En otras palabras, la linealidad de un grupo de vectores significa que hay un vector medio que se puede representar mediante una combinación lineal de otros vectores en un grupo.

Aceptable. Todi

Otze vector X barbecho lineal en vector en grupo.

Vectores X, y, ..., z se llaman linealmente vectores independientes, por ecuanimidad (0) se puede ver que

α=β= ...= γ=0.

Entonces, los grupos de vectores son linealmente independientes, por lo que el vector puede representarse mediante una combinación lineal de otros vectores en el mismo grupo.

Designación de ocurrencia lineal de vectores

Sean dados m vectores en filas en orden n:

Habiendo agregado vinyatok gaussiano, llevamos la matriz (2) a la vista de tricot superior. Los elementos del resto de la columna cambian solo una vez, si se reorganizan las filas. Después de m breves desvíos tomamos:

Delaware i 1 , i 2 , ..., i m - índices de filas, eliminados en caso de una posible reorganización de filas. Mirando las filas truncadas de los índices de las filas, incluido t, yak, se indica mediante el vector nulo de las filas. Las filas que se omiten forman vectores linealmente independientes. Significativamente, debido a que las matrices plegables (2) cambian la secuencia de vectores en una fila, puede seleccionar otro grupo de vectores linealmente independientes. Ale pіdprostіr, qué tipo de insultos son los grupos de vectores utvoryuyuyut zbіgayutsya.

Independencia Lineal e Independencia Lineal de Vectores.
Bases vectoriales. sistema de coordenadas ateniense

En el auditorio hay muchos chocolates, y un par de regaliz podrán escaparse de la piel hoy: geometría analítica con álgebra lineal. Este artículo se dividirá en dos partes. matemáticas avanzadas, y nos preguntamos cómo se acostumbran los apestosos a una loma. ¡Tómate un descanso, s'zh "Tviks"! ... bebé, bueno, súper niña. Si quiero, no marcaré, lo siento, puedo tener un estado de ánimo positivo para entrenar.

Barbecho lineal de vectores, independencia lineal de los vectores, base vectorial ese término puede no ser sólo una interpretación geométrica, sino, ante todo, un zmista algebraico. El mismo concepto de “vector” desde el punto de vista del álgebra lineal está lejos de ser lo mismo que el vector “superior”, que podemos representar en el plano del espacio. No necesita ir muy lejos para obtener pruebas, intente pintar el vector del espacio de cinco dimensiones. . Abo solo espera, para algunos fui al Gіsmeteo: - la temperatura y la presión atmosférica son buenas. El tope, obviamente, no es correcto desde el punto de vista de la autoridad del espacio vectorial, pero nada impide la formalización de los datos por los parámetros y el vector. Aliento de otoño.

Hola, no voy a tratar de tentarlos con una teoría, espacios vectoriales lineales, el problema es que comprender la definición de ese teorema. Los términos nuevos (depósito lineal, independencia, combinación lineal, base, etc.) son adjetivos a todos los vectores desde el punto de vista del álgebra, pero la aplicación se dará geométricamente. En este rango, todo es simple, es accesible a primera vista. La geometría analítica de Krіm zavdan se considera una tarea típica del álgebra. Para dominar el material, es necesario aprender las lecciones. Vectores para teterasі ¿Como contar?

Barbecho lineal e independencia del vector en el plano.
Base de área y sistema de coordenadas de afinidad

Miremos el área de tu Escritorio de computadora(solo una mesa, mesitas de noche, troncos de cama, estelas, quien lo necesite). El líder del campo en los próximos días:

1) Seleccionar base de área. Aproximadamente kazhuchi, stіlnitsa maє dovzhina en ancho, se dio cuenta intuitivamente de que se necesitan dos vectores para estimular la base. Un vector claramente no es suficiente, tres vectores son zayva.

2) Sobre la base de la base inversa establecer sistema de coordenadas(cuadrícula de coordenadas) para asignar coordenadas a todos los objetos que están sobre la mesa.

No se sorprenda, la explicación estará en los dedos. Y en el tuyo. Se amable, perdona expresivo dedo de la mano izquierda al borde del estilo de modo que me maravilló en el monitor. Tse será un vector. Ahora coloca dedo meñique de la mano derecha en el borde de la mesa así - schob buv enderezándose en la pantalla del monitor. Tse será un vector. ¡Sonríe, te ves maravillosa! ¿Qué puedes decir sobre los vectores? Vectores de datos colineal, lo que significa linealmente gire uno a uno:
, bueno, chi navpaki: , de - deake number, vіdmіnne vіd zero.

La imagen de qué acción se puede ver en la lección. Vectores para teteras De expliqué la regla de multiplicar un vector por un número.

Chi, ¿pondrán tus dedos la base sobre la mesa de la computadora? Obviamente no. Kolіnearnі vectores y aumento de precio aquí y allá solo recto, y el área puede ser más larga y más ancha.

