Vectores, їх power y dії z ellos

Vectores, vectores dії z, espacio vectorial lineal.

La secuencia de números finales está ordenada por vectores.

Hice: 1. Multiplicar un vector por un número: lambda * vector x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n). (3.4, 0. 7) * 3 \u003d (9, 12,0.21 )

2. Vectores plegables (para estar en el mismo espacio vectorial) vector x + vector y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vector 0=(0,0…0)---n E n – n-dimensional (espacio lineal) vector x + vector 0 = vector x

Teorema. Para que el sistema de n vectores, espacio lineal de n-mundos sea linealmente en barbecho, es necesario y suficiente que uno de los vectores sea una combinación lineal de otros.

Teorema. Be-yaka sukupnіst n+ 1st vector n-world linear expanse yavl. barbecho lineal.

Sumar vectores, multiplicar vectores por números. Vіdnіmannya vektorіv.

La suma de dos vectores se llama vector, enderezándose desde la mazorca del vector hasta el final del vector teniendo en cuenta que la mazorca es desde el final del vector. Así como los vectores se establecen por sus diseños de acuerdo con los vectores unitarios básicos, cuando los vectores se pliegan, se agregan sus respectivas coordenadas.

Echemos un vistazo al ejemplo del sistema de coordenadas cartesianas. Vamos

mostremos lo que

Z baby 3 puedes ver eso

La suma de cualquier número final de vectores se puede encontrar detrás de la regla del bagatokutnik (Fig. 4): para inducir la suma del número final de vectores, es suficiente tomar el vector ofensivo de la oreja de la piel con el extremo del anterior e inducir el vector que va detrás de la oreja del primer vector con el último de los restantes.

El poder de la operación del plegamiento de los vectores:

En cich virase m, n son números.

La diferencia de vectores se llama vector.Otro vector adicional es el vector, el vector pertil detrás de la recta, pero igual a la segunda.

De esta forma, la operación de mover el vector se reemplaza por la operación de doblar

El vector, cuya mazorca se encuentra en la mazorca de coordenadas, y el extremo, en el punto A (x1, y1, z1), se denomina radio vector del punto A i, o simplemente. Los fragmentos de las coordenadas de yogo se desplazan desde las coordenadas del punto A, se puede ver el diseño de yogo a lo largo de los vectores

Un vector que puede empezar en el punto A(x1, y1, z1) y terminar en el punto B(x2, y2, z2)

de r 2 - radio vector del punto; r 1 es el radio vector del punto A.

Por lo tanto, el diseño del vector en términos de vectores se puede ver

Yogo dozhina es más hermosa entre los puntos A y B

MULTIPLICAR

Entonces, en el caso de problemas planos, la suma del vector en a = (ax; ay) al número b está detrás de la fórmula

a b = (ax b; ay b)

Ejemplo 1. Encuentra el incremento del vector a = (1; 2) por 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Entonces, en el caso de un problema de espacio, el aumento del vector a = (ax; ay; az) por el número b está detrás de la fórmula

a b = (ax b; ay b; az b)

Ejemplo 1. Encuentra el incremento del vector a = (1; 2; -5) en 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Escalar dobootok vector_v que de - Corte entre vectores i; yakscho abo, entonces

Desde el punto de vista de la creación escalar, gritas que

de, por ejemplo, є el valor de la proyección del vector directamente al vector .

Vector cuadrado escalar:

Poder de la creación escalar:

Giro escalar en coordenadas

Yakscho después

Vectores de kut mizh

Corte entre vectores: corte entre líneas rectas entre vectores (corte más pequeño).

Vector TV (Vector TV de dos vectores) Este es un pseudovector, perpendicular al plano, inducido por dos spіvmultipliers, que es el resultado de la operación binaria "multiplicación de vectores" sobre vectores en el espacio euclidiano trivial. Twіr no es conmutativo ni asociativo (es anticonmutativo) y funciona como un vector de dobutku escalar. Para muchas tareas de ingeniería y física, es necesario que la madre pueda ser un vector perpendicular a las dos realidades: el vector TV debe ser posible. La extensión vectorial del corisny para “invertir” la perpendicularidad de los vectores es la longitud de la extensión vectorial de dos vectores en la dirección de la extensión de sus dozhins, ya que son perpendiculares, y cambia a cero, ya que los vectores son paralelos o antiparalelo.

El vector tvir se asignó sólo al trivimer ya las extensiones de los siete mundos. El resultado de una creación vectorial, como una escalar, se encuentra en la métrica del espacio euclidiano.

En vista de la fórmula para el cálculo de las coordenadas del objeto escalar vectorial en un sistema tridimensional de coordenadas rectangulares, la fórmula para que el objeto vectorial se encuentre en la orientación del sistema de coordenadas rectangulares, o bien "quiralidad"

Colinealismo de vectores.

Dos vectores distintos de cero (que no son iguales a 0) se denominan colineales porque se encuentran en líneas paralelas o en la misma línea. Está permitido, pero no se recomienda como sinónimo: vectores "paralelos". Los vectores colineales pueden estar igualmente enderezados ("direcciones") o enderezados de manera opuesta (en el caso restante, a veces se les llama "anticolineales" o "antiparalelos").

Zmіshane viroblennya vektorіv( a B C)- extensión escalar del vector a a extensión vectorial del vector b y c:

(a, b, c) = a ⋅ (b × c)

a veces se denomina escalar trinario a la creación de vectores, quizás a través de aquellos cuyo resultado es un escalar (más precisamente, un pseudoescalar).

