Baris operator untuk Taylor. Distribusi fungsi pada baris state

Vivchayuchim saya mencari matematika bersalah karena dilihat sebagai jumlah dari apa yang merupakan baris yang megah, yaitu untuk mempertahankan interval kepentingan yang diberikan kepada kita oleh baris, untuk muncul tanpa gangguan dan dalam jumlah yang tidak terbatas fungsi yang dibedakan. Memenangkan makanan: apa yang bisa dilakukan, mengapa fungsi f (x) diberikan - harga baris negara bagian? Menurut pendapat apa fungsi f (x) dapat digambarkan oleh keadaan di sebelahnya? Pentingnya makanan tersebut adalah dalam kenyataan bahwa adalah mungkin untuk menggantikan fungsi f (x) dengan jumlah anggota desimal pertama dari deret keadaan, sehingga untuk berbicara dengan polinomial. Penggantian fungsi seperti itu dapat dicapai dengan viraz sederhana - dikantongi - secara manual dan dalam kasus tindakan viral karyawan juga: dalam kasus integrasi virus, jika dihitung, dll.

Telah dibawa bahwa untuk nyanyian f-ії f (x), di mana dimungkinkan untuk menghitung yang sebelumnya ke (n + 1) -th order, termasuk sisanya, di pinggiran (α - R; x 0 + R) dari titik x = wajar rumus:

Rumus Qia dipakai dengan nama Brook Taylor. Baris, yang diambil dari depan, disebut baris Maclaurin:

Aturan, ya, saya bisa menyusun seri Maclaurin:

1. Visnachiti kalah pertama, kedua, ketiga ... urutan.
2. Hitung nilai asli x = 0.
3. Tuliskan deret Maclaurin untuk keseluruhan fungsi, sehingga interval bisnis Anda menjadi penting.
4. Nilainya adalah interval (-R; R), bagian de-excess dari rumus Maclaurin

R n (x) -> 0 untuk n -> non-terminasi. Karena itu, fungsi f (x) yang harus disalahkan untuk garis Maclaurin.

Sekarang, rangkaian fungsi Maclaurin terlihat.

1. Otzhe, pertama, f (x) = e x. Jelas, karena kekhasannya, f-s seperti itu dapat menjadi orde lama yang tidak spesifik, apalagi, f (k) (x) = e x, de k diakui x = 0. Otrimaєmo f (k) (0) = e 0 = 1, k = 1, 2 ...

2. Deret Maclaurin untuk fungsi f (x) = sin x. Segera, diklarifikasi bahwa f-s untuk semua matematika yang tidak dapat dicapai, sebelum f "(x) = cos x = sin (x + n / 2), f" "(x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) ..., f (k) (x) = sin (x + k * n / 2), de k menjadi bilangan asli... Jadi, setelah memecahkan daftar nama yang canggung, kita dapat membuat polanya, tetapi deret untuk f (x) = sin x akan berbentuk berikut:

3. Sekarang kita akan mencoba melihat fungsi f(x) = cos x. Ada semua orang yang bukan tunawisma dari ordo yang sama, dan | f (k) (x) | = | cos (x + k * n / 2) |<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Sejak itu, kita telah menguasai fungsi yang paling penting, karena dimungkinkan untuk memperluas area ke baris Maclaurin, untuk melengkapi baris Taylor dari fungsi lainnya. Nini mi pererahuєmo kh. Varto juga berarti, bersama dengan jajaran Taylor dan Maclaurin, bagian penting dari lokakarya tentang revisi peringkat dalam matematika. Lavi Taylor.

1. Deret pertama adalah f-ії f (x) = ln (1 + x). Yak di pantat depan, karena diberikan f (x) = ln (1 + x) dimungkinkan untuk melipat satu baris, vikoristovuchi zagalny dalam satu baris Maclaurin. Namun, untuk keseluruhan fungsi, rangkaian Maclaurin dapat dirender dengan cara yang lebih sederhana. Setelah mengintegrasikan deret geometri yang sama, kita dapat menggambar deret untuk f (x) = ln (1 + x) dari penjelasan berikut:

2. Untuk yang lain, yang akan kita simpulkan dalam statistik kita, akan ada deret untuk f (x) = arctan x. Untuk x, di mana ada interval [-1; 1], kita memiliki distribusi :

Itu saja. Deret Taylor dan Maclaurin terlihat dalam statistik umum matematika, matematika, ekonomi, dan universitas teknik.

