Viivojen ympäröimien hahmojen alueiden luettelointi, asetettu parametrisesti. Kuinka lasketaan hahmon pinta-ala ja kääreen tilavuus, miten viiva annetaan parametrisesti? Yak tuntee alueen laajasti

Luennot 8. Singing Integral Programs.

Dodatok of Integral fyysisille yrityksille runtu tehosta additiivisuus Integral epäonnistumisen. Siihen lisäintegraalin taakse voidaan laskea sellaiset suuret, jotka itse ovat monikertaisuuden suhteen additiivisia. Esimerkiksi tien pinta-ala on Dovzhinin kaaren osien pinta-alan summa, pinnan pinta-ala, lattian tilavuus, masa tilalla voi olla sama teho. Tämä arvo voidaan laskea lauluintegraalin avulla.

Voit vikoristovuvat kahdella tapaa ratkaista ongelmia: integraalisummien menetelmä ja differentiaalien menetelmä.

Integraalisummien menetelmä toistaa laulavan integraalin suunnittelun: tulee rosbittia, merkitään pisteet, joille funktio lasketaan, integraalisumma lasketaan, rajasiirtymä rikotaan. Yleensä kaikki menetelmät perustuvat taittamiseen - tuoda samaan aikaan juuri ne, joita tarvitaan.

Differentiaalinen menetelmä ei-arvoille \ u200b \ u200bintegraalille ja Newton-Leibnitzin kaavalle. Laske arvon ero, koska arvoa vaaditaan, eli integroimalla differentiaali Newton-Leibnitzin kaavan mukaan, laske tarvittava arvo. Samaan aikaan kaikki menetelmät ovat perus - tuoda vaaditun arvon ero laskettavaksi, eikä vain sama.

Tasaisten kuvioiden alueiden luettelointi.

1. Kuvaa ympäröi suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän antaman funktion kuvaaja.

Ymmärrykseni lauluintegraalista tuli kaarevan puolisuunnikkaan alueen määrittämisestä (itse asiassa vikoristinen integraalisummien menetelmä). Koska toimintoa ei vain hyväksytä vіd'ємні merkityksiä silloin funktion kaavion alla oleva pinta-ala voidaan laskea laulavan integraalin avulla. Rakas, scho Tässä voit käyttää differentiaalien menetelmää.

Kaikki toiminnot, voit hyväksyä negatiiviset merkitykset, niin että on negatiivinen alue, niin että siellä on paljon tilaa.

Voit laskea kaavan alueenS=. Hiljaisilla alueilla toimintamerkki on selkeästi muuttunut, joissakin niistä on negatiivisia merkityksiä.

Jos sinun on laskettava kuvion pinta-ala, jota ympäröi funktiokaavio ylhäällä ja funktiokaavio alareunassa, niin voit käyttää kaavaaS= , niin jakki.

peppu. Laske hahmojen pinta-ala viivojen x = 0, x = 2 ja funktioiden y = x 2, y = x 3 graafien väliltä.

Huomattavaa on, että välille (0.1) vikonon epäsäännöllisyys x 2> x 3 ja x> 1:lle viconon epäsäännöllisyys x 3> x 2. Tom

2. Kuvaa ympäröi napakoordinaatistossa asetetun funktion kuvaaja.

Etsi kaavio tehtävien funktiosta napakoordinaatistoille ja haluat laskea kaarevan sektorin alueen, jota reunustavat kaksi vaihtoa, ja napakoordinaattijärjestelmän funktiokaavio.

Täällä voit käyttää integraalisummien menetelmää, laskea kaarevan sektorin pinta-ala, alkeissektorien pinta-alojen summan välillä, joissakin funktion kaavioissa se korvataan panoksen kaarella .

Voit valita erotusmenetelmän: .

Mіrkuvati voidaan tehdä näin. Zamіnyuchi alkeis kaareva sektori, joka muodostaa pyöreän sektorin Keski-kutissa, maєmo suhteessa. Zvidsi ... Integroimme Newtonin - Leibnitzin vikoristikaavan .

peppu. Panoksen pinta-ala lasketaan (kaavaa voidaan tarkistaa). Vvazhaєmo. Cola-alue .

peppu. Lukuisat alue, jota ympäröi sydän .

