Overte, či je to funkcia nového diferenciálu. Diferenciálne vyrovnávanie iných diferenciálov

30.07.2020

Aký je štandardný vzhľad $P \ vľavo (x, y \ vpravo) \ cdot dx + Q \ vľavo (x, y \ vpravo) \ cdot dy = 0 $, v tomto prípade je ľavá časť posledným diferenciálom skutočná funkcia $ F \ vľavo ( x,y\vpravo)$ sa nazýva rovná ostatným diferenciálom.

Rovnicu v najnovších diferenciáloch možno prepísať ako $dF \ vľavo (x, y \ vpravo) = 0 $, de $ F \ vľavo (x, y \ vpravo) $ - taká funkcia, že $ dF \ vľavo (x, y \right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

$dF\left(x, y\right) = 0$: $\int dF\left(x, y\right) = F\left(x, y\right)$; integrál v nulovej pravej časti drahšieho pomerne konštantného $C$. Konečné riešenie tejto rovnice v implicitnej forme teda môže vyzerať ako $ F \ vľavo (x, y \ vpravo) = C $.

Aby táto diferenciálna rovnosť bola rovnaká aj v iných diferenciáloch, je potrebné a postačujúce, aby Umov $\frac(\čiastočné P)(\čiastočné y) =\frac(\čiastočné Q)(\čiastočné x) $. Ak je priradený smart vikonan, tak existuje taká funkcia $F\left(x,y\right)$, pre ktorú môžete napísať: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+ \frac(\čiastočné F)(\čiastočné y) \cdot dy=P\vľavo(x,y\vpravo)\cdot dx+Q\ľavé (x,y\vpravo)\cdot dy$ čiastočné F)(\čiastočné x) = P\vľavo(x,y\vpravo)$ i $\frac(\čiastočné F)(\čiastočné y) = Q\vľavo(x,y\vpravo)$.

Integrovateľné pred $\frac(\čiastočné F)(\čiastočné x) =P\left(x,y\right)$ nad $x$ a $F\left(x,y\right)=\int P\ left( x,y\vpravo)\cdot dx +U\vľavo(y\vpravo)$, kde $U\vľavo(y\vpravo)$ je postačujúca funkcia $y$.

Zoberme si to tak, že je splnený ďalší spin $\frac(\partial F)(\partial y) = Q\left(x, y\right)$. Pre ktoré môžeme diferencovať $F\left(x,y\right)$ vzhľadom na $y$ a výsledok prirovnať k $Q\left(x,y\right)$. Voliteľné: $\frac(\čiastočné )(\čiastočné y) \vľavo(\int P\vľavo(x,y\vpravo)\cdot dx \vpravo)+U"\vľavo(y\vpravo)=Q\vľavo( x,y\vpravo)$.

Dalsie riesenie je:

pre zvyšok rovnosti vieme $U"\left(y\right)$;
integrovateľné $U"\left(y\right)$ a známe $U\left(y\right)$;
nahradenie $U\left(y\right)$ rovné $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ a funkcia $F\left(x,y\right)$ je reziduálne prevzatá.

Poznáme rozdiel:

$U"\left(y\right)$ je integrovateľné vzhľadom na $y$ a $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$ je známe.

Známy výsledok: $F\left(x, y\right) = V\left(x, y\right) + U\left(y\right) = 5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Riešenie môžeme zapísať takto: $F \ vľavo (x, y \ vpravo) = C $ a samotné:

Známe súkromné riešenie $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, kde $y_(0) =3$, $x_(0) =2 $:

Súkromné riešenie môže vyzerať takto: 5 $ cdot x cdot y ^ (2) +3 cdot x cdot y-2 cdot y = 102 $.

Vyhlásenie o probléme v postoj dvoch svetov

Znovuobjavenie funkcií počtu zmien za її novým diferenciálom

9.1. Vyjadrenie problému v pohľade na dva svety. 72

9.2. Popis riešenia. 72

Toto je jeden z dodatkov ku krivočiaremu integrálu druhého druhu.

Vzhľadom na úplný rozdiel vo funkcii dvoch zmien:

Poznať funkciu.

