Wektory, їх moc i dії z nich

Wektory, wektory z, liniowa przestrzeń wektorowa.

Sekwencja liczb końcowych jest uporządkowana wektorowo.

Czy: 1. Mnożenie wektora przez liczbę: lambda * wektor x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n).(3,4, 0,7) * 3 \u003d (9, 12,021 )

2. Wektory składane (aby leżeć w tej samej przestrzeni wektorowej) wektor x + wektor y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Wektor 0=(0,0…0)---n E n – n-wymiarowy (przestrzeń liniowa) wektor x + wektor 0 = wektor x

Twierdzenie. Aby układ n wektorów, n-światowa przestrzeń liniowa była liniowo odłogiem, jest konieczne i wystarczające, aby jeden z wektorów był kombinacją liniową pozostałych.

Twierdzenie. Be-yaka sukupnіst n + 1. wektor n-światowej liniowej przestrzeni yavl. ugór liniowy.

Dodawanie wektorów, mnożenie wektorów przez liczby. Vіdnіmannya vektorіv.

Suma dwóch wektorów nazywana jest wektorem, wyprostowanym od kolby do końca wektora, aby mieć świadomość, że kolba pochodzi z końca wektora. Tak jak wektory są ustalane przez ich układy zgodnie z wektorami jednostek bazowych, kiedy wektory są składane, ich odpowiednie współrzędne są dodawane.

Rzućmy okiem na przykład kartezjańskiego układu współrzędnych. Daj spokój

Pokażmy co

Z kochanie 3 możesz to zobaczyć

Sumę dowolnej końcowej liczby wektorów można znaleźć za regułą bagatokutnika (ryc. 4): aby wywołać sumę końcowej liczby wektorów, wystarczy wziąć ucho wektora ofensywnego skóry za pomocą koniec przedniego i indukuj wektor, który idzie za uchem pierwszego wektora, ostatnim z pozostałych.

Siła operacji składania wektorów:

W cich virase m, n to liczby.

Różnicę wektorów nazywamy wektorem.Innym dodatkowym wektorem jest wektor, wektor protile za linią prostą, ale równy drugiej.

W ten sposób operacja przesuwania wektora zostaje zastąpiona operacją składania

Wektor, którego kolba znajduje się na kolbie współrzędnych, a koniec - w punkcie A (x1, y1, z1) nazywany jest wektorem promienia punktu A i lub po prostu. Odłamki współrzędnych Yogo zbіgayutsya ze współrzędnymi punktu A, można zobaczyć układ Yogo na wektorach

Wektor, który może zaczynać się w punkcie A(x1, y1, z1) i kończyć w punkcie B(x2, y2, z2)

de r 2 - wektor promienia punktu; r 1 jest wektorem promienia punktu A.

W związku z tym można zobaczyć układ wektora pod względem wektorów

Yogo dozhina jest piękniejsza między punktami A i B

ZWIELOKROTNIAĆ

Tak więc w przypadku płaskich problemów dodanie wektora na a = (ax; ay) do liczby b znajduje się za wzorem

a b = (ax b; ay b)

Przykład 1. Znajdź przyrost wektora a = (1; 2) o 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Tak więc w przypadku problemu przestrzennego zwiększenie wektora a = (ax; ay; az) o liczbę b znajduje się za formułą

a b = (ax b; ay b; az b)

Przykład 1. Znajdź przyrost wektora a = (1; 2; -5) o 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Skalarny dobootok vector_v to de - cięcie między wektorami i; yakscho abo, więc

Z punktu widzenia stworzenia skalarnego wołasz, że

de, na przykład, є wartość rzutu wektora bezpośrednio na wektor .

Skalarny wektor kwadratowy:

Siła kreacji skalarnej:

Obrót skalarny we współrzędnych

Yakscho następnie

Kut miż wektory

Cut between vectors – cięcie pomiędzy liniami prostymi pomiędzy wektorami (najmniejsze cięcie).

Vector TV (TV wektorowa dwóch wektorów) Pseudowektor tse, prostopadły do ​​płaszczyzny, pobudovanoї na dwóch mnożnikach spіv, który jest wynikiem operacji binarnej „mnożenie wektora” na wektorach w trywialnej przestrzeni euklidesowej. Twіr nie jest ani przemienny, ani asocjacyjny (jest є antyprzemienny) i działa jak skalarny wektor dobutku. W przypadku wielu zadań inżynierskich i fizycznych konieczne jest, aby matka mogła być wektorem prostopadłym do dwóch rzeczywistości - telewizja wektorowa ma być możliwa. Wydłużenie wektorowe corisny dla „odwrócenia” prostopadłości wektorów jest długością wydłużenia wektorowego dwóch wektorów w kierunku wydłużenia ich dziesiątek, ponieważ są prostopadłe, i zmienia się na zero, ponieważ wektory są równoległe lub antyrównoległy.

Wektorowy tvir był przypisywany tylko trywimerowi i siedmiu przestrzeniom świata. Wynik tworzenia wektorów, takich jak skalar, leży w metryce przestrzeni euklidesowej.

Ze względu na wzór na obliczanie współrzędnych wektorowego obiektu skalarnego w trójwymiarowym prostokątnym układzie współrzędnych, wzór na to, aby obiekt wektorowy leżał w orientacji prostokątnego układu współrzędnych, czyli „chiralność”

Kolinearność wektorów.

Dwa niezerowe (różne od 0) wektory nazywane są współliniowymi, ponieważ leżą na liniach równoległych lub na tej samej linii. Jest to dopuszczalne, ale nie zalecane jako synonim - wektory „równoległe”. Wektory współliniowe mogą być wyprostowane tak samo („kierunki”), jak i przeciwnie (w pozostałym przypadku nazywane są czasami „antykoliniowymi” lub „antyrównoległymi”).

Zmіshane viroblennya vektorіv ( a, b, c)- rozszerzenie skalarne wektora a na rozszerzenie wektora b i c:

(a, b, c) = a ⋅ (b × c)

czasami nazywa się to trinarnym skalarnym tworzeniem wektorów, być może poprzez te, których wynikiem jest skalar (dokładniej pseudoskalar).

