Pintu masuk

Fungsi silinder disebut solusi dari persamaan diferensial linier dari orde yang berbeda

de - perubahan kompleks,

Parameter yang dapat digunakan untuk ucapan atau nilai kompleks.

Istilah "fungsi silindris" dari crop merajut dalam perjalanannya ke perabot semacam ini, yang (1) dikembangkan ketika melihat pendirian daerah, teori potensi daerah silindris.

Kelas khusus fungsi silinder diberikan dalam literatur untuk nama fungsi Bessel, dan dalam beberapa kasus mereka ditugaskan ke seluruh kelas fungsi silinder.

Teori fungsi dirinci dengan baik, tampilan meja kuliah dan area stasosuvan yang luas berfungsi sebagai sarana yang cukup untuk membawa fungsi silinder ke fungsi khusus yang paling penting.

Rivnyannya Bessel's winnie pіd hour the rіvnyannya rіvnyannya Laplace dan rіvnyannya Helmholtz pada koordinat silinder dan bola. Fungsi Bessel ini akan menjadi stagnan jika terjadi viral bagasi tentang perluasan hwil, potensi statis terlalu kecil, misalnya:

1) hvily elektro-magnetik dalam hvilevodі silinder;

2) konduktivitas panas pada benda silinder;

3) pembentukan membran bulat tipis;

4) likuiditas partikel dalam silinder, yang disimpan oleh garis dan melilit porosnya.

Fungsi Bessel tertahan di bagian atas daftar, misalnya, sebelum jam pemrosesan sinyal.

Fungsi silinder Bessel adalah yang paling luas dari semua fungsi khusus. Bau suplemen numerik dalam semua ilmu alam dan teknik (terutama dalam astronomi, mekanika dan fisika). Di bagian bawah fisika matematika, fungsi silinder dikembangkan, yang argumennya adalah indeks (satu dan hanya satu), mereka menambahkan nilai kompleks. Untuk penentuan numerik proyek semacam itu, perlu untuk mengembangkan algoritma yang memungkinkan penghitungan fungsi Bessel secara presisi.

Tujuan dari robot kursus: vivchennya funkts_ Bessel dan zasosuvannya kh otoritas di virіshennі diferensial vnyans.

1) Vivchit Rivnyannya Bessel dan Bessel Rivnyannya yang dimodifikasi.

2) Menentukan pangkat dasar fungsi Bessel, manifestasi asimtotik.

3) Visibilitas diferensial untuk fungsi tambahan Bessel.

Fungsi Bessel dengan ikon positif

Untuk mengatasi masalah yang terkait dengan masalah fungsi silinder, cukup untuk mengakomodasi kelas fungsi khusus, yang ditampilkan pada hari tertentu, jika parameter yang sama dengan bilangan positif (1) sama dengan nol.

Sebelum kelas ini diberikan karakter yang lebih mendasar, teori yang lebih rendah, itu dapat dianggap sebagai nilai yang paling signifikan, dan kita dapat berbaik hati dengan teori yang diperkenalkan.

Akan ditunjukkan bahwa salah satu jawabannya adalah

0, 1, 2, …, (1.1)

Fungsi Bessel adalah yang pertama memesan, yak untuk arti apa pun, mulai yak jumlah berturut-turut

Untuk tanda-tanda tambahan D'Alembert, mudah untuk membalik, tetapi berturut-turut, untuk melihat keluar, untuk berkumpul di seluruh area perubahan yang kompleks, juga, mewakili seluruh fungsi dari segalanya.

Yaksho menunjukkan bagian kiri ryvnyannya (1.1) melalui itu untuk memasukkan kecepatan perekaman kinerja dalam seri (1.2), dengan

maka, sebagai hasil dari substitusi, kita dapat

Bintang-bintang Vyraz viraz di kuil-kuil diredupkan hingga nol. Otzhe, fungsinya memenuhi standar (1.1), yaitu fungsi silinder.

