Tarea 1. Z'yasuvati, chi є sistema de vectores es linealmente independiente. El sistema de vectores lo pondrá la matriz del sistema, cuyas columnas se suman a partir de las coordenadas de los vectores.

.

Solución. Vamos combinación de línea es igual a cero Habiendo anotado el valor en coordenadas, tomaremos el sistema de ecualización:

.

Tal sistema de iguales se llama trikut. Sólo hay una solución . padre, vectori independiente linealmente.

Tarea 2. Z'yasuvati, chi є sistema de vectores linealmente independiente.

.

Solución. vectores linealmente independiente (div. tarea 1). Digamos que el vector es una combinación lineal de vectores . Coeficientes de distribución por vectores vynachayutsya del sistema igual

.

El sistema Tsya, como trikutna, es una solución.

Padre, sistema de vectores barbecho lineal.

respeto. Las matrices de este tipo, como en la tarea 1, se denominan difícil , Y en la tarea 2 - a menudo complicado . La información sobre la linealidad del sistema de vectores es fácil de errar, ya que la matriz se compone de las coordenadas de estos vectores y, a menudo, es engañosa. Si la matriz no tiene una forma especial, entonces para obtener ayuda transformación elemental de filas , Scho zberіgayut linear spіvvіdnoshennia mіzh stovptsami, її puede reducirse a un aspecto igualmente complicado.

Transformaciones elementales de filas matrices (EPC) se denominan tales operaciones en una matriz:

1) permutación de filas;

2) la multiplicación de una fila en un número cero dado;

3) una suma a la fila de la fila siguiente, multiplicada por un número determinado.

Tarea 3. Encuentre el subsistema linealmente independiente máximo y calcule el rango del sistema vectorial

.

Solución. Dirijamos la matriz del sistema después de la ayuda de EPC a un aspecto similar, frecuente y complicado. Para explicar el orden del día, la fila con el número se transforma en una matriz con un símbolo significativo. En la parte posterior de la columna, las flechas se muestran sobre las filas, las matrices se transforman, como si se requiriera un viconato para eliminar las filas de la nueva matriz.

.

Es obvio que las dos primeras columnas de la matriz eliminada son linealmente independientes, la tercera columna es una combinación lineal y la cuarta columna no se puede encontrar en las dos primeras. vectores se denominan básicos. Establecen el máximo subsistema linealmente independiente del sistema , Y el rango del sistema es tres.

Base, coordenadas

Tarea 4. Encuentre la base y las coordenadas de los vectores en esta base en vectores geométricos anónimos, cuyas coordenadas agradan a la mente. .

Solución. Bezlіch є flat, scho para pasar a través de la mazorca de coordenadas. La base adicional en el plano se compone de dos vectores no colineales. Las coordenadas de los vectores en base inversa se asignan a las soluciones del correspondiente sistema de alineaciones lineales.

Іsnuє th inshіy sposib vyvіshennya tsgogo zavdannya, si puede conocer la base de las coordenadas.

coordenadas el espacio no son las coordenadas en el piso, por lo que el hedor , Tobto no є independiente. Las variables independientes i (los apestosos se llaman libres) asignan únicamente un vector en el área i, por lo que pueden tomarse con coordenadas en. misma base consta de vectores, que se encuentran en i conjuntos diferentes en variables libres і , luego .

Tarea 5. Encuentre la base y las coordenadas de los vectores en esta base sobre una base impersonal de todos los vectores en el espacio, que tienen coordenadas no apareadas iguales entre sí.

Solución. Vibero, como yo en la tarea de avance, coordina en el espacio.

así que yak , eso va a cambiar asigne de forma única las coordenadas del vector z і, otzhe, є. La base variable se compone de vectores.

Tarea 6. Encuentre la base y las coordenadas de los vectores en esta base en el impersonal todas las matrices en la forma , de - un buen número.

Solución. La matriz de la piel se puede representar de forma única de un vistazo:

Tse spіvvіdnoshennia є razladannyam vector z sobre la base
con coordenadas .

Tarea 7. Conocer la expansión y base de la envolvente lineal del sistema vectorial

.

Solución. Vamos a transformar, con la ayuda de la matriz EPC, de las coordenadas del vector en el sistema a una apariencia similarmente complicada.

.

stovptsi las matrices restantes son linealmente independientes, y las matrices restantes doblarse linealmente a través de ellos. padre, vectori establecer la base , і .

respeto. base en elegido ambiguamente. por ejemplo, vector también establecer la base .

Cita 1. El sistema de vectores se llama linealmente en barbecho, ya que uno de los vectores del sistema puede representarse mediante una combinación lineal de otros vectores en el sistema, y ​​linealmente independiente, en una dirección diferente.

Cita 1'. El sistema de vectores se llama barbecho lineal, ya que hay números h 1 , h 2 , …, h k, no todos iguales a cero, por lo que la combinación lineal de vectores con coeficientes dados es igual al vector cero: =, en el otro caso, el sistema se llama linealmente independiente.

Se demostrará que los valores son equivalentes.