Geometryczny zmist: moduł kreacji zmіsha jest liczbowo lepszy od obowiązku równoległościanu wykonanego przez wektory (a, b, c) .

moc

Zmіshané tvir jest skośno-symetryczny w stosunku do wszystkich swoich argumentów: tj. e. permutacja tego, czy istnieją dwa spіvmulnikiv, zmienia znak stworzenia. Wyniki pokazują, że zmiana oprócz prawego kartezjańskiego układu współrzędnych (w bazie ortonormalnej) jest bliższa wektorowi macierzy złożonej z wektora i:

Zmiany oprócz lewego kartezjańskiego układu współrzędnych (w bazie ortonormalnej) są równe desygnatorowi macierzy, złożonemu z wektorów i wziętemu ze znakiem „minus”:

Zokrema,

Jakby były dwa wektory i równoległe, to przy trzecim wektorze smród spowoduje zamieszanie, które jest równe zeru.

Istnieją trzy wektory, które są liniowo odłogiem (to znaczy są współpłaszczyznowe, leżą na tej samej płaszczyźnie), a ich odchylenia są równe zeru.

Geometryczny zmist - Zmіshane tvіr dla bezwzględnej wartości obowiązkowych paralepid (boskich maluszków), składających się z wektorów ja; znak, aby złożyć depozyt w porządku, chi є tsya triyka vektor_v prawo chi leva.

Zgodność wektorów.

Trzy wektory (lub więcej) nazywane są koplanarnymi, tak jakby smród zredukowany do kolby leżał na tej samej płaszczyźnie

Dominacja współpłaszczyznowości

Jeśli chcesz, aby jeden z trzech wektorów był pusty, to te trzy wektory mogą być również współpłaszczyznowe.

Trio wektorów do pomszczenia pary współliniowych wektorów, które są współpłaszczyznowe.

Zmishane tvir wektory współpłaszczyznowe. Ce jest kryterium współpłaszczyznowości trzech wektorów.

Wektory towarzyszące - odłogi liniowe. Tse jest również kryterium współpłaszczyznowości.

W przestrzeni trzech światów podstawę stanowią 3 wektory niewspółpłaszczyznowe

Wektory liniowo odłogi i liniowo niezależne wektory.

Odłogi liniowe i niezależne systemy wektorowe.Wizyta, umówione spotkanie. System wektorowy nazywa się ugór liniowy jeśli tylko jedna nietrywialna kombinacja liniowa tych wektorów, która jest równa wektorowi zerowemu. W każdym razie w takim razie. po prostu trywialna liniowa kombinacja tych wektorów do wektora zerowego, wektory nazywają się liniowo niezależny.

Twierdzenie (kryterium liniowe odłogiem). Aby układ wektorów w przestrzeni liniowej był liniowo odłogiem, konieczne i wystarczające jest przyjęcie jednego z tych wektorów w kombinacji liniowej pozostałych.

1) Jeśli środkowy wektor jest, jeśli chcesz mieć jeden wektor zerowy, to cały system wektorów jest odłogiem liniowym.

To prawda, jak na przykład vvahayuchi, może nietrywialna kombinacja liniowa.

2) Gdy tylko środkowe wektory zostaną ustalone liniowo odłogiem, to cały system jest liniowo odłogiem.

Tak, niech to będą wektory, depozyty liniowe. Jest to również nietrywialna kombinacja liniowa, podobna do wektora zerowego. Ale todi, zgaduję bierzemy również nietrywialną kombinację liniową równą wektorowi zerowemu.

2. Podstawa i rozmirnist. Wizyta, umówione spotkanie. Układ wektorów liniowo niezależnych przestrzeń wektorowa nazywa się podstawa tho przestrzeni, tak jakby wektor mógł być reprezentowany przez liniową kombinację wektorów w systemie, czyli. dla wektora skóry więc, co może być miejscem zazdrości Zazdrość Tsya nazywa się? układ wektorowy za podstawą , a liczbami nazywa się współrzędne wektora zgodnie z bazą(Inaczej w bazie) .

Twierdzenie (o jedności układu za podstawą). Skórkę wektora można rozszerzyć poza podstawę. jeden stopień, tobto. współrzędne wektora skóry u podstawy wyróżniają się wyraźnie.

Zadanie 1. Z'yasuvati, chi system wektorów jest liniowo niezależny. Układ wektorów jest określony przez macierz układu, której kolumny są sumowane ze współrzędnych wektorów.

.

Rozwiązanie. Kombinacja chodź na linii równa się zero. Po zarejestrowaniu zrównoważenia qiu we współrzędnych przyjmujemy następujący system zrównoważenia:

.

Taki system równości nazywa się trikut. Jest tylko jedno rozwiązanie . Ojciec, wektory liniowo niezależny.

Zadanie 2. Z'yasuvati, chi є liniowo niezależny układ wektorów.

.

Rozwiązanie. Wektory liniowo niezależny (zadanie dz. 1). Załóżmy, że wektor jest liniową kombinacją wektorów . Współczynniki układu dla wektorów wycofany z systemu wyrównawczego

.

System Tsya jest trudny, jest tylko jedno rozwiązanie.

Ojciec, system wektorów liniowo odłogiem.

Szacunek. Macierze tego rodzaju, podobnie jak w zadaniu 1, nazywamy zdradliwy i zadania 2 - często trudne . Odżywianie liniowego odłogu układu wektorów jest łatwe do pomyłki, podobnie jak macierz, złożona ze współrzędnych tych wektorów, często jest trójkątna. Jeśli matryca nie ma specjalnego wyglądu, to o pomoc elementarna transformacja wierszy , Scho zberіgayut linear spіvvіdnoshennia mіzh stovptsami, її można zredukować do podobnie trudnego wyglądu.

Przekształcenia elementarne rzędów macierze (EPS) nazywamy kolejnymi operacjami na macierzy:

1) permutacja wierszy;

2) mnożenie rzędu na danej liczbie zerowej;

3) dodanie do rzędu następnego rzędu, pomnożone przez określoną liczbę.

Zadanie 3. Znajdź maksymalny podukład liniowo niezależny i oblicz rząd układu wektorów

.

Rozwiązanie. Skierujmy macierz systemu za pomocą NPS do podobnego często trudnego wyglądu. Aby wyjaśnić kolejność wykonywania, wiersz z numerem matrycy, która jest przekształcana, jest oznaczony symbolem . Z tyłu kolumny strzałki są pokazane nad rzędami matrycy, ponieważ konieczne jest pokonanie, aby usunąć rzędy nowej matrycy.

.