Zmist geométrico: el módulo del zmіsha creative es numéricamente más importante que la obligación del paralelepípedo hecho por vectores (a B C) .

energía

Zmіshané tvir es asimétrico en relación con todos sus argumentos: es decir, E. la permutación de si hay dos spіvmulnikiv cambia el signo de la creación. Los resultados muestran que el cambio además del sistema de coordenadas cartesiano derecho (en la base ortonormal) está más cerca del vector matriz doblado del vector i:

Los cambios además del sistema de coordenadas cartesiano izquierdo (en una base ortonormal) son iguales al designador de matriz, doblado de vectores y tomado con un signo "menos":

zokrema,

Como si hubiera dos vectores y paralelos, luego con un tercer vector, el hedor creará confusión, que es igual a cero.

Hay tres vectores que son linealmente en barbecho (es decir, son coplanares, se encuentran en el mismo plano) y sus desviaciones son iguales a cero.

Zmist geométrico - Zmіshane tvіr por el valor absoluto del paralepípedo obligatorio (div. bebés) hecho por los vectores i; una señal para poner un depósito en orden, chi є tsya triyka vektor_v right chi leva.

Complanaridad de vectores.

Tres vectores (o más) se denominan coplanares, como si el hedor, reducido a la mazorca, se encontrara en el mismo plano

El dominio de la coplanaridad

Si desea que uno de los tres vectores sea nulo, entonces los tres vectores también pueden ser coplanares.

Un trío de vectores para vengar un par de vectores colineales que son coplanares.

Vectores coplanares de Zmishane tvir. Ce es un criterio para la coplanaridad de tres vectores.

Vectores acompañantes - barbechos lineales. Tse es también un criterio de coplanaridad.

En un espacio de 3 mundos, 3 vectores no coplanares establecen una base

Vectores linealmente en barbecho y linealmente independientes.

Barbecho lineal y sistemas vectoriales independientes.Cita. El sistema vectorial se llama barbecho lineal si solo una combinación lineal no trivial de estos vectores, que es igual al vector cero. De todos modos, entonces. simplemente una combinación lineal trivial de estos vectores a un vector cero, los vectores se llaman independiente linealmente.

Teorema (criterio de barbecho lineal). Para que el sistema de vectores en el espacio lineal sea linealmente en barbecho, es necesario y suficiente aceptar uno de estos vectores en la combinación lineal de otros.

1) Si el vector del medio es si desea un vector cero, entonces todo el sistema de vectores es linealmente en barbecho.

Cierto, como, por ejemplo, entonces, vvahayuchi, tal vez una combinación lineal no trivial.

2) Tan pronto como los vectores medios se establezcan en un sistema de barbecho lineal, todo el sistema estará en barbecho lineal.

Correcto, que sean vectores, depósitos lineales. Además, es una combinación lineal no trivial que es similar al vector cero. Ale todi, adivinando también tomamos una combinación lineal no trivial igual al vector cero.

2. Base y rozmirnist. Cita. Sistema de vectores linealmente independientes el espacio vectorial se llama base tho espacio, como si un vector pudiera ser representado por una combinación lineal de vectores en el sistema, eso es. para vectores de piel Entonces, ¿cuál puede ser el lugar de los celos? Los celos de Tsya se llaman diseño vectorial detrás de la base, y los números llamó coordenadas del vector según la base(de lo contrario en la base) .

Teorema (sobre la unidad de arreglo detrás de la base). La piel del vector se puede expandir más allá de la base. un rango, tobto. coordenadas del vector piel en la base destacar claramente.

Tarea 1. Z'yasuvati, el sistema chi de vectores es linealmente independiente. El sistema de vectores viene dado por la matriz del sistema, cuyas columnas se suman a partir de las coordenadas de los vectores.

.

Solución. Vamos combinación de línea es igual a cero Habiendo registrado la ecuanimidad de qiu en coordenadas, tomamos el siguiente sistema de ecuanimidad:

.

Tal sistema de iguales se llama trikut. Sólo hay una solución . padre, vectori independiente linealmente.

Tarea 2. Z'yasuvati, chi є sistema de vectores linealmente independiente.

.

Solución. Vectores linealmente independiente (div. problema 1). Digamos que el vector es una combinación lineal de vectores . Coeficientes de diseño para vectores retirado del sistema de ecualización

.

El sistema Tsya es complicado, solo hay una solución.

Padre, sistema de vectores barbecho lineal.

Respeto. Matrices de este tipo, como en el problema 1, se llaman difícil y tareas 2 - a menudo complicado . La nutrición del barbecho lineal del sistema de vectores es fácil de errar, como una matriz, plegada a partir de las coordenadas de estos vectores, a menudo es triangular. Si la matriz no tiene un aspecto especial, entonces para obtener ayuda transformación elemental de filas , Scho zberіgayut linear spіvvіdnoshennia mіzh stovptsami, її puede reducirse a un aspecto igualmente complicado.

Transformaciones elementales de filas matrices (EPS) se denominan operaciones siguientes en la matriz:

1) permutación de filas;

2) la multiplicación de una fila en un número cero dado;

3) sumando a la fila de la fila siguiente, multiplicado por un número determinado.

Tarea 3. Encuentre el subsistema linealmente independiente máximo y calcule el rango del sistema vectorial

.

Solución. Dirijamos la matriz del sistema después de la ayuda del NPS a un aspecto similar, a menudo complicado. Para explicar el orden del día, la fila con el número de la matriz que se está transformando tiene significado por el símbolo . En la parte posterior de la columna, las flechas se muestran sobre las filas de la matriz, ya que es necesario viconar para eliminar las filas de la nueva matriz.

.