3 Kuvaa ympäröi parametrien asettaman funktion kaavio.

Funktio voidaan määrittää parametrisesti muodossa. Vikoristin kaava S= , joka esiteltiin integraation alussa uutta kehitystä varten. ... Integraalia laskettaessa näet alueet, merkin deintegraalifunktion ja alueen koon tällä merkillä.

peppu. Laske pinta-ala, jota ympäröivät elipit.

Elippien Vikoristovuu symmetria, laskettuna neljän elipin pinta-alalla, aivan ensimmäisen neljänneksen vieressä. Kokonaisessa kvadrantissa. Tom.

Obsyagivin luettelo puh.

1. Obsyag_v tl:n luettelo rinnakkaisten pererez_v-alueiden takana.

Deyakogo tila V:n tilavuutta ei tarvitse laskea annettujen ylitysalueiden til jälkeen alueilla, jotka ovat kohtisuorassa suoraa OX:ia vastaan, piirtämällä suora OX pisteen x läpi.

Zastosuєmo menetelmä differentiaalit. Vvazhayuchin perustilavuus, suoran pyöreän sylinterin pyörretilavuuden yläpuolella, jonka pinta-ala on näkyvissä ... Integroimalla Newtonin - Leibnizin staasikaavan,

2. Obsyag_v t_l -kääreen luettelo.

Nehay tarvitsi virahuvatia HÄRKÄ.

Todi .

Samoin, ob'єm tila kääriytyminen akselin ympärilleOY Jos funktio on katsojan antama, se voidaan laskea kaavalla.

Koska toiminto on asetettu katselulaitteeseen ja sitä vaaditaan akselin ympärille kierretyn tilavuuden kokoonOY velvoitteen laskentakaava voidaan tunnistaa hyökkäävän aseman perusteella.

Siirry differentiaalisiin ja tarttumattomiin neliöllisiin termeihin, äiti ... Newtonin staasikaavan integrointi - Leibniz, äiti.

peppu. Laske obsyag kuli.

peppu. Laske tämän alueen pinnan ympäröimän suoran pyöreän kartion tilavuus.

Lukuisia on tilavuus, jak kääreen tilavuus, asetettu kääreille suorakaiteen muotoisen kolmipyörän OZ-akselin ympärillä OXZ-alueella, jalat, jotka sijaitsevat OZ-akselilla ja suora z = H, ja hypotenuusa ovat suora.

Virazayuchi x - z, .

Kaaren laskeminen.

Korjataksesi kaaren laskentakaavoja arvaamalla ensimmäisellä lukukaudella kaavaa kaaria edeltävälle differentiaalille.

Yakscho kaari є kaavio ilman eriytettyjen funktioiden keskeytystä, ero ennen kaaria voidaan laskea kaavalla

... Tom

Tasainen kaari annetaan parametrisesti, sitten

... Tom .

Kun kaari on määritelty napakoordinaatistossa, sitten

... Tom .

peppu. Rozrahuvati funktioiden kaarikaavion loppuun. .

Siirry ensin kääreen pinta-alan kaavoihin, mutta lyhyesti itse kääreen pinnalle. kääreen pinta, abo, scho samat - kääreen pinta on tilava hahmo, asetettu kääreisiin muotoon AB vinossa lähellä akselia Härkä(Kuva alla).

Selkeästi kaareva puolisuunnikas, jota kehystää ylhäältä kaareva kaari. Tilo, asetettu puolisuunnikkaan kääreisiin saman akselin ympärille Härkäі є tilo kääre. Ja kääreen pinnan pinta-ala tai kääreen pinta on kuoren koko nimi, joka ei sovi kääreisiin, jotka on kiedottu akselin ympärille suoraan x = aі x = b .

Hämmästyttävää kyllä, se vain käärii ja ilmeisesti tämä pinta voidaan asentaa myös hahmojen käärimiseen, ei lähelle akselia. Härkä, ja lähellä akselia Auts.

Laske kääreen pinta-ala, joka on annettu suorakaiteen muotoisissa koordinaateissa

Siirry alueen suoriin koordinaatteihin y = f(x) käyrä on annettu, kierteet koordinaattiakselin ympärille on vain kierretty.