Jest oczywiste, że dwie pierwsze kolumny pominiętej macierzy są liniowo niezależne, trzecia kolumna jest tą samą kombinacją liniową, a czwarta kolumna nie może być umieszczona w dwóch pierwszych. Wektory nazywane są podstawowymi. Ustalają maksymalny liniowo niezależny podsystem systemu , A ranga systemu to trzy.

Podstawa, współrzędne

Zadanie 4. Znajdź podstawę i współrzędne wektorów, na których podstawie na bezosobowych wektorach geometrycznych, których współrzędne zadowalają umysł .

Rozwiązanie. Bagato є mieszkanie, scho, aby przejść przez kolbę współrzędnych. Dodatkową bazę na płaszczyźnie tworzą dwa wektory niewspółliniowe. Współrzędne wektorów w wybranej podstawie są określane przez system wyrównań liniowych rozvyazkoy vydpovidnoy.

Іsnuє th іnshіy sposіb vyvіshennya tsgogo zavdannya, jeśli znasz podstawę współrzędnych.

Współrzędne otwarta przestrzeń ze współrzędnymi na mieszkaniu to nie jest niezależne. Zmienne niezależne i (nazywane są wolnymi) jednoznacznie przypisują wektor na obszarze i, dlatego mogą być brane ze współrzędnymi w . Ta sama podstawa składa się z wektorów, które leżą w różnych zbiorach swobodnych zmian і , następnie .

Zadanie 5. Znać bazę i współrzędne wektorów dla każdej bazy na bogatych wektorach w przestrzeni, dla których niesparowane współrzędne są sobie równe.

Rozwiązanie. Vibero, podobnie jak ja w zadaniu do przodu, koordynuje w przestrzeni.

więc jaka , to się zmienisz jednoznacznie przypisz wektorowi i, a następnie є współrzędne. Podstawa zmiennej składa się z wektorów.

Zadanie 6. Znajdź bazę i współrzędne wektorów w których bazie na bezosobowych macierzach wszystkich , de - Całkiem sporo.

Rozwiązanie. Macierz skóry h jest jednoznacznie reprezentowana w widoku:

Tse spіvіdnoshennia є razladannyam wektor z podstawa
ze współrzędnymi .

Zadanie 7. Znajdź rozwinięcie i podstawę obwiedni liniowej układu wektorów

.

Rozwiązanie. Przeróbmy macierz ze współrzędnymi wektora w systemie dla pomocy EPS do podobnie skomplikowanego wyglądu.

.

Stovptsi pozostałe macierze są liniowo niezależne, a pozostałe macierze liniowo vrazhayutsya krіz je. Ojciec, wektory ustalić podstawę , і .

Szacunek. Podstawa tak wybrane niejednoznacznie. Na przykład wektor również ustalić podstawę .

System wektorowy nazywa się ugór liniowy, yakshcho іsnuyet takі liczby, wśród yakhocha chciałby być jednym vіdminno vіd zero, scho vykonuєtsya równowaga. >.

Jak zrównoważenie może wygrać tylko w takim przypadku, jeśli wszystko, to układ wektorów nazywa się liniowo niezależny.

Twierdzenie. System wektorowy będzie ugór liniowy wtedy i tylko wtedy, jeśli chcesz, aby jeden z wektorów її był liniową kombinacją innych.

Przykład 1. Bogaty członek є liniowa kombinacja bogatych segmentów. Bogate terminy, aby stać się liniowo niezależnym systemem, tak jak bogaty członek https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

tyłek 2. System matryc, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" .ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height= "21"> /images/image022_26.gif" width="40" odłogiem liniowym.

Rozwiązanie.

Przechowujemy liniową kombinację tych wektorów https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" 22">.

Biorąc pod uwagę te same współrzędne równych wektorów, przyjmujemy szerokość="289" wysokość="69">

Pozostały

і

System może mieć jedno trywialne rozwiązanie, więc liniowa kombinacja tych wektorów osiąga zero więcej niż jeden raz, jeśli wszystkie współczynniki osiągną zero. Tomek dany system vector_v liniowo niezależny.

tyłek 4. Wektory są liniowo niezależne. Jakie będą systemy wektorów?

a).;

b).?

Rozwiązanie.

a). Dodajemy kombinację liniową i przyrównujemy ją do zera

Vykoristovuyuchi moc operacji z wektorami w przestrzeni liniowej, przepiszemy pozostałą równoważność wizualnej

Ponieważ wektory są liniowo niezależne, współczynniki winy muszą być równe zeru, a więc gif.

System Otrimana jest równy, jest tylko jedno trywialne rozwiązanie .

Oskіlki rivnіst (*) vykonuєtsya tylko w – liniowo niezależny;

b). Przechowywanie równości https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" (**)

Zastosovuyuchi analogiczne mirkuvannya, otrimaєmo

Virishyuchi system wyrównywania metodą Gaus, jest konieczny

lub

Reszta systemu to bezosobowe rozwiązanie https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Zazdrość wygrywa (**) . Ojciec, system wektorów - Odłogi liniowe.

tyłek 5 System wektorowy jest liniowo niezależny, a system wektorowy jest liniowo niezależny. gif. (***)

na zazdrość (***) . Rzeczywiście, system był liniowo odłogowany.

Zі spіvіdnoshennia (***) do przyjęcia lub Znacznie .

Na wynos

Zadanie dla niezależne rozwiązanie(wśród publiczności)

1. System, który mści wektor zerowy, jest odłogiem liniowym.

2. System składający się z jednego wektora ale, liniowo odłogiem nawet i mniej, jeśli, a=0.

3. System, który składa się z dwóch wektorów, jest odłożony liniowo tylko wtedy, gdy wektory są proporcjonalne (czyli jeden z nich pochodzi z najmniejszego mnożenia przez liczbę).

4. Jeśli dodasz wektor do liniowego systemu ugoru, zobaczysz liniowy system ugoru.

5. Ponieważ z układu liniowo niezależnego można zobaczyć wektor, układ wektorów jest liniowo niezależny.

6. System Yakscho S liniowo niezależny, ale staje się liniowo odłogiem po dodaniu wektora b, to wektor b liniowo wygina się przez wektory układu S.

C). System macierzy ma inny porządek dla macierzy.

10. Niech układ wektorów a,b,C przestrzeń wektorowa jest liniowo niezależna. Aby zapewnić liniową niezależność ofensywnych systemów wektorowych:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– wystarczająca liczba

C).a+b, a+c, b+c.

