový vektor.

Z ієї rіvnostі vyplivaє, scho všetky koefіtsієnti dorivnyuyut nula. Dali to dole.

kožený vektor n pokojný priestor ā (ale 1 , ale 2 , ..., ale n) môžu existovať reprezentácie pre lineárnu kombináciu jednotlivých vektorov s koeficientmi rovnými súradniciam vektora

Veta 2. Ak má systém vektorov nahradiť nulový vektor, potom je lineárne ladný.

Prinášanie. Nech je daný systém vektorov i jeden z vektorov є null, napríklad =. Takže s vektormi tohto systému je možné pridať lineárnu kombináciu rovnajúcu sa nulovému vektoru a vo všeobecnosti budú koeficienty nulové:

Otzhe, systém je lineárne ladený.

Veta 3. Ak je podsystém vektorového systému lineárne úhorový, potom je celý systém lineárne úhorový.

Prinášanie. Daný systém vektorov. Predpokladá sa, že systém je lineárne ladený, takže existujú čísla h 1 , h 2 , …, h r , Nie všetky sa rovnajú nule, takže, sho =. tiež

Ukázalo sa, že lineárna kombinácia vektorov vo všetkých systémoch je zdravá, navyše vo všeobecnosti sú koeficienty kombinácie rovné nule. Vektorový systém je tiež lineárne ladný.

Dôsledok. Tak ako je vektorový systém lineárne nezávislý, potom je lineárne nezávislý aj podsystém.

Prinášanie.

Je prijateľné viesť tak, aby bol deak subsystém lineárne ladený. Z vety je zrejmé, že celý systém je lineárne ladený. Prišli sme do protirichcha.

veta 4 (Steinitzova veta). Ako skin s vektormi a lineárnou kombináciou vektorov a m>n, potom je vektorový systém lineárne ladný.

Dôsledok. Pre žiadny systém n-svetových vektorov nemôže byť viac ako n lineárne nezávislých.

Prinášanie. kožené n-mierový vektor sa prejavuje v zdanlivo lineárnej kombinácii n jednotlivých vektorov. Pretože systém sa má pomstiť m vektor_v i m>n, Potom pre vetu, daný systém lineárne ladom.

V týchto štatistikách sme rozpovimo:

• čo sú Kolіnearnі vektory;
• ako pochopiť kolinearitu vektorov;
• ako určiť silu kolineárnych vektorov;
• aký je lineárny výskyt kolineárnych vektorov.

vymenovanie 1

Kolіnearnі vektory - tse vektory, ako rovnobežky jednej priamky alebo ležia na jednej priamke.

zadok 1

Umyte kolinearitu vektorov

Dva vektory sú kolineárne, ako keby zvíťazili nad postupujúcim myslením:

• umova 1 . Vektory a a b sú kolineárne, keď je prítomné také číslo λ, že a = λ b;
• umova 2 . Vektory a a b sú kolineárne s rovnakou množinou súradníc:

a = (a 1; a 2), b = (b 1; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• umova 3 . Vektory a a b sú kolineárne pre inteligenciu vytvorenia vektora a nulového vektora:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

rešpekt 1

Umova 2 zastosovuetsya, ako keby sa jedna zo súradníc vektora rovnala nule.

rešpekt 2

Umova 3 zastosovuetsya menej tichých vektorov, ako sú úlohy vo vesmíre.

Použite úlohu na overenie kolinearity vektorov

zadok 1

Dolіdzhuєmo vectori a = (1; 3) a b = (2; 1) pre kolinearitu.

Ako prisahať?

V tomto režime je potrebné urýchliť 2. mentálnu kolinearitu. Pre vektorové priradenia to vyzerá takto:

Žiarlivosť je nesprávna. Je možné generovať visnovoky tak, že vektory a a b sú nekolineárne.

dôkaz : A | | b

zadok 2

Ako je potrebná hodnota m vektora a = (1; 2) ab = (- 1; m), aby vektory boli kolineárne?

Ako prisahať?

Vykoristovuyuchi inú mentálnu kolinaritu, vektory budú kolineárne, takže ich súradnice budú úmerné:

Je vidieť, že m = - 2.

nápoveda: m = -2.

Kritériá lineárneho výskytu a lineárnej nezávislosti vektorových systémov

teorém

Systém vektorov vo vektorovom priestore je lineárne ladený iba v tom prípade, ak jeden z vektorov v systéme možno sledovať cez iné vektory daného systému.

Prinášanie

Nech je sústava e 1, e 2,. . . , E n є lineárny úhor. Zapíšme si lineárnu kombináciu systému do nulového vektora:

a 1 e 1 + a 2 e 2 +. . . + An e n = 0

v yakіy chcení b jeden z koeficientov kombinácie sa nerovná nule.

