Innymi słowy, liniowość grupy wektorów oznacza, że ​​istnieje środkowy wektor, który może być reprezentowany przez liniową kombinację innych wektorów w grupie.

Do przyjęcia. Todi

Otze wektor x liniowy odłog w grupie wektorowej.

Wektory x, tak, ..., z nazywane są liniowo niezależne wektory, dla zrównoważenia (0) widać, że

α=β= ...= γ=0.

Tak więc grupy wektorów są liniowo niezależne, więc wektor może być reprezentowany przez liniową kombinację innych wektorów z tej samej grupy.

Wyznaczanie liniowego występowania wektorów

Niech będzie podane m wektorów w rzędach w kolejności n:

Po dodaniu vinyatoka Gaussa, przenosimy macierz (2) do górnego widoku trykotu. Elementy pozostałej części kolumny zmieniają się tylko raz, jeśli wiersze są przegrupowane. Po m krótkich rozjazdach bierzemy:

de i 1 , i 2 , ..., i m - indeksy rzędów, usuwane w przypadku ewentualnego przestawienia rzędów. Patrząc na obcięte wiersze z indeksów wierszy, w tym t, jaka jest to wskazane przez wektor zerowy wierszy. Pominięte wiersze tworzą wektory liniowo niezależne. Co istotne, ze względu na macierze fałdujące (2) zmieniające kolejność wektorów w rzędzie, można wybrać inną grupę wektorów liniowo niezależnych. Ale pіdprostіr, jakiego rodzaju obelgami są grupy wektorów utvoryuyuyut zbіgayutsya.

Niezależność liniowa i niezależność liniowa wektorów.
Bazy wektorowe. Ateński układ współrzędnych

W audytorium jest dużo czekoladek, a kilka lukrecji będzie mogło dziś umknąć spod skóry - geometria analityczna z algebrą liniową. Ten artykuł zostanie podzielony na dwa splity zaawansowana matematyka i zastanawiamy się, jak smród przyzwyczaja się do jednego pagórka. Zrób sobie przerwę, s'zh „Tviks”! ... kochanie, cóż, super mała dziewczynka. Jak chcę, to nie strzelę, przepraszam, mogę mieć dobry nastrój do treningu.

Odłogi liniowe wektorów, liniowa niezależność wektorów, podstawa wektorowa termin ten może być nie tylko interpretacją geometryczną, ale przede wszystkim zmistem algebraicznym. Samo pojęcie „wektora” z punktu widzenia algebry liniowej jest dalekie od bycia wektorem „nadrzędnym”, który możemy przedstawić na płaszczyźnie przestrzeni. Nie musisz daleko szukać dowodu, spróbuj namalować wektor przestrzeni pięciowymiarowej. . Abo poczekaj, dla niektórych poszedłem do Gіsmeteo: - temperatura i ciśnienie atmosferyczne są dobre. Dołek oczywiście nie jest poprawny z punktu widzenia autorytetu przestrzeni wektorowej, ale nic nie stoi na przeszkodzie formalizacji danych przez parametry i wektor. Oddech jesieni.

Cześć, nie mam zamiaru kusić Cię teorią, liniowymi przestrzeniami wektorowymi, problem w tym Rozumiesz definicja tego twierdzenia. Nowe terminy (depozyt liniowy, niezależność, kombinacja liniowa, baza itp.) są przymiotnikami do wszystkich wektorów z punktu widzenia algebry, ale zastosowanie zostanie podane geometrycznie. W tym rankingu wszystko jest proste, dostępne od pierwszego wejrzenia. Geometria analityczna Krіm zavdan jest uważana za typowe zadanie algebry. Aby opanować materiał, należy nauczyć się lekcji Wektory do czajnikówі Jak liczyć?

Ugór liniowy i niezależność wektora w płaszczyźnie.
Podstawa obszaru i układ współrzędnych powinowactwa

Przyjrzyjmy się obszarowi twojego biurko komputerowe(tylko stolik, szafki nocne, bale, stele, ktokolwiek tego potrzebuje). Lider pola w najbliższych dniach:

1) Wybierz podstawę obszaru. Z grubsza kazhuchi, stіlnitsa maє dovzhina w szerokości, intuicyjnie zdano sobie sprawę, że do stymulacji podstawy potrzebne są dwa wektory. Jeden wektor to zdecydowanie za mało, trzy wektory to zayva.

2) Na podstawie odwróconej podstawy ustaw układ współrzędnych(siatka współrzędnych), aby przypisać współrzędne do wszystkich obiektów znajdujących się na stole.

Nie zdziw się, wyjaśnienie będzie na palcach. I na twoim. Bądź miły, wybacz wyrazisty palec lewej ręki do krawędzi stylu, tak że podziwiałem monitor. Tse będzie wektorem. Teraz miejsce mały palec prawej ręki na krawędzi stołu tak po prostu - schob buv prostujący się na ekranie monitora. Tse będzie wektorem. Uśmiechnij się, wyglądasz cudownie! Co możesz powiedzieć o wektorach? Wektory danych współliniowy, co znaczy liniowo odwróć jeden do jednego:
, cóż, chi navpaki: , de - liczba deake, vіdmіnne vіd zero.

Obraz przedstawiający działanie, które można obejrzeć na lekcji Wektory do czajników De wyjaśniłem zasadę mnożenia wektora przez liczbę.

Chi, czy twoje palce postawią podstawę na stole komputerowym? Oczywiście nie. Kolіnearnі wektory i wzrost cen tu i tam sam na wprost, a obszar może być dłuższy i szerszy.

