Razkladannya kailių vaikinų eilėje ir nesuporuotos funkcijos beselio parseval neefektyvumas. Riadi Fur'є: Matematinio mechanizmo istorija ir infuzija mokslo raidai

Riadi Fur'є - gana paimtos funkcijos kaina su konkrečiu laikotarpiu nuo viglyadi eilės. Žiūrint į išorę, sprendimas vadinamas elemento išdėstymu stačiakampiu pagrindu. Funkcijų įgyvendinimas daugeliui Fur'є užbaigti su įtempimo įrankiais, kai ugdomi plėtros darbuotojai šio pakartotinio diegimo institucijoms su integravimu, diferencijavimu, taip pat naudojant argumentus ir argumentus.

Liudinas, kuris nieko neišmano apie matematiką, bet ir apie prancūziškojo Fur'є šaknis, kuri viskam tinka ne garsui, o "eiliui" ir kam reikia smarvės. O tuo tarpu atkūrimo procesas iki pabaigos perėjo į mūsų gyvenimą. Jie priekaištauja ne be matematikos, o fizikos, chemijos, medikų, astronomų, seismologų, okeanografijos ir daugelio kitų. Leiskite mums iš arčiau susipažinti su didžiojo prancūzų vyndario protėviais, tarsi žvilgtelėkite į šauksmą, nes valanda buvo į priekį.

Liudina tai Fur'є reinkarnacija

Kailio serija yra viename iš metodų (analizės tvarka ir inshim) Procesą generuoja garsas, jei žmogus turi garsą. Mūsų „vuho“ automatiniu režimu yra elementarių dalelių atkūrimas spyruoklės centre, kuris yra išdėstytas paskutinės dienos grynumo vertės augimo tonų eilėje (už spektro ribų). Tolimas protas atkuria duoklę mūsų gautiems garsams. Visos užduotys turi būti apsuptos mūsų pačių žinių apie įrodymus, o norint suprasti procesą, būtina žinoti, kaip tai atlikti matematikoje.

Pranešimas apie Fur'є transformaciją

Kailio reinkarnacija gali būti atliekama analitiniais, skaitiniais ir „inshim“ metodais. Nemažai Fur'є nurodo skaitinį bet kokių kolivalinių procesų išdėstymo metodą – nuo ​​vandenyno potvynių ir lengvų šaltkrėčių iki mieguistumo (tų astronominių objektų) veiklos ciklų. Galima pasirinkti funkcijas, kurios atspindi daugybę sinusoidinių saugojimo procesų, pavyzdžiui, sinusoidinių sandėlių seriją, kurios juda nuo minimumo iki maksimumo ir atgal. Pakartotinai įdiegta funkcija Fur'є, kuri apibūdina sinusoidų fazę ir amplitudę, kurios rodo dainavimo dažnius. Visas procesas gali būti pergalingas kuriant dar daugiau sulankstomų rivinų, apibūdinančių dinamiškus procesus, kylančius dėl šilumos, šviesos ir elektros energijos. Be to, daugelis Fur'є leidžia vizualizuoti ištisinius sandėlius sulankstomų susidūrimo signalų metu, todėl tapo įmanoma teisingai interpretuoti eksperimentines atsargumo priemones medicinoje, chemijoje ir astronomijoje.

Istorinis pareiškimas

Teorijos tėvas – prancūzų matematikas Jeanas Bathistas Josephas Fur'є. Yogo im'yam zgod i bulo vadinamas perkūrimu. Šiame implantavimo ir šilumos laidumo – šilumos plėtimosi kietuose kūnuose – mechanizmams rasta idėjų rinkinys. Kailis, jį paleidus, su netaisyklingų ataugų pabarstu, galima išskleisti ant paprasčiausio sinusoidės, odos temperatūros minimumo ir maksimumo, taip pat savo fazės. Esant plačiam odos spektrui, toks komponentas prarandamas nuo minimalaus iki didžiausio atgal. Matematinė funkcija, apibūdinanti viršutinę ir apatinę kreivės smailes, taip pat odos harmonikų fazę, buvo vadinama Fur'є atkūrimu temperatūros kilimo forma. Išorinės funkcijos teorijos autorius, kadangi svarbu laikytis matematinio aprašymo, dar labiau vadovo kosinuso ir sinuso eilėje, tačiau apibendrinant, pateikia ne- dėžutės išleidimo anga.

Iš naujo vaidinimo principas ir žvilgsnis į vakarėlį

Matematikos istorijos dalyviai – ankstyviausi XIX amžiaus matematikai – teorijos nepriėmė. Pagrindinius teiginius Fur' padarė apie tuos, kurie turi funkciją, kaip apibūdinti tiesę ar kreivę, kaip atsiverti, galima mokėti mokesčius prie sinusinių bangų sumos, kurios yra be pertrūkių. Jako užpakalis matosi Heaviside „susirinkimas“. Funkcijos kokybė yra dėl to, kad elektros strumas susikaupia nuo paros laiko, kai lantsyug yra supainiotas. To meto teorijos dalyviai neprisirišo prie tokios situacijos, nors virazas buvo apibūdintas nepakartojamų, nepaprastų funkcijų deriniu, pavyzdžiui, eksponentas, sinusoidas, linija yra abo-kvadratinė.

Kodėl prancūzų matematikams buvo naudinga kailių teorija?

Net jei matematiką domina jo tvirtumas, tada, jei yra nesibaigianti trigonometrinė Fur'є serija, galima tiksliau išskaityti dažno posūkio pasireiškimą tokio kritimo metu, tarsi tokio dalyko nėra. . XIX amžiaus ausyse solidumas atrodė absurdiškas. Nors ir nesvarbus visomis žiniomis, daugelis matematikų išplėtė reiškinio įvedimo sritį, išgyvendami jį per pastaruosius kelerius šilumos laidumo metus. Dažniausiai dauguma mokinių vargdavo dėl maisto: „Kaip sinusoidinių eilučių suma gali susilyginti su tikslia pasiskirstymo funkcijos verte?

Eilučių panašumas Fur'є: užpakalis

Mityba apie papildomų skaičių poreikį. Patogesniam reiškiniui matosi klasikinis užpakalis. Ar sugebėtumėte, jei niekaip nepavyks pasiekti taško, kaip liesas įžeidžiantis krokas bus mažiausias kitam? Tarkime, kad esate du metrai nuo kelio, krokusas yra arti pusiaukelės, puolimas yra iki trijų ketvirčių, o po kito pasieksite 97-ąjį kelią. Tačiau žodžiai b ir v nepadarė kreivos, numatyto ženklo nepasieksite griežta matematine prasme. Vikoristovuchi skaitinė rosrahunka, galima atsinešti, kad su leidimu galima priartėti prie mažiausio duomenų rinkinio. Danija įrodo, kad tai prilygsta įrodymui, kad bendra vieno kito vertė, ketvirtadalis, bus pragmatiška tik vienam.

Verslo mityba: ateina draugas lordo Kelvino Priladui

Maisto kaina kartojosi XIX amžiaus pabaigoje, nes daugelis Fur'є bandė zasosuvati numatyti padidėjusių ir potvynių intensyvumą. Valandos pabaigoje buvo pritvirtintas lordas Kelvinas buv vinaydeny, kuris yra analogiškas skaitinis priedas, leidęs Rusijos ir prekybinio laivyno jūreiviams parodyti gamtos reiškinį. Daniškas mechanizmas, pradedant fazių ir amplitudių rinkimą pagal praplovimų dažnių ir esamų laiko momentų lenteles, kurios laikinai užšalusios šiame uoste, besitęsiančios iki uolos. Odos parametras turi sinusoidinį srauto greičio komponentą viraz ir vieną iš įprastų sandėlių. Vimiryuvano rezultatai buvo įtraukti į lordo Kelvino skaičiavimus, kurie susintetino kreivę, kuri perkėlė persvaros aukštį į komandos puolimo likimo funkciją. Nepastebimi rutuliukų išlinkimai sulenkti visuose pasaulio uostuose.

O kaip procesą sunaikins mažmeninės prekybos funkcija?

Tą valandą tapo aišku, kad viskas gerai, kad tai pereina į liejimo ligą, kadangi rakhunkoje yra daug elementų, galima suskaičiuoti daugybę fazių ir amplitudių ir taip išvengti tikslesnio perdavimo. Atsirado protestas, kad dėsningumas neatsirastų ramiems žmonėms, jei potvynių virazas, kuris yra slydimas sintezuojantis, atskleidžiantis stiprų striboką, todėl jis bus rožinis. Tuo pačiu metu, jei reikia įvesti duomenis iš laiko momentų lentelių, tada neįmanoma apskaičiuoti Fur'є decilko normų skaičiaus. Konkreti funkcija atnaujinama į sinusoidinius komponentus (pagal žinomą veikimą). Tvirtumas tarp išeinančio ir atsinaujinančio viraz galimas bet kuriuo metu. Perskaičiavus tą nutartį, matyti, kad didžiausio atleidimo vertė nesikeičia. Tačiau smarvė yra lokalizuota toje vietoje, kur bus rodomas pjovimo taškas, o jei jis bus taškas, jis praleis nulį. 1899 m. buvo patvirtintas Joshua Willardo Gibbso iš Ulskio universiteto teorinio patvirtinimo rezultatas.

Fur'є serijos panašumas ir matematikos raida apskritai

Analiz Fur'є nesustingsta iki pertraukų, o tam, kad dainavimo intervale atlaikytų begalinį purslų skaičių. Visoje Fur'є serijoje burbuolės funkcija yra tikro fizinio vimiro rezultatas, kuris visada susilieja. Pateikto proceso mityba konkrečioms funkcijų klasėms buvo iškelta iki naujų matematikos šakų, pavyzdžiui, socialinių funkcijų teorijos, atsiradimo. Vona siejama su tokiais vardais kaip L. Schwartz, J. Mikusinsky ir J. Temple. Bula teorijos rėmuose yra nustatytas tokio virazi skaitymas ir tikslus teorinis pagrindas, kaip ir Diraco delta funkcija (apibūdinsiu vienos srities plotą, susitelkusį be galo mažame pakraštyje). taškas) ir Hevіraz "žingsnis". „Fur'є“ robotų serijos režisieriai pasislėpė už kaimo ir pramoninių pastatų transliavimą, kuriame intuityvios figūros yra: taškinis įkrovimas, taškinė masė, magnetiniai dipoliai, taip pat sistema, skirta dislokuoti. baltus.

Kailio metodas

Fur'є serija, pagal trukdžių principus, gali būti pataisyta iš lankstymo formų didesnio paprastumo. Pavyzdžiui, šilumos srauto pokytis paaiškinamas perėjimu nuo šilumą izoliuojančios medžiagos į netinkamą formą arba nedoru žemės paviršiumi - žeme, arba dangaus dangaus orbita. planetų antplūdį. Kaip taisyklė, šiek tiek ryvnyannya, kaip apibūdinti paprastą klasikinę sistemą, elementariai nustatyti odos būklę. Kailis rodo, kad paprastas sprendimas taip pat gali būti naudojamas norint atmesti daugiau sulankstomų pastatų. Vislovlyuyuchis mano matematika, serija Fur'є - visas metodas pateikti besisukančią harmonikų sumą - kosinusoidę ir sinusoidę. Tuo tikslu vidomijų analizė taip pat skirta „harmoningai analizei“.

Kailių skaičius – ideali „kompiuterio dobi“ technika

Prieš sukuriant kompiuterines technologijas, Fur'є Bull metodika buvo gražiausias mūsų šviesos prigimties robotų arsenalo papildymas. Daugybė kailių sudėtingos formos leidžia iš virišuvati neatimti įmonės paprastumo, nes galima tiesiogiai kliudyti Niutono mechanikos dėsniams, bet pagrindiniams principams. Dauguma XIX amžiaus Niutono mokslo įžvalgų tapo daugiau nei pakankamai, kad būtų galima išmanyti kailio metodiką.

Riadi Fur'є seogodnі

Tobulėjant kompiuteriams, perkūrus Fur'є, atsirado aiškiai nauja upė. Ši metodika buvo sukurta praktiškai visose mokslo ir technologijų srityse. Jak užpakalis galite nukreipti skaitmeninį garso ir vaizdo signalą. Jogo įgyvendinimas tapo bjauriu teorijos atėmimu, kurį nutraukė prancūzų matematikas ant XIX amžiaus burbuolės. Taigi, kailių skaičius yra sudėtinga forma, leidžianti išaugti skylę vivchenna kosminėje erdvėje. Be to, kaina buvo siejama su laidžių medžiagų ir plazmų fizikos, mikrochrominės akustikos, okeanografijos, radijo vietos nustatymo ir seismologijos plėtra.

Trigonometrinė serija Fur'є

Matematikoje Fur'є є serija yra būdas apibrėžti pakankamai lankstymo funkcijų paprastų funkcijų suma. Nuošaliuose vipaduose tokių virazų gali būti begalė. Jei proceso metu yra daugiau nei žalos dydis, tiksliau gauti galutinį rezultatą. Dažniausiai tai yra paprasčiausia vikoristinė trigonometrinė kosinuso arba sinuso funkcija. Tokioje serijoje Fur'є vadinami trigonometriniais, o tokių variantų rodymas vadinamas harmoniniu pasiskirstymu. Visas vizualizacijos metodas matematikoje. Priekyje yra vaizdo trigonometrinė serija, taip pat funkcijų įvedimas, pagrindinis teorijos aparatas. Be to, vynas leidžia trūkti matematinės fizikos žinių. Nareshty, visa teorija nuėjo į dar svarbesnių matematikos mokslo šakų (integralų teorijos, periodinių funkcijų teorijos) raidos dugną. Be to, tai buvo tinkamas taškas dinamiškos kaitos puolamosioms funkcijoms plėtoti, taip pat harmoningos analizės fiksavimui.