Fungsi paling sederhana untuk kelas, cara melihat, adalah fungsi Bessel dengan urutan nol dan satu:

Akan ditunjukkan bahwa fungsi Bessel dari orde yang lebih rendah dapat diputar melalui fungsi-fungsi ini. Untuk pembuktiannya diperbolehkan a bilangan yang lebih positif, deret (1.2) dikalikan dan dibedakan. Mi otrimaєmo todі

Peringkat analog, mengalikan deret dengan yang diketahui

Setelah membuat diferensiasi dalam kesetaraan (1.4 - 1.1) dan dikalikan, kami sampai pada rumus:

bintang tanpa garis depanє:

Rumus Otrimani diberi nama relasi berulang untuk fungsi Bessel.

Langkah pertama adalah membiarkan fungsi tersebut berfungsi sesuai urutan melalui fungsi orde nol dan satu, sehingga robot dapat dengan cepat berpindah dari meja lipat fungsi Bessel.

Spіvdnoshennya lainnya memungkinkan pajak yang hilang dari fungsi Bessel melalui fungsi Bessel. Untuk keseluruhan spіvvіdnoshennya maє buti diganti dengan rumus

tanpa mengatur ulang fungsi-fungsi ini.

Fungsi Bessel dari genus pertama secara sederhana dikaitkan dengan fungsi baris Laurent):

Koefisien distribusi dapat dihitung dengan mengalikan baris milik negara:

bahwa berbagi anggota, bagaimana membalas dendam pada langkah yang sama. Viconavshi tse, otrimaєmo:

bintang viglyad

Fungsi tersebut disebut fungsi, scho viroblyaє, untuk fungsi Bessel dengan seluruh ikon; Pengetahuan komunikasi (1.12) diberikan dalam teori fungsi-fungsi ini.

Untuk menolak integrasi rumah dari ryvnyannya (1.1), yang memberikan berbagai fungsi silinder dengan satu ikon, perlu menggunakan solusi lain yang sama pentingnya. Dalam kapasitas solusi seperti itu, fungsi Bessel dari genus yang berbeda dapat diambil, meskipun tidak penting untuk mempertimbangkan viraz analog dalam pandangan sejumlah

(- Post-Eiler) , kadang-kadang, jumlah pershu f menjadi nol.

Fungsinya teratur pada daerah yang tumbuh. Keunikan dari keputusan yang dilirik di lapangan terletak pada kenyataan bahwa itu bisa berubah menjadi omong kosong, jika memang demikian. The zagalny viraz dari fungsi silinder adalah kombinasi linier dari solusi yang mendorong

de - postingan yang bagusіynі,

Untuk beralih ke solusi masalah tentang pembentukan membran melingkar, pertama-tama kita harus mempelajari fungsi Bessel. Fungsi Bessel solusi persamaan diferensial linier dari orde yang berbeda karena kinerja yang berubah

Harganya disebut keluarga Bessel. Hal pertama, dan solusi kedua, tidak hanya dalam tugas membran bundar, tetapi di sejumlah besar bangunan lainnya.

Parameter k, yang harus dimasukkan pada level (10.1), mungkin tampak zagal, tetapi ada beberapa nilai positif. Untuk k tertentu, solusi disebut fungsi tanpa biji dengan orde k (juga disebut fungsi silinder). Sangat mudah untuk melihat secara detail jika kita tidak memiliki penurunan sederhana, jika kita mencoba untuk menghilangkan fungsi nonselektif dari nol urutan pertama jika kemenangan lainnya memiliki beberapa tanda.

Untuk zalny vivchennya dari fungsi seedless dari pembaca ke buku khusus (div., Misalnya, / n, (4,5)

de 1, 2, ..., n - aborsi vypadkovі;

n - jumlah vimiriv.