Es obvio que las dos primeras columnas de la matriz omitida son linealmente independientes, la tercera columna es la misma combinación lineal y la cuarta columna no se puede depositar en las dos primeras. Vectores se denominan básicos. Establecen el máximo subsistema linealmente independiente del sistema , Y el rango del sistema es tres.

Base, coordenadas

Tarea 4. Encuentre la base y las coordenadas de los vectores en qué base en los vectores geométricos impersonales, cuyas coordenadas agradan a la mente. .

Solución. Bagato є plano, scho para pasar por la mazorca de coordenadas. Una base adicional en el plano se forma a partir de dos vectores no colineales. Las coordenadas de los vectores en la base seleccionada están determinadas por el sistema de alineaciones lineales rozvyazkoy vydpovidnoy.

Іsnuє th inshіy sposib vyvіshennya tsgogo zavdannya, si puede conocer la base de las coordenadas.

Coordenadas espacio abierto con coordenadas en el piso que no es independiente. Las variables independientes i (se llaman libres) asignan un único vector sobre el área i, por lo tanto, pueden tomarse con coordenadas en . misma base consta de vectores que se encuentran en diferentes conjuntos de cambios libres і , después .

Tarea 5. Conocer la base y las coordenadas de los vectores de cada base sobre los vectores ricos en el espacio, cuyas coordenadas no apareadas son iguales entre sí.

Solución. Vibero, como yo en la tarea adelantada, coordina en el espacio.

así que yak , entonces cambiarás asigne de forma única el vector i, luego, las coordenadas є. La base variable se compone de vectores.

Tarea 6. Encuentre la base y las coordenadas de los vectores en los que se basa en el impersonal todas las matrices. , de - Un buen número.

Solución. La matriz de piel h está representada sin ambigüedades en la vista:

Tse spіvіdnoshennia є razladannyam vector z base
con coordenadas .

Tarea 7. Encuentre la expansión y la base de la envolvente lineal del sistema vectorial

.

Solución. Rehagamos la matriz con las coordenadas del vector en el sistema con la ayuda del EPS para que tenga un aspecto igualmente complicado.

.

Stovptsi las matrices restantes son linealmente independientes, y las matrices restantes linealmente vrazhayutsya krіz ellos. padre, vectori establecer la base , і .

Respeto. base y elegido ambiguamente. por ejemplo, vector también establecer la base .

El sistema vectorial se llama barbecho lineal, yakshcho isnuyet tomando números, entre yakhocha le gustaría ser uno vdminno vіd zero, scho vykonuєtsya ecuanimidad. >.

¿Cómo puede ganar la ecuanimidad solo en ese caso, si todo, entonces el sistema de vectores se llama independiente linealmente.

Teorema. El sistema vectorial será barbecho lineal entonces y solo entonces, si desea uno de los vectores її en una combinación lineal de otros.

Ejemplo 1. Miembro rico є combinación lineal de segmentos ricos. Términos ricos para convertirse en un sistema linealmente independiente, como un miembro rico https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

trasero 2 Sistema de matriz, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" .ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height= "21"> /images/image022_26.gif" width="40" barbecho lineal.

Solución.

Almacenamos una combinación lineal de estos vectores https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" 22">.

Dadas las mismas coordenadas de vectores iguales, tomamos width="289" height="69">

Residual

і

El sistema puede tener una sola solución trivial, por lo que la combinación lineal de estos vectores llega a cero más de una vez, si todos los coeficientes llegan a cero. Tomás sistema dado vector_v linealmente independiente.

trasero 4. Los vectores son linealmente independientes. ¿Cuáles serán los sistemas de vectores?

a).;

b).?

Solución.

a). Sumamos una combinación lineal y la igualamos a cero

Vykoristovuyuchi el poder de las operaciones con vectores en el espacio lineal, reescribiremos la equivalencia restante del visual

Dado que los vectores son linealmente independientes, entonces los coeficientes de culpa deben ser iguales a cero, por lo que gif.

El sistema de Otriman es igual, solo hay una solución trivial .

Oskіlki rivnіst (*) vykonuєtsya solo en - linealmente independiente;

b). Almacenamiento de igualdades https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" (**)

Zastosovuyuchi análogo mirkuvannya, otrimaєmo

Virishyuchi el sistema de ecualización por el método de Gaus, es necesario

o

El resto del sistema es una solución impersonal https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. los celos ganan (**) . Padre, sistema de vectores - Barbecho lineal.

trasero 5 El sistema vectorial es linealmente independiente y el sistema vectorial es linealmente independiente. gif. (***)

a los celos (***) . De hecho, el sistema estaba linealmente en barbecho.

Zі spіvіdnoshennia (***) aceptable o Significativamente .

Quitar

Tarea para decisión independiente(en la audiencia)

1. El sistema que venga el vector cero es linealmente en barbecho.

2. Un sistema que consta de un vector a, linealmente en barbecho incluso y menos entonces, si, un=0.

3. El sistema, que está compuesto por dos vectores, es linealmente en barbecho solo si los vectores son proporcionales (entonces uno de ellos sale de la multiplicación más pequeña por el número).

4. Si agrega un vector a un sistema de barbecho lineal, verá un sistema de barbecho lineal.

5. Como de un sistema linealmente independiente, se puede ver el vector, el sistema de vectores es linealmente independiente.

6. sistema yakcho S linealmente independiente, pero se vuelve linealmente en barbecho al agregar un vector b, entonces el vector b se dobla linealmente a través de los vectores del sistema S.

C). El sistema de matrices tiene un orden diferente para las matrices.