Takie wektory nazywają się ugór liniowy.

Wniosek: Słowa „liniowe”, „liniowe” oznaczają te rzeczy, które mają matematyczne równania, nie ma kwadratów, sześcianów, innych kroków, logarytmów, sinusów. Є tіlki linіynі (1. etap) przeciwko ugorowi.

Dwie płaszczyzny wektorowe depozyty liniowe wtedy i tylko wtedy, jeśli smród jest kolinearny.

Krzyżuj palce na stole, aby między nimi był jak cięcie Krymu 0 lub 180 stopni. Dwie płaszczyzny wektoroweliniowo nie w tym nieświeży i mniej, bo smród nie jest współliniowy. Otzhe, podstawa jest zabrana. Nie musisz się martwić, że podstawa widoków jest „skoszona” nieprostopadłymi wektorami o różnej długości. Nie jest dla mnie niczym niezwykłym, że w jodze wyrostek ma nie tylko 90 stopni i nie tylko pojedynczy, równy staremu wektorowi.

Be-yaky płaski wektor jeden stopień rozbudowana wg podstawy:
, de - dіysnі numery. Numery połączeń współrzędne wektora na jakiej podstawie.

Wygląda więc na to, że wektorwystępy na widok kombinacja liniowa wektory bazowe. Tobto viraz nazywa się układ wektorowypodstawa lub kombinacja liniowa wektory bazowe.

Na przykład można powiedzieć, że wektor układów znajduje się za bazą ortonormalną płaszczyzny, lub można powiedzieć, że reprezentacje liniowej kombinacji wektorów są błędne.

Formułować przypisanie do podstawy formalnie: Podstawa obszaru nazywana jest para liniowo niezależnych (niewspółliniowych) wektorów, , w którym bądź jak Wektor płaski jest kombinacją liniową wektorów podstawowych.

Już sam moment powołania to fakt, że wektory są brane w kolejności piosenek. Basisi - istnieją dwie zupełnie różne bazy! Jak się wydaje, małego palca lewej ręki nie można przenieść na mały palec prawej ręki.

Opracowaliśmy podstawy, ale nadal nie wystarczy ustawić siatkę współrzędnych i przyporządkować współrzędne do obiektu skóry stołu komputerowego. Dlaczego tęskniłeś? Wektory vіlnimi i rozmazują się na całej płaszczyźnie. Więc jak przyciągnąć współrzędne do tych małych wędrujących punktów na stole, które przegrały po burzliwym weekendzie? Wymagana wskazówka. І taki punkt orientacyjny jest wszystkim znanym punktem - kolbą współrzędnych. Jest wybierany z układu współrzędnych:

Zacznę od organizacji „szkolnych”. Już na lekcji wstępnej Wektory do czajników Widziałem czyny rozpoznania między prostokątnym układem współrzędnych a bazą ortonormalną. Standardowy obraz osi:

Mówiąc o prostokątny układ współrzędnych, najczęściej używa się kolby współrzędnych, osi współrzędnych i skali wzdłuż osi. Spróbuj wpisać w wyszukiwarkę „prostokątny układ współrzędnych”, a powiesz mi, że warto opowiedzieć Ci o znajomości 5-6 klasy osi współrzędnych oraz o tym, jak umieszczać punkty na płaszczyźnie.

Z drugiej strony istnieje efekt polegający na tym, że prostokątny układ współrzędnych można określić jako całość za pomocą bazy ortonormalnej. І tse mayzhe tak. Formuła brzmi tak:

kolba współrzędnych, і ortonormalizacja ustaw podstawę Kartezjański prostokątny układ współrzędnych płaszczyzny . To jest prostokątny układ współrzędnych Zdecydowanie są reprezentowane przez jeden punkt i dwa pojedyncze wektory ortogonalne. Właśnie z tego powodu potrzebujesz krzesła, bo zaszczepiłem vishche - in problemy geometryczne często (choć nie zavzhd) malują wektory, osie współrzędnych.

Chyba każdy zrozumiał, że dla dodatkowego punktu (kola współrzędnych), który jest ortonormalny do bazy PUNKTY BE-YAKIY obszaru i WEKTOR BE-YAKIYA obszaru możesz przypisać współrzędne. Najwyraźniej w przenośni „wszystko można ponumerować na kwadracie”.

Czy wektory współrzędnych mogą być pojedyncze? Nі, smród może matka dovіlnu niezerowa dovzhina. Przyjrzyjmy się punktowi i dwóm wektorom ortogonalnym oraz wartościom dość niezerowym:

Taka podstawa nazywa się prostokątny. Kolba współrzędnych z wektorami wyznacza siatkę współrzędnych i czy jest to punkt płaszczyzny, czy to wektor, który zapisuje na tej podstawie jego współrzędne. Na przykład lub. Oczywista nieudolność polega na tym, że wektory współrzędnych na szczycie wzgórza opłakiwać różne życia, vіdminnі vіd odinitsі. W celu poprawy samotności istnieje podstawowa podstawa ortonormalna.

! Notatka : w bazie ortogonalnej, a także niżej w bazach ateńskich brane są pod uwagę płaszczyzny i przestrzeń jednej wzdłuż osi UMOVIMI. Na przykład w jednej jednostce wzdłuż osi odciętych jest 4 cm, w jednej jednostce wzdłuż osi rzędnych 2 cm.

