Izračunavanje površine lika okružene linijama, zadano parametarski. Kako izračunati površinu figure i volumen omotača tijela, kako je linija parametarski postavljena? Kako znati područje u mojoj vipadki

Predavanja 8. Programi integralnog pjevanja.

Dodatak integrala fizičkim problemima temelji se na moći aditivnosti integrala za impersonalno. Stoga se, uz pomoć integrala, takve količine mogu izbrojati, kao da su same aditivne u višestrukosti. Na primjer, površina figure jednaka je zbroju površina Dovzhinovog luka, površina površine, volumen tijela, masa tijela mogu imati istu snagu. Taj se broj veličina može izračunati uz pomoć jednostavnog integrala.

Možete izokrenuti dvije metode i riješiti probleme: metoda integralnih zbrojeva i metoda diferencijala.

Metoda integralnih zbroja ponavlja konstrukciju prvog integrala: doći će do rascjepa, izračunaju se točke za koje se izračunava funkcija, izračunava se integralni zbroj, granični prijelaz se rotira. Za koga su sve metode osnovne preklapanja - dovesti ono što je između vas i isto ono što je potrebno za zadatak.

Metoda diferencijala vikorističkih nevrijednosti integrala i Newton-Leibnitzove formule. Izračunajte diferencijal veličine, prema potrebi, da buv, integrirajući diferencijal, za Newton-Leibnitzovu formulu, uzme traženu veličinu. Tko ima cijelu metodu osnovne konzistentnosti - donijeti ono što je izračunat diferencijal tražene vrijednosti, i ništa drugo.

Izračunavanje površine ravnih figura.

1. Slika je okružena grafom funkcije zadan kartezijanski koordinatni sustav.

Sing integral smo shvatili u smislu površine krivuljastog trapeza (zapravo, metoda integralnih zbroja). Ova funkcija samo prihvaća vidi značenje tada se površina ispod grafa funkcije na vídrízki može izračunati uz pomoć sing integrala. Mi to poštujemo Zbog toga se ovdje može koristiti diferencijalna metoda.

Ali funkcija također može uzeti negativne vrijednosti na drugoj strani, ali integral druge strane dobiva negativnu površinu, koja prekriva označeno područje.

Pomoću formule možete izračunati površinuS=. Bitno je promijeniti predznak funkcije u mirnim područjima, u kojima postoje negativne vrijednosti.

Ako trebate izračunati površinu figure, okruženu grafom funkcije prema zvijeri, a ispod grafom funkcije, tada možete koristiti formuluS= , tako jak.

guzicom. Izračunajte površinu figure, okruženu linijama x=0, x=2 i grafovima funkcija y=x 2 , y=x 3 .

Vrijedi napomenuti da interval (0,1) ima neravninu x 2 > x 3 , a za x > 1 neravninu x 3 > x 2 . Tom

2. Slika je okružena grafom funkcije, dane u sustavu polarnih koordinata.

Pustite graf funkcije zadatka za polarni koordinatni sustav i želite izračunati površinu krivolinijskog sektora, okruženog s dvije razmjene i grafom funkcije za polarni koordinatni sustav.

Ovdje možete koristiti metodu integralnih zbroja, računajući površinu krivolinijskog sektora između zbroja površina elementarnih sektora, u kojem je graf funkcije zamijenjen lukom udjela .

Možete izokrenuti diferencijalnu metodu: .

Možete mirkuvati ovako. Zamjena elementarnog krivolinijskog sektora, koji središnjem kutu daje kružni sektor, možda proporciju. Zvídsi . Integrirajući vikorističku formulu Newtona - Leibnitza, naravno .

guzicom. Izračunajte površinu udjela (perevirim formula). dragi. Područje udjela je skuplje .

guzicom. Brojim područje, okružen sam kardiogramom .

3 Slika je okružena grafom funkcije određene parametrima.

Funkcija se može postaviti parametarski kao . Koristimo formulu S= , zamjenjujući njezinu interintegraciju novom promjenom. . Kada izračunate integral, vidite ta područja, deintegralna funkcija može imati prvi predznak i štiti cijelo područje ovim drugim predznakom.

guzicom. Izračunajte površinu, okružite je elípsom.

Koristimo simetriju elipse, računajući površinu četvrtine elipse, koja se nalazi u prvom kvadrantu. Čiji kvadrant? Tom.

Obračun kontakata tel.