10. Sea el sistema de vectores a,b,C el espacio vectorial es linealmente independiente. Para traer la independencia lineal de los sistemas de vectores ofensivos:

a).un+b, b, c.

b).un+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" ancho="15" alto="19">– número suficiente

C).un+b, a+c, b+c.

11. Vamos a,b,C- tres vectores en el piso, entre ellos puedes doblar un tricutnik. ¿Los vectores chi qi estarán linealmente en barbecho?

12. Dados dos vectores a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Elija dos vectores chotirivimir más a3 ya4 entonces, sistema shob a1,a2,a3,a4 bula linealmente independiente .

Cita. Combinación lineal de vectores un 1 , ..., un n

x 1 a 1 + ... + x n a n.

trivial entonces todos los coeficientes x 1 , ..., x n son iguales a cero.

Cita. La combinación lineal x 1 a 1 + ... + x n a n se llama no trivial, incluso si uno de los coeficientes x 1, ..., x n no es igual a cero.

independiente linealmente, por lo que no existe una combinación no trivial de estos vectores igual al vector cero .

Entonces los vectores a 1 ..., an son linealmente independientes como x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 incluso y solo si x 1 = 0, ..., x n = 0.

Cita. Los vectores a 1 , ..., an se llaman barbecho lineal yakscho іsnuє combinación no trivial de tsikh vector_v do_vnyuє vector cero.

Dominancia de los vectores de barbecho lineales:

Para vectores de 2 y 3 mundos.

Dos lineas vector de barbecho- colineal. (Vectores Kolіnearnі - depósitos lineales).

Para tres vectores pacíficos.

Tres vectores de barbecho lineales - coplanares. (Tres vectores coplanares - depósitos lineales).

• Para n-ésimos vectores.

  n + 1 vector de depósitos lineales.

Aplique la tarea a la independencia lineal y la independencia lineal de los vectores:

Ejemplo 1. Invertir el vector a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) son linealmente independientes.

Solución:

Los vectores serán linealmente en barbecho, los vectores de escala serán más pequeños para el número de vectores.

Ejemplo 2. Invertir el vector a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) son linealmente independientes.

Solución:

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + x3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

desde la primera fila se ve a otro; hasta la tercera fila dodamo otra:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Esta solución muestra que el sistema puede hacer una solución impersonal, de modo que tenga una combinación distinta de cero de los valores de los números x 1 x 2 x 3 tal que la combinación lineal de los vectores a, b, c es igual a la vector cero, por ejemplo:

A + b + c = 0

a tse significa que los vectores a, b, c son depósitos lineales.

Sugerencia: los vectores a, b, c son linealmente en barbecho.

Ejemplo 3. Invertir el vector a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) son linealmente independientes.

Solución: Conocemos el valor de los coeficientes para cualquier combinación lineal de estos vectores en el vector cero.

x 1 a + x 2 segundo + x 3 c 1 = 0

La alineación del vector Tse se puede registrar en el sistema visual de alineaciones lineales

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + 2x3 = 0

Comprobamos el sistema vicorista usando el método de Gauss

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

desde otra fila se ve la primera; desde la tercera fila podemos ver la primera:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

desde la primera fila se ve a otro; hasta la tercera fila dodamo otra.

barbecho lineal independencia lineal vector_v.
Bases vectoriales. sistema de coordenadas ateniense

En el auditorio hay muchos chocolates, y un par de regaliz podrá escaparse de la piel hoy: geometría analítica con álgebra lineal. Este artículo se dividirá en dos partes. matemáticas avanzadas, y nos preguntamos cómo se acostumbran los apestosos a una loma. ¡Tómate un descanso, s'zh "Tviks"! ... bebé, bueno, súper niña. Si quiero, no marcaré, lo siento, puedo tener un estado de ánimo positivo para entrenar.

Barbecho lineal de vectores, independencia lineal de los vectores, base vectorial ese término puede no ser sólo una interpretación geométrica, sino, ante todo, un sentido algebraico. El propio concepto de “vector” desde el punto de vista del álgebra lineal está lejos de ser lo mismo que el vector “superior”, que podemos representar en el plano del espacio. No necesita ir muy lejos para obtener pruebas, intente pintar el vector del espacio de cinco dimensiones. . Abo solo espera, para algunos fui al Gіsmeteo: - la temperatura y la presión atmosférica son buenas. El tope, obviamente, no es correcto desde el punto de vista de la autoridad del espacio vectorial, pero nada impide la formalización de los datos por los parámetros y el vector. Aliento de otoño.

Hola, no voy a tratar de tentarlos con una teoría, espacios vectoriales lineales, el problema es que comprender la definición de ese teorema. Los términos nuevos (depósito lineal, independencia, combinación lineal, base, etc.) son adjetivos a todos los vectores desde el punto de vista del álgebra, pero la aplicación se dará geométricamente. En este rango, todo es simple, es accesible a primera vista. La geometría analítica de Krіm zavdan se considera una tarea típica del álgebra. Para dominar el material, es necesario aprender las lecciones. Vectores para teterasі ¿Como contar?

Barbecho lineal e independencia del vector en el plano.
Base de área y sistema de coordenadas de afinidad

Miremos el área de tu Escritorio de computadora(solo una mesa, mesitas de noche, troncos de cama, estelas, quien lo necesite). El líder del campo en los próximos días:

1) Seleccionar base de área. Aproximadamente kazhuchi, stіlnitsa maє dovzhina en ancho, se dio cuenta intuitivamente de que se necesitan dos vectores para estimular la base. Un vector claramente no es suficiente, tres vectores son zayva.

2) Sobre la base de la base inversa establecer sistema de coordenadas(cuadrícula de coordenadas) para asignar coordenadas a todos los objetos que están sobre la mesa.