1. Keďže nie každú myseľ možno vnímať ako nový rozdiel speváckej funkcie U(X,r), potom je potrebné zvrátiť správnosť zadania úlohy, na zvrátenie je potrebné prehodnotiť, že myseľ má dosť nového diferenciálu, ako môže vyzerať funkcia 2-x zmena. Tsya umova vyplivaet z tvrdenia o ekvivalencii (2) a (3) vo vete z predchádzajúceho odseku. Akonáhle bol ustanovený umova vikonan, potom bolo úlohou rozhodnúť, aby funkcia U(X,r) možno obnoviť; ak myseľ nie je zabitá, potom neexistuje žiadne riešenie, takže funkcia nemôže byť obnovená.

2. Je možné poznať funkciu za її horným diferenciálom, napríklad pre dodatočný krivočiary integrál typu II, po vypočítaní joga v priamke, ktorá je pevným bodom ( X 0 ,r 0) bod zmeny ( x;y) (Mal. osemnásť):

V tomto poradí bolo odobraté, že krivočiary integrál 2. druhu je ako úplný diferenciál dU(X,r) dobrá hodnota funkcie U(X,r) na konci a kukuričných bodoch integračnej línie.

Keď už vieme výsledok, je potrebné zabezpečiť náhradu dU do krivočiarej integrálnej virázy a vykonajte výpočet integrálu za lamanom ( ACB), nezávislosť vrakhovuyuchi jogo vo forme integračných línií:

na ( AC): na ( SW) :

(1)

V tomto rangu vypadol vzorec, k čomu slúži funkcia 2. náhrady її horného diferenciálu.

3. Je možné zlepšiť funkciu za її horným diferenciálom d(U+ const) = dU. Preto sa v dôsledku splnenia úlohy počítajú s neosobnými funkciami, že jeden typ je vypracovaný na trvalý doplnok.

Použiť (znovuobjavenie funkcií dvoch náhrad za tretí diferenciál)

1. Vedieť U(X,r), as dU = (X 2 – r 2)dx – 2xydy.

Opätovne overujeme celkový diferenciál myslenia vo funkcii dvoch zmien:

Pre nový diferenciál, vikonano, aj funkcia U(X,r) je možné obnoviť.

Perevička: - Správne.

Návrh: U(X,r) = X 3 /3 – xy 2 + C.

2. Poznať funkciu ako napr

Zopakujeme si potrebné a dostatočné znalosti o totálnom diferenciáli funkcií troch zmien: , , ako uvádza viraz.

Pri úlohách rozvyazuvanіy

všetky myslia nového diferenciálu viconanu, preto môže byť funkcia obnovená (úloha je nastavená správne).

Pridáme funkciu pomocou krivočiareho integrálu druhého druhu, vypočítame ho pozdĺž priamky, ktorá je pevným bodom a bodom zmeny, takže

(Tsya rivnіst vyvoditsya tak sám, ako v nálade dvoch svetov).

Na druhej strane, krivočiary integrál druhého druhu v prípade totálneho diferenciálu nemôže ležať vo forme integračnej línie, je ľahšie ho umiestniť za laman, ktorý je vytvorený z vetrov, rovnobežne s súradnicové osi. Ak je bod pevný, pre jednoduchosť vezmite bod s konkrétnymi číselnými súradnicami, navyše tak, aby body bodu a na celej integračnej línii mali mentálny základ krivočiareho integrálu (takže funkcie, i, sú neprerušovaný). Ak chcete zlepšiť rešpektovanie tejto úlohy, môžete si vziať pevný bod, napríklad bod M 0. Todi na koži z nôh lamanoi matimemo

10.2. Výpočet plošného integrálu prvého druhu. 79

10.3. Deyaki programy povrchového integrálu prvého druhu. 81

Môže sa stať, že posledná časť diferenciálneho vyrovnania

є povny diferenciálne pôsobiace funkcie:

a neskôr, rovná sa (7) vyzerá ako .

Ak sa funkcia rovná riešeniam (7), potom , i, tiež,

de - postina a navpaki, ako keby sa funkcia deak premietala do rovnakosti konečnej rovnosti (8), potom, odlíšiac sa od rovnakosti, je odňatá, potom sa de - dosť stalo, є zagalným integrandom vonkajšia rovnosť.

Ak je uvedená počiatočná hodnota, potom je trvalo určená z (8) a

є súkromný integrál. Ako bod potom vyrovnanie (9) znamená implicitnú funkciu vіd .

Aby ľavá časť rovnice (7) bola horným diferenciálom aktuálnej funkcie, je potrebné a postačujúce, aby

Ako keby myseľ, na ktorú poukázal Euler, bola vikonan, potom sa rovná (7) ľahko integruje. Správne,. Z druhej strany,. Otzhe,

Pri výpočte integrálu sa hodnota akceptuje tak, ako sa stala, na to je postačujúca funkcia vo forme. Pre účely funkcie je známa diferenciálna funkcia

Na základe čoho sa určuje rovné, je integrovateľné, je známe.

