Izračun površine figure, obkrožene s črtami, podane parametrično. Kako izračunati površino figure in prostornino ovoja telesa, kako je črta nastavljena parametrično? Kako spoznati območje v moji vipadki

Predavanja 8. Programi sing integrala.

Dodatek integrala fizičnim problemom temelji na moči aditivnosti integrala za neosebno. Zato lahko s pomočjo integrala preštejemo takšne količine, kot da so same po množici aditivne. Na primer, površina številk je večja od vsote površin Dovzhinovega loka, površina površine, prostornina telesa, masa telesa imajo lahko enako moč. To število količin je mogoče izračunati s pomočjo preprostega integrala.

Lahko zasukate dve metodi in rešite naloge: metoda integralnih vsot in metoda diferencialov.

Metoda integralnih vsot ponovi konstrukcijo enega samega integrala: bodo razcepi, izračunane so točke, za katere se izračuna funkcija, izračuna se integralna vsota, mejni prehod se zavrti. Za koga so vse metode osnovnega zlaganja - prinesti tisto, kar je med vami, in enako tiste, ki so nujne za nalogo.

Metoda diferencialov vikorističnih nevrednosti integrala in Newton-Leibnitzove formule. Po potrebi izračunajte diferencial velikosti, da buv, ki integrira diferencial, za Newton-Leibnitzovo formulo vzame zahtevano velikost. Kdo ima celotno metodo osnovne doslednosti - prinesti tisto, kar je izračunana razlika zahtevane vrednosti, in nič drugega.

Izračun površine ravnih figur.

1. Slika je obkrožena z grafom funkcije, ki ima podan kartezijev koordinatni sistem.

Naučili smo se razumeti sing integral v smislu površine krivolinijskega trapeza (pravzaprav metoda integralnih vsot). Ta funkcija sprejema samo glej pomen potem lahko površino pod grafom funkcije na vіdrіzki izračunamo s pomočjo sing integrala. To spoštujemo Zato je tukaj mogoče uporabiti diferencialno metodo.

Toda funkcija lahko sprejme tudi negativne vrednosti na drugi strani, vendar integral druge strani daje negativno območje, ki prekriva določeno območje.

Površino lahko izračunate s formuloS=. Predznak funkcije je nujno spremeniti v mirnih območjih, kjer so negativne vrednosti.

Če morate izračunati površino figure, obkroženo z grafom funkcije do zveri, spodaj pa z grafom funkcije, potem lahko uporabite formuloS= , torej jak.

zadnjico. Izračunajte površino figure, obkroženo s črtami x=0, x=2 in grafi funkcij y=x 2 , y=x 3 .

Omeniti velja, da ima interval (0,1) neenakost x 2 > x 3, pri x >1 pa neenakost x 3 > x 2. Tom

2. Slika je obdana z grafom funkcije, podane v sistemu polarnih koordinat.

Pustite graf funkcije naloge za polarni koordinatni sistem in želite izračunati površino krivolinijskega sektorja, obkroženega z dvema izmenjavama, in grafom funkcij za polarni koordinatni sistem.

Tukaj lahko uporabite metodo integralnih vsot, pri čemer izračunate površino krivolinijskega sektorja kot med vsoto območij osnovnih sektorjev, v kateri se graf funkcije nadomesti z lokom vložka .

Diferencialno metodo lahko zasukate: .

Mirkuvati lahko takole. Zamenjava osnovnega ukrivljenega sektorja, ki daje osrednjemu kutu krožni sektor, morda sorazmerno. Zvіdsi . Integracija vikoristične formule Newtona - Leibnitza, seveda .

zadnjico. Izračunajte površino vložka (perevirim formula). Dragi. Območje vložka je dražje .

zadnjico. Štejem območje, obdaja me kardio .

3 Slika je obdana z grafom funkcije, določene s parametri.

Funkcijo je mogoče parametrično nastaviti kot . Uporabimo formulo S= , ki njeno interintegracijo nadomesti z novo spremembo. . Ko izračunate integral, vidite ta področja, deintegralna funkcija ima lahko prvi predznak in zaščiti celotno območje s tem drugim predznakom.

zadnjico. Izračunajte površino, jo obkrožite z elіpsom.

Vikoristovuemo simetrijo elipse, pri čemer štejemo površino četrtine elipse, ki je v prvem kvadrantu. Čigav kvadrant? Tom.

Izračun kontaktov tel.