Koreksi kuadrat rata-rata didasarkan pada kriteria yang disebutkan di atas untuk menilai keakuratan vimiriv. Lihatlah beberapa kali untuk mencapai gaya dan bayangkan dengan baik manifestasi dari jenis pengampunan yang hebat, yang, omong-omong, dimulai sebagai fakta.

Rumus (4.5) ditetapkan untuk menghitung deviasi kuadrat rata-rata, jika ada nilai referensi untuk kuantitas. Harga untuk latihan bahkan lebih buruk. Sebagai aturan, nilai referensi dari nilai tertentu tidak tersedia, tetapi dimungkinkan untuk mengurangi hasil yang paling penting - rata-rata aritmatika. Kami dapat menerima rumus untuk menghitung perilaku kuadrat rata-rata untuk penetapan tambahan hasil dalam rata-rata aritmatika untuk apa yang disebut perilaku buruk ymovy V.

Nekhai l 1, l 2, ..., l n - hasil nilai eksak dengan ukuran yang sama, artinya adalah X, dan mean aritmatika adalah L. Todi dapat dihitung n jenis kesalahan

i = l i - X (4.6)

dan kesalahan paling sukses

V i = l i - L. (4.7)

Jumlah uang (4.7)

[V] = [l] - nL. (4.8)

Ale, menurut ekivalensi (4.4) nL = [l], bahwa

sehingga jumlah pelanggaran terbaru bersalah nol biaya.

Kesetaraan (4.6) Kesetaraan (4.7), dapat dikenali

i - V i = L - X. (4.10)

Di bagian kanan ryvnost (4.10), ada trik mean aritmatika. Biarkan melalui . Todi

i = V i + . (4.11)

Kami memasukkan kuadrat kesetaraan (4.11), ambil jumlah dan berikan ke n:

[Δ 2] / n = / n + nε 2 / n + 2ε [V] / n. (4.12)

Liva adalah bagian dari harga uang tidak begitu nshe yak m2. Sisa bagian kanan melalui persamaan (4,9) sama dengan nol.

m 2 = / n + 2. (4.13)

Kelakuan Vipadkov terhadap diganti dengan nilai rata-rata, yaitu, untuk kuadrat rata-rata, rata-rata aritmatika. Bawah akan dibawa, oh perbedaan kuadrat rata-rata dari rata-rata aritmatika

M 2 = 2 = m 2 / n. (4.14)

m 2 - m 2 / n = / n atau m 2 (n - 1) / n = / n,

bintang ___________

m 2 = / (n - 1), atau m = / (n - 1). (4.15)

Rumus (4.15) disebut dengan rumus Bessel sebesar itu lebih praktis. Vaughn memungkinkan Anda menghitung tweak kuadrat rata-rata untuk peningkatan hasil yang enak dalam bentuk mean aritmatika.

Untuk perilaku kuadrat rata-rata, rata-rata bisa tumbuh, saya bisa yakin dengan perilaku buruk.

Rata-rata perilaku buruk (Θ) disebut rata-rata aritmatika dari nilai absolut dari perilaku buruk, tobto.

= (| 1 | + | 2 | +… + | n |) / n = [| |] / n. (4.16)

Secara teoritis, kesalahan dapat dibuat, n → = 0,8 M, tetapi untuk m = 1,25 ?.

Dalam hal makanan yang diterapkan, mereka mengeluh saya lapar R. Arti yang sama disebut tipuan jahat dalam satu baris vimiriv yang sama, tetapi itu hanya mungkin untuk menyangkalnya, jadi itu adalah nilai yang lebih rendah, untuk nilai absolut. Untuk kebiasaan znakhozhennya r usi diberi nomor mungkin pada peringkat mereka sendiri dalam urutan pertumbuhan nilai absolut dan memilih nilai-nilai itu, seperti meminjam posisi tengah, sehingga kurang dari gaya itu, tetapi lebih dan lebih. Aborsi ymovіrna diikat f kuadrat inferioritas tengah r = 2/3 m = 0,67 M untuk m = 1,5 r.