11. Daj spokój a,b,C- trzy wektory na płaskiej powierzchni, wśród nich można złożyć tricutnik. Wektory chi qi będą liniowo odłogiem?

12. Biorąc pod uwagę dwa wektory a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Wybierz jeszcze dwa wektory chotirivimir a3 ia4 więc system szorowania a1,a2,a3,a4 bula liniowo niezależna .

Wizyta, umówione spotkanie. Liniowa kombinacja wektorów a 1 , ..., a n

x 1 za 1 + ... + x n za n.

trywialny więc wszystkie współczynniki x 1 , ..., x n są równe zeru.

Wizyta, umówione spotkanie. Kombinacja liniowa x 1 a 1 + ... + x n a n jest nazywana nietrywialne, nawet jeśli jeden ze współczynników x 1, ..., x n nie jest równy zero.

liniowo niezależny, więc nie ma nietrywialnej kombinacji tych wektorów równej wektorowi zerowemu .

Zatem wektory a 1 ..., a n są liniowo niezależne, jak x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 nawet i tylko wtedy, gdy x 1 = 0, ..., x n = 0.

Wizyta, umówione spotkanie. Wektory a 1 , ..., a n są nazywane ugór liniowy yakscho іsnuє nietrywialne połączenie wektora zerowego tsikh vector_v do_vnyuє.

Dominacja liniowych odłogów:

Dla 2 i 3 wektorów świata.

Dwie linie daniel wektor- współliniowy. (Wektory Kolіnearnі - depozyty liniowe.) .

Dla trzech pokojowych wektorów.

Trzy odłogi liniowe — współpłaszczyznowe. (Trzy współpłaszczyznowe wektory - osady liniowe.)

• Dla n-tych wektorów.

  n + 1 wektor depozytów liniowych.

Zastosuj zadanie do liniowej niezależności i liniowej niezależności wektorów:

Przykład 1. Odwrócenie wektora a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) są liniowo niezależne.

Rozwiązanie:

Wektory będą liniowo odłogiem, wektory skalujące będą mniejsze dla liczby wektorów.

Przykład 2. Odwrócenie wektora a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) są liniowo niezależne.

Rozwiązanie:

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + x3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

z pierwszego rzędu widać drugi; do trzeciego rzędu dodamo inny:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

To rozwiązanie pokazuje, że układ może wykonać rozwiązanie bezosobowe, tak aby miał niezerową kombinację wartości liczb x 1 x 2 x 3 taką, że kombinacja liniowa wektorów a, b, c jest równa wektor zerowy, na przykład:

A + b + c = 0

a tse oznacza, że ​​wektory a, b, c są depozytami liniowymi.

Sugestia: wektory a, b, c są liniowo odłogiem.

Przykład 3. Odwrócenie wektora a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) są liniowo niezależne.

Rozwiązanie: Znamy wartość współczynników dla dowolnej kombinacji liniowej tych wektorów w wektorze zerowym.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Wyrównanie wektora Tse można zarejestrować w wizualnym systemie wyrównań liniowych

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + 2x3 = 0

Sprawdzamy system vicorist metodą Gaussa

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

z innego rzędu widać pierwszy; z trzeciego rzędu widzimy pierwszy:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

z pierwszego rzędu widać drugi; do trzeciego rzędu dodamo inny.

odłogiem liniowym liniowa niezależność wektor_v.
Bazy wektorowe. Ateński układ współrzędnych

W audytorium jest dużo czekoladek, a kilka lukrecji będzie mogło dziś umknąć spod skóry - geometria analityczna z algebrą liniową. Ten artykuł zostanie podzielony na dwa splity zaawansowana matematyka i zastanawiamy się, jak smród przyzwyczaja się do jednego pagórka. Zrób sobie przerwę, s'zh „Tviks”! ... kochanie, cóż, super mała dziewczynka. Jak chcę, to nie strzelę, przepraszam, mogę mieć dobry nastrój do treningu.

Odłogi liniowe wektorów, liniowa niezależność wektorów, podstawa wektorowa termin ten może być nie tylko interpretacją geometryczną, ale przede wszystkim sensem algebraicznym. Samo pojęcie „wektora” z punktu widzenia algebry liniowej jest dalekie od bycia wektorem „nadrzędnym”, który możemy przedstawić na płaszczyźnie przestrzeni. Nie musisz daleko szukać dowodu, spróbuj namalować wektor przestrzeni pięciowymiarowej. . Abo poczekaj, dla niektórych poszedłem do Gіsmeteo: - temperatura i ciśnienie atmosferyczne są dobre. Dołek oczywiście nie jest poprawny z punktu widzenia autorytetu przestrzeni wektorowej, ale nic nie stoi na przeszkodzie, aby sformalizować dane przez parametry i wektor. Oddech jesieni.

Cześć, nie mam zamiaru kusić Cię teorią, liniowymi przestrzeniami wektorowymi, problem w tym Rozumiesz definicja tego twierdzenia. Nowe terminy (depozyt liniowy, niezależność, kombinacja liniowa, baza itp.) są przymiotnikami do wszystkich wektorów z punktu widzenia algebry, ale zastosowanie zostanie podane geometrycznie. W tym rankingu wszystko jest proste, dostępne od pierwszego wejrzenia. Geometria analityczna Krіm zavdan jest uważana za typowe zadanie algebry. Aby opanować materiał, należy nauczyć się lekcji Wektory do czajnikówі Jak liczyć?

Ugór liniowy i niezależność wektora w płaszczyźnie.
Podstawa obszaru i układ współrzędnych powinowactwa

Przyjrzyjmy się obszarowi twojego biurko komputerowe(tylko stolik, szafki nocne, bale, stele, ktokolwiek tego potrzebuje). Lider pola w najbliższych dniach:

1) Wybierz podstawę obszaru. Z grubsza kazhuchi, stіlnitsa maє dovzhina w szerokości, intuicyjnie zdano sobie sprawę, że do stymulacji podstawy potrzebne są dwa wektory. Jeden wektor to zdecydowanie za mało, trzy wektory to zayva.

2) Na podstawie odwróconej podstawy ustaw układ współrzędnych(siatka współrzędnych), aby przypisać współrzędne do wszystkich obiektów znajdujących się na stole.