Nech a k ≠ 0 k ∈ 1, 2,. . . , N.

Dilema urazená časťou žiarlivosti pre nenulový koeficient:

a k - 1 (ak - 1 a 1) e 1 + (ak - 1 a k) e k +. . . + (Ak - 1 a n) e n = 0

významné:

Ak - 1 a m, de m ∈ 1, 2,. . . , K - 1, k + 1, n

V tomto duchu:

p1e1+. . . + B k - 1 ek - 1 + β k + 1 e k + 1 +. . . + Bn e n = 0

alebo e k \u003d (- β 1) e 1 +. . . + (- β k - 1) ek - 1 + (- β k + 1) e k + 1 +. . . + (- β n) a n

Ukazuje, že jeden z vektorov systému sa premieta cez všetky ostatné vektory systému. Čo bolo potrebné priniesť (ch.t.d.).

dostatočnosť

Nech je jeden z vektorov lineárne spojený so všetkými ostatnými vektormi systému:

e k = y 1 e 1 +. . . + Γ k - 1 ek - 1 + γ k + 1 ek + 1 +. . . + Γ n e n

Vektor e k sa prenesie do pravej časti váhy:

0 = y1e1+. . . + Γ k - 1 ek - 1 - ek + γ k + 1 ek + 1 +. . . + Γ n e n

Oskіlkiho koeficient vektora e k je drahý - 1 ≠ 0, máme netriviálny prejav nuly systémom vektorov e 1, e 2,. . . , E n a tse samo o sebe znamená, že daný systém vektorov je lineárne ladný. Čo bolo potrebné priniesť (ch.t.d.).

následok:

• Systém vektorov je lineárne nezávislý, ak je možné prechádzať všetkými ostatnými vektormi systému.
• Systém vektorov, napríklad na elimináciu nulového vektora alebo dvoch rovnakých vektorov, je lineárne ladný.

Dominancia lineárnych úhorových vektorov

1. Pre vektory 2. a 3. sveta víťazí myseľ: dva lineárne úhorové vektory sú kolineárne. Dva kolineárne vektory - lineárne vklady.
2. Pre 3-svetové vektory víťazia mysle: tri lineárne ležiace vektory sú koplanárne. (3 koplanárne vektory - lineárne uloženia).
3. Pre n-svetové vektory víťazí Umov: vektor n + 1 je vždy lineárne uložený.

Aplikujte riešenie úloh na lineárnu nezávislosť alebo lineárnu nezávislosť vektorov

zadok 3

Reverzibilné vektory a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 pre lineárnu nezávislosť.

Riešenie. Vektory sú lineárne ladené, malý počet vektorov je menší.

zadok 4

Reverzibilné vektory a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 pre lineárnu nezávislosť.

Riešenie. Poznáme hodnoty koeficientov, pre ktoré sa lineárna kombinácia bude rovnať nulovému vektoru:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Zaznamenávame vektorové zarovnanie lineárneho:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Tento systém skontrolujeme pomocou Gaussovej metódy:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Z 2. riadku vidíte 1., z 3. riadku - 1.:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Z 1. riadku vidíme 2., do 3. pridávame 2.:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Riešenie je zrejmé, že systém má neosobné riešenie. Tse znamená, že existuje nenulová kombinácia hodnôt takýchto čísel x 1, x 2, x 3, pre ktorú sa lineárna kombinácia a, b, c rovná nulovému vektoru. Otzhe, vektory a, b, c є lineárny úhor. ​​​​​​​

Ako ste si spomenuli na pardon v texte, buďte láskaví, pozrite si to a stlačte Ctrl + Enter

Lineárna nezávislosť a lineárna nezávislosť vektorov.
Základy vektorov. Afinný súradnicový systém

V posluchárni sú poháre s čokoládou a dnes je možné odobrať pár sladkého drievka na oko - analytická geometria s lineárnou algebrou. Tento článok bude rozdelený na dve časti pokročilá matematika, čudujem sa, aký smrad koexistuje v jednom kopci. Dajte si pauzu, s'zh "Tviks"! ... do čerta, no, niet sporu. Keďže chcem ísť dobre, nedám gól, napokon za tréning môže pozitívna nálada.

