Virishiti පෝෂණය zbіzhnostі අඩු koristuyuchis vyznachennyam. සංඛ්යාත්මක පේළි: පත්වීම, බලය, ධනයේ සංඥා, බට්, තීරණය

කුඩා. අකුරු ප්‍රමාණය:14.0pt">~ (div. ), පසුව සඳහා ඉඟි ~ .

Vrakhovuuchi tse, අපි ගන්නේ:

Otzhe, විසුරුවා ගණනාවක්.

D) font-size:14.0pt">,

Otzhe, විසුරුවා ගණනාවක්.

උමොව් є අවශ්ය, ale මදිපේළියේ සිහිය: පුද්ගල නොවන පේළි ඇත, ඒවා සඳහා, නමුත් yakі tim අඩු විසුරුවා හරිනු නොලැබේ.

උදාහරණ 3.පේළියේ අකුරු ප්‍රමාණය:14.0pt"> ප්‍රමාණය වෙනස් කරන්න විසඳුමක්.අපි ඒකට ගරු කරනවා https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif" width="119" height="59 src="> , එනම්, මානසික සෞඛ්ය සඳහා අවශ්යතාවය vikonano වේ. Chastkov ගේ එකතුව

වම්">

- වරක්

පසුව font-size:14.0pt">, සහ tse යන්නෙන් අදහස් වන්නේ පේළිය සීමාවෙන් ඔබ්බට අපසරනය වන බවයි.

zbіzhnosti සංඥා-ධනාත්මක පේළි වල ප්රමාණවත් සංඥා

ඉදිරියට එන්න. එකම පේළියfont-size:14.0pt"> පෙළගැස්වීමේ ලකුණ

ඉදිරියට එන්න සහ ta යනු ධන ලකුණු පේළි වේ. සියල්ලට ම, අසමානතාවය ඉවත් කරනු ලැබේ, පේළියේ සිටින අය පේළියේ viplyas වේ, එනම් පළල = "55" සහිත පේළියේ ය.

මෙම ලකුණ නොගැලපීම වැනි ශක්තියෙන් අහිමි වී ඇත, නමුත් එය වත්මන් අංකයෙන් අලුත්වැඩියා කිරීම වැනි ය. යෝගය ළඟා වන අනුපිළිවෙල අනුව අර්ථ දැක්විය හැක: විශාල පේළිය අභිසාරී වේ නම්, කුඩා පේළිය වැඩිපුර අභිසාරී වේ, කුඩා පේළිය අපසරනය නම්, විශාල එක ද අපසරනය වේ.

තට්ටම් 4.ආන්තිකය හැකිලීම අඩු 0 " style="margin-left:50.4pt;border-collapse:collapse">

;

විසඳුමක්.

A) ගෞරවාන්විතව, සෑම කෙනෙකුටම කුමක්ද? . පේළිය

B) පේළියෙන් පේළිය ..gif පළල = "91" උස = "29 src = ">. විසුරුවා, otzhe, මුළු පේළිය ද විසුරුවා.

සූත්‍රගත කිරීමේ සරල බව, සමානාත්මතාවයේ සලකුණු කුමක් වුවත්, ප්‍රායෝගිකව, ප්‍රමේයයක් පැමිණේ, එය අවසාන එකයි.

මායිම් ලකුණ

ඉදිරියට එන්න https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif" width="53" height="60 src="> - ධනාත්මක සලකුණු පේළි. kіntsevyі බිංදුවට සමාන නොවේමායිම, පසුව පේළියකට හානි කිරීම i

එකවර අභිසාරී වීම හෝ එකවර විසුරුවා හැරීම.

danim සමග සමානාත්මතාවය සඳහා ජයග්රාහී පේළියක් මෙන්, බොහෝ විට විශේෂ පේළියක් තෝරන්න . එවැනි මාලාවක් ලෙස හැඳින්වේ ඩිරිච්ලට් ඇණවුම. බට් 3 සහ 4 හි, ඩිරිච්ල් පේළිය z සහ අපසරනය වන බව පෙන්වයි. යන්න පුලුවන්ද

හායි, මොන පේළියක්ද අකුරු ප්‍රමාණය:14.0pt"> .

Yakscho, පසුව පේළිය කියලා සුසංයෝගී. සමගි මාලාව අපසරනය වීමට.

උදාහරණ 5. zbіzhnist පේළියට ඉදිරියට යන්නඋදව් සඳහා, මායිම් සලකුණු සමාන වේ

විසඳුමක්.අ) එසේනම් ශ්‍රේෂ්ඨයන් ලබා ගන්නේ කෙසේද http://www.pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif"

~, එහෙනම් ~ font-size:14.0pt">zim harmony row සමඟ යුගල කර ඇත font-size:14.0pt">, පසුව .

kіntseva සහ vіdmіnna vіd බිංදුව අතර Oskіlki මම harmonіyny පේළිය අපසරනය, පසුව අපසරනය සහ ලබා දී ඇති මාලාව.

B) විශාල පළල = "111" පළල = "119" උස = 31 src = ">.gif" width = "132" height = " 64 src = "> - මාලාවේ ප්‍රධාන සාමාජිකයා එකතු කරන්න ලබා දී ඇති දේ ශ්‍රේණිගත කරන්න:

මාලාව අභිසාරී ( Dirichlet row w font-size:16.0pt">)එබැවින් මුළු මාලාවම අභිසාරී වේ.

v) එය ඇදහිය නොහැකි තරම් කුඩා font-size:14.0pt">ඔබට හැකිය

සමාන අගයක් සමඟ ප්රතිස්ථාපනය කරන්න(https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> font-size: 20.0pt">). ;

;

;

G)

;

.

