Lider liniowych wektorów odłogowych. Podstawa systemu wektorowego

Później zadanie przeskalowania układu wektorów do liniowości sprowadza się do zadania wyznaczenia rzędu macierzy złożonej z wektorów układu.

Należy zauważyć, że dla p> n układ wektorowy będzie liniowo odłogiem.

Poszanowanie: Kiedy macierze A są złożone, wektory systemu mogą być traktowane nie jako wiersze, ale jako kolumny.

Algorytm dojścia układu wektorowego do złoża liniowego.

Przeanalizujmy algorytm na tyłkach.

Zastosuj odpowiedni układ wektorowy do złoża liniowego.

Krupon.

Dany system wektorów. Dol_dzhuyte її na ugoru liniowym.

Rozwiązanie.

Ponieważ wektor c wynosi zero, to wyjściowy układ wektorów jest liniowo odłogiem ze względu na trzecią potęgę.

Wskazówka:

System wektorowy jest odłożony liniowo.

Krupon.

Kontynuuj układ wektorów do przygotówki liniowej.

Rozwiązanie.

Nie jest łatwo zapamiętać, że współrzędne wektora c są równe współrzędnym wektora pomnożonym przez 3. Dlatego system wektorowy jest liniowo odłogiem.

spotkanie 1. Kombinacja liniowa wektorów to suma kreacji tych wektorów na skalarach
:

spotkanie 2. system wektorowy
nazywa się liniowym układem odłogowym, ponieważ liniowa kombinacja їх (2,8) dochodzi do zera:

dlaczego wśród liczb?
nie chce b jednego, vіdmіnne vіd zero.

spotkanie 3. wektory
nazywane są liniowo niezależnymi, ponieważ ich liniowa kombinacja (2.8) zwraca się do zera tylko raz, jeśli wszystkie liczby.

Z tego punktu widzenia możesz usunąć konsekwencje.

ślad 1. W liniowym odłogowym systemie wektorów jeden wektor może być użyty jako liniowa kombinacja innych.

Przynoszący. Niech Vikonano (2,9) i niech będzie znaczące, współczynnik
. Może również:
. Z szacunkiem, co jest sprawiedliwe i odwracalne.

Konsekwencja 2. Jak system wektorowy
aby pomścić wektor zerowy, system jest (obov'yazkovo) liniowo odłogowany - dowód jest oczywisty.

ślad 3. yakscho środek n wektor_v
być jak k(
) Wektory są osadzane liniowo, to wszystkie n wektor_w depozytach liniowych (dowód oportunistyczny).

2 0 . Liniowe kombinacje dwóch, trzech i czterech wektorów. Przyjrzyjmy się odżywianiu odłogu liniowego i prostopadłości wektorów na linii prostej, płaskości iw przestrzeni. Przedstawmy następujące twierdzenia.

twierdzenie 1. Aby dwa wektory były liniowo odłogiem, konieczne i wystarczające jest, aby smród był współliniowy.

konieczność. pozwól mi wektorem і depozyty liniowe. Tse oznacza, że ​​ich kombinacja liniowa
= 0 i (ze względu na umówienie)
. Dźwięki zazdrości
, I (w zależności od pomnożenia wektora przez liczbę) і współliniowy.

dostateczność. pozwól mi wektorem і współliniowy ( ║) (Zakłada się, że smród ma postać wektora zerowego; w przeciwnym razie ich liniowy błąd jest oczywisty).

Z twierdzenia (2.7) (dział §2.1, poz. 2 0) wtedy
Więc co
, lub
- kombinacja liniowa jest równa zeru, ponadto współczynnik przy powodzenia 1 - wektor і depozyty liniowe.

Z punktu twierdzenia następna konsekwencja jest oczywista.

konsekwencja. yakscho wektori і NIE kolinearny, wtedy smród jest liniowo niezależny.

twierdzenie 2. Aby trzy wektory były liniowo nieświeże, konieczne i wystarczające, aby smród był spójny.

konieczność. pozwól mi wektorem ,і depozyty liniowe. Zostanie pokazane, że smród zgodności.

Liniowe występowanie wektorów według następujących liczb
і tak, że kombinacja liniowa
, І w tsiomu (na spotkanie)
. Todi z tsієї spokój można zobaczyć wektor :=
, wektor Tobto lepsze przekątne równoległoboku oparte na wektorach, aby stać w prawej części linii równości (ryc. 2.6). Tse oznacza, że ​​wektory ,і leżą w tej samej płaszczyźnie.

dostateczność. pozwól mi wektorem ,і komplanarność. Zostanie wykazane, że smród jest liniowo nieświeży.

W tym możliwość kolinearności dowolnej pary wektorów (ponieważ jeśli para jest kumulatywna liniowo, a w konsekwencji 3 (patrz punkt 1 0) wszystkie trzy wektory kumulują się liniowo). Z poważaniem, że taki dodatek obejmuje również podstawę wektora zerowego średnich wartości tych trzech.