A inne jedzenie, na jaku, to naprawdę dowód - jaki obov'yazykovo kut między wektorami bazowymi może osiągnąć 90 stopni? Hej! Jak potwierdzić spotkanie, podstawowe wektory i składki mniej niż niewspółliniowe. Vіdpovidno kut mozhe buti be-yakim, krіm 0 i 180 stopni.

Punkt płaszczyzny, jak to się nazywa kolba współrzędnych, і niewspółliniowe wektory , , ustawić afiniczny układ współrzędnych płaszczyzny :

Innymi słowy, taki układ współrzędnych nazywa się spleciony system. Jak zastosować punkty i wektory na obrazie fotela:

Jak wiecie, ateński układ współrzędnych jest mniej łatwy, nie używają formuł na wektory i vdrіzkiv, jak przyjrzeliśmy się drugiej części lekcji Wektory do czajników, bogato pikantne formuły, pov'yazanі z skalarne tworzenie wektorów. Do tego dochodzą uczciwe zasady składania wektora i mnożenia wektora przez liczbę, wzory na dzielenie na dane wyrażenie, a także łamania typów zadań, na które łatwo możemy się przyjrzeć.

I taki visnovok system powinowactwa współrzędnych jest kartezjańskim układem prostokątnym. Do tego її, wolałbym najczęściej i być sprowadzony do bachiti. ... Tymczasem wszystko w tym życiu jest jasne - mało jest sytuacji, w których sama rzeka jest przekrzywiona (inaczej np. polarny) system współrzędnych. Te humanoidy mogą cieszyć się takimi systemami =)

Przejdźmy do części praktycznej. Usі zavdannya ta lekcja jest tak samo jak układ współrzędnych pod kątem prostym, więc zagalnogo ateński vpadku. Nie ma tu nic składanego, cały materiał jest dostępny dla ucznia.

Jak zdefiniować współliniowość wektora na płaszczyźnie?

Typowa rzeka. Aby mieć dwa wektory i obszary być współliniowe, konieczne i wystarczające, aby ich odpowiednie współrzędne były proporcjonalne. W rzeczywistości jest to szczegółowa koordynacja oczywistej spivvіdnoshenya.

tyłek 1

a) Odwrotne wektory współliniowe chi .
b) Chi ustala podstawę wektora ?

Rozwiązanie:
a) Dlaczego, co jest ważne dla wektorów współczynnik proporcjonalności taki, że równości były zwycięskie:

Obov'yazkovo rozpovіm o „pіzhonskiy” wariancie zasad zastosuvannya tsgogo, który krąży w praktyce. Pomysł polega na tym, że od razu zsumujesz proporcje i zastanawiasz się, czy masz rację:

Dodajmy proporcje podanych współrzędnych wektorów:

wkrótce:
, w tej kolejności odpowiednie współrzędne są proporcjonalne,

Oprawę można złożyć i złożyć, co jest cenną opcją:

W celu samodzielnej weryfikacji można zmienić te, które są wektorami współliniowymi i liniowo zagiąć jeden do jednego. Z tego punktu widzenia istnieje miejsce równoważności . Twoja uczciwość jest łatwo perveryaetsya poprzez elementarne podziały z wektorami:

b) Dwa wektory i płaszczyzny tworzą bazę, tak jakby były współliniowe (liniowo niezależne). Doslіdzhuєmo na kolіnearnіst vektori . Zbudujmy system:

Od pierwszego równego krzyczysz, scho, od drugiego równego krzyczysz, och, system jest szalony(Nie ma rozwiązania). W ten sposób odpowiednie współrzędne wektorów nie są proporcjonalne.

Visnovok: wektory są liniowo niezależne i tworzą bazę.

Uproszczona wersja rozwiązania wygląda tak:

Dodajemy proporcje podanych współrzędnych wektorów :
, Otzhe, wektory qi i liniowo niezależne i stanowią podstawę.

Wywołaj tę opcję, aby odrzucić recenzentów, ale obwiniaj problem za awarie, jeśli współrzędne są równe zeru. oś w ten sposób: . Abo tak: . Abo tak: . Jak mogę tutaj pracować proporcjonalnie? (Naprawdę nie można dzielić przez zero). Z tego samego powodu nazwałem prostsze rozwiązanie „pizhonsky”.

Sugestia: a), b) zatwierdza.

Mały kreatywny tyłek do niezależna decyzja:

tyłek 2

Dla dowolnej wartości parametru wektora będzie współliniowe?

W przypadku rozwiązania parametr znajduje się za pomocą proporcji.

Stosujemy metodę algebry ponownej weryfikacji wektorów pod kątem kolinearności.

Dla dwóch wektorów w obszarze twardości równoważnej:

2) wektory i ustalenie podstawy;
3) wektory nie są współliniowe;

+ 5) oscylator, fałdy ze współrzędnych tych wektorów, vіdminny vіd zero.

Widpowidno, równoważna twardość wydłużenia stopy:
1) depozyty wektorowe i liniowe;
2) wektory nie spełniają podstawy;
3) wektory i współliniowe;
4) wektory można odwracać liniowo jeden do jednego;
+ 5) wektor, składający się ze współrzędnych tych wektorów, prowadzący do zera.

Jestem już przekonany, że w danej chwili zrozumiałeś już wszystkie terminy, których się nauczyłeś i które potwierdziłeś.