Elijamos la designación 1, entonces uno de los vectores en el sistema es una buena combinación lineal de otros:

Combinación lineal del sistema vector_v a vector cero, además, en total obsіzі kof_tsієnti tsієї kombinatsії a cero, por lo que vikonuєtsya 1 '.

Que se ganen la cita 1'. La combinación lineal del sistema de vectores es más costosa, y en general los coeficientes de la combinación son iguales a cero, por ejemplo, los coeficientes del vector.

Uno de los vectores del sistema se presentó en una combinación aparentemente lineal de otros, de modo que el vector 1.

Cita 2. Un solo vector, o un vector, se llama vector n-mundo, quién I-ésima coordenada es igual a uno, y reshta es cero.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Teorema 1. Diferentes vectores individuales norte extensión pacífica linealmente independiente.

trayendo Deje que una combinación lineal de estos vectores con coeficientes suficientes llegue al vector cero.

Z rіvnostі vyplivaє, scho all koefіtsієnti dorivnyuyut zero. Se lo quitaron.

vectores de cuero norte espacio pacífico ā (pero 1 , pero 2 , ..., pero n) puede haber representaciones para una combinación lineal de vectores simples con coeficientes iguales a las coordenadas del vector

Teorema 2. Si el sistema de vectores va a reemplazar el vector cero, entonces es linealmente en barbecho.

trayendo Que se dé un sistema de vectores i uno de vectores є nulo, por ejemplo =. Entonces con los vectores de este sistema es posible sumar una combinación lineal, igual al vector cero, y en general los coeficientes serán cero:

Otzhe, el sistema está linealmente en barbecho.

Teorema 3. Si el subsistema del sistema vectorial está en barbecho lineal, entonces todo el sistema está en barbecho lineal.

trayendo Dado un sistema de vectores. Se supone que el sistema es linealmente en barbecho, por lo que hay números h 1 , h 2 , …, h r , No todos son iguales a cero, entonces, sho =. además

Resultó que la combinación lineal de vectores en todos los sistemas es saludable, además, en general, los coeficientes de la combinación son iguales a cero. Además, el sistema vectorial es linealmente en barbecho.

Consecuencia. Así como el sistema vectorial es linealmente independiente, el subsistema también es linealmente independiente.

trayendo

Es aceptable guiar, de modo que el subsistema de deak esté linealmente en barbecho. Del teorema es obvio que todo el sistema es linealmente en barbecho. Llegamos a protirichcha.

teorema 4 (Teorema de Steinitz). Como una piel con vectores y una combinación lineal de vectores y metro>norte, entonces el sistema vectorial es linealmente en barbecho.

Consecuencia. Para cualquier sistema de vectores de n mundos, no puede haber más de n linealmente independientes.

trayendo cuero norte-El vector pacífico se manifiesta en una combinación aparentemente lineal de n vectores individuales. Porque el sistema es para vengarse metro vector_v yo metro>norte, Entonces, por el teorema, sistema dado barbecho lineal.

En estas estadísticas, rozpovimo:

• ¿Qué son los vectores Kolіnearnі?
• cómo entender la colinealidad de los vectores;
• cómo establecer la potencia de los vectores colineales;
• ¿Cuál es la ocurrencia lineal de vectores colineales?

cita 1

Vectores Kolіnearnі - tse vectores, como paralelos en una línea recta o acostados en una línea recta.

trasero 1

Lavar la colinealidad de los vectores.

Dos vectores son colineales, como si fuera victorioso contra las mentes que avanzan:

• úmova 1 . Los vectores ayb son colineales cuando existe un número λ tal que a = λb;
• úmova 2 . Los vectores a y b son colineales con el mismo conjunto de coordenadas:

a = (a 1; a 2), b = (b 1; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• úmova 3 . Los vectores a y b son colineales para la inteligencia de la creación del vector y el vector cero:

un ∥ segundo ⇔ un, segundo = 0

respeto 1

úmova 2 zastosovuetsya, como si una de las coordenadas del vector fuera igual a cero.

respeto 2

úmova 3 zastosovuetsya menos a vectores tranquilos, como tareas en el espacio.

Aplicar una tarea para verificar la colinealidad de los vectores

trasero 1

Dolіdzhuєmo vectori a = (1; 3) yb = (2; 1) para la colinealidad.

¿Cómo jurar?

En este modo, es necesario acelerar la 2ª colinealidad mental. Para las asignaciones de vectores, se ve así:

Los celos están mal. Es posible generar visnovoks para que los vectores ayb no sean colineales.

prueba : A | | B

trasero 2

¿Cómo es necesario el valor m del vector a = (1; 2) y b = (- 1; m) para que los vectores sean colineales?

¿Cómo jurar?

Vykoristovuyuchi otra colinariedad mental, los vectores serán colineales, por lo que sus coordenadas serán proporcionales:

Se puede ver que m = - 2.

insinuación: m = - 2.

