El texto del trabajo se coloca sin la imagen de las fórmulas.
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"¡Tezh mí, el binomio de Newton!»

de la novela "El Maestro y Margarita"

“El tricutnik de Pascal es tan simple que puedes escribir un niño decimal. En ese mismo momento, tendrás que esconderte en tus propios tesoros ocultos y comprarás más aspectos diversos de las matemáticas, como si a primera vista no tuvieras nada con lo que dormir contigo mismo. Tales autoridades indivisas permiten usar el tricutnik de Pascal con uno de los esquemas más sutiles de todas las matemáticas "

Martín Gardner.

Metarobots: fórmulas zagalnite de multiplicación rápida, muéstrales zastosuvannya para resolver problemas.

Gerente:

1) conocer y sistematizar la información desde el primer suministro;

2) resolver la tarea de resolver el binomio de Newton y fórmulas para la suma y diferencia de pasos.

Objetos a seguir: Fórmulas binomial, suma y diferencia de Newton.

métodos de seguimiento:

Trabajar con literatura científica primaria y popular, recursos de Internet.

Rozrakhunki, povnyannya, análisis, analogía.

Relevancia. Las personas a menudo son llevadas a sus madres a la derecha de las tareas, en las que es necesario impulsar una gran cantidad de formas posibles roztashuvannya deyakikh objektіv chi kіlkіst vsіh mozhlivih svodіv zdіysnennya deykoї ї ї. A las combinaciones más versátiles se suman diferentes formas de opciones de chi, que se traen para elegir a las personas. І tsiliy dividió las matemáticas, títulos de combinatoria, ocupados por una búsqueda de nutrición diferente: ejemplos de todas las combinaciones para ese tipo de chi inshoy.

Con valores combinatorios, los representantes de varias especialidades se llevan a la madre correcta a la derecha: un científico-químico, un biólogo, un diseñador, un despachador también. Mayor interés en la combinatoria Hora de descanso ser influido por un furioso desarrollo de la cibernética y la tecnología computacional.

Entrada

Si quieres reforzar, que el orador ha superado la complejidad del día, con algunas fallas, parece: ¡soy la prohibición de Newton! Movlyav, el eje de Newton, es plegable, ¡pero hay problemas en ti! Sobre el binomio de Newton chuli navitt aquellas personas cuyos intereses no están relacionados con las matemáticas.

La palabra "binom" significa binario, tobto. la suma de dos donaciones. Z tarifa escolar los siguientes son los nombres de las fórmulas del plural corto:

( pero+ b) 2 = un 2 + 2ab + b 2 , (a+b) 3 = un 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 .

Las siguientes fórmulas son la fórmula, ya que se llama fórmula binomial de Newton. En las escuelas triunfan aquellas fórmulas de multiplicación de cuadrados diferentes, sumas y cubos diferentes. ¿Cuál es el hedor del hedor para los próximos pasos? Entonces, en tales fórmulas, el hedor a menudo es victorioso en el virishenni zavdan: para probar la falsedad, la velocidad de las fracciones, la cercanía del cálculo.

El desarrollo de fórmulas lógicas desarrolla ideas deductivas-matemáticas y profunda retórica.

PARTE 1. FÓRMULA DEL BINOM DE NEWTON

Pojdnannya ese poder їх

Sea X un multiplicador formado por n elementos. Sea un submultiplicador de Y un multiplicador de X , que reemplaza k elementos, se llama uno a uno k elementos de n con k ≤ n.

El número de elementos diferentes k elementos de n se asigna n k . Una de las fórmulas más importantes de la combinatoria es la siguiente fórmula para el número n k:

Її se puede escribir después del rango obvio que pronto llegará:

zokrema,

Todo es útil para Tim, que el multiplicador X tiene más de un submúltiplo de 0 elementos: un submúltiplo vacío.

Los números C n k crean una serie de poderes milagrosos.

La fórmula es válida n k = n - k n , (3)

El sentido de la fórmula (3) se basa en el hecho de que es una consistencia uno a uno entre la ausencia de todos los submúltiplos de k términos de X y la ausencia de todos los submúltiplos de X de (n - k) miembros: establecer la fuerza suficiente para el submúltiplo k-término de la piel de Y poner una suma en el multiplicador X.

La fórmula es válida Ç 0 n + Ç 1 n + Ç 2 n + ... + Ç n n = 2 n (4)

La suma, que se encuentra en la parte izquierda, refleja el número de todos los submúltiplos de X (C 0 n es el número de submúltiplos de 0 términos, C 1 n es el número de submúltiplos de un término, etc.).

