Zadanie 1. Z'yasuvati, chi є system wektorów jest liniowo niezależny. Układ wektorów zostanie złożony przez macierz układu, której kolumny są sumowane ze współrzędnych wektorów.

.

Rozwiązanie. Kombinacja chodź na linii równa się zero. Po wpisaniu wartości we współrzędnych przyjmiemy układ wyrównawczy:

.

Taki system równości nazywa się trikut. Jest tylko jedno rozwiązanie . Ojciec, wektory liniowo niezależny.

Zadanie 2. Z'yasuvati, chi є liniowo niezależny układ wektorów.

.

Rozwiązanie. wektory liniowo niezależny (zadanie dz. 1). Załóżmy, że wektor jest liniową kombinacją wektorów . Współczynniki rozkładu przez wektory vynachayutsya z systemu równego

.

System Tsya, podobnie jak trikutna, ma jedno rozwiązanie.

Ojciec, system wektorów liniowo odłogiem.

Poszanowanie. Matryce tego rodzaju, podobnie jak w zadaniu 1, nazywamy zdradliwy , A w zadaniu 2 - często trudne . Informacja o liniowości układu wektorów jest łatwa do pomyłki, ponieważ macierz składa się ze współrzędnych tych wektorów i często jest trudna. Jeśli matryca nie ma specjalnej formy, to o pomoc elementarna transformacja wierszy , Scho zberіgayut linear spіvvіdnoshennia mіzh stovptsami, її można zredukować do podobnie trudnego wyglądu.

Przekształcenia elementarne rzędów macierze (EPC) nazywamy takimi operacjami na macierzy:

1) permutacja wierszy;

2) mnożenie rzędu na danej liczbie zerowej;

3) dodatek do rzędu następnego rzędu pomnożony przez określoną liczbę.

Zadanie 3. Znajdź maksymalny podukład liniowo niezależny i oblicz rząd układu wektorów

.

Rozwiązanie. Skierujmy matrycę systemu za pomocą EPC do podobnego-często-trudnego wyglądu. Aby wyjaśnić kolejność dnia, wiersz z liczbą jest przekształcany w macierz ze znaczącym symbolem. Z tyłu kolumny strzałki są pokazane nad rzędami, macierze są przekształcane, tak jakby do usunięcia rzędów nowej matrycy potrzebna była wikonat.

.

Jest oczywiste, że dwie pierwsze kolumny usuniętej macierzy są liniowo niezależne, trzecia kolumna jest kombinacją liniową, a czwartej kolumny nie można znaleźć w dwóch pierwszych. wektory nazywane są podstawowymi. Ustalają maksymalny liniowo niezależny podsystem systemu , A ranga systemu to trzy.

Podstawa, współrzędne

Zadanie 4. Znajdź bazę i współrzędne wektorów w tej bazie na anonimowych wektorach geometrycznych, których współrzędne cieszą umysł .

Rozwiązanie. Bezlіch є flat, scho, aby przejść przez kolbę współrzędnych. Dodatkowa baza na płaszczyźnie składa się z dwóch wektorów niewspółliniowych. Współrzędne wektorów w odwróconej podstawie są przypisane rozwiązaniom odpowiedniego układu linii trasowania.

Іsnuє th іnshіy sposіb vyvіshennya tsgogo zavdannya, jeśli znasz podstawę współrzędnych.

współrzędne przestrzeń nie jest współrzędnymi na mieszkaniu, więc smród , Tobto nie є niezależne. Zmienne niezależne i (śmierdzi nazywane są wolnymi) jednoznacznie przypisują wektor na obszarze i, dzięki czemu można je wziąć ze współrzędnymi w. ta sama podstawa składa się z wektorów, które leżą w różnych zbiorach w zmiennych swobodnych і , następnie .

Zadanie 5. Znajdź bazę i współrzędne wektorów w tej bazie na bezosobowych wszystkich wektorach w przestrzeni, które mają niesparowane współrzędne równe sobie.

Rozwiązanie. Vibero, podobnie jak ja w zadaniu do przodu, koordynuje w przestrzeni.

więc jaka , To się zmieni jednoznacznie przypisz współrzędne wektora z і, otzhe, є. Podstawa zmiennej składa się z wektorów.

Zadanie 6. Znajdź bazę i współrzędne wektorów w tej bazie na bezosobowych macierzach wszystkich w postaci , de - całkiem sporo.

Rozwiązanie. Macierz skóry jest unikalnie reprezentowana na pierwszy rzut oka:

Tse spіvvіdnoshennia є razladannyam wektor z na podstawie
ze współrzędnymi .

Zadanie 7. Znajomość rozwinięcia i podstawy obwiedni liniowej układu wektorowego

.

Rozwiązanie. Przekształćmy za pomocą macierzy EPC współrzędne wektora w układzie na podobnie skomplikowany wygląd.

.

stovptsi pozostałe macierze są liniowo niezależne, a pozostałe macierze liniowo wyginaj się przez nie. Ojciec, wektory ustalić podstawę , і .

Poszanowanie. podstawa w wybrane niejednoznacznie. Na przykład wektor również ustalić podstawę .

Spotkanie 1. Układ wektorów nazywa się odłogiem liniowym, ponieważ jeden z wektorów układu może być reprezentowany przez liniową kombinację innych wektorów w układzie i liniowo niezależny - w innym kierunku.

Spotkanie 1 '. Układ wektorów nazywamy odłogiem liniowym, ponieważ istnieją liczby h 1 , h 2 , …, h k, nie wszystkie równe zeru, tak że liniowa kombinacja wektorów o danych współczynnikach jest równa wektorowi zerowemu: =, w przeciwnym przypadku układ nazywamy liniowo niezależnym.

