Berita
Nutrisi Virishiti zbіzhnostі rendah koristuyuchis vyznachennyam. Baris numerik: penunjukan, kekuasaan, tanda-tanda kekayaan, pantat, keputusan
Janji temu. seri nomor(1.1)disebut positif, seperti semua yoga dodankiSebuah- Angka positif. jumlah Chastkov sn= a1+ a2 + …+ an seri seperti itu untuk arti apa pun n tezh, zvichayno, positif, apalagi, dengan angka terbesar n tumbuh secara monoton. Otzhe, hanya dua kemungkinan:
2) de S- Dejake adalah bilangan positif.
Untuk vipad pertama, baris divergen, untuk yang lain konvergen. Sebagai kombinasi dari dua kemungkinan yang dapat diwujudkan, untuk menyetor, tentu saja, mengingat perilaku penambahan berturut-turut dengan n®∞. Misalnya dodanki untuk break zero, apalagi menghindar, melakukannya dengan cepat, deret akan konvergen. Dan jika bau tidak menjadi nol, tetapi untuk pergi ke yang baru, jika tidak ada kecepatan yang cukup, barisan akan menyimpang.
Misalnya, pada gudang seri harmonik (1.16) ingin berubah, bertambah nol, tetapi lebih baik melakukannya dengan benar. Untuk ini, baris harmonik muncul rozbіzhnym. Dan sumbu y seri positif(1.6) dodanki melompat ke nol lebih cepat, jadi anggurnya tampak serupa.
Contoh lain. Pikiran baris
(1.18)
ditelepon Tercerahkan oleh harmoni di dekatnya(Dengan siapa akan ada barisan harmoni yang hebat). Jika Anda melanjutkan yoga untuk zbіzhnіst - razbіzhnіst secara serupa hingga Anda mencapai deret harmonik (1.16) (untuk bantuan si kecil, mirip dengan si kecil 7.1), maka Anda dapat menginstal (coba sendiri) konvergen di (yogo suma S- Kіnceve bilangan positif). Saya menyadarinya: dengan penambahan deret harmonik yang menyempit, penambahan deret harmonik yang lebih banyak akan berubah. Jika deret harmonik divergen (kecepatan perubahan dan penambahan tidak mencukupi untuk efisiensi), maka deret harmonik (1.18) juga akan divergen. Dan dengan gudang seri (1.18), jelas jatuh lebih cepat, lebih rendah dari gudang seri harmonik (1.16). tsієї zbіlshenoї svidkostі zmenshennya vyyavlyaєєє cukup zbіzhnostі rendah (1,18).
Anda dapat mіrkuvannya viklasti suvorіshe, seperti yang disebut Tanda keselarasan deret bilangan positif.
Yogo adalah inti dari ofensif. Ayo
(1.19)
(1.20)
Dua baris angka yang cukup positif. Saya tinggi untuk semua orang n= 1,2, … . Tobto (1.20) – baris dengan suku yang lebih besar, baris bawah (1.19). Maka jelaslah bahwa:
1) Jika suatu deret dengan suku yang lebih besar konvergen, maka deret yang sama dengan suku yang lebih kecil konvergen.
2) Jika barisan anggota yang lebih kecil menyimpang (jumlah yogo lebih mahal +∞), maka barisan anggota yang lebih besar yang sama dapat menyimpang (yogo suma lebih mahal +∞).
3) Jika deret dengan anggota yang lebih besar konvergen (jumlahnya lebih mahal +∞), maka tidak ada yang dapat dikatakan tentang deret dengan anggota yang lebih kecil.
4) Jika deret anggota yang lebih kecil bertemu (jumlah yogo adalah angka), maka tidak ada yang dapat dikatakan tentang deret anggota yang lebih besar.
Menghormati 1. Pada formularium keempat alinea, tanda-tanda persamaan dapat berupa pikiran, bantuan, yang baris-barisnya berjajar dan yang bersalah menang untuk semua. n\u003d 1,2,3, ..., ganti pikiran itu, adil untuk semua n, tetapi kurang dari angka deyakogo n, maka untuk n> n Karena jumlah anggota terakhir berturut-turut tidak menambah penghasilan Anda.
Catatan 2. Tanda penyelarasan baris numerik positif dibiarkan diperburuk. Dan untuk dirinya sendiri, yakscho
, (1.21)
Tobto yakcho
(bn setara Lan untuk ), maka deret bilangan positif (1,19) dan (1,20) konvergen atau divergen secara bersamaan. Rasa hormat orang Denmark terlalu berlebihan tanpa konfirmasi.
pantat 5 . Baris
(1.23)
Bubar (jumlah yogo lebih mahal +∞). Benar, sama dengan deret harmonik (1,16), penambahan beberapa dikurangi untuk penambahan deret (1,23) untuk semua n>1, terlintas dalam pikiran bahwa visnovka keluar dari tanda titik 2 keselarasan. Perbedaannya jelas karena fakta bahwa deret harmonisasi (1.18) telah dipertajam pada .
Contoh 6. Baris
(1.24)
Seri positif tse dari yang terkecil untuk semua n>1 dodanki, baris bawah
(1.25)
Baris ale (1,25) - jumlah deret geometri yang tidak diacak dengan standar. Deret seperti itu, zgіdno (1,15), konvergen dan dapat menjumlahkan S=1. Secara alt, deret yang lebih kecil (1.24) konvergen, apalagi yogo suma .
pantat 7 . Deret adalah deret bilangan positif, dalam beberapa jenis dodanki
pada .
baris bir 
menyimpang dari gaya (1.17). Dari yang sama, jelas sebelum (1.22), divergen dan seluruh rangkaian penambahan Sebuah.
Tanda d'Alembert . Tsya menandatangani polagaє dalam ofensif. Ayo - seri angka positif. Kita tahu antara Q perpanjangan anggota barisan penyerang ke depan:
(1.26)
Matematikawan dan mekanik Prancis abad ke-19 d'Alembert dov, yang Q<1 ряд Сходится; при Q>1 vіn menyimpang; pada Q\u003d 1 catu daya - catu daya rendah. Bukti tanda d'Alembert dihilangkan.
Contoh 8. Dosliditi pada zbіzhnіst - seri angka positif rozbіzhnіst.
. Zastosuєmo ke baris ke tiga tanda d'Alembert. Untuk itu, setelah rumus (1,26) kita dapat menghitung Q:
Oskіlki , maka seluruh seri konvergen.
Tanda integral dari Koshi . Tsya menandatangani polagaє dalam ofensif. Anggota Yakscho Sebuah deret positif berubah monoton, dan seluruh deret dan integral tak berurutan konvergen atau divergen pada saat yang sama. Berikut adalah fungsi pembusukan monoton tanpa henti, yang diterima ketika x = n berarti Sebuah anggotanya rendah.