1. Izračun obsyagív tíl za područja paralelnih reperíziv.

Neka je potrebno izračunati volumen stvarnog tijela V za zadane površine presjeka tijela ravninama okomitim na pravu OX, povlačeći točku x ravne OX.

Potrebna nam je metoda diferencijala. Važno je da se uzima elementarni volumen, iznad okomitog volumena ravnog kružnog cilindra s površinom baze i visinom . Integrirajući i zastosovuyuchi Newton-Leibniz formulu, uzimamo

2. Izračun je obsyagív do omatanja.

Neka bude potrebno virahuvati VOL.

Todi .

Slično, volumenOY Ako je funkcija data pregledniku, može se izračunati pomoću formule.

Ova funkcija je postavljena za gledatelja i potrebno je odrediti volumen omotača tijela oko osiOY formulu za obračun obveze može skinuti nadolazeći rang.

Prijelaz na diferencijal i ne korištenje kvadratnih pojmova, možda . Integrirajuća i zastosovuyuchi Newton-Leibnizova formula, možda.

guzicom. Izračunajte obsyag cooli.

guzicom. Izračunajte volumen pravog kružnog stošca okruženog površinom.

Izračunajmo volumen, poput volumena tijela omotača, napravljenog oko OZ osi ravno rezanog trikota u ravnini OXZ, čiji krak leži na osi OZ i ravna je z \u003d H, a hipotenuza leži na pravoj liniji.

Okrećući x kroz z, možemo uzeti .

Izračunajte duljinu luka.

Kako bismo uzeli formule za izračun stražnjeg dijela luka, u 1. semestru smo izradili formulu za diferencijal stražnjeg dijela luka.

Poput luka u grafu neprekinuto diferencirane funkcije, diferencijal drugog luka može se izračunati pomoću formule

. Tom

Iako je glatki luk zadan parametarski, onda

. Tom .

Isto tako, luk je postavljen u polarnom koordinatnom sustavu, onda

. Tom .

guzicom. Odmotati rub luka grafa funkcije, . .

Prvo idite na formule za područje površinskog omotača, za kratku formulu samog površinskog omota. Gornji omotač, ili, što je isto - gornji omot za tijelo - prostrana figura, omot je napravljen u vídrízku AB krivulja na osi Vol(Slika ispod).

Otkrit ću krivuljasti trapez, okružiti ću zvijer krivuljom nagađanja krivulje. Tílo, napravljeno za zamatanje tsíêí̈ trapezíí̈ navko tiêí̈ zh osí Vol i ê tílo zamatanje. A područje površinskog omotača ili površine omotača tijela je cijela ljuska yogo ovnishnya, a ne rahuyuchi kíl, utavleny omoti na osi ravno x = aі x = b .

S poštovanjem, da se tijelo omota i, očito, ista površina mogu napraviti tako da omoti figure nisu na osi. Vol, ali oko osi Jao.

Proračun površine omota, dane u pravokutnim koordinatama

Idemo na pravokutne koordinate na ravnoj ravnini y = f(x) data je krivulja, omotavanje oko koordinatne osi dobiva tijelo omotača.

Formula za izračun površine omotača je sljedeća:

(1).

primjer 1. Upoznajte površinu površine paraboloida prekrivenu omotima oko osi Vol parabolični lukovi koji se mijenjaju x pogled x= 0 do x = a .

Riješenje. Možemo jasno vidjeti funkciju, dok postavljamo luk parabole:

Znamo sljedeće funkcije:

Prvo, ubrzajmo formulu za poznavanje površine omotača površine, napišimo taj dio íí̈ pídíntegralnogo viraze, poput korijena i moguće je da postoji samo poznat pokhídn:

Vidpovíd: dozhina luk krivo dorívnyuê

.

guza 2. Upoznajte površinu površine koja se obavija oko osi Vol astroidi.

Riješenje. Dovoljno je izračunati površinu površine, koja će izaći u omotač jedne astroidne igle, naborane u prvoj četvrtini, i pomnožiti njen s 2. Iz poravnanja astroida, jasno je da je to funkcija, pa ćemo morati uvesti formulu za izračun kolapsa površine:

.

Integracija varijable od 0 do a:

Proračun površine omota, zadan parametarski

Možemo pogledati nagib, ako je krivulja koja postavlja površinu omota postavljena parametarskim jednakostima

Ista površina omatanja površine izračunava se prema formuli

(2).

primjer 3. Poznajte područje površinskog omotača, prekrivenog omotima na osi Jao lik, okružen cikloidom i ravnom linijom y = a. Cikloida je dana parametarskim jednakostima

Riješenje. Znamo mjesto križanja cikloide i ravne linije. Poravnavanje poravnanja cikloida i poravnanje ravnih linija y = a, znamo

Zašto vidite što pokazuje interintegracija

Sada možemo ispuniti formulu (2). Upoznajmo zabavu:

Zapisujemo korijen viraze u formulu, koja predstavlja poznate rezultate:

Znamo korijen ovog virusa:

.