Kaava kääreen pinta-alan laskemiseksi on seuraava:

(1).

varasto 1. Tunne paraboloidin pinnan pinta-ala, joka on kiedottu akselin ympärille Härkä paraabelin kaaria x alkaen x= 0 - x = a .

Päätös. Virazimo nimenomaan funktiolle, joka asettaa paraabelin kaaren:

Tiedän, että menetän koko toiminnon:

Ensinnäkin nopeuttamme kaavaa kääreen pinnan tunnetulle alueelle;

Näkymä: vinon tien lisäkäyrä

.

varasto 2. Tunne pinnan alue, kuinka teeskennellä olevansa kietoutunut akselin ympärille Härkä astroide.

Päätös. Riittää, kun lasketaan pinnan pinta-ala, miten käydään läpi ensimmäiseen neljännekseen laajennetun astroidin yhden gilkan kääre ja kerrotaan se kahdella. Se on selvästi tilan tehtävä, meidän on tiedettävä tulevaisuudesta.

.

Viroblyaєmo integraatio 0 - a:

Laske kääreen pinta-ala parametrisesti annettuna

Vipadok on selkeä, jos käyrä on vino, käärin pinnan pinnalle, se asetetaan parametrisilla vastineilla

Pakkauksen pinnan pinta-ala lasketaan kaavan mukaan

(2).

varasto 3. Tunne akselin ympärille kierretyn pinnan pinta-ala Auts figuuria, jota ympäröi suora y = a... Jakso annetaan parametriparametreilla

Päätös. Tiedämme sykloidin ja suoran kaatumisen pisteen. Priryvnyuchi rivnyannya sykloidi ja rivnyannya suora y = a, me tiedämme

Vau, kuinka se integroidaan

Nyt voimme korjata kaavan (2). Tiedämme, että se on vanha:

Viraz on mahdollista kirjoittaa kaavaan, kun otetaan huomioon menetys:

Tiedämme virazin juuren:

.

Muuten tiedämme kaavan (2):

.

Zrobimo asennus:

Minä, nareshty, se tiedetään

Uudelleentulkittu viraz boclien vicoristani trigonometriset kaavat

Näkymä: pinta-ala oven käärettä varten.

Lasketaan kääreen pinta-ala napakoordinaateilla

Käyrä, kääreet, kuten pinta on asetettu, on asetettu napakoordinaatteihin.

Toivotan teidät tervetulleeksi, VNZ Argemonin Shanovny-opiskelijat!

Vielä kolme - ja kurssi on ohi, ja akseli on miehitetty kerralla.

Chzhouli Trohi heilutti kättään - ja joka käänteessä näytti postaavan. Tarkemmin sanottuna luoti on suora puolisuunnikkaan muotoinen. Vona vain roikkui hämärässä, maagisen energian välähdettynä, virtasi sivuja pitkin ja pyörtyi myös itse puolisuunnikkaan keskellä, jonka läpi koko fiilis valui.
Viikonlopun jälkeen trochat rikkoivat pyöreän röyhelön käsiensä sormilla - ja puolisuunnikkaan alkoi kiertyä näkymätön akselin ympärille. Itse asiassa kaikki on paremmin ja paremmin - joten silloin tällöin uupumuksesta on tullut häiritsevää postaamaan. Kun rakensin, taikaenergia kasvoi sen myötä.

Myös kaukainen trapilia: hahmon läheiset ääriviivat ja sisäosat alkoivat jäädä mieleen puheena, valo jäi mieleen yhä vähemmän, mutta itse hahmo muistutti yhä enemmän nähtyä. Materiaalin jyvät annosteltiin asteittain kuvien mukaan. І-akseli on kaikki ruuvattu: і kääre, і kynttilät. Riippuvan esineen voimalla, samanlainen kuin virva. Chzhouli työnsi joogonsa varovasti lasille.

