Entry

Cilindrične funkcije nazivaju se rješenjem linearne diferencijalne jednadžbe različitog reda

de - kompleksne promjene,

Parametar koji se može koristiti za govorne ili složene vrijednosti.

Pojam "cilindrične funkcije" pletenja useva na svoje izlete u ovu vrstu namještaja, koji (1) se razvija kada se posmatraju regionalne ustanove, teorija potencijala cilindričnog područja.

Za naziv Beselovih funkcija u literaturi su date posebne klase cilindričnih funkcija, au nekim slučajevima se pripisuju čitavoj klasi cilindričnih funkcija.

Teorija funkcija je dobro razrađena, izgled nastavnih stolova i široka površina stasosuvana služe kao dovoljno sredstvo da se cilindrične funkcije dovedu do najvažnijih specijalnih funkcija.

Rivnyannya Besselov winnie píd sat rívnyannya rívnyannya Laplace i rívnyannya Helmholtz u cilindričnim i sfernim koordinatama. Ova funkcija Bessela će stagnirati u slučaju virusnog prtljaga o širenju hwila, statički potencijal je premali, na primjer:

1) elektromagnetni hvily u cilindričnom hvilevodí;

2) provodljivost toplote na cilindričnim objektima;

3) formiranje tanke okrugle membrane;

4) likvidnost čestica u cilindru, koja je uskladištena linijom i omotana oko svoje ose.

Besselove funkcije su zaglavljene na vrhu liste, na primjer, prije sata obrade signala.

Besselove cilindrične funkcije su najraširenije od svih specijalnih funkcija. Miris numeričkih dodataka u svim prirodnim i tehničkim naukama (posebno u astronomiji, mehanici i fizici). Na nižem kraju matematičke fizike razvijaju se cilindrične funkcije, za koje je argument indeks (jedan od tih i jedan), one dodaju kompleksne vrijednosti. Za numeričko određivanje takvih projekata potrebno je razviti algoritme koji omogućavaju precizno izračunavanje Beselove funkcije.

Svrha kursa robota: vivchennya funkts_ Bessel i zasosuvannya í̈kh autoriteti u viríshenní diferencijalnom ívnyans.

1) Vivchit Rivnyannya Bessel i modificirani Rivnyannya Bessel.

2) Odrediti osnovnu snagu Beselovih funkcija, asimptotske manifestacije.

3) Vidljivost diferencijala za dodatnu funkciju Bessela.

Bessel funkcionira s pozitivnom ikonom

Za rješavanje problema povezanih s problemima cilindričnih funkcija, dovoljno je smjestiti posebne klase funkcija, koje se prikazuju na određeni dan, ako je parametar jednak pozitivnom broju (1) jednak nuli.

Prije nego što ovoj klasi dobijemo elementarniji karakter, nižu teoriju, možemo je smatrati najznačajnijom vrijednošću i možemo biti ljubazni prema uvedenoj teoriji.

Pokazaće se da je jedan od odgovora

0, 1, 2, …, (1.1)

ê Besselova funkcija je prva koja naručuje, jak za bilo koje značenje, početak jakog zbroja u nizu

Za dodatne znakove D'Alemberta, lako je preokrenuti, ali red, paziti, konvergirati na cijelom području složene promjene, također, predstavljajući čitavu funkciju svega.

Yaksho označiti lijevi dio ryvnyannya (1.1) kroz koji unosite brzinu snimanja izvedbe u seriji (1.2), sa

onda, kao rezultat zamjene, možemo

Vyraz viraz zvijezde na sljepoočnicama su zatamnjene na nulu. Otzhe, funkcija je zadovoljavajuća u odnosu na standard (1.1), odnosno cilindričnu funkciju.

Najjednostavnije funkcije za klasu, kako izgledati, su Besselove funkcije reda nula i jedan:

Pokazat će se da se Beselove funkcije nižeg reda mogu rotirati kroz ove funkcije. Za dokaz je dozvoljeno da je a pozitivniji broj, red (1.2) se množi i diferencira sa. Mi otrimaêmo todí

Analogni rang, množenje serije sa poznatim

Nakon što smo napravili diferencijaciju u jednakosti (1,4 - 1,1) i pomnožili, dolazimo do formula:

zvijezde bez linije frontaê:

Otrimanijeve formule su dobile naziv rekurentnih relacija za Besselove funkcije.