Para cualquier k, 1≤ k≤ n , la igualdad es justa

C k norte \u003d C norte -1 k + C norte -1 k -1 (5)

Los celos de Qiu no son muy importantes para obtener la ayuda de la fórmula (1). Cierto,

1.2. Visnovok de la fórmula binomial de Newton

Veamos los pasos del binomio. un +B .

n = 0, (un +B ) 0 = 1

n = 1, (un +B ) 1 = 1a+1B

norte = 2(un +B ) 2 = 1a 2 + 2aB +1 B 2

norte = 3(un +B ) 3 = 1 un 3 + 3a 2 B + 3aB 2 +1 B 3

norte = 4(un +B ) 4 = 1a 4 + 4a 3 B + 6a 2 B 2 +4aB 3 +1 B 4

n=5(un +B ) 5 = 1a 5 + 5a 4 B + 10a 3 B 2 + 10a 2 B 3 + 5aB 4 + 1 B 5

Respetamos las siguientes leyes:

El número de miembros del miembro rico poseído es uno más para la indicación del grado del binomio;

El indicador del paso del primer suplemento cambia de n a 0, el indicador del paso de otro suplemento aumenta de 0 a n;

Los pasos de todos los mononomios son iguales a los pasos del binomio para la mente;

monomio Kozhen - suplemento de la primera y la otra virasa en diferentes niveles y el último número - el coeficiente binomial;

Coeficientes binomiales, rіvnovіddalеnі vid kіntsa rozkladannya, ivnі.

Para aclarar estas fórmulas, dicha fórmula se llama fórmula binomial de Newton:

(a + B ) norte = C 0 norte a norte B 0 + C 1 norte a norte -1 B + C 2 norte a norte -2 B 2 + ... + C norte -1 norte abdominales norte -1 + C norte norte a 0 B norte . (6)

Para esta fórmula norte puede ser un número natural.

Derivamos la fórmula (6). Nasampered, escribamos:

(a + B ) norte = (a + B )(a + B ) ... (a + B ), (7)

de número de arcos que se multiplican, dorivnyuє norte. De la regla extraordinaria de multiplicar la suma por la suma, se hincha, que viraz (7) la rica suma de todas las grandes creaciones, ya que se puede juntar con un rango ofensivo: ser una especie de dodanok primero de la suma a + b multiplicar por cualquier dodanok otro sumi a+b por algo de dinero adicional de la tercera suma y así sucesivamente.

De lo que se ha dicho, está claro que el dodankom para (a + B ) norte dar (uno a uno) filas con una longitud de n, dobladas de letras y que b. En medio de dodankіv zutrichatimutsya tales miembros; es obvio que se dan filas a tales miembros, que deben vengar la misma cantidad de letras pero. Ale, el número de filas, que debe ser igual a k veces la letra pero, Así mismo З n k . Otzhe, la suma de todos los miembros, para reemplazar la letra a con un multiplicador igual a k veces, dorіvnyuє C n k a norte - k B k . Las escalas k pueden tomar los valores 0, 1, 2, ..., n-1, n, entonces la fórmula (6) es evidente a partir de nuestra escala. Respetuosamente, (6) se puede escribir más corto: (8)

Queriendo llamar a la fórmula (6) después de Newton, de hecho, se llamó incluso antes de Newton (por ejemplo, conociendo a Pascal). El mérito de Newton es que conoce las fórmulas exactas para varias indicaciones diferentes. mismo yo Newton en 1664-1665 págs. fórmula viva, scho vrazhaє binomio estúpido para escopeta dovіlny y pokaznіv negativo.

Los números 0 n , C 1 n , ..., C n n , que se incluyen en la fórmula (6), suelen denominarse coeficientes binomiales, los cuales se definen de la siguiente manera:

De la fórmula (6) podemos tomar toda la fila potencia de estos coeficientes. Por ejemplo, con respeto pero=1, b = 1, tomamos:

2 norte = C 0 norte + C 1 norte + C 2 norte + C 3 norte + ... + C norte norte ,

tobto. fórmula (4). Pon Yakshcho pero= 1, b = -1, luego matemáticas:

0 = Z 0 norte - C 1 norte + C 2 norte - C 3 norte + ... + (-1) norte C norte norte

o C 0 norte + C 2 norte + C 4 norte + ... = C 1 norte + C 3 norte + + C 5 norte + ... .