පැවරුම් සඳහා ධන සංඛ්‍යා මාලාවක් දෙන්න $sum_(n=1) ^\infty a_n$. ලාභදායිතාවයේ අවශ්‍ය ලකුණ අපි පේළියක සකස් කරමු:

1. ශ්‍රේණිය අභිසාරී වන්නේ නම්, අතුරු පදය බිංදුවට සමාන වේ: $$ \lim _(n \to \infty) a_n = 0 $$
2. ශ්‍රේණියේ පළමු පදය අතර මායිම ශුන්‍යයට සමාන නොවේ නම්, ශ්‍රේණිය අපසරනය වේ: $$ \lim _(n \to \infty) a_n \neq 0 $$

සුසංයෝගී පේළිය

Tsey පේළියමේ ආකාරයට ලියන්න $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n^p) $. තව ද, $ p $ ශ්‍රේණිය අභිසාරී වී අපසරනය වේ:

1. $ p = 1 $ නම්, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n) $ ශ්‍රේණිය අපසරනය වන අතර අවසාන පදය $ a_n = \frac( 1)( n) \ සිට 0$ දක්වා. ඇයි එහෙම? සම්බන්ධයෙන් ගත් කල, අවශ්‍ය ලකුණ ආදායම පිළිබඳ සාක්ෂි ලබා නොදෙන නමුත් අඩු ආදායමක් ගැන පමණක් බව කියනු ලැබේ. එයට, කෝෂ්ගේ අනුකලිත ලකුණ වැනි ප්‍රමාණවත් ලකුණක් තිබේ නම්, පේළිය අපසරනය වන බව පැහැදිලි වනු ඇත!
2. $ p \ leqslant 1 $ නම්, මාලාව අපසරනය වේ. බට්, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n)) $, මෙහි $ p = \frac(1)(2) $
3. $ p > 1 $ නම්, මාලාව අභිසාරී වේ. බට්, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n^3)) $, මෙහි $ p = \frac(3)(2) > 1 $

විසඳුම යොදන්න

Tsya stattya є ව්යුහගත සහ වාර්තා තොරතුරු, එය අයිතිවාසිකම් සහ කර්තව්යය විශ්ලේෂණය සඳහා හොඳ කාලයක් තුළ හැකි ය. අංක ශ්‍රේණියේ මාතෘකාව දෙස බලමු.

Tsya ලිපිය ආරම්භ වන්නේ තේරුම් ගැනීමට ප්රධාන කාර්යයන් සමඟිනි. අපි සම්මත විකල්ප සහ vivimo මූලික සූත්‍ර ලබා දුන්නා. ද්රව්යය වසා දැමීම සඳහා, ප්රධාන යෙදුම ලිපියේ තබා ඇත.

මූලික නිබන්ධන

අපට පද්ධතිය නියෝජනය කළ හැකිය: a 1 , a 2 . . . , a n, . . . de a k ∈ R , k = 1 , 2 . . . .

උදාහරණයක් ලෙස, පහත අංක ගන්න, වැනි: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, . . . .

පත්වීම 1

සංඛ්‍යා ශ්‍රේණිය යනු ∑ ak k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + යන පදවල එකතුවයි. . . + a n +. . . .

අර්ථය වඩා හොඳින් අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා, අපට vipadok දෙස බැලිය හැකිය, ඒ සඳහා q \u003d - 0. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 +. . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

පත්වීම 2

කේ k-imඅඩු සාමාජික.

Vіn මෙම ශ්‍රේණිගත කිරීම - 16 · - 1 2 k.

පත්වීම 3

පේලියට Chastkov ගේ එකතුවමෙම අනුපිළිවෙල Sn = a1+a2+ වගේ. . . + a n , yakіy n- එය අංකයක් වේවා. එස් එන් n වැනිඑකතුව අඩුයි.

උදාහරණයක් ලෙස, ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k є S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 .

S 1, S 2, . . . , එස් එන් , . . සංඛ්යාත්මක ශ්රේණියේ utvoryuyut නොගැලපීම අනුපිළිවෙල.

පේළියක් සඳහා n-aඑකතුව S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 8 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 1 - - 1 2 n සූත්‍රය පිටුපස ඇත. ජයග්‍රාහී ලෙස, පුද්ගලික මුදල් අනුපිළිවෙල පැමිණේ: 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 1 - - 1 2 n, . . . .

පත්වීම 4

මාලාව ∑ k = 1 ∞ a k є සමානඑවිට, අනුපිළිවෙල S = lim S n n → + ∞ රේඛාවේ අවසානය විය හැකි නම්. සීමාවක් නොමැති නම්, හෝ අනුපිළිවෙල සීමා නොවේ නම්, ශ්‍රේණිය ∑ k = 1 ∞ a k ලෙස හැඳින්වේ. rozbіzhnym.

පත්වීම 5

සුමි පේළිය, කුමක් යන්නද∑ k = 1 ∞ a k

මෙම යෙදුම සඳහා lim S nn → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ 1 - 1 2 n = 16 3 lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3 , ශ්‍රේණි ∑ k = 1 ∞ (- · - 1 2 k අභිසාරී වේ. එකතුව මිල අධිකයි 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .

තට්ටම් 1

rozbіzhny පේළියක බට් එකක් ලෙස, ඔබට විශාල බැනරයක් සමඟ ජ්යාමිතික ප්රගතියේ එකතුව තැබිය හැකිය, පහළ එකක්: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2n - 1 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 .

na කොටස එකතුව S n = a 1 (1 - qn) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1 මගින් තීරණය කරනු ලබන අතර, අන්තර් කොටස් එකතුව සීමා නොවේ: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

අහඹු සංඛ්‍යා ශ්‍රේණියක තවත් උදාහරණයක් වන්නේ ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + පෝරමයේ එකතුවයි. . . . මෙම ගිණුම සඳහා n, පුද්ගලික එකතුව S n = 5 n ලෙස ගණනය කළ හැක. අන්තර්-පාර්ශ්වික එකතු කිරීම් සීමා නොවේ lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞.