Rzućmy okiem na nowy raport, akapit piąty: dwa wektory i mieszkania kolіnearnі thodі і tіlki tіlki tоdі, jeśli vyznachnik, składa się ze współrzędnych tych vector_v, do_vnyuє zero:. W przypadku znaków zastosuvannya tsієї oczywiście należy pamiętać poznaj wizjonerów.

Wiriszima Przykład 1 w inny sposób:

a) Obliczenie liczby wektorów, dodanie współrzędnych wektorów :
, Otzhe, wektory tsі i kolіnearnі.

b) Dwa wektory i płaszczyzny tworzą bazę, tak jakby były współliniowe (liniowo niezależne). Obliczanie liczby wektorów, składanie współrzędnych wektorów :
, Otzhe, wektory są liniowo niezależne i stanowią podstawę.

Sugestia: a), b) zatwierdza.

Wygląda znacznie bardziej kompaktowo i ładniej, niższe rozwiązanie o proporcjach.

Za pomocą badanego materiału można ustalić współliniowość wektorów, a także doprowadzić do równoległości linii prostych. Przyjrzyjmy się kilku zadaniom z konkretnych kształtów geometrycznych.

tyłek 3

Biorąc pod uwagę szczyty chotirikutnik. Przynieś, że chotirikutnik to równoległobok.

Przynoszący: Fotel w zadaniu nie będzie potrzebny, odłamki rozwiązania będą czysto analityczne
równoległobok nazywa się chotirikutnik, który ma przeciwległe boki parami równolegle.

W tej kolejności należy zabrać ze sobą:
1) równoległość przeciwległych stron;
2) równoległość przeciwległych stron.

Przynosimy:

1) Znamy wektory:

2) Znamy wektory:

Wijszow to ten sam wektor („według szkoły” - równe wektory). Kolіnearnіst jest już oczywiste, ale lepiej jest odpowiednio ułożyć rozwiązanie, z aranżacją. Obliczmy liczbę wektorów, składając współrzędne wektorów:
, Otzhe, wektory qі i kolinearnі, ja .

Visnovok: Protilezhnі boki chotirikutnik w parach równolegle, otzhe, w є równoległoboku na spotkania. Co zajęło, aby przynieść?.

Więcej liczb dobrych:

tyłek 4

Biorąc pod uwagę szczyty chotirikutnik. Aby przynieść, scho chotirikutnik є trapezієyu.

Aby uzyskać suvoryczną formułę, udowodnij to piękniej, wspaniale, narysuj oznaczenie trapezu i po prostu uzupełnij i po prostu zgadnij, jakby wyglądał.

Tse zavdannya niezależna decyzja. Rozwiązanie zewnętrzne jak lekcja.

A teraz nadszedł czas, aby powoli przenieść się z mieszkania na otwartą przestrzeń:

Jak wyznaczyć współliniowość wektora w przestrzeni?

Zasada jest podobna. Aby dwa wektory do przestrzeni były współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby ich odpowiednie współrzędne były proporcjonalne.

tyłek 5

Z'yasuvati, chi kolіnearnі będzie postępowymi wektorami i przestrzenią:

ale);
b)
w)

Rozwiązanie:
a) Odwracalnie, chi jest współczynnikiem proporcjonalności dla różnych współrzędnych wektorów:

System nie może być rozwiązany, dlatego wektory nie są współliniowe.

„Sproschenkę” tworzy proporcja. W tym widoku:
– współrzędne względne nie są proporcjonalne, więc wektory nie są współliniowe.

Sugestia: wektory nie są współliniowe.

b-c) To są punkty samodzielnej decyzji. Spróbuj udekorować jogę na dwa sposoby.

Użyj metody ponownej weryfikacji wektorów przestrzennych pod kątem współliniowości poprzez zmienną trzeciego rzędu, ta metoda jest pokazana w artykule Wektor TV wektor.

Podobnie jak w przypadku widoku płaskiego wzroku narzędzi, może on stać w stagnacji ze sposobem zachowania równoległości otwartych przestrzeni i linii prostych.

Uprzejmie prosimy o inny oddział:

Liniowa niestałość i niezależność są wektorami w przestrzeni trivimera.
Przestrzenna baza i układ współrzędnych powinowactwa

Wiele praw, jak widzieliśmy na placu, będzie sprawiedliwych i obszernych. Starałem się zminimalizować streszczenie teorii, fragmenty lewej części informacji zostały już rozszyfrowane. Tim to nie mniej, polecam z szacunkiem przeczytać wstępną część, odłamki to nowe terminy i zrozumieć.

Teraz wymiana powierzchni stołu komputerowego została rozszerzona do przestrzeni trójwymiarowej. Stwórzmy podstawy jogi. Kto wie w danym momencie w domu, kto jest na ulicy, ale w żadnym wypadku nie możemy nigdzie iść w trzech światach: szerokości, długości i wysokości. Dlatego do indukcji podstawy potrzebne są trzy wektory przestrzenne. Jeden lub dwa wektory nie wystarczą, ćwiartki to zayvi.

Znowu jestem rozminaєmos na palcach. Bądź miły, podnieś rękę pod górę i podnieś pryszcz z różnych stron świetny, imponujący środkowy palec . Tse będą wektorami, smród będzie zachwycał z różnych stron, opłakiwać różne dożyny i opłakiwać różne kuti między sobą. Vіtayu, podstawa przestrzeni trivimir jest gotowa! Przed przemówieniem nie trzeba demonstrować takich vikladach, jak nie skręcać palców, ale nie można nigdzie iść =)

Złóżmy ważny posiłek, być jak trzy wektory i spełniać podstawę trywialnej przestrzeni? Bądź uprzejmy, mocno przyciśnij trzy palce do biurka. Co się stało? Trzy wektory wędrowały na tej samej płaszczyźnie i, z grubsza, mamy jeden znak vimiriv - wzrost. Takie wektory współpłaszczyznowy I jest całkiem oczywiste, że nie da się stworzyć podstawy przestrzeni trywimerycznej.