No se sorprenda, la explicación estará en los dedos. Y en el tuyo. Se amable, perdona expresivo dedo de la mano izquierda al borde del estilo de modo que me maravilló en el monitor. Tse será un vector. Ahora coloca dedo meñique de la mano derecha en el borde de la mesa así - schob buv enderezándose en la pantalla del monitor. Tse será un vector. ¡Sonríe, te ves maravillosa! ¿Qué puedes decir sobre los vectores? Vectores de datos colineal, lo que significa linealmente gire uno a uno:
, bueno, chi navpaki: , de - deake number, vіdmіnne vіd zero.

La imagen de qué acción se puede ver en la lección. Vectores para teteras De expliqué la regla de multiplicar un vector por un número.

Chi, ¿pondrán tus dedos la base sobre la mesa de la computadora? Obviamente no. Kolіnearnі vectores y aumento de precio aquí y allá solo recto, y el área puede ser más larga y más ancha.

Tales vectores se llaman barbecho lineal.

Conclusión: Las palabras "lineal", "lineal" significan aquellas cosas que tienen equivalentes matemáticos, no hay cuadrados, cubos, otros pasos, logaritmos, senos. Є tіlki linіynі (primera etapa) contra el barbecho.

Dos planos vectoriales depósitos lineales entonces y solo entonces, si el hedor es colineal.

Cruce los dedos sobre la mesa, de modo que entre ellos quede como un corte de Crimea 0 o 180 grados. Dos planos vectorialeslinealmente no rancio en eso y menos, porque el hedor no es colineal. Otzhe, se quita la base. No tiene que preocuparse por el hecho de que la base de las vistas está "cortada" con vectores no perpendiculares de diferentes longitudes. No es raro para mí que para el yoga, el apéndice no sea solo de 90 grados, y no solo único, igual al viejo vector.

Be-yaky vector plano un rango ampliado según la base:
, de - dіysnі números. Números de llamada coordenadas vectoriales en que base.

Entonces parece que vectoractuaciones a la vista combinación lineal Vectores de bases. tobto viraz se llama diseño vectorialbase o combinación lineal vectores base.

Por ejemplo, se puede decir que el vector de diseños está detrás de la base ortonormal del plano, o se puede decir que las representaciones de una combinación lineal de vectores son incorrectas.

Formular asignación a la base formalmente: La base de la zona. un par de vectores linealmente independientes (no colineales) se llama, , en el cual ser como El vector plano es una combinación lineal de vectores básicos.

El mismo momento de la cita es el hecho de que los vectores se toman en el orden de la canción. basesi - ¡Hay dos bases absolutamente diferentes! Como parece, el dedo meñique de la mano izquierda no se puede mover al dedo meñique de la mano derecha.

Hemos elaborado la base, pero aún no es suficiente para establecer la cuadrícula de coordenadas y asignar las coordenadas al objeto de piel de la mesa de su computadora. ¿Por qué te perdiste? Los vectores є vіlnimi y se desdibujan en todo el plano. Entonces, ¿cómo asigna coordenadas a estos pequeños puntos errantes en la mesa, que se han quedado atrás después del bullicioso fin de semana? Pauta requerida. І tal punto de referencia es un punto conocido por todos: la mazorca de coordenadas. Se selecciona del sistema de coordenadas:

Comenzaré con las organizaciones “escolares”. Ya en la lección introductoria. Vectores para teteras Vi los hechos de reconocimiento entre un sistema de coordenadas rectangulares y una base ortonormal. Imagen estándar del eje:

al hablar de sistema de coordenadas rectangulares, entonces lo más común es usar la mazorca de coordenadas, el eje de coordenadas y la escala a lo largo de los ejes. Intente escribir "sistema de coordenadas rectangulares" en el sistema de búsqueda, y me dirá que vale la pena informarle sobre el conocimiento de la clase 5-6 del eje de coordenadas y sobre cómo colocar puntos en el plano.

Por otro lado, existe el efecto de que un sistema de coordenadas rectangulares puede determinarse como un todo a través de una base ortonormal. І tse mayzhe así. La fórmula suena así:

mazorca de coordenadas, і ortonormalización establecer la base Sistema cartesiano de coordenadas rectangulares del plano. . que es un sistema de coordenadas rectangulares definitivamente están representados por un solo punto y dos vectores ortogonales simples. Por esa misma razón, necesitas una silla, ya que he inculcado un vishche - en problemas geométricos a menudo (aunque no zavzhd) pintan vectores, en ejes de coordenadas.

Creo que todos entendieron que para un punto adicional (mazorca de coordenadas) que es ortonormal a la base PUNTOS BE-YAKIY del área y VECTOR BE-YAKIYA del área puede asignar coordenadas. En sentido figurado, aparentemente, "todo se puede numerar en el cuadrado".

¿Pueden los vectores de coordenadas ser simples? No, el olor puede apestar a la madre dovіlnu non-zero dovzhina. Veamos el punto y dos vectores ortogonales y valores bastante distintos de cero:

Tal base se llama ortogonal. La mazorca de coordenadas con vectores establece la cuadrícula de coordenadas, y sea un punto del plano, sea un vector para escribir sus coordenadas en esta base. Por ejemplo, o. La ineptitud obvia radica en el hecho de que los vectores de coordenadas en la cima de la montaña llorar vidas diferentes, vіdminnі vіd odinitsі. Tan pronto como la soledad es igual, aparece la base ortonormal primaria.