Criterios de ocurrencia lineal e independencia lineal de sistemas vectoriales

teorema

Un sistema de vectores en un espacio vectorial es linealmente en barbecho solo en ese caso, si uno de los vectores en el sistema puede trazarse a través de otros vectores del sistema dado.

trayendo

Sea el sistema e 1, e 2,. . . , E n є barbecho lineal. Escribamos la combinación lineal del sistema al vector cero:

a 1 e 1 + a 2 e 2 +. . . + UN norte mi norte = 0

en yakіy querer b uno de los coeficientes de la combinación no es igual a cero.

Sea a k ≠ 0 k ∈ 1, 2,. . . , n

Dilema ofendido por parte de los celos por un coeficiente distinto de cero:

un k - 1 (un k - 1 un 1) mi 1 + (un k - 1 un k) mi k +. . . + (Un k - 1 un norte) mi norte = 0

significativo:

A k - 1 a m, de m ∈ 1, 2,. . . , K - 1, k + 1, norte

En esta vena:

β 1 e 1 +. . . + Β k - 1 mi k - 1 + β k + 1 mi k + 1 +. . . + Bn mi norte = 0

o e k \u003d (- β 1) e 1 +. . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 +. . . + (- β norte) mi norte

Muestra que uno de los vectores del sistema se proyecta a través de todos los demás vectores del sistema. Qué hizo falta para traer (ch.t.d.).

suficiencia

Sea uno de los vectores linealmente conectado a través de todos los demás vectores del sistema:

mi k = γ 1 mi 1 +. . . + Γ k - 1 mi k - 1 + γ k + 1 mi k + 1 +. . . + Γ norte mi norte

El vector e k se traslada a la parte derecha de la balanza:

0 = γ 1 mi 1 +. . . + Γ k - 1 mi k - 1 - mi k + γ k + 1 mi k + 1 +. . . + Γ norte mi norte

El coeficiente de Oskіlki del vector e k es caro - 1 ≠ 0, tenemos una manifestación no trivial de cero por el sistema de vectores e 1, e 2,. . . , E n, y tse, por derecho propio, significa que el sistema de vectores dado es linealmente en barbecho. Qué hizo falta para traer (ch.t.d.).

consecuencia:

• El sistema de vectores es linealmente independiente, si es posible moverse a través de todos los demás vectores del sistema.
• El sistema de vectores, como eliminar el vector cero o dos vectores iguales, es linealmente en barbecho.

Dominancia de los vectores de barbecho lineal

1. Para los vectores del segundo y tercer mundo, la mente es victoriosa: dos vectores lineales en barbecho son colineales. Dos vectores colineales - depósitos lineales.
2. Para los vectores de 3 mundos, las mentes son victoriosas: tres vectores lineales en barbecho son coplanares. (3 vectores coplanares - depósitos lineales).
3. Para los vectores de n mundos, el Umov es victorioso: el vector n + 1 siempre se deposita linealmente.

Aplicar la solución de tareas a la independencia lineal o independencia lineal de vectores

trasero 3

Vectores reversibles a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 para independencia lineal.

Solución. Los vectores son linealmente en barbecho, el pequeño número de vectores es menor.

trasero 4

Vectores reversibles a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 para independencia lineal.

Solución. Conocemos los valores de los coeficientes, para los cuales la combinación lineal será igual al vector cero:

x 1 a + x 2 segundo + x 3 c 1 = 0

Registramos la alineación del vector del lineal:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Verificamos este sistema después de la ayuda del método de Gauss:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Desde la segunda fila, puede ver la primera, desde la tercera fila, la primera:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

De la 1ra fila vemos la 2da, a la 3ra le sumamos la 2da:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

La solución es obvia que el sistema tiene una solución impersonal. Tse significa que existe una combinación distinta de cero de los valores de dichos números x 1, x 2, x 3, para los cuales la combinación lineal a, b, c es igual al vector cero. Otzhe, vectores a, b, c є barbecho lineal. ​​​​​​​

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Independencia Lineal e Independencia Lineal de Vectores.
Base de vectores. Sistema de coordenadas afines

En el auditorio hay copas con bombones, y un par de regaliz se pueden quitar a ojo de piel hoy - geometría analítica con álgebra lineal. Este artículo se dividirá en dos partes. matemáticas avanzadas, me maravillo de cómo el hedor coexiste en una loma. ¡Tómate un descanso, s'zh "Tviks"! ... maldita sea, bueno, no hay disputa. Queriendo hacerlo bien, no voy a marcar, al final, el estado de ánimo positivo tiene la culpa del entrenamiento.

Barbecho lineal de vectores, independencia lineal de los vectores, base vectorial que en. Los términos pueden no ser sólo una interpretación geométrica, sino, ante todo, un sentido algebraico. El concepto mismo de un "vector" desde el punto de vista del álgebra lineal está lejos de ser el mismo que el vector "superior", que podemos representar en un plano o en el espacio. No es necesario ir muy lejos para la prueba, trate de pintar un vector de espacio de cinco dimensiones . Abo, solo espera, para lo cual solo fui a G_smeteo: - la temperatura y la presión atmosférica son buenas. La culata, obviamente, no es correcta desde el punto de vista de la autoridad del espacio vectorial, pero, al mismo tiempo, nada menos, nadie entorpece la formalización de los parámetros y del vector. Aliento de otoño....