Zostanie wykazane, że wartości są równoważne.

Wybierzmy oznaczenie 1, wtedy jeden z wektorów w układzie jest dobrą kombinacją liniową pozostałych:

Liniowa kombinacja systemu vector_v do wektora zerowego, ponadto w sumie obsіzі kof_tsієnti tsієї kombinatsії do zera, więc vikonuєtsya 1 '.

Niech wygrają spotkanie 1 '. Liniowa kombinacja systemu wektorów jest droższa i ogólnie współczynniki kombinacji są równe zeru, na przykład współczynniki wektora.

Jeden z wektorów w systemie został przedstawiony w pozornie liniowej kombinacji innych, tak że wektor 1.

Spotkanie 2. Pojedynczy wektor lub wektor nazywa się n-świat wektor, WHO i-ta współrzędna jest równa jeden, a reshta wynosi zero.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Twierdzenie 1. Różne pojedyncze wektory n spokojna przestrzeń liniowo niezależna.

Przynoszący. Niech liniowa kombinacja tych wektorów o wystarczających współczynnikach osiągnie wektor zerowy.

Z ієї rіvnostі vyplivaє, scho wszystkie koefіtsієnti dorivnyuyut zero. Zdjęli to.

skórzany wektor n spokojna przestrzeń ā (ale 1 , ale 2 , ..., ale n) mogą istnieć reprezentacje liniowej kombinacji pojedynczych wektorów o współczynnikach równych współrzędnym wektora

Twierdzenie 2. Jeżeli układ wektorów ma zastąpić wektor zerowy, to jest on odłożony liniowo.

Przynoszący. Niech będzie dany układ wektorów i jeden z wektorów є null, np. =. Tak więc z wektorami tego układu można dodać kombinację liniową, równą wektorowi zerowemu, i ogólnie współczynniki będą wynosić zero:

Otzhe, system jest odłogiem liniowym.

Twierdzenie 3. Jeżeli podsystem systemu wektorów jest odłogowany liniowo, to cały system jest odłogowany liniowo.

Przynoszący. Dany system wektorów. Zakłada się, że układ jest odłogiem liniowym, tak więc są liczby h 1 , h 2 , …, h r , Nie wszystkie są równe zeru, więc sho =. Również

Okazało się, że liniowa kombinacja wektorów we wszystkich układach jest zdrowa, ponadto na ogół współczynniki kombinacji są równe zeru. Ponadto system wektorowy jest liniowo odłogiem.

Konsekwencja. Tak jak system wektorowy jest liniowo niezależny, tak podsystem jest również liniowo niezależny.

Przynoszący.

Dopuszczalne jest prowadzenie tak, aby podsystem deak był liniowo odłogowany. Z twierdzenia wynika, że ​​cały system jest odłogiem liniowym. Przyjechaliśmy do protirichcha.

twierdzenie 4 (Twierdzenie Steinitza). Jak skórka z wektorami i liniową kombinacją wektorów i m>n, to system wektorowy jest odłogiem liniowym.

Konsekwencja. Dla dowolnego układu wektorów n-światów nie może być więcej niż n liniowo niezależnych wektorów.

Przynoszący. Skórzany n-spokojny wektor objawia się pozornie liniową kombinacją n pojedynczych wektorów. Bo system ma się zemścić m wektor_v i m>n, Następnie, dla twierdzenia, dany system liniowo odłogiem.

W tych statystykach rozpovimo:

• jakie są wektory Kolіnearnі;
• jak rozumieć kolinearność wektorów;
• jak ustalić moc wektorów współliniowych;
• jakie jest liniowe występowanie wektorów współliniowych.

spotkanie 1

Wektory Kolіnearnі - wektory tse, takie jak równoległości jedna linia prosta lub leżą na jednej linii prostej.

tyłek 1

Umyj kolinearność wektorów

Dwa wektory są współliniowe, jakby zwyciężyły nad rozwijającymi się umysłami:

• umowa 1 . Wektory a i b są współliniowe, gdy występuje taka liczba λ, że a = λ b;
• umowa 2 . Wektory a i b są współliniowe z tym samym zestawem współrzędnych:

a = (a 1; a 2), b = (b 1; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• umowa 3 . Wektory a i b są współliniowe dla inteligencji tworzenia wektora i wektora zerowego:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

szanuj 1

Umova 2 zastosovuetsya, jakby jedna ze współrzędnych wektora była równa zeru.

Szanuj 2

Umova 3 zastosovuetsya mniej do cichych wektorów, takich jak zadania w kosmosie.

Zastosuj zadanie, aby zweryfikować kolinearność wektorów

tyłek 1

Dolіdzhuєmo vectori a = (1; 3) i b = (2; 1) dla kolinearności.

Jak przeklinać?

W tym trybie konieczne jest przyspieszenie drugiej współliniowości mentalnej. W przypadku przypisania wektorów wygląda to tak:

Zazdrość jest zła. Możliwe jest generowanie visnovok tak, aby wektory a i b były niewspółliniowe.

dowód : A | | b

tyłek 2

W jaki sposób wartość m wektora a = (1; 2) i b = (-1; m) jest niezbędna, aby wektory były współliniowe?

Jak przeklinać?

Vykoristovuyuchi inna współliniowość umysłowa, wektory będą współliniowe, więc ich współrzędne będą proporcjonalne:

Widać, że m = - 2.

Wskazówka: m = - 2.

Kryteria liniowego występowania i liniowej niezależności systemów wektorowych

twierdzenie

Układ wektorów w przestrzeni wektorowej jest odłożony liniowo tylko wtedy, gdy jeden z wektorów w układzie można prześledzić poprzez inne wektory danego układu.