Tales vectores se llaman barbecho lineal.

Conclusión: Las palabras "lineal", "lineal" significan aquellas cosas que tienen equivalentes matemáticos, no hay cuadrados, cubos, otros pasos, logaritmos, senos. Є tіlki linіynі (primera etapa) contra el barbecho.

Dos planos vectoriales depósitos lineales entonces y solo entonces, si el hedor es colineal.

Cruce los dedos sobre la mesa, de modo que entre ellos quede como un corte de Crimea 0 o 180 grados. Dos planos vectorialeslinealmente no rancio en eso y menos, porque el hedor no es colineal. Otzhe, se quita la base. No tiene que preocuparse por el hecho de que la base de las vistas está "cortada" con vectores no perpendiculares de diferentes longitudes. No es raro para mí que para el yoga, el apéndice no sea solo de 90 grados, y no solo único, igual al viejo vector.

Be-yaky vector plano un rango ampliado según la base:
, de - dіysnі números. Números de llamada coordenadas vectoriales en que base.

Entonces parece que vectoractuaciones a la vista combinación lineal Vectores de bases. tobto viraz se llama diseño vectorialbase o combinación lineal vectores base.

Por ejemplo, se puede decir que el vector de diseños está detrás de la base ortonormal del plano, o se puede decir que las representaciones de una combinación lineal de vectores son incorrectas.

Formular asignación a la base formalmente: La base de la zona. un par de vectores linealmente independientes (no colineales) se llama, , en el cual ser como El vector plano es una combinación lineal de vectores básicos.

El mismo momento de la cita es el hecho de que los vectores se toman en el orden de la canción. basesi - ¡Hay dos bases absolutamente diferentes! Como parece, el dedo meñique de la mano izquierda no se puede mover al dedo meñique de la mano derecha.

Hemos elaborado la base, pero aún no es suficiente para establecer la cuadrícula de coordenadas y asignar las coordenadas al objeto de piel de la mesa de su computadora. ¿Por qué te perdiste? Los vectores є vіlnimi y se desdibujan en todo el plano. Entonces, ¿cómo atraer las coordenadas a estos pequeños puntos errantes en la mesa, yakі perdidos después del bullicioso fin de semana? Pauta requerida. І tal punto de referencia es un punto conocido por todos: la mazorca de coordenadas. Se selecciona del sistema de coordenadas:

Comenzaré con las organizaciones “escolares”. Ya en la lección introductoria. Vectores para teteras Vi los hechos de reconocimiento entre un sistema de coordenadas rectangulares y una base ortonormal. Imagen estándar del eje:

al hablar de sistema de coordenadas rectangulares, entonces lo más común es usar la mazorca de coordenadas, el eje de coordenadas y la escala a lo largo de los ejes. Intente escribir "sistema de coordenadas rectangulares" en el sistema de búsqueda, y me dirá que vale la pena informarle sobre el conocimiento de la clase 5-6 del eje de coordenadas y sobre cómo colocar puntos en el plano.

Por otro lado, existe el efecto de que un sistema de coordenadas rectangulares puede determinarse como un todo a través de una base ortonormal. І tse mayzhe así. La fórmula suena así:

mazorca de coordenadas, і ortonormalización establecer la base Sistema cartesiano de coordenadas rectangulares del plano. . que es un sistema de coordenadas rectangulares definitivamente están representados por un solo punto y dos vectores ortogonales simples. Por esa misma razón, necesitas una silla, ya que he inculcado un vishche - en problemas geométricos a menudo (aunque no zavzhd) pintan vectores, en ejes de coordenadas.

Creo que todos entendieron que para un punto adicional (mazorca de coordenadas) que es ortonormal a la base PUNTOS BE-YAKIY del área y VECTOR BE-YAKIYA del área puede asignar coordenadas. En sentido figurado, aparentemente, "todo se puede numerar en el cuadrado".

¿Pueden los vectores de coordenadas ser simples? No, el olor puede apestar a la madre dovіlnu non-zero dovzhina. Veamos el punto y dos vectores ortogonales y valores bastante distintos de cero:

Tal base se llama ortogonal. La mazorca de coordenadas con vectores establece la cuadrícula de coordenadas, y sea un punto del plano, sea un vector para escribir sus coordenadas en esta base. Por ejemplo, o. La ineptitud obvia radica en el hecho de que los vectores de coordenadas en la cima de la montaña llorar vidas diferentes, vіdminnі vіd odinitsі. Para mejorar la soledad, existe una base ortonormal primaria.

! Nota : en la base ortogonal, y también inferior en las bases atenienses, se tienen en cuenta los planos y el espacio de uno a lo largo de los ejes UMOVIMI. Por ejemplo, en una unidad a lo largo del eje de abscisas hay 4 cm, en una unidad a lo largo del eje de ordenadas 2 cm.