Hola, no voy a tratar de tentarlos con una teoría, espacios vectoriales lineales, el problema es que comprender la definición de ese teorema. Se fijan nuevos términos (depósito lineal, independencia, combinación lineal, base, etc.) a todos los vectores desde el álgebra del punto de vista, y luego se aplicarán los datos geométricos. En este rango, todo es simple, accesible y en el acto. Se considera la geometría analítica de Krіm zavdan y las tareas típicas del álgebra. Para dominar el material, es necesario aprender las lecciones. Vectores para teterasі ¿Cómo calcular el vyznachnik?

Barbecho lineal e independencia del vector en el plano.
Base plana y sistema de coordenadas afines

Miremos el área de tu Escritorio de computadora(Solo una mesa, mesitas de noche, pіdlogi, steli, quien lo necesite). El líder del campo en los próximos días:

1) Seleccionar base de área. Aparentemente, el estilo tiene un largo y un ancho, por lo que se entendió intuitivamente que se necesitan dos vectores para inducir la base. Un vector claramente no es suficiente, tres vectores son demasiado.

2) Sobre la base de la base inversa establecer el sistema de coordenadas(Cuadrícula de coordenadas) para traer las coordenadas de todos los que están en la mesa de objetos.

No se sorprenda, la explicación estará en los dedos. Además, en el tuyo. Se amable, perdona expresivo dedo de la mano izquierda al borde del estilo de modo que me maravilló en el monitor. Tse será un vector. ahora guarda dedo meñique de la mano derecha en el borde de la mesa de la misma manera: shob vin enderezándose en la pantalla del monitor. Tse será un vector. ¡Ríete, te ves maravillosa! ¿Qué puedes decir sobre los vectores? vectores de datos colineal, lo que significa linealmente gire uno a uno:
, Bueno, abo navpaki:, de - deake number, vіdmіnne vіd zero.

Puedes ver la imagen de esta acción en la lección. Vectores para teteras, De expliqué la regla de multiplicar un vector por un número.

Chi, ¿pondrán tus dedos la base sobre la mesa de la computadora? Obviamente no. Kolіnearnі vectores y aumento de precio aquí y allá en solo derecho, y en el llano hay una paloma y un ancho.

Tales vectores se llaman barbecho lineal.

Conclusión: Las palabras "lineal", "lineal" significan el hecho de que no hay cuadrados, cubos, pasos superiores, logaritmos, senos, etc. en ecuaciones matemáticas, expresiones. Є tіlki lіnіynі (primera etapa) girar y dejar en barbecho.

Dos vectores de área depósitos lineales entonces y solo entonces, si el hedor es colineal.

Cruce los dedos sobre la mesa, de modo que entre ellos quede como un kut, krim 0 o 180 grados. Dos vectores de árealinealmente NO barbecho en eso y solo en eso caer, como si el hedor no fuera colineal. Otzhe, se quita la base. No es necesario ser benévolo, que la base de las vistas sea "cortada" sin perpendicularidad por vectores de diferentes longitudes. Pronto esperamos que para el yoga, el apéndice no solo se corte a 90 grados, y no solo, igual para el vector dozhina.

Be-yaky vector plano un rango ampliado según la base:
, De - dіysnі números. números de llamada coordenadas vectoriales en esta base.

Entonces parece que vectoractuaciones a la vista combinación lineal Vectores de bases. Tobto, llamada viraz diseño vectorialbase o combinación lineal vectores base.

Por ejemplo, se puede decir que el vector de diseños sobre una base ortonormal del plano, o se puede decir que las representaciones de una combinación lineal de vectores.

formular asignación a la base formalmente: la base del área un par de vectores linealmente independientes (no colineales) se llama, , en el cual ser como el vector plano es una combinación lineal de los vectores base.

Supuestamente el momento de la cita es el hecho de que se toman los vectores en el orden de la canción. base - tse dos bases absolutamente diferentes! Como parece, el dedo meñique de la mano izquierda no se puede reorganizar en el dedo meñique de la mano derecha.

Trabajamos la base, pero no es suficiente establecer la cuadrícula de coordenadas y agregar las coordenadas del objeto de piel a la mesa de su computadora. ¿Por qué falta? Los vectores son libres y brillan sobre toda el área. Entonces, ¿cómo puedes agregar coordenadas a estos pequeños puntos vagos en la mesa, que han quedado atrás después de unas vacaciones tormentosas? Pauta necesaria. І tal punto de referencia es el punto conocido por todos: la mazorca de coordenadas. Elegimos del sistema de coordenadas:

Comience con el sistema "shkіlnoї". Ya en la lección introductoria. Vectores para teteras Vi los hechos de reconocimiento entre un sistema de coordenadas rectangulares y una base ortonormal. Imagen estándar del eje:

al hablar de sistema de coordenadas rectangulares, Entonces lo más importante es poner en la mazorca de coordenadas, el eje de coordenadas y la escala a lo largo de los ejes. Intente escribir "sistema de coordenadas rectangulares" en el cuadro de búsqueda, y verá que se le informará mucho sobre el conocimiento de la clase 5-6 de ejes de coordenadas y sobre cómo colocar puntos en el plano.

