Operaterski red za Taylora. Raspodjela funkcija u državnom redu

Vivchayuchim Tražim matematiku kriv što se na njega gleda kao na zbir onoga što je veličanstveni red, koji treba da održava interval važnosti koji nam je dat redom, da se pojavljuje bez prekida i u neograničenom broju puta kao diferencirana funkcija. Dobitna hrana: šta se može učiniti, zašto je data funkcija f (x) - cijena reda stanja? Kome se funkcija f (x) može prikazati stanjem pored nje? Važnost takve hrane je u tome što je funkciju f (x) moguće približno zamijeniti zbirom prvih decimalnih članova niza stanja, takoreći polinomom. Takva zamjena funkcije može se postići jednostavnim viraz - bagged - ê ručno i u slučaju virusnih djela zaposlenih: u slučaju viralne integracije, u slučaju izračunatih itd.

Doneto je da je za pevanje f-íí̈ f (x), u kojem je moguće prebrojati prethodne do (n + 1) -tog reda, uključujući i ostale, na periferiji (α - R; x 0 + R) tačke x = α fair ê formule:

Qia formulu nosi ime Brook Taylor. Red, koji je uzet s prednje strane, naziva se Maclaurin red:

Pravilo, jarko, mogu da izložim Maclaurin seriju:

1. Visnačiti je izgubio prvi, drugi, treći... red.
2. Izračunajte vrijednost originalnog x = 0.
3. Zapišite Maclaurin niz za cijelu funkciju, tako da je interval vašeg poslovanja važan.
4. Vrijednost je interval (-R; R), dio Maclaurin formule za uklanjanje viška

R n (x) -> 0 za n -> neokidanje. Kako jeste, funkcija f (x) je kriva za Maclaurinovu liniju.

Sada je vidljiv Maclaurinov niz funkcija.

1. Otzhe, prvo, f (x) = e x. Očigledno, zbog svojih posebnosti, takvi f-ovi mogu biti starog, nespecifičnog reda, štaviše, f (k) (x) = e x, de k doduše x = 0. Otrimaêmo f (k) (0) = e 0 = 1, k = 1, 2 ...

2. Maclaurinov red za funkciju f (x) = sin x. Odmah se pojašnjava da je f-s za svu nedostižnu matematiku, prije f "(x) = cos x = sin (x + n / 2), f" "(x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) ..., f (k) (x) = sin (x + k * n / 2), de k biti prirodni broj... Dakle, nakon što smo razbili nezgodne liste, možemo napraviti obrasce, ali serija za f (x) = sin x bi bila sljedećeg oblika:

3. Sada ćemo pokušati vidjeti funkciju f (x) = cos x. Ima svih onih koji nisu beskućnici istog reda, i |f (k) (x) | = | cos (x + k * n / 2) |<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Od tada smo preplavili najvažnije funkcije, jer je moguće proširiti područje na Maclaurin red, kako bismo dopunili Taylorov red drugih funkcija. Nini mi pererahuêmo í í̈kh. Varto takođe znači, uz rangove Taylor i Maclaurin, važan dio radionice o reviziji rangova u matematici. Lavi Taylor.

1. Prvi će biti niz f-íí̈ f (x) = ln (1 + x). Jak u prednjim kundacima, za dati f (x) = ln (1 + x) moguće je presavijati red, vikoristovuchi zagalny u redu Maclaurin. Međutim, za cijelu funkciju, Maclaurin serijal se može prikazati na jednostavniji način. Nakon što smo integrirali isti geometrijski niz, možemo nacrtati niz za f (x) = ln (1 + x) sljedećeg objašnjenja:

2. Za ostale, koje ćemo zaključiti u našoj statistici, postojaće niz za f (x) = arktan x. Za x, gdje postoji interval [-1; 1], imamo distribuciju ê:

To je sve. Serija Taylora i Maclaurina se vidi u opštoj statistici matematike, u matematici, u ekonomiji i na tehničkim univerzitetima.