Y otra comida, en el yak, realmente se ha dado evidencia: ¿qué obov'yazykovo kut entre los vectores básicos puede alcanzar los 90 grados? ¡Hola! Cómo confirmar cita, vectores básicos y cuotas menos que no colineal. Vіdpovidno kut mozhe buti be-yakim, krіm 0 y 180 grados.

El punto del plano, como se le llama mazorca de coordenadas, і no colineal vector, , establecer sistema de coordenadas afines del plano :

En otras palabras, dicho sistema de coordenadas se llama trenzado sistema. Cómo aplicar puntos y vectores en la imagen del sillón:

Como saben, el sistema de coordenadas ateniense es menos fácil, no usan las fórmulas para vectores y vdrіzkiv, ya que vimos la otra parte de la lección. Vectores para teteras, fórmulas ricamente sabrosas, pov'yazanі z creación escalar de vectores. Luego, hay reglas justas para doblar un vector y multiplicar un vector por un número, fórmulas para subdividir en una expresión dada y también para eliminar tipos de tareas, que podemos ver fácilmente.

Y tal visnovok sistema de afinidad de coordenadas es un sistema rectangular cartesiano. A eso, prefiero, la mayoría de las veces, que me lleven a bachiti. ... Mientras tanto, todo en esta vida está claro: hay pocas situaciones en las que el río en sí está sesgado (de lo contrario, por ejemplo, polar) sistema coordinado. Esos humanoides pueden disfrutar de tales sistemas =)

Pasemos a la parte práctica. Usі zavdannya esta lección es como un sistema de coordenadas en ángulo recto, por lo que zagalnogo Athenian vpadku. Aquí no hay nada plegable, todo el material es accesible a un colegial.

¿Cómo definir la colinealidad de un vector en un plano?

Río típico. Para tener dos vectores y áreas ser colineales, necesarios y suficientes, de modo que sus correspondientes coordenadas sean proporcionales. De hecho, este es el detalle coordinado del obvio spivvіdnoshenya.

trasero 1

a) Vectores colineales chi inversos .
b) Chi establece la base del vector ?

Solución:
a) ¿Por qué, qué es válido para los vectores? coeficiente de proporcionalidad, tal que las igualdades triunfaron:

Obov'yazkovo rozpovіm sobre la variante "pіzhonskiy" de las reglas zastosuvannya tsgogo, que circula en la práctica. La idea radica en que inmediatamente sumarás la proporción y te preguntarás si acertaste:

Sumemos la proporción de las coordenadas dadas de los vectores:

pronto:
, en este orden, las coordenadas correspondientes son proporcionales,

La configuración se puede plegar y plegar, una opción valiosa:

Para la autoverificación, puede modificar aquellos que son vectores colineales y doblar linealmente uno a uno. En este punto de vista, hay un lugar de equivalencia . Su equidad es fácilmente perveryaetsya a través de divisiones elementales con vectores:

b) Dos vectores y planos establecen una base, como si fueran colineales (linealmente independientes). Doslіdzhuєmo en kolіnearnіst vektori . Construyamos el sistema:

Del primer igual gritas, scho, del otro igual gritas, oh, el sistema esta loco(No hay solución). De esta forma, las coordenadas correspondientes de los vectores no son proporcionales.

Visnovok: los vectores son linealmente independientes y forman una base.

La versión simplificada de la solución se ve así:

Sumamos la proporción de las coordenadas dadas de los vectores :
, Otzhe, vectores qi y linealmente independientes y establecer una base.

Llame a esta opción para rechazar a los revisores, pero culpe al problema por las fallas, si las coordenadas son iguales a cero. eje como este: . Abo así: . Abo así: . ¿Cómo puedo trabajar aquí a través de la proporción? (En serio, no se puede dividir por cero). Por la misma razón, llamé a la solución más simple "pizhonsky".

Sugerencia: a), b) aprobar.

Pequeño trasero creativo para solución independiente:

trasero 2

Para cualquier valor del parámetro vectorial será colineal?

Para una solución, el parámetro se encuentra a través de una proporción.

Usamos el método de álgebra de re-verificación de vectores para colinealidad.

Para dos vectores en la zona de dureza equivalente:

2) vectores y establecer una base;
3) los vectores no son colineales;

+ 5) oscilador, se pliega a partir de las coordenadas de estos vectores, vіdminny vіd zero.

vidpovidno, Dureza protráctil del pie equivalente:
1) depósitos vectoriales y lineales;
2) los vectores no satisfacen una base;
3) vectores y colineales;
4) los vectores se pueden invertir linealmente uno a uno;
+ 5) vector, plegado a partir de las coordenadas de estos vectores, que lleva a cero.

ya estoy convencido de que momento dado ya has entendido todos los términos que se han aprendido y confirmado.

Echemos un vistazo al nuevo informe, el quinto párrafo: dos vectores y pisos kolіnearnі thodі tіlki tіlki tоdі, si vyznachnik, se pliega a partir de las coordenadas de estos vector_v, do_vnyuє cero:. Para los signos de zastosuvannya tsієї, naturalmente, es necesario recordar conoce a los visionarios.