Por otro lado, existe el efecto de que un sistema de coordenadas rectangulares puede determinarse completamente a través de una base ortonormal. І tse mayzhe así. La fórmula para sonar como un rango ofensivo:

mazorca de coordenadas, і ortonormal establecer la base Sistema cartesiano de coordenadas rectangulares del plano. . Tobto, un sistema de coordenadas rectangulares definitivamente representado por un solo punto y dos vectores ortogonales simples. Para eso mismo, necesitas un sillón, que tengo nave vishche - en problemas geométricos a menudo (aunque lejos de zavzhd) pintan vectores, en ejes de coordenadas.

Creo que todos entendieron que para un punto adicional (mazorca de coordenadas) y una base ortonormal SER LOS PUNTOS del plano y SER EL PUNTO del plano Puedes agregar las coordenadas. En sentido figurado, aparentemente, "todo se puede numerar en el cuadrado".

¿Estás seguro de que los vectores de coordenadas son simples? No, el olor puede apestar a la madre dovіlnu non-zero dovzhina. Veamos un punto y dos vectores ortogonales de una longitud bastante distinta de cero:

Tal base se llama ortogonal. La mazorca de coordenadas con vectores establece la cuadrícula de coordenadas, y sea un punto del plano, sea un vector para dibujar sus coordenadas en esta base. Por ejemplo, chi. Es obvio que la opacidad radica en el hecho de que los vectores de coordenadas en la cima de la montaña llorar vidas diferentes, vіdminnі vіd odinitsі. Tan pronto como los simples sean iguales, surgirá la base ortonormal primaria.

! Nota : En la base ortogonal, y también inferior en las bases atenienses, se tienen en cuenta los planos y el espacio de uno a lo largo de los ejes mentalmente. Por ejemplo, en una unidad a lo largo del eje de abscisas hay 4 cm, en una unidad a lo largo del eje de ordenadas 2 cm Esta información es suficiente para llevar las coordenadas "no estándar" a "nuestros centímetros estándar".

Y otra comida, para la cual realmente se le da la respuesta: ¿qué obov'yazkovo kut entre los vectores básicos tiene la culpa de 90 grados? ¡Hola! Cómo emparejar citas, vectores básicos y fallas menos no colineal. Vіdpovіdno kut mozhe buti be-yakim, krіm 0 y 180 grados.

El punto del piso, como se le llama mazorca de coordenadas, і no colineal vectori, , colocar sistema de coordenadas afines del plano :

En otras palabras, dicho sistema de coordenadas se llama trenzado sistema. Cómo aplicar puntos y vectores en la imagen del sillón:

Como sabe, el sistema de coordenadas afines es menos conveniente, en él no puede usar las fórmulas de los vectores y vdrіzkіv, ya que vimos la otra parte de la lección Vectores para teteras, ricas fórmulas saladas, pov'yazanі z creación escalar de vectores. Luego, las reglas para sumar un vector y multiplicar un vector por un número son justas, las fórmulas para subdividirlo en una expresión dada, así como los tipos de asignaciones, que pronto veremos.

Y el visnovok es tal que lo decoraremos con el vipadok más hermoso. sistema afín de coordenadas es un sistema rectangular cartesiano. Para eso, querida, la mayoría de las veces tengo que mirar. ... Vtіm, todo en esta vida es viable: hay pocas situaciones en las que el río en sí es Kosokutna (por ejemplo, Nabuda insha, por ejemplo, polar) sistema coordinado. Esos humanoides pueden enamorarse de tales sistemas =)

Pasemos a la parte práctica. Todas las tareas de esta lección son válidas tanto para un sistema de coordenadas rectilíneas como para una afinidad zagal. Aquí no hay nada plegable, todo el material es accesible a los escolares.

¿Cómo determinar la colinealidad de un vector en un plano?

Río típico. Para tener dos vectores de área bolas colineales, necesarias y suficientes, schob.En realidad, este es un detalle coordinado de la obvia spivvіdnoshennia.

trasero 1

a) Vectores colineales inversos .
b) Chi establece la base del vector ?

Solución:
a) ¿Por qué, qué es válido para los vectores? coeficiente de proporcionalidad, tal que las igualdades triunfaron:

Obov'yazkovo rozpovіm sobre la regla dada "pіzhonskoy" raznovidnya zastosuvannya, en su conjunto implementada en la práctica. La idea es establecer la proporción y preguntarte si acertaste:

Agreguemos la proporción de vіdnosin vіdpovіdnih coordenadas de vectoriv:

rápidamente:
, En este orden, las coordenadas correspondientes son proporcionales,

La configuración se puede plegar y plegar, una opción valiosa:

Para la autoverificación, puede torcer la situación de los vectores colineales y doblar linealmente uno a uno. En este vipadka, hay un lugar de equivalencia . La equidad es fácilmente pereviryaєє a través de vectores elementales dії z:

b) Dos vectores del área satisfacen la base, porque no son colineales (linealmente independientes). Dosledzhuєmo sobre la colinealidad de los vectores. . Construyamos el sistema:

Del primero igual, el siguiente, sho, del otro igual, el chirrido, sho, media, el sistema esta loco(No hay solución). De esta forma, las coordenadas de los vectores no son proporcionales.

visnovok: Los vectores son linealmente independientes y establecen una base.