Przynoszący

Niech system e 1, e 2,. . . , E n ugór liniowy. Zapiszmy liniową kombinację układu do wektora zerowego:

a 1 e 1 + a 2 e 2 +. . . + A n e n = 0

najprawdopodobniej chcąc b jeden ze współczynników kombinacji nie jest równy zeru.

Niech a k ≠ 0 k ∈ 1, 2,. . . , N.

Dylemat urażony częścią zazdrości o niezerowy współczynnik:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k +. . . + (A k - 1 za n) e n = 0

istotne:

A k - 1 m, de m ∈ 1, 2,. . . , K - 1, k + 1, n

W tej żyle:

β 1 e 1 +. . . + Β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 +. . . + Bn e n = 0

lub e k \u003d (- β 1) e 1 +. . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 +. . . + (- β n) e n

Pokazuje, że jeden z wektorów systemu jest rzutowany przez wszystkie pozostałe wektory systemu. Co trzeba było przynieść (ch.t.d.).

dostateczność

Niech jeden z wektorów będzie liniowo połączony przez wszystkie pozostałe wektory układu:

e k = γ 1 e 1 +. . . + Γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 +. . . + Γ n e n

Wektor e k jest przenoszony do prawej części wagi:

0 = γ 1 e 1 +. . . + Γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 +. . . + Γ n e n

Współczynnik Oskіlki wektora e k jest drogi - 1 ≠ 0, mamy nietrywialną manifestację zera przez system wektorów e 1, e 2,. . . , E n i tse same w sobie oznaczają, że dany układ wektorów jest liniowo odłogiem. Co trzeba było przynieść (ch.t.d.).

konsekwencja:

• Układ wektorów jest liniowo niezależny, jeśli możliwe jest przejście przez wszystkie inne wektory układu.
• System wektorów, taki jak eliminacja wektora zerowego lub dwóch równych wektorów, jest odłożony liniowo.

Dominacja liniowych odłogów

1. W przypadku wektorów z drugiego i trzeciego świata zwycięża umysł: dwa liniowe odłogi są współliniowe. Dwa wektory współliniowe - osady liniowe.
2. W przypadku wektorów o trzech światach zwyciężają umysły: trzy liniowe odłogi są współpłaszczyznowe. (3 wektory współpłaszczyznowe - osady liniowe).
3. W przypadku wektorów n-światów, Umov zwycięża: wektor n + 1 jest zawsze złożony liniowo.

Zastosuj rozwiązanie zadań do liniowej niezależności lub liniowej niezależności wektorów

tyłek 3

Wektory odwracalne a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 dla niezależności liniowej.

Rozwiązanie. Wektory są odłogiem liniowym, mała liczba wektorów jest mniejsza.

tyłek 4

Wektory odwracalne a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 dla niezależności liniowej.

Rozwiązanie. Znamy wartości współczynników, dla których kombinacja liniowa będzie równa wektorowi zerowemu:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Rejestrujemy wyrównanie wektora liniowego:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

System ten sprawdzamy za pomocą metody Gaussa:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Z 2. rzędu widać 1., z 3. rzędu - 1.:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Z 1. rzędu widzimy 2., do 3. dodajemy 2.:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Rozwiązanie jest oczywiste, że system ma bezosobowe rozwiązanie. Tse oznacza, że ​​istnieje niezerowa kombinacja wartości takich liczb x 1, x 2, x 3, dla których kombinacja liniowa a, b, c jest równa wektorowi zerowemu. Otzhe, wektory a, b, c є ugór liniowy. ​​​​​​​

Jak zapamiętałeś ułaskawienie w tekście, bądź miły, zobacz to i naciśnij Ctrl + Enter

Niezależność liniowa i niezależność liniowa wektorów.
Podstawa wektorów. Afiniczny układ współrzędnych

W audytorium są szklanki z czekoladkami, a kilka lukrecji można dziś usunąć na skórę oka - geometria analityczna z algebrą liniową. Ten artykuł zostanie podzielony na dwa splity zaawansowana matematyka Podziwiam, jak smród współistnieje na jednym pagórku. Zrób sobie przerwę, s'zh „Tviks”! ... cholera, no cóż, nie ma sporu. Chcąc wypaść dobrze, nie zdobędę punktów, w końcu za trening odpowiada pozytywny nastrój.

Odłogi liniowe wektorów, liniowa niezależność wektorów, podstawa wektorowa to w. terminy mogą być nie tylko interpretacją geometryczną, ale przede wszystkim sensem algebraicznym. Samo pojęcie „wektora” z punktu widzenia algebry liniowej jest dalekie od tego, co wektor „nadrzędny”, który możemy przedstawić na płaszczyźnie lub w przestrzeni. Na dowód nie trzeba iść daleko, spróbuj namalować wektor przestrzeni pięciowymiarowej . Abo, poczekaj tylko, na co pojechałem tylko do G_smeteo: - temperatura i ciśnienie atmosferyczne są dobre. Dołek oczywiście nie jest poprawny z punktu widzenia autorytetu przestrzeni wektorowej, ale jednocześnie nikt nie utrudnia formalizacji parametrów i wektora. Oddech jesieni....

Cześć, nie mam zamiaru kusić Cię teorią, liniowymi przestrzeniami wektorowymi, problem w tym Rozumiesz definicja tego twierdzenia. Nowe terminy (depozyt liniowy, niezależność, kombinacja liniowa, baza itp.) są ustalane z punktu widzenia algebry na wszystkie wektory, a następnie stosowane są dane geometryczne. W tym rankingu wszystko jest proste, przystępne i na miejscu. Rozważana jest geometria analityczna Krіm zavdan i typowe zadania algebry. Aby opanować materiał, należy nauczyć się lekcji Wektory do czajnikówі Jak obliczyć vyznachnik?