Fungsi Yaksho f (x) Saya akan menjaga interval sebuah, kehilangan semua pesanan, maka rumus Taylor melekat padanya:

de r n- jadi gelar anggota surplus, atau surplus dalam jumlah, dapat dinilai dengan rumus Lagrange tambahan:

, de nomor x ditumpuk mіzh xі sebuah.

Yaksho untuk arti deyako x r n®0 untuk n® , maka di antara rumus Taylor akan diimajinasikan ulang untuk a seri Taylor:

Dalam peringkat seperti itu, fungsinya f (x) dapat ditempatkan di deretan Taylor di titik di mana Anda dapat melihat x, Kapan:

1) tidak akan kehilangan semua pesanan;

2) motivasi sejumlah konvergen pada titik ts_y.

Pada sebuah= 0 kami akan kami akan sejumlah judul Komisi Maclaurin:

pantat 1 f (x) = 2x.

Keputusan... Kita mengetahui pentingnya fungsi lansia dalam x=0

f (x) = 2x, F ( 0) = 2 0 =1;

f (x) = 2x ln2, f ( 0) = 2 0 ln2 = ln2;

f (x) = 2x di 2 2, f ( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f (n) (x) = 2x ln n 2, f (n) ( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.

Mengingat rumus lama untuk deret Taylor, diakui:

Jari-jari sejumlah non-kecenderungan yang mahal, fakta bahwa distribusinya adil untuk -<x<+¥.

pantat 2 x+4) untuk fungsi f (x) = e x.

Keputusan... Fungsi serupa yang diketahui e x arti yang sama pada titik x=-4.

f (x)= e x, F (-4) = e -4 ;

f (x)= e x, f (-4) = e -4 ;

f (x)= e x, f (-4) = e -4 ;

f (n) (x)= e x, f (n) ( -4) = e -4 .

Otzhe, shukaniy sejumlah fungsi Taylor maє viglyad:

Distribusi Dane juga berlaku untuk -<x<+¥.

pantat 3 ... Kegunaan f (x)= ln x berderet di belakang anak tangga ( X- 1),

(Tobto di barisan Taylor di pinggiran titik x=1).

Keputusan... Kita tahu fungsi lama yang sama.

Mengingat rumusnya, kita dapat mengenali deretan bisikan Taylor:

Untuk tanda tambahan d'Alembert, Anda dapat membalik, tetapi deretnya bertemu di

½ X- 1½<1. Действительно,

Sebuah nomor untuk bertemu, yaksho? X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При x= 2 kita akan mengenali angka yang bisa ditipu, serta tanda-tanda Leibnitsa ke pikiran pikiran. Pada x= 0 fungsi tidak ditetapkan. Peringkat ini, area yang menarik untuk deret Taylor napivvidkritiy promizhok (0; 2).

Segera otrimanі, menurut peringkat distribusi ke baris Maclaurin (tobto di pinggiran x= 0) untuk beberapa fungsi dasar:

(2) ,

(3) ,

( hentikan nama distribusi binomi berikutnya)

pantat 4 ... Spasi di baris status fungsi

Keputusan... Di toko (1) ganti x di - x 2, dapat dikenali:

pantat 5 ... Tempat berturut-turut ke fungsi Maclaurin

Keputusan... Maєmo

Dengan menggunakan rumus (4), kita dapat menulis:

pengganti x kamu rumus -X, Otrimaєmo:

Diketahui bahwa:

Membuka lengkungan, mengatur ulang anggota dalam satu baris, dan rasa malu dari subdivisi yang diberikan, otrimaєmo

Seluruh deret konvergen dalam interval

(-1; 1), peluang penolakan dari dua baris, kulit dari mana bertemu di seluruh interval.

Menghormati .

Rumus (1) - (5) dapat digunakan untuk mempercepat distribusi fungsi yang berbeda ke deret Taylor, tobto. untuk distribusi fungsi untuk semua langkah positif ( Ha). Untuk fungsi yang diberikan, perlu untuk mengadaptasi jenis implementasi ulang yang sama, tetapi untuk menghapus salah satu fungsi (1) - (5), dalam substitusi x biaya k ( Ha) m, de k adalah bilangan positif, m adalah bilangan positif. Seringkali, ketika saya melakukannya secara manual, saya akan menggantinya dengan perubahan T=Ha Saya akan membagikan fungsi dari deret Maclaurin.

Seluruh metode adalah teorema sederhana tentang keseragaman dekomposisi suatu fungsi menjadi baris keadaan. Inti dari teori polaritas terletak pada kenyataan bahwa di sekitar satu dan titik ini, dua baris keadaan yang berbeda tidak dapat ditarik, seolah-olah mereka menyatu pada fungsi yang sama dan ini, yang tidak dilakukan secara biologis.

pantat 6 ... Tempatkan fungsi pada baris Taylor di pinggiran titik x=3.