Yaksho funkcija f (x) Ja ću se pobrinuti za interval a, izgubio sve narudžbe, tada se Taylorova formula zaglavila:

de r n- pa se titule člana viška, ili viška u broju, mogu suditi po dodatnoj Lagrangeovoj formuli:

, de je broj x složen mízh Xі a.

Yaksho za deyako značenje x r n®0 for n® ¥, tada će između Tejlorova formula biti ponovo zamišljena za a Taylor serija:

U takvom rangu, funkcija f (x) može se postaviti u red Taylora na mjestu gdje možete pogledati X, kada:

1) neće izgubiti sve narudžbe;

2) broj motivacija konvergira u ts_y tačkama.

At a= 0 mi ćemo dati broj naslova Maclaurinova komisija:

zadnjica 1 f (x) = 2x.

Odluka... Znamo značaj funkcije starijih u X=0

f (x) = 2x, f ( 0) = 2 0 =1;

f ¢ (x) = 2x ln2, f ¢ ( 0) = 2 0 ln2 = ln2;

f ¢¢ (x) = 2x u 2 2, f ¢¢ ( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f (n) (x) = 2x ln n 2, f (n) ( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.

S obzirom na staru formulu za Taylorovu seriju, prepoznato je:

Radijus brojnih skupih nesklonosti, činjenica da je distribucija pravedna za -<x<+¥.

zadnjica 2 X+4) za funkciju f (x) = e x.

Odluka... Poznate slične funkcije e x isto značenje u ovom trenutku X=-4.

f (x)= e x, f (-4) = e -4 ;

f ¢ (x)= e x, f ¢ (-4) = e -4 ;

f ¢¢ (x)= e x, f ¢¢ (-4) = e -4 ;

f (n) (x)= e x, f (n) ( -4) = e -4 .

Otzhe, shukaniy niz Taylorovih funkcija maê viglyad:

Dane distribucija vrijedi i za - ¥<x<+¥.

zadnjica 3 ... Funkcionalnost f (x)= ln x u redu iza stepenica ( X- 1),

(Tobto u Tejlorovom redu na periferiji tačke X=1).

Odluka... Znamo iste stare funkcije.

S obzirom na formulu, možemo prepoznati Taylorov red šapata:

Za dodatne znakove d'Alemberta, možete se okrenuti, ali se nizovi konvergiraju na

½ X- 1½<1. Действительно,

Broj za konvergiranje, jakšo? X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X= 2 prepoznaćemo broj koji se može prevariti, kao i znakove Leibnice za umove umova. At X= 0 funkcija nije dodijeljena. Ovaj rang, područje od interesa za Taylorovu seriju je napivvidkritiy promizhok (0; 2).

Odmah otrimaní, po rangu distribucije do reda Maclaurin (tobto na periferiji X= 0) za neke elementarne funkcije:

(2) ,

(3) ,

( zaustavi ime distribucije binomny sljedeći)

zadnjica 4 ... Razmaci u redu funkcija

Odluka... U trgovini (1) promjena X na - X 2, mogu se prepoznati:

Guza 5 ... Mjesta u nizu prema Maclaurinovim funkcijama

Odluka... Maêmo

Koristeći formulu (4) možemo napisati:

zamjena X y formula -X, Otrimaêmo:

Poznato je da:

Otvaranje lukova, prestrojavanje članova u niz, i stidljivost zadatih podjela, otrimaêmo

Cijeli niz konvergira u intervalu

(-1; 1), šanse za odbacivanje iz dva reda, koža iz kojih konvergiraju u cijelom intervalu.

Poštovanje .

Formule (1) - (5) se mogu koristiti za ubrzanje distribucije različitih funkcija na Taylorov niz, tobto. za distribuciju funkcija za sve pozitivne korake ( Ha). Za datu funkciju, potrebno je prilagoditi istu vrstu ponovne implementacije, ali ukloniti jednu od funkcija (1) - (5), u zamjeni X trošak k ( Ha) m, de k je pozitivan broj, m je pozitivan broj. Često, kada to radim ručno, zamijenim ga promjenom t=Ha Ja ću distribuirati funkciju Maclaurin serije.