Należy zauważyć, że wektory współpłaszczyznowe i nic złego nie leżą na tej samej płaszczyźnie, mogą znajdować się na płaszczyznach równoległych (tylko próbuj pracować palcami, aby Salvador Dali zwinął mniej =)).

Wizyta, umówione spotkanie: wektory są nazwane współpłaszczyznowy jak prawdziwe mieszkanie, jak równoległy smród. Tutaj logiczne jest dodanie, że jeśli nie ma takiego obszaru, to wektory nie będą współpłaszczyznowe.

Trzy współpłaszczyznowe wektory i osady liniowe tobto liniowo vrazhayutsya jeden do jednego. Dla uproszczenia ponownie akceptowalne jest, aby smród znajdował się w jednym mieszkaniu. Po pierwsze, wektory, i nie tylko, są współpłaszczyznowe, mogą być bardziej współliniowe, nawet jeśli wektor można zobaczyć przez wektor. W inny sposób, na przykład, wektory nie są współliniowe, to trzeci wektor przechodzi przez nie w jednej kolejności: (i dlaczego łatwo się domyślić w przypadku materiałów z poprzedniego działu).

Sprawiedliwy jest zwrot twierdzenia: trzy wektory niewspółpłaszczyznowe i wektory liniowo niezależne, tobto już n_yak nie vrazhayutsya jeden po drugim. Ja, oczywiście, jestem mniej niż takie wektory i mogę zaspokoić podstawę trywialnej przestrzeni.

Wizyta, umówione spotkanie: Podstawa przestrzeni trivimirnogo nazwany trio liniowo niezależnych (nie współpłaszczyznowych) wektorów, zaczerpnięte z zakonu śpiewu w dowolnym momencie, czy to wektor otwartej przestrzeni jeden stopień rozłożone na daną bazę , współrzędne de wektora w danej bazie

Zgadując, można również powiedzieć, że wektor reprezentacji kombinacja liniowa wektory bazowe.

Pojęcie układu współrzędnych wprowadza się w ten sam sposób, jak dla płaskiego nachylenia wystarczy jeden punkt i trzy liniowo niezależne wektory:

kolba współrzędnych, і niewspółpłaszczyznowy wektory , zaczerpnięty z zakonu śpiewu, ustawić afinnu układ współrzędnych przestrzeni trivi-świata :

Oczywiście siatka współrzędnych „plecionki” nie jest zbyt wydajna, ale wyświetlony układ współrzędnych pozwala nam: Zdecydowanie wyznaczyć współrzędne dowolnego wektora, czyli współrzędne dowolnego punktu w przestrzeni. Podobnie jak w płaszczyźnie, w ateńskim układzie współrzędnych przestrzeń nie działa według tych samych wzorów, o których już się domyślałem.

Najbardziej podstawowy i najwygodniejszy termin dla układu współrzędnych powinowactwa є prostokątny układ współrzędnych:

Wskaż przestrzeń, jak to się nazywa kolba współrzędnych, і ortonormalizacja ustaw podstawę Kartezjański układ współrzędnych prostokątnych . Poznaj obraz:

Wcześniej, jak przejść do zadań praktycznych, ponownie usystematyzuję informacje:

Dla trzech wektorów w przestrzeni równoważnej tej samej sztywności:
1) wektory są liniowo niezależne;
2) wektory i ustalenie podstawy;
3) wektory nie są współpłaszczyznowe;
4) wektory nie mogą być odwrócone liniowo jeden do jednego;
5) vyznachnik, składanie współrzędnych tych wektorów, vіdminny vіd zero.

Protilezhnі vyslovlyuvannya, domyślam się, zrozumіlі.

Liniowy spadek/niezależność wektora w przestrzeni jest tradycyjnie sprawdzany z pomocą osoby wyznaczonej (paragraf 5). Tі, scho stracił zadania praktyczne nieść jasne wyrażenie o charakterze algebraicznym. Czas powiesić geometryczny klucz na kwiatach i wymachiwać kijem baseballowym algebry liniowej:

Trzy przestrzenie wektorowe complanarnі thodі w tіlki tіlki tіlі, jeśli vyznachnik, złożone współrzędne danih vektor_v, do_vnyuє zero : .

Szanuję mały niuans techniczny: współrzędne wektorów można zapisać nie tylko w kolumnie, ale w rzędzie (wartość wektora się nie zmienia - siła wektorów jest niesamowita). Ale bogatsze jest piękniejsze w stovptsі, oskіlki tse vigіdnіshe do wykonania niektórych praktycznych zadań.

Tim czytelnikom, którzy zapomnieli o metodach rozrahunka vyznachniki, a może są w nich słabo zorientowani, polecam jedną z moich najstarszych lekcji: Jak liczyć?

tyłek 6

Sprawdź, czy następujące wektory stanowią podstawę trywialnej przestrzeni:

Rozwiązanie: W rzeczywistości wszystkie decyzje są podejmowane aż do obliczenia dłużnika

a) Oblicz zmienną składaną ze współrzędnych wektora_v (zmienna rozszerzania wzdłuż pierwszego rzędu):

, Otzhe, wektory są liniowo niezależne (nie współpłaszczyznowe) i stanowią podstawę przestrzeni trywialnej.