! Nota : en la base ortogonal, y también inferior en las bases atenienses, se tienen en cuenta los planos y el espacio de uno a lo largo de los ejes UMOVIMI. Por ejemplo, en una unidad a lo largo del eje de abscisas hay 4 cm, en una unidad a lo largo del eje de ordenadas 2 cm.

Y otra comida, en el yak, realmente se ha dado evidencia: ¿qué obov'yazykovo kut entre los vectores básicos puede alcanzar los 90 grados? ¡Hola! Cómo confirmar cita, vectores básicos y cuotas menos que no colineal. Vіdpovidno kut mozhe buti be-yakim, krіm 0 y 180 grados.

El punto del plano, como se le llama mazorca de coordenadas, і no colineal vector, , establecer sistema de coordenadas afines del plano :

En otras palabras, dicho sistema de coordenadas se llama trenzado sistema. Cómo aplicar puntos y vectores en la imagen del sillón:

Como saben, el sistema de coordenadas ateniense es menos fácil, no usan fórmulas para vectores y vdrіzkiv, como vimos en la otra parte de la lección Vectores para teteras, fórmulas ricamente sabrosas, pov'yazanі z creación escalar de vectores. Luego, hay reglas justas para doblar un vector y multiplicar un vector por un número, fórmulas para subdividir en una expresión dada y también para eliminar tipos de tareas, que podemos ver fácilmente.

Y el visnovok es tal que es la forma más conveniente de llamar al punto del sistema de coordenadas ateniense: el sistema rectangular cartesiano. A eso, prefiero, la mayoría de las veces, que me lleven a bachiti. ... Mientras tanto, todo en esta vida está claro: hay pocas situaciones en las que el río en sí está sesgado (de lo contrario, por ejemplo, polar) sistema coordinado. Esos humanoides pueden disfrutar de tales sistemas =)

Pasemos a la parte práctica. Usі zavdannya esta lección es como un sistema de coordenadas en ángulo recto, por lo que zagalnogo Athenian vpadku. Aquí no hay nada plegable, todo el material es accesible a un colegial.

¿Cómo definir la colinealidad de un vector en un plano?

Río típico. Para tener dos vectores y áreas ser colineales, necesarios y suficientes, de modo que sus correspondientes coordenadas sean proporcionales. De hecho, este es el detalle coordinado del obvio spivvіdnoshenya.

trasero 1

a) Vectores colineales chi inversos .
b) Chi establece la base del vector ?

Solución:
a) ¿Por qué, qué es válido para los vectores? coeficiente de proporcionalidad, tal que las igualdades triunfaron:

Obov'yazkovo rozpovіm sobre la variante "pіzhonskiy" de las reglas zastosuvannya tsgogo, que circula en la práctica. La idea radica en que inmediatamente sumarás la proporción y te preguntarás si acertaste:

Sumemos la proporción de las coordenadas dadas de los vectores:

pronto:
, en este orden, las coordenadas correspondientes son proporcionales,

La configuración se puede plegar y plegar, una opción valiosa:

Para la autoverificación, puede modificar aquellos que son vectores colineales y doblar linealmente uno a uno. En este punto de vista, hay un lugar de equivalencia . Su equidad es fácilmente perveryaetsya a través de divisiones elementales con vectores:

b) Dos vectores y planos establecen una base, como si fueran colineales (linealmente independientes). Doslіdzhuєmo en kolіnearnіst vektori . Construyamos el sistema:

Del primer igual gritas, scho, del otro igual gritas, oh, el sistema esta loco(No hay solución). De esta forma, las coordenadas correspondientes de los vectores no son proporcionales.

Visnovok: los vectores son linealmente independientes y forman una base.

La versión simplificada de la solución se ve así:

Sumamos la proporción de las coordenadas dadas de los vectores :
, Otzhe, vectores qi y linealmente independientes y establecer una base.

Llame a esta opción para rechazar a los revisores, pero culpe al problema por las fallas, si las coordenadas son iguales a cero. eje como este: . Abo así: . Abo así: . ¿Cómo puedo trabajar aquí a través de la proporción? (En serio, no se puede dividir por cero). Por la misma razón, llamé a la solución más simple "pizhonsky".

Sugerencia: a), b) aprobar.

Un pequeño ejemplo creativo para una visión independiente:

trasero 2

Para cualquier valor del parámetro vectorial será colineal?

Para una solución, el parámetro se encuentra a través de una proporción.

Usamos el método de álgebra de re-verificación de vectores para colinealidad.

Para dos vectores en la zona de dureza equivalente:

2) vectores y establecer una base;
3) los vectores no son colineales;

+ 5) oscilador, se pliega a partir de las coordenadas de estos vectores, vіdminny vіd zero.

vidpovidno, Dureza protráctil del pie equivalente:
1) depósitos vectoriales y lineales;
2) los vectores no satisfacen una base;
3) vectores y colineales;
4) los vectores se pueden invertir linealmente uno a uno;
+ 5) vector, plegado a partir de las coordenadas de estos vectores, que lleva a cero.

ya estoy convencido de que momento dado ya entendiste todos los términos que aprendiste y confirmaste.

Echemos un vistazo al nuevo informe, el quinto párrafo: dos vectores y pisos kolіnearnі thodі tіlki tіlki tоdі, si vyznachnik, se pliega desde las coordenadas de estos vectores, hasta cero:. Para los signos de zastosuvannya tsієї, naturalmente, es necesario recordar conoce a los visionarios.

Virishima Ejemplo 1 de una manera diferente:

a) Calcular el número de vectores, sumando las coordenadas de los vectores :
, también, q vectores y colineales.

b) Dos vectores y planos establecen una base, como si fueran colineales (linealmente independientes). Cálculo del número de vectores, plegado de las coordenadas de los vectores :
, Otzhe, los vectores son linealmente independientes y establecen una base.