Yak bachimo, m> m> r, bagaimana menyimpulkan bahwa perilaku kuadrat rata-rata lebih baik mencirikan akurasi vimirіv, nіzh tengah imovirna menyangkal.

Penilaian akurasi nilai variabel tersebut, seperti garis, area dan area, sering diputar untuk bantuan penipuan yang dapat diterima... Yang namanya perilaku buruk mutlak hingga nilai nilai vimrian adalah perilaku buruk yang sesungguhnya. Adalah kesalahan umum untuk menulis sebagai pecahan, yang jumlahnya satu, dan dengan standar - angka, menunjukkan kepada Anda bagian dari nilai ukuran, menjadi diperbolehkan untuk membuat kesalahan. Misalnya pada sisi D = 150 m vimirian dengan kemiringan mutlak m d = 0,05 m, juga selisih hasil wimir menjadi m d / D = 0,05 m / 150 m = 1/3000.

Nilai 1/3000 berarti pada jarak 3000 m dari dudukan, diperbolehkan melakukan penculikan pada jarak 1 m. Akurasi semua survei linier dalam geodesi harus dipastikan akurat, karena harus dipandu oleh instruksi umum dan instruksi untuk implementasi robot geodesi jenis ini.

BADAN FEDERAL UNTUK PEMBENTUKAN

STERLIMATSKA FILIA

BUKU DOMESTIK

VISCHOЇ PROFESSIONO EVOLVE

"UNVERSITAS BASHKIRSKIY DERZHAVNIY"

Fakultas Ekonomi

Departemen Matematika dan Informatika

Robot kursus

pada topik:

Fungsi Bessel

Kursus siswa 2 Vikonav

grup PMII-08

Alexandrova A.Yu._______

"___" ____________ 2010r.

Naukovy Kerivnik

Ph.D., Seni. .

Sidorenko O.G. _______

"___" ____________ 2010r.

Sterlitamak 2010

Pintu masuk

1 Bessel berfungsi dengan tanda positif

2 Bessel berfungsi dengan satu tanda

3 Rumah manifestasi Fungsi silinder. Fungsi Bessel dari genus lain

4 Memperluas sejumlah fungsi Bessel dari genus lain dengan seluruh ikon

5 Fungsi Bessel dari jenis ketiga

6 Fungsi Bessel dari argumen eksplisit

7 Fungsi silinder dengan indeks, yang harganya setengah bilangan bulat tidak berpasangan

8 Penentuan Asimtotik Fungsi Silinder untuk Nilai Argumen Besar

9 Fungsi silinder nol

Visnovok

Daftar Sastra

Pintu masuk

Fungsi silinder disebut solusi dari persamaan diferensial linier dari orde yang berbeda

, (1) - perubahan kompleks, - parameter, yang dapat digunakan untuk ucapan atau makna yang kompleks.

Istilah "fungsi silindris" dari crop merajut dalam perjalanannya ke perabot semacam ini, yang (1) dikembangkan ketika melihat pendirian daerah, teori potensi daerah silindris.

Kelas khusus fungsi silinder diberikan dalam literatur untuk nama fungsi Bessel, dan dalam beberapa kasus mereka ditugaskan ke seluruh kelas fungsi silinder.

Teori fungsi dirinci dengan baik, tampilan meja kuliah dan area stasosuvan yang luas berfungsi sebagai sarana yang cukup untuk membawa fungsi silinder ke fungsi khusus yang paling penting.

Rivnyannya Bessel's winnie pіd hour the rіvnyannya rіvnyannya Laplace dan rіvnyannya Helmholtz pada koordinat silinder dan bola. Fungsi Bessel ini akan menjadi stagnan jika terjadi viral bagasi tentang perluasan hwil, potensi statis terlalu kecil, misalnya:

1) hvily elektro-magnetik dalam hvilevodі silinder;

2) konduktivitas panas pada benda silinder;

3) pembentukan membran bulat tipis;

4) likuiditas partikel dalam silinder, yang disimpan oleh garis dan melilit porosnya.