Nie zdziw się, wyjaśnienie będzie na palcach. I na twoim. Bądź miły, wybacz wyrazisty palec lewej ręki do krawędzi stylu, tak że podziwiałem monitor. Tse będzie wektorem. Teraz miejsce mały palec prawej ręki na krawędzi stołu tak po prostu - schob buv prostujący się na ekranie monitora. Tse będzie wektorem. Uśmiechnij się, wyglądasz cudownie! Co możesz powiedzieć o wektorach? Wektory danych współliniowy, co znaczy liniowo odwróć jeden do jednego:
, cóż, chi navpaki: , de - liczba deake, vіdmіnne vіd zero.

Obraz przedstawiający działanie, które można obejrzeć na lekcji Wektory do czajników De wyjaśniłem zasadę mnożenia wektora przez liczbę.

Chi, czy twoje palce postawią podstawę na stole komputerowym? Oczywiście nie. Kolіnearnі wektory i wzrost cen tu i tam sam na wprost, a obszar może być dłuższy i szerszy.

Takie wektory nazywają się ugór liniowy.

Wniosek: Słowa „liniowe”, „liniowe” oznaczają te rzeczy, które mają matematyczne równania, nie ma kwadratów, sześcianów, innych kroków, logarytmów, sinusów. Є tіlki linіynі (1. etap) przeciwko ugorowi.

Dwie płaszczyzny wektorowe depozyty liniowe wtedy i tylko wtedy, jeśli smród jest kolinearny.

Krzyżuj palce na stole, aby między nimi był jak cięcie Krymu 0 lub 180 stopni. Dwie płaszczyzny wektoroweliniowo nie w tym nieświeży i mniej, bo smród nie jest współliniowy. Otzhe, podstawa jest zabrana. Nie musisz się martwić, że podstawa widoków jest „skoszona” nieprostopadłymi wektorami o różnej długości. Nie jest dla mnie niczym niezwykłym, że w jodze wyrostek ma nie tylko 90 stopni i nie tylko pojedynczy, równy staremu wektorowi.

Be-yaky płaski wektor jeden stopień rozbudowana wg podstawy:
, de - dіysnі numery. Numery połączeń współrzędne wektora na jakiej podstawie.

Wygląda więc na to, że wektorwystępy na widok kombinacja liniowa wektory bazowe. Tobto viraz nazywa się układ wektorowypodstawa lub kombinacja liniowa wektory bazowe.

Na przykład można powiedzieć, że wektor układów znajduje się za bazą ortonormalną płaszczyzny, lub można powiedzieć, że reprezentacje liniowej kombinacji wektorów są błędne.

Formułować przypisanie do podstawy formalnie: Podstawa obszaru nazywana jest para liniowo niezależnych (niewspółliniowych) wektorów, , w którym bądź jak Wektor płaski jest kombinacją liniową wektorów podstawowych.

Już sam moment powołania to fakt, że wektory są brane w kolejności piosenek. Basisi - istnieją dwie zupełnie różne bazy! Jak się wydaje, małego palca lewej ręki nie można przenieść na mały palec prawej ręki.

Opracowaliśmy podstawy, ale nadal nie wystarczy ustawić siatkę współrzędnych i przyporządkować współrzędne do obiektu skórki stołu komputerowego. Dlaczego tęskniłeś? Wektory vіlnimi i rozmazują się na całej płaszczyźnie. Jak więc przypisać współrzędne do tych małych wędrownych punktów na stole, które zostały pozostawione po burzliwym weekendzie? Wymagana wskazówka. І taki punkt orientacyjny jest wszystkim znanym punktem - kolbą współrzędnych. Jest wybierany z układu współrzędnych:

Zacznę od organizacji „szkolnych”. Już na lekcji wstępnej Wektory do czajników Widziałem czyny rozpoznania między prostokątnym układem współrzędnych a bazą ortonormalną. Standardowy obraz osi:

Mówiąc o prostokątny układ współrzędnych, najczęściej używa się kolby współrzędnych, osi współrzędnych i skali wzdłuż osi. Spróbuj wpisać w wyszukiwarkę „prostokątny układ współrzędnych”, a powiesz mi, że warto opowiedzieć Ci o znajomości 5-6 klasy osi współrzędnych oraz o tym, jak umieszczać punkty na płaszczyźnie.

Z drugiej strony istnieje efekt polegający na tym, że prostokątny układ współrzędnych można określić jako całość za pomocą bazy ortonormalnej. І tse mayzhe tak. Formuła brzmi tak:

kolba współrzędnych, і ortonormalizacja ustaw podstawę Kartezjański prostokątny układ współrzędnych płaszczyzny . To jest prostokątny układ współrzędnych Zdecydowanie są reprezentowane przez jeden punkt i dwa pojedyncze wektory ortogonalne. Właśnie z tego powodu potrzebujesz krzesła, bo zaszczepiłem vishche - in problemy geometryczne często (choć nie zavzhd) malują wektory, osie współrzędnych.

Chyba każdy zrozumiał, że dla dodatkowego punktu (kola współrzędnych), który jest ortonormalny do bazy PUNKTY BE-YAKIY obszaru i WEKTOR BE-YAKIYA obszaru możesz przypisać współrzędne. Najwyraźniej w przenośni „wszystko można ponumerować na kwadracie”.

Czy wektory współrzędnych mogą być pojedyncze? Nі, smród może matka dovіlnu niezerowa dovzhina. Przyjrzyjmy się punktowi i dwóm wektorom ortogonalnym oraz wartościom dość niezerowym:

Taka podstawa nazywa się prostokątny. Kolba współrzędnych z wektorami wyznacza siatkę współrzędnych i czy jest to punkt płaszczyzny, czy to wektor, który zapisuje na tej podstawie jego współrzędne. Na przykład lub. Oczywista nieudolność polega na tym, że wektory współrzędnych na szczycie wzgórza opłakiwać różne życia, vіdminnі vіd odinitsі. Jak tylko samotność się wyrówna, wtedy wyjdzie pierwotna baza ortonormalna.

! Notatka : w bazie ortogonalnej, a także niżej w bazach ateńskich brane są pod uwagę płaszczyzny i przestrzeń jednej wzdłuż osi UMOVIMI. Na przykład w jednej jednostce wzdłuż osi odciętych jest 4 cm, w jednej jednostce wzdłuż osi rzędnych 2 cm.