Prvi korak je omogućiti funkciji da funkcionira prema redoslijedu kroz funkciju reda nula i jedan, tako da se robot može brzo kretati sa sklopivih stolova Besselovih funkcija.

Drugi spívdnoshennya dozvoljava poreze izgubljenih iz Besselovih funkcija kroz Besselove funkcije. Za cijelu spívvídnoshennya maê buti je zamijenjena formulom

bez prethodnog podešavanja ovih funkcija.

Funkcije Bessela prvog roda jednostavno su povezane s funkcijama Laurentovog reda):

Koeficijenti distribucije mogu se izračunati množenjem državnim redovima:

to dijeljenje članova, kako se osvetiti istim koracima. Viconavi tse, otrimaêmo:

viglyad stars

Funkcija se zove funkcija, scho viroblyaê, za Besselove funkcije sa cijelom ikonom; Znanje o komunikaciji (1.12) dato je u teoriji ovih funkcija.

Da bi se poricala domaća integracija ryvnyannya (1.1), koja daje širok spektar cilindričnih funkcija sa jednom ikonom, potrebno je koristiti druga rješenja jednakog značaja. U svojstvu takvog rješenja može se uzeti funkcija Bessela drugog roda, iako nije važno razmatrati analogni viraz u pogledu broja

(- Post-Eiler) í, s vremena na vrijeme, pershu í ako zbroj ide na nulu.

Funkcija je redovna u području rasta. Sama posebnost nazirane odluke terena leži u činjenici da se može pretvoriti u besmislicu, ako jeste. Zagalni viraz cilindrične funkcije je linearna kombinacija poticajnih rješenja

de í - dobar postíyní,

Da bismo prešli na rješavanje problema o formiranju kružne membrane, krivi smo prvo učiti o funkcijama Bessela. Beselove funkcije su rješenja linearne diferencijalne jednadžbe različitog reda zbog promjene performansi

Cijena se zove Besselova porodica. Prva stvar, a i drugo rješenje, nije samo u zadacima okrugle membrane, već u drugom velikom broju zgrada.

Parametar k, koji treba uneti na nivou (10.1), može izgledati kao da je zagalan, ali postoje neke pozitivne vrednosti. Za dato k, rješenja se nazivaju funkcije bez sjemena reda k (nazivaju se i cilindrične funkcije). Lako je uvidjeti u detalje ako nemamo jednostavnih padova, ako pokušamo da se riješimo neselevske funkcije nule prvog reda ako ostale pobjede imaju neke ocjene.

Za zalny vivchennya funkcija bez sjemena od čitača do posebnih knjiga (div., na primjer, / n, (4.5)

de 1, 2, ..., n - vypadkoví abortus;

n - broj vimiriv.

Srednja kvadratna korekcija se zasniva na gore pomenutom kriterijumu za procenu tačnosti vimiriva. Pogledajte mali broj puta da postignete stil i dobro zamislite manifestaciju velike vrste pomilovanja, koja, uzgred budi rečeno, i počinje.

Formula (4.5) je fiksna za izračunavanje srednje kvadratne devijacije, ako postoji referentna vrijednost za veličinu. Cijene vježbi su još gore. Po pravilu, referentna vrijednost određene vrijednosti je nedostupna, ali je moguće odbiti najvažniji rezultat - aritmetičku sredinu. Možemo prihvatiti formulu za izračunavanje srednjeg kvadratnog lošeg ponašanja za dodatno fiksiranje rezultata u aritmetičkoj sredini za takozvano ymovy misbehavior V.

Nekhai l 1, l 2, ..., l n - rezultati tačnih vrijednosti iste veličine, čije je značenje X, a aritmetička sredina L. Todi se može izračunati n vrsta grešaka

Δ i = l i - X (4.6)

i najuspješnije greške

V i = l i - L. (4.7)

Suma novca (4.7)

[V] = [l] - nL. (4.8)

Ale, prema ekvivalentnosti (4.4) nL = [l], to

tako da je zbir najnovijih zloupotreba kriv za nula troškova.