1. Izračun obsyagіv tіl za območja vzporednih reperіziv.

Naj je treba izračunati prostornino dejanskega telesa V za dane površine prečnega prereza telesa z ravninami, pravokotnimi na premico OX, ki poteka skozi točko x premice OX.

Potrebujemo metodo diferencialov. Pomembno je, da se vzame osnovna prostornina nad navpično prostornino ravnega krožnega valja z osnovno površino in višino . Integracija in zastosovuyuchi Newton-Leibnizova formula, vzamemo

2. Izračun je obsyagіv do zavijanja.

Naj bo treba virahuvati OX.

Todi .

Podobno, glasnostOYČe je funkcija dana pregledovalcu, jo je mogoče izračunati s formulo.

Ta funkcija je nastavljena za gledalca, zato je treba določiti volumen prevleke telesa okoli osiOY formulo za izračun obveznosti lahko prihodnji rang odvzame.

Prehod na diferencial in neuporaba kvadratnih izrazov, morda . Integracija in zastosovuyuchi Newton-Leibnizova formula, morda.

zadnjico. Izračunaj obsyag cooli.

zadnjico. Izračunajte prostornino desnega krožnega stožca, ki ga obdaja površina.

Izračunajmo prostornino, tako kot prostornino telesa ovoja, narejenega okoli osi OZ ravnega trikota v ravnini OXZ, katerega kraki ležijo na osi OZ in ravni črti z \u003d H, in hipotenuza leži na ravni črti.

Obrnemo x skozi z, lahko vzamemo .

Izračunajte dolžino loka.

Da bi vzeli formule za izračun zadnje strani loka, smo v 1. semestru izdelali formulo za diferencial zadnje strani loka.

Kot lok v grafu neprekinjeno diferencirane funkcije, diferencial drugega loka lahko izračunamo s formulo

. Tom

Čeprav je gladek lok podan parametrično, potem

. Tom .

Prav tako je lok nastavljen v polarnem koordinatnem sistemu, potem

. Tom .

zadnjico. Razplet roba loka grafa funkcije, . .

Najprej pojdite na formule za območje površinskega ovoja, za kratko formulo samega površinskega ovoja. Zgornji ovoj ali, kar je enako - zgornja obloga telesa - prostorna figura, zavijanje je narejeno v vіdrіzka AB krivulja na osi Ox(slika spodaj).

Razkril bom ukrivljeni trapez, zver bom obdal z ugibajočo krivuljo krivulje. Tіlo, narejeno za zavijanje tsієї trapezії navko tiєї zh osі Ox in je tіlo zavijanje. In območje površinskega ovijanja ali površine ovoja telesa je celotna lupina yogo ovnishnya, ne rahuyuchi kіl, utavleny ovoji na osi naravnost x = aі x = b .

S spoštovanjem, da je telo ovoja in očitno enako površino mogoče izdelati tako, da ovoji figure niso na osi. Ox, ampak okoli osi Joj.

Izračun površine ovoja v pravokotnih koordinatah

Pojdimo na pravokotne koordinate na ravni ravnini y = f(x) podana je krivulja, ovijanje okoli koordinatne osi pa ima telo ovoja.

Formula za izračun površine ovoja je naslednja:

(1).

primer 1. Poznajte površino površine paraboloida, ki jo pokrivajo zavoji okoli osi Ox parabolični loki, ki se spreminjajo x pogled x= 0 do x = a .

Rešitev. Funkcijo lahko jasno vidimo, ko nastavimo lok parabole:

Poznamo naslednje funkcije:

Najprej pospešimo formulo za poznavanje površine ovijanja površine, zapišemo, da je del njene pіdіntegralne viraze, kot je koren in verjetno obstaja le znan pokhіdn:

Vidpovіd: dozhina lok kriv dorіvnyuє

.

zadnjica 2. Poznajte površino površine, ki se ovija okoli osi Ox astroidi.

Rešitev. Dovolj je, da izračunamo površino površine, ki bo šla ven v ovoj ene astroidne igle, nabrane v prvi četrtini, in jo pomnožimo z 2. Glede na poravnavo astroida je očitno funkcija, zato bomo morali uvesti formulo za izračun sploščenja:

.