No akseli. Suunnilleen näin on mahdollista materialisoida paljon esineitä - kietoutuvalla tavalla kuin litteitä hahmoja lähellä selkeitä suoria linjoja. Ilmeisesti materialisoitumiseen tarvitaan useita sanoja, kuten koko volyymin ulkoa ottaminen, teeskentely ja maagisen lisäenergian asettuminen tunniksi. Ja akseli, jotta se olisi mahdollisimman tarkka, vaatimuksen sanoilla - ja aateliston on pakko obsyagoida tila, päästä siitä eroon. Inakshe, heti kun puhutaan vähän, on mahdotonta opetella ulkoa koko volyymiä, ja vain yksi voi mennä saksaksi vadien kanssa. Ja materiaali on niin utrimuvati puheen suurta ylijäämää - koko maagisen energian kulumatonta vitratia.
No, ja kuinka monesta sanasta puhumme? Todi, voit laskea rahan määrän, voit ajatella sitä, koska tilojen kokoon voit kasvaa ilman erityisiä maagisen energian vitraattia.
Vastaanotetun materiaalin ja nuken ylijäämä. Sopiiko ylimääräinen puhe? Eksytkö ilman varmuuskopioita? Chi tikku tilo abiyakissa?
Zagalom täällä є siitä, mitä ajatella. Heti kun ajatuksesi ovat ilmaantuneet ihastuneena, kuuntelen sinua tyytyväisenä. Ja loput siirretään obsyag_v tl, otrimanih laskemiseen tällä tavalla.
Täällä voit nähdä pienen määrän vipakkeja.

Vipadoc 1.

Alue, kuten me kääritään, on hyvin kaareva puolisuunnikkaan muotoinen.

Ilmeisesti kääri se vain OH-akselin ympärille. Puolisuunnikkaan lisäksi tuhoa oikeanpuoleinen vaakasuoraan niin, että OY ei kaatunut OY:n painoa, se on mahdollista kääriä ylös ja alas akselin suuntaisesti. Kummankin tyypin loitsukaavat ovat:

Olemme jo oppineet funktion perustaian, joten sinulle mielestäni ei ole tärkeää, jos haluat laittaa hahmon niin koordinaattiakseleille, joten se oli kätevä robotille.

Vipadok 2

Voit kääriä paitsi klassisen kaarevan trapetsin, myös tällaisen viglyadin luvun:

Käärittynä voimme tehdä ilmaisen kääreen. Ja kun kuvio on siirretty positiiviselle alueelle, voimme kääriä sen ja aloittaa akselilla OY. Tezh otrimaєmo kilce chi nі. Kaikki makaavat siitä tosiasiasta, että hahmo kasvaa ulos: jos ohitat linjan tarkasti OY-akselia pitkin, ympyrä ei mene. Razrahuvati obsyachi tällainen kääre on mahdollista, vicorstyuchi tällainen loitsu:

Vipadok 3.

Sgadaimo, meillä on ihmeellisiä käyriä, ale niin, kuinka kysyä meiltä ei kutsumallamme tavalla, vaan parametrinäkymässä. Tällaiset käyrät ovat usein suljettuja. Parametri t on syyllinen muuttumaan sellaisella arvolla, kun kuvio on suljettu, kun se kiertää käyriä (rajoja), ei ole mitään pahaa.

Todi OH:n tai OY:n akselin ympärillä olevan kääreen tilavuuden laskemiseen vaatii vicoristovuvati tällaisen loitsun:

Kaavat voivat olla voitokkaita ei-suljettujen käyrien muodossa: jos rikos on akselilla OX, akselilla OY. Kuva millään tavalla sulkeutuneeksi:

Vipadoc 4.

Osa oudoista käyristä on asetettu napakoordinaateilla (r = r (fi)). Ensimmäinen kuvio voidaan kääriä napa-akselin ympärille. Samaan aikaan suorakulmainen koordinaattijärjestelmä siirtyy napaan ja kohdistuu
x = r (fi) * cos (fi)
y = r (fi) * sin (fi)
Tällaisessa arvossa tullaan käyrän parametriseen muotoon, de parametri fi vastaa muuttumisesta niin, että kun kierretään kaarevan alueen ympäri, käsi häviää.
I corystus loitsukaavoilla 3.

Napakoordinaattien є і putoamiselle on kuitenkin loihdittu oma kaava:

On selvää, että litteitä hahmoja voidaan kääriä ylös ja alas, ei vain OX- ja OY-akseleille, vaan myös OX- ja OY-akseleille, mutta myös näiden taitteiden käsittelyä varten, jotka ovat kietoutuneet näihin höyryihin, jotka ilmestyvät luennot.