Ugór liniowy i niezależność wektora w płaszczyźnie.
Podstawa płaszczyzny i afiniczny układ współrzędnych

Przyjrzyjmy się obszarowi twojego biurko komputerowe(Tylko stół, szafki nocne, pіdlogi, steli, ktokolwiek tego potrzebuje). Lider pola w najbliższych dniach:

1) Wybierz podstawę obszaru. Z grubsza wydaje się, że styl ma długość i szerokość, więc intuicyjnie zrozumiano, że potrzebne są dwa wektory, aby wywołać podstawę. Jeden wektor to zdecydowanie za mało, trzy wektory to za dużo.

2) Na podstawie odwróconej podstawy ustaw układ współrzędnych(Siatka współrzędnych), aby wprowadzić współrzędne każdego, kto znajduje się na stole obiektów.

Nie zdziw się, wyjaśnienie będzie na palcach. Co więcej, na twoim. Bądź miły, wybacz wyrazisty palec lewej ręki do krawędzi stylu, tak że podziwiałem monitor. Tse będzie wektorem. teraz zapisz mały palec prawej ręki na krawędzi stołu w ten sam sposób - szoruj vin prostując się na ekranie monitora. Tse będzie wektorem. Śmiej się, wyglądasz cudownie! Co możesz powiedzieć o wektorach? wektory danych współliniowy, co znaczy liniowo odwróć jeden do jednego:
, Cóż, abo navpaki:, de - numer deake, vіdmіnne vіd zero.

Możesz spojrzeć na obraz tej akcji na lekcji Wektory do czajników, De wyjaśniłem zasadę mnożenia wektora przez liczbę.

Chi, czy twoje palce postawią podstawę na stole komputerowym? Oczywiście nie. Wektory kolіnearnі i wzrost cen tu i tam sam prosty, a na mieszkaniu gołąbek i szerokość.

Takie wektory nazywają się ugór liniowy.

Wniosek: Słowa „liniowe”, „liniowe” oznaczają, że w równaniach matematycznych, wyrażeniach nie ma kwadratów, sześcianów, wyższych stopni, logarytmów, sinusów itp. Є tіlki lіnіynі (1. etap) skręć i odłóż.

Dwa wektory powierzchni depozyty liniowe wtedy i tylko wtedy, jeśli smród jest kolinearny.

Trzymaj kciuki na stole, abyś między nimi był jak kut, krim 0 lub 180 stopni. Dwa wektory powierzchniliniowo NIE odłogiem w tym i tylko tym upadku, jakby smród nie był współliniowy. Otzhe, podstawa jest zabrana. Nie trzeba być życzliwym, że podstawa poglądów jest „skoszona” nie prostopadle przez wektory o różnej długości. Wkrótce będziemy mieć nadzieję, że w przypadku jogi wyrostek nie jest tylko cięty pod kątem 90 stopni i nie tylko sam, równy dla wektora dożyny

Be-yaky płaski wektor jeden stopień rozbudowana wg podstawy:
, De - dіysnі numery. numery telefonów współrzędne wektora na tej podstawie.

Wygląda więc na to, że wektorwystępy na widok kombinacja liniowa wektory bazowe. Tobto, połączenie viraz układ wektorowypodstawa lub kombinacja liniowa wektory bazowe.

Na przykład można powiedzieć, że wektor układów na ortonormalnej podstawie płaszczyzny, lub można powiedzieć, że reprezentuje liniową kombinację wektorów.

formułować przypisanie do podstawy formalnie: podstawa obszaru nazywana jest para liniowo niezależnych (niewspółliniowych) wektorów, , w którym bądź jak wektor płaski jest kombinacją liniową wektorów bazowych.

Odpowiednio momentem powołania jest fakt, że wektory są brane w kolejności piosenek. podstawa - tse dwie zupełnie różne podstawy! Jak się wydaje, małego palca lewej ręki nie można przestawić na mały palec prawej ręki.

Opracowaliśmy podstawy, ale nie wystarczy ustawić siatkę współrzędnych i dodać współrzędne obiektu skórki do tabeli komputera. Dlaczego jej brakuje? Wektory są swobodne i migoczą na całym obszarze. Jak więc dodać współrzędne do tych małych niejasnych punktów na stole, które pozostały po burzliwych wakacjach? Niezbędne wytyczne. І takim punktem orientacyjnym jest punkt znany wszystkim - kolba współrzędnych. Wybieramy z układu współrzędnych:

Zacznij od systemu "shkіlnoї". Już na lekcji wstępnej Wektory do czajników Widziałem czyny rozpoznania między prostokątnym układem współrzędnych a bazą ortonormalną. Standardowy obraz osi:

Mówiąc o prostokątny układ współrzędnych, Następnie najważniejsze jest umieszczenie na kolbie współrzędnych, osi współrzędnych i podziałki wzdłuż osi. Spróbuj wpisać „prostokątny układ współrzędnych” w polu wyszukiwania, a dowiesz się, że dużo dowiesz się o znajomości 5-6 klasy osi współrzędnych oraz o tym, jak umieszczać punkty na płaszczyźnie.

Z drugiej strony istnieje efekt polegający na tym, że prostokątny układ współrzędnych można określić całkowicie na podstawie ortonormalnej bazy. І tse mayzhe tak. Formuła brzmiąca jak ranga ofensywna:

kolba współrzędnych, і ortonormalny ustaw podstawę Kartezjański prostokątny układ współrzędnych płaszczyzny . Tobto, prostokątny układ współrzędnych Zdecydowanie oznaczane przez pojedynczy punkt i dwa pojedyncze wektory ortogonalne. Do tego potrzebny jest fotel, który mam nawy vishche - in problemy geometryczne często (choć daleko od zavzhd) malują wektory, osie współrzędnych.