Przesuńmy trzy współpłaszczyznowe wektory na jednej płaszczyźnie i przyniesiemy їх do głowy kolby. Przez koniec wektora rysowane prosto, równolegle do wektorów і ; otrimaєmo w tsimu vectori і (Rys.2.7) і NIE kolіnearnі dla wektorów pripuschennyam. Zvіdsi yiplyaє scho wektor =+. Po przepisaniu wartość oka (-1) ++= 0 ,і depozyty liniowe.

Z gotowego twierdzenia wynikają dwa wnioski.

ślad 1. Hej і NIE wektory współliniowe, wektor - dovіlny, scho leżeć w samolocie, jak to określają wektory і , Wektor. Naucz się tych samych liczb і tak

=+. (2.10)

ślad 2. yakscho wektori ,і NIE komplanarność, wtedy smród jest liniowo niezależny.

twierdzenie 3. Be-yakі chotiri vectori linіyno zalezhnі.

Dowód jest znikomy; Z pewnymi zmianami nie ma kopii dowodu Twierdzenia 2. Wyciągnijmy pewne wnioski z twierdzenia.

konsekwencja. Dla dowolnych wektorów niewspółpłaszczyznowych ,,i jakikolwiek wektor
і tak

. (2.11)

Poszanowanie. Dla wektorów w (trivimirnom) przestrzeni rozumienia odłogu liniowego i niezależności, możliwe jest, jak wynika z przewodnictwa twierdzeń 1-3, prosty sens geometryczny.

Pozwól mi mieć dwa odłogi liniowe і . W takiej sytuacji jeden z nich jest kombinacją liniową drugiego, co jest po prostu odwracane przez mnożnik liczbowy (np.
). Geometrycznie oznacza to, że wektory wykroczeń znajdują się na górnej linii prostej; smród może być taki sam lub odwrotnie (ryc. 2.8 xx).

Otóż ​​jeśli dwa wektory są posortowane jeden do jednego (rys. 2.9 xx), to w ten sposób nie można wziąć jednego z nich przez pomnożenie drugiego przez liczbę - takie wektory są liniowo niezależne. Otzhe, liniowa niezależność dwóch wektorów і oznacza, że ​​wektory q nie mogą być umieszczone w tym samym wierszu.

Oczywiste jest, że geometryczny sens odłogu liniowego i niezależność trzech wektorów.

pozwól mi wektorem ,і liniowo osadzone, a nie siano (w tym celu) wektor є liniowa kombinacja wektorów і , Tobto raztasovaniya w mieszkaniu, scho do zemsty vectori і . Tse oznacza, że ​​wektory ,і leżą w tej samej płaszczyźnie. Dość i nieubłaganie jędrna: jako wektor ,і leżą w jednym mieszkaniu, wtedy smród jest liniowo odłogowany.

W tej randze wektori ,і liniowo niezależny w tej i tylko tej jesieni, jakby smród nie leżał w jednym mieszkaniu.

3 0 . zrozumieć podstawę. Jednym z najważniejszych aspektów algebry liniowej i wektorowej jest zrozumienie podstaw. Przedstawmy spotkanie.

spotkanie 1. Para wektorów nazywana jest uporządkowaną, ponieważ wskazano, który wektor zakładu należy wziąć pod uwagę jako pierwszy, a który inny.

Spotkanie 2. zamówiona para ,wektory niewspółliniowe nazywane są bazą na płaszczyźnie, ponieważ są zdefiniowane przez dane wektory.

twierdzenie 1. dowolny wektor na płaszczyźnie mogą występować reprezentacje jako kombinacje liniowe podstawowego układu wektorów ,:

(2.12)

a wygląd jest taki sam.

Przynoszący. pozwól mi wektorem і ustalić podstawę. Niech to będzie wektor możesz sobie wyobrazić
.

Aby udowodnić jedność, można przyjąć jeszcze jeden układ
. Maj todi = 0, ponadto chcę, aby jedna z różnic była równa zero. Pozostają oznaczać, że wektory і liniowo odłogiem, a następnie współliniowym; Tse superechit stanowczość, scho śmierdzi podstawą.

Ale todi - rozprzestrzenia się do jednego.

spotkanie 3. Trio wektorów nazywa się uporządkowanymi, ponieważ wskazano, który wektor należy rozważyć jako pierwszy, który inny, a który trzeci.

spotkanie 4. Uporządkowane trio wektorów niewspółpłaszczyznowych nazywamy bazą w przestrzeni.

Tutaj również obowiązuje twierdzenie o ekspansji i jedności.

twierdzenie 2. być-wektorem mogą istnieć reprezentacje jako kombinacje liniowe podstawowego układu wektorów ,,:

(2.13)

a wszystkie przejawy są takie same (pominięto dowód twierdzenia).