Integracija spremenljivke od 0 do a:

Izračun površine ovoja, podan parametrično

Lahko pogledamo naklon, če je krivulja, ki določa površino ovoja, določena s parametričnimi enačbami

Ista površina površinskega ovijanja se izračuna po formuli

(2).

primer 3. Poznajte površino površinskega ovoja, prekritega z ovoji na osi Joj figura, obdana s cikloido in ravno črto y = a. Cikloida je podana s parametričnimi enačbami

Rešitev. Poznamo presečišče cikloide in premice. Poravnava poravnave cikloid in poravnava ravnih črt y = a, vemo

Zakaj vidite, kaj kaže interintegracija

Zdaj lahko izpolnimo formulo (2). Spoznajmo zabavo:

V formulo zapišemo koren viraze, ki predstavlja znane rezultate:

Poznamo koren tega virusa:

.

Recimo, da smo našli formulo (2):

.

Naredimo zamenjavo:

Jaz, nareshti, vemo

Pretvorjeni virusi imajo različne trigonometrične formule

Predlog: površina površinskega ovoja je dobra.

Izračun površine ovoja v polarnih koordinatah

Naj se krivulja ovije okoli površine, nastavljena v polarnih koordinatah.

Ljubim vas, študenti VNZ Argemony!

Več trohi - in tečaj bo končan, naenkrat pa bomo poskrbeli za os.

Zhouli Trohi je zamahnila z roko - in v vetru se je pokazalo, da stoji. Ali bolje rečeno, šlo je za pravocrtni trapez. Vaughn je kar visel v zraku, ki ga je ustvarila magična energija, ko je tekla po njenih straneh, in se vrtinčila tudi sredi samega trapeza, skozi katerega je vse vibriralo in lesketalo.
Nato je vikladač trohi krožno gibal s prsti roke - in trapez se je začel ovijati okoli nevidne osi. Po tihem, potem bomo vse boljši in boljši - tako da se je v prihodnosti začel pojavljati obseg objav. Zdelo se je, da se je iz nje dvignila čarobna energija.

Dali je trapilo takole: bleščeče konture figure in njena notranjost so se začele prijeti kot govor, svetloba je postajala vse manj v spominu, nato je sama figura postajala vse bolj podobna schos vodchutne. Zrna materiala so postopoma razdelili glede na sliko. Prve osi ni bilo več: ovoja, sveče. Povitri visiv ima predmet podoben virvi. Zhouly je jogo previdno potisnil na mizo.

No os. Približno na ta način je mogoče materializirati veliko predmetov - z ovijanjem, kot so ravne figure, ki so skoraj ravne črte. Očitno je za materializacijo potrebna majhna količina govora, da se s seboj napolni celoten volumen, ki se umiri in časovno umiri za dodatno magično energijo. In os, da bi se natančno razveselili, koliko govora je potrebno, - je treba poznati telo, ki je sprejeto. Sicer pa, če ni dovolj govora, ne bo mogoče s samim seboj pokriti celotnega obsega in telo je lahko nemško, z vadami. In materiali so še bolj okrašeni z veliko presežkom govora - ni treba izžarevati čarobne energije.
No, kako to, da imamo veliko govora? Todi, poleg štetja obsyagi tel, lahko ocenite, saj za rozmirami tіlo lahko rastemo brez posebnih količin čarobne energije.
Vsak presežek prejetega materiala je druga misel. Kam bodo šli odvečni govori? Obsipayutsya, da niste zadіyanimi? Chi palica na telesu abyaka?
Tukaj je treba razmišljati o več. Takoj ko si imel kakšne misli, sem jih od zadovoljstva poslušal. Medtem pa pojdimo na izračun obsyagiv tіl, ki odvzame tak način.
Tukaj lahko vidite papalino vipadkiv.

Vipadok 1.

Območje, kot bomo zavili, je najbolj klasičen ukrivljeni trapez.

Očitno je, da lahko ovijemo le okoli osi OH. Kako lahko uničim desni trapez vodoravno, da ne preplavi celega OY, lahko ga ovijete okoli in okoli osi. Formule črkovanja za oba vipadkіv so naslednje:

Ker ste že obvladali osnovne čarovniške trike o funkcijah, vam mislim, da ne bo pomembno, če boste morali lik prenesti tako v koordinatne osi, da bo priročno za delo z njo.

Vipadok 2

Ne zavijete lahko le klasičnega ukrivljenega trapeza, temveč tudi figuro takšnega videza:

Pri zavijanju vzamemo svoj prstan. In ko prenesemo figuro na pozitivno območje, jo lahko zavijemo in izberemo os OY. Tezh otrimaєmo kіltse chi nі. Da bi vse postavili tako, da je figura roztashovuvatym: če preidete mejo natančno vzdolž osi OY, obroč ne bo viden. Obsyagi takšnih zavitkov je mogoče razvozlati z naslednjim zagovorom:

Vipadok 3.

Ugibajmo, imamo čudovite krivulje, a takšne, da se ne vprašajo na nam znan način, ampak na parametričen način. Takšne krivulje so pogosto zaprte. Parameter t je kriv, da se spremeni tako, da zaprta figura, ko jo obide po krivuljah (vmesna), ni več zlobna.

Potem je treba za izračun prostornine telesa zavijanje opraviti na osi OH ali OY, urok morate narediti:

Qi formule je mogoče zasukati v smeri nezaprtih krivulj: če konci poslušnosti ležijo na osi OX in osi OY. Slika se zdi na kakršen koli način zaprta: konci zapirajo os.

Vipadok 4.

Nekatere magične krivulje so podane s polarnimi koordinatami (r=r(fi)). Enako figuro lahko ovijete okoli polarne osi. V tej smeri se kartezijanski koordinatni sistem spusti od polare in leži
x = r (fi) * cos (fi)
y=r(fi)*sin(fi)
Na ta način pridemo do parametrične oblike krivulje, kjer se parameter fi spremeni tako, da ob obhodu krivulje postane območje levo.
І koristuєmosya zapovedne formule z nagodi 3.

Vendar pa ima za vipadku polarne koordinate є і svojo formulo začaranja:

Očitno je mogoče ploske figure ovijati tako kot vse druge ravne črte, ne samo osi OX in OY, če pa so manipulacije že zložene, nas obdajajo tisti zavoji, o katerih smo govorili v predavanju.

In zdaj Domača naloga. Ne dam vam konkretnih številk. Razvili smo že veliko funkcij in želim, da ga sami oblikujete tako, da ga boste morda potrebovali v magični praksi. Mislim, da bo na predavanju dovolj primerov za vse indikacije.

Če smo izdelali geometrijsko zm_st integrala sing, smo pripravili formulo, s pomočjo katere lahko poznate območje krivolinijskega trapeza, obkroženega z abscisno črto, ravnimi črtami x=a, x=b, kot tudi neprekinjeno (nevidno nepozitivno) funkcijo y = f(x) . Včasih lahko preprosto nastavite funkcijo, ki obkroža figuro, ki je videti kot parametrična. družiti se funkcionalna zastarelost skozi parameter t. V okviru tega gradiva pokažemo, kako lahko poznate površino figure, saj je obdana s parametrično podano krivuljo.

Po razlagi teorije in prikazu formul bomo analizirali značilne primere področja takšnih artiklov.

Osnovna formula za izračun

Predpostavimo, da imamo krivolinijski trapez, med katerima sta premici x = a , x = b , vse O x і je krivulja x = φ (t) y = ψ (t) parametrično podana in funkcije x = φ (t) i y = ψ (t) je neprekinjen na intervalu α; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Imenovanje 1

Za izračun površine trapeza za takšne ume je treba dobiti formulo S (G) = ∫ α β ψ (t) φ "(t) d t.

Formule za ravni krivolinijski trapez S (G) = ∫ a b f (x) d x smo razvili po substitucijski metodi x = φ (t) y = ψ (t):

S(G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ "(t) d t

Imenovanje 2

Vrahovuyuchi monotona sprememba funkcije x = φ (t) na intervalu β ; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Če funkcija x = φ (t) ni vključena v osnovne elementarne, potem moramo uganiti osnovna pravila za rast te spreminjajoče se funkcije na intervalu, da lahko ugotovimo, ali bo rasla ali padala.

Za koga je treba razčistiti celotno bistvo, je naloga zastosuvannya formule, ki je bila vzgojena.

zadnjica 1

Umov: najti površino figure, kako narediti črto, je enako obliki x = 2 cos t y = 3 sin t .

Rešitev

Črto lahko nastavimo parametrično. Grafično jo lahko predstavimo tako, da pogledamo elipso z dvema črkama 2 in 3. Div za ilustracijo:

Poskusimo spoznati površino 1 4 slike, saj zavzema prvi kvadrant. Območje je v intervalu x ∈ a; b = 0; 2. Pomnožimo vrednost s 4 in poznamo površino celotne figure.