Chyba każdy zrozumiał, że dla dodatkowego punktu (kola współrzędnych) i bazy ortonormalnej BĄDŹ PUNKTAMI samolotu i BĄDŹ PUNKTEM samolotu możesz dodać współrzędne. Najwyraźniej w przenośni „wszystko można ponumerować na kwadracie”.

Czy jesteś pewien, że wektory współrzędnych są pojedyncze? Nі, smród może matka dovіlnu niezerowa dovzhina. Przyjrzyjmy się punktowi i dwóm ortogonalnym wektorom o dość niezerowej długości:

Taka podstawa nazywa się prostokątny. Kolba współrzędnych z wektorami wyznacza siatkę współrzędnych i czy jest to punkt płaszczyzny, czy to wektor, który rysuje na tej podstawie jego współrzędne. Na przykład chi. Jest oczywiste, że nieprzezroczystość polega na tym, że wektory współrzędnych na szczycie wzgórza opłakiwać różne życia, vіdminnі vіd odinitsі. Jak tylko single są równe, wtedy pojawi się pierwotna baza ortonormalna.

! Notatka : W bazie ortogonalnej, a także niżej w bazach ateńskich brane są pod uwagę płaszczyzny i przestrzeń jednej wzdłuż osi umysłowo. Na przykład w jednej jednostce wzdłuż osi odciętych jest 4 cm, w jednej jednostce wzdłuż osi rzędnych 2 cm Ta informacja wystarczy, aby „niestandardowe” współrzędne znalazły się w „naszych standardowych centymetrach”.

I inne jedzenie, na które naprawdę otrzymuje się odpowiedź - co obov'yazkovo kut między wektorami podstawowymi jest winne 90 stopni? Hej! Jak dopasować terminy, podstawowe wektory i usterki mniej niewspółliniowe. Vіdpovіdno kut mozhe buti be-yakim, krіm 0 i 180 stopni.

Punkt mieszkania, jak to się nazywa kolba współrzędnych, і niewspółliniowe wektory, , ustawić afiniczny układ współrzędnych płaszczyzny :

Innymi słowy, taki układ współrzędnych nazywa się spleciony system. Jak zastosować punkty i wektory na obrazie fotela:

Jak wiecie, afiniczny układ współrzędnych jest mniej wygodny, nie można w nim używać formuł wektorów i vdrіzkіv, jak przyjrzeliśmy się drugiej części lekcji Wektory do czajników, Bogate pikantne formuły, pov'yazanі z skalarne tworzenie wektorów. Wtedy zasady dodawania wektora i mnożenia wektora przez liczbę są sprawiedliwe, formuły podziału na dane wyrażenie, a także rodzaje przypisań, którym niedługo się przyjrzymy.

A visnovok jest taki, że ozdobimy go najpiękniejszym vipadokiem system afiniczny współrzędnych jest kartezjańskim układem prostokątnym. Do tego її kochanie, najczęściej muszę zaglądać. ... Ale wszystko w tym życiu jest opłacalne - jest kilka sytuacji, w których sama rzeka to Kosokutna (na przykład Nabuda іnsha, na przykład, polarny) system współrzędnych. Te humanoidy mogą zakochać się w takich systemach =)

Przejdźmy do części praktycznej. Wszystkie zadania tej lekcji dotyczą zarówno prostoliniowego układu współrzędnych, jak i powinowactwa zagal. Nie ma tu nic składanego, cały materiał jest dostępny dla dzieci w wieku szkolnym.

Jak określić współliniowość wektora w płaszczyźnie?

Typowa rzeka. Aby mieć dwa wektory powierzchni kule współliniowe, konieczne i wystarczające, schob.Właściwie jest to szczegółowy opis oczywistej spivvіdnoshennia.

tyłek 1

a) Odwrotne, współliniowe wektory .
b) Chi ustala podstawę wektora ?

Rozwiązanie:
a) Dlaczego, co jest ważne dla wektorów współczynnik proporcjonalności taki, że równości były zwycięskie:

Obov'yazkovo rozpovіm o podanej zasadzie "pіzhonskoy" raznovidnya zastosuvannya, jako całości wdrożonej w praktyce. Chodzi o to, aby ustalić proporcje i zastanowić się, czy masz rację:

Dodajmy proporcję vіdnosin vіdpovіdnih współrzędnych vectorіv:

szybko:
, W tej kolejności odpowiednie współrzędne są proporcjonalne,

Oprawę można złożyć i złożyć, co jest cenną opcją:

W celu samodzielnej weryfikacji można przekręcić sytuację, w której wektory współliniowe i zagiąć liniowo jeden do jednego. W tej vipadce jest miejsce równoważności . Їх uczciwość jest łatwo pereviryaєє poprzez elementarne wektory z:

b) Dwa wektory pola spełniają bazę, ponieważ nie są współliniowe (liniowo niezależne). Dosledzhuєmo na kolinearność wektorów . Zbudujmy system:

Od pierwszego równego następują sho, od drugiego równego pisk sho znaczy, system jest szalony(Nie ma rozwiązania). W ten sposób współrzędne wektorów nie są proporcjonalne.

visnovok: Wektory są liniowo niezależne i stanowią podstawę.

Uproszczona wersja rozwiązania wygląda tak:

Dodajemy proporcje podanych współrzędnych wektorów :
, Tak więc wektory te są liniowo niezależne i stanowią podstawę.