Vidpovid: podane wektory i spełniają podstawę

b) To jest punkt samodzielnej decyzji. Zewnętrznie rozwiązanie jest podobne do lekcji.

Crawl i pracownicy kreatywni:

tyłek 7

Dla jakiej wartości parametru wektory będą współpłaszczyznowe?

Rozwiązanie: Wektory i współpłaszczyznowe todі w tіlki tіlki dі, jeśli vyznachnik, fałdy współrzędnych tych wektorów do zera:

W rzeczywistości trzeba być równym vyznachnikowi. Wylewa się na zera jak shulik na jerboa - wyznacznik nawigatora znalezienia w innym rzędzie i po kolei poszukam minusów:

Przeprowadźmy dalszą rozbudowę i obróćmy ją od prawej do najprostszego wyrównania liniowego:

Vidpovid: w

Tu łatwo się pogodzić, dla czego konieczne jest uzasadnienie wartości byłego urzędnika i ponowne rozważenie , otwierając jogę na nowo.

Na koniec przyjrzymy się jeszcze jednemu typowe zadania, który ma charakter bardziej algebraiczny i tradycyjnie wchodzi w skład algebry liniowej. Podłoga jest poszerzona, co jest zasługą dużego blatu:

Aby sprowadzić te 3 wektory, ustal podstawę przestrzeni trywialnego świata
i znać współrzędne 4 wektora w danej bazie

tyłek 8

Dany wektor. Pokaż, że wektory spełniają podstawę przestrzeni trywimerów i poznaj współrzędne wektora w której bazie.

Rozwiązanie: Z tyłu głowy odbieramy umysł. Umysłowi dane są wektory chotiri i, podobnie jak Bachite, smród ma już współrzędne mayut na tej samej podstawie. Jaka jest podstawa - nie drażnij nas. I powiedzieć coś takiego: trzy wektory jako całość mogą ustanowić nową podstawę. Pierwszy etap ponownie opiera się na rozwiązaniach z dodatku 6, konieczne jest sprawdzenie, czy wektory są naprawdę liniowo niezależne:

Obliczmy liczbę wektorów, składając współrzędne wektorów:

, Otzhe, wektory są liniowo niezależne i stanowią podstawę przestrzeni trywialnej.

! ważny : współrzędne wektora obov'azkovo do nagrywania na stacji vyznachnika, nie w rzędach. W przeciwnym razie nastąpi oszustwo w dalszych algorytmach rozvyazannya.

Pojęcia liniowości i niezależności układu wektorów są jeszcze ważniejsze niż algebra wektorów, a odłamki na nich opierają się na zrozumieniu różnorodności i podstawie przestrzeni. W tych statystykach mamy rozróżnienie, możemy przyjrzeć się potędze odłogu liniowego i niezależności, odejmiemy algorytm skalowania układu wektorów do odłogu liniowego i przeanalizujemy szczegółowo rozwiązanie aplikacji.

Nawigacja z boku.

Wyznaczanie odłogu liniowego i liniowej niezależności układu wektorowego.

Przyjrzyjmy się zbiorowi wektorów wirtualnych p n, a zwłaszcza ich kolejności nadchodzącej. Przechowywanie kombinacji liniowej tych wektorów i liczb rzeczywistych (kompleks dіysnih chi): . W zależności od oznaczenia operacji na wektorach n-światów, a także mocy operacji na składaniu i mnożeniu wektora przez liczbę, można potwierdzić, że kombinacja liniowa jest zapisana jako rzeczywisty wektor n-światów , tobto.

Poszliśmy więc do celu, jakim jest odłogi liniowe układu wektorów.

Wizyta, umówione spotkanie.

Taka kombinacja liniowa może być wektorem zerowym, jeśli liczby znajdują się w środku Jeśli chcesz jeden, jeśli widzisz zero, to system wektorów nazywa się ugór liniowy.

Wizyta, umówione spotkanie.

Jako kombinacja liniowa z wektorem zerowym tylko raz, jeśli wszystkie liczby równy zero, wtedy wywoływany jest układ wektorów liniowo niezależny.

Siła odłogu liniowego i niezależność.

Na podstawie danych, umawiamy się na wizytę, którą możemy przybyć dominacja błędu liniowego i liniowa niezależność układu wektorowego.

Jak tylko zostanie dodany liniowy system wektorów odłogowanych, system będzie odłogowany liniowo.

Przynoszący.

Ponieważ układ wektorów może być złożony liniowo, możliwa jest zazdrość o obecność nawet jednej niezerowej liczby liczb . Daj spokój.

Dodamo do zewnętrznego układu wektorów i wektorów s , weź swój własny system. Więc tak jak i , to liniowa kombinacja wektorów w umyśle systemu

jest wektorem zerowym i . Wygrano również system wektorów i odłogów liniowych.

Jeśli wyłączysz niewielką liczbę wektorów z liniowo niezależnego układu wektorów, system będzie liniowo niezależny.

Przynoszący.

Załóżmy, że system jest odłogiem liniowym. Po dodaniu wszystkich wektorów wejściowych do systemu wektorowego, usuniemy system wektorowy. Za umysłem jest liniowo niezależny, a ze względu na poprzednią moc odłogu liniowego może być odłogiem liniowym. Mi dіyshli protirіchchya, otzhe, nasze przyznanie jest błędne.