Ja kerralla kotitehtävät... En anna sinulle tarkkoja lukuja. Olemme jo kehittäneet rikkaita toimintoja, ja minä haluan, mutta olet itse suunnitellut saman tavan, jonka voit tietää maagisessa käytännössä. Luulen, että kaikkiin luennon ohjeisiin sovellettu chotiroh riittää.

Koska olemme menettäneet lauluintegraalin geometrisen käärmeen, meillä on kaava, jolle voidaan tietää abskissan reunustaman kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala suorilla viivoilla x = a, x = b, sekä keskeytymätön (ei kovin positiivinen) toiminto y = f(x). Jollakin tavalla voimme laittaa funktion, joka kietoutuu yhteen hahmon, parametrisen viglyadin, tobton. hengailla toiminnallisuus parametrin t kautta. Annetun materiaalin puitteissa näytetään, kuinka voit tietää hahmon alueen, jos sitä ympäröi parametrisesti annettu käyrä.

Teorian selittämistä ja kaavojen käyttöönottoa varten valitsemme muutamia tunnusomaisia ​​puskuja tällaisten esineiden alueen muuttamiseksi.

Laskennan peruskaava

Oletetaan, että meillä on є kaareva puolisuunnikas, suorien x = a, x = b välissä, akseli O x ja käyrä x = φ (t) y = ψ (t) on parametrisesti annettu, ja funktio x = φ (t ) і y = ψ (t) ilman keskeytystä välillä α; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Liiketoiminnan arvo 1

Puolisuunnikkaan pinta-alan laskemiseksi sellaisille mielille on käytettävä kaavaa S (G) = ∫ α β ψ (t) · φ "(t) d t.

Olemme näyttäneet kaavan kaarevan puolisuunnikkaan pinta-alalle S (G) = ∫ a b f (x) d x korvausmenetelmällä x = φ (t) y = ψ (t):

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ "(t) d t

Liiketoiminnan arvo 2

Vrahoyuchi monotoninen muutos funktiossa x = φ (t) välillä β; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Jos funktio x = φ (t) ei päde peruselementteihin, niin meidän on asetettava perussäännöt funktion kasvulle ja muutokselle välille, mikä on tärkeää, onko se kasvava vai laskeva.

Samalla kaikki pisteet otetaan pois kaavan reseptin, vivedeno-dieetin, ripotuksesta.

Peppu 1

Umova: tiedä hahmon pinta-ala, joka muodostaa viivan, annetaan muodossa x = 2 cos t y = 3 sin t.

Päätös

Linja on asetettu parametrisesti. Graafisesti se voidaan visualisoida ellipsin kuvassa, jossa on kaksi akseliparia 2 ja 3. Div on іlustratsіyu:

Yritän saada selville otriman-figuurien alueen 1 4, yaka on ensimmäisessä kvadrantissa. Alue sijaitsee välillä x ∈ a; b = 0; 2. Etäisyys kerrotaan arvolla 4 ja sen tiedetään olevan koko hahmon pinta-ala.

Lukumme ylittivät akselin:

x = φ (t) = 2 cos ty = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk, k ∈ Z, φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk, k ∈ Z

Kohdassa k, jossa tie on 0, voimme hyväksyä välin β; a = 0; π 2. Funktio x = φ (t) = 2 cos t uudessa budessa putoaa monotonisesti (raportoi jakoartikkeli peruselementaarisista funktioista ja tehosta). On myös mahdollista korjata pinta-alan laskentakaava ja tietää yksikköintegraali, Newton-Leibnitzin vikoristinen kaava:

- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π 2 = 3 π 2 - sin 2 π 2 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π 2

Tämä tarkoittaa, että hahmon pinta-ala ulospäin suuntautuvalla käyrällä on S (G) = 4 3 π 2 = 6 π.

Kuten: S (G) = 6 π

Selvennyksenä on, että tehtäviä ratkaistaessa on mahdollista ottaa ei vain neljännes ellipsistä, vaan toinen puolisko - ylemmälle ja alemmalle. Toinen puolikas hitsataan välille x ∈ a; b = -2; 2. Meillä on paljon ongelmia kanssamme:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k, k ∈ Z

Kun k on yhtä suuri kuin 0, β hylättiin sellaisessa arvojärjestyksessä; a = 0; π. Funktio x = φ (t) = 2 cos t pienenee monotonisesti samalle välille.