Tse significa que la suma de los coeficientes de los miembros apareados del diseño es mayor que la suma de los coeficientes de los miembros no apareados del diseño; cuidado de la piel 2 n -1 .

Coeficientes de miembros, rіvnovіddalеnі in id kіnciv rozkladannya, ivnі. El precio del poder es vyplyvaє іz spіvvіdnoshennia: З n k = З n n - k

Tsіkaviy okremy vipadok

(x + 1) norte = C 0 norte X norte + C 1 norte X n-1 + ... + C k norte X norte - k + ... + C norte norte X 0

o más corto (x +1) norte = ∑C norte k X norte - k .

1.3. teorema del polinomio

Teorema.

trayendo

Entonces, después de abrir el arco del monomio viyshov, es necesario elegir esos arcos, de los cuales tomar, estos arcos, de los cuales tomar, etc. y tі arcos, de los cuales se toman. El coeficiente para el que se da el monomio después de dar términos similares al número de formas en que se puede hacer tal elección. El primer ganchillo de la secuencia de opciones se puede hacer por medio, el otro ganchillo - , el tercero - etc., el th crochet - por procuradores. Coeficiente, scho shokaetsya, dorivnyu creat

ROZDIL 2. Pokhіdnі órdenes superiores.

Comprender los sistemas Pokhіdnih Vishchih.

Deje que la función se diferencie en el intervalo de canto. Todi її pokhіdna, vzagalі aparentemente, miente en X, esa es la función de X. Otzhe, cien veces más, puedes romper la comida sobre el motivo del pokhidnoy.

Cita . Pokhіdna como se llama el primer pokhіdnoї similar a otro pedido u otro similar se indica con el símbolo de lo contrario, tobto

Cita . Pokhіdna como otro pokhіdnoї se llama pokhіdnoy de tercer orden o tercer pokhіdnoy y se designa como un símbolo.

Cita . Pokhіdnynorte orden funciones llamado persha pokhіdna en vid pokhіdnoї (norte -1)-ésimo orden, las funciones i se denotan con el símbolo abo:

Cita . El orden de Pokhіdnі más alto que el primero se llama encontrando lo peor.

Respeto. Del mismo modo, puede tomar la fórmula norte función divertida:

Otra función definida paramétricamente similar

Dado que la función está dada paramétricamente por iguales, entonces el valor de una similar en un orden diferente debe diferenciarse de una manera diferente función de plegado cambio independiente.

Así que eso

eso es urahuvannyam eso, erudito,

Quitémoslo.

Del mismo modo, puedes conocer la tercera vía.

Sumi diferencial, crea ese privado.

Dado que el diferencial proviene de una multiplicación similar de її al diferencial de una variable independiente, entonces, conociendo las similitudes de las principales funciones elementales, así como las reglas para el examen de este último, se pueden desarrollar reglas similares para el examen de diferenciales

1 0 . Constante diferencial a cero.

2 0 . Suma diferencial del álgebra de un número finito de derivaciones de funciones .

3 0 . Diferencial a la creación de dos funciones, que son diferenciantes, sumando la suma de las creaciones de la primera función a la diferencial de la otra y la otra función a la diferencial de la primera .

Consecuencia. Un multiplicador constante puede atribuirse al signo del diferencial.

2.3. Funciones, tareas paramétricamente, diferenciación їхнє.

Cita . La función se llama dada paramétricamente, como resultado de cambios insultantes X і Las funciones de máscara se definen como funciones inequívocas en forma de un único y el mismo cambio adicional - parámetrot :

Delawaret cambio en las fronteras.

Respeto . Dirijamos la alineación paramétrica de la estaca y la elipse.

a) Una columna con centro en la mazorca de coordenadas y radio r maє alineación paramétrica:

b) Escribamos la alineación paramétrica para elips:

desactivar la opción t A partir de las líneas paramétricas de las líneas de análisis, es posible desarrollar sus líneas canónicas.

Teorema . Cuál es la función argumento de tipo y x está dada paramétricamente por iguales, de i diferenciación port funciones ta, entonces.

2.4. fórmula de Leibniz

Para znakhodzhennya norte-ésimo orden de la diferencia entre las dos funciones, el valor más práctico es la fórmula de Leibniz

Vamos tuі v- Funciones activas en forma de cambios. X, lo que puede ser peor, sea en algún orden y = ultravioleta. Vislovimo norte-ésima pérdida por funciones perdidas tuі v .

tal vez secuencialmente

Es fácil notar la analogía entre los virases para el otro y el tercero similar y el diseño del binomio de Newton, es similar al otro y al tercer paso, pero en lugar de los indicadores en el paso para colocar números, que indican el orden. de lo contrario, y las funciones mismas pueden considerarse como "inferiores al orden cero". Vrakhovuychi tse, tomamos la fórmula de Leibniz:

La fórmula de Qiu se puede completar mediante el método de inducción matemática.