Podľa priebehu matematickej analýzy je jednoduchšie priradiť funkciu za її horný diferenciál zobratím krivočiareho integrálu medzi pevným bodom a bodom s meniacimi sa súradnicami pozdĺž cesty:

Najbežnejším spôsobom integrácie je manuálne vziať lamana, zloženého z dvoch nôh rovnobežných so súradnicovými osami; ktorým smerom

zadok. .

Ľavá časť sa rovná hornému diferenciálu aktuálnej funkcie, črepy

Otzhe, hlboký integrál môže vyzerať

Môžete pridať ďalší spôsob priradenia funkcie:

Za bod klasu volíme napríklad klas súradníc, ako spôsob integrácie – laman. Todi

že hlboký integrál môže vyzerať

Čo zbіgaєtsya s predchádzajúcim výsledkom, scho priniesť do spiaceho bannera.

V niektorých prípadoch, ak ľavá časť rovnosti (7) nie je tým istým diferenciálom, je ľahké zmeniť funkciu po vynásobení ľavou časťou rovnosti (7) sa prevedie na nový diferenciál. Takáto funkcia sa nazýva integračný multiplikátor. S úctou, aké násobenie integračným multiplikátorom sa dá vyrobiť predtým, než sa objavia viaceré iné riešenia, ktoré tento multiplikátor zabalia na nulu.

zadok. .

Je zrejmé, že po vynásobení multiplikátorom sa ľavá časť premení na nový diferenciál. Pravda, po vynásobení otrimaemom

v opačnom prípade integrácia, . Násobenie 2 a potencovanie, matimemo.

Je zrejmé, že integračný faktor nie je zďaleka taký jednoduchý. Na to, aby si divoch našiel hodnotu integrujúceho multiplikátora, potrebuje si vybrať ten, ktorý sa nerovná rovnakej nule, súkromné riešenie rovnosti v súkromných podobných, ale v burácajúcom pohľade

ako keby som potom išiel na ten presun nejakých dodankivov do druhej časti vyrovnanosti, aby som bol nasmerovaný pozrieť sa

Pri divokom spôsobe integrácie tsgogo rivnyanya medzi súkromných príbuzných nemôžeme odpustiť ešte viac, nižšiu integráciu vyhіdny rivnyanya, avšak v niektorých prípadoch sa integrácia súkromnej divergencie (11) nestáva zložitým.

Okrem toho je dôležité, aby integračný multiplikátor bol funkciou iba jedného argumentu (napríklad funkcie iba alebo iba, alebo funkcie iba, alebo iba atď.), môžete tiež jednoducho integrovať rovné (11) používa sa multiplikátor tohto typu. Tim sám vidí triedu rovných, čo je integrujúci multiplikátor, ktorý možno ľahko poznať.

Napríklad, viete, uvedomte si, že niektorí rovní môžu mať integračný multiplikátor, teda len niekoľko, tobto. . Zároveň (11) požiadať a pozrieť sa na pohľad, hviezdy, vvazhuyuchi neprerušovanú funkciu pohľadu, vziať

Hoci funguje len ako vіd, potom integračný multiplikátor, ktorý je menej pravdepodobné, že bude uložený vіd, іsnuє i dorivnyuє (12), inak neexistuje žiadny integračný multiplikátor.

Umov іsnuvannya іntegryuchy multiplikátor, scho vklad iba vіd, vykonano, napríklad pre lineárne іvnyannya abo. Správne, otzhe. Úplne podobne sa dá nájsť dôvod integrácie faktorov vo forme a pod.

zadok. Chi maє rovná integrujúca multiplikačná myseľ?

Výrazne. Rivnyannya (11) pri pohľade do očí sú hviezdy tiež

Pre základ integračného multiplikátora daného typu je potrebný a postačujúci príspevok na kontinuitu, aby len fungoval. Zároveň je integrujúcim faktorom є th dorіvnyuє (13). Keď sa vezme. Násobenie vihіdne rovné

Integrácia, ubratie a následné zosilnenie matimemo alebo v polárnych súradniciach - rodina logaritmických špirál.

zadok. Poznať tvar zrkadla, ktoré paralelne s touto priamkou odráža všetky zmeny, ktoré z daného bodu vychádzajú.