La versión simplificada de la solución se ve así:

Sumamos la proporción de las coordenadas dadas de los vectores :
, Entonces, estos vectores son linealmente independientes y forman una base.

Llame a esta opción, no rechace a los revisores, pero culpe el problema en situaciones tranquilas, si las coordenadas son iguales a cero. eje como este: . Abo así: . Abo así: . ¿Cómo puedo trabajar aquí a través de la proporción? (En serio, no se puede dividir por cero). Por la misma razón, llamé a la solución simple "pizhonsky".

insinuación: a), b) aprobar.

Pequeño trasero creativo para solución independiente:

trasero 2

Para cualquier valor del parámetro vectorial será colineal?

La solución tiene un parámetro de conocimiento a través de una proporción.

Usamos una forma algebraica de volver a verificar la colinealidad de los vectores, sistematizamos nuestro conocimiento y el quinto punto es solo dodamo yoga:

Para dos vectores en la zona de dureza equivalente:

2) vectores y establecer una base;
3) los vectores NO son colineales;

+ 5) oscilador, plegándose a partir de las coordenadas de estos vectores, siendo cero.

obviamente, Dureza protráctil del pie equivalente:
1) depósitos vectoriales y lineales;
2) los vectores no satisfacen la base;
3) vectores y colineales;
4) los vectores se pueden vincular linealmente uno a uno;
+ 5) vector, plegado a partir de las coordenadas de estos vectores, que lleva a cero.

cada vez estoy más convencido de que momento dado ya entendiste todos los términos y la confirmación.

Echemos un vistazo más de cerca al nuevo quinto párrafo: dos vectores de area kolіnearnі thodі tіlki tіlki tоdі, si vyznachnik, se pliega a partir de las coordenadas de estos vector_v, do_vnyuє cero:. Para detener estos signos, naturalmente, es necesario recordar conoce a los visionarios.

aparentemente Ejemplo 1 de una manera diferente:

a) Cálculo del número de vectores, sumas a partir de las coordenadas de los vectores :
, Entonces, los vectores dados son colineales.

b) Dos vectores del área satisfacen la base, porque no son colineales (linealmente independientes). Cálculo del número de vectores, sumas a partir de las coordenadas de los vectores. :
, Entonces, los vectores son linealmente independientes y forman una base.

insinuación: a), b) aprobar.

Se ve significativamente más compacto y atractivo, con menor resolución y proporciones.

Con la ayuda del material revisado, es posible establecer no solo la colinealidad de los vectores, sino también traer el paralelismo de las líneas, las líneas rectas. Echemos un vistazo a un par de tareas con formas geométricas específicas.

trasero 3

Dadas las cimas del chotirikutnik. Trae que chotirikutnik es un paralelogramo.

trayendo: No serán necesarios sillones en la oficina, los ocalls de la decisión serán puramente analíticos. Adivinamos el propósito del paralelogramo:
paralelogramo se llama chotirikutnik, que tiene lados opuestos en pares paralelos.

En este orden, es necesario traer:
1) paralelismo de lados opuestos i;
2) paralelismo de lados opuestos i.

trajo:

1) Conocemos los vectores:

2) Conocemos los vectores:

Viyshov es uno y el mismo vector ("según la escuela" - vectores iguales). Kolіnearnіst zovsіm es obvio, pero es mejor organizar la solución claramente, con el arreglo. Calculemos el número de adiciones a partir de las coordenadas de los vectores:
, Media, los vectores dados son colineales, i.

visnovok: Los lados de Protilezhnі chotirikutnik son paralelos por pares, es decir, en un paralelogramo para las designaciones. ¿Qué hizo falta para traer.

Más figuras buenas y diferentes:

trasero 4

Dadas las cimas del chotirikutnik. Para traer, scho chotirikutnik є trapezієyu.

Para obtener más formularios de suvoro, demuéstrelo más bellamente, espléndidamente, dibuje el trapecio designado, y simplemente termínelo y simplemente adivine, como si mirara hacia afuera.

Tse zavdannya para solución independiente. fuera de la solución al final de la lección.

Y ahora es el momento de pasar lentamente de lo plano a lo abierto:

¿Cómo determinar la colinealidad de un vector en el espacio?

La regla es parecida. Para que dos vectores sean colineales es necesario y suficiente que sus coordenadas sean proporcionales.

trasero 5

Z'yasuvati, cuáles serán los vectores ofensivos colineales y el espacio:

pero);
B)
en)

Solución:
a) Reversiblemente, ¿cuál es el coeficiente de proporcionalidad para diferentes coordenadas de vectores:

El sistema no se puede resolver, lo que significa que los vectores NO son colineales.