PARTE 3. DECLARACIÓN DE LA FÓRMULA DE LEIBNIZ.

Para el cálculo de un cálculo similar, ya sea en cualquier orden, dependiendo de las dos funciones, saltando después, las fórmulas de cálculo, por otro lado, dependiendo de la violación de dos funciones, son fórmula de Leibniz.

Para fórmulas adicionales, podemos ver el cálculo del orden n similar en dos funciones.

Ejemplo 1.

Saber el orden de otra función

Vіdpovіdno hasta la cita, el amigo es bueno: el primero es bueno para el primero, entonces

Conocemos primer orden similar a la función dada reglas de diferenciación y vicorista mesa de los últimos:

Ahora sabemos que el pokhіdnu tuvo el primer orden de pokhіdnoї. Tse será un shukana en un orden diferente:

Sugerencia:

trasero 2

Conocer el siguiente orden de funciones

Solución.

Conoceremos secuencialmente el siguiente, segundo, tercero, y así sucesivamente, los órdenes de la función dada para establecer una regularidad, para que pueda decir el siguiente.

Vamos de primer orden, sabemos cómo Ponte privado:

Aquí viraz se llama el factorial de un número. factorial

Pokhіdna de un orden diferente, el primero, el primero, el primero, ese

Tercer orden de Pokhіdna:

El cuarto es bueno:

Respetamos la regularidad: el numerador tiene un factorial del número, que es más como el orden del peor, y en el znamennik el paso es un paso más, cuanto menor es el orden mejor, así que

Vidpovid.

ejemplo 3

Conoce el valor de la tercera función similar en un punto.

Solución.

Zgidno tablas de órdenes superiores similares, quizás:

cuyo trasero, tobto otrimuemo

Respetuosamente, que tal resultado podría ser quitado por el valor sucesivo de este último.

En la tarea, el tercer punto es más caro:

Sugerencia:

trasero 4.

Conozca las funciones favoritas de un amigo

Solución. Para la mazorca conocemos pershu pokhіdnu:

A los efectos de conocer otro caso similar, se está diferenciando virase por primera vez similar una vez más:

Sugerencia:

Ejemplo 5.

saber, yakscho

Si una función se da como complemento de dos funciones, entonces el valor análogo de cuarto orden se sumará a la fórmula de Leibniz:

Sabemos todas las cosas buenas y tenemos miedo de los coeficientes con las sumas.

1) Porahuєmo coefіtsієnti con dodanki:

2) Conocemos funciones similares:

3) Conocemos funciones similares:

Sugerencia:

Ejemplo 6.

Dada la función y=x 2 cos3x. Conoce el truco del tercer orden.

Sea u = cos3x, v = x 2 . Lo mismo para la fórmula de Leibnitz que conocemos:

Pokhіdnі a quien puedes mirar:

(cos3x)′=−3sen3x,

(cos3x)′′=(−3sen3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sen3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)''''=0.

Otzhe, la tercera función dada de pokhіdna es más cara

1 ⋅ 27sen3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sen3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sen3x−54xcos3x−18sen3x=(27x2−18)sen3x−54xcos3x.

Ejemplo 7.

saber pokhidnu norte - funciones de orden y=x 2 cosx.

Acelerando con la fórmula de Leibnitz, considerandou=cos x, v=x 2 . Todi

Otros miembros de la serie igual a cero, fragmentos(x2)(i)=0 para i>2.

Pokhidna norte - función coseno de orden th:

Otzhe, pokhіdna nuestras funciones son buenas

WISNOVOK

En la escuela se retuercen y triunfan las siguientes fórmulas de multiplicación corta: cuadrados y sumas y sumas de dos sumas, y sumas y sumas de sumas de dos sumas de sumas y sumas de sumas de dos sumas. Las siguientes fórmulas son la fórmula, llamada fórmula binomial de Newton, y la fórmula para expandir en múltiplos de suma y diferencia de pasos. Numerosas fórmulas a menudo resultan victoriosas en el virishennі rіznih zavdan: para demostrar la falsedad, las fracciones rápidas, la cercanía del cálculo. Se analiza el poder del truco o trato de Pascal, estrechamente ligado al binomio de Newton.