Jeśli układ wektorów chce jednego wektora zerowego, to taki układ jest odłogiem liniowym.

Przynoszący.

Niech wektor tego układu wektorów będzie zerowy. Załóżmy, że układ wektorowy jest liniowo niezależny. Wtedy równowaga wektorów jest możliwa tylko wtedy, gdy . Jeśli jednak to przyjmiesz, czy tak, jeśli spojrzysz na zero, wtedy spokój będzie nadal sprawiedliwy, odłamki. Otzhe, nasz dodatek jest nevirnim, a system wektorów jest złożony liniowo.

Jeśli układ wektorów jest liniowo odłogiem, to tylko jeden z wektorów jest liniowo wyrażony przez inne. Ponieważ system wektorów jest liniowo niezależny, wektory nie mogą być wyrażane przez inne.

Przynoszący.

Przywrócimy go do twardości.

Niech układ wektorów będzie liniowo odłogiem, nawet jeśli chcesz widzieć jednocześnie zerową liczbę i, jeśli równość jest poprawna. Zazdrość Qiu może być rozvyazat shodo, odłamkami z dowolnym maєmo

Również wektor jest obracany liniowo przez inne wektory układu, które trzeba było sprowadzić.

Teraz przynieśmy kolejną stanowczość.

Jeśli system wektorowy jest liniowo niezależny, to zazdrość może dotyczyć tylko .

Załóżmy, że wektor systemu jest wyrażany liniowo przez інші. Niech będzie to wektor є todi. Zrównoważenie Qi można przepisać jako , w lewej części znajduje się kombinacja liniowa układu wektorów, ponadto współczynnik przed wektorem jest równy zero, co wskazuje na liniowe występowanie układu wektorów. Więc mi deyshli protirichcha, otzhe, przyniosła moc.

Z dwóch pozostałych autorytetów rzuca się w oczy ważne twierdzenie:
jako układ wektorów zastępujących wektory i , de - więcej niż liczba, jest odłogiem liniowym.

Rozwój systemu wektorowego dla ugoru liniowego.

Postawmy sobie cel: musimy założyć depozyt liniowy lub liniowa niezależność systemy wektorowe.

Jedzenie logiczne: „jak się virishuvate?”

Z praktycznego punktu widzenia hańbę można obwiniać za to, że bardziej przygląda się doniosłości mocy błędu liniowego i niezależności systemu wektorów. Znaczenie tego autorytetu pozwala nam ustalić liniową ważność systemu wektorów w takich sytuacjach:

Jak możesz być w innych nastrojach, które są lepsze?

Przyjrzyjmy się cym.

Zgadnijmy, jak zasugerowaliśmy w artykule sformułowanie twierdzenia o rzędzie macierzy.

Twierdzenie.

Daj spokój r - rząd macierzy A w porządku p przez n, . Niech M będzie podstawą molową macierzy A . Rzędy (wszystkie kolumny) macierzy A, jaka biorą udział w rozwoju podstawowej małej małej M, przeginają się liniowo przez wiersze (stopy) macierzy, jaka generują podstawowe drugorzędne M.

A teraz wyjaśnijmy związek twierdzenia o rzędzie macierzy z sukcesją układu wektorów do depozytu liniowego.

Dodajemy macierz A, której wiersze będą wektorami następującego układu:

Jakie znaczenie ma liniowa niezależność układu wektorów?

Z czwartego poziomu liniowej niezależności systemu wektorów wiemy, co jest możliwe z systemu wektorów, którego nie da się wyrazić przez inne. Innymi słowy, każdy wiersz macierzy A nie będzie liniowo odwrócony przez inne wiersze, liniowa niezależność układu wektorowego będzie równa mentalnej Ranga(A)=p.

Jakie jest znaczenie liniowego błędu systemu wektorów?

Wszystko jest prostsze: jeśli chcesz, aby jeden wiersz macierzy A był liniowo wyrażony przez inne, to zasób liniowy układu wektorowego będzie równy stopniowi intelektualnemu (A)

.

p align="justify"> Odtąd przyporządkowanie układu wektorów do zdarzenia liniowego jest dostosowywane do przyporządkowania przyporządkowania do rzędu macierzy sfałdowanej z wektorów układu.

Przesunięcie oznacza, że ​​przy p>n system wektorowy będzie odłogiem liniowym.

Szacunek: gdy macierz A jest złożona, wektory systemu mogą być traktowane nie jako wiersze, ale jako kolumny.

Algorytm dojścia układu wektorowego do złoża liniowego.

Przeanalizujmy algorytm na tyłkach.

Przykład rozszerzenia systemu wektorowego na ugór liniowy.

krupon.

Dany system wektorów. Dol_dzhuyte її na ugoru liniowym.

Rozwiązanie.

Ponieważ wektor wynosi zero, to układ wektorów powinien leżeć liniowo w trzeciej potędze.

Sugestia:

System vector_v depozyt liniowy.

krupon.

Obróć układ wektorów na ugór liniowy.

Rozwiązanie.

Nietrudno zapamiętać, że współrzędne wektora c są równe odpowiednim współrzędnym wektora , pomnożonym przez 3, a następnie . Dlatego system wektorowy jest liniowo odłogiem.

umysł viraz nazywa się liniowa kombinacja wektorów A 1 , A 2 ,..., A n ze współczynnikami λ 1, λ 2 ,..., λ n.