පත්වීම 6

මෙම පෝරමයේ එකතුව yak ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + වේ. . . + 1n +. . . - සී.ඊ සුසංයෝගීඅංක පේළිය.

පත්වීම 7

එකතුව ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1ns + . . . , ද s- decisne අංකය, є zagalnen හාර්මොනික් සංඛ්‍යාත්මක පේළිය මගින්.

හමුවීම්, වැඩිපුර බැලීම, ඔබට තවත් යෙදුම් සහ ඇණවුම් සැකසීමට උපකාරී වනු ඇත.

පත්වීම සම්පූර්ණ කිරීම සඳහා, රේඛාව සමානව ගෙන ඒම අවශ්ය වේ.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k

ආපසු හැරවීමේ ක්රමය මගින් ඩිමෝ. වයින් අභිසාරී නම්, එවිට මායිම කෙට්ටු වේ. ඔබට ලිම් n → + ∞ S n = S සහ lim n → + ∞ S 2 n = S ලෙස සමාන ලිවිය හැක. ගායනයෙන් පසුව, සමබරතාවය උමතු වේ l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 .

නවපාකි,

S 2 n - S n \u003d 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1n + 1n + 1 + 1n + 2 +. . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1n = 1n + 1 + 1n + 2 +. . . + 1 2 n

හරියටම නොගැලපීම් වන්නේ 1 n + 1 > 1 2 n , 1 n + 1 > 1 2 n . . . 1 2 n - 1 > 1 2 n . පිටතට එන්න, S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n +. . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . Viraz S 2 n - S n > 1 2 lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 ළඟා විය නොහැකි බව පැවසීමට. rozbіzhny ගණනාවක්.

1. b1+b1q+b1q2+. . . + b 1 q n +. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

සංඛ්‍යා අනුක්‍රමයේ එකතුව q හිදී ක්‍රියා විරහිත වන බව තහවුරු කිරීම අවශ්‍ය වේ< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

Zgіdno පත් කරන ලද පුද්ගලයින්ගේ උපකාරයෙන්, එකතුව nසාමාජිකයින් S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 සූත්‍රය මත රඳා පවතී.

Yakscho q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 qn - 1 q - 1 = b 1 lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 0 - - 1 = b 1 q - 1

අපි ගෙනාවා සංඛ්‍යා මාලාව අභිසාරී බව.

q = 1 b 1 + b 1 + b 1 + සඳහා. . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . S n = b 1 · n , අන්තර් අසීමිත lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞ යන අතිරේක සූත්‍රයෙන් සුමි දැනගත හැක. මෙම ප්රභේදය තුළ, පේළිය අපසරනය වේ.

යක්ෂෝ q = - 1පේළිය b 1 - b 1 + b 1 - ලෙස පෙනේ. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (-1) k + 1 . බොහෝ විට එකතු කිරීම් යුගල නොකළ සඳහා S n = b 1 ලෙස පෙනේ n, i S n = 0 යාලුවනේ n. මෙම vipadok දෙස බැලීමෙන් පසු, කිසිදු හිඩැසක් සහ වෙනස්කම් ගණනාවක් නොමැති බව අපි නැවත සලකා බලමු.

q > 1 සඳහා, lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 (qn - 1) q - 1 = b 1 lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + ∞ = 1 q - = b 1 ∞ - 1 q - 1 = ∞

Mi ගෙනාවා, scho අංක මාලාව අපසරනය කිරීමට.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k s ශ්‍රේණිය අභිසාරී වේ s > 1සහ අපසරනය, එසේ s ≤ 1 .

සදහා s = 1අපි ∑ k = 1 ∞ 1 k ගන්නෙමු, ශ්‍රේණිය අපසරනය වේ.

එස් සඳහා< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k,ස්වභාවික අංකය. Oskіlki පේළිය є razbіzhnym ∑ k = 1 ∞ 1 k , එවිට වෙනසක් නැත. මෙයට අමතරව, ∑ k = 1 ∞ 1 k s අනුක්‍රමය චක්‍රලේඛය රහිත ය. රොබිමෝ විස්නොවොක් s< 1 .

∑ k = 1 ∞ 1 k s ශ්‍රේණිය අභිසාරී වන විට බව ඔප්පු කිරීම අවශ්‍ය වේ. s > 1.

S 2 n - 1 - S n - 1 සිතන්න:

S 2 n - 1 - S n - 1 \u003d 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s + 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s = 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1(2n - 1)s

1 (n + 1) s යැයි උපකල්පනය කරන්න< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

ස්වාභාවික සහ සමාන n = 2 සංඛ්‍යා සඳහා නියෝජනය කළ හැකි සමානාත්මතාවය: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

අපි ගන්නේ:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s +. . . + 1 7 s + 1 8 s +. . . + 1 15 තත් +. . . \u003d \u003d 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +. . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

Viraz 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 +. . . - ජ්‍යාමිතික ප්‍රගතියේ එකතුව q = 1 2 s - 1 . දී vihіdnimi dannym සමග Zgіdno s > 1, පසුව 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 zbіlshuєtsya සහ මෘගයා 11-12s-1 සමඟ සම්බන්ධ වේ. පැහැදිලිවම, є අතර සහ පේළියක් є ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

පත්වීම 8

මාලාව ∑ k = 1 ∞ a k එම පුද්ගලයා සඳහා ධනාත්මක, ඒ නිසා පදය > 0 ak > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

මාලාව ∑ k = 1 ∞ b k ලකුණ ඇද ඇතසංඛ්යා සංඥා vіdrіznyayutsya ලෙස. නියෝජන ඩෙන්මාර්ක යෙදුම yak ∑ k = 1 ∞ bk = ∑ k = 1 ∞ (-1) k ak හෝ ∑ k = 1 ∞ bk = ∑ k = 1 ∞ (-1) k + 1 ak , de ak > 0 , k = 1, 2,. . . .

මාලාව ∑ k = 1 ∞ b k හුරුපුරුදුය, සෘණ සහ ධන නව සංඛ්‍යා ගණනකින් එයට.

අනෙක් විකල්පය පේළියකි - තුන්වන විකල්පයේ අවසාන පේළිය.

සම ඉවත් කිරීම සඳහා අපි එය පැළඳ ගනිමු:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

තෙවන විකල්පය සඳහා, නිරපේක්ෂ මානසික සුවපහසුව නම් කිරීමට ද හැකිය.

පත්වීම 9

ප්‍රත්‍යාවර්ත ශ්‍රේණිය ∑ k = 1 ∞ b k ද සමාන ලෙස සලකනු ලැබුවහොත් එම අවස්ථාවෙහිදී නියත වශයෙන්ම අසාර්ථක වේ.

වාර්තා කරන ලද පරිදි, අපි ලාක්ෂණික විකල්පයන් විශ්ලේෂණය කරමු

තට්ටම් 2

Yakscho පේළිය 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . i 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . සමාන ලෙස දිස්වන්න, ඉන්පසු 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + නිවැරදිව ඇතුළත් කරන්න. . .

පත්වීම 10

හුරුපුරුදු ශ්‍රේණිය ∑ k = 1 ∞ b k මානසිකව එයට සමාන යැයි සැලකේ, මන්ද ∑ k = 1 ∞ b k වෙනස් වන අතර ∑ k = 1 ∞ b k ශ්‍රේණිය සමාන ලෙස සලකනු ලැබේ.

තට්ටම් 3

අපි විකල්පය ∑ k = 1 ∞ (-1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . . නිරපේක්ෂ අගයන්ගෙන් සමන්විත ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k ශ්‍රේණිය ප්‍රභේදයක් ලෙස තෝරා ගනු ලැබේ. මෙම විකල්පය යන්න වැදගත් වේ, ඒ නිසා එය තේරුම් ගැනීමට පහසු වේ. පළමු උදාහරණයෙන්, ශ්‍රේණිය ∑ k = 1 ∞ (-1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + බව අපි දනිමු. . . bude vvazhatisya මානසිකව සමාන.

අභිසාරී වන පේළි වල ලක්ෂණ

ගායන මනෝභාවයන් සඳහා බලය විශ්ලේෂණය කරමු

1. ∑ k = 1 ∞ a k අභිසාරී වේ නම්, th ශ්‍රේණිය ∑ k = m + 1 ∞ a k ද අභිසාරී වන පරිදි හඳුනා ගැනේ. ඔබට තොරව කුමන පේළියද යන්න නියම කළ හැක එම්සාමාජිකයන් ද සමාන ලෙස සැලකේ. vipadku වලදී, අපි ∑ k = m + 1 ∞ a k kіlka අංකවලට එකතු කළහොත්, viishov වන ප්‍රතිඵලය ද සමාන වනු ඇත.
2. ∑ k = 1 ∞ a k අභිසාරී වන ආකාරය i sum = එස්, පසුව i ශ්‍රේණිය අභිසාරී කරන්න ∑ k = 1 ∞ A a k , ∑ k = 1 ∞ A a k = A S , de ඒ- ඉන්න.
3. කොහොමද ∑ k = 1 ∞ a k සහ ∑ k = 1 ∞ b k є සමාන, සුමි ඒі බී tezh, එම පේළි ∑ k = 1 ∞ a k + b k i ∑ k = 1 ∞ a k - b k ද අභිසාරී වේ. සුමි dorivnyuvatimut A+Bі A-Bපැහැදිලිවම.

කුමන ශ්‍රේණි ක්‍රියාවිරහිත විය යුතුද යන්න තීරණය කරන්න ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 .

අපි ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 වෙනස් කරමු. පේළිය ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 සමාන ලෙස සලකනු ලැබේ, නමුත් පේළිය ∑ k = 1 ∞ 1 k s නිවී යයි s > 1. අනෙක් බලය මත පදනම්ව, ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

තට්ටම් 5

∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 ශ්‍රේණිය අභිසාරී වීමට ඉඩ හරින්න.

ආපසු හැරවිය හැකි cob ප්‍රභේදය ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞.

අපි එකතුව ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 සහ ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 අඩු කරන්නෙමු. සම්භාණ්ඩ මාලාව අධිකාරයට බැසීමට හැකි වන පරිදි හඳුනාගෙන ඇත. පේළියේ කැබලි අභිසාරී වේ, එවිට පිටවීමේ විකල්පය සමාන වේ.

තට්ටම් 6

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + ශ්‍රේණිය අභිසාරී වන ආකාරය ගණනය කරන්න. . . සහ මුදල ගණනය කරන්න.

පිටවීමේ විකල්පය:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . == 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +. . . - 2 3 + 1 + 1 3 + 1 9 +. . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

සම් ශ්‍රේණිය අභිසාරී වේ, කැබලි සංඛ්‍යාත්මක අනුපිළිවෙලෙහි සාමාජිකයින්ගෙන් එකකි. තුන්වන ආධිපත්‍යයට Vіdpovіdno, අපට ගණන් කළ හැකිය, scho vihіdny ප්‍රභේදය ද සමාන වේ. එකතුව ගණනය කෙරේ: ශ්‍රේණියේ පළමු පදය ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, සහ සම්මත = 0 . 5 , පසුව පහත දැක්වෙන්නේ, ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. පළමු පදය ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 , සහ අවරෝහණ සංඛ්‍යාත්මක අනුපිළිවෙලෙහි ලකුණ = 1 3 . අපි ගන්නේ: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

Vikoristovuєmo virazi, otrimani තවත්, එකතුව 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + ගණනය කිරීම සඳහා. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

පත්වීම සඳහා අවශ්ය බුද්ධිය, චි є සමාන ගණනාවක්

∑ k = 1 ∞ ak є ශ්‍රේණිය සමාන නම්, එසේ නම් k-thපදය = 0: ලිම් k → + ∞ a k = 0 .

අපට එය විශ්වාස කිරීමට නම්, එය ප්‍රභේදයක් වුවද, සත්‍ය නොවන මනස ගැන අමතක නොකළ යුතුය. එය ජයග්රහණය නොකළහොත්, පේළිය විසුරුවා හරිනු ඇත. lim k → + ∞ a k ≠ 0 මෙන්, මාලාව වෙනස් වේ.

ඊළඟට, මනස වැදගත් වන්නේ කුමක්ද යන්න සඳහන් කරන්න, නමුත් එය ප්රමාණවත් නොවේ. සමානාත්මතාවය ලිම් k → + ∞ a k = 0 ජය ගන්නා බැවින්, එය ∑ k = 1 ∞ a k සමාන බව සහතික නොවේ.

අපි උදාහරණයක් දෙමු. හාර්මොනික් ශ්‍රේණිය සඳහා ∑ k = 1 ∞ 1 k, Umoff vikonuetsya lim k → + ∞ 1 k = 0 , නමුත් මාලාව තවමත් අපසරනය වේ.

තට්ටම් 7

කාර්යක්ෂමතාව ගණනය කරන්න ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n .

අපි නැවත සලකා බලමු lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + ≠ 0

Mezha n වැනිසාමාජිකයා හොඳ නැත 0 . Mi ගෙනාවා, scho tsey row විසුරුවා හැරීමට.

zbіzhnіst ලකුණ-ධනාත්මක මාලාව නම් කරන්නේ කෙසේද.

මායිම් නිරන්තරයෙන් ගණන් කිරීමට හැකි වන පරිදි, පවරා ඇති සලකුණු සමඟ නිරන්තරයෙන් ශ්‍රේණිගත කරන්නේ කෙසේද. Tsej razdіl folded pіd පැය vypіshennya priklіv බව zavdan ඉවත් කිරීමට උදව් එකතු. zbіzhnіst ලකුණ-ධනාත්මක පේළිය නම් කිරීමට, іsnuє pevna umova.

ධන ලකුණක් සඳහා ∑ k = 1 ∞ a k , ak > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . මුදල් ප්රමාණය ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ.

Yak porivnyuvati නිලයන්

Іsnuє kіlka යනු පේළි පෙළගැස්වීමේ ලකුණකි. Mi porіvnyuєmo පේළිය, zbіzhnіst kakogo proponuetsya vznáchiti, IZ ටිම් අසල, zbіzhnіst යක් vіdoma.

පර්ෂා ලකුණ

∑ k = 1 ∞ a k සහ ∑ k = 1 ∞ b k - ධන ලකුණු මාලාව. අසමානතාවය a k ≤ b k සඳහා වලංගු වේ k = 1, 2, 3, ...අපට ∑ k = 1 ∞ a k ශ්‍රේණියේ ∑ k = 1 ∞ b k ගත හැක. Oskіlki ∑ k = 1 ∞ a k අපසරනය, ∑ k = 1 ∞ b k ශ්‍රේණිය අපසරනයක් ලෙස ගත හැක.

සමානාත්මතාවයේ පරිපූර්ණත්වය සඳහා මෙම රීතිය නිරන්තරයෙන් සනාථ වන අතර එය zbіzhnist සංකේතවත් කිරීමට ඔබට උපකාර වන බරපතල තර්කයකි. Skladnoshchi ඔබ සමේ මානසික අවපීඩනය දුරින් දැන ගත හැකි porivnyannya සඳහා බට් ගැනීමට අවශ්ය බව බොරු කළ හැක. බොහෝ විට අවසන් කිරීම සඳහා අංකයක් මූලධර්මය අනුව තෝරා ගනු ලැබේ k-th vіdnіmannya pokaznіvіv staіnіv stаіv nіdnik і znamennik හි ප්‍රතිඵලයට dorіvnyuvatime සාමාජිකයෙක් k-thසාමාජිකයන් අඩුයි. k \u003d k 2 + 3 4 k 2 + 5 බව පිළිගත හැකිය 2 – 3 = - 1 . මෙම අවස්ථාවේදී, පෙළගැස්වීම සඳහා අවශ්ය වන්නේ කුමන පේළියද යන්න තීරණය කළ හැකිය k-imසාමාජික b k = k - 1 = 1 k, එය සුසංයෝගයකි.

ද්රව්යය වසා දැමීම සඳහා, විස්තරාත්මකව සාමාන්ය විකල්ප කිහිපයක් දෙස බලමු.

තට්ටම් 8

සැලකිය යුතු ලෙස, yakim යනු ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2 ශ්‍රේණියයි.

= 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 අතර කැබලි අසමානතාවය සාධාරණ වනු ඇත 1 කි< 1 k - 1 2 для k, yakі є ස්වභාවික. පෙර ඡේද වලින්, අපි හර්මොනික් ශ්‍රේණිය ∑ k = 1 ∞ 1 k වෙනස් බව හඳුනා ගත්තෙමු. පළමු ලකුණ සමඟ, අවසාන විකල්පය rozbіzhnym බව ආලෝකයට ගෙන ඒමට හැකිය.

තට්ටම් 9

සැලකිය යුතු ලෙස, chi є පේළියකට සමාන හෝ වෙනස් ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

බුද්ධිය අවශ්‍ය වන්නේ කුමන බට් සඳහාද, ලිම් k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0 . අසමානතාවය 1 k 3 + 3 k - 1 පෙනෙන විට සේවය කරන්න< 1 k 3 для любого значения කේ. ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 ශ්‍රේණිය සමාන වේ, නමුත් හරාත්මක ශ්‍රේණිය ∑ k = 1 ∞ 1 k s අභිසාරී වන විට s > 1. පළමු ලකුණ සමඟ Zgidno, අපි visnovok නිර්මාණය කළ හැකිය, සංඛ්යා මාලාව සමාන බව.

බට් 10

Vznachiti, yakim є series ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) . lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

කා සඳහා, සියලු විකල්ප vikonannya අවශ්ය මනස ලෙස හැඳින්විය හැක. සැලකිය යුතු වෙනස්කම් ගණනාවක්. උදාහරණයක් ලෙස, ∑ k = 1 ∞ 1 k s . පාදය හොඳ වන්නේ මන්දැයි තීරණය කිරීම සඳහා, අපට අනුපිළිවෙල (ln (ln k)), k = 3, 4, 5. . . . අනුපිළිවෙල සාමාජිකයන් ln (ln 3), ln (ln 4), ln (ln 5),. . . zbіshuєtsya අනන්තය දක්වා. සමානාත්මතා විශ්ලේෂණය කිරීමෙන් පසුව, N = 1619 අගයෙහි භූමිකාවන් ගෙන, අනුපිළිවෙල > 2 හි නියමයන් බව නිගමනය කළ හැකිය. මෙම අනුපිළිවෙල සඳහා, අසමානතාවය 1 k ln (ln k) වලංගු වේ< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

තවත් ලාංඡනයක්

∑ k = 1 ∞ a k සහ ∑ k = 1 ∞ b k ධන ලකුණු සංඛ්‍යාත්මක ශ්‍රේණි යැයි උපකල්පනය කරන්න.

lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , එවිට ∑ k = 1 ∞ b k ශ්‍රේණිය අභිසාරී වේ, i ∑ k = 1 ∞ a k ද අභිසාරී වේ.

lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , ∑ k = 1 ∞ b k ශ්‍රේණිය අපසරනය නම්, ∑ k = 1 ∞ ak ද අපසරනය වේ.

lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ i lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , එවිට ශ්‍රේණියේ පරිමාණයේ පරිමාණය යනු අනෙකාගේ පරිමාණයේ පරිමාණයයි.

අනෙකුත් සංඥා සඳහා ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 බලමු. පෙළගැස්ම සඳහා ∑ k = 1 ∞ b k ශ්‍රේණිය ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 ගන්න. සැලකිය යුතු අතර: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

තවත් ලකුණක් සමඟින්, අභිසාරී වන ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 ශ්‍රේණිය, cob ප්‍රභේදය ද අභිසාරී වන බව කෙනෙකුට දැක්විය හැක.

තට්ටම් 11

සැලකිය යුතු ලෙස, yakim යනු ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 ශ්‍රේණියයි.

අවශ්‍ය මනස විශ්ලේෂණය කරමු lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 , මෙම ප්‍රභේදයේ එය ජයග්‍රාහී වේ. වෙනත් ලකුණකට සමානව, ශ්‍රේණිය ගන්න ∑ k = 1 ∞ 1 k . Shukaєmo අතර: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k →

Zgіdno මාර්ගෝපදේශ නිබන්ධන සමඟින්, අපසරනය වන පේළියක්, පිටවීම් පේළියකින් වෙන් වේ.

තුන්වන ලකුණ

විවේකයේ තුන්වන ලකුණ දෙස බලමු.

∑ k = 1 ∞ a k සහ _ ∑ k = 1 ∞ b k ධන ලකුණු සංඛ්‍යාත්මක ශ්‍රේණි යැයි උපකල්පනය කරන්න. ඊළඟ අංකය සඳහා ගණනය කිරීම නුවණට හුරු නම් a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k , එවිට මෙම ශ්‍රේණියේ කාර්යක්ෂමතාවය ∑ k = 1 ∞ b k යනු ∑ k = 1 ∞ ak ශ්‍රේණිය ද සමාන වේ. Razbіzhny පේළිය ∑ k = 1 ∞ a k ඔහුට පිටුපසින් ඇදගෙන යන්න razbіzhnіst ∑ k = 1 ∞ b k .

ඩි ඇලම්බර්ට්ගේ ලකුණ

∑ k = 1 ∞ a k යනු ධන-සංඛ්‍යා ශ්‍රේණියක් යැයි උපකල්පනය කරන්න. ලිම් k → + ∞ a k + 1 a k කෙසේද< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1 එවිට අපි එය බිඳ දමමු.

ගරු කිරීම 1

මායිම පටු නොවන බැවින් d'Alembertගේ ලකුණ එම ආකල්පයට සාධාරණයි.

ලිම් k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , එවිට ශ්‍රේණිය є සමාන වේ, lim k → ∞ ak + 1 ak = + ∞ , එවිට අපි බෙදන්නෙමු.

lim k → + ∞ ak + 1 ak = 1 නම්, d'Alembert ලකුණ ප්‍රයෝජනවත් නොවන අතර වැඩිදුර පර්යේෂණ සිදු කිරීම අවශ්‍ය වේ.

බට් 12

සැලකිය යුතු ලෙස, chi є පේළියකට සමාන හෝ වෙනස් ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k d'Alembert ලකුණ පිටුපසින්.

සිත දිනා ගැනීමට අවශ්‍ය දේ නැවත සිතා බැලිය යුතුය. Lopital රීතිය භාවිතයෙන් දුර ගණනය කරමු: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 "2 k" = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ ලඝු-සටහන 2 = 0

මනස දිනා ගන්නා දේ ගැන අපට කතා කළ හැකිය. d'Alembert ලකුණ භාවිතා කරමින්: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1

පේළිය සමානයි.

බට් 13

සැලකිය යුතු ලෙස, chi є අත්තනෝමතික ලෙස පේළියක් ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

මාලාවේ වෙනස පෙන්වීමට අපි d'Alembert ලකුණ භාවිතා කරමු: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! k k k ! = ලිම් k → + ∞ (k + 1) k + 1 k! k k · (k + 1)! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 kk (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) kkk = lim k → + ∞ k + 1 kk = lim k → + ∞ 1 + 1 kk = e > 1

Otzhe, є razbіzhnim ගණනාවක්.

කොෂ්ගේ රැඩිකල් ලකුණ

∑ k = 1 ∞ a k යනු ධන නොවන ශ්‍රේණියක් විය හැක. ලිම් k → + ∞ a k k කොහොමද< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1 එවිට අපි එය බිඳ දමමු.

ගෞරවය 2

lim k → + ∞ ak k k = 1 නම්, මෙම ලකුණ කිසිදු තොරතුරක් ලබා නොදේ - අමතර විශ්ලේෂණයක් සඳහා අවශ්ය වේ.

Tsya ලකුණ බට් දී buti vikoristan විය හැක, yakі පහසුවෙන් vyznachiti. Vipadok ලාක්ෂණික වනුයේ සංඛ්‍යාත්මක ශ්‍රේණියේ සාමාජිකයෙකු නම් පමණි - tse විචිත්‍රවත් viraz පෙන්වයි.

Otriman තොරතුරු වසා දැමීම සඳහා, අපි ලාක්ෂණික උදාහරණ නියැදියක් බලමු.

බට් 14

සැලකිය යුතු ලෙස, චි යනු ධනාත්මක ශ්‍රේණියක් ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k සමාන වේ.

vikonan, shards lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 විසින් ගරු කිරීමට මනසක් අවශ්‍ය වේ.

ලකුණ දෙස බලන විට, ඇස හරහා බැලීමෙන්, අපට ලිම් k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0 යැයි උපකල්පනය කළ හැකිය.< 1 . Данный ряд является сходимым.

බට් 15

චි සමාන සංඛ්‍යා ශ්‍රේණිය ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 .

Vikorist ගේ ලකුණ, පෙර ඡේදයේ විස්තර කර ඇත lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

කෝෂිගේ ඒකාබද්ධ ලකුණ

∑ k = 1 ∞ ak є ධන ලකුණු මාලාවක් යැයි උපකල්පනය කරන්න. ස්ථිර නොවන තර්කයක කාර්යය නම් කිරීම අවශ්ය වේ y = f(x), n = f (n) ධාවනය කරන්නේ කුමක්ද . යක්ෂෝ y = f(x)ශුන්‍යයට වඩා වැඩි, නොකැඩී [a] ට වෙනස් කරන්න; + ∞), එහිදී a ≥ 1

එනම්, නොගැලපෙන අනුකලය ∫ a + ∞ f (x) d x є සමාන නම්, විශ්ලේෂණ මාලාව ද අභිසාරී වේ. වයින් වෙන් කර ඇත්නම්, බට් එකේ ඒවායින් ගණනාවක් ද වෙන් කරනු ලැබේ.

වෙනස් කළ ශ්‍රිතය ආපසු හරවන විට, ඔබට පෙර පාඩම් වල සමාලෝචනය කරන ලද ද්‍රව්‍ය සමාලෝචනය කළ හැකිය.

බට් 16

ශක්‍යතාව සඳහා කොටස් ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k බලන්න.

පේළියක සිහිකල්පනාව විකොනන් විසින් ගරු කරනු ලැබේ, ලිම් k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 පරිමාණය කිරීම. අපි බලමු y = 1 x ln x. Won ශුන්‍යයට වඩා විශාලයි, බාධා නොකරන අතර [2; +∞). පළමු ඡේද දෙක කලින් තීරණය කර ඇති අතර, තුන්වන ඊළඟට, වාර්තාවක් ඇත. අපි වඩාත් හොඳින් දනිමු: y "= 1 x ln x" = x ln x "x ln x 2 = ln x + x 1 xx ln x 2 = - ln x + 1 x ln x 2. [ 2 මත බිංදුව සඳහා අඩුවෙන් දිනා ඇත ; + ∞) ශ්‍රිතය දිරාපත් වන ඒවා ගැන නිබන්ධනය ගෙන ඒම අවශ්‍ය නොවේ.

හොඳයි, ශ්‍රිතය y = 1 x · ln x අපි වැඩිපුර දැක ඇති මූලධර්මයේ සලකුණු පෙන්වයි. එය වේගවත් කිරීම: ∫ 2 + ∞ dxx ln x = lm A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (l ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+∞)) - ln (ln 2) = + ∞

otrimanih ප්රතිඵල තෙක් Vіdpovіdno, vyhіdny බට් අපසරනය, අසමසම ඒකාබද්ධතාවය є razbіzhnym ක කැබලි.

බට් 17

මාලාව දිගු කරන්න ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 .

Oskіlki lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, එවිට Umov vikonana විසින් ගරු කරනු ලැබේ.

k = 4 , virniy viraz 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 සිට ආරම්භ වේ< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

ශ්‍රේණිය ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 සමාන ලෙස සලකනු ලැබේ නම්, පෙළගැස්වීමේ එක් මූලධර්මයකට අනුව, ශ්‍රේණිය ∑ k = 4 ∞ 1 ( 10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 ද සමාන විය හැක. මෙම ශ්‍රේණිගත කිරීම තුළ, වර්තමාන viraz ද සමාන බව අපට දැක්විය හැකිය.

ඔප්පු කිරීමට ඉදිරියට යන්න ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

පරිමාණ ශ්‍රිතය y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 ශුන්‍යයට වඩා වැඩි, නොකැඩ [4 ; +∞). Vikoristovuemo ලකුණ, ඉදිරිපස ඡේදයේ විස්තර කර ඇත:

∫ 4 + ∞ dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 |4 A = = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 A + 8)) 2 - 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = = - 1 10 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 ln 28 2

කෙටි ශ්‍රේණියක, ∫ 4 + ∞ dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 , අපට ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8) බව සොයා ගත හැක. ))) 3 ද අභිසාරී වේ.

Oznaka Raabe

∑ k = 1 ∞ a k ධන ලකුණු සංඛ්‍යා මාලාවක් විය හැකිය.

Yakscho lim k → + ∞ k ak a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, පසුව අභිසාරී.

විස්තර කරන ලද තාක්ෂණය දෘශ්‍ය ප්‍රතිඵල ලබා නොදෙන බැවින් ඩෙන්මාර්ක නම් කිරීමේ ක්‍රමය එම නඩුවේදී ජයග්‍රාහී විය හැකිය.

නිරපේක්ෂ zbіzhnіst මත Doslіdzhennya

ඉතිරිය සඳහා, අපි ∑ k = 1 ∞ b k ගන්නෙමු. Vikorist ගේ ධනාත්මක ලකුණ ∑ k = 1 ∞ b k. අපි be-yak z vіdpovіdnyh ලකුණ vikoristovuvat හැක, yakі අපි වැඩි විස්තර. ∑ k = 1 ∞ b k ශ්‍රේණිය අභිසාරී වන්නේ නම්, මුල් ශ්‍රේණිය සම්පූර්ණයෙන්ම සමාන වේ.

බට් 18

මාලාව දිගටම කරගෙන යන්න ∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 වමට ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2k-1.

Umovu vikonuetsya ලිම් k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Vikoristovo ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 i තවත් ලකුණක් සමඟ වේගවත් වේ: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

ශ්‍රේණිය ∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 අභිසාරී වේ. පිටත පේළිය ද සම්පූර්ණයෙන්ම සමාන ය.

Razbіzhnіst znazmіnіh ryadі

∑ k = 1 ∞ b k ශ්‍රේණිය අසමාන වන සේම, එකම හුරුපුරුදු සලකුණු මාලාව ∑ k = 1 ∞ b k අසමාන හෝ මානසිකව සමාන වේ.

d'Alembert ගේ ලකුණ සහ රැඩිකල් Cauchy ගේ ලකුණ වෙනුවට, මොඩියුල ∑ k = 1 ∞ b k ප්‍රසාරණය සඳහා ∑ k = 1 ∞ b k පමණ විස්ප් පරිපූරණය කළ හැකිය. ∑ k = 1 ∞ b k ශ්‍රේණිය ද අපසරනය වන අතර එමඟින් අවශ්‍ය මානසික ශක්‍යතාව ජය නොගනී, එවිට lim k → ∞ + b k ≠ 0 .

බට් 19

ප්‍රතිලෝම විචල්‍යතාවය 1 7 , 2 7 2 , - 6 7 3 , 24 7 4 , 120 7 5 - 720 7 6 , . . . .

මොඩියුලය k-thනියෝජන සාමාජික ak b k = k! 7 කි.

මාලාව දිගටම කරගෙන යන්න ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k! d'Alembert ලකුණෙන් ඔබ්බට දාරයේ 7 k: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7k + 1k! 7 k = 1 7 ලිම්ක් → + ∞ (k + 1) = + ∞.

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k dissperse like i, like i exit option.

බට් 20

චි є ∑ k = 1 ∞ (-1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) සමාන.

අවශ්‍ය උමොව්ගේ න්‍යාය දෙස බලමු lim k → + ∞ bk = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 "(ln (k + 1))" = = ලිම් k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . Umov යනු Vikonan නොවේ, එබැවින් ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) යනු විස්තාරණ මාලාවකි. බුලාවේ මායිම ලෝපිටල් නියමය අනුව ගණනය කරන ලදී.

මානසික සෞඛ්යයේ සංඥා

ලයිබ්නිස් ලකුණ

ඇඳ ඇති මාලාවේ සාමාජිකයින්ගේ ප්‍රමාණය අනුව, b 1 > b 2 > b 3 > වෙනස් කරන්න. . . >. . . і අන්තර් මොඩියුලය = 0 ලෙස k → + ∞ , එවිට ශ්‍රේණිය ∑ k = 1 ∞ b k ධාවනය වේ.

බට් 17

අවස්ථාව සඳහා ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) බලන්න.

නිරූපණ මාලාවක් yak ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) . umova lim k + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 සඳහා අවශ්‍යතාවය. අපි බලමු ∑ k = 1 ∞ 1 k පිටුපස තවත් සමීකරණ ලකුණක් lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) අපසරනය විය හැකිය. ශ්‍රේණිය ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) Leibniz ලකුණෙන් පසුව අභිසාරී වේ: අනුපිළිවෙල 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10 , 2 2 + 1 5 2 (2 + 1) = 5 30 , 2 3 + 1 5 3 3 + 1, . . . වෙනස්කම් i lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

ගණනාවක් මානසිකව අභිසාරී වේ.

Abel-Dirichlet හි ලකුණ

∑ k = 1 + ∞ u k · v k නිවී යයි, මන්ද ( u k ) වර්ධනය නොවන අතර ∑ k = 1 + ∞ v k අනුපිළිවෙල සීමා වේ.

බට් 17

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + දිගටම කරගෙන යන්න. . . පහසුව සඳහා.

දෘශ්යමාන

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

de(u k) = 1, 1 2, 1 3,. . . - අස්ථායී, සහ අනුපිළිවෙල (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2,. . . fringed (S k ) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0,. . . . ගණනාවක් අභිසාරී වේ.

පෙළෙහි සමාව ඔබට මතක ඇති ආකාරය, කරුණාවන්ත වන්න, එය බලන්න සහ Ctrl + Enter ඔබන්න