Sugerencia: a), b) aprobar.

Se ve significativamente más compacto y más bonito, solución más baja con proporciones.

Con la ayuda del material examinado, es posible establecer la colinealidad de los vectores y también traer el paralelismo de vdrіzkіv, líneas rectas. Echemos un vistazo a un par de tareas de formas geométricas específicas.

trasero 3

Dadas las cimas del chotirikutnik. Trae que chotirikutnik es un paralelogramo.

trayendo: No será necesario un sillón en la tarea, los fragmentos de la solución serán puramente analíticos
paralelogramo se llama chotirikutnik, que tiene lados opuestos en pares paralelos.

En este orden, es necesario llevar:
1) paralelismo de los lados opuestos;
2) paralelismo de los lados opuestos.

Nosotros traemos:

1) Conocemos los vectores:

2) Conocemos los vectores:

Viyshov es el mismo vector ("según la escuela" - vectores iguales). Kolnearnist ya es obvio, pero es mejor organizar la solución correctamente, con el arreglo. Calculemos el número de vectores, doblando las coordenadas de los vectores:
, Otzhe, qі vectores y colineales, i .

Visnovok: Protilezhnі lados chotirikutnik en pares paralelos, otzhe, en paralelogramo para las citas. ¿Qué hizo falta para traer.

Más figuras de las buenas:

trasero 4

Dadas las cimas del chotirikutnik. Para traer, scho chotirikutnik є trapezієyu.

Para una fórmula suvorish, demuéstrela de manera más bella, espléndida, dibuje la designación del trapecio, y simplemente complétela y simplemente adivine, como si mirara hacia afuera.

Tse zavdannya solución independiente. solución exterior como una lección

Y ahora ha llegado el momento de pasar lentamente de lo plano a lo abierto:

¿Cómo designar la colinealidad del vector en el espacio?

La regla es parecida. Para que dos vectores al espacio sean colineales es necesario y suficiente que sus respectivas coordenadas sean proporcionales.

trasero 5

Z'yasuvati, chi kolіnearnі avanzará los vectores y el espacio:

a);
b)
en)

Solución:
a) Reversiblemente, chi es el coeficiente de proporcionalidad para diferentes coordenadas de vectores:

El sistema no se puede resolver, por lo tanto, los vectores no son colineales.

"Sproschenka" se distingue por una nueva proporción. En esta vista:
– las coordenadas relativas no son proporcionales, por lo que los vectores no son colineales.

Sugerencia: los vectores no son colineales.

b-c) Estos son los puntos de una decisión independiente. Intenta decorar el yoga de dos maneras.

Utilizar el método de re-verificación de vectores espaciales para colinealidad a través de la variable de tercer orden, este método se muestra en el artículo Vector de televisión vectorial.

De manera similar a la vista plana de la vista de las herramientas, se puede arreglar con el método de mantener el paralelismo de los espacios abiertos y las líneas rectas.

Le pedimos amablemente a otra división:

La obsolescencia y la independencia lineales son vectores en el espacio trivimer.
Base espaciosa y sistema de coordenadas de afinidad.

Muchas leyes, como hemos visto en la plaza, serán justas y amplias. Traté de minimizar la sinopsis de la teoría, las piezas de la parte izquierda de la información ya han sido descifradas. Tim no es menos, te recomiendo que leas la parte introductoria con respeto, los fragmentos son términos nuevos y los entiendes.

Ahora la sustitución del área de la mesa de la computadora se extiende a un espacio tridimensional. Vamos a crear una base de yoga. Quién sabe en un momento en la casa, quién está en la calle, pero en cualquier caso, no podemos ir a ninguna parte en los tres mundos: ancho, largo y alto. Por lo tanto, para inducir la base se necesitan tres vectores espaciales. Uno o dos vectores no son suficientes, los cuartos son zayvi.

Estoy de nuevo rozminaєmos en los dedos. Sea amable, levante la mano cuesta arriba y levante la espinilla en diferentes lados genial, impresionante dedo medio . Tse serán vectores, el hedor se maravillará en diferentes lados, llorará diferentes dozhina y llorará diferentes kuti entre ellos. ¡Vіtayu, la base de la extensión trivimir está lista! Antes del discurso, no es necesario demostrar tales vikladachs, como no torcer los dedos, pero no puedes ir a ninguna parte =)

Pongamos una comida importante, ser como tres vectores y satisfacer la base del espacio trivial? Sea amable, apriete tres dedos firmemente contra el escritorio de la computadora. ¿Qué sucedió? Tres vectores vagaban en el mismo plano y, aparentemente, tenemos un signo de vimiriv: la altura. Tales vectores coplanario Y es bastante obvio que no se puede crear la base de un espacio trivimérico.

Cabe señalar que los vectores coplanares y nada malo están en el mismo plano, pueden estar en planos paralelos (solo intenta trabajar con los dedos, así Salvador Dali terminaría menos =)).

Cita: los vectores se nombran coplanario como un piso real, como un hedor paralelo. Aquí es lógico agregar que si no existe tal área, entonces los vectores no serán coplanares.

Tres vectores coplanares y depósitos lineales tobto linealmente vrazhayutsya uno a uno. Para simplificar, nuevamente es aceptable que el hedor se encuentre en un piso. En primer lugar, los vectores, y no solo eso, son coplanares, pueden ser más colineales, incluso si un vector se puede ver a través de un vector. De otra manera, por ejemplo, los vectores no son colineales, entonces el tercer vector los gira en un solo orden: (y por qué es fácil de adivinar por los materiales de la división anterior).