Virishima Ejemplo 1 de una manera diferente:

a) Calcular el número de vectores, sumando las coordenadas de los vectores :
, Otzhe, tsі vectores y kolіnearnі.

b) Dos vectores y planos establecen una base, como si fueran colineales (linealmente independientes). Cálculo del número de vectores, plegado de las coordenadas de los vectores :
, Otzhe, los vectores son linealmente independientes y establecen una base.

Sugerencia: a), b) aprobar.

Se ve significativamente más compacto y más bonito, solución más baja con proporciones.

Con la ayuda del material examinado, es posible establecer la colinealidad de los vectores y también traer el paralelismo de vdrіzkіv, líneas rectas. Echemos un vistazo a un par de tareas de formas geométricas específicas.

trasero 3

Dadas las cimas del chotirikutnik. Trae que chotirikutnik es un paralelogramo.

trayendo: No será necesario un sillón en la tarea, los fragmentos de la solución serán puramente analíticos
paralelogramo se llama chotirikutnik, que tiene lados opuestos en pares paralelos.

En este orden, es necesario llevar:
1) paralelismo de los lados opuestos;
2) paralelismo de los lados opuestos.

Nosotros traemos:

1) Conocemos los vectores:

2) Conocemos los vectores:

Viyshov es el mismo vector ("según la escuela" - vectores iguales). Kolnearnist ya es obvio, pero es mejor organizar la solución correctamente, con el arreglo. Calculemos el número de vectores, doblando las coordenadas de los vectores:
, Otzhe, qі vectores y colineales, i .

Visnovok: Protilezhnі lados chotirikutnik en pares paralelos, otzhe, en paralelogramo para las citas. ¿Qué hizo falta para traer.

Más figuras de las buenas:

trasero 4

Dadas las cimas del chotirikutnik. Para traer, scho chotirikutnik є trapezієyu.

Para una fórmula suvorish, demuéstrela de manera más bella, espléndida, dibuje la designación del trapecio, y simplemente complétela y simplemente adivine, como si mirara hacia afuera.

Tse zavdannya solución independiente. solución exterior como una lección

Y ahora ha llegado el momento de pasar lentamente de lo plano a lo abierto:

¿Cómo designar la colinealidad del vector en el espacio?

La regla es parecida. Para que dos vectores al espacio sean colineales es necesario y suficiente que sus respectivas coordenadas sean proporcionales.

trasero 5

Z'yasuvati, chi kolіnearnі avanzará los vectores y el espacio:

a);
b)
en)

Solución:
a) Reversiblemente, chi es el coeficiente de proporcionalidad para diferentes coordenadas de vectores:

El sistema no se puede resolver, por lo tanto, los vectores no son colineales.

"Sproschenka" se distingue por una nueva proporción. En esta vista:
– las coordenadas relativas no son proporcionales, por lo que los vectores no son colineales.

Sugerencia: los vectores no son colineales.

b-c) Estos son los puntos de una decisión independiente. Intenta decorar el yoga de dos maneras.

Utilizar el método de re-verificación de vectores espaciales para colinealidad a través de la variable de tercer orden, este método se muestra en el artículo Vector de televisión vectorial.

Similar a la vista plana de la vista de las herramientas, puede estancarse con el método de mantener el paralelismo de los espacios abiertos y las líneas rectas.

Le pedimos amablemente a otra división:

La obsolescencia y la independencia lineales son vectores en el espacio trivimer.
Base espaciosa y sistema de coordenadas de afinidad.

Muchas leyes, como hemos visto en la plaza, serán justas y espaciosas. Traté de minimizar la sinopsis de la teoría, las piezas de la parte izquierda de la información ya han sido descifradas. Tim no es menos, te recomiendo que leas la parte introductoria con respeto, los fragmentos son términos nuevos y los entiendes.

Ahora la sustitución del área de la mesa de la computadora se extiende a un espacio tridimensional. Vamos a crear una base de yoga. Quién sabe en un momento en la casa, quién está en la calle, pero en cualquier caso, no podemos ir a ninguna parte en los tres mundos: ancho, largo y alto. Por lo tanto, para inducir la base se necesitan tres vectores espaciales. Uno o dos vectores no son suficientes, los cuartos son zayvi.

Estoy de nuevo rozminaєmos en los dedos. Sea amable, levante la mano cuesta arriba y levante la espinilla en diferentes lados genial, impresionante dedo medio . Tse serán vectores, el hedor se maravillará en diferentes lados, llorará diferentes dozhina y llorará diferentes kuti entre ellos. ¡Vіtayu, la base de la extensión trivimir está lista! Antes del discurso, no es necesario demostrar tales vikladachs, como no torcer los dedos, pero no puedes ir a ninguna parte =)

Pongamos una comida importante, ser como tres vectores y satisfacer la base del espacio trivial? Sea amable, apriete tres dedos firmemente contra el escritorio de la computadora. ¿Qué sucedió? Tres vectores vagaban en el mismo plano y, aparentemente, tenemos un signo de vimiriv: la altura. Tales vectores coplanario Y es bastante obvio que no se puede crear la base de un espacio trivimérico.