W układach (2.12) i (2.13) wartości nazywane są współrzędnymi wektora w danej podstawie (dokładniej współrzędne powinowactwa).

Ze stałą podstawą
і
Możesz pisać
.

Na przykład jako podstawa do zadań
i biorąc to pod uwagę
, Nie oznacza to, że jest miejsce na manifestację (układ)
.

4 0 . Operacje liniowe na wektorach w postaci współrzędnych. Wprowadzenie podstawy umożliwia operacje liniowe na wektorach i zastępuje najważniejsze operacje liniowe na liczbach – współrzędne tych wektorów.

Niech zadania będą prawdziwą podstawą
. Oczywiście zadanie współrzędnych wektora na tej samej podstawie określa sam wektor. Są takie propozycje:

a) dwa wektory
і
Rivnі todі і tіlki tіlki todі, jeśli rіvnі їх vіdpovіdnі współrzędne:

b) przy mnożeniu wektora
według liczby Yogo koordynuj i pomnóż przez liczbę całkowitą:

; (2.15)

c) przy dodawaniu wektorów dodaje się podane współrzędne:

Udowodnij, że pominięto dominację tsikh; zróbmy to za tyłek mocy b). może

==

Poszanowanie. W pobliżu przestrzeni (na mieszkaniu) można wybrać wiele baz.

Przenieśmy przejście z jednej bazy do następnej, ustawimy sp_v_dnosheniya między współrzędnymi wektora w różnych bazach.

tyłek 1. Dla systemu podstawowego
biorąc pod uwagę trzy wektory:
,
і
. W podstawie ,,wektor może się rozłożyć. Poznaj współrzędne wektora w podstawie
.

Decyzja. Układ majowy:
,
,
; otzhe,
=
+2
+
= =
, następnie
w podstawie
.

tyłek 2. Pozwól mi przejść do prawdziwych podstaw
kilka wektorów jest podanych przez ich współrzędne:
,
,
і
.

Z'yasuwati, chi uspokoić wektori
podstawa; w pozytywny sposób poznać układ wektora na jakiej podstawie.

Decyzja. 1) wektory stanowią podstawę, o ile są liniowo niezależne. Przechowujemy liniową kombinację wektorów
(
) І z'yasuєmo, dla tych
і zwraca się do zera:
= 0. może:

=
+
+
=

W celu równości wektorów w postaci współrzędnych konieczne jest wprawienie w ruch układu (liniowo jednorodnych algebraicznych) wyrównań:
;
;
, Wyznacznik yakoї
=1
, dzięki czemu system może być (mniej) trywialnym rozwiązaniem
. Tse oznacza liniową niezależność wektorów
і, otzhe, smród, aby zaspokoić podstawę.

2) wektor rozproszenia na jakiej podstawie. może: =
lub w postaci współrzędnych.

Przechodząc do równości wektorów w postaci współrzędnych, usuwamy układ liniowych niejednorodnych wyrównań algebry:
;
;
. Virishyuchi її (na przykład zgodnie z regułą Cramera), bierzemy:
,
,
і (
)
. Czy mogę rozłożyć wektor w podstawie
:=.

5 0 . Rzut wektora na całość. Moc projekcji. Pozwól mi odejść od wszystkiego ja, Tobto bezpośrednio zajmiemy się tym bezpośrednio i zróbmy zadania wektora rzeczywistego .Zdefiniuj pojęcie rzutu wektora przez cały ja.

wizyta, umówione spotkanie. projekcja wektorowa przez cały ja tvir modułu tego wektora nazywa się cosinusem kuta mizh vіssu ja i wektor (rys.2.10):

. (2.17)

Ostatnia z nominacji to stwierdzenie o tych, które są równymi wektorami i mogą mieć równe rzuty (na jedną i tę samą całość).

Wyraźnie dominujące prognozy.

1) rzut sumy wektorów na dzień wszystkich ja dodaj sumę rzutów dodatkowych wektorów na tę samą całość:

2) Rzut utworzonego skalara na wektor jest droższe, aby dodać ten sam skalar na rzut wektora na tę samą oś:

=
. (2.19)

konsekwencja. Rzut liniowej kombinacji wektorów na wszystkie inne liniowe kombinacje ich rzutów:

Udowodnij, że pominięto autorytet.

6 0 . Prostokątny układ współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni.Rozkład wektora przez wektory osi. Jako podstawę wybierzmy trzy wzajemnie prostopadłe wektory; dla nich wprowadzamy specjalne oznaczenia
. Umieszczając je na kolbie do punktu O, Skierowany wzdłuż nich (vіdpovіdno do orts
) Osie współrzędnych Wół,Oy iO z(Weźmy wszystko na to z pozytywną linią bezpośrednią, na kolbie w vіdlіku i samotności, nazywa się to współrzędną vіssyu).

wizyta, umówione spotkanie. Układ trzech wzajemnie prostopadłych osi współrzędnych z głowicą i głowicą jest uporządkowany i nazywany prostokątnym kartezjańskim układem współrzędnych w przestrzeni.

oś Wół nazywa się całą odciętą, Oy- wszystkie rzędne іO z – Aplikacja Visyu.