Keputusan... Harga dapat dilihat, seperti sebelumnya, untuk nilai tambah deret Taylor, untuk itu perlu diketahui fungsi lama dan artinya ketika x= 3. Namun, akan lebih mudah untuk mempercepat distribusi eksplisit (5):

Bilangan otrimaniy konvergen untuk tentang -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

pantat 7 ... Tulis deret Taylor dengan anak tangga ( x-1) fungsi .

Keputusan.

Baris untuk konvergen untuk , atau -2< x£5.

Metode vikladen dari razv'yazannya antara, vikoristovuchi fungsi razkladannya ke baris Taylor. Dipandu oleh stasis di seluruh metode pangkat kecil dan distribusi fungsi dasar ke deret Maclaurin. Kabarnya, hanya menempatkan hubungan antara, untuk membalas non-nilai - , satu di langkah non-insiden 0/0.

Zmist

Metode verifikasi

Salah satu metode yang paling penting untuk membuka non-nilai adalah perhitungan fungsi antara fungsi-fungsi dari deret Taylor keadaan. Metode tsi zastosuvannya menimbun dari penjahat yang akan datang.
1) Agaknya tidak penting untuk diingat 0/0 ketika x diubah, itu bukan nol. Bagi mereka yang membutuhkannya, reinkarnasi viconuly akan digantikan oleh yang ganas.
2) Besarnya bilangan penyebut deret Taylor di pinggiran titik x = 0 ... Dengan seluruh visi, itu didistribusikan ke tingkat x n seperti itu, yang diperlukan untuk kegunaan non-signifikansi. anggota termasuk dalam o (x n).

Seluruh metode dapat diperbaiki, jika dengan menulis ke item 1), fungsi pada tanggal dan penyebut dapat diperluas di baris negara bagian.

Distribusi Viconuvati fungsi folding dan visonannya dari fungsi manual dibalik skema ofensif. A) Menetapkan indikator langkah n, yang mana distribusi dilakukan.
B) Zastosovuєmo menurunkan rumus untuk distribusi fungsi dalam deret Taylor, anggota disimpan di dalamnya hingga inklusif, dan anggota terlihat, atau tertutup.
C) Dalam fungsi lipat, Anda dapat dengan mudah mengganti yang kurus dengan argumen bagian kulit, setelah didorong ke nol. Sebagai contoh,
.
Di sini di. Hari ini Anda dapat memilih untuk menyebarkan fungsi ke pinggiran titik.

Catatan. Distribusi fungsi dalam deret Taylor, di sekitar titik disebut Komisi Maclaurin... Bagi mereka yang terjebak dengan tujuan kami, sebutkan jumlah pelanggaran sebelum sungai.

Kehilangan kekuatan yang kecil

Nama bukti penguasa tentang yang kecil diarahkan ke samping: “Tentang yang besar, tentang yang kecil. Fungsi Rivne". Di sini kami terinspirasi oleh kekuatan, bagaimana menjadi pemenang ketika tidak terhubung antara distribusi ke baris Maclaurin (tobto with).

Dal m dan n - bilangan asli,.
;
;
, yaksho;
;
;
;
, de;
, de c ≠ 0 - Post_yna;
.

Untuk membuktikan kekuatan daya, perlu untuk melihatnya melalui fungsi yang sangat kecil:
de.

Tata letak fungsi dasar pada deret Taylor (Maclaurin)

;
;
,
de;
;
;
,
de - nomor Bernoulli :,;
;
;
;
;
;
;
;
,
;
;
.

Pakai

pantat 1

Hitung antara yang terakhir, vicorist dan menyebar ke baris Taylor.
.

Harga tidak penting bagi pikiran inkonsistensi dikurangi inkonsistensi... Mungkin untuk pikiran yang tidak penting 0/0 ... Untuk seluruh penyimpangan visonumo.

.
Di sini kita vrahuvali, tetapi jumlah elemen terakhir n hanya dapat ditambahkan ke nilai positif. tom. Robimo akan menggantikan yang jahat. Pada . Shukatimo antara vvazhayuchi, scho x adalah nomor yang valid. Begitu perbatasannya bersih, maka anggurnya jernih, dan untuk sumbangan apa pun, itu menjadi nol. Selain itu, untuk yang terakhir.