Cijela metoda je jednostavna teorema o uniformnosti dekompozicije funkcije u red stanja. Suština teorije polariteta leži u činjenici da se u blizini jedne i ove tačke ne mogu povući dva različita reda stanja, kao da su konvergirali istoj i ovoj funkciji, koja nije izvršena na biološki način.

zadnjica 6 ... Postavite funkciju u red Taylor na rubu točke X=3.

Odluka... Cijena se vidi, kao i do sada, za dodatnu vrijednost Taylor serije, za koju je potrebno poznavati stare funkcije i njihovo značenje kada X= 3. Međutim, bit će jednostavnije ubrzati eksplicitne distribucije (5):

Otrimaniy broj konvergiraju za abo -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

zadnjica 7 ... Napišite Taylorov niz po prečkama ( X-1) funkcije .

Odluka.

Red za konvergiranje , ili -2< x£ 5.

Vikladeno metoda razv'yazannya između, vikoristovuchi razkladannya funkcije na Taylorovu seriju. Voditi se zastojem u cijeloj metodi snage malih i raspodjele elementarnih funkcija na Maclaurinov niz. Navodno, samo stavite vezu između, da osvetite ne-vrijednosti ∞ - ∞, jedan na koraku neincidencije í 0/0.

Zmist

Metoda verifikacije

Jedna od najvažnijih metoda otvaranja nevrijednosti je izračunavanje funkcija između funkcija Taylorovog niza stanja. Zastosuvannya tsi metoda zalihe od nadolazećih lopova.
1) Vjerovatno nevažno 0/0 kada se x promijeni, nije nula. Za one kojima je potrebna, vikonualna reinkarnacija će biti zamijenjena poročnom.
2) Veličina broja í imenilac Taylorovog reda na periferiji tačke x = 0 ... Sa cijelom vizijom, ona je raspoređena na takav nivo x n, koji je neophodan za usuneniju beznačajnosti. Ostali članovi su uključeni u o (x n).

Cijela metoda se može popraviti, ako se upisivanjem u stavku 1) funkcija u datumu i nazivniku može proširiti u red stanja.

Viconuvati distribuciju sklopivih funkcija i visonannya funkcija ručno iza ofanzivne sheme. A) Dodjela indikatora koraka n, na koji se vrši distribucija.
B) Zastosovuêmo snižavanje formule za raspodelu funkcija u Tejlorov niz, članovi se u njima čuvaju do uključivo, a članovi su vidljivi, ili su zatvoreni.
C) U funkcijama preklapanja možete lako zamijeniti mršave argumentom dijela kože, gurnuvši na nulu na. Na primjer,
.
Ovdje kod. Danas možete odabrati da proširite funkciju na rubove točke.

Bilješka. Zove se distribucija funkcije u Tejlorovom redu u blizini tačke Maclaurinova komisija... Za one koji su zaglavili s našim ciljevima, navedite broj prijestupa prije rijeke.

Izgubio moć malih

Naziv dokaza autoriteta o malom usmjeren je na stranu: „O velikom, o malom. Rivne funkcije“. Ovdje smo inspirirani moći, kako biti pobjednik kada nema veze između distribucija na Maclaurin red (tobto with).

Dal m i n - prirodni brojevi,.
;
;
, yaksho;
;
;
;
, de;
, de c ≠ 0 - Post_yna;
.

Da bi se dokazala moć moći, potrebno je sagledati je kroz beskonačno malu funkciju:
de.

Raspored elementarnih funkcija u Taylor (Maclaurin) seriji

;
;
,
de;
;
;
,
de - Bernulijevi brojevi:,;
;
;
;
;
;
;
;
,
;
;
.

Stavi

zadnjica 1

Brojite između posljednjeg, vikorističkog i širenja do reda Taylor.
.

Cijena beznačajna za um nedosljednost minus nedosljednosti... Vjerovatno nevažnom umu 0/0 ... Za cijelu visonumo perverziju.

.
Ovdje smo vrahuvali, ali se broj posljednjeg elementa n može dodati samo pozitivnim vrijednostima. Tom. Robimo će zamijeniti zle. U . Shukatimo između vvazhayuchi, scho x je važeći broj. Čim je granica čista, onda je vino čisto, a za svaku zadužbinu ide na nulu. Osim toga, za posljednje.

.
Distribuirana funkcija u broju Taylorovih serija. Zastosovuêmo formulu:
.
Zalishaêmo lišen linijskog člana.
.
.
Ovdje smo vrahuvali, čim je bila dvostrana, onda je bila jednostrana ivica. Tom.

zadnjica 2

Da bi se pokazalo da se značenje još jedne divne granice može ispraviti, vikoristovuči stavljaju u red Taylora.

Robimo će zamijeniti zle. Todi. U . Pidstavlyaêmo.
.

Za proračun granica moguće je uvažavati značenje promjene, bilo da se za sada probija rubovi tačke. Mi vvazhaêmo, scho. Vikoristovuêmo one koji su eksponent i prirodni logaritam ê rotirajuće funkcije u odnosu jedan prema jedan. Todi
.

Brojni između eksponenata, vikorista, sljedeći korak do Taylorovog reda:
.
.

Oscilacije eksponenta su neprekidna funkcija za sve vrijednosti argumenta, zatim teorema o neprekidnoj funkciji iz funkcije mamo:
.

zadnjica 3

Brojite granicu, vikoristovuči se šireći do Taylorovog reda.
.

Cijena beznačajna za um 0/0 ... Vikoristovuêmo takvu raspodjelu funkcija na periferiji točke:
;
;
.

Razkladaêmo s preciznošću na kvadratne članove:
;
.
Dilimo broj í imenilac na í je poznat između:
.

zadnjica 4

Muškost između Taylorove linije za pomoć.
.

Lako za bachiti, ali i nevažno za pamet 0/0 ... Otvorite, postavite funkcije na Taylorov red. Vikoristovuêmo pokazao na prizor:
(A4.1) .
Na listi eksponenata, zamijenite x sa -x:
(A4.2) .
Dal je sklopiva funkcija. Zamijenit ću zlog. U . Na ovaj način možemo iskoristiti raspodjelu prirodnog logaritma na rubovima tačke. Vikoristovuêmo ukazao na distribuciju, u kojoj mijenjamo x u t:
(A4.3) .

Nevjerovatno, to je yakbi mi mali funktsíyu, a zatim s. Na to ga nije moguće predočiti, jer ima ivera na rubu tačke. Na kraju dana, trebat će nam viconati kao i revizija:
.
Todi sa i može se koristiti za distribuciju (A4.3).

Sprobuêmo virishiti mezhu, vikonuyuchi širiti do prvog koraka zime x:. To jest, postoje samo dugoročni segmenti, koji ne leže u x :, i liniji. Bićemo dostupni za prodaju. Preciznije, transfer na.
;
;
.
Oskílki, zatim na otvorenom logaritmu vidimo članove, koji popravljaju korake 2. Zastosovyuchi, ciljajući na moć malog čovjeka:

.
Pidstavlyaêmo na granici:

.
Već smo odbacili beznačajnost uma 0/0 ... To znači da distribucija nije dovoljna.

Čim se vizija raširi na stepenice, onda znam da je nebitno:
.

Viconaêmo se širi na stepenice. To je previše za uskraćivanje stalnih članova i članova multiplikatora. Ínshí je uključen u.
;
;

;

.
Dalí, píchaêmo, scho. Za to, u otvorenom logaritmu, potrebno je vidjeti članove, popraviti korake, uklanjanjem y. Koristimo distribuciju (A4.3), zamjenjujući t sa:


.

Pidstavlyaêmo na vyhídnu funkciju.


.
Znamo granicu.
.

Guza 5

Znajte granicu iza reda Taylor.
.

Izvršite postavljanje broja i standarda u Maclaurin redu do zaključno četvrtog koraka.

Sigurno znak banera. Koristimo to.

;
;

.