Lasketaan ellipsin puolen pinta-ala:

- ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

On tärkeää, että on mahdollista ottaa vain yläosa ja alaosa, mutta oikea osa ei ole mahdollista.

On mahdollista asettaa parametrinen kohdistus tälle ellipsille, jonka keskipiste siirretään koordinaattien tähkälle. Wono matime viglyad x = a cos t y = b sin t. Diyuchi itse, kuten takaosassa, voimme hyväksyä kaavan ellipsin pinta-alan laskemiseksi S elip a = πab.

Aseta keskipiste, ompelun keskipiste koordinaattien tähkälle, voidaan lisäksi säätää x = R · cos t y = R · sin t, parametri de t є ja R - annetun panoksen säde. Heti kun käytämme ellipsin pinta-alan kaavaa, hyväksymme kaavan, jolle on mahdollista laskea panoksen pinta-ala säteellä R: S to p y r a = πR 2.

Ota vielä yksi zavdannya.

Peppu 2

Umova: tiedä miksi hahmon pinta-ala on, jakkia ympäröi parametrisesti annettu käyrä x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t.

Päätös

Välittömästi selvitetään, että käyrä on erittäin kaareva astroidi. Kutsu astroida kiertämään yhtä suurella lisämuodolla x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t.

Nyt raportti on poimittu, jakki tulee olemaan niin kiero. Viconaєmo Pysyn ympäröivien pisteiden takana. Suosituin menetelmä, jota voidaan käyttää suurissa yrityksissä. Lisää taitettava peppu differentiaalilaskelman suorittamiseksi luoda parametrinen funktio.

Meillä on x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t.

Nämä funktiot perustuvat kaikkien kelvollisten arvojen t arvoihin. Sin і cos vіdomo, kuinka haisee є jaksollinen ja їх jakso tulee 2 pі. Laskettuaan funktioiden arvot x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t toimille t = t 0 ∈ 0; 2 π 8, π 4, 3 π 8, π 2,. ... ... , 15? 8, voidaan nähdä pisteessä x 0; y 0 = (φ (t 0); ψ (t 0)).

Varastotaulukko pidsumkovyhin arvoista:

Useiden selvästi vaadittujen pisteiden kirjoittaminen alueelle ja riviltä toiselle.

Nyt meidän on tiedettävä tämän hahmon osan alue, joka sijaitsee ensimmäisessä koordinaatissa neljä. Sille x ∈ a; b = 0; 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk, k ∈ Z

Jos k tietä on 0, niin näemme välin β; a = 0; π 2 і funktio x = φ (t) = 3 cos 3 t monotonisesti laskeva uudella tasolla. Otetaan nyt tärkeän alueen kaava:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "dt = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t cos 2 tdt = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 t) dt = 10 π 2 sin 4 tdt - ∫ 0 π 2 sin 6 tdt

Saimme lauluintegraalit, joka voidaan laskea Newton-Leibnitzin kaavan avulla Koko kaavalla voidaan tietää, että rekursiivinen kaava J n (x) = - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , de J n (x) = ∫ sin nxdx.

∫ sin 4 tdt = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 tdt = = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 tdt = = - cos t sin 3 t 4 - 3 kustannukset sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 tdt = - cos t sin 3 t 4 - 3 kustannukset sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 tdt ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 4 π5 td 6 3 π 16 = 15 π 96

Me virahuvali neljän hahmon neliön. Voitettu tie 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16.

Jos kerromme arvon 4:llä, kaikkien hahmojen kokonaispinta-ala on 9 π 4.

Voimme siis itse tuoda, että yhtälön x = a cos 3 ty = a sin 3 t antama astrocy-ala, voimme tietää kaavalla, että sitä ympäröi viiva x = a cos 3 ty = b sin 3 t käytetään kaavalle S = 3 πab 8.

Yaksho Vi on merkinnyt tekstiin anteeksi, ole lumikko, katso ja natisnit Ctrl + Enter