Razkladannya kailių vaikinų eilėje ir nesuporuotos funkcijos beselio parseval neefektyvumas. Spektaklio vertė iš eilės kailio formulėms

Turėklai Kailio funkcija f (x) intervale (-π; π) vadinama trigonometrine seka tokia forma:
, de

Rankena Fur'є funkcija f (x) intervale (-l; l) vadinama formos trigonometrine seka:
, de

Pastebimas. Internetinis reikšmių skaičiuoklė, skirta „Row Fur'є“ funkcijos f (x) išplėtimui.

Modulio funkcijoms (pavyzdžiui, | x |) pasirinkite kosinuso pasiskirstymas.

Funkcijų įvedimo taisyklės:

Modulio funkcijoms pasirinkite kosinuso skirstinį. Pavyzdžiui, už | x | būtina sukurti atsarginę funkcijos kopiją be modulio, todėl. x.

Fur'є shmatkovo eilė - be pertrūkių, shmatkovo - monotoniška ir susipynusi per intervalą (- l;l) funkcija suartėti išilgai viso skaičiaus ašies.

Suma eilutė Fur'є S (x):

• є periodinė funkcija su 2 periodu l... Funkcija u (x) vadinama periodine su periodu T (arba T periodine), visoms x sritims R, u (x + T) = u (x).
• per intervalą (- l;l) pradėkite naudotis funkcija f(x), už pjovimo taškų vinjetės
• pjovimo taškuose (pirmosios rūšies, tai yra, funkcija yra apsupta) funkcijos f(x) ir intervalo pabaigoje vidutinės reikšmės yra:

.
Pasakyti, kad funkcija sulankstyti į Fur'є eilę intervale (- l;l): .

Jakšo f(x) yra suporuota funkcija, tada її išsisklaido ir pasiima suporuotos funkcijos likimą, tobto b n=0.
Jakšo f(x) - nesuporuota funkcija, tada її išsiskleidžia, lems atimti nesuporuotas funkcijas, tobto a n=0

Turėklai Kailio funkcijas f(x) intervale (0; l) kelių lankų kosinusuose vadinti eilute:
, de
.
Turėklai Kailio funkcijas f(x) intervale (0; l) už kelių lankų sinuso vadinti eilute:
, de .
Suma į seriją Fur'є už kelių lankų kosinusų є suporuota periodinė funkcija su 2 periodu l, mokyklų mainai zbіgaєatsya s f(x) intervale (0; l) pertraukimo vietose.
Suma į Fur'є eilutę už kelių lankų sinusų є nesuporuota periodinė funkcija su 2 periodu l, mokyklų mainai zbіgaєatsya s f(x) intervale (0; l) pertraukimo vietose.
Tam tikros funkcijos Fur'є skaičiui tam tikrame intervale gali būti suteikta vienodumo galia, kad jį būtų galima apdoroti tokiu pačiu būdu, po formulių registravimo, pavyzdžiui, norint pasirinkti papildomą našumą, forma

Užpakalis numeris 1. Tarpai su funkcija f (x) = 1:
a) viršutinėje Fur'є eilutėje intervale(-π ;π);
b) eilutė už kelių lankų sinuso intervale(0;π); pažadinti diagramą to, kuris buvo nukirstas iki kelių Fur'є
Sprendimas:
a) Išplečiant į Fur'є eilutę intervale (-π; π) ma viglyad:
,
ir visos funkcijos b n= 0, nes funkcija duota - pora; toks rangas,

Akivaizdu, kad Viconan paritetas bus
a 0 =2, a 1 =a 2 =a 3 =…=0
Pažvelgsiu į vienybės ir shukany funkcionalumo galią. Turint tokį rangą, shukane pasiskirstymas: chi yra tik 1 = 1.
Tokiu atveju, kadangi skaičius gali būti naudojamas jo funkcijai, kai kurių Fur'є diagrama gali būti naudojama daugeliui funkcijų visose skaičių eilutėse.
b) Išplečiant iki intervalo (0; π) už kelių ma viglyad lankų sinuso:
Akivaizdu, kad efektyvumo pritaikymas yra per blogas. Skoristaєmosya našumo apskaičiavimo formulė:


Tokiame reitinge, vaikinams n (n=2k) maєmo b n= 0, nesuporuotas ( n=2k-1) -
O, gerai, .
Pažadinkite kelių Fur'є otrimanijos grafiką, pagreitindami jo galią (dieviškoji vishche).
Dabar bus centrinės funkcijos grafikas tam tikru intervalu. Dal, greitis nesuporuotas sumi iki skaičiaus, prodovzhumo grafikas yra simetriškas koordinačių burbulai:

Prodovzhumo periodiškai visose skaitmeninėse ašyse:


I nareshti, pjovimo taškuose, vidurinės (valdome ir gyvename ribose) reikšmės:

Užpakalis numeris 2. Funkcionalumas intervale (0; 6) už kelių lankų sinusų.
Sprendimas: Platinimas, shou pasijuokti, maє viglyad:

Svyravimai ir gyvybės bei lygybės dalies teisė pateisinti nuodėmės funkciją iš kitų argumentų, po to persvarstyti, kuri prarandama, kai kai kuriose teisingose ​​dalyse yra kokių nors n (natūralių!) sinusų argumentų reikšmių:
žvaigždėms n = 18. Tai reiškia, kad tokia dovana yra atkeršyti dešinėje dalyje, o funkcija kalta už tai, kad perima funkciją kairėje: b 18 =1;
žvaigždėms n = 4. Reikšti, b 4 =-5.
Turėdami tokį rangą, norėdami padėti atrinkti pasirodymus, galite pataisyti išdėstymą per atstumą.

Jakas jau maloniai nabridli. Matau, kad momentas buvo nurodytas, nes strateginiai teorijos rezervai išmokė naujų konservų valandą. Kodėl funkcijos negalima išdėstyti iš eilės kaip inaxe? Pavyzdžiui, ar galima nubrėžti tiesią liniją per sinusą ir kosinusą? Norėdami būti žinomi, ala taki, nachebto, toli suteikiama viena funkcija
"vozz'єdnannya". Daugelis žinomų teorijos ir praktikos žingsnių pereina prie funkcijos iš eilės.

Dienos pabaigoje galime sužinoti apie trigonometrinę Fur'є seriją, nuvarvinti jos ekonomikos ir sumi mitybą ir, stebėtinai, pasirinkti užpakalių skaičių funkcijoms paskirstyti Fur'є eilėje. . Dažniausiai norėjau straipsnį pavadinti "Kailinių eilė arbatinukams", ale tse bulo su gudrumu, kai kurie paskutinei kartai, kad žinotų matematinės analizės ir praktinės informacijos platinimo žinias. Į tą preambulę nagaduvatime moko kosmonautus =)

Visų pirma, kol medžiagos nebus pakeltos, šonai turi pereiti į naują formą. Miegojome, matėme ir buvo sunku. Be stiprių emocijų dėl piktos žiurkėnų letenos varymo ir įkyrių minčių apie akvarelinių ribokų tyagar gyvenimą. Kai kurie Fur'є iš pirmo žvilgsnio nėra sulankstomi, o praktiškas požiūris į tiesiog pagarbos koncentracijos didinimą - idealiu atveju populiariausių vystymasis toliau didėja. Situaciją lėtina laikas, bet nelengvas sprendimo ir išvaizdos perkonfigūravimo būdas. Esant tokiam rangui, jei tavo savivertė žemesnė nei vidutinė, tai mes tau gražiau atleisime. Shypravda.

Kitaip tariant, prieš skrendant į kosmosą, būtina patraukti erdvėlaivio tvirtinimo skydelį. Dažniausiai dėl funkcijų, kurios kaltos spustelėjus mašiną, prasmės:

Su bet kokia natūralia reikšme:

1). Pirma, sinusoidas „susiuva“ abscis per odą „pi“:
... Jei argumentui pripažintume neigiamas reikšmes, rezultatas, be abejo, būtų toks pat:.

2). Bet jie ne viską žinojo. Kosinusas „pi en“ yra „blyksnio“ atitikmuo:

Neigiamas argumentas tiesiog neprieštarauja: .

Mabut, užteks.

Aš, trečia, esu šanovinis kosmonautas, reikia eiti ... integraruvati.
Zokremas, dainavo suteikite diferencialiniam ženklui funkciją, integruoti dalis i bootie nerimuose z pagal Niutono-Leibnico formulę... Tai labai svarbu prieš dešinę pusę. Kategoriškai nerekomenduoju jo praleisti, nes jis nesuplojo prie nepasiekiamo:

1 užpakalis

Suskaičiuokite integralus

de nabuwaє gamtinė vertė.

Sprendimas: Integravimas atliekamas pakeitimui "x", o šiame etape kaip konstanta naudojamas diskretinis pokytis "en". Visuose integraluose suteikiama diferencialinio ženklo funkcija:

Trumpa sprendimo versija, kol būsite pakankamai gerai nusitaikę, atrodo taip:

Žvejyba:

Chotiri yra taškinė, spontaniškai. Stenkitės kuo geriau išnaudoti laiką, kad integracija būtų baigta per trumpą laiką. Mokymosi sprendimai pamokai.

Pislya yakisnogo vikonannya teisingi nadyagaєmo skafandrai
ir pasiruošę pradėti!

Funkcijų pasiskirstymas iš Fur'є eilės į

Deyaku funkcija, yaka paskirta pasiskolino už avansą (o gal ir už didesnį avansą). Kadangi funkcija yra integruota į Kailio eilė:
de - taip vadinamas kofіtsієnti Fur'є.

Kai skambinama numeriu paskirstymo laikotarpis, Ir numeris - napіvperіodom paskirstymas.

Akivaizdu, kad zagalny vipad eilė Fur'є susilanksto į sinusus ir kosinusus:

Dіysno, parašė paskaitą:

Nulinis terminas yra mažas, imamas užrašyti jaką.

Koeficientai Fur'є mokami pagal šias formules:

Nuostabu apie tai galvoti, todėl verta klausytis temos. paskirstymo laikotarpis, napivperiod, kofіtsієnti Fur'є kad ін Be panikos, tai ne hvilyuvannyam reikalas prieš įėjimą į kosmosą. Viskas saugoma artimiausiame užpakaliuke, lankytojų akivaizdoje logiška susidėlioti kasdienius praktiškus patiekalus:

Ką reikia peržiūrėti naudojant svyruojančius mažesnius užsakymus?

Išplėskite funkciją iki Fur'є eilutės. Nelengva nubraižyti funkcijos grafiką, sumos grafiką iš eilės, privačią sumą, o pažangių profesinių fantazijų vystymas turi daugiau plėtros.

Kaip išplėsti funkciją iki kelių Fur'є?

Iki dienos jūs turite žinoti kofіtsієnti Fur'є Tobto sulankstyti ir suskaičiuoti tris dainavimo integralai.

Būk žebenkštis, perrašyk zagalny viglyad į Fur'є eilutę, kad trys darbo formulės sau. Esu šiek tiek radžio, todėl vaikinams, kurie atidarė svetainę tiesiai mano akyse, pasaulio vaikas tampa astronautu.

2 užpakalis

Paskirstykite funkciją Fur'є eilutėje. Pobuduvati grafas, grafas sumi prie to privataus sumi.

Sprendimas: pirmoji augalo dalis yra paskirstymo funkcijoje Fur'є eilėje.

Ausis yra standartinė, obov'yazkovo raštu, scho:

Tuo pačiu metu paskirstymo laikotarpis yra, pvz.

Funkciją įtraukiame į Fur'є eilutę eilutėje:

Vikoristovuchi pagal formules, mes žinome kofіtsієnti Fur'є... Dabar reikia jį padėti ir suskaičiuoti tris dainavimo integralai... Patogumui sunumeruosiu taškus:

1) Tačiau pirmasis integralas yra paprasčiausias ir jau yra akies vimag, kad akis:

2) Vikoristovumo draugas formulė:

Tsey integraral dobre znayomiy i paimtas gabalais:

Su vicoristano žiniomis funkcijos perkėlimo į diferencialinį ženklą metodas.

Pas pasveikino vadybininką, iš karto vikoristovuvati partijų integravimo dainuojančiu integralu formulė :

Pora technikų. Perche, rašydamas formulę visą eilutę reikia padėti prie didelio lanko, iškarpos prieš išvesties integralą є konstanta. Nebūtinai! Lankus galima atidaryti ant bet kokio netikro tarpkojo, aš bandau jį sulaužyti į likusius. Pershu turi "shmatku" Vyavlyaemo ekstremalus tikslumas stotyje, jakas bachitas, konstanta yra ne dešinėje, bet tarp integracijos pateikiama prie televizoriaus. Qia diya matosi kvadratinėmis arkomis. Na, o formulės dar vienos "shmatka" integralas jums tinka dėl trenuvalio ;-)

Aš naygolovnishe - ribinė pagarbos koncentracija!

3) Shukaymo trečioji konferencija Fur'є:

Otrimanas iš priekinio integralo giminės, kuris yra tas pats integruoti su dalimis:

Visa trochos kopija sulankstyta, detaliau pakomentuosiu žemiau:

(1) Viraz pakils į stilių prie didžiojo lanko... Nenorėdamas būti nuobodu, dažnai naudoju konstantą.