Kailio periodinių funkcijų serija iš periodo 2π.

Daugybė Fur'є leidžia periodiškai atlikti funkcijas, kurias galima sulankstyti ant komponentų. Stygų ir spyruoklių keitimas, švaistiklio mechanizmų keitimas, greitis ir pagreitis bei akustiniai viliukai - visų tipų praktiški periodinių funkcijų saugojimo inžineriniuose sąrašuose užpakaliniai elementai.

Išdėsčius iš eilės aibėje einančius kailius, bet visas funkcijas, bet praktiškai prasmingas intervale -π ≤x≤ π, galima judėti panašių trigonometrinių eilučių (daug panašių narių, po

Standartinis (= zvychany) žymėjimas per sumą sinx ir cosx

f (x) = a o + a 1 cosx + a 2 cos2x + a 3 cos3x + ... + b 1 sinx + b 2 sin2x + b 3 sin3x + ...,

de a o, a 1, a 2, ..., b 1, b 2, .. - atskaitos konstantos, tobto.

De diapazonui nuo -π iki π iki kailio skaičiaus, už kurį reikia sumokėti pagal formules:

Savybės a o, a n і b n vadinamas kofіtsієntami Fur'є, o jei galima žinoti, vadinasi serija (1). užsakyti Fur'є, pagal funkciją f (x). Serijai (1) terminas (a 1 cosx + b 1 sinx) vadinamas pirmuoju arba pagrindinė harmonika,

Geriausias būdas užrašyti eilutę yra victorian sp_vvidnoshennya acosx + bsinx = csin (x + α)

f (x) = a o + c 1 sin (x + α 1) + c 2 sin (2x + α 2) + ... + c n sin (nx + α n)

De ao yra konstanta, s 1 = (a 1 2 + b 1 2) 1/2, sn = (an 2 + bn 2) 1/2 yra kitų komponentų amplitudės, o dorіvnyuє an = arctan an / b n.

Serijoje (1) terminas (a 1 cosx + b 1 sinx) arba c 1 sin (x + α 1) vadinamas pirmuoju arba pagrindinė harmonika,(a 2 cos2x + b 2 sin2x) arba c 2 sin (2x + α 2) vadinami kita harmonika ir iki šiol.

Norint tiksliai aptikti sulankstymo signalą, reikalingas neribotas elementų skaičius. Tačiau praktiškiems bagatyokh darbuotojams užtenka pabarstyti pirmųjų narių.

Fur'є neperiodinių funkcijų serija iš periodo 2π.

Vienkartinių funkcijų paskirstymas.

Kadangi funkcija f (x) nėra periodinė, tai reiškia, kad ji negali būti išdėstyta Fur'є eilėje visoms x reikšmėms. Tačiau galima padaryti Fur'є skaičių, kuris reiškia funkciją bet kuriame diapazone, kurio plotis yra 2?

Jei duota neperiodinė funkcija, galima pridėti naują funkciją, vibruojama f (x) reikšmė dainavimo diapazone ir padėtis kartojama diapazonu su intervalu 2π. Virpesiai yra nauja funkcija є periodinė su 2π periodu, її gali būti išplėsta iki Fur'є eilės visoms reikšmėms. Pavyzdžiui, funkcija f (x) = x nėra periodinė. Tačiau, jei reikia išplėsti її Fur'є eilėje intervale nuo iki 2π, tada intervalo padėtis bus periodinė funkcija, kurios periodas yra 2π (kaip parodyta paveikslėlyje žemiau).

Neperiodinėms funkcijoms, tokioms kaip f (x) = x, Fur'є skaičiaus suma yra atitinkama f (x) reikšmė visuose tam tikro diapazono taškuose, bet ne f (x) pozicijos taškams. diapazono. Norint sužinoti apie daugybę Fur'є neperiodinių funkcijų 2π diapazone, naudojama ta pati Fur'є koeficientų formulė.

Suporuotos ir nesusietos funkcijos.

Tarkime, funkcija y = f (x) parna kur f (-x) = f (x) visoms x reikšmėms. Suporuotų funkcijų grafikai yra pagrįsti simetrinėmis funkcijomis (turi būti rodomos veidrodiniu būdu). Dvi užpakalinės suporuotos funkcijos: y = x 2 і y = cosx.

Pasakykite, kad funkcija y = f (x) nesuporuotas kur f (-x) = - f (x) visos x reikšmės. Nesuporuotų funkcijų grafikai priklauso nuo simetriškų koordinačių.

Bagato funkcijos nėra vaikinai, jos nėra nesuporuotos.

Plečiasi Fur'є eile kosinusu.

Fur'є suporuotų periodinių funkcijų serija f (x), kurios periodas yra 2π, gali pašalinti narius iš kosinusų (kad nepašalintų narių iš sinusų), o jūs galite įtraukti nuolatinį narį. Otzhe,

de kofizinti keletą Fur'є,

Furo neporinės periodinės funkcijos f (x) serija su periodu 2π yra pakeisti narius sinusais (kad nekeršytų nariams kosinusais).

Otzhe,

de kofizinti keletą Fur'є,

Row Fur'є ant pivperiodi.

Kadangi funkcija skirta diapazonui, tarkime, nuo 0 iki π, o ne tik nuo 0 iki 2π, ji gali būti dedama į eilutę tik su sinusais arba tik kosinusais. Otrimaniy kailių skaičius bus vadinamas užsisakyti Fur'є ant napіvperіodі.

Būtina ištaisyti paskirstymą Fur'є ant napivperiodi ant kosinusų funkcija f (x) diapazone nuo 0 iki π, būtina pridėti periodinių funkcijų porą. Fig. Funkcija f (x) = x parodyta žemiau, raginama intervale nuo x = 0 iki x = π. Suporuotos funkcijos svyravimai yra simetriški, tačiau f (x) ašį veda AB linija, kuri parodyta Fig. žemesnė. Tiesiog paleiskite, bet žiūrimo intervalo laikysena apkarpoma į trikampę formą є periodiškai su 2π periodu, tada rodoma kadro grafika. pav. žemesnė. Virpesiai turi atmesti Fur'є išdėstymą kosinusais, kaip ir anksčiau, apskaičiuotas efektyvumas Fur'є a o і a n

Būtina taisyti Fur'є pasiskirstymas ant napіvperіodі už sinusų funkcija f (x) diapazone nuo 0 iki π, būtina turėti nesuporuotą periodinę funkciją. Fig. Funkcija f (x) = x parodyta žemiau, raginama intervale nuo x = 0 iki x = π. Virpesiai nesuporuoti, funkcija yra simetriška koordinačių burbulai, tai bus CD linija, kaip parodyta Fig. Tiesiog palikite jį, bet į failą panašaus signalo padėtis periodiškai su 2π periodu, į failą panašaus signalo laikysena su periodu 2π, tada rodmenys Fig. Svyravimai turi būti atmesti Furino išdėstymui pagal sinusus tiek anksčiau, tiek anksčiau, skaičiuojant pagal Fur vertę. b

Kailių skaičius išankstiniam intervalui.

Periodinių funkcijų išplėtimas iš L laikotarpio.

Periodinė funkcija f (x) kartojama iš žingsnių x L, taigi. f (x + L) = f (x). Pereinant nuo funkcijų, kurios anksčiau buvo rodomos iš periodo 2π, prie funkcijų iš periodo L, kad užbaigtumėte paprastą, kai kuriuos iš jų galima atlikti papildomai pakeitus.

Kaip sužinoti Fun'є funkcijos f (x) seriją diapazone -L / 2≤x≤L / 2, mes įvedame naują pakeitimą u tokiu rangu, kad funkcija f (x) yra mažas periodas 2π ir tada u. Jei u = 2πx / L, tai x = -L / 2, kai u = -π ir x = L / 2, kai u = π. Be to, neleiskite, kad f (x) = f (Lu / 2π) = F (u). Fur'є F (u) maє viglyad serija

(Tarp integravimo galima pakeisti bet kokiu intervalu iki L, pavyzdžiui, nuo 0 iki L)

Fur'є serija, skirta miego periodui funkcijoms, nustatytoms intervale L ≠ 2π.

Montuojant u = πх / L, intervalas nuo x = 0 iki x = L yra nuo intervalo nuo u = 0 iki u = π. Otzhe, funkcija gali būti išplėsta iš eilės tik kosinusu arba tik sinusu, tobto. v eilė Fur'є ant pivperiodi.

Išplečiant kosinusus diapazone nuo 0 iki L ma viglyad

Riadi Fur'є- lankstymo funkcijos pateikimo būdas paprastų, gerų dalykų suma.
Sinusas ir kosinusas – periodinės funkcijos. Net smarvė nuo stačiakampio pagrindo. Qiu galią galima paaiškinti pagal analogiją su ašimis X X Xі Y Y Y koordinačių srityje. Taigi, kaip galime apibūdinti taško koordinates išilgai ašių, galime apibūdinti, ar tai yra ir sinusų, ir kosinusų funkcija. Trigonometrines funkcijas lengva išmokti iš matematikos.

Sinuso ir kosinuso išvaizda yra įmanoma tokio hwil žiūrovui:

Sine - tse kosinusai, chervonі - sinusai. Jie taip pat vadinami harmonikomis. Kosinusai yra vaikinai, sinusai yra nesuporuoti. Terminas „harmonika“ kilęs iš antikos ir tvarsčių bei įspėjimų apie muzikos garsų tarpusavio ryšį.

Sho taip pat irkluoti Fur'є

Tokia serija, kaip paprasčiausia apibūdinti sinuso ir kosinuso funkciją, vadinama trigonometrine. Pavadintas jo vyno mylėtojo Jeano Batisto Josepho Fur'o garbei, pavyzdžiui, XVIII - XIX amžiaus ausis. kažkaip įrodė, kad, ar funkcija gali būti pateikta viglyadoje, tokių harmonikų derinys. Ir kuo daugiau imi, tuo daugiau imi, tuo daugiau pasiimi. Pavyzdžiui, paveikslėlis žemesnis: galima išmušti, su daugybe harmonikų, tai yra, nariai yra žemi Fur'є, raudonas grafikas pakankamai senas, kad būtų arčiau mėlynos - piktosios funkcijos.

Praktiškai saugomas prie karčiojo svitі

O kaip dėl kelių kartų vartojimo? Kaip galite užstrigti praktiškai ir praktiškai? Vyavlyayetsya, Fur'є ir vidomy visam pasauliui, bet praktinis jogo meilės cinamonas tiesiogine prasme neklasifikuojamas. O, de be-yaki chi khvili, tai lengva sutvarkyti: akustika, astronomija, radijo inžinerija irgi. pumpuras. Paprasčiausias „yogo victoriannya“ užpakalis: roboto ir fotoaparato bei vaizdo kameros mechanizmas. Trumpiau paaiškinsiu, kad galima pridėti ne tik nuotraukas, bet ir Fur’s serijos pasirodymą. І pratsyuє tse skrіz - valandą žiūrint nuotraukas internete, filmuojant ar klausantis muzikos. Jei esate Fur'є vi rangų gerbėjas, galite perskaityti straipsnį iš savo mobiliojo telefono. Be Fur'є peržiūros, mes nepasiekėme geriausio interneto pralaidumo, bet tiesiog pažiūrėkite į vaizdo įrašą „YouTube“ ir pažiūrėkite į standartinę kokybę.

Dėl visos Fur'є dviejų pasaulių transformacijos schemos, kaip vikoristovuyutsya vaizdo paskirstymui ant harmonikų, kad pagrindiniai sandėliai. Diagramoje juodai užkoduota reikšmė -1, bilim. Į dešinę ir žemyn už grafiko dažnis didėja.