Lineárny úhor vektorov, lineárna nezávislosť vektorov, vektorový základže v. pojmy nemusia byť len geometrickým výkladom, ale predovšetkým algebrickým významom. Samotný pojem „vektor“ z pohľadu lineárnej algebry nie je ani zďaleka rovnaký ako „nadradený“ vektor, ktorý môžeme zobraziť v rovine alebo v priestore. Pre dôkaz netreba chodiť ďaleko, skúste namaľovať vektor päťrozmerného priestoru . Abo, len pockaj, na co som isiel len do G_smeteo: - teplota a atmosfericky tlak su dobre. Pažba samozrejme nie je správna z hľadiska autority vektorového priestoru, no zároveň nik nebráni formalizácii parametrov a vektora. Dych jesene....

Ahoj, nebudem ťa pokúšať teóriou, lineárne vektorové priestory, problém je v tom rozumieť definícia tejto vety. Do všetkých vektorov z pohľadu algebry sa zafixujú nové členy (lineárny vklad, nezávislosť, lineárna kombinácia, báza atď.) a následne sa použijú geometrické údaje. V tomto rangu je všetko jednoduché, dostupné a na mieste. Krіm zavdan analytická geometria je považovaná za typické úlohy algebry. Na zvládnutie materiálu je potrebné naučiť sa lekcie Vektory pre čajníkyі Ako vypočítať vyznachnik?

Lineárny úhor a nezávislosť vektora v rovine.
Rovinný základ a afinný súradnicový systém

Pozrime sa na vašu oblasť počítačový stôl(Len stolík, nočné stolíky, pіdlogi, steli, kto to potrebuje). Líder poľa v najbližších dňoch:

1) Vyberte základ oblasti. Zhruba zdanlivo má štýl dĺžku a šírku, takže sa intuitívne pochopilo, že na navodenie základu sú potrebné dva vektory. Jeden vektor zjavne nestačí, tri vektory sú príliš veľa.

2) Na základe obrátenej báze nastaviť súradnicový systém(Súradnicová mriežka) na uvedenie súradníc každého, kto je na stole s predmetmi.

Nečudujte sa, vysvetlenie bude na prstoch. Navyše na tej vašej. Buďte láskaví, odpúšťajte výrazný prst ľavej ruky na okraj slohu tak, že som sa čudoval monitoru. Tse bude vektor. teraz uložiť malíček pravej ruky na okraj stola rovnakým spôsobom - shob vin rovnanie na obrazovke monitora. Tse bude vektor. Smej sa, vyzeráš úžasne! Čo môžete povedať o vektoroch? dátové vektory kolineárne, čo znamená lineárne otoč jeden cez jeden:
, No, abo navpaki:, de - deake číslo, vіdmіnne vіd nula.

Môžete sa pozrieť na obrázok tejto akcie na lekcii Vektory pre čajníky, De som vysvetlil pravidlo násobenia vektora číslom.

Či vaše prsty nastavia základ na počítačovom stole? Očividne nie. Kolіnearnі vektory a rast cien tu a tam sám rovný a pri byte je holubica a šírka.

Takéto vektory sa nazývajú lineárny úhor.

záver: Slová „lineárny“, „lineárny“ znamenajú skutočnosť, že v matematických rovniciach, výrazoch nie sú žiadne štvorce, kocky, vyššie stupne, logaritmy, sínusy atď. Є tіlki lіnіynі (1. etapa) obrat a úhor.

Dva plošné vektory lineárne vklady vtedy a len vtedy, ak je zápach kolineárny.

Prekrížte prsty na stole, aby ste medzi nimi boli ako kut, krim 0 alebo 180 stupňov. Dva plošné vektorylineárne NIE ležať v tom a len v tom páde, ako keby smrad nebol kolineárny. Otzhe, základ je odobratý. Netreba byť benevolentný, že podklad pohľadov je „kosený“ nekolmosťou vektormi rôznych dĺžok. Čoskoro budeme dúfať, že pre jogu nie je prívesok prerezaný len pod uhlom 90 stupňov, a nielen sám, rovnaký pre vektor dozhina

Be-jaky plochý vektor jedna hodnosť rozšírené podľa základu:
, De - dіysnі čísla. telefónne čísla vektorové súradnice v tomto základe.

Zdá sa teda vektorvýkony na pohľad lineárna kombinácia bázové vektory. Tobto, viraz hovor vektorové rozloženiezáklad alebo lineárna kombinácia bázové vektory.

Napríklad sa dá povedať, že vektor rozložení na ortonormálnom základe roviny, alebo možno povedať, že znázornenie vizuálne lineárnej kombinácie vektorov.

formulovať priradenie k základu formálne: základ oblasti nazýva sa dvojica lineárne nezávislých (nekolineárnych) vektorov, , na ktorom byť ako rovinný vektor je lineárnou kombináciou základných vektorov.