Justo es el retorno de la afirmación: tres vectores no coplanares y vectores linealmente independientes, tobto ya n_yak no vrazhayutsya uno a uno. Yo, obviamente, soy menor que tales vectores y puedo satisfacer la base de una extensión trivial.

Cita: Base trivimirnogo extensión llamado un trío de vectores linealmente independientes (no coplanares), tomado de la orden de canto en cualquier momento, ya sea un vector de espacio abierto un rango repartidas sobre una base dada, de coordenadas de un vector en una base dada

Adivinando, también puedes decir que el vector de representaciones combinación lineal vectores base.

El concepto de sistema de coordenadas se introduce de la misma manera, como para una pendiente plana, un punto y tres vectores linealmente independientes son suficientes:

mazorca de coordenadas, і no coplanar vector, tomado de la orden de canto, establecer affinnu sistema de coordenadas del espacio trivi-world :

Obviamente, la cuadrícula de coordenadas "trenza" no es muy eficiente, pero el sistema de coordenadas que se nos solicita nos permite definitivamente designar las coordenadas de cualquier vector, que las coordenadas de cualquier punto en el espacio. De manera similar al plano, en el sistema de coordenadas ateniense, el espacio no funciona con las mismas fórmulas, sobre las cuales ya he adivinado.

El término más primario y más conveniente para el sistema de coordenadas de afinidad є sistema de coordenadas rectangulares:

Punto al espacio, como se le llama mazorca de coordenadas, і ortonormalización establecer la base Sistema de coordenadas cartesianas rectangulares . Conoce la imagen:

Antes de eso, cómo pasar a las tareas prácticas, volveré a sistematizar la información:

Para tres vectores en el espacio equivalente a la misma rigidez:
1) los vectores son linealmente independientes;
2) vectores y establecer una base;
3) los vectores no son coplanares;
4) los vectores no pueden invertirse linealmente uno a uno;
5) vyznachnik, doblando las coordenadas de estos vectores, vіdminny vіd zero.

Protilezhnі vyslovlyuvannya, supongo, zrozumіlі.

La caída/independencia lineal del vector en el espacio se revisa tradicionalmente con la ayuda de la persona designada (párrafo 5). Tі, scho perdió tareas practicas llevan una expresión clara de carácter algebraico. Es hora de colgar una llave geométrica en las flores y empuñar un bate de béisbol de álgebra lineal:

Tres espacios vectoriales complanarnі thodі tіlki tіlki tіlі, si vyznachnik, coordenadas dobladas danih vektor_v, do_vnyuє cero: .

Estoy prestando atención a un pequeño matiz técnico: las coordenadas de los vectores se pueden registrar no solo en la columna, sino también en la fila (el valor del vector no cambia, el poder de los vectores es increíble). Ale richer es más hermoso en el stovptsі, oskіlki tse vigіdnіshe para la realización de algunas tareas prácticas.

Tim a los lectores, que han olvidado los métodos de rozrahunka de los graduados, o tal vez están poco orientados en ellos, les recomiendo una de mis lecciones más antiguas: ¿Como contar?

trasero 6

Verifique que los siguientes vectores establezcan la base de la expansión trivial:

Solución: De hecho, todas las decisiones se toman hasta el cálculo del deudor

a) Calcular la variable, plegando a partir de las coordenadas del vector_v (la variable de expansión a lo largo de la primera fila):

, Otzhe, los vectores son linealmente independientes (no coplanares) y establecen la base de un espacio trivial.

vidpovid: vectores dados y satisfacen la base

b) Este es el punto de decisión independiente. Exteriormente, la solución es que es similar a la lección.

Crawl y trabajadores creativos:

trasero 7

¿Para qué valor del parámetro los vectores serán coplanares?

Solución: Vectores y coplanar todі tіlki tіlki dі, si vyznachnik, pliega las coordenadas de estos vectores a cero:

De hecho, es necesario ser igual al vyznachnik. Se vierte en ceros como shuliks en jerboas: el significante del navegador de descubrir en una fila diferente y en una fila, buscaré desventajas:

Realicemos una extensión adicional y giremos desde la derecha hasta la alineación lineal más simple:

vidpovid: a

Aquí es fácil conciliar, para lo cual es necesario fundamentar el valor del ex empleado y reconsiderar , abriendo el yoga de nuevo.

Al final veremos uno más. tareas típicas, que es de naturaleza más algebraica y se incluye tradicionalmente en el curso de álgebra lineal. El suelo se ensancha, lo que es meritorio para una gran parte superior:

Para traer que 3 vectores establezcan la base del espacio trivi-world
y conoce las coordenadas del cuarto vector en la base dada

trasero 8

Dado un vector. Muestre que los vectores satisfacen la base del espacio trímero y conozca las coordenadas del vector en cuya base.

Solución: En la parte posterior de la cabeza, estamos recogiendo la mente. Para la mente, se le dan vectores de chotiri, y, como Bachite, el hedor ya está mayut coordinado en la misma base. ¿Cuál es la base? No se burlen de nosotros. Y para decir tal cosa: tres vectores en su conjunto pueden establecer una nueva base. La primera etapa se basa nuevamente en las soluciones del Apéndice 6, es necesario verificar si los vectores son realmente linealmente independientes:

Calculemos el número de vectores, doblando las coordenadas de los vectores:

, Otzhe, los vectores son linealmente independientes y establecen la base de un espacio trivial.

! importante : coordenadas vectoriales obov'azkovo grabable en la estación vyznachnika, no en filas. De lo contrario, habrá una estafa en los algoritmos más lejanos de rozvyazannya.