Sada prelazimo na datum. U . Za to nije moguće stvoriti zamjenu i prostor za skladištenje nije moguće; Dragi, scho. Ovo je dobra ideja.
.
Sada je moguće kreirati setup, neki fragmenti na.

Stavili smo funkciju tog koraka u red Taylor na periferiji točke. Zastosovuêmo.
;
;

;
;
;
;
Dal je sjajan, dobro. Da bismo skratili funkciju preklapanja od tačnosti do, moramo raspodijeliti funkciju preklapanja na tačnost.

Rosklada je prvi logaritam.


; ;
;
.

Drugi logaritam je razložljiv. Vjerovatno yogo to see, de pri.
,
de.

Proširivi z Taylorov red na periferiji tačke od tačnog do.
Zastosuêmo:
.
Zamijeni x sa:
... Todi
;

;
Dragi, scho. Da bismo skratili funkciju preklapanja od tačnosti do, moramo raspodijeliti funkciju preklapanja na tačnost.

Razkladaêmo od tačnosti do í vrahovuêmo, scho.


;
.

Znamo širenje datuma.

;
;
.

Pídstavlyaêmo širenje datuma i banera, a poznato je između.
;
.

Vikoristan Literatura:
L. D. Kudryavtsev, A.D. Kutasov, V.I. Čehlov, M.I. Shabunin. Zbornik radova iz matematičke analize. Tom 1.Moskva, 2003.

NASA je pokrenula ekspediciju na Mars 2020. Za isporuku letjelice na Mars elektronski uređaj za imena svih prijavljenih učesnika ekspedicije.

Restauracija učesnika u prikazu. Uzmite svoj Mars vaučer uz naknadu.

Čim objava riješi vaš problem, ili vam samo pomogne, podijelite moć svojih prijatelja sa društvenim ogradama.

Jednu od brojnih opcija u kodu potrebno je kopirati i zalijepiti u kod Vaše web stranice, bazhano sa oznakama і ako ne direktno sa oznake ... Za prvu verziju MathJaxa dobit ćete bolju i manje galantnu stranu. Ostale opcije se automatski pružaju i ažuriraju novom verzijom MathJaxa. Samo ubacite prvi kod, morat ćete ga s vremena na vrijeme ažurirati. Ako umetnete drugi kod, stranice će biti blokirane više, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.

Dodajte MathJax na Blogger, ili WordPress: u keruvannya panel stranice dodajte widget, znakove za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte ga u prvu ili drugu verziju umotanog koda koji mu je predstavljen, 'jezički, MathJax skripta se asinhrono premošćuje). Od i svega. Sada zgrabite sintaksu izgleda MathML, LaTeX i ASCIIMathML i spremni ste da ugradite matematičke formule na web stranice vaše web stranice.

Čergovi pred dan Nove stene ... vreme je mraz i na šibama su devojčice ... Sve spontano nisam znao da pišem o ... fraktalima, i o onima koji znaju za Wolfram Alpha. Od pogona ê tsíkava stattya, u yakíy ê sučelje dvostrane fraktalne strukture. Odmah možemo vidjeti preklapanje trivijalnih fraktala.

Fraktal se može vizualizirati (opisati), kao geometrijska figura, kao geometrijska figura, baš kao geometrijska figura. Dakle, to je samoslična struktura, lako je vidjeti detalje o tome šta je kada je veća, ili sam oblik, ali je bez toga. To je kao vypadnaya geometrijska figura (ne fraktal), u slučaju dodatnih detalja, kao što je jednostavan oblik, donja figura. Na primjer, kada dođete do velikog dijela elipse, to izgleda kao prava linija. To nije moguće vidjeti sa fraktalima: šta god da je, znat ću isti nabor, kao i kod promjena na koži, znam i opet znam.

Benoit Mandelbrot, osnivač nauke o fraktalu, napisao je u svom članku Fraktal i misterija u ime nauke: „Fraktali nisu geometrijski oblici, koji su, međutim, sklopivi u svojim detaljima, kao u svojim delovima. na veličinu cjeline, izgledati, kao cjelina, ili samo, ili, možda, s blagom deformacijom."