Momentom vymenovania je fakt, že vektory sa berú v poradí skladieb. základ - tse dva úplne odlišné základy! Ako sa zdá, malíček ľavej ruky sa nedá preskupiť na malíček pravej ruky.

Základ sme vypracovali, ale nestačí nastaviť súradnicovú mriežku a pridať súradnice objektu skinu do tabuľky v počítači. Prečo chýba? Vektory sú voľné a trblietajú sa po celej ploche. Ako teda môžete pridať súradnice k týmto malým nejasným bodom v tabuľke, ktoré zostali po búrlivých sviatkoch? Potrebné usmernenie. І taký orientačný bod je bod známy každému - klas súradníc. Vyberáme zo súradnicového systému:

Začnite systémom "shkіlnoї". Už na úvodnej hodine Vektory pre čajníky Videl som skutky uznania medzi pravouhlým súradnicovým systémom a ortonormálnym základom. Štandardný obrázok osi:

Keď sa hovorí o pravouhlý súradnicový systém, Potom je najdôležitejšie nasadiť klas súradníc, súradnicovú os a mierku pozdĺž osí. Skúste do vyhľadávacieho poľa zadať „obdĺžnikový súradnicový systém“ a poviete si, že sa dozviete veľa o znalostiach 5. – 6. triedy súradnicových osí a o tom, ako umiestniť body do roviny.

Na druhej strane existuje efekt, že pravouhlý súradnicový systém možno určiť úplne na ortonormálnom základe. І tse mayzhe tak. Vzorec, ktorý znie ako útočná hodnosť:

klas súradníc, і ortonormálny nastaviť základ Kartézsky pravouhlý súradnicový systém roviny . Tobto, pravouhlý súradnicový systém určite znamená jeden bod a dva jednotlivé ortogonálne vektory. K tomu potrebujete kreslo, ktoré mám nave vishche - in geometrické problémyčasto (aj keď ďaleko od zavzhd) maľuje і vektory, і súradnicové osi.

Myslím, že každý pochopil, že pre ďalší bod (klas súradníc) a ortonormálny základ BUĎTE BODMI roviny a BUĎTE BODOM roviny môžete pridať súradnice. Obrazne povedané, „na námestí sa dá očíslovať všetko“.

Ste si istý, že súradnicové vektory sú jednoduché? Nі, smrad môže matka dovіlnu nenulová dovzhina. Pozrime sa na bod a dva ortogonálne vektory pomerne nenulovej dĺžky:

Takýto základ je tzv ortogonálne. Klas súradníc s vektormi nastavuje súradnicovú mriežku a či už je to bod roviny, či je to vektor na kreslenie svojich súradníc na tomto základe. Napríklad chi. Je zrejmé, že nepriehľadnosť spočíva v tom, že súradnicové vektory na vrchole kopca smútiť za rôznymi životmi, vіdminnі vіd odinitsі. Len čo sú si slobodní rovní, potom vznikne primárny ortonormálny základ.

! Poznámka : V ortogonálnej základni a tiež nižšie v aténskych základniach sa berú do úvahy roviny a priestor jednej pozdĺž osí duševne. Napríklad v jednej jednotke pozdĺž osi x sú 4 cm, v jednej jednotke pozdĺž osi 2 cm.Táto informácia stačí na to, aby sa „neštandardné“ súradnice dostali do „našich štandardných centimetrov“.

A ďalšie potraviny, pre ktoré je skutočne daná odpoveď - čo obov'yazkovo kut medzi základnými vektormi je na vine 90 stupňov? Ahoj! Ako spárovať schôdzky, základné vektory a chyby menej nekolineárne. Vіdpovіdno kut mozhe buti be-yakim, krіm 0 a 180 stupňov.

Bod bytu, ako sa tomu hovorí klas súradníc, і nekolineárne vektory, , sada afinný súradnicový systém roviny :

Inými slovami, takýto súradnicový systém sa nazýva opletené systém. Ako aplikovať body a vektory na obrázok kresla:

Ako viete, afinný súradnicový systém je menej pohodlný, nemôžete v ňom použiť vzorce vektorov a vdrіzkіv, ako sme sa pozreli na druhú časť lekcie Vektory pre čajníky, Bohaté slané vzorce, pov'yazanі z skalárne vytváranie vektorov. Potom sú spravodlivé pravidlá sčítania vektora a násobenia vektora číslom, vzorce na jeho delenie na daný výraz, ako aj typy priradení, na ktoré sa čoskoro pozrieme.