Paleidžiama Fur'є eilėje

Pavieniui, vzhe vzhe vtomilsya skaityti, tas pats pasakytina ir apie formules.
Tokiam matematiniam požiūriui, pavyzdžiui, funkcijų pasiskirstymui Fur'є eilutėje, broliai yra integruoti. „Bagato Integral“. Išimtoje vigliadoje rašau Fur'є eilutę prie nesibaigiančio sumio vigliados:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (an cos ⁡ (nx) + bn sin ⁡ (nx)) f (x) = A + \ ekrano stilius \ suma_ (n = 1) ^ (\ infty) (a_n \ cos (nx) + b_n \ sin (nx))f (x) =A +n = 1∑ ∞ ​ (a n​ cos (n x) +b n​ nuodėmė (n x))
de
A = 12A =2 π1 ​ − π ∫ π ​ f (x) d x
an = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (nx) dx a_n = \ frac (1) (\ pi) \ rodymo stilius \ int \ ribos _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ cos (nx) dxa n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (n x) d x
bn = 1 π ∫ - π π f (x) sin ⁡ (nx) dx b_n = \ frac (1) (\ pi) \ rodymo stilius \ int \ ribos _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ sin (nx) dxb n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (n x) d x

Galima turėti begalę kartų. a n a_n a n​ і b n b_n b n​ (Kvepia ir yra vadinamos Fur'є platinimo konferencijomis, A A A- tse tik po paskirstymo), tada daugybė rezultato klaidų bus 100% išsaugotos iš išvesties funkcijos f (x) f (x) f (x) remiantis - π - \ pi − π prieš π \ pi π ... Tai sinuso ir kosinuso integracijos galių artikuliacijos pavyzdys. Čimi daugiau n n n Bet kokio dizaino funkcijų atveju funkcijų paskirstymas iš eilės bus tikslesnis.

užpakalis

Paprasta naudoti y = 5 x y = 5x y =5 x
A = 1 2 π ∫ - π π f (x) dx = 1 2 π ∫ - π π 5 xdx = 0 A = \ frac (1) (2 \ pi) \ rodymo stilius \ int \ ribos _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) dx = \ frac (1) (2 \ pi) \ rodymo stilius \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) 5xdx = 0A =2 π1 ​ − π ∫ π ​ f (x) d x =2 π1 ​ − π ∫ π ​ 5 x d x =0
a 1 = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x cos ⁡ (x) dx = 0 a_1 = \ frac (1) (\ pi) \ rodymo stilius \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ cos (x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ rodymo stilius \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi ) 5x \ cos (x) dx = 0a 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (x) d x =0
b 1 = 1 π ∫ - π π f (x) sin ⁡ (x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x sin ⁡ (x) dx = 10 b_1 = \ frac (1) (\ pi) \ rodymo stilius \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ sin (x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ Displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi ) 5x \ sin (x) dx = 10b 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x sin (x) d x =1 0
a 2 = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (2 x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x cos ⁡ (2 x) dx = 0 a_2 = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ cos (2x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ ( \ pi ) 5x \ cos (2x) dx = 0a 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (2 x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x) d x =0
b 2 = 1 π ∫ - π π f (x) sin ⁡ (2 x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x sin ⁡ (2 x) dx = - 5 b_2 = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ sin (2x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) 5x \ sin (2x) dx = -5b 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x) nuodėmė(2 x) dx= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 xnuodėmė(2 x) dx= − 5

Aš taip toli. Su tokia funkcija iš karto galime pasakyti, kad viskas a n = 0 a_n = 0an​ = 0 , kofіtsієнti b n b_nbn​ atsitiktinai suskaičiuoti. Yakshho mi vizmemo pershi chotiri nariai yra išdėstyti iš eilės Fur'є funkcijai y = 5 x y = 5xy= 5 x, Otrimaєmo:

$5x\approx 10\cdot \mathrm{nuodėmė}(x)-5\cdot \mathrm{nuodėmė}(2\cdot x)+310\cdot \mathrm{nuodėmė}(3\cdot x)-25\cdot \mathrm{nuodėmė}(4\cdot x)$

Įvestos funkcijos grafiką stebės puolimo rangas:

Paleidimas, scho nebeliko, Fur'є eilėje priartėjo prie mūsų „out-of-the-box“ funkcijos. Kadangi iš eilės narių yra daugiau, pvz., 15, greičiausiai kitas veiksmas:

Daugiau narių iš eilės, tiksliau.
Tačiau grafiko skalė yra kintama, galima pastebėti dar vieną pakartotinio įgyvendinimo bruožą: žemas Fur'є - periodinė funkcija su periodu 2 π 2 \ pi2 π .

Turėdami tokį rangą, galite įsivaizduoti, ar tai funkcija, pvz., є be pertrūkių [- π; π] [- \ pi; \ pi][ − π ; π ] ... Visa kaina reikalinga tam, kad būtų galima analizuoti, kaip analizuojamos išvaizdos, ir būti apibūdinta lankstymo funkcijomis. Nenoriu būti analitiškai (tobto už formulę), tai prarasiu, bet neturiu jokių problemų su sinusų rinkiniu ir problemomis. Dažniausiai jį galima parodyti iki kelių Fur'є, tačiau dažniausiai tai įmanoma analitiškai parodyti paprastuose modeliuose, kai kuriuose modeliuose ir Fur'є serijoje.

Nuorašas

1 RF NOVOSIBIRSKY DERŽAVNIJAUS UNIVERSITETO MOKSLO ĮVERTINIŲ MINISTERIJOS FIZIKOS FAKULTETAS R.K.BELKHEVA KAILIŲ APRAŠYMAS TAIKYMO IR PROBLEMUOSE Navchalnyi posibnik1

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkhєєva R.K. laikantis un-t. Novosibirskas, s. ISBN Vizito pradžioje pagrindinis „Fur'є“ serialo žiūrovas laimi; Išsamus užpakalinės dalies projektavimas Fur'є metodui prieš sprendžiant uždavinius dėl skersinės stygos. Pateikta iliustracinė medžiaga. Є zavdannya nepriklausomas sprendimas. Užduotys studentams ir pergalės NSU Fizikos fakultete. Tapkite draugu NSU Fizikos fakulteto Virishenna metodiniame komitete. Recenzentas dr. fiz. mokslai. V. A. Aleksandrovas Pasirengimų rinkinys įgyvendinant NDU-NSU plėtros programą p. ISBN Novosibirsko valstybinis universitetas, 211 s Belkhova R.K., 211

3 1. 2π periodinių funkcijų išplėtimas į Fur'є Viznachennya seriją. Funkcijos f (x) priskyrimas vadinamas funkcine eilute a 2 + (an cosnx + bn sin nx), (1) de-performance an, bn galima apskaičiuoti pagal formules: an = 1 π bn = 1 π f (x) cosnxdx, n =, 1, ..., (2) f (x) sin nxdx, n = 1, 2, .... (3) (2) (3) formulės vadinamos Eulerio kailiu 'є formules. Tai, kad funkcija f (x) primena seriją Fur'є (1), parašyta forma f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) (4) ir atrodo, kad dešinioji formulė (4) є pagal funkcijos f (x) formaliąją eilutę Fur'є. Kitaip tariant, atrodo, kad formulė (4) reiškia, kad efektyvumas a n, b n nėra žinomas formulėms (2), (3). 3

4 Viznachennya. 2π periodinė funkcija f (x) vadinama shmatkovo lygia, net jei intervale [, π] yra Kintsevo taškų skaičius = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Mažas. 1. Funkcijos f (x) grafikas Apskaičiuojamas efektyvumas Fur'є a = 1 π f (x) dx = 1 π x 2 2 π = π, an = 1 π f (x) cosnxdx = 2 π = 2 () x sin nx cos nx + π nn 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = bn = 1 π π = 2 π f (x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, n nesuporuotas, n porinis f (x) sin nxdx =, taigi funkcija f (x) yra suporuota. Funkcijos f (x) formaliąją Fur'є eilutę galime užrašyti: f (x) π 2 4 π k = 5 cos (2k + 1) x (2k + 1) 2.

6 Akivaizdu, kad funkcija f (x) yra gabalais lygi. Taigi, be pertrūkių, jis skaičiuojamas tik tarp (6) galutiniuose taškuose tarp x = ± π ir blogio taško x =: і f (π h) f (π) π h π f (+ h) ) f (+) + h () lim = lim h + hh + hf (+ h) f (+) + h lim = lim = 1, h + hh + h = 1, f (h) f () h ( ) lim = lim = 1. h + hh + h Tarp іsnyu ir іntsevі, nors funkcija yra glotni. Pagal teoremą apie krapkovą, fuor eilutės reikšmė odos taškuose suartėja į f (x), todėl f (x) = π 2 4 π k = cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) Fig. 2, 3 rodo dalinių sumų artėjimo prie serijos Fur'є S n (x), de S n (x) = an 2 + (ak coskx + bk sin kx), k = 1 prie funkcijos pobūdį. f (x) intervale [, π]. 6

7 Mažas. 2. Funkcijos f (x) grafikas su dalinių sumų uždėjimu grafikuose S (x) = a 2 ir S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x pav. 3. Funkcijos f (x) grafikas dedamas ant naujo grafiko sumos S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7 grafiko.

8 Pateikus (7) x = otrimaєmo: = π 2 4 π k = 1 (2k + 1) 2, žvaigždės žino skaitinės eilutės sumą: = π2 8. Žinant eilutės sumą, lengva žinoti kitą Maєmo sumą: S = ( ) S = () = π S, net S = π2 6, taigi 1 n = π Pirmojo žinomo Leonardo Eilerio garsiosios serijos suma. Vona dažnai mokosi matematinės analizės ir priedų. 2 PRIEDAS. Mažame grafike žinome funkcijų seriją, pateiktą pagal formulę f (x) = x, jei x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Mažas. 4. Funkcijos f (x) grafikas Funkcija f (x) yra nuolat diferencijuojama intervalu (, π). Taškuose x = ± π yra keletas taškų tarp (5): f () =, f (π) = π. Be to, yra skirtumas tarp (6): f (+ h) f (+) lim = 1 і h + hf (π h) f (π +) lim = 1. h + h sklandi funkcija. Jei funkcija f (x) nesuporuota, tai a n =. Yra žinoma, kad našumas bn yra integruotas dalimis: bn = 1 π f (x) sin πnxdx = 1 [x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1) n π + (1) n π] = 2 ( 1) n + 1. n Labai formali Fur'є funkcijų serija 2 (1) n + 1 f (x) sin nx. n 9 cosnxdx] =

10 Pagal tėkmės teoremas, susitraukiančios sklandžiai 2π periodinės funkcijos reikšmę, funkcijos f (x) Fur serija nusileidžia į sumą: 2 (1) n + 1 sin nx = nf (x) = x, kaip π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Mažas. 6. Funkcijos f (x) grafikas bus perdengtas ant grafiko sumos S2 (x) grafiko Fig. 7. Funkcijos f (x) grafikas, perdengtas ant naujo grafiko sumos S 3 (x) 11 grafiko

12 Mažas. 8. Funkcijos f (x) grafikas bus uždėtas ant naujojo S 99 (x) sumos grafiko. Patikimas (8) x = π / 2. Todi 2 () + ... = π 2, arba = n = (1) n 2n + 1 = π 4. Mes lengvai žinojome Leibnizų šeimos sumą. Turėdami poklavl (8) x = π / 3, žinome () + ... = π 2 3 arba (1+ 1) () (k) 3π + ... = 3k

13 PRIEDAS 3. Mažas grafikas, žinome Fur'є funkcijų seriją f (x) = sin x, pripažįstant, kad periodas yra 2π, і 1 apskaičiuojamas kaip skaičių serijos 4n 2 1 suma. Sprendimas. Funkcijos f (x) grafikas parodytas pav. 9. Akivaizdu, kad f (x) = sin x yra nepertraukiama porinė funkcija iš periodo π. Ale 2π taip pat yra funkcijos f (x) periodas. Mažas. 9. Funkcijos f (x) grafikas Apskaičiuojamas efektyvumas Fur'є. Usi b n = tai, kad funkcija yra suporuota. Karūnuotas trigonometrinėmis formulėmis, jis numeruojamas an ties n 1: an = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin (1 + n) x sin (1 n) x) dx = = 1 ( ) π cos (1 + n) x cos (1 n) x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 (4 1, kai n = 2k, = π n 2 1, kai n = 2k

14 Skaičiavimas neleidžia mums žinoti koeficiento a 1, todėl n = 1 vardiklis bus iš naujo nustatytas į nulį. Tam koeficientas a 1 apskaičiuojamas be vidurio: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Taigi, kadangi f (x) yra nuolat diferencijuojamas (,) і (, π) і taškuose kπ, (k yra skaičius), jei tarp (5) ir (6) yra taškas, tada kailio serija. є funkcijos susilieja į be odos taško: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x pav. 1. Funkcijos f (x) grafikas dedamas ant atkarpos sumos S (x) grafiko 14

15 Mažas. 11. Funkcijos f (x) grafikas, perdengtas ant naujo pjūvio sumos S1 (x) grafiko Fig. 12. Funkcijos f (x) grafikas bus uždėtas ant naujo grafiko sumos S2 (x) grafiko Fig. 13. Funkcijos f (x) grafikas, perdengtas ant naujo grafiko sumos S 99 (x) 15 grafiko

16 1 Daugybė skaičių eilutės suma. Visoms 4n 2 1 yra patenkinama (9) x =. Todi cosnx = 1 visiems n = 1, 2, ... i Otzhe, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. TAIKYMAS 4. Tikriausiai, kad funkcija f (x) yra lygi ir sklandžiai be pertrūkių, aš patenkintas f (x π) = f (x) visiems x (taigi yra π -periodinis), a 2n 1 = b 2n 1 = visiems n 1 ir navpaki, jei a 2n 1 = b 2n 1 = visiems n 1, tai f (x) yra π-periodinis. Sprendimas. Tegul funkcija f (x) yra π-periodinė. Apskaičiuojamas її efektyvumas Fur'є a 2n 1 і b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f (x) cos (2n 1) xdx + f (x) cos (2n 1) xdx =) f (x) ) cos (2n 1) xdx. Pirmuoju integralu galiu nesunkiai pakeisti pokytį x = t π: f (x) cos (2n 1) xdx = f (t π) cos (2n 1) (t + π) dt. 16

17 Klounas, cos (2n 1) (t + π) = cos (2n 1) t і f (t π) = f (t), matome: a 2n 1 = 1 π (f (x) cos (2n 1) x dx +) f (x) cos (2n 1) x dx =. Panašiai tai turėtų būti padaryta, b 2n 1 =. Nawpaki, tegul a 2n 1 = b 2n 1 =. Kadangi funkcija f (x) yra be pertrūkių, tai pagal teoremą funkcijos pasireiškimas jos serijos taškuose yra F (x π) = f (x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n (x π) + b 2n sin 2n (x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f (x), o tai reiškia, kad f (x) yra π periodinė funkcija. PRIEDAS 5. Galime pasakyti, kad funkcija f (x) yra lygi ir lygi, f (x) = f (x) visiems x, tada a = і a 2n = b 2n = visiems n 1, o navpaki, pvz. a = a 2n = b 2n =, tada f (x π) = f (x) visi x. Sprendimas. Tegul funkcija f (x) bus patenkinta f (xπ) = f (x). Daugybė її kofіtsієnti Fur'є: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f (x) cos nxdx + f (x) cosnxdx =) f (x) cosnxdx. Pirmosios integracijos metu lengvai pakeisiu pokytį x = t π. Todi f (x) cosnxdx = f (t π) cosn (t π) dt. Crimson tim, cos n (t π) = (1) n cosnt ir f (t π) = f (t), galime priimti: an = 1 π ((1) n) f (t) cosnt dt =, jei n suporuotas = 2 π f (t) cos nt dt, kai n nesuporuotas. π Tai daroma panašiai, b 2n =. Nawpaki, tegul a = a 2n = b 2n =, visiems n 1. Kadangi funkcija f (x) yra be pertrūkių, tai teorema apie funkcijos aiškumą jos serijos Fur'є taškuose atitinka f (x) ) = (a 2n 1 cos (2n 1) x + b 2n 1 sin (2n 1) x). aštuoniolika