Cabe señalar que los vectores coplanares y nada malo están en el mismo plano, pueden estar en planos paralelos (solo trate de trabajar con los dedos, así Salvador Dalí estaba menos sin aliento =)).

Cita: los vectores se nombran coplanario como un piso real, como un hedor paralelo. Aquí es lógico agregar que si no existe tal área, entonces los vectores no serán coplanares.

Tres vectores coplanares y depósitos lineales tobto linealmente vrazhayutsya uno a uno. Para simplificar, nuevamente es aceptable que el hedor se encuentre en un piso. En primer lugar, los vectores, y no solo eso, son coplanares, pueden ser más colineales, incluso si un vector se puede ver a través de un vector. De otra manera, por ejemplo, los vectores no son colineales, entonces el tercer vector los gira en un solo orden: (y por qué es fácil de adivinar por los materiales de la división anterior).

Justo es el retorno de la afirmación: tres vectores no coplanares y vectores linealmente independientes, tobto ya n_yak no vrazhayutsya uno a uno. Yo, obviamente, soy menor que tales vectores y puedo satisfacer la base de una extensión trivial.

Cita: Base trivimirnogo extensión llamado un trío de vectores linealmente independientes (no coplanares), tomado de la orden de canto en cualquier momento, ya sea un vector de espacio abierto un rango repartidas sobre una base dada, de coordenadas de un vector en una base dada

Adivinando, también puedes decir que el vector de representaciones combinación lineal vectores base.

El concepto de sistema de coordenadas se introduce de la misma manera, como para una pendiente plana, un punto y tres vectores linealmente independientes son suficientes:

mazorca de coordenadas, і no coplanar vector, tomado de la orden de canto, establecer affinnu sistema de coordenadas del espacio trivi-world :

Obviamente, la cuadrícula de coordenadas "trenza" no es muy eficiente, pero el sistema de coordenadas que se nos solicita nos permite definitivamente designar las coordenadas de cualquier vector, que las coordenadas de cualquier punto en el espacio. De manera similar al plano, en el sistema de coordenadas ateniense, el espacio no funciona con las mismas fórmulas, sobre las cuales ya he adivinado.

El término más primario y más conveniente para el sistema de coordenadas de afinidad є sistema de coordenadas rectangulares:

Punto al espacio, como se le llama mazorca de coordenadas, і ortonormalización establecer la base Sistema de coordenadas cartesianas rectangulares . Conoce la imagen:

Antes de eso, cómo pasar a las tareas prácticas, volveré a sistematizar la información:

Para tres vectores en el espacio equivalente a la misma rigidez:
1) los vectores son linealmente independientes;
2) vectores y establecer una base;
3) los vectores no son coplanares;
4) los vectores no pueden invertirse linealmente uno a uno;
5) vyznachnik, doblando las coordenadas de estos vectores, vіdminny vіd zero.

Protilezhnі vyslovlyuvannya, supongo, zrozumіlі.

La caída/independencia lineal del vector en el espacio se revisa tradicionalmente con la ayuda de la persona designada (párrafo 5). Tі, scho perdió tareas practicas llevan una expresión clara de carácter algebraico. Es hora de colgar una llave geométrica en las flores y empuñar un bate de béisbol de álgebra lineal:

Tres espacios vectoriales complanarnі thodі tіlki tіlki tіlі, si vyznachnik, coordenadas dobladas danih vektor_v, do_vnyuє cero: .

Estoy prestando atención a un pequeño matiz técnico: las coordenadas de los vectores se pueden registrar no solo en la columna, sino también en la fila (el valor del vector no cambia, el poder de los vectores es increíble). Ale richer es más hermoso en el stovptsі, oskіlki tse vigіdnіshe para la realización de algunas tareas prácticas.

Tim a los lectores que han olvidado los métodos de rozrahunka vyznachniki, o tal vez están poco orientados en ellos, les recomiendo una de mis lecciones más antiguas: ¿Como contar?

trasero 6

Verifique que los siguientes vectores establezcan la base de la expansión trivial:

Solución: De hecho, todas las decisiones se toman hasta el cálculo del deudor

a) Calcular la variable, plegando a partir de las coordenadas del vector_v (la variable de expansión a lo largo de la primera fila):

, Otzhe, los vectores son linealmente independientes (no coplanares) y establecen la base de un espacio trivial.

vidpovid: vectores dados y satisfacen la base

b) Este es el punto de decisión independiente. Exteriormente, la solución es que es similar a la lección.

Crawl y trabajadores creativos:

trasero 7

¿Para qué valor del parámetro los vectores serán coplanares?