Zajmijmy się układem pewnego wektora zgodnie z podstawą
. Trzy twierdzenia (zob. §2.2, pkt 30, (2.13)) wyraźnie pokazują, że:
może być jedną i tą samą kolejnością aranżacji wg podstawy
(Tu możesz zmienić współrzędne
przyzwyczaić się
):

. (2.21)

W (2.21)
istota współrzędnych (prostokątnych kartezjańskich) wektora . Zwrot współrzędnych kartezjańskich określa twierdzenie.

twierdzenie. Kartezjańskie współrzędne prostokątne
wektor є rzuty tego wektora są widoczne na osi Wół,Oy iO z.

Przynoszący. wektor pomіstimo do kolby układu współrzędnych - punkt O. Todi yogo kіnets bude zbіgatisya z punktem deakoy
.

Przejdźmy przez punkt
trzy płaszczyzny równoległe do płaszczyzn współrzędnych Oyz,Oxzі Oxy(Rys.2.11 xx). Bierzemy tylko:

. (2.22)

W (2.22) wektory
і
nazywane są wektorami magazynu
wzdłuż osi Wół,Oy iO z.

przepuść to
і oznaczone jako dobre kuti, zatwierdzone przez wektor z orkami
. Natomiast dla magazynów wymagane są następujące formuły:

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

Od (2.21), (2.22) (2.23) wiemy:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

- współrzędne
wektor є rzuty wektora na oś współrzędnych Wół,Oy iO z oczywiście.

Poszanowanie. liczby
nazywane są cosinusami bezpośrednimi wektora .

moduł wektorowy (Przekątna równoległościanu prostokątnego) obliczana jest według wzoru:

. (2.24)

Ze wzorów (2.23) i (2.24) wynika, że ​​cosinusy bezpośrednie można obliczyć ze wzorów:

=
;
=
;
=
. (2.25)

Zvodyachy obraża części skóry zrównoważenia w (2.25) i dodając termin po semestrze lewą i prawą część usunięcia równości, otrzymujemy wzór:

- nie bądź jak trzy kuti utvoryuyut deaky bezpośrednio w przestrzeni, ale tylko mniej t, cosinusy takiego pov'yazan svvdnoshnennyam (2.26).

7 0 . Promień wektora i współrzędne punktu.Oznaczenie wektora na kolbie Yogo i kіntsia. Przedstawmy spotkanie.

wizyta, umówione spotkanie. Wektor promieniowy (wskazany ) Nazywa się wektor, który zadnuє kolbą współrzędnych O z kropką (ryc. 2.12 xx):

. (2.27)

Be-yakіy wskazuje na przestrzeń vіdpovіdaє singy wektor promienia (i z powrotem). W tej kolejności punkty przestrzeni mogą być reprezentowane w algebrze wektorów przez ich wektory promieniowe.

Oczywiście współrzędne
zwrotnica mє rzuty її wektor promienia
na osi współrzędnych:

(2.28’)

i w taki sposób

(2.28)

- wektor promieniowy punktu jest wektorem, którego rzuty na osie współrzędnych odpowiadają współrzędnym punktu. Brzmi jak dwa wpisy:
і
.

Odbieramy wzory do obliczania rzutów wektora
za współrzędne Yogo na kolbie - punkty
ja kintsya - punkty
.

Narysuj wektor promienia
ja wektor
(Rys.2.13). Bierzemy pod uwagę, że

=
=(2.29)

- rzuty wektora na wektory współrzędnych równe różnicom odpowiednich współrzędnych końca i kolby wektora.

8 0 . Operacje na współrzędnych kartezjańskich.

1) zrozumieć kolinearność wektorów . Obowiązują 3 twierdzenia (patrz §2.1, punkt 2 0, wzór (2.7)), które dla kolinearności wektorów і jest to konieczne i wystarczające, aby spіvvіdnoshennia zwyciężyła: =. Dla tej równości wektora, bierzemy trzy we współrzędnych postaci równości :

(2.30)

- dla wektorów współliniowych і konieczne i wystarczające, aby ich odpowiednie współrzędne były proporcjonalne.

2) poruszaj się między kropkami . Z wyglądu (2.29) widzisz to, co widzisz
między punktami
і
formuła vyznaetsya

=
=. (2.31)

3) podіl vіdrіzka vіdnomu vіdnoshenі . Daj mi punkt
і
i okiennice
. potrzebuję wiedzieć
- współrzędne punktu m (Rys.2.14).