Pretpostavimo da smo pronašli formulu (2):

.

Napravimo zamjenu:

Ja, nareshti, znamo

Konvertirani virusi imaju različite trigonometrijske formule

Prijedlog: površina omotača je dobra.

Proračun površine omota, dane u polarnim koordinatama

Neka krivulja obavija površinu, postavljena u polarnim koordinatama.

Volim vas, studenti VNZ Argemony!

Još trohi - i tečaj će biti završen, a mi ćemo se odmah pobrinuti za osovinu.

Zhouli trohi je odmahnula rukom - i na vjetru se učinilo da stoji. Točnije, bio je to pravocrtni trapez. Vaughn je samo visio u zraku, stvoren magičnom energijom, dok je tekao duž njenih strana, a također se kovitlao usred samog trapeza, kroz koji je sav vibrirao i svjetlucao.
Zatim je vikladach trohi prstima svoje ruke kružnim pokretom pomitirao - i trapez se počeo omotati oko nevidljive osi. Tiho, onda ćemo biti sve bolji i bolji - da bi se u budućnosti počeo pojavljivati ​​obim objavljivanja. Činilo se da se čarobna energija diže iz nje.

Dali trapilo ovako: blistave konture lika i njezina iznutra počele su se hvatati kao govor, svjetlo je postajalo sve manje nezaboravno, zatim je sam lik postajao sve sličniji schos vodchutne. Zrna materijala postupno su podijeljena prema slici. Prva os je nestala: omot, svijeća. Povitri visiv ima predmet sličan virvi. Zhouly je pažljivo stavio jogo na stol.

Pa osovina. Otprilike na taj način moguće je materijalizirati mnogo objekata - na način omotanja, poput ravnih figura koje su gotovo ravne linije. Očito je da je za materijalizaciju potrebno pjevati puno govora, kako bi se ispunio cijeli volumen koji je staložen i vremenski prigušen za dodatnu magičnu energiju. A osovina, da bi se točno razveselila, koliko je govora potrebno, - potrebno je poznavati tijelo koje se prihvaća. Inače, ako nema dovoljno govora, neće se moći pokriti cijeli volumen samim sobom i tijelo može biti njemačko, s vadama. A materijali su još više uljepšani velikim suviškom govora - nije potrebno odisati magičnom energijom.
Pa, kako to da imamo puno govora? Todi, osim brojanja obsyagi tel, možete procijeniti, što se tiče rozmirami tílo možemo rasti bez posebnih količina magične energije.
Svaki višak primljenog materijala je druga misao. Gdje će nestati suvišni govori? Obsipayutsya, biti ne zadíyanimi? Chi stick na tijelu abyaka?
Ovdje se treba još razmišljati. Čim si imao neke misli, onda sam ih od zadovoljstva slušao. U međuvremenu, prijeđimo na izračun obsyagiv tíl, oduzimajući takav način.
Ovdje se može vidjeti papalina vipadkiva.

Vipadok 1.

Područje je, kao što ćemo omotati, najklasičniji krivocrtni trapez.

Očito je da se možemo omotati samo oko osi OH. Kako da uništim desni trapez vodoravno da ne preplavi cijeli OY, možete ga omotati oko i oko osi. Formule pravopisa za oba vipadkív su sljedeće:

Budući da ste već savladali osnovne mađioničarske trikove na funkciji, mislim da vam neće biti važno da lik prenesete tako u koordinatne osi, ako je potrebno, tako da će vam biti zgodno za rad s njim.

Vipadok 2

Možete omotati ne samo klasični krivocrtni trapez, već i lik takvog izgleda:

Prilikom zamatanja oduzimamo vlastiti prsten. I nakon što smo prenijeli lik na pozitivno područje, možemo je zamotati i odabrati os OY. Tezh otrimaêmo kíltse chi ní. Položiti sve na način da je lik roztashovuvatym: ako prođete granicu točno duž osi OY, tada se prsten neće vidjeti. Moguće je razotkriti obsyagi takvih omotača, koristeći sljedeću zapovijed:

Vipadok 3.