Solución: Vectores y coplanar todі tіlki tіlki dі, si vyznachnik, pliega las coordenadas de estos vectores a cero:

De hecho, es necesario ser igual al vyznachnik. Se vierte en ceros como shuliks en jerboas: el significante del navegador de descubrir en una fila diferente y en una fila, buscaré desventajas:

Realicemos una extensión adicional y giremos desde la derecha hasta la alineación lineal más simple:

vidpovid: a

Aquí es fácil conciliar, para lo cual es necesario fundamentar el valor del ex empleado y reconsiderar , abriendo el yoga de nuevo.

Al final veremos uno más. tareas típicas, que es de naturaleza más algebraica y se incluye tradicionalmente en el curso de álgebra lineal. El suelo se ensancha, lo que es meritorio para una gran parte superior:

Para traer que 3 vectores establezcan la base del espacio trivi-world
y conoce las coordenadas del cuarto vector en la base dada

trasero 8

Dado un vector. Muestre que los vectores satisfacen la base del espacio trímero y conozca las coordenadas del vector en cuya base.

Solución: En la parte posterior de la cabeza, estamos recogiendo la mente. Para la mente, se le dan vectores de chotiri, y, como Bachite, el hedor ya está mayut coordinado en la misma base. ¿Cuál es la base? No se burlen de nosotros. Y para decir tal cosa: tres vectores en su conjunto pueden establecer una nueva base. La primera etapa se basa nuevamente en las soluciones del Apéndice 6, es necesario verificar si los vectores son realmente linealmente independientes:

Calculemos el número de vectores, doblando las coordenadas de los vectores:

, Otzhe, los vectores son linealmente independientes y establecen la base de un espacio trivial.

! importante : coordenadas vectoriales obov'azkovo grabable en la estación vyznachnika, no en filas. De lo contrario, habrá una estafa en los algoritmos más lejanos de rozvyazannya.

Los conceptos de linealidad e independencia del sistema de vectores son aún más importantes que el álgebra de vectores, los fragmentos en ellos se basan en la comprensión de la diversidad y la base del espacio. En estas estadísticas, tenemos una distinción, podemos ver el poder del barbecho lineal y la independencia, quitamos el algoritmo para escalar el sistema de vectores al barbecho lineal y analizaremos en detalle la solución de las aplicaciones.

Navegación en el lateral.

Designación de barbecho lineal e independencia lineal del sistema vectorial.

Echemos un vistazo a la colección de p n-vectores virtuales, significativamente su orden de llegada. Almacenar una combinación lineal de estos vectores y números reales (complejo dіysnih chi): . Dependiendo de la designación de las operaciones en los vectores del mundo n, así como del poder de las operaciones para doblar un vector y multiplicarlo por un número, es posible confirmar que una combinación lineal se escribe como un vector real del mundo n. , toto.

Así que nos dirigimos al destino del barbecho lineal del sistema vectorial.

Cita.

Tal combinación lineal puede ser un vector nulo si los números están en el medio Si quieres uno, si ves cero, entonces el sistema de vectores se llama barbecho lineal.

Cita.

Como una combinación lineal con un vector nulo solo una vez, si todos los números igual a cero, entonces el sistema de vectores se llama independiente linealmente.

El poder del barbecho lineal y la independencia.

Sobre la base de los datos, la cita, formulamos que podemos traer dominio de la falacia lineal e independencia lineal del sistema vectorial.

Tan pronto como se agregue un sistema vectorial de barbecho lineal, el sistema estará en barbecho lineal.

trayendo

Dado que el sistema de vectores se puede depositar linealmente, entonces los celos son posibles por la presencia de incluso un número de números distinto de cero . Vamos.

Dodamo al sistema externo de vectores y s vectores , tome su propio sistema. Entonces, como yo, entonces una combinación lineal de vectores en la mente del sistema

es un vector cero, y . También se ha ganado el sistema de vectores y barbechos lineales.

Si apaga una pequeña cantidad de vectores de un sistema vectorial linealmente independiente, entonces el sistema será linealmente independiente.

trayendo

Supongamos que el sistema es linealmente en barbecho. Habiendo agregado todos los vectores de entrada al sistema vectorial, eliminaremos el sistema vectorial. Detrás de la mente, es linealmente independiente, y debido al poder previo del barbecho lineal, puede ser linealmente barbecho. Mi dіyshli protirіchchya, otzhe, nuestra admisión es incorrecta.

Si un sistema de vectores quiere un vector cero, entonces dicho sistema es linealmente en barbecho.

trayendo

Sea nulo el vector de este sistema de vectores. Supongamos que el sistema vectorial es linealmente independiente. Entonces la ecuanimidad vectorial solo es posible si . Sin embargo, si lo toma, ya sea, si mira el cero, entonces la ecuanimidad seguirá siendo justa, fragmentos. Otzhe, nuestra concesión es nevirnim, y el sistema de vectores se deposita linealmente.