19 Todi = f (x π) = = = f (x). PRIEDAS 6. Vivchimo jakas toliau turi būti integruotas ant tarpo [, π / 2] funkcija f (x) ant tarpo [, π], todėl Fur'є mav viglyad eilutė: a 2n 1 cos ( 2n 1) x. (1) Sprendimas. Tegul ma viglyad funkcijos grafikas, svyruojantis pav. 14. Virpesiai eilutėje (1) a = a 2n = b 2n = visiems n, tada užpakalis yra 5 vyplyaє, bet funkcija f (x) kalta dėl lygybės f (xπ) = f (x) visiems x. Yra būdas pagerinti funkciją f (x) tarp [, / 2]: f (x) = f (x + π), pav. 15. Be to, eilutė (1) skirta atkeršyti tik už kosinusus, ji išdėstyta, bet funkcija f (x) tęsiama kaip pora (tai yra, grafikas yra simetriškas ašiai Oy), ryžiai

20 Mažas. 14. Funkcijos f (x) grafikas Mažas. 15. Tęstinės funkcijos f (x) grafikas avansui [, / 2] 2

21 Otzhe, ma viglyad funkcija, nurodymai pav. 16. Mažas. 16. Funkcijos f (x) tęsinio grafikas pažangai [, π] [π / 2, π], funkcijos f (x) grafikas yra centriškai simetriškas taškui (π / 2,), o intervalui [, π] grafikas yra simetriškas ašiai Oy. 21

22 NUORODOS PARAIŠKOS 3 6 Nekhai l>. Aišku du protai: a) f (l x) = f (x); b) f (l + x) = f (x), x [, l / 2]. Geometriniu požiūriu taškas (a) reiškia, kad funkcijos f (x) grafikas yra simetriškas išilgai vertikalios tiesės x = l / 2, o grafikas (b), kuriame grafikas f (x) yra centre simetriškas taško (l / 2;) ašies abscis atžvilgiu. Tai tiesa: 1) jei funkcija f (x) yra suporuota su Viconan Umov (a), tada b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... =; 2) jei funkcija f (x) suporuota su Viconan Umov (b), tai b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a = a 2 = a 4 = ... =; 3) jei funkcija f (x) yra nesuporuota ir Viconan Umov (a), tai a = a 1 = a 2 = ... =, b 2 = b 4 = b 6 = ... =; 4) jei funkcija f (x) yra nesuporuota ir Viconan Umov (b), tai a = a 1 = a 2 = ... =, b 1 = b 3 = b 5 = ... =. ZAVDANNA Atlikdami 1 7 užduotis, nupieškite grafikus ir žinokite Fur'є funkcijų seriją,< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 (1, jaksho / 2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Funkcijos, pateiktos intervale [, π], išplėtimas tik po sinusų arba tik po kosinusų Funkcija f nurodoma intervale [, π]. Išplėsime erdvę visame diapazone iki Fur'є eilutės, galime tęsti f ties iškilimu [, π] su aukštesniu laipsniu, o tuo pačiu bus greičiau su Eilerio Fur' formulėmis. є. Svavilja prie išplėstinės funkcijos pagaminti prieš, vieno tipo funkcijai f: [, π] R galime pašalinti keletą Fur'є. Arba galite vikoristovuvat tse svavillya taip, tiesiog apkarpykite plitimą tik už sinusų arba tik kosinusais: pirmame vipad užtenka paaukštinti f su nesuporuotu rangu, o vaikinams - kitaip. Sprendimo algoritmas 1. Tęskite funkciją su nesuporuotu (vaikino) rangu (,), o tada periodiškai, kas 2π, tęskite funkciją visam laikui. 2. Apskaičiuokite Fur'є našumą. 3. Sulenkite funkcijos f (x) seriją Fur. 4. Revizijos protas yra žemas. 5. Įveskite funkciją, kuriai priklauso visa eilutė. 7 PRIEDAS. Taikoma funkcijai f (x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Mažas. 17. Tęstinės funkcijos grafikas Akivaizdu, kad funkcija f (x) yra nedrąsiai sklandžiai. Daugybė funkcinių Fur'є: a n = visi n tiek, kiek funkcija f (x) yra nesusijusi. Jei n 1, tai bn = 2 π f (x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = 1 = 1 (1 ) n (1) n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, kur n = 2 k + 1, (1) n + 1 (n 1) + (n + 1) = π (n + 1) ( n 1) 2 2n, kur n = 2k. π n 2 1 Kai n = 1, skaičiuotuvų priekyje vardiklis virsta nuliu, todėl koeficientas b 1 apskaičiuojamas be prieš tai buvusių 25

26 miegas: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Fur'є funkcijų serija f (x) yra sulankstoma: f (x) 8 π k = 1 k 4k 2 1 sin 2kx. Jei funkcija f (x) yra nedrąsiai lygi, tai po teoremos apie krapkovą funkcijos f (x) Fur serijos reikšmė eina į sumi: cosx, kur π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Mažas. 18 pav. Funkcijos f (x) grafikas, perdengtas ant naujo gabalų sumos S1 (x) grafiko Fig. 19. Funkcijos f (x) grafikas, perdengtas ant naujo grafiko sumos S 2 (x) 27 grafiko

28 Mažas. 2. Funkcijos f (x) grafikas bus uždėtas ant pjūvio sumos S3 (x) grafiko. 21 rodomi funkcijos f (x) ir dalinių sumų S 99 (x) grafikai. Mažas. 21. Funkcijos f (x) grafikas, perdengtas ant naujo grafiko sumos S 99 (x) 28 grafiko

29 PRIEDAS 8. Išplečiama funkcija f (x) = e ax, a>, x [, π], iki Fur'є eilės tik kosinusuose. Sprendimas. Nepertraukiamai su vaikino rango funkcija (,) (kad lygybė f (x) = f (x) būtų rodoma visiems x (, π)), kuri periodiškai buvo su 2π periodu, ištempdama yong skaičių aukštyn. . Galime priimti funkciją f (x), tokių atvaizdų grafiką pav. 22. Funkcija f (x) Mal taškuose. 22. Tęstinės funkcijos f (x) x = kπ grafikas, k yra sveikas skaičius, kaip ir alyvos. Daug kofіtsієnti Fur'є: b n =, oskіlki f (x) suporuotas. Integruoti į dalis Mo 29

30 an = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd (e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f (x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 π1s ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax axs nx π a 2eax a (eaπ cos n π 1) n2 aa n. 2 Otzhe, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Virpesiai f (x) yra be pertrūkių, tada pagal teoremą apie tekėjimą Fur eilė konverguoja į f (x). Taip pat visi x [, π] maєmo f (x) = 1 π a (eaπ 1) + 2a π k = 1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Ryžiai demonstruoja veiksmą, artėjant prie dalinių sumų iki kailio skaičiaus tam tikrai pjovimo funkcijai. 3

31 mažas. 23. Funkcijų f (x) ir S (x) grafikai Mal. 24. Funkcijų f (x) ir S1 (x) grafikai Maži. 25. Funkcijų f (x) ir S2 (x) grafikai Maži. 26. F (x) ir S 3 (x) 31 funkcijų grafikai

32 Mažas. 27. Funkcijų f (x) ir S4 (x) grafikai Mal. 28. PATEIKTI funkcijų f (x) ir S 99 (x) grafikai 9. F (x) = cos x, x π, Fur'є eilutę įdėkite tik kosinusais. 1. Išplėskite funkciją f (x) = e ax, a>, x π iki Fur'є eilės tik už sinusų. 11. F (x) = x 2, x π funkciją įdėkite į Fur'є eilutę tik už sinusų. 12. Nustatykite funkciją f (x) = sin ax, x π, y serija Fur'є tik kosinusais. 13. F (x) = x sin x, x π funkciją įdėkite į Fur'є eilutę tik už sinusų. Vidpovidi 9.cosx = cosx. 1. e ax = 2 [1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k = 1 11. x 2 2 [π 2 (1) n 1 π n + 2] n 3 ((1) n 1) sin nx. 32

33 12. Jei a nėra sveikas skaičius, sin ax = 1 cosaπ (1 + + 2a cos 2nx) + π a 2 (2n) 2 + 2a 1 + cosaπ cos (2n 1) x π a 2 (2n 1) 2 ; jei a = 2m pora yra skaičius, tai sin 2mx = 8m cos (2n 1) x π (2m) 2 (2n 1) 2; jei a = 2m 1 yra teigiamai neporinis skaičius, tai sin (2m 1) x = 2 (cos 2nx) 1 + 2 (2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Funkcijos su tam tikru periodu serija. Tarkime, kad funkcija f (x) nustatyta intervale [l, l], l>. Atlikę pakeitimą x = ly, y π, galime išvesti funkciją g (y) = f (ly / π), reiškiančią intervale π [, π]. Trečioji funkcija g (y) sudaro (formalią) eilę Fur'є () ly f = g (y) a π 2 + (an cosny + bn sin ny), kurios efektyvumas slypi už Eulerio Fur'є formulių. : an = 1 π g (y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2, ..., 33

34 bn = 1 π g (y) sinny dy = 1 π f () ly sinny dy, n = 1, 2, .... π Funkcijos f (x) trigonometrinę eilutę galima lengvai pakeisti taip, kad ji atrodytų pvz.: de f (x) a 2 + an = 1 lbn = 1 lllll sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2, ..., (12) dx, n = 1, 2, . .. 9 PRIEDAS. Žinome Fur'є funkcijų serijas, kurias intervale (l, l) pateikia viraz (A, kur l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 llf (x) dx = 1 l A dx + 1 ll B dx = A + B, llan = 1 lllf (x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 ll A cos πnx l = A + B π nlbn = 1 l dx + 1 ll B cos πnx l sin πn =, kur n, ll A sin πnx lf (x) sin πnx l dx + 1 ll dx = B sin πnx l = BA (1 cosπn). πn Funkcijos f (x) serija Fur yra sulankstoma: f (x) A + B π (B A Skalės cosπn = (1) n, tada n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l, kai n = 2k, yra įsivaizduojama b n = b 2k =, kai n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2 (BA) π (2k 1).

36 žvaigždutės f (x) A + B (BA)? jaksho l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Mažas. 29. Funkcijos f (x) grafikas su naujais harmonikų grafikais S (x) = a 2 ir S 1 (x) = b 1 sinx. Dėl trijų kitų harmonikų grafiko specifiškumo S 3 (x) = b 3 sin 3πx, S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l ir S 7 (x) = b 7 sin 7πx trauka vertikaliai įkalnėn l 37

38 Mažas. 3. Funkcijos f (x) grafikas dedamas ant naujo gabalų sumos S grafiko 99 (x) pav. 31. Fragmentas pav. 3 pagal 38 skalę

39 TIKRAI Erdvės uždaviniuose Fur'є serijoje funkcijos priskiriamos duotam tarpiniui. 14.f (x) = x 1, (1, 1). 15.f (x) = ch2x, (2, 2] f (x) = x (1 x), (1, 1]. 17.f (x) = cos π x, [1, 1] f (x) ) = sin π x, (1, 1). (2 1, kur 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18.f (x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. а) f (x) = α 2) l b) f (x) = 4al (1) n 1 (2n) ) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23.a) f (x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x ... b) f ( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π) + 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Sudėtinga serijos Fur'є Pasiskirstymas f (x) = cne inx, de cn = 1 2π f (x) e inx dx, n = ± 1, ± 2, ..., bus vadinama Fur'є serijos kompleksine forma. Sulenkimo į sudėtingą Fur'є eilę su ramių protų vizija funkcija, dėl kurios juos galima įdėti į Fur'є kalbos eilutę. 4