Ekvivalencija (4.6) Ekvivalencija (4.7), prepoznatljiva

Δ i - V i = L - X. (4.10)

U desnom dijelu rivnosti (4.10) nalazi se trik aritmetičke sredine. Neka í̈ kroz ε. Todi

Δi = V i + ε. (4.11)

Stavljamo u kvadrat jednakosti (4.11), uzimamo zbir i dajemo ga n:

[Δ 2] / n = / n + nε 2 / n + 2ε [V] / n. (4.12)

Liva je dio cijene novca ê nije tako ínshe yak m2. Ostatak desnog dijela kroz jednakost (4.9) jednak je nuli.

m 2 = / n + ε 2. (4.13)

Vipadkovo pogrešno ponašanje ε zamjenjuje se srednjim vrijednostima, poput srednje kvadratne, srednje aritmetičke sredine. Dno će biti doneto, oh srednja kvadratna razlika aritmetičke sredine

M 2 = ε 2 = m 2 / n. (4.14)

m 2 - m 2 / n = / n ili m 2 (n - 1) / n = / n,

zvijezde ___________

m 2 = / (n - 1), ili m = √ / (n - 1). (4.15)

Formula (4.15) se zove po Beselovoj formuli taj veliki je praktičniji. Vaughn vam omogućava da izračunate prosječno kvadratno podešavanje za ukusna poboljšanja rezultata u obliku aritmetičke sredine.

Za prosječno kvadratno loše ponašanje, prosjek će rasti, mogu biti siguran u loše ponašanje.

Srednja vrijednost lošeg ponašanja (Θ) naziva se aritmetička sredina apsolutnih vrijednosti lošeg ponašanja, tobto.

Θ = (| Δ 1 | + | Δ 2 | +… + | Δ n |) / n = [| Δ |] / n. (4.16)

Teoretski, greška se može napraviti, n → ∞ = 0,8 m, ali za m = 1,25 ?.

U slučaju primijenjene hrane, žale se gladan sam r. Ista smislena otmica u jednom redu jednakog vimiriva naziva se veselim nedoličnim ponašanjem, ali stopostotno se, međutim, može prevariti jer je veća, pa je manje važna, za apsolutnu vrijednost. Za znakhozhennya r usi navike dat broj mogu u svom rangu po redoslijedu rasta apsolutne vrijednosti i odabrati te vrijednosti, poput zaduživanja srednje pozicije, tako da je manje od tog stila, ali sve više. Ymovírna abortus je vezan ako je srednji kvadrat inferiornosti r = 2/3 m = 0,67 m za m = 1,5 r.

Yak bachimo, m> Θ í m> r, kako zaključiti da srednje kvadratno loše ponašanje preciznije karakterizira tačnost vimiriv, ispod sredine i imovirna deny.

Procjena tačnosti takvih varijabilnih vrijednosti, kao što su linije, površine i površine, često se rotira za pomoć dopustiva obmana... Naziv apsolutnog lošeg ponašanja do vrijednosti vimirya je dopušteno loše ponašanje. Uobičajena je greška zapisati kao razlomak, u čijem je broju jedan, a standardno - broj, pokazujući vam dio vrijednosti veličine, postaje dozvoljeno pogriješiti. Na primjer, na strani D = 150 m vimira sa apsolutnim nagibom m d = 0,05 m. Razlika u rezultatu wimira postaje m d / D = 0,05 m / 150 m = 1/3000.

Vrijednost 1/3000 znači da je na 3000 m od tribine dozvoljen pad od 1 m. Preciznost svih linearnih snimanja u geodeziji mora se utvrditi da bi bila tačna, jer se treba rukovoditi opštim uputstvima i uputstvima za implementaciju ove vrste geodetskih robota.

FEDERALNA AGENCIJA ZA OSNIVANJE

STERLITAMATSKA FILIA

DOMAĆA KNJIGA

VISCHOÍ̈ PROFESSIONO EVOLVE

"BASHKIRSKIY DERŽAVNIY UNIVERZITET"

Ekonomski fakultet

Departman za matematiku i informatiku

Kurs robot

na temu:

Beselove funkcije

Vikonav student 2 kurs

grupa PMII-08

Alexandrova A.Yu._______

"___" ____________ 2010r.

Naukovy Kerivnik

dr., čl. ín.

Sidorenko O. G. _______

"___" ____________ 2010r.