"Sproschenka" se distingue por una nueva proporción. En esta vista:
- las coordenadas no son proporcionales, por lo que los vectores NO son colineales.

insinuación: los vectores NO son colineales.

b-c) Todos los puntos para una solución independiente. Pruebe el yoga de dos maneras.

Use el método de volver a verificar los vectores espaciales para determinar la colinealidad y usar una variable de tercer orden Vector doboot vector_v.

Similar a una nagoda plana, una mirada al conjunto de herramientas puede estancarse con el método de mantener el paralelismo de los espacios abiertos y las líneas rectas.

Le pedimos amablemente a otra división:

Barbecho lineal e independencia del vector en el espacio trivial.
Base espaciosa y sistema de coordenadas afín

Un caudal de leyes, como hemos visto en la plaza, será justo y por espacio. Traté de minimizar la sinopsis de acuerdo a la teoría, las piezas de la parte izquierda de la información ya están desarrolladas. Prote, le recomiendo que lea atentamente la parte introductoria, para introducir nuevos términos y comprender.

Ahora la sustitución del área de la mesa de la computadora se extiende a un espacio tridimensional. Vamos a crear una base de yoga. Quién sabe a la vez en un lugar, quién está en las calles, pero en cualquier caso, no podemos llegar a ningún lado en tres vimiriv: ancho, largo y alto. Por lo tanto, se necesitan tres vectores espaciosos para inducir la base. Uno o dos vectores no son suficientes, los cuartos son zayviy.

Estoy vagando de nuevo en mis dedos. Sea amable, levante la mano cuesta arriba y levante la espinilla en diferentes lados genial, impresionante dedo medio . Estos serán vectores, el hedor se maravillará en diferentes lados, llorará en diferentes momentos y llorará en diferentes momentos entre ellos. ¡Vіtayu, la base de la extensión trivimir está lista! Antes del discurso, no es necesario demostrar tales vikladachs, como no torcer los dedos, pero no puedes llegar a ningún lado =)

Dali pidiendo comida importante, si tres vectores satisfacen o no la base de un espacio trivial? Sea amable, apriete tres dedos firmemente contra el escritorio de la computadora. ¿Qué sucedió? Tres vectores estaban dispersos en el mismo plano y, con una apariencia grosera, perdimos uno de los vimiriv: altura. Tales vectores coplanario Y es completamente obvio que no se puede crear la base de un espacio trivimérico.

Si eso significa que los vectores coplanares y no los bocios se encuentran en el mismo plano, el hedor puede estar en planos paralelos (simplemente no robes a alguien con los dedos, entonces solo Salvador Dalí estaba dando cuerda =)).

cita: Los vectores se nombran coplanario, Como un área plana, como un hedor paralelo. Aquí es lógico agregar que si tal plano no existe, entonces los vectores no serán coplanares.

Tres vectores coplanares para una larga línea de depósitos, Tobto linealmente vrazhayutsya uno a uno. En aras de la simplicidad, volveré a notar que el hedor se encuentra en un piso. En primer lugar, los vectores, y no sólo eso, al ser coplanares, pueden ser más colineales, aunque un vector pueda verse a través de un vector. De otra manera, por ejemplo, los vectores NO son colineales, entonces el tercer vector los gira en un solo orden: (Y por qué, es fácil de adivinar por los materiales de la división frontal).

Justa e implacablemente: tres vectores no coplanares son siempre linealmente independientes, Tobto el mismo rango no es virazhayutsya uno a uno. Y, obviamente, sólo tales vectores pueden constituir la base del espacio trímero.

cita: Base trivimirnogo extensión llamado un trío de vectores linealmente independientes (no coplanares), tomado en orden, con cualquier espacio vectorial un rango disperso a partir de una base dada, des - coordenadas de un vector en una base dada

Adivinando, también puedes decir que el vector de representaciones combinación lineal vectores base.

El concepto del sistema de coordenadas se introduce exactamente de la misma manera, como para una pendiente plana, un punto es suficiente, y si hay tres lineales vectores independientes:

mazorca de coordenadas, і no coplanar vectori, tomado en orden, colocar sistema de coordenadas afines del espacio trivi-world :

Evidentemente, la cuadrícula de coordenadas “trenzada” y no muy práctica, no menos, el sistema de coordenadas solicitado nos permite definitivamente designar las coordenadas de cualquier vector y las coordenadas de cualquier punto en el espacio. De manera similar al plano, en el sistema de coordenadas afines, el espacio no funciona con las mismas fórmulas, sobre las cuales ya he adivinado.

La forma más obvia y conveniente es la caída del sistema de coordenadas afines, como todos adivinan, є sistema de coordenadas rectangulares:

Punto al espacio, como se le llama mazorca de coordenadas, і ortonormal establecer la base Sistema de coordenadas cartesianas rectangulares . imagen conocida:

Antes de eso, cómo pasar a las tareas prácticas, volveré a sistematizar la información:

Para tres vectores en el espacio equivalente al inicio de la dureza:
1) los vectores son linealmente independientes;
2) vectores y establecer una base;
3) vector y NOT coplanaridad;
4) los vectores se pueden vincular linealmente uno a uno;
5) vyznachnik, plegándose a partir de las coordenadas de estos vectores, siendo cero.