.
Fungsi terdistribusi dalam jumlah deret Taylor. Rumus Zastosovuєmo:
.
Zalishaєmo kehilangan anggota garis.
.
.
Di sini kita vrahuvali, segera setelah ada perbatasan dua sisi, lalu ada perbatasan satu sisi. tom.

pantat 2

Untuk menunjukkan bahwa arti dari batas indah lainnya dapat diperbaiki, vikoristovuchi ditempatkan di deretan Taylor.

Robimo akan menggantikan yang jahat. Todi. Pada . Pidstavlyaєmo.
.

Untuk perhitungan batas, adalah mungkin untuk menghormati arti perubahan, baik itu, untuk saat ini, untuk menusuk pinggiran titik. Mi vvazhaєmo, scho. Vikoristovuєmo mereka yang eksponen dan logaritma natural fungsi putar dalam kaitannya dengan 1-1. Todi
.

Banyak di antara eksponen, vicorist, langkah selanjutnya ke baris Taylor:
.
.

Osilasi eksponen fungsi tak terputus untuk semua nilai argumen, maka teorema tentang fungsi tak terputus dari suatu fungsi adalah:
.

pantat 3

Hitung perbatasan, vikoristovuchi menyebar ke baris Taylor.
.

Harga tidak penting bagi pikiran 0/0 ... Vikoristovuєmo distribusi fungsi tersebut di pinggiran titik:
;
;
.

Razkladaєmo dengan akurasi hingga suku kuadrat:
;
.
Bilangan dilimo penyebut pada diketahui antara:
.

pantat 4

Kejantanan antara garis bantuan Taylor.
.

Mudah untuk bachiti, tetapi juga tidak penting untuk diingat 0/0 ... Dibuka, atur fungsinya ke baris Taylor. Vikoristovuєmo menunjuk pemandangan itu:
(A4.1) .
Dalam daftar eksponen, ganti x dengan -x:
(A4.2) .
Dal adalah fungsi yang dapat dilipat. Aku akan menggantikan yang jahat. Pada . Dengan cara ini, kita dapat vikoristovuvati distribusi logaritma natural di pinggiran titik. Vikoristovuєmo menunjuk ke distribusi, di mana kita mengubah x dalam t:
(A4.3) .

Hebatnya, itu yakbi mi mali funktsіyu, lalu dengan. Untuk itu, tidak mungkin disajikan di depan, karena ada beberapa serpihan di pinggiran titik. Pada akhirnya, kita akan membutuhkan viconati serta revisi:
.
Todi dengan i dapat digunakan untuk distribusi (A4.3).

Sprobuєmo virishiti mezhu, vikonuyuchi menyebar ke langkah pertama musim dingin x :. Artinya, hanya ada segmen jangka panjang, yang tidak terletak pada x :, dan garis. Kami akan tersedia untuk dijual. Lebih tepatnya, transfer ke.
;
;
.
Oskilki, lalu pada logaritma terlipat kita melihat anggota, memperbaiki langkah-langkah 2. Zastosovyuchi, membidik kekuatan pria kecil itu:

.
Pidstavlyaєmo di perbatasan:

.
Kami telah menolak ketidakpentingan pikiran 0/0 ... Artinya, distribusinya tidak cukup.

Segera setelah visi menyebar ke anak-anak tangga, saya tahu bahwa itu tidak relevan:
.

Viconaєmo menyebar ke tangga. Itu terlalu banyak untuk menghilangkan anggota tetap dan anggota pengganda. nsh termasuk dalam.
;
;

;

.
Dalі, pіchaєmo, scho. Untuk itu, dalam logaritma terbuka perlu dilihat anggotanya, untuk memperbaiki langkah-langkahnya, dengan menghilangkan y. Distribusi Vikoristovuєmo (A4.3), menggantikan t dengan:


.

Pidstavlyaєmo di fungsi vyhіdnu.


.
Kita tahu perbatasan.
.

pantat 5

Ketahui batas di belakang baris Taylor.
.

Lakukan penempatan bilangan dan baku pada baris Maclaurin sampai dengan langkah keempat inklusif.

Tentunya tanda spanduk. Vikoristovuєmo itu.

;
;

.

Sekarang kita lolos ke tanggal. Pada . Untuk itu, tidak mungkin untuk membuat substitusi dan ruang penyimpanan untuk itu tidak mungkin; Sayang, scho. Untuk itu, itu ide yang bagus.
.
Sekarang dimungkinkan untuk membuat pengaturan, beberapa fragmen di.