Sterlitamak 2010

Entry

1 Bessel funkcionira s pozitivnim predznakom

2 Besselove funkcije s jednim znakom

3 Dom manifestacije Cilindrične funkcije. Beselove funkcije drugog roda

4 Proširivanje niza Beselovih funkcija drugog roda cijelom ikonom

5 Beselove funkcije treće vrste

6 Beselove funkcije eksplicitnog argumenta

7 Cilindrične funkcije s indeksom, koji koštaju pola nesparenog cijelog broja

8 Asimptotičko određivanje cilindričnih funkcija za velike vrijednosti argumenata

9 Nulte funkcije cilindra

Visnovok

Lista literature

Entry

Cilindrične funkcije nazivaju se rješenjem linearne diferencijalne jednadžbe različitog reda

, (1) - kompleksna promjena, - parametar, koji se može koristiti za govor ili složeno značenje.

Pojam "cilindrične funkcije" pletenja useva na svoje izlete u ovu vrstu namještaja, koji (1) se razvija kada se posmatraju regionalne ustanove, teorija potencijala cilindričnog područja.

Za naziv Beselovih funkcija u literaturi su date posebne klase cilindričnih funkcija, au nekim slučajevima se pripisuju čitavoj klasi cilindričnih funkcija.

Teorija funkcija je dobro razrađena, izgled nastavnih stolova i široka površina stasosuvana služe kao dovoljno sredstvo da se cilindrične funkcije dovedu do najvažnijih specijalnih funkcija.

Rivnyannya Besselov winnie píd sat rívnyannya rívnyannya Laplace i rívnyannya Helmholtz u cilindričnim i sfernim koordinatama. Ova funkcija Bessela će stagnirati u slučaju virusnog prtljaga o širenju hwila, statički potencijal je premali, na primjer:

1) elektromagnetni hvily u cilindričnom hvilevodí;

2) provodljivost toplote na cilindričnim objektima;

3) formiranje tanke okrugle membrane;

4) likvidnost čestica u cilindru, koja je uskladištena linijom i omotana oko svoje ose.

Besselove funkcije su zaglavljene na vrhu liste, na primjer, prije sata obrade signala.

Besselove cilindrične funkcije su najraširenije od svih specijalnih funkcija. Miris numeričkih dodataka u svim prirodnim i tehničkim naukama (posebno u astronomiji, mehanici i fizici). Na nižem kraju matematičke fizike razvijaju se cilindrične funkcije, za koje je argument indeks (jedan od tih i jedan), one dodaju kompleksne vrijednosti. Za numeričko određivanje takvih projekata potrebno je razviti algoritme koji omogućavaju precizno izračunavanje Beselove funkcije.

Svrha kursa robota: vivchennya funkts_ Bessel i zasosuvannya í̈kh autoriteti u viríshenní diferencijalnom ívnyans.

Zavdannya:

1) Vivchit Rivnyannya Bessel i modificirani Rivnyannya Bessel.

2) Odrediti osnovnu snagu Beselovih funkcija, asimptotske manifestacije.

3) Vidljivost diferencijala za dodatnu funkciju Bessela.

1 Bessel funkcionira s pozitivnim predznakom

Za sagledavanje problema vezanih za funkcije cilindara, dovoljno je smjestiti posebne klase funkcija, koje se prikazuju na određeni dan, ako je parametar

u porodici (1) postoji nula i cijeli pozitivan broj.

Do kraja časa nositi elementarniji karakter, nižu teoriju, smatrati se od dominantne vrijednosti

, í može biti dobar uvod u teoriju.

Pokazaće se da je jedan od odgovora

0, 1, 2, …, (1.1)

ê Beselova funkcija prve vrste

jak za be-yak vrijednost tj. početni zbir jaka u nizu (1.2)

Za dodatne D'Alembertove znakove, lako se okreće, ali red, koji se može pogledati, konvergira na cijelom području složene promjene, također, predstavljajući cijelu funkciju

.

Kako označiti lijevi dio jednačine (1.1) kroz

i upisati brzinski rekord izvedbe u red (1.2), po

onda, kao rezultat zamjene, možemo

sledeće zvezde

Osim toga, krivulje na sljepoočnicama su zatamnjene na nulu. Otzhe, funkcija je zadovoljavajuća u odnosu na standard (1.1), odnosno cilindričnu funkciju.

Najjednostavnije funkcije za klasu, kako izgledati, su Besselove funkcije reda nula i jedan:

(1.3)

Pokazat će se da se Beselove funkcije nižeg reda mogu rotirati kroz ove funkcije. Za potvrdu, pretpostavlja se da je a pozitivan broj, serija (1.2) se množi sa

í savjetovao. Mi otrimaêmo todi (1.4)

Analogni rang, množenje reda sa

poznato (1.5)

Diferenciranje u jednakosti (1,4 - 1,1) i množitelju

, Dolazimo do formula: (1.6)

zvijezde bez linije frontaê:

(1.7) (1.8)

Otrimanijeve formule su dobile naziv rekurentnih relacija za Besselove funkcije.

Red.

želim (- α) (\ displaystyle (- \ alpha)) uzgajajte istu rivnyannya, zovite kući o onima koji su vidjeli različite funkcije (pokušajte, na primjer, kako bi Besselova funkcija bila glatka α (\ displaystyle \ alpha)).

Beselove funkcije je prvi nazvao švicarski matematičar Daniel Bernoulli, a ime je dobio po Fridrikhu Beselu.

Encyclopedic YouTube

1 / 5

✪ Zmíshane zavdannya kolí. Beselove funkcije

✪ Diferencijal Rivnyannya | Rivnyannya Bessel i pidhid do yogo revizije

✪ Metode matematičke fizike. Profesor Tikhonov Mykola Andriyovich (predavanje 1)

✪ Diferencijal Rivnyannya | Integralna detekcija Beselovih funkcija 1

✪ 13. Poticaji Walshovih funkcija

Podnaslov

Gagging

Rivnyannya Bessel winnikê píd sat rívnyannya rívnyannya Laplace i rívnyannya Helmholtsya u cilindričnim i sfernim koordinatama. Ova funkcija Bessela će stagnirati u slučaju virusnog prtljaga o širenju hwila, statički potencijal je premali, na primjer:

• elektromagnetski hvily u cilindričnom hvilevodí;
• provodljivost topline na cilindričnim objektima;
• formiranje kolonije tanke okrugle membrane;
• ruža intenziteta svjetlosti, difraktirana na okruglom otvoru;
• sitnost čestica u cilindričnom obliku, memorisanih linijom i omotanih oko svoje ose;
• Hvilyovi funkcionira na sferno simetričnim potencijalnim ekranima.

Besselove funkcije su zaglavljene na vrhu liste, na primjer, prije sata obrade signala.

Viznachennya

Oskílki nominiran ívnyannya ê liníynim diferencijal jednak u drugom redu, novi maê ima dva rješenja neovisna o liniji. Međutim, duboko iz okruženja vibrira porast broja odluka. Deyaki od njih je uperen ispod.

Beselove funkcije prvog roda

Funkcije Bessela prvog roda, što znači, ê rješenje, kincev u tačkama x = 0 (\ displaystyle x = 0) sa svim ljudima koji to nisu α (\ displaystyle \ alpha)... Vibir specifičnih funkcija i normalizaciju iniciraju nadležni. Moguće je koristiti funkciju za dodatno postavljanje u Taylor red nule (ili u veći red stanja sa α (\ displaystyle \ alpha)):

J α (x) = ∑ m = 0 ∞ (−1) m m! Γ (m + α + 1) (x 2) 2 m + α (\ displaystyle J _ (\ alpha) (x) = \ sum _ (m = 0) ^ (\ infty) (\ frac ((-1) ^ (m)) (m! \, \ Gama (m + \ alfa +1))) (\ lijevo ((\ frac (x) (2)) \ desno)) ^ (2m + \ alpha))

Evo Γ (z) (\ displaystyle \ gama (z))- Eulerova gama funkcija, pripisivanje faktora vrijednostima koje nisu cilja. Grafikon Beselovih funkcija sličan je sinusoidi, čiji broj proporcionalno nestaje 1 x (\ displaystyle (\ frac (1) (\ sqrt (x)))), želio bih da se radi nulte funkcije ne povećava periodično.

Grafikoni se lebde ispod J α (x) (\ displaystyle J _ (\ alpha) (x)) za, 1 i 2:

Neumannove funkcije se također nazivaju Beselovim funkcijama druge vrste. Linija kombinacija funkcija Bessela prve i druge strane ê van odluke Rivnyannya Bessel:

y (x) = C 1 J α (x) + C 2 Y α (x). (\ displaystyle y (x) = C_ (1) J _ (\ alpha) (x) + C_ (2) Y _ (\ alpha) (x).)