A inne jedzenie, na jaku, to naprawdę dowód - jaki obov'yazykovo kut między wektorami bazowymi może osiągnąć 90 stopni? Hej! Jak potwierdzić spotkanie, podstawowe wektory i składki mniej niż niewspółliniowe. Vіdpovidno kut mozhe buti be-yakim, krіm 0 i 180 stopni.

Punkt płaszczyzny, jak to się nazywa kolba współrzędnych, і niewspółliniowe wektory , , ustawić afiniczny układ współrzędnych płaszczyzny :

Innymi słowy, taki układ współrzędnych nazywa się spleciony system. Jak zastosować punkty i wektory na obrazie fotela:

Jak wiecie, ateński układ współrzędnych jest mniej łatwy, nie używają formuł na wektory i vdrіzkiv, jak przyjrzeliśmy się drugiej części lekcji Wektory do czajników, bogato pikantne formuły, pov'yazanі z skalarne tworzenie wektorów. Do tego dochodzą uczciwe zasady składania wektora i mnożenia wektora przez liczbę, wzory na dzielenie na dane wyrażenie, a także łamania typów zadań, na które łatwo możemy się przyjrzeć.

A visnovok jest taki, że jest to najwygodniejszy sposób na wywołanie punktu ateńskiego układu współrzędnych - prostokątnego układu kartezjańskiego. Do tego її, wolałbym najczęściej i być sprowadzony do bachiti. ... Tymczasem wszystko w tym życiu jest jasne - mało jest sytuacji, w których sama rzeka jest przekrzywiona (inaczej np. polarny) system współrzędnych. Te humanoidy mogą cieszyć się takimi systemami =)

Przejdźmy do części praktycznej. Usі zavdannya ta lekcja jest tak samo jak układ współrzędnych pod kątem prostym, więc zagalnogo ateński vpadku. Nie ma tu nic składanego, cały materiał jest dostępny dla ucznia.

Jak zdefiniować współliniowość wektora na płaszczyźnie?

Typowa rzeka. Aby mieć dwa wektory i obszary być współliniowe, konieczne i wystarczające, aby ich odpowiednie współrzędne były proporcjonalne. W rzeczywistości jest to szczegółowa koordynacja oczywistej spivvіdnoshenya.

tyłek 1

a) Rewers, wektory współliniowe chi .
b) Chi ustala podstawę wektora ?

Rozwiązanie:
a) Dlaczego, co jest ważne dla wektorów współczynnik proporcjonalności taki, że równości były zwycięskie:

Obov'yazkovo rozpovіm o „pіzhonskiy” wariancie zasad zastosuvannya tsgogo, który krąży w praktyce. Pomysł polega na tym, że od razu zsumujesz proporcje i zastanawiasz się, czy masz rację:

Dodajmy proporcje podanych współrzędnych wektorów:

wkrótce:
, w tej kolejności odpowiednie współrzędne są proporcjonalne,

Oprawę można złożyć i złożyć, co jest cenną opcją:

W celu samodzielnej weryfikacji można zmienić te, które są wektorami współliniowymi i liniowo zagiąć jeden do jednego. Z tego punktu widzenia istnieje miejsce równoważności . Twoja uczciwość jest łatwo perveryaetsya poprzez elementarne podziały z wektorami:

b) Dwa wektory i płaszczyzny tworzą bazę, tak jakby były współliniowe (liniowo niezależne). Doslіdzhuєmo na kolіnearnіst vektori . Zbudujmy system:

Od pierwszego równego krzyczysz, scho, od drugiego równego krzyczysz, och, system jest szalony(Nie ma rozwiązania). W ten sposób odpowiednie współrzędne wektorów nie są proporcjonalne.

Visnovok: wektory są liniowo niezależne i tworzą bazę.

Uproszczona wersja rozwiązania wygląda tak:

Dodajemy proporcje podanych współrzędnych wektorów :
, Otzhe, wektory qi i liniowo niezależne i stanowią podstawę.

Wywołaj tę opcję, aby odrzucić recenzentów, ale obwiniaj problem za awarie, jeśli współrzędne są równe zeru. oś w ten sposób: . Abo tak: . Abo tak: . Jak mogę tutaj pracować proporcjonalnie? (Naprawdę nie można dzielić przez zero). Z tego samego powodu nazwałem prostsze rozwiązanie „pizhonsky”.

Sugestia: a), b) zatwierdza.

Mały kreatywny przykład niezależnej wizji:

tyłek 2

Dla dowolnej wartości parametru wektora będzie współliniowe?

W przypadku rozwiązania parametr znajduje się za pomocą proporcji.

Stosujemy metodę algebry ponownej weryfikacji wektorów pod kątem kolinearności.

Dla dwóch wektorów w obszarze twardości równoważnej:

2) wektory i ustalenie podstawy;
3) wektory nie są współliniowe;

+ 5) oscylator, fałdy ze współrzędnych tych wektorów, vіdminny vіd zero.

Widpowidno, równoważna twardość wydłużenia stopy:
1) depozyty wektorowe i liniowe;
2) wektory nie spełniają podstawy;
3) wektory i współliniowe;
4) wektory można odwracać liniowo jeden do jednego;
+ 5) wektor, składający się ze współrzędnych tych wektorów, prowadzący do zera.

Jestem już przekonany, że w danej chwili zrozumiałeś już wszystkie terminy, których się nauczyłeś i potwierdziłeś.

Rzućmy okiem na nowy raport, akapit piąty: dwa wektory i mieszkania kolіnearnі thodі і tіlki tіlki tоdі, jeśli vyznachnik, składa się ze współrzędnych tych vector_v, do_vnyuє zero:. W przypadku znaków zastosuvannya tsієї oczywiście należy pamiętać poznaj wizjonerów.

Wiriszima Przykład 1 w inny sposób:

a) Obliczenie liczby wektorów, dodanie współrzędnych wektorów :
, także wektory q i współliniowe.

b) Dwa wektory i płaszczyzny tworzą bazę, tak jakby były współliniowe (liniowo niezależne). Obliczanie liczby wektorów, składanie współrzędnych wektorów :
, Otzhe, wektory są liniowo niezależne i stanowią podstawę.

Sugestia: a), b) zatwierdza.

Wygląda znacznie bardziej kompaktowo i ładniej, niższe rozwiązanie o proporcjach.