Kami menempatkan fungsi langkah itu di baris Taylor di pinggiran titik. Zastosovuєmo.
;
;

;
;
;
;
Dal hebat, yah. Untuk memangkas fungsi pelipatan agar tidak tepat, kita perlu mendistribusikan fungsi pelipatan ke ketepatan.

Rosklada adalah logaritma pertama.


; ;
;
.

Logaritma lain dapat didekomposisi. Mungkin yogo untuk melihat, de pri.
,
de.

Dapat diperluas z Baris Taylor di pinggiran titik dari tepat ke.
Zastosuєmo:
.
Ganti x dengan:
... Todi
;

;
Sayang, scho. Untuk memangkas fungsi pelipatan agar tidak tepat, kita perlu mendistribusikan fungsi pelipatan ke ketepatan.

Razkladaєmo dari ketepatan ke vrahovuєmo, scho.


;
.

Kita tahu penyebaran tanggal.

;
;
.

Pіdstavlyaєmo penyebaran tanggal dan spanduk, dan diketahui antara.
;
.

Sastra Vikoristan:
L.D. Kudryavtsev, AD Kutasov, V.I. Chekhlov, M.I. Shabunin. Koleksi karya dari analisis matematis. Volume 1.Moskow, 2003.

NASA telah meluncurkan ekspedisi 2020 ke Mars. Untuk mengirimkan pesawat ruang angkasa ke Mars perangkat elektronik untuk nama-nama semua peserta ekspedisi yang terdaftar.

Pemulihan peserta di layar. Dapatkan voucher Mars Anda dengan biaya tertentu.

Segera setelah pos menyelesaikan masalah Anda, atau hanya membantu Anda, bagikan kekuatan teman Anda dengan pagar sosial.

Salah satu dari sejumlah opsi dalam kode perlu disalin dan ditempelkan ke kode situs web Anda, bazhano dengan tag і jika tidak langsung dari tag ... Untuk MathJax versi pertama, Anda akan mendapatkan sisi yang lebih baik dan kurang gagah. Pilihan lain secara otomatis disediakan dan diperbarui dengan versi baru MathJax. Cukup masukkan kode pertama, itu perlu diperbarui dari waktu ke waktu. Jika Anda memasukkan kode yang berbeda, halaman akan diblokir lebih banyak, tetapi Anda tidak perlu terus-menerus mengikuti pembaruan MathJax.

Tambahkan MathJax ke Blogger, atau WordPress: di panel keruvannya situs, tambahkan widget, tanda untuk memasukkan kode JavaScript pihak ketiga, salin ke yang pertama, atau versi lain dari kode yang dibungkus yang disajikan padanya, 'bijaksana bahasa, skrip MathJax dijembatani secara tidak sinkron). Dari dan segalanya. Sekarang ambil sintaks tata letak MathML, LaTeX dan ASCIIMathML, dan Anda siap untuk menyematkan rumus matematika di halaman web situs Anda.

Chergovy sebelum hari Batu Baru ... cuacanya sangat dingin dan gadis-gadis kecil di shibts ... Semua secara spontan saya tidak tahu untuk menulis tentang ... fraktal, dan tentang mereka yang tahu tentang Wolfram Alpha. Dari drive tsіkava stattya, di yakіy butt struktur fraktal dua sisi. Segera kita dapat melihat lipatan lipat dari fraktal-fraktal sepele.

Sebuah fraktal dapat divisualisasikan (menggambarkan), seperti sosok geometris, seperti sosok geometris, seperti sosok geometris. Jadi ini adalah struktur yang mirip, mudah untuk melihat detail apa yang ada dalam kasus peningkatan, tetapi juga bentuknya, tetapi tanpa peningkatan. Ini seperti sosok geometris vypadnaya (bukan fraktal), dalam hal detail tambahan, seperti bentuk sederhana, sosok yang lebih rendah. Misalnya, ketika Anda mencapai sebagian besar elips, itu terlihat seperti garis lurus. Tidak mungkin untuk melihat ini dengan fraktal: untuk apa pun itu, saya akan tahu lipatan yang sama, seperti dengan perubahan kulit, saya tahu dan tahu lagi.

Benoit Mandelbrot, pendiri ilmu fraktal, menulis dalam artikelnya Fraktal dan misteri atas nama ilmu pengetahuan: "Fraktal bukanlah bentuk geometris, yang, bagaimanapun, dapat dilipat dalam detailnya, seperti pada bagiannya sendiri. Akan ditingkatkan dengan ukuran keseluruhan, lihat, seperti keseluruhan, atau hanya, atau, mungkin, dengan sedikit deformasi. "