Grafikon je prikazan ispod Y α (x) (\ displaystyle Y _ (\ alpha) (x)) za α = 0 (\ displaystyle \ alpha = 0), 1 i 2:

∫ 0 1 x J α (μ 1 x) J α (μ 2 x) dx = (0; μ 1 ≠ μ 2 1 2 (J α '(μ 1)) 2; \ int _ (0) ^ (1 ) (xJ _ (\ alpha) (\ mu _ (1) x) J _ (\ alpha) (\ mu _ (2) x) dx) = \ lijevo \ ((\ početak (matrica) 0 & (\ mbox (;) ) \ quad \ mu _ (1) \ neq \ mu _ (2) \\\\ (\ frac (1) (2)) (J "_ (\ alpha) (\ mu _ (1)) ) ^ ( 2) & (\ mbox (;)) \ quad \ mu _ (1) = \ mu _ (2) \ kraj (matrica)) \ desno ..)

Asimptotika

Za Besselove funkcije, prva i druga vrsta su date asimptotičkim formulama. Sa malo argumenata (0 < x ≪ α + 1) {\displaystyle (0 to nije α (\ displaystyle \ alpha) smrad izgleda ovako:

J α (x) → 1 Γ (α + 1) (x 2) α, (\ displaystyle J _ (\ alpha) (x) \ strelica desno (\ frac (1) (\ gama (\ alpha +1))) \ lijevo ((\ frac (x) (2)) \ desno) ^ (\ alpha),) Y α (x) → (2 π [ln ⁡ (x / 2) + γ]; α = 0 - Γ (α) π (2 x) α; α> 0,) \ strelica desno \ lijevo \ ((\ početak (matrica) (\ frac (2) (\ pi)) \ lijevo [\ ln (x / 2) + \ gamma \ desno] & (\ mbox (;)) \ quad \ alpha = 0 \\\ - (\ frac (\ Gamma (\ alpha)) (\ pi)) \ lijevo ((\ frac (2) (x)) \ desno) ^ (\ alpha) & (\ mbox (;)) \ quad \ alpha> 0 \ kraj (matrica)) \ desno.,)

de γ (\ displaystyle \ gama)- Postyna Eyler-Maskeroni (0,5772 ...), i Γ (\ displaystyle \ gama)- Eulerova gama funkcija. Za velike rasprave ( x ≫ | α 2 - 1/4 | (\ displaystyle x \ gg | \ alpha ^ (2) -1/4 |)) formule izgledaju ovako:

J α (x) → 2 π x cos ⁡ (x - α π 2 - π 4), (\ displaystyle J _ (\ alpha) (x) \ strelica desno (\ sqrt (\ frac (2) (\ pi x) ) ) \ cos \ lijevo (x - (\ frac (\ alpha \ pi) (2)) - (\ frac (\ pi) (4)) \ desno),) Y α (x) → 2 π x sin ⁡ (x - α π 2 - π 4). (\ displaystyle Y _ (\ alpha) (x) \ strelica udesno (\ sqrt (\ frac (2) (\ pi x))) \ sin \ lijevo (x - (\ frac (\ alpha \ pi) (2)) - (\ frac (\ pi) (4)) \ desno).)

Hipergeometrijske serije

Beselove funkcije mogu se rotirati kroz hipergeometrijsku funkciju:

J α (z) = (z / 2) α Γ (α + 1) 0 F 1 (α + 1; - z 2/4). (\ displaystyle J _ (\ alpha) (z) = (\ frac ((z / 2) ^ (\ alpha)) (\ gama (\ alpha +1))) () _ (0) F_ (1) ( \ alfa +1; -z ^ (2) / 4).)

U takvom rangu, za cjelinu α (\ displaystyle \ alpha) Beselova funkcija nedvosmislena analitika, a za ne-tsílich - smisleno analitičko.

Virobnycha funkcija

Postoji jasna izjava za Besselove funkcije prve vrste i u cijelom poretku kroz Laurentove funkcije, funkciju jednine i samog sebe:

e z 2 (w - 1 w) = ∑ n = - ∞ + ∞ J n (z) w n. (\ displaystyle e ^ ((\ frac (z) (2)) \ lijevo (w - (\ frac (1) (w)) \ desno)) = \ zbroj _ (n = - \ infty) ^ (+ \ infty) J_ (n) (z) w ^ (n).)