El robot sistematizó la información sobre el tema, aplicó la tarea de establecer el binomio de Newton y las fórmulas de la suma y diferencia de pasos. Un robot puede ser vikoristán en un grupo matemático de robótica, así como para un grupo independiente de timis, que se dedican a las matemáticas.

LISTA DE VICTORIAS DE JEREL

1. Vilenkin N. Ya. Combinatoria.- vista. "La ciencia". - M., 1969.

2. Mikilsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.M., Shevkin A.V. Álgebra y la mazorca del análisis matemático. Grado 10: Navch. para zagalnosvіt. organización de básicos y entierros de ríos - M.: Prosvitnitstvo, 2014. - 431 p.

3. Solución del problema de estadística, combinatoria y la teoría de imovirnosti. 7-9 celdas. / Autor - estilismo V.M. Studenetska. - Vista. 2º, VIPR. - Volgogrado: Vchitel, 2009

4. Savushkina I.A., Khugaev K.D., Tishkin S.B. alineación algebraica pasos más altos /ayuda metódica para estudiantes oyentes del departamento de formación interuniversitaria - San Petersburgo, 2001.

5. Sharigin I. F. Curso optativo de matemáticas: Resolución de problemas. jefe de ayuda para 10 celdas. escuela intermedia. - M: Prosvitnitstvo, 1989.

6.Ciencia y vida, binomio de Newton y tricot de Pascal[Recurso electrónico]. - Modo de acceso: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Pokhіdnі órdenes superiores

A esta edad, aprendemos a conocer los órdenes inferiores y también a escribir la fórmula común del orden inferior. Además, la fórmula de Leibniz se verá como una prohannya numéricamente similar, similar a órdenes de magnitud superiores. funciones implícitamente definidas. Estoy tentado a hacer una mini-prueba:

Función de eje: i eje її persha pokhіdna:

En ese estado de ánimo, como usted ha culpado por algunas dificultades / cosas incomprensibles, sea amable, lea dos artículos básicos de mi curso: ¿Cómo saber si voy a ir?і función de plegado. Después de dominar el pokhіdnyh elemental, te recomiendo que aprendas de la lección. La tarea más sencilla para el funeral., en el que nos levantamos, zokrema z otro pokhіdny.

No importa adivinar que un amigo es malo, es malo como el primero malo:

En principio, dejaré a un amigo, pero vzhe vvazhayut de manera similar.

Del mismo modo: el tercero es peor, lo mismo es peor que el segundo es peor:

Cuarto pokhіdna - є pokhіdna vіd 3-ї pokhіdnoї:

P'yata es bueno: , y es obvio que todas las similitudes de órdenes superiores pueden ser iguales a cero:

La numeración romana de Crimea en la práctica a menudo tiene las siguientes designaciones:
, Vamos a significar el orden "energético" a través. Con esto, el índice de supercuerda debe colocarse en el grillete.- resucitar la muerte de la “gravedad” del mundo.

A veces hay tal registro: - Tercero, cuarto, p'yata, ..., "Enna" es similar.

Adelante sin miedo y sumando:

trasero 1

Dada una función. Saber.

Solución: Que puedes hacer aqui... - adelante por el cuarto bien :)

Chotiri puso trazos ya no aceptados, así que pasemos a los índices numéricos:

vidpovid:

Bien, pero ahora pensemos en esa comida: ¿por qué trabajar, si es necesario que la mente sepa no el 4, sino, por ejemplo, el 20 que moriré? Yakshcho para la marcha 3-4-5 (máximo, 6-7) El orden de la decisión está hecho para terminarlo rápidamente, entonces no "llegaremos" al siguiente orden superior, oh, yak, no pronto. ¡No escribas la verdad 20 filas! En una situación similar, es necesario analizar una muestra de los conocidos, calcular la regularidad y formular una fórmula similar. Entonces, en el Aplicado No. 1, es fácil entender que en caso de diferenciación ofensiva de la piel frente al exponente "viscosidad" se agrega el "tres" adicional, además, en el paso más corto de los "tres", es más como el número de los peores, también:

De es un número bastante natural.

Yakshcho, luego sale exactamente el 1er mal: yakscho - luego 2-a: yo etc. En tal rango, veinte pokhіdna vyznaєtsya mittevo: - ¡Y el próximo "tramo de kilómetro"!

Jugando de forma independiente:

trasero 2

Conocer funciones. Anota el sistema

La solución es seguir el ejemplo de la lección.