Fungsi Bessel tertahan di bagian atas daftar, misalnya, sebelum jam pemrosesan sinyal.

Fungsi silinder Bessel adalah yang paling luas dari semua fungsi khusus. Bau suplemen numerik dalam semua ilmu alam dan teknik (terutama dalam astronomi, mekanika dan fisika). Di bagian bawah fisika matematika, fungsi silinder dikembangkan, yang argumennya adalah indeks (satu dan hanya satu), mereka menambahkan nilai kompleks. Untuk penentuan numerik proyek semacam itu, perlu untuk mengembangkan algoritma yang memungkinkan penghitungan fungsi Bessel secara presisi.

Tujuan dari robot kursus: vivchennya funkts_ Bessel dan zasosuvannya kh otoritas di virіshennі diferensial vnyans.

Zavdannya:

1) Vivchit Rivnyannya Bessel dan Bessel Rivnyannya yang dimodifikasi.

2) Menentukan pangkat dasar fungsi Bessel, manifestasi asimtotik.

3) Visibilitas diferensial untuk fungsi tambahan Bessel.

1 Bessel berfungsi dengan tanda positif

Untuk melihat masalah yang berkaitan dengan fungsi silinder, cukup untuk mengakomodasi kelas fungsi khusus, yang ditampilkan pada hari tertentu, jika parameternya

dalam keluarga (1), ada nol dan bilangan bulat positif.

Sampai akhir kelas untuk memakai karakter yang lebih mendasar, teori yang lebih rendah, dianggap sebagai nilai yang dominan

, dapat menjadi pengantar teori yang baik.

Akan ditunjukkan bahwa salah satu jawabannya adalah

0, 1, 2, …, (1.1)

Fungsi Bessel jenis pertama

yak untuk nilai be-yak yaitu mulai jumlah yak berturut-turut (1.2)

Untuk tanda-tanda tambahan d'Alembert, mudah untuk membalik, tetapi berturut-turut, untuk melihat, berkumpul di seluruh area perubahan yang kompleks, juga, mewakili seluruh fungsi dari

.

Cara menyatakan bagian kiri persamaan (1.1) melalui

dan masukkan catatan kecepatan kinerja di baris (1.2), dengan

maka, sebagai hasil dari substitusi, kita dapat

bintang berikutnya

Selain itu, lekukan di pelipis diredupkan hingga nol. Otzhe, fungsinya memenuhi standar (1.1), yaitu fungsi silinder.

Fungsi paling sederhana untuk kelas, cara melihat, adalah fungsi Bessel dengan urutan nol dan satu:

(1.3)

Akan ditunjukkan bahwa fungsi Bessel dari orde yang lebih rendah dapat diputar melalui fungsi-fungsi ini. Untuk konfirmasi, diasumsikan bahwa a adalah bilangan positif, deret (1.2) dikalikan dengan

disarankan oleh. Mi otrimaєmo todi (1.4)

Peringkat analog, mengalikan baris dengan

diketahui (1.5)

Membedakan dalam persamaan (1.4 - 1.1) dan pengali

, Kami sampai pada rumus: (1.6)

bintang tanpa garis depanє:

(1.7) (1.8)

Rumus Otrimani diberi nama relasi berulang untuk fungsi Bessel.

Memesan.

aku ingin (- ) (\ displaystyle (- \ alpha)) membiakkan rivnyannya yang sama, menelepon ke rumah tentang mereka yang telah melihat fungsi yang berbeda (coba, misalnya, untuk membuat fungsi Bessel lancar (\ gaya tampilan \ alfa)).

Fungsi Bessel pertama kali dinamai oleh matematikawan Swiss Daniel Bernoulli, dan dinamai Fridrikh Besel.