Baris angka. Persamaan dan keragaman baris numerik. Tanda kehidupan d'Alembert. Baris yang signifikan. Mutlak adalah bahwa mental zbіzhnіst ryadіv. Lava fungsional. Langkah-langkah berturut-turut. Penguraian fungsi dasar hingga deret Maclaurin.
Pernyataan metodis pada topik 1.4:
Baris angka:
Angka di sebelahnya disebut jumlah pikiran
nomor de u 1 , u 2 , u 3 , n n , peringkat sebagai anggota baris, membangun urutan yang tidak dapat dipisahkan; istilah un disebut anggota utama dari deret tersebut.
. . . . . . . . .
jumlah anggota pertama deret (27.1) disebut jumlah privat deret ini.
Urutan jumlah pribadi bisa sama dengan baris kulit S1, S2, S3. Seperti dengan pertumbuhan angka n yang tidak berskala, jumlah parsial dari deret S n pragne ke perbatasan S, maka deret tersebut disebut sebangun, dan bilangan S- jumlah dari seri yang sama, tobto.
Rekor sama dengan rekor
Yakshcho chastkov sum S n ke seri (27.1) dengan pertumbuhan tanpa batas n jika Anda tidak dapat menyelesaikan batas (zokrema, pragne hingga + atau hingga - ), maka rangkaian seperti itu disebut rozbіzhny
Jika deret tersebut konvergen, maka artinya S n ketika dosis ke n besar kita mendekati barisan viraz sumi S.
Eceran r n = S - S n disebut baris tambahan. Jika deret tersebut konvergen, maka ada surplus nol, tobto. r n = 0;
Sejumlah pikiran disebut geometris berdampingan.
ditelepon harmonis.
yakscho n®¥, lalu S n®¥, tobto. deret harmoni divergen.
Contoh 1. Tuliskan deret z th yang diberikan suku rangkap:
1) mengingat n = 1, n = 2, n = 3, mungkin ada barisan bilangan tak hingga: , ,
2) Vchinyayuchi begitu saja, ambil satu baris
3) Memberikan nilai n 1, 2, 3 dan melepaskan 1 itu! = 1, 2! = 1×2, 3! \u003d 1 × 2 × 3, ambil satu baris
Contoh 2. Tahu n-anggota seri setelah yoga diberikan ke nomor pertama:
1) ; 2) ; 3) .
Contoh 3. Ketahui jumlah anggota dalam satu baris:
1) Kita tahu bahwa jumlah anggotanya rendah:
Mari kita tuliskan barisan private sum: …, , ….
Anggota Zagalny dari urutan ts . Otzhe,
Urutan jumlah pribadi mungkin antara, yang lebih mahal. Otzhe, deret tersebut konvergen bahwa sum dorivnyuє.
2) Harga adalah perkembangan geometris yang sangat lambat, dalam hal ini a 1 = , q = . Rumus Vikoristovuyuchi otrimaєmo Artinya, rangkaian berkumpul bahwa jumlah yoga lebih mahal 1.
Persamaan dan keragaman baris numerik. Tanda kenyamanan d'Alembert :
Tanda yang diperlukan dari profitabilitas rendah. Sejumlah mozhe berkumpul lebih sedikit untuk Anda pahami bahwa yoga adalah anggota yang mengantuk kamu n dengan nomor yang tidak terhubung n pragne ke nol:
Yakshcho, maka baris untuk membubarkan - ada cukup tanda baris rozchinnosti.
Tanda-tanda kemakmuran yang cukup dengan anggota positif.
Tanda keselarasan antara barisan anggota positif. Deret Dosl_dzhuvany konvergen, suku-suku yakscho yogo tidak melebihi suku-suku yang bersesuaian dari deret berikutnya, yang harus konvergen; baris doslіdzhuvany menyimpang, seolah-olah anggota yogo terbalik oleh anggota yang sesuai dari baris berikutnya, yang harus menyimpang.
Dengan baris tambahan untuk zbіzhnіst, tanda rozchinnіnіst untuk qієyu itu sering kali menang deret geometri
yang konvergen untuk |q|
apa razbіzhnym.
Dengan deretan kemenangan tambahan, barisan harmonik juga diperparah
Yakscho P= 1, maka seluruh deret naik ke deret harmonik, yaitu selisihnya.
Yakscho P< 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При P> 1 deret geometri maєmo, yakomu | Q| < 1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при P> 1 saya menyimpang untuk P£1.
Tanda d'Alembert. Seperti untuk serangkaian istilah positif
(kamu n>0)
umova vykonuetsya, maka deret tersebut bertemu untuk aku aku > 1.
Tanda d'Alembert tidak memberikan bukti, jadi aku=1.
Baris yang signifikan.
Yang mutlak adalah mental zbіzhnіst ryadіv:
seri nomor
u 1 + u 2 + u 3 + u n
disebut familiar, karena anggota tengah adalah bilangan positif dan negatif.
Deret bilangan disebut tanda berurutan, seolah-olah ada dua anggota, sehingga ada pegangan, ada tanda. Baris ini dibingkai dengan tanda baris yang sudah dikenal.
Tanda kenyamanan untuk baris yang ditarik.. Seperti anggota deret, yang bergegas, berubah secara monoton setelah nilai absolut dan anggota utama kamu n pragne ke nol di n® , maka deret tersebut konvergen.
| Suatu deret disebut sangat mirip, karena deret tersebut juga konvergen. Bagaimana deret tersebut benar-benar konvergen, dan mereka serupa (untuk pengertian terbesar). Ketegasan Zvorotne tidak begitu. Deret disebut konvergen mental, seolah-olah konvergen, dan deret, dilipat dari modul anggotanya, menyimpang. Contoh 4 |
| Saya pasti akan cukup untuk tanda Leibniz untuk baris yang dimarahi. Kami mengambil pecahannya. Otzhe, deret tsey konvergen. Contoh 5 |
| Mari kita coba perbaiki tanda Leibniz: Dapat dilihat bahwa modulus suku umum tidak sama dengan nol ketika n→∞. Itu sebabnya seluruh baris menyimpang. Bokong 6. Secara signifikan, chi sejumlah benar-benar mirip, mental serupa atau berbeda. |
| Zastosovuyuchi tanda-tanda d'Alembert ke seri, dilipat z modulіv vіdpovіdnyh termіn, tahu Ozhe, seri tsey konvergen mutlak. |
Contoh 7
1) Anggota deret dalam nilai absolut berkurang secara monoton i . Otzhe, zgidno dengan tanda Leibniz, rendah untuk bertemu. Z'yasuєmo, chi konvergen deret tsey benar-benar chi mental.
2) Anggota deret dalam nilai absolut berkurang secara monoton: , ale
Baris fungsional:
Deret bilangan pamungkas terdiri dari bilangan:
Kumis berturut-turut - ce angka.