2 Ypatingai gerbiu prieikite prie pirmojo "shmat": konstanta apdeginti kraštą ir pasirūpinti perėjimo tarp integracijos (i) į tvir likimu. Per zakharaschen_st aš parašysiu qiu dіyu know-how, kaip pamatyti jį su kvadratinėmis arkomis. Su kitu "shmat" viskas paprasčiau: čia didžiųjų arkų atidarymui atsiranda kitos, o konstanta – dėl žinomo integralo integravimo ;-)

(3) Ties kvadratiniais lankais atliekamas pertvarkymas, o dešinysis integralas - instaliacija tarp integracijų.

(4) Vinosimo „mirksi šviesa“ iš kvadratinių lankų: jei atviri vidiniai lankai:.

(5) Tarp 1 ir 1 ties arkomis atliekama liekamoji jungtis.

Yra žinomos visos trys Fur'є savybės:

Formulė yra :

Tuo pačiu nepamirštama ir navpilo platinimo. Kita vertus, scena yra konstanta ("minus du"), nes negalima gulėti už "en", vynas yra už sumi.

Tokiu rangu atpažinome funkcijų pasiskirstymą Fur'є eilėje intervalui:

Vivchimo mityba zbіzhnostі mažas Fur'є. Paaiškinsiu teoriją, zokrem Dirichle'o teorema, pažodžiui „ant pirštų“, tad jei reikia geros formuluotės, būk žebenkštis, būk žiauriai nubaustas nuo matematinės analizės (Pavyzdžiui, 2-asis Bokhan tomas arba 3-asis Fikhtengoltsya tomas, naujos svarbos ale).

Kitoje įmonės dalyje reikia nubraižyti grafiką, sumų grafiką iš eilės ir privačios sumos grafiką.

Funkcijų grafikas є tiesiai aikštėje, jakas nupieštas juoda punktyrine linija:

Iš krepšio paėmė iš eilės. Kaip žinote, funkcinės eilutės susilieja su funkcijomis. Mūsų vypadnu motyvai kailių skaičių bet kuriai reikšmei "x" eikite į funkciją, nes ji pavaizduota slieko spalva. Qia funkcija ištverti nudžiuginti 1-ą rūšį taškuose, nors ir juose nurodytuose (raudoni taškai ant kėdės)

Šiame range: ... Tai lengva bachiti, todėl tai lengva pamatyti iš pačios konkrečios funkcijos įraše uždedama „tildės“ piktograma, o chi nėra lygybės ženklas.

Vivchimo algoritmas, yakim rankiniu būdu buuvati nemažai.

Centriniame intervale Fur'є eilutė susilieja į funkciją (centrinė chervonia baigiasi juoda punktyrine linijos funkcijos linija).

Dabar reikia pažvelgti į keletą žodžių apie trigonometrinio išdėstymo pobūdį. Turėkite keletą Fur'є įvesti tik periodines funkcijas (konstantą, sinusą ir kosinusą), tiek pat taip pat periodinė funkcija.

Ką tai reiškia mūsų konkrečiai programai? Ir tse reiškia tuos, kurie yra skaičiaus suma –nevienodai periodiškas o raudona ranka į intervalą yra kaltas, kad neribotą laiką kartoja ranką ir dešinę ranką.

Manau, kad iš karto pakankamai aiškėjo posakio „paskirstymo laikotarpis“ prasmė. Matyt, atleista, per odą situaciją žinoti ir pakartoti.

Norėdami tai padaryti, būtinai pabaikite paveikslėlį tris kartus, nes jis sulūžęs ant fotelio. Na, net susidnіkh laikotarpių "kelmai" - schob bulo nulis, taigi grafikas tęsiasi.

Ypač įdomu pristatyti 1-osios rūšies pjovimo taškai... Tokiuose taškuose kailio skaičius sumažėja iki izoliuotos vertės, nes jis tolygiai skrudina „juostės“ viduryje (raudonos dėmės ant fotelio). Jakas žino taškų skaičiaus ordinatę? Yra žinomų „viršaus viršuje“ ordinačių sąrašas: kai funkcijų skaičius sunumeruotas kraštiniuose dešiniuosiuose išdėstymo centrinio periodo taškuose:. Norint apskaičiuoti „apačios viršuje“ ordinates, paprasčiau paimti kraštutinę laikotarpio reikšmę: ... Vidurinės reikšmės ordinatė – vidurinė reikšmė yra „viršaus ir apačios“ suma:. Priimkime tai, kad ragindami kėdę iškart pataikysite į vidurį, jei neteisingai paskaičiuosite vidurį.

Jei labdaros suma maža, termino „zbizhnist“ prasmė kartojama iš karto. Pamokos motyvas apie skaičių serijos suma... Mūsų turtai surašyti ataskaitoje:

Schob chateau sumos pabaigoje, reikia užrašyti nulį + dar du segmentus iš eilės. Tobto,

Žalios spalvos vaizdų funkcijos fotelio grafike ir kaip bachitą galų gale „apvyniosiu“ savo krepšį. Jei pažvelgsite į pinigų gabalą iš penkių narių iš eilės, tai visos funkcijos grafikas yra tikslesnis už raudoną liniją, jei yra šimtas narių, tada „žaliosios gyvatės“ iš tikrųjų susirgs. kirmėlės kitoje. Šiame reitinge Fur'є serija susilieja su savo suma.

Tsіkavo vіdnostviti, kas be-yaka chastkova suma - tse nepertraukiama funkcija, skaičiaus protesto suma vis dar yra razrivna.

Tiesą sakant, visiškai būtina apsilankyti privačių sumų grafike. Jak tse zrobiti? Jei reikia pažvelgti į funkciją, apskaičiuokite skaičių reikšmes tarpiniuose taškuose (jei matote daugiau taškų, grafikas bus tikslesnis). Tada sekite taško reikšmę ant kėdės ir atidžiai nubrėžkite laikotarpio grafiką, jei norite jį „roztirazhuvati“ nuošalyje. O jakas inakshe? O artumas yra periodinių funkcijų grandinė ... ... medicinos prietaiso ekrane yra širdies ritmo grafikas.

Viconuvati sukels, piktybiškai, net ne ranka, kad būtų galima pasiekti puikų tikslumą, stiklinis tikslumas yra ne mažesnis kaip pusė milimetro. Skaitant nesuderinta su kėdėmis, patiksiu - "tikram" darbuotojui kėdės nereikia, čia 50% respondentų reikia išplėsti funkciją iki kelių Kailių ir viskas.

Pislya vikonannya fotelis bus komplektuojamas su:

Žiūrėti:

Bagato zavdan funkcija ištverti pjovimo 1-oji rūšis tiesiogiai apie platinimo laikotarpį:

3 užpakalis

Įdėkite į eilutę Fur'є funkciją, priskirtą nuorodai. Sukurkite funkcijos grafiką ir suvestinių skaičių.

Siūloma funkcija pateikiama pagal vienkartinį rangą (Be to, gerbk mane, tik ant vidrizkos) ir ištverti pjovimo 1-oji rūšis taške. Kiek galite gauti Fur'є funkcionalumą? Jokiu problemu. Visų pirma, funkcijos dalies teisė integruoti pagal savo pažadus, į tą integralų ir trijų kito mokesčio formulių integraciją dviejų integralų sumos atveju. Keista, pavyzdžiui, kaip mes galime pasiekti nulinį tarifą:

Dar viena integracija buvo pridėta prie nulio, bet robotai pasikeitė, bet taip nėra.

Panašiai išrašomos dvi funkcijos.

Jakas piešti maišą iš eilės? Livіnі іintervalі fotelis eina tiesiai į priekį, o intervale іdrizok tiesiai (paryškintas ir paryškintas žr. ašį). Tobto, dėl sumos plitimo progresavimo, daugybė zbіgaєtsya s funkcijos skrіz, be trijų "bjaurių" taškų. Funkcijos pjovimo taške kai kurie Fur'є sumažėja iki izoliuotos vertės, nes jis auga perpjautos "juostelės" viduryje. Nesvarbu, kaip gerai ir kaip mieguistas: kairioji riba: ir akivaizdu, kad kelio vidurio taško ordinatė yra 0,5.

Pažiūrėsiu sumi periodiškumą, paveikslą reikia "padauginti" ant vidurio periodo, sėklą piešti ant intervalų. Tuo pačiu metu, taškuose, Fur'є eilė ziydetsya į vidurines vertes.

Beje, čia nieko naujo.

Stenkitės patys prisitaikyti prie savo darbuotojų. Zrazok puiki dekoracija ir fotelis pamokai.

Išplėsti kailių skaičių išankstiniu laikotarpiu

Tiems, kurie labiau linkę skleisti žinią, de "eglė" - ar tai būtų teigiamas skaičius, Fur'є skaičiaus formulės ir Fur'є koeficientai pateikiami trys, pagreitinant sinuso ir kosinuso argumentą:

Kai tik formelės užgeso, jos buvo suremontuotos.

Labiau tikėtina, kad bus išsaugotas algoritmas ir užduočių sprendimo principas, apskaičiuojamas šiek tiek daugiau techninio sudėtingumo:

4 užpakalis

Išplėskite funkciją Fur'є eilutėje, kuri sukurs sumi grafiką.

Sprendimas: faktiškai prietaiso Nr. 3 analogas 1 rūšis taške. Tuo pačiu metu paskirstymo laikotarpis yra, pvz. Funkcija paskiriama tik pagal intervalą, bet nekeiskite teisės – svarbu, kad shmat nusikaltimas veiktų integruoti.

Išplečiama funkcija iki daugelio kailių:

Funkcijos svyravimai rodomi ant koordinačių burbuliuko, tada odos funkcija Fur'є yra aiškiai įrašyta į du integralus viglyadi sumi:

1) Pirmasis integralas parašys didžiausią ataskaitą:

2) Tikrai sužavėtas Misyats paviršiumi:

Kitas integralas paimtas gabalais:

Kitame žingsnyje aš jaučiu pagarbą už tai, kad pamatysiu aiškų sprendimo pažangą?

Ešerys, neaiškiai vientisas de iš karto vikonuєmo pristatymo ženklas į diferencialą... Kitu būdu, nepamirškite blogio konstantos priešais didžiuosius lankus, kad nepasiklysti ženkluose su Viktorijos formulėmis ... Tačiau dideli lankai iškart atveria nėrimą įžeidžiančiame krašte.

Dešinėje pateikiamos technologijos, kurias galima atsisakyti, jei trūksta informacijos apie integravimo integravimą.

Taigi, jie suklupo ne garsių prancūzų matematiko Fur'o kolegų dovana - kaip jie juokėsi iš trigonometrinių eilučių funkcijų pasiskirstymo ?! =) Prieš kalbą, melodingai, visi tsіkaviy praktiniai zmіst zmіst zmіst zvdannya. Pats Fur'as dirbo su matematiniu šilumos laidumo modeliu, o tada daugelis jų pavadinimų buvo paslėpti dėl periodinių procesų, kurie yra nematomi naujos šviesos atveju, vystymuisi. Užsikrėtė, prieš kalbą, nunešęs ją į Dūmą, bet ne miglotai sutvarkęs kito užpakalio grafiką periodišku širdies ritmu. Galite pasimokyti iš praktinių čiulpimo metodų Fur'є reinkarnacija iš trečiosios šalies dzherelakh. ... Jei nori gražiau, tai tau ir nereikės - būsi zgaduvatisya, jakas Perche Kohannya =)

3) Vrahoyuchi silpni lankiečiai, kurie buvo atspėti kelis kartus, išsiskirstę su trečiuoju koeficientu:

Neatsiejama dalys:

Beje, mes žinome formulės efektyvumą , nepamirškite pridėti nulinio efektyvumo:

Laikykite diagramas žemas. Trumpai pakartokite veiksmų tvarką: intervale aš būsiu tiesus, bet intervale aš būsiu tiesus. Esant nulinei reikšmei „x“, „juostelės“ viduryje įdedama dėmė, o taško pusėje – „cirkuliacinė“ grafikas:


Ant sumos laikotarpio „lazdelių“ tinka ir „ruožo“ viduriui plėšytis.

Paruošta. Manau, kad pati proto funkcija yra skirta atimti „nap_interval“ ir, žinoma, ištrūkti iš eilės intervalais

Žiūrėti:

Inodi shmatkovo-set funkcija nustatoma be pertrūkių platinimo laikotarpiui. Paprasčiausias mokinys: ... Sprendimas (2-asis Bohano tomas) tas pats, kaip ir du priekiniai užpakaliai: nepaveikti funkcijos tęstinumas taške, odos kofіtsієnt Fur'є pasukite maišelį iš dviejų integralų.

Dėl platinimo 1-osios rūšies pjovimo taškai kad / abo nurodo į „stick“ grafiką gali būti arba daugiau (du, trys ir be-yake kintseve skaičius). Nors funkcija yra integruota į odos dalį, ji taip pat sulankstyta iki žemo Furjė lygio. Negaliu galvoti apie tokį kietumą, jei nesu praktiškas. Timas ne mažiau svarbus, pamatysi didesnę projekto svarbą, labai gerai pažiūrėsi, o pvz statistiką visiems kam svarbu є padarykite tai Fur's pažengusiųjų eilėje sulankstomas.