Pogodimo, imamo divne krivulje, ali takve da se ne pitaju na nama poznat, već na parametarski način. Takve su krivulje često zatvorene. Parametar t je kriv za promjenu na način da zatvorena figura, kada zaobiđe njen po krivuljama (srednja), više nije zao.

Zatim za izračun volumena tijela, omatanje treba obaviti na osi OH ili OY, morate baciti takvu čaroliju:

Qi formule mogu se uvijati u smjeru nezatvorenih krivulja: ako krajevi poslušnosti leže na osi OX i osi OY. Slika izgleda zatvorena na bilo koji način: krajevi zatvaraju os.

Vipadok 4.

Neke od magičnih krivulja dane su polarnim koordinatama (r=r(fi)). Istu figuru možete omotati oko polarne osi. U tom smjeru se kartezijanski koordinatni sustav spušta od polara i leži
x = r (fi) * cos (fi)
y=r(fi)*sin(fi)
Na taj način dolazimo do parametarskog oblika krivulje, gdje je parametar fi kriv za promjenu na način da pri obilasku krivulje područje postaje lijevo.
Í koristuêmosya inkantacijske formule z nagodi 3.

Međutim, za vipadku polarne koordinate ê í ima vlastitu formulu zapovijedanja:

Očito se plosnate figure mogu omotati oko što više drugih ravnih linija, ne samo OX i OY osi, ali ako su manipulacije već presavijene, bit ćemo okruženi onim zavojima o kojima je bilo riječi u predavanju.

A sada domaća zadaća. Ne dajem vam konkretne brojke. Već smo razvili puno funkcija i želim da ga sami dizajnirate na način da vam zatreba u magijskoj praksi. Mislim da će na predavanju biti dovoljno primjera za sve.

Ako smo razradili geometrijski zm_st integrala sing, došli smo do formule, uz pomoć koje možete znati područje krivuljastog trapeza, okruženog apscisom, ravnim linijama x=a, x=b, kao i non-stop (nevidljivo nepozitivna) funkcija y = f(x) . Ponekad možete jednostavno postaviti funkciju koja okružuje lik koji izgleda kao parametarski. družiti se funkcionalna ustajalost kroz parametar t. U okviru ovog materijala pokazujemo kako možete znati područje figure, budući da je okružena parametarski zadanom krivuljom.

Nakon objašnjenja teorije i prikaza formula, analizirat ćemo karakteristične primjere za područje takvih članaka.

Osnovna formula za izračun

Pretpostavimo da imamo krivolinijski trapez, između kojih se nalaze ravne x = a , x = b , sve O x í parametarski je zadana krivulja x = φ (t) y = ψ (t), a funkcije x = φ (t) i y = ψ (t) je neprekinut na intervalu α; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Imenovanje 1

Za izračunavanje površine trapeza za takve umove potrebno je osvojiti formulu S (G) = ∫ α β ψ (t) φ "(t) d t.

Razvili smo formule za ravni krivolinijski trapez S (G) = ∫ a b f (x) d x metodom supstitucije x = φ (t) y = ψ (t) :

S(G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ "(t) d t

Imenovanje 2

Vrahovuyuchi monotona promjena funkcije x = φ (t) na intervalu β ; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Ako funkcija x = φ (t) nije uključena u osnovne elementarne, onda trebamo pogoditi osnovna pravila za rast te promjenjive funkcije na intervalu, kako bismo mogli odrediti hoće li ona rasti ili padati.

Za koga se cijela točka treba razriješiti, zadatak zastosuvannya formule, koja je podignuta.

guza 1

Umov: pronaći površinu figure, kako napraviti liniju, zadano je jednakom obliku x = 2 cos t y = 3 sin t .

Riješenje

Možemo parametarski postaviti liniju. Grafički se njezino može prikazati gledanjem elipse s dva slova 2 i 3. Div za ilustraciju:

Pokušajmo saznati površinu 1 4 slike, budući da ona zauzima prvi kvadrant. Područje je u intervalu x ∈ a; b = 0; 2. Pomnožimo vrijednost sa 4 i znamo površinu cijele figure.

Os prekoračenja našeg izračuna:

x = φ (t) = 2 cos ty = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Kada je k, što je jednako 0, oduzimamo interval β; α = 0; π 2 . Funkcija x = φ (t) = 2 cos t monotono će se smanjivati ​​na novoj (izvješće o nevjerojatnom članku o glavnim elementarnim funkcijama i njihovoj snazi). Također, možete izračunati formulu za izračunavanje površine i znati sing integral, koristeći Newton-Leibniz formulu:

- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π 2 \u003d 3 π 2 - sin 2 π 2 2 - 0 - sin 2 0 2 \u003d 3 π 2

Dakle, površina figure koju daje vanjska krivulja jednaka je S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π .