Wywołaj tę opcję, nie odrzucaj recenzentów, ale obwiniaj problem w cichych sytuacjach, jeśli współrzędne są równe zeru. oś w ten sposób: . Abo tak: . Abo tak: . Jak mogę tutaj pracować proporcjonalnie? (Naprawdę nie można dzielić przez zero). Z tego samego powodu nazwałem proste rozwiązanie „pizhonsky”.

Wskazówka: a), b) zatwierdza.

Mały kreatywny tyłek do niezależne rozwiązanie:

tyłek 2

Dla dowolnej wartości parametru wektora będzie współliniowe?

Rozwiązanie posiada parametr wiedzy poprzez proporcję.

Stosujemy algebraiczny sposób ponownego sprawdzania wektorów pod kątem kolinearności Systematyzujemy naszą wiedzę i piąty punkt to po prostu joga dodamo:

Dla dwóch wektorów w obszarze twardości równoważnej:

2) wektory i ustalenie podstawy;
3) wektory NIE są współliniowe;

+ 5) oscylator, składany ze współrzędnych tych wektorów, vіdminny vіd zero.

oczywiście, równoważna twardość wydłużenia stopy:
1) depozyty wektorowe i liniowe;
2) wektory nie spełniają podstawy;
3) wektory i współliniowe;
4) wektory mogą być połączone liniowo jeden do jednego;
+ 5) wektor, składający się ze współrzędnych tych wektorów, prowadzący do zera.

Jestem coraz bardziej przekonany, że w danej chwili zrozumiałeś już wszystkie warunki i potwierdzenie.

Przyjrzyjmy się bliżej nowemu, piątemu akapitowi: dwa wektory powierzchni kolіnearnі thodі і tіlki tіlki tоdі, jeśli vyznachnik, składa się ze współrzędnych tych vector_v, do_vnyuє zero:. Aby powstrzymać te znaki, oczywiście należy pamiętać poznaj wizjonerów.

najwyraźniej Przykład 1 w inny sposób:

a) Obliczanie liczby wektorów, dodawania ze współrzędnych wektorów :
, A więc podane wektory są współliniowe.

b) Dwa wektory pola spełniają bazę, ponieważ nie są współliniowe (liniowo niezależne). Obliczanie liczby wektorów, dodawania ze współrzędnych wektorów :
, A więc wektory są liniowo niezależne i tworzą bazę.

Wskazówka: a), b) zatwierdza.

Wygląda znacznie bardziej kompaktowo i atrakcyjnie, niższa rozdzielczość z proporcjami.

Za pomocą recenzowanego materiału można ustalić nie tylko kolinearność wektorów, ale także sprowadzić równoległość linii, prostych. Przyjrzyjmy się kilku zadaniom o określonych kształtach geometrycznych.

tyłek 3

Biorąc pod uwagę szczyty chotirikutnik. Przynieś, że chotirikutnik to równoległobok.

Przynoszący: Fotele w gabinecie nie będą potrzebne, oskali decyzji będą czysto analityczne. Domyślamy się, jaki jest cel równoległoboku:
równoległobok nazywa się chotirikutnik, który ma przeciwległe boki parami równolegle.

W tej kolejności należy zabrać ze sobą:
1) równoległość przeciwległych boków i;
2) równoległość przeciwległych stron i.

przyniósł:

1) Znamy wektory:

2) Znamy wektory:

Wijszow to jeden i ten sam wektor („według szkoły” - równe wektory). Kolіnearnіst zovsіm jest oczywiste, ale lepiej jest ułożyć rozwiązanie prosto, z aranżacją. Obliczmy liczbę dodatków ze współrzędnych wektorów:
, Średnia, podane wektory są współliniowe, tj.

visnovok: Boki Protilezhnі chotirikutnik są parami równoległe, co oznacza, że ​​\u200b\u200bw równoległoboku dla oznaczeń. Co zajęło, aby przynieść?.

Więcej dobrych i innych liczb:

tyłek 4

Biorąc pod uwagę szczyty chotirikutnik. Aby przynieść, scho chotirikutnik є trapezієyu.

Aby uzyskać więcej receptariusza suvoro, udowodnij to piękniej, wspaniale, narysuj wyznaczony trapez i po prostu go dokończ i po prostu zgadnij, jakby wyglądał.

Tse zavdannya dla niezależnego rozwiązania. poza rozwiązaniem pod koniec lekcji.

A teraz pora na powolne przejście z mieszkania na otwartą przestrzeń:

Jak określić kolinearność wektora w przestrzeni?

Zasada jest podobna. Aby dwa wektory były współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby ich współrzędne były proporcjonalne.

tyłek 5

Z'yasuvati, jakie będą współliniowe wektory ofensywne i przestrzeń:

ale);
b)
w)

Rozwiązanie:
a) Odwracalnie, jaki jest współczynnik proporcjonalności dla różnych współrzędnych wektorów:

System nie może zostać rozwiązany, co oznacza, że ​​wektory NIE są współliniowe.

„Sproschenkę” tworzy proporcja. W tym widoku:
- współrzędne nie są proporcjonalne, więc wektory NIE są współliniowe.

Wskazówka: wektory NIE są współliniowe.

b-c) Wszystkie punkty za samodzielne rozwiązanie. Wypróbuj jogę na dwa sposoby.

Użyj metody ponownego sprawdzania wektorów przestrzennych pod kątem kolinearności i użycia zmiennej trzeciego rzędu Wektor doboot vector_v.

Podobnie jak w przypadku płaskiej nagody, rzut oka na zestaw narzędzi może stać w miejscu z metodą utrzymania równoległości otwartych przestrzeni i linii prostych.