Ir palikite nerimą, matydami kristalus ir žvelgdami į begalinę erdvės aušrą:

5 užpakalis

Išplečiant funkciją Fur'є ant linijos krašto ir produvaty graphyk sumi skaičių.

Turi platų funkcijų spektrą nepertraukiamas paskirstymo nap_v_interval_ scho nustato sprendimą. Viskas dar panašesnė į užpakalį Nr.2. Iš erdvėlaivio išlipti niekaip nepavyks - bus virusas =) Baigta pritaikyta vizualizacija pamokos grafikui.

Išdėstymas Fur'є vaikinų eilėje ir nesusietos funkcijos

Su vaikinais ir nesusietomis funkcijomis atsinaujinimo procesas yra tarsi atsisveikinimas. Pirmoji ašis į chomu. Pereinant prie funkcijos atidarymo į Fur'є eilutę periode "du pi" kad iki gana gero laikotarpio "dvi eglės" .

Tiesa, mūsų funkcija yra pora. Zagalniy eilės narys, kaip ir tu, bachite, atkeršyk suporuotiems kosinusams ir neporiniams sinusams. O jei yra LYGINĖ funkcija, tai kaip su neporiniais sinusais? Iš naujo nustatykime nepanaudotą efektyvumą:.

Esant tokiam rangui, suporuota funkcija sulenkti Fur'є eilę tik kosinusais:

Oskilki suporuotų funkcijų integravimas pagal simetrišką nulio lygį, galite pradėti integruotis, tada atsisveikinkite su tuo іnshі pasirodymu Fur'є.

Dėl promіzhku:

Jei norite pažengti į priekį:

Iki vadovėlių, kaip praktiška bet kuriame mataanalizės tvarkyklėje, išdėstyti suporuotas funkcijas ... Be to, smarvė ne kartą buvo įvesta mano specialybės praktikoje:

6 užpakalis

Funkcija duota. Reikalinga:

1) funkcijos išplėtimas iki mažo Fur'є su tašku, de - teigiamesnis skaičius;

2) užrašyti pasiskirstymą intervale, kelis kartus pateikiant funkciją ir grafiką.

Sprendimas: pirmame taške bus juntamas uolus viglyad matomumas, o dar geriau! Jei jums to reikia – tiesiog pateikite savo vertę.

1) Pavyzdžiui, tsіy užduotisі platinimo laikotarpiu. Tolimesnių dienų sandūroje valandos pabudimas yra integracija, „eglė“ naudojama kaip konstanta

Funkcija yra suporuota, tai reiškia, kad ji gali būti išdėstyta Fur'є eilėje tik kosinusais: .

Koeficientas Fur'є shukaєmo už formulių ... Žiauri pagarba išprotėjusiai motinai. Visų pirma, integracija vykdoma siekiant teigiamo paskirstymo, o tai reiškia, kad modulį saugiai išleidžiame , žiūri iš dviejų shmatkiv kerpių "ix". Kitu būdu tai tarsi atsisveikinimas su integracija.

Du:

Neatsiejama dalys:

Šiame range:
, ties savo konstanta, yak to lay down with "en", winosimo mezhi sumi.

Žiūrėti:

2) Įrašomas intervalo paskirstymas, kurio formulė pateikiama pagrindiniam puslapiui tokiam pavyzdžiui:

Nuorašas

1 RF NOVOSIBIRSKY DERŽAVNIJAUS UNIVERSITETO MOKSLO ĮVERTINIŲ MINISTERIJOS FIZIKOS FAKULTETAS R.K.BELKHEVA KAILIŲ APRAŠYMAS TAIKYMO IR PROBLEMUOSE Navchalnyi posibnik1

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkhєєva R.K. laikantis un-t. Novosibirskas, s. ISBN Vizito pradžioje pagrindinis „Fur'є“ serialo žiūrovas laimi; Išsamus užpakalinės dalies projektavimas Fur'є metodui prieš sprendžiant uždavinius dėl skersinės stygos. Pateikta iliustracinė medžiaga. Є zavdannya nepriklausomas sprendimas. Užduotys studentams ir pergalės NSU Fizikos fakultete. Tapkite draugu NSU Fizikos fakulteto Virishenna metodiniame komitete. Recenzentas dr. fiz. mokslai. V. A. Aleksandrovas Pasirengimų rinkinys įgyvendinant NDU-NSU plėtros programą p. ISBN Novosibirsko valstybinis universitetas, 211 s Belkhova R.K., 211

3 1. 2π periodinių funkcijų išplėtimas į Fur'є Viznachennya seriją. Funkcijos f (x) priskyrimas vadinamas funkcine eilute a 2 + (an cosnx + bn sin nx), (1) funkcijos an, bn apskaičiuojamos pagal formules: an = 1 π bn = 1 π f (x) cosnxdx, n =, 1, ..., (2) f (x) sin nxdx, n = 1, 2, .... (3) Formulės (2) (3) vadinamos Eulerio Fur'є formules. Tai, kad funkcija f (x) primena seriją Fur'є (1), parašyta forma f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) (4) ir atrodo, kad dešinioji formulė (4) є pagal funkcijos f (x) formaliąją eilutę Fur'є. Kitaip tariant, atrodo, kad formulė (4) reiškia, kad efektyvumas a n, b n nėra žinomas formulėms (2), (3). 3

4 Viznachennya. 2π periodinė funkcija f (x) vadinama shmatkovo lygia, net jei intervale [, π] yra Kintsevo taškų skaičius = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Mažas. 1. Funkcijos f (x) grafikas Apskaičiuojamas efektyvumas Fur'є a = 1 π f (x) dx = 1 π x 2 2 π = π, an = 1 π f (x) cosnxdx = 2 π = 2 () x sin nx cos nx + π nn 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = bn = 1 π π = 2 π f (x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, n nesuporuotas, n porinis f (x) sin nxdx =, taigi funkcija f (x) yra suporuota. Funkcijos f (x) formaliąją Fur'є eilutę galime užrašyti: f (x) π 2 4 π k = 5 cos (2k + 1) x (2k + 1) 2.

6 Akivaizdu, kad funkcija f (x) yra gabalais lygi. Taigi, be pertrūkių, jis skaičiuojamas tik tarp (6) galutiniuose taškuose tarp x = ± π ir blogio taško x =: і f (π h) f (π) π h π f (+ h) ) f (+) + h () lim = lim h + hh + hf (+ h) f (+) + h lim = lim = 1, h + hh + h = 1, f (h) f () h ( ) lim = lim = 1. h + hh + h Tarp іsnyu ir іntsevі, nors funkcija yra glotni. Pagal teoremą apie krapkovą, Fiuro eilutės reikšmė odos taškuose konverguoja į f (x), todėl f (x) = π 2 4 π k = cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) Fig. 2, 3 rodo dalinių sumų artėjimo prie serijos Fur'є S n (x), de S n (x) = an 2 + (ak coskx + bk sin kx), k = 1 prie funkcijos f pobūdį. (x) intervalu [, π]. 6

7 Mažas. 2. Funkcijos f (x) grafikas su dalinių sumų uždėjimu grafikuose S (x) = a 2 ir S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x pav. 3. Funkcijos f (x) grafikas dedamas ant naujo grafiko sumos S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7 grafiko.

8 Pateikus (7) x = otrimaєmo: = π 2 4 π k = 1 (2k + 1) 2, žvaigždės žino skaitinės eilutės sumą: = π2 8. Žinant eilutės sumą, lengva žinoti kitą Maєmo sumą: S = ( ) S = () = π S, net S = π2 6, taigi 1 n = π Pirmojo žinomo Leonardo Eilerio garsiosios serijos suma. Vona dažnai mokosi matematinės analizės ir priedų. 2 PRIEDAS. Mažame grafike žinome funkcijų seriją, pateiktą pagal formulę f (x) = x, jei x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Mažas. 4. Funkcijos f (x) grafikas Funkcija f (x) yra nuolat diferencijuojama intervalu (, π). Taškuose x = ± π yra keletas taškų tarp (5): f () =, f (π) = π. Be to, yra skirtumas tarp (6): f (+ h) f (+) lim = 1 і h + hf (π h) f (π +) lim = 1. h + h sklandi funkcija. Jei funkcija f (x) nesuporuota, tai a n =. Yra žinoma, kad našumas bn yra integruotas dalimis: bn = 1 π f (x) sin πnxdx = 1 [x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1) n π + (1) n π] = 2 ( 1) n + 1. n Labai formali Fur'є funkcijų serija 2 (1) n + 1 f (x) sin nx. n 9 cosnxdx] =

10 Pagal tėkmės teoremas, susitraukiančios sklandžiai 2π-periodinės funkcijos reikšmę, funkcijos f (x) Fur serija nusileidžia iki sumos: 2 (1) n + 1 sin nx = nf (x) = x, kaip π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Mažas. 6. Funkcijos f (x) grafikas bus perdengtas ant grafiko sumos S2 (x) grafiko Fig. 7. Funkcijos f (x) grafikas, perdengtas ant naujo grafiko sumos S 3 (x) 11 grafiko

12 Mažas. 8. Funkcijos f (x) grafikas bus uždėtas ant naujojo S 99 (x) sumos grafiko. Patikimas (8) x = π / 2. Todi 2 () + ... = π 2, arba = n = (1) n 2n + 1 = π 4. Mes lengvai žinojome Leibnizų šeimos sumą. Turėdami poklavl (8) x = π / 3, žinome () + ... = π 2 3 arba (1+ 1) () (k) 3π + ... = 3k

13 PRIEDAS 3. Mažas grafikas, žinome Fur'є funkcijų seriją f (x) = sin x, pripažįstant, kad periodas yra 2π, і 1 apskaičiuojamas kaip skaičių serijos 4n 2 1 suma. Sprendimas. Funkcijos f (x) grafikas parodytas pav. 9. Akivaizdu, kad f (x) = sin x yra nepertraukiama porinė funkcija iš periodo π. Ale 2π taip pat yra funkcijos f (x) periodas. Mažas. 9. Funkcijos f (x) grafikas Apskaičiuojamas efektyvumas Fur'є. Usi b n = tai, kad funkcija yra suporuota. Karūnuotas trigonometrinėmis formulėmis, jis numeruojamas an ties n 1: an = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin (1 + n) x sin (1 n) x) dx = = 1 ( ) π cos (1 + n) x cos (1 n) x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 (4 1, kai n = 2k, = π n 2 1, kai n = 2k

14 Skaičiavimas neleidžia mums žinoti koeficiento a 1, todėl n = 1 vardiklis bus iš naujo nustatytas į nulį. Tam koeficientas a 1 apskaičiuojamas be vidurio: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Taigi, kadangi f (x) yra nuolat diferencijuojamas (,) і (, π) і taškuose kπ, (k yra skaičius), jei yra skaičius tarp (5) ir (6), tada kailio serija. є funkcijos susilieja į be odos taško: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x pav. 1. Funkcijos f (x) grafikas dedamas ant atkarpos sumos S (x) grafiko 14

15 Mažas. 11. Funkcijos f (x) grafikas, perdengtas ant naujo pjūvio sumos S1 (x) grafiko Fig. 12. Funkcijos f (x) grafikas bus uždėtas ant naujo grafiko sumos S2 (x) grafiko Fig. 13. Funkcijos f (x) grafikas, perdengtas ant naujo grafiko sumos S 99 (x) 15 grafiko

16 1 Daugybė skaičių eilutės suma. Visoms 4n 2 1 yra patenkinama (9) x =. Todi cosnx = 1 visiems n = 1, 2, ... i Otzhe, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. TAIKYMAS 4. Tikriausiai, kad funkcija f (x) yra lygi ir sklandžiai be pertrūkių, aš patenkintas f (x π) = f (x) visiems x (taigi yra π -periodinis), a 2n 1 = b 2n 1 = visiems n 1 ir navpaki, jei a 2n 1 = b 2n 1 = visiems n 1, tai f (x) yra π-periodinis. Sprendimas. Tegul funkcija f (x) yra π-periodinė. Apskaičiuojamas її efektyvumas Fur'є a 2n 1 і b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f (x) cos (2n 1) xdx + f (x) cos (2n 1) xdx =) f (x) ) cos (2n 1) xdx. Pirmuoju integralu galiu nesunkiai pakeisti pokytį x = t π: f (x) cos (2n 1) xdx = f (t π) cos (2n 1) (t + π) dt. 16