A visnovok je taký, že ho ozdobíme tým najkrajším vipadokom afinný systém súradníc je karteziánsky pravouhlý systém. Na to її, drahá, najčastejšie sa musím pozerať. ... Vtіm, všetko v tomto živote je životaschopné - existuje len málo situácií, v ktorých je samotná rieka Kosokutna (napríklad Nabuda іnsha, polárny) súradnicový systém. Tí humanoidi sa môžu do takýchto systémov zamilovať =)

Prejdime k praktickej časti. Všetky úlohy tejto lekcie platia ako pre priamočiary súradnicový systém, tak aj pre zagalovú afinitu. Nie je tu nič skladateľné, všetok materiál je prístupný školákom.

Ako určiť kolinearitu vektora v rovine?

Typická rieka. Aby sme mali dva plošné vektory gule kolineárne, potrebné a dostatočné, schob.V skutočnosti ide o súradnicové detaily zrejmého spivvіdnoshennia.

zadok 1

a) Reverzné, kolineárne vektory .
b) Chi stanovte základ vektora ?

Riešenie:
a) Prečo, čo platí pre vektory koeficient proporcionality tak, že zvíťazili rovnosti:

Obov'yazkovo rozpovіm o "pіzhonskoy" raznovidnya zastosuvannya dané pravidlo, ako celok v praxi. Cieľom je stanoviť proporciu a premýšľať, či budete mať pravdu:

Pridajme podiel vіdnosin vіdpovіdnih súradníc vectorіv:

rýchlo:
, V tomto poradí sú zodpovedajúce súradnice proporcionálne,

Nastavenie je možné zložiť a zložiť, cenná možnosť:

Pre sebaoverenie môžete skrútiť situáciu, že kolineárne vektory a lineárne ohýbať jeden cez jeden. V tejto vipadke je miesto ekvivalencie . Spravodlivosť je ľahko pereviryaє cez elementárne dії z vektory:

b) Dva vektory plochy spĺňajú bázu, pretože nie sú kolineárne (lineárne nezávislé). Dosledzhuєmo na kolinearitu vektorov . Poďme zostaviť systém:

Od prvého rovnakého, nasledujúceho, šo, od druhého rovnakého, škrípanie, šo, znamenať, systém je šialený(Neexistuje žiadne riešenie). Týmto spôsobom súradnice vektorov nie sú proporcionálne.

visnovok: Vektory sú lineárne nezávislé a tvoria základ.

Zjednodušená verzia riešenia vyzerá takto:

Sčítame podiel daných súradníc vektorov :
, Takže tieto vektory sú lineárne nezávislé a tvoria základ.

Zavolajte túto možnosť, neodmietajte recenzentov, ale obviňujte problém v tichých situáciách, ak sú súradnice rovné nule. os takto: . Abo takto: . Abo takto: . Ako tu môžem pracovať prostredníctvom pomeru? (Naozaj sa nedá deliť nulou). Z rovnakého dôvodu som jednoduché riešenie nazval „pižonský“.

nápoveda: a), b) schváliť.

Malý kreatívny zadok pre nezávislé riešenie:

zadok 2

Pre ľubovoľnú hodnotu parametra vektor bude kolineárny?

Riešenie má parameter znalosti prostredníctvom proporcie.

Používame algebraický spôsob prekontrolovania kolinearity vektorov. Systematizujeme naše znalosti a piatym bodom je práve dodamo joga:

Pre dva vektory v oblasti ekvivalentnej tvrdosti:

2) vektory a vytvorenie základu;
3) vektory NIE SÚ kolineárne;

+ 5) oscilátor, skladanie zo súradníc týchto vektorov, vіdminny vіd nula.

samozrejme, ekvivalentná protraktilná tvrdosť chodidla:
1) vektorové a lineárne vklady;
2) vektory nespĺňajú základ;
3) vektory a kolineáre;
4) vektory môžu byť lineárne spojené jeden po druhom;
+ 5) vektor, skladanie zo súradníc týchto vektorov, čo vedie k nule.

Som o tom stále viac presvedčený daný moment už ste pochopili všetky podmienky a potvrdenie.

Pozrime sa bližšie na nový, piaty odsek: dva plošné vektory kolіnearnі thodі і tіlki tіlki tоdі, ak vyznachnik, poskladá sa zo súradníc týchto vector_v, do_vnyuє nula:. Na zastavenie týchto príznakov je samozrejme potrebné pamätať si poznať vizionárov.

zrejme Príklad 1 iným spôsobom:

a) Výpočet počtu vektorov, sčítanie zo súradníc vektorov :
, Dané vektory sú teda kolineárne.

b) Dva vektory plochy spĺňajú bázu, pretože nie sú kolineárne (lineárne nezávislé). Výpočet počtu vektorov, sčítanie zo súradníc vektorov :
Takže vektory sú lineárne nezávislé a tvoria základ.

nápoveda: a), b) schváliť.