Wyznaczenie liniowego depozytu układu wektorów

System wektorowy A 1 , A 2 ,..., A n nazywa się ugór liniowy, Jak używać niezerowego zestawu liczb λ 1, λ 2 ,..., λ n, dla której liniowej kombinacji wektorów λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n wektor bliższy zera, system Tobto to: może być rozwiązaniem niezerowym.
Wybieranie numerów λ 1, λ 2 ,..., λ n є niezerowe, jeśli tylko jedna z liczb λ 1, λ 2 ,..., λ n na vіdminu przed zero.

Wyznaczenie liniowej niezależności układu wektorowego

System wektorowy A 1 , A 2 ,..., A n nazywa się liniowo niezależny, jako liniowa kombinacja tych wektorów λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n dać wektorowi zerowemu mniej niż zerowy zbiór liczb λ 1, λ 2 ,..., λ n , system Tobto to: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ jest tylko jedno zerowe rozwiązanie.

Zapas 29,1

Rewers, chi є liniowo odłogiem wektor_v

Rozwiązanie:

1. Budujemy system wyrównywania:

2. Virishuemo її metoda Gaus. Transformację systemu Jordana przedstawia tabela 29.1. Przy odbudowie właściwych części systemu odłamki smrodu są równe zeru i nie są zmieniane na przemiany Jordana.

3. Trzy pozostałe trzy rzędy w tabeli system z uprawnieniami do zapisu, równie silny systemy:

4. Otrimuemo zagalne rozwiązanie systemu:

5. Po przekazaniu sądowi orzekającemu wartości wolnej zmiany x 3 =1, tylko prywatna niezerowa decyzja X = (-3,2,1).

Wniosek: W ten sposób, przy niezerowym zbiorze liczb (-3,2,1), kombinacja liniowa wektora w wektorze zerowym to -3A1+2A2+1A3=Θ. Otzhe, system wektorowy jest liniowo odłogiem.

Moc systemów wektorowych

Moc (1)
Jeśli układ wektorów jest ułożony liniowo odłogiem, to jeśli jeden z wektorów jest ułożony za innymi, to jeśli tylko jeden z wektorów w układzie jest ułożony za innymi, układ wektorów jest ułożony liniowo odłogiem.

Moc (2)
Tak jak podsystem wektorowy jest odłogowany liniowo, tak cały system jest odłogowany liniowo.

Moc (3)
Tak jak system wektorowy jest liniowo niezależny, tak samo czy podsystem jest liniowo niezależny.

Moc (4)
Niezależnie od tego, czy jest to system wektorów, aby pomścić wektor zerowy, jest to ugór liniowy.

Moc (5)
Układ wektorów m-światów jest zawsze odłożony liniowo, ponieważ liczba wektorów n jest większa niż liczba wektorów (n>m)

Podstawa systemu wektorowego

Podstawa systemu wektorów A 1 , A 2 ,..., A n taki podsystem B 1 , B 2 ,...,B r(skórka z wektorów B 1 ,B 2 ,...,B r є jeden z wektorów A 1 , A 2 ,..., A n) , aby zadowolić nadchodzące umysły:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r liniowo niezależny układ wektorów;
2. jakikolwiek wektor j układy A 1 , A 2 ,..., A n są wyrażane liniowo przez wektory B 1 ,B 2 ,...,B r

r- Liczba wektorów zawartych w podstawie.

Twierdzenie 29.1 O pojedynczej podstawie układu wektorów.

Jako system wektorów m-światów zastępujących m różnych pojedynczych wektorów E 1 E 2 ,..., E m , wszystkie smród stanowią podstawę systemu.

Algorytm znajdowania podstawy układu wektorów

Aby poznać podstawy układu wektorów A 1 ,A 2 ,...,A n konieczne jest:

• Złóż dwuwymiarowy układ wektorowy w jednorodny układ równych A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Kieruj swoim systemem

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Rozwiązanie. Shukaєmo zagalne rіshennya rіvnyan system

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Metoda Gaussa. Dla którego zapisujemy jednorodny układ współrzędnych:

Macierz systemowa

System może patrzeć na: (r A = 2, n= 3). System jest spіlna i jest niewidoczny. ї zagalne orzeczenie ( x 2 - bezpłatna zmiana): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => x o = . Obecność niezerowego rozwiązania prywatnego, na przykład, aby mówić o tych wektorach a 1 , a 2 , a 3 depozyty liniowe.

tyłek 2.

Z'yasuwati, chi dany system vector_v liniowo odłogiem lub liniowo niezależnym:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Rozwiązanie. Przyjrzyjmy się jednorodnemu systemowi wyrównywania a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

ale na spalonego patrzy (za współrzędne)

System jest jednolity. Jeśli nie jest wirogenną, jest tylko jedno rozwiązanie. Jak radzić sobie z jednorodnym systemem jest rozwiązaniem zerowym (trywialnym). Również czasami system wektorów jest niezależny. Cóż, w systemie Virogen mogą być decyzje niezerowe i dlatego jest odłogiem.

Dokonujemy przeglądu systemu pod kątem wirogenności:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

System Nevirogen i, otzhe, vectori a 1 , a 2 , a 3 liniowo niezależny.

Menedżer. Z'yasuvati, chi jest dany system wektorów є liniowo odłogiem lub liniowo niezależnym:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Aby poinformować, że system wektorowy będzie odłogowany liniowo, aby się nie mścił:

a) dwa równe wektory;

b) dwa wektory proporcjonalne.