41 PRIEDAS 1. Žinome funkcijos, pateiktos formule f (x) = e ax, y tarp [, π), de kalbos skaičiaus, kompleksinės formos Fur eilutę. Sprendimas. Kiekybiškai įvertinamas našumas: = c n = 1 2π f (x) e inx dx = 1 2π e (a in) x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1) n sh aπ. 2π (a in) π (a in) Mašinos f (x) funkcijos f kompleksinė Fur eilė sh aπ n = (1) n a in einx. Persvarstymas, taigi funkcija f (x) yra vientisa, lygi: intervale (, π) ji yra be galo diferencijuota, o taškuose x = ± π yra taškai tarp (5), (6) lim h + ea (+ h) = e aπ, lim h + ea (π h) = e aπ, ea (+ h) ea (+) lim h + h = ae aπ ea (π h) ea (π), lim h + h = ae aπ. Be to, funkcija f (x) pavaizduota tvarka Fur'єsh aπ π n = (1) n a in einx, kuri turi eiti į sumi: (e S (x) = ax, kur π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 PRIEDAS 11. F (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, de a funkcijos kompleksinei ir kalbos formai žinome Fur eilutes.< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Nagadaєmo, begalinio geometrinio progreso krepšys su standartiniu q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Dabar žinome keletą Fur'є kalbos formų. Didelė užbaigimų grupė su skaičiais n, o n – n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Oskilki c = 1, tada 2 = 2a n cos nx. f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Fur'є serija funkcijos f (x) kalbos formoje. Šis rangas, neskaitant ekonominio integralo, žinojome žemą Fur'є funkciją. Kai mes virahuvali, yra svarbus integralas, kurį galima rasti parametre cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a (zz 1) f (x) = 2i (1 a (zz 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1) z 2 2 (za) (za 1) = = i 2 + i () a 2 za + a 1. za 1 Odos iz paprastosios trupmenos gali būti pateikiamos pagal geometrinio progreso formulę: + aza = a 1 z 1 a = aanzzn, n = za 1 za = az = anz n. n = Visiškai, fragmentai az = a / z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, abo, trumpesnis, c n = 1 2i a n sgnn. Pats Timas, yra žinoma keletas sudėtingos formos Fur'є. Sugrupavus priedus su skaičiais n ir n, galime išvesti Fur'є funkcijų eilę kalbos formoje: = f (x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 = an sin nx. Žinau tolumoje virahuvati įžeidžiantį sulankstymo integralą: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 ZAVDANNYA 24. Vikoristovuchi (15), apskaičiuokite integralą cos nxdx 1 2a cosx + a 2 kalboms a, a> Vikoristovuchi (16), apskaičiuokite integralą sin x sin nxdx kalboms a, a> a cosx + a2 Uždaviniuose Kailis yra sudėtingų formų funkcijoms. 26.f (x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Liapunovo lygybės teorema (Lyapunov lygybė). Tegul funkcija f: [, π] R yra tokia, kad f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f (x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Todėl funkcijos f (x) Lyapunov ekvivalentas išsipučia į akis: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Likęs π ekvivalentas yra žinomas sin 2 na n 2 = a (π a) 2 Vazayuchi a = π 2, galime paimti sin2 na = 1, kai n = 2k 1 ir sin 2 na = jei n = 2k. Otzhe, k = 1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. PRIEDAS 14. Parašykime funkcijos f (x) = x cosx, x [, π] Lyapunov lygybę, і žinome papildomą sumą skaičių serija (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4.1 π Sprendimas. Tiesioginis skaičiavimas duoda = ππ f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Oskilki f (x) yra porinė funkcija, tada visiems n maєmo bn =, an = 2 π = 1 π 1 = π (n + 1) = f (x) cosnxdx = 2 π 1 cos (n + 1) x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos (n + 1) x + cos (n 1) x) dx = 1 π sin (n + 1) xdx sin (n 1) xdx = π (n 1) ) π π 1 + cos (n 1) x = π (n 1) 2 1 (= (1) (n + 1) 1) 1 (+ (1) (n + 1) 1) = π (n + 1) ) 2 π (n 1) 2 () = (1) (n + 1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1) (n + 1) 1 nk π ( n 2 1) = π (4k 2 1) 2, jei n = 2k, 2, jei n = 2k + 1. Reikšmę a 1 reikia skaičiuoti okremo, fragmentai tolimojoje formulėje, kai n = 1, vardiklis trupmena virsta nuliu. = 1 π a 1 = 2 π f (x) cosxdx = 2 π x (1 + cos 2x) dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Taigi funkcijos f (x) ma viglyad Lyapunov paritetas: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π 32 PRISTATYMAS. Parašykite Lyapunov ekvivalentą funkcija (xf (x) = 2 πx, kur x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Відповіді + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2,1 π 35. f (x) g (x) dx = cndn, de cn funkcija f (x) ir dn Funkcinė funkcija g (x) . 6. Eilių Fur'є Nekhai f diferenciacija: R R nuolat diferencijuota 2π-periodinė funkcija. Fur'є ma viglyad Її serija: f (x) = a 2 + (n cos nx + b n sin nx). F (x) funkcija yra panaši į 2π periodinę funkciją, kuriai galima parašyti formalią seriją Fur'є: f (x) a 2 + (an cos nx + bn sin nx), de a, an, bn , n = 1, 2, ... funkcionalumas Fur'є funkcija f (x). 51

52 Teorema (Kailinių serijų pratęstas terminas diferencijavimas). Trupimo atveju tiesa, kad a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. TAIKYMAS 15. Nebūk drovus-sklandžiai funkcija f (x) be pertrūkių [, π] intervale. Akivaizdu, kad galime pasakyti, kad f (x) dx = mažas 2 dx 2 dx netinkamas elgesys dėl Steklovo nesugebėjimo ir pakartotinio prisijungimo, todėl naujos funkcijos praras f (x) tipo f (x) funkciją. Kitaip tariant, Steklovo neveiklumas, tarkime, kai matote, kad yra trys paprastos funkcijos (vidutiniame kvadrate), yra trys funkcijos (vidutiniame kvadrate). Sprendimas. Palaikoma funkcija f (x) iki intervalo [,] pagal vaikino rangą. Žymiai išplėsta pačia funkcija simboliu f (x). Funkcija bus tęsiama be pertrūkių ir bus sklandi ir sklandi kelyje [, π]. Taigi, kadangi funkcija f (x) yra be pertrūkių, tada f 2 (x) yra be pertrūkių visą trukmę ir 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Oskіlki poros funkcija tęsiama, tada b n =, a = už kriauklės. Otzhe, Lyapunov nabuvє paritetas akiai 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Persvarstymas, kad f (x) būtų laikomasi teoremų apie serijos Fur'є diferenciaciją, kad a =, an = nb n, bn = na n, n 1. Nenoriu f (x) būti blogai taškuose x 1, x 2, ..., x N intervale [, π]. Tegu x = x N + 1 = π. Integracijos [, π] augimas N +1 intervale (x, x 1), ..., (x N, x N + 1), odos būklė f (x) yra puikiai diferencijuota. Todi, atpažįstama užburta integralo, o taip pat ir integruojančių dalių, adityvumo galia: bn = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1π j = xj + 1 xjx j + 1 xjnn π N j = xj + 1 xjx j + 1 xjf (x) sin nxdx = f (x) cosnxdx = f (x) cosnxdx = = 1 π [(f (x (x) 1) sin nx 1 f (x) sin nx) + + (f (x2) sinnx 2 f (x1) sinnx 1)

54 + (f (x N + 1) sin nx N + 1 f (x N) sin nx N)] n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j + 1 a = 1 f (x) dx = 1 N f (x) dx = π π j = xj = 1 N x j + 1 f (x) π = 1 (f (π) f ()) = .. . x j π j = Likę lygūs vienas kitam per tuos, kur funkcija f (x) buvo paaukštinta pagal vaikino rangą, taigi f (π) = f (). Panašiai galime atpažinti = nbn. Mes parodėme, kad Fur'є serijos išplėstinės diferenciacijos teorema nepertraukiamai šmatkovo sklandžiai 2π-periodinei funkcijai, panašiai kaip tarpinės [, π], yra arogantiška pirmosios rūšies, vyrna. Iš to paties f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) = (na n) sin nx, oskilki a =, an = nb n =, bn = na n, n = 1, 2, ... Oskilki 2 dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Taigi, kaip derminis terminas eilutėje (18), jis yra daugiau ar mažiau papildomas eilutės (17) narys, tada 2 dx 2 dx. Spėju, scho f (x) є išplėstinių funkcijų vaikinams, maєmo 2 dx 2 dx. Atvesti Steklovo paritetą. Šiais laikais Steklovo nelygumai turi daug funkcijų. Jei norite, kad vienas n 2 efektyvumas a n būtų lygus nuliui, tada a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 PATVIRTINIMAS 37. Nebūk drovus – sklandžiai funkcija f (x) yra nenutrūkstama intervale [, π]. Informuokite, kad laimėdami turite f () = f (π) = yra mažai paklaidos 2 dx 2 dx, kaip tai dar vadinama Steklovo neveiksnumu, ir perbraukite, bet tai tiesiog neprieštarauja f (x) . .. 38. Tegul funkcija f bus be pertrūkių intervale [, π], o naujajame (už begalinio taškų skaičiaus vinjetės) eisiu f (x), kad integruotume su kvadratu. Norėdami informuoti, jei tam tikrame vizone manote, kad f () = f (π) і f (x) dx =, tada mažai trūksta neefektyvumo 2 dx 2 dx, kaip tai vadinama Wirtingerio neryžtingumu, o funkcija yra nėra labai paprasta x) = A cosx + B sin x. 56

57 7. Fur'є gretų sąstingis dėl skirtingų rasių atsiradimo tarp privačių mirusiųjų Kai realaus objekto atgaivinimas (gamtos pasireiškimas, virusinis procesas, valdymo sistema yra per plona). matematinis aparatas. Mokslinių studijų stadijoje toks lancetas buvo siūbuojamas: fizikinis modelis yra matematinis modelis. Fizinė lauko formuluotė (modelis) puolime yra tokia: atsiranda ir vystosi to galvos faktoriaus procesas, kuris pilamas ant naujo. Matematinė lauko formuluotė (modelis) faktorių ir minčių fizinės formuluotės inventoriuje sistemų ir lygybių požiūriu (algebrinė, diferencinė, integralas ir kt.). Valstybės vadovas vadinamas teisingu nusistatymu, kaip dainuojančioje funkcinėje mąstymo uždavinių sprendimo erdvėje, vieninteliu ir netrukdomu atsigulti ant burbuolės ir pasienio protų. Matematinis modelis yra ne tik tas pats objektas, į kurį reikia žiūrėti, bet mes priartėsime prie jo su aprašymu. Viznovok pivnyannya vilnykh malikh skersinės stygos. Tegul virvelės būna pririštos, o pati virvelė įtempta. Jei įkišite eilutę iš tiesios linijos (pavyzdžiui, ištraukite arba ištraukite išilgai), tada labiau tikėtina, kad eilutė bus 57

58 vagatisya. Tuo pačiu metu visi stygos taškai griūva statmenai ravnovos padėčiai (skersinis ryšys), be to, odos momentu styga guli vienoje ir toje pačioje srityje. Yra stačiakampė koordinačių sistema xou. Todi, jei burbuolės momentu valandą t = styga įaugo į Jaučio ašį, tai u reiškia stygos atleidimą iš tiesės padėties, kad stygos taško padėtis nuo abscisė x paskutiniu funkcijos valandos t momentu, tіє ​​vertė Kai odos fiksuota reikšmė t, funkcijos u (x, t) grafikas parodo eilutės formą, kurią galima sukti momentu t (32 pav.). Esant pastoviai x reikšmei, funkcija u (x, t) suteikia dėsnį abscisių taškui x, tiesė yra tiesi, lygiagreti ašiai Ou, t prarandama, o kita prarasta 2 ut 2 pagreitėja . Mažas. 32. Jėga, taikoma neribotam mažam eilučių skaičiui Sandėlis, kurio pakanka funkcijai u (x, t) patenkinti. Už visą krūvą žiaurių pabarstukų leiskite jiems atleisti. Virvelė visiškai įtempta - 58

59 Coy, so vvazhatimo, kodėl gi stygos nesusuktų viginu; tse reiškia, scho spyruoklės, scho mirkčioja į stygas, visada ištiesinamos pagal tą patį її kumštinės pirštinės profilį. Styga perduodama spyruokle ir Huko dėsniui; tse reiškia, kad dydžio pokytis buvo įtrauktas proporcingai stygos gyvatei. Priimtina, vienos krypties eilutė; tse reiškia, її її linea gustina ρ postіyna. Pabudimo jėgos yra nesveikos. Tse reiškia, kaip mes galime tai pamatyti. Mi vivchatimo nuomos stygos yra mažos. Jei ϕ (x, t) žymėsime pjūvį tarp abscisės ir punktyrinės linijos taške nuo abscisės x momentu t, tai vaiko laukas yra tame, kad ϕ 2 (x) reikšmė. , t) negali būti lengvai x, t), kad ϕ 2. Kadangi kut ϕ yra malium, tai cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tan ϕ і taip pat, reikšmės (uxx,) 2 taip pat galima praleisti. Skamba iš karto viplivay, bet giedojimo procese, galite zehtuvati pagal gyvatę, net jei esate stygų delinker. Tiesą sakant, šiek tiek eilutės M 1 M 2 turėtų būti suprojektuota abscisio ašyje, de x 2 = x 1 + x, kelias l = x 2 x () 2 u dx x. x Bus parodyta, kad mūsų nuolaidoms įtempimo jėgos T reikšmė bus pastovi stygos įtempimas. Tuo pačiu metu pirmą kartą noriu dilyanka stygas M 1 M 2 (32 pav.) valandos t laiku ir vietoj dalyvavimo - 59

60 kv traukimo jėgomis T 1 ir T 2. Visų stygos taškų nutekėjimo virpesiai lygiagrečiai ašiai Ou ir į išorę nukreiptos jėgos, tada traukos jėgų projekcijos į ašį Ox suma yra atsakinga už nulį: T 1 cosϕ (2 x 1, t) + (x 2, t) =. Prasideda per nedidelį skaičių kutiv ϕ 1 = ϕ (x 1, t) і ϕ 2 = ϕ (x 2, t) struktūros, bet T 1 = T 2. Svarbu tai, kad pradinė reikšmė T 1 = T 2 per T. Dabar ašį Ou veikiančių jėgų projekcijų F u qix suma: F u = T sin ϕ (x 2, t) T sin ϕ (x 1, t). (2) Oskіlki mažiems kutіv sin ϕ (x, t) tg? T (tan ϕ (x 2, t) tan ϕ (x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) xx T 2 ux 2 (x 1, t) x ... Jei taškas x 1 apverstas, tai F u T 2 u x2 (x, t) x. Be to, kadangi žinoma, kad visos jėgos eina į M 1 M 2, vis dar galioja kitas Niutono dėsnis, reiškiantis, kad reikia greitai tiekti visas dienos pajėgas. Stygos masė yra M 1 M 2 keliui m = ρ l ρ x, o greitėjančio kelio - 2 u (x, t). Niutono t 2 požiūrio taško ekvivalentas: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2 (x, t) x, de α 2 = T ρ yra nuolat teigiamas skaičius. 6