Prijedlog: S(G) = 6 π

Treba pojasniti da je prilikom rješavanja problema bilo moguće uzeti ne više od četvrtine elipse, a jednu i pol - gornju i donju. Jedna polovica bit će podijeljena na interval x ∈ a; b=-2; 2. Čija je vipadka u nas otišla b:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k , k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k , k ∈ Z

Ovim redoslijedom, kada je k jednako 0, oduzeli smo β; α = 0; π. Funkcija x = φ (t) = 2 cos t na koji će interval biti monotono opadajući.

Nakon toga izračunavamo površinu polovice elipse:

- ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

Važno je da možete uzeti samo gornji i donji dio, ali ne možete uzeti desni.

Moguće je presavijati parametarsko poravnanje ove elipse, čije će središte biti rašireno na klipu koordinata. Izgleda kao x = a cos t y = b sin t. Na taj način, baš kao i u aplikaciji, oduzimamo formulu za izračun površine belepsa S elipsa a \u003d πab.

Postavite ulog, središte nekog razvrstavanja na klip koordinata, možete koristiti dodatno poravnanje x = R · cos t y = R · sin t , gdje je t parametar, a R polumjer ovog udjela. Čim ubrzamo s formulom za površinu elipse, tada oduzimamo formulu za koju možemo izračunati površinu udjela polumjera R: S okrugli i \ u003d πR 2.

Pogledajmo još jedan zadatak.

guza 2

Umov: saznajte zašto je površina figure vrijednija, jer je okružena parametarski zadanom krivuljom x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t.

Riješenje

Pojasnimo samo da ova krivulja može izgledati kao dobro utabani astroid. Ozvučite astroid da se izrazi uz pomoć jednakog oblika x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t.

Sada se navodno raspravlja o tome kako izazvati takvu krivulju. Vikonaëmo pobudovu za okremi bodova. Metoda najšireg raspona koja se može koristiti za veći zadatak. Više preklopne dionice potrebno je provesti diferencijalni izračun kako bi se otkrila parametarska funkcija.

Imamo x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t.

Zadane funkcije dodijeljene su svim stvarnim vrijednostima t. Za sin í cos, jasno je da smrad ê periodičan i njihov period postaje 2 pí. Nakon što smo izračunali vrijednosti funkcija x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t za t = t 0 ∈ 0; 2 π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 ? 8, uzeti točke x 0; y 0 = (φ (t 0); ψ (t 0)) .

Napravimo tablicu vrijednosti vrećice:

Nakon toga, značajno je da su potrebne točke na ravnini, a zatim jedan pravac.

Sada moramo znati površinu onih dijelova figure, koja se nalazi u prvoj koordinatnoj četvrti. Za to je x ∈ a; b = 0; 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Ako je k jednako 0, tada imamo interval β; α = 0; π 2 í funkcija x = φ (t) = 3 cos 3 t monotono će se smanjivati ​​na novom. Sada uzmimo formulu površine:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "dt = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t cos 2 tdt = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 t) dt = 18 ∫ 0 2 sin 4 tdt - ∫ 0 π 2 sin 6 tdt

Imamo Wiishli linearni integrali, ako možete izračunati uz pomoć Newton-Leibnizove formule Prvi red za formulu može biti poznat, rekurzivna formula J n (x) \u003d - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , de J n (x) = ∫ sin nxdx.

∫ sin 4 tdt = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 tdt = = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 tdt = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 tdt = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 tdt ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 πt 2 sin ∫ 0 πt 2 sin 6 3 π 16 = 15 π 96

Virahuvali smo kvadrat četvrte figure. Skupo je 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t \u003d 18 3 π 16 - 15 π 96 \u003d 9 π 16.

Ako vrijednost pomnožimo sa 4, uzimamo površinu svih figura - 9 π 4.

Dakle, sami možemo donijeti da se područje bastroida, dano s x = a cos 3 ty = a sin 3 t, može znati po formuli okruženom linijom x = a · cos 3 ty = b · sin 3 t slijedi formulu S = 3 πab 8 .

Kao da ste se sjetili oprosta u tekstu, budite ljubazni, pogledajte ga i pritisnite Ctrl + Enter