Proszę zrozumieć kolinearność wektorów:
, gwiazdy
і

. (2.32)

Z (2.32) przyjmuje się w postaci współrzędnych:

Ze wzorów (2,32') można wziąć wzór na obliczenie współrzędnych środka klina
, pomimo
:

Poszanowanie. Spójrzmy
і
odłogiem dodatnim lub ujemnym, w zależności od tego, czy biegną prosto po kolbie
wiatr do końca
, inaczej nie uciekaj. Następnie postępując według wzorów (2,32) - (2,32") możesz poznać współrzędne punktu do podzielenia linii
ranga zovnіshnіm, więc co podzielić punkt m być na wyprzedaży
, a nie w środku jogi. Z kim to oczywiste
.

4) wyrównanie powierzchni kulistych . Niwelacja magazynowa powierzchni kulistych - punkty geometryczne
, Rivnoviddalenikh na vіdstan widok stałego środka - punkty
. Widać, że w tej vipadce
i z poprawą wzoru (2.31)

Poziomowanie (2.33) i poziomowanie powierzchni kulistej.

Zawdannia 1. Z'yasuvati, chi є system wektorów jest liniowo niezależny. Układ wektorów zostanie złożony przez macierz układu, której kolumny są sumowane ze współrzędnych wektorów.

.

Rozwiązanie. Kombinacja chodź na linii równa się zero. Po wpisaniu wartości we współrzędnych przyjmiemy układ wyrównawczy:

.

Taki system równości nazywa się trikut. Jest tylko jedno rozwiązanie . Ojciec, wektory liniowo niezależny.

Zadanie 2. Z'yasuvati, chi є liniowo niezależny układ wektorów.

.

Rozwiązanie. wektory liniowo niezależny (zadanie dz. 1). Załóżmy, że wektor jest liniową kombinacją wektorów . Współczynniki rozkładu przez wektory vynachayutsya z systemu równego

.

System Tsya, podobnie jak trikutna, ma jedno rozwiązanie.

Ojciec, system wektorów liniowo odłogiem.

Poszanowanie. Matryce tego rodzaju, podobnie jak w zadaniu 1, nazywamy zdradliwy , A w zadaniu 2 - często trudne . Informacja o liniowości układu wektorów jest łatwa do pomyłki, ponieważ macierz składa się ze współrzędnych tych wektorów i często jest trudna. Jeśli matryca nie ma specjalnej formy, to o pomoc elementarna transformacja wierszy , Scho zberіgayut linear spіvvіdnoshennia mіzh stovptsami, її można zredukować do podobnie trudnego wyglądu.

Przekształcenia elementarne rzędów macierze (EPC) nazywamy takimi operacjami na macierzy:

1) permutacja wierszy;

2) mnożenie rzędu na danej liczbie zerowej;

3) dodatek do rzędu następnego rzędu pomnożony przez określoną liczbę.

Zadanie 3. Znajdź maksymalny podukład liniowo niezależny i oblicz rząd układu wektorów

.

Rozwiązanie. Skierujmy matrycę systemu za pomocą EPC do podobnego-często-trudnego wyglądu. Aby wyjaśnić kolejność dnia, wiersz z liczbą jest przekształcany w macierz ze znaczącym symbolem. Z tyłu kolumny strzałki są pokazane nad rzędami, macierze są przekształcane, tak jakby do usunięcia rzędów nowej matrycy potrzebna była wikonat.

.

Jest oczywiste, że dwie pierwsze kolumny usuniętej macierzy są liniowo niezależne, trzecia kolumna jest kombinacją liniową, a czwartej kolumny nie można znaleźć w dwóch pierwszych. wektory nazywane są podstawowymi. Ustalają maksymalny liniowo niezależny podsystem systemu , A ranga systemu to trzy.

Podstawa, współrzędne

Zadanie 4. Znajdź bazę i współrzędne wektorów w tej bazie na anonimowych wektorach geometrycznych, których współrzędne cieszą umysł .

Decyzja. Bezlіch є flat, scho, aby przejść przez kolbę współrzędnych. Dodatkowa baza na płaszczyźnie składa się z dwóch wektorów niewspółliniowych. Współrzędne wektorów w odwróconej podstawie są przypisywane rozwiązaniom odpowiedniego układu linii trasowania.

Іsnuє th іnshіy sposіb vyvіshennya tsgogo zavdannya, jeśli znasz podstawę współrzędnych.

współrzędne przestrzeń nie jest współrzędnymi na mieszkaniu, więc smród , Tobto nie є niezależne. Zmienne niezależne i (śmierdzi nazywane są wolnymi) jednoznacznie przypisują wektor na obszarze i, dzięki czemu można je wziąć ze współrzędnymi w. ta sama podstawa składa się z wektorów, które leżą w różnych zbiorach w zmiennych swobodnych і , następnie .