Za pomocą badanego materiału można ustalić współliniowość wektorów, a także doprowadzić do równoległości linii prostych. Przyjrzyjmy się kilku zadaniom z konkretnych kształtów geometrycznych.

tyłek 3

Biorąc pod uwagę szczyty chotirikutnik. Przynieś, że chotirikutnik to równoległobok.

Przynoszący: Fotel w zadaniu nie będzie potrzebny, odłamki rozwiązania będą czysto analityczne
równoległobok nazywa się chotirikutnik, który ma przeciwległe boki parami równolegle.

W tej kolejności należy zabrać ze sobą:
1) równoległość przeciwległych stron;
2) równoległość przeciwległych stron.

Przynosimy:

1) Znamy wektory:

2) Znamy wektory:

Wijszow to ten sam wektor („według szkoły” - równe wektory). Kolіnearnіst jest już oczywiste, ale lepiej jest odpowiednio ułożyć rozwiązanie, z aranżacją. Obliczmy liczbę wektorów, składając współrzędne wektorów:
, Otzhe, wektory qі i kolinearnі, ja .

Visnovok: Protilezhnі boki chotirikutnik w parach równolegle, otzhe, w є równoległoboku na spotkania. Co zajęło, aby przynieść?.

Więcej liczb dobrych:

tyłek 4

Biorąc pod uwagę szczyty chotirikutnik. Aby przynieść, scho chotirikutnik є trapezієyu.

Aby uzyskać suvoryczną formułę, udowodnij to piękniej, wspaniale, narysuj oznaczenie trapezu i po prostu uzupełnij i po prostu zgadnij, jakby wyglądał.

Tse zavdannya niezależna decyzja. Rozwiązanie zewnętrzne jak lekcja.

A teraz nadszedł czas, aby powoli przenieść się z mieszkania na otwartą przestrzeń:

Jak wyznaczyć współliniowość wektora w przestrzeni?

Zasada jest podobna. Aby dwa wektory do przestrzeni były współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby ich odpowiednie współrzędne były proporcjonalne.

tyłek 5

Z'yasuvati, chi kolіnearnі będzie postępowymi wektorami i przestrzenią:

ale);
b)
w)

Rozwiązanie:
a) Odwracalnie, chi jest współczynnikiem proporcjonalności dla różnych współrzędnych wektorów:

System nie może być rozwiązany, dlatego wektory nie są współliniowe.

„Sproschenkę” tworzy proporcja. W tym widoku:
– współrzędne względne nie są proporcjonalne, więc wektory nie są współliniowe.

Sugestia: wektory nie są współliniowe.

b-c) To są punkty samodzielnej decyzji. Spróbuj udekorować jogę na dwa sposoby.

Użyj metody ponownej weryfikacji wektorów przestrzennych pod kątem współliniowości poprzez zmienną trzeciego rzędu, ta metoda jest pokazana w artykule Wektor TV wektor.

Podobnie jak w przypadku widoku płaskiego wzroku narzędzi, może on stać w stagnacji ze sposobem zachowania równoległości otwartych przestrzeni i linii prostych.

Uprzejmie prosimy o inny oddział:

Liniowa niestałość i niezależność są wektorami w przestrzeni trivimera.
Przestrzenna baza i układ współrzędnych powinowactwa

Wiele praw, jak widzieliśmy na placu, będzie sprawiedliwych i obszernych. Starałem się zminimalizować streszczenie teorii, fragmenty lewej części informacji zostały już rozszyfrowane. Tim to nie mniej, polecam z szacunkiem przeczytać wstępną część, odłamki to nowe terminy i zrozumieć.

Teraz wymiana powierzchni stołu komputerowego została rozszerzona do przestrzeni trójwymiarowej. Stwórzmy podstawy jogi. Kto wie w danym momencie w domu, kto jest na ulicy, ale w żadnym wypadku nie możemy nigdzie iść w trzech światach: szerokości, długości i wysokości. Dlatego do indukcji podstawy potrzebne są trzy wektory przestrzenne. Jeden lub dwa wektory nie wystarczą, ćwiartki to zayvi.

Znowu jestem rozminaєmos na palcach. Bądź miły, podnieś rękę pod górę i podnieś pryszcz z różnych stron świetny, imponujący środkowy palec . Tse będą wektorami, smród będzie zachwycał z różnych stron, opłakiwać różne dożyny i opłakiwać różne kuti między sobą. Vіtayu, podstawa przestrzeni trivimir jest gotowa! Przed przemówieniem nie trzeba demonstrować takich vikladach, jak nie skręcać palców, ale nie można nigdzie iść =)

Złóżmy ważny posiłek, być jak trzy wektory i spełniać podstawę trywialnej przestrzeni? Bądź uprzejmy, mocno przyciśnij trzy palce do biurka. Co się stało? Trzy wektory wędrowały na tej samej płaszczyźnie i, z grubsza, mamy jeden znak vimiriv - wzrost. Takie wektory współpłaszczyznowy I jest całkiem oczywiste, że nie da się stworzyć podstawy przestrzeni trywimerycznej.

Należy zauważyć, że wektory współpłaszczyznowe i nic złego nie leżą na tej samej płaszczyźnie, mogą znajdować się na płaszczyznach równoległych (tylko próbuj pracować palcami, aby Salvador Dali zwinął mniej =)).

Wizyta, umówione spotkanie: wektory są nazwane współpłaszczyznowy jak prawdziwe mieszkanie, jak równoległy smród. Tutaj logiczne jest dodanie, że jeśli nie ma takiego obszaru, to wektory nie będą współpłaszczyznowe.

Trzy współpłaszczyznowe wektory i osady liniowe tobto liniowo vrazhayutsya jeden do jednego. Dla uproszczenia ponownie akceptowalne jest, aby smród znajdował się w jednym mieszkaniu. Po pierwsze, wektory, i nie tylko, są współpłaszczyznowe, mogą być bardziej współliniowe, nawet jeśli wektor można zobaczyć przez wektor. W inny sposób, na przykład, wektory nie są współliniowe, to trzeci wektor przechodzi przez nie w jednej kolejności: (i dlaczego łatwo się domyślić w przypadku materiałów z poprzedniego działu).

Sprawiedliwy jest zwrot twierdzenia: trzy wektory niewspółpłaszczyznowe i wektory liniowo niezależne, tobto już n_yak nie vrazhayutsya jeden po drugim. Ja, oczywiście, jestem mniej niż takie wektory i mogę zaspokoić podstawę trywialnej przestrzeni.