Uprzejmie prosimy o inny oddział:

Odłogi liniowe i niezależność wektora w przestrzeni trywialnej.
Przestronna podstawa i afiniczny układ współrzędnych

Mnogość praw, jak widzieliśmy na placu, będzie sprawiedliwa i dla przestrzeni. Próbowałem zminimalizować streszczenie zgodnie z teorią, fragmenty lewej części informacji są już opracowane. Prote, polecam uważne przeczytanie części wprowadzającej, aby wprowadzić nowe terminy i zrozumieć.

Teraz wymiana powierzchni stołu komputerowego została rozszerzona do przestrzeni trójwymiarowej. Stwórzmy podstawy jogi. Kto wie od razu w miejscu, kto jest na ulicach, ale w każdym razie nie możemy nigdzie dotrzeć w trzech vimirivach: szerokości, długości i wysokości. Dlatego do indukcji podstawy potrzebne są trzy przestrzenne wektory. Jeden lub dwa wektory nie wystarczą, ćwiartki to zayviy.

Znowu wędruję na palcach. Bądź miły, podnieś rękę pod górę i podnieś pryszcz z różnych stron świetny, imponujący środkowy palec . Tse będą wektorami, smród będzie zdumiewał z różnych stron, opłakiwać w różnym czasie i opłakiwać w różnym czasie między sobą. Vіtayu, podstawa przestrzeni trivimir jest gotowa! Przed przemówieniem nie trzeba demonstrować takich vikladach, jak nie skręcać palców, ale nigdzie nie można się dostać =)

Dali prosi o ważne jedzenie, czy trzy wektory spełniają podstawę przestrzeni trywialnie-światowej? Bądź uprzejmy, mocno przyciśnij trzy palce do biurka. Co się stało? Trzy wektory były rozrzucone na tej samej płaszczyźnie i, co wydawało się niegrzeczne, straciliśmy jeden z vimirivów - wysokość. Takie wektory współpłaszczyznowy I jest zupełnie oczywiste, że nie da się stworzyć podstawy przestrzeni trywimerycznej.

Jeśli to oznacza, że ​​wektory współpłaszczyznowe, a nie wole, leżą w tej samej płaszczyźnie, smród może być w płaszczyznach równoległych (tylko nie okradnij kogoś palcami, więc tylko Salvador Dali nakręcał się =)).

wizyta, umówione spotkanie: Wektory są nazwane współpłaszczyznowy, Jak płaska powierzchnia, jak równoległy smród. Tutaj logiczne jest dodanie, że jeśli taka płaszczyzna nie istnieje, to wektory nie będą współpłaszczyznowe.

Trzy współpłaszczyznowe wektory dla długiej linii osadów, Tobto liniowo vrazhayutsya jeden do jednego. Dla uproszczenia ponownie zauważę, że smród tkwi w jednym mieszkaniu. Po pierwsze, wektory i nie tylko, ponieważ są współpłaszczyznowe, mogą być bardziej współliniowe, nawet jeśli wektor można zobaczyć przez wektor. W inny sposób, na przykład, wektory NIE są współliniowe, wtedy trzeci wektor przechodzi przez nie w jednej kolejności: (A dlaczego - łatwo się domyślić w przypadku materiałów dywizji frontowej).

Uczciwie i bezwzględnie: trzy wektory niewspółpłaszczyznowe są zawsze liniowo niezależne, Tobto ta sama ranga nie jest virazhayutsya jeden do jednego. I oczywiście tylko takie wektory mogą stanowić podstawę przestrzeni trywimerów.

wizyta, umówione spotkanie: Podstawa przestrzeni trivimirnogo nazwany trio liniowo niezależnych (nie współpłaszczyznowych) wektorów, wzięte w porządku, Z dowolną przestrzenią wektorową jeden stopień rozłożone z danej bazy, de - współrzędne wektora w danej bazie

Zgadując, można również powiedzieć, że wektor reprezentacji kombinacja liniowa wektory bazowe.

Pojęcie układu współrzędnych wprowadza się dokładnie tak samo, jak dla płaskiego nachylenia wystarczy jeden punkt i czy są trzy liniowe niezależne wektory:

kolba współrzędnych, і niewspółpłaszczyznowy wektory, wzięte w porządku, ustawić afiniczny układ współrzędnych przestrzeni trywialnego świata :

Oczywiście siatka współrzędnych „warkocz” i niezbyt poręczne piwo, nie mniej, podpowiadany układ współrzędnych pozwala nam Zdecydowanie wyznaczyć współrzędne dowolnego wektora i współrzędne dowolnego punktu w przestrzeni. Podobnie jak płaszczyzna, w afinicznym układzie współrzędnych, przestrzeń nie działa według tych samych wzorów, o których już się domyślałem.

Najbardziej oczywistym i najwygodniejszym sposobem jest upadek afinicznego układu współrzędnych, jak wszyscy się domyślają, є prostokątny układ współrzędnych:

Wskaż przestrzeń, jak to się nazywa kolba współrzędnych, і ortonormalny ustaw podstawę Kartezjański układ współrzędnych prostokątnych . Znane zdjęcie:

Wcześniej, jak przejść do zadań praktycznych, ponownie usystematyzuję informacje:

Dla trzech wektorów w przestrzeni równoważnej początku twardości:
1) wektory są liniowo niezależne;
2) wektory i ustalenie podstawy;
3) wektor, a NIE współpłaszczyznowość;
4) wektory mogą być połączone liniowo jeden do jednego;
5) vyznachnik, składany ze współrzędnych tych wektorów, vіdminny vіd zero.

Protilezhnі vyslovlyuvannya, jak sądzę, zrozumіlі.