YouTube ensiklopedis

1 / 5

Zmіshane zavdannya kolі. Fungsi Bessel

Diferensial Rivnyannya | Rivnyannya Bessel dan pidhid ke revisi yogo

Metode fisika matematika. Profesor Tikhonov Mykola Andriyovich (Kuliah 1)

Diferensial Rivnyannya | Deteksi integral fungsi Bessel 1

13. Insentif untuk Fungsi Walsh

Subjudul

tersedak

Rivnyannya Bessel's winnya pіd hour rіvnyannya rіvnyannya Laplace dan rіvnyannya Helmholtz dalam koordinat silinder dan bola. Fungsi Bessel ini akan menjadi stagnan jika terjadi viral bagasi tentang perluasan hwil, potensi statis terlalu kecil, misalnya:

• hvily elektro-magnetik dalam hvilevodі silinder;
• konduktivitas panas pada benda silinder;
• pembentukan koloni membran bulat tipis;
• intensitas cahaya naik, difraksi pada bukaan bundar;
• kecilnya partikel dalam silinder, diingat oleh garis dan melilit porosnya;
• Hvilyovi berfungsi pada layar potensial simetris bola.

Fungsi Bessel tertahan di bagian atas daftar, misalnya, sebelum jam pemrosesan sinyal.

Viznachennya

Oskіlki dinominasikan vnyannya linіynim diferensial sama dalam urutan lain, maє baru memiliki dua solusi bebas-garis. Namun, jauh dari sekitarnya, peningkatan jumlah keputusan bergetar. Deyaki dari mereka ditunjukkan di bawah.

Fungsi Bessel dari genus pertama

Fungsi Bessel dari genus pertama, yang berarti, solusi, kintsev di titik x = 0 (\ gaya tampilan x = 0) dengan semua orang yang tidak (\ gaya tampilan \ alfa)... Getaran fungsi khusus dan normalisasi diprakarsai oleh pihak berwenang. Anda dapat menggunakan fungsi untuk penempatan tambahan di baris Taylor untuk nol (atau di baris status yang lebih besar untuk (\ gaya tampilan \ alfa)):

J (x) = m = 0 (−1) m m! (m + + 1) (x 2) 2 m + (\ gaya tampilan J _ (\ alpha) (x) = \ jumlah _ (m = 0) ^ (\ infty) (\ frac ((-1) ^ (m)) (m! \, \ Gamma (m + \ alpha +1))) (\ kiri ((\ frac (x) (2)) \ kanan)) ^ (2m + \ alpha))

Di Sini (z) (\ gaya tampilan \ Gamma (z))- Fungsi gamma Euler, menghubungkan faktor dengan nilai non-tujuan. Grafik fungsi Bessel mirip dengan sinusoidal, yang jumlahnya memudar secara proporsional 1 x (\ displaystyle (\ frac (1) (\ sqrt (x))))), saya berharap demi rosetting nol-fungsi tidak berkala.

Grafik melayang di bawah ini J (x) (\ gaya tampilan J _ (\ alpha) (x)) untuk, 1 dan 2:

Fungsi Neumann juga disebut fungsi Bessel jenis lain. Kombinasi baris fungsi Bessel sisi pertama dan sisi lainnya di luar keputusan Rivnyannya Bessel:

y (x) = C 1 J (x) + C 2 Y (x). (\ gaya tampilan y (x) = C_ (1) J _ (\ alpha) (x) + C_ (2) Y _ (\ alpha) (x).)