Después de un calentamiento, qué mejorar, podemos ver colillas más plegables, de alguna manera práctica, el algoritmo de solución. Tim, que ha aprendido la lección Entre secuencias, ser un troch más fácil:

trasero 3

Conocer funciones.

Solución: para aclarar la situación, conocemos algunos de los siguientes:

¡Multiplicar los números no es rápido! ;-)


Mabut, año. ... Navit trohi exagerado.

En los krotsі ofensivos, es mejor agregar la fórmula "enї" pokhіdnoї. (si no te importa la mente, entonces puedes llevarte bien con un hombre negro). Para quienes nos maravillamos del rechazo de los resultados, vemos la regularidad con la que se ataca la piel.

En primer lugar, el hedor conoce a los demonios. El cartel de la cola es seguro. "Destellador", y los fragmentos del primero son positivos, entonces usaré la fórmula para ver el multiplicador ofensivo: . Pide la variante equivalente, pero especialmente yo, como un optimista, amo el signo más \u003d)

De otra manera, el numerador "vientos" factorial, además, el VIN "vіdstaє" tenía números pokhіdnі por unidad:

І en una tercera forma, los pasos del "dos" crecen en el numerista, como si el número fuera similar. Lo mismo puede decirse de los pasos del abanderado. Residual:

Del método de reverificación, podemos sustituir un par de valores "en", por ejemplo, i:

Milagrosamente, ahora comenzarán los perdones, solo un pecado:

vidpovid:

Función sencilla para solución independiente:

trasero 4

Conocer funciones.

І zavdannya tsikavіshe:

trasero 5

Conocer funciones.

Repitamos el orden una vez más:

1) Conocemos algunos espadines de los muertos. Para captar las leyes, toca el triokh-chotiriokh.

2) Entonces recomiendo encarecidamente doblar (Me gustaría usar negro)"Ennu" se habrá ido: está garantizado que estará en la costa frente a los indultos. Ale se puede deshacer y sin, tobto. piénsalo y escríbelo, por ejemplo, me moriré a los veintiocho. Más que eso, la gente deakі vzagalі zdatnі vіrіshiti tsі zavdannya usno. Sin embargo, lo siguiente que debe recordar es que "Shvidki" puede amenazar y, más bien, ser seguro.

3) En la etapa final, es necesario volver a verificar el pokhidnoy "en": tomamos un par de valores "en" (más breve para los tribunales) y justificamos la sustitución. Y lo que es aún mejor es reconsiderar todo lo que se sabía antes. Si algo se presenta en la necesidad de significado, por ejemplo, y el resultado se calcula con precisión.

Solución corta 4 y 5 ejemplos para una lección.

En algunas tareas, para resolver problemas, es necesario corregir un poco la función:

trasero 6

Solución: No quiero diferenciar la función propuesta, no quiero, los fragmentos de la drib "sucia", que agravan en gran medida el rechazo del próximo pokhіdnyh.

Para quien dotsilno vikonati frente a la transformación: vikoristovuemo fórmula de diferencia cuadradaі la potencia del logaritmo :

Zovsіm insha a la derecha:

Yo viejos amigos:

Creo que todo es visible. Da respeto, que se dibuja otra mala señal, y la primera - no. Construimos un sistema similar:

Control:

Bueno, para la belleza, el factorial de los brazos:

vidpovid:

Tsіkave zavdannya para vyrіshennya independiente:

trasero 7

Escribe una fórmula en el mismo orden para la función.

Y ahora sobre la responsabilidad mutua inviolable, que es felicitar a la mafia italiana:

trasero 8

Dada una función. Saber

Vіsіmnadtsyata pokhіdna en el punto. Usyogo.

Solución: back to back, obviamente, es necesario saber Vamos:

Repararon el seno, llegaron al seno. Era claro que para una mayor diferenciación este ciclo es trivial, y achaca al mismo poder: ¿cómo “distanciar” más rápidamente al siglo XVIII?

El método "aficionado": es fácil anotar el número diestro de los próximos muertos en el mostrador:

De esta forma:

Ale tse pratsyuє, como si el orden del pokhіdnoi no fuera tan bueno. Bueno, necesito saber, digamos, dejaré la celda, aceleraré el podilnistyu en 4. Cien para dividir en chotiri sin exceso, y es fácil de bachiti, porque tales números se tiran en la fila de abajo, a eso:.

Antes del discurso, se pueden distinguir 18 pokhіdnu tezh de mirkuvan similares:
la otra fila tiene números, que se subdividen en 4 del excedente de 2.