Deret fungsional terdiri dari fungsi:
Pada anggota terakhir dari seri, krm kaya tersegmentasi, faktorial, dll. tidak sekaligus sertakan huruf "iks". Melihat, misalnya, seperti ini: . Seperti seri angka, apakah seri fungsional dapat dicat dengan tampilan menderu:
Yak bachite, semua anggota deret fungsional - tse fungsi.
Variasi paling populer dari seri fungsional tumpukan baris.
Baris langkah:
Langkah-langkah di dekatnya disebut sejumlah spesies
nomor de a 0, a 1, a 2, a n disebut koefisien berturut-turut, dan suku a n x n- Anggota barisan yang sedang tidur.
Area tempat tinggal baris negara bagian disebut makna impersonal x, yang deretnya konvergen.
Nomor R disebut jari-jari garis, seperti untuk | x|
Pantat 8. Baris Denmark
Dolіditi yogo zbіzhnіst di poin x= 1 saya x= 3, x= -2.
Pada x \u003d 1, deret yang diberikan diubah menjadi deret bilangan
Dolіdzhuєmo zbіzhnіst tsgo baris di belakang tanda d'Alembert. Maymo
tobto. seri konvergen.
Saat x \u003d 3, kami mengambil baris
Untuk membubarkan, ke apa yang tidak memenangkan tanda kemakmuran yang diperlukan berturut-turut
Pada x \u003d -2 diambil
Seluruh baris, seperti, mengikuti tanda Leibniz, bertemu.
Otze, pada intinya x= 1 saya x= -2. deret konvergen, tetapi dalam titik x= 3 bubar.
Susunan fungsi dasar hingga deret Maclaurin:
Pegangan Taylor untuk fungsi f(x) disebut negara di sebelah pikiran
Yakscho, a = 0, lalu kita ambil tetes terakhir ke deret Taylor
yang disebut pesanan Maclaurin.
Baris langkah dari interval tengah profitabilitas dapat membedakan dan mengintegrasikan skala dengan cara yang baik, dan penghapusan baris dapat menjadi interval keuntungan yang sama dengan baris luar.
Dua baris bertumpuk dapat ditambahkan dan dikalikan suku demi suku sesuai dengan aturan melipat dan mengalikan suku kaya. Dalam hal terjadi pergaulan bebas dari barisan baru yang dimenangkan, mereka melarikan diri dari bagian utama pergaulan bebas dari barisan akhir pekan.
Untuk perluasan fungsi ke deret Maclaurin, diperlukan:
1) hitung nilai fungsi dan dari yang terakhir serupa pada titik x= 0, lalu. , , .
8. Susun fungsi hingga deret Maclaurin.
Tujuan dari seri numerik adalah bahwa yoga zbіzhnostі.
Tanda keselamatan yang diperlukan
Ayo - urutan angka yang tidak ada habisnya.
Janji temu. viraz
, (1)
jika tidak, apa yang sama, mereka disebut numerik dekat, Dan angka https://pandia.ru/text/79/302/images/image005_146.gif" width="53" – anggotanya rendah. Anggota dengan nomor yang benar disebutn-m, atau anggota tidur berturut-turut.
Dengan sendirinya, tidak ada rasa numerik yang sama (1), pecahan, menghitung jumlah, tetapi itu bisa benar hanya dengan jumlah akhir dodankiv. Hargai viraz paling alami dengan cara ini.
Biarkan baris (1) diberikan.
Janji temu. sumananggota pertama berturut-turut
ditelepon n -jumlah pribadi ke-th baris. Mari kita buat urutan jumlah pribadi:
3 angka yang tak tergantikannjumlah daedal diasuransikan lebih dari anggota baris. Untuk itu masuk akal untuk memberikan janji seperti itu.
Janji temu. Yakshcho snuє kіntseva antara urutan jumlah pribadi disebut yogo disebut yogo tas.
Seberapa penting 2) seberapa penting. Dalam kedua vipadka, katakan bahwa sejumlah sumi tidak bisa.
Contoh 1. Mari kita lihat rangkaian lipatan anggota barisan geometri:
, (2)
de - disebut anggota pertama dari perkembangan, dan bagian dari jumlah baris dengan ukuran font: 14.0pt "> Zvіdsi:
1) yakscho, lalu
yaitu, deret deret geometri konvergen dan jumlah.
Zokrema, yakcho 
, baris 
konvergen dan jumlah yogo.
Selain itu, juga konvergen dan yogo sum.
2) yakscho, lalu 
, sehingga baris (2) divergen.
3) lalu baris (2) terlihat seperti font-size:14.0pt"> i
, maka deret divergen(dengan font-size:18.0pt">) .
4) yakscho. Untuk baris yang mana
https://pandia.ru/text/79/302/images/image038_28.gif" width="253" height="31 src=">,
tobto..gif" width="67" height="41"> tidak tahu, otzhe, barisnya juga berbeda(Pada).
Perhitungan sumi berturut-turut tanpa perantara untuk pengangkatan sudah tidak praktis karena sulitnya menghitung secara eksplisit private sum dan signifikansi di antara mereka secara berurutan. Ale, seperti yang ditetapkan, bahwa deret itu konvergen, jumlah ini dapat dihitung kira-kira, untuk itu, dari penunjukan antar-urutan jejak, itu untuk dosis besar. Untuk itu, dengan baris yang sudah selesai, itu sudah cukup
1) bangsawan menerima, scho mengizinkan menyatakan zbіzhnist rendah tanpa sepengetahuan yogo sumi;
2) ingat untuk menandakanfont-size:14.0pt">.gif" width="16 height=24" height="24"> tepatnya.
Efisiensi deret numerik ditetapkan dengan bantuan teorema, yang disebut tanda-tanda efisiensi.
Tanda wajib hidup
Jika deret tersebut konvergen, maka suku terakhir sama dengan nol, yaitu divergen.
pantat 2. Ciutkan baris 0 style="border-collapse:collapse">
;
;
;
.
Larutan.
A.) putus.
dan bahwa sejumlah berbeda. Saat menang menang, keajaiban lain
batas: 
(Bagian laporan).
B) font-size:14.0pt">, jadi urutannya
- Tanpa keraguan
kecil. Tips untuk ukuran font:14.0pt">~ (div. ), lalu
~ .Vrakhovuuchi tse, kami mengambil:
Otzhe, sejumlah bubar.
D) ukuran font: 14.0pt">,
Otzhe, sejumlah bubar.
Umov 
є diperlukan, bir putih tidak cukup perhatian baris: ada baris impersonal, untuk itu, tapi yakі tim tidak bubar kurang.
contoh 3. Ubah ukuran baris font-size: 14.0pt"> Larutan. Kami menghormati itu https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif" width="119" height="59 src="> , yaitu, kebutuhan akan kesehatan mental adalah vikonano. jumlah Chastkov
kiri">
- sekali
lalu font-size:14.0pt">, dan tse berarti bahwa baris menyimpang melebihi batas.
Tanda-tanda yang cukup dari baris tanda-positif zbіzhnosti
Ayo. Baris yang samaukuran font: 14.0pt"> Tanda keselarasan
Ayo dan ta adalah baris bertanda positif. Adapun semua, ada ketidakrataan, baris zbіzhnosti itu viplyaє zbіzhnіst baris, yakshcho z razbіzhnostі baris lebar = "55"
Tanda ini hilang dalam kekuatan, seperti inkonsistensi, tetapi lebih seperti memperbaiki dari nomor saat ini. Yoga dapat ditafsirkan dengan urutan yang mendekat: jika baris yang lebih besar menyatu, maka baris yang lebih kecil lebih konvergen, jika baris yang lebih kecil menyimpang, maka yang lebih besar juga menyimpang.
pantat 4. Margin Ciutkan Rendah 0 " style="margin-left:50.4pt;border-collapse:collapse">
;
Larutan.
A) Dengan hormat, apa yang untuk semua orang 
. baris
berkumpul untuk tanda persetujuan.
B) Baris demi baris ..gif width = "91" height = "29 src = ">. bubar, otzhe, seluruh baris juga bubar.
Terlepas dari kesederhanaan formulasi, tanda-tanda kesetaraan, dalam praktiknya, sebuah teorema akan datang, yang merupakan yang terakhir.
tanda batas
Ayo https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif" width="53" height="60 src="> - baris tanda positif. kіntsevyі tidak sama dengan nol batas, lalu menyinggung baris i
konvergen sekaligus atau bubar sekaligus.
Seperti barisan yang menang untuk paritas dengan danim, sering memilih deretan spesies 
. Rangkaian seperti itu disebut Pesanan Dirichlet. Pada butt 3 dan 4, ditunjukkan bahwa baris Dirichle z dan divergen. Bisakah kamu pergi?
.
Yakscho, lalu baris 
ditelepon harmonis. Seri harmoni untuk menyimpang.
Contoh 5. Lanjutkan ke baris zbіzhnistuntuk bantuan, tanda batasnya sama, seperti
|
|
|
;
;
;
Larutan. a) Jadi bagaimana cara mendapatkan yang hebat http://www.pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif"
~ , maka 
~ font-size:14.0pt">dipasangkan dengan baris harmoni zim font-size:14.0pt">, lalu .
Oskіlki antara kіntseva dan vіdmіnna vіd nol i harmoniyny baris divergen, kemudian divergen dan deret tertentu.
B) Tambahkan great width="111" width="119" height="31 src=">.gif" width="132" height="64 src="> - anggota utama rangkaian, yang akan kita gunakan peringkat yang diberikan:
Deret konvergen ( Baris Dirichlet dengan ukuran font:16.0pt">)sehingga seluruh deret konvergen.
v) 
untuk itu sangat kecil font-size:14.0pt">Anda bisa
ganti dengan nilai yang setara(https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> dengan ukuran font: 20.0pt">). ;
;
;
G)
;
.
Berikan tugas seri bilangan positif $sum_(n=1) ^\infty a_n$. Kami merumuskan tanda profitabilitas yang diperlukan berturut-turut:
- Jika deret tersebut konvergen, suku interimnya sama dengan nol: $$ \lim _(n \to \infty) a_n = 0 $$
- Jika batas antara suku pertama dari deret tersebut tidak sama dengan nol, deret tersebut divergen: $$ \lim _(n \to \infty) a_n \neq 0 $$
Baris Harmonis
Baris Tsey tulis dengan cara ini $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n^p) $. Selain itu, deret $ p $ bera konvergen dan divergen:
- Jika $ p = 1 $, maka deret $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n) $ divergen dan disebut harmonis, terlepas dari suku terakhir $ a_n = \frac( 1)( n) \ke 0$. Kenapa begitu? Sehubungan dengan itu, dikatakan bahwa tanda yang diperlukan tidak memberikan bukti tentang pendapatan, tetapi hanya tentang pendapatan rendah. Untuk itu, seolah-olah ada tanda yang cukup, seperti tanda integral Kosh, maka akan menjadi jelas bahwa barisnya akan menyimpang!
- Jika $p \ leqslant 1 $, maka deret tersebut divergen. Bokong, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n)) $, di mana $ p = \frac(1)(2) $
- Jika $p > 1 $, maka deret tersebut konvergen. Bokong, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n^3)) $, di mana $ p = \frac(3)(2) > 1 $
Terapkan solusi
| pantat 1 |
| Perluas deret $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(n)(6n+1) $ |
| Larutan |
|
Sejumlah istilah zagalny positif yang dapat ditulis: $$ a_n = \frac(n)(6n+1) $$ Menghitung antara di $n\to\infty$: $$ \lim _(n \ke \infty) \frac(n)(6n+1) = \frac(\infty)(\infty) = $$ Salahkan belenggu $ n $ pada pembuat spanduk, dan kemudian kami bersumpah pada puasa baru: $$ = \lim_(n \ke \infty) \frac(n)(n(6+\frac(1)(n))) = \lim_(n \ke \infty) \frac(1)(6 + \frac(1)(n)) = \frac(1)(6) $$ Jika batu diambil, bahwa $ \lim_(n\to \infty) a_n = \frac(1)(6) \neq 0 $, maka tanda Kosh yang diperlukan tidak dipukul dan baris menyimpang. Jika Anda tidak berani melanggar tugas Anda, maka paksa yoga di depan kami. Kami membutuhkan solusi yang lebih detail. Anda dapat mempelajari tentang kemajuan perhitungan dan mengambil informasinya. Tse dopomozhe setiap jam mengambil aula dari vikladach! |
| Vidpovid |
| Baris untuk bubar |
Tsya stattya terstruktur dan melaporkan informasi, karena mungkin dalam waktu yang baik untuk analisis hak dan tugas. Mari kita lihat topik seri angka.
Artikel tsya dimulai dengan fungsi utama untuk memahami. Kami memberikan opsi standar dan formula dasar vivimo. Untuk menutup materi, aplikasi utama telah dimasukkan ke dalam artikel.
Tesis dasar
Kami dapat mewakili sistem: a 1 , a 2 . . . , sebuah , . . . de a k R , k = 1 , 2 . . . .
Misalnya, ambil angka-angka berikut, seperti: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, . . . .
Janji 1
Deret bilangan adalah jumlah suku ak k = 1 = a 1 + a 2 + . . . + a n +. . . .
Untuk lebih memahami artinya, kita dapat melihat vipadok, yang q \u003d - 0. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 +. . . = k = 1 (- 16) · - 1 2 k .
Janji 2
sebuah k k-im anggota rendah.
Vіn terlihat seperti peringkat ini - 16 · - 1 2 k.
Janji 3
Jumlah Chastkov berturut-turut terlihat seperti ordo ini Sn = a1+a2+. . . + a n , yakіy n-Jadilah nomor. S n nth jumlahnya rendah.
Misalnya, k = 1 (- 16) · - 1 2 k S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 .
S 1 , S 2 , . . . , Sn , . . . urutan inkonsistensi utvoryuyut dari seri numerik.
berturut-turut tidak ada jumlah di belakang rumus S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 8 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 1 - - 1 2 n. Kemenangan, urutan jumlah pribadi akan datang: 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 1 - - 1 2 n , . . . .
Janji 4
Deret k = 1 a k serupa maka, jika barisan tersebut dapat menjadi akhir garis S = lim S n n → + . Jika tidak ada batas, atau barisan tidak terbatas, maka deret k = 1 a k disebut rozbіzhnym.
Janji 5
Sumy baris, apa yang harus pergi k = 1 a k
Untuk aplikasi ini lim S nn → + = lim 16 3 t → + 1 - 1 2 n = 16 3 lim n → + 1 - - 1 2 n = 16 3 , deret ∑ k = 1 (- 16) · - 1 2 k konvergen. Jumlahnya mahal 16 3: k = 1 (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .
pantat 1
Sebagai pantat baris rozbіzhny, Anda dapat menempatkan jumlah deret geometri dengan spanduk yang lebih besar, yang lebih rendah: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2n - 1 +. . . = k = 1 2 k - 1 .
na bagian jumlah ditentukan oleh virusse S n = a 1 (1 - qn) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1, dan jumlah antar bagian tidak terbatas: lim n → + S n = lim n → + (2 n - 1) = + .
Contoh lain dari deret bilangan acak adalah jumlah dari bentuk k = 1 5 = 5 + 5 + . . . . Untuk akun n ini, jumlah pribadi dapat dihitung sebagai S n = 5 n . Jumlah antar-parsial tidak terbatas lim n → + S n = lim n → + 5 n = + .
Janji 6
Jumlah dari bentuk ini adalah yak k = 1 = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1n +. . . – ce harmonis baris nomor.
Janji 7
Jumlah k = 1 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1ns + . . . , de S- nomor decisne, zagalnen oleh baris numerik harmonik.
Janji temu, dilihat lebih lanjut, akan membantu Anda membuat lebih banyak aplikasi dan pesanan.
Untuk menyelesaikan penunjukan, perlu untuk menyamakan garis.
- k = 1 1 k
Diemo dengan metode pembalikan. Jika anggur bertemu, maka perbatasannya kurus. Anda dapat menulis sama dengan lim n → + S n = S dan lim n → + S 2 n = S . Setelah bernyanyi, keseimbangan terobsesi l i m n → + (S 2 n - S n) = 0 .
Navpaki,
S 2 n - S n \u003d 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1n + 1n + 1 + 1n + 2 +. . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1n = 1n + 1 + 1n + 2 +. . . + 1 2 n
Inkonsistensi yang wajar adalah 1 n + 1 > 1 2 n , 1 n + 1 > 1 2 n . . . 1 2 n - 1 > 1 2 n . Keluarlah, S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n +. . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . Viraz S 2 n - S n > 1 2 untuk mengatakan bahwa lim n → + (S 2 n - S n) = 0 di luar jangkauan. Sejumlah rozbіzhny.
- b1+b1q+b1q2+. . . + b 1 q n +. . . = k = 1 b 1 q k - 1
Perlu untuk mengkonfirmasi bahwa jumlah urutan angka pada q< 1 , и расходится при q ≥ 1 .
Zgіdno dengan bantuan orang yang ditunjuk, jumlah n anggota bergantung pada rumus S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 .
Yakscho q< 1 верно
lim n → + S n = lim n → + b 1 qn - 1 q - 1 = b 1 lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1
Kami membawa bahwa seri angka konvergen.
Untuk q = 1 b 1 + b 1 + b 1 +. . . k = 1 b 1 . Sumi dapat diketahui dari rumus tambahan S n = b 1 · n , antar tak hingga lim n → + S n = lim n → + b 1 · n = . Dalam varian ini, barisnya menyimpang.
Yakscho q = - 1 barisnya terlihat seperti b 1 - b 1 + b 1 - . . . = k = 1 b 1 (-1) k + 1 . Seringkali jumlah terlihat seperti S n = b 1 untuk tidak berpasangan n, i S n = 0 untuk cowok n. Melihat vipadok ini, kami menilai kembali bahwa tidak ada celah dan sejumlah perbedaan.
Untuk q > 1, lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 (qn - 1) q - 1 = b 1 lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + 1 q - 1 = = b 1 - 1 q - 1 =
Mi membawa, seri nomor scho menyimpang.
- Deret k = 1 1 k s konvergen sehingga s > 1 dan divergen, sehingga s 1 .
Untuk s = 1 kita ambil k = 1 1 k , deret divergen.
Untuk S< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k ,bilangan asli. Baris Oskіlki razbіzhnym k = 1 1 k , maka tidak ada perbedaan. Selain itu, barisan k = 1 1 k s tidak dibatasi. Robimo wisnovok S< 1 .
Perlu dibuktikan bahwa deret k = 1 1 k s konvergen jika s > 1.
Bayangkan S 2 n - 1 - S n - 1:
S 2 n - 1 - S n - 1 \u003d 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s + 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s = 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1(2n - 1)s
Asumsikan bahwa 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1
Persamaan yang dapat diwakilkan untuk bilangan asli dan sama n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .
Kami ambil:
k = 1 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s +. . . + 1 7 detik + 1 8 detik +. . . + 1 15 detik +. . . \u003d \u003d 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +. . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .
Viraz 1 + 1 2 d - 1 + 1 2 d - 1 2 + 1 2 d - 1 3 +. . . - Jumlah kemajuan geometrik q = 1 2 s - 1 . Zgіdno dengan vihіdnimi dannym at s > 1, lalu 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 zbіlshuєtsya dan berbaur dengan binatang 11-12s-1. Jelas, antara dan baris k = 1 1 k s .
Janji 8
Deret k = 1 a k positif untuk orang itu, sehingga suku > 0 ak > 0 , k = 1 , 2 , . . . .
Deret k = 1 b k tanda digambar seolah-olah tanda-tanda angka adalah vіdrіznyayutsya. Penerapan representasi Denmark yak k = 1 bk = k = 1 (-1) k ak atau k = 1 bk = k = 1 (-1) k + 1 ak , de ak > 0 , k = 1, 2,. . . .
Deret k = 1 b k akrab, untuk itu dalam sejumlah angka baru, negatif dan positif.
Opsi lainnya adalah baris – baris terakhir dari opsi ketiga.
Mari kita pakai untuk retraksi kulit:
6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .
Untuk opsi ketiga, dimungkinkan juga untuk menunjuk kenyamanan mental yang mutlak.
Janji 9
Deret bolak-balik k = 1 b k benar-benar gagal jika k = 1 b k juga dianggap serupa.
Kabarnya, kami menganalisis sprat opsi karakteristik
pantat 2
Yakscho baris 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . saya 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . muncul mirip, lalu masukkan dengan benar 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 +. . .
Janji 10
Deret yang sudah dikenal k = 1 b k dianggap serupa secara mental dengan deret itu, karena k = 1 b k berbeda, dan deret k = 1 b k dianggap serupa.
pantat 3
Kami melaporkan opsi k = 1 (-1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . . Deret k = 1 (- 1) k + 1 k = k = 1 1 k , yang terdiri dari nilai absolut, dipilih sebagai varian. Opsi ini penting untuk dilakukan, jadi mudah untuk mengetahuinya. Dari contoh pertama, kita mengetahui bahwa deret k = 1 (-1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . Bude vvazhatisya mental serupa.
Ciri-ciri barisan yang konvergen
Mari kita menganalisis kekuatan untuk suasana hati bernyanyi
- Jika k = 1 a k akan konvergen, maka deret ke-th k = m + 1 a k juga diakui konvergen. Anda dapat menentukan baris mana tanpa M anggota juga dianggap serupa. Dalam vipadku, jika kita menambahkan angka k = m + 1 a k kіlka, maka hasilnya, yaitu viishov, juga akan serupa.
- Bagaimana k = 1 a k konvergen i sum = S, maka konvergen i deret k = 1 A a k , k = 1 A a k = A S , de SEBUAH- Tinggal.
- Bagaimana k = 1 a k dan k = 1 b k serupa, sumi SEBUAHі B tezh, baris-baris itu k = 1 a k + b k i k = 1 a k - b k juga konvergen. Sumi dorivnyuvatimut A+Bі A-B jelas sekali.
Tentukan deret mana yang keluar k = 1 2 3 k · k 3 .
Mari kita ubah k = 1 2 3 k · k 3 = k = 1 2 3 · 1 k 4 3 . Baris k = 1 1 k 4 3 dianggap serupa, tetapi baris k = 1 1 k s berbunyi pada s > 1. Bergantung pada pangkat lain, k = 1 2 3 · 1 k 4 3 .
pantat 5
Biarkan deret n = 1 3 + n n 5 2 konvergen.
Varian tongkol reversibel ∑ n = 1 3 + n n 5 2 = n = 1 3 n 5 2 + n n 2 = n = 1 3 n 5 2 + n = 1 .
Kita kurangi jumlah n = 1 3 n 5 2 dan n = 1 1 n 2 . Seri kulit diakui sedemikian rupa sehingga dimungkinkan untuk turun ke otoritas. Pecahan baris bertemu, maka opsi keluarnya sama.
pantat 6
Hitung bagaimana deret 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + konvergen. . . dan menghitung jumlahnya.
Opsi keluar:
1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . == 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +. . . - 2 3 + 1 + 1 3 + 1 9 +. . . = = k = 1 1 2 k - 1 - 2 k = 1 1 3 k - 2
Seri kulit bertemu, pecahan adalah salah satu anggota dari urutan numerik. Vіdpovіdno ke kekuasaan ketiga, kita dapat menghitung, varian scho vihіdny juga serupa. Jumlahnya dihitung: Suku pertama deret tersebut adalah k = 1 1 2 k - 1 = 1, dan standarnya = 0 . 5 , maka berikut, k = 1 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. Suku pertama k = 1 1 3 k - 2 = 3 , dan tanda barisan bilangan menurun = 1 3 . Kita ambil: k = 1 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .
Vikoristovuєmo virazi, otrimani lebih banyak, untuk menghitung jumlah 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . = k = 1 1 2 k - 1 - 2 k = 1 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7
Kecerdasan yang diperlukan untuk penunjukan, chi sejumlah serupa
Janji 11Jika deret k = 1 ak sebangun, maka k-th suku = 0 : lim k → + a k = 0 .
Jika kita ingin memercayainya, apakah itu varian, perlu untuk tidak melupakan pikiran non-otentik. Jika tidak menang, barisan akan bubar. Seperti lim k → + a k 0 , deretnya berbeda.
Selanjutnya, tentukan apa pikiran itu penting, tetapi itu tidak cukup. Karena persamaan lim k → + a k = 0 menang, tidak menjamin bahwa k = 1 a k serupa.
Mari kita beri contoh. Untuk deret harmonik k = 1 1 k, Umoff vikonuetsya lim k → + 1 k = 0 , tetapi deret tersebut masih divergen.
pantat 7
Hitung efisiensi n = 1 n 2 1 + n .
Mari kita pertimbangkan kembali lim n → + n 2 1 + n = lim n → + n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + 0
mezha nth anggota tidak baik 0 . Mi membawa, baris scho tsey untuk membubarkan.
Cara menentukan deret tanda positif zbіzhnst.
Bagaimana terus-menerus memberi peringkat dengan tanda-tanda yang ditetapkan, untuk dapat terus-menerus menghitung batas. Tsej razdіl ditambahkan untuk membantu menyelundupkan pіd jam vypіshennya priklіv zavdan itu. Untuk menentukan baris tanda positif zbіzhnіst, snuє pevna umova.
Untuk tanda positif k = 1 a k , ak > 0 k = 1 , 2 , 3 , . . . Hal ini diperlukan untuk menghitung jumlah jumlah.
Peringkat Yak porivnyuvati
snuє kіlka adalah tanda perataan baris. Mi porіvnyuєmo row, zbіzhnst kakogo proponuetsya vznáchiti, z tim near, zbіzhnіst yak vіdoma.
Tanda Persha
k = 1 a k dan k = 1 b k - deret tanda positif. Ketidakrataan a k b k berlaku untuk k = 1, 2, 3, ... Kita dapat mengambil k = 1 a k dalam deret k = 1 b k . Oskіlki k = 1 a k divergen, deret k = 1 b k dapat diambil sebagai divergensi.
Aturan ini terus-menerus dibenarkan untuk kesempurnaan kesetaraan dan merupakan argumen serius yang akan membantu Anda menandakan zbіzhnist. Skladnoshchi dapat berbohong pada kenyataan bahwa Anda perlu mengambil pantat untuk porivnyannya Anda bisa tahu jauh dari depresi kulit. Untuk menyelesaikan sering nomor dipilih sesuai dengan prinsip k-th anggota dorіvnyuvatime untuk hasil vіdnіmannya pokaznіvіv stаіnіv staіv nіdnik znamennik k-th anggotanya rendah. Dapat diterima bahwa a k \u003d k 2 + 3 4 k 2 + 5 2 – 3 = - 1 . Dalam hal ini, Anda dapat menentukan baris mana yang diperlukan untuk penyelarasan k-im anggota b k = k - 1 = 1 k, yang serasi.
Untuk menutup materi, mari kita lihat beberapa opsi tipikal secara mendetail.
pantat 8
Signifikan, yakim adalah deret k = 1 1 k - 1 2 .
Pecahan antara = 0 lim k → + 1 k - 1 2 = 0 Ketidakrataan akan adil 1 k< 1 k - 1 2 для k , ya alami. Dari paragraf sebelumnya, kita mengetahui bahwa deret harmonik k = 1 1 k berbeda. Dengan tanda pertama, dapat diketahui bahwa opsi terakhir adalah rozbіzhnym.
pantat 9
Signifikan, chi baris serupa atau berbeda k = 1 1 k 3 + 3 k - 1 .
Untuk pantat mana ada kebutuhan untuk kecerdasan, pecahan lim k → + 1 k 3 + 3 k - 1 = 0 . Sajikan saat melihat ketidakrataan 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения k. Deret k = 1 1 k 3 sebangun, tetapi deret harmonik k = 1 1 k s konvergen ketika s > 1. Zgidno dengan tanda pertama, kita dapat membuat visnovok, bahwa seri angkanya mirip.
pantat 10
Vznachiti, yakim deret k = 3 1 k ln (ln k) . lim k → + 1 k ln (ln k) = 1 + + = 0 .
Untuk siapa, semua pilihan bisa disebut vikonannya diperlukan pikiran. Secara signifikan sejumlah perbedaan. Misalnya, k = 1 1 k s . Untuk menentukan mengapa kaki itu baik, kita dapat melihat barisan (ln (ln k)), k = 3, 4, 5. . . . Anggota barisan ln (ln 3), ln (ln 4), ln (ln 5),. . . zbіshuєtsya hingga tak terbatas. Setelah dianalisis persamaannya, dapat disimpulkan bahwa, dengan mengambil peran nilai N = 1619, maka suku barisan > 2. Untuk barisan ini, pertidaksamaan 1 k ln (ln k) akan valid< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.
Lencana lain
Asumsikan bahwa k = 1 a k dan k = 1 b k adalah deret numerik bertanda positif.
Jika lim k → + a k b k ∞ , maka deret k = 1 b k konvergen, i k = 1 a k konvergen juga.
Jika lim k → + a k b k 0 , jika deret k = 1 b k divergen, maka k = 1 ak juga divergen.
Jika lim k → + a k b k i lim k → + a k b k 0 , maka banyaknya selisih deret berarti banyaknya selisih deret yang lain.
Mari kita lihat k = 1 1 k 3 + 3 k - 1 untuk tanda lainnya. Untuk penjajaran k = 1 b k ambil deret k = 1 1 k 3 . Signifikan antara: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1
Dengan tanda lain, dapat ditunjukkan bahwa deret k = 1 1 k 3 yang konvergen berarti varian tongkol juga konvergen.
pantat 11
Secara signifikan, yakim adalah deret n = 1 k 2 + 3 4 k 3 + 5 .
Mari kita analisis pikiran yang diperlukan lim k → k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 , karena dalam varian ini ia menang. Serupa dengan tanda lain, ambil deret k = 1 1 k . Shukaєmo antara: lim k → + k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k →
Zgіdno dengan tesis pemandu, barisan yang menyimpang, memisahkan diri dalam deretan pintu keluar.
tanda ketiga
Mari kita lihat tanda ketiga dari istirahat.
Asumsikan bahwa k = 1 a k dan _ k = 1 b k adalah deret numerik bertanda positif. Jika kita memikirkan bilangan a k + 1 a k b k + 1 b k , maka efisiensi deret ini k = 1 b k berarti deret k = 1 ak juga serupa. Baris Razbіzhny k = 1 a k tarik di belakangnya razbіzhnіst k = 1 b k .
Tanda d'Alembert
Asumsikan bahwa k = 1 a k adalah deret bilangan bertanda positif. Berapa lim k → + a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1 maka mari kita memecahnya.
Hormati 1
Tanda d'Alembert adil untuk sikap itu, karena perbatasannya tidak sempit.
Jika lim k → + a k + 1 a k = - , maka deret sebangun, jika lim k → ak + 1 ak = + , maka kita bagi.
Jika lim k → + ak + 1 ak = 1 , maka tanda d'Alembert tidak membantu dan perlu dilakukan penelitian lebih lanjut.
pantat 12
Signifikan, chi baris serupa atau berbeda k = 1 2 k + 1 2 k di belakang tanda d'Alembert.
Hal ini diperlukan untuk mempertimbangkan kembali, apa yang dibutuhkan untuk memenangkan pikiran. Mari kita hitung jaraknya, menggunakan aturan Lopital: lim k → + 2 k + 1 2 k = ∞ = lim k → + 2 k + 1 "2 k" = lim k → + 2 2 k ln 2 = 2 + log 2 = 0
Kita bisa berbicara tentang apa yang dimenangkan oleh pikiran. Menggunakan tanda d'Alembert: lim k → + = lim k → + 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1
Baris serupa.
pantat 13
Secara signifikan, chi deretan sembarang k = 1 k k k ! .
Kami menggunakan tanda d'Alembert untuk menunjukkan perbedaan dalam deret: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + (k + 1) k + 1 (k + 1) ! kk! = lim k → + (k + 1) k + 1 k! k k · (k + 1)! = lim k → + (k + 1) k + 1 kk (k + 1) = = lim k → + (k + 1) kkk = lim k → + ∞ k + 1 kk = lim k → + ∞ 1 + 1 kk = e > 1
Otzhe, sejumlah razbіzhnim.
Tanda radikal Kosh
Ada kemungkinan bahwa k = 1 a k adalah deret non-positif. Berapa lim k → + a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1 maka mari kita memecahnya.
Hormat 2
Jika lim k → + ak k k = 1, maka tanda ini tidak memberikan informasi apa pun - perlunya analisis tambahan.
Tanda Tsya bisa menjadi buti vikoristan di pantat, yakі dengan mudah vyznachiti. Vipadok akan menjadi karakteristik hanya jika anggota dari seri numerik - tse menunjukkan viraz megah.
Untuk menutup informasi otriman, mari kita lihat contoh contoh karakteristik.
pantat 14
Signifikan, chi adalah deret positif k = 1 1 (2 k + 1) k pada sebangun.
Dibutuhkan pikiran untuk dihormati oleh vikonan, pecahan lim k → + 1 (2 k + 1) k = 1 + + = 0 .
Melihat tanda, melihat melalui mata, kita dapat mengasumsikan lim k → + a k k = lim k → + 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . Данный ряд является сходимым.
pantat 15
Chi deret bilangan sebangun k = 1 1 3 k · 1 + 1 k k 2 .
Tanda Vikorist, dijelaskan dalam paragraf sebelumnya lim k → + 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.
Tanda integral dari Koshi
Asumsikan bahwa k = 1 ak adalah deret tanda positif. Hal ini diperlukan untuk menunjuk fungsi dari argumen non-permanen y = f(x), Apa yang sedang berjalan a n = f (n) . Yakscho y = f(x) lebih besar dari nol, tidak pecah dan berubah menjadi [a; + ) , di mana a 1
Artinya, jika integral tak konsisten a + f (x) d x serupa, maka deret analisis juga konvergen. Jika anggur dipisahkan, maka di bagian pantatnya juga dipisahkan.
Saat membalikkan fungsi yang diubah, Anda dapat meninjau materi yang ditinjau dalam pelajaran sebelumnya.
pantat 16
Lihatlah stok k = 2 1 k · ln k untuk kelayakan.
Perhatian penuh berturut-turut dihormati oleh vikonan, penskalaan lim k → + 1 k · ln k = 1 + = 0 . Mari kita lihat y = 1 x ln x. Won lebih besar dari nol, tidak mengganggu dan berubah menjadi [2; +∞). Dua paragraf pertama sudah ditentukan sebelumnya, dan pada paragraf ketiga berikutnya, ada laporan. Kita tahu lebih baik: y "= 1 x ln x" = x ln x "x ln x 2 = ln x + x 1 xx ln x 2 = - ln x + 1 x ln x 2. Menang lebih sedikit untuk nol pada [ 2 ; + ) Tidak perlu membawa tesis tentang yang fungsinya membusuk.
Nah, fungsi y = 1 x · ln x menunjukkan tanda-tanda dari prinsip yang telah kita lihat lebih lanjut. Mempercepatnya: 2 + ∞ dxx ln x = lm A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ln (ln x) 2 A = = lim A → + (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+∞)) - ln (ln 2) = +
Vіdpovіdno sampai hasil otrimanih, pantat vyhіdny menyimpang, pecahan integrasi yang tidak sehat razbіzhnym.
pantat 17
Perpanjang deret k = 1 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 .
Oskіlki lim k → + 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + = 0, maka Umov dihormati oleh vikonana.
Mulai dari k = 4 , virniy viraz 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .
Jika deret k = 4 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 dianggap sebangun, maka, menurut salah satu prinsip penjajaran, deret k = 4 1 ( 10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 juga bisa serupa. Di peringkat ini, kita dapat menandakan bahwa viraz saat ini juga serupa.
Lanjutkan untuk membuktikan k = 4 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .
Fungsi skala y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 lebih besar dari nol, jangan putus dan ubah ke [ 4 ; +∞). Tanda Vikoristovuemo, dijelaskan di paragraf depan:
4 + ∞ dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = lim A → + 4 A dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + 1 (ln (5 x + 8)) 2 |4 A = = - 1 10 lim A → + 1 (ln (5 A + 8)) 2 - 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = = - 1 10 1 + - 1 (ln 28) 2 = 1 10 Dalam 28 2
Dalam deret yang lebih pendek, 4 + ∞ dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 , kita dapat menemukan bahwa k = 4 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8 ) )) 3 juga konvergen.
Oznaka Raabe
Ada kemungkinan bahwa k = 1 a k adalah deret bilangan bertanda positif.
Yakscho lim k → + k ak a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, kemudian konvergen.
Metode penunjukan Denmark dapat menang dalam kasus itu, karena teknik yang dijelaskan tidak memberikan hasil yang terlihat.
Doslіdzhennya pada zbіzhnіst . mutlak
Untuk sisanya, kita ambil k = 1 b k. Tanda positif vikorist k = 1 b k. Kita bisa vikoristovuvat be-yak z vіdpovіdnyh tanda, yakі kami jelaskan lebih lanjut. Jika deret k = 1 b k konvergen, maka deret aslinya benar-benar mirip.
pantat 18
Lanjutkan deret k = 1 (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 ke kiri k = 1 (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 1 3 k3 + 2k-1.
Umovu vikonuetsya lim k → + 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + = 0 . Vikoristovo k = 1 1 k 3 2 saya mempercepat dengan tanda lain: lim k → + 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .
Deret k = 1 (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 konvergen. Baris luar juga sangat mirip.
Razbіzhnіst znazmіnіh ryadі
Sama seperti deret k = 1 b k berbeda, maka deret tanda familiar yang sama k = 1 b k juga berbeda atau serupa secara mental.
Alih-alih tanda d'Alembert dan tanda Cauchy radikal, adalah mungkin untuk melengkapi vysnovki tentang k = 1 b k untuk perluasan modul k = 1 b k . Deret k = 1 b k juga divergen, sehingga kelayakan mental yang diperlukan tidak menang, sehingga lim k → + b k 0 .
pantat 19
Variabilitas terbalik 1 7 , 2 7 2 , - 6 7 3 , 24 7 4 , 120 7 5 - 720 7 6 , . . . .
Modul k-th anggota representasi ak b k = k! 7k
Lanjutkan deret k = 1 b k = k = 1 k! 7 k di tepi di luar tanda d'Alembert: lim k → + b k + 1 b k = lim k → + (k + 1) ! 7k + 1k! 7 k = 1 7 limk → + (k + 1) = + .
k = 1 b k = k = 1 k ! 7 k bubar seperti saya, seperti saya keluar dari opsi.
pantat 20
Chi k = 1 (-1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) serupa.
Mari kita lihat teori Umov yang diperlukan lim k → + ∞ bk = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + = k 2 + 1 "(ln (k + 1))" = = lim k → + 2 k 1 k + 1 = lim k → + 2 k (k + 1) = + . Umov bukan Vikonan, jadi k = 1 (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) adalah deret ekspansi. Batas bula dihitung menurut aturan Lopital.
Tanda-tanda kesehatan mental
Tanda Leibniz
Janji 12Sebagai ukuran anggota deret yang ditarik, ubah b 1 > b 2 > b 3 >. . . >. . . antar modul = 0 as k → + , maka deret k = 1 b k berjalan.
pantat 17
Perhatikan k = 1 (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) untuk peluangnya.
Deret representasi yak k = 1 (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = k = 1 2 k + 1 5 k (k + 1) . Kebutuhan umova lim k + = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Mari kita lihat k = 1 1 k di belakang tanda pemerataan yang lain lim k → + 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5
Ada kemungkinan bahwa k = 1 (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = k = 1 2 k + 1 5 k (k + 1) divergen. Deret k = 1 (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) konvergen setelah tanda Leibniz: barisan 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10 , 2 2 + 1 5 2 (2 + 1) = 5 30 , 2 3 + 1 5 3 3 + 1, . . . perubahan i lim k → + = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .
Sejumlah mental berkumpul.
Tanda Abel-Dirichlet
Janji 13k = 1 + u k · v k berhenti pada titik itu, karena ( u k ) tidak bertambah, dan barisan k = 1 + v k terbatas.
pantat 17
Lanjutkan 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . untuk kenyamanan.
terlihat
1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = k = 1 u k v k
de(u k) = 1, 1 2, 1 3,. . . - Tidak stabil, dan barisan (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2,. . . berpohon (S k ) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0,. . . . Sejumlah konvergen.
Bagaimana Anda mengingat pengampunan dalam teks, bersikap baik, melihatnya dan tekan Ctrl + Enter