Protilezhnі vyslovlyuvannya, creo, zrozumіlі.

Tradicionalmente se revisa la caída lineal/independencia del vector en el espacio para la ayuda del líder (punto 5). erupción tareas practicas será claramente de naturaleza algebraica. Es hora de colgar una llave geométrica en las flores y empuñar un bate de béisbol de álgebra lineal:

Tres vectores del espacio la consistencia de estos vectores, y solo si son iguales, si son iguales, plegando de las coordenadas de estos vectores, antes de cero: .

Respeto un pequeño matiz técnico: las coordenadas de los vectores se pueden escribir no solo en columnas, sino también en filas (el valor del vector no cambia; consulte Potencia de los vectores). Ale es más rico en stovptsі, oskіlki tse vigіdnіshe para la realización de algunas tareas prácticas.

Tim a los lectores, como los troshkas, olvidaron los métodos de rozrahunka de los graduados, y tal vez estén débilmente orientados en ellos, les recomiendo una de mis lecciones más antiguas: ¿Cómo calcular el vyznachnik?

trasero 6

Verifique que los siguientes vectores establezcan la base de la expansión trivial:

Solución: De hecho, todas las decisiones se toman hasta el cálculo del principal.

a) Calcular la variable, plegando a partir de las coordenadas del vector_v (la variable de expansión a lo largo de la primera fila):

, Entonces, los vectores son linealmente independientes (NO coplanares) y establecen la base de un espacio trivial.

prueba: Dados los vectores y satisfacen la base

b) Este punto es para una solución independiente. Más decisión y repaso al final de la lección.

Zustrichayutsya y trabajadores creativos:

trasero 7

¿A qué valor del parámetro los vectores serán coplanares?

Solución: Vectores y complanarnі odі tіlki іtіlki, si vyznachnik, se pliega a partir de las coordenadas de estos vectores dorіvnyuє cero:

De hecho, es necesario ser igual a vyznachnik. Se vierte en cero como shuliks en jerboas: el significante del navegador de descubrir en una fila diferente y en una fila buscará desventajas:

Realizamos una extensión adicional y giramos a la derecha hasta la alineación lineal más simple:

prueba: en

Aquí es fácil reconsiderar, para lo cual hay que poner el valor en el escribano final y reconsiderar, así , Rozkrivshi yoga de nuevo.

Al final veremos uno más. tarea tipica, Yaka sea de naturaleza más algebraica y se incluya tradicionalmente en el curso de álgebra lineal. El suelo se ensancha, que es el mérito de la parte superior:

Para traer que 3 vectores establecen la base del espacio trivi- mer
conozco las coordenadas del cuarto vector en la base dada

trasero 8

Dado un vector. Muestre que los vectores satisfacen la base del espacio trivial y conozca las coordenadas del vector en esta base.

Solución: Lo recogemos con la mente. Detrás de la mente se da el chotiri del vector, i, yak bachite, ya tienen coordenadas є en la base deaky. ¿Cuál es la base? No se burlen de nosotros. Y el grito es ofensivo: tres vectores en su conjunto pueden establecer una nueva base. La primera etapa se basa nuevamente en las soluciones del Ejemplo 6, es necesario verificar si los vectores son real y linealmente independientes:

Calculemos el número de adiciones a partir de las coordenadas de los vectores:

, Entonces, los vectores son linealmente independientes y satisfacen la base de un espacio tipo trivum.

! respetuosamente : Coordenadas vectoriales obov'azkovo grabable en la capital vyznachnika, no en filas. De lo contrario, será un estafador en una solución de algoritmo adicional.

En otras palabras, la linealidad de un grupo de vectores significa que hay un vector medio que puede identificarse mediante una combinación lineal de otros vectores en un grupo.

Aceptable. además

otzhe vector X barbecho lineal del vector en el grupo.

vectores X, y, ..., z se llaman linealmente vectores independientes, Yakshcho z rivnosti (0)

α=β= ...= γ=0.

Entonces, los grupos de vectores son linealmente independientes, al igual que un vector no puede representarse mediante una combinación lineal de otros vectores en el mismo grupo.

Designación de ocurrencia lineal de vectores

Dé a las tareas m vectores seguidos en orden n:

Zrobivshi Gausov vynyatok, matriz inducida (2) al aspecto trikutny superior. Los elementos del resto de la columna cambian solo una vez, si se reorganizan las filas. Después de m breves desvíos tomamos:

Delaware I 1 , I 2 , ..., I m - índices de filas, eliminados en caso de posible permutación de filas. En cuanto a las filas truncadas, es un índice que incluye, yakі no puede ser indiferente. Las filas de Reshta establecen vectores linealmente independientes. Es significativo que cuando se pliega la matriz (2), cambiando la secuencia de vectores en filas, es posible seleccionar otro grupo de vectores linealmente independientes. Ale pіdprostіr, yaku ofendido por estos grupos vectorizados utvoryuyuyut zbіgayutsya.