Vyzerá výrazne kompaktnejšie a atraktívnejšie, nižšie rozlíšenie s proporciami.

Pomocou recenzovaného materiálu je možné stanoviť nielen kolinearitu vektorov, ale aj priniesť rovnobežnosť čiar, priamok. Poďme sa pozrieť na pár úloh s konkrétnymi geometrickými tvarmi.

zadok 3

Vzhľadom na vrcholy chotirikutnik. Prineste, že chotirikutnik je rovnobežník.

Prinášanie: Kreslá v kancelárii nebudú potrebné, oscilácie rozhodnutia budú čisto analytické. Hádame účel rovnobežníka:
rovnobežník nazýva sa chotirikutnik, ktorý má protiľahlé strany v pároch rovnobežné.

V tomto poradí je potrebné priniesť:
1) rovnobežnosť protiľahlých strán i;
2) rovnobežnosť protiľahlých strán i.

priniesla:

1) Poznáme vektory:

2) Poznáme vektory:

Viyshov je jeden a ten istý vektor ("podľa školy" - rovnaké vektory). Kolіnearnіst zovsіm je zrejmé, ale je lepšie usporiadať riešenie jednoducho, s usporiadaním. Vypočítajme počet prídavkov zo súradníc vektorov:
, Priemer, dané vektory sú kolineárne, t.j.

visnovok: Protilezhnі strany chotirikutnik sú párovo paralelné, čo znamená, vіn є rovnobežník pre označenia. Čo bolo potrebné priniesť.

Viac dobrých a odlišných postáv:

zadok 4

Vzhľadom na vrcholy chotirikutnik. Priniesť, scho chotirikutnik є trapezієyu.

Pre viac suvoro formulácie dokážte to krajšie, nádherne, vytiahnite určenú hrazdu a len to dokončite a len hádajte, akoby ste sa pozerali von.

Tse zavdannya pre nezávislé riešenie. mimo riešenia na konci lekcie.

A teraz je čas pomaly prejsť z bytu do otvoreného:

Ako určiť kolinearitu vektora v priestore?

Pravidlo je podobné. Aby boli dva vektory kolineárne, je potrebné a postačujúce, aby ich súradnice boli úmerné.

zadok 5

Z'yasuvati, aké budú kolineárne útočné vektory a priestor:

ale);
b)
v)

Riešenie:
a) Reverzibilne, aký je koeficient úmernosti pre rôzne súradnice vektorov:

Systém nie je možné rozlíšiť, čo znamená, že vektory NIE sú kolineárne.

"Sproschenka" sa robí opätovným pomerom. V tomto pohľade:
- súradnice nie sú proporcionálne, takže vektory NIE sú kolineárne.

nápoveda: vektory NIE sú kolineárne.

b-c) Všetky body za samostatné riešenie. Vyskúšajte jogu dvoma spôsobmi.

Použite metódu opätovnej kontroly priestorových vektorov na kolinearitu a použitie premennej tretieho rádu Vector doboot vector_v.

Podobne ako pri plochej nagode môže pohľad na sadu nástrojov stagnovať s metódou zachovania rovnobežnosti otvorených priestorov a priamych línií.

Prosíme vás o ďalšie oddelenie:

Lineárny úhor a nezávislosť vektora v triviálnom priestore.
Priestranný základ a afinný súradnicový systém

Množstvo zákonov, ako sme videli na námestí, budú spravodlivé a pre priestor. Synopsu som sa snažil minimalizovať podľa teórie, kúsky ľavej časti informácií sú už rozvinuté. Prote, odporúčam, aby ste si pozorne prečítali úvodnú časť, aby ste zaviedli nové pojmy a pochopili.

Teraz sa výmena plochy počítačového stola rozširuje na trojrozmerný priestor. Vytvorme základ jogy. Kto vie naraz na mieste, kto je na ulici, ale v každom prípade sa nikam nedostaneme v troch vimirivoch: šírke, dĺžke a výške. Na vyvolanie základu sú preto potrebné tri priestranné vektory. Jeden alebo dva vektory nestačia, štvrtiny sú zayviy.

Opäť sa túlam na prstoch. Buďte láskaví, zdvihnite ruku do kopca a zdvihnite pupienok na rôznych stranách skvelé, pôsobivé prostredník . Tse budú vektory, smrad budú žasnúť na rôznych stranách, smútiť v rôznych časoch a smútiť v rôznych časoch medzi sebou. Vіtayu, základ trivimirovej rozlohy je pripravený! Pred rečou nie je potrebné predvádzať také vikladachy, ako nekrútiť prstami, ale nikam sa nedostanete =)

Dali sa pýta na dôležité jedlo, či tri vektory spĺňajú alebo nevyhovujú základu trivi-svetového priestoru? Buďte láskaví a pevne stlačte tri prsty na stôl počítača. Čo sa stalo? Tri vektory boli rozptýlené v tej istej rovine a, ako sa zdá, sme stratili jeden z vimirivov - výšku. Takéto vektory koplanárny A je úplne zrejmé, že základ trivimerického priestoru nemožno vytvoriť.

Ak to znamená, že koplanárne vektory a nie struma ležia v rovnakej rovine, smrad môže byť v rovnobežných rovinách (len nikoho neokradnite prstami, tak sa namotával len Salvador Dalí =)).

vymenovanie: Vektory sú pomenované koplanárny, Ako rovná plocha, ako paralelný smrad. Tu je logické dodať, že ak takáto rovina neexistuje, potom vektory nebudú koplanárne.

Tri koplanárne vektory pre dlhý rad ložísk, Tobto lineárne vrazhayutsya jeden cez jeden. Pre jednoduchosť si opäť všimnem, že smrad leží v jednom byte. Po prvé, vektory, a nielen to, keďže sú koplanárne, môžu byť ďalej kolineárne, aj keď vektor možno vidieť cez vektor. Iným spôsobom, napríklad, vektory NIE sú kolineárne, potom sa cez ne tretí vektor otáča v jedinom poradí: (A prečo - je ľahké uhádnuť pre materiály prednej divízie).

Slušne a neúprosne: tri nekoplanárne vektory sú vždy lineárne nezávislé, Tobto rovnakej hodnosti nie je virazhayutsya jeden cez jeden. A, samozrejme, iba takéto vektory môžu tvoriť základ trivimerového priestoru.

vymenovanie: Základ trivimirnogo rozloha nazývaná trojica lineárne nezávislých (nekoplanárnych) vektorov, prijaté v poradí, S ľubovoľným vektorovým priestorom jedna hodnosť rozložené z danej bázy, de - súradnice vektora v danej báze

Hádajte, môžete tiež povedať, že vektor reprezentácií lineárna kombinácia bázové vektory.

Pojem súradnicového systému je zavedený presne rovnakým spôsobom, ako pre plochý svah stačí jeden bod a či existujú tri lineárne nezávislé vektory:

klas súradníc, і nekoplanárne vektory, prijaté v poradí, sada afinný súradnicový systém trivi-svetového priestoru :

Je zrejmé, že súradnicová mriežka „copu“ a nie príliš praktické pivo, nie menej, nám umožňuje súradnicový systém určite označte súradnice ľubovoľného vektora a súradnice akéhokoľvek bodu v priestore. Podobne ako v rovine, v afinnom súradnicovom systéme priestor nepracuje podľa rovnakých vzorcov, o ktorých som už hádal.

Najzrejmejším a najpohodlnejším spôsobom je pád afinného súradnicového systému, ako každý háda, є pravouhlý súradnicový systém:

Ukážte do priestoru, ako sa tomu hovorí klas súradníc, і ortonormálny nastaviť základ Kartézsky pravouhlý súradnicový systém . Známy obrázok:

Predtým, ako prejsť k praktickým úlohám, znova systematizujem informácie:

Pre tri vektory v priestore ekvivalentné začiatku tvrdosti:
1) vektory sú lineárne nezávislé;
2) vektory a vytvorenie základu;
3) vektor a NIE koplanarita;
4) vektory môžu byť lineárne spojené jeden po druhom;
5) vyznachnik, skladanie zo súradníc týchto vektorov, vіdminny vіd nula.

Protilezhnі vyslovlyuvannya, myslím, zrozumіlі.

Lineárny pád / nezávislosť vektora v priestore sa tradične prehodnocuje za pomoci vedúceho (bod 5). Rasht praktické úlohy bude mať jednoznačne algebraický charakter. Je čas zavesiť geometrický kľúč na kvety a ovládať baseballovú pálku lineárnej algebry:

Tri vektory priestoru konzistencia týchto vektorov a iba ak sú rovnaké, ak sú rovnaké, skladanie zo súradníc týchto vektorov pred nulu: .

Rešpektujem malú technickú nuansu: súradnice vektorov je možné zapisovať nielen do stĺpcov, ale aj do riadkov (hodnota vektora sa nemení - pozri Sila vektorov). Ale je bohatšie na stovptsі, oskіlki tse vigіdnіshe na splnenie niektorých praktických úloh.

Tim čitateľom, ako trošky, zabudli na metódy rozrahunky maturantov a možno sa v nich slabo orientujú, odporúčam jednu z mojich najstarších lekcií: Ako vypočítať vyznachnik?

zadok 6

Overte si, či nasledujúce vektory tvoria základ triviálnej rozlohy:

Riešenie: V skutočnosti sa všetky rozhodnutia robia až do výpočtu istiny.

a) Vypočítajte premennú poskladaním zo súradníc vektora_v (premenná expanzie pozdĺž prvého riadku):

Takže vektory sú lineárne nezávislé (NIE koplanárne) a tvoria základ triviálneho priestoru.

dôkaz: Dané vektory a splnenie základu

b) Tento bod je pre nezávislé riešenie. Ďalšie rozhodnutie a kontrola na konci lekcie.

Zustrichayutsya a kreatívni pracovníci:

zadok 7

Pri akej hodnote parametra budú vektory koplanárne?

Riešenie: Vektory a komplanarnі odі і tіlki іtіlki іt, ak vyznachnik, zloží sa zo súradníc týchto vektorіv dorіvnyuє nula:

V podstate sa treba rovnať vyznachnikovi. Naleje sa na nulu ako šuliky na jerboas - signifikant navigátora zistiť v inom rade a v rade bude hľadať mínusy:

Vykonáme ďalšie predĺženie a odbočíme doprava na najjednoduchšie lineárne zarovnanie:

dôkaz: o

Tu je ľahké prehodnotiť, pre ktoré je potrebné vložiť hodnotu do konečného pisára a prehodnotiť, takže , Rozkrivshi joga po novom.

Na záver sa pozrieme ešte na jednu typická úloha, Yaka byť viac algebraickej povahy a tradične zaradený do kurzu lineárnej algebry. Podlaha je rozšírená, čo je výhoda vrchnej časti:

Aby sme dosiahli, že 3 vektory vytvárajú základ trivimerového priestoru
poznám súradnice 4. vektora v danom základe

zadok 8

Daný vektor. Ukážte, že vektory spĺňajú základ triviálneho priestoru a poznajte súradnice vektora v tomto základe.

Riešenie: Zbierame to mysľou. Za mysľou je daný chotiri vektora, i, yak bachite, už majú є súradnice v deaky základe. Čo je základ - nedráždi nás. A krik je urážlivý: tri vektory ako celok môžu vytvoriť nový základ. Prvý stupeň je opäť založený na riešeniach z príkladu 6, je potrebné skontrolovať, či sú vektory skutočne a lineárne nezávislé:

Vypočítajme počet prídavkov zo súradníc vektorov:

Takže vektory sú lineárne nezávislé a spĺňajú základ priestoru podobného trivu.

! s úctou : Vektorové súradnice obov'azkovo zapisovateľné v hlavnom meste vyznachnika, nie v radoch. V opačnom prípade budete podvodníkom v ďalšom riešení algoritmu.

Inými slovami, linearita skupiny vektorov znamená, že existuje stredný vektor, ktorý možno identifikovať lineárnou kombináciou iných vektorov v skupine.

Prijateľné. tiež

otzhe vektor X lineárny úhor z vektora v skupine.

vektory X, r, ..., z sa nazývajú lineárne nezávislé vektory, Yakshcho z rivnosti (0)

α=β= ...= γ=0.

Skupiny vektorov sú teda lineárne nezávislé, rovnako ako vektor nemôže byť reprezentovaný lineárnou kombináciou iných vektorov v tej istej skupine.

Označenie lineárneho výskytu vektorov

Uveďte úlohy m vektorov v rade v poradí n:

Zrobivshi Gausov vynyatok, vyvolal matricu (2) do horného trikutného vzhľadu. Prvky zvyšku stĺpca sa zmenia iba raz, ak sa preusporiadajú riadky. Po m krátkych odbočkách ideme:

de i 1 , i 2 , ..., i m - indexy riadkov, odobraté v prípade možnej permutácie riadkov. Pri pohľade na skrátené riadky s іndexіv іnіkіv іnclіvaєmо і, yakі іnіdpodіdat іn іdіvіdіy іnіtіv іrіkіv. Riadky Reshta vytvárajú lineárne nezávislé vektory. Podstatné je, že pri zložení matice (2), pri zmene poradia vektorov v riadkoch, je možné vybrať ďalšiu skupinu lineárne nezávislých vektorov. Ale pіdprostіr, yaku urazený tsі skupiny vectorіv utvoryuyuyut zbіgayutsya.