61 Greitai ant x, galime apibrėžti mo 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2 (x, t). (21) Dėl to mes sukūrėme linijinius skirtumus tarp privačių, skirtingų dydžių, kurių našumas pasenęs. Jogas chi stygas vadina tomis pačiomis rūšimis kaip ir tas pačias. Rivnyannya (21) є performuluoja Niutono dėsnį ir aprašo stygos griūtį. Ale fiziniame boule vimogi inscenizacijoje apie tas stygas, kurios užsegamos ir stygos dedamos per kitą valandą. Lygiavertiškai užrašykite taip: a) svarbu, kad eilučių galai būtų fiksuoti taškuose x = і x = l, todėl tai svarbu visiems t atlikimo u (, t) =, u (l, t) =, u (l, (22) b) sąmoningai, šiuo metu t = eilutės padėtis yra po funkcijos f (x) grafiku, todėl visų x [, l] atitikmuo yra u (x,) = f (x); (23) c) taip pat, tuo momentu, kai t = eilutės taškas iš abscisės x, yra pateiktas g (x) sklandumas, taigi taip pat, u (x,) = g (x). (24) t Spіvdnoshennya (22) vadinami pasienio protais, o spіvіdnoshennya (23) ir (24) vadinami burbuolės protais. Matematinis vilnyh malikh skersinis modelis 61

62 stygų stygos tuo, kad reikia padaryti stygų eilutę (21) su ribinėmis kriauklėmis (22) ir burbuolėmis (23) ir (24) Vilny mažos skersinės stygų stygos sprendimas Kailio metodu. „Srities kratymas (21) xl,< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >... Atsižvelgiant į (25) (21), galime atpažinti: X T = α 2 X T, (26) arba T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x). (27) Atrodo, tapo nedorėliais. Taigi, jei x і t yra ne viena kryptimi, tai kairioji dalis (27) yra ne apie x, o dešinė apie t ir atgalinė cich reikšmė yra apie 62

63 gali būti pakartotas, o tai reiškia per λ: T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x) = λ. Atpažinsime du specifinius diferencialinius ekvivalentus: X (x) λx (x) =, (28) T (t) α 2 λt (t) =. (29) Jei norite matyti didelę ribą, pagalvokite (22), kad pamatytumėte X () T (t) = і X (l) T (t) =. Oskіlka smarvę galima matyti visus t, t>, tada X () = X (l) =. (3) Mes žinome Rivnyannya sprendimą (28), nes jis patiktų ribiniams protams (3). Matyti trys vaizdai. Vipadoc 1:>. Tegu λ = β 2. Lygus (28) X (x) β 2 X (x) = išvaizdai. Jogo charakteristika lygi k 2 β 2 = šaknis k = ± β. Otzhe, tirpalo galva (28) ma viglyad X (x) = C e βx + De βx. Jei esate kaltas padaręs klaidą, tada C ir D taip, kad pasienio nutekėjimas (3) būtų sugautas, kad X () = C + D =, X (l) = C e βl + De βl =. Оskіlki β, tsya sistema rіvnyan maє єdine tirpalas C = D =. Otzhe, X (x) ta 63

64 u (x, t). Pats Timas, esantis vipadku 1 mi, priėmė nereikšmingą sprendimą, kiek nebuvo galima įžvelgti. 2 tipas: λ =. Todi rіvnyannya (28) nabuvaє vaizde X (x) = і-asis sprendimas, akivaizdu, pateikiamas pagal formulę: X (x) = C x + d. Pateikiame sprendimą ties ribine kriaukle (3), galime perskaityti X () = D = і X (l) = Cl =, taip pat, C = D =. Nuo to paties laiko X (x) ir u (x, t), ir mes jau atmetėme trivialų sprendimą. Vipadoc 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 Nadal navatimo n tik teigiamos reikšmės n = 1, 2, ..., fragmentai su neigiamu n bus to (nπ) sprendimas. Reikšmės λ n = vadinamos absoliučiais skaičiais, o funkcijos X n (x) = C n sin πnx su galingiausiomis diferencialinės lygties (28) funkcijomis su regioniniais protais (3). Dabar jis yra laisvai prijungtas (29). Dėl naujos ma viglyad charakteristikos k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Oskіlki vishche mi s'yasuvali, bet netrivialūs sprendimai X (x) іvnyannya (28) є jei neigiamam λ, lygus λ = n2 π 2, tada tas pats λ mi ir matomas toli. Tiesės (32) šaknis є k = ± iα λ, o eilutės (29) sprendimas gali atrodyti taip: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) ll de A n і B n yra nuoseklesni. Pateikiame (31) ir (33) formules (25), žinome privatų rivnyannya (21) sprendimą, bet mus tenkina regioniniai protai (22): πnx. lll Įterpti daugiklį C n ties lanku і įterpti reikšmę C n A n = bn ir B n C n = an, parašykite un (X, T) ties žiūrovuі (un (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt ) sin πnx. (34) l l l 65

66 Styginiai dygliai, kuriuose rodomi sprendiniai u n (x, t), vadinami galios stygų džigais. Oskilki rіvnyannya (21) ir pasienio laimėjimai (22) lіnіynі ir vienpusis, tada lіnіyna sprendimų derinys (34) (u (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt) sin πlll dienas (35) kuri patenkins ribinius protus (22) specialia atlikimo an ir bn vibracija, kuri nesuteiks vienodo spektaklių skaičiaus. Šiais laikais і bn tirpalo (35) efektyvumas yra toks geras, kad funkcija (24), de f (x), g (x) buvo suteikta ne tik ribinei linijai, bet ir burbuolei (23). f () = f (l) = g () = g (l) =). Įspūdingai, funkcijos f (x) ir g (x) patenkins protus paskirstyti į žemą Fur'є. Davus (35) reikšmę t =, galime imti u (x,) = a n sin πnx l = f (x). Diferencijuodami eilutes (35) t ir pateikę t =, galime padaryti ją ut (x,) = πnα bn sin πnx ll = g (x), o sklaidos funkcijas f (x) ir g (x) į Fur' є lavas. Taip pat a n = 2 l f (x) sin πnx l dx, b n = 2 l g (x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 Siūlome įvairias funkcijas an ir bn iki skaičiaus (35), priimame rivnyannya (21) sprendimą, taip pat pasienio protus (22) ir burbuoles (23) ir (24) ). Pats Timas įsipareigojo mažoms kryžminėms stygoms. Yra fizinis pokytis laipsnio funkcijose u n (x, t) užduočių, susijusių su eilučių eilutavimu, kaip nurodyta (34) formulėje. Perrašomas її at viglyadі de n (x, t) = n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctan b n. l a n Iš (37) formulės matyti, kad visi eilutės taškai darniai eina vienu ir tuo pačiu dažniu ω n = πnα ir faze πnα δ n. Stygos amplitudė gulėti nuo l l abscisi x stygos taško і kelias α n sin πnx. Esant tokiam skaičiui, visi stygos taškai iš karto pasiekia maksimalų matomumą ta kryptimi ir vieną valandą praeina linijos padėtis. Šios kolyvanijos vadinamos nuolatiniais pagyrimais. Stovint mate n + 1 neardomasis taškas, kaip paklausti rivnyannya nuodėmės šaknų πnx = intervale [, l]. Nepaklusnūs taškai vadinami stovinčių khvilių vuzomis. Viduryje mazgų auga taškai, kuriuose vaizduose jie pasiekia maksimumą; tokie taškai vadinami antimazgais. Odos styga gali būti naudojama griežtai dainuojant dažnius n = πnα, n = 1, 2, .... o dažniai vadinami stygos galios dažniais. Žemiausias l tonas, kuris gali būti matomas kaip styga, prasideda nuo 67

68 mažos galios dažnis 1 = π T і vadinamas pagrindiniu stygos tonu. Інші tonai, atitinkantys l ρ dažnius n, n = 2, 3, ..., vadinami obertonais arba harmonikomis. Stygų tipo specifikai – pagrindinio tono tipas (33 pav.), pirmasis obertonas (34 pav.) ir kitas obertonas (35 pav.). Mažas. 33. Stygos profilis, kuris atrodo kaip pagrindinis tonas Mal. 34. Stygos profilis, kuris atrodo kaip pirmasis obertonas. 35. Stygos profilis, kuris atrodo kaip kitoks obertonas. Eilutei einant ji prasideda burbuolės protais, atsiranda funkcija u (x, t), kaip matyti iš (35) formulių. akis sumi, yra keletas harmonikų. Tokio rango pakanka 68 kolonijai

69 stygos є stovinčių kabliukų superpozicija. Tuo pačiu metu stygos skambėjimo pobūdis (tonas, garso stiprumas, tembras) slypi sp_vdnoshennya formoje tarp harmonikų amplitudių. Garso stiprumas, aukštis ir tembras. Garso galia apibūdinama garso energija. Garso garsas prasideda chi periodo dažniu: jei dažnis didesnis, tai garsas didesnis. Garso tembras pradeda reikštis obertonais, energija pakyla už harmonikų, todėl skambėjimo būdu tonas. Obertonų amplitudės, matyt, mažesnės už pagrindinio tono amplitudę, o obertonų fazės gali būti gana reikšmingos. Mūsų Vuho nėra jautrus Phasie Kolivan. Palyginkite, pavyzdžiui, dvi kreives pav. 36, įtariamas z. Tse įrašo garsą pačiu pagrindiniu tonu, susuktu iš klarneto (a) ir fortepijono (b). Įžeidžiantys garsai nėra paprasti sinusiniai garsai. Pagrindinis abiejų tipų garso dažnis yra vienodas ir tonas yra tas pats. Šiek tiek kreivių, kad pagrindiniam tonui pritaikyti obertonai. Kūdikio dainavimo prasme parodykite tą patį tembrą. 69

Atitinka hiperbolinį tipą. Neribotų ir nebaigtų stygų stulpelis. Kailio metodas Kailio metodas Stovintis chvili 4 Paskaitos 4.1. Atitinka hiperbolinį tipą. Kolekcija nėra begalinė ir pan.

MASKAVOS VALSTYBINIO TECHNIKOS UNIVERSITETAS CIVILINIS AVIATSIN V.M. Liubimovas, Є.A. Žukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Šurinovas M A T E M A T І K A R A D I POSIBNIK

RUSIJOS FEDERALINĖS MINISTERIJOS Valstybinis biudžetinis švietimas Profesinio mokymo įsteigimas MATI Rusijos valstybinis technologijos universitetas K. E. Tsilkovskio vardu

Bilorus Respublikos švietimo ministerija EE "Vitebsko valstybinis technologijos universitetas" Tema. „Eilutės“ Teorinės ir taikomosios matematikos katedra. suskaidė doc. Є.B. Duninoju. Pagrindinis

Federalinė švietimo agentūra Federalinė valstybinė profesinio mokymo steigimo agentūra PIVDENNY FEDERALINIS UNIVERSITETAS R. M. Gavrilova, G. S. Kostetska metodinė medžiaga

Riadi Fur'o tema Praktinis Riadi Fur'o panaudojimas už stačiakampių funkcijų sistemų

DIAPAZONO TEORIJA Eilučių teorija є svarbiausia sandėlio matematinė analizė ir žinoti tiek teorines, tiek skaitines praktines ataskaitas. Razr_znyayut skaičių ir funkcijų skaičių.

ЗМІСТ ROW FUR'Є 4 Periodinės funkcijos supratimas 4 Trigonometrinis laukas 6 3 Stačiakampės funkcijų sistemos 4 Trigonometrinė serija Fur'є 3 5 Eilė Fur'є berniukams ir nesuporuotos funkcijos 6 6 Išdėstymas

Federalinė švietimo agentūra Maskvos valstybinis geodezijos ir kartografijos universitetas (MІIGAIK)

4 paskaita. Harmonijos analizė. Kailio periodinių funkcijų serija. Harmonijos analizė

TEMA V FUR'Є EILE 6 PASKAITOS Periodinių funkcijų išdėstymas Fur'є Bagato procesų, vykstančių gamtoje ir technologijoje, serijoje, gali kartotis per dainuojančius raginimus valandą Tokie procesai

METODINIS VKAZIVKI PRIEŠ ROZRAKHUNKOVYH ZAVDAN VISCHO MATEMATIKOS KURSAS "ZVICHAYNI DIFERENCY RIVNYANYA RANGE Podviyni INTEGRALI" SH DALIES TEMINĖ EILA

6 Kailio eilės 6 Stačiakampės funkcijų sistemos Kailio serijos stačiakampėse funkcijų sistemose Funkcijos ϕ () ir ψ (), reikšmės ir integracija viršuje [,], apskritai vadinamos stačiakampėmis.

VARIACIJAI INTEGRAL. Integralui sumi vienaskaitos integralui Nehai suteikiama funkcija y = f (), priskiriama formai [, b], de< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 žingsnių eilutės 5 žingsnių eilutės: reikšmė, skirtumo sritis Funkcinė formos eilutė (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) de, a, a, K , a, k deyaki numeriai, vadinkite būsenos seriją Skaičiai

BILORUSKIJŲ DERŽAVNIJŲ UNIVERSITETO TAIKOMOJI MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS

Uždėkite ant jo deyaki. užpakalis. Žinome begalinės geometrinės pažangos sumą.Uolumo nario formulė yra a + aq + ... + aq n + ... (a). a n = aq n. Daugybė sumi dalių. Jei q =, tada

Zavdannya 1.1. Žinoti iš nurodyto regiono sprendimą nuo to paties nulio yra diferencialinės lygties sprendimas y = y (x), kurį tenkina regioninių protų (Sturm-Livilya vadovo) paskyrimas.

Matematinė analizė Tema: Dainavimo integralas Nevlasny integralai Lektorius Pakhomova Є.G. 2017 p. ROZDIL II. To jogo priedo dainavimo integralas 1. To jogo galios dainavimo integralas 1. Galva,

8 paskaita 4 „Sturm-Livilya“ vadovas Aprašant nedidelę skersinę stygų eilutę, galima suprasti skirtumo lygybės briaunos problemą privačiose senesnėse skirtingos eilės.

Paaiškinta prie teksto: ženklas skaitomas jak "teisingai" ir reiškia, kad ties rivnyans dešiniarankis yra iš ženklo, o blogis yra iš ženklo bezlich atsakymas, ženklas IR reiškia bezlich kalbos skaičius, ženklas Į

82 4. Rozdil 4. Funkcinė ir būsenos eilutė 4.2. Užimtas 3 4.2. Užimta 3 4.2 .. Funkcijos įtraukimas į Taylor seriją VALUE 4.2 .. Nežinau, funkcija y = f (x) yra neribotai diferencijuota pakraščiuose

MINOBRNAUKI ROSIN FEDERALNA DERZHAVNA BUDGETNA OSVITALNAYA INSTANOVA VISCHOЇ PROFESSIONO Įsteigia „SAMARSKY DERZHAVNIY TECHNICAL“

Federalinė geležinkelių transporto agentūra Uralo valstybinis bajorų universitetas su Taikomosios matematikos katedra

3 paskaita Taylor ir Maclaurin Rows State Rows Stagnation of State Rows, State Rows Taylor and Maclaurin Rows

Su Lavrenchenko wwwwrckoru paskaita Kailio peržiūra Integralios rekonstrukcijos supratimas Integralinės revizijos metodas yra vienas iš sunkiai dirbančių matematinės fizikos metodų, naudojant priverstinį peržiūrą.

Funkcijos integravimas (Rimanui) tas pats integralas Taikant uždavinių sprendimą 1. F (x) = C funkcija integruota, kaip ir bet kokiam taškų pokyčiui ar vibracijai ξ i integralas

1 kurso kursas. Atlikite Riman funkciją, kuri yra 0, m m R (), kuri yra m, m 0 ir kitas netrumpas, 0, kuri yra neracionali, razrivna odos racionaliame taške ir be pertrūkių odos dirginimo. Sprendimas.

1 2 Zm_st 1 Eilutės Kailis 5 1.1 Trigonometrinė serija Kailis ............ 5 1.2 Tilki sin & cos ................. .... 7 1.3 Kailių serija sudėtingoje formoje 11 1,4 f (x) = ck? .......................

РІВНЯННЯ MATEMATICHNO FIZIKA 1. Diferenciniai santykiai su privačiais vaikais.

4 paskaita. Hvilyovі rіvnyannya 1. Vivedennya іvnyannya kolivannya stygos 2. Rіvnyannya pozdovzhnіkh kolyvannaya stygos 3. Ausinės, ratlankiai 4. Problemų aprašymas 1. Nubraižytos driblingos stygos

1. Elektrostatika 1 1. Elektrostatika 6 pamoka Dekarto koordinačių pokyčių raida 1.1. (Gamyklinis nustatymas 1.49) Plotas z = įkrautas nuo stiprumo σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), de σ, α, β post_yni.

Modulio tema Funkcinės pabaigos ir serijos Vienodos svarbos galia ir serijos

Atitinka parabolinį tipą. Tos pačios teritorijos keitimo būdas Vienas šalies regionas Prietaiso funkcijos Ne vieno tam pačiam šilumos laidumo tipui 7 Paskaitos 7.1 Ekvivalentas paraboliniam tipui. Podilio metodas

Paskaita Skaičių serija Vertės ženklai Skaičių serija Vertės ženklai Skaičių serija Vertės ženklai Skaitmeninė eilutė + + + +, papildymai iš neribojamų narių, vadinamų skaičių serija Skaičiai,

35 7 Trigonometrinės serijos Fur'є Rows Fur'є periodinėms funkcijoms su periodu T.

Metalurgijos fakultetas Aukštosios matematikos katedra RANGE Metodinės instrukcijos Novokuzneckas 5 Federalinė švietimo agentūra

Matematikos ir informatikos katedra Visos matematikos elementas Pradinis-metodinis kompleksas vidurinio profesinio ugdymo mokiniams, pradedantiems mokytis iš nuotolinių technologijų.

9. Visų pirma nereikšmių integralas 9 .. Tegul funkcija f () nustatoma į intervalą I R. Funkcija F () vadinama pagrindine funkcija f () intervalui I, nes F () = f () bet kuriam I, tai yra pirminė

DIFERENCIALIOS FUNKCIJOS VIENĄ ŽIEMĄ Paprasto, geometrinio ir fizinio Zavdannya pojūčio supratimas, sukurti prieš supratimą apie primityvų Stosovo S žymėjimą ties y f (x) taške A x; f (

Atitinka hiperbolinį tipą. Neribotų ir nebaigtų stygų stulpelis. D'Alemberto metodas Bekvapė eilutė. D'Alemberto formulė Netiesinė eilutė 3 3.1 paskaita. Atitinka hiperbolinį tipą.

Зміст Vstup. Pagrindinis supratimas .... 4 1. Integralinė Volterri šeima ... 5 Buities variantai ... 8 2. Integralų Volterri šeimos rezoliucija. 10 namų ūkio pasirinkimų ... 11

DIAPAZONAS. Skaičių eilutės. Pagrindinė Nehai reikšmė suteikiama neribotam Viraz skaičių skaičiui (neribota suma) a, a 2, ..., an, ... ai = a + a 2 + + an + ... () i = be vadinama skaitine eilute. Skaičiai

8. Žingsnių eilutės 8 .. Funkcinė eilutė, kurios formos cn (z) n, (8.) n = de cn yra skaitinė seka, R yra fiksuotas skaičius, o z R vadinama būsenos eilute su parametrais c n . Vicone pakeičia nugalėtojus

~ ~ Nesvarbūs ir nesvarbūs integralai Pirminio ir nepriskirto integralo supratimas. Pavadinimas: Funkcija F vadinama pirmąja eilute funkcija f, taip pat pritvirtinimo funkcija

3724 CRATNI І KRIVOLINIINI INTEGRALS EILUTĖS 1 ROSDILIV ROBOCH PROGRAMA "CRATNI І CRYVOLINIINI INTEGRALS" 11 skaičių eilučių Supraskite skaičių eilutes Skaičių galia

VALGYTI. RUDIUM MATEMATICHNY ANALIZ. SKAIČIAI IR FUNKCINĖS EILTELĖS NOVOSIBIRSK 200 2 MINOBRNAUKI ROSIN GOU VPO "NOVOSIBIRSKY DERZHAVNIY PEDAGOGICHNY UNIVERSITY" О.М. Rudiy MATEMATICHNY ANALIZ.

N PASKAITA 7. Taylor's Rows ir Taylor's Rows ... Taylor's Rows ... Taylor's Rows ...

RIVNIANJOS AIKŠTĖ Zmisto AIKŠTĖ RIVNIANJOS ... 4.ta paskutinė aikštė rivinja ... 4 ..

ROSDIL ZAVDANNA SU PARAMETRAIS Komentarai Valdymas su parametrais tradiciškai yra sulankstomos patalpos EDI struktūrose, kad galėtumėte naudoti visus vaikų sprendimo būdus ir metodus.

Diferencialinis skaičiavimas Įtrauktas į matematinę analizę Sankryžų funkcijos. Ne vertybių Rozkritta ribose. Funkcijos panašios. Diferencijavimo taisyklės. Zasosuvannya obhіdnoї

Furo stačiakampių funkcijų sistemų serija Algebros požiūriu tam tikros klasės a funkcijų lygiavertiškumas R, bet C tiesiog reiškia, kad vektorius yra linijinis vektorių derinys.

1. Dainavimo integralas 1.1. Tegul f yra apsupta funkcija, nustatyta forma [, b] R. Rosbittyam vidrizka [, b] iškvieskite tokią taškų aibę τ = (x, x 1, ..., xn 1, xn) [, b ], uh = x< x 1 < < x n 1

Head Stair Rows a a a Row view a a a a a () vadinamas statiniu, de, a, pooperaciniu, vadinamas funkcionieriais iš eilės.

Išdėstymas FUR eilėje ir nesuporuotos funkcijos. Funkcijos išdėstymas eilėje už sinusų arba kosinusais. Fur'є eilė funkcijai su ilgu Parseval periodu. Uždarosios sistemos ir sukimasis ir uždarumas sistemos

Daugelio Fur'є porinių ir nesuporuotų funkcijų išdėstymas Funkcijos f (x), priskirtos vidrizka \ -1, de I> 0, vadinamos suporuotomis, nes suporuotų funkcijų grafikas yra simetriškas ir ordinačių ašis. Funkcija f (x), priskirta formai J), de I> 0, vadinama nesuporuota, nes nesuporuotų funkcijų grafikas yra simetriškas koordinačių burbulai. užpakalis. a) Funkcijos є suporuotos su alternatyvomis | -jt, jt), tai yra, visoms x e b) Funkcijos yra nesuporuotos, tai yra, Fur'є vaikinų ir nesuporuotų funkcijų eilėje; Fur'є funkcijoms su ilgas periodas Sudėtingas žymėjimas Fur'є Riadi Fur'є daugeliui stačiakampių funkcijų sistemų Fur'є skaičius stačiakampei sistemai Minimali sistemos funkcijos galia Sistemos laisvumas. (x) de ni vaikinams, ni nesuporuotoms funkcijoms, oskilki Nekhai funkcija f (x), kuri patenkinta 1 teorema, є suporuota remiantis x |. Todi all tobto. / (x) cos nx yra suporuota funkcija, o f (x) sinnx yra nesuporuota. Tam poros funkcijos funkcija / (f) užbaigia funkciją Otzhe, ma viglyad poros funkcijos numeris 00 Yaksho f (x) yra nesuporuota funkcija išvestyje [-tg, ir |, tada funkcija nėra suporuota su , o pridėjimas f (x) sin nx yra poros funkcija. Esant tokiam rangui, Fuhr'є nesuporuotų funkcijų serija gali būti matoma 1 priedas. Tarpai Fur'є serijoje panašioje -x ^ x ^ n funkcijoje 4 Taigi kaip poros funkcija ir jei mes patenkinti su 1 teorema, tada žinome kofіtsієnti Fur'є. Mamo Dvіchі integracija dalimis, otrimamo, kad šios viglyadє funkcijos Fur'є skaičius būtų toks: bet kokiu atveju atvirame vaizde vertė yra teisinga bet kokiam x €, taigi kaip taškuose x = ± ir yra skaičius f (x) = x2, fragmentai Funkcijos f (x) = x ir duotosios eilutės sumos grafikai pateikti pav. Pagarba. Visa Fur'є serija leidžia sužinoti vienos iš skaitinių eilučių, kuri suartėja, ir jos pačios sumą, kai x = 0, ji yra atpažįstama, tačiau 2 taikymas. Išplečiamas Fur'є serijoje intervale funkcija / (x) = x. Funkcija / (x) atitinka 1 teoremą, taip pat galima išplėsti į Fur eilę, kuri per nesuporuotą funkcijos funkciją integruojasi kartu, žinome funkcijos funkcijos funkciją. Atsižvelgiant į tai, kailio eilutėje visi x taškai x - ± tg sumuojasi į Fur'є skaičių, neatsikrato funkcijos / (x) = x reikšmių, kai kurios iš svarbiausių pozų yra panašioje [- *, i-] suma į є periodinių išplėstinių funkcijų skaičių / (x) = x; її grafika parodyta fig. 6. § 6. Pavarai suteiktos funkcijos išdėstymas eilėje už sinusų arba kosinusais. Centrinės funkcijos reikšmė pristatymui 0 | galima būti kitokio rango. Pavyzdžiui, transporto priemonėje galima naudoti funkciją /, taigi, schob /. Turiu daug vipadku pasakyti, kad) "pakeltas i vidrizok 0] jauno rango"; її keletas Fur'є keršto lishe kosinusi. Kadangi funkcija / (f) yra svarbi formai [-l-, mc], taigi, jei funkcija nesuporuota, jei atrodo, kad / "neporuotas rangas yra pakeltas į formą [- *, 0]"; Visa Fur'є eilė bus painiojama tik su sinusais.Taip pat odą gaubia gumbinė-monotoniška funkcija / (f), ji priskiriama alternatyviai, galima plėstis iš eilės Fur'є і išilgai sinusų, і išilgai kosinusų Taikymas 1. Funkcijos rožių eilėje 'є: a) kosinusais; b) už sinusų. M Funkcija pateikiama suporuotų ir nesuporuotų reklamų atveju vidrizoks | -x, 0) bus susipynę, kad shmatkovo-monotoniška. a) Nepertraukiamai / (z) versijose 0) a) Nepertraukiamai j \ x) versijose (-tg, 0 | jaunas rangas (7 pav.), todi її Fur'є i matime viglyad eilė П = 1 de kofіtsієnti Fur ' є, b) Tęskite / (z) forma [-x, 0] nesuporuotas (8 pav.). Todi її keletą Fur'є §7. Fur'є serija funkcijai su tam tikru periodu Nehai funkcija fix) є periodinis leidinys, kurio periodas yra 21,1 ^ 0. Ta funkcija F (t) = / ^ tj bus periodinė argumento t funkcija iš periodo ir ji gali būti išplėsta iki Fur'є eilutės. , Išlikti valdžioje ir periodinėms funkcijoms su tam tikru laikotarpiu 21. Augimas, įgavęs savo jėgą ir pakankamas, kad pažymėtų funkcijų pasiskirstymą Fur'є eilėje. Taikymas 1. Fur'є serijos išplėtimas yra periodinė funkcija su periodu 21, forma [- /, /] suteikiama pagal formulę (9 pav.). Taigi, kai duota poros funkcija, tada kai kuriems Fur'є maє viglyad yra suteiktas skaičius Fur'є žino Fur'є funkcijų reikšmes, aiškiai pripažįstama, kad yra viena svarbi galia periodinių funkcijų. 5 teorema. Jeigu periodo T ir funkcija yra integruota, tai ar tai skaičius ir m lygybė. Tai yra, integravimas nėra pagrįstas skirtumu tarp kelio laikotarpio T, bet ta pati reikšmė yra tiesiai iš pavaros padėties skaitinėje ašyje. Pakankamai teisinga, Robimo pakeis pakeitimą iš kito „Integral“, „vvazhayuchi“. Tse daє ir і taip pat geometrinis stiprumas reiškia, kad sritys, užtamsintos Fig. 10 regionų, lygių vienas kitam. Zokrem, funkcijai f (x) su tašku, priimtina, kai FUR' eilė ir nesuporuotos funkcijos dedamos į eilę už sinusų arba kosinusais. Fur'є funkcijos Fur'є serija pagal statmeną sistemos Minimali Beselio efektyvumo galia Parseval lygybė Uždarosios sistemos Sistemų sukimasis ir uždarumas Taikymas 2. Funkcija x є periodinė iš periodo Dėl šios funkcijos nesuporavimo, neskaičiuojant integralų, ją galima naudoti, bet jei kam buvo suteikta galia, tai spyruoklė, kuri yra periodinių funkcijų f (x) skaičiaus funkcija. (reikšmingai, funkcija yra cos, o sin gali būti 2 / taškas). Taikymas 3. Atvėrimo Fur'є skaičius intervale pateikiamas funkcija su periodu 2x (11 pav.). 4 Mes žinome funkcijos funkcionalumą. Otzhe, Fur'є serija bus matoma taip: Taške x = jt (pirmosios genties pjūvio taškas) maєmo §8. Išsamus žymėjimas keletui Fur'є Visoje pastraipoje vikoristovuyutsya deyaki sudėtingos analizės elementai (div. Razdil XXX, de all diy, kuris čia atliekamas su sudėtingomis virusinėmis, suvoro apvadu). Tegul funkcija f (x) tenkina pakankamai vietos Fur'є eilėje. Pavyzdžiui, kompleksine forma (3) galima parodyti Vikoristo Eilerio formulės kryptį. Yra žinoma, kad virazi kofіtsієntіv per integrals. Panašiai с „, с_п і с likutinę formulę galima parašyti taip:. ... Savybės vadinamos kompleksinėmis funkcijomis Fur'є funkcijomis Periodinėms funkcijoms iš periodo), kompleksinė forma yra Fur'є skaičius bus matomas dekofitsinti Sp akimis apskaičiuojamas pagal reikšmės w formules, taip pat. tarp Programų. Erdvės sudėtingoje laikotarpio Fur'є funkcijos serijoje. Funkcija suteikiama pakankamai protams paskirstymo Fur'є eilėje. Nekhai Know-how sudėtingas funkcionalumas Kailio centrinė funkcija. Mahmo neporuotiems vaikinams n arba žemesnio ūgio. Predstavlyayuchi reikšmė), atpažįstama likučiai Puiku, bet skaičius gali būti parašytas taip: Eilė Fur'є už stačiakampių funkcijų sistemų 9.1. Stačiakampės funkcijų sistemos Beprasmiškai per visas (veiksmo) funkcijas, kurios yra prasmingos ir integruotos į kvadratą [a, 6], todėl tokia, kokiam nors paprastam integralui. Zokrema, visos funkcijos f (x), nepertraukiant formos [a, 6], būti 6], ir Lebesgue integralų reikšmė įtraukta į Rimano integralų reikšmę. Viznachennya. Funkcijų sistema de vadinama statmena figūrai [a, b \, kaip ir Umov (1) perkėlimas, zokrem, bet funkcijos netinka tam pačiam nuliui. Neatsiejama pokalbio su Sensei Lebesgue. Jei reikšmė vadinama funkcijos norma bet kurios mašinos stačiakampėje sistemoje, tai funkcijų sistema vadinama ortonormalia. Jei sistema (y> „(g)) yra stačiakampė, tai sistema Taikymas 1. Trigonometrinė sistema yra statmena kryptimi. Funkcijų sistema є ortonormali funkcijų sistema, 2 priedas. Kosinusų sistema і sinusų sistema yra ortonormali. Įvedus, reikšmės є yra statmenos krypčiai (0, f |, bet ne ortonormalios (esant I F-2). Taigi kaip їх normos COS. kad funkcija sukurti ortonormalią funkcijų sistemą kelyje Atrodo, pavyzdžiui, Legendre daugianario ortogonalumas iki eilės m - I imtinai, formos pabaigoje paverčiama nuliu [-1,1). Viznachennya. Funkcijų sistema (pn (x)) vadinama ortogonaliąja intervale (a, b) su funkcija p (x), kur: 1) visiems n = 1,2, ... Visur ji žymima i teigiamai intervale (a, b) už galimos pabaigos taškų skaičiaus vinjetės de p (x) galima paversti nuliu. Atlikus diferenciaciją (3) formulėje, žinoma. Galima parodyti, kad Chebishev-Ermit posūkis yra stačiakampis intervale. Taikymas 4. Beselio funkcijų sistema (jL (pix) ^ yra statmena Besselio funkcijos nulio intervalui. stačiakampė funkcijų sistema intervalas (a, 6) ir serija (cj = const) visame intervale susilieja su funkcija f (x): sistema yra otrimaєmo, scho tsya operatsіya maє, matyt, tai formalus pobūdis. Timas yra ne mažiau svarbus dalykas, kai kuriems žmonėms, pavyzdžiui, jei serijos (4) susilieja vienodai, visos funkcijos yra nepertraukiamos, o intervalas (a, 6) yra nuobodus, o operacija yra teisėta. Mums iš karto svarbesnis yra pats formalus aiškinimas. Otzhe, leiskite nustatyti funkciją. Skaičiai su * galioja formulei (5) ir galime parašyti Serija, kuri yra dešinėje dalyje, bus vadinama Fur'є funkcijos f (x) ir sistemos (^ n (i) serija. ) - Skaičiai Cn vadinami Fur'є funkcijos f (x ) funkcijomis visai sistemai. Ženklas ~ formulėje (6) reiškia, kad skaičiai Cn yra susieti su funkcija / (g) pagal (5) formulę (jei ji neperkeliama, bet dešinėje pusėje esanti eilutė suartėja, bet daugiau konverguoja į funkciją f (x)). Tam natūralu valgyti maistą: kokia čia galia? Kuri reikšmė „atstovauja“ funkcijai f (x)? 9.3. Vidutinės vertės reikšmė. Paskutinis, susilieja į stichiją] viduryje, kaip norma platybėse 6 teorema. Paskutinis) suartėja vienodu atstumu, jis nesusilieja per vidurį. M Neleiskite, kad paskutinis () eitų tiesiai į kryptį [a, b] į funkciją / (x). Tse reiškia, kad kad oda išvis pasiektų didįjį mamo Otzhe, mūsų energingumo garsai yra energingi. Zvorotne tvirtumas yra neteisingas: paskutinis () gali susilieti per vidurį į / (x), bet ne visai panašus. užpakalis. Nesunku pamatyti paskutinį dalyką. Lengva padaryti atsarginę kopiją, bet Ale tsya neveikia gale: tai, pavyzdžiui, tai, pavyzdžiui, aš nebūsiu puikus, bet dažniausiai Pradedu eilę keturių vaikinų ir neprilygstamų funkcijų. kosinusai Row Fur'є funkcijoms su išankstiniu periodu Sudėtingas Fur'є Riadi Fur'є žymėjimas, skirtas išorinėms stačiakampėms funkcijų sistemoms Row Fur'є už stačiakampė sistema Minimali funkcijų galia Fury dygsniuotos sistemos Laisvos sistemos Ortonormalizuota sistema Tiesinė kombinacija de n ^ 1 - fiksuotas visas skaičius, o mes žinome paskutiniųjų reikšmę, kurių integralas yra mažiausia reikšmė. Rašto pranešimas yra įdomus po termino, dėl sistemos ortonormalumo galima atpažinti, kad pirmieji du užbaigimai dešinėje pusiausvyros dalyje (7) nemeluoja, o trečiasis negali būti rasta. Prie to integralas (*) prideda mažiausią reikšmę ties ak = ck, integralas vadinamas funkcijos / (x) tiesinės kombinacijos Tn (x) vidutinėmis kvadratinėmis aproksimacijomis. Tokiame reitinge funkcijos / priimti vidutinė kvadratinė aproksimacija yra mažiausia reikšmė, jei. jei Tn (x) є 71 - funkcijų skaičiaus / (x) už sistemos dalis (. Vazhayuchi ak = ck, s (7) galime priimti Ekvivalentiškumą (9) vadinamas tuo pačiu Beseliu. , tada dėl Beselio inertiškumo Oskilka aš čia beveik, tada Beselio inertiškumas galimas stipresne forma, tai yra bet kuriai funkcijai / funkcijų kvadratų skaičiui. Taigi, kadangi sistema yra ortonormalizuota remiantis [-x, tg], tada nenuoseklumas (10) perkeliant į elementarų trigonometrinės serijos Fur'є įrašą taip Jei f2 (x) yra integruotas, tada per būtiną protą, kai yra neišvengiamybė kairiojoje nervų dalyje (11), mes tai priimsime. Parsevalio paritetas Kai kurioms sistemoms (^ „(x)) nepadorumo ženklą (10) formulėje galima pakeisti (visoms funkcijoms / (x) 6 metai) lygybės ženklu. Otrimano paritetas vadinamas parseval-Steklovo paritetu (protu). Besselio tapatybė (9) leidžia mums pačiam parašyti umov (12) ekvivalentiška forma Tim, proto pavadinimas reiškia, kad sumi Sn (x) dalys yra žemos, kad funkcija / (x) susilietų su funkcija / (x) viduryje, kad. viršija normą 6]. Viznachennya. Sistema yra ortonormalizuota (labiau vadinama b2 [ay b], tarsi funkcija galėtų būti kuo tikslesnė vidurinės eilutės derinyje, ji gali būti pateikta su daugybe pateikimų, kad ji galėtų būti funkcija , B \ i bet kuriam e> 0 yra natūralusis skaičius nq і skaičiai a \, a2y ... visai sistemai eikite į f (x) per vidurį, kad normai galite parodyti, kad trigonometrinis sistema negausi, žvaigždės ryškiai tvirtos. 8 teorema. Jei trigonometrinės Kailio eilutės funkcija suartėja į ją vidurkiu. 9.5. Uždaros sistemos. Visnachennya sistemų potencialas ir uždarumas. Funkcijų sistema \ yra ortonormali, vadinama uždara, tarsi erdvėje Li \ a, b) tai ne visoms funkcijoms statmena funkcija. Dešinė 1. Įdėkite Fur'є eilutę į intervalo (-ya-, z) funkciją 2. Įdėkite Fur'є eilutę į intervalo (-tg, tg) funkciją 3. Įdėkite Fur'є eilutę intervalo (-tg, tg) funkcija 4. Įdėkite Fur'є seriją į intervalą (-jt, tg) į funkciją 5. Įdėkite Fur'n seriją į intervalą (-tg, tg) su funkcija f (x) = x + x. 6. Padėkite iki Fur'є eilutės intervalo (-jt, tg) funkcijoje n 7. Įdėkite iki Fur'є eilutės intervalo (-tg, z) funkcijoje / (x) = sin2 x. 8. Padėkite iki Fur'є eilutės intervalo (-tg, jt) funkcijoje f (x) = y 9. Padėkite iki Fur'є eilutės intervalo (-tt, -k) funkcijoje / (x) ) = | nuodėmė x |. 10. Įdėkite Fur'є seriją į intervalo (-ya-, mr) funkciją / (x) = §. 11. Įdėkite funkciją f (x) = sin § iki Fur'є eilutės intervale (-tg, tg). 12. Išplėsti Fur'є eilutę su funkcija f (x) = n -2x, duota intervale (0, x), įstumiant ją į intervalą (-x, 0): a) kaip vaikinas; b) neporinis rangas. 13. Įdėkite Fur eilutę už funkcijos f (x) = x2 sinusų, pateiktų intervale (0, x). 14. Išskaidykite Fur'є funkcijų seriją / (x) = 3, pateiktą intervale (-2,2). 15. Išplėskite funkciją f (x) = | x | į Fur'є eilutę, pateiktą intervale (-1,1). 16. Įdėkite Fur eilutę už sinusų, kurių funkcija f (x) = 2x, nurodyta intervale (0,1).