17 Klounas, cos (2n 1) (t + π) = cos (2n 1) t і f (t π) = f (t), matome: a 2n 1 = 1 π (f (x) cos (2n 1) x dx +) f (x) cos (2n 1) x dx =. Panašiai tai turėtų būti padaryta, b 2n 1 =. Nawpaki, tegul a 2n 1 = b 2n 1 =. Kadangi funkcija f (x) yra be pertrūkių, tai pagal teoremą funkcijos pasireiškimas jos serijos taškuose yra F (x π) = f (x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n (x π) + b 2n sin 2n (x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f (x), o tai reiškia, kad f (x) yra π-periodinė funkcija. PRIEDAS 5. Galime pasakyti, kad funkcija f (x) yra lygi ir lygi, f (x) = f (x) visiems x, tada a = і a 2n = b 2n = visiems n 1, o navpaki, pvz. a = a 2n = b 2n =, tada f (x π) = f (x) visi x. Sprendimas. Tegul funkcija f (x) bus patenkinta f (xπ) = f (x). Daugybė її kofіtsієnti Fur'є: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f (x) cos nxdx + f (x) cosnxdx =) f (x) cosnxdx. Pirmosios integracijos metu lengvai pakeisiu pokytį x = t π. Todi f (x) cosnxdx = f (t π) cosn (t π) dt. Crimson tim, cos n (t π) = (1) n cosnt ir f (t π) = f (t), galime priimti: an = 1 π ((1) n) f (t) cosnt dt =, jei n suporuotas = 2 π f (t) cos nt dt, kai n nesuporuotas. π Tai daroma panašiai, b 2n =. Nawpaki, tegul a = a 2n = b 2n =, visiems n 1. Kadangi funkcija f (x) yra be pertrūkių, tai teorema apie funkcijos aiškumą jos serijos Fur'є taškuose atitinka f (x) ) = (a 2n 1 cos (2n 1) x + b 2n 1 sin (2n 1) x). aštuoniolika

19 Todi = f (x π) = = = f (x). PRIEDAS 6. Vivchimo jakas toliau turi būti integruotas ant tarpo [, π / 2] funkcija f (x) ant tarpo [, π], todėl Fur'є mav viglyad eilutė: a 2n 1 cos ( 2n 1) x. (1) Sprendimas. Tegul ma viglyad funkcijos grafikas, svyruojantis pav. 14. Virpesiai eilutėje (1) a = a 2n = b 2n = visiems n, tada užpakalis yra 5 vyplyaє, bet funkcija f (x) kalta dėl lygybės f (xπ) = f (x) visiems x. Yra būdas pagerinti funkciją f (x) tarp [, / 2]: f (x) = f (x + π), pav. 15. Be to, eilutė (1) skirta atkeršyti tik už kosinusus, ji išdėstyta, bet funkcija f (x) tęsiama kaip pora (tai yra, grafikas yra simetriškas ašiai Oy), ryžiai

20 Mažas. 14. Funkcijos f (x) grafikas Mažas. 15. Tęstinės funkcijos f (x) grafikas avansui [, / 2] 2

21 Otzhe, ma viglyad funkcija, nurodymai pav. 16. Mažas. 16. Funkcijos f (x) tęsinio grafikas pažangai [, π] [π / 2, π], funkcijos f (x) grafikas yra centriškai simetriškas taškui (π / 2,), o intervalui [, π] grafikas yra simetriškas ašiai Oy. 21

22 NUORODOS PARAIŠKOS 3 6 Nekhai l>. Aišku du protai: a) f (l x) = f (x); b) f (l + x) = f (x), x [, l / 2]. Geometriniu požiūriu taškas (a) reiškia, kad funkcijos f (x) grafikas yra simetriškas išilgai vertikalios tiesės x = l / 2, o grafikas (b), kad grafikas f (x) yra centre simetriškas taško (l / 2;) ašies abscis atžvilgiu. Tai tiesa: 1) jei funkcija f (x) yra suporuota su Viconan Umov (a), tada b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... =; 2) jei funkcija f (x) suporuota su Viconan Umov (b), tai b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a = a 2 = a 4 = ... =; 3) jei funkcija f (x) yra nesuporuota ir Viconan Umov (a), tai a = a 1 = a 2 = ... =, b 2 = b 4 = b 6 = ... =; 4) jei funkcija f (x) yra nesuporuota ir Viconan Umov (b), tai a = a 1 = a 2 = ... =, b 1 = b 3 = b 5 = ... =. ZAVDANNA Atlikdami 1 7 užduotis, nupieškite grafikus ir žinokite Fur'є funkcijų seriją,< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 (1, jaksho / 2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Funkcijos, pateiktos intervale [, π], išplėtimas tik po sinusų arba tik po kosinusų Funkcija f nurodoma intervale [, π]. Išplėsime erdvę visame diapazone iki Fur'є eilutės, galime tęsti f ties iškilimu [, π] su aukštesniu laipsniu, o tuo pačiu bus greičiau su Eilerio Fur' formulėmis. є. Svavilja prie išplėstinės funkcijos pagaminti prieš, vieno tipo funkcijai f: [, π] R galime pašalinti keletą Fur'є. Arba galite vikoristovuvat tse svavillya taip, tiesiog apkarpykite plitimą tik už sinusų arba tik kosinusais: pirmame vipad užtenka paaukštinti f su nesuporuotu rangu, o vaikinams - kitaip. Sprendimo algoritmas 1. Tęskite funkciją su nesuporuotu (vaikino) rangu (,), o tada periodiškai, kas 2π, tęskite funkciją visam laikui. 2. Apskaičiuokite Fur'є našumą. 3. Sulenkite funkcijos f (x) seriją Fur. 4. Revizijos protas yra žemas. 5. Įveskite funkciją, kuriai priklauso visa eilutė. 7 PRIEDAS. Taikoma funkcijai f (x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Mažas. 17. Tęstinės funkcijos grafikas Akivaizdu, kad funkcija f (x) yra nedrąsiai sklandžiai. Daugybė funkcinių Fur'є: a n = visi n tiek, kiek funkcija f (x) yra nesusijusi. Jei n 1, tai bn = 2 π f (x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = 1 = 1 (1 ) n (1) n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, kur n = 2 k + 1, (1) n + 1 (n 1) + (n + 1) = π (n + 1) ( n 1) 2 2n, kur n = 2k. π n 2 1 Kai n = 1, skaičiuotuvų priekyje vardiklis virsta nuliu, todėl koeficientas b 1 apskaičiuojamas be prieš tai buvusių 25

26 miegas: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Fur'є funkcijų serija f (x) yra sulankstoma: f (x) 8 π k = 1 k 4k 2 1 sin 2kx. Jei funkcija f (x) yra nedrąsiai lygi, tai po teoremos apie krapkovą funkcijos f (x) Fur serijos reikšmė eina į sumi: cosx, kur π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Mažas. 18 pav. Funkcijos f (x) grafikas, perdengtas ant naujo gabalų sumos S1 (x) grafiko Fig. 19. Funkcijos f (x) grafikas, perdengtas ant naujo grafiko sumos S 2 (x) 27 grafiko

28 Mažas. 2. Funkcijos f (x) grafikas bus uždėtas ant pjūvio sumos S3 (x) grafiko. 21 rodomi funkcijos f (x) ir dalinių sumų S 99 (x) grafikai. Mažas. 21. Funkcijos f (x) grafikas, perdengtas ant naujo grafiko sumos S 99 (x) 28 grafiko

29 PRIEDAS 8. Išplečiama funkcija f (x) = e ax, a>, x [, π], iki Fur'є eilės tik kosinusuose. Sprendimas. Nepertraukiamai su vaikino rango funkcija (,) (kad lygybė f (x) = f (x) būtų rodoma visiems x (, π)), kuri periodiškai buvo su 2π periodu, ištempdama yong skaičių aukštyn. . Galime priimti funkciją f (x), tokių atvaizdų grafiką pav. 22. Funkcija f (x) Mal taškuose. 22. Tęstinės funkcijos f (x) x = kπ grafikas, k yra sveikas skaičius, kaip ir alyvos. Daug kofіtsієnti Fur'є: b n =, oskіlki f (x) suporuotas. Integruoti į dalis Mo 29

30 an = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd (e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f (x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 π1s ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax axs nx π a 2eax a (eaπ cos n π 1) n2 aa n. 2 Otzhe, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Virpesiai f (x) yra be pertrūkių, tada pagal teoremą apie tekėjimą Fur eilė konverguoja į f (x). Taip pat visi x [, π] maєmo f (x) = 1 π a (eaπ 1) + 2a π k = 1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Ryžiai demonstruoja veiksmą, artėjant prie dalinių sumų iki kailio skaičiaus tam tikrai pjovimo funkcijai. 3

31 mažas. 23. Funkcijų f (x) ir S (x) grafikai Mal. 24. Funkcijų f (x) ir S1 (x) grafikai Maži. 25. Funkcijų f (x) ir S2 (x) grafikai Maži. 26. F (x) ir S 3 (x) 31 funkcijų grafikai

32 Mažas. 27. Funkcijų f (x) ir S4 (x) grafikai Mal. 28. PATEIKTI funkcijų f (x) ir S 99 (x) grafikai 9. F (x) = cos x, x π, Fur'є eilutę įdėkite tik kosinusais. 1. Išplėskite funkciją f (x) = e ax, a>, x π iki Fur'є eilės tik už sinusų. 11. F (x) = x 2, x π funkciją įdėkite į Fur'є eilutę tik už sinusų. 12. Nustatykite funkciją f (x) = sin ax, x π, y serija Fur'є tik kosinusais. 13. F (x) = x sin x, x π funkciją įdėkite į Fur'є eilutę tik už sinusų. Vidpovidi 9.cosx = cosx. 1. e ax = 2 [1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k = 1 11. x 2 2 [π 2 (1) n 1 π n + 2] n 3 ((1) n 1) sin nx. 32

33 12. Jei a nėra sveikas skaičius, sin ax = 1 cosaπ (1 + + 2a cos 2nx) + π a 2 (2n) 2 + 2a 1 + cosaπ cos (2n 1) x π a 2 (2n 1) 2 ; jei a = 2m pora yra skaičius, tai sin 2mx = 8m cos (2n 1) x π (2m) 2 (2n 1) 2; jei a = 2m 1 yra teigiamai neporinis skaičius, tai sin (2m 1) x = 2 (cos 2nx) 1 + 2 (2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Funkcijos su tam tikru periodu serija. Tarkime, kad funkcija f (x) nustatyta intervale [l, l], l>. Atlikę pakeitimą x = ly, y π, galime išvesti funkciją g (y) = f (ly / π), reiškiančią intervale π [, π]. Trečioji funkcija g (y) sudaro (formalią) seriją Fur'є () ly f = g (y) a π 2 + (an cosny + bn sin ny), kurios efektyvumas atsilieka nuo Eulerio Fur'є formulių. : an = 1 π g (y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2, ..., 33

34 bn = 1 π g (y) sinny dy = 1 π f () ly sinny dy, n = 1, 2, .... π Funkcijos f (x) trigonometrinę eilutę galima lengvai pakeisti taip, kad ji atrodytų pvz.: de f (x) a 2 + an = 1 lbn = 1 lllll sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2, ..., (12) dx, n = 1, 2, . .. 9 PRIEDAS. Žinome Fur'є funkcijų serijas, kurias intervale (l, l) pateikia viraz (A, kur l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 llf (x) dx = 1 l A dx + 1 ll B dx = A + B, llan = 1 lllf (x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 ll A cos πnx l = A + B π nlbn = 1 l dx + 1 ll B cos πnx l sin πn =, kur n, ll A sin πnx lf (x) sin πnx l dx + 1 ll dx = B sin πnx l = BA (1 cosπn). πn Funkcijos f (x) serija Fur yra sulankstoma: f (x) A + B π (B A Skalės cosπn = (1) n, tada n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l, kai n = 2k, yra įsivaizduojama b n = b 2k =, kai n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2 (BA) π (2k 1).