Grafiknya ditunjukkan di bawah ini Y (x) (\ gaya tampilan Y _ (\ alpha) (x)) untuk = 0 (\ gaya tampilan \ alpha = 0), 1 dan 2:

0 1 x J (μ 1 x) J (μ 2 x) dx = (0; 1 ≠ 2 1 2 (J α '(μ 1)) 2; \ int _ (0) ^ (1 ) (xJ _ (\ alpha) (\ mu _ (1) x) J _ (\ alpha) (\ mu _ (2) x) dx) = \ kiri \ ((\ begin (matriks) 0 & (\ mbox (;) ) \ quad \ mu _ (1) \ neq \ mu _ (2) \\\\ (\ frac (1) (2)) (J "_ (\ alpha) (\ mu _ (1)) ) ^ ( 2) & (\ mbox (;)) \ quad \ mu _ (1) = \ mu _ (2) \ end (matriks)) \ kanan ..)

asimtotik

Untuk fungsi Bessel, jenis pertama dan jenis lainnya diberikan oleh rumus asimtotik. Dengan sedikit argumen (0 < x ≪ α + 1) {\displaystyle (0 itu bukan (\ gaya tampilan \ alfa) bau seperti ini:

J (x) → 1 (α + 1) (x 2) , (\ displaystyle J _ (\ alpha) (x) \ panah kanan (\ frac (1) (\ Gamma (\ alpha +1))) \ kiri ((\ frac (x) (2)) \ kanan) ^ (\ alpha),) Y (x) → (2 [ln (x / 2) + ]; = 0 - (α) (2 x) ; > 0,) \ panah kanan \ kiri \ ((\ mulai (matriks) (\ frac (2) (\ pi)) \ kiri [\ ln (x / 2) + \ gamma \ kanan] & (\ mbox (;)) \ quad \ alpha = 0 \\\ - (\ frac (\ Gamma (\ alpha)) (\ pi)) \ kiri ((\ frac (2) (x)) \ kanan) ^ (\ alpha) & (\ mbox (;)) \ quad \ alpha> 0 \ akhir (matriks)) \ kanan.,)

de (\ gaya tampilan \ gamma)- Postyna Eyler-Maskeroni (0,5772 ...), dan (\ gaya tampilan \ Gamma)- Fungsi gamma Euler. Untuk argumen yang bagus ( x | 2 - 1/4 | (\ gaya tampilan x \ gg | \ alpha ^ (2) -1/4 |)) rumus terlihat seperti ini:

J (x) → 2 π x cos (x - 2 - 4), (\ displaystyle J _ (\ alpha) (x) \ panah kanan (\ sqrt (\ frac (2) (\ pi x) ) ) \ cos \ kiri (x - (\ frac (\ alpha \ pi) (2)) - (\ frac (\ pi) (4)) \ kanan),) Y (x) → 2 x sin (x - 2 - 4). (\ displaystyle Y _ (\ alpha) (x) \ panah kanan (\ sqrt (\ frac (2) (\ pi x))) \ sin \ kiri (x - (\ frac (\ alpha \ pi) (2)) - (\ frac (\ pi) (4)) \ kanan).)

Deret hipergeometrik

Fungsi Bessel dapat diputar melalui fungsi hipergeometrik:

J (z) = (z / 2) (α + 1) 0 F 1 (α + 1; - z 2/4). (\ displaystyle J _ (\ alpha) (z) = (\ frac ((z / 2) ^ (\ alpha)) (\ Gamma (\ alpha +1))) () _ (0) F_ (1) ( \ alpha +1; -z ^ (2) / 4).)

Dalam peringkat seperti itu, secara keseluruhan (\ gaya tampilan \ alfa) Fungsi bessel analitik yang tidak ambigu, dan untuk non-tsіlich - analitis yang berarti.

Fungsi Virobnycha

Ada pernyataan yang jelas untuk fungsi Bessel jenis pertama dan seluruh urutan melalui fungsi Laurent, fungsi bentuk tunggal, dan dirinya sendiri:

e z 2 (w - 1 w) = n = - + J n (z) w n. (\ displaystyle e ^ ((\ frac (z) (2)) \ kiri (w - (\ frac (1) (w)) \ kanan)) = \ sum _ (n = - \ infty) ^ (+ \ infty) J_ (n) (z) w ^ (n).)