Si el sistema de vectores es linealmente en barbecho, entonces si solo uno de los vectores se expresa linealmente a través de otros. Dado que el sistema de vectores es linealmente independiente, entonces los vectores no pueden expresarse a través de otros.

trayendo

Lo traeremos de vuelta a la dureza.

Deje que el sistema de vectores sea linealmente en barbecho, incluso si desea ver un número cero i al mismo tiempo, si la igualdad es correcta. Los celos de Qiu pueden ser rozvyazat shodo, fragmentos con cualquier maєmo

Además, el vector gira linealmente a través de otros vectores del sistema, que era necesario traer.

Ahora vamos a traer otra firmeza.

Si el sistema vectorial es linealmente independiente, entonces los celos solo pueden ser para .

Suponga que el vector del sistema se expresa linealmente a través de інші. Que sea un vector є todi. La ecuanimidad de Qi se puede reescribir como , en la parte izquierda hay una combinación lineal del sistema vectorial, y el coeficiente delante del vector es igual a cero, lo que indica la ocurrencia lineal del sistema vectorial. Entonces mi deyshli protirichcha, otzhe, poder traído.

De las dos autoridades restantes, se destaca una afirmación importante:
como un sistema de vectores para reemplazar a los vectores i , de - más que un número, es linealmente en barbecho.

El desarrollo del sistema vectorial para el barbecho lineal.

Fijémonos un objetivo: necesitamos establecer un depósito lineal o independencia lineal sistemas vectoriales.

Comida lógica: "¿cómo virishuvate?"

Desde un punto de vista práctico, se puede culpar a la vergüenza de fijarse más en la importancia del poder de la falacia lineal y la independencia del sistema vectorial. La importancia de esta autoridad nos permite establecer la validez lineal del sistema vectorial en tales situaciones:

¿Cómo puedes estar en otros estados de ánimo, que son mayores?

Echemos un vistazo a cym.

Adivinemos la formulación del teorema sobre el rango de una matriz, como sugerimos en el artículo.

Teorema.

Vamos r - rango de la matriz A para ordenar p por n, . Sea M la base menor de la matriz A . Las filas (todas las columnas) de la matriz A, que participan en el desarrollo de la menor básica M, rotan linealmente a través de las filas (stowpts) de la matriz, generando así la menor básica M.

Y ahora vamos a explicar la conexión del teorema del rango de una matriz con la sucesión de un sistema de vectores a un depósito lineal.

Sumamos la matriz A, cuyas filas serán los vectores del siguiente sistema:

¿Cuál es el significado de la independencia lineal del sistema vectorial?

Desde el cuarto nivel de independencia lineal del sistema vectorial, sabemos que lo que es posible del sistema vectorial no puede expresarse a través de otros. En otras palabras, cada fila de la matriz A no se invertirá linealmente a través de las otras filas, la independencia lineal del sistema vectorial será igual a la mental Rank(A)=p.

¿Cuál es el significado de la falacia lineal del sistema vectorial?

Todo es más simple: si desea que una fila de la matriz A se exprese linealmente a través de otras, entonces, el stock lineal del sistema vectorial será igual al rango intelectual (A)

.

p align="justify"> A partir de ahora, la tarea de trasladar el sistema de vectores a la posición lineal se ajusta a la preselección del rango requerido de la matriz, plegada del vector del sistema.

Slid designa que con p>n el sistema vectorial será lineal en barbecho.

Respeto: cuando se pliega la matriz A, los vectores del sistema pueden tomarse no como filas, sino como columnas.

Algoritmo para llegar del sistema vectorial al depósito lineal.

Analicemos el algoritmo en colillas.

Un ejemplo de la extensión del sistema vectorial al barbecho lineal.

extremo.

Dado un sistema de vectores. Dol_dzhuyte її en el barbecho lineal.

Solución.

Dado que el vector es cero, entonces el sistema de vectores debe estar linealmente en la tercera potencia.

Sugerencia:

Sistema vector_v depósito lineal.

extremo.

Cambie el sistema de vectores al barbecho lineal.

Solución.

No es difícil recordar que las coordenadas del vector c son iguales a las coordenadas correspondientes del vector , multiplicar por 3, luego . Por lo tanto, el sistema vectorial es linealmente en barbecho.

mente viraz llamó combinación lineal de vectores A 1 , A 2 ,...,A n con coeficientes λ 1, λ 2 ,..., λ n.

Designación del depósito lineal del sistema de vectores

sistema vectorial A 1 , A 2 ,...,A n llamó barbecho lineal, Cómo usar un conjunto de números distintos de cero λ 1, λ 2 ,..., λ n, para qué combinación lineal de vectores λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n vector más cercano a cero, el sistema Tobto es igual a: puede ser una solución distinta de cero.
marcación de números λ 1, λ 2 ,..., λ n є distinto de cero, si solo uno de los números λ 1, λ 2 ,..., λ n en vіdminu vіd zero.