Os prekoračitve našega izračuna:

x = φ (t) = 2 cos ty = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Ko je k, ki je enak 0, odvzamemo interval β; α = 0; π 2 . Funkcija x = φ (t) = 2 cos t se bo na novi monotono zmanjšala (poročite o neverjetnem članku o glavnih osnovnih funkcijah in njihovi moči). Prav tako lahko izračunate formulo za izračun površine in poznate sing integral z uporabo Newton-Leibnizove formule:

- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π 2 \u003d 3 π 2 - sin 2 π 2 2 - 0 - sin 2 0 2 \u003d 3 π 2

Torej je površina figure, ki jo poda zunanja krivulja, enaka S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π .

Predlog: S(G) = 6 π

Treba je pojasniti, da je bilo pri reševanju problemov mogoče vzeti največ četrtino elipse in eno in pol - zgornjo in spodnjo. Ena polovica bo razdeljena na interval x ∈ a; b=-2; 2. Čigava vipadka v nas je šla b:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k , k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k , k ∈ Z

V tem vrstnem redu, ko je k enak 0, smo odšteli β; α = 0; π. Funkcija x = φ (t) = 2 cos t, do katere bo interval monotono padal.

Po tem izračunamo površino polovice elipse:

- ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

Pomembno je, da lahko vzamete samo zgornji in spodnji del, desnega pa ne morete.

Možno je zložiti parametrično poravnavo te elipse, katere središče bo razporejeno na storž koordinat. Izgleda kot x = a cos t y = b sin t. Na ta način, tako kot v aplikaciji, odvzamemo formulo za izračun površine belepsa S elips a \u003d πab.

Nastavite vložek, središče nekega razvrščanja na storž koordinat, lahko uporabite dodatno poravnavo x = R · cos t y = R · sin t , kjer je t parameter, R pa polmer tega vložka. Takoj, ko pospešimo s formulo za površino elipse, potem odvzamemo formulo, za katero lahko izračunamo površino vložka s polmerom R: S okroglo in \ u003d πR 2.

Oglejmo si še eno nalogo.

zadnjica 2

Umov: ugotovite, zakaj je površina figure bolj dragocena, saj jo obdaja parametrično podana krivulja x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t.

Rešitev

Pojasnimo le, da je ta krivulja morda videti kot uhojena astroida. Zvonite astroid, da se izrazi s pomočjo enake oblike x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t.

Zdaj se menda razpravlja, kako inducirati takšno krivuljo. Vikonaёmo pobudovu za okremi točke. Najbolj obsežna metoda, ki se lahko uporablja za večjo nalogo. Več zložljive zaloge je treba izvesti diferencialni izračun, da bi razkrili parametrično funkcijo.

Imamo x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t.

Dane funkcije so dodeljene vsem dejanskim vrednostim t. Za sin і cos je jasno, da smrad є periodičen in njihova obdobja postanejo 2 pі. Ko smo izračunali vrednosti funkcij x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t za t = t 0 ∈ 0; 2 π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , petnajst ? 8, vzemite točke x 0; y 0 = (φ (t 0); ψ (t 0)) .

Ustvarimo tabelo vrednosti vrečk:

Po tem je pomembno, da potrebujete točke na ravnini in nato eno črto.

Zdaj moramo poznati površino tistih delov figure, ki se nahaja na prvi koordinatni četrtini. Za to je x ∈ a; b = 0; 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Če je k enak 0, imamo interval β; α = 0; π 2 і funkcija x = φ (t) = 3 cos 3 t se bo na novem monotono zmanjšala. Zdaj vzemimo formulo površine:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "dt = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t cos 2 tdt = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 t) dt = 18 ∫ 0 2 sin 4 tdt - ∫ 0 π 2 sin 6 tdt

Imamo Wiishli linearni integrali, če lahko izračunate s pomočjo formule Newton-Leibniz. Prva vrstica za formulo qієї je znana, rekurzivna formula J n (x) \u003d - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , de J n (x) = ∫ sin nxdx.

∫ sin 4 tdt = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 tdt = = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 tdt = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 tdt = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 tdt ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 πt 2 sin ∫ 0 πt 2 sin 6 3 π 16 = 15 π 96

Kvadrat četrte figure smo virahuvali. To je drago 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t \u003d 18 3 π 16 - 15 π 96 \u003d 9 π 16.

Če vrednost pomnožimo s 4, vzamemo površino vseh številk - 9 π 4.

Tako lahko sami ugotovimo, da je območje bastroidi, podano z x = a cos 3 ty \u003d a sin 3 t, mogoče poznati po formuli, obdani s črto x = a · cos 3 ty = b · sin 3 t sledi formuli S = 3 πab 8 .

Kot da ste se spomnili pomilostitve v besedilu, bodite prijazni, poglejte in pritisnite Ctrl + Enter