Wizyta, umówione spotkanie: Podstawa przestrzeni trivimirnogo nazwany trio liniowo niezależnych (nie współpłaszczyznowych) wektorów, zaczerpnięte z zakonu śpiewu w dowolnym momencie, czy to wektor otwartej przestrzeni jeden stopień rozłożone na daną bazę , współrzędne de wektora w danej bazie

Zgadując, można również powiedzieć, że wektor reprezentacji kombinacja liniowa wektory bazowe.

Pojęcie układu współrzędnych wprowadza się w ten sam sposób, jak dla płaskiego nachylenia wystarczy jeden punkt i trzy liniowo niezależne wektory:

kolba współrzędnych, і niewspółpłaszczyznowy wektory , zaczerpnięte z zakonu śpiewu, ustawić afinnu układ współrzędnych przestrzeni trivi-świata :

Oczywiście siatka współrzędnych „plecionki” nie jest zbyt wydajna, ale wyświetlony układ współrzędnych pozwala nam: Zdecydowanie wyznaczyć współrzędne dowolnego wektora, czyli współrzędne dowolnego punktu w przestrzeni. Podobnie jak w płaszczyźnie, w ateńskim układzie współrzędnych przestrzeń nie działa według tych samych wzorów, o których już się domyślałem.

Najbardziej podstawowy i najwygodniejszy termin dla układu współrzędnych powinowactwa є prostokątny układ współrzędnych:

Wskaż przestrzeń, jak to się nazywa kolba współrzędnych, і ortonormalizacja ustaw podstawę Kartezjański układ współrzędnych prostokątnych . Poznaj obraz:

Wcześniej, jak przejść do zadań praktycznych, ponownie usystematyzuję informacje:

Dla trzech wektorów w przestrzeni równoważnej tej samej sztywności:
1) wektory są liniowo niezależne;
2) wektory i ustalenie podstawy;
3) wektory nie są współpłaszczyznowe;
4) wektory nie mogą być odwrócone liniowo jeden do jednego;
5) vyznachnik, składanie współrzędnych tych wektorów, vіdminny vіd zero.

Protilezhnі vyslovlyuvannya, domyślam się, zrozumіlі.

Liniowy spadek/niezależność wektora w przestrzeni jest tradycyjnie sprawdzany z pomocą osoby wyznaczonej (paragraf 5). Tі, scho stracił zadania praktyczne nieść jasne wyrażenie o charakterze algebraicznym. Czas powiesić geometryczny klucz na kwiatach i wymachiwać kijem baseballowym algebry liniowej:

Trzy przestrzenie wektorowe complanarnі thodі w tіlki tіlki tіlі, jeśli vyznachnik, złożone współrzędne danih vektor_v, do_vnyuє zero : .

Zwracam uwagę na mały niuans techniczny: współrzędne wektorów można rejestrować nie tylko w kolumnie, ale w rzędzie (wartość wektora się nie zmienia - moc wektorów jest niesamowita). Ale bogatsze jest piękniejsze w stovptsі, oskіlki tse vigіdnіshe do wykonania niektórych praktycznych zadań.

Tim czytelnikom, którzy zapomnieli o metodach rozrahunki absolwentów, a może są w nich słabo zorientowani, polecam jedną z moich najstarszych lekcji: Jak liczyć?

tyłek 6

Sprawdź, czy następujące wektory stanowią podstawę trywialnej przestrzeni:

Rozwiązanie: W rzeczywistości wszystkie decyzje są podejmowane aż do obliczenia dłużnika

a) Oblicz zmienną składaną ze współrzędnych wektora_v (zmienna rozszerzania wzdłuż pierwszego rzędu):

, Otzhe, wektory są liniowo niezależne (nie współpłaszczyznowe) i stanowią podstawę przestrzeni trywialnej.

Vidpovid: podane wektory i spełniają podstawę

b) To jest punkt samodzielnej decyzji. Zewnętrznie rozwiązanie jest podobne do lekcji.

Crawl i pracownicy kreatywni:

tyłek 7

Dla jakiej wartości parametru wektory będą współpłaszczyznowe?

Rozwiązanie: Wektory i współpłaszczyznowe todі w tіlki tіlki dі, jeśli vyznachnik, fałdy współrzędnych tych wektorów do zera:

W rzeczywistości trzeba być równym vyznachnikowi. Jest wylewany na zera jak shulik na jerboa - wyznacznik nawigatora, aby dowiedzieć się w innym rzędzie i po kolei poszukam minusów:

Przeprowadźmy dalszą rozbudowę i obróćmy ją od prawej do najprostszego wyrównania liniowego:

Vidpovid: w

Tu łatwo się pogodzić, dla czego konieczne jest uzasadnienie wartości byłego urzędnika i ponowne rozważenie , otwierając jogę na nowo.

Na koniec przyjrzymy się jeszcze jednemu typowe zadania, który ma charakter bardziej algebraiczny i tradycyjnie wchodzi w skład algebry liniowej. Podłoga jest poszerzona, co jest zasługą dużego blatu:

Aby sprowadzić te 3 wektory, ustal podstawę przestrzeni trywialnego świata
i znać współrzędne 4 wektora w danej bazie

tyłek 8

Dany wektor. Pokaż, że wektory spełniają podstawę przestrzeni trywimerów i poznaj współrzędne wektora w której bazie.

Rozwiązanie: Z tyłu głowy odbieramy umysł. Umysłowi dane są wektory chotiri i, podobnie jak Bachite, smród ma już współrzędne mayut na tej samej podstawie. Jaka jest podstawa - nie drażnij nas. I powiedzieć coś takiego: trzy wektory jako całość mogą ustanowić nową podstawę. Pierwszy etap ponownie opiera się na rozwiązaniach z dodatku 6, konieczne jest sprawdzenie, czy wektory są naprawdę liniowo niezależne:

Obliczmy liczbę wektorów, składając współrzędne wektorów:

, Otzhe, wektory są liniowo niezależne i stanowią podstawę przestrzeni trywialnej.

! ważny : współrzędne wektora obov'azkovo do nagrywania na stacji vyznachnika, nie w rzędach. W przeciwnym razie nastąpi oszustwo w dalszych algorytmach rozvyazannya.