36 žvaigždutės f (x) A + B (BA)? jaksho l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Mažas. 29. Funkcijos f (x) grafikas su naujais harmonikų grafikais S (x) = a 2 ir S 1 (x) = b 1 sinx. Dėl trijų kitų harmonikų grafiko specifiškumo S 3 (x) = b 3 sin 3πx, S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l ir S 7 (x) = b 7 sin 7πx trauka vertikaliai įkalnėn l 37

38 Mažas. 3. Funkcijos f (x) grafikas dedamas ant naujo gabalų sumos S grafiko 99 (x) pav. 31. Fragmentas pav. 3 pagal 38 skalę

39 TIKRAI Erdvės uždaviniuose Fur'є serijoje funkcijos priskiriamos duotam tarpiniui. 14.f (x) = x 1, (1, 1). 15.f (x) = ch2x, (2, 2] f (x) = x (1 x), (1, 1]. 17.f (x) = cos π x, [1, 1] f (x) ) = sin π x, (1, 1). (2 1, kur 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18.f (x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. а) f (x) = α 2) l b) f (x) = 4al (1) n 1 (2n) ) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23.a) f (x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x ... b) f ( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π) + 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Sudėtinga serijos Fur'є Pasiskirstymas f (x) = cne inx, de cn = 1 2π f (x) e inx dx, n = ± 1, ± 2, ..., bus vadinama Fur'є serijos kompleksine forma. Sulenkimo į sudėtingą Fur'є eilutę su ramių protų vizija funkcija, dėl kurios juos galima įdėti į Fur'є kalbos eilutę. 4

41 PRIEDAS 1. Žinome funkcijos, pateiktos formule f (x) = e ax, y tarp [, π), de kalbos skaičiaus, kompleksinės formos Fur eilutę. Sprendimas. Kiekybiškai įvertinamas našumas: = c n = 1 2π f (x) e inx dx = 1 2π e (a in) x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1) n sh aπ. 2π (a in) π (a in) Mašinos f (x) funkcijos f kompleksinė Fur eilė sh aπ n = (1) n a in einx. Persvarstymas, taigi funkcija f (x) yra vientisa, lygi: intervale (, π) ji yra be galo diferencijuota, o taškuose x = ± π yra taškai tarp (5), (6) lim h + ea (+ h) = e aπ, lim h + ea (π h) = e aπ, ea (+ h) ea (+) lim h + h = ae aπ ea (π h) ea (π), lim h + h = ae aπ. Be to, funkcija f (x) pavaizduota tvarka Fur'єsh aπ π n = (1) n a in einx, kuri turi eiti į sumi: (e S (x) = ax, kur π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 PRIEDAS 11. F (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, de a funkcijos kompleksinei ir kalbos formai žinome Fur eilutes.< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Nagadaєmo, begalinio geometrinio progreso krepšys su standartiniu q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Dabar žinome keletą Fur'є kalbos formų. Didelė užbaigimų grupė su skaičiais n, o n – n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Oskilki c = 1, tada 2 = 2a n cos nx. f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Fur'є serija funkcijos f (x) kalbos formoje. Šis rangas, neskaitant ekonominio integralo, žinojome žemą Fur'є funkciją. Kai mes virahuvali, yra svarbus integralas, kurį galima rasti parametre cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a (zz 1) f (x) = 2i (1 a (zz 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1) z 2 2 (za) (za 1) = = i 2 + i () a 2 za + a 1. za 1 Odos iz paprastosios trupmenos gali būti pateikiamos pagal geometrinio progreso formulę: + aza = a 1 z 1 a = aanzzn, n = za 1 za = az = anz n. n = Visiškai, fragmentai az = a / z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, abo, trumpesnis, c n = 1 2i a n sgnn. Pats Timas, yra žinoma keletas sudėtingos formos Fur'є. Sugrupavus priedus su skaičiais n ir n, galime išvesti Fur'є funkcijų eilę kalbos formoje: = f (x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 = an sin nx. Žinau tolumoje virahuvati įžeidžiantį sulankstymo integralą: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 ZAVDANNYA 24. Vikoristovuchi (15), apskaičiuokite integralą cos nxdx 1 2a cosx + a 2 kalboms a, a> Vikoristovuchi (16), apskaičiuokite integralą sin x sin nxdx kalboms a, a> a cosx + a2 Uždaviniuose Kailis yra sudėtingų formų funkcijoms. 26.f (x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Liapunovo lygybės teorema (Lyapunov lygybė). Tegul funkcija f: [, π] R yra tokia, kad f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f (x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Todėl funkcijos f (x) Lyapunov ekvivalentas išsipučia į akis: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Likęs π ekvivalentas yra žinomas sin 2 na n 2 = a (π a) 2 Vazayuchi a = π 2, galime paimti sin2 na = 1, kai n = 2k 1 ir sin 2 na = jei n = 2k. Otzhe, k = 1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. PRIEDAS 14. Parašykime funkcijos f (x) = x cosx, x [, π] Lyapunov lygybę, і žinome papildomą sumą skaičių serija (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4.1 π Sprendimas. Tiesioginis skaičiavimas duoda = ππ f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Oskilki f (x) yra porinė funkcija, tada visiems n maєmo bn =, an = 2 π = 1 π 1 = π (n + 1) = f (x) cosnxdx = 2 π 1 cos (n + 1) x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos (n + 1) x + cos (n 1) x) dx = 1 π sin (n + 1) xdx sin (n 1) xdx = π (n 1) ) π π 1 + cos (n 1) x = π (n 1) 2 1 (= (1) (n + 1) 1) 1 (+ (1) (n + 1) 1) = π (n + 1) ) 2 π (n 1) 2 () = (1) (n + 1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1) (n + 1) 1 nk π ( n 2 1) = π (4k 2 1) 2, jei n = 2k, 2, jei n = 2k + 1. Reikšmę a 1 reikia skaičiuoti okremo, fragmentai tolimojoje formulėje, kai n = 1, vardiklis trupmena virsta nuliu. = 1 π a 1 = 2 π f (x) cosxdx = 2 π x (1 + cos 2x) dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Taigi funkcijos f (x) ma viglyad Lyapunov paritetas: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π 32 PRISTATYMAS. Parašykite Lyapunov ekvivalentą funkcija (xf (x) = 2 πx, kur x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Відповіді + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2,1 π 35. f (x) g (x) dx = cndn, de cn funkcija f (x) ir dn Funkcinė funkcija g (x) . 6. Eilių Fur'є Nekhai f diferenciacija: R R nuolat diferencijuota 2π-periodinė funkcija. Fur'є ma viglyad Її serija: f (x) = a 2 + (n cos nx + b n sin nx). F (x) funkcija yra panaši į 2π periodinę funkciją, kuriai galima parašyti formalią seriją Fur'є: f (x) a 2 + (an cos nx + bn sin nx), de a, an, bn , n = 1, 2, ... funkcionalumas Fur'є funkcija f (x). 51

52 Teorema (Kailinių serijų pratęstas terminas diferencijavimas). Trupimo atveju tiesa, kad a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. TAIKYMAS 15. Nebūk drovus-sklandžiai funkcija f (x) be pertrūkių [, π] intervale. Akivaizdu, kad galime pasakyti, kad f (x) dx = mažas 2 dx 2 dx netinkamas elgesys dėl Steklovo nesugebėjimo ir pakartotinio prisijungimo, todėl naujos funkcijos praras f (x) tipo f (x) funkciją. Kitaip tariant, Steklovo neveiklumas, tarkime, kai matote, kad yra trys paprastos funkcijos (vidutiniame kvadrate), yra trys funkcijos (vidutiniame kvadrate). Sprendimas. Palaikoma funkcija f (x) iki intervalo [,] pagal vaikino rangą. Žymiai išplėsta pačia funkcija simboliu f (x). Funkcija bus tęsiama be pertrūkių ir bus sklandi ir sklandi kelyje [, π]. Taigi, kadangi funkcija f (x) yra be pertrūkių, tada f 2 (x) yra be pertrūkių visą trukmę ir 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Oskіlki poros funkcija tęsiama, tada b n =, a = už kriauklės. Otzhe, Lyapunov nabuvє paritetas akiai 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Persvarstymas, kad f (x) būtų laikomasi teoremų apie serijos Fur'є diferenciaciją, kad a =, an = nb n, bn = na n, n 1. Nenoriu f (x) būti blogai taškuose x 1, x 2, ..., x N intervale [, π]. Tegu x = x N + 1 = π. Integracijos [, π] augimas N +1 intervale (x, x 1), ..., (x N, x N + 1), odos būklė f (x) yra puikiai diferencijuota. Todi, integralo, o paskui ir integruojančių dalių, adityvumo galia yra atpažįstama: bn = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1π j = xj + 1 xjx j + 1 xjnn π N j = xj + 1 xjx j + 1 xjf (x) sin nxdx = f (x) cosnxdx = f (x) cosnxdx = = 1 π [(f (x (x) 1) sin nx 1 f (x) sin nx) + + (f (x2) sinnx 2 f (x1) sinnx 1)

54 + (f (x N + 1) sin nx N + 1 f (x N) sin nx N)] n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j + 1 a = 1 f (x) dx = 1 N f (x) dx = π π j = xj = 1 N x j + 1 f (x) π = 1 (f (π) f ()) = .. . x j π j = Likę lygūs vienas kitam per tuos, kur funkcija f (x) buvo paaukštinta pagal vaikino rangą, taigi f (π) = f (). Panašiai galime atpažinti = nbn. Mes parodėme, kad Fur'є serijos išplėstinės diferenciacijos teorema nepertraukiamai šmatkovo sklandžiai 2π periodinei funkcijai, kuri yra panaši į tarpinę [, π], didžiuojasi pirmąja rūšimi, vyrna. Iš to paties f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) = (na n) sin nx, oskilki a =, an = nb n =, bn = na n, n = 1, 2, ... Oskilki 2 dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Taigi, kaip derminis terminas eilutėje (18), jis yra daugiau ar mažiau papildomas eilutės (17) narys, tada 2 dx 2 dx. Spėju, scho f (x) є išplėstinių funkcijų vaikinams, maєmo 2 dx 2 dx. Atvesti Steklovo paritetą. Šiais laikais Steklovo nelygumai turi daug funkcijų. Jei norite, kad vienas n 2 efektyvumas a n būtų lygus nuliui, tada a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 PATVIRTINIMAS 37. Nebūk drovus – sklandžiai funkcija f (x) yra nenutrūkstama intervale [, π]. Informuokite, kad laimėdami turite f () = f (π) = yra mažai paklaidos 2 dx 2 dx, kaip tai dar vadinama Steklovo neveiksnumu, ir perbraukite, bet tai tiesiog neprieštarauja f (x) . .. 38. Tegul funkcija f bus be pertrūkių intervale [, π], o naujajame (už begalinio taškų skaičiaus vinjetės) eisiu f (x), kad integruotume su kvadratu. Norėdami informuoti, jei tam tikrame vizone manote, kad f () = f (π) і f (x) dx =, tada mažai trūksta neefektyvumo 2 dx 2 dx, kaip tai vadinama Wirtingerio neryžtingumu, o funkcija yra nėra labai paprasta x) = A cosx + B sin x. 56

57 7. Fur'є gretų sąstingis dėl skirtingų rasių atsiradimo tarp privačių mirusiųjų Kai realaus objekto atgaivinimas (gamtos pasireiškimas, virusinis procesas, valdymo sistema yra per plona). matematinis aparatas. Mokslinių studijų stadijoje toks lancetas buvo siūbuojamas: fizikinis modelis yra matematinis modelis. Fizinė lauko formuluotė (modelis) puolime yra tokia: atsiranda ir vystosi to galvos faktoriaus procesas, kuris pilamas ant naujo. Matematinė lauko formuluotė (modelis) faktorių ir minčių fizinės formuluotės inventoriuje sistemų ir lygybių požiūriu (algebrinė, diferencinė, integralas ir kt.). Valstybės vadovas vadinamas teisingu nusistatymu, kaip dainuojančioje funkcinėje mąstymo uždavinių sprendimo erdvėje, vieninteliu ir netrukdomu atsigulti ant burbuolės ir pasienio protų. Matematinis modelis yra ne tik tas pats objektas, į kurį reikia žiūrėti, bet mes priartėsime prie jo su aprašymu. Viznovok pivnyannya vilnykh malikh skersinės stygos. Tegul virvelės būna pririštos, o pati virvelė įtempta. Jei įkišite eilutę iš tiesios linijos (pavyzdžiui, ištraukite arba ištraukite išilgai), tada labiau tikėtina, kad eilutė bus 57

58 vagatisya. Tuo pačiu metu visi stygos taškai griūva statmenai ravnovos padėčiai (skersinis ryšys), be to, odos momentu styga guli vienoje ir toje pačioje srityje. Yra stačiakampė koordinačių sistema xou. Todi, jei burbuolės momentu valandą t = styga įaugo į Jaučio ašį, tai u reiškia stygos atleidimą iš tiesės padėties, kad stygos taško padėtis nuo abscisė x paskutiniu funkcijos valandos t momentu, tіє ​​vertė Kai odos fiksuota reikšmė t, funkcijos u (x, t) grafikas parodo eilutės formą, kurią galima sukti momentu t (32 pav.). Esant pastoviai x reikšmei, funkcija u (x, t) suteikia dėsnį abscisių taškui x, tiesė yra tiesi, lygiagreti ašiai Ou, t prarandama, o kita prarasta 2 ut 2 pagreitinama . Mažas. 32. Jėga, taikoma neribotam mažam eilučių skaičiui Sandėlis, kurio pakanka funkcijai u (x, t) patenkinti. Už visą krūvą žiaurių pabarstukų leiskite jiems atleisti. Virvelė visiškai įtempta - 58

59 Coy, so vvazhatimo, kodėl gi stygos nesusuktų viginu; tse reiškia, scho spyruoklės, scho mirkčioja į stygas, visada ištiesinamos pagal tą patį її kumštinės pirštinės profilį. Styga perduodama spyruokle ir Huko dėsniui; tse reiškia, kad dydžio pokytis buvo įtrauktas proporcingai stygos gyvatei. Priimtina, vienos krypties eilutė; tse reiškia, її її linea gustina ρ postіyna. Pabudimo jėgos yra nesveikos. Tse reiškia, kaip mes galime tai pamatyti. Mi vivchatimo nuomos stygos yra mažos. Jei ϕ (x, t) žymėsime pjūvį tarp abscisės ir punktyrinės linijos taške nuo abscisės x momentu t, tai vaiko laukas yra tame, kad ϕ 2 (x) reikšmė. , t) negali būti lengvai x, t), kad ϕ 2. Kadangi kut ϕ yra malium, tai cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tan ϕ і taip pat, reikšmės (uxx,) 2 taip pat galima praleisti. Skamba iš karto viplivay, bet giedojimo procese, galite zehtuvati pagal gyvatę, net jei esate stygų delinker. Tiesą sakant, šiek tiek eilutės M 1 M 2 turėtų būti suprojektuota abscisio ašyje, de x 2 = x 1 + x, kelias l = x 2 x () 2 u dx x. x Bus parodyta, kad mūsų nuolaidoms įtempimo jėgos T reikšmė bus pastovi stygos įtempimas. Tuo pačiu metu pirmą kartą noriu dilyanka stygas M 1 M 2 (32 pav.) valandos t laiku ir vietoj dalyvavimo - 59