Zadanie 5. Znajdź bazę i współrzędne wektorów w tej bazie na bezosobowych wszystkich wektorach w przestrzeni, które mają niesparowane współrzędne równe sobie.

Decyzja. Vibero, podobnie jak ja w zadaniu do przodu, koordynuje w przestrzeni.

więc jaka , To się zmieni jednoznacznie przypisz współrzędne wektora z і, otzhe, є. Podstawa zmiennej składa się z wektorów.

Zadanie 6. Znajdź bazę i współrzędne wektorów w tej bazie na bezosobowych macierzach wszystkich w postaci , de - całkiem sporo.

Decyzja. Macierz skóry jest unikatowo reprezentowana na pierwszy rzut oka:

Tse spіvvіdnoshennia є razladannyam wektor z na podstawie
ze współrzędnymi .

Zadanie 7. Znajomość rozwinięcia i podstawy obwiedni liniowej układu wektorowego

.

Rozwiązanie. Przekształćmy za pomocą macierzy EPC współrzędne wektora w układzie na podobnie skomplikowany wygląd.

.

stovptsi pozostałe macierze są liniowo niezależne, a pozostałe macierze liniowo wyginaj się przez nie. Ojciec, wektory ustalić podstawę , і .

Poszanowanie. podstawa w wybrane niejednoznacznie. Na przykład wektor również ustalić podstawę .

Hej L - liniowa przestrzeń nad polem r . Hej A1, A2, ..., an (*) System wektorów Kintseva L . wektor V = A1 × A1 +A2 × A2 + ... + × jakiś (16) zwany Liniowa kombinacja wektorów ( *), lub powiedz jaki wektor V odwrócony liniowo przez system wektorów (*).

Spotkanie 14. System wektorowy (*) nazywa się ugór liniowy , Wtedy i tylko raz, jeśli istnieje taki niezerowy zbiór współczynników a1, a2, ..., an, że a1 × A1 +A2 × A2 + ... + × jakiś = 0. Co powiesz na a1 × A1 +A2 × A2 + ... + × jakiś = 0 Û a1 = a2 = ... = an = 0, wtedy system (*) nazywa się Liniowo niezależny.

Siła odłogu liniowego i niezależność.

10. Jeżeli układ wektorów może zastąpić wektor zerowy, to jest on odłożony liniowo.

Zdecydowanie tylko w systemie (*) wektor A1 = 0, 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Jeżeli układ wektorów zastępuje dwa wektory proporcjonalne, to jest on odłożony liniowo.

Hej A1 = L× A2. Todi 1 × A1 -l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. System endian wektorów (*) z n ³ 2 jest liniowo odłogiem, nawet jeśli pożądany jest tylko jeden z wektorów w kombinacji liniowej innych wektorów w systemie.

Þ Nehai (*) jest liniowo odłogiem. Wtedy istnieje niezerowy zbiór współczynników a1, a2, ..., an, dla których a1 × A1 +A2 × A2 + ... + × jakiś = 0 . Nie niszcząc senności, możesz uznać, że a1 ¹ 0. A1 = × a2 × A2 + ... + × i × A N. Otze, wektor A1 є liniowa kombinacja innych wektorów.

Ü Niech jeden z wektorów (*) będzie kombinacją liniową pozostałych. Możesz wpisać, który jest pierwszym wektorem, tj. A1 = B2 A2+ ... + bn A N, Zvіdsi (-1) × A1 + b2 A2+ ... + bn A N= 0 , T.E. (*) Ugór liniowy.

Szacunek. Pozostała moc Vikoristovuyuchi, możesz datować wyznaczenie liniowego błędu i niezależność niewyczerpanego systemu wektorów.

Spotkanie 15. system wektorowy A1, A2, ..., an , ... (**) jest nazywany odłogiem liniowym, Po prostu chcę mieć jedną wektor є liniową kombinację końcowej liczby innych wektorów. W inny sposób system (**) nazywa się Liniowo niezależny.

40. System wektorów Kіntseva jest liniowo niezależny tylko i tylko wtedy, gdy możliwe jest liniowe łączenie przez inne wektory.

50. Tak jak system wektorowy jest liniowo niezależny, tak też czy podsystem jest również liniowo niezależny.

60. Skoro podsystem tego układu wektorów jest odłogiem liniowym, to cały układ jest odłogiem liniowym.

Podam dwa systemy wektorów A1, A2, ..., an , ... (16) i B1, B2, ..., BS, ... (17). Jeśli wektor skóry układu (16) można przedstawić jako liniową kombinację końcowej liczby wektorów w układzie (17), to możemy powiedzieć, że układ (17) jest liniowo wyrażony przez układ (16).

Spotkanie 16. Nazywa się dwa systemy wektorów równowartość , ponieważ ich skóra jest liniowo wyrażona przez język.

twierdzenie 9 (Podstawowe twierdzenie o odłogu liniowym).

daj mi znać - dwa systemy wektorów końcowych L . Ponieważ pierwszy system jest liniowo niezależny i liniowo obraca się przez przyjaciela, to nzł.

Przynoszący. Załóżmy, że n> S. Za twierdzeniem o umyśle

całkowity. Ponieważ liczba równych jest większa niż liczba niewiadomych, system może być nieskończenie bogatszy w rozwiązania. Ojcze, ona ma niezerową X10, x20, ..., xN0. Przy tych wartościach równość (18) będzie prawdziwa, co zastępuje fakt, że układ wektorów jest liniowo niezależny. Ojcze, nasze przyznanie się nie jest poprawne. otzhe, nzł.

Konsekwencja. Ponieważ w Chinach istnieją dwa równoważne systemy wektorów i są liniowo niezależne, smród pomści tę samą liczbę wektorów.

Spotkanie 17. System wektorowy nazywa się Maksymalny liniowo niezależny układ wektorów przestrzeń liniowa L , Ponieważ jest liniowo niezależna, ale dodając do niej, może być jakiś wektor L , aby Scho nie wchodzić w ten system, staje się on już liniowo odłogiem.

Twierdzenie 10. Be-yakі dvі kіntsevі maksymalne liniowo niezależne systemy wektorowe L Kompensuj taką samą liczbę wektorów.

Przynoszący jasne jest, że istnieją dwa równoważne maksymalnie liniowo niezależne układy wektorów .

Łatwo jest sprowadzić, scho być liniowo niezależnym systemem wektorowym w przestrzeni L można rozszerzyć do maksymalnie niezależnego liniowo układu wektorów w całej przestrzeni.

zastosować:

1. Dla bezosobowych wszystkich współliniowych wektorów geometrycznych musi istnieć system składający się z jednego niezerowego wektora, który jest maksimum liniowo niezależnym.

2. Dla bezosobowych wszystkich współpłaszczyznowych wektorów geometrycznych, czy dwa wektory niewspółliniowe tworzą układ maksymalnie liniowo niezależny.

3. W braku twarzy wszystkich możliwych wektorów geometrycznych w trywialnej przestrzeni euklidesowej układ trzech wektorów niewspółpłaszczyznowych jest liniowo niezależny od maksimum.

4. Wielomiany bezosobowe nie mają więcej kroków n Przy efektywnych (złożonych) współczynnikach układ wielomianów 1, x, x2, ..., xnЄ maksymalna liniowo niezależna.

5. Dla wielomianów bezosobowych o współczynnikach rzeczywistych (złożonych), niedopałki układu maksymalnego liniowo niezależnego

a) 1, x, x2, ..., xn, ...;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N,...

6. Bezosobowa macierz przestrzeni m´ nє przestrzeń liniowa (odwrócona). Kolbą maksymalnego układu niezależnego liniowo w tej samej przestrzeni jest układ macierzy E11= , E12 =, ..., EMn = .

Niech dany będzie układ wektorów C1, c2, ..., cf (*). Podsystem wektorowy s (*) nazywa się Maksymalna liniowa niezależna podsystem system ( *) , Nawet jeśli jest liniowo niezależny, ale jeśli dodasz do tego, czy będzie jakiś inny wektor, to system stanie się liniowo odłogiem. Jeśli system to (*) Kіntsev, to niech będzie to maksymalny liniowo niezależny podsystem, który pomści jeden i tę samą liczbę wektorów. (Dowód należy wykonać samodzielnie). Liczba wektorów w maksymalnym liniowo niezależnym podsystemie układu (*) nazywa się ranga Systemy Tsієї. Oczywiście równoważne systemy wektorowe mogą mieć te same rangi.

Ugór liniowy i niezależność wektora

Wyznaczanie liniowych odłogów i niezależnych systemów wektorowych

spotkanie 22

Pozwól, że przedstawię system n-wektorów i może zbiór liczb
, następnie

(11)

nazywana jest kombinacją liniową danego układu wektorów o zadanym zbiorze współczynników.

spotkanie 23

system wektorowy
nazywa się odłogiem liniowym, jako taki zbiór współczynników
, Jeżeli tylko jeden z nich nie jest równy zeru, to kombinacja liniowa danego układu wektorów ze zbiorem współczynników jest równa wektorowi zerowemu:

Hej
, następnie

Spotkanie 24 ( poprzez manifestację jednego wektora systemu w postaci liniowej kombinacji innych)

system wektorowy
nazywa się odłogiem liniowym, nawet jeśli jeden z wektorów w systemie może być reprezentowany w wizualnie liniowej kombinacji innych wektorów w systemie.

hartowanie 3

Wyznaczono 23 i 24 ekwiwalenty.

spotkanie 25(Poprzez kombinację linii zerowej)

system wektorowy
nazywa się liniowo niezależnym, więc zerowa kombinacja liniowa układu może być możliwa tylko dla wszystkich
równy zero.

spotkanie 26(Ze względu na niemożność przedstawienia jednego wektora systemu wygląda to jak liniowa kombinacja innych)

system wektorowy
nazywa się liniowo niezależnym, ponieważ żaden z wektorów w systemie nie może być reprezentowany przez liniową kombinację innych wektorów w systemie.

Dominacja liniowo odłogowych i niezależnych układów wektorów

twierdzenie 2 (Wektor zerowy w układzie wektorów)

Jeżeli w układzie wektorów jest wektor zerowy, to układ jest odłogowany liniowo.

 Chodź
, Todi.

zajęty
, Otzhe, do wyznaczenia odłogu liniowego układu wektorów przez zerową kombinację liniową (12) system jest odłogiem liniowym. .

twierdzenie 3 (Podsystem Depozyt w układzie wektorów)

Tak jak w układzie wektorów podsystem jest odłogiem liniowym, tak cały układ jest odłogiem liniowym.

 Chodź
- podsystem liniowy odłogiem
, którego środek, jeśli tylko jeden nie jest równy zero:

Tak więc, poza wyznaczeniem 23, system jest liniowo odłogowany. .

twierdzenie 4

Czy to podsystem liniowo niezależnego systemu liniowo niezależnego systemu.

 Pozornie sprzeczne. Niech system będzie liniowo niezależny iw podsystemie niy є liniowo odłogiem. Aletody po Twierdzeniu 3, cały system będzie również odłogowany liniowo. Czyszczenie. Również podsystem liniowo niezależnego systemu nie może być liniowo odłogowany. .

Geometryczny sens odłogu liniowego i niezależność układu wektorowego

twierdzenie 5

dwa wektory і liniyno odłogiem todi i tylko tіlki todi, jeśli
.

 Konieczność.

і - depozyty liniowe
, co jest w głowie?
. także
, Tobto
.

Dostępność.

Złoża liniowe. .

konsekwencja 5.1

Wektor zerowy jest współliniowy z dowolnym wektorem

konsekwencja 5.2

Aby dwa wektory były liniowo niezależne, jest to konieczne i wystarczające, więc nie współliniowe .

twierdzenie 6

Aby układ trzech wektorów był liniowo odłogiem, jest konieczne i wystarczające, aby wektory i wektory były współpłaszczyznowe .

 Konieczność.

- liniowo odłogiem, zatem jeden wektor może być reprezentowany przez kombinację liniową dwóch innych.

, (13)

de
і
. Za regułą równoległoboku є przekątna równoległoboku z bokami
, Ale równoległobok - figura płaska
współpłaszczyznowość
- także komplanarność.

dostateczność.

- zgodność. Do punktu B zgłaszamy trzy wektory:

C

B`

- depozyty liniowe 

konsekwencja 6,1

Wektor zerowy jest współpłaszczyznowy z dowolną parą wektorów.

konsekwencja 6.2

W celu wektoryzacji
jeśli jest liniowo niezależny, należy to zrobić, aby smród nie był spójny.

konsekwencja 6,3

Czy wektor płaszczyzny może być reprezentowany jako liniowa kombinacja dwóch niewspółliniowych wektorów na tej samej płaszczyźnie.

twierdzenie 7

Wektory Be-yakі chotiri w przestrzeni złóż liniowych .

 Rzućmy okiem na 4 vipadie:

Narysujmy płaszczyznę poprzez wektory, narysujmy płaszczyznę poprzez wektory i płaszczyznę poprzez wektory. Narysujmy płaszczyzny, które przechodzą przez punkt D, równolegle do par wektorów; ; oczywiście. Wzdłuż linii peretina samolotów będzie równoległościan OB 1 D 1 C 1 ABDC.

Patrzeć na OB 1 D 1 C 1 - równoległobok z regułą równoległoboku
.

Spójrzmy na OADD 1 - równoległobok (o mocy równoległościanu)
, następnie

Osadź równanie.3.

Zgodnie z twierdzeniem 1
Więc co. także
, ja na powołanie 24 system wektorowy jest liniowo odłogiem. .

konsekwencja 7.1

Suma trzech wektorów niewspółpłaszczyznowych w przestrzeni jest wektorem, który wyrasta z przekątnej równoległościanu, w oparciu o te trzy wektory, przyłożony do ucha kolby i ucha wektora sumi zbіgaєtsya z rogu kolby tych trzech wektorów.

konsekwencja 7.2

Jeśli weźmiesz 3 wektory niewspółpłaszczyznowe w przestrzeni, to czy jakikolwiek wektor tej przestrzeni może być ułożony w liniowej kombinacji tych trzech wektorów.