El segundo método, más académico, de fundar periodicidad a senoі fórmulas de orientación. Koristuyemosya fórmula preparada "enoi" similar al seno , en el yak, simplemente se muestra el número requerido. Por ejemplo:
(fórmula de reducción ) ;
(fórmula de reducción )

Para nuestro punto de vista:

(1) Dado que el seno es una función periódica con un período, entonces el argumento puede "convertirse" sin problemas al cuarto período (tobto.).

El sistema Pokhіdnu vіd vykonannya dvoh funktsіy puede ser conocido por la fórmula:

Zokrema:

No necesitas recordar nada específicamente, porque cuanto más sabes las fórmulas, menos las entiendes. Conoce más sobre la historia binomio de newton La fórmula de oskіlki Leibniz es cada vez más similar a la nueva. Bueno, tienes suerte, cómo escapar del orden 7 o superior (que, sin embargo, es pequeño), te avergonzarás. Vtіm, si cherga hizo combinatoria- eso es lo mismo para traer =)

Conocemos la tercera función similar. Fórmula de Vikoristovuemo Leibnitz:

En esta vista: . Pokhіdnі fácilmente traducido oralmente:

Ahora sustitución cuidadosa y respetuosamente y el resultado simple:

vidpovid:

Una tarea similar para una visión independiente:

trasero 11

Conocer funciones

Si en el extremo frontal la solución "en la frente" todavía compitiera con la fórmula de Leibniz, aquí sería legítimamente inaceptable. Y más inaceptable: en un orden diferente, es peor:

trasero 12

Conoce el orden exacto

Solución: ante todo respeto - gire el eje así, individualmente, no es necesario =) =)

Anotemos las funciones y conozcamos sus similitudes hasta el 5° orden inclusive. Admito que los pasos del lado derecho se te han vuelto soñolientos:

A la izquierda del "en vivo", las cosas malas "terminaron" y es aún mejor: en la fórmula de Leibniz, tres sumas se restablecen a cero:

Estoy tambaleándome ante el dilema, lo descubrí en el artículo sobre plegable pokhіdnyh: chi preguntar el resultado? En principio, puede omitirlo y, por lo tanto, es más fácil revertirlo. Ale vin puede ayudar a llevar la decisión a un camino. Del otro lado, perdonado por el poder de la iniciativa, amenazo al álgebra con indultos. Sin embargo, tenemos є vіdpovіd, otrimana forma "primaria" =) (Div. enviado a la mazorca), y estoy de acuerdo, vin tiene razón:

Bien, todo está bien.

vidpovid:

Feliz tarea para la visión independiente:

trasero 13

Para la función:
a) significar diferenciación directa;
b) saber detrás de la fórmula de Leibniz;
c) calcular.

No, no soy sádico - el punto "a" aquí está perdonado =)

Y lo que es más grave, entonces la solución "directa" a las últimas diferenciaciones también puede tener el "derecho a la vida": de varias maneras, el plegado puede ser igual al plegado de la fórmula de Leibniz. Vykoristovyte, como si respetara los puntos, es poco probable que sea la base de una pequeña tarea.

Brevemente, la solución es ilustrar la lección.

Para plantear el párrafo final, es necesario recordar diferenciar funciones implícitas:

Cambios en órdenes superiores de funciones, puestos de trabajo implícitamente

Rico alguien de nosotros vitrativ dovgі años, días y tizhnі vida en vvchennya matar, parábola, hipérbole- ya veces se daba al castigo. ¡Así que venguémonos y diferenciémoslos como un rastro!

Pochnemo zі "shkіlnoї" parábola para ella campamento canónico:

trasero 14

Se da Rivnyanya. Saber.

Solución: primero krok buen conocimiento:

Aquellos en los que la función de ese її es similar a la expresión implícitamente no cambian la esencia, el otro es pokhіdna - tse pokhіdna vіd 1-ї pokhіdnoї:

Sin embargo, es necesario establecer sus propias reglas: solo a través de "iks" y "iplayer". A eso en el otriman 2nd pokhіdnu imaginemos:

Tercer pokhіdna - є pokhіdna vіd 2-ї pokhіdnoї:

Del mismo modo, imagina:

vidpovid:

Hipérbole "Shkilna" en campamento canónico- por Trabajo independiente:

trasero 15

Se da Rivnyanya. Saber.

¡Repito, perderé el 2 y el resultado debe explicarse solo a través de "iks" / "iplayer"!

Brevemente, la solución es ilustrar la lección.