60 kv traukimo jėgomis T 1 ir T 2. Visų stygos taškų nutekėjimo virpesiai lygiagrečiai ašiai Ou ir į išorę nukreiptos jėgos, tada traukos jėgų projekcijos į ašį Ox suma yra atsakinga už nulį: T 1 cosϕ (2 x 1, t) + (x 2, t) =. Pradedama nuo nedidelio skaičiaus kutiv ϕ 1 = ϕ (x 1, t) і ϕ 2 = ϕ (x 2, t) nustatymo, bet T 1 = T 2. Svarbu tai, kad pradinė vertė T 1 = T 2 iki T. Dabar projekcijų F suma yra apskaičiuojama ašį Ou veikiančių jėgų u qix: F u = T sin ϕ (x 2, t) T sin ϕ (x 1, t). (2) Oskіlki mažiems kutіv sin ϕ (x, t) tg? T (tan ϕ (x 2, t) tan ϕ (x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) xx T 2 ux 2 (x 1, t) x ... Jei taškas x 1 apverstas, tai F u T 2 u x2 (x, t) x. Be to, kadangi žinoma, kad visos jėgos eina į M 1 M 2, vis dar galioja kitas Niutono dėsnis, reiškiantis, kad reikia pasiekti pagreitintą visų jėgų kiekį. Stygos masė yra M 1 M 2 keliui m = ρ l ρ x, o greitėjančio kelio - 2 u (x, t). Niutono t 2 požiūrio taško ekvivalentas: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2 (x, t) x, de α 2 = T ρ yra nuolat teigiamas skaičius. 6

61 Greitai ant x, galime apibrėžti mo 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2 (x, t). (21) Dėl to mes sukūrėme linijinius skirtumus tarp privačių, skirtingų dydžių, kurių našumas pasenęs. Jogas chi stygas vadina tomis pačiomis rūšimis kaip ir tas pačias. Rivnyannya (21) є performuluoja Niutono dėsnį ir aprašo stygos griūtį. Ale fiziniame boule vimogi inscenizacijoje apie tas stygas, kurios užsegamos ir stygos dedamos per kitą valandą. Lygiavertiškai užrašykite taip: a) svarbu, kad eilučių galai būtų fiksuoti taškuose x = і x = l, todėl tai svarbu visiems t atlikimo u (, t) =, u (l, t) =, u (l, (22) b) sąmoningai, šiuo metu t = eilutės padėtis yra po funkcijos f (x) grafiku, todėl visų x [, l] atitikmuo yra u (x,) = f (x); (23) c) Na, o valandos laiku t = eilutės taškas nuo abscisės x, duotas g (x) greitis, taigi taip pat, u (x,) = g (x). (24) t Spіvdnoshennya (22) vadinami pasienio protais, o spіvіdnoshennya (23) ir (24) vadinami burbuolės protais. Matematinis vilnyh malikh skersinis modelis 61

62 stygų stygos tuo, kad reikia padaryti stygų eilutę (21) su ribinėmis kriauklėmis (22) ir burbuolėmis (23) ir (24) Vilny mažos skersinės stygų stygos sprendimas Kailio metodu. „Srities kratymas (21) xl,< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >... Atsižvelgiant į (25) (21), galime atpažinti: X T = α 2 X T, (26) arba T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x). (27) Atrodo, tapo nedorėliais. Taigi, jei x і t yra ne viena kryptimi, tai kairioji dalis (27) yra ne apie x, o dešinė apie t ir atgalinė cich reikšmė yra apie 62

63 gali būti pakartotas, o tai reiškia per λ: T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x) = λ. Atpažinsime du specifinius diferencialinius ekvivalentus: X (x) λx (x) =, (28) T (t) α 2 λt (t) =. (29) Jei norite matyti didelę ribą, pagalvokite (22), kad pamatytumėte X () T (t) = і X (l) T (t) =. Oskіlka smarvę galima matyti visus t, t>, tada X () = X (l) =. (3) Mes žinome Rivnyannya sprendimą (28), nes jis patiktų ribiniams protams (3). Matyti trys vaizdai. Vipadoc 1:>. Tegu λ = β 2. Lygus (28) X (x) β 2 X (x) = išvaizdai. Jogo charakteristika lygi k 2 β 2 = šaknis k = ± β. Otzhe, tirpalo galva (28) ma viglyad X (x) = C e βx + De βx. Jei esate kaltas padaręs klaidą, tada C ir D taip, kad pasienio nutekėjimas (3) būtų sugautas, kad X () = C + D =, X (l) = C e βl + De βl =. Оskіlki β, tsya sistema rіvnyan maє єdine tirpalas C = D =. Otzhe, X (x) ta 63

64 u (x, t). Pats Timas, esantis vipadku 1 mi, priėmė nereikšmingą sprendimą, kiek nebuvo galima įžvelgti. 2 tipas: λ =. Todi rіvnyannya (28) nabuvaє vaizde X (x) = і-asis sprendimas, be abejo, pateikiamas pagal formulę: X (x) = C x + d. Pateikiame sprendimą ties ribine kriaukle (3), galime perskaityti X () = D = і X (l) = Cl =, taip pat, C = D =. Nuo to paties laiko X (x) ir u (x, t), ir mes jau atmetėme trivialų sprendimą. Vipadoc 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 Nadal navatimo n tik teigiamos reikšmės n = 1, 2, ..., fragmentai su neigiamu n bus to (nπ) sprendimas. Reikšmės λ n = vadinamos absoliučiais skaičiais, o funkcijos X n (x) = C n sin πnx su galingiausiomis diferencialinės lygties (28) funkcijomis su regioniniais protais (3). Dabar jis yra laisvai prijungtas (29). Dėl naujos ma viglyad charakteristikos k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Oskіlki vishche mi s'yasuvali, bet netrivialūs sprendimai X (x) іvnyannya (28) є jei neigiamam λ, lygus λ = n2 π 2, tada tas pats λ mi ir matomas toli. Tiesės (32) šaknis є k = ± iα λ, o eilutės (29) sprendimas gali atrodyti taip: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) ll de A n і B n yra nuoseklesni. Pateikiame (25) formules (31) ir (33), žinome privatų rivnjannyos sprendimą (21), bet mus džiugina regioniniai protai (22): πnx. lll Įterpti daugiklį C n ties lanku і įterpti reikšmę C n A n = bn ir B n C n = an, parašykite un (X, T) ties žiūrovuі (un (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt ) sin πnx. (34) l l l 65

66 Styginiai dygliai, kuriuose rodomi sprendiniai u n (x, t), vadinami galios stygų džigais. Oskilki rіvnyannya (21) ir pasienio laimėjimai (22) lіnіynі ir vienpusis, tada lіnіyna sprendimų derinys (34) (u (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt) sin πlll dienas (35) kuris tenkina ribinius protus (22) su specialia atlikimo an i bn vibracija, kuri užtikrins vienodą skaičiaus saugumą. Šiais laikais an ir bn tirpalo (35) efektyvumas yra toks geras, kad funkcija (24), de f (x), g (x) buvo suteikta ne tik ribinei linijai, bet ir burbuolei (23). f () = f (l) = g () = g (l) =). Įspūdingai, funkcijos f (x) ir g (x) patenkins protus paskirstyti į žemą Fur'є. Davus (35) reikšmę t =, galime imti u (x,) = a n sin πnx l = f (x). Diferencijuodami eilutes (35) t ir pateikę t =, galime padaryti ją ut (x,) = πnα bn sin πnx ll = g (x), o sklaidos funkcijos f (x) ir g (x) į Fur' є lavas. Taip pat a n = 2 l f (x) sin πnx l dx, b n = 2 l g (x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 Galime pasiūlyti daugybę funkcijų an ir bn iki skaičiaus (35), mes priimame rivnyannya (21) sprendimą, taip pat ribinio proto (22) ir burbuolės protus (23) ir ( 24). Pats Timas įsipareigojo mažoms kryžminėms stygoms. Yra fizinis pokytis laipsnio funkcijose u n (x, t) užduočių, susijusių su eilučių eilutavimu, kaip nurodyta (34) formulėje. Perrašomas її at viglyadі de n (x, t) = n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctan b n. l a n Iš (37) formulės matyti, kad visi eilutės taškai darniai eina vienu ir tuo pačiu dažniu ω n = πnα ir faze πnα δ n. Stygos amplitudė gulėti nuo l l abscisi x stygos taško і kelias α n sin πnx. Esant tokiam skaičiui, visi stygos taškai iš karto pasiekia maksimalų matomumą ta kryptimi ir vieną valandą praeina linijos padėtis. Šios kolyvanijos vadinamos nuolatiniais pagyrimais. Stovint mate n + 1 neardomasis taškas, kaip paklausti rivnyannya nuodėmės šaknų πnx = intervale [, l]. Nepaklusnūs taškai vadinami stovinčių khvilių vuzomis. Viduryje mazgų auga taškai, kuriuose vaizduose jie pasiekia maksimumą; tokie taškai vadinami antimazgais. Odos styga gali būti naudojama griežtai dainuojant dažnius n = πnα, n = 1, 2, .... o dažniai vadinami stygos galios dažniais. Žemiausias l tonas, kuris gali būti matomas kaip styga, prasideda nuo 67

68 mažos galios dažnis 1 = π T і vadinamas pagrindiniu stygos tonu. Інші tonai, atitinkantys l ρ dažnius n, n = 2, 3, ..., vadinami obertonais arba harmonikomis. Stygų tipo specifikai – pagrindinio tono tipas (33 pav.), pirmasis obertonas (34 pav.) ir kitas obertonas (35 pav.). Mažas. 33. Stygos profilis, kuris atrodo kaip pagrindinis tonas Mal. 34. Stygos profilis, kuris atrodo kaip pirmasis obertonas. 35. Stygos profilis, kuris atrodo kaip kitoks obertonas.Eidama eilute ji prasideda burbuolės protais, atsiranda funkcija u (x, t), kaip matyti iš (35) formulių. sumy akyse yra keletas harmonikų. Tokio rango pakanka 68 kolonijai

69 stygos є stovinčių kabliukų superpozicija. Tuo pačiu metu stygos skambėjimo pobūdis (tonas, garso stiprumas, tembras) slypi sp_vdnoshennya formoje tarp harmonikų amplitudių. Garso stiprumas, aukštis ir tembras. Garso galia apibūdinama garso energija. Garso garsas prasideda chi periodo dažniu: jei dažnis didesnis, tai garsas didesnis. Garso tembras pradeda reikštis obertonais, energija pakyla už harmonikų, todėl skambėjimo būdu tonas. Obertonų amplitudės, matyt, mažesnės už pagrindinio tono amplitudę, o obertonų fazės gali būti gana reikšmingos. Mūsų Vuho nėra jautrus Phasie Kolivan. Palyginkite, pavyzdžiui, dvi kreives pav. 36, įtariamas z. Tse įrašo garsą pačiu pagrindiniu tonu, susuktu iš klarneto (a) ir fortepijono (b). Įžeidžiantys garsai nėra paprasti sinusiniai garsai. Pagrindinis abiejų tipų garso dažnis yra vienodas ir tonas yra tas pats. Šiek tiek kreivių, kad pagrindiniam tonui pritaikyti obertonai. Kūdikio dainavimo prasme parodykite tą patį tembrą. 69

Atitinka hiperbolinį tipą. Neribotų ir nebaigtų stygų stulpelis. Kailio metodas Kailio metodas Stovintis chvili 4 Paskaitos 4.1. Atitinka hiperbolinį tipą. Kolekcija nėra begalinė ir pan.

MASKAVOS VALSTYBINIO TECHNIKOS UNIVERSITETAS CIVILINIS AVIATSIN V.M. Liubimovas, Є.A. Žukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Šurinovas M A T E M A T І K A R A D I POSIBNIK

RUSIJOS FEDERALINĖS MINISTERIJOS Valstybinis biudžetinis švietimas Profesinio mokymo įstaiga MATI Rusijos valstybinis technologijos universitetas, pavadintas K. E. Ciolkovskio vardu

Bilorus Respublikos švietimo ministerija EE "Vitebsko valstybinis technologijos universitetas" Tema. „Eilutės“ Teorinės ir taikomosios matematikos katedra. suskaidė doc. Є.B. Duninoju. Pagrindinis

Federalinė švietimo agentūra Federalinė valstybinė profesinio mokymo steigimo agentūra PIVDENNY FEDERALINIS UNIVERSITETAS R. M. Gavrilova, G. S. Kostetska metodinė medžiaga

Riadi Fur'o tema Praktinis Riadi Fur'o panaudojimas už stačiakampių funkcijų sistemų

DIAPAZONO TEORIJA Eilučių teorija є svarbiausia sandėlio matematinė analizė ir žinoti tiek teorines, tiek skaitines praktines ataskaitas. Razr_znyayut skaičių ir funkcijų skaičių.

ЗМІСТ ROW FUR'Є 4 Periodinės funkcijos supratimas 4 Trigonometrinis laukas 6 3 Stačiakampės funkcijų sistemos 4 Trigonometrinė serija Fur'є 3 5 Eilė Fur'є berniukams ir nesusietos funkcijos 6 6 Išdėstymas

Federalinė švietimo agentūra Maskvos valstybinis geodezijos ir kartografijos universitetas (MІIGAIK)

4 paskaita. Harmonijos analizė. Kailio periodinių funkcijų serija. Harmonijos analizė

TEMA V FUR'Є EILE 6 PASKAITOS Periodinių funkcijų išdėstymas Fur'є Bagato procesų, vykstančių gamtoje ir technologijoje, serijoje, gali kartotis per dainuojančius raginimus valandą Tokie procesai

METODINIS VKAZIVKI PRIEŠ ROZRAKHUNKOVIKH ZAVDAN VISCHO MATEMATIKOS KURSAS "ZVICHAYNI DIFERENCY RIVNYANNYA RANGE Podviyni INTEGRALI" SH DALIES TEMINĖ EILA

6 Kailio eilės 6 Stačiakampės funkcijų sistemos Kailio serijos stačiakampėse funkcijų sistemose Funkcijos ϕ () ir ψ (), reikšmės ir integracija viršuje [,], apskritai vadinamos stačiakampėmis.

VERTĖ INTEGRALI. Integralui sumi vienaskaitos integralui Nehai suteikiama funkcija y = f (), priskiriama formai [, b], de< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 žingsnių eilutės 5 žingsnių eilutės: reikšmė, skirtumo sritis Funkcinė formos eilutė (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) de, a, a, K , a, k deyaki numeriai, vadinkite būsenos seriją Skaičiai

BILORUSKIJŲ DERŽAVNIJŲ UNIVERSITETO TAIKOMOJI MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS

Uždėkite ant jo deyaki. užpakalis. Žinome begalinės geometrinės pažangos sumą.Uolumo nario formulė yra a + aq + ... + aq n + ... (a). a n = aq n. Daugybė sumi dalių. Jei q =, tada

Zavdannya 1.1. Žinoti iš nurodyto regiono sprendimą nuo to paties nulio yra diferencialinės lygties sprendimas y = y (x), kurį tenkina regioninių protų (Sturm-Livilya vadovo) paskyrimas.

Matematinė analizė Tema: Dainavimo integralas Nevlasny integralai Lektorius Pakhomova Є.G. 2017 p. ROZDIL II. To jogo priedo dainavimo integralas 1. To jogo galios dainavimo integralas 1. Galva,

8 paskaita 4 „Sturm-Livilya“ vadovas Aprašant nedidelę skersinę stygų eilutę, galima suprasti skirtumo lygybės briaunos problemą privačiose senesnėse skirtingos eilės.

Paaiškinta prie teksto: ženklas skaitomas jak "teisingai" ir reiškia, kad ties rivnyans dešiniarankis yra iš ženklo, o blogis yra iš ženklo bezlich atsakymas, ženklas IR reiškia bezlich kalbos skaičius, ženklas Į

82 4. Rozdil 4. Funkcinė ir būsenos eilutė 4.2. Užimtas 3 4.2. Užimta 3 4.2 .. Funkcijos įtraukimas į Taylor seriją VALUE 4.2 .. Nežinau, funkcija y = f (x) yra neribotai diferencijuota pakraščiuose

MINOBRNAUKI ROSIN FEDERALNA DERZHAVNA BUDGETNA OSVITALNAYA INSTANOVA VISCHOЇ PROFESSIONO ESTIMATE "SAMARSKY DERZHAVNIY TECHNICAL

Federalinė geležinkelių transporto agentūra Uralo valstybinis bajorų universitetas su Taikomosios matematikos katedra

3 paskaita Taylor ir Maclaurin Rows Valstybinių eilučių sąstingis Funkcijų išdėstymas Taylor ir Maclaurin Rows valstijose

Su Lavrenchenko wwwwrckoru paskaita Kailio peržiūra Integralios rekonstrukcijos supratimas Integralinės revizijos metodas yra vienas iš sunkiai dirbančių matematinės fizikos metodų, naudojant priverstinį peržiūrą.

Funkcijos integravimas (Rimanui) tas pats integralas Taikykite 1 uždavinių sprendimą. F (x) = C funkcija integruota, kaip ir bet kokiam taškų pokyčiui ar vibracijai ξ i integralas

1 kurso kursas. Atlikite Riman funkciją, kuri yra 0, m m R (), kuri yra m, m 0 ir kitas netrumpas, 0, kuri yra neracionali, razrivna odos racionaliame taške ir be pertrūkių odos dirginimo. Sprendimas.

1 2 Zm_st 1 Eilutės Kailiai 5 1.1 Trigonometrinė serija Kailis ............ 5 1.2 Tilki sin & cos ................. .... 7 1.3 Kailių serija sudėtingoje formoje 11 1,4 f (x) = ck? .......................

РІВНЯННЯ MATEMATICHNO FIZIKA 1. Diferenciniai santykiai su privačiais vaikais.

4 paskaita. Hvilyovi rivnyannya 1. Vivedennya pivnyannya stygos 2. Rivnyannya vėliau kolivan kirpimas 3. Ausinės, ratlankiai 4. Problemų išdėstymas 1. Rivnyannya stygų laimėjimas

1. Elektrostatika 1 1. Elektrostatika 6 pamoka Dekarto koordinačių pokyčių raida 1.1. (Gamyklinis nustatymas 1.49) Plotas z = įkrautas nuo stiprumo σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), de σ, α, β post_yni.

Modulio tema Funkcinės pabaigos ir serijos Vienodos svarbos galia ir serijos

Atitinka parabolinį tipą. To paties regiono keitimo būdas Vienas gamyklos regionas Prietaiso funkcijos Ne viena tam pačiam šilumos laidumo tipui 7 Paskaitos 7.1 Ekvivalentas paraboliniam tipui. Podilio metodas

Skaičių serijos paskaita Vertės ženklai Skaičių serija Vertės ženklai Skaičių serija Vertės ženklai Skaičių serija Vertės ženklai Skaičių serija Vertės ženklai Skaičių serija

35 7 Trigonometrinės serijos Fur'є Rows Fur'є periodinėms funkcijoms su periodu T.

Metalurgijos fakultetas Maisto matematikos katedra RANGE Metodinės instrukcijos Novokuzneckas 5 Federalinė švietimo agentūra

Matematikos ir informatikos katedra Visos matematikos elementas Pradinis-metodinis kompleksas vidurinio profesinio ugdymo mokiniams, pradedantiems mokytis iš nuotolinių technologijų.

9. Visų pirma nereikšmių integralas 9 .. Tegul funkcija f () nustatoma į intervalą I R. Funkcija F () vadinama pagrindine funkcija f () intervalui I, nes F () = f () bet kuriam I, tai yra pirminė

DIFERENCIALIOS FUNKCIJOS VIENĄ ŽIEMĄ Paprasto, geometrinio ir fizinio Zavdannya pojūčio supratimas, sukurti prieš supratimą apie primityvų Stosovo S žymėjimą ties y f (x) taške A x; f (

Atitinka hiperbolinį tipą. Neribotų ir nebaigtų stygų stulpelis. D'Alemberto metodas Bekvapė eilutė. D'Alemberto formulė Netiesinė eilutė 3 3.1 paskaita. Atitinka hiperbolinį tipą.

Зміст Vstup. Pagrindinis supratimas .... 4 1. Volterri Integral Rivne ... 5 Buitinės galimybės .... 8 2. Volterri Integral Rivnyannya Rezoliucija. 10 namų ūkio pasirinkimų ... 11

DIAPAZONAS. Skaičių eilutės. Pagrindinė Nehai reikšmė suteikiama neribotam Viraz skaičių skaičiui (neribota suma) a, a 2, ..., an, ... ai = a + a 2 + + an + ... () i = į vadinti skaičių serija. Skaičiai

8. Žingsnių eilutės 8 .. Funkcinė eilutė, kurios formos cn (z) n, (8.) n = de cn yra skaitinė seka, R yra fiksuotas skaičius, o z R vadinama būsenos eilute su parametrais c n . Vicone pakeičia nugalėtojus

~ ~ Nesvarbūs ir nesvarbūs integralai Pirminio ir nepriskirto integralo supratimas. Pavadinimas: Funkcija F vadinama pirmąja eilute funkcija f, taip pat pritvirtinimo funkcija

3724 CRATNI І KRIVOLINIINI INTEGRALS EILUTĖS 1 ROSDILIV ROBOCH PROGRAMA "CRATNI І CRYVOLINIINI INTEGRALS" 11 Skaičių serija Supraskite skaičių seriją Skaičių galia

VALGYTI. RUDIUM MATEMATICHNY ANALIZ. SKAIČIAI IR FUNKCINĖS EILTELĖS NOVOSIBIRSK 200 2 MINOBRNAUKI ROSIN GOU VPO "NOVOSIBIRSKY DERŽAVNIJŲ PEDAGOGIČIJŲ UNIVERSITETAS" О.М. Rudiy MATEMATICHNY ANALIZ.

N PASKAITA 7. Taylor's Rows ir Taylor's Rows ... Taylor's Rows ... Taylor's Row ...

RIVNIANJOS AIKŠTĖ Zmisto AIKŠTĖ RIVNIANJOS ... 4.ta paskutinė aikštė rivinja ... 4 ..

ROZDIL ZAVDANNIA SU PARAMETRAIS Komentarai Valdymas su parametrais tradiciškai yra sulankstomos patalpos EDI struktūrose, kad galėtumėte naudoti visus vaikų sprendimo būdus ir metodus.

Diferencialinis skaičiavimas Įtrauktas į matematinę analizę Sankryžų funkcijos. Ne vertybių Rozkritta ribose. Funkcijos panašios. Diferencijavimo taisyklės. Zasosuvannya obhіdnoї

Furo stačiakampių funkcijų sistemų serija Algebros požiūriu tam tikros klasės a funkcijų lygiavertiškumas – R, bet C našumas tiesiog reiškia, kad vektorius yra linijinis vektorių derinys.

1. Dainavimo integralas 1.1. Tegul f yra apsupta funkcija, nustatyta forma [, b] R. Rozbittyam vidrizka [, b] vadina šią taškų aibę τ = (x, x 1, ..., xn 1, xn) [, b] , uh = x< x 1 < < x n 1

Head Stair Rows a a a Row view a a a a () gali būti vadinamas statiniu, de, a, pooperaciniu, vadinamas funkcionieriais iš eilės.

2. Fur'є formulėms našumo vertė yra maža.

Neturite periodinės funkcijos ƒ (x), kurios periodas yra 2π, kad ji atrodytų kaip trigonometrinė eilutė, bet pereikite prie visos funkcijos intervale (-π, π), kad tai būtų serijų suma:

Manoma, kad ji yra integruota į funkciją, kuri yra toje pačioje lygybės grandinės dalyje, pagrindinėje integracijos dalyje visoje serijoje. Tse bude vikonuvatisya, tarsi leisdama skaičių seriją, susilenkia su duotosios trigonometrinės eilutės koeficientais, absoliučiai suartėja, kad teigiamų skaičių eilutė suartėtų

Eilutę (1) majorєmo і galima integruoti po terminą intervalu (-π, π). Prointegruemo nusikaltimo daliai ryvnosti (2):

Jis sunumeruotas okremo kozenintegral, kuris matomas dešinėje pusėje:

,

,

Esant tokiam rangui, , žvaigždės

. (4)

Spektaklių įvertinimas Fur'є. (Bugrіv)

1 teorema. Nesijaudinkite dėl funkcijos ƒ (x) periodui 2π, bet aš be pertraukos imsiu ƒ (s) (x) eilės s, nes ji yra laiminga visoje nelygybių ašyje:

│ ƒ (s) (x) │≤ M s; (5)

Todi kofіtsієnti Fur'є atlieka nelygumus patenkinti

Pristatyta. Integruotos dalys ir vrahoyuchi,

ƒ (-π) = ƒ (π), maєmo

Tinkamos dalies (7) integravimas paskutinis, bet ne mažiau svarbus dalykas? 6).

Kitas įvertinimas (6) yra toks.

2 teorema. Fur'є ƒ (x) atlikimui netrūksta

(8)

Pristatyta. Maєmo

(9)

Įveskite kaitos ir vrahoyuchi pasikeitimo metu, scho ƒ (x) - periodinė funkcija,

Sandėliavimas (9) ir (10), mes

B k galima įrodyti panašiai.

Slidstvo. Kadangi funkcija ƒ (x) yra nepertraukiama, funkcija (x) lygi nuliui: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Funkcijų erdvė iš skaliarinio kremo.

Funkcija ƒ (x) vadinama ištisine ištisine išilgine kryptimi, jei ji yra be pertrūkių, galbūt, baigtinio taškų skaičiaus, de maє iki pirmosios genties. Tokius taškus galima pridėti prie daugybos, remiantis skaičiumi ir apkarpant rezultatą, kad būtų žinoma shmatkovo, nepertraukiant funkcijos.

Dviejų shmatkovo-bezperervnyh skaliarinė varškė (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Akivaizdu, kad tiems, kurie yra šmatkovo, be pertrūkių funkcijoms ƒ, φ ψ pateisinti autoritetą:

1) (ƒ, φ) = (φ, ƒ);

2) (ƒ, ƒ) і su lygybe (ƒ, ƒ) = 0 vapingє, bet (x) = 0, įskaitant, galbūt, galinį taškų skaičių x;

3) (α ƒ + β φ, ψ) = α (ƒ, ψ) + β (φ, ψ),

de α, β – yra geri skaičiai.

Be visų „shmatkovo“ funkcijų be pertrūkių, kurioms formulėje (11) įvedamas skaliarinis tviras, turėsime omenyje, ir erdvė

Pagarba 1.

Matematikoje tai vadinama erdve = (a, b) funkcijų ƒ (x), integruotų Lebesgue prasme iš karto su savais kvadratais, skaičius, kuris skalariai naudojamas tokiai formulei (11). Erdvės vaizdas iš dalies. Galios platybės yra didžiulės, bet ne viskas.

3 iš autoritetų 1), 2), 3) Buniakovskio inercija yra svarbi | (ƒ, φ) | ≤ (,) ½ (φ, φ) ½, kaip mano peržiūros integralai:

Didumas

vadinti funkcijos f norma.

Tokios galios norma:

1) | f || ≥ 0, jei lygybė gali būti tik nulinei funkcijai f = 0, tai funkcija, kurią galima naudoti nuliui, galbūt yra galutinis taškų skaičius;

2) | ƒ + φ || ≤ || ƒ (x) || || φ ||;

3) | α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

de α - dizaino numeris.

Kita mano integracijos galia yra tokia:

ir vadintis Minkovskio nervais.

Pasakyti, kad paskutinė funkcija (f n), atsekti iki, pereiti prie funkcijos atsekti vidurkio kvadrato prasmę iki (bet kokiu atveju, už normos ribų), jei

Svarbu tai, kad jei funkcijų n (x) tvarumas vienodai konverguoja su funkcija ƒ (x) kitoje pusėje, tai pasiekus didelį n skirtumą ƒ (x) - n (x) absoliučia verte, kaltė yra maža. už visus tris kartus.

Jei n (x) yra pragmatiškas ƒ (x) vidutinio kvadrato prasme, tai skirtumas tikriausiai nėra mažas visur esant dideliam n. Mėnesio apylinkėse augimas gali būti didelis, dar svarbiau, bet integruotas į aikštę išilgai bulvaro didžiajai n.

užpakalis. Tegul vaizdas mažyliui suteikiamas be pertrūkių shmatkovo eilutės funkcijoje n (x) (n = 1, 2, ...), be to,

(Bugrov, 281 pusė, 120 pav.)

Jei esate natūralus n

і, taip pat, paskutinė iš funkcijų, noriu pereiti į nulį ties n → ∞, nors ir netaisyklingai. Mіzh komanda

y., paskutinė iš funkcijų (f n (x)) iki nulio vidutinio kvadrato prasme.

Bus daugybė funkcijų 1, 2, 3, ...

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Pirmųjų yogo n narių suma

σ n = 1 + 2 + + n

є funkcija, scho kloti iki. Kaip sugauti spąstus, o funkcija tokia,

|| ƒ- σ n || → 0 (n → ∞),

tada atrodo, kad serija (12) susilieja su funkcija vidutinio kvadrato ir rašymo prasme

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

Užrašas 2.

Galite matyti erdvės = (a, b) kompleksinės reikšmės funkcijas ƒ (x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), de ƒ 1 (x) ir ƒ 2 (x) - veiksmas shmatkovo - be pertrūkių apie funkciją. Įvairiose funkcijose padauginkite iš kompleksinių skaičių ir funkcijų skaliarinio pridėjimo ƒ (x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) ir φ (x) = φ 1 (x) + i φ 2 (x) ), bet pradėkite nuo įžeidžiančio rango:

o norma prasideda kaip vertybė

Kailio periodinių funkcijų serija iš periodo 2π.

Daugybė Fur'є leidžia periodiškai atlikti funkcijas, kurias galima sulankstyti ant komponentų. Stygų ir spyruoklių keitimas, keitimas, švaistiklio mechanizmų greitis ir greitis bei akustiniai hviliai - visų tipų praktinis užpakalinis periodinių funkcijų saugojimas inžineriniuose sąrašuose.

Išdėsčius iš eilės aibėje einantį kailį, bet visas funkcijas, bet praktiškai prasmingas intervale -π ≤x≤ π, galima judėti panašių trigonometrinių eilučių (daug panašių narių, po

Standartinis (= zvychany) žymėjimas per sumą sinx ir cosx

f (x) = a o + a 1 cosx + a 2 cos2x + a 3 cos3x + ... + b 1 sinx + b 2 sin2x + b 3 sin3x + ...,

de a o, a 1, a 2, ..., b 1, b 2, .. - atskaitos konstantos, tobto.

De diapazonui nuo -π iki π iki kailio skaičiaus, už kurį reikia sumokėti pagal formules:

Savybės a o, a n і b n vadinamas kofіtsієntami Fur'є, o jei galima žinoti, vadinasi serija (1). užsakyti Fur'є, pagal funkciją f (x). Serijai (1) terminas (a 1 cosx + b 1 sinx) vadinamas pirmuoju arba pagrindinė harmonika,

Geriausias būdas užrašyti eilutę yra victorian sp_vvidnoshennya acosx + bsinx = csin (x + α)

f (x) = a o + c 1 sin (x + α 1) + c 2 sin (2x + α 2) + ... + c n sin (nx + α n)

De ao yra konstanta, s 1 = (a 1 2 + b 1 2) 1/2, sn = (an 2 + bn 2) 1/2 yra kitų komponentų amplitudės, o dorіvnyuє an = arctan an / b n.

Serijoje (1) terminas (a 1 cosx + b 1 sinx) arba c 1 sin (x + α 1) vadinamas pirmuoju arba pagrindinė harmonika,(a 2 cos2x + b 2 sin2x) arba c 2 sin (2x + α 2) vadinami kita harmonika ir iki šiol.

Norint tiksliai aptikti sulankstymo signalą, reikalingas neribotas elementų skaičius. Tačiau praktiškiems bagatyokh darbuotojams užtenka pabarstyti pirmųjų narių.

Fur'є neperiodinių funkcijų serija iš periodo 2π.

Pasikartojančių funkcijų paskirstymas daugeliui Fur'є.

Kadangi funkcija f (x) nėra periodinė, tai reiškia, kad ji negali būti išdėstyta Fur'є eilėje visoms x reikšmėms. Tačiau galima padaryti Fur'є skaičių, kuris reiškia funkciją bet kuriame diapazone, kurio plotis yra 2?

Jei nustatyta neperiodinė funkcija, galima pridėti naują funkciją, vibruojama f (x) reikšmė dainavimo diapazone ir padėtis kartojama diapazonu su intervalu 2π. Virpesiai yra nauja funkcija є periodinė su 2π periodu, її gali būti išplėsta iki Fur'є eilės visoms reikšmėms. Pavyzdžiui, funkcija f (x) = x nėra periodinė. Tačiau, jei reikia išplėsti її Fur'є eilėje intervalu iki 2π, tada intervalo padėtis bus periodinė funkcija, kurios periodas yra 2π (kaip parodyta paveikslėlyje žemiau).

Neperiodinėms funkcijoms, tokioms kaip f (x) = x, Fur'є iš anksto priskirtos reikšmės f (x) skaičiaus suma visuose tam tikro diapazono taškuose, bet ne f (x) taškams, esantiems po- diapazonas. Norint sužinoti apie daugybę Fur'є neperiodinių funkcijų 2π diapazone, naudojama ta pati Fur'є koeficientų formulė.

Suporuotos ir nesusietos funkcijos.

Tarkime, funkcija y = f (x) parna kur f (-x) = f (x) visoms x reikšmėms. Suporuotų funkcijų grafikai yra pagrįsti simetrinėmis funkcijomis (turi būti rodomos veidrodiniu būdu). Dvi užpakalinės suporuotos funkcijos: y = x 2 і y = cosx.

Pasakykite, kad funkcija y = f (x) nesuporuotas kur f (-x) = - f (x) visos x reikšmės. Nesuporuotų funkcijų grafikai priklauso nuo simetriškų koordinačių.

Bagato funkcijos nėra vaikinai, jos nėra nesuporuotos.

Plečiasi Fur'є eile kosinusu.

Fur'є suporuotų periodinių funkcijų serija f (x), kurios periodas yra 2π, gali pašalinti narius iš kosinusų (kad nepašalintų narių iš sinusų), taip pat galite įtraukti nuolatinį narį. Otzhe,

de kofizinti keletą Fur'є,

Furo neporinės periodinės funkcijos f (x) serija su periodu 2π yra pakeisti narius sinusais (kad nekeršytų nariams kosinusais).

Otzhe,

de kofizinti keletą Fur'є,

Row Fur'є ant pivperiodi.

Kadangi funkcija skirta diapazonui, tarkime, nuo 0 iki π, o ne tik nuo 0 iki 2π, ji gali būti dedama į eilutę tik su sinusais arba tik kosinusais. Otrimaniy kailių skaičius bus vadinamas užsisakyti Fur'є ant napіvperіodі.

Būtina ištaisyti paskirstymą Fur'є ant napivperiodi ant kosinusų funkcija f (x) diapazone nuo 0 iki π, būtina pridėti periodinių funkcijų porą. Fig. Funkcija f (x) = x parodyta žemiau, raginama intervale nuo x = 0 iki x = π. Suporuotos funkcijos svyravimai yra simetriški, tačiau f (x) ašį veda AB linija, kuri parodyta Fig. žemesnė. Tiesiog paleiskite, bet žiūrimo intervalo laikysena apkarpoma į trikampę formą є periodiškai su 2π periodu, tada rodoma kadro grafika. pav. žemesnė. Virpesiai turi atmesti Fur'є išdėstymą kosinusais, kaip ir anksčiau, apskaičiuotas efektyvumas Fur'є a o і a n

Jei reikia pataisyti funkciją f (x) intervale nuo 0 iki π, reikia naudoti nesuporuotą periodinę funkciją. Fig. Funkcija f (x) = x parodyta žemiau, raginama intervale nuo x = 0 iki x = π. Virpesiai nesuporuoti, funkcija yra simetriška koordinačių burbulai, tai bus CD linija, kaip parodyta Fig. Tiesiog palikite jį, bet į failą panašaus signalo padėtis periodiškai su 2π periodu, į failą panašaus signalo laikysena su periodu 2π, tada rodmenys Fig. Svyravimai turi būti atmesti Furino išdėstymui pagal sinusus tiek anksčiau, tiek anksčiau, skaičiuojant pagal Fur vertę. b

Kailių skaičius išankstiniam intervalui.

Periodinių funkcijų išplėtimas iš L laikotarpio.

Periodinė funkcija f (x) kartojama iš žingsnių x L, taigi. f (x + L) = f (x). Pereinant nuo funkcijų, kurios anksčiau buvo rodomos iš periodo 2π, prie funkcijų iš periodo L, kad užbaigtumėte paprastą, kai kuriuos iš jų galima atlikti papildomai pakeitus.

Kaip sužinoti Fun'є funkcijos f (x) seriją diapazone -L / 2≤x≤L / 2, įvedame naują pakeitimą u tokiu rangu, kad funkcija f (x) yra mažas periodas 2π ir tada u. Jei u = 2πx / L, tai x = -L / 2, kai u = -π ir x = L / 2, kai u = π. Be to, neleiskite, kad f (x) = f (Lu / 2π) = F (u). Fur'є F (u) maє viglyad serija

De kofizinti keletą kailių,

Tačiau dažniausia formulė yra gaminti, kol palieka lapai. Virpesiai u = 2πх / L, net du = (2π / L) dx, o tarp integracijos - nuo -L / 2 iki L / 2, kaita - π į π. Otzhe, kailių skaičius už nedirbimą iš x maє viglyad

de diapazone nuo -L / 2 iki L / 2 iki kelių Fur'є,

(Tarp integravimo galima pakeisti bet kokiu intervalu iki L, pavyzdžiui, nuo 0 iki L)

Fur'є serija, skirta miego periodui funkcijoms, nustatytoms intervale L ≠ 2π.

Montuojant u = πх / L, intervalas nuo x = 0 iki x = L yra nuo intervalo nuo u = 0 iki u = π. Otzhe, funkcija gali būti išplėsta iš eilės tik kosinusu arba tik sinusu, tobto. v eilė Fur'є ant pivperiodi.

Išplečiant kosinusus diapazone nuo 0 iki L ma viglyad