Spadek liniowy/niezależność wektora w przestrzeni jest tradycyjnie omawiany dla pomocy lidera (pkt. 5). Raszt zadania praktyczne będzie miał wyraźnie algebraiczny charakter. Czas powiesić geometryczny klucz na kwiatach i wymachiwać kijem baseballowym algebry liniowej:

Trzy wektory przestrzeni spójność tych wektorów i tylko jeśli są takie same, jeśli są takie same, składanie ze współrzędnych tych wektorów przed zerem: .

Szanuję mały niuans techniczny: współrzędne wektorów można zapisać nie tylko w kolumnach, ale także w wierszach (wartość wektora się nie zmienia - patrz Potęga wektorów). Ale jest bogatsze w stovptsі, oskіlki tse vigіdnіshe do wykonania niektórych praktycznych zadań.

Tim czytelnikom, podobnie jak troshki, zapomnieli o metodach rozrahunka absolwentów, a może są w nich słabo zorientowani, polecam jedną z moich najstarszych lekcji: Jak obliczyć vyznachnik?

tyłek 6

Sprawdź, czy następujące wektory stanowią podstawę trywialnej przestrzeni:

Rozwiązanie: W rzeczywistości wszystkie decyzje są podejmowane aż do obliczenia kwoty głównej.

a) Oblicz zmienną składaną ze współrzędnych wektora_v (zmienna rozszerzania wzdłuż pierwszego rzędu):

, A więc wektory są liniowo niezależne (NIE współpłaszczyznowe) i stanowią podstawę przestrzeni trywialnej.

dowód: dane wektory i spełniają podstawę

b) Ten punkt dotyczy niezależnego rozwiązania. Więcej decyzji i powtórek na końcu lekcji.

Zustrichayutsya i pracownicy kreatywni:

tyłek 7

Przy jakiej wartości parametru wektory będą współpłaszczyznowe?

Rozwiązanie: Wektory i complanarnі odі і tіlki іtіlki іt, jeśli vyznachnik, fałdy od współrzędnych tych vectorіv dorіvnyuє zero:

W rzeczywistości trzeba być równym vyznachnikowi. Wylewa się na zero jak shulik na jerboa - wyznacznik nawigatora znalezienia się w innym rzędzie i po kolei będzie szukał minusów:

Wykonujemy dalszą rozbudowę i skręcamy w prawo do najprostszego wyrównania liniowego:

dowód: w

Tutaj łatwo jest ponownie przemyśleć, dla czego konieczne jest umieszczenie wartości w końcowym skrybie i ponowne rozważenie, więc , Rozkrivshi joga na nowo.

Na koniec przyjrzymy się jeszcze jednemu typowe zadanie, Yaka ma bardziej algebraiczny charakter i tradycyjnie włącza się do kursu algebry liniowej. Podłoga jest poszerzona, co jest zaletą blatu:

Aby sprowadzić te 3 wektory, ustal bazę przestrzeni trywimerów
znam współrzędne 4 wektora w podanej bazie

tyłek 8

Dany wektor. Pokaż, że wektory spełniają podstawę przestrzeni trywialnej i poznaj współrzędne wektora w tej bazie.

Rozwiązanie: Odbieramy to umysłem. Za umysłem podane są chotiri wektora, ja, jaka bachit, mają już współrzędne є w deaky podstawy. Jaka jest podstawa - nie drażnij nas. A krzyk jest obraźliwy: trzy wektory jako całość mogą ustanowić nową podstawę. Pierwszy etap ponownie opiera się na rozwiązaniach z przykładu 6, konieczne jest sprawdzenie, czy wektory są rzeczywiście i liniowo niezależne:

Obliczmy liczbę dodatków ze współrzędnych wektorów:

, A więc wektory są liniowo niezależne i spełniają podstawę przestrzeni podobnej do trivum.

! z szacunkiem : Współrzędne wektorowe obov'azkovo do nagrywania w stolicy vyznachnika, nie w rzędach. W przeciwnym razie będziesz oszustem w dalszym rozwiązaniu algorytmu.

Innymi słowy, liniowość grupy wektorów oznacza, że ​​istnieje środkowy wektor, który można zidentyfikować przez liniową kombinację innych wektorów w grupie.

Do przyjęcia. Również

wektor otzhe x odłogiem liniowym od wektora w grupie.

wektory x, tak, ..., z nazywane są liniowo niezależne wektory, Yakshcho z rivnosti (0)

α=β= ...= γ=0.

Tak więc grupy wektorów są liniowo niezależne, tak jak wektor nie może być reprezentowany przez liniową kombinację innych wektorów z tej samej grupy.

Wyznaczanie liniowego występowania wektorów

Podaj zadania m wektorów z rzędu w kolejności n:

Zrobivshi Gausov vynyatok, indukowana macierz (2) do górnego trikutnego wyglądu. Elementy pozostałej części kolumny zmieniają się tylko raz, jeśli wiersze są przegrupowane. Po m krótkich rozjazdach bierzemy:

de i 1 , i 2 , ..., i m - indeksy wierszy, odejmowane w przypadku możliwej permutacji wierszy. Patrząc na obcięte wiersze іndexіv іnіkіv іnclіvaєmо і, yakі іnіdpodіdat w іdіvіdіy іnіtіv іrіkіv. Wiersze Reshta ustanawiają wektory liniowo niezależne. Istotne jest to, że po złożeniu macierzy (2), zmieniając kolejność wektorów w wierszach, można wybrać inną grupę wektorów liniowo niezależnych. Ale pіdprostіr, yaku obrażony przez grupy tsі vectorіv utvoryuyuyut zbіgayutsya.