Designación de la independencia lineal del sistema vectorial.

sistema vectorial A 1 , A 2 ,...,A n llamó independiente linealmente, como una combinación lineal de estos vectores λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n dar el vector nulo menor que el conjunto nulo de números λ 1, λ 2 ,..., λ n , el sistema Tobto es igual a: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A norte x norte =Θ solo hay una solución cero.

Acciones 29.1

Inversa, chi є linealmente sistema de barbecho vector_v

Solución:

1. Construimos un sistema de ecualización:

2. Método Virishhuemo її Gaus. La transformación del sistema Jordan se muestra en la tabla 29.1. Al reconstruir las partes correctas del sistema, los fragmentos del hedor son iguales a cero y no se cambian por las transformaciones de Jordan.

3. Las tres filas restantes de la tabla sistema de escritura permitida, igualmente fuerte sistemas:

4. Otrimuemo zagalne solución del sistema.:

5. Habiendo dado el valor del cambio gratis x 3 = 1 al tribunal de sentencia, única decisión privada distinta de cero X = (-3,2,1).

Nota: De esta forma, con un conjunto de números distinto de cero (-3,2,1), la combinación lineal del vector en el vector cero es -3A1+2A2+1A3=Θ. Otzhe, el sistema vectorial es linealmente en barbecho.

El poder de los sistemas vectoriales

Poder (1)
Si el sistema vectorial está linealmente en barbecho, entonces si uno de los sistemas vectoriales está dispuesto detrás de los demás, entonces, si solo uno de los sistemas vectoriales está dispuesto detrás de los demás, el sistema vectorial está linealmente en barbecho.

Poder (2)
Así como el subsistema vectorial está linealmente en barbecho, todo el sistema está linealmente en barbecho.

Poder (3)
Así como el sistema vectorial es linealmente independiente, el subsistema es linealmente independiente.

Poder (4)
Ya sea un sistema de vectores, para vengar un vector cero, es un barbecho lineal.

Poder (5)
El sistema de vectores m-world siempre es linealmente en barbecho, porque el número de vectores n es mayor que el número de vectores (n>m)

Base del sistema vectorial

La base del sistema de vectores. A 1 , A 2 ,..., A n tal subsistema B 1 , B 2 ,...,B r(piel de los vectores B 1 ,B 2 ,...,B r є uno de los vectores A 1 , A 2 ,..., A n), para complacer a las mentes que vienen:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r sistema lineal independiente de vectores;
2. cualquier vector aj los sistemas A 1 , A 2 ,..., A n se expresan linealmente a través de los vectores B 1 ,B 2 ,...,B r

r- El número de vectores incluidos en la base.

Teorema 29.1 Sobre una sola base de un sistema de vectores.

Como un sistema de m-vectores del mundo para reemplazar m diferentes vectores individuales E 1 E 2 ,..., E m , todos los olores constituyen la base del sistema.

Algoritmo para encontrar la base del sistema de vectores.

Para conocer la base del sistema de vectores A 1 ,A 2 ,...,A n es necesario:

• Pliegue un sistema vectorial bidimensional en un sistema homogéneo de iguales A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A norte x norte =Θ
• Dirige tu sistema

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Solución. Shukaєmo zagalne rіshennya rіvnyan system

a 1 X 1 + a 2 X 2 + a 3 X 3 = Θ

método de Gauss. Para lo cual escribimos un sistema homogéneo para las coordenadas:

Matriz del sistema

El sistema puede mirar: (r un = 2, norte= 3). El sistema se expande y es invisible. ї decisión zagalne ( X 2 - cambio gratis): X 3 = 13X 2 ; 3X 1 – 2X 2 – 13X 2 = 0 => X 1 = 5X 2 => X o = . La presencia de una solución privada distinta de cero, por ejemplo, para hablar de esos vectores. a 1 , a 2 , a 3 depósitos lineales.

trasero 2

Z'yasuwati, chi є sistema dado vector_v linealmente en barbecho o linealmente independiente:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Solución. Echemos un vistazo al sistema homogéneo de igualación. a 1 X 1 + a 2 X 2 + a 3 X 3 = Θ

pero al quemado mira (detrás de las coordenadas)

El sistema es uniforme. Si ella no es virogene, solo hay una solución. Cómo tratar con un sistema homogéneo es una solución nula (trivial). Además, a veces el sistema de vectores es independiente. Bueno, el sistema Virogen, puede haber decisiones distintas de cero y, por lo tanto, está en barbecho.

Revisamos el sistema de virogeneidad:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sistema nevirógeno i, otzhe, vectori a 1 , a 2 , a 3 independiente linealmente.

Gerente. Z'yasuvati, chi recibe un sistema de vectores є linealmente en barbecho o linealmente independiente:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Informar que el sistema de vectores quedará en barbecho lineal, para que no se vengue:

a) dos vectores iguales;

b) dos vectores proporcionales.