Položme klas súradníc na daný bod a nasmerujme všetky úsečky rovnobežne s tým, ktorý je daný v mysliach úlohy priamo. Neváhajte padnúť na zrkadlo. Do zrkadla sa môžeme pozerať rovným povrchom, ktorý môže prechádzať celou úsečkou a škvrnou. Urobme to až do resekcie povrchu zrkadla v bodoch. Takže, ako kut je pád, vymením dorіvnyuє kutu z vidbittya, potom tricoutnik je rіvnobradrenny. Otzhe,

Otrimane sa rovnako ľahko integruje tým, že nahradí zmeny, a ešte jednoduchšie, keď sa zmenil v iracionalite bannermana, prepísať jogu yak. Je tu zjavný integračný multiplikátor , , , (rodisko parabol).

Jednoduchšie je pohybovať sa v súradniciach i , takže keď striháte shuffle na povrchu, pozeráte sa na to.

Je možné priniesť základ integračného multiplikátora, inak rovnako základ nenulového riešenia rovnosti v súkromí (11) v aktívnej oblasti, pretože funkcie môžu byť nerušene stratené a akceptovanie jednej z týchto funkcií nestočí na nulu. Aj metódu integrujúceho multiplikátora možno považovať za hlbokú metódu integrácie rovnú mysli, avšak kvôli ťažkostiam s poznaním integrujúceho multiplikátora sa táto metóda s najväčšou pravdepodobnosťou uviazne v tichých situáciách, ak je integrujúci multiplikátor zrejmý. .

Ukazuje sa, ako rozpoznať diferenciálnu rovnosť v najnovších diferenciáloch. Indukovaná metóda jogy virishennya. Pažba rozv'yazuvannya je zameraná na vonkajšie diferenciály dvoma spôsobmi.

Zmist

Vstup

Diferenciálne zarovnanie prvého rádu v najnovších diferenciáloch - zarovnanie mysle:
(1) ,
de ľavá časť rovnice s horným diferenciálom pôsobiacej funkcie U (x, y) pre zmenu x, y:
.
S kým.

Už ste niekedy našli takúto funkciu U (x, y), potom vyzerám
dU (x, y) = 0.
Globálny integrál jogy:
U (x, y) = C,
de C - rýchly.

Ako diferenciálne vyrovnanie prvého rádu sa zapíše naopak:
,
potom sa joga ľahko formuje (1) . Pre koho vynásobíme rovné dx. Todi. Výsledkom je, že sme si obsedantne rovní, vyjadrené diferenciálmi:
(1) .

Sila diferenciálneho vyrovnania iných diferenciálov

Aby sme si boli rovní (1) rovnalo sa najnovším diferenciálom, bolo to nevyhnutné a dostatočné, takže spіvvіdnoshennia bola víťazná:
(2) .

Prinášanie

Ďalej poznamenávame, že všetky funkcie, ktoré sú víťazné v dôkaze, sú určené a môžu sa líšiť v rovnakej oblasti, hodnoty zmenených x a y. Krapka x 0, y0 tak si ľahni tsіy galuzі.

Pripomíname potrebu (2).
Poďme do ľavej časti rieky (1) є diferenciál pôsobiacej funkcie U (x, y):
.
Todi
;
.
Črepiny priateľa je dobré ležať v poradí diferenciácie
;
.
Pozrite sa, čo nasleduje. Nevyhnutnosť mysle (2) priniesla.

Prinášame všímavosť (2).
Poďme sa vyblázniť (2) :
(2) .
Ukážme, že je možné poznať takúto funkciu U (x, y), aký je rozdiel:
.
Tse znamená, že takáto funkcia U (x, y), ako spokojný s rovnými:
(3) ;
(4) .
Takúto funkciu poznáme. Integrálne rovnocenné (3) podľa x zadajte x 0 až do x, bez ohľadu na to, čo y je príspevok:
;
;
(5) .
Dôležitá je diferenciácia podľa y, čo x je konštantné a stabilné (2) :

.
Rivnyannia (4) bude vikonano, yakscho
.
Integrovateľné vzhľadom na y vіd y 0 pre y:
;
;
.
Prezentované v (5) :
(6) .
Otec, poznali sme funkciu, diferenciál je
.
Dostatok priniesol.

Vzorec (6) , U (x0, y0)є konštanta - funkčné hodnoty U (x, y) v bode x 0, y0. Їy môže byť uvedené, či je významné.

Ako rozpoznať vyrovnanie diferenciálov najnovších diferenciálov

Pozrime sa na diferenciálne zarovnanie:
(1) .
Na určenie toho, čo je rovnaké v najnovších diferenciáloch, je potrebné obrátiť (2) :
(2) .
Ako sa ukazuje, v najnovších diferenciáloch to stojí za to. Yakshcho nі - tse sa v iných diferenciáloch nerovná.

zadok

Overte, či sa chi є rovná najnovším diferenciálom:
.

Tu
, .
Diferenciácia vzhľadom na y, berúc do úvahy x konštantu:

.
Rozdielne

.
Oskilki:
,
potom je úloha rovnaká - pre ostatné diferenciály.

Metódy rozvyazannya diferenciálu sa rovná v najnovších diferenciálov

Metóda následného pozorovania diferenciálu

Najväčší jednoduchá metóda Dokonalosťou zoradenia v najnovších diferenciáloch je metóda následného pozorovania diferenciálu. Pre ktoré mi zastosovuєmo vzorce diferenciácie, napísané v diferenciálnom tvare:
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
V týchto vzorcoch sú u a v úplne odlišné, zložené z akejkoľvek kombinácie zmien.

zadok 1

Rozvyazati rivnyannya:
.

Už skôr sme vedeli, že cena sa rovná najnovším diferenciálom. Poďme prerobiť jogu:
(P1) .
Virishuemo rovnaké, postupne vidieť diferenciál.
;
;
;
;

.
Prezentované v (P1):
;
.

Metóda sekvenčnej integrácie

Ktorá metóda sa používa na kontrolu funkcie U (x, y), čo teší rivnyana:
(3) ;
(4) .

Integrálne rovnocenné (3) podľa x , rešpektujúc konštantu y:
.
Tu φ (y)- Dostatočná funkcia v tvare y, ako je potrebné označiť. Vaughn je trvalá integrácia. Predložené rovnako (4) :
.
Zvіdsi:
.
Integráciou poznáme φ (y) ja, v rovnakom čase, U (x, y).

zadok 2

Panenstvo rovnajúce sa najnovším diferenciálom:
.

Už skôr sme vedeli, že cena sa rovná najnovším diferenciálom. Predstavme si notáciu:
, .
Funkcia Shukaemo U (x, y), diferenciál sa rovná ľavej časti:
.
Todi:
(3) ;
(4) .
Integrálne rovnocenné (3) podľa x , rešpektujúc konštantu y:
(P2)
.
Diferenciácia vzhľadom na y:

.
Predstavme si v (4) :
;
.
Integrovateľné:
.
Predstavme si v (P2):

.
Globálne integrálne vyrovnanie:
U (x, y) = konšt.
Spojte dva príspevky do jedného.

Metóda integrácie klinovej krivky

Funkcia U , ktorá je priradená k:
dU=p (x, y) dx + q (x, y) dy,
môžete vedieť, ako integrovať zarovnanie zakrivenej krivky, ktorá spája body (x0, y0)і (x, y):
(7) .
Oskilki
(8) ,
potom by mal byť integrál uložený iba vo forme súradníc klasu (x0, y0) a kіntseva (x, y) bod i leží v tvare krivky. W (7) і (8) vieme:
(9) .
Tu x 0 a y 0 - Pobyt. Tom U (x0, y0)- tak rýchlo.

Zadok takéhoto menovania U listov o zrážkach na dôkaz:
(6) .
Tu sa integrácia uskutočňuje smerom dozadu pozdĺž klinu, rovnobežne s osou y bodu (x 0, y 0) k veci (x0, y). Potom sa integrácia vykoná pozdĺž koľajnice rovnobežne s osou x bodu (x0, y) k veci (x, y) .

Pre väčšie skrútenie je potrebné ukázať zarovnanie kriviek, ktoré sú spojovacími bodmi (x 0, y 0)і (x, y) parametrické zobrazenie:
X 1 = s(t1); r 1 = r(t1);
X 0 = s(t0); r 0 = r(t0);
x = s (t); y=r (t);
a integrovať cez t 1 typ t 0 na t.

Najjednoduchšie vykonuetsya іntegruvannya vіdrіzkom scho z'ednuє body (x 0, y 0)і (x, y). V akom smere:
X 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; r 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; D Y 1 = (y - y 0) dt 1.
Po substitúcii zadajte integrál t in 0 predtým 1 .
Tsei sposіb však priniesť dosit objemný kalkul.