Después de los rollos infantiles, maravillándonos con la pornografía alemana @fiyu, buscamos traseros más maduros, de los que sabemos una decisión más importante:

trasero 16

Elips persona dominante.

Solución: conocemos el 1er pokhіdnu:

Y ahora recordemos y analicemos el momento que se avecina: de una vez podemos diferenciar, para no estar callados. En este estado mental, es extremadamente simple, pero en realidad, las órdenes de tales dones se dan dos veces y una vez en el poder. ¿Cuál es la mejor manera de deshacerse del voluminoso pokhidnoy? Ісnuє! Tomamos igual y victorioso con el mismo truco que, cuando conoces el 1er pokhidnoy, colgamos trazos en las partes ofensivas:

Otro pokhіdna es culpable, pero solo se expresa a través de esto y aquello al mismo tiempo. (En seguida) pokhidnoy. Para quien en otriman igual es concebible:

Para deshacerse de las dificultades más técnicas, multiplique las partes ofensivas por:

Menos en la etapa final, elaboramos drіb:

Ahora nos maravillamos con el fin de semana, y notamos que se supone que el resultado negativo debe ser perdonado:

vidpovid:

Cómo saber el significado del segundo pokhіdnoї en cualquier punto (yaka, zrozumіlo, miente en el elipsu), por ejemplo, en el punto ? ¡Demasiado fácil! Tsej motivo ya zustrіchavsya en la lección sobre normales iguales: en virase 2, es necesario representar :

Increíblemente, en las tres formas puedes quitar funciones dadas explícitamente y diferenciarlas, pero también ajustar moralmente la práctica con dos funciones, como para vengar la raíz. En mi opinión, sería mejor tomar una decisión por “camino implícito”.

El ejemplo final para una visión independiente:

trasero 17

Encuentra una función implícitamente definida

La fórmula de Leibniz para número de n-ésimo trabajo similar de dos funciones. Nadano її prueba de dos maneras. Miró el trasero del cálculo del orden n-ésimo.

Zmist

división además: Pokhіdna robot dos funciones

fórmula de Leibniz

Con la ayuda de la fórmula de Leibniz, puede calcular la pérdida de orden n en dos funciones. Vaughn puede verse así:
(1) ,
Delaware
- Coeficientes binomiales.

Coeficientes binomiales con los coeficientes de la distribución de la binomial para los pasos i:
.
Entonces el número es el número del mismo día s n k .

Prueba de la fórmula de Leibniz

Encontremos la fórmula para la mejora de dos funciones:
(2) .
Reescribimos la fórmula (2) de tal manera:
.
Por lo tanto, somos conscientes de que una función se deposita en forma de cambio x, y otra, en forma de cambio y. Por ejemplo, respetamos la rozrahunka. La fórmula anterior se puede escribir de la siguiente manera:
(3) .
Los oscalls son similares a la suma de los términos, y el skin term es la suma de dos funciones, luego para el cálculo de los órdenes inferiores, se puede establecer sucesivamente la regla (3).

Lo mismo para el orden n-th similar tal vez:

.
Vrahovyuchi, scho y mi otrimuemo Fórmula de Leibniz:
(1) .

Prueba por inducción

Demostremos la fórmula de Leibniz por inducción matemática.

Una vez más escribimos la fórmula de Leibniz:
(4) .
Para n = 1 es posible:
.
Esta fórmula es similar a la práctica de dos funciones. Vaughn tiene razón.

Suponga que la fórmula (4) es válida para orden n similar. Se puede demostrar que es válido para un n+ similar 1 th orden.

Diferencial (4):
;



.
Padre, sabíamos:
(5) .

Pongámoslo en (5) y podemos decir que:

.
Se puede ver que la fórmula (4) puede verse igual para un n + similar 1 th orden.

Posteriormente, la fórmula (4) es válida para n = 1 . Preocupación, ¿qué se gana por el número decimal n \u003d m? 1 .
La fórmula de Leibniz se ha completado.

extremo

Enumerar la n-ésima función aleatoria
.

Resolvamos la formula de Leibniz
(2) .
A nuestro gusto
;
.

Detrás de la mesa de las madres recientes:
.
Zastosovuєmo poder de las funciones trigonométricas:
.
Todi
.
Se puede ver que la derivación de la función seno se lleva a zsuv sobre . Todi
.

Conocemos funciones similares.
;
;
;
, .

Oskіlki en , entonces la fórmula de Leibniz tiene más de tres primeros términos en forma de cero. Sabemos por qué koefіtsієnti.
;
.

Detrás de la fórmula de Leibniz puede estar:

.

división además: